автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Регуляризация задач определения источников колебаний

На правах рукописи

Криворотько Ольга Игоревна

Регуляризация задач определения источников колебаний

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

13 МАЙ 2015

005568551

Новосибирск — 2015

005568551

Работа выполнена в Федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет» (Новосибирский государственный университет, НГУ).

Научный руководитель: Кабанихин Сергей Игоревич

член-корреспондент РАН, профессор

Официальные оппоненты: Ягола Анатолий Григорьевич

доктор физико-математических наук, профессор,

Кафедра математики физического факультета Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова» Чередниченко Виктор Григорьевич доктор физико-математических наук, профессор,

Кафедра инженерной математики Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Новосибирский государственный технический университет» Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт нефтегазовой геологии и геофизики им. A.A. Трофимука Сибирского отделения Российской академии наук (ИНГГ СО РАН)

Защита состоится 30 июня 2015 г. в 1500 часов на заседании диссертационного совета Д 003.061.02 на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук (ИВМиМГ СО РАН), где состоится защита по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 6, конференц-зал ИВМиМГ СО РАН, тел. (383)330-71-59.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, http: //www. sscc. ru.

Автореферат разослан 29 апреля 2015 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 003.061.02 на базе ИВМиМГ СО РАН, д.ф.-м.н.

Сорокин Сергей Борисови

Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена разработке и обоснованию численных методов регуляризации задач определения источников колебаний в задачах гидродинамики и термоакустики.

Актуальность темы обусловлена необходимостью совершенствования методов решения прямых и обратных задач прикладной математики. В диссертации рассмотрены четыре обратные и одна прямая задачи, связанные с актуальными проблемами гидродинамики и термоакустики. В первой постановке обратной задачи функция источника q(x,y) определяется по информации о решении волнового уравнения, измеренной на части времениподобной поверхности. Во второй обратной задаче используется дополнительная информация о распределении волнового поля в фиксированный момент времени в приближении мелкой воды. В третьей обратной задаче используется дополнительная информация о колебаниях волнового поля в фиксированных точках пространства. В четвертой (совмещенной) обратной задаче одновременно используются данные второй и третьей обратных задач для определения источника колебаний q(x,y). Пятая (прямая) задача состоит в построении эффективного численного алгоритма расчета амплитуды переднего фронта волны.

Первая задача имеет важное значение в онкологии при диагностике новообразований на ранних стадиях, поскольку коэффициенты q{x, у) поглощения энергии электромагнитного излучения пораженных и здоровых клеток существенно отличаются1. Актуальность остальных четырех задач заключается в необходимости оперативного определения возможных источников цунами q(x,y).

Тема диссертации соответствуют перечню критических технологий РФ2 (задача 1 - раздел «Биомедицинские и ветеринарные технологии», задачи 2-5 -раздел «Технологии предупреждения и ликвидации чрезвычайных ситуаций природного и техногенного характера»).

Объектом исследования являются обратные задачи определения функции q из соотношения Aq = /, где оператор А может быть ограниченным или компактным. Известно, что в случае компактного оператора А обратная задача Aq = / является некорректной (т.е. решения не существует, либо оно неединственно, либо отсутствует непрерывная зависимость от входных данных), а в случае ограниченного оператора А обратная задача для гиперболического урав-

1 R.A. Kruger, W.L. Riser Jr., D.R. Reienecke, G.A. Kruger. Application of thermoacoustic computed tomography to breast imaging. Preprint, Indiana University Medical Center, 2001.

2Об утверждении приоритетных направлении развития науки, технологий и техники в Российской Федерации и перечня критических технологий Российской Федерации: Указ Президента Рос. Федерации от 7 июля 2011 г. № 899 // Собр. законодательства Рос. Федерации. - 2011. - № 28. - Ст. 4168.

нения является слабо корректной. Для решения некорректных задач необходимо применять регуляризацию, зависящую от свойств оператора А.

Предметом исследования являются методы регуляризации, прямые и

оптимизационные (градиентные) численные методы решения обратных задач.

Целью данной работы является разработка и обоснование методов регуляризации задач определения источника возмущений для волнового уравнения по измерениям волнового поля на части границы области, в фиксированный момент времени и в конечном числе точек пространства, а также разработка численного алгоритма определения амплитуды переднего фронта волны цунами. Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Построение и исследование сингулярных чисел матриц, порожденных операторами рассматриваемых обратных задач.

2. Разработка прямого (на основе метода усеченного сингулярного разложения) и градиентного алгоритмов численного решения задачи определения источника возмущений по измерениям волнового поля на времениподобной поверхности и по совмещенным данным: в фиксированный момент времени и в конечном числе точек пространства - для волнового уравнения с постоянной и зависящей от одной пространственной переменной скоростью распространения волн.

3. Разработка эффективного алгоритма решения задачи определения амплитуды переднего фронта волны, порожденной точечным и линейным источниками, в приближении линейной теории мелкой воды.

