автореферат диссертации по авиационной и ракетно-космической технике, 05.07.03, диссертация на тему:Контактная задача для упругого ложемента и опорного шпангоута цилиндрической оболочки

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОСОБЕННОСТИ КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ТОНКОСТЕННЫХ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ И ОПОРНЫХ УСТРОЙСТВ. ОБЗОР РАБОТ.II

2. ВАРИАЦИОННЫЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ

С ОДНОСТОРОННИМИ СВЯЗЯМИ.

2.1. Краткий обзор развития и современного состояния вариационной теории контактных задач.

2.2. Постановка задачи.

2.3. Анализ граничных условий в зоне контакта.

2.4. Сведение краевой задачи к вариационному неравенству.

2.5. Дискретизация задачи по методу конечных элементов.

2.6. Алгоритм решения дискретной контактной задачи.

2.7. Тестовая задача.

3. ВЛИЯНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ЛОЖЕМЕНТА НА ХАРАКТЕР РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КОНТАКТНЫХ

УСИЛИЙ.

3.1. Выбор расчетной схемы.

3.2. Контактная задача для опорного шпангоута и упругого ложемента с частичным закреплением на свободном контуре.

3.2.1. Особенности распределения контактных усилий при установке ложемента на точечные опоры.

3.2.2. Обоснование дискретизации.

3.2.3. Влияние величины угла установки опор и отношения жесткостей шпангоута и ложемента на параметры контактного взаимодействия.

3.3. Контактная задача для опорного шпангоута и упругого ложемента при наличии прослойки в зоне контакта.

3.3.1. Расчетная схема.

3.3.2. Влияние величины угла установки опор и отношения жесткостей шпангоута и ложемента на параметры контактного взаимодействия.

3.4. Оценка пределов применимости расчетных моделей жесткого и упругого, типа винклеровского, оснований.

4. РЕГУЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ОПОРНОГО ШПАНГОУТА ЗА СЧЕТ ИЗМЕНЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ЛОЖЕМЕНТА.

4.1. Обзор работ, посвященных оптимальному проектированию упругих тел в условиях контактного взаимодействия.

4.2. Постановка задачи

4.3. Метод решения.ЮЗ

4.3.1. Выбор метода решения задачи нелинейного программирования.ЮЗ

4.3.2. Краткая характеристика метода скользящего допуска.

4.3.3. Процедура приведения искомого вектора в допустимую область.Ю

4.4. Решение оптимизационных задач.

4.4.1. Краткая характеристика пакета программ DESIQM.

4.4.2. Определение оптимального угла охвата.

4.4.3. Определение формы контактной поверхности абсолютно жесткого ложемента.

4.4.4. Определение геометрических параметров упругого ложемента.

Снижение материалоемкости конструкций является одной из актуальнейших задач в производстве летательных аппаратов. Решение этой задачи требует постоянного совершенствования теории и дальнейших разработок методов прочностного расчета проектируемых конструкций.

В последние десятилетия существенный прогресс в области проектирования достигнут за счет использования электронно-вычислительной техники: автоматизированы сложные вычислительные алгоритмы, получили развитие эффективные численные методы, созданы обширные библиотеки проблемно ориентированных программ. Достижение дальнейших успехов в этой области связано с принципиальным уточнением расчетных схем проектируемых конструкций, направленным на повышение степени соответствия действительных силовых и геометрических условий принятым в математической модели.

Одним из расчетных случаев для летательных аппаратов является транспортировка с горизонтальным расположением оси. Подкрепленная оболочечная конструкций устанавливается на круговые опоры-ложементы. Так как площадка контакта взаимодействующих тел, как правило, соизмерима с их размерами, напряженно-деформированное состояние оболочечной конструкции существенно зависит от характера распределения контактных усилий. Характер распределения контактных усилий в свою очередь зависит от физических и геометрических параметров не только оболочечной конструкции, но и ложемента. При определенных сочетаниях этих параметров упрощенное описание механики деформирования опорного устройства, например, с использованием моделей абсолютно жесткого или упругого, типа вин-клеровского, оснований, приводит к искажению истинного характера нагружения оболочки в области контакта, неправильной оценке напряженного состояния оболочечной конструкции и, в итоге, влияет на ее весовое совершенство. Поэтому изучение вопроса выбора расчетной модели опорного устройства в зависимости от геометрических и физических параметров действительного объекта представляет собой актуальную задачу.

В настоящей работе ложемент рассматривается как упругое тело конечных размеров с геометрическими и физическими параметрами, отражающими граничные условия, геометрию и свойства материала действительного объекта.

Целью работы является:

- изучение влияния геометрических и физических параметров ложемента на распределение котакктных усилий и напряженно-деформированное состояние опорного шпангоута цилиндрической оболочки;

- построение методики регулирования напряженно-деформированного состояния опорного шпангоута за счет изменения геометрических и физических параметров ложемента.

Работа состоит из введения, 4-х глав, заключения, списка литературы и приложения.

Во введении дано обоснование актуальности темы диссертации, сформулирована цель исследований, перечислены результаты, обладающие новизной, кратко изложено содержание работы по главам.

В первой главе приведен обзор работ советских и зарубежных авторов, посвященных изучению контактного взаимодействия оболо-ченных конструкций с ложементами. При анализе результатов, имеющихся в литературе, основное внимание уделялось выявлению особенностей контактного взаимодействия в зависимости от выбора модели деформирования опорного устройства. Анализ результатов включает следующие пункты: расчетная схема и математическая модель, геометрические условия контакта, метод решения, особенности распределения усилий и перемещений в зоне контакта.

Установлено, что в многочисленных, как теоретических, так и экспериментальных, работах различными методами определены контактные усилия, всесторонне исследовано напряженно-деформированное состояние оболочки и подкрепляющих ее элементов, но в силу особенностей постановки задач (ложемент - абсолютно жесткое основание или винклеровское основание) не нашли отражения вопросы, связанные с расчетом ложементов, который принимался во внимание постольку, поскольку необходимо было задать реакции взаимодействия. Анализ известных литературных источников показал также, что имеющихся в них сведений недостаточно для использования их в качестве конкретных рекомендаций при выборе расчетной модели о влиянии физических и геометрических параметров ложемента на параметры контактного взаимодействия. Знание этой зависимости необходимо для оценки пределов применимости моделей абсолютно жесткого и упругого, типа винклеровского, оснований и для изучения возможности регулирования напряженно-деформированного состояния опорного шпангоута за счет изменения геометрических и физических параметров ложемента.

Во второй главе описываются постановка и метод решения контактной задачи для двух упругих тел конечных размеров.

Приведен краткий обзор работ, посвященных вариационным постановкам контактных задач с односторонними связями, отмечены их особенности и преимущества. Проанализированы граничные условия в зоне контакта при двусторонней и односторонней связи между взаимодействующими телами. При использовании вариационного подхода с дальнейшей дискретизацией по методу конечных элементов задача о контакте упругих тел сводится к задаче минимизации функции многих переменных с ограничениями в виде линейных неравенств. Описан алгоритм решения дискретной контактной задачи. С помощью разработанной на основании алгоритма программы для ЕС ЭВМ в качестве модельной решена задача Герца для упругих цилиндра и полупространства.

В третьей главе приведены результаты численного исследования контактного взаимодействия опорного шпангоута постоянной жесткости и упругого ложемента с частичным закреплением на свободном контуре, полученные с помощью комплекса программ. CONTAC для ЕС ЭВМ.

Решены контактные задачи для опорного шпангоута и ложемента с использованием для последнего следующих расчетных моделей: упругий ложемент конечных размеров с частичным закреплением на свободном контуре с прослойкой и без прослойки в зоне контакта, абсолютно жесткое основание с прослойкой и без прослойки в зоне контакта, основание винклеровского типа. Путем анализа и сравнения результатов решения контактных задач с известными решениями и результатами экспериментальных работ оценены пределы применимости моделей абсолютно жесткого и упругого, типа винклеровского, оснований для ложемента в зависимости от физических и геометрических параметров реального объекта. Даются рекомендации относительно выбора расчетных моделей ложемента.

