автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Синтез целочисленных алгоритмов для микропроцессорной обработки информации при решении задач электронной кинематики

На правах рукописи

Булатников Александр Андреевич

СИНТЕЗ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ АЛГОРИТМОВ ДЛЯ МИКРОПРОЦЕССОРНОЙ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОННОЙ КИНЕМАТИКИ

Специальность 05.13.01 - "Системный анализ, управление и обработка информации (информационные и технические системы)"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

005538672

21 "ОЯ 2013

Краснодар-2013

005538672

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО "Кубанский государственный

технологический университет"

доктор технических наук, профессор Ключко Владимир Игнатьевич

доктор технических наук, профессор Косачев Вячеслав Степанович

ФГБОУ ВПО "Кубанский государственный технологический университет", профессор кафедры технического оборудования и систем жизнеобеспечения

кандидат технических наук Григорьев Николай Федорович

руководитель отдела телекоммуникаций Краснодарского представительства сети "Консультант Плюс"

ФГБОУ ВПО "Кубанский государственный аграрный университет" (г. Краснодар)

Защита диссертации состоится «18» декабря 2013 г. в 1 б00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.100.04 в ФГБОУ ВПО "Кубанский государственный технологический университет" по адресу: 350072, г. Краснодар, ул. Московская 2, корпус Г, аудитория Г-248

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО "Кубанский государственный технологический университет"

Автореферат разослан «11» ноября 2013 г.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.100.04, канд. техн. наук, доцент

А.В. Власенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Широкое внедрение микропроцессорной техники во многие области деятельности человека имеет огромный технико-экономический и социальный эффект. Микропроцессоры (МП) позволяют использовать их во многих технологических процессах. Но упрощение технологического оборудования при встраивании МП-систем (МПС) требует соответствующего алгоритмического и программного обеспечения МПС. Это -существенная преграда на пути их широкого применения.

Её преодоление лежит на путях системного подхода при проектировании алгоритмического и программного обеспечения, которое составляет, по оценкам специалистов, около 70-80% стоимости всей автоматической системы.

В феномене МП резко обострились противоречия между машинным характером обработки информации и антропогснностью её алгоритмов. Потребовалось перейти к специальным алгоритмам, как правило, созданным эвристическим путем. Сначала они реализовывались аппаратными средствами, а затем с появлением МП и программно.

Однако, круг таких алгоритмов был весьма ограниченным. В основном это были разностно-итерационные алгоритмы (РИА) типа алгоритмов Волдера и Меджита, алгоритмы цифровой интерполяции простейших линий и др. Универсальностью они не обладали.

Вместе с тем развитие механики и мехатроники требовало широкого применения ЭВМ для решения важных задач проектирования современных механизмов и машин (станков с числовым программным управлением (ЧПУ), роботов-манипуляторов и др.)

Впервые на эту тенденцию указал академик К.В. Фролов. Он же и ввел термин «электронная кинематика». Её суть - обеспечение требуемых от машины или механизма синхронных перемещений рабочих органов или обрабатываемого объекта (изделия, заготовки) не с помощью механических узлов (шарниры, стержни, кулачки и т.п.), а с помощью силовых

(электрических) приводов, синхронно управляемых компьютерной техникой по определенным функциональным зависимостям. Это упрощает конструирование и изготовление сложных механических систем, сводя их к проектированию (синтезу) нужных алгоритмов и их программную реализацию.

Так как узлы механических систем распределены в пространстве, то резонно привлечь геометрические методы при создании таких алгоритмов, так как решение некоторых алгебраических задач значительно проще осуществлять геометрически. Это позволяет, опираясь на алгоритмы цифровой линейной (линейка) и круговой (циркуль) интерполяции, алгоритмов угловых перемещений (транспортир), нахождения перпендикуляра (угольник) к прямой, перейти к целочисленной арифметике и резко понизить требования к архитектуре и быстродействию вычислителей.

С учетом этого вполне логичным является привлечение к реализации целочисленных алгоритмов микропроцессоров RISC-архитектуры как самых простейших и быстродействующих.

Таким образом, в единый узел сплелись проблемы алгоритмизации, быстродействия и технической реализации процессов обработки информации при управлении техпроцессами с применением механизмов и машин.

Эти обстоятельства остро поставили в повестку дня алгоритмические проблемы микропроцессорной реализации процессов обработки информации, в том числе при решении задач электронной кинематики.

Целью исследования является разработка методики синтеза целочисленных алгоритмов микропроцессорной обработки информации для решения задач электронной кинематики. В основу методики положено использование методов геометрических аналогий (МГА), развитых нами применительно к моделированию на МП кинематических узлов и систем.

Основные задачи исследования:

1) историко-логический анализ микропроцессорной алгоритмизации;

2) исследование преимуществ и особенностей архитектур типа RISC, CISC;

3) определение основных операций и вычислительных методов;

4) разработка базовых процедур целочисленной обработки информации;

5) синтез алгоритмов цифровой интерполяции кинематических траекторий;

6) решение задач электронной кинематики средствами геометрического моделирования на микропроцессорах.

Научная концепция. IIa основе создания неаналитических методов вычислений и обработки информации можно создать детерминированные методики синтеза целочисленных алгоритмов для их реализации на микропроцессорах RISC - архитектуры.

Научная новизна выполненных в диссертационной работе исследований заключается в разработке методики детерминированного (а не эвристического) синтеза целочисленных алгоритмов микропроцессорной обработки информации применительно к задачам электронной кинематики.

