автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Разработка алгоритмов математического моделирования в задачах обработки технологической информации

На правах рукописи

Овечкина Елена Владимировна

г

РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ЗАДАЧАХ ОБРАБОТКИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ (на примере угольных предприятий)

Специальность:

05.13.01 - «Системный анализ, управление и обработка информации (в промышленности)»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Автор:

Екатеринбург - 2005

Работа выполнена на кафедрах «Автоматики и информационных технологий» ГОУ ВПО Уральского государственного технического университета - УПИ и «Информационных технологий» ГОУ ВПО Нижнетагильский институт (филиал) Уральского государственного технического университета - УПИ

Научный руководитель доктор технических наук,

профессор Поршнев С. В.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Сыромятников В.Н.

кандидат технических наук, доцент Кумков С.И.

Ведущая организация - ФГУП НТЦ-НИИОГР (Федеральное Государственное Унитарное Предприятие «Научно-технический центр угольной промышленности по открытым горным работам - Научно исследовательский и проектно-конструкторский институт по добыче полезных ископаемых открытым способом») г. Челябинск.

Защита состоится 01-04- 2005г. в /£. О 0 на заседании диссертационного совета № Д 212.285.11 при ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет -УПИ».

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью организации, просим направлять по адресу: 620002, г. Екатеринбург, ул. Мира, 19, ГОУ ВПО УГТУ-УГШ, ученому секретарю диссертационного совета № Д 212.285.11 Важенину В.Г.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке ГОУ ВПО «Уральского государственного технического университета - УПИ».

Автореферат разослан ЕС -0112005г.

Ученый секретарь и п< Л у

диссертационного совета_ ( ,%0 №1/ (¿ч/^

кандидат технических наук, доцент В.Г. Важенин

HS

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы диссертационного исследования определяется требованиями к достоверности и информативности обработки и интерпретации технологических данных для управления производственными процессами и качеством как проблемы Statistical Quality Control.

Научные основы обработки производственной информации были заложены еще в середине XIX века, когда российские академики М. В. Остроградский и В. Я. Буняковский (главный эксперт правительства) разработали вероятностные методы контроля и управления технологией, обеспечившие качество поставок для армии. Развитие техники повысило роль приемочного контроля и регулирования качества, ставшими звеньями производства. В 20-х годах прошлого века компания «Белл телефон» впервые создала лабораторию для обработки технологической информации и управления качеством, что сократило затраты на устранение брака и повысило безотказность продукции. Расходы на контроль и предупредительные мероприятия составляли 10 % прибыли от улучшения технологии и повышения качества изделий.

На сварочном производстве выявление и устранение причин дефектов дает чистую экономию 7 тыс. долларов на 220 тыс. долларов продукции.

По результатам обработки технологической информации оценивается качество и сортность продукции. Неточность статистического анализа при классификации коксового угля, реализуемого по ценам от 1 до 3 тыс. руб. за тонну, для обычной партии 1 ООО т приводит к потерям до 200 тыс. руб. Интеграция в мировую экономику и, в частности ВТО, повышает требования к обоснованной и достоверной торгово-промышленной маркировке сырья.

Статистический анализ технологических данных и выработка управляющих воздействий в математическом отношении опираются на аппроксимацию эмпирических зависимостей и частот. Аналогия с обработкой сигналов в радиотехнике, интерпретацией информации в геологии и экологии позволяет использовать математический аппарат статистической теории связи, развитый в работах А. А. Харкевича, Б. Р. Левина, Д. Мидлтона, С. М. Рыто-ва, Тихонова В. И., подходы к аппроксимации Р.И. Дубова и И. Р. Дубова.

Но, несмотря на многолетний опыт анализа технологических данных и заимствования разработок из смежных облает :^^¿^^Нц1^^*^4^ньтх ме~ тодов обработки информации сдерживается [едосИШЧй цщра^огкой об-

щеметодологических подходов и их неприспособленностью к конкретному производству (и его логистической системе), в частности, необходимостью:

- уточнения постановки задач обработки технологической информации, как неопределенных и неоднозначных с оптимизационными решениями;

- расширения класса подходящих математических моделей, систематизации принципов и алгоритмов оптимального решения указанных задач;

- разработки методики анализа и моделирования данных для конкретных логистических систем, в том числе добычи и подготовке угля к коксованию.

Таким образом, разработка алгоритмов построения математических моделей для обработки технологической информации является актуальной научной проблемой, имеющей методологическое и прикладное значение.

Цель работы - повышение достоверности и эффективности методов обработки и интерпретации технологической информации; их апробация на предприятиях добычи и обогащения коксующихся углей.

Задачи исследования:

1. Разработка методов обработки и интерпретации технологической информации, опирающихся на оптимальную аппроксимацию эмпирических зависимостей и частот, с уточнением и обоснованием:

- постановки задачи оптимальной аппроксимации эмпирических зависимостей и частот, как неопределенной, неоднозначной и оптимизационной;

- условий, определяющих меру и метод приближения соответственно свойствам случайной составляющей исходных данных;

- подходов к формированию классов аппроксимирующих функций, адекватных сущности и свойствам моделируемых явлений;

- критериев оценки порядка модели, обеспечивающих ее регуляризацию и лучшее приближение к регулярной составляющей данных.

2. Расширение класса аппроксимирующих статистических распределений случайных величин, имеющих ограниченную область рассеяния.

3. Разработка методики моделирования и расщепления смешанных эмпирических распределений относительных случайных величин.

4. Создание методов конструирования функций-претендентов эмпирических зависимостей, отвечающих их сущности и свойствам.

5. Обоснование критериев согласия и устойчивости моделей.

6. Апробацйя*алгоритмов оптимальной аппроксимации при решении практических заданна угольных предприятиях.

Научная новизна диссертации заключается в следующем:

1. Для эмпирических частот и зависимостей:

- уточнена постановка задачи аппроксимации, отличающаяся от классической явным требованием приближения не к эмпирическим данным, а к, вообще говоря, неизвестным значениям их регулярной составляющей;

- показана неоднозначность и неопределенность решения задачи аппроксимации (problems under uncertainty) и необходимость его оптимизации;

- обоснованы принципы оптимальной аппроксимации, которые включают выбор меры и метода приближения, класса функций-претендентов и порядка модели, обеспечивающего ее регуляризацию.

2. Статистические распределения случайных величин в ограниченной области рассеяния представлены как конечные состояния броуновского процесса - в виде решений частной формы второго дифференциального уравнения Колмогорова, сходящегося к уравнению диффузии, отвечающих:

- обобщениям нормального закона для однородных выборок;

- ряду Фурье, адаптированному к свойствам вероятностных функций.

3. Разработана методика моделирования суммой бета-распределений смеси относительных случайных величин, их расщепления и интерпретации в соответствии с принципами оптимальной аппроксимации.

4. Аналитический метод Колмогорова описания распределения дифференциальным уравнением применен к эмпирическим зависимостям, включая:

- конструктивное задание области определения переменных;

- подбор подходящих дифференциальных уравнений, отвечающих связям переменных и их приращений, экстремумам, корням и асимптотам;

- идентификацию наиболее подходящего дифференциального уравнения с учетом его решения, исходя из принципов оптимальной аппроксимации;

- регуляризацию решения (модели эмпирической зависимости) путем оптимального ограничения числа членов.

5. Обоснована устойчивая к типу распределения данных двухкритери-альная оценка согласию модели с учетом ее степеней свободы:

- по непротиворечивости распределения остатков и случайной составляющей (для зависимости) или с нормальным законом (для частот);

- по отсутствию значимой корреляции остатков и аргумента.

6. Предложена оценка устойчивости модели путем рандомизации остатков (вариации их последовательности).

7. Установлена многомерная нелинейная связь состава угля с толщиной пластического слоя, объясняющая нарушение его аддитивности в шихте и позволяющая прогнозировать ее состав.

8. Выявлены тесные многомерные ложные корреляции содержаний компонентов угля, что позволяет оценивать его состав.

Практическая значимость работы и внедрение ее результатов:

1. Общетеоретические результаты (уточнение задач, принципы оптимальной аппроксимации) вошли в учебные программы Нижнетагильского технологического института и методические пособия [1,2, 4].

2. Разработанные математические модели и алгоритмы оптимального приближения внедрены в лаборатории моделирования производственных систем Научно-исследовательского института открытых горных работ (г. Челябинск) для обработки и интерпретации производственных материалов, в частности статистического анализа выработки экскаваторов.

3. Выполненные для углеобогатительной фабрики (г. Прокопьевск) решения задач оптимальной аппроксимации используются для торгово-промышленной маркировки угля и расчетах состава шихты.

На защиту выносятся следующие разработки и вопросы:

1. Обосновываемая постановка задач и принципы оптимальной аппроксимации эмпирических частот и зависимостей.

2. Модели распределений для ограниченной области рассеяния случайной величины: обобщений нормального закона и ряда Фурье.

3. Способы моделирования, расщепления и интерпретации смешанных эмпирических распределений случайных относительных величин.

4. Применение аналитического метода А.Н. Колмогорова для конструирования класса функций-претендентов эмпирических зависимостей.

