автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Построение математической модели процесса флотации с учетом динамики многофазных сред для анализа эффективности работы флотационных аппаратов

сч^4

<

✓ О л V* На правах рукописи

V # Я>

Нехаев Игорь Николаевич

ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ФЛОТАЦИИ С УЧЕТОМ ДИНАМИКИ МНОГОФАЗНЫХ СРЕД ДЛЯ АНАЛИЗА ЭФФЕКТИВНОСТИ РАБОТЫ ФЛОТАЦИОННЫХ АППАРАТОВ.

Специальность 05.13.16 - Применение вычислительной техники, математических методов и математического моделирования в научных исследованиях.

Автореферат диссертации на соискание учепой степени кандидата технических наук.

Москва, 1998.

Работа выполнена на кафедре автоматизированных систем управления и на кафедре обогащения руд цветных и редких металлов Московского государственного института стали и сплавов (технологического университета).

Научные руководители: доктор технических наук,

профессор В.Д.Самыгин, доктор технических наук, профессор А.С.Рыков.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Доброскок В.А. кандидат технических наук, ст.научпый сотрудник Калинин A.B.

Ведущая организация: АО «СОЮЗЦВЕТМЕТАВТОМАТИКА»

Защита состоится « ЛУ » ¿¿ИЖЛ 1998 г. в_часов на заседании

диссертационного совета Д.053.08.07 в Московском государственном институте стали и сплавов (технологическом университете) по адресу: 117936, г.Москва, Ленинский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института стали и сплавов (технологического университета)

Автореферат разослан « 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Необходимость автоматизации и интенсификации процессов разделения приводит к созданию большеобъемных аппаратов нового типа с высокой степенью завершенности процесса. Наряду с хорошо и давно известными пневмомеханическими конструкциями флотомашин (ФМ) внедряются новые перспективные разработки струйно-эжекторпых и пневмомеханических большеобъемных флотомашин, которые нашли широкое применение в практике обогащения руд.

Многие вопросы эффективного применения большеобъемных ФМ пе ясны из-за трудностей учета влияния гидродинамической структуры транспортных потоков в аппарате на результаты разделения. Выбор оборудования оказывается зачастую необоснованным и приводит к избыточным и неоправданным капитальным затратам. Изучение литературы показало, что математических моделей процесса флотации в большеобъемных аппаратах произвольной формы, моделирующих движение транспортных фаз пока нет. Нет и удовлетворительных методик оценки эффективности структуры потоков в большеобъемных аппаратах, что помогло бы при решении задач проектирования и оптимизации режима работы аппарата в схеме.

Целью данной диссертационной работы явились исследование закономерностей влняпия структуры транспортпых потоков на эффективность разделения в аппарате и создание математической модели процесса флотации с учетом динамики транспортных фаз с целью анализа эффективности работы аппаратов в схемах переработки промышленных руд.

В соответствии с поставленной целью в работе изучались

- закономерности влияния структуры потоков транспортных фаз в аппарате на результаты разделения исходного материала;

- способы инвариантного описания флотационной и гидродинамической подсистем процесса флотационного разделения с их последующим объединением в единую математическую модель процесса;

- способы решения трехмерной краевой нелинейной задачи с произвольной границей рабочей области;

- способы оценки эффективности режима работы аппарата в промышленных схемах.

Объекты и методы исследований. В качестве практического объекта исследования и приложения результатов работы рассматривалась секция флотомашин ОК-38 переработки апатито-пефелиновых руд К1ТНК АНОФ-П в Апатитах. Снимались показатели работы секции и работы отдельных ФМ и проводилось опробование пульпы и минерализованной фазы для изучения полей концентрации частиц на транспортных фазах.

Моделирование и идентификация параметров модели процесса флотации в аппаратах и схеме производилось па ПЭВМ с помощью специально для этого созданного в среде «Borland Pascal» программного обеспечения. При выполнении работы были использовапы основные положения теории флотационных процессов,

динамики многофазных сред, математического моделирования и системных исследований.

Научная новизна работы состоит в том, что автором

• разработана математическая модель разделения при идеальном перекрестном токе;

• предложена методика исследования влияния структуры потоков во флотационной зоне на результаты разделения, выделен критерий (коэффициент усиления структуры потоков) для оценки эффективности структуры потоков и проведепо ранжирование известных структур потоков по предложенному критерию;

• разработана математическая модель процесса флотации в камере произвольной геометрии, учитывающая динамику транспортных фаз, и, позволяющая получать информацию о полях скоростей транспортных фаз и полях концентраций газовой и твердой фаз.

Практическая значимость работы

Разработанная математическая модель позволяет пропюзировать результаты разделения в реальных флотомашинах при изменении входных параметров потоков пульпы и газа, изменении состава и свойств разделяемого материала и может служить для настройки параметров режима разделения в промышленных схемах. Рассчитываемые поля скоростей и ноля концентраций фаз в объеме аппарата могут помочь конструктору при выборе геометрии аппарата и способов подачи входных потоков пульпы и газа.

Исследовано влияние структуры однонаправленных транспортных потоков на результаты разделения, на селективность процесса. Выявлены закономерности и показаны теоретические пределы улучшения показателей разделения для различных структур потоков на основе введенной характеристики структуры потоков.

Разработанная методика оценки эффективности работы флотационных аппаратов позволяет обосновать выбор типоразмеров флотомашин в различных операциях схемы, провести анализ эффективности работы аппаратов в существующих схемах переработки промышленных руд и дать рекомендации для их совершенствования.

Данная методика анализа и сформулированные критерии эффективности работы аппаратов лают проектировщику ясные ориентиры при выборе типоразмеров аппаратов в схемах переработки промышленных руд, а разработанная математическая модель процесса - математический аппарат при решении задач проектирования и выбора режима работы оборудования.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы пашли отражения в докладах на следующих науиых семинарах и конференциях:

□ на Всесоюзной конференции автоматизации технологических процессов в г.Мариуполе в сентябре 1988г;

□ на X международной конференции «Поверхностные силы» в Москве в феврале 1994г;

□ на всероссийской конференции «Вавиловские чтения» в Йошкар-Оле в декабре 1997г.;

□ на научных семинарах кафедры обогащения руд цветных и редких

металлов МИСиС и кафедры прикладной математики и информационных технологий в МарГТУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть работ.

