автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Повышение эффективности управления сложными техническими системами на основе анализа и синтеза нелинейных моделей

На правах рукописи

Колесников Александр Семенович

ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ СЛОЖНЫМИ ТЕХНИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ НА ОСНОВЕ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА НЕЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ

Специальность: 05.13.01 - «Системный анализ, управление и обработка информации (технические системы)»

-ЗНОЯ 2011

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва-2011

4858809

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО Московском государственном технологическом университете «СТАНКИН».

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Волков Николай Васильевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Афанасьев Валерий Николаевич

Ведущая организация:

кандидат технических наук Антышев Александр Александрович

ОАО «Национальный Институт Авиационных Технологий» (НИАТ)

Защита состоится «22» ноября 2011 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.142.03 при ФБГОУ ВПО Московском государственном технологическом университете «СТАНКИН» по адресу: 127055, Москва, Вадковский переулок, д. За.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФБГОУ ВПО Московского государственного технологического университета «СТАНКИН».

Автореферат разослан 0 ^ г.

Ученый секретарь совета Д 212.142.03, к.т.н., доц.

Семячкова Е.Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность работы. Создание и применение в повседневной жизни сложных промышленных динамических систем, рост интенсивности их использования и повышения требований к их надежности усиливают значимость и задачи диагностирования объектов. Такие объекты являются типичными в технологических машинах, функционирующих в различных режимах их эксплуатации.

При исследовании, разработке и реализации процессов диагностирования одной из важнейших является проблема описания диагностируемой системы соответствующей математической моделью, для успешного решения которой требуются априорные сведения.

Помимо этого, особую актуальность для установления причинно-следственных зависимостей между входной и выходной информацией приобретает развитие методов идентификации, базирующихся на оценивании структуры и параметров математической модели диагностируемых объектов по экспериментальным данным.

При этом необходимо не только правильно составить математическую модель, которая бы достоверно описывала имеющуюся систему, но и выбрать удобные средства реализации этой модели на практике.

Как известно, для построения математических моделей используются два основных подхода:

- первый основывается на применении априорных законов (физических, химических, биологических, социальных, экономических) для выявления соотношений, связывающих переменные задачи в пространстве состояний;

- второй, использует эмпирические данные для построения модели -внешнее описание.

Каждый из подходов имеет свои достоинства и недостатки, однако, при отсутствии априорных данных о структуре моделируемого объекта

предпочтительней оказывается второй подход - система описывается в виде соотношений вход/выход.

В связи с широким использованием средств вычислительной техники как в контуре контроля и управления объектом, так и в качестве контрольно-измерительной аппаратуры, актуальными являются задачи совершенствования методов структурно-параметрической идентификации непрерывных математических моделей по дискретным измерениям входных и выходных переменных, что требует дополнительных исследований. В связи с этим, тематика диссертационной работы, направленной на повышение эффективности управления сложными техническими системами является актуальной.

Целью диссертационной работы является повышение эффективности управления техническими системами за счет решения задач анализа и синтеза нелинейных моделей во временной и частотной областях на основе многомерных функциональных полиномов.

Задачи исследования. Для достижения поставленной цели определены следующие задачи:

1. Изучить особенности применения многомерных преобразований для задач идентификации, моделирования и диагностики сложных динамических систем;

2. Разработать способ приближения многомерных динамических характеристик во временной и частотной областях применительно к машиностроительным системам;

3. Разработать алгоритмы оценивания приближенных динамических характеристик во временной и частотной областях;

4. Предложить способы удобной визуализации многомерных характеристик на основе методов дополненной реальности;

5. Произвести апробацию и внедрение разработанного математического, алгоритмического, программного обеспечения.

Предметом исследования в соответствии с поставленными задачами является совокупность методов и средств, используемых для разработки способа приближения многомерных динамических характеристик во временной и частотной областях и для оценивания приближенных динамических характеристик применительно к машиностроительным системам.

Объектом исследования является автоматизированная измерительная система сложного машиностроительного изделия.

Методы исследования. Теоретические исследования выполнены на основе теории систем, методологии функционального моделирования, концепции объектно-ориентированного программирования, технологии MFC, технологии .NET.

На защиту выносятся разработанные технологии и алгоритмы оценивания приближенных динамических характеристик во временной и частотной областях.

Научная новизна исследования заключается в следующем:

— выявлены связи между входными и выходными сигналами технических систем, которые можно использовать для изучения динамических характеристик машиностроительных комплексов;

— на основе выявленных связей построены многомерные нелинейные математические модели, отличительной чертой которых является возможность анализа (идентификация) и синтеза (моделирование) динамических процессов в технических системах (применительно к изделиям различных отраслей машиностроения, в том числе авиационной промышленности);

— разработан способ анализа и синтеза математических моделей многомерных нелинейных систем во временной и частотной областях применительно к различным отраслям машиностроения, в том числе авиационной промышленности;

- разработаны алгоритмы, позволяющие повысить эффективность управления техническими системами на основе решения задач анализа и синтеза нелинейных моделей во временной и частотной областях. Практическая ценность заключается:

- в разработке на основе математического обеспечения технологии исследования технических систем во временной и частотной области с применением многомерных динамических характеристик;

- реализации программного обеспечения для моделирования и удобной визуализации, и позволяющего проводить исследования нелинейных динамических систем и аппроксимацию нелинейных динамических характеристик во временной и частотной области;

- во внедрении разработанного математического и программного обеспечения в систему обработки результатов испытаний. Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на

Четвертой международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности», Международной научной конференции «Моделирование нелинейных процессов и систем», научно-методической конференции «Машиностроение -традиции и инновации» (МТИ-08), на заседаниях кафедр «Теория систем и управления» и «Информационные системы».