5. Критерии оценки непротиворечивости и устойчивости модели.

6. Результаты обработки, моделирования и интерпретации:

- распределений параметров состава и физических свойств угля;

- смеси распределений случайных относительных величин и их расщепления для анализа выработки экскаваторов на горных работах;

- оптимальных зависимостей между химическими и физическими параметрами угля в целях его экспресс-анализа и расчетов состава шихты

Апробация результатов осуществлялась при их практическом использовании в учебных курсах, в лаборатории моделирования производственных

систем Научно-исследовательского института открытых горных работ (г. Челябинск) и на углеобогатительной фабрике (г. Прокопьевск).

Результаты докладывались на всероссийской научно-методической конференции «Информатизация образования» (Нижний Тагил, 2002); XII Международной конференции-выставке «Информационные технологии в образовании» (Москва, 2002); IV Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (г. Новочеркасск, 2004); Научно-технической конференции «Наука - Образование - Производство» к 60-летию Нижнетагильского технологического института УГТУ-УПИ (г. Н. Тагил, 2004); Межрегиональном форуме «Приборостроение 2004» (г. Екатеринбург, 2004); VII научной конференции молодых ученых ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ» (Екатеринбург, 2004); 9-й Всероссийской интернет конференции «Информационные технологии и электроника»; Всероссийской научной конференции «50 лет радиотехнического образования на Урале» (Екатеринбург, 2004); VIII научной конференции молодых ученых ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ» (Екатеринбург, 2005); Международной научно-практической конференции "СВЯЗЬ-ПРОМ 2005" в рамках 2-го Евро-Азиатского международного форума "СВЯЗЬ-ПРОМ ЭКСПО 2005" (Екатеринбург, 2005).

Публикации, отражающие содержание диссертации, сделаны в изданных материалах указанных конференциях, 7 статьях в научных журналах и сборниках и 3 учебных пособиях - всего опубликовано 20 работ.

Структура диссертации: введение, три главы, заключение и приложения (147 страниц машинописного текста, 4 таблицы, 37 рисунков, список литературы из 104 наименований и 4 приложения).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении рассмотрены: актуальность темы, цель, задачи, научная новизна и практическая значимость работы.

В первой главе «Задачи обработки технологической информации при управлении промышленными предприятиями и анализ подходов к их решению» уточняется классическая постановка задач аппроксимации.

На основе решений дифференциального уравнения диффузии А. Эйнштейном и М. Смолуховским показана возможность обобщения нормального

закона для ограниченной области рассеяния случайных величин. Рассеянию с одной границей отвечает функция плотности вероятностей (рис. 1) /(х) = 0 при х < О

/(х) =

1

по

ехр

(*-*о)2

2а2

+ехр

(х + х0-2хтт)2 2а2

при х > О

, (1)

где: х - случайные значения; а - стандартное отклонение и хр - математическое ожидание неограниченного рассеяния; хт[п - граничное значение.

2 3 4

х, единицы о

Рис. 1. Графики плотности вероятностей модели (1) при хт;п = О

Частными случаями модели (1) при х0= 0 являются полу нормальное и при х0 > 3 нормальное распределения.

Ограничению области рассеяния с обеих сторон отвечает четырехпара-

метрическое обобщение нормального закона (рис. 2).

£ 0,4

« 03

е

8 0,2 ¡5

о

® ......... 2

/ N ч 4

—1—1—1—1—1— —1—3

2,5 2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 г, единицы о

1,5 -0,5 г, единицы о

Рис. 2. Графики плотности вероятностей модели (2): а) - симметричных при а = Ь; б) - асимметричных при а / Ь = 2; 1) а + Ъ = 1а; 2) а + Ъ = 2а; 3) а + Ъ = За; 4) а + Ъ = 4а; 5) а + Ь = 5а

Модель четырехпараметрического обобщения имеет вид (2):

+ехр

4bti

жа

exp

( ,2 ^ 00 /

z + 1 ехр

{ 2a2 j п=1 V

(2 n{a+b)+z) 2^ ~

2 f

+exp

)

(2 n{a + b)~z)2

2az

(2n{a+b)-2b + z) 2c2

|2 ^ f +exp

(:2n(a+b)-2a-z)2 2a2

+ (2)

где сохраняются обозначения функции (1) и введены; а и Ь - расстояния обеих границ от xq; z = х - xq; а + ь - размах области рассеяния.

Во второй главе «Разработка алгоритмов оптимальной аппроксимации эмпирических распределений и зависимостей» показаны неопределенность этих задач (problems under uncertainty) и алгоритмы выбора решений (рис. 3).

АЛГОРИТМЫ ОПТИМАЛЬНОИ АППРОКСИМАЦИИ

Статистические распределения Эмпирические зависимости

Выбор меры и методов приближения Выбор меры, методов приближения и критерия согласия

Определение подходящей модели

Определение подходящей аппроксимирующей функции

Из имеющегося класса функций-претендентов

J

Конструирование статистической модели

Из имеющегося класса функций--поетендентов

\

Конструирование аппроксимирующей функции

;

с £

о

см

Оценка оптимального порядка (регуляризация) модели

>1

О

со

С

<

о

Рис. 3. Схема основных этапов алгоритмов оптимальной аппроксимации Обоснована двухкритериальная оценка непротиворечивости моделей эмпирических зависимостей и частот, устойчивая к разным законам распределения и определению параметров из совокупности данных. Рассмотрены понятие устойчивости модели и способ оценки ее доверительных границ.

Показано решение второго дифференциального уравнения Колмогорова в форме уравнения диффузии рядом Фурье при наложении на него вероятностных свойств и равномерных приближениях плотности вероятностей (3) и интегральной функции (4) при g<x<q :

ШЛ-11---

7П

¿¿сое кл

с£1£

н-Ь^т ¿л

2 тскт

адвт

х-8 ч-ё

-¿¿сое кп

4-8.

(3)

■(4)

Постоянные находятся по вариантам х, неупорядоченной выборки:

1 и

ак =--г-Хсов

1<А<(л-1)/2 \Я-8)п1=1

Ък :

\<Щп-1)П

1 п 2>т

/

(1-8)"!

кж

хг ~8 ч-8

'-я

\

Ч~8

(5)

гаг

Рассмотрена методика последовательного приближения смешанного распределения случайных относительных величин (рис. 4) составляющими из бета-распределений.

1-е приближение ^составляющая) с дисперсией остатков О

I

2-е приближение (смесь 2 составляющих) с дисперсией остатков

74

Сравнительный анализ

_/ X_

Принимается второе приближение

Оставляется первое приближение

3-е приближение (смесь 3 составляющих) с дисперсией остатков --

Сравнительный анализ

¿>3 <

Т

Принимается третье приближение

1

£>3 >£>2

Оставляется второе приближение

Переход к четвертому и следующим приближениям

Рис. 4. Схема подбора числа однородных составляющих в смеси

Приведены результаты численных экспериментов, подтверждающих принципы выбора меры, метода приближения и порядка модели.

В третьей главе «Применение алгоритмов оптимальной аппроксимации для обработки и интерпретации технологической информации» показано их место в логистической системе угольного производства (рис. 5).

Рис. 5. Информационные потоки, элементы обработки и интерпретации данных в логистической системе добычи и подготовки коксующихся углей:

потоки (а - материальные, б -информации и решений); элементы (в - материального производства, г - анализа состава, обработки, моделирования и выработки решений)

Показана адекватность распределений состава и физических свойств

угля моделям, отвечающим конечным состояниям броуновских процессов.

На рис. 6 в сравнении с нормальным законом приведены результаты аппроксимации однородного распределения содержаний углерода в коксовом

С, вес %

Рис. 6. Распределение содержаний углерода (С, %) в коксовом угле: 1 - гистограмма фактических частот; 2 - график вероятностей нормального закона; 3 - график вероятностей модели (1.25)

На рис 7 приведено смешанное распределение летучих веществ в угле.

Содержание 1етучих,вес У»

Рис. 7. Моделирование распределения содержания летучих веществ в угле: 1 - эмпирические накопительные частоты; 2 - интегральная кривая нормального закона; 3 - интегральная кривая для модели - ряда Фурье

Распределение содержаний летучих веществ, образующих неоднородную выборку, моделировалось рядом Фурье (рис. 7) при суммировании по Фейеру (4). Достаточно удовлетворительное описание эмпирических частот

и

достигнуто при ограничении ряда тремя гармониками. Интегральная кривая нормального закона значимо противоречит эмпирическим частотам. По результатам моделирования (рис. 7) оценивается выход летучих веществ, являющихся важнейшим маркировочным показателем.

Смешанное распределение выработки экскаватора моделировалось по алгоритму, приведенному на рис. 4. Результаты представлены на рис. 8.

Суточная выработка, м3 Середины ютгервалов суточной выработай, м3

Рис. 8. Распределение суточной выработки 3 экскаваторов типа драглайн: I - интегральные функции смешанного распределения (1 - эмпирическая, 2 -модель); II - частоты смешанного распределения (1 - гистограмма эмпирических данных, 2 - модель, 3 - 4 - составляющие модели)

Моделирование (рис. 8) показывает, что в анализируемой фактической выработке экскаваторов проявляются два типа производственных процессов. При нормальной организации производства (около 65 % времени), выработка составляет в среднем 20444 м^, но в целом из-за большой доли (35 %) малоэффективной работы с простоями средняя выработка находилась на уровне 17500 м^. Резервом повышения выработки экскаваторов является увеличение доли времени с нормальной организацией производственного процесса.

