автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Параллелизация задач установившейся ползучести

> Г 5 ОД 2 7 ОКТ 1998

На правах рукописи

ДАВЫДОВ Андрей Николаевич

ПАРАЛЛЕЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ

Специальность 05.23.17 - строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Самара - 1998

Работа выполнена в Самарском государственном техническом универс!

тете

1 тучный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Я.М. Клебанов

доктор технических наук, профессор Б.А. Горлач

кандидат технических наук, доцент Э.Я. Еленицкий

Ведущее предприятие:

ОАО Самарский научно-технический комплекс им. Н.Д. Кузнецова

Защита состоится 28 октября 1998 г. в 13— часов на заседании диссерт ционного совета К.064.55.01 Самарской государственной архитектура строительной академии по адресу: 443001, Самара, ул. Молодогвардейская, 194.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарской госуда| ственной архитектурно-строительной академии.

Автореферат разослан 26 сентября 1998 г.

Ученый секретарь ___

диссертационного сонета, к.т.и., с.н.с С.А. Бутснк

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Основные направления технического прогресса в энергетике, строительстве, машиностроении, авиационной и космической технике, добыче, транспортировке и переработки нефгн н rata, в технологии связаны с постоянным повышением уровня рабочих нагрузок и температур. Несущая способность оборудования и качество изделий в этих условиях все в большей степени определяются процессами, связанными с ползучестью.

Большой вклад в становление теории ползучести и развитие методов решения прикладных задач внесли работы российских ученых Н.Х. Арупоня-на, И.А. Биргера, Г.А. Гениева, Д.А. Гохфельда, A.A. Ильюшина, Л.М. Кача-нова, H.H. Малинина, Б.Е. Победри, Ю.А. Работнова, А.Р. Ржаницына, В.И. Розенблюма, Ю.П. Самарина, О.В. Сорокина, Б.Ф. Шора и других. Главные усилия ученых сосредоточены на создании теорий ползучести и длительной прочности материалов, а также на разработке различных методов расчета напряженного и деформированного состояния реономных конструкций.

Сложность задач ползучести конструкции является главной причиной того, что в настоящее время основное внимание уделяется развитию численных методов и использованию вычислительной техники. Появление в последние годы доступных параллельных ЭВМ вызвало повышение интереса к распараллеливанию решении краевых задач, но высокая эффективность па-раллелизации была в основном достигнута только при решении линейных краевых задач.

Среди аналитических методов отмстим метод обобщенных моделей, позволяющий установить непосредственную сияя, между внешними воздействиями и характеристиками ползучести конструкций. Он открыл возможность получения физически ясных закономерностей нелинейного деформирования. Вместе с тем, этот метод оперирует лишь с ограниченным числом степеней свободы, поэтому в последние годы он был потеснен из расчетной практики методами, всецело опирающимися на дискретизацию краевой задачи и, прежде всего, методом конечного элемента. Каких-либо последовательных попыток объединения обобщенных моделей с МКЭ или другими численными методами до сих пор не предпринималось.

Актуальность создания нового метода параллельной реализации задач установившейся ползучести на основе объединения обобщенных моделей и численных методов обуславливается рядом научных и прикладных аспектов проблемы.

Метод обобщенных моделей делает осуществимым рациональное сочетание аналитических преобразований и численного счета, позволяет решать задачи, не нашедшие своего решения альтернативными методами. Кроме того, благодаря работам Д. Бойла, Д.А. Гохфельда, Ю.А. Еремина, Я.М. Клебанова, О.С. Садакова, Ю.П. Самарина, О.В. Сорокина, Дж. Спепса, И.В. Ста-сенко и других метод обобщенных моделей хорошо развит для задач неуста-

новившейся ползучести при многофакторном нагружении, что является важным условием дальнейшего развития предлагаемого нового метода паралле-лизации решений.

Предлагаемый в данной работе подход, понижая размерность задачи за счет использования обобщенных моделей и метода подконструкций, позволяет существенно снизить потребные ресурсы ЭВМ и время решения не только при использовании параллельной ЭВМ, но и при решении на одном процессоре. Это создает предпосылки для оперативного анализа влияния сложных, многофакторных воздействий на ползучесть конструкций, поиска оптимальных конструктивных форм и рациональных геометрических параметров сложных конструкций, решения стохастических, обратных и других задач, требующих значительных затрат машинного времени. Возможность решения названных задач в повседневной инженерной практике до последнего времени отсутствовала несмотря на их большую научную и практическую значимость.

Перечисленные научные и прикладные аспекты параллелизации решений задач установившейся ползучести отражены в содержании данной диссертационной работы и имеют существенное значение для эффективного решения задач строительной механики и механики деформируемого твердого тела. Ее тема связана с п. 1.1, 1.6, 5.1 и 6.9 Перечня критических технологий федерального уровня, утвержденного постановлением № 2728п-П8 Правительственной комиссии по научно-технической политике от 21.07.96.

Диссертация выполнена в соответствии с тематическими планами НИР Самарского государственного технического университета на 1991-1995 и 1996-2000 годы, государственной научно-технической программой "Конверсия и высокие технологии 1997-2000" (проект № 613.97), государственной инновационной научно-технической программой "Надежность конструкций" (проект № 2.3.12), грантом Госкомвуза в области авиационной и ракетно-космической техники (проект № 96-17-7.1-4) и региональной научно-технической программой "Наукоемкие технологии и конверсия потенциала Самарской области".

Цель работы - создание нового метода параллельной реализации задач установившейся ползучести на основе метода декомпозиции конструкции и численных обобщенных моделей нелинейного деформирования, эффективно использующего постоянно возрастающие возможности современных ЭВМ с параллельной архитектурой.

Научная новизна состоит в следующем:

1. Разработан новый подход к построению нелинейных обобщенных моделей установившейся ползучести при очень большом числе степеней свободы.

