автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Группы и полугруппы преобразований на семействах морфизмов векторных расслоений

Мордовский Ордена Дружбы Народов государственный университет имени Н.П. Огарева

На правах рукописи , „„УД К 517.9

, . о ОЛ

1 о 7..:; 131

Борисов Михаил Александрович

ГРУППЫ И ПОЛУГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ НА СЕМЕЙСТВАХ МОРФИЗМОВ ВЕКТОРНЫХ РАССЛОЕНИЙ

05.13.1S — Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ.

АВТОРЕФЕРАТ диссер^ -шин на соискание ученой степени кандидата физико-математических лаук

Саранск, 2000

Работа выполнена на кафедре прикладной мди'Магики Мордовского государственного университета имени Н.П. Огарева

Научи ы й руководитель:

док юр физико-математических наук профессор Е.В. Воскресенский

Официальные ошюнешы:

док юр физико-математических наук профссор Б. В. Логинов

кандидат физико-математических наук Т.А. Горшулова

Ведущая организация:

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Защита состоится 17 мая 2000 г. в 14 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета К 063.72.04 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических паук в Мордовском государственном университете имени Н.П. Огарева по адресу: 430000, г. Саранск, ул. Большевистская, 68.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Мордовского государственного университета.

Автореферат разослан " /3 " апреля 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математичес''^

наук доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В 19S0 - 1986 голах в журналах "Дифференциальные уравнения" и "Математические заметки" профессором Московского государственного университета В..М. Мнллионщнковым была опубликована серия статей, посвященных изложению моментов теории показателей Ляпунова на таком уровне общности, что полученные результаты можно было применить к уравнениям различных типов: обыкновенным дифференциальным, дифференциальным уравнениям в частных проитчлных. разностным уравнениям и так далее. Такая универсальность применения полученных автором результатов была обусловлена применением новою подхода к решению поставленной задачи. Суть этого подхода заключается в iom. что результаты работ формулировались не для конкретных уравнений, а для некоторых абстрактных

конструкций — семейств морфизмов векторных расслоений. А эти конструк- _

тши строились уже для конкретных задач. То есть схема решения задачи при применении такого подхода следующая. Для данной задачи строим семейство морфизмов векторного расслоения. Применяем к этому семейству полученные результаты (которые не зависят от того, для задачи какого типа построено это семейство морфизмов), а затем спускаемся вниз по ступеням абстракции для интерпретации полученного результата в контексте нашей конкретной задачи.

Оказалось, что подход, предложенный В.М. Мидлионщиковым, можно применить для решения многих задач методом сравнения. В работах Е.В. Воскресенского такой подход был применен для построения общих теорем об асимптотической эквивалентности.

Цель работы. В настоящей работе решаются следующие задачи.

Первая задача — построение классов асимптотически эквивалентных в различных смыслах семейств морфизмов. Результаты, полученные при решении этой задачи, обобщают результаты работ Е.В. Воскресенского и АЛО. Павлова и применяются для решения второй задачи.

Вторая задача — это задача об управляемости для семейства морфизмов векторного расслоения за бесконечное время.

Задача об управляемости играет важную роль в математической теории управления. Для линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений эта задача решалась многими исследователями. Здесь существенные результаты принадлежат P.E. Калману, В.И. Зубову, H.H. Красовскому, В.М. Ма-тросоиу и другим. Для дифференциальных уравнений в частных производных

задача об управляемости решалась, например, Ж.-.Л. Лионсом, К.А. Лурье, ¡О.В. Егоровым. П иасюящсЯ работе сделана попытка абстрагироваться от вида и природы уравнения, описывающего поведение системы в некотором фазовом пространстве (конечномерном или бесконечномерном), при помощи абстрактных векторных расслоений U.M. Миллионщикова.

Все реiv.'ibia 1Ы. полученные при решении них двух задач, проинтерпретированы для дифференциальных уравнения в частных производных математической фишки и для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.

Вюрая задача является основной. В раГнмах H.H. Чубова, L.B. Воскресенского. Д.10. Павлова. II.П. Никитина. П. Г. Черникова и других решается задача об управляемости за бесконечное время для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Управляемость за бесконечное время обладает специфической особенностью. В зтом случае фиксированная точка переводится в сколь угодно малую окрестность другой точки, причем в дальнейшем из этой окрестности переводимая точка не выходит. Из управляемости за конечный промежуток времени такая управляемость в общем случае не вытекает. И наоборот, из управляемости за бесконечное время не вытекает управляемость за конечное время.

В настоящей работе решается задача об управляемости за бесконечное время для семейства морфизмов векторного расслоения.

Общая методика исследования основана на применении принципа сравнения. который широко применяется, например, в теории дифференциальных уравнений. Суть этого метода в случае дифференциальных уравнений состоит в том, что решения одного уравнения

d*

(1)

исследуются в зависимости от решений другого уравнения

(2)

причем главную роль здесь играет малость функции

= ll/iC. *)-/»('. *)!!•

В этом случае уравнение (2) называют уравнением сравнения. Этот принцип применялся многими авторами. Классические результаты здесь принадлежат Т. Важевс кому. Д.Ф. Филиппову и другим.

Основная идея решения поставленных в диссер1ационной работе задач методом сравнения была предложена профессором К.В. Воскресенским в его монографии "Методы сравнения в нелинейном анализе". где были впервые построены теоремы об асимптотической эквивалентности семейств сюръекцчй векторного расслоения, предложено использовать семейства сюръекций для построения общих теорем о приводимости уравнений. Именно ма мошлрафия лежит в основе проведенных в диссертационной работе исследований.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты, выносимые на защип.

1. Получены новые достаточные условия аснмшо! и-кч кий жнивален гпосги семейств морфшмов векторного расслоения.

2. Введено понятие семейств морфизмов с управлением.

3. Получены достаточные условия управляемости нескольких классов семейств морфизмов с управлением.

4. Получены новые оценки для решений дифференциального уравнения в банаховом пространстве.

5. Получены теоремы об асимптотической эквивалентности дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве и подпроп ранстве этого пространства.

6. Получены новые достаточные условия управляемости дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.

Научная и практическая ценность. Работа носит теоретический и прикладной характер. Полученные результаты могут быть использованы в математической физике, теории колебаний, асимптотическом интегрировании дифференциальных уравнений, исследовании управляемости нелинейных систем и других областях.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на II и III конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 1996, 1998 гг.). на восьмой и девятой конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 1998, 1999 гг.), на научном семинаре Среднеполжского математического общества под руководством профессора Е.В. Воскресенского (Саранск, 1997 1999 гг.).

б

Публикации. Основные результаты изложены в!) публикациях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и библиографического списка. Общий объем диссертации 123 страницы. Библиографический список содержит 76 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении изложена история вопроса, проводится обоснование актуальности темы диссертации, дается кратко*? содержание диссертации, формулируются основные результаты, полученные в диссертации.

В первой главе введены основные понятия и определения: абстрактного векторного расслоения, эндоморфизма и морфизыа векторного расслоения, семейства морфизмов. Даны также определения семейств морфизмов, асимптотически эквивалентных по Брауэру, Левинсону, Ляпунову и Немыцкому.

Приведем несколько важных определений, содержащихся в параграфе 1.1.

Определение 1 (В.М. Миллионщиков) Пусть Е и В — некоторые непустые множества, р: Е —> В — отображение Е на В, причем на полном прообразе Р~1{Ь) всякой точки Ь € В задана структура, вообще говоря, бесконечномерного пространства. Тройка (Е,р,В) называется абстракт-нылI векторным расслоением, Е — пространством абстрактного векторного расслоения или тотальным пространством, р — проекцией, В — базой, р~'(Ь) — слоем над точкой Ь. То пространство "Н, структура которого задается на каждом глас расслоения, будем называть стандартным слоем.

Определение 2 (В.М. Миллионщиков) Эндоморфизмом абстрактного векторного расслоения (Е,р,В) называется пара отображений (.V, х), X : Е -ь Е, х-- ВВ, удовлетворяющих условиям: рХ = \р\ д.т всякого Ь £ В сужение Л'[Ь] — А'|р-1(ь) отображения X на слой над точкой Ь есть линейное отображение р~,(Ь)—+р~1(\Ь).

Определение 3 Морфизмом абстрактного векторного расслоения (Е,р, В) называется пара отображений (X, Л' : Е —> Е, ^ : С -) 0, удовлетворяющих условиям: рХ = \р; для всякого 6 £ В сужение Л'[Ь] — А'|,-.(6) отображения X на слой над точкой Ь есть отображение

Замечание 1 Очевидно, что зт клюрфизм векторного расслоения ябдл( mся морфизмом )то/о расслоения.

Пусть Л/ С R, и +ос является предельной ючкой множества Л/. Далее во всей работе под множеством М будем понимать именно такое множество, а в выражении "í -+ +ос", если предполагается, что < 6 _\f. будем всегда иметь в виду, что 1 стремится к +зс, оставаясь в множестве .1/. Обычно будем считать, что Л/= [/о. 4зс), где ío некоторая фиксированная точка из R.

