автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Применение оптимизационных методов для решения одномерных обратных обратных задач геоэлектрики

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РСФСР ПО ДЕЛАМ НАУКИ И ШСШЕЙ ШКОЛЫ

НОВОСИБИРСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЛЕНИНСКОГО КОМСОМОЛА.

На правах рукописи

ИСКАКОВ Казизат Такуадияович

УДК 517.977.58+519.63

ПРИМЕНЕНИЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ГЕОЭЛЕКТРИКИ

05.13.16 - Применение вычислительной техники,математического и датирования и матеиагическах ыагодов в научных исследованиях (информатике ■>

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандвдь^а физико-матем^гаческшс наук

Новосибирск 1991

Работа выполнена в Инотитуте иатеыап ги Сибирского отделения Акадеыхж наук СССР. Карагандинском государе таенном уннвероитете ГКНО ЕаэССР

Научные руководители: член-корреспондент АН СССР профессор В.Г.Роыанов доктор физико-математических наук С.И.Кабашшш

Официальные ошонеь.ы: доктор фнзико-матема тичеаких наук

профессор А.М.Федотов доктор физико-математических наук Г.Н.Ефохин

Ведущее учреждение - Научно-исследовательский геофизический центр Отделения всемирное лаборатории в СССР

Защита состоится " £ " и* юл 1991 р0да в ч^оов на заседании специализированного Совета К063.^9.05 в Новосибирском государственном университете им.Ленинского комсомола (630090, г.НовосиС фск, ул.Пирогова, 2). С диссертацией.мокно ознакомиться в библиотеке НГУ.

Автореферат разослан " Ik - jj.(\3~ 1991

Ученый секретарь специализированного Совета, к.ф.- .н.

J^f

Н.Н.Сергеев-Альбов

• СВДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ '

'v. iv; -^Актуальность темы. При исследовании внутреннего отроения Земли большуг роль играют геофизические методы. Они осчованы ш> изучении на поверхности Земли (либо в скважине) характеристик какого-либо ¿лзического поля, которое несет информации о отрог -няи Земли. Таким нолем, в частности, является электромагнитное поле, компонент которого зависят от pacir эделеная электрической цроводшости. диэлектрический и магнитной проницаемости в Земле. Обратные задачи определения коэффициентов системы уравнений Максвелла, описывающие процесс распространения электромагнитных волн в спаде, являются вавной задачей алектроразвед-ки. Различные постановки и методы исоледо ания этих задач можно найти в рг^отах А.Н.Ихонова, М.М.Лаврентьева, A.C.Алексеева, В.Г.Романова, В.Й.Ддагрчева, М.С.Жданова, В.В.Спичак, Д.Н.Шяхсуварова, С.И.Кабанихниа и других авторса. Одним из наиболее распространенных методов решения обратных задач является ме^од подбора, при использовании которого, задава сь определенным (достаточно широким) классом х^эмолных структур среды, вычисляют соответствующие им физические поля и выбирают в качества решения задачи какую-либо "допустимую" среду, для которой вычисленное физическое поле >*алс отличается от наблюдаемого поля. В связи с этим в^г так интерес я применению оптимизационных "втодов для решения обрати!". задач. Идеи использования оптимизационных методов, в обратных и ьекорректных задачах восходят к работам Л.Н.Тихонова, Ж.Л.Лионоа, Г.И.Мар-чука, А.С.Алексеева, Б.И.Дмитриева. Метоц сопряавнных градиентов эффективно использовали при решгчии одномерной обратной динамической задачи сейсмикя ¡ЛйлЛщм. , £. Vkcurerd ,

Р. Latfy .