Реализация работы. Научные результаты исследований были использованы в практической и научно-исследовательской деятельности ООО «Уфимское машиностроительное производственное объединение» в виде математического и программного обеспечения при проектировании автоматизированной измерительной системы испытательного стенда газотурбинного двигателя (ГТД) АЛ-31Ф.

Публикации. По теме диссертации опубликовано семь работ, в том числе две в изданиях, включенных ВАК в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 62 наименования и четырех приложений. Основная часть изложена на 119 страницах машинописного текста и включает 36 иллюстраций и 2 таблицы, общий объем 143 страницы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, отмечена ее научная новизна и практическая значимость, приводится краткий обзор основных подходов к описанию динамических систем.

В первой главе рассмотрены основные понятия и определения предметной области рассматриваемых задач, понятие адекватности системы, приведена краткая классификация систем.

Общие проблемы получения математических моделей динамических систем рассмотрены в трудах Цыпкина Я.З., Красовского A.A., Эйкхоффа П., Сейджа Э.П., Мелса Дж.Л., Перельмана И.И., Гроп Д., Музыкина С.Н., Пупкова К.А., Капалина В.И., Щербакова М.А. и др.

Объекты и системы являются совокупностью материальных тел, которые находятся в непрерывном взаимодействии друг с другом и с окружающей средой. Как известно, построение математической модели объекта может производиться несколькими методами: аналитическим, экспериментальным и экспериментально-аналитическим. При этом аналитический метод использует различные законы (физики, механики, биологии и т.д.) для получения математического описания объекта. Он хорошо работает, если известна структура изучаемого объекта. В том случае, если структура объекта неизвестна или известна недостаточно, используют экспериментальные методы, базирующиеся на статистической обработке технологических данных. При смешенном подходе, математическая модель, полученная аналитическим путем, уточняется дополнительными экспериментами.

Если рассматривать взаимодействия объектов с окружающей средой, то можно обнаружить различные процессы. Со стороны среды на объект

7

действуют входные воздействия, а со стороны объекта на среду действуют выходные воздействия. Входные воздействия в свою очередь делятся на две группы. В первую группу входят те, которые в точке приложения изменяют значения переменных состояния аддитивно, то есть собственно внешние или входные воздействия. Во вторую группу входят те, которые изменяют переменные состояния не напрямую, а косвенно. В этом случае принято говорить об операторных воздействиях. Таким образом, главная задача идентификации заключается в определении оператора объекта, то есть оператора, преобразующего входные воздействия на объект в выходные. Под структурой идентификации понимают структуру и вид оператора, то есть вид математической модели объекта.

Основными постановками задач идентификации являются: определение характеристик объекта и характеристик сигналов, оценивание переменных состояния.

В результате получаем математическую модель, которая представляет собой абстрактное и упрощенное описание реального объекта, отражающее наиболее существенные для исследователя качества исходного объекта. В зависимости от типа моделей и целей исследования формальное описание математических моделей может быть различным: структурные схемы, операторные, алгебраические, интегро-дифференциальные уравнения, Марковские цепи, передаточные функции, частотные характеристики и т.д. Все эти методы функционально связывают описание входных и выходных сигналов.

В результате после ряда преобразований анализ экспериментальных данных, получаемых при опытном исследовании технических систем, позволяет обеспечивать конструирование математической модели, которая в смысле выбранного критерия качества (в рамках данной работы -среднеквадратичного критерия качества), характеризующего степень близости выходных сигналов модели и исходной системы, соответствует исследуемой системе.

Таким образом, происходит переход к описанию систем при помощи вход-выходных соотношений. При этом стремятся сохранять структуру исследуемой системы, однако, в случае отсутствия априорной информации, возможны конструкции моделей, не связанные жестко со структурой системы.

Понятие простоты, или обратное ему понятие сложности математической модели, непосредственно связано с теми практическими целями, ради достижения которых строится модель. В связи с этим возникает представление об адекватности модели и решаемой с ее помощью задачи.

Описанные свойства математической модели реальной физической системы обобщаются понятием эффективности математической модели, которая зависит:

• от точности отображения моделью исследуемой физической системы;

• от сложности модели и (как следствие) от стоимости ее реализации теми или иными средствами вычислительной техники;

• от априорной вероятности получения с помощью модели принципиально новой информации об оригинале;

• от количества времени и средств, затрачиваемых на исследование математической модели.

Очевидно, эффективность модели будет тем выше, чем выше ее точность, больше вероятность получения новых результатов, выше производительность и чем проще и дешевле модель.

Как правило, ограничиваются рассмотрением систем в линейном приближении, либо изучают линеаризованные модели. Также часто для анализа модели используются частотные методы, при применении которых расчет сводится к построению амплитудно-фазовой частотной характеристики.

Очевидно, что использование структуры реальной технической системы для построения ее модели существенно облегчает процесс моделирования, но из-за отсутствия информации обо всех факторах и предполагаемой идеализации процессов, это может привести к неадекватным результатам. Особенно сильно

это проявляется в многомерных системах.

9

В этом случае используют подход, базирующийся на разложении выходного процесса динамических систем в функциональные ряды с использованием интегральных преобразований.