Практическая ценность работы заключается в создании условий еще более широкого внедрения микропроцессорной техники в системы автоматизации, например, механизмов и машин.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на конференциях:

1) III Международная научная студенческая конференция "Научный потенциал студенчества в XXI веке" (г. Ставрополь, 2009 г.);

2) XXXVII научная конференция студентов и молодых ученых вузов Южного федерального округа (г. Краснодар, 2010 г.);

3) IV Международная научная конференция студентов, аспирантов, молодых ученых "Научный потенциал студенчества в XXI веке" (г. Ставрополь, 2010 г.);

4) I Межвузовская научно-практическая конференция "Автоматизированные информационные и электроэнергетические системы" (г. Краснодар, 2010 г.);

5) I Международная научно-практическая конференция "Современная наука: теория и практика" (г. Ставрополь, 2010 г.);

6) Всероссийская молодежная научная конференция "Современные проблемы математики и механики" (г. Томск, 2010 г.);

7) XVII Международная научно-практическая конференция студентов и молодых ученых "Современные техника и технологии" ( г.Томск, 2011 г.);

8) IV Международная научно-практическая конференция "Молодежь и наука: реальность и будущее" (г. Невиномысск, 2011 г.);

9) I Международная научно-практическая конференция "Модернизация современного общества: проблемы, пути развития и перспективы" (г. Ставрополь, 2011 г.);

10) I Международная научная конференция "Наука в современном обществе" (г. Ставрополь, 2011 г.);

11) IX Международная научно-практическая конференция "Татищевские чтения: актуальные проблемы пауки и практики" (г. Тольятти, апрель 2012 г.);

12) VIII Всероссийская научно-практическая конференция "Математические методы и информационно-технические средства" (г. Краснодар, июнь 2012 г.).

Реализация научно-технических результатов работы в промышленности. Результаты работы внедрены на предприятиях: ООО "Современные производственные системы" (г. Краснодар), ЗАО "Механический завод РЕММАШ" (ст. Павловская, Краснодарский край) и в учебный процесс КубГТУ, что подтверждается актами внедрения. На защиту выносятся следующие основные результаты:

1) базовые процедуры целочисленной микропроцессорной обработки информации задач электронной кинематики;

2) методика синтеза целочисленных алгоритмов цифровой интерполяции ряда кинематических траекторий (окружность, циклоида, эпи- и гипоциклоиды, эвольвента окружности, трактриса);

3) методика микропроцессорного моделирования типовых элементов кинематических систем па базе геометрических аналогий;

4) методика комплексного применения целочисленных процедур для управления сложными кинематическими системами на примере маиипуляционного робота с пятью степенями свободы;

5) программы тестирования целочисленных алгоритмов цифровой интерполяции путем их эмуляции на языке высокого уровня.

Публикация результатов работы. По результатам работы опубликовано 22 научных труда, в том числе 4 работы, опубликованные в рецензируемых журналах, входящих в перечень ВАК при Минобрнауки РФ, одна монография, четыре свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2012614606, № 2012614605, № 2012614604. Данная работа частично выполнялась в рамках хоздоговорной НИР "Разработка целочисленных алгоритмов цифровой интерполяции" с ООО "Современные производственные системы" (г. Краснодар).

Структура н объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех разделов (глав), заключения и приложения, изложенных на 180 страницах. Работа содержит 9 таблиц, 45 рисунков и список использоваипых источников из 93 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, изучена предыстория и определена научная проблема, поставлены цели и задачи исследования, приведены преимущества целочисленных алгоритмов для микропроцессорной реализации.

В первой главе обосновывается целесообразность использования целочисленной арифметики для алгоритмизации микропроцессорных систем. Показывается, что традиционный перенос аналитических выражений и формул на структуры программного обеспечения, свойственный для обычных ЭВМ, не приемлем для микропроцессоров.

Решение проблемы быстродействия значительно легче обеспечить алгоритмическим путем, нежели аппаратным.

Эвристический способ получения эффективных алгоритмов имел весьма ограниченные возможности. Требовалось создание скоростных алгоритмов детерминированными методами.

Указано, на базе чего должны быть основаны эти методы:

- переход к математическому (геометрическому) аналогу;

- оптимизация математической модели объекта управления;

-привлечение к реализации таких алгоритмов МП РиЯС-архитектуры.

Излагаются особенности микропроцессоров этой архитектуры

(упрощенный набор команд, отсутствие команд умножения и деления, целочисленный формат операндов, повышенная тактовая частота).

Рассмотрены преимущества и недостатки формата "целый". Определен набор операций, не выводящих алгоритмы из целочисленной арифметики: пересылка, сложение, вычитание, арифметические сдвиги, приращение (или уменьшение) па единицу содержимого ячейки памяти или регистра, инвертирование знака числа, сравнение двух чисел, тестирование нужного бита, безусловный и условный переходы, логические операции и логические сдвиги. Подчеркнутые операции являются нелинейными, опи обеспечивают нелинейность умножения и деления.

Проанализированы основные вычислительные методы, известные в целочисленной арифметике: разностно-итерационные методы, методы псевдопоротов вектора, метод оценочных функций и др.

Рассмотрены их возможности для синтеза целочисленных алгоритмов. Рассмотрена аппаратная поддержка создаваемых алгоритмов.

Во второй главе рассмотрены базовые процедуры целочисленной обработки информации. Основной среди них является цифровая интерполяция различных кривых. Сформулирована задача цифровой интерполяции (рис. 1).

Требуется сформировать серию координатных шагов, обеспечивающих движение рабочего органа вдоль кривой из узла М0(ха,у0) в узел Мп(хп,уп) (с возможно малым отклонением). Как и для других кривых, для прямой вводится оценочная функция & = + |ДХ| • у, - |ДК| ■ хь характеризующая степень отклонения от заданной прямой текущего узла с координатами (х¡,у,), где АХ = хп - х0, а ДК = уп — у0. По знаку /У( определяется очередные единичные

шаги по обеим координатам, а также по ним производится корректировка

оценочной функции /?(+1 для нового узла интерполяции.

_ ГО, если $ < 0; °У{1) 11, если Д >0; (О = Б1дпЬХ-, _( /?,-2|ДП' Ы-2|ДК| + 2|ДХ|; х1+1 = х1 + 8Х{0; у,-+1 =-Уг + 8У(0;

где /=/,2,... |ДХ| - номер шага интерполяции.