Определение 4 (К.В. Поскрг а некий} ('е .\i< йстьо.ч морфизлюь абстрактного векторного расслоения (Е.р.В) называется отображение F множества М б множество {(Л', д)} всех морф измов ¿того расслоения. Значение отображения F е> точке L t М буде-и обозначить через (A'¡, \'(); cu.u-волллш Л',( и Л'(! : Í € Е, 6уд<м обозначать значение отображения

X, е точке (t,t0,0 € Л/ х М х Е, где А',0( = Л',£ = ,\'(t : /„,() 6 Е.

Параграф 1.2 имеет большое значение для применения векторных расслоений и семейств морфизмов этих расслоений для решения конкретных задач. Здесь на примерах показывается как можно строить зти абстрактные конструкции в конкретных ситуациях.

В параграфе 1.3 исследуются свойства асимптотически эквивалентных семейств морфизмов.

Определение 5 (Е.В. Воскресенский) Семейства морфизмов F¡ = (Л't,\t) и F2 = (У(,х i) (fi, Рг € Е) будем называть асимптотически зквибалентными по Брауэру на слое р~1 (Ь) относительно функции ¡i : [¡о, +оо) Л А/ RJ., ta 6 М, при t —> +оо, если Vt0 6 М существуют два отображения Рц : Р~'{Ь) -У р~'{Ь) такие, что для любых Хо,Уо €

t > ta. Здесь A'i,A*2 > 0 зависят от уо и ta-

Замечание 2 fía салюм деле можно предполагать в определении ■5 и дала, что д.гя наших пар семейств Ft ti отображения различны: F¡ = (.V,, \i), F2 ~ (Yi,xl)- В этом случае необходимо потребовать выполнения равенства \,Ь = \}Ь Vi > /о, Ь € В. Здесь Ь — фиксированная точка,

||Л'0 : tо, х0) - Y(t: t0, Д i0)|| < Klti(t),

(3)

IIV'(í: to.lto) - -V(í: 1о,/>2М>)|| < A>(t).

(4)

s

задающая слой, на котором опре<)е*гяетпся асимптотическая .Уквивалачппоапь семейств морфизмоя.

Определение 6 (К.В. Воскресенский) Семейства .иорфи.)мо(, F¡ = (Л'|,\|) и F-i = (>",, \,) (1\. 1\ 6 Н) бydtM называть асчмптоти'н-ски эквивалентными по Левинсону на слое р~1{Ь) относительно функции р : [¿о, +ос) П Л/ —» R+, to 6 Л/, при t -» 4-ое, если Vi¡¡ 6 Л/ существует бткция I': р~'(Ь) -> р~х(Ь) такая, чти Уг0 € р~'(Ь)

¡|.V(Í :<о,-То> - i С : *о./%)|| < Л'з/<(0, (5)

i > ¡o- Здесь А'з > 0 зависит от j-„ и 10.

В параграфе 1.4 построены теоремы об асимптотической эквивалентности семейств морфизмов на слое векторного расслоения, обобщающие результаты, изложенные в монографии Е.В. Воскресенского "Методы сравнения в нелинейном анализе".

Пусть заданы некоторые семейства морфизмов F¡ : М —> {(.V,\)} и : М {(К,х1)} векторного расслоения (Е.р,В), где при• некотором í е В P'Hxib) = Í»~l(xí4. и на этих слоях ||Л',£|| < A'(í0,í)Q(0- Здесь A'(í : ¡o,í) и Y(t : t0, Í) определяют соответственно семейства морфизмов Ft и в точке (i,í) € М х р"»(Ь), A'(i0,í) >0, t > /о, Q : М -> (0,+ос), А'(<0 : 'о,О = С, >'(/o:ío,f) = í Vf ер-'(Ь). Пусть

ф. = Ш": <o,í)|í € р-'(Ь)}, «>2 = {>'(•: ¿o,í)|{ 6 р~'(Ь)},

Фз — множество всех значений всех семейств морфизмов F3 таких, что F3 : М -4 {(Z,X2)}, Р"1(х?Ь) = p-'(\¡b), и если z{- : <„,() 6 Ф3, то £ € ?"'(&), ||г(/ : /„,f)|| < КзQ(t), где А'з > 0 зависит от семейства морфизмов и от точки (io,'í) 6 М х р~'(Ь). Ясно, что Ф1 С Фз- Будем считать, что в Фз обычным образом введены линейные операции и ||г||ф3 = sup 2 € Фз- Тогда Ф3

i>íj

становится банаховым пространством.

Основной здесь является следующая теорема.

Теорема 1 Пусть Fi = (A'(,xi) и F¡ = №,Xi) ~ семейства морфизмов, и

Y(t:t„,() = X,( + T,Y{-:t0,()

(6)

У/о € -1/, / > /о. € р~1(6). II it.ui плийство морфизмов где

\,!Ь = \,/> при том же Ь 6 /? и V? € Л/, удометаоряет уравнению (6) ^шо сот, гели подставить : 'о.О ниггто У(( : (о. О в (6), то это уравнение превращается в верное равенство), то : (0>£) = У(' : '<>,£) "Р" ( > ¡о и

е />-'(6). Удесь х,( =+ ¿А СеС(.1Ц(А',£)), £(£',£) -

сюранство .иниипы.г нспре рыпныг операторов, Е € С(М, Е). Пусть также выполняются следующие условия:

a) У, : Ф3 -+ р'1(Ь) при I > 1а;

b) Т,;(-:-1а.(1 = <7(<)о4/Л:(-: (о-£>. о € .шеигнт от :(■ : („, () € Ф3.

Н)0 = 0. — нуль пространства :

c)

\\Н,г,{- : - «0,6)11 < Ч,Цг(- : (о,?■) - г2(- <о,ЫН

Vfi.fi Уг,,г2еФ3, вир«?, <1.

Тогда сс.иейства ^ и асахттотичесхи эквивалентны по Левинсону относительно Нунции <5 квелое 1 {Ь) при 1 —► +оо.

Здесь же построены примеры применения этой теоремы для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве и для одномерных волновых уравнений.

Вторая и третья главы являются основными. Вторая глава содержит следующие результаты.

В параграфе 2.1 вводится понятие семейства морфизмов с управлением. Описана общая идея решения задачи об управляемости для семейства морфизмов методом сравнения.

Рассмотрим семейство Е = (У|,\1) морфизмов метризованного векторного расслоения (Е,р,В) и предположим, что это семейство зависит от функционального параметра и € А'о, где Ко — некоторый класс функций. То есть У = У (г : ¿0,1,«)- Будем называть и управлением, а класс функций А'0 — классом допустимых управлений. Семейство Р будем называть семейством с управлением. Не будем сейчас делать никаких специальных предположений относительно Л'о, но положим, что V« € А"0, Ух 6 Е У(< : ¿о, I, и) 6 и пара (У«,Х|), где К зависит от и, по-прежнему является семейством морфизмов.

Определение 7 Пусть К = (У,, — семейство морфизмов абстрактного векторного расслоения (Е,р, В), >р € Е. Множество Г = {У(( :

fo.vOI' £ Л/}' будем называть траекторией семейства F с началом в точке 9-

Определение 8 Пусть F = (V,, \,) - семейство морфизмов с упраыегшем метризованного векторного расслоения (R. р. В). Y(t : to, у, и) € р-'(Ь), ^ в р~'(Ь), б€ В, и € Л'о, где А'о — класс допустимых упрощений. Пусть j-j, J' 1 £

Еудем говорить, что точка xq переводится уп/тьлгнпе.и и в точку Xi по траектории семейства F за время т, t0 < т < +оо, если У(т : (0,х0,и) = Хр ilpu jnioAt С у <км говоришь, что допустимое управление и переводит точку То б точку |■

Если точки х0 u xi — произвольные, то семейство F называется управляемым на всем пространстве Е (далее будем называть такие семейства управ-1яемы.\ш за конечное время т). То есть управ.1яемость означает следующее: каки.ии бы ни были хо и xi, существует управление и € А'о, которое переводит точку х0 в точку ц по траектории семейства F.

Определение 9 Пусть F = (У(,\'|) — семейство морфизмов с управ.\ением метризованного векторного расслоения (Е, р, В). Пусть и € Л'о, А'о — класс допустимых управлений. Пусть также т0, :rt 6 Е.

Будем говорить, что точка х0 переводится управлением и в точку xi по траектории семейства F за бесконечное врелм, если lim YH : 1о,х0,и) = х,. При этом будем говорить, что допустимое управление и переводит точку xq в точку xi за бесконечное время.

Если точки г0 и — произвольные, то семейство F называется управляемым на всем пространстве Е (далее будем называть такие семейства управляемыми за бесконечное время). То есть управ^гяелшеть в этом случае означает следующее: какими бы ни были хо их е > 0, существует управление и £ Ко такое, что найдется т = т(г, и) > 0 такое, что ||У(( : <о, го, и) ~ Zill < £ как только t > г.

Другими словами, движущаяся точка, начинал с некоторого момента времени г, попадает в е -окрестность точки ri и оттуда не выходит при всех

t>T.

