автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Применение метода угловых суперпозиций к решению контактных задач упругости

На правах рукописи

САВИЧЕВ ИВАН СЕРГЕЕВИЧ

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА УГЛОВЫХ СУПЕРПОЗИЦИЙ К РЕШЕНИЮ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ УПРУГОСТИ

Специальность 05.13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003161554

Воронеж - 2007

003161554

Работа выполнена на кафедре высшей математики в ГОУ ВПО «Воронежская государственная технологическая академия».

Научный руководитель доктор физико-математических

наук, профессор

Чернышев Александр Данилович

Официальные оппоненты доктор физико-математических

наук, профессор

Спорыхин Анатолий Николаевич

Воронежский государственный университет

доктор физико-математических наук, профессор

Зеленев Вячеслав Михайлович

Воронежский государственный педагогический университет

Ведущая организация- ГОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»

Защита диссертации состоится 1 ноября 2007 г в 15.30 на заседании диссертационного совета Д 212.035.02 при ГОУ ВПО «Воронежская государственная технологическая академия» по адресу 394017, г Воронеж, проспект Революции, 19, конференц-зал.

Отзывы на автореферат (в двух экземплярах), заверенные гербовой печатью учреждения, просим направлять в адрес совета академии

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Воронежская государственная технологическая академия».

Автореферат размещен на официальном сайте ВГТА ^ ¿о

«28 » сентября 2007 1

Автореферат разослан «28» сентября 2007 года

Ученый секретарь __

диссертационного совета - ^ к т н , доц И А Хаустов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации обусловлена важностью технических приложений теории контактных взаимодействий, которая находит широкое применение в машиностроении, строительстве, электронике и других отраслях деятельности Несмотря на значительный прогресс в этой фундаментальной области знаний, на практике изучение реальной картины напряженно-деформируемого состояния в зоне контакта взаимодействующих тел потребовало провести исследования новых контактных задач и разработать новые методы расчета. Это, прежде всего, относится к контактным задачам с учетом сил трения в области контакта, в том числе с заранее неизвестной областью контакта

Математическая модель контактных краевых задач является достаточно сложной вследствие того, что граничные условия задаются разрывными и граница контакта заранее неизвестна Применение численных методов для решения подобных задач затрудняется тем, что проблематично расположить все центральные расчетные точки на границе тела. При этом возникает большая погрешность в окрестности точки разрыва граничных условий, которая влияет на всю расчетную схему Из аналитических методов решения краевых задач для ограниченных областей можно отметить методы Ритца, Бубнова-Галеркина, Рвачева (метод Л-функций), метод фундаментальных функций, метод теории функций комплексной переменной и др Однако, эти методы недостаточно приспособлены для решения подобных контактных задач и поэтому их не применяют В связи с этим в данной работе был использован метод угловых суперпозиций, разработанный профессором А Д Чернышевым и опубликованный в многочисленных статьях центральной печати Применение этого метода связано с выполнением некоторых простых математических вспомогательных действий В случае задач с гладкими граничными условиями для выпуклых криволинейных областей данным методом при небольшом объеме вычислительных затрат погрешность оказалась достаточно малой, порядка Ю-40, что существенно отличает этот метод от других известных методов Если же область в данной краевой задаче имеет вогнутые участки, то точность приближенного решения меньше, но остается сущест-

венно высокой По указанной причине при решении контактных задач был выбран метод угловых суперпозиций.

Для уменьшения погрешности в некоторых работах разрывные граничные условия заменяются на непрерывные с соответственной неизвестной функцией на границе. В случае контактных задач этой функцией является неизвестное распределение нормального напряжения на площадке контакта Данный подход был использован в настоящей работе, что позволило получить новые решения и дать глубокий анализ свойств при контактном взаимодействии тел На этом основании можно считать, что результаты являются важными и актуальными.

Работа выполнена в соответствии с планом госбюджетных НИР ВГТА «Дифференциальные и интегральные уравнения математических моделей естественных и прикладных наук» (№ г р 01 200 604099)

Цель работы. Развитие численно-аналитичекого метода угловых суперпозиций для решения контактных задач на примере задачи о сдавливании упругого стержня жесткими плитами, разработка математической модели предложенной задачи, которая позволит найти решение во всей области поперечного сечения рассматриваемого тела

Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

• получить новые точные граничные условия для перемещений на площадке контакта,

• разработать математическую модель сдавливания упругого стержня без учета и с учетом сил трения для возможности применения метода угловых суперпозиций;

• провести анализ погрешности при применении метода угловых суперпозиций;

• проанализировать изменения формы сдавливаемого стержня, полей напряжений и деформаций.

Методы исследования. Для достижения поставленной цели в работе использованы, метод угловых суперпозиций, методы математической физики и вычислительной математики, современные методы и технологии программирования

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем

• получено новое точное граничное условие, используемое в математической модели поставленных краевых задач;

• показана эффективность метода угловых суперпозиций при решении контактных задач,

• предложен двупараметрический закон распределения нормального напряжения на площадке контакта, коэффициенты которого находятся при выполнении граничных условий задачи;

• уточнен закон изменения максимального касательного напряжения при заглублении внутрь тела от площадки контакта,

• установлено, что при сдавливании цилиндра двумя жесткими плитами область цилиндра, примыкающая к площадке контакта - сжимается, а область цилиндра в окрестности его экватора — расширяется Эти области разделены определенным критическим углом

Практическое значение. Полученные результаты позволяют показать эффективность метода угловых суперпозиций, который может быть применен для решения упругих задач со сложными границами и граничными условиями Методом угловых суперпозиций можно решать контактные задачи с высокой точностью Полученные результаты позволяют определять поле напряжений и перемещений всюду в поперечном сечении стержня, а также размер площадки контакта сдавливаемого стержня (круглого и эллиптического сечения) Результаты по сдавливанию упругих стержней с учетом и без учета сил трения могут быть использованы в инженерной практики при рассмотрении стержневых конструкций

Апробация. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на отчетных научных конференциях Воронежской Государственной Технологической Академии (ВГТА) (г Воронеж, 2006, 2007 г.); Межвузовской научно-практической конференции «Современная Россия, исследование социально-экономических отношений» (г Воронеж, 2006 г), на семинарах кафедры высшей математики ВГТА в 2005-2007 гг, на Международной школе - семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» (г Воронеж, 2007 г)

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 5 печатных работ, из которых 3 статьи написаны лично автором. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[5]. список которых приведен в конце автореферата (из них работа [1] в периодическом издании, рекомендуемом ВАК РФ)

В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежит" [1] - разработка математической модели задачи о сдавливании упругого цилиндра двумя жесткими плитами с учетом сил трения[3] - решение уравнений модели и результаты вычислительного эксперимента.

Структура и объем работы. Материал диссертации изложен на 94 страницах, содержит 20 рисунков. Работа состоит из введения, трех глав (9 параграфов), заключения, списка литературы и приложений Библиография включает 126 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведены обзор литературы по контактным задачам и методам их решения, обосновывается актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследования, дана информация о научной новизне и практической значимости работы, дан краткий обзор содержания диссертации по главам

Первая глава посвящена применению метода угловых суперпозиций и исследованию абсолютной погрешности приближенного решения краевых задач с гладкими граничными условиями.

Приведены определяющие соотношения и постановка граничных условий в контактных задачах теории упругости

(Л + 2р)и„ + + Н^уу = 0

(Л + + (Я + ц)иху =0

Система (1) называется уравнениями равновесия Ламе. Эту систему необходимо дополнить граничными условиями, которые могут быть заданы различными способами

Пусть некоторая ограниченная область Л (упругое тело) имеет кусочно-гладкую границу Г На Г можно задать условия для перемещений

м1г = Мхп Уг)> Ч- =Мхг>Ут) (2)

где хГ, уг - координаты точек границы Г.

Можно задать граничные условия для напряжений

+ ]|г =ЛСхг,Уг),

[Wx + ]|г = Л(*г' >V) (3)

где (рх,о) - вектор единичной внешней нормали к Г в точке (•хЬ-Уг)-

В некоторых случаях граничные условия задаются кусочно и|г, = /(*г>Л-)» Иг, ^/гОЬ (*г».Уг)еГ1

[в'хА + ^у]- = ^(Х-' Уг) ' (4)

+ = > Л). О^ЛОеГ^ПГ,

В контактных задачах граничные условия задаются более сложным способом На одной части границы Г,, где тела контактируют, задается одна компонента вектора перемещений и еще одна компонента касательного напряжения

Иг, = Мхг>Уг)> аху\Г1 =/2(хг,Уг) (5)

В записи (5) для точки (хг,;уг) на Г, использована локальная система координат, когда ось у направлена по нормали, а ось х по касательной к Г,. На остальной части границы Г2 = Г \ Г, при этом задаются напряжения

[о'хА + <V ЛL = Я (*г > Л-) >

I- -41 2

+ °>уиу ]|Г2 = <Рг(*Г , У г) (6)

Чаще принимается граница Г, идеально гладкой и тогда условие (5) упрощается

Иг, = Мхг>Уг) » «vir, =0 (7)

Если же граница Г, принимается шероховатой, то используют закон Кулона для сухого трения и условия (5) будут иметь вид

v|Fi = /Ог > Ут) . = ~кауу\Г1 (8> где к - коэффициент сухого трения

В случае, когда граница Г2 является свободной от нагрузок, то условия (б) становятся однородными

[<ravx + <vJr2 = 0 » + аууиу]\Гг = 0 (9)

Излагаются основы используемого в диссертации метода угловых суперпозиций.