Использование "метода наименьших квадратов для решения обратной задачи для реальных сейсмических данных описывается также в padorax D. h, Соокв , % Lkkne-ideü , I/. W. Johnson , fi.H.tiogami. Оптимизационный метод и^лользован для решения обратной задачи электроразведки на постоянном токе да- вертикально-неоднородных сред в работе Ш.Няыбаа, В.А.Чеверды. Сояцание алгоритмов доя решения обратных 'коэффициентных" задач гео-электршш, а также составление шкета прикладных программ, является актуальной задачей отечественной и зарубежной практики.

Цель работы состоит в разработке алгоритмов и численной реализацга на ЭВМ (создание пакета прикладных прогргчм) обратных задач геоэлек- рики.

Научная новизна. Разработаны алгоритмы численного решения прямой и обратной одномерной задачи для квазистационарного приближения системы уравнения Максвелла, а также дяа полной сисизмы уравнений Максвелла. Рассмотрены алгоритмы ог~>еделения коэ<Зфящента л случае кусочно-постоянных и .^прерывных функций. Полученные алгоритмы реализованы для решешл одномерной задачи подповерхностной радиолокации в слоистой сг^де. Приведена алгоритмы опрел" яекия проводимости среды, диэлектрической проницаемости, а также алгоритм одновременного их определения.

Достоверность результатов исследований обоснована сравнением контрольных решений с точными, сравнением расчетов с результатам экспериментлльных измерений.

Практическая ценность. Результаты работы являются вкладом в развитие численных методов ^зшения обратных "коэффициентных" задач теоГчзики ч ьг гут быть иипользоваш» ш"'Чно-иссле/">-"ательскиш институтами, а также органиг цйяш, ' занимавшийся

геофизическими методами разведки полезных ископаемых. Методика построения алгоритмов численного решения рвссштршзаемыл в диссертации обратных задач, может быть применена в разработке алгоритмов дая решения обратных задач теории упругости, теория переноса, а также дл.. широкого класса обратных задач электроразведки.

Реализация работы. Вывода и рекомендации диссертации использовались при исследовании задач подповерхностной радиолокации в Казахском филиале БИРГ (г.Алма-Ата), а таюзз при создании пакета программ численного решения обратных задач в лаборатории волновых процессов ИМ СО АН СССР.

Апробаыя раооты. Основные результат» работы докладывались на всесоюзной конференции "Математические проблем« в геофизике" (1988г. - Новосибирск), на всесоюзной конференции "Условно-корректные задачи" (1989г. - Алма-Ата), "9 международном совеико-итальянском семинаре (1990г. - Новосибирск), а такге доложены на семинаре лаборатории волновых процессов под руководством члена-корреспондента АН СССР, профессора В.Г.Романова; на семинаре "Неклэссические уравнения математической физики", под руководством профессора В.Н.Братова, на семинаре института Геологии и Геофизики СО АН СССР, а такге на объединенном семинаре ИМ ЦКО АН КазССР и кафедры вычислительной математики Карагандинского государственного университета под руководством чг-на-корреспондента АН КазССР, профессора М.О Отельбаова п к.ф.-м.н. доцента Муздакбаева М.М.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 1 печатные работы.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа соо-

тоит из введения, трех глав, списка литературы из 95 наиме..о-

5

ваний а содергит 96 страниц ыашинопииюго текста, включаыцах в слбя 3 рисунка и 3 таблицы, а также из приложений (51 стра-" ниц и 37 рисунков). Общий объем диссертации включая приложение составляет 147 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дано изложение работ, близких к теме диссертации, обосновываете* актуальность выбора темы и кратко описывается содержание диссертации.

В первой глаьо рассматриваются одномерные прямые и обратные задачи для систем уравнений Максвелла в квазистационарном приближении. В §1.1 приводятся постановки прямых и обратных задач, ддя случаев источника типа бесконечного кабеля; т.е. }СГ- , где./7^), < функции опи-

сывающие распределение источника по осям х^ .