Принципы оптимальной аппроксимации реализованы для построения парных эмпирических зависимостей между компонентами угля. В частности, для содержаний углерода (С, вес. %) и водорода (Н, вес. %) область их определения предлагается конструктивно задать формулами

х = у/100-С и у = у/Й, (6)

вычисляющими значения переменных, принадлежащие области определения.

Модель зависимости между введенными переменными (6) существует в области их положительных значений, которые соответствуют допустимым значениям эмпирических данных. Их представление в системе координат хОу

более отчетливо проявляет асимптотические свойства эмпирической зависимости и ее производной (рис. 7).

2,5 2

1,5 '

N

1 " 0,5 -

0

©

2,5 -

2 -

1,5 "

s

1 -

0,5 -

0 ■

2 3

3 4 х

Рис. 7. Графики зависимости содержаний углерода и водорода, преобразованных по формулам (6): 1 - фактические значения; а - схема касательных (2 - в окрестностях х = 0; 3 - при 0 < х < 4; 4 - при х > 4); б - приближение зависимости для преобразованных содержаний (5 - график)

Схема касательных на рис. 7а, показывает, что на границах области определения производная асимптотически приближается к нулю и по теореме Ролля внутри области имеет максимум. По принципу оптимальной аппроксимации (наименьшему числу параметров) производная берется в виде функции плотности нормального закона, имеющего два параметра т и я:

1

ехр

(х-т)

25

(7)

Приближение (7) - дифференциальное уравнение эмпирической зависимости, ее модель - решение этого уравнения. Производная (7) совпадает с плотностью нормального закона, и сама зависимая переменная, очевидно, является интегралом вероятности независимой переменной. Для общности решение берется как сумма интегралов:

у(х) = Т1а,Ф(х,т1,з1) + а0,

(В)

;=1

где ар и аI - постоянные, Ф(х, т, ,5,) - интеграл вероятности.

i

При переходе к содержаниям углерода и водорода зависимость (8) оптимально приближается (находятся порядок модели и ее параметры) как

п2

Я(С)= 2,44ф(7100-С, 2,02, 1,02)

(9)

Рис. 8 иллюстрирует приближение (9) и его устойчивость.

1 - Ч

о н-1-1-1-1-1—

70 75 80 85 90 95 100 С,вес %

Рис. 8. Результаты оптимальной аппроксимации эмпирической зависимости содержаний водорода (Н) и углерода (С): 1 - эмпирические данные; 2 - график приближения (9); 3 - огибающие приближений при вариациях случайной компоненты со стандартом ± 0,27 вес. %

Многомерный статистический анализ показал, что для маркировки угля и оценки его технологических свойств наиболее информативны и релевантны содержания водорода (Я, вес. %), азота (Лг, вес. %) и кислорода (0, вес. %). Эти элементы вместе с углеродом (С, вес. %) составляют около 100 %, так как примесей менее 1 %, и имеет место линейная многомерная регрессия:

0.981 С + 1.435Я+0.671^+0.9490 = 99.040. (Ю)

Коэффициент множественной корреляции зависимости (10) равен 0.99, что связано с многомерным проявлением отмечавшейся О.В. Сармановым и А.Б. Вистелиусом ложной корреляцией парных процентных величин. Связь такого же типа, имеет место для летучих веществ

^"/=-40.6331 + 11.013880Я+ 2.256845^ + 1.3220760. (11) Толщина пластического слоя (у, мм) нелинейно связана с содержаниями водорода, азота, кислорода (совокупное корреляционное отношение 0.98): у= 77.6 + 4.7Я- 95 Ш+1.30- 3.4Я2 + 6Л'2 -О.302 + \63Н-М+ \9H-0~43N-0 (12) Нелинейность регрессии (11) объясняет неаддитивность толщины пластического слоя при составлении шихты, позволяет прогнозировать ее технологические свойства (рис. 9), что имеет практическое значение.

Разрешающие возможности использования многомерных связей в целях экспресс-анализа иллюстрируют примерами контрастных по технологическим свойствам партий сырья, приведенными в таблице 1.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Содержание кислорода, вес. %

Рис. 9. Уровенные сечения многомерной регрессии (12) толщины пластического слоя угля (у, мм) на содержания водорода (Я, вес. %) и кислорода (О, вес. %) при фиксированных содержаниях азота (Л', вес. %)

Таблица 1

Угольная серия у, мм Выход летучих веществ, вес % С, вес. % Элементы - факторы, вес. % (химические анализы)

Пластометрия По уравнению (12) Химический анализ По уравнению '(11) Химический анализ По уравнению (10) Н N О

Балохонская 7 8,7 14,2 16,1 90,85 90,87 4,47 2,00 2,25

Кольчугинская 36 35 38,8 37,6 85,81 85,77 5,91 3,16 4,53

Точность экспресс-анализа сырья достаточна для практических целей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации рассмотрены вопросы теории, методики и практического использования оптимальной аппроксимации для повышения достоверности обработки и интерпретации технологической информации в целях управления производством и контроля качества.

Основные теоретические результаты состоят в следующем.

1. Уточнена постановка задачи аппроксимации распределений и зависимостей, отличающаяся от классических подходов:

- явным отнесением к типу неопределенных, неоднозначных (problems under uncertainty), требующим построения оптимального решения;

• - учетом ограниченности области рассеяния случайных величин;

- приближением модели не к содержащим ошибки эмпирическим данным, а к их, вообще говоря, неизвестной регулярной составляющей.

2. Обоснована система принципов оптимальной аппроксимации:

- выбор меры, метода и целевой функции для оценки параметров модели, исходя из распределения случайной составляющей данных;

- конструирование класса функций-претендентов с учетом природы и математических свойств моделируемой связи на основе аналитического метода А. Н. Колмогорова, расширяемого на эмпирические зависимости;

- оптимальное ограничение порядка модели (числа составляющих), что соответствует подходу Р. И. Дубова и регуляризации по А. Н. Тихонову.

3. Из решений дифференциального уравнения диффузии А. Эйнштейном и М. Смолуховским выведены модели нормального закона, его трех- и четырехпараметрическое обобщения для ограниченных областей рассеяния.

4. Второе дифференциальное уравнение Колмогорова для конечного состояния броуновского процесса решено в виде ряда Фурье и показаны:

- сходимость к нормальному закону при рассеянии в пределах ±оо;

- связь с регулярной и случайной составляющими данных;

- меры приближения и критерии согласия с эмпирическими данными;

- способы гармонического анализа данных - эмпирических частот;

- критерий оптимального ограничения порядка ряда;

- соответствие вероятностной функции при суммировании по Фейеру. Полученный ряд Фурье обладает достаточной общностью для моделирования однородного и смешанного рассеяния в произвольной области.

5. Обоснована двухкритериальная оценка согласия эмпирических зависимостей и частот с моделями, корректная при различных законах случайной составляющей данных и определении из них параметров модели.

6. Предложен способ оценки устойчивости модели путем рандомизации остатков (вариации их последовательности).

7. Теорема О.В. Сарманова и А.Б. Вистелиуса о ложной корреляции парных процентных величин обобщена на многомерную корреляцию, пояснен ее смысл и показано приложение для экспресс-анализа компонентов.

Методические результаты сводятся к следующим итогам.

1. Разработаны алгоритмы обработки и представления информации в виде моделей статистических распределений и зависимостей, отвечающие принципам оптимальной аппроксимации.

2. Показано, что рассеяние состава и технологических свойств угля подчиняется второму дифференциальному уравнению Колмогорова для броуновского процесса, что позволяет использовать его решения: полученные обобщения нормального закона и ряд Фурье.

3. Для описания распределений рядом Фурье разработаны методики:

- оценки коэффициентов непосредственно из выборки и способом математического программирования с наложением вероятностных условий;

- равномерного (по Фейеру) приближения к вероятностным функциям;

- оптимального ограничения ряда - регуляризации по Тихонову.

5. На основе принципов оптимальной аппроксимации разработана методика моделирования и расщепления распределений смешанных совокупностей случайных относительных величин, как суммы бета-распределений.

6. На примере парных эмпирических зависимостей содержаний компонентов угля показана методика конструирования класса подходящих функций-претендентов, реализующая аналитический подход А. Н. Колмогорова (представление распределений дифференциальными уравнениями) и учитывающая содержательные априорные теоретические соображения о сути моделируемой связи и ее математических свойствах, включая:

- задание области определения переменных и производных;

- подбор дифференциальных уравнений с учетом связей переменных и их приращений, положения экстремумов, корней и асимптот;

- выбор оптимального дифференциального уравнения с минимумом параметров, его решение и преобразование к исходным переменным.

7. В рамках принципов оптимальной аппроксимации составлен алгоритм ее реализации для многомерной зависимости способом линейного программирования с заданием необходимых ограничений.

Применение результатов характеризуется следующим.

