автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Оптимизация упругих стержневых систем на основе малых вариаций переменных проектирования

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ ; УНИВЕРСИТЕТ

- 6 ^ '9 чс

На правах рукописи УДК 624.04

БОРИСЕВИЧ Арсеннй Александрович

ОПТИМИЗАЦИЯ УПРУГИХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ МАЛЫХ ВАРИАЦИЙ ПЕРЕМЕННЫХ ПРОЕКТИРОВАНИЯ

Специальность 05.23.17 — Строительная механика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва — 1994

Работа выполнена в Белорусской государственной политехнической академии.

Официальные оппоненты:

чл.-корр. РААСН, доктор технических наук, профессор Н. Н. Шапошников;

доктор технических наук, профессор П. А. Лукаш;

доктор технических наук, профессор В. Н. Сидоров.

Ведущее предприятие: Белорусский проектный институт «Белпромпроект».

Защита диссертации состоится « ¿А* 1995 г.

в 15 час. 30 мин. на заседании специализированного Совета Д 053.11.02 в Московском государственном строительном университете по адресу: Москва, Шлюзовая набережная, д. 8, гуд. 409.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного строительного университета.

Отзывы присылать по адресу: 129337, Москва, Ярославское шоссе, 26, Ученому секретарю.

Автореферат разослан « .^Р. » 1995 г.

Ученый секретарь специализированного Совета доктор технических наук,

профессор Г. Э. Шаблинскин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Задачи повышения надежности и качества строительных объектов при рациональном использовании ресурсов являются актуальными для народного хозяйства. Одним из основных направлений исследований в области расчета сооружений, способных обеспечить снижение материалоемкости и стоимости конструкций и сооружений, является разработка и внедрение в практику методов оптимального проектирования конструкций С 0ПК>.

Проблемы ОПК относятся к одним из наиболее актуальных в строительной механике. Учет в- задачах ОПК комплекса требований,. изложенных в нормативной литературе по проектированию строительных объектов, существенно осложняет и без того непростые постановки задач оптимизации. К этому необходимо добавить и большую неопределенность условий работы строительных конструкций как с точки зрения ьнешмих воздействий, так и с позиций изменчивости характеристик расчетных схем'в процессе эксплуатации сооружения.

Оптимизация ' конструкций на основе формального использования математических методов невозможна из-за • большой размерности реальных задач проектирования, сложных алгоритмических процедур формирования и вычисления функций ограничений, специОическиХ свойств задач для различных конструкций.

На разработку ряда отмеченных проблем для решения оптимизационных задач реального проектирования и ориентироьаны исследования, результаты которых изложены о настоящей работе.

ЛйДЬ_и задачи работы - развитие теории оптимизации

многопараметрических систем в условиях реального проектирования, разработка методического и программного обеспечения как для обеих задач оптиююации, так и для конкретных объектов.

Соответственно поставленным целям исследования проводились по следующим направлениям

1. Разработка надежной о вычислительном отношении методики оптимизации стержневых систем, приемлемой для решения задач оптимизации в условиях реального проектирования.

2. Анализ чувствительности стеряневых систем к изменению

переменных проектирования (ПП),выявление свойств коэффициентов чувствительности и использование полученных результатов для поиска оптимального проекта.

3. Решение по разработанной методике тестовых и реальных задач, исследование условий оптимальности для проектных задач при многовариантном загружены» системы.

4. Разработка методики оптимизации систем при комглексном учете всех групп ПП, влияющих на критерий эффективности проекта.

5. Исследование модификации алгоритмов метода проекции градиента для условий реального проектирования с использованием декомпозиции ограничений.

6. Разработка методики оптимизации материалоемкости конструкции с учетом фактора податливости узловых соединений, оценка влияния податливости на уровне оптимального решения, разработка методики вероятностной оптимизации строительных конструкций,

Обкктон исследований, являются математические модели строительных стержневых систем.

,Ие,т.й£Ика . „исследований» в работе использованы методы строительной механики, строительных конструкций, дифференциального и интегрального исчисления, теории вероятностей и математической статистики, вычислительной математики, математического программирования.

Анализ эффективности разработанных методик оптимизации выполнялся путем числоииюе акспориментов на ПЭВМ, сопоставления полученный результатов с результатами исследований, опубликованными в научной литературе, и проектными реоениямн объектов в республике Беларусь.

..Науннуа,. »шаацу. работа составляют:

- разработанная методика оптимального проектирования «етадличесйих стержневых систем с' учетом требований нориатизиой докуизнтации;

- крздлояештй и реализованный в алгоритмах оптимизации подход к автоматизированному Формировали» ограничений задачи ОГК; ' . ,

- решай«® в рамках разработанной методики оптимизации провлеш поиска глобалыгого оптимума для объекта проект и!>ов опия посредством выбора упорядоченной

- ъ -

последовательности начальных точек;

- методика обоснования оптимальности полученного решения посредством использования проехтирукцих матриц;

- математические модели (ИМ), алгоритмы и программные комплексы для проектирования реальных объектов;

- иоди4ицированный алгоритм метода проекций градиента и его программная реализация;

- НМ приближенной • задачи оптимизации, алгоритм и программа оптимизации, позволяющие решать практические задачи ОПК с учетом декомпозиции ограничений;

- методика . вероятностно-экономической оптимизации стальных каркасов с учетом фактора податливости узлеиих соединений;

- аналитические выраяения для определения числовых характеристик концевых реакций стержней как функций случайных величин податливостей связей и полученные табличные значения их

Практическая ценность заключается в разработке методики оптимального проектирования металлических стержневых систем с учетом нормативной документации, алгоритмов и программ оптимизации сложных кногопараметрических систем в условиях реального проектирования с учетом требований к САПР строительных конструкций.

Полученные теоретические результаты, алгоритмы и разработанное программное обеспечение могут использоваться в проектно-конструкторских и научно-исследовательских

организациях, могут быть основой для создания подсистем САПР, связанных с оптимальным проектированием несущих стерхневых конструкция различного назначения.

Алробяция работы. Основные положен ил и результаты работы докладывались и обсуждались на Всесоюзных кок4-эренциях: "Теоретические основы расчета строительных конструкций" (Москва, 1970), "Проблемы оптимизации а механике твердого деформируемого тела" (Вильнюс, 1974), "Современные методы и алгоритмы расчета и проектирования строительных конструкций с использованной ЭВМ" (Таллин, 1979), "Проблемы снижения материалоемкости силозшс конструкций" (Горький, 1989), "Актуальные проблем оптимизации конструкций"

(Суз даль-Владимир,! 990); на республиканских конференциях:

- в -

"Совершенствование существующих и создание новых ресурсосберегающих технологий и оборудования в машиностроении, сварочном производстве и строительстве" (Могилев, 1991), "Экология и ресурсосбережение^Могилев, 1993); на международной научно-практической конференции "Применение персональных компьютеров в проектировании и управлении строительством" (Брест, 1992), коллоквиуме по стальным конструкциям (Будапешт, 1987), на научно-технических конф-.-рс-нциях

профессорско-преподавательского состава БГПА (1970-1993 п\).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 25 работ.

Объем паботн. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения и приложения. Общий объем работы 284 страницы, в т.ч.245 стр. основного текста,30 рисунков, приложение - 3 стр. Список литературы включает 324 наименования.

Основное содержание работы

Во введении отмечается необходимость развития теории оптимального проектирования конструкций. Указывается, что решение проблем ОПК с выходом на практический уровень значимости научных разработок приводит исследователей к Формулировке новых классов задач оптимизации, нацеленных на учет различных физических и производственных Факторов и требующих эффективных методов их решения.