Методы исследования. Результаты диссертации получены с применением методов теории гиперболических уравнений (энергетические оценки, теории характеристик), компактных операторов (сингулярное разложение), обобщенных функций (представление решения в виде регулярной и сингулярной частей), регуляризации (усеченное сингулярное разложение, итеративная регуляризация), теории обратных и некорректных задач (оценки степени некорректности, условной устойчивости), методов математического моделирования (конечно-разностные методы, метод конечных объемов). Для численного моделирования и программной реализации разработанных алгоритмов использовались методы прикладного программирования (параллельное программирование, оптимизация). Научная новизна работы состоит в следующем: впервые

• построен и проанализирован метод регуляризации обратной задачи термоакустики, основанный на использовании априорной информации об источнике (подход С.К. Годунова) и увеличении количества данных обратной задачи;

• проанализирован метод регуляризации задачи Дирихле для волнового уравнения, состоящий в разложении функций в конечные ряды Фурье по пространственной переменной, итерационной регуляризации и метода усеченного сингулярного разложения дискретного аналога оператора обратной задачи;

• предложена и обоснована новая совмещенная постановка задачи определения источника возмущений по двум типам измерений волнового поля: временипо-добные и дискретные данные - в линейном приближении мелкой воды;

• построен и обоснован алгоритм определения амплитуды переднего фронта волны, порожденной линейным источником, основанный на аналитическом представлении фундаментального решения системы линейных уравнений мелкой воды.

На защиту выносятся следующие результаты, соответствующие пунктам 2, 4, 5 паспорта специальности 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ по физико-математическим наукам:

1. Реализация и тестирование подхода С.К. Годунова и метода усеченного сингулярного разложения регуляризации задачи термоакустики в терминах коэффициентов Фурье (пункт 2 паспорта).

2. Создание комплекса программ численного определения начального условия в начально-краевой задаче для волнового уравнения с коэффициентами, зависящими от одной переменной, по измерениям распределения волнового поля одновременно по двум типам данных: в фиксированный момент времени и в конечном числе точек пространства - на основе градиентных методов и метода усеченного сингулярного разложения (пункты 4 и 5 паспорта).

3. Реализация и обоснование численного алгоритма определения амплитуды переднего фронта волны, порожденной линейным и точечным источниками, для уравнений мелкой воды в линейном приближении (пункты 2 и 4 паспорта).

Практическая значимость диссертационной работы заключается в возможности использования её результатов (методик, алгоритмов и комплексов программ) для развития новых технологий мониторинга и прогнозирования цунами и создания новых технологий обнаружения новообразований в мягких тканях организма человека на ранней стадии. Исследования были поддержаны грантами Российского фонда фундаментальных исследований № 09-01-00746-а, № 11-01-00773, № 12-01-00773-а, № 14-01-31006, междисциплинарными проектами СО РАН № 14 и № 122 и компаниями Baker Hughes и British Petroleum.

Достоверность изложенных в работе результатов основывается на строгом математическом описании, исследовании и проверки используемых численных алгоритмов, детальных методических расчетах известных тестовых задач, сопоставлении результатов численных расчетов с аналитическими аналогами и с результатами, полученными другими авторами.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на четырех семинарах: лаборатории дифференциальных уравнений и смежных вопросов анализа ИМ им. C.JI. Соболева СО РАН под руководством профессора B.C. Белоносова и профессора М.В. Фокина, «Избранные вопросы

математического анализа» ИМ им. C.JI. Соболева СО РАН под руководством Г.В. Демиденко, лаборатории дифференциальных уравнений ИГ им. М.А. Лаврентьева СО РАН под руководством А.П. Чупахина, геофизическом семинаре ИНГГ им. A.A. Трофимука СО РАН под руководством академика М.И. Эпова и профессора И.Н. Ельцова, а также на 33 всероссийских и международных научных конференциях. Список некоторых международных конференций: вторая - шестая Международная молодежная научная школа-конференция «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (Новосибирск, 2010-2013; Казахстан, Алматы, 2014), Международная конференция "International Conference on Inverse Problems" (Гонконг, 2011), восьмой Международный конгресс "International Society for Analysis, its Applications and Computation" (Москва, 2011), Международная конференция "The Joint International Conference on Human-Centered Computer Environments (НССЕ)" (Япония, Айзу, 2012), шестая и седьмая Международная конференция "Inverse Problems: Modeling and Simulation" (Турция, Анталия, 2012 и Фетия, 2014), Международная конференция, посвященная 80-летию со дня рождения М.М. Лаврентьева «Обратные и некорректные задачи математической физики» (Новосибирск, 2012), четвертая Международная конференция, посвященная 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л.Д. Кудрявцева (Москва, 2013), Международная конференция "Applied Inverse Problem Conference" (Корея, Тэджон, 2013), десятый Международный симпозиум "AOGS 10th Annual Meeting" (Австралия, Брисбен, 2013), Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева (Новосибирск, 2013), генеральная ассамблея "EGU General Assembly 2014" (Австрия, Вена, 2014), Международная конференция «Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики - 2014» (Новосибирск, 2014), Международная конференция "Inverse Problems - from Theory to Applications" (Великобритания, Бристоль, 2014).

