автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Решение некоторых совмещенных обратных задач геофизики

РГВ 01

2 1 ЛВГ Ш

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ГЕОФИЗИКИ

На правах рукописи

Горюнов Эльдар Витальевич

УДК.

РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ СОВМЕЩЕННЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ГЕОФИЗИКИ

05.13.16. - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск-2000

Работа выполнена в Институте Вычислительной Математики и Математической Геофизики Сибирского Отделения Российской Академии Наук, г. Новосибирск

Научные руководители: академик РАН,

доктор физико-математических наук, профессор A.C. Алексеев

кандидат физико-математических наук, доцент A.B. Авдеев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Г.Н. Ерохин

доктор физико-математических наук, профессор A.A. Шваб

Ведущая организация: Институт Математики Сибирского Отделения Российской Академии Наук, г. Новосибирск

Защита диссертации состоится " ' " ц^окл. 2000 г. в часов на

заседании специализированного ученого совета Д 002.10.02 по присуждению ученой степени кандидата наук при Институте Вычислительной Математики и Математической Геофизики СО РАН, Новосибирск-90, пр. акад. Лаврентьева, 6

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале Отделения ГПНТБ (Новосибирск-90, пр. акад. Лаврентьева, 6).

Автореферат разослан " " iMsO-S^ 2000 г.

Ученый секретарь специализированного совета к.ф.-м.н.

В.П. Сорокин

<0J>/ е /сР, о

2

Диссертационная работа посвящена разработке инструментария и методологии вычислительного эксперимента в решении обратных задач геофизики. При постановке вычислительного эксперимента и при разработке соответствующего инструментария используются материалы натурных наблюдений и аналитических математических исследования. Методология вычислительного эксперимента опирается на современные информационные технологии, предусматривающие использование адекватных математических моделей изучаемых явлений, эффективных вычислительных алгоритмов и, что самое главное, на принципы создания проблемно-ориентированных программных комплексов, характеризующихся интегрированностью информационных, моделирующих и интерфейсных компонент, обеспечивающих, в свою очередь возможность эксплуатации систем в различных программных средах.

Содержание диссертационной работы определяется исследованиями автора, проведенными в 1994-1999 годах и связанными с изучением различных аспектов, возникающих при решении обратных задач геофизики в совмещенных постановках. Излагаемые в диссертации результаты, в силу универсальности математических моделей и методологических подходов могут быть применены в широком кругу задач физики Земли, однако основным объектом исследований и приложений являются волновые процессы в земной коре.

Актуальность темы и востребованность результатов работы связана со следующим рядом обстоятельств. Во-первых, в последние годы существенно возросли потребности в качественном определении структуры строения земной коры, что обусловлено возросшими потребностями, как в разработке новых месторождений полезных ископаемых, так и в более рациональном использовании уже существующих. Во-вторых, в анализ статистических данных о характере сейсмической активности за последние десятилетия выявляет тенденцию к существенному росту, что, учитывая все возрастающее количество объектов повышенной опасности (гидротехнические сооружения, химические заводы, атомные электростанции, хранилища отходов м др.), не может по вызывать вполне обусловленного беспокойстна. Противостоять данным тенденциям можно только основываясь на создании интегрированных систем,

Л

настроенных на специфические региональные особенности районов и предназначенных для прогнозирования катастроф путем постоянного мониторинга очаговых зон и отслеживания динамики изменения параметров, свидетельствующих о происходящих в земной коре изменениях.

Пиучиан новизна. Разработан инструментарий вычислительного эксперимента для решения основных задач, включающий систему математического моделирования различных волновых полей и алгоритмов разрешения соответствующих им обратных задач, установлены индивидуальные свойства математических моделей и алгоритмов, указаны области их применения в зависимости от параметров изучаемых процессов.

Практическая значимость работы определяется возможностью использования ее основных результатов при решении ряда конкрентных прикладных задач геофизики.

За последние годы геофизические методы исследования в геофизической разведке и в глобальной геофизике получили существенное развитие. Это произошло как за счет успехов в теории и численных методах решения прямых и обратных задач геофизики, так и благодаря возросшим возможностям вычислительной техники, прогрессу телекоммуникационных средств и цифровых автоматизированных методов обработки геофизических данных. Эти достижения дают возможность проводить интерпретацию данных путем интерактивного взаимодействия во всей совокупностью геофизических данных, полученных разными геофизическими методами для изучаемого района. Тем самым реализуется возможность изучать широкую гамму петрофизических свойств объекта с помощью различных геофизических методов.

Однако, поскольку данные, получаемые с помощью этих методов, являются результатами наблюдений, они осложнены погрешностями и могут оказаться несовместимыми с решаемой обратной задачей. В этом случае решение обратной задачи может не существовать в классе отыскиваемых моделей даже при сколь угодно сложном и произвольном распределении петрофизических свойств среды. С другой стороны, при практической интерпретации решение обратной задачи

ищется в классе достаточно простых моделей среды, которые в лучшем случае лишь приближенно описывают реальную ситуацию. В силу обеих этих причин находят, как правило, не точное решение обратной задачи, а так называемое квазирешение, т.е. такое распределение петрофизических свойств в пределах некоторого выбранного класса M моделей среды, которое в каком-либо смысле наилучшим образом соответствует исходным данным.

Обратные задачи, как правило, неустойчивы. Неустойчивость проявляется в известном принципе эквивалентности, монотонном уменьшении разрешающей способности в отношении деталей разреза при их удалении от возбудителя поля и точки его измерения, ограниченности глубины исследований и т.д. Устойчивость практически получаемых квазирешений обратных задач достигается применением различных средств регуляризации: сведением задачи к конечно параметрической с ограниченным диапазоном изменения каждого из параметров (например, палеточная интерпретация), введением стабилизирующих функционалов и т.д. Эффективность регуляризации всегда определяется тем, какую априорную информацию о возможном решении и о шумах, осложняющих исходные данные, и в каком объеме удается использовать при решении задачи.

