автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Оценка и повышение точности аппроксимации эмпирических зависимостей в технических и природных объектов в условиях неопределенности

Г 1 о

V ■» ^

шмстерствфнши, высшей школы и технической политики

''' ..... российской федерации

комитет по высшей школе тверской государственный университет

На правах рукописи

дубов илья ровдович

опенка и повышение точности аппроксимации эмпирических зависимостей в технических и природных объектах в условиях неопределенности

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Тверь 1993

Работа выполнена во Владимирском политехническом институте

Научный руководитель - кандидат технических наук,

доцент Макаров Р.И.

Официальные оппоненты — доктор технических наук,

профессор В.Ф.Корнюшко . - кандидат технических наук, доцент В.Ф.Комиссарчик

Ведущая организацияИПсГ"Инфратехнотогия" Центра наук ; о человека РАН.

Заадета .состоится " 2Т" <-^^^1993 г. в (3 ^ час. на заседании специализированного совета К 063.97.06 по приеуадению ученой степени кандидата технических наук в Тверском государственном университете (170002, г.Тверь, Сэдобый переулок, д.35, ауд. ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тверского государственного университета.

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета, к.ф^м.н., доцент

—г-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ, эффективность научных исследований и возможность использования знаний о сложных технических и природных закономерностях в значительной мэре зависят от совершенствования методов обработки результатов наблюдений. Широкое использование вычислительной техники, особенно персональных ЭВМ, предоставляет возможность сбора и хранения больших объемов экспериментальных данных и, в то же время, делает доступным реализацию разнообраз- • ннх методов обработки этих данных. В процессе моделирования приходится принимать допущения о характере изучаемой зависимости и -законе распределения ошибок наблюдений. Неточности.в этих допу-цениях могут приводить к обесцениванию получаемых результатов, поэтому актуальной является задача уменьшения субъективности при трстроении моделей. Ее решение позволяет не только обеспечить доступность математических методов для использования исследователями различных специальностей, но и в целом повышает точность эпиоания моделями реальных закономерностей. Неадекватность ап-фоксимирунцей функции исследуемой зависимости в условиях огра-тченного класса доступных для выбора функций, погрешность на-Злюдений и ограниченность выборки порождают задачу оценивания сачества аппроксимации. Оценка погрешности аппроксимации являет-:я важной самостоятельной задачей, которая дает обоснование при-1ятию решений.по результатам обработки данных. Вместе с тем на' • [ей базируется задача оптимизации аппроксимации-.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью диссертации является совершенствование 1Лгоритмов аппроксимации, позволяющее повысить точность аппрок-:имации эмпирических зависимостей в условиях неопределенности.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основные теоретические результаты диссер-•ационной работы состоят в следующем:

- предложена оценка дисперсии аппроксимации, являющаяся ли-[бйной комбшацией остаточной дисперсии и ковариационного момен-а отклонений аппроксимирующей функции от результатов наблюде-ий, причем аппроксимируемая функция может не принадлежать к лассу аппроксимирующих:

- сделано уточнение оценки дисперсии ошибок наблюдений, оп-еделявмой как разность"остаточной дисперсий и оценки ковариа-ионного момента, для случая ограниченной выборки наблюдений, а акте выполнен анализ ее смещения;

-л—

- предложен критерий для выбора функции оптимальной' слож-- ности, основанный на оценке дисперсии аппроксимации;'

- - предложен способ формирования множества аппроксимирующих функций, который обеспечивает непрерывное изменение неадекватности аппроксимирующих Функций одновременно с непрерывным изменением значения критерия аппроксимации на заданной выборке наблюдений; . ' "

- предложена оценка вектора параметров полиномиальной аппроксимирующей. функции по минимуму остаточной ковариации.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ И ВНЕДРЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ. Практическое значение диссертационной работы состоит в том, что полученные теоретические результаты позволили создать следующие законченные программы для ЭВМ: программное обеспечение автоматизированного рабочего места технолога стекольного производства; программное обеспечение .экологического медико-геохимического картирования. Получены результаты практического применения этих программ.