1. Разработанные алгоритмы оптимальной аппроксимации используются в учебном процессе и для решения производственных задач, возникающих при обработке и интерпретации управленческой информации:

- в лаборатории моделирования производственных систем Научно-исследовательского института открытых горных работ (г. Челябинск) для анализа производительности труда и выявления резервов ее повышения;

- на углеобогатительной фабрике (г. Прокопьевск) для экспресс-анализа компонентов и свойств угля, его маркировки и расчетов состава шихты на основе предложенных моделей зависимостей и распределений

2. Внедрение разработок в элементы и потоки логистической системы добычи и подготовки углей к коксованию повышает обоснованность рекомендаций для управленческих решений, обеспечивая:

- достоверную и экономичную оценку состава и технологических свойств угля при его промышленной маркировке и составлении шихты;

- объективный анализ факторов выработки экскаваторов, отражающих результативность горных работ, уровень производительного использования технологического оборудования и имеющиеся резервы.

3. Обработка и представление управленческой информации в виде моделей статистических распределений и стохастических зависимостей автоматизированы с помощью разработанных компьютерных алгоритмов.

5. Показана адекватность эмпирических распределений параметров состава и технологических свойств угля конечным состояниям случайных броуновских процессов, выполнено моделирование и интерпретация:

- однородного распределения содержаний углерода (ограничены снизу и сверху), как четырехпараметрического обобщения нормального закона;

- однородных распределений показателей технологических свойств угля в областях рассеяния, ограниченных с одной стороны (снизу или сверху), как трехпараметрических обобщений нормального закона;

- неоднородного распределения (смеси) содержаний летучих веществ в области рассеяния, ограниченной с обеих сторон, - в виде ряда Фурье.

6. На основе разработанной методики моделирования и расщепления распределений смешанных совокупностей случайных относительных величин выполнен статистический анализ суточной выработки экскаваторов на открытых горных работах в Кузбассе и на Урале, что выявляет важные для управленческих решений общие закономерности и показывает:

- смешанный тип распределения выработки экскаваторов, отвечающий двум основным типам организации производственного процесса;

- реально достижимую техническую производительность экскаваторов, резервы и пути повышения эффективности производства.

7. Внедрена методика моделирования зависимостей содержаний компонентов и технологических параметров угля и показаны:

- подходящие преобразования для конструктивного задания области определения переменных и способы учета их свойств;

- дифференциальное уравнение, отвечающее парным связям содержаний компонентов и их приращений в угле;

- класс функций, как решений дифференциального уравнения, адекватный парной зависимости и ее свойствам;

- тесная корреляционная связь компонентов для найденных моделей, их более простой (с меньшим числом параметров) и устойчивый характер по сравнению со степенными приближениями, возможность использования в целях экспрессной маркировки углей с необходимой точностью;

- контролирующие состав и технологические свойства угля наиболее информативные (релевантные) элементы (водород, азот и кислород) и их многомерные связи, позволяющие прогнозировать параметры сырья, в том числе, толщину пластического слоя шихты.

Таким образом, разработки алгоритмов оптимальной аппроксимации эмпирических зависимостей и частот имеют теоретическое и общеметодическое значение, адаптированы к задачам обработки и интерпретации технологической информации на угольных предприятиях.

ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ СЛЕДУЮЩИЕ РАБОТЫ:

1. Каплан А. В., Каплан В. Е., Мащенко М. В., Овечкина Е. В. Введение в компьютерную статистику экономических данных. - Екатеринбург: ГОУ УГТУ-УПИ, 2002. - 106 с.

2. Каплан А. В., Каплан В. Е., Мащенко М. В., Овечкина Е. В. Компьютерное моделирование детерминированных и неопределенных ситуаций в экономике и управлении/ Нижнетаг. гос. пед. ин-т. Нижний Тагил, 2003. - 92 с.

3. Каплан А. В., Каплан В. Е., Мащенко М. В., Овечкина Е. В. Построение и регуляризация обобщенной модели нормального закона рассеяния случайных величин как решения второго дифференциального уравнения Колмогорова// Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике: Материалы IV международной научно-практической конференции. Ч.З./ Южно-Российский государственный технический университет. Ново-черкаск, 2004. С. 26-29.

4. Каплан А. В., Каплан В. Е., Мащенко М. В., Овечкина Е. В. Решение экономических задач на компьютере. - М.:ДМК Пресс; СПб.' Питер, 2004. -600 с.

5. Каплан В. Е., Мащенко М. В., Овечкина Е. В. Неоднозначность задачи приближения эмпирической зависимости и принципы оптимизации решения// Вестник ГОУ ВПО УГТУ-УПИ. 60 лет Нижнетагильскому политехническому институту: Сборник трудов. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2004. № 16(46). С. 100-105.

6. Каплан В. Е., Мащенко М. В., Овечкина Е. В. Обобщение нормального закона распределения случайных величин для произвольно ограниченной области рассеяния// Вестник ГОУ ВПО УГТУ-УПИ. 60 лет Нижнетагильскому политехническому институту: Сборник трудов. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2004. № 16(46). С. 95-100.

7. Овечкина Е.В. Введение нечеткой информации решения детерминированных экономических задач компьютерного практикума// Материалы XII международной конференции-выставки «Информационные технологии в образовании». Часть III. - М.:МИФИ, 2002. С. 140-142.

8. Овечкина Е.В. Возможности многокритериальной оптимизации на остове приближенного альтернативного оптимума при решении задач линейного программирования на компьютере//Вестник ГОУ ВПО УГТУ-УПИ. 60 лет Нижнетагильскому политехническому институту: Сборник трудов. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2004. № 16(46). С. 129-132.

9. Овечкина Е.В. Задачи принятия решений при нечеткой информации в компьютерных курсах для экономических специальностей// Материалы научно-технической конференции «Наука - Образование - Производство», посвященной 60-летию Нижнетагильского технологического института УГТУ-УПИ. В Зт. Т.1: Наука и производство: опыт и перспективы развития. Нижний Тагил, 2004. С. 155-156.

10.Овечкина ЕВ Оценка согласия неоднородного эмпирического распределения случайных величин и модели на основе анализа статистического распределения остатков// Материалы научно-технической конференции «Наука -Образование - Производство», посвященной 60-летию Нижнетагильского технологического института УГТУ-УПИ. В Зт. Т.1: Наука и производство: опыт и перспективы развития. Нижний Тагил: НТИ (ф) ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2004. С. 227-230.

11 .Овечкина Е.В. Построение оптимальной эмпирической зависимости между химическими и физическими параметрами каменных углей// Кокс и химия. М., 2004. №11. С. 6-10.

12.0вечкина Е.В. Применение принципов оптимальной аппроксимации для расщепления неоднородный эмпирических распределений производительности экскаваторов на открытых горных работах// Материалы научно-технической конференции «Наука - Образование - Производство», посвященной 60-летию Нижнетагильского технологического института УГТУ-УПИ. В Зт. Т.1: Наука и производство: опыт и перспективы развития. Нижний Тагил: НТИ (ф) ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2004. С. 230-232.

13.0вечкина Е.В. Разработка содержательных аспектов информатизации экономико-математических дисциплин для повышения уровня профессиональной подготовки студентов// Педагогические науки. М.: Компания Спутник+, 2004. №2(6). С. 107-110.

14.Овечкина Е.В., Поршнев C.B. Анализ ложной корреляции и нелинейности многомерных связей состава и свойств угля при экспресс-анализе// Сборник трудов VIII конференции молодых ученых УГТУ-УПИ. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ (в печати).

15,Овечкина Е.В., Поршнев C.B. К спектральному представлению и интерпретации эмпирических распределений случайных величин// Вестник УГТУ-УПИ. 50-летие радиотехнического образования на Урале. Серия радиотехническая. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2004. № 20(50). С. 218-221. 16.0вечкина Е.В., Поршнев C.B. Математическое и компьютерное обеспечение экспресс-анализа вещественного состава и физических свойств каменного угля// Материалы межрегионального форума «Приборостроение 2004». Екатеринбург, 2004 С. 56.

17.0вечкина Е.В., Поршнев C.B. Построение моделей неоднородных распределений случайных величин на основе принципов оптимальной аппроксимации// Практика приборостроения. Екатеринбург: ООО «ИРА УТК», 2004. №4. С. 78-86.

18.0вечкина Е.В., Поршнев C.B. Принципы оптимальной аппроксимации парных эмпирических зависимостей и их приложения// Сборник трудов VII конференции молодых ученых УГТУ-УПИ. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2004. С.55-56.

19 Овечкина ЕВ., Поршнев C.B. Разработка методов оптимальной аппроксимации эмпирических зависимостей// Электронный журнал "Исследовано в России" (в печати).

20.Поршнев C.B., Овечкина Е.В. Статистический анализ и рандомизация остатков как критерий ее согласия и устойчивости// Научные труды международной научно-практической конференции "СВЯЗЬ-ПРОМ 2005" в рамках 2-го Евро-Азиатского международного форума "СВЯЗЬ-ПРОМ ЭКСПО 2005". Екатеринбург: ЗАО "Компания Реал-Медиа", 2005. С. 55-59.

Изд. лиц. ИД № 00753 от 18.01.2000 г.