2. Получены результаты, уточняющие закономерности трансформации поверхностей равной диссипации в зависимости от степени нелинейности, и разработан метод их аппроксимации.

3. Построены итерационные процедуры параллельной реализации задач установившейся ползучести конструкций, опирающиеся на методы обобщенных моделей и декомпозиции.

4. Сформулированы и доказаны теоремы о сходимости соответствующих итерационных процедур и об оценках погрешностей, возникающих при их численной реализации.

5. Разработаны подходы к оптимизации итерационных процедур при одноуровневой и многоуровневой декомпозиции конструкции.

5. Показано, что применение разработанного метода позволяет существенно снизить потребные ресурсы ЭВМ и время решения прикладных задач установившейся ползучести.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью математической тостановки при построении нелинейных обобщенных моделей установнв-яейся ползучести, разработанной системой оценки погрешностей численной эеапизации, количественным сопоставлением между собой решений, Полуниных на основе разработанного метода п альтернативных расчетных мою-№в, использованием сертифицированного программного обеспечения.

Практическая ценность работы состоит в следующем:

. Разработанные алгоритмы являются универсальными, пригодными для конструкций любой формы, с различными свойствами материала (степень нелинейности, неоднородность, анизотропия) и при различных краевых условиях деформирования. 1. Предложенный метод аппроксимирующих обобщенных моделей (МАОМ) может быть реализован с использованием метода конечных элементов, метода граничных элементов, метода сеток или других хорошо разработанных методов конечномерной аппроксимации.

. Созданные программные средства могут работать в среде различных операционных систем, в том числе, и на компьютерах с параллельной архитектурой.

. Даже при использовании единственного процессора время решения задачи предложенным методом может быть уменьшено по сравнению с известными методами решения, не использующими разделение на подконструк-ции.

. Использование МАОМ особенно предпочтительно в случаях, когда необходимо провести серию расчетов с целью оптимизации конструкции, решения стохастических и обратных задач и др. На примере задачи установившейся ползучести дефлектора конвертированном газотурбинной установки показано как предложенный метод может быть использован при решении практических задач. Серия расчетов для определения рациональных геометрических параметров дефлектора была выполнена менее чем за два рабочих дня, в то время как на проведение этих расчетов традиционными методами потребовалось бы около одного месяца.

Публикации и апробация работы. Материалы диссертации опубликованы в 5 статьях, а также в тезисах и в научно-технических отчетах.

Основные положения работы, научные и практические результаты докладывались на VIII международной конференции - выставке "Simulating Real Life: Software with No Boundaries" (Питсбург, США, 1998), XXIII Всероссийской молодежной научной конференции "Гагаринские чтения" (Москва, 1997), международной научно-технической конференции "Молодая наука -новому тысячелетию" (Набережные Челны, 1996), VII научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара. 19"7), конференции "Надежность механических систем" (Самара, 1995).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников (195 наименований) и приложения. Объем диссертации - 172 страницы, в ней содержится 79 рисунков и 21 таблица.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследований, сформулирована цель диссертационной работы и пути ее достижения, отмечена новизна и практическое значение работы, даны сведения о публикациях.

В первой главе дается оценка современного состояния проблемы расчетных методов исследования установившейся ползучести, проводиться анализ известной литературы по данной теме и на его основе сформулированы задачи исследования.

Вначале анализируются аналитические, вариационные и некоторые приближенные методы решения задач установившейся ползучести. Отмечается, что из-за сложности определяющих уравнений решение этими методами удается получить только при упрощенная постановке для ряда конструкций простой формы.

Далее анализируются математические модели, позволяющие непосредственно связывать основные характеристики поведения конструкции с внешними воздействиями на нее - обобщенные модели. Проанализированы основные результаты по построению обобщенных моделей, полученные в работах Д.Боила, Ю.А.Еремина, Л.М.Качанова, Я.М.Клебанова, Н.Н.Малинина, Ю.П.Самарина, и др. Отмечается, что в установившейся ползучести из-за не : ; лшости определяющих уравнений используется аппроксимация обобщенных определяющих соотношений. В связи с этим одним из наиболее важных результатов в изучении установившейся ползучести конструкций пол воздействием системы внешних усилий является теорема Калладина-Друкера о вложенных поверхностях диссипации. Указывается, что геометрическая форма поверхностей равной диссипации и её трансформация в зависимости от степени нелинейности в настоящее время достаточно не изучены, что за-

трудняет построение аппроксимирующих нелинейных обобщенных моделей при установившейся ползучести.

Рассматриваются наиболее распространенные численные методы реше- ^ ния практических задач, такие как метод переменных параметров упругости И.А. Биргера, методы начальных напряжений и деформаций и др. Отмечается, что несмотря на хорошую сходимость итерационных процессов и высокую точность этих методов нелинейный конечно-элементный анализ сложных конструкций остается дорогостоящим и требующим больших временных затрат даже при использовании современных быстродействующих ЭВМ. Указывается два распространенных пути снижения временных затрат: уменьшение времени решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) за счет усовершенствования методов их решения и использование векторных и параллельных ЭВМ для распараллеливания решения. Приводится обзор современных методов решения СЛАУ, классификация параллельных ЭВМ, рассматриваются основные характеристики параллельного алгоритма - степень параллелизма, ускорение и эффективность параллелизации, а также анализируются различные подходы и алгоритмы для проведения конечно-элементного анализа на параллельной ЭВМ. Отмечается, что при комбинировании метода декомпозиции (метода подконструкций или суперэлементов) с современными методами распараллеливания решения систем уравнений (фронтальные и итерационные методы) удается получить значительное повышение эффективности параллельного алгоритма, но в настоящее время эти методы хорошо проработаны и находят широкое применение при решении только линейных краевых задач.