Принципиальными чертами этого подхода являются:

• переход к исследованию усредненных характеристик, поддающихся экспериментальному наблюдению;

• использование связей между переменными задачи, вытекающих из информации о суммарном влиянии изучаемых процессов. Применение этого подхода сохраняет неизменной структуру модели

динамической системы, а эквивалентность и адекватность в определенном смысле модели и исследуемой системы устанавливается сравнением их ответных реакций на одинаковые воздействия.

Во второй главе описываются многомерные системы, специальные виды многомерных сигналов, многомерных преобразований Лапласа и Фурье в интегральной и дискретной форме. Предлагается аппроксимировать выход системы функциональными рядами Винера-Вольтерра.

Многомерная информация в своем абсолютном большинстве, это дискретная информация в цифровой форме - многомерные массивы данных. Многомерные непрерывные функции используются чаще всего в теоретических исследованиях. С учетом широкого распространения ЭВМ для обработки экспериментальных данных ниже рассматриваются, в основном, многомерные сигналы в дискретной форме.

Многомерные сигналы представляют собой функции Р независимых переменных при Р>1. В общем случае, сигнал может быть непрерывным, дискретным или смешанным. Понятия непрерывности и дискретности аналогичны одномерным сигналам. Что касается смешанного сигнала, то это многомерный сигнал, который описывается функцией некоторого количества непрерывных и некоторого количества дискретных переменных.

Можно отметить некоторые двумерные последовательности (функции, сигналы), имеющие для нас значение: двумерный единичный импульс,

ю

двумерный линенныи импульс и двумерную единичную ступеньку, которые изображены на рисунке 1.

5 о о о о о о о о о о о о 4о О О О о о о о 3 о о о о о о о о о о о о 2 о о о о 0 0 0 0 ! о о о о -5-4

0 0 0 0 о о о о о о о о о о о о о о о о о ■ о о о о о о о о о о 0 0 0 0 о о о о о о о о 3 -2-101

ООО

ООО

ООО

ООО

ООО

О о о-*

ООО™

ООО

ООО

ООО

ООО

2345

* -

5 о о о о о о о Но о о оооооооиооо оооооооиооо <ооооооо|ооо оооооооиооо зииииииииииш оооооооиооо оооооооиооо ^оооооооиооо оооооооиооо ¡оооооооюоо -5-4-3-2-1012345

5° о о о о ЁИИИИИ

0 О 0 0 о ииииии

О 0 0 0 о ИИИИИИ

4 о 0 о о 0 ИИИИИИ

0 0 0 0 0 ИИИИИИ

3° О 0 0 0 ИИИИИИ* ооооооо т

0 о о 0

о о о 0 о о о о о о о

2 о О 0 0 ооооооо

о о о 0 ооооооо

1° о о 0 ооооооо

-5-4-: 3-2-1012345

а) двумерный линейный б) двумерный линейный в) двумерная единичная импульс импульс ступенька

Рис. 1. Двумерные сигналы

Предположим, что нелинейная система описывается с помощью дифференциального уравнения

(1)

где ^Л) — линейный дифференциальный оператор;

Р — нелинейная аналитическая функция аргумента х, производные которой удовлетворяют условиям экспоненциальной ограниченности Липшица.

В правой части уравнения стоит вынуждающая сила, ограниченная в детерминированном случае или имеющая ограниченные моменты произвольного порядка в стохастическом случае.

Выход, или реакция системы х(г) в общем случае может быть представлена в виде бесконечной суммы (см. рис. 2):

(2)

где для 1= п

оо оо

В данном случае каждая система м-то порядка характеризуется своим

ядром п-го порядка. Первая система является линейной; ее выходной сигнал

и

представляет собой свертку входного сигнала с импульсной функцией линейной части всей системы. Вторая система является уже нелинейной и носит квадратичный характер. Ее выход есть свертка второго порядка входа с импульсной функцией ^(^>4)- Аналогично третья система носит кубический характер; ее выход %(/) представляет собой трехмерную свертку входа с импульсной функцией > которая может быть названа ядром Вольтерра

третьего порядка.

Рис. 2. Разложение с помощью функционального ряда нелинейной системы: ЛС - 1 - линейная составляющая; ЛС - 2 - квадратичная составляющая; ЛС - 3 - кубическая составляющая; ЛС - п - составляющая п-го порядка

Таким образом, применение рядов Винера-Вольтерра является обобщением интеграла свертки, используемого для описания линейной системы.

Ядра ортогонализированного ряда Вольтерра называются ядрами Винера.

С помощью в-функционалов Винера выход нелинейной системы может быть связан с входом являющимся белым гауссовым шумом, следующим образом:

= (4)

л=0

Учитывая свойства ортогональности, получим для тФп\

(5)

Фактически мы будем искать решение уравнения в виде

/ II

=4,+¡4(т№'-Т№1М'- +■■• (6)

О 0 0

Если функция может быть представлена в виде

Д» = (7)

ь\

где Л^-юо стремится к бесконечности, то решение нелинейного дифференциального уравнения (1) будем искать в виде

/

Ы = (8)

о

где (/) - реакция линейной части системы.

Предполагая возможность представимости решения л(/) в виде функционального ряда Вольтерра

= (9)

подставим ряд в уравнение и после ряда преобразований получим для п, больших или равных единице, получим

=- (ю)

о

где 8п -1 для /? = 0 и д„ = Ов остальных случаях. Заметим, что член хх включен в данное выражение для его общности и что в данном выражении

Преобразование Лапласа от функции нескольких действительных переменных (многомерное преобразование Лапласа) определяется аналогично одномерному преобразованию и обладает всеми теми же свойствами. Наибольший интерес представляет теорема о переходе к одной переменной в области изображений. Для функций двух аргументов она формулируется следующим образом.