В четвертой главе приведен краткий обзор работ, посвященных оптимальному проектированию упругих тел в условиях контактного взаимодействия. Дана постановка и описан метод решения задачи о регулировании напряженно-деформированного состояния опорного шпангоута за счет изменения геометрических и физических парамет ров ложемента. Представлена характеристика пакета программ DESm реализующих предложенные алгоритмы решения оптимизационных задач на ЭВМ. Программы использовались для решения задач, в которых определены оптимальные, с точки зрения распределения напряжений в шпангоуте, угол охвата ложемента, конфигурация контактной поверхности абсолютно жесткого ложемента, изменение геометрических параметров упругого ложемента, характеризующих его жесткость в окружном направлении.

В заключении перечислены основные результаты работы.

В приложении приведены документы, подтверждающие практическую ценность работы.

Научная новизна работы состоит в следующем: Предложена расчетная схема опорного шпангоута цилиндрической оболочки и упругого ложемента конечных размеров с геометрическими и физическими параметрами, отражающими граничные условия, геометрию и свойства материала реального объекта. Использование этой расчетной схемы позволило проанализировать влияние параметров ложемента на распределение контактных усилий и напряженно-деформированное состояние шпангоута и ложемента и сделать оценку пределов применимости моделей абсолютно жесткого и упругого, типа винклеровского, оснований для ложементов в зависимости от их физических и геометрических параметров. Предложен алгоритм регулирования напряженно -деформированного состояния опорного шпангоута, взаимодействующего^) с жестким ложементом - за счет изменения формы контактной поверхности, б) с упругим ложементом - за счет изменения жесткости ложемента в окружном направлении, а также алгоритм поиска оптимального, с точки зрения уменьшения концентрации напряжений в шпангоуте, распределения усилий на площадке предполагаемого контакта, с использованием которого проведено обоснование выбора угла охвата ложемента.

Основное содержание и результаты работы опубликованы в шести печатных работах /9-11, 76, 77, 89/.

Материалы работы докладывались на семинарах отдела оптимального проектирования тонкостенных конструкций и отдела контактной прочности и хрупкого разрушения Проблемной научно-исследовательской лаборатории прочности и надежности конструкций ДГУ, посвяценных итогам научно-исследовательских работ за 1978-1984 гг., на семинарах кафедры прикладной теории упругости Днепропетровского госуниверситета в 1980, 1985 гг., на семинаре "Оптимальное проектирование конструкций, машин и приборов" научного совета АН УССР по проблеме "Кибернетика" под руководством акад. АН УССР В.И.Моссаковского (Днепропетровск, 1985 г.), на П Всесоюзной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого твердого тела" (Днепропетровск, 1981 г.), Всесоюзной школе молодых ученых и специалистов "Проблемы оптимизации в машиностроении" (Харьков, 1983 г.), Всесоюзной конференции "Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов" (Москва,1983г.), Всесоюзной конференции "Проблемы снижения материалоемкости силовых конструкций" (Горький, 1984 г.).

Результаты диссертационной работы в виде пакета программ для ЕС ЭВМ и графических материалов внедрены в расчетную практику проектной организации с экономическим эффектом 68,535 тыс.руб., использовались при реализации комплексной целевой программы "Сталь", утвержденной Президиумом АН УССР.

Комплекс программ для решения контактной задачи методом конечных элементов передан в фонд алгоритмов и программ Межвузовского вычислительного центра Днепропетровского госуниверситета.

Работа выполнена в Днепропетровском государственном университете в Проблемной научно-исследовательской лаборатории прочности и надежности конструкций.

I. ОСОБЕННОСТИ КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

ТОНКОСТЕННЫХ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ И ОПОРНЫХ УСТРОЙСТВ. ОБЗОР РАБОТ

Расчет и проектирование тонкостенных оболочечных конструкций проводят с учетом совмеетной работы оболочек и связанных с ними конструктивных элементов: стрингеров, шпангоутов, накладок, опорных устройств-ложементов. Реакции взаимодействия, площадки контакта и напряженно-деформированное состояние конструкции определяют в результате решения контактных задач.

Контактные задачи для тонкостенных оболочечных конструкций относятся к направлению инженерных приложений /24/ и делятся на два больших класса:

- контактные задачи для оболочек и шпангоутов, стрингеров, накладок и т.п.;

- контактные задачи для оболочек и опорных устройств.

Первый класс довольно хорошо изучен. Имеется обширная литература, где обобщены и систематизированы результаты по этой теме / 12, 13, 19, 20, 29, 38, 112, 122, 158/.

Второму классу также посвящено большое количество работ советских и зарубежных ученых /21, 28, 29, 80, 88, 158, 175, 177/. Изучение работ существенно облегчается наличием ряда монографий и статей обзорного характера /29, 41, 87, 97-100, 122/.

Взаимодействие тонкостенных оболочек с опорным устройствами осуществляется, как правило, по площадкам контакта, соизмеримым с их поверхностями. В этом случае напряженно-деформированное состояние оболочечной конструкции существенно зависит от характера распределения контактных усилий, уравновешивающих внешнюю нагрузку на оболочку. Распределение контактных усилий в свою очередь зависит от соотношения жесткостей взаимодействующих тел.

В простейшем варианте решения контактной задачи распределение контактных усилий задается приближенно на основе инженерного анализа силовых схем конструкции: например, в работе /107/ - в виде нагрузки, равномерно распределенной по площадке контакта, или в работе /61/ - в виде нагрузки, распределенной по косинусо-идальному закону в окружном направлении и равномерно распределенной по всей области контакта. В итоге задача сводится к определению напряженно-деформированного состояния тонкостенных оболочеч-ных конструкций при заданных локальных нагрузках /20, 34, 38,78/.

Однако результаты теоретических и экспериментальных исследований /10, 25, 26, 39, 152/ показывают, что I) равномерное и косинусоидальное распределение контактной нагрузки соответствует вполне определенным физическим и геометрическим параметрам оболочки и ложемента, возможность их использования оправдана лишь для оболочек, жесткость которых намного больше жесткости основания; 2) определение напряженно-деформированного состояния оболочки необходимо проводить с учетом контактного взаимодействия, т.е. принимая во внимание величину податливости опорного устройства и совместное деформирование его с оболочкой.

Параметрами контактного взаимодействия являются усилия и перемещения в зоне контакта, распределение которых зависит от жесткости взаимодействующих тел. Учет контактного взаимодействия предполагает выбор математической модели, отражающей механику деформирования опорного устройства и характеризующей его жест-костные свойства.

В настоящей работе при анализе результатов, имеющихся в литературе, основное внимание уделяется выявлению особенностей контактного взаимодействия тонкостенных оболочечных конструкций с опорными устройствами в зависимости от выбора математической модели деформирования опорного устройства. Анализ результатов включает следующие пункты: расчетная схема и математическая модель, геометрические условия контакта, метод решения, особенности распределения усилий и перемещений в зоне контакта.

В работах /3, 29, 30, 51-55, 80-82, 93-97, 99, III, 112, 124, 132, 157, 175/ на основании предположения о том, что жесткость ложемента намного больше жесткости оболочки, ложемент рассматривается как абсолютно жесткое основание и решается задача о взаимодействии оболочки и жесткого штампа. В этих работах, как правило, не учитывается ширина зоны контакта, контакт оболочки и штампа осуществляется по дуге окружности. В качестве геометрических условий контакта используется равенство перемещений штампа и оболочки или равенство кривизны основания штампа и из-гибной деформации поверхности оболочки, т.е. перемещения в зоне контакта определяются перемещениями поверхности жесткого штампа. Существенным для этого типа задач является вопрос выбора теории для описания деформации оболочки.

Контактные задачи о нагружении жесткими штампами цилиндрических оболочек с использованием уравнений классической теории оболочек изучены в работах Э.И.Григолюка и В.М.Толкачева /29, 30, 99, III, 112/. Сохраняя гипотезу Кирхгофа-Лява, авторы отказались от гипотезы Герца, суть которой состоит в том, что контактные усилия обращаются в нуль на границе области контакта, если штамп не имеет острых углов. Постановка граничных условий в зоне контакта осуществлена в кривизнах, решение построено на базе сингулярных интегральных уравнений и получено в классе обобщенных функций для штампов с острыми кромками и в классе функций, имеющих особенности типа корня на краю в случае контакта оболочки со штампом без острых углов. Показано, что контактное давление для штампов без острых углов неограниченно возрастает на концах зоны контакта (что не мешает вполне однозначно определить напряженно-деформированное состояние оболочки), а для штампов с острыми углами и двусторонней связи между оболочкой и штампом реакция состоит из сосредоточенных сил на концах зоны контакта и распределенных погонных моментов.