При решении нелинейных краевых задач с целью параллелизации решение осуществляется шагами по времени или по нагрузке. На каждом шаге выполняется линеаризация системы уравнений и для ее решения применяются известные методы распараллеливания, основанные на разложении Холес-ского, итерационном решении системы уравнений или использовании метода декомпозиции. Отмечается, что десять лет назад такой подход к параллелизации решений нелинейных краевых задач представлялся как недостаточно эффективный, однако за прошедшее время какой-либо альтернативный подход так и не был предложен.

На основании проведенного анализа делается вывод, что значительное повышение эффективности параллелизации задач установившейся ползучести может быть получено при объединении обобщенных моделей с МКЭ в рамках метода декомпозиции. Формулируется цель настоящей работы и намечаются основные задачи, которые необходимо решить для достижения этой цели.

Во второй главе разрабатываются основные положения метода параллелизации решений при установившейся ползучести на основе построения аппроксимирующих обобщенных моделей подконструкций с произвольно большим числом степеней свободы. Строятся итерационные процедуры

параллельной реализации метода при одноуровневой и многоуровневой декомпозиции конструкции. Формулируются и доказываются теоремы о сходимости соответствующих итерационных процедур и об оценке погрешностей, возникающих при их численной реализации.

Поскольку решения задач установившейся ползучести совпадают с решениями по теории малых упруго-пластических деформаций во этой главе для простоты изложения вместо скоростей деформаций и скоростей перемещений рассматриваются соответственно деформации и перемещения.

Рассматривается конструкция, занимающая объем С, которая разделяется н:>. V подконструкций с объемами а = 1,2.....N. Определяющие уравнения записываются в виде '

дфа{Хк><Г1т (Хк))

: [ к > 1т \ к /у / \ т, / \

О2еа = Ф%я аУ аы > = 1,2,3; о.=1,...,Ы (1)

где а,р Еу - компоненты тензоров напряжений и деформаций; 0« - потенциал деформаций, или дополнительная работа; Ва - функция координат; аш -эквивалентное напряжение; - тензор свойств податливости анизо-

тропного материала, обладающий известными свойствами симметрии; уа -константа для подконструкции с номером а (уа > 1); Фа - дополнительная работа.

Согласно принципу Кастильяно зависимость между обобщенными силами и обобщенными перемещениями щ в подконструкции, или ее обобщенная модель, имеет вид

дФ

и, Ф

где Фа - дополнительная работа для всей подконструкции; Qa - эквивалентная обобщенная сила.

Эквивалентные обобщенные силы и перемещения связаны уравнением

где и „ С0а - константы.

-.¡шейной зависимости между обобщенными перемещениями и обобщенными силами (у0 = 1) в пространстве обобщенных сил и в пространстве обобщенных перемещений соответствуют поверхности постоянной диссипации в форме гиперэллипсоидов. При у„ > 1 эти поверхности не являются гиперэллипсоидами. Показано, что отдельные сегменты этих поверхностей могут быть с заданной степенью точности представлены как части гиперэллипсоидов. Использование в качестве аппроксимирующей поверхности гиперэл-

липсоида объясняется стремлением получить векторно-линейную, или квазилинейную, связь между силами и перемещениями. Обобщенное перемещение в соответствии с такой аппроксимацией может быть представлено в виде

где сгш - матрица жесткости подконструкции а.

Аппроксимирующая поверхность строится в пространстве перемещений и таким образом, чтобы она касалась действительной поверхности в одной заданной точке. Аппроксимирующий гиперэллипсоид соответствует некоторой эквивалентной подконструкции той же формы, что и исходная подконст-рукция, но с неоднородными линейными свойствами. Эти свойства определяются по полученным из нелинейного расчета напряжениям и деформациям, которые и определяют положение точки аппроксимации.

Далее во второй главе доказывается, что описанная выше аппроксимирующая поверхность в окрестности точки аппроксимации находится внутри действительной поверхности. Затем вводится оценка погрешности величины работы внешних сил, обусловленная предложенной аппроксимацией, в окрестности точки аппроксимации.

Величина этой погрешности зависит от угла поворота вектора перемещения и соответствует участкам поверхности, форма которых в наибольшей степени отличается от гиперэллипсоида.

Алгоритм вычислительной процедуры, основанный на вышеизложенном подходе, включает следующие основные этапы.

Этап 0: С использованием известного метода декомпозиции в параллель решается краевая задача для заданных внешних условий при линейном определяющем соотношении

которое следует из (1) при уа = 1. Результатом решения линейной краевой задачи на этом этапе являются перемещения точек глобальной модели, т.е. точек на границах подконструкций.

Этап 1: По результатам предшествующих вычислений для каждой подконструкции формируются векторы заданных перемещений внешних узлов и5. Проводится нелинейный локальный анализ подконструкций при заданных перемещениях щ. Его результатом являются, в частности, матрицы жесткости подконструкций с„а, сконденсированные к внешним степеням свободы. Этап 2: Формируются нелинейные численные аппроксимирующие модели подконструкций

г, 5 = 1,2,...а

(2)

Ъ/ = Ва®г]к1 °к1

Я* = спа иаа Ч ; 0<//а*1

где для каждой подконструкции на этапе 1 определены значения спа. ¡-.ел, у. Решается нелинейная глобальная задача для всей конструкции, составленной из подконструкций.

')п!1| ' Оценивается достигнутая точность решения. При необходимости повторяются этапы 1-4. ' Этап 5: Выполняется локальный анализ тех подконструкций, которые представляют интерес для расчетчика. В качестве исходных данных здесь выступают полученные при глобальном анализе (этап 3) перемещения внешних узлов.

Из приведенного алгоритма видно, что при решении задачи установившейся ползучести используется итерационный метод решения. Одна итерация состоит из этапов 1-4.