Если

да,*) * /«.4). (11)

то

Л'А у-. =у-. ¡¿[¿-¿^а!?!. (12)

Вгг У В,У1

А для функции трех переменных обозначив />=*2 + .г3, получаем

такую формулу:

ЛЬМ - -^-.¡¿{ы.-г-ъ)^, (13)

что соответствует переходу к одной переменной по аргументам Бг и вз. Обозначим

и, применив к формулу (7), окончательно получаем

ЛШ ■=. , (15)

т. е. формула (11) применяется два раза. Для функций п переменных Д^,...,^) формула (11) должна применяться последовательно п-\ раз. Для дробно-рациональных двумерных изображений вычисления по формуле (11) сводятся к однократному применению теоремы о вычетах. Для /с-мерных дробно-рациональных изображений теорема о вычетах применяется п-\ раз. Дуальной к теореме о переходе к одной переменной в комплексной области является теорема о переходе к одной переменной во временной области, которая для функции двух аргументов формулируется так. Если Я.*,*) -Ж'О.то

т т

= ¡/(/„'-'М ■ (16)

о о

Для упрощения записи операцию перехода к одной переменной будем обозначать символом {}*, т. е.

Л/;...,/) = №,х2)}*. (17)

Преобразование Лапласа, определено для функций /(/¡,.../„), которые равны нулю, если хотя бы один из аргументов < 0, /= 1, п. Однако во многих задачах встречаются функции, не удовлетворяющие этому условию. В этом случае используется многомерное преобразование Фурье, которое определяется аналогично многомерному преобразованию Лапласа.

В третьей главе приводится описание вычислительных алгоритмов для моделирования многомерных систем.

Пусть Н^ё) и Л{s) - изображения весовой функции и входного сигнала соответственно. Тогда изображение реакции системы согласно теореме о свертке в комплексной области определяется по формуле:

Д-^/Д-фад. (18)

Для получения реакции системы во временной области достаточно применить к Д.г) обратное преобразование Лапласа. Можно ожидать тех же преимуществ и при расчете характеристик нелинейных динамических систем, если их реакция представлена в виде функционального ряда Вольтерра:

= (19)

¿=0

где - однородный функционал Вольтерра порядка 4 /■(/,/„.../,) -

ядро функционала Вольтерра порядка 4 - входной процесс исследуемой системы.

Так изображение функционала порядка /, которое во временной области определяется как:

т = .....тг) ПМ/-г,Кгу)}, (20)

находится по формуле:

= .....• (21)

>1

Пусть известны значения функции ....., на некотором

множестве моментов времени (Ло,...,0по),...,(Л„,...,г>п„). Мы можем приблизить ее многомерным интерполирующим полиномом следующим образом (рис.3):

А*.....Ч = X . (22)

Найти коэффициенты к можно, решив систему линейных уравнений вида:

/„«о

Изображение по Лапласу функции /{,А,...,ет):

/.-0 —>»

ад А

Ь 11

411

,12) А

и

12,.

12

2^1) -¿¿Т.

^(СЫД)

П.+1

I/ у у

а - одномерный случай б - двумерный случай

Рис. 3. Линеаризация оригинала Таким образом, изображение функционала Вольтерра т-ого порядка определенное формулой

Нт(Л,...^т) = , (25)

где //т(А,...,*т) - изображение ядра т-ого порядка, -

изображения входного воздействия, может быть рассчитано следующим образом:

¿„=0 —»Я Дл=0 -!1 У

Г -

.'.»о

X -I-

■»г«**

I -I

.У?

(26)

Осуществляем переход обратно, во временную область:

.....*») = £ .

/1=0 А.-0

Полагаем /=/! = ... = л?.

Нт<,*) = Ъсн/"т- (28)

рЛ

Теперь полиномиальной нелинейной системе может быть сопоставлено выражение в комплексной области. Изображения ядер полностью

характеризуют систему (по этой причине изображения ядер ^(4,...^) называют многомерными передаточными функциями) точно так же, как передаточная функция является исчерпывающей характеристикой линейной стационарной системы в нулевом начальном состоянии. Применив обратное преобразование Лапласа, мы получим оригинал одномерной весовой функции во временной области Л\/).

В четвертой главе приводится описание вычислительного эксперимента. Глава содержит описание результатов моделирования для типовых математических моделей нескольких двигателей, применяемых в металлорежущих станках. Модели позволяют воспроизводить стационарные и переходные процессы в двигателях и отражают нелинейности их механических характеристик.

Также в данной главе рассматриваются результаты исследований автоматизированной измерительной системы для газотурбинного двигателя (ГТД) и построение математических моделей по экспериментальным данным. Исследовался ГТД АЛ-31, устанавливаемый на летательных аппаратах. ГТД АЛ-31 относится к классу высокоэкономичных, высокотемпературных, двухконтурных двигателей модульной конструкции с поворотным реактивным соплом. Так как данные были получены в результате эксперимента, они подверглись предварительной обработке в виде фильтрации скользящим средним.

Кроме того, в данной главе приводится описание программной реализации метода моделирования динамики нелинейных систем, сущность которого заключается в тестировании исследуемой системы случайным процессом с заданными свойствами, определении ответной реакции системы,

Рис. 4. Структура математического и программного обеспечения вычислением динамических характеристик и построении адекватной (в определенном смысле) математической модели. Структура математического и программного обеспечения представлена на рисунке 4.