Объем и структура диссертации: Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, двух приложений. Содержит 160 машинописных страниц, в том числе 8 таблиц и 37 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели и задачи исследования и сделан краткий обзор работы.

В первой главе рассматриваются основные проблемы математического моделирования процесса флотации и оценки эффективности работы аппаратов.

Задача повышения селективности формулируется как задача улучшения сепарациояных свойств среды и как задача настройки сепарационных параметров среды разделения на свойства конкретного разделяемого материала. Решение данных задач подразумевает наличие и использование математической модели процесса разделения.

Анализ имеющихся работ показал, что имеющееся множество математических моделей процесса пригодны либо для описания разделения в колонных флотомашинах или многокамерных флотомашинах с камерами небольшого объема, где структура потоков транспортных фаз является одномерной и не описывают адекватно процессы, проходящие в болылеобъемных машинах, когда возникают сложные структуры потоков. Таким образом не решена удовлетворительно задача моделирования и учета влияния структур потоков на результаты разделения.

Появившиеся с развитием вычислительных машин и техники вычислений имитационные модели, учитывающие геометрию объема разделения и моделирующие транспортную подсистему существенно повысили точность прогноза результатов разделения. Тем не менее нет моделей, учитывающих динамику транспортных фаз, межфазный обмен импульсом, ввиду сложности описания и реализации такой математической модели. И нет четких математических моделей анализа эффективности сепарации в болылеобъемных машинах, пригодных для решения задачи оператора процесса - настройки сепарационных параметров среды разделения па свойства конкретного разделяемого материала.

Исходя из этого, сформулирована цель работы - построение математической модели, призванной качественно и количественно описать поведение системы разделения в аппарате произвольной конструкции в стационарном состоянии при изменении следующих входных воздействий, а именно:

аихарактеристик входного потока пульпы: процента твердого, расхода, состава и

свойств исходного разделяемого материала, Ь Г]характеристик входного потока газожидкостной смеси: расхода воздуха, его

дисперсности, сОсиособа подачи в камеру потока пульпы и воздуха,

При этом математическая модель процесса флотации должна описывать процесс с учетом обратимости минерализации пузырьков, неоднородности полей концентраций фаз, полей скоростей движения потоков пульпы и диспергированного воздуха:

Кроме моделирования процесса и прогнозирования результатов разделения для повышения эффективности сепарации необходимо иметь критерии и методы оценивания эффективности данного режима работы флотомашины. Существующие критерии, основанные на использовании технологических показателей разделения, оценивают процесс в целом и не позволяют выделить влияние режима работы аппарата. При этом высокие технологические показатели могут достигаться за счет избыточных аппаратных мощностей и эксплуатационных затрат. Задача состоит в том, чтобы оценить эффективность и целесообразность использования оборудования, а для этого надо иметь критерии и способы оценивания режима использования аппаратов в схеме.

Анализ работ, посвященных моделированию флотационных процессов, показывает, что до сих пор не существует четкой. Такое исследование прояснило бы вопрос о необходимости при моделировании процесса учитывать структуру транспортных потоков.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию оценки роли и влияния структуры транспортных потоков на результат разделения. С этой целью был предложен способ математического описания структуры однонаправленных транспортных потоков, пригодный и дня описания перекрестного тока, чтобы, рассмотрев некоторые идеальные предельные случаи, получить оценки вклада структур потоков.

Для описания предельных гидродинамических режимов достаточно рассмотреть структуру процесса флотации, выделив факты прилипания-отлипания и выноса частицы из камеры с пульпой или пузырьком. Каждый их них можно охарактеризовать интенсивностью или средним временем. Например,

1а, Ы - интенсивности прилипания и отлипания соответственно,

1а, Л -среднее время пребывания частицы с цулыгой и частицы на пузырьке в объеме камеры разделения (зоны).

При анализе таких моделей оказывается , что для описания процессов для различных типов структур потоков , достаточно всего два безразмерных макропараметра , вбирающих в себя соотношения флотационных свойств частицы и среды разделения, конструкционных и объемно-потоковых величии, т.е. все, кроме структуры потока. Последняя же отражена в структуре формулы определения извлечения частицы Е=Е(РьР2) в какой-либо продукт сепарации.

В качестве базисных предлагается взять следующие выражения :

и (1)

Во-первых, они имеют однозначную технологическую трактовку, так как это

извлечение частицы в зоне с идеальным перемешиванием по жидкой и газовой фазам, т.е. в зоне, лишенной структуры потоков ("базовая структура"). Р - это извлечение частиц данного сорта в зоне исследуемого типоразмера из пульпы в пенный продукт, как если бы там поддерживалось идеальное перемешивание обоих фаз.

Рц -это тоже извлечение частиц данного сорта, но из частиц, поступающих в зону с пузырьками в камерный (пулъповый) продукт. (Рис. 1).

Во-вторых, значения этих величин меняются от 0 до 1, что удобно при отображении и анализе сепарациошюй характеристики.

И в-третьих, Р и Pg являются исчерпывающими характеристиками флотационных свойств частиц данного класса и условий разделения, и, в первом приближении, не зависят от гидродинамической структуры потоков жидкости и газа.

Пузырьковый Т1продукт

Пулъповый "К Пулъповый

вход г 4 дРг выход

Пузырьковый вход

Рис.1. Структура входных и выходных потоков флотозоиы.

Задаваясь различными структурами потоков и, находя зависимости извлечения В=Е(Р,Ро), мы узнаем что же произойдет с извлечением данного сорта частиц, если мы изменим только структуру потоков в зоне, не меняя значения их макропараметров Р и Естественно предположить увеличение извлечения при переходе от идеального перемешивания к идеальному вытеснению, но во сколько раз и насколько различно в зависимости от различных исходных Р и Pg и направленности потока пульпы (поток газа считаем всегда направленным вверх).

Пользуясь разработанным для ответа на этот вопрос топологическим подходом к выводу моделей сепарации с двумя траНспортными фазами, были получены зависимости извлечения частицы с параметрами Р и Рв в пузырьковый продукт из пулыювой смеси Е=Е(Р, Р£) для различных типовых однонаправленных структур транспортных потоков, ниже перечисленных.