Личный вклад автора. Основные научные результаты диссертационной работы получены автором самостоятельно. В работах, опубликованных в соавторстве, личный вклад автора заключается в обсуждении постановок задач и выбора методов их решения, в разработке численных алгоритмов, составлении и отладки компьютерных программ, проведении вычислительных экспериментов.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 53 печатных изданиях, из которых 3 статьи опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК [1-3], 3 - в международных журналах с импакт-фактором [4-6], опубликованы 2 монографии [7,8], 1 статья - в нерецензируемом издании [9], 8 -в трудах международных и всероссийских конференций [10-17], 1 программа -в свидетельствах и регистрации программ [18], 35 работ опубликовано в тезисах международных и всероссийских конференций.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, пяти приложений, списка рисунков, таблиц и литературы, опубликованной по теме диссертации и цитированной. Полный объем диссертации составляет 199 страниц текста с 73 рисунками и 5 таблицами. Список цитированной литературы включает 224 наименования.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, формулируются объекты и предметы исследования, излагается цель работы и ставятся задачи, которые необходимо решить для ее достижения, указаны методы их решения, сформулированы научная новизна и практическая значимость представляемой работы, дано ее краткое содержание. Формулируются основные положения, выносимые на защиту.

Задача Коши определения источника волновых колебаний имеет вид

= Vtt — div(c2(x)gTadrj) = q(x,y)g(t), r?|i=u = 0, r?,|f=o = 0. (1)

Здесь c(x) > 0 - скорость распространения волн, g(£) - функция действия источника q{x,y). В задаче (1) требуется определить функцию q(x,y) при заданных с(х), g(t) и некоторой дополнительной информации /. В случае если g(t)=S'(t), где S(t) - дельта-функция Дирака, задача (1) сводится к задаче определения начального условия:

Сг] = 0, T]\f=Q = q(x,y), m\t=o = 0. (2)

В работе исследуются задачи определения источников колебаний

• для линейных уравнений мелкой воды без учета воздействия внешних сил Кориолиса и донного трения (Дж.Дж. Стокер, 1959)

i]t + (Hu)j: + {Hv)y = 0, щ+дт]х = 0, vt+gr]u = 0. Здесь r](x,y,t) - отклонение водной поверхности от состояния покоя, Н(х) > 0 -функция рельефа дна, д = 9.8 м/с2 - гравитационная постоянная, uuv- компоненты скорости частиц жидкости вдоль осей хну, соответственно, с(х) — \JgH{x).

• для задачи термоакустики (A.C. Tarn, 1986)

c-2{x,y)iltt-V2r, = pßf, f = a(x,y)I(t)/(pcp), I{t)=I0S(t), у = (уьу2). Здесь т](х,у) - акустическое давление, T(f) - температура, I(t) - интенсивность излучения с амплитудой /о, а (г:,у) - коэффициент поглощения электромагнитного излучения (искомая функция), р - плотность, ß - коэффициент термического расширения, ср - удельная теплоемкость при постоянном давлении.

Любую из рассматриваемых обратных задач можно записать в виде (2) (в случае задачи термоакустики q(x,y) = а(х,у)01ц/ср) и в операторном виде Aq — /, где оператор А может быть ограниченным или компактным (некорректные задачи). Методы регуляризации некорректных задач развивались в работах А.Н. Тихонова, В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева с 1960-х годов и их учеников

A.Г. Яголы3, В.В. Васина, В.Г. Романова, А.Б. Бакушинского, В.П. Тананы, С.И. Кабанихина, A. Hasanov и других.

Первая глава посвящена применению сингулярного разложения к решению рассматриваемых обратных задач с матрицей А, порожденной линейным компактным оператором, а также изучению свойств s-чисел дискретных аналогов ограниченных операторов. В силу теоремы о сингулярном разложении матриц существуют ортогональные матрицы Umm и Vnn и набор неотрицательных чисел {<Tj}, что Атп = UmrnT,mnVjn. Здесь £mn = diag{fTb ... ,crp}, р = min(т,п), fj+i < - сингулярные числа матрицы А. Тогда задача Amnqn = fm переписывается в виде T,mnzn - Ujnmfm = ит, где zn — V^nqn, откуда Zj = Uj/crj, если aj / 0(j = 1,2,...,jj). При cTj = 0 полагаем z} = 0. В силу невозрастания последовательности {CTj} ошибки измерения могут возрастать, и при определении Zj может получиться большая погрешность. Во избежание накопления погрешности используется операция зануления малых сингулярных чисел, разработанная С.К. Годуновым для конечномерных пространств (матриц) и В.А. Чевердой и

B.И. Костиным для случая компактного оператора4. Регуляризация (§ 1.1) некорректной задачи Aq = fs заключается в согласованном обрыве ряда сингулярных чисел матрицы А с ошибкой в правой части \\fs — f\\ <6, а именно, г-решение (fr