Нелинейные задачи на этапах 1 и 3 могут быть решены любым из известных методов решения физически нелинейных задач, например методами упругих решений. На этапах 1,2 и 5 анализ каждой из подконструкций выполняется без какого-либо обмена информацией между подконструкциями. Обычно предполагается, что каждый процессор работает со своей индивидуальной подконструкцией, поэтому на этих этапах могут быть достигнуты идеальные ускорение и эффективность параллелизации. Вычисления в главной сети на этапах 3,4 в общем случае выполняются на одном процессоре.

Для доказательства сходимости описанного выше алгоритма рассматривается конструкция, на части поверхности которой заданы обобщенные силы (к = 1,2,...). Им соответствуют обобщенные перемещения м>к.. На остальной поверхности заданы обобщенные перемещения. Действительное решение соответствует вектору иПусть иа* обозначают соответствующие эффективные обобщенные перемещения в подконструкциях. Решение на текущей итерации обозначается щ<рК, где верхний индекс - номер итерации.

Величина полной энергии для конструкции Ь определяется равенством ' . Л

N

= I

а=1

"а

В соответствии с принципом минимума полной энергии

рк™к

N

I

Щ

м

^ Е

,МЫ

Ма + 1

7Г (Р)

рк щ'; (3) /7 = 1,2

где w- обобщенные перемещения конструкции в целом, соответствующие обобщенным перемещениям в подконструкциях , подсчитанным на этапе

Принятому алгоритму отвечает условие

(4)

Тогда из того факта, что аппроксимирующая поверхность находится внутри действительной в окрестности точки аппроксимации, следует

¿'Щ^ГЩ (5)

где равенство справедливо только для точки аппроксимации.

Заменяя в (5) р на (р-1) и учитывая (3), (4) в соответствии с принципом минимума полной энергии можно записать

Lp_,>Lp] Lp>U

Последовательность Lp (р = 1,2,...) при р от равномерно сходится к пределу L.

Учитывая единственность решения краевой задачи, нетрудно доказать, что полученный результат обеспечивает также сходимость

Иш иш = *4

Для оценки точности решения на этапе 4 MOiyr использоваться величины погрешности работы внешних сил в подконструкциях (2) и/или относительного изменения полной энергии для всей конструкции, определяемого следующим равенством

V1 ~ ЬР

\LP

(6)

В последнем разделе второй главы приводится алгоритм МАОМ для случая многоуровневой декомпозиции и доказательство сходимости соответствующей итерационной процедуры. В этом случае при переходе на очередной уровень проводиться оценка относительной погрешности, связанной с поворотом вектора перемещений (2) и при необходимости происходит возврат на предыдущий уровень для уточнения аппроксимирующих моделей подконструкций.

Степень параллелизма при многоуровневом методе декомпозиции изменяется от одного уровня к другому. На первом уровне степень, параллелизма имеет максимальное значение, равное числу подконструкций на этом уровне. При решении нелинейной глобальной задачи для всей конструкции степень параллелизма равна единице, т.е. вычисления на этом этапе выполняются

последовательно. Однако, по сравнению с одноуровневым методом декомпозиции, размер главной сети в этом случае значительно меньше и поэтому, в соответствии с законом Амдаля, может быть достигнуто большее ускорение параллельного алгоритма.

В третьей главе выполнена программная реализация разработанных итерационных процедур при одноуровневой и многоуровневой декомпозиции. Создана вычислительная программа, использующая МКЭ, которая может работать в среде различных операционных систем, в том числе и на компьютерах с параллельной архитектурой. На многочисленных примерах демонстрируется сходимость, точность и эффективность численной реализации метода аппроксимирующих обобщенных моделей.

В качестве параллельной ЭВМ использовалась сеть рабочих станций SGI5 (Silicon Graphics Indy), работающих под управлением операционной системы IRIX 5.3 (UNIX) и пакета программ PVM (Parallel Virtual Machine). Сеть смонтирована на компьютерном центре университета Стратклайда (г. Глазго, Великобритания).

На рис.1 изображен один из вариантов разделения на подконструкции л :с!!та оболочки, а так же приведены сведения о параметрах конечно-элементной модели при декомпозиции на 8 подконструкции. Некоторые из пол} ченных результатов расчета этой конструкции, демонстрирующие схо-;п\, ь и точность итерационной процедуры МАОМ приведены на рис.2 и рис.3.

Из приведенных результатов видно, что величины максимальных напряжения и перемещения постепенно приближаются к значениям, полученным с помощью традиционной итерационной процедуры МППУ без разделения на подконструкции.

Аналогичные результаты получены для конструкций различного типа как с однородными и изотропными свойствами материала, так и с неоднородностью и анизотропией. Рассматривались различные краевые условия и параметры декомпозиции.

Число степеней свободы

в подконструкциях - 336 -s- 369

Число элементов в подконструкциях - 270 н- 325 Число внешних степеней свободы в подконструкциях - 153 156

Полуширина ленты матрицы жесткости в подконструкциях - 60 -н 66

Число степеней свободы в главной сети - 681 Полуширина ленты матрицы жесткости в главной сети - 264

Рис. ]. Декомпозиция элемента оболочки на 8 подконструкций.

1 2 3 4 5 6

Номер итерации

Рис.2. Зависимости приращений максимального перемещения, максимального напряжения, полной энергии (6) и относительной погрешности работы внешних сил (2) от числа итераций при декомпозиции элемента оболочки на 8 подконструкций (уа =4, а = 1,...,8).

270

максимальное напряжение максимальное перемещение без декомпозиции

200

1

3 4

Номер итерации

3

0

-0,01 -0,02 -0,03 -0,04 -0,05 -0,06

2

2

о" Я X и

3

о 2

га и

е

Рис.3. Зависимость максимальных перемещения и напряжения от числа итераций при декомпозиции элемента оболочки на 8 подконструкций

(уа = 4, « = !,...,8).