Суть метода будет изложена на примере решения упругой задачи при плоской деформации.

Пусть проекции вектора перемещений и и v зависят от у

и t

u = u(x,y,t), v = v(x,y,t) Два уравнения движения в перемещениях приводятся к виду (Л + 2р)и„ + (Л + p.)vxy + М"уу = РЩ

(Л+ 2v)vyy+(A + /i)uxy+pvxx=pvll , (10)

(«,v)eCl2)(fi),i>0 Решение системы (10) с двумя неизвестными и и v будем искать для ограниченной односвязной области упругого тела Q с границей Г, уравнение которой в параметрической форме имеет вид

х = х(<р), у = у(<р), 0<ср<Т (11)

где Т - период изменения параметра ср

Для определенности рассмотрим задачу об установившихся колебаниях и пусть граничные условия имеют вид.

и|г = и0 (ср) cos cot, v| = v0 {<p) cos cot (12)

Решение уравнений (10) с условиями (12) будем искать в форме

и = U(x, у) cos cot, v = V(x, у) cos cot (13) После подстановки (13) в (10) и (12) для нахождения U и V придем к следующей краевой задаче

(Л + 2 муи„ + (Я + M)Vv + !£]„ = -pco2U

W + lMW^+V + MW^+juVn^-pafV (М)

Щх,у)|г =и0{<р), V(x,y)\r =v0{<p) (15)

Для нахождения решения задачи (14) и (15) рассмотрим вспомогательную задачу Будем искать частное решение системы

(14), которое не зависит от переменной у, а зависит только от *

U = K(x) , V = L(x) , xe[0,d] (16) где d - максимальный диаметр области Q. Для функций К(х) и L(x) из (14) получим следующие два уравнения

К" + а2К = 0 , Ln + bzL = 0 , а2 = рю21(Л + 2м), Ь2=рю2/р (17)

Из (17) найдем частные решения:

jfiTj = cos ох , K2=smax , L^cosbx , L2 (18)

Введем новую переменную Е, .

£ = (jc-;eo)cos0 + (>> —j>0)sin# , О<0<тг (19) где (х0,у0) - координаты какой-нибудь точки внутри Q, в - угол между осью х и нормалью к прямой = const В частных решениях (18) формально заменим х на переменную S, из (19), тогда получим функции Кр{4) , ,{р-1,2) и представим решение

системы (14) следующими интегральными выражениями по параметру в •

ж ж

U(X, у)= jА{£, в) cos Ode - Jв) sin Ode

о о

л ж

V(x,y)= jA^,e)sm0d0 + jB^,0)cos9de (20)

о о

Здесь Ар(9) и Вр{в) (/> = 1,2) - пока неизвестные функции

параметра*? Если подставить U и V из (20) в (14), то в силу (17) -(19) получим тождества. При этом предполагаем, что все интегралы в (20) существуют и допускают дифференцирование по переменным х и у Таким образом остается выполнить граничные условия

(15) После подстановки (20) в граничные условия (15) получим

¡A(4r ,9)eos 9d9 - j,<9)sin 9d9 = w0 (<p)

o o

к ж

J"A(gT, 9) sin в d9 + JBigj., в) eos Bdd = v0(<p) (21)

o o

¿ir=(xr-x0)cos9 + (yr -y0)sin<9 Покажем, что каждое интегральное уравнение в (21) распадается на два и потому система (21) фактически эквивалентна четырем интегральным уравнениям С этой целью через точку (х0,^0) проведем прямую Е под углом в к оси х. Предположим, что форма границы Г односвязной области Q такая и расположение точки (х0,у0) внутри Q такое, что для V0e[O,л] прямая Е будет

пересекать только в двух точках £>+ и D'. Значение Q-п исключается, так как прямая Е при в = л будет совпадать с прямой при 9 = 0. Прямую Е при 9 = 0 обозначим через Е0. Эта прямая параллельна оси х При изменении угла в в пределах [0,л) все точки на Г будут расположены над прямой £0, а все вторые точки D~ - ниже прямой Е0. Для любого угла О все прямые % = 0 перпендикулярны к прямым Е и потому в точках D+ и D~ будут выполняться строгие неравенства ¿;(D+)> 0 и ¿;(D~)< 0. Поэтому целесообразно обозначить через Г+ и Г" части границы Г, которые расположены выше и ниже прямой Е0 соответственно. В связи с этим при изменении угла 9 е (0, л) точки пересечения прямой Е с Г будут выписывать два независимых участка границы Г+ и Г~ и граничные условия (21) надо выполнять как на Г+, так и на Г" в отдельности.

Для нахождения четырех функций Ар(в) и Вр(в) из (21) получаем систему четырех интегральных уравнений Фредгольма первого рода, где ядрами являются четыре частных решения К (<£) и

Lp(4). Если эти ядра не вырожденные, что и имеет место для случая (1В), то система (21) имеет единственное решение Дальнейшее решение системы (21) можно получать либо приближенными мето-

дами с использованием теории собственных функций ядер Кр (¿;) и либо теории вычетов функций комплексной переменной,

либо приближенными численными методами Рассмотрим следующий численный метод

Через полюс >>0) внутри О. под углами 91 коси х проведем прямые Е, до пересечения с границей Г, где О < 91 < ж (г -1,2 п) Каждая прямая Е, пересекает границу Г только в двух точках и О' Их координаты определяются из (11) по формулам х] = х(<р]), у1 =у(<р]) 0 = 1,2, 2п) Положим (р-(р} во всех выражениях интегральных равенств (21) и каждый

интеграл в (20) и (21) заменим интегральными суммами по параметру в. Тогда п значениям параметра 9 будут соответствовать 2п значений параметра ср, поэтому получим следующую замкнутую линейную алгебраическую систему относительно 4п неизвестных Ар{в) и Вр{9) (р = 1,2).

¿[Л«И)со Щ-В(4УЛ)5 т0,]А0, = ий{<р])

(22)

1=1

<5у=(^-хо)с°5&.+(.У-Уо)*тв, > 0 = 1»2 «, 7 = 1,2, ,2л) Здесь в, - те значения углового параметра в на интервале [01г91+1], которым соответствуют средние значения подынтегральных функций в (21). Приближенно будем считать, что значения в1 одинаковые для всех четырех интегралов в (21) Обычно за 91 берут либо одну из границ этого интервала, либо его середину После нахождения Ар{9,) и Вр{виз системы (22) их следует подставить

в (20), где каждый интеграл надо предварительно представить интегральной суммой точно также, как это было сделано при составлении системы (22) из (21)

Рассматривается вспомогательная задача о нахождении граничных функций для криволинейных упругих тел при сложных граничных условиях.

Строится математическая модель задачи о сдавливании цилиндра двумя жесткими плитами и излагаются различные схемы применения метода угловых суперпозиций к данной задаче.

В данном параграфе освящены вопросы связанные с выбором математической модели, которая позволила бы решить рассматриваемую задачу с наименьшей погрешностью. Обсуждается выбор наиболее удачных схем, шага разбиения.

Пусть упругий цилиндр сдавливается двумя жесткими плитами. Данную контактную задачу о разрывными граничными условиями будем исследовать в рамках теории плоских малых деформаций. Решение строится в декартовой системе координат. Для простоты на площадке контакта предполагается отсутствие трения. Задача с

Рис. 1

Запишем уравнения равновесия упругой среды в перемещениях в форме Ламе:

Й + + Г РК + * о 2

(Л + 2р)У}. + (Л + ¡1)иху + М¥хх = 0 ^

В данной задаче о контактном деформировании на границе цилиндра задаются условия смешанного типа. Будем считать, что процесс сжатия упругого цилиндра радиуса К двумя жесткими па-

раллельными плитами происходит вследствие их смещения навстречу друг другу вдоль оси ОУ на величину 2к Верхняя плита перемещается вдоль оси ОУ вниз на И, а нижняя на к вверх. При этом возникают плоские площадки контакта заранее неизвестной длины Приближенное решение будем искать в переменных Ла-гранжа, так как в подобном случае образ деформированного цилиндра остается неизменным - круговым цилиндром Это обстоятельство создает определенные удобства при выполнении граничных условий при выполнении граничных условий в процессе решения задачи

Пусть в лагранжевых переменных площадкам контакта соответ-

и и и

ствуют дуги ВС и АО, а свободной поверхности - дуги АВ и СО (Рис 1) На свободной поверхности нагрузка равна нулю На поверхности контакта касательное напряжение равно нулю и задаются перемещения точек границы в вертикальном направлении по оси ОУ, которые определяются через величину активного смещения

и

плит Это означает, что на дугах АВ и СО должны выполняться граничные условия

и=0 , (сх^+ст^).=0 (24)

* * АВ,СО " ' " АВСй

и

На площадках контакта ВС и ОА отсутствует трение, поэтому касательное напряжение на них равно нулю

и=0 (25)

Второе граничное условие на площадке контакта получим из рассмотрения перемещений граничных точек Пусть некоторая точ-

о

ка М с лагранжевыми координатами (х0,_у0) на дуге ВС после сжатия цилиндра попадает на плоскую площадку контакта и будет иметь некоторые эйлеровы координаты [х, у) Тогда проекция вектора перемещений (17,V) на ось ОУ будет равна = у-у0. Так

как у- Я-1г и у0 = ^К2 - х1 , то отсюда получаем второе граничное условие в виде равенства

V\Alj=-R + h + jR2-x20 , x0e[AD]

В последующих вычислениях индекс 0 в лагранжевых координатах будем опускать и граничное условие на перемещение V принимает форму.