Отмечены достижения в теории конечномерной оптимизации несущих конструкций и большой вклад в ее развитие ученых В. В. Баничуха, В. В. Болотина, В. П. Валуйских, А, И. Виноградова, Е. И. Герасимова, В. Н. Гордеева, И. Н. Калинина, В. А. Комарова, Л. И. Коршуна, Й. Б. Лазарева, В. П. Малкова, Д. А. Мацюлявичуса, Я. И. Олъхова, Ю. А. Радцига» В. Д. Райзера, А. Р. Ржаницнна, Н. Н. Схладнева, В. В. Трофимовича, И. С. Холопова, К. М. Хуберяна, Л. Л. Чираса, А. П. Чижаса и многих других, о также Я. Ароры, Л. Брондта, Г. Вандерплааца, 3. Васютинского, М. Доббса, И. Ольхоффа, В. Прагера» Р. Розани, К. Флери, Р. Фокса, Э. Хога, ЛШмита и других.

Приводите» характеристика диссертационной работы и краткий обзор содержания глав диссертации.

Глаза.1. Современное состояние исследований в задачах ОПК и постановки задач ОПК

В 1.1. излагаются краткий обзор исследований и направления развития методов ОПК.

Обзоры развития методов ОПК представлены в многочисленных исследованиях. К числу наиболее полных относятся обзоры 3. Васютинского и А. Брандта. М. И. Рейтмана и Г. С. Шапиро, Ф. Ниордсона и П. Педерсона, обзор американского общества инженеров-строителей. аннотированные библиографические указатели по ОПК.

В плене развития математических аспектов »Фиктивных методой решения экстремальных задач и связанных с ними алгоритмов и программ решения гш ЭВМ большая заслуга Принадлежит ученым института математики АН РБ, БГУ и БГПА.

В становлении исследований по задачам оптимизации систем в РБ огромная заслуга принадлежит проф. Л. И. Коршуну. Известны достижения в этом направлении проф. П. В. Алявдина, проф. Т. М. Пецольда, доц. С. Г. Быковского и других ученых.

. Современное состояние методов ОПК следует определять и по уровню полезности их в ресении конкретных задач, и по уровни их эффективности в разработке САПР конструкций. Особенности задач оптимизации в условиях реального проектирования вынуждают исследователей продолжать совершенствование существующих методов и алгоритмов оптимизации и поиск новых общих подходов к определенным классам задач, новых приближенных к практике проектирования постановок задач ОПК. На смену концепции формального объединения математических методой оптимизации и САПР "приходят" методы ОПК, учитывающие особенности задач ОПК. "Нельзя объять необъятное", и в этом смысле представляется будущее за разработкой» методов ОПК для объектов, обладаюсях общюстью механических свойств.

Следует отметить и другое направление разработок. Оно связано с систематизацией методов, алгоритмов и программ. Перспектива исследований в этом направлении состоит в разработке управляющих банками алгоритмов процедур, развитии сервисного обслуживания этапов содержательной формулировки задач ОПК, информационного процесса выбора алгоритма и т. д.

С позиций перспективности и полезности исследований в области ОПК представляется исключительно вакным развитие

направлений по дальнейшему совершенствованию расчетных моделей с максимальный приближением их к объективно существующим Физическим моделям, по разработке ыетодов ОПК с учетом действующей нормативной документации на проектирование объектов, представляется полезным комплексный подход к учету совместной работы оснований и сооружений, в т. ч. с учетом изменчивости в некотором интервале физико-механических свойств .грунтов и материалов конструкций. Это проблемы. Развитие теории оптимального проектирования должно бить обеспечено одновременной постановкой и решением комплекса задач в области планирования ресурсов, экономической оценки конструкций, оценки эксплуатационных затрат, последствий отказов и т. д.

Б 1.2 отмечается, что исторически порвые научные постановки задач теории ОПК возникли в . процессо поисков методов расчета на страницах научной литературы по строительной механике. Основным инструментом для реализации теоретических разработок яйляются ЭВН. В последующих параграфах главы раскрываются принимаемые в работе определения и терминология. .

В 1.3 определяются три группы ПЛ, существенно влияющие на показатели качества проекта.

Первую группу (группа "В") образуют ГШ, характеризующие размеры поперечных сечений несущих эломонтов (геометрические характеристики сечений).

Втору» группу (группа " I* ") образуют ПП, определяющие гооыэтрию всей системы.

Треть» группу (группа " И ") образуют ПП, с помощью которых осуществляется регулирование в необходимой области усилий и перемещений в системе. Из всего многообразия схем регулирования усилий в настоящей работе при решении задач оптимизации более конкретно будут учитываться те, в которых используется регулирование усилий предварительным напряжением затяжек.

В зависимости от условий, в которых рассматривается задача ОПК, и возможностей варьирования компонент указанных групп ПП, в дальнейшем учитываются различные подходы к задачам поиска оптимальных решений в условиях реального проектирования.

- 9 -

В 1.4 рассматривается иерархия подзадач ОПК.

Практика проектирования металлических конструкций показывает,- что на верхней уровне иерархии задач с указанным порочном возможных изменений характеристик конструкции находятся задачи структурной оптимизации. Это наиболее сложная проблема для формализации вычислений и автоматизации проектирования , требующая проведения больших

самостоятельных исследований.

Для абсолютного большинства практических задач структура системы принимается, как правило., известной. Возможные неопределенности , в принятии решения по этому вопросу снимаются посредством вариантного проектирования.

Установление иерархии подзадач по перечисленным трем группам ПП следует рассматривать как весьма ответственную операцию, позволяющую, во-первых, определить очередность решения возникают* в оптимальном проектировании подзадач и, во-втсрих, даюгс/ю проектировщику ключ к априорной информации о влиянии каждой из указанных групп ПП на показатель качества 'системы. ':.

Пути установления иерархии могут быть различные, чаще они демонстрируются исследователями , а частично и практиками о вопросах иерархии ограничений задачи , однако, • заметим, что теоретическую дифференцированную оценку влияния кахдоП группы ПП на критерии эффективности для реальных строительных объектов в строгой Форме дать очень сложно: слишком велико влияние на конечный результат верхнего и иигиего пределов изменения ПП, ММ такого рода задач по сложности их реализации не уступят КН прямого поиска оптимальных решений.

В общем случае при возможности включения в состав ПП переменных трех групп задачу, по мнению автора, необходимо рейатъ комплексно. По мере итерационного приближения к оптимальному проекту на каядом сиге принятия решений необходимо устанавливать группу ПП, наиболее сильно влияющих на показатель качества проекта, и учитывать ото в алгоритме решения задачи. Эта стратегия поиска в дальнейшем и реализуется в настоящей работе с использованием разработанного авторам метода.

В I. 5 обсуждаются критерии оптниэльности. В большинстве

современных методов поиска оптимального проекта предполагается, что оценка качества проекта и оптимизация проводятся по одному скалярному критерию. На практике, особенно при проектировании сложных объектов, варианты проек- . тов оцениваются набором (вектором) показателей. Относительную важность подлежащих рассмотрению локальных критериев следует задавать вектором приоритетов.

При выборе оптимального варианта конструкции требуется отыскать такой проект, который принадлежал бы к допустимому множеству н об рас,ал бы в оптимум векторный критерий с учетом приоритетов критериев. Из разработанных к настоявену времени различных подходов к задачам векторной оптимизации в работе выделяется подход, основанный на получении глобального критерия посредством сверстки локальных критериев с учетом их приоритетов. ' .