Получаемые математические модели представляют собой объекты, адекватно описывающие поведение реальной системы и обладающие свойством постоянства, в смысле критерия метода, ошибки моделирования во всем амплитудно-частотном диапазоне тест-воздействия (при условии его правильного выбора).

В качестве примера результатов моделирования можно рассмотреть ядра функционалов Вольтерра первого и второго порядка для различных типов сигналов газотурбинного двигателя (см. рис. 5,6).

Так как данные были получены в результате эксперимента, они подверглись предварительной обработке в виде фильтрации скользящим средним.

В рамках данной работы была выполнена реализация программного модуля, для расчетов и визуализации результатов. В качестве средства

реализации была выбрана программная среда Visual Studio 2008 от компании Microsoft. В качестве языка программирования был выбран язык С++.

0.003

0.002

0.001

1 1 - /ч J \ 1

г \

I 1 1 V-

О 20 40 60

а) первый тип сигналов

-0.2

"0 20 40 60

б) второй тип сигналов

Рис. 5. Ядра функционала Вольтерра первого порядка для параметров газотурбинного двигателя

а) первый тип сигналов б) второй тип сигналов

Рис. 6. Ядра функционала Вольтерра второго порядка газотурбинного

двигателя

В заключении диссертационной работы приведен анализ полученных результатов и сделаны основные выводы о проделанной работе.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ 1. Диссертация является законченной научно-квалификационной работой, в которой решена задача, имеющая существенное значение для различных отраслей машиностроения, в том числе авиационной промышленности, и

заключающаяся в повышении эффективности управления сложными

20

техническими системами, связанной с экономией вычислительных ресурсов, на основе анализа и синтеза нелинейных моделей.

2. Выявлены связи между входными и выходными сигналами технических систем, особенностью которых является возможность изучения динамических характеристик, исследуемых объектов.

3. На основе выявленных связей построены многомерные нелинейные математические модели, отличительной чертой которых является возможность анализа (идентификация) и синтеза (моделирование) динамических процессов в технических системах (применительно к изделиям различных отраслей машиностроения, в том числе авиационной промышленности, что и выполнено в данной работе).

4. Разработаны алгоритмы, позволяющие повысить эффективность управления техническими системами на основе решения задач анализа и синтеза нелинейных моделей во временной и частотной областях.

5. Особенностью разработанного алгоритмического обеспечения и программного обеспечения является удобная визуализация многомерных характеристик на основе методов дополненной реальности.

6. Результаты работы имеют практическое значение для предприятий машиностроительного комплекса и могут быть использованы в учебном процессе для студентов, обучающихся по направлениям 230100.68 и 230100.62.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

Публикации в журналах, входящих в перечень ведущих периодических изданий ВАК РФ:

1. Колесников A.C. Использование уточненных многомерных дискретных преобразований для анализа динамических систем // Вопросы современной науки и практики. Университет им. В.И.Вернадского. Тамбов: ИПЦ ТГТУ №3/2011 г.

2. Колесников A.C. Анализ нелинейных динамических систем с использованием уточненных многомерных дискретных преобразований //

21

Естественные и технические науки. М.: Спутник+ №4(54)/2011 г. - 414419 с.

Другие публикации:

3. Волков Н.В., Колесников A.C. О задаче аппроксимации многомерных ядер Вольтерра в частотной области. // Высокие технологии, фундаментальные и прикладные исследования, образование - Том 10: Сборник трудов Четвертой международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» 2-5 ноября 2007 г, СПб.: издательство Политехнического университета, 2007. - 49-50 с.

4. Волков Н.В., Колесников A.C. Об особенностях применения многомерных ядер Вольтерра для исследования динамики нелинейных систем // Мультидисциплинарный научно-практический журнал «Территория науки». № 5(6)/2007 г. - 608-611 с.

5. Колесников A.C. Метод аппроксимации многомерных функционалов Вольтерра в частотной области. // Сборник трудов Международной научной конференции «Моделирование нелинейных процессов и систем». МГУП, 2008 г.-150-151 с.

6. Колесников A.C. О методе исследования нелинейных динамических систем. // Сборник трудов научно-методической конференции «Машиностроение - традиции и инновации» (МТИ-08) М.: Янус-K, ИЦ ГОУ ВПО МГТУ «Станкин». 2008. - 11 с.

7. Колесников A.C. Метод исследования нелинейных динамических систем с применением функционалов Винера-Вольтерра. Высокие технологии и фундаментальные исследования - Том 1. Сборник трудов Десятой международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» 9-11 декабря 2010 г. СПб.: издательство Политехнического университета, 2010.-112-114 с.

Формат 60x90/16. Заказ 1465. Тираж 100 экз. Объем 1 у.п.л. Печать офсетная. Бумага для множительных аппаратов. Отпечатано в ООО "ФЭД+", Москва, ул. Кедрова, д. 15, тел. 774-26-96

Введение.

Глава I. Понятие модели системы.

1.1 Система и модель системы.

1.2 Взаимодействие системы с окружающей средой.

1.3 Соответствие модели и системы.

1.4 Моделирование систем.

1.5 Понятие рядов Винера-Вольтерра и построение моделей на их основе.

Выводы первой главы.

Глава 2. Математическое обеспечение для исследования сложных технических систем на основе функциональных рядов Винера-Вольтерра.

2.1 Двумерные и многомерные сигналы.

2.1.1 Двумерный единичный импульс.

2.1.2 Двумерный линейный импульс.

2.1.3 Двумерная единичная ступенька.

2.2 Теорема Фреше.

2.3 Понятие рядов Вольтерра.