V\Sc=R-h-^R2-x2 , х е[ВС]

V\b =JR2-x2 + h-R, х е [AD] (26)

Для возможности использования метода угловых суперпозиций в краевой задаче (23) - (26) заменим систему (23) на следующие уравнения с малым параметром е :

(Л + 2 м)и„ + (Л + м)Ку + juU№ = -e2U

(Л + 2m)V„ +(Л + M)UV + fiV„ = -s2V (27)

Замена системы дифференциальных уравнений (23) на (27) необходима, так как в случае использования системы (23) метод угловых суперпозиций вырождается Величину s в дальнейших вычислениях будем принимать равной Ю-4 - Ю~10, что соответствует погрешности вследствие искусственного введения е в систему (27), порядка КГ8- КГ20.

Итак, вместо (23) - (26) рассмотрим задачу (24) - (27). Решение системы (27) было получено в (20) и представлено интегральными выражениями по параметру в:

я ж

U(x, у) = ¡A(g, в) cos 6d9 - в) sin Ode

о о

ж 1С

V(x, у) = ¡A(4, в) sin Odd + Jв) cos GdO (28)

о о

А(£,в) = А1(в)К1(£) + А2(в)К2(£) , B({,e) = B¿0)Ll(í) + B2(e)L2tf)

Перемещения U и V удовлетворяют системе (27) при любых Ар(6) и Вр{0) {р = 1,2), которые пока считаем неизвестными

функциями параметра в Их будем находить при выполнении граничных условий задачи (24) - (26) Решение (28) выражено через переменную £, которая имеет вид

4-{x-xrj)cOs9 + (y~yQ)sm9 , 0<9<я Здесь (,ti::i , >'0) - некоторый полюс, который возьмем в центре цилиндра (0,0). Разобьем угловой сектор [0,л") на п равных частей с равномерным шагом Дс> = к ! п лучами Е., проведенными под углами в1 к оси х, где Й. =Д6|(г-1) : (;=]..«). Каждый интеграл в

(28) заменим интегральными суммами по параметру 9

= (0,)cos+ A7(9)5ma4])cos§¡ -

м

~(Б, (б?) cos Ь^ + В2 ф,) sin )sin §¡ ]

п

vYjSA Ф*>cos + К,,1Д + (29)

м

+(B, (t5)costó, + (0,■ )sin)eos6) Zi-={r-г0)п;={х~х0)ъоЩл {у-y^ine, , í ~ \,л При этом предполагаем, что все интегралы в (28) существуют и Л опускают дифференцирование по переменным х и у. Остается выполнить граничные условия (24) - (26). Решение задачи б виде

(29) содержит An неизвестных:

А} (9.), А2(9), Вх Ш!), В2(6:), ;' = !,...,«, которые будем находить да условий (24) - (26).

Вторая глава посвящена Сжатию упрут'ото цилиндра двумя жесткими плитами.

Предлагается заменить разрывные граничные условия (24)- (26) на непрерывные:

На А В и CD:

<7Я=0 , сгг=0 (30)

На ВС и AD :

<*„=/(*) - 0 (31)

где /(х) - пока неизвестный закон распределения нормального напряжения на площадке контакта. Функция fix) подбирается таким образом, чтобы при последующей проверке полученное приближенное решение удовлетворяло граничным условиям (26) с некоторой точностью.

Предложен общий алгоритм решения задачи о сдавливании упругого стержня методом угловых суперпозиций (Рис. 2)

Рис 2

Дается анализ погрешности приближенного решения и полученных результатов Приведены графики, построенные на результатах решения задачи.

Рассматривается сжатие упругого цилиндра двумя жесткими плитами с учетом сил трения

Учет трения на площадках контакта ВС и АО приводит к следующим граничным условиям

На АВ и СО.

<хп=0,<гг=0 (32)

(33) виде.

На ВС и АО.

<*■„=/(*) , сгг = £(*)

Функцию g(x) можно представить [#(*) = О, х = 0

1 <1 X |< X,

В третьей главе рассмотрена задача о сжатии упругого цилиндра эллиптического сечения с учетом сил трения Дается математическая модель задачи

V , ,, , Л , , , где к - коэффициент сухого трения

Ц^ООИ* /001» "

У ' V

- - - 1 ' -е

в / / 1 1 С \ ч \ N \ 1

А О

Рис 3

Граничные условия (32), (33), выраженные с помощью закона Гука и соотношений Коши через перемещения С/ и V примут вид

на АВ и СО •

(2ци о (V -их) + ^о2х-о2уХиу + УХ))\» - = 0 ,

(34)

((Я + 2Мо2х)их +(* + 2М»1 Уу + 2М»хоуФУ +Ух))\и и = 0

у ' АВ.СО

на ВС и АО

(2михиу(Гу-их) + м(о2х-о2уХиу + ¥х))\ и „ = 8(х),

Ш (35)

аЛ + 2Мо1)их+(Л + 2Мо2у)Уу+2михоу(иу + УхЩс^ = Ях)

Дается анализ и выводы рассматриваемой задачи В заключении сформулированы полученные результаты и приведены основные выводы.

В приложении приведена программа используемая в среде символьных вычислений для решения системы уравнений и построения отчетных графиков

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

1 Получено новое точное граничное условие для перемещений на площадке

2 Разработана математическая модель контактной задачи о сдавливании упругого стержня двумя жесткими плитами с учетом сил трения

3 Показана эффективность метода суперпозиций при решении контактных задач с разрывными граничными условиями, которая заключается в простоте математических операций при его применении и высокой точности

4 При постановке задачи получено точное выражение граничного условия на площадке контакта

5 На основе результатов моделирования впервые показано существование критического угла <р' - угла разворота границы цилиндра На каждой четверти свободной поверхности цилиндра существует точка, определяемая углом <р*, которая не перемещается вдоль оси ОХ Все точки границы цилиндра при <рхр* , расположенные ближе к «полюсу», перемещаются к его вертикальной оси симметрии - это область сжатия, а точки цилиндра при (р<ср" , расположенные ближе к «экватору», перемещаются в противоположном направлении, т. е от вертикальной оси симметрии - область растяжения

6 В работе установлено, что второй инвариант тензора девиатора напряжений Зг = сг* сг* по критерию Мизеса при заглублении от площадки контакта внутрь цилиндра по оси симметрии вначале

монотонно уменьшается, после достижения минимума начинает возрастать и достигает наибольшего значения на малой глубине, что согласуется с экспериментами, приведенными в монографии Джонсона,

7 Получена новая кривая распределения нормального и касательного напряжений на площадке контакта,

8 Приведена зависимость размера площадки контакта, угла разворота границы цилиндра (р и других характеристик от отношения полуосей стержня эллиптического сечения;

Публикации автора по теме диссертации: Статьи, опубликованные в изданиях, определенных ВАК РФ по научной специальности диссертационной работы

1 Савичев, И С. Постановка задачи о сдавливании упругого цилиндра двумя жесткими плитами с учетом сил трения [Текст] / Чернышов, А Д, Савичев, И С // Вестник Воронежского государственного технического университета, 2006 - т 2, №12. - С 76-81

Другие публикации

2 Савичев, И С. Постановка задачи о сдавливании упругого цилиндра двумя жесткими плитами [Текст] // Матер Всероссийской Науч -практ конф «Современная Россия* исследование социально-экономических отношений», 2006 - С 29-33

3 Савичев, И.С Задача о нахождении граничных функций для криволинейных упругих тел при сложных граничных условиях [Текст] / Чернышов, А Д, Савичев, И С , Чернышов, О А, Даньшин, А А // Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных пород: Сб посвящ 75-летию акад Е И Шемякина -М ФИЗМАТЛИТ, 2005 -С 829-839

4. Савичев, И С Об особенностях построения приближенного решения контактной задачи о сдавливании упругого цилиндра жесткими плитами [Текст] // Матер Всероссийской Науч -практ. конф «Современная Россия- исследование социально-экономических отношений», 2006 - С. 33-38

5 Савичев, И С Сдавливание упругого стержня эллиптического сечения двумя жесткими с учетом сил трения [Текст] // Матер школы - семинара «Современные проблемы механики и прикладной математики», г. Воронеж, 2007 - С. 312-317