1П Структура <ИВЖФ, ИПГФ> (идеальное вытеснение по жидкой фазе и идеальное перемешивание по газовой фазе)

20 Структура <ИПЖФ,ИВГФ> (идеальное вытеснение по газовой фазе) ЗП <прямоток> (идеальное вытеснение по обеим фазам) 4П<лротивоток> (идеальное вытеснение по обеим фазам) 50<псрскрссток, а> (идеальное продольное вытеснение по обеим фазам с идеальным поперечным перемешиванием жидкой фазы)

6С1<иерекрссток, б> (идеальное продольное вытеснение по обеим фазам с идеальным поперечным перемешиванием газовой фазы)

70<перскресток> (симметричное перемешивание по обеим фазам); 80<перекресток> (идеальное продольное вытеснение по обеим фазам). Для моделей 1-6 выведены конечные формулы, для моделей 7 и 8 использовалась итерационная формула, предельный же случай рассчитывался на компьютере с точностью до 0.001. Сходимость предложенных итерационных алгоритмов расчета следует из того, что при делении на подзоны получающаяся последовательность Е[п] является монотонно возрастающей и ограниченной сверху.

Такие же самые формулы могут быть получены и для извлечения в пульповый продукт из пузырькового входа, т.е., когда частицы поступают в зону разделения на пузырьках Н8=Е8(Р, Р^). Анализ данных зависимостей показал, что вектор извлечений (Е, К8) может быть получен умножением на вектор базисных параметров некоторой функции Кв, которая была названа коэффициентом усиления данной структуры потоков, так как она показывает во сколько раз усиливается извлечение частицы данного класса при переходе от идеального перемешивания по обеим фазам к данной структуре потоков при неизменных остальных параметрах процесса.

Следующим шагом работы было исследование Кз-характеристики для фиотозон с основными одномерными структурами потоков (Рис.2).

Исследование и сравнение этих характеристик для основных структур показали пределы возможностей различных структур потоков по повышению извлечения и улучшению селективности процесса и позволил прораткировать данные структуры в порядке их предпочтения. Так, предельный и среднеинтегральный коэффициенты усиления составили:

= 2.0 и 1.378 для идеального противотока;

= 1.898 и 1.342 для идеального перекрестного тока;

= 1.298 и 1.1 для идеального прямотока и модели Белоглазова. Таким образом, высокие показатели разделения в колонных флотомашинах подтверждается и лучшей Кб- характеристикой противоточной структуры потоков среди остальных рассматриваемых.

Из приведенных данных следует, что извлечение частиц может быть увеличено за счет структуры потока. Кроме того, такая характеристика, как градиент Кб в точке или усредненный но небольшой области, которой принадлежат макропараметры разделяемых частиц, характеризует селективность процесса, точнее структуры потока. Отсюда можно сформулировать задачу настройки режима работы флотационного оборудования на сепарацию конкретного материала как подбора такого входного

(2)

потока пульпы, при котором структура потоков в аппарате наиболее селективна по отношению к разделяемому материалу.

Коэффициент усиления Кг С Р,Рд>

Члд^п». <Вдппгпяяпка>

Ке=1.2

"Чп-|

йодепь <ПРНИРТОК>

10 ю 9 ' 8 ' •1 М'г опт= 1.29В

СР= 1.191

1

<, '

4 '

3 Л

2 * \

1 \ Р

1 I 1 г ( | | > < 1 | < 3 4367» 51И|Л-

^Идеальный гнм-ркр.х

10 1

Ю ' опт- 1.Э98

9 ■

8 " N. СР— 1.339

7 " '"Л.

& "

5

4 ~ ■ \ - Чч^.

3 ' \\°>ч

г ■

1 чх:-./\ р

1 1 111111111 23456769 101п~

Рис. 2. ^-характеристики для флотозон с основными структурами потоков.

Рис.3. Сравнение Л\- характеристик при P~Pg зон:

а) с противотоком; б) с перекрестным током ; в) с прямотоком.

Из рассмотрения Кя-характсристик перекрестка и нротивотока можно сделать вывод о том, что если для повышения извлечения надо повышать время пребывания пульпы (увеличивать объем аппарата), то для повышения селективности надо находить оптимальные соотношения между высотою и объемом камеры.

Приведенные числовые характеристики флотозон с различными однонаправленными структурами потоков показывают, что нельзя недооценивать вклад структуры транспортных потоков при флотации, так как прирост извлечения , который оии могут дать по сравнению с идеальным перемешиванием по обеим фазам теоретически может достигать 99%. Полученные данные показывают не только пределы по увеличению извлечения и селективности для различных типов структур потоков, по и позволяют оценить средние значения характеристик в рабочих областях и тенденции изменения характеристик при переходе от прямотока к противотоку через перекрестный ток. В частности, чем больше угол между потоками фаз, тем больший Кя -средний и предельный коэффициенты усилепия имеет структура.

На практике , трудно достигнуть идеальных структур потоков: идеального вытеснения и однонаправленных структур. Поэтому представляет интерес моделирования более сложных и близких к реальности структур потоков и оценки их влияния на результаты разделения в промышленных аппаратах.

Третья глава посвящена решению задачи построения математической модели процесса флотации в промышленном аппарате.

Ряд трудпостей, которые необходимо преодолеть при моделировании, как-то: большая размерность задачи, существенная нелинейность процесса, существенную неоднородность полей концентраций и скоростей фаз и сложность динамики многофазной среды: приводит к необходимости учесть только основные факторы процесса и отсечь второстепенные.

Основными факторам ироцесса следует считать следующие:

а) пространственная неоднородность полей скоростей и полей концентраций всех фаз;

б) неоднородность твердой фазы по скорости осаадения и смачиваемости;

в) интенсивные переходы твердых частиц из состояния "в пульпе" и в состояние "на пузырьке";

г) интенсивный обмен импульсом между газовой и жидкой фазами (межфазное трение, градиенты напряжений);

д) стесненность условий флотационных переходов твердого "жидкость" -"газ"(иехватка межфазной поверхности).

В соответствии с основными факторами процесса можно принять ряд соглашений и допущений, упрощающих задачу моделирования.