Прямая задача. Требуется определить функцию "я

соотношений:

(0.2)

-

- 1М\')Х,0 -/^'Й, в <ит, . ., (0.3)

■3 з

' 0<ит' (0"4)

Обратная задача. Определить , У, из соогнсшю--няй (0.1)-(0.О в с^ае, если о _ешеш1И прямой задачи известна дэлолшп-елт шЛорь^ция: - - '

- № , (0.5) 6

б^)- проводимость', fl- магнитная проницаемость, pyj*Fx образ Фурье функции р(2,) , А- параметр пре-

образования Фурье по' переменной , параметр £- считаем достаточно большим числом.

В случае разрывеj функции 6(Sg), необходимо требоввть выполнения с точках разрывов £3 , условий сопряжений:

LV^^-o, (0.6)

К= {,2,, . И - число разрывов.

В §1.2 рассматривается численное решение прямой задачи в случае кусочно-постоянной функции б{£3). По переменной t строится специальная неравномерная сетка на которой удается наилучшим образом аппроксимгповать функции (j,\i) . Уравнение (0.1) аппроксимируем однопараметрическим семейством однородных консервативных схем (Самарский A.A.), с соответотху-вдим аналогом краевых (0.3),(0.4) я начальных (0.2) условий. Неравномерную сетку по переменной Х3 выбираем таким образом, чтобы -очки разрыва функции ё(£3) были бы ее узлами. Чо второй части этого параграфа разработан алгоритм решения обратной задачи на основе методов теории оптимального управления: требуется определить правление б{23) из некоторого класса (öj , доставляющее минимум функционалу г

<7(6) - \ [VC 0, tn б) - fdtfdi. (0.7)

О

Для минимизации функционала (0.7) применяется метод сопряженных градиентов. Получена явная формула дня вычисления градиента:

(0.8)

3 3 3

2, Т

О

Здесь: - реаенЕе сопряяенвсм задачи с соответствующим

аналогом краевых и начальных условий, я также условий сопряжений. В §1.3 приводится алгоритм численного решения прямой задачи (0.1М0.4) в случае непрерывной функции б{£3). По изве^г-ной схеме прямая задача сведена к удобному для численной реализации виду:

Щ-Ъ-ат. 0<г<1, 0<-£<Г, (о.э)

и^ (0.10)

Щ(0Л2)'

ацесь: ^ С*(КН//10(*,)<

тт 0 1 лг

и, а, - образы функций V . б в новых переменных.

В §1.4 разработан алгоритм решения обратной задачи непрерывная функция) методами теории оптимального управления. Виракин£б для градиента функционала

( - дополнительная информация) - в этом случае шеет вид:

» в котором ¥ - есть решение сопряженной задачи, с соответствующим аналогом краевых и начальш : условий.

Во второй главе рассматриваются одномерные прямые и обратные задачи дла полной системы уравнений Максвелла с данными на характеристика. В §2.1 приводятся постановки прямой и обратной задачи сформулированные в работе В.Г.Романова, С.И.Кабани-хина. Так же как и в §1.1 формулируются постановки задач. В

8

прямой задача п §2-2 решатся задача Гуроаг

(олз)

с данными на характеристиках о условием па границе %>*0

{0Л5)

где:

о

6(2)-1/^1 рьС^Ш), У^Ь-гНкФ) ■¡^-р'Щш)

и,р - образ ^урье компоненты ^ а функции/?^). Принимая заданную дополнительную информация

0<^<Т% (0.16)

как гра;:ичное условие для задачи:

нетрудно определить краевое условие (0.15). Это позволяет ограничиться при численном решении как прямой так н обратной задали минимальной по размеру областью переменных Х3$ , а так-ае освооодиться от необходимости учета условгй сопряженной на прямой 0 . Сказанное выше легко реализуемо, пс кольку коэффициенты £>,{1,6 в области $5< 0 (воздух) - излестны. Функции (#), 5_ (X) определяются как решение задач

^ и) - + (о,19)

.^(О)-^)- Л//. (0.20)

Для численного решения эадач (0л6м0.18), (0лз)-(0.15) применяется явная схема. Данные на характеристиках (0.14), (0.18) определяются из (0.1Г)-(0.20) по формуле трапеций.