Подписано в печать Ч С/ 2007 г Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная Гарнитура Тайме Ризография

Услпечл 1,0 Тираж 100 экз Заказ № ГОУВПО «Воронежская государственная технологическая академия» (ГОУВПО «ВГТА») Участок оперативной полиграфии ГОУВПО «ВГТА» Адрес академии и участка оперативной полиграфии 394000, г Воронеж, пр Революции, 19

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА УГЛОВЫХ

СУПЕРПОЗИЦИЙ И ИССЛЕДОВАНИЕ АБСОЛЮТНОЙ ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ГЛАДКИМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

1.1. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ И ПОСТАНОВКА ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ В КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

1.2. ОСНОВЫ МЕТОДА УГЛОВЫХ СУПЕРПОЗИЦИЙ

1.3. НАХОЖДЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ УПРУГИХ ТЕЛ ПРИ СЛОЖНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ

1.4. РАЗЛИЧНЫЕ СХЕМЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА УГЛОВЫХ СУПЕРПОЗИЦИЙ

ГЛАВА 2. СЖАТИЕ УПРУГОГО ЦИЛИНДРА ДВУМЯ

ЖЕСТКИМИ ПЛИТАМИ

2.1. СВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ К ВИДУ С НЕПРЕРЫВНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

2.2. АНАЛИЗ ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ И ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

2.3. СЖАТИЕ УПРУГОГО ЦИЛИНДРА ДВУМЯ ЖЕСТКИМИ ПЛИТАМИ С УЧЕТОМ СИЛ ТРЕНИЯ

ГЛАВА 3. СЖАТИЕ УПРУГОГО ЦИЛИНДРА

ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО СЕЧЕНИЯ С УЧЕТОМ СИЛ ТРЕНИЯ

3.1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

3.2. АНАЛИЗ И ВЫВОДЫ

При контактировании твердых тел происходит их деформирование. Математическое описание подобных задач приводит к системе, которую принято называть контактной краевой задачей.

Контактная задача является одной из наиболее сложных в математическом отношении задач теории упругости. Вместе с тем, именно с ней часто приходится сталкиваться при расчете самых разных объектов - подшипников и подпятников, прессуемых и штампуемых деталей, при взаимодействии зубьев зубчатых колес, катков различных геометрических форм, опорных частей мостов, колес подвижного состава, инструмента, приспособлений и т.д. Именно поэтому решение контактных задач имеет большое значение в прикладных и технических проблемах. Теоретическим основам решения задач данного класса посвящены многочисленные научные исследования.

Многие эксплуатационные свойства машин - износостойкость, контактная жесткость, усталостная прочность, коррозионная стойкость, электро- и тепло-сопротивление контактов, герметичность соединений и другие - в большой мере определяются контактным взаимодействием деталей [40]. Параметры этого процесса тесно связаны с геометрическими параметрами сопрягаемых поверхностей, физико-механическими и химическими свойствами материалов деталей.

Решение контактных задач представляет особенные трудности, т.к. граничные условия задаются разрывными: на одной части границы (где нет контакта между телами) задаются напряжения, а на другой части (где тела контактируют) задаются и перемещения и напряжения. Если контактируемые поверхности принимаются идеально гладкими, то касательное напряжение на площадке контакта равно нулю, если же данные поверхности шероховатые, то касательное напряжение обычно связывают с нормальным напряжением по закону Кулона сухого трения. Сложность решения контактных задач обусловлена также физическими свойствами материала контактируемых тел, их геометрической формой, характером внешних сил, приложенных к телам и другими факторами. В процессе взаимодействия первоначальная форма тел изменяется, поэтому в подобных задачах чаще используют переменные Лагранжа. В некоторых случаях в целях упрощения контактной задачи одно из тел принимается абсолютно твердым. Естественно, линейная постановка задачи, когда деформации малы и тело принимается упругим, тоже упрощает процедуру получения решения. Тем не менее, даже после таких упрощений, получить решение в явной аналитической форме, хотя бы и приближенно, удается только в некоторых частных случаях.

Первые решения контактных задач относятся к концу 19 века. В 1882 году Г. Герцем была впервые рассмотрена задача о контактных деформациях двух тел [115]. При ее изучении были сделаны следующие допущения: 1) поверхности тел в области контакта описываются уравнениями второго порядка; 2) материалы соприкасающихся тел однородны и изотропны; 3) нагрузка вызывает в зоне контакта только упругие деформации; 4) площадка контакта мала по сравнению с размерами тел и радиусами их главной кривизны; 5) силы давления нормальны к поверхности соприкосновения; 6) силами трения пренебрегают. В такой постановке задача Герца может быть успешно решена для простых тел, имеющих правильную геометрическую форму - эллипсоидов, сфер, параболоидов и др., и обладающих идеально гладкими поверхностями. При решении задачи по Герцу в качестве параметров контакта обычно выступают давление в контакте, форма и размеры пятна контакта. На основе этого упрощенного решения может быть также получено распределение напряжений в слое материала, прилегающем к поверхности сопряжения контактирующих тел.

Теория контактного взаимодействия включает в себя различные классы задач [117]. Среди них выделяют статические и квазистатические, где не учитываются эффекты инерции, а также контактные задачи динамики, где рассматриваются различные режимы движения взаимодействующих тел, пульсирующее, ударное нагружение и т.п. В свою очередь эти задачи подразделяются на так называемые нормальные задачи без трения, где рассматриваются идеальные односторонние связи между телами, и задачи с трением. Для ряда случаев процесс трения аппроксимируется полным сцеплением.

Существует еще один важный класс задач взаимодействия, затрагивающий проблемы трения со смазкой, деформирования материалов поверхностных слоев контактирующих тел с учетом их микрорельефа и т.п. Такие задачи принято относить к трибологии, хотя в последнее время наметилась устойчивая тенденция слияния макро- и микроисследований напряженно-деформированного состояния (НДС) контактирующих тел. Так, в расчетах деформаций микровыступов используются фундаментальные решения, полученные для массивных тел или даже полупространств, и наоборот, в функционалы энергии краевых задач для макрообъектов вводятся короткодействующие капиллярные [27] и адгезионные [54] силы, связанные с поверхностными эффектами на контактных площадках.

Значительный вклад в развитие аналитических методов решения контактных задач внесли фундаментальные труды ученых - Н. И. Мусхелишвили, И. Н. Векуа, Н. П. Векуа, С. Г. Михлина, Л. А. Галина, К. Каттенео, Н. Губера, Р. Д. Миндлина, А. Синьорини. Разработанные ими методы теории функций комплексной переменной и теории сингулярных интегральных уравнений оказались достаточно эффективными для решения смешанных задач упругости. Однако круг рассмотренных примеров при этом ограничивался в основном классическими смешанными задачами о внедрении жесткого индентора (штампа) в бесконечную или полубесконечную область.

Асимптотический метод и его модификации для решения различных смешанных задач был использован в работах И. И. Воровича [11, 37], В. М. Александрова [7-9], В. А. Бабешко [20, 21], И. И. Аргатова [17-19] и др.

Наряду с асимптотическими существуют методы сведения смешанной краевой задачи к бесконечным системам алгебраических уравнений. Например, в работах В. М. Александрова [12, 15], Г. Я. Попова [75], В. JI. Рвачева [77, 81] и др. широко используется метод ортогональных полиномов, с помощью которых производится разложение известной функции, входящей в правую часть интегрального уравнения. Регулярная часть ядра интегрального уравнения первого рода также раскладывается в двойной ряд, после чего уравнение сводится к алгебраической системе. В работах Б. JL Абрамяна [2], А. А. Баблояна [23, 24] предложены методы непосредственного сведения краевой задачи к бесконечной алгебраической системе, минуя интегральное уравнение.

Иногда интегральные уравнения смешанных задач удается привести к конечным алгебраическим системам. Это обычно достигается путем аппроксимации регулярной части их ядер вырожденными [10], либо применением метода коллокаций [36, 51], где контактное давление представляется определенным числом параметров, для определения которых используются условия связи, налагаемые на перемещения в конечном числе точек области контакта.

Широкое распространение получили методы, основанные на сведении смешанной краевой задачи к некоторым парным или тройным функциональным (интегральным) уравнениям (или рядам), которые в итоге преобразуются в интегральное уравнение Фредгольма второго рода, решаемое одним из приближенных методов. Группа данных методов представлена в работах Ю. Н. Кузьмина и Я. С. Уфлянда [65, 66], А. А. Баблояна [1], А. Ф. Улитко [92].

Поиск подходов к решению контактных задач для штампа полигональной формы в плане [78] привел к разработке нового математического подхода -метода R-функций, который соединил в себе алгебраические методы математики с классическими методами математической физики. На базе аппарата R-функций В. Л. Рвачевым [79] на аналитическом уровне разработан структурный метод решения краевых задач для областей сложной формы со сложным характером краевых условий. Характерной особенностью данного подхода является построение координатных последовательностей для сложных областей в рамках элементарных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям вариационной задачи, рассматриваемой методами типа Бубнова-Галеркина [26].