Однако при изучении района с использованием различных геофизических методов появляется возможность использовать несколько геофизических полей в комплексе. Исследование обратных задач в совмещенных постановках, по всей видимости, началось с середины 50-х годов. Интерес к этой тематике со стороны геофизики был обусловлен появлением возможности с помощью ЭВМ совместно анализировать разнообразные геофизические поля при изучении строения Земли не только на качественном уровне, но и •на количественном. Так, в работах Голиздры Г.Я. в 1975 году были развиты алгоритмы совместной обработки результатов измерения гравитационного и сейсмического полей (в кинематическом приближении) с использованием альтернирующих процедур вычисления параметров слоисто-однородных моделей среды. Близок к этому и метод Лайнса Л., Шульца А., Трейтеля С. численного одновременного обращения нескольких методов с помощью оптимизации функционала суммарной квадратичной невязки между расчетными и измеренными полями Необходимо так же огмиппь работы Недялкова В.П., Новикова U.C., Тихонова А.Н.,

Алексеева A.C., Бубнова Б.А., Ерохина Г.Н., Лаврентьева М.М., Романова В.Г. имеющие существенное математическое и математико-методологическое значение. Выяснилось, что по своей сути обратные задачи в совмещенных постановках дают возможность более успешного решения, чем исследование каждой из обратных задач по отдельности с последующим учетом полученных данных для составления общей картины изучаемой среды. Данное свойство, которое было названо Алексеевым A.C. свойством дополнительности, (тогда же им было дано математическое определение совмещенной обратной задачи и показана ее неэквивалентность простой совокупности индивидуальных задач), состоит в том, что при неединственности и неустойчивости решений отдельных обратных геофизических задач решение совмещенной задачи может быть единственным и устойчивым. При этом отдельные методы как бы помогают процессу решения общей задачи своими информационными ресурсами.

При численном решении и исследовании динамических обратных задач в настоящее время использовались различные методы: метод Ньютона-Канторовича, метод линеаризации, динамический метод Гельфанда-Левитана, метод обращения разностной схемы. Однако в целом данные методы нельзя назвать особенно удовлетворительными, так как все методы требуют незашумленных начальных данных и отличаются низкой численной устойчивостью. К настоящему времени наиболее удовлетворительные результаты при численном решении обратных задач были получены методом минимизации целевого функционала невязки наблюденных и рассчитанных данных. Отметим здесь работы Л. Лайнеса, А. Шульца и С. Трейтеля, в которых было проведено численное исследование возможности восстановления строения среды по известным на поверхности данным волнового поля и поля тяготения. При этом предполагалось, что существует функциональная связь между скоростью и плотностью. Сравнивалось два подхода: минимизация комплексного функционала, учитывающего связь между параметрами среды и последовательная минимизация целевых функционалов для каждой задачи с пересчетом параметров.

Первоначально сложилось такое направление исследований, в котором рассматривались кусочно-однородные среды. Следует отметить, что, несмотря на

свою простоту, вертикально-неоднородная модель среды не только позволяет изучить основные особенности процессов формирования и распространения геофизических полей, но в ряде случаев и довольно хорошо описывает реальные геофизические условия (например, наличие слоистого осадочного чехла). В то же время, при ее использовании уже возникают основные математические проблемы, без решения которых невозможен переход к рассмотрению более реалистичных моделей (сред с поглощением, анизотропией, многомерно-неоднородных сред и т.д.).

В настоящей диссертации рассматривалась совмещенная обратная задача в следующей постановке: для т различных геофизических методов, описываемых уравнениями

(где х = у,(х) = {у]{х),у;(х).....X,''(*)} - вектор, описывающий

физические (плотность, электрическое сопротивление и т.д.) и геометрические характеристики среды (параметры поверхности раздела областей, заполненных средами с разными физическими параметрами)); имеем граничные условия на

поверхности области Л' и начальные данные (обычно нулевые): = , = 1.....

Требуется по начальной информации = 1 = 1-..,т,

где [/,"(*, 0 известны из измерений, определить вектор-функцию у,{х).

Необходимо отметить весьма важное свойство совмещенной обратной задачи- - она, вообще говоря, не эквивалентна совокупности т отдельных (самостоятельных) задач. В самом деле, если обладает единственностью решения каждая /-ая отдельная задача, то и совмещенная обратная задача обладает свойством единственности решения (состоящего нл совокупности решений у всех отдельных задач). Однако обра гное утверждение, вообще говоря, неверно -

если некоторые из геометрических характеристик области для разных методов совпадают, то у совмещенной обратной задачи оказывается меньше "степеней свободы", и ее решение может быть единственным, даже если в одной из отдельных задач функция у ¡(х) не может быть однозначно определена. Подобный же факт наблюдается и в том случае, если между различными физическими свойствами /,(х) рассматриваемой области имеются статистические связи типа корреляционных.

Структура и объем работы. Настоящая диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 93 страницу, в том числе иллюстрации на 18 страницах. Список литературы содержит 64 наименований.

Для проведения численных экспериментов было написано программное обеспечение, позволяющее в силу своей модульной структуры удобно настраиваться на особенности исследуемой модели, осуществлять гибкое управление расчетом и подробную визуализацию результатов. Программный комплекс создавался на языке Watcom С + + для работы в среде операционной системы Windows, однако в силу использования ANSI-стандартизованных инструкций может с минимальными изменениями транспортироваться и в среду UNIX, что значительно расширяет возможности для использования его на высокоскоростных многопроцессорных ЭВМ.