Проведен анализ структуры временных затрат. Он показал, что общее время решения задачи методом аппроксимирующих обобщенных моделей складывается из следующих слагаемых

/

Т=У 7" <Т 4.т

¿-1 пар. т лпосч. ~ лвсп. /=1

где: / - число уровней декомпозиции; Т'„ар - время вычислений, выполняемых параллельно на уровне /'; Т„аа, - время вычислений, выполняемых последовательно в главной сети; Твсп, - время вспомогательных вычислений, которое

составляет от 1 до 10% от общего времени решения задачи в зависимости от ее размера, числа используемых процессоров, числа и размера подконструк-ций и т. д.

Время вычислений, выполняемых параллельно на уровне / определяется зависимостью

где: П1, - число возвратов на уровень ¡; к2аи - число итерацйй при решении нелинейной задачи для подконструкции а приу-том возврате на уровень /; -время построения матрицы жесткости подконструкции а уровня /; (2а' - время "конденсации" матрицы жесткости подконструкции а уровня г к внешним степеням свободы; Г3а' - время решения системы линейных уравнений в подконструкции «уровня ¡.

Время вычислений, выполняемых последовательно в главной сети может быть подсчитано по формуле

р= 1

где к\ - число итераций включающих, этапы 1-4; кЪр - число итераций при решении нелинейной задачи в главной сети на итерациир\ /4 - время построения матрицы жесткости главной сети; г5 - время решения системы линейных уравнений в главной сети.

Установлено, что при неизменном общем размере задачи с увеличением числа подконструкций уменьшается их размер и соответственно время вычислений в каждой подконструкции но одновременно увеличивается время вычислений в главной сети Тпоа1. Следовательно, время решения задачи зависит от соотношения размеров задач для подконструкций и главной сети. Поэтому существует оптимальное соотношение, при котором общее время решения является минимальным. Получены зависимости, которые еще до проведения расчетов позволяют дать рекомендации по декомпозиции конструкции на подконструкции с тем, чтобы уменьшить время решения.

Вывод о существовании минимума времени решения полностью под-I пер чился результатами решения конкретных задач. На рис.4 приведена зависимость общего времени решения задачи установившейся ползучести элемента оболочки (рис.1) от числа подконструкций для случаев, когда каждая подконструкция обрабатывается отдельным процессором или когда все вычисления проводятся на одном процессоре.

Как видно из приведенных результатов, МАОМ позволяет снизить время решения по сравнению со временем решения традиционным методом без разделения на подконструкции в 1,72 раза даже при использовании единственного процессора. Проведенные расчеты для других конструкций показали, что это значение может достигать 4 раз.

4000 —О— число процессоров равно числу поконструкций

3000 . 4 Л последовательная реализация у \ на одном процессоре ^^^

2000 \ ~~ без разделения на _ \ подконструкции

1000 - V»—

0

О 4 8 12 16 20 24 28 32 Число подконструкций

Рис.4. Зависимость общего времени решения задачи от числа подконструкций при одноуровневой декомпозиции элемента оболочки (уа = 4).

Важными характеристиками параллельного алгоритма являются его ускорение Бр и эффективность Ер

; Ер - — ■ 100% р Р

где: Г) - время выполнения лучшего последовательного алгоритма на одном процессоре, Тр - время выполнения параллельного алгоритма в системе из р процессоров. Показано, что для ряда задач эффективность параллелизации МАОМ может достигать 90% и выше.

В последнем разделе главы приводятся результаты решения актуальной практической задачи установившейся ползучести дефлектора конвертированной газотурбинной установки. Из условия обеспечения равнопрочности проводился поиск оптимальных толщины стенки и радиуса скругления у зацепа дефлектора при различных граничных условиях. Для этого выполнялась серия расчетов при разных сочетаниях толщины стенки 8 сп, задаваемой рядом значений 2,5, 3,0, 3,5 и 4,0 мм., и радиуса скругления в районе зацепа И (1,8, 2,0 и 2,2 мм.). Граничные условия задавались на поверхностях контакта дефлектора и диска из результатов приближенных расчетов их совместной работы на различных режимах под действием реальных нагрузок (неравномерное поле температур, центробежные нагрузки, изгиб от газового потока и т.д.). Сектор дефлектора разбивался на 16 или 32 подконструкции, при этом общее число конечных элементов составляло 17406, а число степеней свободы - 14376. По результатам проведенных расчетов получена

зависимость толщины стенки от радиуса скругления в районе зацепа, обеспечивающая выполнение условия равнопрочности.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Предложен метод решения задач установившейся ползучести на параллельной ЭВМ. Основным вопросом, решенным в связи с созданием метода, является моделирование поведения подконструкций путем построения нелинейных аппроксимирующих обобщенных моделей.

2. Проведен анализ погрешностей, связанных с введенной аппроксимацией, и получены зависимости, позволяющие оценить величины этих погрешностей.

3. Разработаны итерационные процедуры параллельной реализации МАОМ для одноуровневой и многоуровневой декомпозиции и доказаны теоремы об их сходимости.

4. Показано, что разработанные процедуры являются универсальными, пригодными для конструкций любой формы и с неограниченным числом степеней свободы.

5. Создана вычислительная программа для реализации МАОМ, использующая МКЭ. Программа может работать в среде различных операционных систем, в том числе и на компьютерах с параллельной архитектурой.

6. Детально проанализированы особенности численной реализации разработанного метода путем решения ряда задач для конструкций разнообразного вида, с различными свойствами материала и при различных краевых условиях. Во всех решенных задачах была получена высокая точность результатов, причем для достижения такой точности потребовалось значительно меньшее число итераций, чем при традиционных методах. Выявлено влияние степени нелинейности определяющих уравнений на скорость сходимости итерационной процедуры и точность получаемых результатов.

7. Установлено, что существенное влияние на время решения задачи при использовании МАОМ оказывают параметры декомпозиции конструкции (число уровней декомпозиции, число подконструкций, число внешних степеней свободы в подконструкциях и т.д.). Получены зависимости, позволяющие еще до проведения расчетов выбрать оптимальные параметры декомпозиции с целью достижения более высокой эффективности парал-лелизации решения на ЭВМ.