Необходимо отметить, что при решении смешанных задач указанной группой методов снимается ряд упрощающих предположений классической теории. В частности, рассматриваются контактные задачи для неоднородных анизотропных тел, в ряде случаев производится учет трения и микроструктуры контактирующих поверхностей. Существенно и то, что исследуемая область контактного взаимодействия для задач такого типа соизмерима с характерными размерами тел [35,76, 88, 90].

Все указанные решения получены для частных, относительно простых областей, реологических свойств материала и условий контактирования. При этом решение каждой отдельной задачи сопряжено с большими, а порой и непреодолимыми трудностями математического характера. Поэтому в широкой инженерной практике распространение получила лишь малая часть аналитических методов, наиболее простых с вычислительной точки зрения.

Наряду с классическими постановками контактной задачи существует ее вариационная формулировка, впервые предложенная в работе А. Синьорини [123]. Для ее применения к рассматриваемым задачам строится функционал, достигающий минимума на решении исходной задачи и, кроме того, имеющий граничные условия в качестве необходимых условий экстремума.

На поверхности раздела контактирующих тел вводятся связи специального вида, способные передавать только односторонние сжимающие усилия в направлении общей нормали к контактирующим поверхностям. Взаимные перемещения соприкасающихся тел в том же направлении не могут быть произвольными и ограничиваются условиями непроникания контактирующих тел друг в друга. В вариационной постановке решение контактной задачи без трения сводится к проблеме минимизации функционала полной энергии системы с линейными ограничениями в виде неравенств. С точки зрения методов оптимизации — это задача квадратичного программирования и для ее решения приемлемы известные процедуры градиентного спуска [32, 34], возможных направлений [64], множителей Лагранжа [33, 55, 73] и др.

Идея использования подходов квадратичного программирования для решения контактных задач впервые была предложена в работах В. М. Фридмана и В. С. Черниной [94, 95]. В дальнейшем вопросы применения квадратичного программирования изучались в работах [44, 55-58, 120, 121]. Такой подход к решению контактных задач тесно связан с использованием современных численных методов, таких, как вариационно-разностный [48, 49, 73] метод и метод конечных элементов (МКЭ) [60, 61, 71, 82], которые базируются на эквивалентных вариационных формулировках задачи. Большинство авторов отдает предпочтение МКЭ благодаря его высокой универсальности и эффективности.

В последнее время возросло количество публикаций, посвященных применению метода граничных интегральных уравнений (МГИУ) к решению контактных задач. По мнению специалистов, использование МГИУ, обладающего высокой точностью результатов в зонах больших градиентов напряжений, простотой реализации и малым объемом входной информации, дает ряд преимуществ по сравнению с аналогичными схемами МКЭ. Наиболее удобным и употребимым для решения контактных задач является, по-видимому, прямой вариант МГИУ, где решением являются неизвестные граничные значения переменных, выраженные в естественных физических величинах.

Постановки и подходы к решению контактных задач методом граничных интегральных уравнений во многом сходны со схемами МКЭ. Решены задачи анализа напряжений в резьбовых соединениях с использованием постоянных, линейных и квадратичных граничных элементов. Внимания заслуживает исследование особенностей использования МГИУ для осесимметричных задач при наличии угловых точек на границе. Приведенные расчеты демонстрируют высокую эффективность предлагаемого подхода.

На основе вариационных неравенств и предложенных автором работы [122] полувариационных неравенств приводится постановка задач механики с односторонними ограничениями и ее решение непрямым МГИУ. В силу одностороннего характера взаимодействий вместо интегральных уравнений автором получены интегральные включения.

В работах [113, 114] излагаются основные концепции, лежащие в основе формулировок и методов решения плоских контактных задач статической теории упругости. Описаны две методики решения плоских контактных задач, одна из которых применима при отсутствии сил трения, а другая — при их наличии. Рассматривается контакт двух тел, причем каждое из них независимо. Учет условий контакта позволяет связать две системы уравнений в одну. Для нахождения зоны контакта нагрузка прикладывается малыми приращениями, после каждого из которых зоны сцепления и проскальзывания определяются итерационным способом.

Необходимо отметить, что применение численных методов, таких, как МГИУ и МКЭ, к решению контактных задач существенно расширило спектр их приложений. Благодаря индифферентности методов к описанию геометрии объектов и условий нагружения появилась возможность решения реальных, практически важных задач для резьбовых, фланцевых и замковых соединений различных типов, разнообразных узлов трения деталей машин, технологических посадок и других конструкций.

В большинстве публикаций, посвященных решению прикладных контактных задач, используется двумерная постановка краевой задачи, в которой НДС объектов определяется соотношениями осесимметричной либо плоской задачи теории упругости. Это обстоятельство в основном объясняется двумя причинами: сложностью анализа контактных явлений в трехмерной постановке и недостаточной мощностью вычислительных средств для удовлетворительного описания в пространстве геометрии взаимодействующих тел. При решении трехмерных задач объем вычислительных работ существенно увеличивается.

В трехмерной постановке МКЭ рассмотрены лишь некоторые, частные задачи для упругих и идеально упругопластических тел простейших конструктивных форм [5, 6, 119], задачи о внедрении штампов произвольного очертания в упругие тела [118]. В ряде работ [93, 126] предложены новые методы и подходы к решению пространственных контактных задач, построены итерационные схемы поиска зон проскальзывания и сцепления в задачах с трением [25].

Относительно малое число публикаций касается проблем учета физической нелинейности деформирования в контактных задачах. Помимо указанных выше работ В. И. Кузьменко решение контактных задач для системы упруго-пластических тел приведено в работах [28, 42, 124]. Значительно более подробно, с использованием различных критериев текучести [125], законов упрочнения [39] и сложного характера нагружения [63, 67] рассмотрены задачи о внедрении штампов в упругопластические тела [30, 45, 46, 50]. Практически отсутствуют, за исключением работ [62, 74], решения контактных задач при наличии деформаций ползучести материала. Д. Д. Ивлевым решены задачи о внедрении жесткого штампа в идеально пластическое тело [45,46, 50] .

Известные алгоритмы прикладных контактных задач не являются достаточно универсальными, поскольку ориентированы на решение задач определенного класса. Одни из них имеют трудности, связанные с учетом трения и проскальзывания в контакте, другие не рассматривают физическую нелинейность процесса деформирования и т. д. Попытки построения более общих алгоритмов решения такого рода нелинейных задач приводят, как правило, к наложению друг на друга ряда итерационных процедур. В этом случае вычислительная схема задачи становится чрезвычайно громоздкой, что отражается на сходимости процесса решения и затратах машинного времени. Поэтому поиск простых и эффективных методов решения контактных задач с учетом сложной геометрии, условий нагружения и характера деформирования по-прежнему остается актуальной задачей механики деформируемого твердого тела.

Кроме перечисленных методов решения краевых задач для областей с криволинейной границей применяется метод угловых суперпозиций. Этот метод вначале был предложен в 1974 году Чернышевым А. Д. для решения задач теплопроводности с фазовым превращением [103]. Затем он был развит для решения задач о колебаниях упругих тел [100], для решения динамических задач упругих, термоупругих, термовязкоупругих тел [99, 101, 102, 106]. Метод угловых суперпозиций может применяться также и при рассмотрении деформации упругих пластин [110], кручения упругих стержней [104], для нахождения собственных функций [105], для построения граничной функции [108], когда необходимо продолжить ее заданные значения на границе аналитически внутрь некоторой области Q. Из цитированной литературы видно, что метод может применяться в самых разнообразных случаях. Контактные задачи являются особенно трудными и потому для них получено ограниченное число решенных задач. Универсальность метода угловых суперпозиций позволяет применять его и при рассмотрении контактных задач, что показано в данной работе. Метод принципиально отличается от ранее известных, и его преимущества заключаются в высокой точности, аналитическом виде построенного приближенного решения, что позволяет проводить различные исследования аналитическими вычислениями. Основные положения метода будут изложены в I главе диссертации.

Помимо отмеченных выше, автор в ходе написания диссертации обращался к работам авторов [3,4,16, 22, 29, 31,43,47, 52, 68-72, 87, 96-98].

Актуальность темы диссертации обусловлена важностью технических приложений теории контактных взаимодействий, которая находит широкое применение в машиностроении, строительстве, электронике и других отраслях деятельности. Несмотря на значительный прогресс в этой фундаментальной области знаний, на практике изучение реальной картины напряженно-деформируемого состояния в зоне контакта взаимодействующих тел потребовало провести исследования новых контактных задач и разработать новые методы расчета. Это, прежде всего, относится к контактным задачам с учетом сил трения в области контакта, в том числе с заранее неизвестной областью контакта.