В параграфе 2.2 исследуется управляемость семейств морфизмов типа Липшица, введенных по аналогии с системами обыкновенных дифференциальных уравнений типа Липшица, введенными АЛО. Павловым.

Определение 10 Пусть Л'о — класс допустимых управлений. Рассмотрим селнЛгтоа морфизмов с ynjinaiextif-M Ft = (A'(,\t) и Г2 = (V,,\t). Пусть для зтих семейств V¡¡ ё А"о выполняется равенство (6) и условия а) и Ь) теоремы Í. Но условию Ь) теоремы ¡ для отображения К(-: t0,x) £ Ф3, где х 6 P~l(b), люжпо найти cooruf>c тстьуюии ( о 6 p~i[b). Так как — семейство морфизмов с управлением, то V — Y(t : Íq..t. u{t. у)). где у 6 р~! (Ь). яи — управ-иние из кгасса К0. Поэтому а = о(х,у).

Назовем се.ие йсепво люрфизлюв f '¿ семе йстьом типа Липшица с константой Л', ее.ш Vr.yi. у , Р р~*(Ь)

Здесь К > 0 зависит от х, i/i и

Теорема 2 Пусть для семейств морфизмов с управлением F¡ — (Х„х,) и F3 = (Уп\i) метризованного векторного расслоения (В,р,В) выполняются условия теоремы 1 Vu € Л'о таким образом, что се.иейства F¡ и Fi асимптотически эквиалентны по Левинсону относительно функции Q(l) = const. Пусть слоем нашего векторного расслоения является банахово пространство, Ft — семейство типа Липшица с константой К. Предположим также, что семейство F¡ яв.гяется управляемым в классе Л'о за бесконечное время.

Тогда, если И < 1, то любую точку Jo £ Р~'{Ь) можно перевести в точку у' € р~'(М, где bt — linn x,b, по траектории семейства за бесконечное

t-+f со

вре.ия при помощи упрощения из класса А*».

В параграфе '2.3 исследуется управляемость семейств морфизмов типа Липшица в нуле.

Определение 11 Пусть A"<¡ — класс допустимых управлений. Рассмотрим семейства морфизлюв с управ.1ением Ft = (A*t, Xt) и F? — (V¡, А'«)-Пусть для зтих семейств Vu € h'a выполняется равенство (6) и условия а) и Ь) теоремы 1. По условию Ь) теоремы I Для отображения У(' : t0,x) 6 ф3, где х € р~*{6), можно найти соответствующее а € р~'{6). Так как F-i — семейство морфизмов с управлением, то У = Y(t : to,x,u(t,y}), где y£p~^(b), а и — управление из класса Л'о- Позтому а — а(х,у).

Назовем се-иейство морфизмов F-¿ семейством типа Липшица в нуле с константой А', если Ух, у 6 р~1(Ь)

11°(г.У)11 < А"»»«.

З'.ксь !\ > 0 ли>исши от х и у.

Теорема 3 Пусть Агя семейств люрфизмов с унрав.1ени(.и — (Л',, \,) и Рг = метршоемштго векторного расслоения (Е,р,В) ьы-

полняются условия теоремы 1 V» € А'0 таким образол!, что семейства и асимптотически эквиеыентны по Левинсону относительно функции С?{1) г соп.*1. Пусть слоем нашею векторного расслоения яв.ея(»¡ел вашип-во пространство, семейство типа .7ииишца в нуле с константой К.

Предположим также, что семейство 1\ является упраеыяе.иым в к.гассе А'о ,т Бесконечное ьр

Тогда, ес.т о - линейное -отображение по второй переменной, я А* < 1, то любую точку х<> € Р~1{Ь) можно перевести в точку у" 6 Р~'(М> Ь^ — ¡пи \[1>, по траектории семейства / » ла бесконечное врелея при полющи

(-♦+оо *

цнрпьлшчя нз класса А'о-

Построены примеры использования теоремы 2 для исследования управляемости системы, которая может быть описана смешанной задачей для дифференциального уравнения в частных производных параболического типа.

В параграфе 2.4 решается задача оптимального управления для семейства морфизмов. Идея метода решения этой задачи взята из работы 10.В. Егорова.

В третьей главе решаются задачи об асимптотической эквивалентности и управляемости для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.

Пусть В — банахово пространство, Е — множество дифференциальных уравнений вида

^ = /(',*), /€С([Т,+оо)хВ,В),

и для этого уравнения для любых начальных данных ((о, 1о). ¿о > Т, существует единственное решение : ' € [¡о,+оо).

Далее везде, когда речь идет об этой главе буквой Е будем обозначать именно это множество. Будем также считать, что все рассматриваемые нами уравнения принадлежат этому множеству Е.

В параграфе 3.1 строятся оценки для решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.

Следующая теорема содержит обобщение неравенства Важевского для дифференциального уравнения в банаховом пространстве.

Теорема 4 Д.1Я любого решения уравнения

£ = .4(*Ух + Д«,*) + уК0. (т)

где .-l(i) : В В, В — Saнахово пространство, А € C*([io, +00), L(B, В)), L(B. В) — пространство линейных непрерывных операторов, / Ç С([?о,+оо)х В, В), ^ € СЦ'о, +оо), В), при („< f < +00 справедливо неравенство

1И0Н < J пИ)гщ> \J (Ч>) + cM)<<*j dl +

+ |И(о)||ехр f j(.\(s) + v(s))ds\, (8)

где ,\(i) = max{—Л(/), A(f)}. A(i) — <тшенъшее, а A(i) — наибольшее собственное значение самосопряженного оператора Л"(t) = + а функции / и у" удовлетворяют траве, петь у ||/(/, J-) + < v(i)IMI + ч('). t\7eC([i0.+cx).R).

В параграфе 3.2 исследуется асимптотическая эквивалентность дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.

Определение 12 (Е.В. Воскресенский) Будем говорить, что уравнения

~ = § = /;(',</) .0)

из множества Н асимптотически эквивалентны по Брауэру относительно функции ф € С([Г,4-oo),R}'), RJ = [0,-|-оо), если существуют два отображения Pi : В -> В и P-i : В В такие, что

х (t : i0;..r0) = y(t : t„, Р2т0) + y{l:to,yo) = T(t:t0,rty0) + o(<>it))

при t -+ +00.

Рассмотрим дифференциальные уравнения dr.

dt=A{t)z + ni,i) (10)

| = (И)

где x{t).y{t)€B,-T < t < +00, Л(-) : СЦТ,+оо),Нот[В, В)), f € С([7\+оо)х В, В), В -- банахово пространство. Положим M — [Г,+00), где Т — некоторая константа. Пусть В = Я, H — гильбертово пространство, dira Я < 00,

и путь Hi — подпространство в Н, dim Н, < оо. Так как I! — гильбертово пространство, то существует такое подпространство Hj в Я, что Я = Я1+Я2. Пусть 1\ и Pj - проекторы Н соответственно на Иi и Я2.

Положим В(1) = Л.!('). o{t,x) = P,J[I.jc). t е .W. г € II,. и рассмотрим дифференциальные уравнения

J = + (12)

и

iib

j; = B(/)<f. " (13)

1де y{t).i-(l)€ II,. Очевидно, Я(-) € C{M.4oni(Ux.H,)), д €С(Л/ х //„//,).

Пусть {'(') — оператор Коти уравнения (11). f.'(fo) = Id — тождественный оператор, и для эволюционного оператора уравнения (11) справедливо неравенство

\\U(t,S)\\<Q(t-s), t>s, (14)

где Q : [0, +со) (0, +ос) — непрерывная неубывающая функция.

При каких условиях из асимптотической эквивалентности уравнений (10) и (И) следует асимптотическая эквивалентность уравнений (12) и (13) и наоборот? Ответ на этот вопрос дают две следующие теоремы.

Теорема 5 Пусть уравнения (10) и (11) асимптотически эквивалентны по Брауэру относительно функции р, причем соответствия между решениями устанав*шваются операторами L,,Хг: Н —> Н. Если

1. P,A(i) — A{t)P, Vie А/;

2. выполняется условие (14);

3. существует непрерывная функция А(з) = supA(s, о) < 00 Vs £ М,

где ||/(i,z)l| < A(i, М)> А е С([Г,+оо)х[0,+со),[0,+оо)), А не убывает по второй переменной;

4. Vi € Я ||(£/(i)A + AMI > С(0|И|, где С — непрерывная функция, 0(1) >0 VI 6 М\

5. начальные данные задач h'outu д.т уравнений (10) и (И) принадлежат некоторому шару Sr радиуса г;

6. Hi ле.1яется инвариантным подпространством для операторов L\ и

то уравнения (12) и (13) асимптотически эквивалентны по Брауэру относительно функции ч, причем v(t) > p{t) Vi 6 Л/.