• Результаты диссертационной работы внедрены на Еорском сте- , кольном.заводе им.Горького, г.Бор; в ЫЮ "Росавтоматстром", г.Чебоксары; ъ НПО "Инфратехнология" Центра наук о человеке РАН, г.Владимир. , ^

• АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. По результатам проведенных исследований •автором сделаны доклады на Ш Всесоюзной конференции "Перспективы и опыт внедрения статистических методов в АСУ ТП"'(г.Тула, 1987 г.); на шоле-семшаре "Организационно-экономические вопросы создания вычислительных комплексов и .систем" (г.Москва, 1988 г.); на Всесоюзной научно-технической конференции "идентификация, измерение характеристик и имитация случайных сигналов" (г.Новоси-, бирск, 1991 г.); на 24, 25, 26, 27-й научных конференциях Владимирского политехнического "института'(1989, 1990, 1991, 1992 гг.). '

ПУБЛИКАЦИИ. Основные положения диссертации опубликованы в 7 печатных работах.

СЯТЖГУГА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Первая часть работы содержит теоретические положения и алгоритмы, которые являются общими для рассматриваемых приложений. Вторая часть отражает результаты модельных исследований и практического использования предложенных теоретических положений и алгоритмов. Диссертация состоит из введениячетырех глав, заключения, спис.ка литературы (51 найме-

нование) и приложений. Работа изложена на 144 страницах мдшино- • писного текста, включая 18 рисунков и 9 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

ВО ВВЕДЕНИИ показана актуальность теш, формулируются основные задачи работы, дается обзор полученных результатов.

В ПЕРВОЙ ГЛАВЕ проведен анализ общей схемы аппроксимации . эмпирических зависимостей в условиях неопределенности и ее отдельных этапов.

Во многих практических задачах может быть принята следующая модель равноточных наблюдений. Исследуемая зависимость у(х) является детерминированной функцией многомерного аргумента х, и результаты наблюдений связаны с ней соотношением

у. = ф(х } + 1=7777, (I)

где у. - результат 1-го наблюдения; х - точка наблюдения; ^ -случайная ошибка 1-го наблюдения. При этом предполагается, что М(1Х)=0, при где М() - оператор математического

ожидания, и дисперсия ошибок-наблюдений а2, аг=М(121) < <», неизвестна. Другие модели измерения должны быть приведены к модели

(I) шумосимметризующими преобразованиями. Выборка не-

сет искаженную случайными ошибками информацию о <р(х), и выделение закономерной составляющей является задачей аппроксимации.

Анализ способов построения вариантов аппроксимирующих функций показывает, что функции, построенные методом наименьших квадратов, усреднением по скользящему окну, методами кусочной аппроксимации и сплайн-лриближением, могут быть записаны в общем виде •

N

. . срЫ = I г!(х)у] , (2)

где <р7х) - аппроксимирующая функция.

Рассмотрены критерии выбора оптимальной аппроксимирующей функции из множества функций-претендентов. Большинство критериев аппроксимации хотя и позвг^шют выбрать оптимальную функцию, но не дают информации о качестве полученной аппроксимации в целом. Оценка погрешности атгроксшации необходима для принятия решения об увеличении (или уменьшении) числа измерений,-о целесообразности применения более точных и слозкних (или менее точных и бо-

лее простых) алгоритмов аппроксимации,ча также для построения доверительных интервалов. Под погрешностью аппроксимации понимается величина

(3)

Р„ = .) = *( i -JjV(X.)4?(X)f ).

квадрат которой р2 является дисперсией аппроксимации/

Анализ существующих оценок дисперсии аппроксимации для случая, когда "аппроксимирующая функция может не принадлежать к классу аппроксимируемых, а величина дисперсии ошибок наблюдений неизвестна исследователю, показывает, что эти оценки имеют смещения, наличие которых надо учитывать в условиях ограниченности выборки наблюдений в практических задачах.