Математическая модель контактных краевых задач является достаточно сложной вследствие того, что граничные условия задаются разрывными и граница контакта заранее неизвестна. Применение численных методов для решения подобных задач затрудняется тем, что проблематично расположить все центральные расчетные точки на границе тела. При этом возникает большая погрешность в окрестности точки разрыва граничных условий, которая влияет на всю расчетную схему. Из аналитических методов решения краевых задач для ограниченных областей можно отметить методы Ритца, Бубнова-Галеркина, Рвачева (метод R-функций), метод фундаментальных функций, метод теории функций комплексной переменной и др. Однако, эти методы недостаточно приспособлены для решения подобных контактных задач и поэтому их не применяют. В связи с этим в данной работе был использован метод угловых суперпозиций, разработанный профессором А. Д. Чернышевым и опубликованный в многочисленных статьях центральной печати. Применение этого метода связано с выполнением некоторых простых математических вспомогательных действий. В случае задач с гладкими граничными условиями для выпуклых криволинейных областей данным методом при небольшом объеме вычислительных затрат погрешность оказалась достаточно малой, порядка 1СГ40, что существенно отличает этот метод от других известных методов. Если же область в данной краевой задаче имеет вогнутые участки, то точность приближенного решения меньше, но остается существенно высокой. По указанной причине при решении контактных задач был выбран метод угловых суперпозиций.

Для уменьшения погрешности в некоторых работах разрывные граничные условия заменяются на непрерывные с соответственной неизвестной функцией на границе. В случае контактных задач этой функцией является неизвестное распределение нормального напряжения на площадке контакта. Данный подход был использован в настоящей работе, что позволило получить новые решения и дать глубокий анализ свойств при контактном взаимодействии тел. На этом основании можно считать, что результаты являются важными и актуальными.

Цель работы. Развитие численно-аналитичекого метода угловых суперпозиций для решения контактных задач на примере задачи о сдавливании упругого стержня жесткими плитами, разработка математической модели предложенной задачи, которая позволит найти решение во всей области поперечного сечения рассматриваемого тела.

Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

• получить новые точные граничные условия для перемещений на площадке контакта;

• разработать математическую модель сдавливания упругого стержня без учета и с учетом сил трения для возможности применения метода угловых суперпозиций;

• провести анализ погрешности при применении метода угловых суперпозиций; проанализировать изменения формы сдавливаемого стержня, полей напряжений и деформаций.

Методы исследования. Для достижения поставленной цели в работе использованы: метод угловых суперпозиций, методы математической физики и вычислительной математики, современные методы и технологии программирования.

Научная новизна, диссертационной работы состоит в следующем:

• получено новое точное граничное условие, используемое в математической модели поставленных краевых задач;

• показана эффективность метода угловых суперпозиций при решении контактных задач;

• предложен двупараметрический закон распределения нормального напряжения на площадке контакта, коэффициенты которого находятся при выполнении граничных условий задачи;

• уточнен закон изменения максимального касательного напряжения при заглублении внутрь тела от площадки контакта;

• установлено, что при сдавливании цилиндра двумя жесткими плитами область цилиндра, примыкающая к площадке контакта - сжимается, а область цилиндра в окрестности его экватора - расширяется. Эти области разделены определенным критическим углом.

Практическое значение. Полученные результаты позволяют показать эффективность метода угловых суперпозиций, который может быть применен для решения упругих задач со сложными границами и граничными условиями. Методом угловых суперпозиций можно решать контактные задачи с высокой точностью. Полученные результаты позволяют определять поле напряжений и перемещений всюду в поперечном сечении стержня, а также размер площадки контакта сдавливаемого стержня (круглого и эллиптического сечения).Результаты по сдавливанию упругих стержней с учетом и без учета сил трения могут быть использованы в инженерной практики при рассмотрении стержневых конструкций.

Апробация. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на отчетных научных конференциях Воронежской Государственной Технологической Академии (ВГТА) (г. Воронеж, 2006, 2007 г.); Межвузовской научно-практической конференции «Современная Россия: исследование социально-экономических отношений» (г. Воронеж, 2006 г.); на семинарах кафедры высшей математики ВГТА в 2005-2007 гг; на Международной школе - семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» (г. Воронеж, 2007 г.).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 5 печатных работ, из которых 3 статьи написаны лично автором. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [83, 84, 86, 108, 109], (из них работа [109] в периодическом издании, рекомендуемом ВАК РФ).

В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежит: [109] - разработка математической модели задачи о сдавливании упругого цилиндра двумя жесткими плитами с учетом сил трения, [108] - решение уравнений модели и результаты вычислительного эксперимента.

Структура и объем работы. Материал диссертации изложен на 97 страницах, содержит 20 рисунков. Работа состоит из введения, трех глав (9 параграфов), заключения, списка литературы и приложений. Библиография включает 126 наименований.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Получено новое точное граничное условие для перемещений на площадке.

2. Разработана математическая модель контактной задачи о сдавливании упругого стержня двумя жесткими плитами с учетом сил трения.

3. Показана эффективность метода суперпозиций при решении контактных задач с разрывными граничными условиями, которая заключается в простоте математических операций при его применении и высокой точности.

4. При постановке задачи получено точное выражение граничного условия на площадке контакта.

5. На основе результатов моделирования впервые показано существование критического угла ср - угла разворота границы цилиндра. На каждой четверти свободной поверхности цилиндра существует точка, определяемая углом (р , которая не перемещается вдоль оси ОХ. Все точки границы цилиндра при (рхр , расположенные ближе к «полюсу», перемещаются к его вертикальной оси симметрии - это область сжатия, а точки цилиндра при <р<(р , расположенные ближе к «экватору», перемещаются в противоположном направлении, т. е. от вертикальной оси симметрии - область растяжения.

6. В работе установлено, что второй инвариант тензора девиатора напряжений J2 =сг*(т* по критерию Мизеса при заглублении от площадки контакта внутрь цилиндра по оси симметрии вначале монотонно уменьшается, после достижения минимума начинает возрастать и достигает наибольшего значения на малой глубине, что согласуется с экспериментами, приведенными в монографии Джонсона;

7. Получена новая кривая распределения нормального и касательного напряжений на площадке контакта;

8. Приведена зависимость размера площадки контакта, угла разворота границы цилиндра <р и других характеристик от отношения полуосей стержня эллиптического сечения;

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе в рамках теории малых деформаций проведено исследование напряженно - деформированного состояния упругого цилиндра, сжимаемого двумя жесткими параллельными плитами. Для решения данной контактной задачи был применен метод угловых суперпозиций. Получено решение задачи в явном аналитическом виде.

1. Абрамян Б. Л., Арутюнян И. X., Баблоян А. А. О симметричном давлении кругового штампа на упругое полупространство при наличии сцепления Текст. // Прикл. математика и механика, 1966.— т.ЗО, № 1.— с. 143—147.

2. Абрамян Б. JL, Баблоян. А. А. Об одной контактной задаче, связанной с кручением полого полушара Текст. // Прикл. математика и механика, 1962.—т.26, №3.— с. 471—480.

3. Айзикович С. М., Трубчик И. С. Контактная задача для упругого цилиндра, неоднородного по радиусу Текст. // Современные проблемы механики сплошной среды, 2002. с. 9-13.

4. Алейников С. М. Метод граничных элементов в контактных задачах для упругих пространственно неоднородных оснований. М.: Изд. Ассоциации Строительных Вузов, 2000. - 604 с.

5. Александров А. И. Численное решение пространственных контактных задач теории упругости с проскальзыванием и сцеплением Текст. // Колебания и прочность механических систем, 1986.— с. 109—114.

6. Александров А. И., Колесова Е. С. Численное решение упругопластиче-ской задачи о контакте двух тел Текст. // Прикл. математика и механика. Нагруженность и надежность механических систем, 1987.—с. 121—126.

7. Александров В. М., Ромалис Б. JI. Контактные задачи в машиностроении.—М.: Машиностроение, 1986.— 176 с.

8. Александров В. М. Асимптотические методы в контактных задачах теории упругости Текст. // Прикл. математика и механика, 1968.— т.32, №4.— с. 472—483.

9. Александров В. М. Асимптотические методы в смешанных задачах теории упругости для неклассических областей Текст. // Прикл. математика и механика, 1968,— т.ЗО, №2. — с. 14—24.

10. Александров В. М. О приближенном решении одного типа интегральныхуравнений Текст. // Прикл. математика и механика, 1962.— т.26, №5,— с. 934—943.

11. Александров В. М., Ворович И. И. О действии штампа на упругий слой конечной толщины Текст. // Прикл. математика и механика, 1962. — т.24, №2.—с. 323—333.

12. Александров В. М., Кучеров В. А. О методе ортогональных полиномов в плоских смешанных задачах теории упругости Текст. // Прикл. математика и механика, 1970.— т.34, №4.— с. 643—652.

13. Александров В. М., Пожарский Д. А. Неклассические пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел. М.: Факториал, 1998.-288 с.

14. Алексидзе М. А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач. М.: Наука, 1991. - 352 с.

15. Аргатов И. И., Дмитриев Н. Н. Основы теории упругого дискретного контакта. СПб.: Политехника, 2003. - 233 с.

16. Аргатов И. И. К решению двумерной задачи Герца Текст. // ПМТФ, 2001.-т. 42, №6.-с. 166- 174.

