автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Поперечный изгиб прямоугольных тонких пластинок по неклассической теории

На правах рукописи

Алкам Махмуд Азим

ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК ПО НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

05.23.17 - строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва -1996 г.

Работа выполнена в Московском государственном строительном университете.

Научный руководитель: - кандидат технических наук,

профессор Анохин H.H.

Официальные оппоненты - академик МАИ, чл-кор. РААСН,

доктор технических наук, профессор Шапошников H.H.

- кандидат технических наук, профессор Атаров Н.М.

Ведущая организация - ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко

Защита состоится 18 июня 1996 г. в /^час.^^Лшн. на заседании диссертационного совета К053.11.06 в Московском государственном строительном университете по адресу:

113114 Москва, Шлюзовая наб., дом 8, ауд. № 409.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного строительного университета.

Автореферат разослан " мая 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Анохин H.H.

л

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темь;. Прямоугольные пластинки являются распро-Iраненными элементами строи1ельных. да и не только арошельных, инструкций. Поперечный их ил но оцениваю! в иасчояшее время но лассической теории Софи Жермен-Ла1 ранжа. Недос1агки этой теории орошо гпвестпы. В 1944 году Э. Рснсспер предложил новые уравнения ля расчета поперечного изгиба упругих однородных пластинок, однако они не свободны от недостатков. Подробный обзор последующих работ о построению достаточно строгих и эффективных для применения урав-ений поперечного изгиба пластинок, выполненный В.В. Васильевым в 992 году, свидетельствует об актуальности проблемы поперечного изги-а пластинок и в настоящее время. Представляют несомненный интерес ля исследователей как сами уравнения поперечного изгиба пластинок, «ободные от недоскпков классической 1еории. так и разработка реше-ий тех задач, которые не по.чдаклся решению с позиции классической горни.

Отмеченное выше свидетельствует о несомненной актуальности ре-гений задач, рассмотренных в предлагаемой диссертации.

Цель диссертационной работы заключается в сравнении результатов ешения различных задач поперечного изгиба изотропных пластинок по еклассической теории Б.Ф. Власова с решениями соответствующих за-ач. рассмотренных в классической т еории, и выявление тех задач, где эти ешения не совпадают или невозможны для сравнения. Проанализиро-дть условия существования цилиндрическою изгиба прямоугольной ластинки, шарнирно закрепленной по противоположным сторонам и агруженной равномерно распределенной поперечной нагрузкой.

Научная новизна диссертации состоит в том, что в ней решены че-ыре задачи о поперечном изгибе прямоугольной пластинки, шарнирно

закрепленной по противоположным сторонам (поперечным), не рассмотренные ранее в литературе по уточненным теориям, для решения которых впервые применена неклассическая теория Б.Ф. Власова:

1. Поперечный изгиб прямоугольной пластинки, нагруженной по продольным сторонам только распределенными изгибающими моментами.

2. Поперечный изгиб прямоугольной пластинки, нагруженной по продольным сторонам только распределенными крутящими моментами.

3. Поперечный изгиб прямоугольной пластинки, нагруженной по продольным сторонам только распределенными перерезывающими силами.

4. Задача о цилиндрическом изгибе прямоугольной пластинки, одновременно нагруженной равномерно распределенной поперечной нагрузкой и распределенными обобщенными силами по продольным сторонам пластинки.

Практическая ценность работы определяется тем, что для всех рассмотренных задач получены замкнутые аналитические представления в виде формул для прогибов и обобщенных сил, с помощью которых можно определить характеристики напряженно-деформированного состояния пластинок в практике реального проектирования.

Достоверность результатов работы обеспечивается корректной постановкой задачи, использованием простого и хорошо апробированного математического аппарата, а также тем, что в частных случаях решения по неклассической и классической теориям полностью совпадают.

На защиту выносятся:

- формулы для определения прогибов и обобщенных усилий, полученные по неклассической теории Б.Ф. Власова для вышеприведенных задач;

- сравнительный анализ результатов для прогибов и обобщенных сил по классической и неклассической теориям.