В ^2.3 приводится алгоритм решения обратной задачи определения функций а(2) , из соотношений (0.13)-(0.15) по известной дополнительной информации (0.16). Выражение для градиента функционала 3(4) ~ \ [У(0, в данном случае

о

несколько сложнее, поскольку приходится учитывать геометрию облает? А4(7>[(Г,(О,П ,г<^<2Г-я] ¿т-г г

О 2

(0.21)

¡Здесь, как и преада, - есть решение соответствующей

сопряженной задачи, Далее определяем коэффициент пи общей схеме метода сопряженных градиентов.

В §2.4- приводится с^ема обращения для решешш обратной задает, разработанная и исследованная в работах С.И.Кабанихи-ка. Произведен сравнительный анализ ;:зух методов: оптимизационного метода обращения. Анализ показывает, что для обратных задач об определении гладких коэффициентов, схема обращения, о достаточно высокой точностью определяет искомый коэффициент. В случае разрывных коэффициентов, либо при малых возмущениях нь искомый коэф^и'денг, схема обращения теряет устойчивость. В этих случая. ., как показывают расчеты, целесообразно приме •

нять оптимизационный метод.

' • ■ 10

Р третьей главе паосматриваются численные решения прямых и обратных задач подповерхностной радиолокации, разрабатываемых в лаборатории волновых процессов ИМ СО АН СССР, руководимой членом-корреспондентом АН СССР В.Г.Романовым. В §3.1 приводится физическая постановка прямоГ и обратной аадачи подповерхностной радиолокации, суцдость которой заключаете^ в следующем: на поверхности включ атся источник стороннего тока jcr имеющий по времени нолоколообразкый вид r{t) и длительность воздействия порядка двух наносекунд. Там же на поверхности в течение примерно 50 наносекунд измеряется отклик среда, по которому требуется определить б (или & , либо одновременно б, £ ) на глубине от 0 до 2.2 мэтра. Для данной физической гадачи рассматривается некоторый простейший вариант га тематической модели. Предполагаем, что зависят только о* глубины х3 , а источником стороннего токв является достаточно длинный кабель, расположенный по центру и протянутый вдоль дороаного полотна (по оси ОХ, ). Как и презде, обозначая через Fr £«] оператор преобразования Фурье по переменной X. , имеем:

параметр преобразования Фурье по гаременной -X, . Прямая задача состоит в определении решения обобщенной задачи Коши (0.22)—(0.23) при известных значениях £,¿1,6 . Пусть к лерь известна дополнительная информация о решении прямой

Щ,4 щ ~№з£з-%ги) -Р^У^ (0'22)

задачи

(0.24)

Тогда суть обратной задачи состоит в определении <5 (задача I), или & (задача II) по известной информации (0.24) из соотно шений (0.22)-(0.23). цри фиксированном значении параметра А,.

Задача "I заключается в определении одновременно '.соэффи-цвентов «5,6 из соотношений (0.22)-(0.23) по известным (0.24) при Я-=Яу,Л-2 . Б §3.2 производится переход к безразмерным переменным. Вводится козффициенг и записывается зада-

ча (0.22)-(0.23) в новых переменных . Из физических

соображений определяются размеры сеточной области по переменной "Г , и по переменной Х3 . В §3.3 приводятся численный алгоритм решения прямой задачи (0.22)-(0.23). В §3.4 в первой части I приводится алгоритм решения обратной задачи I: найти управление ¿Те {,0} , доставляющее минимум функционалу

Формула для вычисления градиента имеет вид: - .....

$ $ 9

где

х т

3 X4 о '

ф- решение соответствующей солрягенной задачи, к

Хз - точки разрывов кусочно-постоянной функции ,

Во второй части II, излагается алгоритм решения обратной задачи II. Приведем формулу вычисления градиента:

/(а*»- ^и (и>3,

5 3 3 /Г* '

3

ф - решение соответствующей сопряженной задачи, с аналогом краевых, начальных условий и условия сопряжений.