С учетом большой амплитуды на настоящее время в соотношении цен на материалы показатель стоимости объекта. (конструкции) может быть характеристикой только на короткий промежуток времени. Поэтому в работ© рассматривается, как наиболее стабильный, показатель по объему конструкционного материала на изготовление объекта или его масса. Разработанная автором методика оптимизации стераневых систем не требует изменений в случае использования и глобального критерия.

В 1.6 описаны используемые в задачах ОПН ограничения. В настоящей работе учитываются все виды , ограничений для задач оптимизации строительных стержневых систем: ограничения по прочности, жесткости, • мастной и обдзй устойчивости, конструктивные. _ Разрешающие уравнения М© представляют собой ограничения-равенства.

В зависимости от возникающих Задач б ходе поиска оптимального решения предусмотрено использование различных форм записи ограничений. «

Определение напряженного состояния элементов стержневой системы в соответствии со всей» требованиями строительных нор» и правил (СНиП) производится в отдельных программных модулях, включаемых в общий программный комплекс оптимизации система.

Функциональная форма представления ограничений используется на этапе определения направления продвижения к оптимуму- lia ¡этом же этапе широко практикуется неявная

алгоритмическая форма задания ограничений, . особенно при установлении ограничений на напряжения для элементов, испытывающих изгиб в двух плоскостях.

На этапе решения уравнений МКЭ проводится масштабирование »сходных данных и переменных задачи.

В I. 7 содержатся выводи по глава, формулируются цели и направления исследований.

Раздел 1

Нэтодиха ОПК и задачи реального проектирования Глава 2. Формирование линеаризованных моделей задач ОПК

В главе излагаются существующие подходи к решению 1шогопара!!етричоских задач оптимизации с использованием аппроксипэционных зависимостей для целевой и ограничительных Функций, приводятся краткие сведения по практическим разработкам программных средств, списывашся ранние разработки автора по построению и реаени» приближенных, задач оптимизации.

■ В 2.1 излагаются сусествуюсаие подходы к формированию линеаризованных шделей ОПК.

Наиболее часто в задачах оптимизации . концепции аппроксимирования реализуются по следующим направлениям:

- построение высококачественных явных аппроксимаций для обрабатываемых в расчете ограничений;

- уменьсение числа независимых ПП путем их объединения или использование методов редукции базисного вектора ПП;

- измзнениа числа ограничений, учитываемых на каждом отеле вычислений;

- последовательное использование на одном шаге оптимизации известных программных комплексов по определению напряженно- деформированного состояния (НДС) конструкции в условиях реального проектирования и оптишэацианного модуля для уточнявши на каадон отало вычислений линеаризованной модели.

Для построения аллроксимируюяих зависимостей ( A3) применяется разложения йгунхциЯ в ряд ТЪйлора либо другие приеин, учитываете результата предварительных расчетов при заданном сочетал!!» ПП или экспериментальные зависимости. Известные матодихи вычисления коэффициентов A3 ориентированы

на описание линейных A3, полиномиальных A3, зависимостей специального вила. Следует заметить, что усложнение функций, как правило, ведет к увеличение пробных расчетов в области допустимых решений (ОДР) и при незначительном повышении точности аппроксимации не способствует существенному повышенно точности решения задачи оптимизации.

Идей, составляющие основу второго и третьего направлений, понятны, опробовались многими исследователями как в "чистом" виде, так и в варианте комбинированного их использования и достаточно подробно изложены в литературе.

Практические подходы к решению задач ОПК по четвертому направлению в полной мере отражают разработки Каганова В. Л. (программная система "Лист-1"), И.С.Холопова, В.П.Грибанова, А.Н.Попова (подсистема ЛИРА-ПСЖ) и др. К четвертому направлению относятся и ранние разработки автора,основанные на преобразовании целевой и ограничительных функция задачи ОПК к виду функций с репарабельиыми переменными и последующей кусочно-линейной аппроксимации их.

* В 2.2 излагаются метод и алгоритй решения приближенной залечи оптимизации. •

Общая задача нелинейного программирования с

сепарабельними переменными .

••'• 'j ' .■••-."-••■• X f^Xj) Bin

ПРИ Г S, =, й}Ьи 1« 1,2,...,n; (1)

г * о, d = ITH; '

посредством1 кусочно-линейной аппроксимации преобразуется к виду: • \ .

найти .-. минимум

j?» Jo \i W при условиях . <

ji« ¿о • \i «w <v{* - ■ •*} «v 1 =

» • (2) xj skio \j xkj ' i s 1'n '

Г _ '

„So V5 1. KkJ 0. k = O.r .

В последней задаче переменными являются ( индекс

" Л " соответствует номеру переменной в предыдущей задаче, индекс " Ь " определяет номер узла на оси 3 -той переменной).

Предложенный метод репения задачи ОПК является поэтапным двухшагоэым, предусматривает разделение ограничений задачи на две группы и тюследовательный учет каждой.

Первый шаг состоит в определении НДС конструкции для некоторых начальных значений ПП с использованием программных комплексов для расчета конструкций, на втором шаге решается задача по оптт-мзации этой системы в ограниченной области изменения значений переменных состояния (ПС) и искомых геометрических параметров, т. е. в окрестности точки, полученной в результате выполнения первого вага.

Процедура решения является циклической. Выход из цикла определяется ограничения ил на относительные (или абсолютна») изменения переменных

. Проведен анализ ограничений по прочности, жесткости и конструктивных и обоснована целесообразность их раздельного учета при реализации предложенной методики. Опыт проведенных расчетов показал, что применение кусочно-линейной аппроксимации к ограничениям-равенствам существенно увеличивает объем исходной матрицы, так как вначале условия задачи необходимо представить в виде сепарабельных Оункцмй. а затем следует выполнить линеаризацию в заданном интервале изменения пореионных

Кроме того, возникают затруднения с поиском опорного плана задачи, поскольку не обеспечивается строгое выполнение р&вонств.

В работе излогяна методика формирования линеаризованных ограничений второй группа, показаны вычислительные особенности назначения интервалов изменения ПП.

Для ревения приближенной задачи автором разработаны алгоритм и программа вычислений на языке ИЛ/1 для м ЕС ЭВМ.

Про грею шля реализация задачи по оптимизации системы в ограниченной области изменения ПП выполнена на основе разработанного автором модифицированного симплекс-метода с ограничениями на выбор базиса.

Программа написана в двух вариантах. Для сечений с непрерывным изменением геометрических характеристик на участие линеаризованной переменной в базис вводится не более двух смежных векторов, для сечений, соответствующих сортаменту, только один вектор.

Описаны особенности подготовки исходных данных к программе вычислений. •

В 2| 3 приведены примеры численной реализации приближенной задачи оптимизации. Для шпренгельной балки ( рис. 1 ) сеченио балки выбиралось из ряда двутавров 35Б, 40Б, 45Б, БОБ, 55Б, 60Б, 70Б, 80Б, сочение стержней шпрснгеля - из квадратных труб следующих размеров (в мм): 140x6, 125x6, 110x6, 110x5, 100x5, 90x5, 80x5, 70x4.

Расчетная схема комбинированной системы для второго примера показана на рис. 2. Нижний пояс конструкции покрытия (узлы 2-12) рассматривался как цельный, жестко соединяемый со стойками. Сечения стержней 15-16, 17-20, 21-22, 23-24 подбирались по конструктивным соображениям. Сечения стержней верхнего пояса выбирались из неравнобоких уголков (ГОСТ 8510-72), решетки - из равнобоких уголков (ГОСТ 8509-72), низшего пояса - из нормальных двутавров (ТУ 14-2-24-72).