17. Аргатов И. И. Приближенное решение осесимметричной контактной задачи для упругого шара Текст. // ПММ, 2005. т. 69, №2. - с. 303 - 314.

18. Бабешко В. А. Асимптотические свойства решений некоторых интегральных уравнений, возникающих в теории упругости и математической физике Текст. //Докл. АН СССР, 1969.—т. 186, № 6.— с. 1273—1276.

19. Бабешко В. А. Об одном асимптотическом методе при решении интегральных уравнений теории упругости и математической физики Текст. // Прикл. математика и механика, 1966.—т.ЗО, №4.—с. 732—741.

20. Бабешко В. А., Калинчук В. В. Метод фиктивного поглощения в связанных смешанных задачах теории упругости и математической физики для слоисто-неоднородного полупространства Текст. // ПММ, 2002. т.66, №2. - с. 285-292

21. Баблоян А. А., Гулканян Н. О. Об одной смешанной задаче для прямоугольника Текст. // Изв. АН АрмССР. Механика, 1969.—т.22, № 1.—с. 3—16.

22. Баблоян А. А., Мелконян А. П. Осесимметричная задача для полого бесконечного цилиндра с периодически насаженными на него дисками Текст. // Изв. АН АрмССР. Механика, 1968.—т.21, № 1.—с. 345—351.

23. Баборыкин В. Г. К решению конечномерных аналогов некоторых контактных задач теории упругости с трением Текст. // Методы решения нелинейных задач и обработки данных, 1986.— с. 8—13.

24. Беляев Н. М., Рядно А. А. Методы нестационарной теплопроводности. -М.: Высшая школа, 1978. 328 с.

25. Бестужева Н. П., Даринский Б. М., Мартыненко С. Ю. Пространственная контактная задача с учетом капиллярных сил, 1986.— 10 с.

26. Блох М. В., Оробинский А. В. О модификации метода конечных элементов для решения двумерных упругих и пластических контактных задач Текст. // Пробл. Прочности, 1983.—№ 5.—с. 21—27.

27. Бочкова О. В. Осесимметричная смешанная задача для короткого кругового цилиндра, загруженного по боковой поверхности Текст. // Исслед. по мех. матер, и конструкций. Сб. науч. ст., 1998. с.84-87.

28. Быковцев Г. И., Ивлев Д. Д. Теория пластичности. Владивосток: Даль-наука, 1998. - 528 с.

29. Веретенников В. Г., Синицын В. А. Анализ модели динамики системы: жесткое колесо деформируемый рельс Текст. // Изв. РАН. МТТ, 2002. - №2. - с. 48-57.

30. Вовкушевский А. В. Представление одного класса задач упругости с трением на границе как задач с идеальными односторонними связями Текст. // Всесоюз. н.-и. ин-т гидротехники.—JL, 1982.— 11 е.

31. Вовкушевский А. В., Зейлитер Б. JI. К решению задач теории упругости с односторонними связями конечных элементов Текст. //Изв. Всесоюз. н.-и. ин-та гидротехники, 1979.— т. 129.—с. 27—31.

32. Вовкушевский А. В., Шойхет Б. А. Расчет массивных гидротехнических сооружений с учетом раскрытия швов.— М. : Энергоиздат, 1981.— 136 с.

33. Ворович И. И., Александров В. М., Бабешко В. А Неклассические смешанные задачи теории упругости.— М.: Наука, 1974.— 456 с.

34. Ворович И. И., Копасенко В. В. Некоторые задачи теории упругости для полуполосы Текст. // Прикл. математика и механика, 1966.— т.ЗО, №1.—с. 109—115.

35. Ворович И. И., Устинов Ю. А. О давлении штампа на слой конечной толщины Текст. // Прикл. математика и механика, 1959.— т.23, №3.— с. 445— 455.

36. Галин J1. А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. М.: Наука, 1980. 304 с.

37. Гришин В. А. Вдавливание штампа в упругопластическое основание в условиях плоской деформации Текст. // Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1983.—№3.—с. 81—85.

38. Демкин Н. Б., Рыжов Э. В. Качество поверхности и контакт деталей машин.-М.: Машиностроение, 1981.-244 с.

39. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. Мир, 1989. - 510 с.

40. Дувидзон И. А., Уманский С. Э. К вопросу о решении контактных задачтеории упругости и пластичности Текст. // Пробл. Прочности, 1982.— № 1.— с. 50—54.

41. Ермоленко Г. Ю. Квадратуры решений первой и второй начально-краевых задач теории упругости для анизотропного материала Текст. // ПММ, 2002. т. 66, №2. - с. 325-329

42. Зайцев Е. А., Кравчук А. С. Решение на ЭВМ контактных задач вязкоупруго-сти Текст. // Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1981.— № 4.— с. 93—98.

43. Ивлев Д. Д. Механика пластических сред. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. -448 с.

44. Ивлев Д. Д., Ершов Л. В. Метод возмущений в теории упругопластиче-ского тела. М.: Наука, 1978. - 208 с.

45. Ильин В. А. Спектральная теория дифференциальных операторов. Самосопряженные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1991. - 368 с.

46. Иосилевич Г. Б., Осипова Г, В. Решение конструкционно-контактных задач численными методами Текст. // Машиностроение, 1976.— № 4.— с. 69—73.

47. Иосилевич Г. Б. Концентрация напряжений и деформаций в деталях машин.—М.: Машиностроение, 1981.— 220 с.

48. Ишлинский А. Ю., Ивлев Д. Д. Математическая теория пластичности. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001 704 с.

49. Каландия А. И. О приближенном решении одного класса сингулярных интегральных уравнений Текст. // Докл. АН СССР, 1959.— тЛ 25, №4.— с. 715—718.

50. Карташов В. А., Коешов Н. М. О решении плоской задачи теории упругости при заданных перемещениях Текст. // Вестн. Дис. совета при Морд. гос. ун-те, 1996. с. 45-46.

51. Карташов Э. М. Аналитические методы теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа, 2001. - 550 с.

52. Кащеев В. Н., Максак В. И., Хохлов В. А. Задача Герца для контакта тел условиях адгезионного взаимодействия Текст. // Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1979.— № 3.— с. 27—30.

53. Кравчук А. С., Васильев В. А. Вариационный метод в контактной задаче теории упругости Текст. // Упругость и неупругость, 1978.— №5.— с. 23—31.

54. Кравчук А. С. К задаче Герца для линейной и нелинейно упругих тел конечных размеров Текст. // Докл. АН СССР, 1976.—т.230, № 2.—с. 308— 310.

55. Кравчук А. С. К теории контактных задач с учетом трения на поверхности сопротивления Текст. // Прикл. математика и механика, 1980.— т.44, № 1.—с. 122—129.

56. Кравчук А. С. Постановка задачи о контакте нескольких деформируемых тел, как задачи нелинейного программирования Текст. // Прикл. математика и механика, 1978.— №3.— с. 466—474.

57. Кравчук А. С., Васильев В. А. Численные методы решения контактной задачи для линейно и нелинейно упругих тел конечных размеров Текст. // Прикл. Механика, 1980.— т.16, № 6.— с. 9—15.

58. Кузьменко А. Г. Механика контактной среды при наличии ползучести и износа и метод конечного элемента.— Брянск, 1980.— 42 с.

59. Кузьменко А. Г. Основные уравнения теории упругости и пластичности и метод конечного элемента.— Тула : Изд-во Тульского политехи, ин-та, 1980.—100с.

60. Кузьменко В. И. О контактном взаимодействии систем тел в условиях ползучести материала Текст. // Прикл. механика, 1986,— т.22, № 10.— С. 81—86.

61. Кузьменко В. И. О контактных задачах теории пластичности при сложном нагружении Текст. // Прикл. математика и механика, 1984.—т.48, №3.— с. 473—481.

62. Кузьменко В. И., Ламзюк В. Д., Приварников Л. К. Оценка точности МКЭ при решении неклассических смешанных задач теории упругости Текст. // Пространствен, конструкции в Красноярском крае, 1978.— № 11.— с. 133—138.

63. Кузьмин Ю. Н., Уфлянд Я. С. Контактная задача о сжатии упругого слоя двумя штампами Текст. // Прикл. математика и механика, 1967.— т.31, №4,— с. 711—715.

64. Кузьмин Ю. Н., Уфлянд я. С. Осесимметричная задача теории упругости для полупространства, ослабленного плоской круглой щелью Текст. // Прикл. математика и механика, 1965.— т.29, №6.—с. 1132—1137.

65. Левитас В. И., Идесман А. В. Решение термоупругопластических задач при контактном взаимодействии конечных элементов Текст. // Пробл. прочности, 1986.—№ 11.—с. 77—83.

66. Леонтьев В. Л. Вариационно-сеточный метод решения задач о собственных колебаниях упругих трехмерных тел, связанной с использованием ортогональных финитных функций Текст. // Изв. РАН МТТ, 2002. №3. -с. 117-126.

67. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. - 940 с.

68. Михайлов Д. М., Тимофеев А. А. Решение задачи упругости методом конечных элементов Текст. // Матер. 47 Науч.-техн. конф. студ., аспирантов и мол. ученых Уфим. гос. нефт. техн. ун-та, 1996. т.2. - с.115.