2.4 Понятие рядов Винера.

2.5 Практическое применение.

2.6 Связь моделей.

2.7 Применение функционалов Винера-Вольтерра для анализа нелинейных систем.

2.8 Сходимость функциональных рядов Винера-Вольтерра.

2.9 Определение ядер Вольтерра.

2.10 Рекуррентное соотношение.

2.11 Определение ядер Винера-Хопфа для нелинейных систем методом взаимной корреляции.

2.11.1 Многомерный белый гауссов шум с запаздыванием.

2.11.2 Определение ядра Винера нулевого и первого порядков.

2.11.3 Определение ядра Винера второго порядка.

2.11.4 Определение ядра Винера третьего порядка.

2.11.5 Определение ядра Винера произвольного порядка.

2.11.6 Обобщение и преодоление ограничений.

2.12 Интегральные многомерные преобразования.

2.12.1 Многомерное преобразование Лапласа.

2.12.2 Свойства многомерного преобразования Лапласа.

2.12.3 Многомерное преобразование Фурье.

2.12.4 Свойства многомерного преобразования Фурье.

Выводы второй главы.

Глава 3. Моделирование многомерных систем.

3.1 Алгоритмы моделирования непрерывных систем на основе применения многомерных преобразований Лапласа и Фурье.

3.2 Алгоритмы моделирования дискретных систем на основе применения многомерных преобразований Лапласа и Фурье.

3.2.1 Возможность применения уточненных многомерных дискретных преобразований Лапласа для анализа характеристик нелинейных динамических систем.

3.2.2 Анализ систем, характеристики которых заданы дискретно.

3.2.3 Приближение оригинала полиномом.

3.2.4 Одномерный случай.

3.2.5 Двумерный случай.

3.2.6 Многомерный случай.

3.2.7 Теорема о переходе к одной переменной в частотной области для уточненных многомерных дискретных преобразований.

3.2.8 Возможность применения многомерных дискретных преобразований Фурье для уточненного анализа характеристик нелинейных динамических систем.

3.2.8.1 Одномерный случай.

3.2.8.2 Двумерный случай.

Выводы третьей главы.

Глава 4. Описание вычислительного эксперимента.

4.1 Типовые математические модели двигателей для металлорежущих станков.

4.1.1 Модель асинхронного электродвигателя с короткозамкнутым ротором.

4.1.2 Модель двигателя постоянного тока с независимым возбуждением.

4.1.3 Модель гидромотора с дроссельным регулированием скорости.

4.2 Результаты исследования системы автоматического регулирования газотурбинного двигателя.

4.3 Программная реализация.

Выводы четвертой главы.

Создание и применение в повседневной жизни сложных промышленных динамических систем, рост интенсивности их использования и повышения требований к их надежности усиливают значимость и задачи диагностирования объектов. Такие объекты являются типичными в технологических машинах, функционирующих в различных режимах их эксплуатации.

При исследовании, разработке и реализации процессов диагностирования 1 одной из важнейших является проблема описания диагностируемой системы соответствующей математической моделью, для успешного решения которой требуются априорные сведения.

Помимо этого, особую актуальность для установления причинно-следственных зависимостей между входной и выходной информацией приобретает развитие методов идентификации, базирующихся на оценивании структуры и параметров математической модели диагностируемых объектов по экспериментальным данным [9].

При этом необходимо не только правильно составить математическую модель, которая бы достоверно описывала имеющуюся систему, но и выбрать удобные средства реализации этой модели на практике.

Как известно, для построения математических моделей используются два основных подхода:

- первый основывается на применении априорных законов (физических, химических, биологических, социальных, экономических) для составления соотношений, связывающих переменные задачи (это могут быть дифференциальные или разностные уравнения) - микроподход, то есть мы знаем, как система функционирует изнутри;

- второй, использует эмпирические данные для построения модели -макроподход.

Каждый из подходов имеет свои достоинства и недостатки, однако, при отсутствии априорных данных о структуре моделируемого объекта — черный ящик - предпочтительней оказывается второй подход — система описывается в виде соотношения вход/выход.

Общие проблемы получения математических моделей динамических систем рассмотрены в трудах Цыпкина Я.3.[42], Красовского A.A. [26], Эйкхоффа П. [45], Сейджа Э.П. [40], Мелса Дж.Л. [39], Перельмана И.И. [36], Гроп Д. [14], Музыкина С.Н. [31, 32], Пупкова К.А. [38], Капалина В.И. [19], Щербакова М.А. [44] и др.

Далее происходит непосредственная разработка систем на основе полученной модели (Рисунок 1).

В связи с широким использованием средств вычислительной техники как в контуре контроля и управления объектом, так и в качестве контрольно-измерительной аппаратуры, актуальными являются) задачи совершенствования методов структурно-параметрической идентификации непрерывных математических моделей по дискретным измерениям входных и выходных переменных, отражающих с требуемой точностью представляемые ими объекты в исправном и неисправном состояниях. В то же время необходимо учитывать, что при дискретизации непрерывных переменных могут иметь место нежелательные эффекты искажения и потери информации о параметрах измеренных переменных, существенно затрудняющих идентификацию диагностируемого объекта [9]. Это требует дополнительных исследований. В связи с этим, тематика диссертационной работы, направленной на повышение эффективности управления сложными техническими системами является актуальной.