В работе К Branded /132/ на основании классической теории оболочек строится решение контактной задачи для цилиндрической оболочки и жесткого ложемента с радиусом основания немного большим наружного радиуса оболочки. Решение основано на разложении в ряд Фурье по окружной координате и в интеграл Фурье по продольной координате. Искомые нормальные контактные усилия аппроксимируются полиномом с добавлением сосредоточенных сил на концах участка контакта. Коэффициенты полинома и сосредоточенные силы находятся методом коллокаций из условия равенства смещений жесткого ложемента и оболочки.

Известно /30, 99/, что решение для нормальных контактных усилий на основе классической теории оболочек имеет корневую особенность на концах зоны контакта. Если, однако, иметь в виду, что в рамках численного метода, используемого в работе /132/, не представляется возможным выявить точный характер реакции взаимодействия на концах зоны контакта, принятую аппроксимацию следует считать удачной.

Качественно другие результаты получаются при использовании более сложных, по сравнению с классической, уточненных теорий оболочек. Необходимость уточнения обусловлена низким порядком уравнений классической теории, в связи с чем невозможно удовлетворить условию конечности контактных усилий в случае контакта с жестким штампом без острых углов, а также условию конечности скачка контактных усилий при переходе через угловую точку жесткого штампа.

При использовании теории трансверсально-изотропных оболочек, учитывающей сдвиговые деформации, порядок уравнений для изгибных деформаций оболочки выше порядка классических, что позволяет связать исходные интегральные уравнения с условием равенства нулю контактных усилий в точках отрыва оболочки от штампа без острых углов.

Наибольшее развитие такой подход получил в работах Б.Л.Пеле-ха, М.А.Сухорольского /93, 95, 96/, Ю.П.Артюхина /3, 52/. В /95, 96/ предложена теория пологих трансверсально-изотропных оболочек, исследован вопрос об области применимости предложенной модели. Показано, что использование теории трасверсально-изотропных оболочек позволяет получить непрерывный закон распределения нормальных контактных усилий, однако контактные усилия не равны нулю на границе области контакта.

При использовании теории оболочек, учитывающей поперечное (вдоль нормали к поверхности) обжатие, авторами работ /13, 51, 94, 98/ получено решение, оббращающееся в нуль на границе зоны контакта. Учет поперечного обжатия рассматривается эквивалентным введению между штампом и оболочкой послойки в виде упругого винклеровского основания, с коэффициентом податливости С В результате этого выражение для нормальных перемещений в зоне контакта, получает дополнительное слагаемое пропорциональное и записывается в виде уравнения Фредгольма П рода. Сведение задачи к уравнению Фредгольма П рода делает ее математически корректной, а структуру контактного напряжения - близкой к имеющей место в контактных задачах теории упругости.

Формула для С в /51/ получена интегрированием соотношений Гука для поперечных деформаций, в /98/ - ассимптотическим разложением по малым толщинам нормальных перемещений в упругом слое, сцепленном с абсолютно жестким основанием.

В работах Карпенко Т.Н. /53-55/ для получения системы дифференциальных уравнений равновесия оболочки используется один из методов приведения трехмерных задач теории упругости к двумерным задачам теории оболочек Н.А.Кильчевского /59/ в сочетании с методом начальных функций В.З.Власова /19, 20/. Оболочка считается однородной, но учитывается изменение всех величин, характеризующих напряженно-деформированное состояние оболочки вдоль нормальной к срединной поверхности координаты. При такой постановке гипотеза Герца остается в силе.

Решены контактные задачи при двусторонней и односторонней связи между оболочкой и штампом, определены тангенциальные составляющие контактного давления при нагружении оболочки штампом. Показано, что при стремлении толщины оболочки к нулю, результаты совпадают с результатами работ /29, 30/, где используются уравнения классической теории. Недостаток такого подхода состоит в громоздкости предлагаемых уравнений, что не всегда удобно при решении инженерных задач. Но с методической точки зрения предложенный способ уточнения контактных задач перспективен, т.к. позволяет решать задачи на базе более точных уравнений теории оболочек, а затем с помощью предельного перехода исследовать интересующий случай.

В работах Рыбникова M.G. /103, 104, 124/ контактные задачи для оболочек в рамках классической постановки рассматриваются как некорректные задачи ввиду того, что исходные уравнения и граничные условия выполняются приближенно с точностью до погрешности исходной теории. Решение осуществляется с применением известных методов регуляризации /НО/. Показано, что различные приемы учета малых высоких порядков и упругих слоев есть частный случай регуляризованных в некотором смысле уравнений. Такая постановка позволяет осуществить единый подход к контактным задачам для оболочек, вывести необходимые условия существования решения и получить при этом реальные результаты, сохранив все исходные гипотезы и предположения.

Таким образом, решение контактных задач теории оболочек с привлечением более точных теорий, с одной стороны, позволяет получить непрерывное распределение контактных усилий, обращающихся в нуль на границе зоны контакта,с другой стороны, связано с серьезным усложнением вычислительной схемы, что, как утверждается в /50, 112/, не всегда практически может быть оправдано. Если решение контактной задачи проводится с целью определения напряженно-деформированного состояния оболочек, а не контактного давления, то вполне приемлемо применение классической теории оболочек, основанной на гипотезах Кирхгофа-Лява.

Однако,как отмечается в /99/, при создании эффективных приближенных методов решения двумерных контактных задач для тонкостенных оболочек Кирхгофа-Лява следует помнить о некорректности постановки задачи, обусловленной погрешностью, вносимой принятием упрощающих гипотез, и использовать информацию о методах решения таких задач /НО/.

Численными методами контактные задачи для оболочек и жестких штампов решены в работах /151, 152/, где связь между оболочкой и абсолютно жестким ложементом представлялась рядом точечных опор. Реакции опор определялись из условия равенства смещений точек основания и оболочки. Численные результаты также обнаружили существенную концентрацию контактных усилий на концах зоны контакта.

В работе /81/ предлагается вариационная постановка задачи о взаимодействии пологой оболочки с гладким жестким штампом без учета трения в области контакта. Материал оболочки - линейно- и нелинейно-упругий. С применением метода вариационных неравенств

Лионса-Стампаккья задача приводится к проблеме минимизации функционала Лагранжа на множестве допустимых перемещений. Доказываются существование и единственность решения при определенных допущениях о свойствах диаграммы деформирования. В работе /82/ с использованием метода локальных вариаций /121/ получены численные результаты для моделей I) линейно-упругих оболочек с учетом сдвиговой жесткости материала, 2) нелинейно-упругих оболочек с использованием классических гипотез Кирхгофа-Лява, 3) нелинейно-упругих оболочек (среда Генки) с использованием гипотез Типо-шенко. Показано, что различие в перемещениях точек срединной поверхности и углах поворота нормали по трем вариантам расчетов незначительно. Распределение контактного давления, полученное с использованием классических гипотез, имеет особенность на границе зоны контакта, учет конечной сдвиговой жесткости сглаживает эту особенность. Наибольшее влияние нелинейность материала оказывает на величину максимальных напряжений в оболочке.

Задачи о контактном взаимодействии цилиндрических оболочек с упругими опорными устройствами решаются в работах /I, 14, 25, 32, 33, 39, 40, 43-47, 50, 56, 57, 83, 86-88, 114, 137, 152, 177/. Особенности постановки и решения таких задач весьма разнообразны.

В большинстве перечисленных работ упругие свойства опоры моделируются путем введения между оболочкой и ложементом упругого слоя-прокладки, механические свойства которого отождествляются, согласно гипотезе Винклера, с механическими свойствами набора не связанных между собой вертикальных пружин. В этом случае фактически имеется в виду абсолютно жесткий ложемент, так как податливость основания определяется деформативными свойствами только прослойки. Решение контактных задач, как правило, строится на основе классических теорий оболочек при отсутствии касательной нагрузки в области контакта. Наличие в условиях сопряжения елагаемого, пропорционального контактной нагрузке, позволяет свести решение контактной задачи к решению интегрального уравнения П рода и получить непрерывный закон распределения контактных усилий.

В /I/ решена контактная задача для тонкой цилиндрической оболочки, установленной на ложементы. Упругие свойства ложементов подчинены гипотезе Винклера. Для описания напряженно-деформированного состояния оболочки используется полубезмоментная теория, со специальным обоснованием, т.к. в работе /122/ показано, что использование этой теории не всегда может привести к верным результатам. Решение задачи получено в тригонометрических рядах. Показано, что контактные усилия мало меняются в зоне контакта и резко возрастают на краях ложемента, даются рекомендации относительно выбора угла охвата ложемента.