У /»------

1 Мо

д г 1 шаговая К/траектория

0 ^^ •—• —«_ /< —» Л Умп '

Рисунок 1 - Цифровая интерполяция кривой у = /(х) Нами дано оптимальное (по точности) значение рг = |ДХ| — 2|ДУ|. Далее. Оптимальный алгоритм нами модифицирован для случая произвольной кривой (т.е. линии с переменной крутизной). Для этого был взят такой подход: на каждом шаге интерполируется не кривая, а касательная линия к этой кривой в точке текущего узла интерполяции. Для этого кроме корректировки /?;+1 по (1) вводится еще одна корректировка - из-за изменения крутизны касательной. Обе корректировки аналитически объединяются. В итоге имеем:

при > |ДК,| р1+1 = Д - 2|ДУ;Ч1| + |Д*(Ч1| - \AXi\signPi, (2) при |ДХ,| < |ДУ(| /?|+1 = р1- 2|Д*(+1| + |ДГ1+1| - \bYt\slgnPi. (3)

Неотъемлемой частью такого обобщенного алгоритма является необходимость вычисления крутизны касательной в каждом /'-ом узле интерполяции. Но, как правило, функции = у(х,у) и |ДУ| = (р(х,у)

намного проще, чем выражение производной реализуемой кривой. Проведенные испытания обобщенного алгоритма для семи кривых показали, что абсолютная погрешность не превышает 1 шага интерполяции.

В качестве другой процедуры предложен оптимальный алгоритм цифровой круговой интерполяции. Для этого также введена оценочная функция ^ = х? + у1 — г2. Её корректировка весьма проста:

^ + 2x1 + 1 при движении по х;

^1+1 ~ РI + — У; + 1) при движении по х и по у; (4)

^ — 2у1 + 1 при движении по у.

Оптимальность (по точности и по быстродействию) нами обеспечена введением четырех оценочных функций Ф4 для каждого из 8 полуквадрантов:

1) ,1 5) Ф, =г! -х- -у; -1- 2|| - 1;

3) и 1) ф. = г1 - х* - у/ + 2|_)',. | + |.г,. | - I;

2) „ 6) Ф, =,-2-у] +2^.|-1; (5)

4) п 8) Ф. = г - х; - у; + 2\у,\ + |л\| - I.

При переходе с одного полуквадранта на соседний производится корректировка Ф; на + |уг|, на 2|х;| или па 2\ус\.

Испытание этого алгоритма цифровой интерполяции показало, что максимальная абсолютная погрешность не превышает 0.5 шага и является минимально достижимой для цифровой интерполяции. В таком виде он является основой для интерполяции других кривых.

Рассмотрен случай реверсивного изменения цифровой интерполяции (по или против часовой стрелки).

Важной процедурой является динамическое умножение и деление. Смысл слова "динамический" означает, что операнды поступают последовательно во времени в виде приращений, величиной +1, -1 или 0. Результат накапливается и, в свою очередь, может выдаваться либо

параллельным кодом, либо в таких же приращениях, но после деления (прореживания) их на заданную константу (масштаб).

Основная вычислительная формула здесь такова для случая у(с) = •

х2(0 :

Уи1=У1+Хи(0-621+Х21(06и + 51Г521. (6)

На ряде примеров (с таблицами) показана работа такой процедуры. Статическое умножение и деление нами обоснованы на базе такого РИА:

= ^тгИ^;

Щ = = - ■ у ■ 2~', И/„ -» 0; (7)

Произведена его модификация для расширения области применимости, когда V, чу, у, х представляются как новые функции от других аргументов.

Одной из важных процедур для электронной кинематики являются угловые измерения. Радиус-вектор текущего круговой интерполяции скользит по окружности. При этом площадь, заметаемая поворачивающимся вектором,

пропорциональна углу поворота а радиус-вектора длиной Я = —В

приращениях имеем Д5 = 0.5 • И2 А а. В ходе интерполяции делаются единичные перемещения конца радиус-вектора. Элементарные приращения Д5 при каждом шаге рассчитываются как площади треугольников с единичным основанием (рис 2).

Д5Х = 0.5 * У[ * 1 = 0.5}^ при шаге по х, Д52 = 0.5 * XI * 1 = 0.5^ при шаге по у, (8)

Д53 = 0.5(х, + у() при диагональном шаге. В дальнейшем оперируем удвоенной площадью с целью исключения

25 7

дробности при делении на 2. В итоге имеем а = —. Деление на /? обходится

25

тем, что очень часто нужен не угол, а длина дуги I = а * Я = —. Оставшееся

л

деление на Я убирается введением машинного масштаба 1:Я для длины дуги.

Для ускорения операций используются известные алгоритмы Волдера или Меджита. Нами произведена их модификация для реализации на МП.

Для проверки достоверности (сначала в режиме отладки, а затем - и в режиме прогонки на контрольных примерах) была составлена и прогонялась на ПК программа эмуляции команд микроассемблера на языке высокого Delphi. Основой для программ эмуляции служили блок-схемы базовых процедур, изложенных выше.

Рисунок 2 - К расчету приращений площади

В третьей главе приведена реализация цифровой интерполяции траекторий, характерных для кинематических конструкций. Сделано это на основе базовых процедур целочисленной арифметики.

Циклоида имеет достаточно сложное аналитическое описание. Реализация её формул "в лоб" неприемлема. Поэтому были использованы сё модельные свойства. Точка траектории получена сложением движений: линейного вдоль оси Хп вращательного по окружности радиуса г.

Решена проблема синхронизации обеих этих движений: ведущим принято движение по окружности, а уже приращеиия линейного движения отслеживают

приращения дуги, т.е. угловых перемещений радиус-вектора. Вращательное движение обеспечивает алгоритм круговой интерполяции.

Разработана блок-схема итогового алгоритма интерполяции. Она протестирована на ПК на языке высокого уровня Delphi (эмуляция микроассемблера). Абсолютная погрешность не превысила одного шага цифровой интерполяции.

Эпициклоида - плоская кривая, имеет такое уравнение в декартовой системе координат для случая а~Ь:

(х2 + у2)(х2 + у2 - 2bx) - Ь2у2 = 0, (9)

а для других (а Ф Ь) случаев - в параметрической форме:

y(t) = (а + b)cost — а • eos ( (а 4- Ь) ■ -I;

) % (Ю)

x(t) = (а + b~)sint — а ■ sin I (а + Ь) • -).

Синтез целочисленного алгоритма реализации формул (10) ведётся путем геометрического моделирования траектории точки, участвующей в движении центра внешней окружности с радиусом (а+Ь) и одновременного вращения вокруг этого центра по окружности с радиусом а. Оба движения обеспечиваются алгоритмом цифровой круговой интерполяции. Синхронизирующим моментом является равенство дуг обеих окружностей.