Первое соглашение касается рассмотрения пульпы как одной непрерывной односкоростной фазы, характеристиками которой являются барицентрические характеристики твердожидкостной смеси. Для этого принят ряд допущений : а) размеры частиц достаточно малы, меньше размера пеоднородностей (полей

концентрации и скоростей);

б) можно пренебречь энергией и другими эффектами хаотического и внутреннего движения дисперсных частиц твердого;

в) можно пренебречь непосредственным взаимодействием и столкновением между частицами;

г) отсугствуют процессы дробления, слипания (коагуляции) и образования новых дисперсных частиц;

д) относительные скорости движения частиц в жидкости достаточно малы, чтобы стегать эту среду сплошной, односкоростной, пренебрегая эффектами взаимодействия твердой и жидкой фаз;

е) пульповая смесь монодисперсная, т.е. каждый класс частиц присутствует в виде сферических включений одинакового радиуса, причем объемная концентрация дисперсной фазы не очень велика, так, что

[а^Ка^ + aj]3«1, а„ = я/>„ (3)

где Пи; - концентрация частиц твердого (количество/объем);

а™ - объемная доля частиц в пульпе на ед. объема среды (для простоты описания рассмотрим только один класс частиц; переход к нескольким классам осуществляется заменой характеристик одного класса на усредненную или суммарную характеристику набора классов).

Второе соглашение касается второй транспортпой фазы - минерализованных пузырьков. Будем рассматривать минерализованные пузырьки как одну фазу, односкоростиую сплошную осредненную фазу с барицентрическими характеристиками. Для этого также принимаем допущения а) - е) применительно к данной фазе. Таким образом, аналогично (1) предполагаем

Кг/(ам+«г)]2«1. am=ndlnm!, аг = nd)nl (4)

где пг> Птг - концентрация пузырьков и частиц на пузырьках; ar, Оп- - доли компонентов в объеме разделения (для пузырей, также как и для частиц рассмотрим только один класс; переход к нескольким классам осуществляется заменой характеристик одного класса на усредненную или суммарную характеристику пабора классов).

Остальные соглашения касаются вопросов взаимодействия и состояния фаз и поведения смеси в целом. Приведем их.

3. Отсутствуют фазовые переходы газ-жидкость (т.е. не учитываем процессы испарения и конденсации жидкости и пара).

4. Вязкость и теплопроводность проявляются лишь в процессах межфазного взаимодействия транспортных несущей и газовой и не проявляются в макроскопическом переносе импульса и энергии.

5. Сжимаемость смеси определяется сжимаемостью газа. Жидкость и твердое рассматриваются несжимаемыми, т.е. ут "const, у* =const.

6. Процесс изотермический, т.е. все процессы передачи тепла происходят мгновенно и температура среды изменяется незначительно.

Принятые предположения о свойствах системы позволяют свести описание системы к описанию совместного движения только двух фаз - пульпы и минерализованной газовой. Уравнения системы включают уравнения механики для каждой фазы с учетом обмена массой твердого, импульса и энергией меж фазами. Параметры состояния процесса. Выделим набор параметров, при помощи которых можно описать состояние системы разделения при сделанных допущениях.

аг, атг, аж, атж- объемные доли на единицу объема смеси, для которых выполняется соотношение:

аг + атг + аж + атж = 1 (5)

Уж, VI-скорости движения жидкости и пузырьков соответственно.

Скорость осаждения частиц берем известной из расчета флотационной подсистемы как

= VIт (атж) (6)

1Уа- нормальная составляющая осрсдиснной скорости движения межфазной границы, а = с4/2- радиус пузырька. уг- плотность газовой фазы.

Тг, Тж- температура в газовой и жидкостной фазах соответственно.

Рг . Рщ- давление в газовой и жидкостной фазах соответственно.

Для простоты записи модели рассматривается только один класс частиц и только один

класс пузырьков, имея в виду, что при наличии нескольких классов появляются

индексы у переменных: аг(¡), атг(Ц), атж(г), р„(0, а{)), угЦ) -¡=1,Ыс1

(количество классов частиц); ^=1,М:> (количество классов пузырьков).

Для написания модельных соотношений удобно ввести переменные, относящиеся к пульповой смеси и минерализованной газовой фазе в целом (нижний индекс I относится к несущей фазе, 2- к минерализованной газовой).

Р\ = Рж + Ртж> апж (7)

„О ^ „О Р1 /о\

А ' л (8)

Р? 1 = Р*у Ж + = руж + Р„ЖЪ>„ (9)

Рг~ Рг +Ртг> а2=аг+атг (10)

А, = Ав* + Я«' «» = атж + аш (41)

РУг = А1'г + АЛ = Р?Уг, ^ = v. (12)

Формулы (7)-(12) являются формулами перехода от характеристик компонентов смеси к характеристикам смеси и наоборот при известных объемных

долях компонентов.

Система уравнений состоит из уравнений грех видов: уравнений неразрывности, изменения импульса и уравнений состояния фаз.

Уравнения неразрывности

= (13)

^ЧАО = (14)

= (15)

где .!п - -./21 - удельпый поток массы частиц из пульпы на пузырек, кг/м3*с;

Уравнения изменения импульса Скорость изменения радиуса пузырьков:

у>а=у>гл=*Уо (16)

Для описания изменения нульсационной составляющей импульса газовой фазы используем уравнение Рэлея-Ламба.

Рг-Рж-2Х/а 4/.<и>.

А

аР\ 4

(17)

где (р,, ф 2 - поправочные коэффициенты на неодиночпость пузырька в объеме;

2 - поверхностное натяжение па границе газ- жидкость;

и<21 = -и>п = - V; - скорость всплытия пузырька относительно пульпы.

Эффективная сдвиговая вязкость пульпы ¡л] определяется по формуле Эйшнтейпа:

где цж- вязкость жидкости, На*с. Для смеси в целом :

ц =//,(1 + а2)

<р, « 3,6«2, 1р2 «-— а,

Изменение импульса 1-й и 2-й фаз:

(18)

(19)

(20)

(21)

3 3 За,2

(V, -У)у2 = —У<т11с + , „/„ +-+gl +(у, -у2)У12 / р, (22)

д 1тш р, а

= -0-5' У\ ■ "г ■ " К - ,РЖ,РЖ)

(23)

где п]ж- тензор приведенных напряжений в 1-ой, несущей фазе (пульпе), определяющий отнесенный к границам этой фазы перенос импульса через поверхность этой фазы на единицу объема смеси;

gi - равнодействующая массовых сил, действующих в объеме разделения, (в нашем случае gi = g, g- вектор ускорения гравитационного поля Земли), где ffi- сила межфазного трения,

»Л = (a2£„)-~-w12 ,

(24)

(9,15<Re12 <500,Re,г = (2atfww)/fi Завершают систему уравнения состояния фаз :

Уравнения состояния фаз: Ti = Т2 = Тж = const; Р2 = Рг,

Рж= Рг- 21/а , Рг = у, Rr Т (25)

В основном (кроме специальных случаев) пульсацией фаз можно пренебречь. Тогда из системы исключаются уравнения (16)-(17) и соответствующие переменные.