Решение контактных задач для оболочек, опирающихся на ложементы через шпангоуты, наиболее полно представлено в работах В.И.Моссаковского, В.С.Гудрамовича, Е.М.Макеева ( 32, 33, 56, 57, 86-88/. Задачи решаются с использованием тригонометрических рядов для искомой реакции, усилий и смещений в оболочке и шпангоуте. Коэффициенты рядов определяются из условий сопряжения оболочки, шпангоута и ложемента. С помощью процедуры интегрирования функционального уравнения с весовыми тригонометрическими функциями (процедура метода Бубнова) задача сводится к решению бесконечной системы алгебраических уравнений.

В работе /31/ исследуется напряженно-деформированное состояние емкости, состоящей из цилиндрического корпуса и сопряженных с ним с помощью силовых шпангоутов сферических днищ. Проведен расчет основного напряженного состояния цилиндрической оболочки от действия неосесимметричного давления с учетом деформации торцовых сечений, находящихся под действием локальных опорных реакций. Показано, что наличие на торцах емкости сферических днищ существенно увеличивает жесткость оболочки и по мере приближения опор к торцам распределение контактного давления приближается к косинусоидальному.

В работе /32/ изучается влияние на распределение контактного давления граничных условий оболочки, опертой в месте расположения шпангоута на упругое, типа винклеровского, основание. Задача решается методом тригонометрических рядов с введением коэффициентов, учитывающих различные граничные условия. Анализ численных результатов показал, что в случае свободных краев оболочки распределение контактного давления получается таким же, как для бесконечной оболочки /31/. В случае защемленных краев оболочки уменьшение ее длины увеличивает жесткость оболочечной конструкции и распределение контактного давления становится близким к равномерному или косинусоидальному. В случае, когда один край оболочки свободен, а другой защемлен, эпюры контактного давления практически совпадают с эпюрой для неподкреплен-ной оболочки с защемленным краем.

Случай разномодульных на растяжение сжатие прокладок, позволяющий исследовать также односторонний контакт между шпангоутами и прокладками, рассмотрен в /44, 83/. Разномодульность прокладок делает задачу нелинейной, т.к. нелинейным получается уравнение равновесия шпангоута, записанное через прогибы. Решение строится методом последовательных приближений. Показано, что зоны контакта зависят от величины соотношения жесткостей основания и шпангоута и не зависят от величины внешней нагрузки.

Такая же задача, но для нелинейного материала прокладок между шпангоутом и кольцевой опорой описана в работах /40, 45, 46/. Нелинейность выражена ломаной линией зависимости между нормальной реакцией и прогибом, что позволяет после разбиения зоны контакта на участки записать линейную зависимость в пределах каждого участка. Показано, что при нелинейном основании величина внешней нагрузки существенно влияет на распределение контактного давления.

В работе /47/ решена задача для кругового шпангоута и упругого ложемента с учетом сил трения. Упругая прокладка считается односторонней, нормальные контактные усилия пропорциональны нормальным перемещениям. Зона контакта разделяется на участки сцепления, где контактные касательные усилия пропорциональны касательным перемещениям, и участки скольжения, где касательные контактные усилия пропорциональны нормальным усилиям. Строится итерационный процесс, в результате которого определяется область сцепления и скольжения,напряженно-деформированное состояние шпангоута. Показано, что учет трения приводит к значительному снижению радиального контактного давления вблизи краев ложемента и в некоторых случаях нагружения - к существенному уменьшению изгибных деформаций шпангоута.

В работах /56, 57/ решается контактная задача для подкрепленной цилиндрической оболочки при опирании на упругие ложементы произвольной протяженности в продольном и поперечном направлениях. Для ложемента принимается модель упругого основания винклеровского типа с двусторонними и односторонними связями. Показано, что расположение вдоль оси оболочки и угол охвата ложемента оказывают большее влияние, чем его длина, на распределение контактного давления и напряженно-деформированное состояние оболочки.

Обширный числовой материал систематизирован и обобщен в монографии /88/, где представлен ряд контактных задач для произвольных систем оболочек, взаимодействующих с упругими ложементами .

Характерным для работ, в которых рассматривается оболочка, опирающаяся на ложементы через шпангоуты, является использование для оболочки полубезмоментной теории, что можно считать оправданным /30/, так как опорные шпангоуты существенно сглаживают концентрацию нагрузок, передающихся на оболочку от ложементов. При определении контактного давления между подкрепленной оболочкой и ложементом в этих работах, по сути дела, рассматривалось контактное взаимодействие ложемента и кольца, жесткость которого определенным,довольно сложным,образом.уточнена с учетом жесткости оболочки. Как отмечено в монографии /88/, схему с круговым кольцом можно считать основной при определении контактного давления для подкрепленной оболочечной конструкции.

Численными методами контактные задачи для тонкостенных оболочек и упругих ложементов решены в /50, 151/.

В /151/ рассматривается задача о контакте тонкой упругой оболочки с круговым ложементом. Задача решена методом сил для различных сочетаний геометрических параметров оболочки и ложемента. Приведены данные, характеризующие распределение контактного давления в зависимости от угла охвата ложемента. Показано, что рациональный выбор угла охвата ложемента способствует снижению концентрации контактного давления на краях площадки контакта.

В /50/ описан численный метод расчета напряженного состояния цилиндрических оболочек в окрестности площадки контакта с упругими опорными элементами.

Задача рассмотрена в рамках классической теории Кирхгофа-Лява с учетом нормальных и касательных составляющих контактных усилий. Упругие свойства опоры описаны с помощью матрицы влияния, построенной методом конечных элементов для плоской задачи. Показано, что для тонкостенных оболочек использование классической теории позволяет удовлетворительно описывать напряженное состояние оболочки в области над опорой и распределение контактного давления по поверхности сопряжения.

Экспериментальному исследованию контактного взаимодействия оболочки с опорными устройствами и жесткими накладками посвящены работы /25, 39, 48, 50, 71, 150/. Малочисленность этих работ обусловлена трудностями, связанными с недоступностью области контакта для измерения величин параметров контактного взаимодействия.

Как правило, экспериментальные исследования проводились для подтверждения полученных теоретических результатов. Методы тен-зометрирования использовались в /25, 50, 71/ в /150/ предложен метод определения напряженно-деформированного состояния оболочки непосредственно в области контакта, в /39/ методом фотоупругости исследован характер распределения усилий в области контакта подкрепленной цилиндрической оболочки с ложементами, в /48/ распределение контактного давления определено косвенно -по результатам замеров радиальных перемещений изолированного и соосно сопряженных колец,лежащих на упругих ложементах.

Как в теоретических, так и в экспериментальных работах, посвященных изучению контактного взаимодействия тонкостенных оболочек и опорных устройств, различными методами определены контактные усилия, всесторонне исследовано напряженно-деформированное состояние оболочки и подкрепляющих ее элементов, но в силу особенностей постановки задач не нашли отражения вопросы, связанные с расчетом ложементов, которые принимались во внимание постольку, поскольку необходимо было задать реакции взаимодействия.

Анализ литературных источников показал также, что имеющихся в них сведений недостаточно для использования в качестве конкретных рекомендаций при выборе расчетных моделей для реальных опорных устройств, главным образом, из-за отсутствия данных о влиянии конструктивных особенностей ложемента на распределение контактных усилий и перемещений в зоне контакта.

Назовем модуль упругости материала ложемента физическим параметром, размеры ложемента, определяющие угол охвата, конфигурацию опорной поверхности и кинематические граничные условия -геометрическими параметрами. Опорной поверхностью назовем поверхность ложемента, все точки которой неподвижно закреплены.

При моделировании ложемента жестким штампом (основанием) из всех параметров, характеризующих ложемент, принимались во внимание угол охвата и радиус контактной поверхности. Деформативные свойства и конструктивные особенности реального ложемента в расчете не учитывались. Следует иметь в виду, что использование модели жесткого основания в расчетах реальных объектов в большинстве случаев увеличивает запас прочности оболочки и может быть оправдано лишь для ложементов, жесткость которых намного больше жесткости оболочки.