Было проведено моделирование для случаев Ь=а, Ъ=2а и Ь=3а. Методом

математической индукции результат распространён на общий случай К =- + 1 (Ь > а).

Разработана блок-схема алгоритма цифровой интерполяции эпициклоиды с произвольным коэффициентом К. Алгоритм протестирован на языке Delphi (эмуляция команд микропроцессора). Максимальная абсолютная погрешность не превысила одного тага интерполяции.

Гипоциклоида. Это почти Тоже самое, что и эпициклоида, только окружность с радиусом а катится внутри другой окружности радиусом b (b>a). Изменятся и параметрические уравнения гипоциклоиды:

y(t) = (b - a)cost + a • cos ((b - a) • -);

} A <">

x(t) - (b - a)sint - a • sinHb - a) • -J.

Синтез целочисленного алгоритма реализации формул (11) ведётся путем геометрического моделирования траектории точки, участвующей в движении центра по внутренней окружности радиуса (Ь-а) и одновременного вращения вокруг этого центра но окружности радиуса а.

Было проведено геометрическое моделирование для случаев Ь-2а и Ь=3а. Методом математической индукции результат распространён на общий случай К = £ - 1 (Ь > 2а).

Разработана блок-схема алгоритма цифровой интерполяции гипоциклоиды с произвольным коэффициентом К. Оказалось, что он почти полностью совпадает с таким же алгоритмом для эпициклоиды. Небольшое отличие только в одном операторе УС = у ± у, где знак " + " для гипо- и знак " — " для эпициклоиды. Результаты прогонки алгоритма такие же, как и для эпициклоиды.

Эвольвента (развертка) окружности - это траектория конца нерастяжимой нити, сматываемой с окружности радиуса а. Её уравнение в параметрической форме:

х = а • sint - a -1 ■ cost, у — a - cost + a-t- sint, (12)

где t - угол между осыо у и радиусом, проведенным в точку сматывания.

Реализовать аналитически эти уравнения по формулам прямого расчета на МП затруднительно. Необходимо использовать модельные свойства эвольвенты. Нами предложены три варианта построения этого алгоритма. В первом - текущий узел интерполяции эвольвенты не должен перейти через касательную АС (рис. 3).

Во втором - ведется контроль по площади F, "заметаемой" нитью при разматывании. Она должна быть в некотором, определенном нами, строгом соотношении с площадью S кругового сектора.

—касательная АВ » АС

Рисунок 3 - Вариант 1 "контроль по касательной

Третий вариант использует процедуры динамического умножения переменных величин ( и а * cost, а также t и а * sint. Они получаются в ходе цифровой круговой интерполяции окружности радиуса а.

Первый, как и все три, опирается на круговую интерполяцию. В каждом текущем узле интерполяции строится касательная к окружности, вводится её оценочная функция и делается один или несколько шагов интерполяции эвольвенты по обобщенному алгоритму в направлении текущего радиус-вектора. При достижении нуля оценочной функции делается следующий шаг круговой интерполяции. И так повторяется далее, вплоть до достижения нулевой ординаты узла круговой интерполяции.

У<

эвольвента

-касательная

Рисунок 4 - Вариант 2 "контроль по площади"

Во втором варианте производится отслеживание площади, "заметаемой" нитью при её разматывании. Установлена её зависимость от угла t поворота радиус-вектора (а также и площади 5) при круговой интерполяции самой

4S3

окружности (рис. 4). А, именно, F = —

За4

Чтобы перейти к итерационной формуле вычисления куба величины S, представим (13) в таком виде:

DF = 03- (»)

где DFи DS- удвоенные площади Fu S.

Для вычисления (13) разработан такой рекуррентный алгоритм: ZB0 = О, Z Бг+1 = ZBj + TZEi + TZi + 1; TZB0 = 0, TZBi+1 = TZBi + 2TZt + 3 ; (14)

TZ0 = 0, TZl+1 = TZL + 3; DFi+i =

где TZBi - утроенная величина Zf, TZi - утроенная величина Zt = DSh

Алгоритм (14) запускается в работу всякий раз, когда приращение площади D5j равно 1. Остальное также, как в первом варианте: линейная интерполяция эвольвенты ведётся до тех пор, пока "заметаемая" площадь не превышает DFi+1 (/ - номер узла круговой интерполяции).

В третьем варианте цифровой интерполяции эвольвенты вычисление членов (t • а ■ sint) и (t • а • cost) ведётся по преобразованным формулам:

((fs>(e-5«nt)) ((m-(a-cost))

t • а • sint = а-t-a-cost=^-a-А (15)

2 2

Такая группировка позволила применить формулы динамического и статического умножения (см (6)) и деления (см (7)), т.е. без операций обычного умножения и деления.

Для всех вариантов интерполяции эвольвенты составлены блок-схемы алгоритмов и протестированы на ПК путем эмуляции команд МП на языке Delphi. Программы эмуляции даны в Приложении к диссертации.

В конце третьей главы проведено обоснование целочисленного алгоритма цифровой интерполяции трактрисы. Все разработанные в третьей главе алгоритмы были протестированы на точность.

Таблица 1 - Максимальные абсолютные погрешности алгоритмов в [Д]

Тип кривой Радиус образующей окружности в[Д]

100 200 500 1000

Полуциклоида 0,948 0,952 0,972 0,995

Эпициклоида К=2 0,957 0,978 0,981 0,996

Гипоциклоида К=3 0,956 0,979 0,985 0,997

Эвольвента Вариант №1 0,941 0,962 0,990 0,998

Эвольвента Вариант №2 0,935 0,940 0,961 0,990

Эвольвента Вариант №3 0,962 0,970 0,984 0,994

Четвертая глава посвящена применениям целочисленных алгоритмов для решения задач мехатроники (электронной кинематики). Произведен исторический экскурс в историю мехатроники, рассмотрены преимущества ее применения для станков с программным управлением, робоготехнических систем и гибких автоматизированных производств.

На ряде кинематических систем рассмотрена целочисленная алгоритмизация процедур управления синхронным движения отдельных звеньев по заданному закону. Это позволяет заменить их изготовление физически на разработку микропроцессорного программного обеспечения (например, кривошипно-шатунный механизм КШМ).

В более сложных кинематических системах (манипуляторы) применение разработанных нами целочисленных алгоритмов упрощает математическое обеспечение систем управления силовыми приводами, например, роботов-манипуляторов.