При проведении научных и производственных исследований значительное место занимает проблема построения математических моделей сложных непрерывных динамических объектов с целью изучения и описания особенностей и свойств, присущих этим объектам. Получение таких моделей преследует важные с гносеологической точки зрения цели:

- выявление причинно-следственных связей между внешними воздействиями окружающей среды и изменениями свойств исследуемого объекта;

- установление качественного и количественного взаимоотношений между комплексом' выявленных связей путем наблюдения серии подобных (однотипных) воздействий на объект, согласование полученных реакций с многочисленными систематически повторяющимися фактами;

- выделение ряда возможных различий в поведении изучаемого объекта, что, в конечном счете, позволяет осуществлять комплексное формирование и многоцелевое использование накопленной информации о функционировании объекта в многочисленных задачах, относящихся к производственно-исследовательской тематике.

При исследовании динамики сложных систем следует учитывать, что характер их поведения подчиняется сложным нелинейным законам, а процессы, протекающие в них, очень часто оказываются случайными или трудно предсказуемыми. Очевидно, что классические приемы построения математических моделей таких объектов оказываются трудно применимыми, поскольку большая размерность решаемой задачи, принципиально различающиеся свойства изучаемых процессов не позволяют в полной мере использовать мощный аппарат теории дифференциальных уравнений для построения математических моделей надлежащей точности, тем более что априорная информация о структуре математической модели оказывается неполной или неточной, что, в свою очередь, порождает дополнительные сложности с решением второй важной задачи изучения динамики объекта -оценивания параметров в выбранной математической модели. То есть некорректное решение задачи выбора - выбора структуры математической модели естественным образом предопределяет неуспех решения всей задачи в целом [9].

С другой стороны, процессы технической диагностики предполагают целенаправленный и соответствующим образом организованный сбор экспериментальных данных о функционировании исследуемого объекта в различных режимах эксплуатации. Поэтому целесообразным оказывается эксплуатация такой математической модели объекта, которая исключала бы решение ненужных промежуточных задач и позволяла бы применять ее для различных режимов работы исследуемого объекта и для различных объектов. При этом процесс построения математической модели должен производиться предпочтительно только по экспериментальным данным и, что очень важно, структура модели должна быть универсальной для достаточно широкого класса технических объектов.

Таким образом, при решении задачи эффективной диагностики сложных технических объектов необходимо предложить и использовать математические модели, построение которых должно выполняться по экспериментальным данным на основе применения достаточно общих подходов [9].

На основе полученных математических моделей, построенных по экспериментальным данным, происходит создание сложных программно-технических комплексов, осуществляющих управление исходными системами.

В теории систем известны различные математические аппараты для решения задач построения математических моделей по экспериментальным данным, позволяющие при корректно организованной обработке информации формировать универсальные математические модели технических систем широкого назначения. Структура таких моделей предопределяется структурой функционального ряда, а решение задачи идентификации (диагностики) заключается в определении динамических характеристик, являющихся по своей сути «коэффициентами» разложения реакции технической системы на произвольнее входное воздействие. г моделирование А ошибка ошибка ошибка моделирования лианеризации агрегирования физическиеу лианеризация уредукция у законы Л

ДУ в частных производных

ДУвЧП линейные)

Обыкновенные

ДУ

ОБЪЕКТ информация о структуре (априорная) информация об измерениях (апостериорная)

Данные измерений

Квантование обработка ~ ошибка данных ошибка измерения квантования са а о состояние^

МОДЕЛЬ параметры

Оценка состояний ошибки в ТЗ, ТП, разработке ошибкив технических технологии и проектов рабочие С00Рке чертежи I

1.

Техническая часгъ —► Проектирование I

Изготовление контроль качертва информация о мрдели

Технический комплекс

ПРОГРАММНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

Оценка Программная Создание Программный параметров 1 часть —► Проектирование —► и отладка —► комплекс Т ошибка оценок системные и алгоритмические ошибки при проектировании защита ошибки внешние программирования дестабилизирующие в текстах факторы программи описаниях данных У создание J

Рисунок I - Основные подходы при построении систем и их моделей

Следует отметить при этом, что принципиально характеристики модели определяются для входных процессов, имеющих случайный характер, и процедура определения ориентирована на применение многомерного корреляционного анализа [9].

В данной работе выявлены связи между входными и выходными сигналами технических систем, особенностью которых является возможность изучения динамических характеристик. На основе выявленных связей построены многомерные нелинейные математические модели, отличительной чертой которых является возможность анализа (идентификация) и синтеза (моделирование) динамических процессов в технических системах (применительно к изделиям машиностроения, в том числе авиационной промышленности). Так же разработана методика анализа и синтеза математических моделей многомерных нелинейных систем во временной и частотной областях применительно к различным отраслям машиностроения, в том числе авиационной промышленности.

На основе полученных методик разработаны технологии исследования технических систем во временной и частотной области с применением многомерных динамических характеристик. Реализовано программное обеспечение, позволяющее проводить исследования нелинейных динамических систем и аппроксимацию нелинейных динамических характеристик во временной и частотной области. Результаты диссертационной работы внедрены в систему обработки результатов испытаний.

Выводы третьей главы

1. В данной главе приводятся вычислительные алгоритмы для моделирования многомерных систем.

2. Приводятся примеры использования многомерных преобразований Лапласа и Фурье для моделирования нелинейных систем. Обсуждается использование преобразований Лапласа и Фурье для уточненного анализа характеристик нелинейных динамических систем.

3. Для уточненных вычислений дискретно-заданных функций используется метод лианеризации оригинала, то есть замена ее непрерывной функцией на каждом отрезке дискретизации. В случае двумерных систем происходит замена плоскостью.