Апробация работы прошла на заседании кафедры строительной механики МГСУ в феврале 1996 г.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, основных результатов и выводов, списка литературы, включающего 78 наименований. Общий объем ее составляет 133 страницы машинописного текста, в том числе 24 рисунка и 2 таблицы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе дан краткий обзор исследований по теории поперечного изгиба пластинок и сделаны выводы, определяющие актуальность, а также основные цели и задачи диссертации.

Основы классической теории изгиба пластин были заложены в работах Ж. Лагранжа, Софи-Жермен, Г. Кирхгоффа, Т. Кельвина, А. Лява, Л. Навье, С. Пуассона, П. Тейта и др. Большой вклад и дальнейшее развитие теории тонких пластинок внесли Б.Л. Абрамян, А.Я. Александров, С.А. Амбарцумян, И.И. Ворович, Б.Г. Галеркин, К.З. Галимов, А.Л. Гольденвейзер, H.A. Кильчевский, Б.Г. Коренев, А.И. Лурье, П.М. Оги-балов, С.П. Тимошенко, К.Ф. Черных и др.

Многочисленными исследованиями был выявлен целый ряд недостатков классической теории пластинок, из которых основными являются несоответствие порядка разрешающего уравнения числу граничных условий, что приводит к существенным трудностям при формулировке граничных задач, неприменимость этой теории к конструкциям с малой сдвиговой жесткостью, к решению контактных задач и др.

Первые работы в области построения уточненных теорий расчета пластинок принадлежат Е. Рейссиеру, Г. Генки, Л. Болле, В.З. Власову, Р. Мшадлину, Л. Доннеллу, С.А. Амбарцумяну, А. Кромму. В дальнейшем это направление было развито в работах Л.Я. Айнолы, H.A. Алумяэ, В.В. Болотина, В.В. Васильева, Б.Ф. Власова, К.З. Галимова, Ш.К. Галимова, А.К. Галиныиа, Э.И. Григолюка, Я.М. Григоренко, Х.М. Муштари,

Ю.А. Новичкова, Б.Л. Пелеха, A.B. Плеханова, А.П. Прусакова, В.Г. Пи-скунова, А.О. Рассказова, И.Т. Терегулова и др. В этих работах были предложены различные варианты теории, часто называемых теориями типа Рейсснера-Тимошенко, в которых существенно используются те или иные гипотезы относительно характера напряженно-деформированного состояния пластинок.

В МГСУ были разработаны уравнения поперечного изгиба плит средней толщины, включающие гипотезу прямолинейного элемента, и на базе этой теории решен ряд задач: Б.Ф. Власов, C.B. Мазурова, Ю.Э. Ми-хайличенко, A.B. Папуш, А. Джарала, М. Марджи.

Еще одно направление в теории пластин, связанное с применением способа полиномов Лежандра, нашло отражение в работах A.A. Амосова, И.Н. Векуа, Б.М. Лисицына, В.В. Понятовского, И.Ю. Хомы, В.К. Чибирякова и др. Основным преимуществом этого направления является возможность построения решения трехмерной задачи теории упругости в высших приближениях. В двухчленном приближении результаты этой теории близки к результатам, получаемым по уточненным теориям типа Рейсснера-Нагхди.

Во второй главе рассмотрен вывод основных соотношений неклассической теории поперечного изгиба тонких изотропных пластинок, предложенный Б.Ф. Власовым (рис. 1). Чтобы лучше понять аналогию и отличие с классической теорией, в этой главе приводится и новый вариант вывода основных соотношений классической теории, также предложенный Б.Ф. Власовым.