Содержание работы: Во введении обосновывается актуальность работы. Кратко изложены структура и содержание работы, перечислены результаты, выносимые на защиту.

В первой главе рассматривалась задача о восстановлении параметров среды при совместном использовании данных волнового и электромагнитного поля. При этом предполагалось, что существует функциональная связь между скоростью и электропроводностью, характер которой нам известен. В работах Изотовой Т.С., Полака Л.С., Рапопорта МБ. отмечается, что корреляционная связь между

скоростью с(г) и проводимостью £т(г) имеет место в пористых средах и наиболее надежно аппроксимируется зависимостью типа с{2)=а-Ь-\па(г), «>0,6>0, Коэффициенты а и Л являются константами и оцениваются эмпирически. Однако, при проведении численных экспериментов данные константы, входящие в корреляционную зависимость, задавались с некоторой погрешностью.

Распределения скорости и проводимости в изучаемой среде были выбраны характерными для реальных сред и такими, чтобы процесс минимизации целевых функционалов для отдельных задач (акустики и геоэлектрики) не приводил к удовлетворительному решению. Такая ситуация характерна для большого числа практических задач. Для решения задачи был использован комплексный функционал квадратичной невязки наблюденных и рассчитанных данных, содержащий ряд свободных параметров, подбор которых основывался на оценке "овражности" отдельных функционалов, проистекающей из числа обусловленности матрицы их вторых производных. Меняя в интерактивном режиме эти параметры, удалось преодолеть в интегральном функционале сильную "овражность" отдельных функционалов и добиться восстановления распределений скорости и проводимости в изучаемой среде с хорошей точностью.

Приведенные результаты позволяют надеяться на то, что комплексный подход к обработке данных мониторинга геофизического региона, полученных различными методами, даст возможность детализировать строение среды как в пределах чувствительности отдельного метода, так и для больших глубин, при условии, что из некоторых дополнительных источников (результаты обработки других геофизических наблюдений, соображений общего геологического характера и др.) априорно известны с определенной точностью коэффициенты корреляции между параметрами среды (возможно с некоторыми отклонениями от общего уровня).

Так же для простейшей модели строения среды было наглядно показано отрмсовкой линий уровня комплексного функционала, что использование комплексного функционала значительно улучшает процесс сходимости, даже при

выборе решающей модели, геометрические характеристики которой несколько отличаются от реального строения среды.

Во второй главе рассматривается одна из возможных постановок обратных задач, связанная с электродинамикой вибрирующих упругих сред. В данном случае взаимосвязь геофизических полей обуславливается на функциональном уровне. Движение упругой проводящей среды в электромагнитном поле описывается двумя Системами уравнений: упругости и электродинамики. Так же как и в магнитной гидродинамике, эти уравнения взаимозависимы вследствие дополнительных членов, учитывающих эффекты, связанные с движением упругой проводящей среды в электромагнитном-поле. Волны, возникающие в результате этого взаимодействия, обычно называют элёктромагнитоупругими. Первые попытки применить теорию электромагнитоупругости к исследованию процесса распространения волн в упругих проводящих средах были предприняты Л.Кноповым, П.Чедвиком, Дж.Данкином, А.Эрингеном, В.И.Кейлис-Бороком, А.С.Мбниным, В.И.Калининым, Г.Пария и Б.Г.Михайленко. Л.Кнопов исследовал влияние электромагнитных полей на распространение упругих волн и пришел к заключению, что в классе геофизических задач влияние электромагнитных эффектов на процесс распространения упругих волн пренебрежимо мало, по крайней мере, в случае не слишком больших электромагнитных возмущений.

В третьей главе рассматривался практический подход к исследованию совокупности вариаций различных геофизических параметров, характеризующих процессы развития геологических процессов, в частности процесса развития землетрясения. Данный подход основывается на комплексном характере процессов сейсмичности, что позволяет сейсмологам в различных сейсмоактивных регионах Земли использовать весь арсенал геофизических методов. Хорошо известно, что перед многими сильными землетрясениями появляются аномальные изменения множества различных геофизических полей, которые, по-видимому, допустимо рассматривать в качестве предвестников землетрясений. Однако, в большой совокупности таких предвестников всегда имеются противоречивые данные относительно возможности землетрясения и его параметров.

К)

Одним из существенных недостатков существующих до настоящего времени алгоритмов прогноза, основанных на изучении развития аномалий различной природы, является в основном статистический характер этих алгоритмов, практически не учитывающий количественных характеристик самого физического процесса подготовки землетрясения.

За последние десятилетия в мире накоплен значительный материал по комплексному изучению процесса сейсмичности. Большой вклад в эту проблематику был сделан рядом российских институтов (ВЦ СО РАН, ИГГ СО РАН, ИФЗ РАН и др.). В Китае, основываясь на изучении около 100 крупных землетрясений, было выявлено более 1000 аномалий, которые можно считать предвестниками землетрясений Они и составили информационную базу многодисциплинарных исследований. Была разработана процедура прогноза магнитуды места и времени землетрясений. Ряд реальных прогнозов был успешным. Однако китайские ученые отмечают, что пока эти работы находятся в начальной стадии и нуждаются в теоретическом развитии.

Одним из важнейших параметров, влияющих на различные геофизические поля и геологические свойства земной коры, является степень трещиноватости пород. В формирующемся очаге землетрясения возникает зона трещиноватости, некоторые динамические характеристики которой могут служить предвестниками надвигающегося землетрясения.

Известная формула Арчи связывает электропроводность с трещиноватостью по закону.

где А - некий весовой множитель, ст, обозначает электропроводность воды, ф -пористость (или трещиноватость), т - "индекс консолидации".