8. Показано, что эффективность параллельной реализации МАОМ может достигать 90% и выше по сравнению с решением традиционными методами, а при использовании единственного процессора метод позволяет уменьшить время решения задачи в несколько раз.

9. На основе разработанного метода была решена актуальная практическая задача установившейся ползучести дефлектора конвертированной газотурбинной установки. Использование МАОМ позволило существенно снизить время решения задачи определения рациональных геометриче-

ских параметров дефлектора. Ускорение по отношению к решению традиционным методом составило 12,9 раза. По результатам приведенных исследований сделаны обобщающие выводы и получены соответствующие практические рекомендации.

По материалам диссертации опубликованы следующие печатные работы:

1. Клебанов Я.М., Давыдов А.Н. Метод распараллеливания решений задач установившейся ползучести // Известия вузов Машиностроение. M: -1998. -№4-6. -С. 46-52.

2. Klebanov J.M., Davydov A.N. Non-Linear Substructure Analysis // Proceeding of Eighth International Conférence and Exhibition "Siinulating Real Life: Software with No Boundaries." Pittsburgh, USA, 18-20 Aug. 1998. Pillsburgh, -1998.-P. 76-85.

3. Клебанов Я.M., Давыдов А.Н. Метод декомпозиции и распараллеливание численного решения задач установившейся ползучести // Проблемы и решения современной технологии: Сб. науч. тр. - Тольятти: ПТИС, -1997. Вып.З, Часть 2, -№6. -С. 29-35.

4. Клебанов Я.М., Давыдов А.Н. Структура затрат машинного времени при иерархическом моделировании пластичности и установившейся ползучести сложных конструкций // Сборник трудов VII научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара: СамГГУ, -1997. -С. 50-53.

5. Давыдов А.II. Моделирование ползучести дефлектора диска гаюгурбнн-ного двигателя на параллельной ЭВМ H "ХХ111 Гагаринские чтения": Тс?, докл. молодежной научной конференции, Москва, 8-12 апреля 1997. М.: РГТУ-МАТИ, -1997. Часть 2, -С. 74.

6. Клебанов Я.М., Давыдов А.Н. Использование метода обобщенных моделей для расчета установившейся ползучести конструкций // Тезисы докладов международной научно-технической конференции "Молодая наука -новому тысячелетию", Часть 1. Набережные Челны: Изд-во Камского политехнического института, -1996. -С. 41-42.

7. Давыдов А.Н. Метод суперэлементов в расчетах пластичности конструкций // Тезисы докладов конференции "Надежность механических систем". Часть 2. Самара: СамГТУ, -1995. -С. 31.

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ДАВЫДОВ Андрей Николаевич

ПАРАЛЛЕЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ Специальность: 05.23 Л 7 - строительная механика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор Я.М. Клебанов

Самара - 1998

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

Введение...........................................................................................................4

1. Расчетные методы исследования установившейся ползучести элементов конструкций. Состояние вопроса..................................................9

2. Разработка основных положений метода параллелизации решений

при установившейся ползучести....................................................................42

2.1 Определяющее уравнение.......................................................................42

2.2 Поверхности равной диссипации в пространствах сил и перемещений. Обобщенная модель подконструкции.........................45

2.3 Аппроксимирующая обобщенная модель подконструкции...............55

2.4 Алгоритм вычислительной процедуры метода аппроксимирующих обобщенных моделей...........................................60

2.5 Алгоритм вычислительной процедуры при

многоуровневой декомпозиции.............................................................66

3. Анализ и оптимизация численных процедур реализации метода аппроксимирующих обобщенных моделей на

параллельных ЭВМ..........................................................................................75

3.1 Сходимость и точность алгоритма одноуровневой декомпозиции...........................................................................................76

3.2 Анализ временных затрат и эффективность параллельной реализации МАОМ при одноуровневой декомпозиции конструкции.............................................................................................95

3.3 Сходимость и точность алгоритма многоуровневой декомпозиции......................................................................................... 113

3.4 Анализ временных затрат и эффективность параллельной реализации МАОМ при использовании схемы бинарного

дерева...................................................................................................... 119

3.5 Решение практической задачи установившейся ползучести дефлектора газотурбинной установки методом

аппроксимирующих обобщенных моделей на

параллельной ЭВМ................................................................................130

3.5.1 Выбор схемы реализации метода аппроксимирующих обобщенных моделей для расчета дефлектора........................132

3.5.2 Определение рациональных геометрических размеров дефлектора для условий установившейся ползучести............ 138

Заключение................................................................................................ 144

Список использованных источников............................................................... 148

Приложение........................................................................................................ 165

ВВЕДЕНИЕ

Основные направления технического прогресса в энергетике, машиностроении, авиационной и космической технике, добыче, транспортировке и переработки нефти и газа, в технологии связаны с постоянным повышением уровня рабочих нагрузок и температур. Несущая способность оборудования и качество изделий в этих условиях все в большей степени определяются процессами, связанными с ползучестью.

Большой вклад в становление теории ползучести и развитие методов решения прикладных задач внесли работы российских ученых Н.Х. Арутю-няна, Н.М. Беляева, И.А. Биргера, Д.А. Гохфельда, A.A. Ильюшина, JIM. Ка-чанова, H.H. Малинина, Б.Е. Победри, Ю.А. Работнова, А.Р. Ржаницына, В.И. Розенблюма, Ю.П. Самарина, О.В. Сорокина, Б.Ф. Шора и других. Главные усилия ученых сосредоточены на создании теорий ползучести и длительной прочности материалов, а также на разработке различных методов расчета напряженного и деформированного состояния реономных конструкций.