Подписано в печать 19.05.2005 Формат 60x84 1/16

Бумага офсетная Гарнитура «Тайме» Ризография

Усл. печ. л. 1,39 Уч.-изд. л. 1,09 Тираж 100 экз. Заказ Х° Ь?9

Редакционно-издательский отдел ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет-УПИ» Нижнетагильский технологический институт (филиал) 622031, Нижний Тагил, ул. Красногвардейская, 59

Отпечатано в РИО НТИ (ф) УГТУ-УПИ

1 3 4 9 2

РНБ Русский фонд

2006-4 9845

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ЗАДАЧИ ОБРАБОТКИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ И АНАЛИЗ ПОДХОДОВ К ИХ РЕШЕНИЮ.

1.1. Постановка задач оптимальной аппроксимации.

1.2. Анализ существующих подходов к построению статистических моделей.

1.3. Аппроксимация эмпирических зависимостей.

Выводы и результаты главы 1.

ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ ОПТИМАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ЭМПИРИЧЕСКИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ И ЗАВИСИМОСТЕЙ.

2.1. Обобщения нормального закона и их приложения.

2.2. Моделирование и расщепление смесей относительных случайных величин.

2.3. Аппроксимация статистических распределений рядами Фурье.

2.4. Алгоритмы оптимальной аппроксимации эмпирических зависимостей.

Выводы и результаты главы 2.

ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ АЛГОРИТМОВ ОПТИМАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ДЛЯ ОБРАБОТКИ И ИНТЕРПРЕТАЦИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ.

3.1. Технологическая информация и задачи ее обработки.

3.2. Аппроксимация и интерпретация статистических распределений химических и физических параметров угля.

3.3. Модель смеси выработки экскаваторов и ее расщепление.

3.4. Аппроксимация эмпирических зависимостей компонентов вещественного состава и свойств угля.

Выводы и результаты главы 3.

Актуальность темы диссертационного исследования определяется возрастающими требованиями к достоверности и информативности методов обработки и интерпретации технологических данных для управления производственными процессами и качеством (Statistical Quality Control).

Научные основы обработки производственной информации были заложены еще в середине XIX века, когда российские академики М. В. Остроградский и В. Я. Буняковский (главный эксперт правительства) разработали вероятностные методы контроля и управления технологией, обеспечившие качество поставок для армии. Развитие техники повысило роль приемочного контроля и регулирования качества, ставшими звеньями производства. В 20-х годах прошлого века компания «Белл телефон» создала первую лабораторию для обработки технологической информации и управления качеством, сократила затраты на устранение брака и повысила безотказность продукции. Расходы на контроль и предупредительные мероприятия составляли 10 % прибыли от улучшения технологии и повышения качества изделий. На сварочном производстве оперативное выявление и устранение причин дефектов дает чистую экономию 7 тыс. на 220 тыс. долларов продукции [95].

По результатам обработки технологической информации оценивается качество и сортность продукции. Неточность статистического анализа при классификации коксового угля, реализуемого по ценам от 1 до 3 тыс. руб. за тонну, для обычной партии 1000 т приводит к потерям до 200 тыс. руб.

Статистический анализ технологических данных и выработка управляющих воздействий в математическом отношении опираются на аппроксимацию эмпирических зависимостей и частот. Аналогия с обработкой сигналов в радиотехнике, интерпретацией информации в геологии и экологии позволяет использовать математический аппарат статистической теории связи, развитый в работах А. А. Харкевича [90], Б. Р. Левина [40], Д. Мидлтона Д. [43, 44], С. М. Рытова [70], Тихонова В. И. [82, 83], подходы к аппроксимации Р.И. Дубова [19] и И. Р. Дубова [18].

Но, несмотря на многолетний опыт анализа технологических данных и заимствование результатов смежных областей, внедрение современных методов обработки информации сдерживается недостаточной разработкой общеметодологических подходов и их неприспособленностью к конкретному производству (и его логистической системе), в частности, необходимостью:

- уточнения постановки задач обработки и интерпретации технологической информации с учетом их неопределенности и неоднозначности, что предполагает использование оптимизационных подходов для решения;

- расширения класса подходящих математических моделей, систематизации принципов и алгоритмов оптимального решения указанных задач;

- разработки методики анализа и моделирования для конкретных логистических систем, в том числе по добыче и подготовке угля к коксованию;

- алгоритмов реализации информационно емких методов обработки данных, отвечающих возможностям современной вычислительной техники, позволяющих внедрить ее в управление качеством выпускаемой продукции.

Таким образом, разработка алгоритмов построения математических моделей для обработки технологической информации является актуальной научной проблемой, имеющей методологическое и прикладное значение.

Цель работы - повышение достоверности и эффективности методов обработки и интерпретации технологической информации; их апробация на предприятиях добычи и обогащения коксующихся углей.

Задачи исследования:

1. Разработка методов обработки и интерпретации технологической информации, основанных на принципах оптимальной аппроксимации эмпирических зависимостей и частот с уточнением и обоснованием:

- общей постановки задачи оптимальной аппроксимации эмпирических зависимостей и частот, как неопределенной и оптимизационной;

- условий, определяющих меру и метод приближения соответственно свойствам случайной составляющей исходных данных;

- подходов к формированию классов аппроксимирующих функций, адекватных сущности и математическим свойствам моделируемых явлений;

- критерия оценки порядка модели, обеспечивающего лучшее приближение к регулярной составляющей данных и регуляризацию.

2. Расширение класса аппроксимирующих статистических распределений случайных величин, имеющих ограниченную область рассеяния.

3. Разработка методики построения моделей смешанных эмпирических распределений относительных случайных величин, обеспечивающих их объективное расщепление на однородные составляющие.

4. Создание методики конструирования аппроксимирующих функций-претендентов эмпирических зависимостей, отвечающих сущности и математическим свойствам переменных и их производных.

5. Обоснование критериев согласия и устойчивости моделей на основе статистического анализа остатков и их вариаций.

6. Апробация алгоритмов оптимальной аппроксимации при решении практических задач на угольных предприятиях.

Научная новизна диссертации заключается в следующем:

1. Для эмпирических частот и зависимостей:

- уточнена постановка задачи аппроксимации, отличающаяся от классической явным требованием приближения не к эмпирическим данным, а к, вообще говоря, неизвестным значениям их регулярной составляющей;

- показана неоднозначность и неопределенность решения задачи аппроксимации (problems under uncertainty) и необходимость его оптимизации;

- обоснованы принципы оптимальной аппроксимации, которые включают выбор подходящих меры и метода приближения, класса аппроксимирующей функции и ее порядка, обеспечивающего регуляризацию.

2. Доказана возможность представления статистических распределений случайных величин, рассеянных в ограниченной области, конечными состояниями броуновского процесса - решениями частной формы второго дифференциального уравнения Колмогорова (уравнения диффузии), отвечающих:

- обобщениям нормального закона для однородных выборок с ограниченными областями рассеяния случайных величин;

- ряду Фурье, адаптированному к свойствам вероятностных функций однородных выборок и их смесей путем суммирования по Фейеру и гармонического анализа без сортировки и группировки вариант.

3. Разработана методика моделирования суммой бета-распределений смеси относительных случайных величин, их расщепления и интерпретации в соответствии с принципами оптимальной аппроксимации.

4. Аналитический подход А.Н. Колмогорова для распределений применен к построению подходящего класса эмпирических зависимостей с учетом их природы и математических свойств, что предполагает:

- конструктивное задание области определения переменных;

- подбор подходящих дифференциальных уравнений, отвечающих связям переменных и их приращений, экстремумам, корням и асимптотам;

- идентификацию наиболее подходящего дифференциального уравнения с учетом его решения, исходя из принципов оптимальной аппроксимации;

- регуляризацию решения (модели эмпирической зависимости) путем оптимального ограничения числа членов.

5. Обоснована устойчивая к типу распределения данных двухкритериальная оценка согласию модели с учетом ее степеней свободы:

- по непротиворечивости распределения остатков и случайной составляющей (для зависимости) или с нормальным законом (для частот);

- по отсутствию значимой корреляции остатков и аргумента.

6. Предложена оценка устойчивости модели путем рандомизации остатков (вариации их последовательности).

7. Установлена многомерная нелинейная связь состава угля с толщиной пластического слоя, объясняющая нарушение его аддитивности в шихте и позволяющая прогнозировать ее состав.

8. Выявлены тесные многомерные ложные корреляции содержаний компонентов угля, что позволяет оценивать и контролировать его состав.

Практическая значимость работы и внедрение ее результатов:

1. Общетеоретические результаты по уточнению задач и систематизации принципов оптимальной аппроксимации вошли в учебные программы Нижнетагильского технологического института [Приложение 2] и методические пособия [26, 27, 29].

2. Разработанные методика, математические модели и алгоритмы оптимального приближения эмпирических частот и зависимостей внедрены в лаборатории моделирования производственных систем Научно-исследовательского института открытых горных работ (г. Челябинск) для обработки и интерпретации производственных материалов, в частности статистического анализа выработки экскаваторов [Приложение 3].