Математическая модель флотационной подсистемы. Свойства и неоднородность материала, поступающего на разделение, описывается введением классов частиц и распределение материала по классам -спектр.

Принимают, что частицы, попадающие в один класс , не различимы по свойствам. Поэтому достаточно определить свойства каждого класса и распределение материала по классам для того, чтобы описать материал.

Для каждого класса рассматривается следующий набор параметров: d - диаметр частицы, /-плотность (удельный вес) частицы, р-содержание ценного компонента в частице,

р3 - вероятность закрепления частицы на пузырьке при соударении с ним.

Распределение частиц по классам описывается массовым спектром частиц: f = (fl), i~l,.-,ncl;

где fi - массовая доля i-го сорта частиц в исходной смеси; «с/ - количество классов частиц.

Свойства и неоднородность газовой фазы , также являющейся дисперсной, описываются аналогично.

Каждый класс цузырьков характеризуется :

- диаметром пузырька; со - интенсивностью отлипания от него частиц.

Распределение частиц по классам описывается объемным спектром:

Л = {УЫ), ¡-1,..,пЬ;

где/Ы - доля в общем объеме газа 1-го сорта пузырьков; пЪ - количество классов пузырьков.

Флотационная система должна определить значения удельного потока массы между фазами : Jl2 = -12[ - Я21 • ртг -, кг/м3*с;

где интенсивности перехода частицы из пульпы на пузырек и обратно

соответственно, с"1.

В связи с представленным описанием распределения частиц и пузырьков по свойствам необходимо вычислять интенсивности переходов для каждого класса частиц и для каждого класса пузырьков отдельно и находить удельные потоки для каждого сочетания класс частиц - класс пузырьков:

12 12 гтж 21 ртг у '

где к - индекс класса частиц ; ш - индекс класса пузырьков.

Интенсивности переходов частиц описываются по формулам :

■,к-т__.к-т „к. т-к т •

Х\2 ~ ст ""они» (2?)

Вычислению интенсивностей столкновения и скоростей всплытия пузырьков посвящено много работ (см. Рубинштейн ,1980), (Филиппов Л.О.,1997г).

Применение МКЭ для решения трехмерной краевой задачи.

Решение представленной выше задачи особенно сложно по двум причинам.

Первое. Решать приходится систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных типа уравнений Навье - Стокса в трехмерном пространстве, для решения которой нет универсального метода.

Второе. Форма рабочей области и граничные условия задачи достаточно произвольны.

В связи с этим в работе решаются две подзадачи. Задача описания рабочего объема и его границ, удобного для последующего вычисления интегралов по объему и по поверхности. И задача приближенного решения системы дифференциальных уравнений с граничными условиями.

Рабочий объем описывается составным криволинейным кубом, который будем называть кубической сеткой . Каждая ячейка или элемент этой сетки является в свою очередь полиномиальным кубом второго порядка или квадратичным кубом, каждое ребро которого в декартовых координатах является параболой и определяется по положению трех точек - вершин ребра и серединной точки, а грань является квадратической поверхностью и определяется положением девяти точек в рассматриваемом нами описании (рис.4).

Рабочий объем оииеывастся составным криволинейным кубом, или кубической сеткой. Каждая ячейка или элемент сетки является в свою очередь квадратичным кубом, каждое ребро которого в декартовых координатах является параболой и определяется по положению трех точек - вершин ребра и серединной точки, а грань является квадратичной поверхностью и определяется положением девяти точек (узлов) в рассматриваемом описании.

Если известны координаты каждого узла квадратичного куба, то можно задать отображение куба (-1Д)3 на наш квадратический элемент:

т . (28)

ЯЙ')^ = Ш 3(РМР)1Л, |./(р)1= ¿е1

С [1.Ц>

(29)

где р = - локальные координаты точки, Г = (х,у,г)Т - ее декартовы

коордипаты, гк - декартовы координаты ¿-го узла элемента, (р) - функция фактор-формы для к-го узла, к-1,Ыи2 (количество узлов элемента).

При вычисления интегралов по объему и по поверхности, переходя к квадратичным координатам, получаем интеграл с независимыми пределами интегрирования (-1,1), для которого очень легко применяется процедура численного интефирования.

}{К(г)-й(Г).<Лт= цгас!^^-1}-^^ . (30)

О {-I

где р(г)=0 - уравнение грани в декартовых координатах.

Легкость интегрирования по каждому элементу позволяет применить для приближенного решения полученной краевой задачи метод взвешенных невязок. В данной работе используется метод Галеркина.

Организация расчета транспортной подсистемы модели.

Заиишем решаемую краевую задачу движения фаз в виде:

еО (31)

где О - рабочая область системы

/•' = ,Р(г) = {/{,.•.,/'„} - векторпеременпых состояния системы с

граничными условиями

»пепроиицаемости:

/5(/0 = 0, V? еГ*', ¡6 МУ, к = \,...М , (32) где МУ - множество индексов перемешп»к, являющихся координатами векторов скоростей фаз; »постоянства:

•Р((/0-С*(/0 = О, УгбГ®, {еЩ, к = 1,... Д2 , (33) где Мвк - множество индексов переменных, фиксированных на границе Г^; «потоков фаз:

fptvtnd<r-Qt - 0,Л = 1,...,А:3 .

(34)

г;

«потоков импульса фаз:

/(АПКйЖг-б^ =0Д = 1,...,*3 . (35)

Л*

Задача (50 - 53) после применения МКЭ и метода Галеркипа принимает вид:

G"(AP") =

Н{ар ) =

G,"

^/•ПушУ

'V

\HKJJ

= 0, el = 1,...,Neis ,

= 0 ,

(36)

(37)

АРу = с0 , i е 1 ,...,m,j е MLim{i)

AP^fa, i e Mflot ,

(38)

где jVf/í - количество конечных элементов рабочей сетки,

APij - значения в j-ом узле сетки полинома, аппроксимирующего i-ую переменную, Cij - фиксированные заданные значения,

MLim(i) - множество узлов, в которых фиксируется i-ая переменная, í - индекс переменных системы, являющимися переменными флотационной подсистемы.