2 2 г

задачи Aq = fs удовлетворяет неравенству 11 д„п — ql \ | < + S2 Yl ^ ■ Здесь г - ре-

j=1 j

шение уравнения =0, b= ЦдЦ, qm - нормальное псевдорешение

системы Aq = /. Показано, что номер обрыва ряда сингулярных чисел г согласуется с условием dr(A) > Ô, где dr(A) — cr\(A)/(crT(A) — crr+i(A)) - параметр зазора в сингулярном спектре. Впервые алгоритм усеченного сингулярного разложения для задачи определения источника цунами был реализован и обоснован Т.А. Ворониной в 1998 году5 для случая постоянного дна и усовершенствован в 2002-2014 годах на случай произвольного дна.

В § 1.2 приведены определения s-чисел вполне непрерывного и ограниченного операторов Л и их асимптотические и геометрические свойства, полученные в работах И.Ц. Гохберга и М.Г. Крейна6, К.И. Бабенко7, С.К. Го-

3А.Н. Тихонов, А.В. Гончарский, В.В. Степанов, А.Г. Ягола. Численные методы решения некорректных задач. Москва: Наука, 1990.

4V.A. Cheverda, V.I. Kostin. R-pseudoinverse for compact operator // Siberian Electronic Mathematical Reports. -2010.-V. 7. - P. 258-282.

5T.A. Voronina, V.A. Tcheverda. Reconstruction of tsunami initial form via level oscillation // Bulletin of the Novosibirsk Computer Center. Sériés Mathematical Modeling in Geophysics. - 1998. - V. 4. - P. 127-136.

6И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Москва: Наука, 1965.-С. 50-52.

7К.И. Бабенко. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. Москва: Наука, 1979. - Гл. 4, § 2.

дунова и В.M. Гордиенко8. В § 1.3 собраны некоторые примеры некорректных задач и сингулярные числа соответствующих операторов, полученные в работах С.К. Годунова, А.К. Louis, С.И. Кабанихина, М.А. Шишленина. Показана слабая корректность прямой задачи для волнового уравнения.

Вторая глава посвящена разработке, исследованию и численной реализации метода усеченного сингулярного разложения и градиентных алгоритмов определения источника колебаний в волновом уравнении по данным о колебаниях на частях границы области (обратная задача термоакустики).

В § 2.1 приведена физическая и математическая постановки задачи термоакустики (2), которая заключается в определении в области П := {(х,у) G R:! : х G (О,L),y¿ G (—L,L),í = 1,2} функции r¡(x,у) при с(х,у) = 1. В зависимости от количества измерений на части области 9Г2 формулируются три обратные задачи термоакустики, которые заключаются в определении функции q(x,у) в рассматриваемой области по измерениям акустического давления на частях границы:

rç(0,y,£)=/i(y,£)> T](L,y,t) = f2{y,t), Ti(x,L,y2,t) = h(x,y2,t). Обратная задача 1 (ОЗ 1): найти q(x,у) по функции /i(y,í). Обратная задача 2 (03 2): найти q(x,y) по функциям /i(y,£) и f2{y,t). Обратная задача 3 (ОЗ 3): найти q(x,у) по функциям /i(y,í), f2(y,t) и f:\{x,y2,t). Единственность восстановления функции q(x,у) по ее сферическим средним для ОЗ 1 показана Р. Курантом (1931). Единственность и устойчивость обратной задачи термоакустики исследованы в работах А.К. Louis (1998), О. Scherzer (2004), M. Klibanov (2007), G. Uhlmann (2009), В. Kaltenbacher(2011). Построен пример некорректности ОЗ 1 Vn{x,y,t) = ¿cos(\/2ny)cos(nt)(enx + е~"х) показывающий, что при n—ï оо и х G (0,е), где £ - сколь угодно малое число, решение ОЗ 1 qn(x,y) = ^cos(\/2пу)(епх+ е~пх) стремится к бесконечности с ростом п. С другой стороны, данные задачи /in(y,£) =77„(0,y,í) = fcos(\/2ny)cos(ní) стремятся к нулю при п —> оо, то есть нарушается условие непрерывной зависимости решения от начальных данных.

В § 2.2 приведены численные алгоритмы решения прямой задачи термоакустики, использующиеся в работе: метод численного интегрирования, метод Фурье и конечно-разностный подход. В § 2.3 проведен анализ некорректности обратной задачи термоакустики, основанный на анализе сингулярных чисел дискретных аналогов операторов обратных задач для коэффициентов Фурье (хЛ). После применения явной конечно-разностной схемы второго порядка аппроксимации обратные задачи можно записать в виде систем линейных алгебраических уравнений Л^ад = f¡k), А2(к)Я[к) = (f^yf^) и Afk)q[k) = (/^J^,/^) , N -размерность сеточного пространства. Сингулярные числа матриц I = 1,2,3,

*С К. Годунов, В.М. Гордиенко. Сингулярные числа краевой задачи на полупрямой для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений//Сибирский математический журнал. -1989. - Т. 30, №4.-С. 5-12.