При исследованиях в основном предпринимались попытки оценить динамику изменения т в зависимости от времени. Так как данные не были приспособлены к восстановлению гсоэлсктрического разреза (н(мереная проводились не на профиле, а только между двумя точками), в качестве

отправной модели была выбрана самая простейшая. А именно, считалось, что все полупространство в изучаемом регионе однородно. Тем самым восстанавливались "усредненные" характеристики среды.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Пользуясь случаем, автор выражает благодарность академику Алексееву А.С., д.ф.-м.н. Сказке В В. и к.ф.-м.н. Авдееву А.В. за помощь и поддержку при выполнении работы.

Публикации. Результаты, полученные в процессе данной работы, были опубликованы в бюллетене Новосибирского Вычислительно Центра, препринтах ВЦ СО РАН, сборнике "Вычислительные Технологии", в журналах "Journal of Inverse and Ill-posed problems" и "Математическое моделирование" а также представлены на конференциях International Conference АМСА 95, International Conference on Inverse Problems devoted to the 60th annivesary of S.V. Goldin, International Congress T1EMEC97, Proceedings of the International Conference PRISM 97 и на 2-ой Всероссийской конференции по математическим проблемам экологии:

1. Авдеев А.В., Горюнов Э.В., Сказка В.В. The combined inverse problem of acoustics and geoelectrics: numerical approach. - Bulletin of Novosibirsk Computing Center, ser. Geophysics, issue 1, 1994

2 Авдеев A.B., Горюнов Э.В., Сказка B.B. Интерактивное программное обеспечение для решения совмещенной обратной задачи акустики и геоэлектрики - Сборник: "Вычислительные технологии", т. 4, № 10, ИВТ СО РАН, 1995

3. AvdeevA. V., Goruynov £ V., Skazka V. V. About the numerical solution of the inverse problems in combined statements. - Proceedings of Intern. Conference AMCA 95, Novosibirsk, 1995, p.264-272 (NCC Publ.)

4. Avdeev A.V., Goryimov KV. The inverse problem of acoustics: determination of source wavelet and velocity - Journal of Inverse and Ill-posed problems, 1996, Vol. 4, № 6, p.459-474

5. Avdeev A.V.. Goryimov EV, Priimenko V.I. Ал inverse problem of electromagnetoelasticity with unknown source of elastic oscillations. - Новосибирск, 1996, Препринт ВЦ Сиб. отделение РАН; № 1074, 24 с.

6. Avdeev А.К, Goruyttov E.V., Priimenko V.l. About one inverse problem for the equations of electromagnetoelasticity. - Proceedings of 5th session of Russian Acoustic Society "Problems of geoacoustics: methods and instruments", Moscow, 1996, pp. 134-139 (in English)

7. A/ekseev A.&, Avdeev A. V., Skazka V.V., Goniynov E.V. Development of an approach to using the data of monitoring of electromagnetic precursors of earthquakes at the territory of China. - Proceedings of International Conference on Inverse Problems devoted to the 60th annivesary of S.V.GoIdin, Novosibirsk, 1996, p.3-6 (in English)

8. Avdeev A.V., Goruynov E.V., Priimenko V.I. Solution of inverse problem of electromagnetoelasticity with unknown source. - Proceedings of International Conference on Inverse Problems devoted to the 60th annivesary of S.V.GoIdin, Novosibirsk, 1996, p.7-11 (in English)

9. Авдеев A.B., Горюнов Э.В., Прайменко В.И. Численное решение обратной задачи электромагнитоупругости с неизвестным источником упругих колебаний. - Математическое моделирование, 1997, т.б, N10, с54-6б

10. Alekseev A.S., Avdeev А. V., Goryimov Е. V., Skazka V. V. The new approach to using the data of electromagnetic monitoring of earthquakes at the territory of China. -Proceedings of the International Congress TIEMEC97, Kopenhagen, Denmark, p.345-354

11. Avdeev A.V., Priimmko V.l., Goryimov E.V., Zvyagin D.I. Direct and Inverse Problems for the system of the differential equations electromagnetoelasticity. -Proceedings of the International Conference PRISM'97, Nijmegen, the Netherlands, p. 1-8

12. Alekseev A.S., Avdeev A.V., Goiyunov ILV., Skazka V.V. Analysis of the data of electromagnetic monitoring of earthquakes at the territory of China: A new approach. - Новосибирск, 1998, Препринт ИВМиМГ Сиб. отделение РАН; № 1114, 20 с.

13. Avdeev АЛ'., Goryunov E.V., Soboleva O.N., Priimenko V.l. Numerical solution of some direct and inverse problems of electromagnetoelasticity - Journal of Inverse and Ill-posed problems, 1999, Vol. 7, № 5, p.453-462

Введение.

Глава 1. Оптимизационный подход к решению совмещенной обратной динамической задачи сейсмики для волнового уравнения и обратной задачи геоэлектрики в классе вертикально-неоднородных сред

1.1. Обратная задача сейсмики.

1.2. Обратная задача геоэлектрики.

1.3. Корреляция между электрическими и упругими свойствами среды. Совместное и отдельное обращение.

1.4. Численные эксперименты.

Глава 2. Оптимизационный подход к решению совмещенной обратной задачи геоэлектромагнитоупругости в классе вертикально-неоднородных сред

2.1. Основные уравнения.

2.2. Постановка обратной задачи.

2.3. Оптимизационный метод решения обратной задачи электромагнитоупругости (общий случай).

2.4. Модифицированная постановка обратной задачи (случай продольных волн).

2.5. Численные эксперименты (случай продольных волн).

Глава 3. Интерактивный подход для обработки данных мониторинга электромагнитных предвестников землетрясений на территории Китая

3.1. Описание задачи.

3.2. Предлагаемый подход к обработке данных электромагнитного мониторинга.

3.3. Описание интерактивного программного обеспечения.