Из переменных системы для решения задачи (36 - 38) надо исключить зафиксированные переменные. Оставшийся вектор свободных переменных задачи (3135) обозначим через Ф~Ф{Фг

Имеем систему из N1 нелинейных уравнений относительно N2 неизвестных Ф, причем N1 > N2 могут как угодно соотноситься друг с другом. Точное решение данной системы может существовать только в случае, если N1<N2. (lie

рассматривается случай линейной зависимости уравнений, так как они нелинейны и это маловероятно).

в(Ф) = 0 , (39)

В этом случае такую задачу обычными методами решения систем алгебраических уравнений решить невозможно. Необходимо условие разрешимости переопределенной системы.

Применение взвешенного МНК для приближенного решения системы уравнений. Вместо задачи (39) рассмагривается задача оптимизации:

, или ijeß-JUmin (40)

где W - диагональная магрица весовых коэффициентов уравнений модели. Веса задаются для каждого класса уравнений (неразрывности, сохранения импульса, непроницаемости, постоянства, потоков фаз - отдельно по каждой фазе).

Тогда можно использовать некоторые специфические методы решения задачи о наименьших квадратах. Например, метод Гаусса-Ньютона, модифицированный для этой задачи, (далее под 6' будем подразумевать уже вектор взвешенных невязок)

Если при стремлении Ф к оптимуму |о| будет приближаться к нулю, то ньютоновское направление спуска можно аппроксимировать решением системы:

[^*)ПУ(*)]р(£) = -[./(*)]ёЧ*) , (41)

Здесь к - номер приближения (шага), Р - направление шага,

r,i fdQ,']

[Jj= , матрица Якоби (42)

.Эта система заведомо разрешима и включает только первые производные. Из-за того, что числа обусловленности матрицы J(k)T~J(k) есть квадрат чисел обусловленности J(k) , то лучше решать эквивалентную (41) задачу.

+ , (43)

С использованием RQ - разложения матрицы J(k)

ßJ = ö » (44)

где Q - ортонормированная матрица, NlxNl

R -невырожденная верхняя треугольная матрица, N2xN2. Задача (43) эквивалентна задаче

\\Q{k).l(k)J'(k) + ö(*)Ö(*f min , (45)

так как умножение на ортонормированную матрицу не меняет норму.

Из (44) и (45) следует, что минимум достигается из решения системы:

Ä(ff)lF(A) = -ß(A:)e'(i) = -|7,7;2''''2 ) , (46)

и / \1{N)-N2)xN2J

или R(k)P(k) = -Т , (47)

Данная система является треугольной, невырожденной и легко решается обратным ходом.

Найденный из (бб) вектор направления мага обозначим через Ра{к) Делая после этого квадратичную интерполяцию вдоль направления спуска !'п(к) , оцениваем длину оптимального шага X :

О'2 (Ф(к) + X ■ ?(£))-?-> min , (48)

Таков алгоритм расчета транспортной подсистемы модели при фиксированных переменных состояния флотациопиой подсистемы и входных условий.

Флотационная подсистема является простой расчетной подсистемой.

ф = Т(Ф) , (49)

Организация взаимодействия подсистем.

Изменение переменных состояния одпой подсистемы приводит к изменению параметров другой подсистемы. Простота расчета флотационной подсистемы делает удобным ее отделение от транспортной подсистемы. Поэтому на каждой итерации производится расчет транспортной подсистемы и затем перерасчет флотационной подсистемы с корректировкой параметров транспортной.

Сходимость етерациопного расчета. Критерии сходимости.

В качестве критериев сходимости на верхнем уровне используются два:

0,:М < eF , (50)

где Sf- точность по уравнениям (баланса).

0-2:|Ф[* + 1Ь<гр|<еф , (51)

где £ф - - точность по переменным задачи.

Кроме того, используется и модифицированный первый критерий:

Сг/фр + Ц-едЦсг^ , (52)

так как нулевая норма может вообще не достигаться. Здесь [к] имеет отношение к итерациям для всей системы. Кроме того, имеются еще и итерации при расчете каждой из подсистем.

Для транспортной подсистемы критерием завершения итераций служит условие

0,:||(р +1] - G[fc]|| < а(К)сг , (53)

где (к) - номер внутренних для подсистемы итераций ,

а(К)~ коэффициент монотонно убывающий с ростом К, например, до 0,5.

Разработанный подход к описанию процесса флотации позволяет прогнозировать результаты разделения и исследовать процесс в аппаратах произвольной конструкции.

В четвертой главе приводится описание моделирующей программы. Программа написана на языке программирования Турбо-Паскапь и состоит из 5 основных блоков: модуль ввода исходных дшшых расчета, модуль разбиения рабочей зоны процесса на конечные элементы, модуль ввода системы уравнений и ограничений модели процесса, модуль расчета процесса и модуль визуализации состояния процесса. Дается краткое описание основных функций каждого блока, входных и выходных структур данных.

Рассматриваемся идентификация параметров флотационной подсистемы по результатам лабораторного анализа материала, поступающего на разделение.

Для идентификации спектров твердого и проверки адекватности модели был проведен ряд работ па КПНК АНОФ-Н.

1. Были взяты пробы исходного материала, поступающего на разделение во все флотомаипшы схемы КПНК в разные дни и материала, получающегося в результате разделения в пеплом и камерном продуктах.

2. Был проведен лабораторный анализ взятых проб, включающий:

- рассев материала на 5 классов крупности;

- снятие кинетики флотации для различных классов круппости;

- химический анализ на содержание апатита для различных классов крупности;

3. Произведен отбор проб из объема флотомадшны на разной высоте и их лабораторный анализ

По результатам лабораторного анализа проб на входе флотомашин были получены массовые спектры - распределение частиц по классам твердого со средними характеристиками:

В диаметр частиц, 50 ,100 и 150 микрон;

■ содержание апатита, 0% (кварц), 50% (сростки), 100% (апатит)

■ плотность : 2500 (кварц), 2700 (сростки), 3000 (апатит)

■ вероятность закрепления : от 0.02 у кварца до 0.2 у апатита при диаметре

частицы 100 микрон. Таблица 1. Параметры модели.