В 2. 4 изложены выводы по главе 2.

Отмечая достоинства изложенной методики оптимизации приближенных задач (декомпозиция ограничений; возможность определения положения узлов аппроксимируемых функций в точках, совпадающих с сортаментными характеристиками сечений элементов конструкции и др. >, следует указать и недостатки ее. Они, в основном, связаны с большой размерность» матриц коэффициентов при неизвестных в линеаризованных ограничениях и осложнения«.»] в обработке результатов оптимизации для множества загружений конструкции. • . ■

' Глава 3. Методика 0ПК в условиях реального проектирования

В 3.1 проводится обоснование стратегии поиска оптимальных стержневых систем.

Специфика конкретных задач выдвигает целый ряд проблем, требующих глубокого понимания физической сущности вопросов оптимизации. В частности, особенности НДС строительных систем

ГЪК ICOJ inMI |9M , ПЛ

Pite. t. Расчетная схема шпрэнгольной балки

Рис.2. Расчетная схема комбинированной системы

V.r

í-if-í-IL. i5U!l_

ill:

*<T»

П)

0)

<\ У V wУ

\ ' Л *

н/ i \ / * \

% J ..Л"*" . ¡У

®

Рис.3. Расчетная схема фарш

Рис. 4. Изизизнио v по оптимизационный циклам <" - число итераций)

íxl?-"* . friÜUJjljlilM .JilljJJlJllLlLa.H.lUl 4

.»ÜU=£!IMU__Í| illíilllilJllLilAilil _JÜJÍLÍ¡ilílJlJlJiJlilk

Рис.5. Схема поперечной рамы цеха

различного назначения и требования к проектированию их по нормативной документации, различие математического аппарата в методах расчета для стержневых и континуальных систем, специфика декомпозиции ограничений в задачах большой размерности вносят существенные особенности в подходы к решению таких задач. Рассуждения по этим и связанным с ними вопросам приводят к мысли о выработке единого подхода к задачам 'оптимизации для подмножества строительных конструкций. В настоящей работе в такое подмножество выделятся металлические стержневые системы.

Анализ численных методов, используемых в задачах ОПК, позволил установить, что одним из наиболее универсальных является метод линеаризации.

Одновременный учет большой совокупности разнообразных линеаризованных ограничений ведет к большим осложнениям в реализации вычислительных процедур. С учетом сущности рассматриваемых задач представляется практичным использование декомпозиции ограничений, при этом разрешающие уравнения МКЭ следует выделить в одну группу ограничений, а все остальные -в другую. Ограничения второй группы совместно с показателем качества системы должны определять направление движения к оптимальному проекту. На этом этапе решения задачи очень важное значение приобретают вопросы поиска направления движения и длины гоага. Чтобы избежать значительного отклонения нового решения, определяемого уравнениями Ь5КЭ, необходимо связать скорости изменения ПП во второй группе ограничений со скоростями изменения ПС первой группы.

П. 3.2 посвящен мотодико формирования ограничений в задачах поиска оптимальных строительных конструкций в условиях реального проектирования с обеспечением требований САПР.

Общий подход к решению задач строительного проектирования требует создания единых принципов построения алгоритмов и программ оптимального проектирования с. целью разработки системы автоматизированных расчетов. Реализация этих задач возможна с использованием дискретных расчетных моделей конструкций и численных методов расчета. За ПП приняты площади поперечных сечений элементов. Другие геометрические характеристики сечений рассматриваются как функции этих переменных, задаваемые аналитически или

определяемые алгоритмически с использованием сортамента. В работе реализован алгоритмический подход к этой задаче.

Практические задачи ОПК требуют рассмотрения большого числа ограничений, при этом многие из них представляются усложненными неявными функциями ПП, В форме классической НН оптимизации эти ограничения учесть невозможно.

Для решения проблемы полного описания и учета требований нормативных документов предложено двухст'адийное рассмотрение расчетной схемы: на первом этапе оптимизации используется понятие идеализированной расчетной схемы, на втором - схемы, для которой учитываются условия реального проектирования.

Для идеализированной конструкции функции ограничений напряжений, матрица кесткости и другие величины получаются с помощью основных уравнений строительной механики. На этом уровне ММ задачи записываются с помощью ПП и ПС конструкции и представляется так:

найти минимум *0( В ) ■

при наличии следующих ограничений: '

• й^ - о-( г ) £ о, ^ » По г

г й • г - т « о , К « 17» ! (3)

8 ^ 2 1д - И I * о, х « 17Р 1

в^ * в4 з в^ , 1 = 17й

Параметры в, р, и устанавливают число ПП , число ограничений в форме неравенств и число ограничений-равенств.

С целью разработки рациональной методики численного поиска направления продвнкения к оптимальному плану задачи использован анализ чувствительности конструкции. Выравения для вариации целевой функции и Функций 01*рйничений-неразенств ч^ получены в виде

«V В- 2° > = < - М1 • Ц-. % > ¿В . 1] ■ ¿В. (5)

В 3. 3 сформулирована 104 оптимизации по методу локальных линеаризованных областей (ЛЛО) и алгоритм ее реализации.

' Зависимости для линейных приближений целевой и ограничительных функций после перехода к конечно малым значениям ГШ позволяет сформулировать для локальной области пространства ПП задачу поиска направления движения из точки (B.Z) к оптимальной точке в отом объеме как задачу линейного программирования (ЛП). Запишем ее так:

найти минимум - v *0<В(о>) » Д В

при наличии ограничений

If « д в, s а « д «j(B<0>>. ¿»ЦТ . (6)

I z li * t Vl ' .

Д в S а * Д <B(o>> . i=i7ii .

Приняты обозначения:

- запас (резерв) no J - тому ограничению, определяемый как разность между нормативным ( или расчетным )

значением некоторой величины и значением отой ' же величины

о трчке <В<о>,*<0>>;

в -число ограничений-неравенств по прочности и жесткости;

- запас по 1 - тому конструктивному

ограничению, опродолааяцй как разность между значением ПП в

точке (В(о>> н кинималъкым значением отой переменной; п - число конструктивных ограничений;

- вектор прнраще*аай ПП; а - вектор коэФХицгзшгов, определяющий длзш? линеаризованного участка по каждому ограничению. В частшгэ случае для ссо:<"ограничений пожат беть. принято ° = coast.

Вектор. °> относится к управляющая пара&атраа алгоритма вычксленгЛ.

Продлохтишя ИМ пригодна для любой стеркнеаоЯ смстеш. В общей алгоритма (А1) оптимизации с нспользозгшием локальная линеаризованных областей (ЛД)> предусгштргиаатся вкпог.нет:э елгдукадх действий. '

1. Заданно начальных значднлй ПП.

Те» кок но последующих циклах алгоритма выбирается скорректированная начальная точка, то вначале следует обратить юшгао на принятие значений ПП заведомо больших. чем

оптииальиае.

2.Определение для заданных значении ПП, необходимых для расчета геометрических характеристик сечений элементов.

3. Формирование'матрицы жесткости системы.

4.Расчет систокн на заданное число загрунений.

5.Формирование ограничений задачи для идеализированной конструкции.

6.Расчет кзкдого элемента конструкции по действующим

СНиП.

7. Определение ксгтюиснт вектора запасов по каадому ограничению и корректировка линеаризованных ограничений по напряжениям.

0.Формирование патриц ^ , .