при к= 1,5,15, представленные на рисунке 1, показывают, что с увеличением информации повышается устойчивость решения обратной задачи термоакустики.

оз 1

оз з

k=15

Рис. 1: Сингулярные числа матриц А)^ (слева) и Л^ (в центре) при к = 1,5.15. Справа приведены сингулярные числа матриц дискретных ОЗ 1, 2 и 3 при к = \Ъ.

В § 2.4 исследована ОЗ 1 в терминах коэффициентов Фурье функций q(k)(x) из Lr{О, L), к = 0, 1, ... , К. Разработан алгоритм численного решения обратных задач градиентными методами: простой итерации и сопряженных градиентов, суть которых заключается в определении приближенного решения, удовлетворяющего соотношению qkn+l = <?&„ — OinJ[{qkn), I = 1,2,3. Здесь параметр спуска ап = const б (0, ||A'fc)||-2) для метода простой итерации и ап = 0.5(7'(^71),рп)/||А^рп||2 для метода сопряженных градиентов, I = 1,2,3, Рп = J'i(QkJ+Pn-i II J'Mkn)II2/ II J'Mkn-x) II2- Получены явные выражения для градиентов J[{qkn), 1 = 1,2,3, функционалов, основанные на решении соответствующих сопряженных задач. Приведен анализ численных экспериментов. Показано, что при решении ОЗ 1 лучше восстанавливаются те неоднородности, которые находятся в относительной близости к границе х = 0. Добавление дополнительной информации улучшает разрешающую способность обратной задачи термоакустики.

В § 2.5 разработан алгоритм численного решения обратных задач термоакустики, основанный на методе сингулярного разложения и регуляризации системы Aq = / с прямоугольной матрицей А по методике С.К. Годунова, суть которой состоит в решении расширенной системы

Aaq:=

4 =

U-«)/ о

(1 -а) А аВ

Здесь а - параметр регуляризации, матрица В является дополнительной информацией о решении q (в работе использовались ограниченность первых и вторых производных). Если матрица В - невырожденная и соответствует решению, то

cond(Л„) < cond( Л), где сопс1(Л) - число обусловленности матрицы Л. Показано, что такая регуляризация позволяет улучшить устойчивость системы.

Третья глава посвящена разработке, исследованию, численной реализации и сравнительному анализу алгоритмов усеченного сингулярного разложения и метода простой итерации определения скорости вертикального изменения водной поверхности rjt(x,y,0) = q{x,y) в предположении, что в момент времени £ = Т измерена форма поверхности водоема f^2\x,y) = t](x,y,T) (обратная задача). Источник возмущения т](х, у, 0) = /'''(ж, у) расположен в области fi := (0,L) х (0,L). Задача определения функции r/(x,y,t) (а, значит, и q(x,y)) при заданных функциях f^(x,y), /12Цх,у) и однородных граничных условиях является задачей Дирихле для волнового уравнения, некорректность (неустойчивость9 и неединственность10) которой приведена в § 3.2. Данные f^l\x,y) и j^2\x,y) могут быть получены при помощи спутниковых измерений11.

В § ЗЛ приведены постановки прямой и обратной задач. Показана связь обратной задачи с задачей Дирихле для волнового уравнения. В § 3.3 проведено исследование обратной задачи в случае постоянных коэффициентов. Показано, что если для всех k,n & N и m параметр Т удовлетворяет условию Т /

Рк.п = \/к2+п2 и решение обратной задачи q существует, то оно единственно в

К N

C1(0,L). Здесь т](x,y,t) "r]k.n(t)sm(nirx / L)sm(kny / L). Приведен пример

к—In—l

неустойчивости обратной задачи в одномерном случае согласно методике Ада-мара. В § 3.4 проведен анализ обратной задачи в терминах коэффициентов Фурье

щ„ = (дН(х)тх)х-дк2(тг/Ь)2Н(х)щ, х е (0 ,L),t 6 (0,Т); m(x,0) = fl1\x)1 T}kt{x,0) = qk(x), m{0,t)=T}k{L,t) = 0; (3)

jlk(x,T)=fl2](x),

основанный на исследовании сингулярных чисел как оператора обратной задачи (3) AD(k): L2(0,L) ->• L2{0,L) в случае дН(х) = 1:

сп(А[}(к)) = |sin Рк.пТ\/рк.п, neN, (4)

так и дискретного аналога этого оператора в случае одномерного рельефа дна Н(х). Результаты численных расчетов согласуются с формулой (4), которая характеризует степень некорректности 0(1 /п) обратной задачи.

В § 3.5 получена явная формула градиента целевого функционала J(qk), основанная на решении соответствующей сопряженной начально-краевой задачи и используемая в численных расчетах для метода простой итерации. В § 3.6 про-

9В.К. Иванов, В.В. Васин, В.П. Танана. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. Москва: Наука, 1978. - С. 12-13.