Название параметра Значение

Вероятность закрепления апатита 0.2

сростков 0.08

кварца 0.02

Интенсивность отлипания частицы апатита ЮОмкм, 1/с 1

сростков 1

кварца 1

Вероятность осыпания из пены 0.2

Показатель степени в формуле интенсивности осыпания 0.5

«0

Щх)

1

Й ° 400 а

х 350 300

Рис.5. Зависимость нагрузки твердого на пузырьке в камере 1-й основной операции от высоты.

шсотахщ

Рис.б. Зависимость содержания Р2О5 в пульпе в камере 1-й основной операции от высоты; эксперимент, 'х'- расчет.

Значения идентифицируемых параметров субпроцессов флотации представлены в таблице 1.

По модели осуществлялось прогнозирование. Проверялось качественное и количественное соответствие между данными, полученными на модели и экспериментальными данными нри различных режимах работы промышленного

аппарата. При этом учитывалось не только совпадение по конечным результатам разделения, но также и распределений концмгфации твердого па пузырьках и содержания Р2О5 по высоте камеры (рие.5-6). Показано, что на модели достигается удовлетворительная количественная точность прогноза при качественном совпадении расчетных и экспериментальных полей концентрации материала в объеме камеры.

Методика анализа эффективности работы промышленных аппаратов.

Пусть Р' и Р"- базовые параметры двух разделяемых классов частиц в номинальном режиме работы беспенного флотоаппарата, причем Е' и Е"-соответственно извлечения данных классов в пенный продукт. Введем показатель -степень селективности г/д режима по отношению к разделяемым классам. Степенью селективности г/д режима (структуры потоков) по отношению к двум разделяемым классам частиц будем называть отношение разностей их фактических извлечений и их базисных параметров:

88е1= (Е"-Е')/(Р"-Р') (54)

Рассмотрим данный показатель подробнее, для этого распишем его подробнее: Е"-Е' Р" Кх"-Р* К$' 1 (ЛУЧ + (?"+?')(&"-.&') ~ Г-Р' ~ с!Р ~ 2 с1Р

(55)

где Кх * и Р *- средние показатели; и с1Р- разностпые показатели по двум классам.

В соответствии с формулой (74), можно рассмотреть две формы степени селективности при разделении частиц: ^-селективность и (1К.ч- селективность. Также как и выше, видим, что с1 К5 -селективность может как улучшить, так и ухудшить степень Кя-селективпости, в зависимости от знака ¡ОСя/ёР. Так, что высокая средняя величина Р может играть как положительную, гак и отрицательную роли в изменении селективности. ЛГл- критерий, который мы использовали для ранжирования структур потоков, является только частью более общего критерия- степени селективности. Для структуры потоков реального аппарата можно оценить Кэ-критерий для разделяемых классов частиц. Можно воспользоваться упрощенной схемой взаимодействия камера-пена, оценить частное извлечение пенной зоны для основных классов частиц и подсчитать частное извлечение в основной зоне. Значения Кй-критерия затем можно сравнить с соответствующими значениями при тех же Р п Pg для типовых структур. Для сравнения же режимов работы двух и более аппаратов (или двух режимов работы одного аппарата, с качественно разными структурами потоков) па одном и том же сырье лучше всего использовать Кз- и Яве!- критерии, вычисляя их значения для каждого аппарата и сравнивая их между собой.

Рассмотрим пример вычисления критериев структуры потоков во флотомашине ОК-38, работающей в основной флотации на КЛИК АНОФ-П. В качестве исходных данных взяты результаты опробования и идентификации процесса (табл.2). Учет

пенной зоны осуществлялся по упрощенной схеме с Еп=0,8 для всех классов частиц. Рассмотрены два класса частиц: апатита и кварца диаметром 0.1 мм. Базовые параметры для них оценивались с помощью известных формул для 1а и Рст: (Weber and Paddock, 1983)

3 0* f. 3-Reb/16

Скорость всплытия среднего пузырька оценивалась по формуле IIь = - ь; ~— ,

где Ьз, Уз - высота и объем зоны разделения,

0Ь, fg - расход воздуха и его объемная доля (газосодержание). Скоростью осаждения частиц в данном случае можно пренебречь. Результаты расчета эффективности сведены в таблицы 3 и 4.

Таблица 2.

Исходпме данные для расчета критериев.

Параметр Обозначение Размерность Значения для

апатита кварца

Интенсивность отрыва частиц с Ор=ЮОмкм Id с'1 1,2 1,2

Вероятность закрепления с 1)р-100мкм Рз б/р 0,25 0,04

Диаметр среднего пузырька Db мкм 0,0015 0,0015

Расход воздуха Qb Mj/c од 0,1

Среднее газосодержапие fg % 8 8

Среднее время пребывания пульпы tP с 300 300

Извлечение в ОК-38 при 1р=300с, E б/р 0,86 0,14

Извлечение в ОК-38 при гр=600с E б/р 0,91 0,22

Таблица 3.

Результаты расчета критериев при гр=300с.

Параметр Обозначение Размерность Значения для

апатита кварца

Частное извлечение в Ео б/р 0,885 0,169

основной зоне

Интенсивность 1а с"1 0,0775 0,0351

прилипания

Базовый параметр Р] Р б/р 0,52 0,147

Базовый параметр Р? Ре б/р 0,455 0,813

Коэффициент смещения сь б/р 1,14 0,18

Степень подготовки БЬ б/р 0,975 0,96

Коэффициенты усиления КБ б/р и 1.15

Критерий Бяп вэ б/р 1,919 1,919

Критерий К^ Кв б/р 1,425 1,425

Критерий сКв сИСБ б/р 0,494 0,494

Таблица 4.

Результаты расчета критериев при 1р=600с.