9. Вычисление натрицы коэффициентов чувствительности.

10.Решение задач ЛП и определение для всех загружений воктора ¿В•

11. Проверка условий на окончание итерационного процесса.

12. Вычисление координат новой точки и переход к п. 2.

• В 3.4 изложены особенности вычислительных процедур к алгоритму А1, показано реиение задачи формирования унифицированных групп элементов в концепции общей постановки задачи оптимизации ; отмечены особенности перехода от дискретных значений ПП к кусочно непрерывному представлению их; приведена схччэ уточнения напряжений для элементов идеализированной конструкции с учетом требований СНиП; показано вычисление ¿Ь/<?Ъ ; описана особенности

назначения н изменения в ходе вычислительного процесса управляющих парлнетров: а - вектор, определяющий форму локальной области; ея - константа, определяемая минимальное приращение по каждой ПП; «к1 - парамотр. определяющий переход ограничений но напряжения« в подмножество активных; «к2 параметр, определяема переход ограничений по перемещениям в подмножество активных.

В 3.5 приведены тестовые примеры оптимизации ферм, демонстрируются особенности поиска и результаты расчетов для разных значений управляющих параметров.

В 3. С исслодуйтся характерные свойства коэффициентов чувствительности в задаче СПК. Производные определяют

качественное и количественное поведение функции 1 -го

ограничен!«) при изменении Л -й переменной. С использованием этих свойств в последующем проводится конструирование начальных точек и обоснование оптимальности полученных решений.

В 3.7 на конкретных примерах проводится численный анализ оптимальных решений. Для решения проблемы, поиска глобального минимума с использованием предложенной методики ЛЛО сначала демонстрируется реализация процедуры перебора начальных (пробных) точек и даются рекомендации по выбору их применительно к разработанному алгоритму.

Введено понятие устойчивости оптимального решения. Рассмотрены принципы оптимальности с точки зрения задач принятия решений. Отмечено, что абсолютное большинство задач ОПК сводится к поиску /'почти" оптимальных ( * -оптимальных ) планов. 1

П. 3.8 посвящен вопросам устойчивости оптимального решения. Чувствительность функции цеди к изменению вектора ' запасов в ограничениях задачи по прочности и жесткости в локальной области предлагается оценивать с помощью оптимального решения двойственной задачи ЛП.

В 3.9 изложены .особенности задач по поиску оптимальной геометрии стержневых систем и проведен анализ опубликованных исследований. . Установлено» что задачи поиска оптимальной системы с включением в число варьируемых ПП параметров внешнего и внутреннего уровня., сформулированные в виде задач математического программирования (Ш), характеризуются явной нелинейность» зависимостей между ПС и ГШ, невыпуклостью целевое и ограничительных функций.

В 3.10 предлагается методика решения отой проблемы по методу ЛЛО. Алгоритм поиска оптимальной конструкции с учетом переменных " В " и 7 1" представляется (укрупненно) на одном ваге так. •

1 (к) Ск)

1. Статический расчет система в точке (1. ,В ).

2. При фиксированных значениях Ь^* выполняется одна итерационная процедура по переменным "В", т. е. совершается

/Ь\ /Ьа 1\ ' г

переход в точку ( Ь ,В )• Вектор приращений узлов

обозначается через ¿2 , целевой функции - ДТЙ .

(к)

3. При фиксированных значениях В4 ' выполняется одна

итерационная процедура по ~Ь21,"т.е. совершается переход в ( к+1 > С к >

точку < Ь - .В4 '). Эта итерация выполняется с учетом

( к+1) ( к)

того, что перемещения узлов в точке ( Ь , В ) должны батьке больше перемещений узлов, найденных в п. 2, т.е. необходимо учесть дополнительное ограничение

% -а. = - Й"1- Ц • ы. 5 Л2.

Результатом этого шага являются значения ДЬ и .

4. После сравнения ? и устанавливаем ту группу

переменных, которая дала большее приращение целевой Функции и соответствующие ей принимаем за окончательный результат.

В приложении показан общий подход к решению проблемы ОПК с различными по Физической сути ПП.

В 3.1.1 излагается подход к проблеме выбора упорядоченной последовательности начальных точек для разработанного метода оптимизации. Процесс поиска оптимума предлагается организовать циклическим. Для каждого цикла начальная точка принимается на перпендикуляре к гиперплоскости активного ограничения, построенном в . точке оптимума предыдущего цикла. В случае нескольких активных ограничений, из коэффициентов при ПП образуется матрица,позволяющая сформировать вектор того же направления. От циклак циклу положение начальной точки приближается к границе ОДР. Описывается практическая реализация этого подхода в зависимости от требуемой точности вычислений. Для тестового примера (рис 3) изменение объема материала У по оптимизационным циклам показано на рис. 4.

В 3.12 изложена техника построения возмущенного состояния. Формирование начальной точки (исходного состояния системы для очередного цикла оптимизации) основывается на рекомендациях , П. 3.11 и свойствах коэффициентов чувствительности активных ограничений. Возмущенное состояние системы, как правило, строится без учета изменений тех компонент вектора ПП, для которых в активных ограничениях на оптимальном плане коэффициенты чувствительности отрицательны. Для условий реального проектирования техника построения возмущенного состояния показана в гл.5 и гл.6.

В 3.13 на основе материалов науч н ых статей, тезисов докладов на научно-технических конференциях и др. источников дана характеристика имеющихся в настоящее время программных разработок по оптимизации строительных конструкций и приведены сведения о реализованных в них методах оптимизации.

- 22 -

П. 3.14 содержит информацию о 'разработанных на основе предложенной методики программных комплексах по оптимизации стальных каркасов производственных зданий и шарнирно-стержневых систем с гибкими преднапряженными элементами. .

В конце главы делаются выводы об эффективности разработанной методики оптимального проектирования стержневых систем с учетом требований СНиП.

i'

Глава 4. Метод проекции градиента (МПГ)

4.1. В МПГ реализована следующая схема. По заданной точке ZjL . принадлежащей множеству

С = < 2 « Вп. | f1 < Z ) s 0 , i = ГГв f . вычисляется проекция « луча

{ г 1 г = zt - х • дг°< zt) , uo }

на С и в качестве принимается точка на этом луче,

минимизирующая f°< 2 ) по 2 « п. Для оптимальной точки 2i*'l = zi •

Описанные а литературе методики приконения МПГ к задачам оптимизации механических систем в плане постановки задачи очень далеки от условий реального проектирования. В предложенной и исследованной автором методике КПГ реализован в Форш» раздельного учета ограничений-равенств и ограничений-неравенств, что ведет к устойчивому сходящемуся процессу вычислений. Алгоритмом решения задачи предусмотрено вычисление последовательности точек, не выходящих за границы ОДР.

В настоящей работе МПГ реализован как дополнительный к основному методу оптимизации, изложенному ранее. При необходимости он может использоваться независимо от первого.

Операция Проектирования осуществляется с помощью проектирующих ыатриц : -

р'= [ В - 1/ < ЬТ Н bW L''-Н"1 3. (7)

*

'Здесь 1»*- матрица для « -активных ограничений;

6v>

»в о

Ь - матрица - строка с элементами -gg— i

И - Положительно определенная весовая матрица перемэшшх проектирования.

В 4.2 предложен вариант алгоритма КПГ, реализованного в программе оптимизации ферм. Ревение, полученное после любого

цикла по зтрму алгоритму, дает вектор ПП. принадлежащий ОДР. Алгоритм состоит в следующем.