Для универсализации имитации сложных кинематических систем решена задача о так называемом кинематическом треугольнике (КТ), т.е. найти координаты третьей вершины, если задан размер двух сторон, прилегающих к

третьей вершине. Здесь, как и в случае с КШМ, используются неаналитические методы сложных вычислений на базе методов МГА.

Показан пример применения задачи о КТ для управления двухзвенного плоского манипулятора с двумя степенями свободы (рис.5). Углы силовых приводов у и а определяются не через сложные тригонометрические формулы, а через быстродействующие целочисленные вычисления (т.е. цифровой

Рисунок 5 - Дзузвеппый манипулятор

Показан пример применения задачи о КТ для трёхзвенного шатуино-стержневого механизма.

В конце четвертой главы рассмотрен пример управления приводами манипуляционного робота с пятью степенями свободы (так называемая обратная задача управления роботом). В работе профессора Платонова А.К. приведена кинематика этого робота (с пятью углами силовых приводов

Управление по приведенной там же аналитике требует сложнейших вычислений, включая тригонометрические функции, матричные и векторные умножения. Они с трудом под силу мини-ЭВМ, учитывая реальную скорость движения и точность позиционирования.

*П.чатоипп А.К. Геометрические преобразования в робототехнике- М.: Знание, 1988,-¡32 с.

Нами изменена схема представления кинематики этого робота (рис.6). Там же произведены вспомогательные построения и частичное переименование углов силовых приводов. Это позволило применить комплекс известных и разработанных нами целочисленных процедур преобразования информации.

Рисунок 6 - Кинематическая схема манипулятора (со вспомогательными

построениями)

То есть, создать так называемый неаналитический метод решения обратной задачи для роботов. В его основе лежат методы геометрических аналогов и целочисленные алгоритмы, в том числе и цифровой интерполяции криволинейных траекторий.

Для оценки реального быстродействия отдельных процедур был осуществлен их прогон по аналитике и по предложенным нами целочисленным алгоритмам (см.табл.2).

На рисунке 7 приведена экспериментально полученная зависимость выигрыша по быстродействию Р от длины Д 1ср пробега схвата между очередными точками, для которых решается обратная задача.

Таблица 2 - Сравнение быстродействия (при Д = 0.125мм)

Процедура Время выполнения одной процедуры, мкс

По предложенным алгоритмам По аналитике'

, У агсЬа — X 114.5 3300

А • з'тх и Л ■ собх 106.7 4390x2

агМд^ и ^х2 + у2 114.5 3300+1728

То же самое с поворотом системы координат на угол а 236.0 5028+9956

Другим преимуществом предложенного метода решения обратной задачи является принципиальная возможность использования микропроцессоров, распределенных по узлам кинематической системы. От этого распараллеливания скорость вычислений возрастает еще больше.

ВЫВОДЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ

На основе выполненных исследований разработано математическое обеспечение информационных технологий в целочисленной арифметике, ориентированных на микропроцессорную реализацию.

Показано, что особенно эффективны такие технологии при решении задач электронной кинематики и мехатроники. В основе методик решении таких задач лежит метод геометрических аналогий, успешно реализуемый с помощью алгоритмов линейной, круговой и других видов интерполяции.

В качестве базовых разработан ряд процедур целочисленной обработки информации. Среди них ранее неизвестные, например, цифровая интерполяция типовых кинематических траекторий (окружность, циклоида, эпи- и гипоциклоида, эвольвента окружности, трактриса).

Предложена методика микропроцессорного моделирования отдельных элементов кинематических систем на базе геометрических аналогий и алгоритмов цифровой интерполяции кривых.

Предложена методика комплексного применения целочисленных процедур для управления сложными кинематическими системами (в частности, манипуляционным роботом с пятью степенями свободы).

Проведены тестирование и оценка точности целочисленных алгоритмов цифровой интерполяции путем их эмуляции на языке высокого уровня.

Предложенные информационные технологии рекомендуются к использованию, так как обеспечат широкое применение микропроцессоров в сфере компьютеризации современного производства.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Булатников A.A. Вычисление функций в микропроцессорных системах // Материалы III международной научной студенческой конференции "Научный потенциал студенчества в XXI веке". Ставрополь : СевКавГТУ, 2009. Т. 1. С. 278.

2. Булатников A.A., Данович Л.М. Функциональное преобразование и обработка информации на базе целочисленных алгоритмов и микроконтроллеров RISC-архитектуры // Сборник научных трудов студентов факультета КТАС. 2010. № 2. С. 14-18.

3. Булатников A.A. Обобщенный алгоритм цифровой интерполяции // Тезисы докладов XXXVII научной конференции студентов и молодых ученых вузов южного федерального округа. 2009-2010. С. 188.

4. Булатников A.A. Целочисленные алгоритмы цифровых интерполяторов // Материалы IV международной научной студенческой конференции "Научный потенциал студенчества в XXI веке". Ставрополь : СевКавГТУ. 2010. Т. 1. С. 112-114.

5. Булатников A.A., Булатникова И.Н. Цифровая интерполяция криволинейных траекторий для микропроцессорной реализации // Материалы I межвузовской научно-практической конференции "Автоматизированные информационные и электроэнергетические системы". Краснодар, 2010. С. 96-99.

6. Булатников A.A. и др. Синтез целочисленных алгоритмов цифровой интерполяции сложных кривых // Материалы I Международной научно-практической конференции "Современная наука: теория и практика". Ставрополь, 2010. T. I. С. 82-84.

7. Булатников A.A., Булатникова И.Н. Проектирование целочисленных алгоритмов цифровой интерполяции для промышленных контроллеров// Материалы Всероссийской молодёжной научной конференции "Современные проблемы математики и механики". Томск. 2010. С.26-30.

8. Булатников A.A., Булатникова И.Н. Вычисление функций в микропроцессорных системах // Сборник научных трудов факультета КТАС КубГТУ. Краснодар, 2011. С. 277-280.

9. Булатников A.A. Целочисленный алгоритм цифровой интерполяции окружности // Сборник трудов XVII международной научно-практической конференции студентов и молодых ученых "Современные техника и технологии". Томск,. 2011. Т. 2. С. 301-302.