Диссертационная работа посвящена разработке инструментария и методологии вычислительного эксперимента в решении обратных задач геофизики. При постановке вычислительного эксперимента и при разработке соответствующего инструментария используются материалы натурных наблюдений и аналитических математических исследований. Методология вычислительного эксперимента опирается на современные информационные технологии, предусматривающие использование адекватных математических моделей изучаемых явлений, эффективных вычислительных алгоритмов и, что самое главное, на принципы создания проблемно-ориентированных программных комплексов, характеризующихся интегрированностью информационных, моделирующих и интерфейсных компонент, обеспечивающих, в свою очередь возможность эксплуатации систем в различных программных средах.

Содержание диссертационной работы определяется исследованиями автора, проведенными в 1994-1999 годах и связанными с изучением различных аспектов, возникающих при решении обратных задач геофизики в совмещенных постановках. Излагаемые в диссертации результаты, в силу универсальности математических моделей и методологических подходов могут быть применены в широком кругу задач физики Земли, однако основным объектом исследований и приложений являются волновые процессы в земной коре.

Актуальность темы и востребованность результатов работы связана со следующим рядом обстоятельств. Во-первых, в последние годы существенно возросли потребности в качественном определении структуры строения земной коры, что обусловлено возросшими потребностями, как в разработке новых месторождений полезных ископаемых, так и в более рациональном использовании уже существующих. Во-вторых, в анализ статистических данных о характере сейсмической активности за последние десятилетия выявляет тенденцию к существенному росту, что, учитывая все возрастающее количество объектов повышенной опасности (гидротехнические сооружения, химические заводы, атомные электростанции, хранилища отходов и др.), не может не вызывать вполне обусловленного беспокойства. Противостоять данным тенденциям можно только основываясь на создании интегрированных систем, настроенных на специфические региональные особенности районов и предназначенных для прогнозирования катастроф путем постоянного мониторинга очаговых зон и отслеживания динамики изменения параметров, свидетельствующих о происходящих в земной коре изменениях.

Научная новизна заключается в разработке инструментария вычислительного эксперимента для решения основных задач, включающего систему математического моделирования различных волновых полей и алгоритмов разрешения соответствующих им обратных задач, установлении индивидуальных свойств математических моделей и алгоритмов, определении области их применения в зависимости от параметров изучаемых процессов.

Практическая значимость работы определяется возможностью использования ее основных результатов при решении ряда более сложных прикладных задач геофизики.

За последние годы геофизические методы исследования в геофизической разведке и в глобальной геофизике получили существенное развитие. Это произошло как за счет успехов в теории и численных методах решения прямых и обратных задач геофизики, так и благодаря возросшим возможностям вычислительной техники, прогрессу телекоммуникационных средств и цифровых автоматизированных методов обработки геофизических данных. Эти достижения дают возможность проводить интерпретацию данных путем интерактивного взаимодействия во всей совокупностью геофизических данных, полученных разными геофизическими методами для изучаемого района. Тем самым реализуется возможность изучать широкую гамму петрофизических свойств объекта с помощью различных геофизических методов.

Однако, поскольку данные, получаемые с помощью этих методов, являются результатами наблюдений, они осложнены погрешностями и могут оказаться несовместимыми с решаемой обратной задачей. В этом случае решение обратной задачи может не существовать в классе отыскиваемых моделей даже при сколь угодно сложном и произвольном распределении петрофизических свойств среды. С другой стороны, при практической интерпретации решение обратной задачи ищется в классе достаточно простых моделей среды, которые в лучшем случае лишь приближенно описывают реальную ситуацию. В силу обеих этих причин находят, как правило, не точное решение обратной задачи, а так называемое квазирешение, т.е. такое распределение петрофизических свойств в пределах некоторого выбранного класса М моделей среды, которое в каком-либо смысле наилучшим образом соответствует исходным данным [1].

Обратные задачи, как правило, неустойчивы. Неустойчивость проявляется в известном принципе эквивалентности, монотонном уменьшении разрешающей способности в отношении деталей разреза при их удалении от возбудителя поля и точки его измерения, ограниченности глубины исследований и т.д. Устойчивость практически получаемых квазирешений обратных задач достигается применением различных средств регуляризации: сведением задачи к конечно параметрической с ограниченным диапазоном изменения каждого из параметров (например, палеточная интерпретация), введением стабилизирующих функционалов и т.д. Эффективность регуляризации всегда определяется тем, какую априорную информацию о возможном решении и о шумах, осложняющих исходные данные, и в каком объеме удается использовать при решении задачи.

Однако при изучении района с использованием различных геофизических методов появляется возможность использовать несколько геофизических полей в комплексе. Исследование обратных задач в совмещенных постановках, по всей видимости, началось с середины 50-х годов. Интерес к этой тематике со стороны геофизики был обусловлен появлением возможности с помощью ЭВМ совместно анализировать разнообразные геофизические поля при изучении строения Земли не только на качественном уровне, но и на количественном. Так, в работе Голиздры Г.Я. [2] в 1975 году были развиты алгоритмы совместной обработки результатов измерения гравитационного и сейсмического полей (в кинематическом приближении) с использованием альтернирующих процедур вычисления параметров слоисто-однородных моделей среды. Близок к этому и метод Лайнса Л., Шульца А., Трейтеля С. [3] численного одновременного обращения нескольких методов с помощью оптимизации функционала суммарной квадратичной невязки между расчетными и измеренными полями. Необходимо так же отметить работы [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10] имеющие существенное математическое и математико-методологическое значение. Выяснилось, что по своей сути обратные задачи в совмещенных постановках дают возможность более успешного решения, чем исследование каждой из обратных задач по отдельности с последующим учетом полученных данных для составления общей картины изучаемой среды. Данное свойство, которое было названо Алексеевым A.C. в работе [11] свойством дополнительности (там же было дано математическое определение совмещенной обратной задачи и показана ее неэквивалентность простой совокупности индивидуальных задач), состоит в том, что при неединственности и неустойчивости решений отдельных обратных геофизических задач решение совмещенной задачи может быть единственным и устойчивым. При этом отдельные методы как бы помогают процессу решения общей задачи своими информационными ресурсами.