Теорема 6 Пусть уравнения (12) и (13) асимптотически эквивалентны по [jptiyjpy oriiuocumt.ibHO функции л-. Если

1. l\A{t) — A{l)Pt Vi £ М;

2. выполняется услоелие (i 1};

:). существу! т н<и;>сры«к<1я функция A(s) = sup A(s,a) < оо Vs € Д/,

>де ||/('--r)!l < A(MMI), А е С([Г,-Нх)х[0.+эс),[0.+ос)). А не убывает

Ух € Н ||((/(«)/,1 +Яг)х|| > С(<)|[х|), где С -- непрерывная функция,

С(1) > О V/ е М,

то уравнения (10) и (11) аашптотически эквива.1ентнъ1 по Брауэру относи-

В параграфе 3.3 исследуется управляемость за бесконечное время дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. Пусть и, V — некоторые банаховы пространства. Рассмотрим систему

из множества Е. Для каждого фиксированного <0 € [Т, +со), Хо € II и управления и из некоторого класса Ко существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее условию : £0, х0, и) = х0.

Определения управляемости за конечное и бесконечное время для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах полностью аналогичны соответствующим определениям для семейств морфизмов векторного расслоения.

Рассмотрим систему

¿2,

мо emopoit перел<енной,

тельно функции J?, причем jj(<) > ¡r(f) V< 6 М.

(15)

где Л(4) : U С, Ае C({tü, + x,). L(U,lr)). Щ'.Г) -■-пространство линейных непрерывных операторов. j(i) G U, u(i) € V. Г < t < +oa. f £ C([T, +co) x U x V,V), С, V' — банаховы пространства.

Необходимо перевести точку .ru к ючку .ri по граекюрии уравнения (10) за бесконечное время.

Обозначим =/1(()г,. j{l,y, «j = /(',!/ + А. «)• Предположим, что

+ < <-Ч0'|Ы1 +>l(l.u(t)).

где ф eC{\t0.+oo),&), Ц € СЧ[<о, +оо) x KR).

Пусть A(i) = max{-A(i). Л(()}, Л(() - наименьшее, a A(i) --наибольшее собственное значение самосопряженной» оператора Лн(1) = ¿[.-1(/) + • ))-

Теорема 7 Если О.ш счгтемы (16) u управления «(() выполняется одна из следующих альтернатив

+00 / Îо \

1. /(A(s) + t/-(s))ds =-оо. j n{l,u(l))exp[J(\(s)-+ t($))ds ) Л = оо; l0 (о V I /

+оо

2. J (Л(4) + = +ос. <0

||*о - Х.И + ТчС, «(О)ехр (/W) + <« = 0.

г JliküiilL п

пго точку хо € U можно перевести в m очку Xj € зв бесконечное время по траектории системы (16). ~

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

1. Борисов М.А. Векторное расслоение для линейных дифференциальных уравнений в частных производных. // Труды третьей международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения": Саранск, 19 - 21 мая 1998 г. — Саранск: Тип. "Крас. Окг.", 1998. ~ с. 255.

2. Борисов М.А. Векторное расслоение для линейных дифференциальных уравнений в частных производных. // Труды восьмой научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи": Самара, 26 - 28 .мая 199« г. — Самара, 199S. - с. 12 М.

3. liopmo» M.A. Векторное расслоение для линейных дифференциальных уравнений в частных производных. // III конференция молодых ученых Мордовского государственного университета имени II.П. Огарева. Науч-'ные груды. Часть II.: Саранск, 22 - 24 апреля 1998 г. — Саранск, 1998. — с. 14.

1. Борнео» XI.Д. 'Задача оншмальииго управления для семейства сюрьекцпй. // ХЬиерпа.ты IV научной конференции молодых ученых .Мордовского государственного университета имени H.I1. Огарева. Научные труды. Часть П.: Саранск. Ш 23 апреля 1!)!)!) г. Саранск, ШЫ. - с. 1 73 175.

5. Ьорнсов М.А. Управляемость за бесконечное время семейств эндоморфш-мон и сюръекцпН. // Труды левягоП научной ме;квучовскоП конференции "Математическое моделирование и краевые задачи": Самара. 25 ■ 26 мая 1999 г. — Самара, 1999. — с. 17-21.

6. Борисов M.A. Ограниченность решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. // Сборник трудов третьей международной научной конференции "Методы и средства управления технологическими процессами": Саранск, 23 - 27 октября 1999 г. — Саранск, 1999. — с. 48-•з|.

7. Борисов М. А. Применение векторных расслоений к исследованию дифференциальных уравнений в частных производных математической физики. // Труды региональной научно-практической конференции "Критические технологии в регионах с недостатком природных ресурсов": Саранск, 26 -27 октября 1999 г. — Саранск, 1999.

S. Борисов М.А. Асимптотическая эквивалентность семейств сюръекций метризованного векторного расслоения. // Вестник Мордовского университета., 1999, N3-4, с. 121-125.

9. Борисов XI.А. Управляемость семейства сюръекций метризованного векторного расслоения. // Математическое моделирование., 2000, Т.12, N3.

Введение.

1. Семейства морфизмов векторного расслоения

1.1. Абстрактное векторное расслоение

1.2. Построение векторных расслоений и семейств морфизмов

1.3. Классификация семейств морфизмов.

1.4. Асимптотическая эквивалентность семейств морфизмов

2. Управляемость семейств морфизмов.

2.1. Семейства морфизмов с управлением.

2.2. Управляемость семейств типа Липшица.

2.3. Управляемость семейств типа Липшица в нуле

2.4. Задача оптимального управления для семейства морфизмов

3. Дифференциальные уравнения в банаховых пространствах

3.1. Оценки решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах

3.2. Асимптотическая эквивалентность дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.

3.3. Управляемость дифференциальных уравнений в банаховых пространствах

В 1980 ~ 1986 годах в журналах "Дифференциальные уравнения" [50]-[52] и "Математические заметки" [53]—[55] профессором Московского государственного университета В.М. Миллионщико-вым была опубликована серия статей, посвященных изложению элементов теории показателей Ляпунова на таком уровне общности, что полученные результаты можно было применить к уравнениям различных типов: обыкновенным дифференциальным, дифференциальным уравнениям в частных производных, разностным уравнениям и так далее. Такая универсальность применения полученных автором результатов была обусловлена применением нового подхода к решению поставленной задачи. Суть этого подхода заключается в том, что результаты работ формулировались не для конкретных уравнений, а для некоторых абстрактных конструкций — семейств морфизмов векторных расслоений. А эти конструкции строились уже для конкретных задач. То есть схема решения задачи при применении такого подхода следующая. Для данной задачи строим семейство морфизмов векторного расслоения. Применяем к этому семейству полученные результаты (которые не зависят от того, для задачи какого типа построено это семейство морфизмов), а затем спускаемся вниз по ступеням абстракции для интерпретации полученного результата в контексте нашей конкретной задачи.

Оказалось, что подход, предложенный В.М. Миллионщиковым, можно применить для решения многих задач методом сравнения. В монографии [17] такой подход был применен для построения общих теорем об асимптотической эквивалентности.

В настоящей работе решаются следующие задачи.

Первая задача — построение классов асимптотически эквивалентных в различных смыслах семейств морфизмов векторного расслоения. Результаты, полученные при решении этой задачи, обобщают результаты монографии [17] и работы [59] и применяются для решения второй задачи.

Вторая задача — это задача об управляемости для семейства морфизмов векторного расслоения за бесконечное время.

Задача об управляемости играет важную роль в математической теории управления. Для линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений эта задача решалась многими исследователями. Здесь существенные результаты принадлежат P.E. Калману, В.И. Зубову [36], H.H. Красовскому, В.М. Матросову и другим. Для дифференциальных уравнений в частных производных задача об управляемости решалась, например, Ж.-Л. Ли-онсом [43], К.А. Лурье [44], Ю.В. Егоровым [29]—[33]. В настоящей работе сделана попытка абстрагироваться от вида и природы уравнения, описывающего поведение системы в некотором фазовом пространстве (конечномерном или бесконечномерном) при помощи абстрактных векторных расслоений В.М. Миллионщикова [50]-[55].

Все результаты, полученные при решении этих двух задач, проинтерпретированы для дифференциальных уравнений в частных производных математической физики и для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.

Вторая задача является основной. В работах В.И. Зубова [36], Е.В. Воскресенского [17], [20], А.Ю. Павлова [59], И.П. Никитина [58], П.Г. Черникова [73]—[74] и других решается задача об управляемости за бесконечное время для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Управляемость за бесконечное время обладает специфической особенностью. В этом случае фиксированная точка переводится в сколь угодно малую окрестность другой точки, причем в дальнейшем из этой окрестности переводимая точка не выходит. Из управляемости за конечный промежуток времени такая управляемость в общем случае не вытекает. И наоборот, из управляемости за бесконечное время не вытекает управляемость за конечное время.

В настоящей работе решается задача об управляемости за бесконечное время для семейства морфизмов векторного расслоения. В основе метода ее решения находится принцип сравнения, который широко применяется, например, в теории дифференциальных уравнений. Суть этого метода в случае дифференциальных уравнений состоит в том, что решения одного уравнения = (0.0.1) исследуются в зависимости от решений другого уравнения = Л(*,У), (0-0.2) причем главную роль здесь играет малость функции

В этом случае уравнение (0.0.2) называют уравнением сравнения. Этот принцип применялся многими авторами. Классические результаты здесь принадлежат Т. Важевскому, А.Ф. Филиппову и другим (см. также [17], [22], [75], [76]).