Сложность задач ползучести конструкций является главной причиной того, что в настоящее время основное внимание уделяется развитию численных методов и использованию вычислительной техники. Появление в последние годы доступных параллельных ЭВМ вызвало повышение интереса к распараллеливанию решений краевых задач, но высокая эффективность па-раллелизации была в основном достигнута только при решении линейных краевых задач.

Аналитический метод обобщенных моделей, оперируя лишь с незначительным числом степеней свободы, открыл возможность получения физически ясных закономерностей нелинейного деформирования. Вместе с тем, этот метод в последние годы был потеснен из расчетной практики методами, всецело опирающимися на дискретизацию краевой задачи и, прежде всего

методом конечного элемента. Каких-либо попыток объединения обобщенных моделей с МКЭ до сих пор не предпринималось.

Актуальность создания нового метода параллельной реализации задач установившейся ползучести на основе объединения обобщенных моделей и численных методов обуславливается рядом научных и прикладных аспектов проблемы.

Метод обобщенных моделей создает все необходимые предпосылки для установления непосредственных связей между внешними воздействиями и характеристиками ползучести конструкций, делает осуществимым рациональное сочетание аналитических преобразований и численного счета, позволяет решать задачи, не нашедшие своего решения альтернативными методами. Кроме того, благодаря работам Д. Бойла, Д.А. Гохфельда, Ю.А. Еремина, Я.М. Клебанова, О.С. Садакова, Ю.П. Самарина, О.В. Сорокина, Дж. Спенса, И.В. Стасенко и других метод обобщенных моделей хорошо развит для задач неустановившейся ползучести при многофакторном нагружении, что является важным фактором дальнейшего развития предлагаемого нового метода параллелизации решений.

Предлагаемый в данной работе подход, понижая размерность задачи за счет использования обобщенных моделей и метода подконструкций, позволяет существенно снизить потребные ресурсы ЭВМ и время решения не только при использовании параллельной ЭВМ, но и при решении на одном процессоре. Это создает предпосылки для оперативного анализа влияния сложных, многофакторных воздействий на ползучесть конструкций, поиска оптимальных конструктивных форм и рациональных геометрических параметров сложных конструкций, решения стохастических, обратных и других задач, требующих значительных затрат машинного времени. Возможность решения названных задач в повседневной инженерной практике до последнего времени отсутствовала несмотря на их большую научную и практическую значимость.

Перечисленные научные и прикладные аспекты параллелизации решений задач установившейся ползучести отражены в содержании данной диссертационной работы. Ее тема соответствует п. 1.1, 1.6, 5.1 и 6.9 Перечня критических технологий федерального уровня, утвержденного постановлением № 2728п-П8 Правительственной комиссии по научно-технической политике от 21.07.96.

Диссертация выполнена в соответствии с тематическими планами НИР Самарского государственного технического университета на 1991-1995 и 1996-2000 годы, государственной научно-технической программой "Конверсия и высокие технологии 1997-2000" (проект № 613.97), государственной инновационной научно-технической программой "Надежность конструкций" (проект № 2.3.12), грантом Госкомвуза в области авиационной и ракетно-космической техники (проект № 96-17-7.1-4) и региональной научно-технической программой "Наукоемкие технологии и конверсия потенциала Самарской области".

Цель работы - создание нового метода параллельной реализации задач установившейся ползучести на основе метода декомпозиции конструкции и численных обобщенных моделей нелинейного деформирования, эффективно использующего постоянно возрастающие возможности современных ЭВМ с параллельной архитектурой.

Научная новизна состоит в следующем:

1. Разработан новый подход к построению нелинейных обобщенных моделей установившейся ползучести при неограниченном числе степеней свободы.

2. Получены результаты, уточняющие закономерности трансформации поверхностей равной диссипации в зависимости от степени нелинейности, и разработан метод их аппроксимации.

3. Построены итерационные процедуры параллельной реализации задач установившейся ползучести конструкций, опирающиеся на методы обобщенных моделей и декомпозиции.

4. Сформулированы и доказаны теоремы о сходимости соответствующих итерационных процедур и об оценках погрешностей, возникающих при их численной реализации.

5. Разработаны подходы к оптимизации итерационных процедур при одноуровневой и многоуровневой декомпозиции конструкции.

6. Показано, что применение разработанного метода позволяет существенно снизить потребные ресурсы ЭВМ и время решения прикладных задач установившейся ползучести.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью математической постановки при построении нелинейных обобщенных моделей установившейся ползучести, разработанной системой оценки погрешностей численной реализации, количественным сопоставлением между собой решений, полученных на основе разработанного метода и альтернативных расчетных методов, использованием сертифицированного программного обеспечения.

Практическая ценность работы состоит в следующем:

1. Разработанные алгоритмы являются универсальными, пригодными для конструкций любой формы, с различными свойствами материала (степень нелинейности, неоднородность, анизотропия) и при различных краевых условиях деформирования.

2. Предложенный метод аппроксимирующих обобщенных моделей (МАОМ) может быть реализован с использованием метода конечных элементов, метода граничных элементов, метода сеток или других хорошо разработанных методов конечномерной аппроксимации.

3. Созданные программные средства могут работать в среде различных операционных систем, в том числе, и на компьютерах с параллельной архитектурой.

4. Даже при использовании единственного процессора время решения задачи предложенным методом может быть уменьшено по сравнению с известными методами решения, не использующими разделение на подконструк-ции.

5. Использование МАОМ особенно предпочтительно в случаях, когда необходимо провести серию расчетов с целью оптимизации конструкции, решения стохастических и обратных задач и др. На примере задачи установившейся ползучести дефлектора конвертированной газотурбинной установки показано как предложенный метод может быть использован при решении практических задач. Серия расчетов для определения рациональных геометрических параметров дефлектора была выполнена менее чем за два рабочих дня, в то время как на проведение этих расчетов традиционными методами потребовалось бы около одного месяца.