1. После выхода с учетом всех ограничений к границе допустимой области (по программе 0DIFT2 или другой) из группы органичений задачи по прочности и по жесткости выделяются активные. В дальнейшем вычислительный процесс связан с этой группой ограничений (будем называть их «-активными ограничениями).Они образуют массив,который далее именуется L •

2. В массиве д* выделяются элементы, соответствующие активным ограничениям. Эти эле>»нты должны бить положительными. Из этих элементов образуется массив DK.SA.

3. Одновременно с фиксацией активных ограничений (п.!) определяется значение целевой функции и находится требуемое уменьшение ее на одном шаге D!CS0=fl-V. Коэффициент О задастся при пуске программы (по аналогии с а, *в»...).

4. Армируется массив козфйщиентсо целевой Функции L0 и уточняются элементы весовой матрицы переменных проектирования И. На первой итерации принимается н = В.

' 5. Вычисляются ИГО = L*• Н"*- LO, HFF = 1*• Н"*- I.

6. Каждой строке массива LT ставится в соответствие ко-кМициант (кноззггель) V. Эти коэффициенты образуют массив к. Каждому коэффициенту м соответствуют составляющие м, и

Таким образом, образуются массивы и м, той ве размерности, что и м .

Элегкпггы массивов и /Jt определяются следующие

действиями, Из IFF • м, = - UFO находится Mt , а из HFF-mb» - QXSA находится .

7. Компоненты вектора приращений ПП DDI, касательного к границе допустимой области, находятся по выражению

DB1 = И "*[ L0 + Ь • м,].

8. Скалярный шожитель г , определяюЕЩЯ длину шага, равен

„ . L0T- DDI

r----0KS6"_" •

г могко вачислятъ только на первой итерации. На последующих итерациях он принимается равным вычисленному вначале.

9. у - vt*2 • г ■ Hj. Если какая-либо компонента вектора м отрицательна, то соответствукзая строка массива L* исключается и осуществляется возврат к п. 1. Число строк в массиве Ь умэньпается. В обгзем случае, число отрицательных

компонент м может быть и больше, чем одна, тогда все они исключаются из Ьт . Возвратившись к п. 1, необходимо снова пройти все ваги до 9-го включительно. Если все коэффициенты м положительны, то следует перейти к п. 10.

10. Вектор, определяющий направление к границе допустимой области 0В2 = - Н"*• Ь • цг .

ц. Ьв = - • СВ1 + 0В2.

12. Вычисление нормирующего множителя С .

г _ ЕРА,

с " 'ЮНГ

где ДРА = РВ- И • ЬВ,

ЕР АО - константа, определяющая длину вектора ВВ ; задается в исходных данных. _____

13. Если С > 1, то 0В[М)= ОВ ^ /-—I- ■

Если С 5 1, то . ВВ<Н> = СВ4.

14. Вычисление новых значений ПП

В°"и • Вж'+ №т>.

' 15. Проверка условия на окончание работы программы пах |0В1| а * . ;

или си;'- < ов^)" з /? « .

- заданная точность вычислений.

Если условия выполнены, то вычисления заканчиваются.

16. Осуществляется возврат к головной программе и Формируются массивы к началу следующего цикла расчета.

П.4.3 посвящен численным иллюстрациям и взаимосвязи основного алгоритма оптимизации и алгоритма МЛГ. На примере 10-стержневой фермы (рис.3) продемонстрирована возможность комбинированного использования алгоритмов А1 и А2 для случая, когда исходная' точка есть первая в зоне активных ; ограничений, и для случая, когда решение приближается к * - оптимальной окрестности. Для алгоритма 42 опробована его модификация, в которой направление проекции .градиента целевой Функции определялось только касательной составляющей вектора приращения объема материала.

В 4. А изложены результаты исследований по определению элементов весовой матрицы И и величины шага п , оценено их влияние на ход оптимизационного процесса и на конечный результат.

В конце главы делаются выводы о том, что лучшей

методикой практического использования разработанного алгоритма ШГ является комбинированное применение его в сочетании с основным алгоритмом по методике ЛЛО.

Глава 5, Оптимизация поперечной рамы цеха В 5.1 отмечается, что задача поиска оптимального проекта стального каркаса (рис. 5 ) промышленного цеха решается с соблюдением требований СНиП и другой нормативной документации на проектирование по нетодике оптимизации, разработанной автором. Параметры сечений для сварного варианта надкрановой части колонн определяются из условий

равнонапряаенности (по двум осям) его, определение напряжений во всех элементах рамы организовано в соответствии с видом НДС в специально ориентированных для поставленных целей программных модулях

В 5.2 приведены исходные данные и результаты оптимизации. В исходные данные к программному комплексу оптимизации стального каркаса включается информация о расчетной схеме сиЛемн, количестве групп олеЕонтов по требованиям унификации и числе элементов в каждой из них, значения узловых нагрузок в каждом загружзнии, механических характеристиках материалов, сведения о допустимых перемещеюих узлов, координатах начальной Точки и мшшшлышх значодаях ПЛ.

Результатами оптимизации являются размеры сечений элементов рана я геометрические характеристики их. По каждому загружеиию выдается усилия . и напряжения . в . стержнях, пэреизщзшга узлов. , '

В 5. 3 изложена методика выбора начальных точек. Стратегия последовательного конструирования начальных точек для каадого.последующего цикла оптимизации по методу ЛЛО состоит в том, что каждая оптимальная точка предыдущего решения может послужить основой конструирования не более чем КО (количество групп) начальных точек последующего цикла оптимизации по выражению

вЛ?р • й1Тг + -V1 ' есл„1/>й (8)

„ „СоптЭ , . „

ь принадлежит множеству

VI V> V0

Здесь р - номер цикла оптимидаации, ^ - коэффициент чувствительности активного ограничения к изменению Л - той ПП.

Для каждого значения ь "вырабатывается" своя точка.

Если для полученной начальной точки »»*.вз,р>мх ,р-1*

то ее не следует включать в набор тех точек, которые подлежат рассмотрению как стартовые для очередного цикла, поскольку полученное в этом случае решение будет ; хуже других решений этого же уровня. Последнее замечание есть. по существу элиминирующий тест на отсев плохих начальных точек.

С целью ускорения расчета для не очень притязательных в экономическом отношении решений} можно избрать направления продвижения по дереву, начиная с его корня, при котором каждая новая точка вычисляется при минимальном * .

Соответствующая выбору начальных точек последовательность точек, определяющих постоянно улучшаюзиеся решения, для каждого из которых выполняются' физические условия оптимальности, приводит к глобальному минимуму задачи ОПК. Численный эксперимент подтверждает это предположение.

В 5.4 проводится обоснование оптимальности полученного

решения. На оптимальном плане должно быть выполнено условие

- р • уу = о ( необходимые условия . Лагранжа ), т. е. градиент

целевой функции ¿V должен быть перпендикулярен

гиперплоскости, касательной к поверхности активного

ограничения. Проекционная матрица Р вычислялась по

выражению _ . ,

. ; Р»В,- С ( С • С С , (10)

где С - матрица, строками которой являются коэффициенты

чувствительности активных ограничений.

Установлено, что на локальном оптимальном плане (физические условия оптимальности выполняются) распределение коэффициентов чувствительности активных ограничений для всех загружений системы такое, что всегда имеется возможность улучшить решение посредством изменения тех ПП, для которых > 0. Совместное использование этого свойства и необходимых Условий Лагранжа, в совокупности определяющих возможные направления улучшения показателя качества проекта, позволяет доказать условия получения глобального оптимального плана.