ВО ВТОРОЙ ГЛАВЕ выводятся оценки дисперсии аппроксимации и дисперсии ошибок наблюдений.

Показывается, что математическое ожидание эмпирической.остаточной дисперсии

- ГЭ = nljy, -может быть записано в виде ' . '

"V-Pi* , . (4)

где Sp(T) - след матрицы Г линейного оценивания.

В выражение (4) входят две неизвестные величины р* и о2. Для того чтобы оценить каждую из этих величин в-отдельности, можно найти вторую статистику, математическое ожидание которой также зависит от р* и о2 . В результате р2 и о2 могут быть выражены через математические ожидания этих статистик, а оценки величин р2 и о2 - через сами статистики. В этом и состоит основная идея построения предлагаемой оценки дисперсии аппроксимации. Примечательно, что решение задачи оценивания р* одновременно дает решение важной задачи оценивания дисперсии ошибок наблюдений, когда априори она неизвестна.

В качестве второй статистики, необходимой для раздельного оценивания р2 и о2, в работе используется несколько измененный вариант корреляционного критерия Zy, предложенного Дубовым P.M.:

• N .

zk= -тг 1 (Ut-tfxtiHyji-'tfxjJ)' • '

где i, *Ji -.индексы смежных точек, объединенных в i-ю пару. Доказывается, что математическое.ожидание величины Zk может быть записано в виде -. • .

Sp(TTT)'

M(Zk) = p* i о Г17 - —-J + T), - (G)

где 1У = jy Spt'flT - IT - 7,TIjJ; Г - матрица //x.V, образованная из единичной матрици попарной перестановкой всех (-х и J.-x строк; т) - неизвестная детерминированная величина, причем т} ¿»О. Автором сформулированы и доказаны две теоремы:

Теорема I. Пусть" аппроксимируемая функция q(x) наблюдается

в выборке ^.У,!"-,, где,результаты наблюдений подчиняются модели (I). Если ф(х) непрерывна, и в аппроксимирующей функции <pT,rJ вида (2) непрерывны весовые функции tk(x) на отрезках % x&fx^ZjJ, (=777?, то статистика

2-Sp(T) Sp(TrT)

-2 (1--T~)Zu f (-л--|ГЯэ

Pu =.--~---~r---(7)

2-Sp(T) Sp(fT)

1--и— * —?v--,V'

является оценкой величины p* со смещением

2-Sp(T)

I--N—

г, = --_—JL--(8)

р 2-Sp(T) Sp(TrT)

--щ

Теорема 2. Пусть аппроксимируемая функция <р(х) наблюдается

в выборке |.г .¡дгде результаты наблюдений подчиняются мо- •

дели (I). Если фГх) непрерывна, и в аппроксимирующей функции

ф?х) вида (2) непрерывны весовые функции tjx) на отрезках

хе[х ,х, ], 1-T7F, то статистика ' V1 I - Z

р2 = --?-- • (Б,)

2-Sp(T) Sp(fT) + -

является оценкой величины о2 со смещением

п ---:---1-—- tj . (IQ)

7 2'Яр(Т) Sp(TTT)

1 - —7?- ^ —27--*

Анализ полученных оценок позволяет сделать вывод, что обе

оценки р* и являются асимптотически"несмещенным* ■

* Для величины IV найдено приближение \1 « JjSp(TrT) - ^Sp(T), ..

которое позволяет получить простые в вычислительном отношении

оценки дисперсии аппроксимации и дисперсии ошибок наблюдений: ■

0* = ?э - (12) - где для общего случая (2) р=Бр(Т), а при использовании полиномиальных аппроксимирующих функций р - количество свободных параметров. Оценка дисперсии ошибок в виде (12) била ранее получена Снегиревым П.М. иным способом.

В ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ приводятся вычислительные алгоритмы, позволяющие повысить точность аппроксимации эмпирических зависимостей. ,

Предложенная оценка р* дисперсии аппроксимации может,быть использована для выбора оптимальной фунции из множества вариантов, но при этом смещение приводит к ошибкам выбора.

Рассмотрим величину среднего риска, равную сумме дисперсии аппроксимации и дисперсии ошибок наблюдений:

7 = Рм + °2 • - ' ' * Выбор оптимальной аппроксимирующей функции но минимуму р* и по минимуму 7 - эквивалентные задачи. Оценка величины 7 определяется через оценки слагаемых:

7 = Р: ; о2 = (/ ^ -7Г-] -гэ - -х— гк. (14)

Смещение оценки 7 меньше, чем смещение р*'При Бр(Т) < Н/4. Таким образом, использование 7 в качестве критерия выбора модели опти-'•■мальной сложности является оправданным при Бр(Т) <- N/4, что, как правило, имеет место на практике.

Для выявления дополнительной'возможности повышения точности аппроксимации показано, .что

' Зр(ТгТ)

р2 = р2, + --о2, (15)

1-м Грг ' ц

где р2, - квадрат расстояния между аппроксимируемой функцией и постулируемой фунцией /(х)=Н(<$х)). Полученная формула позволяет . выделить две составляющие дисперсии аппроксимации, имеющие различное происхождение.. Первую составляющую будем считать количественной характеристикой неадекватности формулы аппроксимирующей функции по отношению к'аппроксимируемой функции. Второе слагаемое в (15) обусловлено наличием случайной составляющей в результатах наблюдений. Множитель перед о2 показывает степень влияния случайной составляющей на дисперсию аппроксимации и, вместе с тем,.позволяет количественно определить сложность модели общего вида (2). Полученную характеристику сложности ру/=5р(Т",'Т)/Н будем называть изменчивостью аппроксимирующей функции. При сравнении

сложности функций на выборках одного объема оно определяется как р=5р(ТтТ). В методе наименьших квадратов Бр(ТтТ) равен количеству параметров в соответствующей полиномиальной аппроксимирующей функции, поэтому изменчивость может рассматриваться как аналог числа свободных параметров для более широкого класса функций вида (2).

Для полиномиальных аппроксимирующих функций изменчивость (количество слагаемых) представляет собой дискретное множество целых чисел от 1 по N. в результате чего р* может принимать только отдельно стоящие значения (на рис.1 этому соответствуют . отдельные точки на графике). В то же время возможно получение меньшей дисперсии аппроксимации между этими значениями, для чего необходим такой способ построения аппроксимирующих функций, который обеспечивал бы непрерывную изменчивость, аналогичную "дробному количеству слагаемых" в полиномиальной функции.

В работе предлагается способ конструирования аппроксимирующей функции, удовлетворяющей (Я), и обеспечивающей непрерывное изменение Бр(ТгТ) от 1 до ?/:

N

фТх.оо = (х.х)-у, ' • (те)

где весовые коэффициенты вычисляются по формулам:

" Ш (X ,Х •{Х,Х. )

К<х,'х> = I '„ в-- . (17)

к~1

2

юп(х,х)

гоа(х,г) = -2-Г-:-; .(18)

Я = 1

- элементарная параметрическая Функция с действительным параметром а •= (0;н»[, удовлетворяющая следующим условиям: _ и\{(х,х) = I; ша(х,г) = п>а(£,х); (19)

и>х(х,г) 0, при а /- 0; ъ>^(х,г,) > 0; .

♦ О, при х г; кг Гх,г) = 1, при а = О. В качестве элементарной? функции используется . П)а (X, 2 )=ехр(-а■ ¡х-х ||г ).

№0.2 демонстрирует плавное приближение ф?х,ос.) с увеличением изменчивости и дискретный характер полиномиального приближения, получаемого М1К.