Закон изменения перерезывающих сдвигов у^, у^ в направлении

оси z при поперечном изгибе пластинок достаточно точно описывается квадратной параболой

3 ( 1 А'2

Ухг(х> У, = ^ (■I - -^ГУ); где у „ = - | у, г)(к;

3 Г 4'2>\ 1 ьп

уг_(х, у, г) = - 1 - ~ \у„{х, у); где у 1г = - | у, . - V п ) п _нп

Нелинейный закон изменения у г_, у}: по 2 противоречит гипотезе

трямолинейности элемента при изгибе пластинки. Это противоречие Б.Ф. Власов устраняет путем введения в рассмотрение вместо реальных сдви-ов у х:, у ^ средние по толщине поперечные сдвиги у„ и у, не нарушая

сравнений неразрывности деформаций Сен-Венана. Сохраняя гипотезу о трямолинейности и нерастяжимостн поперечного элемента

= = г ■ у%(х,у),

остановим связь между у и уиз третьего уравнения неразрывности деформаций с учетом (1)

дхду дг \ дх дх ду) /г2 V ду дх ) '

)ткуда

+ ^ = 0

ду дх

(2)

Сформулируем теперь основные гипотезы, положенные в основу не-шассической теории изгиба пластинок:

1. Поперечный элемент пластинки остается прямолинейным, не изменяет своей длины, по не остается перпендикулярным к изогнутой сре-щнной поверхности.

Математически эта гипотеза приводит к:

в, 3 У» = Гя(х,у) ; уп =

Средние поперечные сдвиги ув, у^ не являются независимыми, а :вязаны между собой соотношением (2).

Следующие две гипотезы заимствованы из классической теории

2. а, « («г,, ау), т.е. сгг = О

3. и0(х, у,0) = у0(х, >-,0) = 0

В силу принятой гипотезы (2) все уравнения неразрывности деформаций Сен-Венана тождественно удовлетворяются, т.е. сплошность плиты принятыми гипотезами не нарушается.

Те уравнения обобщенного закона Гука, которые удовлетворяются в классической теории, будут удовлетворяться и в неклассической теории если положить, что:

¿У*

дх ду

(3)

Уравнения (2) и (3) для средних сдвигов у ^, у ^ являются уравне

ниями Коши-Римана для сопряженных гармонических функций. Уравне ние (3) тождественно удовлетворится, если положить

= 'у =ду/

ду' Гуг дх'

Тогда уравнение (2) превращается в гармоническое

^ + ^ = 0 или Ау/ = 0 (4)

дх ду

Окончательно задача о поперечном изгибе тонких пластинок по неклас сической теории сводится к решению уравнений

Г£)ДАи' = у); [Д^ = 0

при конкретных граничных условиях на сторонах пластинки, которьи

раскрьшаются с помощью формул:

дн' ду/ дм ду/

и = -1 — + г —1—; V = -2 — + г (6)

дх ду ду дх

[ дг\\< д2п') д2у

^ + 2 = -'{ш + У17) ~ а +10 /ад

ОХ' V

Мхг = = (7)

дхду

дх Ах V дхду

<•?>> V. дхду.

Здесь <р - функция напряжений; <2 - потенциал перерезывающих сил.

Еще раз подчеркнем, что выбор представления формул для перемещений и, V, и' основывается на принятых гипотезах: прямолинейности и нерастяжимостн поперечного элемента, осреднения перерезывающих сдвигов по толщине пластинки и факте существования потенциала перерезывающих сил. В отличие от классической теории в неклассической теории введено осреднение по толщине поперечных сдвигов, которые в классической теории равны нулю тождественно.

Такой выбор гипотез обеспечивает плоскую гармоничность углов поворота со,, которая отсутствует в уточненных теориях пластин типа Рейсснера. Отметим, что, в случае принятия гипотезы о прямолинейности поперечного элемента пластинки, применение трехмерных уравнений равновесия Ляме в перемещениях также приводит к плоской гармоничности величины со..

В третьей главе рассматриваются три задачи о поперечном изгибе прямоугольных пластинок, шарнирно закрепленных по противоположным (поперечным) сторонам при х = 0, а и нагруженных по двум другим сторонам (продольным) только распределенными обобщенными силами.

Действие распределенных изгибающих моментов на сторонах у = ±Ъ .