3. Выполненные для углеобогатительной фабрики (г. Прокопьевск) решения задач оптимальной аппроксимации используются для торгово-промышленной маркировки угля и расчетах состава шихты [Приложение 4].

На защиту выносятся следующие разработки и вопросы:

1. Обосновываемая постановка задач и принципы оптимальной аппроксимации эмпирических частот и зависимостей.

2. Модели статистических распределений для ограниченной области рассеяния случайной величины в виде обобщений нормального закона и рядов Фурье, адаптированных к свойствам вероятностных функций.

3. Способы моделирования, расщепления и интерпретации смешанных эмпирических распределений случайных относительных величин.

4. Применение аналитического метода А.Н. Колмогорова для конструирования класса функций-претендентов эмпирических зависимостей.

5. Критерии оценки непротиворечивости и устойчивости модели.

6. Результаты обработки, моделирования и интерпретации:

- распределений параметров состава и физических свойств угля;

- смеси распределений случайных относительных величин и их расщепления для анализа выработки экскаваторов на горных работах;

- оптимальных парных и многомерных зависимостей между химическими и физическими параметрами угля в целях его экспресс-анализа и расчетов состава шихты.

Апробация результатов диссертации осуществлялась при их практическом использовании в лаборатории моделирования производственных систем Научно-исследовательского института открытых горных работ (г. Челябинск) и на углеобогатительной фабрике (г. Прокопьевск).

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Всероссийской научно-методической конференции «Информатизация образования» (Нижний Тагил, 2002); XII Международной конференции-выставке «Информационные технологии в образовании» (Москва, 2002); IV Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (г. Новочеркасск, 2004); Научно-технической конференции «Наука - Образование - Производство» (Н. Тагил, 2004); Межрегиональном форуме «Приборостроение 2004» (г. Екатеринбург, 2004); VII отчетной научной конференции молодых ученых ГОУ ВПО «УГ-ТУ-УПИ» (Екатеринбург, 2004); 9-ой Всероссийской интернет конференции «Информационные технологии и электроника»; Всероссийской научной конференции «50 лет радиотехнического образования на Урале» (Екатеринбург, 2004); VIII научной конференции молодых ученых ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ» (Екатеринбург, 2005); Международной научно-практической конференции "СВЯЗЬ-ПРОМ 2005" в рамках 2-го Евро-Азиатского международного форума "СВЯЗЬ-ПРОМ ЭКСПО 2005" (Екатеринбург, 2005).

Публикации, отражающие содержание диссертации, сделаны в изданных трудах и материалах указанных конференциях, 8 статьях в научных журналах и сборниках и 3 учебных пособиях - всего опубликовано 20 работ.

Структура диссертации: введение, три главы, заключение и приложения (141 страница машинописного текста, 4 таблицы, 37 рисунков, список литературы из 103 наименований и 4 приложения).

Автор выражает глубокую благодарность за методическую помощь в работе над диссертацией научному руководителю д. т. н. проф. С. В. Порш-неву и взявшему на себя труд внимательно прочесть диссертацию и сделать ценные замечания к. т. н. доц. С. С. Соколову.

Выводы и результаты главы 3

Методика приближения эмпирических частот и зависимостей, разработанная на основе принципов оптимальной аппроксимации, апробирована в учебном процессе и использована для решения производственных задач на предприятиях добычи, обогащения и подготовки углей к коксованию.

1. Природно-производственная система добычи, обогащения и подготовки углей к коксованию функционирует как логистическая система с элементами и потоками обработки и интерпретация технологической информации для объективного анализа условий и выработки рекомендаций при принятии управленческих решений. Используемая информация включает:

- результаты систематического отслеживания вещественного состава и физических свойств сырья при планировании его добычи, отгрузки потребителям, обогащении и составлении шихты;

- показатели фактической выработки экскаваторов, отражающие общую эффективность горных работ и уровень производительного использования основного технологического оборудования.

2. Достаточно информативными и удобными формами представления технологических сведений в целях выработки рекомендации для принятия управленческих решений являются математические модели:

- статистических распределений химических, физических параметров угля и показателей производительности экскаваторов;

- парных и многомерных эмпирических зависимостей между компонентами угля, позволяющих выполнять его экспресс-анализ.

3. Для обработки, представления и интерпретации технологической информации разработаны модели статистических распределений и стохастических зависимостей, общие алгоритмы и реализуемая в электронной таблице Excel, отвечающие обоснованным принципам оптимальной аппроксимации.

4. Рассмотрены условия аппроксимации эмпирических распределений параметров вещественного состава и физических свойств угля, как конечных состояний случайных процессов броуновского типа. На основе разработанных алгоритмов выполнено моделирование и интерпретация:

- однородного статистического распределения содержаний углерода в области рассеяния, ограниченной с обеих сторон, как четырехпараметриче-ского обобщения нормального закона;

- однородных распределений показателей физических свойств угля в областях рассеяния, ограниченных с одной стороны (снизу или сверху), как трехпараметрических обобщений нормального закона;

- неоднородного статистического распределения (смеси) содержаний летучих веществ в области рассеяния, ограниченной с обеих сторон, как суммируемого по Фейеру ряда Фурье с налагаемыми условиями, отвечающими свойствам и асимптотам вероятностных функций.

5. На основе принципов оптимальной аппроксимации рассмотрена методика моделирования и расщепления распределений смешанных совокупностей относительных случайных величин, соответствующих фактической суточной выработке экскаваторов на открытых горных работах в Кузбассе и на

Урале. Применительно к важной для горного производства задаче статистического анализа эффективности работы экскаваторов показаны:

- адекватность бета-распределения однородному рассеянию суточной выработки экскаваторов в фактических пределах;

- смешанный характер фактического распределения суточной выработки экскаваторов, что отвечает проявлению двух основных организаций производственного процесса;

- возможности объективной оценки реально достижимой технической производительности экскаваторов, выявления резервов и путей повышения эффективности производства для принятия управленческих решений.

6. В соответствии с принципами оптимальной аппроксимации разработана методика построения на компьютере математических моделей парных эмпирических зависимостей содержания водорода, кислорода, суммарного количества кислорода и азота, выхода летучих веществ от содержания углерода в каменных углях:

- найдены преобразования переменных (содержаний компонентов в угле) для конструктивного задания подходящей области определения;

- выведено дифференциальное уравнение, отвечающее связям содержаний компонентов и их приращений в угле, правильно отражающее положение экстремума и асимптот на границах области определения;

- расширяя аналитический подход А. Н. Колмогорова, разработанный для моделирования распределений, на эмпирические зависимости, на основе решения дифференциального уравнения найден класс функций, адекватных сущности соотношений содержаний компонентов, их свойствам и объясняют особенности состава угля;

- найденные приближения эмпирических зависимостей характеризуются тесной корреляционной взаимосвязью переменных, по сравнению со степенными полиномами более просты и устойчивы, представляют практический интерес для экспрессной маркировки углей с необходимой точностью.

7. Установлены наиболее информативные релевантные элементы (водород, азот и кислород), контролирующие вещественный состав каменного угля и его свойства, на основе чего построены статистически значимые многомерные эмпирические зависимости, в том числе для прогноза толщины пластического слоя шихты, которая не является аддитивной по отношению к пластическим свойствам составляющих.

8. Показано, что близкие к 1 коэффициенты множественной корреляции линейных эмпирических зависимостей содержаний водорода, азота и кислорода с содержаниями летучих веществ и углерода являются многомерными проявлениями ложной корреляции, отмечавшейся О.В. Сармановым и А.Б. Вистелиусом для парных симметрично связанных процентных величин. Вырождение стохастических зависимостей в функциональные повышает надежность и точность оценок содержаний компонентов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации рассмотрены вопросы теории, методики и практического использования оптимальной аппроксимации для повышения достоверности обработки и интерпретации технологической информации в целях управления производством и контроля качества.

Основные теоретические результаты состоят в следующем.

1. Уточнена постановка задачи аппроксимации распределений и зависимостей, отличающаяся от классических подходов:

- явным отнесением к типу неопределенных, неоднозначных (problems under uncertainty), требующим построения оптимального решения;

- учетом ограниченности области рассеяния случайных величин;

- приближением модели не к содержащим случайные ошибки эмпирическим данным, а к их, вообще говоря, неизвестной регулярной составляющей.

2. Обоснованы и систематизированы основные принципы оптимальной аппроксимации, включающие:

- выбор меры, метода и целевой функции для приближения и оценки параметров модели, исходя из распределения случайной составляющей данных;

- конструирование класса функций-претендентов с учетом природы моделируемой связи и ее математических свойств на основе аналитического метода А. Н. Колмогорова (и его расширения на эмпирические зависимости);

- оптимальное ограничение порядка модели (числа составляющих), что отвечает регуляризации по А. Н. Тихонову.

3. На основе результатов А. Эйнштейна и М. Смолуховского по физике броуновских блужданий, подчиняющихся дифференциальному уравнению диффузии, выведены статистические модели нормального закона, его трех- и четырехпараметрическое обобщения для ограниченных областей рассеяния.