С использованием для ложемента модели упругого, типа винк-леровского, основания кроме угла охвата и радиуса контактной поверхности приближенно, путем задания коэффициента пропорциональности между усилиями перемещениями в зоне контакта, учитывались деформативные свойства реального ложемента. Однако расчетная схема, используемая в этом случае, не позволяет определить напряженно-деформированное состояние ложемента, так как основание Винклера не описывает деформацию тела, а только приближенно задает его реакцию в области контакта.

Напряженно-деформированное состояние опорных устройств необходимо знать при проектировании, например, транспортных средств для тонкостенных оболочечных конструкций, когда в связи с ограничениями на размеры ложемента его жесткость соизмерима с жесткостью опорного шпангоута. В этом случае распределение контактных усилий и налряженно-деформированное состояние взаимодействующих тел существенно зависит от физических и геометрических параметров ложемента /10/.

Для определения напряженно-деформированного состояния упругого тела необходимо знать его геометрию, статические и кинематические граничные условия. С использованием расчетных моделей жесткого или упругого, типа винклеровского, оснований не представляется возможным решить широкий класс практически важных задач, связанных с определением напряженно-деформированного состояния опорных устройств.

Остается не исследованным влияние физических и геометрических параметров ложемента на распределение контактных усилий и напряженно-деформированное состояние взаимодействующих тел. Знание этой зависимости необходимо:

1) для построения расчетной схемы ложемента, учитывающей граничные условия, геометрию и свойства материала реального объекта;

2) для оценки пределов применимости моделей жесткого и упругого, типа винклеровского, оснований для ложементов в зависимости от их физических и геометрических параметров;

3) для изучения возможности регулирования напряженно-деформированного состояния контактирующих оболочечной конструкции и ложемента за счет изменения физических и геометрических параметров ложемента.

Решению этих вопросов посвящены следующие главы настоящей работы.

Основные результаты по диссертационной работе состоят в следующем:

1. Предложена расчетная схема опорного шпангоута цилиндрической оболочки и упругого ложемента конечных размеров, позволяющая учитывать геометрию, свойства материала, фактические граничные условия реального объекта.

2. Разработана методика и алгоритм расчета контактных усилий и напряженно-деформированного состояния опорного шпангоута и упругого ложемента. На основе алгоритма разработан комплекс программ для ЕС ЭВМ.

3. Проведен анализ влияния параметров ложемента на распределение контактных усилий и перемещений в зоне контакта.

4. Сделана оценка пределов применимости расчетных моделей абсолютно жесткого и упругого, типа винклеровского, оснований для ложементов в зависимости от их жесткости и условий закрепления на свободном контуре.

5. Предложен алгоритм регулирования напряженно-деформированного состояния опорного шпангоута за счет изменения параметров ложемента. На основе алгоритма разработан пакет программ для ЕС ЭВМ.

6. В результате решения конкретных задач выявлены механические эффекты, учет которых в практике проектирования опорных устройств для подкрепленных оболочечных конструкций позволит улучшить их характеристики.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Акулыпина Т.С., Тищенко В.Н., Шевченко В.П. Контактная задача для круговой цилиндрической оболочки. - Прикл.механика, 1973, т. 9, № 5, с. 16-23.

2. Александров А.И., Грачев В.Ф. К решению контактной задачи теории упругости с помощью метода конечных элементов. В кн.: Колебания и динамич. качества мех. систем. Киев: Наук, думка, 1983, с. 35-39.

3. Артюхин Ю.П., Теркина B.C. Геометрически нелинейная контактная задача для цилиндрической оболочки и жесткого ложемента. В кн.: Устойчивость пластин и оболочек. Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 1981, с. 45-47.

4. Баничук Н.В.Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука, 1980, 255 с.

5. Баничук Н.В. Современные проблемы оптимизации конструкций. -Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1982, № 2, с. II0-I24.

6. Баранов A.M., Дайковский А.Г., Португалов Ю.И., Федосеев А.И. Решение контактной задачи теории упругости методом конечных элементов. Серпухов, 1979. - II с. - (Препринт/АН СССР, Ин-т физики высок, энергий).

7. Барлам Д.М. Решение контактной задачи теории упругости методом конечных элементов. Пробл. прочности, 1983, № 4,с. 39-43.

8. Вельский В.Г. Применение метода конечных элементов в задачах оптимизации формы плоских упругих тел. В кн.: Металлические конструкции, Л.: ЛИСИ, 1983, с. I04-II4.

9. Бинкевич Е.В., Летучая С.А., Моссаковский В.И. Особенности контактного взаимодействия кольца и упругого ложемента, установленного на точечные опоры. В кн.: Прочность и надежность элементов конструкций. Киев: Наук, думка, 1982, с. 1322.

10. Бинкевич Е.В., Летучая С.А. Контактная задача для кольца и упругого ложемента. Прикл. механика, 1984, вып. 10,с. 79-84.

11. Бинкевич Е.В., Летучая С.А., Лыськов М.И. Метод конечных элементов в задачах снижения материалоемкости. В кн.: Всесоюз. конф. "Проблемы снижения материалоемкости силовых конструкций", Горький, 23-25 окт. 1984 г.: Тез. докл.Горький: ГГУ, 1984, с. II—12.

12. Биргер И.А. Контактные задачи теории стержней, пластинок и оболочек. В кн.: Тр. IX Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. 1973. Л.: Судостроение, 1975, с. 23-25.

13. Блох М.В. Об особенностях контакта тонкостенных тел. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1977, № 4, с. 202-203.

14. Божкова Л.В., Паненкова Т.П. 0 контактном взаимодействии цилиндрической оболочки и упругого основания. В кн.: Тр. УП Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин, Днепропетровск, 1969. М.: Наука, 1970, с. 88-92.

15. Боткин М.Э. Оптимизация формы конструкций типа пластин и оболочек. Ракетная техника и космонавтика, 1982, т. 20, № 3, с. 128-135.

16. Вандерплаац Г.Н. Оптимизация конструкций прошлое, настоящее и будущее. - Аэрокосмическая техника, 1983, т. I, № 2, с. 129-140.

17. Васильев В.А. Конечноэлементный анализ контактных задач для линейно- и нелинейно упругих тел конечных размеров: Автореф. дис. . канд. физ.-мат.наук. М., 1977. - 20 с.

18. Власенко Ю.Е., Кузьменко В.И., Фень Г.А. Контактная задача для упругопластического многослойного пакета с учетом отставания слоев. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1978, № 5, с. 68-77.

19. Власов В.З. Контактные задачи теории оболочек и тонкостенных стержней. Изв. АН СССР. Отделение технических наук, 1949, № 6, с. 819-837.

20. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике.-М.: Гостехиздат, 1949. 756 с.

21. Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты, оболочки на упругом основании. М.: Физматгиз, I960. - 491 с.

22. Вовкушевский А.В. Расчет массивных сооружений с односторонними связями методом конечных элементов: Автореф. дис. . канд. техн. наук. Л.1977. - 24 с.

23. Вовкушевский А.В., Зейлигер В.А. К решению задач теории упругости с односторонними связями методом конечных элементов.-Изв. ВНИИ гидротехн., 1979, т. 129, с. 27-31.

24. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. - 455с.

25. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупру-гости. М.: Наука, 1980. - 340 с.

26. Гловински Р., Лионе Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. М.: Мир, 1979. - 576 с.

27. Горбунов-Посадов М.И., Маликова Т.А. Расчет конструкций на упругом основании. М.: Стройиздат, 1973. - 627 с.

28. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Контактные задачи теории пластин и оболочек. М.: Машиностроение, 1980. - 415 с.

29. Григолгок Э.И., Толкачев В.М. Контактная задача для полубесконечной цилиндрической оболочки. Прикл. математика и механика, 1971, т. 35, вып. 5, с. 831-839.

30. Гудрамович B.C., Моссаковский В.И. Контактная задача для упругого кольца, подкрепляющего цилиндрическую оболочку. Изв. АН СССР. Механика и машиностроение, 1961, № 2, с. 153-156.

31. Гудрамович B.C. и др. Контактная задача для подкрепленной цилиндрической оболочки конечной длины, лежащей на круговом основании. В кн.: Гидроаэромеханика и теория упругости, вып. 8, Харьков: ХГУ, 1968, с. 97-105.

32. Гудрамович B.C., Пурель А.А. Контактные задачи для системы оболочек и кругового основания. В кн.: Теория оболочек и пластин. Тр. УШ Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. Ростов-на-Дону, 1971. М.: Наука, 1973, с. 28-35.