Фундаментальные вопросы корректности постановки обратных задач геофизики (существования, единственности и устойчивости их решения) в настоящее время изучены для отдельных методов: для гравитационного -Новиковым П.С. [12], для электрического - Тихоновым А.Н. [13], для потенциальных полей - Лаврентьевым М.М. [14], для нестационарных сейсмических полей - Алексеевым A.C. [15], для нестационарных геоэлектрических полей - Романовым В.Г. [16].

При численном решении и исследовании динамических обратных задач использовались различные методы: метод Ньютона-Канторовича, метод линеаризации, динамический метод Гельфанда-Левитана, метод обращения разностной схемы. Однако в целом данные методы нельзя назвать особенно удовлетворительными, так как все методы требуют незашумленных начальных данных и отличаются низкой численной устойчивостью. К настоящему времени наиболее удовлетворительные результаты при численном решении обратных задач были получены методом минимизации целевого функционала невязки наблюденных и рассчитанных данных. Отметим здесь работу [3], где было проведено численное исследование возможности восстановления строения среды по известным на поверхности данным волнового поля и поля тяготения. При этом предполагалось, что существует функциональная связь между скоростью и плотностью. Сравнивалось два подхода: минимизация комплексного функционала, учитывающего связь между параметрами среды и последовательная минимизация целевых функционалов для каждой задачи с пересчетом параметров.

Первоначально сложилось такое направление исследований, в котором рассматривались кусочно-однородные среды [17]. Следует отметить, что, несмотря на свою простоту, вертикально-неоднородная модель среды не только позволяет изучить основные особенности процессов формирования и распространения геофизических полей, но в ряде случаев и довольно хорошо описывает реальные геофизические условия (например, наличие слоистого осадочного чехла). В то же время, при ее использовании уже возникают основные математические проблемы, без решения которых невозможен переход к рассмотрению более реалистичных моделей (сред с поглощением, анизотропией, многомерно-неоднородных сред и т.д.).

В настоящей диссертации рассматривалась совмещенная обратная задача в следующей постановке: для т различных геофизических методов, описываемых уравнениями

ЦгМ=ДхЛ Ё = 1.т (где х = [х1,х2,хг], У 1{х)-\у\{х),71{х),---^/к,'{х)\ - вектор, описывающий физические (плотность, электрическое сопротивление и т.д.) и геометрические характеристики среды (параметры поверхности раздела областей, заполненных средами с разными физическими параметрами)); имеем граничные условия на поверхности области £ и начальные данные (обычно нулевые):

М |к0-О, 1 = 1.,т.

Требуется по начальной информации где £/°(х,/) известны из измерений, определить вектор-функцию /¡(х).

Необходимо отметить весьма важное свойство совмещенной обратной задачи [8] - она, вообще говоря, не эквивалентна совокупности т отдельных (самостоятельных) задач. В самом деле, если обладает единственностью решения каждая 7-ая отдельная задача, то и совмещенная обратная задача обладает свойством единственности решения (состоящего из совокупности решений у,(х) всех отдельных задач). Однако обратное утверждение, вообще говоря, неверно -если некоторые из геометрических характеристик области для разных методов совпадают, то у совмещенной обратной задачи оказывается меньше "степеней свободы", и ее решение может быть единственным, даже если в одной из отдельных задач функция не может быть однозначно определена.

Подобный же факт наблюдается и в том случае, если между различными физическими свойствами 7 ,{х) рассматриваемой области имеются статистические связи типа корреляционных [18].

Настоящая диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 93 страницу, в том числе иллюстрации на 18 страницах. Список литературы содержит 64 наименования.

Основные результаты данной работы: разработан подход к решению совмещенной обратной задачи сейсмики и геоэлектрики в классе вертикально-неоднородных сред на основе минимизации целевого функционала квадратичной невязки зарегистрированных и рассчитанных данных, причем форма импульса в падающей волне в задаче сейсмики предполагается неизвестной. Предложен эффективный способ реализации итерационного процесса минимизации комплексного целевого функционала с учетом овражности каждого из отдельных функционалов;

- реализована методика оптимизационного подхода к решению совмещенной обратной задачи геоэлектромагнитоупругости с одновременным восстановлением формы импульса в падающей волне. предложен и реализован подход к обработке данных мониторинга электромагнитных предвестников землетрясений с целью восстановления динамики по времени некоторых характеристик среды в регионах наблюдения, что дает возможность, несмотря на характер данных, приспособленных к статистическому анализу, оценивать некоторые параметры среды, связанные с развитием трещиноватости; разработаны пакеты программного обеспечения, позволяющие производить соответствующие расчеты как в пакетном, так и в интерактивном режимах, визуализировать волновые поля и восстанавливаемые параметры; варьировать по мере необходимости детали постановки прямых задач в зависимости от качества восстановления параметров.

Полученные результаты позволяют надеяться на то, что комплексный подход к обработке данных мониторинга геофизического региона, полученных различными методами, даст возможность детализировать строение среды как в пределах чувствительности отдельного метода, так и для больших глубин, при условии, что из некоторых дополнительных источников (результаты обработки других геофизических наблюдений, соображений общего геологического характера и др.) априорно известны коэффициенты корреляции между параметрами среды (возможно с некоторыми отклонениями от общего уровня).