В формулах неклассической теории поперечного изгиба пластинок рассматриваемая задача формулируется следующим образом. Найти решения уравнений (5) при у) = 0, удовлетворяющие условиям:

х = 0,а и> = 0; Мх = 0; у = 0 (8)

у = Ъ Му = /,(*); Мху = 0; £ = О

(9)

у = -Ъ Му= /2(*); М„ = 0; £ = 0

Сгруппировав функции /¡(х) и /2(х) в виде кососимметричных и симметричных составляющих, а затем разложив последние в тригонометрические ряды, получим две частные задачи. Тогда условия (8), (9) с учетом (6), (7) можно записать так:

: а) X = 0, а УР = 0; ^ = 0; ^ = 0. (10)

у — ъ

у = -ъ

Аналитические выкладки проведем для /и-го члена ряда, а индекс т у Я при написании формул будем опускать. Решение ищем в виде:

их

ах

М, --О] I -г-г + у ~—I - (1 + V)

д?

дх'

дхду.

ту вт Лтх

м =*!а = 0;

дхду а

(П)

ву =

Ли? -

дуУ

(1 + V)

Я2 Л

<7 V

дхду.

= 0.

м.

д2и> д?

+ V-

2 \

д

дх1

0 + у)

дхду.

-т* вш Ятх

М- = = 0;

* дхду

д

(12)

ду

vv(.r, у) = u»(y) sin Ах; t//(x,y) = i//(y) eos Лх (13)

Условия (10) выполняются автоматически, а функции w(y), у/(у) определяются из решения дифференциальных уравнений, которые получатся после подстановки (13) в (5)

wrv - 2Л\\>" + Л"и> = 0; у/"-Я2у/ = 0, (14)

а их решения можно записать так :

w(y) = Al ch Лу + А,Лу sh Лу + Аъ sh Лу + А^Лу ch Лу

(15)

ys(y) = As ch Лу + A^shAy.

В соответствии с краевыми условиями (11) и (12) функция н>(х, у) -нечетная функция по у, а у/(х, у) - четная функция по у. Это свойство будет выполнено, если в (15) положить А, - А2 - = 0. Окончательно выражения для и(х, у) и у/{х, у) запишутся в виде:

it'(.v, у) - (А3 sh Лу + А4Лу ch Лу) sin Лх

(16)

У) - Л5 ty cos

Заметим, что в силу нечетности w(х, у) и четности у/(х, у) по у, выполнение условий (11) автоматически приводит к вьптолненшо условий (12).

Раскрыв граничные условия (11) с помощью (16), получим систему трех линейных алгебраических уравнений, решив которую найдем неизвестные постоянные Аъ, А4, Л,. Подставляя найденные Л,, А4, А, в (16), а затем в (7), получим:

2m*((ch ЛЬ + ЛЬ sh ЛЬ) sh Лу - ch ЛЬЛу cli Лу)

W ~ DÁ2( 1 - v)(sh 2 АЛ -2ЛЬ) : Ш '

2«+((ch ЛЬ - ЛЬ sh ЛЬ) sh Лу + ch ЛЬЛу ch Лу)

Мг = —--sin Лх;

sh2Ab-2Áb

2mv+((ch ЛЬ + ЛЬ sh ЛЬ) sh Лу - ch ЛЬЛу ch Лу) _ ч

М„ = —--1-sin Ах; (17)

* sh 2АА - 2ЛЬ

2т* (ЛЬ sh ЛЬ ch Лу - ch АЬЛу sh Лу)

А/ = —--eos Ах;

v sh 2ЛЬ - 2ЛЬ

& - о; Qy s об) у = b Му = т; sin Ах; М^, =0; £>, = О,

(18)

у = -Ь Му~т~ sin Ах; М^ =0; £>у = 0;

Так как здесь = у)\ у/(х,-у) = -у/(х,у), то

А3 = А4 - = 0. Проделав аналогичные операции, что и выше, получим:

2m;((sh ЛЬ + ЛЬ ch ЛЬ) ch Лу - sh ЛЬЛу sh Лу)

w =----г-sin Ах:

Ш2(1 - v)(sh2A¿ + 2ЛЬ)

2w~((sh ЛЬ - ЛЬ ch ЛЬ) ch Лу + sh ЛЬЛу sh Лу)

М, = —--sin Лх;

sh2AA + 2A¿

2т' ((sh ЛЬ + ЛЬ ch ЛЬ) ch Лу - sh ЛЬЛу sh Лу)

М = —--sin Ах; (19)

' sh 2ЛЬ + 2ЛЬ . v /

2от" (ДА ch ЛЬ sh Лу - sh ЛЬЛу ch Лу)

М„ = —--cos Лх:

v sh 2А6 + 2АА

О, =0; Qy s 0.