33. Даревский В.М. Контактные задачи теории оболочек (Действие локальных нагрузок на оболочку). В кн.: Тр. У1 Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин, Баку, 1966. М.: Наука, 1966, с. 540-551.

34. Джонсон. Перспективы развития проблем оптимизации. Конструирование и технология машиностроения, 1981, т. 103, № 4, с. 1-4.

35. Дувидзон И.А. Уманский С.Э. К вопросу о решении контактных задач теории упругости и пластичности. Пробл. прочности, 1982, № I, с. 50-54.

36. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. - 383 с.

37. Жигалко Ю.П. Расчет тонких упругих цилиндрических оболочек на локальные нагрузки (методы, результаты). В кн.: Исслед. по теории оболочек и пластин. Казань: КГУ, 1966, вып. 4,с. 66-78.

38. Загубиженко П.А., Гашко А.П., Литвиненко Ю.А. К вопросуо давлении цилиндрического резервуара на опорные ложементы. В кн.: Гидроаэромеханика. Харьков: Изд-во Харьков, ун-та, 1965, вып. 2, с. 84-87.

39. Зайденберг А.И., Ивченко Е.В., Макеев Е.М. Контактная задача для круговой цилиндрической оболочки и незамкнутого кругового стержня. Проблемы прочности, 1977, № 4, с. 58-62.

40. Зарипов P.M. Взаимодействие цилиндрической оболочки с твердым деформируемым телом: Обзор. В кн.: Статика и динамика оболочек, Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1977, вып. 8, с. 106112.

41. Зенкевич 0. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир,1975. 599 с.

42. Ивченко Е.В., Макеев Е.М. Контактное взаимодействие соосныхколец с односторонним круговым упругим основанием. -Прикл. механика, 1976, т. 12, № I, с. 57-62.

43. Ивченко Е.В. Деформация кругового кольца на одностороннем упругом основании. В кн.: Контактная прочность пространственных конструкций. Киев: Наук, думка, 1976, с. 126-138.

44. Ивченко Е.В., Макеев Е.М. К расчету кольца на круговом нелинейном основании. Строит, механика и расчет сооружений,1976, № 5, с. 35-38.

45. Ивченко Е.В., Макеев Е.М. Исследование прочности цилиндрической оболочки при локальном взаимодействии с нелинейным круговым основанием. Пробл. прочности, 1976, № 10, с. 2631.

46. Ивченко Е.В., Макеев Е.М. Исследование контактного взаимодействия кругового кольца и упругого ложемента произвольного очертания с учетом трения. Прикл. механика, 1977, №12, с. 87-92.

47. Ивченко Е.В. Экспериментальное исследование деформированного состояния и контактного взаимодействия соосно сопряженных колец. В кн.: Прочность и надежность элементов конструкций. Киев: Наук, думка, 1978, с. 57-60.

48. Ицкович И.А. 0 задаче Синьорини. В кн.: Оптимизация, Новосибирск, 1980, вып. 24 (42), с. 70-74.

49. Канаун С.К. Эльковская Т.М. К вопросу о напряженном состоянии цилиндрических оболочек в окрестности опорных элементов. -Пробл. прочности, 1979, № 4, с. 58-62.

50. Карасев С.Н. Цилиндрическая оболочка, лежащая на жестком ложементе. В кн.: Сб. аспирантских' работ Казанского ун-та. Точные науки. Математика и механика. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1976, с. I19-125.

51. Карасев С.Н., Артюхин Ю.П. Влияние поперечного сдвига и обжатия на распределение контактных напряжений. В кн.: Исслед. по теории пластин и оболочек. Казань:Изд-во Казан, ун-та, 1976, вып. 12, с. 68-77.

52. Карпенко Т.Н., Григорович В.М. Определение размеров области контакта при взаимодействии цилиндрической оболочки с жестким ложементом. Хим. машиностроение. Киев: Наук, думка, 1979, вып. 30, с. 43-47.

53. Карпенко Т.Н. Контактная задача для цилиндрической оболочки со штампом в условиях сцепления. Прикл. механика, 1980,5, с. 57-61.

54. Катан Л.И., Макеев Е.М. Исследование прочности цилиндрической оболочки при поперечном нагружении и локальном контактном взаимодействии с упругим основанием. В кн.: Прочность и долговечность элементов конструкций. Киев: Наук, думка, 1983, с. 96-102.

55. Керчман В.И. Экстремальные свойства упругой энергии и новые вариационные принципы в односторонних задачах для штампов и трещин. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1981, № 5, с. 68-77.

56. Кильчевский Н.А. Основы аналитической механики оболочек. Ч. I, Киев: Изд-во АН УССР, 1963. 354 с.

57. Кильчевский Н.А., Костюк Э.Н. 0 развитии в XX веке теории контактного взаимодействия между твердыми телами. Прикл. механика, 1956, т. 2, вып. 8, с. 32-39.

58. Клейн Г.К. Расчет надземных трубопроводов. М.: Стройиздат, 1966. - 240 с.

59. Конри Т.Ф., Сейрег А. Метод математического программирования в применении к проектированию находящихся в контакте упругих тел. В кн.: Тр. Амер. о-ва инж. мех. Сер. Е. Прикл. мех., 1971, т. 38, № 2, с. 96-102.

60. Кравчук А.С. К задаче Герца для линейно и нелинейно упругих тел. Прикл. математика и механика, 1977, т. 41, вып. 2, с. 329-337.

61. Кравчук А.С. Постановка задачи о контакте нескольких деформируемых тел как задачи нелинейного программирования. -Прикл. математика и механика, 1978, т. 42, № 3, с. 466-474.

62. Кравчук А.С. Постановка задачи о контакте вязкоупругого тела с абсолютно жестким штампом и численные методы ее решения. В кн.: Исслед. по теории упругости и вязкоупругости конструкций и материалов. - Свердловск, 1979, с. 3-12.

63. Кравчук А.С. К теории контактных задач с учетом трения на поверхности соприкосновения. Прикл. математика и механика, 1980, т. 44, вып. I, с. 122-129.

64. Кравчук А.С. Об учете трения в контактных задачах. В кн.: Прикл. вопросы деформируемых тел, Томск, 1980, с. 78-84.

65. Кравчук А.С., Васильев В.А. Численные методы решения контактной задачи для линейно- и нелинейно упругих тел конечных размеров. Прикл. механика. 1980, т. 16, вып. 6, с. 9-15.

66. Кравчук А.С., Сурсяков В.А. Численное решение геометрически нелинейных задач. Докл. АН СССР, 1981, т. 259, № 6,с. 1327-1329.

67. Кравчук А.С., Васильев В.А. Численное решение задачи о поиске оптимальной формы штампа при контакте двух тел. Расчеты на прочность, 1981, № 22, с. 38-50.

68. Кращук А.А. Экспериментальное исследование пологих цилиндрических оболочек, лежащих на упругом основании. В кн.: Кратк. содерж. докл. к 28 Науч. техн. конф. Новосиб. инж.-строит. ин-та. Новосибирск, 1971, с. 164-165.

69. Кузьменко В.И. 0 вариационном подходе в теории контактных задач для нелинейно упругих слоистых тел. Прикл. математикаи механика, 1979, т. 43, вып. 5, с. 893-901.

70. Кузьменко В.И. Контактные задачи для упругопластических слоистых тел: Автореф. дис. . канд. физ-мат. наук. Днепропетровск, 1981. - 21 с.

71. Кузьменко В.И. 0 контактных задачах теории пластичности при сложном нагружении. Прикл. математика и механика, 1984, т. 4, вып. 3, с. 473-482.

72. Кузьменко В.И. Трехмерные контактные задачи для многослойного упругопластического пакета. Изв. АН УССР. Механика твердого тела, 1984, № 4, с. I05-II2.

73. Летучая С.А. О контактном взаимодействии кольца и упругого ложемента. В кн.: Гидроаэромеханика и теория упругости, вып. 28, Днепропетровск: ДГУ, 1981, с. 99-104.

74. Лизин В.П., Пяткин В.А. Проектирование тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1976. - 406 с.

75. Лионе ЖгЛ. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: 1972. - 412 с.