Параметр Обозначение Размерность Значения для

апатита кварца

Частное извлечение в Ео б/р 0,927 0,261

основной зоне

Интенсивность 1а с1 0,0775 0,0351

прилипания

Извлечение в пену при ид. Перемешивании Р б/р 0,686 0,256

Извлечение в кам. Р. При ид. Перемешивании б/р 0,30 0,709

Коэффициент смещения СЬ б/р 2,287 0,364

Степень подготовки 15Ъ б/р 0,986 0,965

Коэффициенты усиления Кб б/р 1,35 1,02

Критерий вес! Бз б/р 1,55 1,55

Критерий Кб, Кя б/р 1,185 1,185

Критерий сКв, 11Кя б/р 0,365 0,365

Сравнение этих двух режимов работы ОК-38 в основной операции флотации показывает, что структура потоков при 1р=300с характеризуется большим

коэффициентом усиления и большей селективностью для частиц с диаметром ЮОмкм относительно режима идеального перемешивания. Т.е. режим при ф=600 более близок к режиму идеального перемешивания, т.е. является крайне неэффективным. Эту тенденцию при уменьшении объема потока пульпы на входе можно объяснить следующими причинами. Это повышение степени поперечного и продольного перемешивания в импеллерных машинах при снижении объема входного потока пульпы. И смещение соотношения 1рДЬ . И в том и другом случае снижается Кз-критерий и селективность аппарата.

Исследование работы аппарата ОК-38 в 3-й перечистке показывает низкую эффективность ее работы. Дальнейший анализ распределения концентрации твердого и апатита (однородность полей в объеме) подтвердил это. На основании этого исследования сформулированы рекомендации по модификации флотационной схемы.

Заключение.

В диссертации моделировалось и исследовалось влияние структуры возникающих в аппарате транспортных потоков па результаты флотационпого разделения.

Можно выделить следующие основные результаты работы.

1) Обобщен ячеечный подход на двумерный случай и представлен топологический метод моделирования, с помощью которого были построены модели и проанализирована работа зон с различными структурами потоков. На основе такого подхода впервые была получена модель идеального перекрестного тока.

2) Рассмотрение изменения извлечения частиц при переходе от идеального перемешивания к данной структуре потоков (от Р, Pg к Е, Eg) позволил:

- выделить влияние именно структуры потоков на сепарационную характеристику флотационной зоны и провести корректное сравнение различных структур потоков на основе Е- характеристики;

- выделить собственно характеристику структуры потоков - коэффициент усиления извлечения при переходе от идеального перемешивания к данной структуре потоков при неизменных остальных параметрах разделения (газосодержание, дисперсность газовой фазы, физико-химических свойств среды и частиц). Эта характеристика (Кя-характеристика) описывает влияние на извлечение только структуры потоков и инварианта по отношению к остальным условиям и параметрам разделения в принятых допущениях.

3)Анализ Кб - характеристик различных структур потоков на результаты разделения показывает, что:

теоретически, за счет структуры потоков возможно увеличение извлечения по сравнению с идеальным перемешиванием в 2 раза, при этом максимумы коэффициентов усиления и их среднеинтегральные величины для основных структур таковы:

= 2.0 и 1.378 для идеального противотока;

- 1,9 и 1.342 для идеального перекрестного тока;

= 1.298 и 1.1 дои идеального прямотока и модели лабораторной флотомашины (модель Белоглазова);

- классификация различных структур потоков по Кь- характеристике (индексу), может служить инструментом оценки и идентификации структуры потоков в реальной флотомашинс, степени эффективности режима работы аппарата.

4) Разработана математическая модель процесса с учетом динамики транспортных фаз, позволяющая оценить влияние входных параметров объекта -объемов входных потоков и характеристик фаз, способов подачи в камеру потоков пульпы и газа на результаты разделения. . Представленный подход математического описания сложной системы флотационного разделения, отличается от других, имеющихся на сегодняшний день, тем, что он рассматривает многокомпонентную среду как двухфазную монодиснерсную смесь, одна из которых пульпа, а вторая -минерализованная газовая фаза, поведение которых описывается полями плотностей и скоростей и их взаимодействием. Учитываются законы изменения массы, импульса и состояям фаз. Такое рассмотрение позволило значительно снизить размерность системы дифференциальных уравнений, описывающих динамику смеси. В качестве граничных условий задаются потоки массы фаз и соответствующие им потоки импульса. Также задаются границы пепроницаемости и границы постоянства переменных (давления).

5) Разработан алгоритм решения полученной краевой задачи с применением МКЭ и метода Галеркина. Предложен способ решения полученной переопределенной системы алгебраических уравнений сведением ее к задаче минимизации взвешенных квадратов невязок с применением метода Ньютона-Гаусса и С)К - разложения матрицы Якоби. Расчетная система процесса реализована в пакете программ.

6) Проведен большой объем работ, связанный с набором экспериментального материала для идентификации параметров модели и для проверки ее адекватности. Проведена идентификация параметров флотационной подсистемы - количество и характеристики классов твердого и распределение частиц по эти классам.

7) Разработана методика оценки эффективности разделения во флотомашине и проведен анализ эффективности работы ОК-38 в основной и 3-й перечистке. . По результатам данного исследования формулируются рекомендации но модификации флотационной схемы.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

10 Д.В.Шсхирев, И.Н.Нехаев. Имитационная модель флотационной машины // В сб.Всес.научно-техн.конф. «Создание методов и средств, снижающих потери горючей массы с отходами обогащения».-М.,1988.-с.174.

20 Д.В.Шсхирев, И.Н.Нехаев, В.Д.Самыгин, В.Н.Шохин. Методология моделирования схем флотации и флотационных аппаратов в установившемся режиме // В сб.научно-техн.конф. «Системный анализ в обогащении полезных ископаемых».-Свсрдловск, 1989,-с.З.

30 В.Д.Самыгин, А.И.Бурдо, И.Н.Нехаев. Структурно-функциональная модель процесса флотации по флотомашине. Цветные металлы. 1993. N 8.

40 В.Д.Самыган, А.И.Бурдо, И.Н.Нехаев. Модель флотационного разделения в болыпеобъемном аппарате с учетом динамики многофазных сред. Цветные металлы. 1993. N 9.

5 □ В.Д.Самыгин, А.И.Бурдо, И.Н.Нехаев. Способ инвариантного описания неоднородности флотируемого материала. Поверхностные силы. Тезисы докладов на X международной конференции. Москва. 1994г.

60 И.Н.Нехаев. Применение МКЭ для расчета технологических, распределенных а пространстве, непрерывных процессов, осуществляемых в аппаратах произвольной формы. Тезисы докладов на Всероссийской междисциплинарной научной конференции «Вавиловские чтения». Йошкар-Ола. 1997г.

Множительный участок каф. обогащения руд цветных и редких металлов МИСиС, Крымский вал, 3.

Московский государственный институт стали и сплавов (технологический университет)

Ленинский просп., 4

Заказ_, объем 1 пл., тираж 100 экз.