Аналогичным образом получены решения при действии только распределенных крутящих моментов Мху и только распределенных поперечных сил Qy на сторонах у = ±Ъ .

В четвертой главе последовательно рассматривается изгиб прямоугольной пластинки, шарнирно закрепленной по противоположным сторонам и нагруженной распределенной поперечной нагрузкой. Задачи этой главы решаются как с позиций неклассической, так и классической теорий.

Поперечная распределенная нагрузка представляется в виде ряда: Ф,У) - — (20)

Формула (20) предполагает, что нагрузка q(x, у) задается постоянной в направлении оси у.

Решение задачи рассматривается для т-то члена ряда

Ч(х, У) = 4m sin Хтх , где кт = — (21)

а

Граничные условия:

х = 0, a w = 0; Мл = 0; v = 0;

(22)

y = ±b Му = 0; М^ = 0; Qy = 0.

Задавая функции w и у/ в виде (13) и подставляя их, а также (21) в разрешающие уравнения (5), получим:

<{у) - 2« О0 + Я>„00 =

(23)

v'Lb>) - ¿LvÁy) = о.

Решения уравнений (23) с учетом симметричности функции и1 по у и кососимметричности по у функции у/ можно представить так:

wjy) = A ch A„j> + BXoiy sh Яту + -^г;

(24)

у/„(у) = С±кту.

Раскрыв граничные условия (22) при у = Ь, получим систему трех линейных алгебраических уравнений для определения произвольных постоянных, решив которую найдем А,В,С. Подставив найденные А, В, С в (24) и (7), получим выражения для прогиба и обобщенных сил, которые для случая равномерно распределенной нагрузки по всей пластинке интенсивности q0 запишутся в виде:

= IXOOsinA^; М,(х,у) = 1>„,0>)sinЛях;

Му(х, у) = £ Муш(у) зт Атх; М^х, у) = ^ £ М^(у) соз Я^;

й (*,>>) = ^ XЙ-ОО003^; ОА>0 - 0, где (25)

» т-1.3....

1 Г | 2у(5Ь Ям& + Ят& сЬ Ям&) сЬ Лту - 2у зЪ ЛтЬЛюу ¡¡Ъ Л„у). тЧ (\ - у)($Ь2ЛтЪ + 21тЬ)

*т(У) = -г!1 +

- £

"„(л1) = \

т

\ _ ЛЬ - ЛтЬ сЬ ХтЪ) сЬ Лту + 2 у бЬ Я„г>Ят>> 8Ь Я„,И.

бЬ 2ЛтЪ + 2ЛтЬ )'

(26)

1 _ 2(5Ъ ЛтЪ + Я„Ь сЬ л» сЬ Л„у — 2 зЬ ЯтЬЯ,^ зЬ .

V

бЬ 2Ят& + 2Л^ 511 сЬ ^ ~ сЬ »Ь Л„у. ,

т3 вИ 2ЯЬ + 2ЯЬ ' ^^ т'

Эта же задача решалась с применением классической теории. Граничные условия на свободных краях при у = ±Ь удовлетворялись с помощью условной кирхгоффовской поперечной силы:

х — 0, а те = 0 ; Мх = О

(27)

дМ„

у = ±Ь Му = 0; £ = =

Проделав аналогичные вьпшадки, что и выше, получим соотношения (25) и дополнительно для <2,^0.

^ Хя^ык* (28)

я —1.З....

Выражения типа (26) естественно будут другими.