10. Булатников A.A. и др. Базовые процедуры целочисленной арифметики // Сборник материалов I международной научно-практической конференции "Модернизация современного общества: проблемы, пути развития и перспективы". Ставрополь, 2011. Т. 2. С. 6-10.

11. Булатников Л.Л., Булатникова И.Н. Оптимальный алгоритм цифровой интерполяции окружности // Сборник материалов I международной научно-практической конференции "Наука в современном обществе". Ставрополь,

2011. С. 65.

12. Булатников A.A., Ключко В.И. Информационные технологии с использованием целочисленной арифметики // Журнал ГеоИнжиниринг. Краснодар : НИПИ "ИНЖГЕО". 2011. № 2(11). С. 54-57.

13. Булатников A.A., Булатникова И.Н Цифровые интерполяторы криволинейных траекторий // Журнал Известия Вузов, Сев.-кав. регион, технические науки. 2011. № 2. С. 16-18.

14. Булатников A.A., Булатникова И.Н. Цифровая интерполяция трактрисы // Материалы IV международной научно-практической конференции "Молодежь и наука: реальность и будущее". Невиномысск, 2011. Т. IV. С. 420.

15. Булатников A.A. и др. Решение задач электронной кинематики средствами геометрического моделирования на микропроцессорах // Материалы IX международной научно-практической конференции «Татищевские чтения: Актуальные проблемы науки и практики». Тольятти,

2012. С. 129-135.

16. Булатников A.A., Булатникова И.Н. Целочисленные алгоритмы микропроцессорной обработки информации // Журнал Известия Вузов, Сев.-кав. регион, технические науки. 2012. № 2. С. 11-13.

17. Булатников A.A. и др. Цифровая интерполяция эвольвенты // Журнал Известия Вузов, Сев.-кав. регион, технические науки. 2012. № 6. С. 14-17.

18. Булатников A.A., Булатникова И.Н Цифровая интерполяция кинематических траекторий : Монография. Краснодар : Издательский Дом-Юг,

2013. 156 с.

19. Булатников A.A. и др. Моделирование кинематики плоских механизмов на базе целочисленных алгоритмов // Журнал Известия Вузов, Сев.-кав. регион, технические науки. 2013. № 4. С. 22-25.

20. Булатников А.Л., Ключко В.И., Булатникова И.Н. "Программа эмуляции цифровой микропроцессорной интерполяции циклоиды на языке программирования DELHI" / свидетельство о государственной регистрации программы на ЭВМ № 2012614606, 2012 г.

21. Булатников A.A., Ключко В.И., Булатникова И.Н. "Программа эмуляции цифровой микропроцессорной интерполяции эвольвенты окружности на языке программирования DELHI" / свидетельство о государственной регистрации программы па ЭВМ № 2012614605, 2012 г.

22. Булатников A.A., Ключко В.И., Булатникова И.Н. "Программа эмуляции цифровой микропроцессорной интерполяции окружности на языке программирования DELHI" / свидетельство о государственной регистрации программы на ЭВМ № 2012614604, 2012 г.

Подписано в печать 30.10.2013. Формат 60x84 '/,„ Печать трафаретная. Усл. печ. л. 1,35. Тираж 100 экз. Заказ № 985 Отпечатано в ООО «Издательский Дом-Юг» 350072, г. Краснодар, ул. Московская, 2, корп. «В», оф. В-120, тел. 8-918-41-50-571, e-mail: olfomenko@yandex.ru

Кубанский государственный технологический университет

На правах рукописи

0420145418

Булатников Александр Андреевич

СИНТЕЗ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ АЛГОРИТМОВ ДЛЯ МИКРОПРОЦЕССОРНОЙ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОННОЙ КИНЕМАТИКИ

Специальность 05.13.01 - «Системный анализ, обработка информации и управление (информационные и технические системы)»

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель:

доктор техн. наук, профессор В.И. Ключко

КРАСНОДАР - 2013

Содержание

Введение...............................................................................5

1. Целочисленная арифметика - основа алгоритмизации микропроцессорных систем........................................................14

1.1 Историко-логический обзор машинной алгоритмизации...............14

1.2 Сущность RISC - архитектуры.............................................17

1.3 Целочисленная арифметика..................................................20

1.3.1 Преимущества и недостатки формата "целый"........................20

1.3.2 Основные операции целочисленной арифметики......................21

1.4 Основные вычислительные методы в целочисленной арифметике...........................................................................23

1.4.1 Разностно-итерационные методы........................................23

1.4.2 Методы псевдоповоротов вектора.......................................25

1.4.3 Метод оценочных функций...............................................26

1.4.4 Цифровые интегрирующие методы.......................................28

1.5 Аппаратная поддержка целочисленной арифметики..................29

1.6 Системный анализ проблемы микропроцессорной

обработки информации..............................................................31

1.7 Выводы...........................................................................35

2. Базовые процедуры целочисленной обработки информации.............36

2.1. Основные положения цифровой интерполяции............................36

2.2 Цифровая линейная интерполяция.........................................37

2.3 Обобщенный алгоритм цифровой интерполяции........................39

2.3.1 Синтез обобщенного алгоритма.................. ...........................40

2.4 Динамическое умножение и деление.........................................44

2.5 Статическое умножение и деление.................. ...........................51

2.6 Динамическое деление на константу.........................................55

2.7 Пересечение двух прямых..................... .................................56

2.8 Цифровая интерполяция дуги окружности...................................57

2.9 Цифровая интерполяция окружности..........................................62

2.10 Расширение области применения алгоритма

круговой интерполяции.............................................................67

2.11 Реверсивный алгоритм цифровой интерполяции........................68

2.12 Угловые перемещения радиус-вектора.....................................71

2.13 Тестирование целочисленного алгоритма

цифровой интерполяции окружности..................................................75

2.14 Выводы..............................................................................76

3. Синтез целочисленных алгоритмов цифровой

интерполяции кинематических траекторий.....................................77

3.1 Цифровая интерполяция циклоиды...........................................77

3.2 Цифровая интерполяция эпициклоиды.....................................83

3.3 Цифровая интерполяция гипоциклоиды.....................................90

3.4 Алгоритм цифровой интерполяции эвольвенты

окружности.............................................................................94