I0D. Bourgin, R. Duffin. The Dirichlet problem for the vibrating string equation // Bulletin of the American Mathematical Society. - 1939. -V. 45. - R 851-858.

11E.A. Okal. Tsunami detection by satellite altimetry // Journal of Geophysical Research. - 1999. - V. 104, No. Bl. -P. 589-615.

анализированы результаты численных расчетов, полученные методом усеченного сингулярного разложения и градиентным методом с постоянным параметром спуска. Для зашумленных модельных данных, заданных с ошибкой е, номер обрыва быстро убывающих сингулярных чисел был согласован с е согласно §1.1. Показано, что оптимизация не внесла значимых изменений в r-решение, что согласуется с критерием Пикара разрешимости задачи Лдс/ = (Z'1',/'2'), так как r-решение есть нормальное псевдорешение при г -4- р (р - количество сингулярных чисел матрицы обратной задачи).

Четвертая глава посвящена разработке, исследованию и численной реализации вариационного подхода определения начального возмущения q(x,y) из (2) по дополнительным измерениям r¡(xm,ym,t) = fm{t), t € (Tm¡,Tm2), вертикального смещения свободной поверхности T](x,y,t) в конечном числе заданных точек (хт,у,п), т = 1,2,...,М (обратная задача 1), и численного алгоритма решения совмещенной обратной задачи, состоящей в определении функции q(x,y) одновременно по двум типам данных: fm(t), т = 1,2,...,Л/ и r¡(x,y,T) = f(x,y) (определение q(x,y) по данным второго типа будем называть обратной задачей 2). Измерения /,„(£) водной поверхности могут быть получены, например, с глубоководных станций DART (Deep-ocean Assessment and Reporting of Tsunamis)12.

В § 4.1 приведен краткий исторический обзор изучения свойств обратной задачи 1 (ОЗ 1) для уравнений мелкой воды (A.C. Запреев, В.А. Цецохо, В.Г. Романов, Т.А. Воронина, В.А. Чеверда и др.). В § 4.2 приведена постановка прямой и 03 1 A\q = F\ := (fi,--- ,/м)т■ Компактность оператора Ai показана в работе Т.А. Ворониной13. В § 4.3 предложен вариационный подход решения ОЗ 1, основанный на минимизации целевого функционала J\(q). Получена явная формула градиента J[{q) целевого функционала J\(q), опирающаяся на решение соответствующей сопряженной задачи, которая затем была использована в реализации метода сопряженных градиентов. В § 4.4 описана явная конечно-разностная консервативная схема второго порядка аппроксимации для численного решения прямой и сопряженной задач. Проведен анализ точности разностной схемы на аналитическом решении и получен уровень вычислительной ошибки. В § 4.5 исследована степень некорректности ОЗ 1, основанная на анализе сингулярных чисел дискретного аналога оператора ОЗ 1 на коэффициенты Фурье q^ {х) (см. Рисунок 2, красная линия) согласно подходу, разработанному Т.А. Ворониной

l2M.C. Eble, F.I. González. Deep-ocean bottom pressure measurements in the northeast Pacific // Journal of Atmospheric and Oceanic Technology. - 1991. - V. 8, No. 2. - P. 221-233.

13T.A. Воронина. Определение пространственного распределения источников колебаний по дистанционным измерениям в конечном числе точек // Сибирский журнал вычислительной математики. - 2004. - Т. 7, № 3,- С. 203-211.

и В.А. Чевердой в 1998 году14. В § 4.6 приведены и проанализированы результаты применимости метода сопряженных градиентов с учетом сглаживающих фильтров (Гильберта, Савицкого-Голея), протестировано условие остановки метода.

§ 4.7 посвящен исследованию, численной реализации и анализу результатов численных расчетов совмещенной обратной задачи для уравнений мелкой воды методом сопряженных градиентов. Получен явный вид градиента целевого функционала З^ц) + (1 —/3)Л((?)> где := \\Mq~ /||2 - целевой

функционал 03 2, ¡3 6 [0,1] - весовой параметр. На рисунке 3 представлены кривые относительных погрешностей Е^п^^-'у) = 11<7е — <7п ||/||<7е||> г = 1,2, для 03 1, 2 и Е{пщз;7) для совмещенной обратной задачи. Здесь цк - точное решение обратных задач, 7 - уровень погрешности в данных, п - номер итерации. Показано, что одновременное использование данных двух типов позволяет улучшить устойчивость и эффективность восстановления источника возмущений.

245 250 255 260 265 270 275

0.0001 9.5е-005 9Й-005 8.5е-005 8е-005 7.5е-005 7е-005

2 4 6 8 10 12 14

Число и! «раций

Рис. 3: Кривые относительных погрешностей ¿ = 1,2, для обратных задач 1, 2 и Е(пщдля совмещенной обратной задачи при /3 = 0.3 и ,13 = 0.7.

Рис. 2: Сингулярные числа матриц обратной задачи 1 (красная линия) и .4 совмещенной обратной задачи (синяя линия) при коэффициенте Фурье к = 5 в логарифмической шкале.