и

сииации от нзыснчиоости аппроксимирующей функции: величина неадекватности (1); дисперсия аппроксимирующей функции относительно сиоего математического ожидания (2); дисперсия аппроксимации (суммарная) относительно аппроксимируемой функции (3)

МНК аш

р= 1 . 0 а • • • р= 1 . 0 * • • • • р= 2. 9 • •/ V / - _ л .

р=2 . 0 • * #/ Р-1. 1. • • • -- р= 3. 6 • V А. /» • •

0 • • • р= 2. 0 • • • р=Ь. 1 -А

И4- 0 \ * \ */ \ \ /| ^ • \ \т= 2 . ^ • • • • р= 7. 3

Рис. 2. Варианты аппроксимация алгебраическими полиномами (МНК) и функциями, с непрерывной изменчивостью («$НИ). Результаты измерений изображены точками, аппроксимирующие функции -линиями

■ ; -9"

Достоинствами формирования множества функций с непрерывной изменчивостью являются: возможность достижения более высокой,' при прочих равных условиях, точности аппроксимации за счет плавного, варьирования изменчивости; отсутствие неправдоподобных выбросов на этапе прогнозирования по результатам решения задачи аппроксимации, когда аргумент х является многомерным и отделение области интерполяции от области экстраполяции, являющейся областью ненадежного восстановления значений зависимости, становится затруднительным.

В широко распространенных случаях, когда аппроксимация состоит в подавлении взаимно некоррелированных значений случайной составляющей, наблюдений, оптимальность обеспечивается выбором функции из множества претендентов по корреляционному критерию

1 N Рс _

К = Г7 "(20) '

где х^ - есть 7.-я пара смежных точек; - количество таких пар. Оптимальной является та функция, которая обеспечивает минимум 12к |.

В работе предлагается в данном случае определять свободные параметры полиномиальных функций-претендентов таким образом, чтобы параметры обеспечивали минимум £ . Это достигается решением системы линейных уравнений

т ¿я -

• Ж = 0 • Г=ТТР' <21)

где аг - свободные параметры полинома.

Доказывается следующая теорема.

Теорема 3.- Значения 1У на множестве вложенных функций, параметры которых являются решением системы уравнений (21), при ■ увеличении р образуют неубывающую последовательность при условии неотрицательности вторых производных

Таким образом, выбор оптимальной фунцюгиз множества пос-. троенных указанным способом претендентов'может прободаться в порядке возрастания р, и при этом гарантируется единственность минимума критерия аппроксимации ¡2к1. Такая схема- апцроксийации позволяет избежать полного перебора всех функций-претендентов.

В работе показано, что при большом числе слагаемых полинома решение системы (-21) становится неустойчивым. Поэтому допустимо использование функций, построенных методом наименьших квадратов,

которне мало отличаются от функций, построенных по минимуму Zk".

В ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЕ приводятся результаты экспериментальных исследований и практической реализации разработанных теоретических положений и алгоритмов.

Модельному статистическому исследованию подверглась оценка дисперсии аппроксимации (II). Рассматривались два модельных примера: аппроксимация зависимости в трехмерном пространстве признаков для различных значений объема выборки, дисперсии случайной составляющей и нелинейности аппроксимируемой функции; аппроксимация одномерной зависимости для различных степеней аппроксимирующего полинома. Сравнение проводилось с известными оценками дисперсии аппроксимации

гг = p-I/fN - p.), где T(xi,yi;...;xt4,ybl) - оценка "скользящий контроль".

Характеристики оценок р* и предложенной р* в целом отличаются мало, но для получения р* не требуются трудоемкие вычисления, присущие "скользящему контролю", что важно для практического использования. Оценка г2 оказывается точнее р* и р* в случае высокой точности аппроксимации, но при отклонении от оптимума или не совгем удачном выборе класса аппроксимирующих функций погрешность /•2 возрастает. / ■

Модельные исследования показали, что зависимость дисперсии самой оценки р* дисперсии аппроксимации от объема N выборки имеет обратно пропорциональный характер.