69. Острик В. И. Контакт двух упругих клиньев с учетом сил трения Текст. // Изв. РАН. МТТ, 2000. №3. с. 93-100.

70. Подгорный А. Н., Бортовой В. В., Гонтаровский П. П. Ползучесть элементов машиностроительных конструкций. — Киев: Наук, думка, 1984.—264 с.

71. Попов Г. я. Вдавливание штампа в линейно-деформируемое основание с учетом сил трения Текст. // Прикл. математика и механика, 1967.— т.31, №2.—с. 337—343.

72. Развитие теории контактных задач в СССР Текст. / Под ред. JI. А. Галина. —М.: Наука, 1976.—496 с.

73. Рвачев В. JT. Давление на упругое полупространство штампа, имеющего в плане форму полосы Текст. // Прикл. математика и механика, 1956. — т.20, №2. —с. 248-254.

74. Рвачев В. JI. Об аналитическом описании некоторых геометрических объектов Текст. // Докл. АН СССР, 1963.— т.153, № 4.— с. 765—768.

75. Рвачев В. JL, Проценко В. С. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей. — Киев : Наук, думка, 1977. — 236 с.

76. Рвачев B.JL, Синекоп Н.С. Метод R-функций в задачах теории упругости и пластичности. Киев: Наук, думка», 1990. - 216 с.

77. Рвачев В. JT. К расчету бесконечной балки, лежащей на упругом полупространстве Текст. // Прикл. математика и механика, 1958.— т.22, №5.— с. 698—700.

78. Рыжов Э. В., Сакало В. И., Подлеснов Ю. П. Решение плоских контактных задач с учетом трения релаксационным методом конечных элементов Текст. // Механика и физика контакт. Взаимодействия, 1979. — с. 3 — 14.

79. Савичев И. С. Постановка задачи о сдавливании упругого цилиндра двумя жесткими плитами Текст. // Матер. Всероссийск. Науч.-практ. конф. «Современная Россия: исследование социально-экономических отношений», 2006 с.29-33.

80. Савичев И.С. Сдавливание упругого стержня эллиптического сечения двумя жесткими Текст. // Матер. XLV науч. конф. ВГТА, Ч. 2. Воронеж: Воронеж, гос. технол. акад. Воронеж, 2007. - с. 196-201.

81. Савичев И.С. Сдавливание упругого стержня эллиптического сечения двумя жесткими с учетом сил трения Текст. // Матер, школы семинара «Современные проблемы механики и прикладной математики», г. Воронеж, 2007.-с.312-317.

82. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. - 616 с.

83. Спектор А. А. Некоторые пространственные статические контактные задачи теории упругости с проскальзыванием и сцеплением Текст. // Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1981.— № 3.— с. 12—25.

84. Таблицы физических величин. Справочник Текст. / Под ред. акад. Кикоина. М.: Атомиздат, 1976. 1008 с.

85. Теплый М. И. Контактные задачи для областей с круговыми границами.— Львов : Изд-во при Льв. ун-те, 1983.— 176 с.

86. Тимошенко С. П., Дж. Гудьер Теория упругости. М.: Наука, 1979. - 560 с.

87. Улитко А. Ф. Растяжение упругого пространства, ослабленного двумя круговыми трещинами, расположенными в одной плоскости Текст. // Концентрация напряжений, 1968.— №2.—с. 201—208.

88. Федоренко Р. П. Новые методы приближенного решения некоторых классовтрехмерных контактных задач и задач теории трещин Текст. // Математические методы механики деформированного твердого тела : 1-й; Всесоюз. симпоз., 1986.—с. 149—155.

89. Фридман В. М., Чернина В. С. Итерационный процесс для решения конечномерной контактной задачи Текст. // Высш. математика и мат. Физика, 1967.—7, № 1.—с. 160—163.

90. Фридман В. Н., Чернина В. С. Решение задачи о контакте упругих тел итерационным методом Текст. // Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1967.—№ 1.—с. 116—120.

91. Чебаков М. И. Пространственная контактная задача для слоя с учетом сил трения Текст. // Современные проблемы механики сплошной среды, 2001.-с. 232-235.

92. Чебаков М. И. Метод однородных решений в смешанной задаче для кругового цилиндра конечных размеров Текст. // ПММ, 1979. т.43, №6. -с. 1073-1081.

93. Чебаков М. И. Некоторые динамические и статистическая контактные задачи теории упругости кругового цилиндра конечных размеров Текст. // ПММ, 1980. т.44, №5. - с. 923-933.

94. Чернышов А. Д. Динамические плоские краевые задачи для криволинейных термовязкоупругих тел // Прикл. механ. и технич. Физика, 2005. т.46, № 2. - с.158-169.

95. Чернышов А. Д. Об одном методе решения линейных динамических задач теории упругости Текст. // Изв. РАН. Механ. тв. тела, 2000. № 5. -С. 131-142.

96. Чернышов А. Д. Применение аппарата собственных функций при решении динамических задач для криволинейных термоупругих тел Текст. // Изв. РАН. Механ. тв. тела, 2005. №3. - с. 66-73.

97. Чернышов А. Д. Решение нестационарных задач теплопроводности для криволинейных областей при помощи прямого построения собственных функций Текст. // Инж.-физич. журнал, 2004. т.11, №2. - с. 160-166.

98. Чернышов А. Д. Решение плоской, осесимметричной и пространственной однофазной задачи Стефана Текст. // Инж.- физич. журнал, 1974. -t.XXYII, №2. с. 341 - 350.

99. Чернышов А. Д., Даньшин А.А., Чернышов Н.А. Оценка погрешности метода суперпозиции одномерных решений в нестационарных задачах теплопроводности Текст. // Инж.-физич. журнал, 2004. т.77, №4. - с. 27-30.

100. Чернышов А. Д., Резцов О.П. Решение первой и второй краевых задач нестационарной теплопроводности для треугольной пластины Текст. // Инж.-физич. журнал, 2000. т.73, №5. - с. 911 - 917.

101. Чернышов А.Д., Савичев И.С. Постановка задачи о сдавливании упругого цилиндра двумя жесткими плитами с учетом сил трения Текст. //

102. Вестник Воронежского государственного технического университета, 2006.- т.2, №12. с. 76-81.

103. Чернышов А. Д., Чернышов О.А. Приближение решений краевых задач для уравнения Пуассона решениями уравнений Эйлера-Лагранжа Текст. // Дифференциальные уравнения, 2007. т.43, №3. - с. 423 - 428.

104. Шемякин Е. И. Введение в теорию упругости. М: Изд. МГУ, 1993. - 96 с.

105. Andersson Т. The second generation boundary element contact program Text. // Boundary element meth: Eng. proc. 4th int. semin.— Southampton, 1982.— P. 409—427.

106. Andersson T. The boundary element method applied to two dimensional contact problems with friction Text. // Proc. 3rd int. semin.— Jrvine (Cal.), 1981.—P. 238—258.

107. Hertz H. Gesammelte Werke. BdЛ, 1985, Leipzig, ss. 155-196.

108. Hertz H. Miscellaneous Papers. McMillan, London, 1896.

109. Kalker J. J. A survey of the mechanics of contact between solid bodies Text. // Z. angew. Math, and Mech, 1977.- 57, N5. S. T3-T17.

110. Oden J. T. Mixed finite element approximations via interior and exterior penalties for contact problems in elasticity Text. // Hybrid and mixed finite elem. : Meth. int.symp., Atlanta, 8—10 Apr. 1981.— Chichester, 1983.— P. 467— 486.

111. Okamoto Noriaki, Nakazawa Masaru. Finite element incremental contact analysis with various frictional conditions Text. // Int. J. Numer. Mech. Eng, 1979.— 14, N 3.—P. 337—357.

112. Paczelt J. Solution of elastic contact problems by the finite element displacement method Text. // Acta Techn. Acad. Sci. Hung, 1976.—82, 3/4.—P. 353—375.

113. Paczelt J. Some remarks on the approximate solution of frictionless elastic contact problems Text. // Ibid.— 83, 3/4.— P. 337—355.

114. Panagiotopulos P. D. A boundary integral inclusion approach to unilated В. V. P. S. in elastostatics Text. // Mech. Res. Commun, 1983.— 10, N 2.—P. 91—96.

115. Signorini A. Questioni di elastostatica linearizzata e semilinearizzata Text. // Rend. Mat, 1959.- 18.- P. 381-402.

116. Villiappen S., Lee I. K., Boonlualohr P. Non-linear analysis of contact problems Text. // Numer. Meth. Coupl. Syst, 1984.—P. 231—253.

117. Voyiadjis G. Z., Рое A. A., Kiousis P. D. Finite strain, elasto-plastic solution for contact problems Text. // J. Eng. Mech, 1986.—112, N 3.—P. 273—292.

118. Wang Jin-xian, Huang Yuxia, Gong Jia-yao. Multigrid method for elasticity problems Text. //J. Comput. Meth, 1986.—4, N 2.—P. 154—163.