Примененная в работе техника численного решения обратных задач на основе оптимизационного подхода с использованием значительного количества "пробных" прямых задач дает возможность в рамках единой программно-математической системы проводить вычислительные эксперименты с варьирующимися постановками прямых и обратных задач. Можно говорить о численном методе реализации замкнутой технологии математического моделирования геофизических полей, описывающихся заданной математической моделью. Такого типа технологии целесообразно реализовать для возможно более общих моделей сред (анизотропных, многомерных, пористых и т.д.).

Заключение.

1. Тихонов А.Н., АрсенинВ.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука,1974, с.223

2. Голиздра ЕЯ. О комплексной интерпретации сейсмических и гравитационныхполей. Докл. АНУкр. ССР, Сер. ВТ, т. 12, 1975, с.114-117

3. Lines L., Shultz A., Treitel S. Cooperative inversion of geophysical data. -Geophysics, № 53(1), 1988, p. 120-135

4. Недялков В.П. Комплексная интерпретация потенциальных полей. -Докл. БАН, т. 10, № б, 1957, с.67-70.

5. Недялков В.П. Комплексная интерпретация потенциальных полей. -Изв. АН СССР, Физика Земли, № 11, 1965, с.48-65

6. Алексеев А.С., Бубнов Б.А. Об одной совмещенной постановке обратных задачсейсмики и гравиметрии. Докл. АН СССР, т.251, № 5, 1981, с. 1086-1090

7. Алексеев А.С., Бубнов Б.А. Устойчивость решения обратной задачи комплексирования сейсмики и гравиметрии. Докл. АН СССР, т.275, № 2, 1984, с.332-335

8. Алексеев А. С. О постановке совмещенных обратных задач геофизики. -Условно-корректные задачи математической физики и анализа, Новосибирск, Наука, Сиб. отделение, 1992, с.7-19

9. Erokhin G.N. Optimithation methods in inverse problems of seismology exampleof real application. Inverse Modeling in Exploration Geophysies, Proc. of the 6th Intern. Mathematical Geophysics Seminar at the Free University of Berlin, 1988, pp. 261-275.

10. Alekseev A.S., Erokhin G.N. Cooperative approach to solving inverse problems in integral geophisics (theoretical aspects). Geophisical Data Inversion Methods and Application, Proceeding of the 7th International Seminar, Free University of Berlin, 1989

11. Alekseev A.S. On statement of combined inverse geophysics problems. Siberian journal of computer mathematics, Vol. 1, № 1, 1992, p.47-58

12. Новиков П.С. О единственности обратной задачи теории потенциала. -Докл. АН СССР, № 19, 1938, с. 120-135

13. Тихонов А.Н. Об определении электрических характеристик глубоких слоев земной коры. Докл. АН СССР, т. 2, 1950, с.295-298

14. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Наука, 1962

15. Алексеев А. С. Некоторые обратные задачи теории распространения волн. I, II-Изв. АН СССР, сер. Геофизика, № 11, 1962, с. 1514-1531

16. Романов В.Г. Обратные задачи распространения сейсмических и электромагнитных волн. Методы решения некорректных задач и их приложения, Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982, с.111-118

17. Ami К, Ричарде П. Количественная сейсмология. -М. Мир, 1983, 830с.

18. Лебедев Т.С., Корчин В.А., Савенков Б.Я и др. Петрофизические исследования при высоких (р - Т) условиях и их геофизические приложения, Киев, Наук. Думка, 1988

19. Изотова Т.С. Определение пластовых и средних скоростей по данным электрометрии скважин. Разведочная геофизика, № 50, 1972, с.77-86

20. Полак Л.С., Рапопорт М.Б. О связи между электрическими и упругими свойствами осадочных пород. Прикладная геофизика, № 15, 1956, с.135-139

21. Комплексирование методов разведочной геофизики: Справочник геофизика / Под ред. В.В. Бродового, А.А Никитина. -М., Недра, 1984, с.11-16

22. Shercliff J.A. A Textbook of Magnetohydrodynamics. Pergamon Press, 1965.

23. Knopoff L. The interaction between elastic wave motion and a magnetic field in electrical conductors. J. Geophysics Research, Vol. 60, 1955, p.441-456

24. Chadwick P. Elastic wave propagation in magnetic field. Proc. of the IXth Intern. Congr. Appl. Mech., Brussels, 1956, p. 143-153.

25. DunkinJ. W. and Eringen A.C. On the propagation of waves in an electromagnetic elastic solid. Intern. J. Eng. Sci., Vol.1, 1963, p.461-495

26. Кейлис-Борок В. И., Монин A.C. Магнитоупругие волны и граница земной коры. -Изв. АН СССР, серия "Геофизика", 1959, с.1529-1541

27. Калинин В.И. Влияние постоянного магнитного поля на распространение колебаний в проводящей среде. Дипломная работа, Московский акустический институт, 1954

28. Paria G. Magneto-elasticity and magneto-thermoelasticity. Adv. Appl. Mech., Vol.10, 1967, p.73-112

29. Alekseev A.S. A multidisciplinary mathematical model of combined foreshock for earthquake prediction research. Journal of Earthquake Prediction Research, Vol.2, №2, 1993, p. 137-150

30. Sobolev G.A. Earthquake prediction in the USSR: fundamental principles. -Journal of Earthquake Prediction, № 1, 1992, p.21-42

31. Mei Shirong Progress in earthquake prediction in China during the 80s. Journal of Earthquake Prediction, Vol. 1,№ 1, 1992, p.43-57

32. Zhang Zhaocheng, Zheng Dalin, Luo Yongsheng and Jia Qing Studies on earthquake precursors and the multidisciplinary earthquakes prediction in China Maindland. Journal of Earthquake Prediction Research, Vol.1, № 2, 1992, p. 191205

33. Ma Li, Chen Jianmin, Chen Oifu and Liu Guiping Features of precursor fields before and after the Datong-Yanggao earthquake swarm. Journal of Earthquake Prediction, Vol. 4, № 1, 1995, p. 1-30

34. Alekseev A.S. A multidisciplinary mathematical model of combined foreshock for earthquake prediction research. Journal of Earthquake Prediction Research, Vol. 2, №2, 1993, p.137-150.