Основная идея решения поставленных в диссертационной работе задач методом сравнения была предложена профессором Е.В. Воскресенским в его монографии [17], где были впервые построены теоремы об асимптотической эквивалентности семейств сюръ-екций векторного расслоения, было предложено использовать семейства сюръекций для построения общих теорем о приводимости уравнений. Именно эта монография лежит в основе проведенных в диссертационной работе исследований.

Перейдем к краткому изложению содержания работы.

В главе 1. введены основные понятия и определения: абстрактного векторного расслоения, морфизма и эндоморфизма векторного расслоения, семейства морфизмов. Даны также определения семейств морфизмов, асимптотически эквивалентных по Брауэру, Левинсону, Ляпунову и Немыцкому.

Приведем несколько важных определений, содержащихся в параграфе 1.1.

Определение 0.0.1. [53, с.93] Пусть Е и В — некоторые непустые множества, р : Е —^ В — отображение Е на В, причем на полном прообразе р~1(Ъ) всякой точки Ь £ В задана структура, вообще говоря, бесконечномерного пространства. Тройка (Е,р,В) называется абстрактным векторным расслоением, Е — пространством абстрактного векторного расслоения или тотальным пространством, р — проекцией, В — базой, р~1{Ъ) — слоем над точкой Ь. То пространство Н, структура которого задается на каждом слое расслоения, будем называть стандартным слоем.

Определение 0.0.2. [53, с.94] Эндоморфизмом абстрактного векторного расслоения (Е,р,В) называется пара отображений (X, X : Е —>• Е, х'■ В —» Б, удовлетворяющих def условиям: рХ = XV! для всякого Ь £ В сужение Х[Ь] = Х\р-1^ отображения X на слой над точкой Ь есть линейное отображение р~1{Ъ) ~^р~1{хЬ)

Определение 0.0.3. Морфизмом абстрактного векторного расслоения (Е,р,В) называется пара отображений (Х,х)-> X : Е Е, х '• В —У Б, удовлетворяющих условиям: рХ — ХР~1 для всякого Ь £ В сужение Х[Ь] = Х\р-1^ отобра-эювния

X на слой над точкой Ь есть отображение р (Ь) —>

V НхЧ

Замечание 0.0.1. Очевидно, что эндоморфизм векторного расслоения является морфизмом этого расслоения.

Пусть М С 1, и +оо является предельной точкой множества М. Далее во всей работе под множеством М будем понимать именно такое множество, а в выражении "i —> +оо", если предполагается, что ¿ Е М, будем всегда иметь в виду, что ¿ стремится к +оо, оставаясь в множестве М. Обычно будем считать, что М = [¿о,+оо), где ¿о — некоторая фиксированная точка из Е.

Определение 0.0.4. [17, с.198] Семейством морфиз-мов абстрактного векторного расслоения (Е,р,В) называется отображение F множества М в множество {(X, %)} всех морфизмов этого расслоения. Значение отображения F в точке ¿ Е М будем обозначать через (Xt,Xt)] символами и X(t : t(),£), £ Е Е, будем обозначать значение отображения Xt в точке (f,i0,O еМхМхЕ, где Xto( = Х£ = X(t : ¿0,0 G Е.

Будем далее, если не оговорено противное, во всей работе предполагать, что мы всегда находимся в пределах одного слоя векторного расслоения при формулировке всех наших утверждений. Будем также, если не оговорено противное, предполагать, что во всех наших утверждениях и рассуждениях для упоминаемых нами семейств морфизмов отображения Xt и множества М одни и те же. Такие допущения позволят нам в дальнейших рассуждениях задавать морфизмы и их семейства лишь отображениями X и X,.

Параграф 1.2. имеет большое значение для применения векторных расслоений и семейств морфизмов этих расслоений для решения конкретных задач. Здесь на примерах показывается как можно строить эти абстрактные конструкции в конкретных ситуациях.

В параграфе 1.3. исследуются свойства асимптотически эквивалентных семейств морфизмов.

Рассмотрим метризованное векторное расслоение (Е,р,В) и некоторое множество Е семейств морфизмов этого расслоения. Предположим, что для всех семейств морфизмов здесь отображение Хг и множество М одни и те же.

Определение 0.0.5. [17, с.199] Семейства морфизмов Л7! = (Xt,Xt) и = О'*, X*) Е будем называть асимптотически эквивалентными по Брауэру на слое относительно функции /л : [¿о,+оо) П М -» ¿о € М, при Ь —> +оо, если У^о £ М существуют два отображения : р~1{Ь) —» р~1{Ъ) такие, что для любых х$,уо 6 р~1{Ъ)

Х{1: ¿0,®о) " У(г : ¿о, Р^о)|| < Кщф, (0.0.3)

У(* : г0,у0)-Х$ : Ъ,Р2Уо)\\ < К^Ц), (0.0.4) > ¿о- Здесь К\,К2 > 0 зависят от ?/о и ¿о

Замечание 0.0.2. На самом деле можно предполагать в определении 0.0.5. и далее, что для наших пар семейств Т7! и ¥<1 отображения Хг различны: ^ = =

В этом случае необходимо потребовать выполнения равенства хф = х]Ь > ¿о? Ь £ В. Здесь Ь — фиксированная точка, задающая слой, на котором определяется асимптотическая эквивалентность семейств морфизмов.

Определение 0.0.6. [17, с.200] Семейства морфизмов = (XI, Хг) и Е2 = (1*, х*) (-^ъ-^2 £ 2) будем называть асимптотически эквивалентными по Левинсону на слое р~1(Ъ) относительно функции ¡1 : [¿о,+00) П М —> to £ М, при t —»■ +00, если Vio G М существует биекция Р : p~l(b) —»■ p~l(b) такая, что V#o £ р1(^)

Х(* : ¿о, so) - ^ : ¿о, II < K3fi(t), (0.0.5) t > ¿о- Здесь > 0 зависит от х$ и to.

В параграфе 1.4. построены теоремы об асимптотической эквивалентности семейств морфизмов на слое векторного расслоения, обобщающие результаты, изложенные в монографии [17].

Пусть заданы некоторые семейства морфизмов Fi : М {(X, х)} и F2 : М -)> {(У, х1)} векторного расслоения (Е,р,В), где при некотором b £ В p~l(xtfy — Р~1{х}^)-> и на этих слоях \\Х£\\ < K(t0,£)Q(t). Здесь X(t : ¿О,0 и : i0,O определяют соответственно семейства морфизмов F\ и F2 в точке (¿,0 £ м х р-^Ь), K(toj^) >0, f > i0, Q : M (0,+oo), X(to:to,0=^ Y(t0:t0,Z) = Z Чер-^Ь). Пусть

Ф1 - {X(. : io,OK e Ф2 = {y(-: io,0ie e p-1®},

Ф3 — множество всех значений всех семейств морфизмов F3 таких, что F3 : М {(Z,x2)}, Р-1(х?ь) = p1(xW, и если *(• = е Ф3, то £ G Г\Ь), ||z(i : *0,ОИ < KzQ{t), где Кг > 0 зависит от семейства морфизмов и от точки (¿о? О Е Мх р1(Ь). Ясно, что Фх С Фз- Будем считать, что в Ф3 обычным образом введены линейные операции и ||^||ф3 = sup^^y^, 2 £ Ф3. Тогда t>t0 '

Ф3 становится банаховым пространством.

Основной здесь является следующая теорема.

Теорема 0.0.1. Пусть Fx = (Xt,xt) и F2 = (Yt,xt) — семейства морфизмов, и

Y(t:t0,Z) = XtZ + TtY(-:t0,Z) (0.0.6)

У^о £ М, £ > ¿о, £ р~1{Ъ). И если семейство морфизмов (гих1), г<Эе ХгЬ = пРи том же Ь £ В и У£ £ М, удовлетворяет уравнению (0.0.6) (то есть если подставить : вместо : ¿о? О е (0.0.6), то это уравнение превращается в верное равенство), то : ¿о, О = У^ '■ ¿о,£) пРи ^ > ¿о и У( е Здесь = + £(*)£, где £ £ С(М,Ь(Е,Е)), Ь(Е,Е) — пространство линейных непрерывных операторов, Г £ С(М,Е). Пусть также выполняются следующие условия: a) Тг : Ф3 /Г1 (6) при £ > £0; b) : ¿о,£) — + : ¿о?0> а ^ зависит от ¿о, О € Фз, ЩО = 0, где О — кулъ пространства Фз; 0

Тогда семейства Е\ и ^ асимптотически эквивалентны по Левинсону относительно фунции на слое р~1{Ъ) прг/ £ —>• +оо.

Здесь же построены примеры применения этой теоремы для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве и для одномерных волновых уравнений.

Главы 2. и 3. являются основными.

Глава 2. содержит следующие результаты.

В параграфе 2.1. вводится понятие семейства морфизмов с управлением. Описана общая идея решения задачи об управляемости для семейства морфизмов методом сравнения.