76. Лукаш П.А., Божкова Л.В., Ильина М.Г. 0 контактном взаимодействии длинного цилиндрического резервуара с жестким основанием с учетом деформации сдвига. В кн.: Некотор. вопр. расчета строит, конструкций. М., 1983, с. 58-71.

77. Львов Г.И. Вариационная постановка контактной задачи для линейно-упругих и физически нелинейных пологих оболочек. -Прикл. математика и механика, 1982, т. 46, № 5, с. 841-846.

78. Львов Г.И. Исследование контактного взаимодействия нелинейно-упругих оболочек конечной сдвиговой жесткости со штампами. -Прикл. механика, 1984, т. 20, № 3, с. 49-54.

79. Макеев Е.М. К расчету цилиндрической оболочки, лежащей на упругом основании. В кн.: Прочность и надежность конструкций. Киев: Наук, думка, 1978, с. 87-93.

80. Малков В.П., Морозов В.Д. Комбинированный подход к многопараметрической оптимизации. Прикл. пробл. прочности и пластичности, 1977, вып. 7, с. 85-90.

81. Малков В.П., Угодчиков А.Г. Оптимизация упругих систем. М.: Наука, 1981. - 288 с.

82. Моссаковский В.И., Макеев Е.М. Расчет кругового кольца и сопряженных с ним цилиндрической и сферической оболочек на действие сосредоточенной нагрузки. В кн.: Расчет пространствен. конструкций. М.: Стройиздат, 1969, вып. 12, с.96-III.

83. Моссаковский В.И., Гудрамович B.C. Контактные задачи теории оболочек. В кн.: Контактная прочность пространственных конструкций. Киев: Наук, .пумка, 1976, с. 3-40.

84. Моссаковский В.И., Гудрамович B.C., Макеев Е.М. Контактные задачи теории оболочек и стержней. М.: Машиностроение, 1978. - 243 с.

85. Нигина Е.Л. К решению контактных задач методом конечных элементов. Машиноведение, 1978, № 5, с. 87-92.

86. Паймушин В.Н. К вариационным методам решения нелинейных пространственных задач сопряжения деформируемых тел. Докл.

87. АН СССР, 1983, т. 273, № 5, с. 1083-1086.

88. Пацельт И. Некоторые оптимизационные задачи, связанные с контактными задачами линейной теории упругости. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1980, № 3, с. 70-75.

89. Пелех Б.Л., Сухорольский М.А. Взаимодействие системы жестких гладких штампов с упругими цилиндрическими оболочками из армированных пластиков. Прикл. механика, 1974, т. 10, вып. 4, с. 26-30.

90. Пелех Б.Л. Некоторые особенности постановки и решения контактных задач о взаимодействии упругих цилиндрических оболочек ствердом жестким телом. В кн.: Избранные проблемы прикладной механики. М.: ВИНИТИ, 1974, с. 559-567.

91. Пелех Б.Л., Сухорольский М.А. О приближенных представлениях разрешающих уравнений теории пологих оболочек применительно к решению контактных задач. Докл. АН УССР, сер. А, 1975, № 4, с. 351-354.

92. Пелех Б.Л., Сухорольский М.А. Контактные задачи теории упругости анизотропных оболочек. Киев: Наук, думка, 1980. 214с.

93. Пелех Б.Л. Контактная проблема теории оболочек. В кн.: Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Материалы УП Всесоюз. конф. Новосибирск, 1982, с. 2932.

94. Попов Г.Я. 0 контактных задачах для оболочек и пластин. -В кн.: Тр. X Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. Т. I. Тбилиси: Мецниереба, 1975, с. 244-251.

95. Попов Г.Я., Толкачев В.М. Проблема контакта жестких тел с тонкостенными элементами. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1980, № 4, с. 192-206.

96. Развитие теории контактных задач в СССР/0тв. ред. Галин Л.А.-М.: Наука, 1976. 493 с.

97. Рейтман М.И., Шапиро Г.С. Методы оптимального проектирования деформируемых тел. М.: Наука, 1976. - 314 с.

98. Розин Л.А. Вариационные постановки задачи теории упругости с идеальными односторонними связями задачи Синьорини. - В кн.: МКЭ и строит, механика. Тр. Ленингр. политехи, ин-та,

99. Л.: Изд-во Ленингр. политехи, ин-та, 1979, с.3-16.

100. Рыбников М.С., Тищенко В.Н., Шевляков Ю.А. Контактная задача для цилиндрической оболочки, опертой на ложементы. В кн.: Тр. Николаевск, кораблестроит. ин-та, вып. 125, Николаев: НКИ, 1977, с. 68-75.

101. Рыбников М.С. Некоторые контактные задачи для тонких круговых цилиндрических оболочек: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. М., 1978. - 18 с.

102. Рыжов Э.В., Сакало В.И., Подлеснов Ю.П. Решение контактных задач релаксационным методом конечных элементов. Машиноведение, 1980, № 6, с. 64-69.

103. Сазонов В.А., Трояновский И.Е. Решение контактной задачи при неизвестной области контакта. Расчеты на прочность и жесткость, 1979, № 3, с. II6-II9.

104. Сизько В.Г. Шевляков Ю.А., Шевченко В.П. Напряженно-деформированное состояние цилиндрических резервуаров в районе опор. В кн.: Гидроаэромеханика и теория упругости. Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1967, вып. 6, с. 113—121.

105. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. - 349 с.

106. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач.-М.: Мир, 1980. 512 с.

107. НО. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. - 285 с.

108. Толкачев В.М. Действие острых штампов на бесконечно длинную цилиндрическую оболочку. Прикл. математика и механика, 1971, т. 35, вып. 4, с. 734-739.

109. Толкачев В.М. Некоторые контактные задачи теории оболочек: Дис. . д-ра фиа-мат. наук. М., 1973. - 402 с. - Машинопись.

110. Троицкий В.А., Петухов Л.В. Оптимизация формы упругих тел.-М.: Наука, 1982. 432 с.

111. Фарид А., Дейвуз Р. Цилиндрические оболочки на упругом основании. В кн.: Междунар. конф. по облегченным пространственным конструкциям для строительства в обычных и сейсмических районах. Алма-Ата, 1977. - М.: Стройиздат, 1977, с. 202-203.

112. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974. - 160 с.

113. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве. М.: Мир, 1982. - 304 с.

114. Фридман В.М., Чернина B.C. Решение задачи о контакте упругих тел итерационным методом. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1967, № I, с. II6-I20.

115. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. -М.: Мир, 1975. 543 с.

116. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. М.: Физматгиз, 1967. - 506 с.

117. Хлуднев A.M. К проблеме контакта линейно упругого тела с упругими и жесткими телами (вариационный подход). Прикл. математика и механика, 1983, т. 47, № 6, с. 999-1005.

118. Черноусько Ф.Л., Баничук В.Н. Вариационные задачи механики и управления. М.: Наука, 1973. - 240 с.

119. Чернышев Т.Н. 0 контактных задачах в теории оболочек. -В кн.: Тр. Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. Днепропетровск, 1969. М.: Наука, 1970, с. 898-903.

120. Численные методы условной оптимизации / Под ред. Ф.Гилла и У.Мюррея. М.: Мир, 1977. - 290 с.

121. Шевляков Ю.А., Рыбников М.С. Взаимодействие цилиндрической оболочки с жесткими ложементами. Прикл. механика, 1982, т. 18, вып. 8, с. 63-70.

122. Шевченко Ю.А. Применение метода конечных элементов к решению контактной задачи теории упругости с переменной зоной контакта без трения. Ученые записки ЦАГИ, 1976, т. УП,6, с. 139-147.

123. Штаерман Н.Я. Контактные задачи теории упругости. М.-Л.: Гостехиздат, 1949. - 270 с.

124. Эшли X. Оптимизация в авиации. О том, как делать все наилучшим образом. Аэрокосмическая техника, 1983, т. I, №4, с. 161-195.

125. Benedict R.L., Taylor J.E. Optimal design for elastic bodies in contact. In: Optimizat. Distrib. Parameter. Stract. Vol.2. Alphen aan den Rijn, Rockville, md. 1981, p. 15531559.

126. Benedict R.L. Maximum stiffness design for elastic bodies in contact. In: Trans. ASME: J. Mech. Des., 1982, v.104, II 4, P. 825-830.

127. Betz E., Levinson M.A. A method for the numerical solution of contact problems. Mech. Res. Communs, 1976, v.3, N 4, p. 307-312.