В диссертации с помощью неклассической теории показано, что по классической теории решена задача не об изгибе пластинки, нагруженной только поперечной нагрузкой со свободными продольными краями, а задача о поперечном изгибе пластинки, одновременно нагруженной и по-

перечной нагрузкой q0 и обобщенными силами (крутящими моментами и перерезывающими силами), распределенными по продольным сторонам пластинки. Введением кнрхгоффовской силы она названа условно задачей о поперечном изгибе пластинки со "свободными" краями.

В конце IV главы получены условия существования цилиндрического изгиба для пластинки, шарнирно закрепленной по сторонам х - 0, а. Эти условия заключаются в том, что помимо действия распределенной поперечной нагрузки дт sin Лтх (для т-го члена ряда) надо приложить по продольным сторонам пластинки при у = ±Ь симметричные распределенные поперечные силы особого вида.

Тогда краевая задача, соответствующая случаю цилиндрического изгиба пластинки, может быть сформулирована так: Найти решения уравнений:

ЛЛи1

D

У^ qm sin Ятх;

Л у/ = О

(29)

удовлетворяющие условиям:

х - 0, а у ~ b

У = ~Ь

w

Му = 0;

Му = 0;

Мх = 0;

К =

Ч, = 0;

v = О

Qy = у^Чш

т

Qy = с1».

th ЛЬ sin Лх

th/í j> sin Áx

(30)

Для случая равномерно распределенной нагрузки интенсивности q0

имеем:

Dnr m,um

(31)

В пятой главе приведены примеры численного анализа расчета пластинок.

Предварительно отметим одно обстоятельство, связанное с гранич-

0

ными условиями.

Если записать граничные условия по неклассической теории для прямоугольной, шарнирно закрепленной по всему контуру пластинки и раскрыть их с помощью формул (6), (7), дифференциальных уравнений (14) или (23) и их решений, то получим тождественное обращение в ноль гармонической функции у/. Это значит, что система уравнений (5) вырождается в уравнение Софи Жермен-Лагранжа, т.е. неклассическая и классическая теории дают в этом случае одни и те же результаты. То же самое получается, если все стороны пластинки жестко защемлены или стороны пластинки закреплены в любой из этих комбинаций.

Приведенные для первой задачи III главы графики и их анализ приводят к выводу о том, что рассмотренная постановка задачи об изгибе прямоугольной пластинки, шарнирно закрепленной по двум противоположным сторонам и нагруженной распределенными изгибающими моментами по двум другим сторонам, является некорректной с позиции применения для ее решения классической теории. Поставленная в начале III главы задача корректно сформулирована и решена с помощью неклассической теории Б.Ф. Власова.

В конце пятой главы представлены графики для прогибов и обобщенных сил и проведен их анализ для задачи об изгибе шарнирно закрепленной по поперечным сторонам пластинки со свободными продольными краями при действий равномерно распределенной поперечной нагрузки. Сравнение проводилось по двум теориям для различных соотношений сторон пластинки.

На рис. 2 показаны законы изменения безразмерных прогибов w, изгибающих моментов Мх , Му , крутящих моментов Мху и поперечных

сил Qx, Qy в направлении оси у (кроме Qx ) для квадратной пластинки.

Сплошная линия- неклассическая теория, пунктирная- классическая теория. Переход к искомым прогибам и обобщенным силам осуществляется

по формулам:

И'

а - ёл,«; а = ей« •

= мла

Коэффициент Пуассона V принят равным 0,3.

Максимальные прогибы возникают на свободных краях в точках с координатами х - а / 2; у = ±Ь, а разница между ними по двум теориям составляет 23,9 % . Изгибающие моменты Мх имеют наибольшее расхождение по двум теориям на свободном краю пластинки - 26 %, в то время как в центре пластинки - 9 %.

На рис. 3 показаны законы изменения аналогичных величин для пластинки, вытянутой вдоль шарнирно закрепленных сторон (а / 2!) - I / 3 ). В такой пластинке, по мерс удаления от свободных продольных краев, разница в прогибах, моментах и поперечных силах, вычисленных по двум теориям, уменьшается.