Сравнительные исследования йолучецной оценки дисперсии ошибок наблюдений (';9 ) и известной оценки (12) показали, что их отличие незначительно, и на практике целесообразно использовать более простую в вычислительном отношении оценку (12), которая, таким образом, получает дополнительное обоснование.

Сравнение на статистических моделях предложенного критерия аппроксимации 7 (14) с известными критериями ("скользящий контроль", критерий Вапника, критерий "взаимной значимости", критерий Михаль^кого, "компенсированный" критерий, корреляционный и знаковый критерии Дубова P.M.) показало, что использование критерия' 7 дает меньшую погрешность аппроксимации при небольших величинах о.'При высоком же уровне ошибок другие критерии могут давать меньшую погрешность.

6 работе рассматривается возможность решения ряда актуальных задач, связанных с применением математического аппарата аппроксимации эмпирических зависимостей в двух различных областях научных исследований: автоматизации управлешгя технологическим процессом стекловарения и экологическом медико-геохимическом картировании.

Объектом исследования при автдматизатш управления технологическим процессом стекловарения является ванная регенеративная стекловаренная печь. Основными показателями качества стекла являются: плотность, свильность, показатель оптических искажений по методу "Зебра" и др. Для них получены линейные регрессионные модели, в которых динамика каналов по входным переменным атгрок-симировалась импульсной переходной функцией звена с транспортным запаздыванием. Такая же регрессионная модель была получена для удельного расхода газа па стекловарение', которая используется-для решения задачи управления.

Задача оптимального управления стекловаренной печью сформулирована следующим образом. Fía каждом шаге управления (ежесуточно) необходимо минимизировать целевую функцию удельного рг^лода газа на стекловарение для заданного съема стекломассы при ограничениях на качество вырабатываемого стекла и на величины' управляющих воздействий. Для решения задачи оптимизации использован летод штрафных Функций, при этом ограничения на показатели качества и на величины управляющих воздействий учтены в виде соответствующих штрафов.

Если в целевую оптимизируемую Функцию вместо показателей сачества стекла'подставить соответствующие регрессионные зависи-юсти, то для расчета оптимальных управляющих переменных необхо-(Имо использовать значения контролируемых возмущающих воздейст-!Ий содержания CF оксидов железа в' стекле и Си нерастворимых юадков в шихте на момент времени tfí. Таким образом, для опти-изацяи технологического режима необходимо решать задачу прогно-ирования возмущающих воздействий.

Для прогнозирования возмущающих воздействий предложен алго-итм, основанный на использовании известного знакового'критерия ппроксимации. Для »дномеркой зависимости дискретной переменной он может быть записан в виде ,

гт О

Р Т,

об

зс^псуги - <pTí^^•зígnГí/fí^тp^ - <р?т( л>.

где То0 - интервал обучения; 1 - радиус корреляции сглаживаемой

прогнозируемых значений вычисляются, коэффициенты полинома методом наименьших квадратов, а оптимальный порядок выбирается в соответствии с минимумом модуля Zp при заданном ар. Продолжение (рТи за пределы интервала обучения рассматривается как прогнозирование. Изменение радиуса корреляции • а позволяет выделить необходимую частотную составляющую тренда. С увеличением т величина | достигает минимума на более гладких аппроксимирующих функциях. На одной и той же выборке генерируется несколько функ-

• ций тренда, отличающихся степенью сглаживания исходных данных. — При этом каждая из функций тренда предназначается для.прогнозирования на различные интервалы упреждения.

Расчеты оптимальных управляющих воздействий, прогнозирова-, ние возмущающих воздействий, вариантные расчеты реакции объекта управления с использованием математических, моделей реализованы в

• программном, обеспечении автоматизированного рабочего места технолога стекольного производства ,(АШ "Технолог"), которое предназначено для использования на пербональннх 1ВМ-совместимых ЭВМ. Программное„обеспечение АРМ технолога стекольного производства принято в эксплуатацию на ЛПС-1 Бррского стекольного завода. Основные наработки были также использованы'в математическом и программном обеспечении АСУТП стекловарения, разработанной НПО "Росавтоматстром", что подтверждается соответствующими актами.