4. Второе дифференциальное уравнение А. Н. Колмогорова для конечного состояния броуновского процесса решено в виде ряда Фурье - общей модели с произвольно ограниченной областью рассеяния, и установлены:

- сходимость ряда к нормальному закону при рассеянии в пределах ±оо;

- связь с регулярной и случайной составляющими эмпирических частот;

- меры приближения и критерии согласия с эмпирическими частотами;

- способы практического гармонического анализа эмпирических частот;

- критерий оптимального ограничения порядка ряда;

- соответствие вероятностной функции при суммировании по Фейеру.

5. Аналитический подход А. Н. Колмогорова (представление распределений дифференциальными уравнениями) применен к конструированию класса подходящих функций эмпирической зависимости, как решений дифференциального уравнения, всегда более очевидного для зависимости.

6. Обоснованы корректные при различных типах распределения данных и их случайной составляющей способы:

- двухкритериальной оценки согласия моделей с эмпирическими зависимостями и частотами на основе статистического анализа остатков;

- оценки устойчивости моделей путем рандомизации остатков.

7. Теорема О.В. Сарманова и А.Б. Вистелиуса о ложной корреляции парных процентных величин обобщена на многомерную корреляцию, пояснен ее смысл и возможность приложения для экспресс-анализа компонентов.

Методические результаты сводятся к следующим итогам.

1. Разработаны алгоритмы обработки и представления информации моделями распределений и зависимостей, отвечающие принципам оптимальной аппроксимации с определением: меры, метода и целевой функции; класса подходящих аппроксимирующих функций-претендентов и порядка модели.

2. Показано, что распределение показателей состава и технологических свойств угля подчиняется второму дифференциальному уравнению Колмогорова для броуновского процесса с решениями в видах: обобщений нормального закона для произвольно ограниченной области при однородном рассеянии и ряда Фурье, как для однородного, так и смешанного рассеяния.

3. Для описания распределений рядами Фурье разработаны методики:

- оценки коэффициентов непосредственно из выборки и способом математического программирования с наложением вероятностных условий;

- равномерного (по Фейеру) приближения к вероятностным функциям;

- оптимального ограничения ряда Фурье - регуляризации по Тихонову.

5. На основе принципов оптимальной аппроксимации решены вопросы методики моделирования и расщепления распределений смешанных совокупностей случайных относительных величин в ограниченной области:

- показана адекватность их однородного рассеяния бета-распределению;

- смешанная совокупность представлена суммой бета-распределений;

- подходящее число бета-распределений в смеси находится путем последовательных приближений, как оптимальный порядок модели.

6. На примере парных эмпирических зависимостей между содержаниями компонентов угля показана методика конструирования класса подходящих функций-претендентов, реализующая аналитический подход А. Н. Колмогорова (представление распределений дифференциальными уравнениями) и учитывающая содержательные априорные теоретические соображения о сути моделируемой связи и ее математических свойствах, включая:

- задание области определения переменных и производных;

- подбор дифференциальных уравнений, исходя из связей между переменными и их приращениями, положения экстремумов, корней и асимптот;

- выбор оптимального дифференциального уравнения с минимумом параметров, его решение и преобразование к исходным переменным.

7. В рамках принципов оптимальной аппроксимации составлен алгоритм ее реализации для многомерной зависимости способом линейного программирования с заданием области определения и условий для переменных.

Применение полученных результатов характеризуется следующим.

1. Систематизированные принципы оптимальной аппроксимации и разработанные алгоритмы нашли приложение в учебном процессе, в производственной и научно-исследовательской работе:

- общеметодические аспекты оптимальной аппроксимации вошли в учебные курсы исследования операций и экономико-математических методов (Нижнетагильский технологический институт) и в учебные пособия;

- методика моделирования и расщепления смешанных распределений используется в лаборатории моделирования производственных систем Научно-исследовательского института открытых горных работ (г. Челябинск) для анализа производительности труда и выявления резервов ее повышения;

- алгоритмы оптимальной аппроксимации внедрены на углеобогатительной фабрике (г. Прокопьевск) для экспресс-анализа компонентов и свойств угля, его маркировки и расчетов состава шихты.

2. Внедрение разработок в элементы и потоки логистической системы добычи и подготовки углей к коксованию обеспечивает оперативную и обоснованную выработку рекомендаций для управленческих решений, а именно:

- более достоверную и экономичную оценку состава и технологических свойств угля при торгово-промышленной маркировке и составлении шихты;

- объективный анализ основных факторов выработки экскаваторов, отражающих общую результативность горных работ, уровень производительного использования технологического оборудования и имеющиеся резервы.

3. Обработка и представление информации в виде моделей эмпирических распределений и зависимостей автоматизированы с помощью разработанных общих алгоритмов, реализуемых в стандартных программных средах.

4. Показана адекватность эмпирических распределений параметров состава и технологических свойств угля конечным состояниям случайных броуновских процессов, выполнено моделирование и интерпретация:

- однородного, ограниченного сверху и снизу распределения содержаний углерода - в виде четырехпараметрического обобщения нормального закона;

- однородных ограниченных с одной стороны (снизу или сверху) распределений показателей технологических свойств угля, как трехпараметриче-ских обобщений нормального закона;

- неоднородного, ограниченного сверху и снизу смешанного распределения содержаний летучих веществ - в виде ряда Фурье. •

5. На основе разработанной методики моделирования и расщепления распределений смешанных совокупностей относительных случайных величин выполнен статистический анализ суточной выработки экскаваторов на открытых горных работах в Кузбассе и на Урале, что позволило выявить важные для управленческих решений общие закономерности и установить:

- смешанный тип распределения суточной выработки экскаваторов, отвечающий двум основным типам организации производственного процесса;

- реально достижимую техническую производительность экскаваторов, резервы и пути повышения эффективности производства.

6. Внедрена методика моделирования зависимостей содержаний компонентов и технологических параметров угля и показаны:

- подходящие преобразования для конструктивного задания области определения переменных и способы учета их свойств;

- дифференциальное уравнение, отвечающее парным связям содержаний компонентов и их приращений в угле;

- класс функций (решение дифференциального уравнения), адекватный парной зависимости и ее свойствам в широкой области содержаний углерода;

- тесная корреляционная связь компонентов для найденных моделей, их более простой (с меньшим числом параметров) и устойчивый характер по сравнению со степенными приближениями, возможность использования в целях экспрессной маркировки углей с необходимой точностью;

- контролирующие состав и технологические свойства угля наиболее информативные (релевантные) элементы (водород, азот и кислород) и их многомерные связи, позволяющие прогнозировать параметры сырья, в том числе не обладающую аддитивностью толщину пластического слоя шихты.

Таким образом, разработки алгоритмов оптимальной аппроксимации эмпирических зависимостей и частот имеют теоретическое и общеметодическое значение, адаптированы к задачам обработки и интерпретации управленческой информации на угольных предприятиях, апробированы как элементы отвечающей им логистической природно-производственной системы.

1. Агекян Т.А. Основы теории ошибок для астрономов и физиков. М.: Наука, 1972.- 172 с.

2. Айвазян С. А., Бухштабер В. М., Енюков И. С., Мешалкин JI. Д. Прикладная статистика: Классификация и снижение размерности. М.: Финансы и статистика, 1989. - 607 с.

3. Айвазян С. А., Енюков И. С., Мешалкин JI. Д. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных. -М.: Финансы и статистика, 1983.-471 с.

4. Баев И.А., Галкина Н.В., Каплан А.В. Управление адаптацией горнодобывающего предприятия к спросу: Препринт N16. Челябинск: НТЦ-НИИОГР, 2000. - 42 с.

5. Боганик Г. Н. О задаче сглаживания экспериментальных данных путем параболической аппроксимации// Разведочная геофизика. Вып. 33. М.: Недра, 1969. С. 26-33.

6. Боровиков В. STATISTICA: Искусство анализа данных на компьютере. Для профессионалов. СПб.: Питер, 2001. - 656 с.

7. Боровиков В. П., Ивченко Г. И. Прогнозирование в системе STATISTICA в среде Windows. Основы теории и интенсивная практика на компьютере: Учебное пособие. М.: Финансы и статистика, 1999. - 384 с.

8. Бычев P.M. О взаимосвязи между некоторыми характеристиками каменных углей// Кокс и химия. 2003. № 8. С. 2-4.

9. Вапник В. Н. Восстановление зависимости по эмпирическим данным. — М.: Наука, 1979.-448 с.

10. Вапник В. Н., А.Я. Червоненкис. Теория распознания образов (статистические проблемы обучения). М.: Наука, 1974. - 416 с.

11. П.Галкина Н.В. Управление процессом адаптации горнодобывающего предприятия к экономическим параметрам среды: Дис. . канд. техн. наук. -Челябинск, 2000. 136 с.

12. Глущенко И. М. Теоретические основы технологии горючих ископаемых.- М.: Металлургия, 1990. 296 с.

13. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: ФИЗМАТГИЗ, 1961. -407 с.

14. Гончаров В. JI. Теория интерполирования и приближения функций. М.: Гос. изд. тех.-теор. лит., 1954. - 328 с.

15. Демидович Б. В., Марон И. Б., Шувалова Э. 3. Численные методы анализа.- М.: ФИЗМАТГИЗ, 1963. 400 с.

16. Длин А. М. Математическая статистика в технике. М.: Советская наука, 1951.-292 с.