12

Б третьей части " приведен алгоритм решения обратной задачи Ш; найти управление V б) принадлежать анонествуУ состоящему из пар (£,б ) , доставляющих минимум функционалу: г Г

1=1 о

в котором два раз.та .лых параметра Фурье. В этом слу-

чае градиент имеет вид: З'^)** ) , в которой обозна-

чено:

В приложении приводятся результат численных расчетов. В первой части изложены результаты расчетов по алгоритмам, разработанным для одномерных прямых и обратных задач ч квазаста-ционарном приближении системы уравнений Максвелла. Расчеты -Приведены для модельных сред: слоистой и непрерывной. Для модели, состоящей из 4-х слоев приблипние голуч~-но за 21 итерацию, а в случае непрерывной - за 39 итераций.

Во второй части приведены результаты решения прямых и обратных задач с данными на характеристиках по алгоритмам 2-й главы. Такгз рассматриваются случаи слоитой среды и непрерывной. Для модели состоящей из 4-х слоев, приближение получено из 143 итерации, а в случае шгавно-мечящихся сред за 27 итераций. В этой же части произведен сравнительный aнaлиJ метода обращения разностной схемы и оптимазациокного метод?. Анализ

полученных результатов показывает, что в случав гладких коэффициентов целесообразнее применять метод обращения разностных схем. В случае разрывных коэффициентов схема обращения теряет устойчивость. В таких ситуациях целесообразнее применить оптимизационный метод.

В третьей части приводятся результаты расчетов прямых ь обратных задач подповерхностной радиолокации. Рассматриваются реальные модели среды. Оптимизационным методом восстанавливаются физические параметры (проводимость, диэлектрическая проницаемость) второго слоя. Приближение достигается за 7-12 итераций.

Основные результаты гчссертации опубликованы в следуыцих работах:

1. Искаков К.Т., Кебанихин С.И. Решение одномерной обратной задачи геоэлектрики методом сопряженных градиентов/ ИМ СО АН СССР. - Новосибирок, 1989. - 41 о. - Деп. в МШИ. 13.10.89. Я 6260-В89.

2. Кабанахин С.И., Искаков К.Т. Решение двумерной обратной задачи геоэлектрики в линеаризованной постановке методом сопрягенных градиентов// Условно-коррек. задачи мат.физики: Тезисы докладов/ Всесоюзной конференции по условно-корректным задачам шт.фззикн, Алма-Ата, 2-6 ,октября, 1989. Алма-Ата, 1990, с.52.

2. Искаков К.Т., Нибанихин С.И. Оптимизационные метода решения одномерной обратной задачи подповерхностной радиолокации/ ИМ СО АН СССР. - Новосибирск, 1991. - 37 с. - Дед. в ВИНИТИ 24.04.91, № 1735-В91.

4. Ыакснг К .Т., КаклйШ II. Ше ¡с(Ыы $ оге-скшш-шо£ Ыти ргоШт. о? §еоеШгЪ& Ц Ш шЬШ о?

ат^иупк упоЯъепи /Риолъап йгпаИ $ Т'.еог^гсаС аш£ кррШ Мес/ит-йь., Ш, Мш ¿М, Ш, /5,/>.,?-//.

В совместных заботах С1,2,3,411 К.Т.Искакову принадяавят разработка и реализащл численных алгоритмов, С.И.Кабанихину принадлежит постановка задач, в остальном вклад аоавтгюв иок-но определить как равный.

Автор выражает иокреннш благодарность своим научным ру- • ководителяы члену-корреспонденту АН СССР Владимиру Гавриловичу Романову и доктору физико-математических наук Сергею Игоревичу Кабанихину за постановки задач, а также за неоценимую помощь, постоянный интерес к работе и полезнее замечания.