Ниже рассматриваются результаты внедрения основных положений настоящей работы в экологических исследованиях. Общая методика проведения исследований в НПО "Инфратехнология" включает', построение фактографических карт медицинских и геохимических показателей. В данной диссертации рассматриваются результаты исследования, связанных с построением таких карт. •

; , Важности обобщенным картировавшимся медицинским показателем экологической опасности является снижение Продолжительности

• жизни насзления. Для детализации причин, вызывающих экологическую опасность, в методике используется относительная летальность

случайной составляющей; уси - результат наблюдения.в момент времени г; ф?и - полиномиальная функция тренда. Для определения

по нозологиям - группам болезней и других причин. Карты этих показателей 'могут служить для принятия м?зр, в том числе и медицин- ' ских, против соответствующего сокращения жизни населения.

Геохимические карты распределения концентраций различных • веществ строились для выявления количественных зависимостей обобщенных показателей экологической опасности от величин этих концентраций. Кроме того, геохимические карты позволяют выявить природные и техногенные источники загрязнения среды.

Построение карты состоит из следующих этапов: выявление закона распределения.ошибок наблюдений и выполнение соответствующего этому закону шумосимметризугацего преобразования исходных данных; построение оптимальной аппроксимирующей функции; оценивание точности карты и других статистических характеристик.

Закон распределения ошибок наблюдений выявляется методом максимального правдоподобия фон Неймана но эмпирическим данным до проведения аппроксимации изучаемой зависимости.

Для построения карт был использован несколько упрощенный вариант формирования класса аппроксимирующих функций с непрерывной изменчивостью. Выбор оптимальной аппроксимирующей функции заключется в определении значения параметра а, обеспечивающего ' .минимум |ZJ, при этом варьирование а осуществляется методом дихотомии. Оценивание точности получаемой аппроксимирующей функции выполняется по формуле (II), а оценивание дисперсии ошибок наблюдений и случайных флуктуаций - по'формуле (12).

Рассмотренные алгоритмы реализованы в виде комплекса программ .оптимизированного сглаживания и построения штрих-карт, предназначенных для использования на ПЭВМ типа IBM PC. Внедрение указанного комплекса подтверждается соответствующим актом.

В диссертации приводятся примеры построения следующих фактографических экологических карт: тренд продолжительности жизни в г.Муроме за 1989-ЭОгг.; тренд относительной летальности, связанной с онкологическими заболеваниями, в г.Муроме за 1989-ЭОгг.; тренд концентраций свинца на территории г.Мурома. Для каждой из указанных карт вычислены оценка погрешности аппроксимации, оценка среднего квадратического отклонения случайной составляющей в результатах наблюдений, изменчивость аппроксимирующей функции. . ■ . ,

-14-

_ ЗАКЛЮЧЕНИЕ * .

1. Построена статистика,оценки дисперсии аппрсхсимации для условий, ксгда дисперсия ошибок наблюдений и вид аппроксимируемой функции неизвестны. Причем аппроксимируемая функция может не принадлежать классу аппроксимирующих. Доказана асимптотическая несмещенность предложенной оценки. Теоретически и экспериментально показана ее предпочтительность по сравнению с ранее известными оценками при значительной неадекватности аппроксимирующей функции и повышенных требованиях к трудоемкости.вычислений.

2. Предложено уточнение известной оценки дисперсии ошибок наблюдений при аппроксимации нелинейных регрессионных зависимое-, тбй для условий, когда аппроксимируемая функция может принадлежать или не принадлежать классу аппроксимирующих.

3. Разработан критерий выбора функции оптимальной сложности на основе оценки дисперсии аппроксимации. Проведенные модельные статистические исследования показали целесообразность использования этого критерия в практических задачах.