4. Рассматривается пример использования теоремы о переходе к одной переменной в частотной области для уточненных многомерных дискретных преобразований. В результате получаются дробно-рациональные функции, которые можно разложить на элементарные дроби для последующего интегрирования. Так же выводится формула для вычисления биномиальных слагаемых этого разложения.

Глава 4. Описание вычислительного эксперимента

4.1 Типовые математические модели двигателей для металлорежущих станков

В данном разделе приводятся математические модели нескольких типов двигателей, наиболее часто применяемых в металлорежущих станках. Эти модели даны в окончательном виде (без вывода). Более подробную информацию и вывод уравнений можно найти в [28].

Основное уравнение любого двигателя - это уравнение 2-го закона Ньютона:

• для вращательного движения где О - угловая скорость вала двигателя; 3 - момент инерции ротора и жестко связанных с ним деталей; Ма - движущий момент; Мс - момент сил сопротивления; / - время;

• для поступательного движения т— = Р. — Р. ,л

Л * с <4-2) где V - линейная скорость подвижных частей двигателя; т - их масса; РА - движущая сила; Рс - сила сопротивления.

Уравнения (4. 1) и (4. 2) справедливы для двигателей всех типов и любых конструктивных исполнений. Специфика физической природы и конструкции двигателя проявляется в форме выражений для движущего момента М(1 и движущей силы Рй.

Модель Вольтерра допускает использование детерминированных воздействий для идентификации ядер функционалов, причем в ряде случаев схема для определения ядер оказывается предпочтительней по сравнению со схемой определения функционалов Винера, хотя бы из упрощенных требований к аппаратной реализации экспериментальных исследований. Предлагается использовать последовательности импульсов постоянной амплитуды для идентификации значений ядер функционалов Вольтерра, старших 1-ого порядка. Будем предполагать, что система описывается однородным регулярным функционалом Вольтерра 2-ого порядка: причем Н2 (г, ,т2) = Ь2(т2,т{) и он заранее определен. Подробную информацию о методах вычисления ядер функционалов Вольтерра можно найти в [9]. Для сравнения приведены ядра первого порядка. Ядра более высоких порядков не рассматриваются из-за трудности их визуализации.

4.1.1 Модель асинхронного электродвигателя с короткозамкнутым ротором

Модель позволяет воспроизводить стационарные и переходные процессы в асинхронном двигателе и отражает нелинейность его механической характеристики.

Уравнения модели имеют вид:

4.3) о о а) б)

Рисунок 20 - Результаты моделирования с использованием тестового воздействия в виде синусоидального сигнала а) распределение коэффициентов, б) результат вычислений

4.1.2 Модель двигателя постоянного тока с независимым возбуждением

Для двигателя постоянного тока с независимым возбуждением известна следующая система уравнений движения, справедливая при условии, что ток якоря не оказывает размагничивающего действия на магнитное поле статора (т.н. реакция якоря пренебрежимо мала) [28]:

Е = Се ФО, ш ./

М,=СтФ1а,

4. 5)

1 стФи Те К

С С Ф2 с"'с*ф о-мд где и - напряжение питания; 1а- сила тока в цепи якоря; Е - противо-ЭДС; Ф - магнитный поток, создаваемый обмоткой возбуждения; 3 суммарный момент инерции якоря и жестко связанных с ним деталей; Се, Ст -конструктивные постоянные двигателя; Яа - активное сопротивление цепи якоря; Те - электромагнитная постоянная времени двигателя. Величина Те определяется по формуле

4.1.3 Модель гидромотора с дроссельным регулированием скорости

Движущий момент, развиваемый гидромотором, независимо от его конструктивного исполнения, определяется формулой

Мл = q{px -Рг)^ (4.7) где q - удельный расход гидромотора; рх,рг - давления в напорной и сливной магистралях. Вид уравнений, определяющих изменения величин р{ и р2, зависит от способа и схемы управления гидромотором. Методика вывода этих уравнений описана во многих работах, посвященных гидравлическому приводу (см., например, [28]). Здесь рассматривается частный, но достаточно распространенный в станкостроении случай - схему дроссельного регулирования скорости при помощи четырехкромочного золотника, обеспечивающего одновременное регулирование потока рабочей жидкости на входе в гидромотор и на выходе из него: сЮ. а 1 , с1р I V V

4. 8) где: Е - модуль объемной упругости масла; V - приведенный объем масла в гидромоторе; /л - коэффициент расхода; с1(- диаметр золотника; -перемещение золотника; g - ускорение свободного падения; у - удельный вес масла; р0 - давление, развиваемое насосом; р - перепад давления на гидромоторе; П - угловая скорость гидромотора; Ьт - коэффициент утечек в гидромоторе; /(х?) - зависимость площади проходного сечения золотника от его осевого перемещения.

Структурная схема САР приведена на Рисунке 25.

Рисунок 25 - Структурная схема САР ГТД

В качестве управляющего воздействия (входной переменной) выбран расход топлива (возможно использование площади критического сечения сопла).

В качестве регистрируемых реакций (выходных переменных) использованы:

1. частоты вращения компрессоров низкого и высокого давления;

2. температура газов за турбиной;

3. степень расширения газа на турбине.

Предварительный эксперимент заключался в регистрации реакций по всем выходным переменным при изменении расхода топлива на +5% при всех выключенных регуляторах, за исключением регулятора расширения газов. Выход на начальный установившийся режим осуществлялся с включенными регуляторами компрессоров ВД и НД. Затем регуляторы отключались, и само испытание проводилось на разомкнутой системе.

Список основных регистрируемых параметров представлен в таблице 2.