Рассмотрим семейство ^ = морфизмов метризованного векторного расслоения (Е,р,В) и предположим, что это семейство зависит от функционального параметра и £ Ко, где Ко — некоторый класс функций. То есть У = У(Ь : 1о,х,и). Будем называть и управлением, а класс функций Ко — классом допустимых управлений. Семейство Е будем называть семейством с управлением. Не будем сейчас делать никаких специальных предположений относительно Ко, но положим, что \/и Е Ко, \/х Е Е У(£ : Ьо,х,и) Е Е, и пара где У зависит от и, попрежнему является семейством морфизмов.

Определение 0.0.7. Пусть Е = {Уг,Хг) — семейство морфизмов абстрактного векторного расслоения (Е,р,В), (р Е Е. Множество Г = {У{Ь : ¿о,<р)\Ь Е М} будем называть траекторией семейства Е с началом в точке (р.

Определение 0.0.8. Пусть Е — — семейство морфизмов с управлением метризованного векторного расслоения (Е,р,В). У(£ : ¿О)^?£ р~1(Ь), ср Е р~1(Ъ), Ь Е В, и £ Ко, 7\о — класс допустимых управлений. Пусть хо,х\ Е -Е1.

Будем говорить, что точка хо переводится управлением и в точку х\ по траектории семейства Е за время г, ¿о < т < +оо, если У(т : Ьо,хо,и) = х\. При этом будем говорить, что допустимое управление и переводит точку хо в точку х\.

Если точки хо и х\ — произвольные, то семейство Е называется управляемым на всем пространстве Е (далее будем называть такие семейства управляемыми за конечное время т). То есть управляемость означает следующее: какими бы ни были хо их 1, существует управление и Е которое переводит точку хо в точку х\ по траектории семейства Е.

Определение 0.0.9. Пусть Е — — семейство морфизмов с управлением метризованного векторного расслоения (Е,р,В). Пусть и Е Ко, Ко — класс допустимых управлений. Пусть также хо,х\ Е Е.

Будем говорить, что точка xq переводится управлением и в точку х\ по траектории семейства F за бесконечное время, если lim Y(t : to,xo,u) = х\. При этом будем говорить, что i—Н- оо допустимое управление и переводит точку xq в точку х\ за бесконечное время.

Если точки xq и х\ — произвольные, то семейство F называется управляемым на всем пространстве Е (далее будем называть такие семейства управляемыми за бесконечное время). То есть управляемость в этом случае означает следующее: какими бы ни были xq их i, е > 0, существует управление и £ Ко такое, что найдется г — т(е,и) > 0 такое, что ||Y(t : to,XQ,u) — :ri|| < е как только t > т.

Другими словами, движущаяся точка, начиная с некоторого момента времени г, попадает в £ -окрестность точки х\ и оттуда не выходит при всех t > т.

В параграфе 2.2. исследуется управляемость семейств морфизмов типа Липшица, введенных по аналогии с системами обыкновенных дифференциальных уравнений типа Липшица [59].

Определение 0.0.10. Пусть Kq — класс допустимых управлений. Рассмотрим семейства морфизмов с управлением F\ = (Xt,xt) и Fi — {Yt,Xt)- Пусть для этих семейств Vw £ Kq выполняется равенство (0.0.6) и условия а) и Ь) теоремы 0.0.1. По условию Ь) теоремы 0.0.1. для отображения У(- : £ Фз, где х £ можно найти соответствующее а £ р~1{Ъ). Так как Fi — семейство морфизмов с управлением, то Y = Y(t : to,x,u(t,y)), где у £ а и — управление из класса Kq. Поэтому а = а{х^у).

Назовем семейство морфизмов F\ семейством типа Липшица с константой К, если \/x,yi,y2 £ р 1(Ь) a(x,yi) - а{х,у2)\\ < К\\ух - у21|. Здесь К > 0 зависит от х,у\ и у2.

Теорема 0.0.2. Пусть для семейств морфизмов с управлением F\ = (Xt,Xt) и F2 = (Yt,xt) метризованного векторного расслоения (Е,р,В) выполняются условия теоремы 0.0.1. \/и Е Ко таким образом, что семейства F\ и F2 асимптотически эквиалентны по Левинсону относительно функции Q(t) = const. Пусть слоем нашего векторного расслоения является банахово пространство, F2 — семейство типа Липшица с константой К. Предположим также, что семейство F\ является управляемым в классе Kq за бесконечное время.

Тогда, если К < 1, то любую точку xq Е p~l(b) можно перевести в точку у* Е где Ь\ = lim по траектории t-^+oo семейства F2 за бесконечное время при помощи управления из класса Kq.

В параграфе 2.3. исследуется управляемость семейств морфизмов типа Липшица в нуле.

Определение 0.0.11. Пусть Kq — класс допустимых управлений. Рассмотрим семейства морфизмов с управлением F\ = (Xt,Xt) и F2 = (Yt,Xt)■ Пусть для этих семейств Vи Е Kq выполняется равенство (0.0.6) и условия а) и Ъ) теоремы 0.0.1. По условию Ь) теоремы 0.0.1. для отображения У(- : to,x) Е Фз, где х Е р~1(Ь), можно найти соответствующее 01 Е р~1{Ъ). Так как F2 — семейство морфизмов с управлением, то Y = Y(t : tQ,x,u(t,y)), где у Е р~1{Ь), а и — управление из класса Kq. Поэтому а = а(х,у).

Назовем семейство морфизмов F\ семейством типа Липшица в нуле с константой К, если Ух, у Е p~l(b) а(х,у)\\<К\\у\\. Здесь К > 0 зависит от х и у.

Теорема 0.0.3. Пусть для семейств морфизмов с управлением F\ = (Xt,Xt) и F2 = (Yt,xt) метризованного векторного расслоения (Е,р,В) выполняются условия теоремы 0.0.1. Ум Е Ко таким образом, что семейства F\ и асимптотически эквиалентны по Левинсону относительно функции Q(t) = const. Пусть слоем нашего векторного расслоения является банахово пространство, — семейство типа Липшица в нуле с константой К. Предположим также, что семейство F\ является управляемым в классе Kq за бесконечное время.

Тогда, если а — линейное отображение по второй переменной, а К < 1, то любую точку xq Е р1(Ь) можно перевести в точку у* Е где Ь\ = lim xtb, по траектории семейства i-»+oо

F2 за бесконечное время при помощи управления из класса Kq.

Построены примеры использования теоремы 0.0.2. для исследования управляемости системы, которая может быть описана смешанной задачей для дифференциального уравнения в частных производных параболического типа.

В параграфе 2.4. решается задача оптимального управления для семейства морфизмов. Идея метода решения этой задачи взята из работы Ю.В. Егорова [30].

В главе 3. решаются задачи об асимптотической эквивалентности и управляемости для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.

Пусть В — банахово пространство, 2 — множество дифференциальных уравнений вида п т = /£С([Т,+оо)хБ,Б), и для этого уравнения для любых начальных данных (¿о5^о)? ¿о > Т, существует единственное решение х(Ь : Ьо,хо), £ £ [¿о,+оо).

Далее везде, когда речь идет об этой главе буквой 2 будем обозначать именно это множество. Будем также считать, что все рассматриваемые нами уравнения принадлежат этому множеству

В параграфе 3.1. строятся оценки для решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.

Следующая теорема содержит обобщение неравенства Важев-ского для дифференциального уравнения в банаховом пространстве.

Теорема 0.0.4. Для любого решения уравнения dx = A(t)x + f(t,x) + <p(t), (0.0.7) где A(t) : В -ï В, В — банахово пространство, А £ C([¿o,+oo), L(B,B)), L(B,B) —пространство линейных непрерывных операторов, / £ C([íq, -feo) х В, В), (р £ C([¿o,+оо), j3), при to<t < +00 справедливо неравенство

IM*)II< J ij(A(s) + V(*))de I dl + to \l J ||z(f0)|| exp ^J(A(s) + j , (0.0.8) где Л(t) = max{—A(f), A(í)}, A(t) — наименьшее, a A(t) — наибольшее собственное значение самосопряженного оператора Ан(t) = \[A(t) + A*(t)], а функции f и ip удовлетворяют неравенству ||/(£,х) < ФШХ\\ € C([í0,+oo),E).

В параграфе 3.2. исследуется асимптотическая эквивалентность дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.

Определение 0.0.12. Будем говорить, что уравиз множества 2 асимптотически эквивалентны по Брауэру относительно функции ф £ С([Т, +ос), М+), = [0,+оо), если существуют два отображения Р\ : В —ь В и Р2 : В —» В такие, что у(Ь : Ц,Р2хй) + о(ф({)), у (г : ¿о, Уо) = : ¿0, Р1У0) + о(ф(г)) при t —> +оо.

Иными словами (см. [17, с.24]), системы (0.0.9) называются асимптотически эквивалентными по Брауэру, если между их решениями можно установить такое соответствие (не обязательно взаимно однозначное), что lim [x(t) —y(t)] = 0, где x(t) и y{t) — i—>■+со соответствующие друг другу решения.