Публикации и апробация работы. Материалы диссертации опубликованы в 4 статьях, а также в тезисах и в научно-технических отчетах.

Основные положения работы, научные и практические результаты докладывались на VIII международной конференции - выставке "Simulating Real Life: Software with No Boundaries" (Питсбург, США, 1998), XXIII Всероссийской молодежной научной конференции "Гагаринские чтения" (Москва, 1997), международной научно-технической конференции "Молодая наука - новому тысячелетию" (Набережные Челны, 1996), VII научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 1997), конференции "Надежность механических систем" (Самара, 1995).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников (195 наименований) и приложения. Объем диссертации - 172 страницы, в ней содержится 79 рисунков и 21 таблица.

1. РАСЧЕТНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА

Для надежной оценки работоспособности конструкций в энергетике, авиации и металлургии, строительных конструкций и других необходим учет поведения материалов при повышенных напряжениях и температурах, когда может развиваться такое явление, как ползучесть - медленное накопление деформаций с течением времени, наблюдаемое даже при постоянных напряжениях.

Одной из первой работ, в которой исчерпывающим образом излагались цели и методы анализа напряжений и проектирования при ползучести, была работа Бейли [71], опубликованная в Англии в 1935 году. Цели, которые ставил Бейли, и методы, которые он использовал, весьма схожи с используемыми до настоящего времени. Бурный рост исследований по ползучести относится к концу 50-х годов. Исчерпывающий обзор работ этого периода можно найти в книге Финни и Хеллера [101] - первой книге, в которой излагаются современные методы анализа напряжений при ползучести. После этого на протяжении 60-х годов было опубликовано немало книг, из которых отметим монографии Л.М. Качанова [26], Одквиста и Халта [152]. В книге Ю.Н. Работнова [44] подытожен весомый вклад в исследование ползучести, который внесли советские учёные. С тех пор появился целый ряд новых направлений в теории ползучести, которые нашли отражение в монографиях Н.Х. Арутютяна [2], Д. Бойла и Дж. Спенса [79], Д.А. Гохфельда и О.С. Са-дакова [12], A.A. Ильюшина и Б.Е. Победри [21,40], H.H. Малинина [30,31], Ю.Н. Работнова [45], А.Р. Ржаницына [47], Ю.П. Самарина и Я.М. Клебанова [55], О.В. Сорокина и Ю.П. Самарина [56], И.В. Стасенко [58] и сотнях журнальных статей и обзорах.

При исследовании напряженно-деформированного состояния конструкций при ползучести возникает необходимость решения сложных нелинейных краевых задач. Только упрощенная постановка задач для ряда конст-

рукций простой формы позволяет получить решение в аналитическом виде. В работах Н.Н.Малинина [30,31] рассмотрено решение задач чистого и поперечного изгиба бруса, кручения бруса, вращающихся дисков. В статьях И.В. Стасенко [57,59] даны решения задач установившейся ползучести тонкостенной и толстостенной труб, нагруженных внутренним давлением, осевой силой, изгибающим и крутящим моментами. Ряд интересных контактных задач ползучести решен в работах Н.Х. Арутюняна [1,3].

Для осесимметричных задач плоского напряженного состояния возможно упрощение решений путем использования критерия Треска - Сен-Венана. Этот вопрос исследован в статье В.И. Розенблюма [49]. Решение задач установившейся ползучести дисков на основе этого критерия подробно изложено в работах [26,178], изгиб кольца и пластин - в работе [31]. Ю.В.Немировским [37] для решения осесимметричных задач применен критерий максимального приведенного напряжения.

Если напряжения в конструкции не превосходят предел текучести, то полные деформации состоят из упругих деформаций и деформаций ползучести. В случае, когда последние превалируют, упругими деформациями можно пренебречь. Такое состояние называется состоянием установившейся ползучести. Если уравнения совместности деформаций продифференцировать по времени, то станет ясно, что задача установившейся ползучести представляет собой задачу нелинейной теории упругости, в которой деформации и перемещения заменены на скорости деформаций и скорости перемещений. Поскольку решения задач установившейся ползучести совпадают с решениями задач по теории малых упруго-пластических деформаций, то для решения этих задач могут использоваться одни и те же методы, в том числе энергетические или вариационные.

Хорошо известные теоремы теории упругости о минимуме потенциальной энергии и дополнительной энергии имеют аналоги в теории установившейся ползучести. Это теорема о минимуме энергии диссипации и теорема о минимуме дополнительной энергии диссипации. Применяя эти тео-

ремы, можно построить минимизирующую последовательность, члены которой используются в качестве приближенных решений задачи об установившейся ползучести [8,30,31]. Обычно при построении приближенного решения применяют метод Ритца. Некоторые численные результаты решения задачи установившейся ползучести такими методами приведены в работах [44,45].

Л.М. Качанов [26] предложил для приближенного решения краевых задач установившейся ползучести рассматривать распределение напряжений

в теле в виде комбинации

= + к • ~ ; ^ = 7'2'5 (1Л)

где: а/ - напряжения в пределах упругости; а^ - напряжения, удовлетворяющие идеально ползучему телу; к - параметр, определяемый из условия минимума дополнительной энергии диссипации. В работах [25,31] показано, что решение задачи установившейся ползучести нагретого стержня при чистом изгибе с использованием соотношения (1.1) приводит к результатам, очень близким к точному решению.

В некоторых случаях приближенные решения задач установившейся ползучести равномерно нагретых тел можно получить с помощью теоремы Калладина-Друккера [22,23]. Примеры реализации такого подхода содержаться в работах [31,57,79].

Можно отметить и некоторые другие приближенные методы, позволяющие быстро рассчитывать простейшие элементы конструкций [9,72]. Возможность их применения к расчету реальных конструкций не рассматривалась.

Наиболее совершенными следует, по-видимому, считать математические модели, позволяющие непосредственно связывать основные характеристики поведения конструкции с внешними во