17. Дубов И. Р. Аппроксимация вероятностных законов в системах мониторинга. Владимир: Владим. гос. ун-т., 2001. - 137 с.

18. Ивахненко А. Г. Долгосрочное прогнозирование управление сложными системами. Киев: Техника, 1975. - 325 с.

19. Ивахненко А. Г. и др. Принятие решений на основе самоорганизации. -М.: Сов. радио, 1976. 280 с.

20. Ивахненко А. Г. Индуктивный метод самоорганизации моделей сложных систем. Киев: Наук, думка, 1981. - 296 с.

21. Ивахненко А. Г. Моделирование сложных систем. Киев: Вища шк. 1987. -63 с.

22. Каплан А. В., Каплан В. Е., Мащенко М. В., Овечкина Е. В. Введение в компьютерную статистику экономических данных. Екатеринбург: ГОУ УГТУ-УПИ, 2002. - 106 с.

23. Каплан А. В., Каплан В. Е., Мащенко М. В., Овечкина Е. В. Компьютерное моделирование детерминированных и неопределенных ситуаций в экономике и управлении/ Нижнетаг. гос. пед. ин-т. Нижний Тагил, 2003. 92 с.

24. Каплан А. В., Каплан В. Е., Мащенко М. В., Овечкина Е. В. Решение экономических задач на компьютере. М.:ДМК Пресс; СПб.: Питер, 2004. -600 с.

25. Касаточкин В.И., Ларина Н.К. Строение и свойства природных углей. -М.: Недра, 1975.- 159 с.

26. Кендалл М., Стьюарт А. Теория распределений. М.: Наука, 1966. - 588 с.

27. Колмогоров А. Н. Об аналитических методах в теории вероятностей// Успехи матем. Наук. М., 1938. № 5. С. 5-41.

28. Колмогоров А. Н. Стационарные последовательности в гильбертовом пространстве// Бюлл. МГУ. М., 1941. № 6. С. 1-40.

29. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1968. - 720 с.

30. Косинский В.А., Панина Н.Н., Фоменко В.А. Модель зависимости между показателем отражения витринита и углехимическими параметрами// Кокс и химия, М., 2002. № 1. С.10-13.

31. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975. - 648 с.

32. Кумков С. И. Новые прикладные методы цифровой обработки информации в условиях неопределенности (Экспериментальный курс лекций). Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2002. - 52 с.

33. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Книга первая. М.: Советское радио, 1969. - 752 с.

34. Львовский Е. Н. Статистические методы построения эмпирических формул: Учеб. пособие М.: Высш. школа, 1982. - 224 с.

35. Мелентьев П. В. Приближенные вычисления. — М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1962.-388 с.

36. Мидлтон Д. Введение в статистическую теорию связи: пер. с англ. — М.: Сов. Радио. Т. I, 1961. 782 с.

37. Мидлтон Д. Введение в статистическую теорию связи: пер. с англ. М.: Сов. Радио. Т. II, 1961. - 562 с.

38. Мудров В. И., Кушко В. Л. Методы обработки измерений: Квазиподобные оценки. М.: Радио и связь, 1983. - 304 с.

39. Налимов В.В. Применение математической статистики при анализе вещества.- М.: ФИЗМАТГИЗ, 1960. 432 с.

40. Овечкина Е.В., Поршнев С.В. Разработка методов оптимальной аппроксимации эмпирических зависимостей// Электронный журнал "Исследовано в России" (в печати).

41. Поршнев С. В. Компьютерное моделирование физических процессов в пакете MATLAB. М.: Горячая линия - Телеком, 2003. - 592 с.

42. Пугачев В. С. Введение в теорию вероятностей. М.: Наука, 1968. - 368 с.

43. Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1960. - 884 с.

44. Пустыльник Е. И. Статистические методы анализа и обработки наблюдений. М.: Наука, 1968. - 288 с.

45. Рао С. Р. Линейные статистические методы и их применения. М.: Наука, 1968.-548 с.

46. Ржевский В. В., Новик Г. Я. Основы физики горных пород. М.: Недра,1967.-288 с.

47. Родионов Д. А., Коган Р. И., Голубева В. А. Справочник по математическим методам в геологии. М.: Недра, 1987. - 335 с.

48. Рыжов П. А. Математическая статистика в горном деле. М.: Высшая школа, 1973. - 287 с.

49. Рытов С. М. Введение в статистическую радиофизику. М.: Наука, 1966. - 404 с.

50. Сарманов О. В. О ложной корреляции между случайными величинами: Труды Математического ин-та им. Стеклова АН СССР. Т. 64. М.: Изд. АН СССР, 1961. С. 173-184.

51. Сарманов О. В. О применении математики в геологии: Сб. Взаимодействие наук при изучении Земли. М.: Наука, 1964. С. 312-320.

52. Сарманов О. В., Вистелиус А. Б. О корреляции между процентными величинами: Доклады АН СССР. Т. 126. № 1, 1959. С. 22-25.

53. Свешников А. А. Прикладные методы случайных функций. М.: Наука,1968.-464 с.

54. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 2. М.: Гос. изд. тех.-теор. лит., 1954.-628 с.

55. Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В. Краткий курс математической статистики для технических приложений. М.: ФИЗМАТГИЗ, 1959. - 436 с.

56. Смолуховский М. Броуновское молекулярное движение под действием внешних сил и его связь с обобщенным уравнением диффузии: Сб. статей Брауновское движение. Л.: ОНТИ-НКТП-СССР, 1936. С. 319-331.

57. Смолуховский М. Несколько примеров броуновского молекулярного движения под действием внешних сил: Сб. статей Брауновское движение, ОН-ТИ-НКТП-СССР, 1936. С. 205-225.

58. Смолуховский М. Три доклада о диффузии, броуновском молекулярном движении и коагуляции коллоидных частиц: Сб. статей Брауновское движе-ниею. Л.: ОНТИ-НКТП-СССР, 1936. С. 332-416.

59. Справочник коксохимика. Т. I. М.: Металлургия, 1964. - 492 с.

60. Тихонов А. Н. Об устойчивых методах суммирования рядов Фурье: Доклады АН СССР. Т. 156, № 2, 1964. С. 268-271.

61. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982. -624 с.

62. Тихонов В. И. Выбросы случайных процессов. М.: Наука, 1970. - 392 с.

63. Толстов Г. П. Ряды Фурье. М.: Наука, 1984. - 384 с.

64. Трифонов В.Н., Коновалова Ю.В., Султангузин И.А., Гагарин С.Г., Гюль-малиев A.M. Расширение угольной сырьевой базы коксохимического производства ОАО «Северсталь»// Кокс и химия, 2002. №11. С.2-8.

65. Уилкс С. Математическая статистика. — М.: Наука, 1967. 632 с.

66. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.2. — М.: Мир, 1967.-752 с.

67. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. T.III. М.: Наука, 1966. - 656 с.

68. Фишер Р. Статистические методы для исследователей. М.: Госстатиздат, 1958.-268 с.

69. Хан Г., Шапиро С. Статистические модели в инженерных задачах. М.: Мир, 1969.-400 с.

70. Харкевич А. А. Спектры и анализ. М.: ФИЗМАТГИЗ, 1962. - 236 с.

71. Хемминг Р. В. Численные методы. М.: Наука, 1968. - 400 с.

72. Холман П. Тенденции повышения эффективности производства в горнодобывающей промышленности//Горный журнал, 1995. № 12. С. 3-19.

73. Худсон Д. Статистика для физиков. М.: Мир, 1970. - 296 с.

74. Хэнсен Б. JI. Контроль качества. Теория и применение. М.: Прогресс, 1968.-520 с.

75. Ченцов Н. Н. Статистические решающие правила и выводы. М.: Наука, 1972.-520 с.

76. Шметтер JI. Введение в математическую статистику. М.: Наука, 1976. -520 с.

77. Эйнштейн А. О движении взвешенных в покоящейся жидкости частиц, требуемом молекулярно-кинетической теорией теплоты: Сб. статей Браунов-ское движение. Л.: ОНТИ-НКТП-СССР, 1936. С. 13-25.

78. Эфрон Б. Нетрадиционные методы многомерного статистического анализа: Сб. статей. — М.: Финансы и статистика, 1988. 263 с.

79. Kronmal R, Tarter М. The estimation of probability densities and cumula-tives by Fourier series methods. Journal of the American statistical association, September, 1968. v. 63. n. 323. P. 925-952.

80. Medgyessy P. Decomposition of superposition's of distribution functions. Publishing House of the Academy of Science, Budapest, 1961. P. 325.

81. Szego G. Orthogonal Polynomials. 1939, Am. Math. Soc. Colloquium Publications. vol. XXIII. P. 20-28.

82. Vistelius А. В., Sarmanov О. V. On the Correlation between Percentage Values: Major Component Correlation in Ferromagnesium Micas. The Journal of Geology, v. 69, 1961. № 2. P. 145-153.

83. Wilks S. Statistical Prediction with Special Reference to the Problem of Tolerance Limits. Ann. Math. Statist., 1942. n. 13. 400 p.

84. Программа для оценки параметров и порядка модели в Excel Описание