Рассмотрим дифференциальные уравнения dx = A(t)x + f{t,x) (0.0.10) и dj-t = A(t)y, (0.0.11) где x(t),y(t) е В, Т < t < +00, А(-) : С([Т, +00), Нот(В, В)), / Е С([Т,+00) х В, В), В — банахово пространство.

Теорема 0.0.5. Пусть в системе (0.0.10) ||/(*,ж)|| < A(i, ||ж||), Л G С([Г,+оо) х [0, +оо), [0, +00)), W G

Г, +оо) Л не убывает по второму аргументу. Пусть также система (0.0.11) имеет асимптотическое равновесие [17, с.8],

Н-оо +оо Л(г,а)<т < +оо V« <Е [0, +оо), / ^у = +оо, где 1(а) = to ¿0 оо / Х(з,са)ёз, с > 0 — некоторая константа. В этом случае и уравнения (0.0.10) и (0.0.11) асимптотически эквивалентны по Брауэру относительно функции (¿{р — ¿о) = с.

Вновь рассмотрим дифференциальные уравнения (0.0.10) и (0.0.11). Положим М = [Т,+оо), где Т — некоторая константа. Пусть В = Н, Н — гильбертово пространство, сИт Н < оо, и пусть Н\ — подпространство в Н, сИтЯх < оо. Так как Н — гильбертово пространство, то существует такое подпространство #2 в Н, что Н = Я1+Я2. Пусть Р1 и Р2 — проекторы Н соответственно на Н\ и

Положим в (г) = Р\А{£), д(г,х) = Р1/(£,ж), г е м, х е ни и рассмотрим дифференциальные уравнения = £(*)¥> + </(*,¥>) (0.0.12) и - я (0.0.13) где (р(г),ф(г) £ нг. Очевидно, В(-) £ С(М, Нот(Нъ Ях)), # е С(М х ЯьЯх).

Пусть £/(£) — оператор Коши уравнения (0.0.11), ?7(£о) — Ы — тождественный оператор, и для эволюционного оператора уравнения (0.0.11) справедливо неравенство и(г,з)\\< <2(1-3), £>*, (0.0.14) где : [0, +оо) —>• (0, +оо) — непрерывная неубывающая функция.

При каких условиях из асимптотической эквивалентности уравнений (0.0.10) и (0.0.11) следует асимптотическая эквивалентность уравнений (0.0.12) и (0.0.13) и наоборот? Ответ на этот вопрос дают две следующие теоремы.

Теорема 0.0.6. Пусть уравнения (0.0.10) и (0.0.11) асимптотически эквивалентны по Врауэру относительно функции ц, причем соответствия между решениями устанавливаются операторами Ь\,Ь2 : Н —»• Н. Если

1. РгА^) = А{г)Рх V* 6 М;

2. выполняется условие (0.0.14);

3. существует непрерывная функция А(з) = вир А (я, а;) < оо аен

V зеМ, где ||/(М)|| < А(*,И), А е С([Г,+оо) х [0, +оо), [0, +оо)),

А не убывает по второй переменной;

4. \/х е Н \\(и(Ь)Р1 + Р2)х\\ > С(*)||ж||, где С — непрерывная функция, С(Ь) > 0 Ше М;

5. начальные данные задач Коши для уравнений (0.0.10) и (0.0.11) принадлежат некоторому шару Бг радиуса г;

6. Н\ является инвариантным подпространством для операторов Ь\ и 1/2, то уравнения (0.0.12) и (0.0.13) асимптотически эквивалентны по Врауэру относительно функции и, причем > //(£) Ш Е М.

Теорема 0.0.7. Пусть уравнения (0.0.12) и (0.0.13) асимптотически эквивалентны по Врауэру относительно функции 7г. Если

1. РхА^) = А(г)Р1 Ш Е М;

2. выполняет,ся условие (0.0.14);

3. существует непрерывная функция А(з) = эирА^,«) < сю аен з Е М, где ||/(¿,л;)|| < А(*,||*||), А Е С([Г,+оо) х [0, +оо), [0, +ос)), Л не убывает по второй переменной,

4. Ух Е н \\(и{г)Рг + Р2)х\\ > С(£)||ж||, где С — непрерывная функция, С{Ь) > 0 Е М, то уравнения (0.0.10) и (0.0.11) асимптотически эквивалентны по Брауэру относительно функции 7/, причем г]{{) > 7г(£) Е М.

В параграфе 3.3. исследуется управляемость за бесконечное время дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. Пусть II, V — некоторые банаховы пространства. Рассмотрим систему

Лх = ж,«) (0.0.15) из множества Для каждого фиксированного ¿о £ [Т, +оо), хо Е и и управления и из некоторого класса Ко существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее условию х(Ц : £о,яо,м) = доопределения управляемости за конечное и бесконечное время для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах полностью аналогичны соответствующим определениям для семейств морфизмов векторного расслоения.

Определение 0.0.13. [59, с.13] Пусть и Е Ко, 0 < г < +оо, Ко — класс допустимых управлений.

Будем говорить, что точка xq £ U переводится в точку х\ £ U за время г, если х(т : tQ,XQ,u) = х\. При этом будем говорить, что допустимое управление и переводит точку xq в точку х\.

Если точки xq и Х\ — произвольные, то система (0.0.15) называется управляемой на всем пространстве U (далее будем называть такие системы управляемыми за конечное время т ). То есть управляемость означает следующее: какими бы ни были xq и х\, существует управление и £ Ко, которое переводит точку жо в точку х\ по решению уравнения (0.0.15).

Определение 0.0.14. [59, с.14] Пусть и £ I\q, Kq — класс допустимых управлений.

Будем говорить, что точка xq Е U переводится в точку х\ Е U за бесконечное время, если lim x(t : tQ,XQ,u) = х\. При этом

-)•+оо будем говорить, что допустимое управление и переводит точку xq в точку х\ за бесконечное время.

Если точки xq и х\ — произвольные, то система (0.0.15) называется управляемой на всем пространстве U (далее будем называть такие системы управляемыми за бесконечное время). То есть управляемость в этом случае означает следующее: какими бы ни были xq и Х\, £ > 0, существует управление и £ Kq, такое, что существует т = т(е,и) > 0 такое, что \\x(t : to,xo,u) — < £ как только t > г.

Другими словами, движущаяся точка, начиная с некоторого момента времени г, попадает в е -окрестность точки х\ и оттуда не выходит при всех t > т.

Рассмотрим систему Ж = A(t)x + f(t,x,u), x(t0) = Xq, x(+Oc) = Xi, ' ' где A(t) : и и, А £ C([t0,+oo),L(U,U)), L(U,U) — пространство линейных непрерывных операторов, x{t) £ U, u{t) £ V,

T < t < +00, / G C([T,+oo) x U xV,U), U,V — банаховы пространства.

Необходимо перевести точку хо в точку х\ по траектории уравнения (0.0.16) за бесконечное время.

Обозначим (p(t) = A(t)x\, f(t,y,u) — f(t,y + xi,u). Предположим, что f(t,y,u) + y>(f)|| < де)|Ы| + где ф G C{[t0,+ 00),M), г] G C([i0,+oo) хЦ).

Пусть Л (t) = max{—A (t), A (t)j, A(t) — наименьшее, a A (t) — наибольшее собственное значение самосопряженного оператора AH(t) = i[A(t) + A'(t)}.

Теорема 0.0.8. Если для системы (0.0.16) и управления u(t) выполняется одна из следующих альтернатив

1. оо

J (Л(s) + ip(s))ds = -00, 0

00 / t0

J 7](l, u(l)) exp I J (A (s) + i/j(s))ds ) dl = 00;

0 \i

00

J (A(s) + ip(s))ds - +00, to

00 / ¿0 j rj(l,u(l)) exp

0 V/

A(s) -f il>(s))ds \dl = 0,

Hm = 0

A(i) + ф(г) то точку xq G U можно перевести в точку х\ G U за бесконечное время по траектории системы (0.0.16).

Заключение

Представляется, что дальнейшее развитие изложенных в работе результатов может иметь несколько направлений.

Первое направление — построение общих теорем об асимптотической эквивалентности для эволюционных уравнений. Наличие таких теорем позволило бы существенно обобщить наши результаты.

Второе направление — построение теорем об управляемости за конечное и бесконечное время для более широких классов семейств морфизмов векторных расслоений.

Третье направление — постановка и решение задачи об устойчивости и стабилизации программных движений.

1. Алексеев В.М. Об одной оценке возмущений решений обыкно-венных дифференциальных уравнений. // Вестник Московского университета. Серия математика. 1961 г., N2, с. 28-36, N3, с. 3-10.

2. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения:

3. Учеб. пособие для вузов. 3-е изд., перераб. и доп., — М.: "Наука", гл.ред.физ-мат.лит.,1984. — 272 с.

4. Арнольд В.И. Лекции об уравнениях с частными производными. Изд. 2-е, доп. — М.: ФАЗИС, 1997. ХП+180 с.

5. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. — М.: "Мир", 1965. —276 с.

6. Березин Ф.А., Шубин М.А. Уравнение Шредингера. — М.:

7. Изд-во Моск. ун-та., 1983. — 392 с.