3.4.1 Вариант 1 "Контроль по касательной".....................................95

3.4.2 Вариант №2 "Контроль по площади".....................................102

3.4.3 Алгоритм цифровой интерполяции эвольвенты

(по аналитике)...........................................................................107

3.5 Цифровая интерполяция трактрисы..........................................112

3.6 Тестирование целочисленных алгоритмов цифровой интерполяции циклоиды, эпи- и гипоциклоиды,

эвольвенты (три варианта)..........................................................116

3.7 Выводы..............................................................................117

4. Решение задач электронной кинематики средствами

геометрического моделирования на микропроцессорах........................119

4.1 Исторический экскурс............................................................119

4.2 Имитация кривошипно-шатунного механизма (КШМ)...................120

4.3 Варианты геометрии КШМ.....................................................124

4.4 Задача о кинематическом треугольнике.....................................129

4.5 Плоский двухзвенный манипулятор.........................................130

4.6 Плоский трехзвенный шарнирно-стержневой механизм...............132

4.7 Управление приводами манипулятора......................................134

4.8 Выводы..............................................................................151

Заключение..............................................................................152

Список используемых источников.................................................154

Приложение П1. Программа эмуляция алгоритма

цифровой круговой интерполяции на языке Delphi..........................161

Приложение П2. Листинг выходных результатов

цифровой интерполяции окружности (радиусом г=20).......................163

Приложение ПЗ. Программа эмуляции алгоритма

цифровой интерполяции циклоиды на языке Delphi............................165

Приложение П4. Программа эмуляции алгоритма цифровой

интерполяции эпициклоиды (и гипоциклоиды) на языке Delphi.............168

Приложение П5. Программа эмуляции алгоритма цифровой интерполяции эвольвенты окружности на языке Delphi

(вариант 1)................................................................................170

Приложение П6. Программа эмуляции алгоритма цифровой интерполяции эвольвенты окружности на языке Delphi

(вариант 2)...............................................................................175

Приложение П7. Программа эмуляции алгоритма цифровой интерполяции эвольвенты окружности на языке Delphi

(по аналитике)...........................................................................175

Приложение П8. Документы о внедрении результатов.......... ..............179

Введение

Актуальность проблемы. Широкое внедрение МП-техники во многие области производственной деятельности человека дает огромный технико-экономический и социальный эффект. Микропроцессоры (МП) в силу простоты, дешевизны и малого энергопотребления позволяют устанавливать их во многих точках технологических процессов. Снижение сложности технологического оборудования при использовании МП-систем (МПС) вызывает возрастание сложности алгоритмического и программного обеспечения МПС. Это существенная преграда на пути их широкого применения.

Её преодоление лежит на путях системного подхода при проектировании микропроцессорного алгоритмического и программного обеспечения. А оно составляет 70-80% стоимости разработки всей системы [1,2].

Основная проблема состоит не в быстродействии аппаратном (тактовая частота в мегагерцах), а в быстродействии алгоритмическом.

В феномене микропроцессоров резко обострились противоречия между машинным характером обработки информации и антропогенностью её алгоритмов. Потребовалось перейти к специальным алгоритмам, как правило, созданным эвристическим путем. Сначала они реализовывались аппаратными средствами в так называемых спецвычислителях [3-5], а затем с появлением микропроцессоров и программно [6-8].

Однако, круг таких спецалгоритмов был весьма ограниченным. В основном это были разностно-итерационные алгоритмы (РИА) типа алгоритмов Волдера [9] и Меджита [10], алгоритмы цифровой интерполяции простейших линий (прямая, окружность, парабола) [11] и алгоритмы на базе конечных приращений (цифровые дифференциальные анализаторы [12]). Широкой универсальности они не обеспечивали.

Вместе с тем развитие механики и мехатроники требовало широкого применения электронных вычислительных машин (ЭВМ) и других

вычислительных средств для решения важных задач проектирования, создания и эксплуатации современных механизмов и машин (станки с числовым программным управлением (ЧПУ), графопостроители, роботы-манипуляторы и др.) [13-17].

Впервые на эту тенденцию указал выдающийся механик, академик АН СССР К.В. Фролов в своей статье "Механика и искусство конструирования в эпоху ЭВМ" [18]. В ней он ввёл термин "электронная кинематика".

Её суть - в следующем: обеспечение требуемых от машины или механизма синхронных перемещений рабочих органов или обрабатываемого объекта (изделия, заготовки) не с помощью механических узлов (шарниры, стержни, кулачки и т.п.), а с помощью силовых (обычно, электрических) приводов, синхронно управляемых компьютерной техникой по определенным функциональным зависимостям.

Это упрощает процесс конструирования и изготовления сложных материалоемких механических систем, сводя его к проектированию (синтезу) соответствующих алгоритмов и их программную реализацию на компьютерах [19-21].

Поскольку все узлы механических систем распределены в пространстве, то возникает необходимость в привлечении геометрических методов при создании таких алгоритмов, так как решение некоторых алгебраических задач значительно проще осуществлять геометрическими методами [22]. Достаточно вспомнить геометрико-построительные методы, хорошо развитые в начертательной геометрии и широко используемые в инженерной графике.

Это позволяет, опираясь на целочисленные алгоритмы цифровой линейной (линейка) и круговой (циркуль) интерполяции, алгоритмы угловых перемещений (транспортир), нахождения перпендикуляра (угольник) к прямой, перейти к целочисленной арифметике и, соответственно, резко понизить требования к архитектуре вычислителей, реализующих такие целочисленные алгоритмы.

С учётом этого вполне логичным является привлечение к реализации целочисленных алгоритмов самых простейших и потому весьма быстродействующих микропроцессоров RISC-архитектуры [23-25]. Их быстродействие обеспечено сокращенным набором команд, т.е. исключением из него операций умножения, деления и других так называемых "длинных операций". Но микропроцессоры этой архитектуры требуют целочисленных алгоритмов обработки информации.

Таким образом, в единый узел сплелись проблемы алгоритмизации, быстродействия и технической реализации процессов обработки информации при автоматизации технологических процессов с применением механизмов и машин (например, автоматических линий гибких автоматизированных производств (ГАП), манипуляционных роботов и др.).