Рассмотрены варианты включения в С активных ограничений по всем загружениян. Число таких ограничений не превышало Н- 1 ( П - размерность пространства ПП ). Вычислительные

особенности отбора активных ограничений для формирования проекционной матрицы проанализированы. Из полученных результатов следует, что в условиях реального проектирования (соблюдение требований СНиП, требований унификации, наличие множества загружений) на оптимальном плане необходимые условия Лагранга могут но выполняться. Выполнение этих условий возможно лиеь тогда, когда для рассчитываемой по идеализированной схеме конструкции преобладающим из всех загружений будет только одно.

Проведено сравнение репэний для типового и оптимального , проектов. Расход материала о полученной оптимальном проекте кзньве, чей в типовом проекте на 17л.

В выводах по главе отмечается, что в разработанной кзтодкко оптимального проектирования комплексно учитываются все необходжаэ по СНиП 2-23-81 требования к реальному проектировали» стальных каркасов. В сочетании с методом оптимизация по ЛЯ) эффективной является предложенная методика выбора упорядоченной последовательности, начальных точек. Нспользозшвтэ разработанной методики оптимизации стальных каркасов пркзодкт к суизествеуной економии конструктивных материалов в ерданеюэд с т топни проектом того же каркаса.

Глава 6. 0гттк?зац5£» предварительно напряженных Форм '

П. 6.1 поезяцэн обзору исследований по предварительно напряженным ферман. : Теоретическим и экспериментальным исследованиям посвясетта работы ученых Е. И. Белени,

B. В. Бирвлова, ВЛ, Вахуркина, 1 В. Гайдарова, Н. Д. Худина,

C. А. 1!яьясевичз, С. Н. Клепизсоза, Я. П. Олькова, Г. Д. Попова, . Н. С. Стрелецкого, Б. А Сперанского, В. В. Тро{«мовича, И. С. Холопоза и др.

Анализ рассггэтрешшх работ позволил установить, что для расспатргааегшх конструкция отсутствует коютлекскыЛ подход к проблеме оптимизации, связанный с учетом влияния всех групп ПП, оказывающее влияние на : критерий эффективности проекта. Использовании«? нсслэдосателяш метода поиска не позволили им

"л,;.-..; ' ;

решать задачи оптимизации ферм с1 учетом всех требований нормативной документации . на , ; проектирование/ Расчет (рассматривается, как правило, одно загрухение) : таких конструкций демоистрируется с позиций метода сил. Это приводит в процессе реализации вычислительных процедур к большим сложностям в вопросах автоматизациипроцесса поиска оптимального решения. , На > решение этих проблем для преднапряженных Ферм и ориентированы проведенные автором исследования, результаты которых описываются в этой главе.

В 6.2 дается определение области осуществимых, значений усилий в затяжках..' Предложен подход к поиску ; рациональной конструкции по варианту регулирования усилий - посредством однократного ^предварительного натяжения . элементов. ; Система неравенств, ; формирующая область • . допустимых решений, записывается в'виде •'■'•■... •'.;','.'

- Н<0) - И 3 Йа> ( И(1> -' Н<1> 55 - Н<0> +Н "к.расч , к,« "к "нат "пот нк,расч+нк.«'

.'.В.-/ этом выражении ' " > контролируемое усилие

предварительного напряжения на стадии создания преднапряжения. а С Н^- П^ ) - расчетное усилие предварительного

напряжения; . й^^1-^ усилие & к -том стержне, . вызванное

единичным усилием в 1 -той затяжке. ;; Нкв - возможное

отклонение усилия в, к - том элементе от ( устанавли-

вается по рекомендации проектировщика /и фиксируется в пределах, допускающих решение задачи с этим условием; система неравенств (11) долкна быть непротиворечивой).

В €.3 изложены ММ определения оптимальных усилий преднапряжения. Совокупность ограничений задачи записывается так:, • ' ■ ■' 1 -'■.■

(И)

♦ а ат к'1 ?<!> *й> ♦ в лт й"1 р<°>

н.

нат "иат " " " * пах'

, ' ' * Н'1 ^ '<0> « С 2 3;

Здесь Н - вектор внешних узловых нагрузок

(12)

рассматриваемом нагружеши;

" ^ 'нет " вектор нагрузки, вызванный усилием в 1 -той затяжке Ннат. Это усилие следует рассматривать как сумму усилий предварительного натяжения затяжки и усилий в ней от внешней нагрузки, что соответствует, по определение В. А. Сперанского , 2-й стадии "работы конструкции".

"шах" Расчетная несущая способность элемента.

Напомним тот факт, что для оптимального решения задачи некоторые компоненты вектора Н*ат= С йнат' "нат* • • » "нет ^ могут быть равными нулю. Это будет указывать на то, что соответствующие номера затяжек не следует использовать (Фактически рекается задача частичной структурной оптимизации). Особенность расчета на этом этапе решения задачи состоит в том, что матрица жесткости конструкции определяется без учета влияния затяжек. После установления положения затяжех решение по определению усилий натяжения следует скорректировать, для чего необходимо получить уточненную т.е. с учетом влияния затяжек, матрицу П.

. • Показатель качества в рассматриваемой постановке задачи записывается в форме, определяющей достижение системой , требуемых проектировщиком механических свойств ее.

Матрица жесткости шарнирно-стержмевой системы с гибкой зятязекой формируется с учетом проскальзывания затяжки в узлах системы.

Рассмотрено применение Ш х возможным стадиям работы конструкций:

1.. На Ферму действует нагрузка от усилий предварительного наряжения затяжки.

2, На ферму действует нагрузка от усилий предварительного натяжения затяжек плюс внешняя нагрузка.-

3. Нагрузка на ферму от усилий предварительного натяжения натяжек передается ступенчато в функции от значения внешней нагрузки. Общая задача для этого случая требует установления последовательности (во времени) натяжения затяжек, величины "пат 11 Учета в каждом случае возможных внешних воздействий, т.о. результатом решения для этого случая должна быть сгримальная последовательность натяжения.

П. 6. 4 посвящен комплексному учету в задаче оптимизации ПП типа "В", "Н" и " Ь ". Первая группа ограничений (по1

прочности) в описанных ранее ММ расширяется за счет включения условий "ъы*1 "(Я) 5 В .

Это условие, естественно, включается и в алгоритм поиска оптимальной высоты системы.

Вектор 2 определяется с учетом точного выражения для матрицы жесткости системы.

В 6.5 изложены результаты исследований особенностей поиска оптимального проекта лредн&пряженной фермы.

Разработанная методика оптимизации предварительно ' напряженных ферм с гибкими затяжками реализована в программном комплексе, ориентированном на задачи реального проектирования. Процесс поиска оптимального решения автоматизирован, определение НДС фермы осуществляется МО, база данных допускает расширение номенклатуры используемых в проектировании профилой сечений.

В 6.5.1 дается описание исходной информации к проекту преднапряженной Фермы покрытия пролетом 42 м (рис. 6), установленной в одном из цехов завода 407 ГА в Минске.

• В 6.5.2 обсуждаются результаты оптимизации системы с заданными усилиями натяжения затяжек. Для проекта с заданным усилием натяжения затяжки ферма представляет собой статически определимую систему. Задача п оиска оптимальной конструкции рассматривается здесь как тест для разработанной методики поиска оптимума 8 условиях реального . проектирования. Упорядоченная последовательность начальных точек для каждого цикла оптимизации определена по методике, изложенной в главах 3 и 5. * - оптимальный план получен ни 3-м цикле оптимизации. Среди стержней, оклеченных в одну группу ПП, по каждой группо ПП находится один сторзшнь, напряжение в котором равно или незначительно меньше расчетного. Наксималыше запасы по напряжениям получены для стержней 2-3 и 0-го и оказались равными 10 МПа.