128. Boucher H. Signorini's problem in viscoelasticity. In: Mech. Contact. Deform. Bodies, Delft, 1975, p. 41-53.

129. Brandes K. Die Zagerung des Krieszulinderrohres auf einem starren Zinien lager. Beitrag sur practischen Berechnung der kontaktkrafte. Stahlbau, 1971, H 10, s. 298-311.

130. Cannarozzi A.A. On the resolution of the some unilaterally costrained problems in structural engineering. Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng., 1980, v.24, H 3, p. 339-357.

131. Chan S., Tuba I.S. A finite element method for contact problems of solid bodies. Int. Mech. Sci., 1971, v.13, N 7,p. 615-639.

132. Chand R., Haug E.J., Rim K. Analysis of unbonded contact problems by means of quadratic programming. J. optimiz. Theory and Appl., 1976, v.20, N 2, p. 179-189.

133. Choi K.K., Haug E.J. Shape design sensitivity analysis ofelastic structures. J. Struct. Mech., 1983, v.II, IT 2, p. 231-269.

134. Das J.C., Kedia K.H. Shell on elastic foundations. IN: Trans. 4th Int. Conf. Struct. Iviech. React. Technol., San-Francisco, Calif., 1977, vol.M. Amsterdam, e.a., 1977,p. M3.6II-M3.6I9.

135. Dems K., Mroz Z. Multiparameter structural shape optimization by the finite element method. Int. J. Humer. Mech. Eng., 1978, v.I3, II 2, p. 247-263.

136. Falk R.S. Error estimates for the approximation of a class of variational inequalities. — Math. Сотр., 1974, v.28,1. 128, p. 963-971.

137. Francavilla A., Zienkiewicz O.C. A note on numerical computation of elastic contact problems. Int. JV ITumer. Meth. Eng., 1975, v.9, IT 4, p. 913-924.

138. Fredriksson B. Finite element solution of surfase non-linearities in structural mechanics with special emphasis to contact and fracture mechanics problems. Comput. and Struct., 1978, v.6, К 4-5, p. 281-290.

139. Haug E., Chand R., Rim K. Multibody elastic contact analysis by quadratic programming. J* optimiz. Theory and Appl., 1977, v.2I, N2, p. 189-198.

140. Herrmann L.R. Finite element analysis of contact problems. -J. Eng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng., 1978, v.104, p. Ю43-Ю57.

141. Hung B.D.,Saxce G. Frictionless contact of elastic bodies by finite element method and mathematical programming technique. Comput. and Struct., 1980, v.II, И 1-2, p. 55-67.

142. Janowsky V., Prochazka P. Contact problem of two elastic bodies. Part I,II,III. Apl. mat., 1980, v.25, IT 2, p. 87-136.

143. Kalker J.J. Aspects of contact mechanics. Ivlech. Contact. Deform. Bodies. Delft, 1975, p. 1-25.

144. Kalker J.J. Variational principles of contact elastostatics. J. Hum. Math, and Appl., 1977, v.20, H 2, p. 199-219.

145. Kalker J.J., Allaert H.J.C., De 4il J. The numerical calculation of the contact problem in the theory of elasticity. -In: Nonlinear Finite Elem.' Anal. Struct. Mech. Proc. Eur.-U.S. Works -hop, Bochum, 1980, Berlin e.a., 1981; p. 637-654.

146. Kikuchi H., Taylor J.E. Shape optimization for unilataral elastic contact problems. In: ITumer. Meth. Coupl. Probl. Proc. Int. Conf., Swansea, 7-И Sept., 1981, Swansea, 1981, p. 430-441.

147. Kitching R., Hughes J.P. Stresses near local attachment on cylindrical shell reinforced by welded-on pad. Arch, budowy maszyn, 1977, v. 24, IT 2, p. 165-175.

148. Krupka V. The contact between a rigid or flexible saddle support and a thin elastic shell. -Arch. bud. Masz., 1977, v.24, IT 2, p. 177-185.

149. Krupka V. An analysis for lug or saddle-supported cylindrical pressure vessels. In: Proc. First Int. Conf. on Pressure Vessel

150. Technology. Delft, North Holland, 1969, p. 28-33.

151. Light R.A., Gossard D.C. Variational geometry: a new method for modifying part geometry for finite element analysis. -Comput. and Struct., 1983, v.17, H 5-6, p. 903-909.

152. Lions J.-L., Stampacchia G. Variational inequalities. — Com-muns. Pure and Appl. Math., 1967, v.20, IT 3, p. 493-579.

153. Loppin G., Poinconment d'un support elastique et applications numeriques. J. mec., 1978, v.17, N 3, p. 455-479.

154. Mazurkiewicz M., Ostachowicz W. Theory of finite element method for elastic contact problems of solid bodies. Comput.and Struct., 1983, v.17, N I, p. 51-59.

155. Mizoguchi K., Hatsuda T. Strength of a horizontal reservoir supported partially by two saddles in its cylindrical part. -Trans. Japan. Soc. Mech. Engrs, 1975, v.41, H 341, p. 63-70.

156. ITaghdi P.M. On the formulation of contact problems of shelland plates. J. Elast., 1975, v.5, И 3-4, p. 379-398.

157. ITecas J. Variational inequalities in elasticity and plasticity with applications to Signorini's problem and to flow theory of plasticity. Z. angew. Math, und Mech., 1980, v.60,1. H 6, p. 20-26.

158. Nedler J.A., Mead R. A simplex method for function minimization. -Computer J., 1965, v.7, p. 308-313.

159. Oda J. An automatic analysis of the elastic contact problems by the point-matching method. Bull. JSME, 1976, v.42, N 135, p. I00I-I006.

160. Oden J.T. Exterior penalty method for contact problems inelasticity. In: Nonlinear finite element anal. Struct. Mech.v

161. Proc. Eur.-U.S. Worshop, Bochum, 1980, Berlin e.a., 1981, p. 655-665.

162. Okamoto IT., Nakazawa M. Finite element incremental contact analysis with various frictional conditions. Int. J. Mum. Meth. Eng., 1978, v.I4, p. 337-357.

163. Paczelt I. Some remarks on the approximate solution of fricti-onless elastic contact problems. Acta techn. Acad. Sci. Hung., 1976, v. 83, К 3-4, p. 337-355.

164. Пацельт И. Применение квадратичного программирования в контактных задачах теории упругости.- Publ. Techn. Univ. Heavy1.d., 1979, V. D33, N 4, p. I7I-22I.

165. Panagiotopoulos P.D. A nonlinear approach to the unilateral contact and friction boundary value problem in the theory ofelasticity. Ing. Arch., 1975, v.44, N 6, p. 421-432.

166. Panagiotopoulos P.D. On the unilateral contact problem of structures with a non-quadratic strain energy density. — Int. J. Solids and Struct., 1977, v.13, N 3, p. 253-261.

167. Pedersen P., Laursen C.Z. Design for minimum stress concentration by finite elements and linear programming. J.Struct. Mech., 1982-1983, v.10, N4, p. 375-391.

168. Petersson H. Application of the finite element method in the analysis of contact problems. In: Finite Elem. Nonlinear Mech. Vol.2; Trondheim, 1978, p. 845-862.

169. Pian T.H.H.,Kubomura K. Formulation of contact problems by assumed stress hybrid elements. — In: Nonlinear Finite Elem. Anal. Struct. Mech. Proc. Eur.-U.S. Workshop, Bochum, 1980. Berlin e.a., 1981, p. 49-59.

170. Rousselet В., Haug E.J. Design sensitivity analysis in structural mechanics, ^art III. Effect of shape variation. J. Struct. Mech., 1982-1983, v.10, IT 3, p. 273-310.

171. Shmit L.A. Structural design by systematic synthesis. In: Proc. 2nd Conf. Electronic Computations, ASGE, New York, I960, p. 105-122.

172. Signorini A. Questioni di elasticiti non linearizzata о semi-linearizzata. Rend, di matem. e della sul. appl., 1959, ser.I8, p. 17-31.

173. Taylor J.E. A rev/iew of the basis for optimality criteria methods. — In: llumer. Meth. Goupl. Probl. Proc. Int. Conf., Swansea, 7-И Sept., 1981, Swansea, 1981, p. 430-441.

174. Tooth A.S., Duhthie G. The elastic analysis of horisontal cylinrical vessels supported by saddles. Arch. bud. masz. 1981, v.28, К 3, p. 235-252.