Эти обстоятельства остро поставили в повестку дня алгоритмические проблемы микропроцессорной реализации процессов преобразования и обработки информации, в том числе при решении задач так называемой электронной кинематики [18]. Отправной точкой данной работы является научные разработки, которые проводились в нашей стране и за рубежом по аппаратным и программным методам в цифровой вычислительной технике. Это, в первую очередь, труды В.Б. Смолова, Е.П. Угрюмова, Б.Н. Малиновского, В.Д. Байкова, A.M. Оранского, А. Л. Рейхенберга, B.JI. Кошкина, В. И. Ключко, Н.С. Анишина и др. Среди зарубежных исследователей должны быть отмечены Волдер, Меджит, Брезенхем, Эрцеговак и др.[26-31]

Хотя некоторые работы вышеперечисленных авторов и содержат предпосылки, а иногда и элементы теоретического обобщения, тем не менее большинство из них имеют аппаратную направленность. Практически отсутствуют разработки методов алгоритмизации для микропроцессорной техники.

Синтез новых алгоритмов пока еще носит эвристический характер. Не используется математический аппарат для вскрытия модельных свойств моделируемых объектов и процессов.

В то же время детерминированных методик синтеза алгоритмов обработки информации, ориентированных на микропроцессорную реализацию в известных публикациях не обнаружено. Хотя потребность в них значительна, в том числе в связи с применением микропроцессоров в механике, мехатронике, системах автоматизации.

С учетом этого в качестве предмета исследования диссертационной работы избраны алгоритмы микропроцессорной обработки информации в интересах задач электронной кинематики, методы их создания, модификации и адаптации к конкретным объектам автоматизации.

Методами исследования являются системный анализ, моделирование геометрических объектов, аналитическая геометрия, математический анализ, исследование операций и теория принятия решений, методы вычислительной математики. Обоснование достоверности полученных алгоритмов базируется на строгом математическом анализе, на тестовом прогоне целочисленных алгоритмов на персональном компьютере в режиме эмуляции системы команд микропроцессоров на языке высокого уровня Delphi. Точностные и скоростные характеристики оценивались методами математической статистики и метрологии.

Целью исследования является разработка методологии синтеза целочисленных алгоритмов микропроцессорной обработки информации для решения задач электронной кинематики. В основу методологии положено использование методов геометрических аналогий (МГА) [32], развитых нами применительно к компьютерному моделированию кинематических узлов и систем при решении задач электронной кинематики.

Формулировка проблемы исследований. В свете вышеизложенного актуальной является разработка методологии синтеза целочисленных

алгоритмов обработки информации, адаптированных для реализации на микропроцессорах (микроконтроллерах), при решении задач электронной кинематики. При этом должна быть обеспечена высокая технико-экономическая эффективность получаемых целочисленных алгоритмов и на их основе программного обеспечения микропроцессорных систем, распределенных по объектам и узлам механических (технологических) конструкций, связанных с перемещением в пространстве, и рабочих органов (резец, схват, сварочный электрод и др.). Важная роль в обеспечении эффективности отводится использованию микропроцессоров RISC-архитектуры.

Научная новизна исследования заключается в следующем.

1) Разработаны неаналитические методы вычислений (обработки информации) для реализации на микропроцессорах RISC — архитектуры.

2) Разработаны базовые процедуры информационных технологий в целочисленной арифметике, в том числе алгоритмы цифровой интерполяции типовых кинематических траекторий.

3) Осуществлено компьютерное моделирование кинематических механизмов на базе геометрико-построительных методов начертательной геометрии.

4) Решена обратная задача для манипуляционных роботов на базе процедур в целочисленной арифметике.

Основными направлениями исследуемой проблемы являются:

1) историко-логический анализ машинной (в нашем случае, микропроцессорной) алгоритмизации;

2) исследование преимуществ и особенностей микропроцессорных архитектур (в т.ч. RISC-архитектуры);

3) определение основных операций и вычислительных методов в целочисленной арифметике;

4) разработка базовых процедур целочисленной обработки информации, в т.ч. цифровой интерполяции;

5) синтез целочисленных алгоритмов цифровой интерполяции типовых кинематических траекторий;

6) решение задач электронной кинематики средствами геометрического моделирования на микропроцессорах.

Перечисленные выше направления научных исследований определили структуру диссертации. Она содержит 4 главы (раздела) и Приложение. В первой главе произведен ретроспективный анализ микропроцессорной реализации обработки информации (алгоритмические проблемы). Указаны недостатки эвристических методов синтеза алгоритмов для микропроцессорной реализации. Обоснован переход к детерминированным методам, в т.ч. на базе методов геометрических аналогов.

Во второй главе обобщена теория цифровой интерполяции кривых, начиная от прямой и до окружности. Решен ряд проблем с реализацией на компьютере геометрико-построительных методов (пересечение двух прямых, измерение углов, проведение касательных и перпендикуляров к окружности и к прямым). Разработаны целочисленные алгоритмы ряда вспомогательных процедур обработки информации (статическое и динамическое умножение и деление меняющихся дискретных величин, деление на константу и др.).

Третья глава посвящена синтезу целочисленных алгоритмов цифровой интерполяции типовых кинематических траекторий (циклоида, эпи- и гипоциклоида, эвольвента окружности, трактриса). Для всех алгоритмов составлены их блок-схемы и эквивалентные программы их эмуляции на языке Delphi.

Аналогичное содержание и у последней четвертой главы - синтез целочисленных алгоритмов микропроцессорного моделирования кинематических систем (электронной кинематики). Среди них кривошипно-

шатунный механизм и манипуляторы (включая манипуляционный робот с пятью степенями свободы).

В Приложение вынесены программы эмуляции разработанных во второй главе целочисленных алгоритмов цифровой интерполяции на языке Delphi. А также материалы (акты, справки) по внедрению результатов научных исследований.

Классификация работы. В работе на основе выполненных автором научных исследований подготовлено математическое обеспечение целочисленных процедур микропроцессорной обработки информации для целей электронной кинематики и решена научно-техническая проблема -создана методология синтеза целочисленных алгоритмов на основе цифровой интерполяции кинематических траекторий, являющаяся основой компьютерного моделирования (имитации) механизмов, станков с ЧПУ и манипуляционных роботов при решении задач управления ими.

На защиту выносятся следующие основные науч