4. Предложен способ конструирования множества аппроксимирующих функций с непрерывной изменчивостью критерия. Исследования показали, >та в некоторых условиях этот способ позволяет получить более точную аппроксимацию эмпирической зависимости, чем при распространенном использовании/полиномиальных функций, на множестве которых изменчивость критерия носит дискретный характер. /

- 5. Предложена оценка"вектора параметров полиномиальной ап-проксимирукцией функции, обеспечивающая'единственность экстремума корреляционного критерия при определении оптимальной сложности модели. Указаны ограничения на применение этой оценки. Показано малое отличие функций, полученных путем минимизации корреляционного критерия, от функций, параметры которых определяются методом на .меньших квадратов.

6. С использованием математических методов и моделирования исследован процесс стекловарения в ванной печи и предложен алгоритм прогнозирования неуправляемых переменных технологического процесса стекловарения по 'тренду (с использованием знакового критерия аппроксимации), который реализуется в программном обеспечении АРЫ технолога стекольного производства и АСУТП стекловарения. •

-157. Разработаны программы построения фактографических карт на ЭВМ с.оптимизацией по точности. При" этом производится.автоматический выбор оптимальной функции с непрерывной изменчивостью и оценивается точность аппроксимации изучаемых зависимостей. Выполнено построение экологических медицинских и геохимических карт для выявления, оценки вредности источников загрязнения среды обитания населения и разработки предложений по экологическим мероприятиям.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Д у б о в И.Р. Оценка точности аппроксимации статических характеристик объектов управления по результатам измерений: Тез. докл. Ш Всесоюз. конф. // Перспективы и.опыт внедрения статистических методов в АСУ ТП. Тула, 2-4 июня" 1987 г. Ч. I. Тула, 1987. С.38 - 39.

2. Д у б о в И.Р., Макаров Р.И. Алгоритм последовательной регрессии в задаче идентификации промышленных объектов // Информационные процессы в промышленности: Межвуз. сб. науч. тр. Кемерово, 1989. С.37 - 42.

3.Макаров Р.И., Д у 0 о в И.Р. Алгоритм прогнозирования в задачах АСУТП стекольных производств // Стекло и керамика. 1989. № 9. С.19 - 20.

4. Д у б о в И.Р. Алгоритм идентификации динамического объекта по результатам измерений: Тр. школы-семинара // Организационно-экономические вопросы создания вычислительных гомплексов и систем. Москва, 19-23 июня, 1988 / Рязанский идиотехн.ин-т. Рязань, 1989. С.70 - 74. Деп. в ВИНИТИ 39.03.89. М537-В89.

5. Д у б о в И.Р. Сглаживание результатов измерений функцией с непрерывной изменчивостью: Тез. докл. Всесоюз. 1ауч.-техн. конф. // Идентификация, измерение характеристик и митация случайных сигналов, 13 - 18 мая 1991. Новосибирск, 991. С. 157 - 158 • '

в. M а к а р о в Р'.И., Дубов И.Р.', JI у к а ш и н С.А. спользование математической модели плотности стекла для правления ванной печью // Стекло и керамика. 1992. Ж.- C.II -2. •'',■'

7. Д у б о -в Р.К., С т е ц е н к о О.П.,'Д у б о в И.Р. кологическов медико-геохимическое картирование, его-

у

математическов ооеспечениэ и результаты // Применение математических методов и компьютерных технологий при решении задач геохимии и охраны окружающей среды: Тез. докл.. на международном симпозиуме 26 - 29 мая 1992 г. Львов, 1992. С.29 31.

■ ¿^

Подписано в печать 24.02.93. Формат 60x84/16. Бумага для множит, техники. Печать офсетная, Усл.печ.л. 0,93. Усл.кр.-отт. 0,93. Уч.-и:зд.л. 1,00. Тираж 60 экз. Зак.99 Бесплатно.

Тверской государственный университет 170002, Тверь, Садовый переулок, 35 Ротапринт Владимирского политехнического института 600026, Владимир, Горького, 87 - -