Так из рис. 2,3 следует, что если на свободных краях разница в прогибах осталась почти прежней - была 23,9 % , стала - 22,2 % , то в центре пластинки она уменьшилась - была 35,8 % , стала 4,9 % . Разница в моментах Д/( в центре пластинки была 9 % , стала - 2,5 %.

На этих же рисунках показаны безразмерные прогибы постоянной величины для сечения х = а / 2 при цилиндрическом изгибе пластинки, полученные по формуле (31) неклассической теории.

у

г

ыг ыг

а

Рис. 1

-Ь -Ы1 О Ы1 ь 0,000 -1--- У

0,005 0,010 0,015

0,020

х = а! 2

цил. изгиб

и1

-0,02 -0,01 0,00 0,01 0,02

-Ь -Ы 2 0 Ы2 Ь

■ /

Ь>х = 0

мху = м ■ д0 - а1

0,00 0,05 0,10 0,15

J

0,50 0,25 0,00 -0,25 -0,50

а I 2Ь = 1

-Ъ -Ы 2 0 Ы1 Ь

* А' = а/6

лх = а/2

М.

«-а/2—> <■ . а/2—>

к ,ыгь

-

а

а = а • % •«

-Ь -Ы 2 0 ы 2 Ь

\ / ■* = а/2

\

Му

-Ъ -Ы2 О Ы2 Ь

-г> -6/2 о ы:

0,000 0,005 0,010 0.016 0,020

ж ! a!2 í Чил- изгиб \

1 ¡ 1 Л

w

~b -b/2 О btl b

-0,02 -0,01 0,00 0,01 0,02

- \У /

t Л : = 0

M,

а I 2b = ИЗ

b/2 О Ы1 b

X ~ а/в

x = a/2

-b ~b! 2 O b/2 b

a/2

a/2-Ц

-b -b/2 O b/2 b

-0,06 -0,04 -0,02 0,00 0,02 0,04 0,06

X / ', X = \ -а/6 ; / ¡ all i N.','

По неклассич теории

/ / i .'4 Q> = 0

^ X = a/l \

i___ _____.. .......J

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Получены решения в виде формул для прогибов и обобщенных сил по неклассической теории Б.Ф. Власова для трех, ранее не встречавшихся в литературе, задач:

- пластинка шарнирно закреплена по двум противоположным сторонам и нагружена по двум другим только распределенными изгибающими моментами;

- пластинка шарнирно закреплена по двум противоположным сторонам и нагружена по двум другим только распределенными крутящими моментами;

- пластинка шарнирно закреплена по двум противоположным сторонам и нагружена по двум другим только распределенными перерезывающими силами.

2. Сравнительный анализ результатов вышеприведенных задач показал, что они не могут быть корректно сформулированы и решены с помощью применения классической теории поперечного изгиба тонких изотропных пластинок.

3. Уравнения неклассической теории Б.Ф. Власова вырождаются в уравнение классической теории Софи Жермен-Лагранжа для прямоугольной пластинки, у которой все четыре стороны либо шарнирно закреплены, либо жестко защемлены или стороны пластинки закреплены в любой из этих комбинаций.

4. В работе последовательно рассмотрена задача об изгибе шарнирно закрепленной по поперечным сторонам прямоугольной пластинки со свободными продольными краями при действии равномерно распределенной поперечной нагрузки. Применение классической теории приводит, как известно, к появлению распределенных обобщенных усилий на свободных краях. Применение же неклассической теории позволяет полу-

чить решение с действительно свободными продольными краями.

5. Установлено, что решение предыдущей задачи в рамках классической теории является суперпозицией трех решений, построенных по не-классичсской теории:

- задача со свободными продольными краями;

- задача о действии только крутящих моментов по продольным краям;

- задача о действии только перерезывающих сил по продольным краям.

6. Выявлены условия существования цилиндрического изгиба прямоугольной пластинки, шарнирно закрепленной по противоположным сторонам и нагруженной равномерно распределенной поперечной нагрузкой.

Подписано в печать 15.05.96 г. Формат 60x94 1/16 печ.офс. И- 287 О0ьем I уч.-изд.л Т^раж 60 Заказ

Типография МГСУ