8. Борисов М.А. Векторное расслоение для линейных дифференциальных уравнений в частных производных. // Труды восьмой научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи": Самара, 26 28 мая 1998 г. — Самара, 1998. — с. 12-14.

9. Борисов М.А. Управляемость за бесконечное время семействэндоморфизмов и сюръекций. // Труды девятой научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи": Самара, 25 26 мая 1999 г. — Самара, 1999. — с. 17-21.

10. Борисов М.А. Асимптотическая эквивалентность семействсюръекций метризованного векторного расслоения. // Вестник Мордовского университета, 1999, N3-4, с. 121-125.

11. Борисов М.А. Управляемость семейства сюръекций метризованного векторного расслоения. // Математическое моделирование., 2000, Т.12, N3.

12. Васильев В.А. Введение в топологию. М.: ФАЗИС, 1997. —1. XII+132 с.

13. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. — изд.4.е. — М.: "Наука", гл.ред.физ-мат.лит.,1981. — 512 с.

14. Воскресенский Е.В. Методы сравнения в нелинейном анализе. — Саранск: Изд-во Сарат. ун-та. Саран, фил.,1990. — 224 с.

15. Воскресенский Е.В. О верхней границе равномерно ограниченных решений. // Материалы Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" 20-22 декабря 1994 года, Саранск. Саранск: Изд-во Мордовского университета, 1995, с. 4-11.

16. Воскресенский Е.В. О задаче Чезари. // Дифференциальныеуравнения. 1989 г., том 25, N9.

17. Воскресенский Е.В., Черников П.Г. О сравнении и управляемости нелинейных систем. // Труды Средневолжского математического общества. 1998 г., том 1, N1, с. 37-76.

18. Воскресенский Е.В. Асимптотическое равновесие, периодические решения и прямой метод Ляпунова. // Дифференциальные уравнения. 1999 г., том 35, N6.

19. Воскресенский Е.В. Асимптотическая эквивалентность дифференциальных уравнений и асимптотическая устойчивость решений. // Вестник Мордовского университета, 1999, N3-4, с. 116-119.

20. Гийемин В., Стернберг С. Геометрические асимптотики. —1. М.: "Мир", 1981. — 504 с.

21. Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическаямеханика. — М.: "Мир", 1973. — 188 с.

22. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. — М.: "Наука", 1970. — 534 с.

23. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: "Наука", гл.ред.физ-мат.лит.,1967. — 472 с.

24. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: методы и приложения. Том первый. Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей. Изд. 4-е, испр. и доп. — М.: Эдиториал УРСС, 1998. — 336 с.

25. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: методы и приложения. Том второй. Геометрия и топология многообразий. Изд. 4-е, испр. и доп. — М.: Эдиториал УРСС, 1998. — 280 с.

26. Егоров Ю.В. О некоторых задачах теории оптимального управления. // Доклады Академии наук СССР. 1962 г., том 145, N4, с. 720-723.

27. Егоров Ю.В. Некоторые задачи оптимального управления.

28. Журнал вычислительной математики и математической физики. 1963 г., том 3, N5, с. 887-904.

29. Егоров Ю.В. Об оптимальном управлении в банаховом пространстве. // Успехи математических наук. 1963 г., том XVIII, выпуск 4(112), с. 211-213.

30. Егоров Ю.В. Оптимальное управление в банаховом пространстве. // Доклады Академии наук СССР. 1963 г., том 150, N2, с. 241-244.

31. Егоров Ю.В. Необходимые условия оптимальности управления в банаховых пространствах. // Математический сборник. 1964 г., том 64(106), N1, с. 79-101.

32. Егоров Ю.В. Линейные дифференциальные уравнения главного типа. — М.: "Наука". Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. — 360 с.

33. Зубов В.И. Устойчивость движения. Учебное пособие для унтов. — М.: "Высшая школа", 1973. — 271 с.

34. Зубов В.И. Лекции по теории управления. — М.: "Наука",гл.ред.физ-мат. лит.,1975. — 495 с.

35. Зубов В.И. Теория колебаний: Учеб. пособие для университетов. — М.: Высш. школа, 1979. — 400 с.

36. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. —

37. М.: "Наука", гл.ред.физ-мат. лит.,1984. — 752 с.

38. Кибенко A.B. Применение асимптотического равновесия к решению двухточечной задачи с параметром на полуоси. // Известия высших учебных заведений. Математика. 1991 г., N1.

39. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций ифункционального анализа. — М.: "Наука", гл.ред.физ-мат. лит.,1968. — 496 с.

40. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Томпервый. — М.-Л.: Государственное технико-теоретическое издательство, 1933. — 532 с.

41. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Томвторой. — М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1945. — 620 с.

42. Лионе Жан-Луи. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями в частных производных. — М.: "Мир", 1972.

43. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. — М.: "Наука", гл.ред.физ-мат.лит.,1975. — 480 с.

44. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функциональногоанализа. — М.: "Наука", гл.ред.физ-мат. лит.,1965. — 520 с.

45. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Диференциальные уравненияматематической физики: Учебник для студентов вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1996. — 368 с.

46. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений. — М.: "Наука". Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — 312 с.

47. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И.М. Виноградов. —

48. М.: "Советская Энциклопедия", 1979.

49. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. —1. М.: "Мир", 1977. — 504 с.

50. Миллионщиков В.М. Бэровские классы функций и показатели

51. Ляпунова. I. // Дифференциальные уравнения, т. 16, N8, 1980, с. 1408-1416.

52. Миллионщиков В.М. Бэровские классы функций и показатели

53. Ляпунова. II. // Дифференциальные уравнения, т. 16, N9, 1980, с. 1587-1598.

54. Миллионщиков В.М. Бэровские классы функций и показатели Ляпунова. III. // Дифференциальные уравнения, т. 16, N10, 1980, с. 1766-1785.

55. Миллионщиков В.М. Показатели Ляпунова семейства эндоморфизмов метризованного векторного расслоения. // Математические заметки, т. 38, N1, 1985, с. 92-109.

56. Миллионщиков В.М. Нормальные базисы семейства эндоморфизмов метризованного векторного расслоения. // Математические заметки, т. 38, N5, 1985, с. 691-708.

57. Миллионщиков В.М. Формулы для показателей Ляпунова семейства эндоморфизмов метризованного векторного расслоения. // Математические заметки, т. 39, N1, 1986, с. 2951.

58. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных.

59. Учебное пособие для вузов. — М.: "Высш. школа"., 1977. — 431 с.

60. Мищенко A.C. Векторные расслоения и их применения. — М.:

61. Наука". Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. — 208 с.

62. Никитин И.П. Метод сравнения и управляемость механических систем. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико- математических наук. Саранск, 1996.

63. Павлов А.Ю. Метод сравнения и управляемость нелинейныхсистем. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико- математических наук. Саранск, 1995. — 143 с.

64. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений./Под ред. АД. Мышкиса, O.A. Олей-ник. — М.: Изд-во МГУ, 1984. — 296 с.

65. Рашевский П.К. Геометрическая теория уравнений с частными производными. — М.-Л.: Гостехиздат, 1947. — 354 с.

66. Симметрии и законы сохранения уравнений математическойфизики. Бочаров A.B., Вербовецкий A.M., Виноградов A.M. и др. — М.: Изд-во "Факториал"., 1997. — 464 с.

67. Соболев С.Jl. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — М.: "Наука". Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — 336 с.

68. Соболев С.Л. Избранные вопросы теории функциональныхпространств и обобщенных функций. — М.: "Наука". Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989.

69. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. — М.: "Наука". Гл. ред. физ.-мат. лит., 1992.

70. Стеклов В.А. Основные задачи математической физики. —

71. М.: "Наука". Гл. ред. физ.-мат. лит., 1983. — 432 с.

72. Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы. — М.:1. Мир"., 1985. — 472 с.

73. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математическойфизики. — М.: "Наука". Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966. — 724 с.

74. Толстов Г.П. Ряды Фурье. 3-е изд. — М.: "Наука". Гл. ред.физ.-мат. лит., 1980. — 384 с.

75. Фоменко А.Т. Наглядная геометрия и топология: математические образы в реальном мире. — 2-е изд. — М.: Изд-во Моск. ун-та, Изд-во "ЧеРо"., 1998. — 416 с.

76. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

77. Перевод с англ. И.Х. Сабитова и Ю.В. Егорова. Под ред. В.М. Алексеева. М.: "Мир", 1970. — 720 с.

78. Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства. — М.: "Мир",1970. — 442 с.

79. Черников П.Г. О некоторых достаточных условиях асимптотической эквивалентности систем дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной. //123 —

80. Материалы Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" 20 22 декабря 1994 г., Саранск. — Саранск: Изд-во Мордовского университета, 1995, с. 244-257.

81. Voskresensky E.V. Asymptotic equivalence and homeomorphismof the families of endomorphism of the metrizable vector fibering. // Comment. Math. Univ. Car. 1989. Vol. 30, N4, p. 737-741.

82. Seizi Saito. Асимптотическая эквивалентность квазилинейныхобыкновенных дифференциальных уравнений. // Math. Japonika, 37, N3 (1992), p. 503-513.