По результатам четвертой главы разработан комплекс программ численного решения обратных задач 1, 2 и совмещенной обратной задачи методами сопряженных градиентов и усеченного сингулярного разложения.

В пятой главе приведен алгоритм вычисления амплитуды переднего фронта волны у) в приближении мелкой воды, возбуждаемой кратковременным (импульсным) источником. Известно15, что в случае источника g(x,í), сосредоточенного в сравнительно небольшой области, «быстроизменяющаяся сигнальная» часть волнового поля сосредоточена в окрестности поверх-

14Т.А. Воронина. Применение г-решений для восстановления первоначальной формы волны цунами // Вычислительные методы и программирование. -2013. - Т. 14. - С. 166-174.

15Г.И. Петрашень. Распространение волновых полей сигнального типа в упругих сейсмических средах. СПб.: Изд-во С-Петерб. ун-та, 2000.

ности характеристического конуса, вершина которого расположена в центре источника. Другими словами, имеет место формула

= хеМ3. (5)

R3 R

Здесь v(x.,t) - фундаментальное решение системы уравнений распространения волн мелкой воды Cv = S(x — Хо,£ — ta), 5{х — х0,£ — io) - дельта-функция Дирака. Сказанное означает, что амплитуда переднего фронта S волны с достаточно хорошей точностью может быть приближена амплитудой соответствующей сингулярной составляющей фундаментального решения. В самом деле, формула (5) показывает, что чем ближе g(xo,i0) к ¿(xo,io), тем лучше v(x,t) приближает r/(xQ,iQ).

В настоящее время имеются различные способы решения этой задачи: формула Эри-Грина в одномерном случае S(x) = S(0)\/H(0)/Н(х), асимптотический метод определения амплитуды волнового фронта на основе применения обобщенной конструкции канонического оператора В.П. Маслова (С.Ю. Доброхотов, 2011), полное решение уравнений мелкой воды (2) (Л.Б. Чубаров, В.К. Гуся-ков, 2013). Однако, решение задачи в трехмерной области 1000 х 500 км2 требует больших вычислительных ресурсов (sup|<7| и 1 м). В.М. Бабич (1972) разработал лучевой метод, являющийся фундаментальной физической теорией. Предлагаемый в работе алгоритм позволяет сократить время и объем вычислений, переходя от решения задачи определения функции трех переменных ij(x, у, £) к задаче определения функции двух переменных S(x,y). Алгоритм основан на разложении фундаментального решения v(x,y,t) волнового уравнения на сингулярную S(x,y)6(t — T(x,y)) и регулярную v части (Ж. Адамар, 1978; В.Г. Романов, 1984).

В § 5.1 проанализированы методы решения возникающего в алгоритме уравнения эйконала т2 + т2 = (дН(х, у))-1, а именно схема С.К. Годунова (определение установившегося решения нестационарного уравнения т> + т2 + т2 = (gll(x,y))~l) и метод бихарактеристик. Приведены результаты численных расчетов, демонстрирующие преимущества каждого из методов: подход С.К. Годунова рассчитывает времена прихода первых волн т(х,у) от произвольного источника с заданной точностью, а метод бихарактеристик определяет т(х,у) от точечного источника с заданной точностью в 60 раз быстрее первого подхода.

В § 5.2 описан алгоритм определения амплитуды фронта волны в случае линейного источника q{x,y) = h(y)5(x), основная идея которого состоит в замене переменных (х,у) н-> (z,y), z = т(х,уУ6. Получена задача Коши определения амплитуды переднего фронта волны S^l\z,y):

+ + = 0, z,y>0,

= у> 0. W

16С.И. Кабанихин. Линейная регуляризация многомерных обратных задач для гиперболических уравнений. Препринт ин-та математики СО АН СССР, Т. 27, Новосибирск, 1988.

14

Здесь b(z,y) = \JgH{z,y). В одномерном случае из (6) следует формула Эри-Грина в явном виде, которую Эри получил из закона сохранения полной энергии в 1841 году: амплитуда фронта волны в океане растет с уменьшением глубины.

В § 5.3 приведены соотношения для определения амплитуды переднего фронта волны S^(x,y) в случае точечного источника q(x,y)=S(x,y)

и связь с амплитудой переднего фронта волны S(x,y), порожденной произвольным источником q(x, у): S(x,y) = ff q(Ç, ()S(jj)(S,, <) dÇdÇ. В § 5.4 приведены

R2

результаты численных расчетов, демонстрирующие работу алгоритма.

В заключении приведены основные результаты работы. В приложении А приведены вывод, основные свойства уравнений мелкой воды и четыре варианта граничных условий для системы уравнений мелкой воды (отражающая, впускающая, выпускающая и подвижная границы). В приложении В описаны свойства градиентных методов, используемых в работе. В приложении С изложен энергетический метод вывода формулы Эри-Грина определения амплитуды волны в одномерном случае. В приложении D приведены краткие сведения (формулы, теоремы) сингулярного разложения матриц, интегральных и компактных операторов. В приложении Е представлено свидетельство о регистрации программы для ЭВМ в Фонде алгоритмов и программ СО РАН.