35. Archie G.E. The electrical resistivity log as an aid in determining some reservoir characteristics. Trans. AJME, Vol. 146, 1942, p.54-62

36. Sen P.N., Scala C. and Cohen M.H. A self-similar model for sedimentary rocks with application to the dielectric constant of fused glass beads. Geophysics, Vol. 46, № 5, 1981, p.781-795

37. Алексеев А. С, Авдеев А.В., Фатьянов А.Г., Чеверда В.А. Волновые процессы в вертикально-неоднородных средах: прямые и обратные задачи. -Новосибирск, 1991, Препринт ВЦ СО АН СССР; № 924, 44 с.

38. McGillivray P.R., Oldenbourgh D.W. Methods for calculating Frechet derivatives and sensitivities for the non-linear inverse problems: a comparative study. -Geophysical Prospecting, 38(5), 1990, p.499-524

39. Воронина Т.А., Чеверда В.А. Модельная обратная задача вертикального сейсмического профилирования. Новосибирск, 1993, Препринт ВЦ СО РАН, № 1004

40. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., Наука, 1977, с. 73 6

41. Мастрюков А.Ф. Решение обратной задачи электроразведки методом оптимизации. Геология и геофизика, № 1, 1992, с. 138-143

42. Lorenzi A. and Romanov V.G. Identification of the electromagnetic coefficient connected with deformation currents. -Inverse Problems, Vol. 9, 1993, p.301-319

43. Карманов В.Г. Математическое программирование. М., Наука, 1986, 288с.

44. Фатьянов А.Г. Полуаналитический метод решения прямых динамических задач в слоистых средах. ДАН СССР, 310(2), 1990, с.323-327

45. Lorenzi A. and Priimenko VI. Identification problems related to electromagneto-elastic interactions. Novosibirsk, Preprint N 28, Sobolev Institute of Mathematics, SB RAS, 1996. p.33; J. of Inverse and Ill-Posed Problems, Vol. 4, № 2, 1996, p. 115-143

46. Romanov V.G. On an inverse problem for a coupled system of equations of electrodynamics and elasticity. J. of Inverse and Ill-Posed Problems, Vol. 3, № 4, 1995, p.321-332

47. Klimenko O.A. An algorithm for solving a problem in elasto-electrodynamics. -Computerized Tomography, Proc. of the Fourth Intern. Symp., Novosibirsk, August 10-14, 1993, (Ed. by M.M. Lavrent'ev.) Utrecht: VSP, 1995, p.283-288

48. Фатьянов А.Г., Михайленко Б.Г. Метод вычисления нестационарных волновых полей в неупругих слоистых неоднородных средах. ДАН СССР, Т.301, №4, 1988, с.834-839

49. Alekseev A.S., Avdeev A.V., Skazka V.V. Combined inverse problems of geophysics for the earthquake prediction studies. Proceedings of Intern. Congress ECMI 96, Kopenhagen, 1996, p.508-511

50. Авдеев A.B., Горюнов Э.В., Сказка В.В. The combined inverse problem of acoustics and geoelectrics: numerical approach. Bulletin of Novosibirsk Computing Center, ser. Geophysics, issue 1, 1994

51. Авдеев A.B., Горюнов Э.В., Сказка В.В. Интерактивное программное обеспечение для решения совмещенной обратной задачи акустики и геоэлектрики Сборник: "Вычислительные технологии", т. 4, № 10, ИВТ СО РАН, 1995

52. Avdeev A.V., Goruynov E.V., Skazka V.V. About the numerical solution of the inverse problems in combined statements. Proceedings of Intern. Conference AMCA 95, Novosibirsk, 1995, p.264-272 (NCC Publ.)

53. Avdeev A.V., Goryunov E.V., Priimenko V.I. An inverse problem of electromagnetoelasticity with unknown source of elastic oscillations. -Новосибирск, 1996, Препринт ВЦ Сиб. отделение РАН; № 1074, 24 с.

54. Avdeev А.V., Goryunov E.V. The inverse problem of acoustics: determination of source wavelet and velocity Journal of Inverse and Ill-posed problems, 1996, Vol. 4, № 6, p.459-474

55. Авдеев A.B., Горюнов Э.В., Прийменко В.И. Численное решение обратной задачи электромагнитоупругости с неизвестным источником упругих колебаний. Математическое моделирование, 1997, т.6, N10, с54-66

56. Alekseev A.S., Avdeev A.V., Goryunov E.V., Skazkci V.V. The new approach to using the data of electromagnetic monitoring of earthquakes at the territory of China. Proceedings of the International Congress TIEMEC 97, Kopenhagen, Denmark, p.345-354

57. Avdeev A.V., Priimenko V.l., Goryunov E.V., Zvyagin D.I. Direct and Inverse Problems for the system of the differential equations electromagnetoelasticity. -Proceedings of the International Conference PRISM'97, Nijmegen, the Netherlands, p. 1-8

58. Alekseev A.S., Avdeev A.V., Goryiinov E.V., Skazka V.V. Analysis of the data of electromagnetic monitoring of earthquakes at the territory of China: A new approach. Новосибирск, 1998, Препринт ИВМиМГ Сиб. отделение РАН; № 1114, 20 с.

59. Avdeev А. V., Goryunov E.V., Soboleva O.N., Priimenko VI. Numerical solution of some direct and inverse problems of electromagnetoelasticity Journal of Inverse and Ill-posed problems, 1999, Vol. 7, № 5, p.453-462