Публикации автора по теме диссертации

1. С.И. Кабанихин, О.И. Кривороты®. Сингулярное разложение в задаче об источнике // Сибирский журнал вычислительной математики. 2012. Т. 15, №2. с. 101-107.

2. С.И. Кабанихин, О.И. Криворотько. Численный метод решения задачи Дирихле для волнового уравнения // Сибирский журнал индустриальной математики. 2012. Т. 15, № 4. С. 90-101.

3. С.И. Кабанихин, О.И. Криворотько, М.А. Шишленин. О численном решении обратной задачи термоакустики // Сибирский журнал вычислительной математики. 2013. Т. 6, № 1. с. 39^t4.

4. An optimization method in the Dirichlet problem for the wave equation / S. Kabanikhin, M. Bektemesov, D. Nurseitov et al.// Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2012. Vol. 20, no. 2. P. 193-211. Impact factor = 0.593.

5. Kabanikhin S., Krivorot'ko O. A numerical method for determining the amplitude of a wave edge in shallow water approximation // Applied Computational Mathematics. 2013. Vol. 12, no. 1. P. 91-96. Impact factor = 0.697.

6. A variational approach to reconstruction of an initial tsunami source perturbation / S. Kabanikhin, A. Hasanov, I. Marinin et al. // Applied Numerical Mathematics. 2014. Vol. 83. P. 22-37. Impact factor = 1.207.

7. С.И. Кабанихин, О.И. Криворотько, И.В. Маринин. Трехмерная ГИС анализа и оценки природных и техногенных катастроф. Москва: Palmarium Academic Publishing, 2013. с. 96.

8. С.И. Кабанихин, О.И. Криворотько. Сингулярное разложение в некорректных задачах. Усть-Каменогорск: ВКГТУ, 2014. с. 218.

9. Kabanikhin S., Krivorotko О. Combined inverse tsunami problem // Bulletin of the Novosibirsk Computing Center. Mathematical Modeling in Geohysics. 2013. Vol. 12. P. 45-58.

10. Метод оптимизации в задаче Дирихле для волнового уравнения / Кабанихин С.И., Бектеме-сов М.А., Нурсеитов Д.Б. [и др.] // Сибирские электронные математические известия. Труды второй международной молодежной научной школы-конференции «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач». Т. 8. Новосибирск: 2011. С. С254-С262.

11. С.И. Кабанихин, О.И. Криворотько, М.А. Шишленин. Оптимизационный метод решения обратной задачи термоакустики // Сибирские электронные математические известия. Труды второй международной молодежной научной школы-конференции «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач». Т. 8. Новосибирск: 2011. С. С263-С292.

12. 3D GIS Integrated Natural and Man-made Hazards Research and Information System / A. Marchuk, I. Marinin, V. Komarov et al. // Proceedings of the Joint International Conference on Human-Centered Computer Environments (HCCE 2012). Japan: Aizu-Wakamatsu, 2012. P. 225-229.

13. С.И. Кабанихин, О.И. Криворотько. Численное решение уравнения эйконала // Сибирские электронные математические известия. Труды четвертой международной молодежной научной школы-конференции «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач», Часть I. Т. 10. Новосибирск: 2013. с. С28-С34.

14. Kabanikhin S., Krivorotko О. Optimization approach to combined inverse tsunami problem // Proceedings of Inverse Problems from Theory to Applications Conference (IPTA 2014). Bristol, UK: IOP Publishing, 2014. P. 102-107.

15. Kabanikhin S.I., Marinin I.V., Krivorotko O.I. 3D Modeling of Integrated Natural and Man-made Hazards and Source Determination Problem // Сибирские электронные математические известия. Труды пятой международной молодежной научной школы-конференции «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач». Т. 11. Новосибирск: 2014. С. С76-С84.

16. Krivorotko O.I. Fast algorithm for calculation of the moving tsunami wave height // Сибирские электронные математические известия. Труды пятой международной молодежной научной школы-конференции «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач». Т. 11. Новосибирск: 2014. С. С115-С120.

17. Krivorotko O.I. Optimization approach to combined inverse tsunami problem // Сибирские электронные математические известия. Труды пятой международной молодежной научной школы-конференции «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач». Т. 11. Новосибирск: 2014. С. С121-С131.

18. О.И. Криворотько, С.И. Кабанихин. Численный метод решения совмещенной обратной задачи для уравнений мелкой воды. 2014/11/10. Фонд алгоритмов и программ СО РАН.

Подписано в печать 24.04.2015 г. Печать цифровая.

Бумага офсетная. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ № 317.

Отпечатано в типографии «Срочная полиграфия» ИП Малыгин A.M.

630090, Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 6/1, оф. 104 Тел. (383) 217-43-46, 8-913-922-19-17 16