В 6.5.3 проведен анализ результатов параметрической оптимизации фермы по варианту, когда в итерационном процессе от начальной точки до оптимальной площадь сечения затяжки но менялась. Установлено, что для оптимального проекта конструкции существует определенное усилие в затяжке, иначе, усилие в затяжке не,зависит от принимаемых в исходных данных к программе вычислений начальных точек для ПП. Для каждого

i_______i l.y,.J L.....t

t. Y у Г

_I_I_I 1< чг> I

TF "

I ♦ » I Wll I

Piíc.O. Расчетная окна тлреигвльнсп фэрин (а) и схеш загружают

0 £3

« 1

« ш Щ а л

■ J щ К . Ш

F % в,®п в

ftsc.0, Расчетная окна рамп Гиг. 7. Графин «уикциП nvt<w

¡,«л

■Л». • «rtt

VJ

-te

JM

3Lr

в р.я «s м ' ô а

Рис. 9. Распредвлвшю ОПТИЗ'ЭЛЫЕ« v и соотзотстаусзих усилия

пэ И "о о зависимости 07 'J

.... ' •:'"'' - 32''- .

усилия преднапряжения, заданного на уровне начальной точки, существует единственный проект оптимальной системы.

Численно подтверждена устойчивость вычислительного процесса в постановках задач, обсуждаемых в п. 6. 5. 2 и п. 6. 5. 3.

П. 6.5. А посвящен обосновании оптимальности проекта. На базе активных ограничений оптимального плана вычислены проекционные матрицы, проекции градиента целевой функции и множители Лагранжа в * - оптимальной окрестности. Анализ значений компонент вектора проекций градиента и распределения знаков коэффициентов чувствительности по всем ^активным ограничениям позволил доказать, что полученный план задачи является оптимальный. Выявлены особенности решения в * - оптимальной окрестности.

'■..Г Раздел 2 ; "

Глава 7. Оптимизация стальных каркасов зданий \ с податливы»! узлами

В 7.1 излагаются цели и задачи исследования.

,- В настоящей работе поставлена задача - разработать и довести до практического использования методику оптимизации материалоемкости строительных конструкций с учетом фактора податливости узловых соединений, оценить влияние податливости на уровне оптимального решения, дать предложения по выработке оптимального решения, : гарантирующего ! работоспособность конструкции при наличии податливостей узловых соединений.,

В сответствии с поставленной цель» предстояло выполнить следующие исследования:

- выполнить обзор исследований о действительной работе податливых узлов и стальных каркасов;

- исследовать вопросы моделирования податливых соединений стержнями - вставками с заданны»« жесткостными характеристиками;,

- получить матрицу жесткости для стержня с податливыми концевыми соединениями в варианте, удобном для ее использования в задачах оптимизации по методике ЛЛО;

- разработать методику вероятностной оптимизации строительных конструкций;

- получить числовые характеристики концевых реакций стержня с податливыми связями при известном законе плотности

вероятности р( <5*);

- выполнить численные исследования и дать рекомендации по выбору гарантированного оптимального проекта при наличии случайного фактора ° в узловых соединениях в условиях реального проектирования.

П. 7.2 посвящен кратному обзору исследований действительной работы податливых узлов.

Приведенный обзор литературных источников показывает, что в общем случае диаграммы "усилие-перемещение" для податливого узлового соединения могут быть весьма разнообразны. Выполнение расчетов стержневых систем- с податливыми соединениями требуют представления этих диаграмм в виде кусочно-линейных зависимостей.

Составным элементом в задачах оптимизации стержневых систем с податливыми узловыми соединениями, описываемыми кусочно-линейными диаграммами "усилиа-перекеяения", является выполнение расчета этих систем при наличии линейных зависимостей М = для узлового соединения.

В 7.3 обсуждаются результаты исследований по моделированию податливых соединений стержнями-вставками с заданными жосткостными характеристиками. .Установлено, что при определенных значениях жесткостей стержней-вставок возможно появление еще на начальных итерациях отрицательных членов в ряду устойчивости, который образуют диагональные члены в преобразованном к треугольному виду определителе устойчивости. В соответствии с качественным методом анализа задач упругой устойчивости деформаций системы ото является свидетельством неустойчивости равновесия системы. Поскольку практический интерес представляет появление хотя бы одного отрицательного числа в ряду устойчивости, то здесь но обсуждаются вопросы степени неустойчивости системы. В отдельных случаях явление неустойчивости наблюдалось уже па 1-й итерации.

Предложены два-подхода к оптимизации систем, включающих в себя элементы с постоянный! зосткостннми характеристиками (ПЮО.

Суть первого состоит в тол, что' при движении к границе ОДР направление движения■ вырабатывается с учетом всех ограничения задачи.

В другом случае возмозено движение к границе ОДР только с

учетом ограничений по стержням с ГШС ' Эти ограничения рассматривается как активные. .

Принципиальное же отличие рассматриоееыой постановки задачи от постановки задачи для системы, в которой на? элементов с ПХХ, состоит в численной реализации процедуры оптимизации вдоль границы ОДР,

В 7. 4 представлены полученные автором выражения матрицы жесткости для трех типов стержней с податливыми связями (табл. I).

Использование в расчете системы .матрицы жесткости стержня с податливыми связями приводит к боло© устойчивому процессу вычислений при нахождении оптимального плана,нежели в варианте моделирования податливой связи дополнительным стержнем ■ заданной жесткости, Это естественно, а кромэ того с помощью этих матриц можно проанализировать влияние достаточно широкого спектра податливостей связей на работу конструкции, что, в конечном итоге, будет способствовать выбору оптимальных проектных разV»ров конструкции,

• В 7.5 изложены теоретические" основы вероятностной оптимизации стальных каркасов с податливыми связями.

Ропизниэ задач оптимизации строительных конструкций вероятностными методами по заданному показателю кач*к.тва предполагает анализ взаимодействия случайных Факторов на конструкции и оценку влияния их на отклонения параметров системы от ноданальных, полученных на проектной уровне при меучете ©тих явлений. |

В настоящая работе нагрузки на сооружение полагаются детерминированными, а характеристики связей рассматриваются как случайные величины.

Наличие податливостей связей приводит к случайности элементов матрицы жесткости 0 , что является причиной изменчивости элементов матрицы жесткости конструкции К. Следует отмстить, что наличие в стержневой системе хотя бы одного элемента с податливыми концевыми связями приведет к тому, что все элементы матрицы жесткости Й окажутся функционально эаэйсящими от характеристик этих связей и, следовательно, могут рассматриваться как функции случайных величин

V

V

N +

V«

V

Vi

M

+

V

N

»1

+

+

Ч|

su

V

M +

H

V

V

M

w +

•Or t

U -I

4

V

'V

N

»4*

>0

Ml .

Vs\N

Ь <s>

•V

я n I >0

si-

о

ft-IN

.V

VJ

ft 11

+

0 и

Ы

tu u

n

«1 о

mu

NVnNS

4n •

IS

n

о

Можно было бы с использованием приближенных методов

*

обращения случайных матриц получить Z ■ ■. как функцию 6 , Однако отсутствие точной входной информации по статистическим (опытным) функциям распределения Р<0 для каждого типа соединения, принимаемые в приближенном методе предпосылки (в частности, вопросы усечения степенного, ряда матрицы, отсутствие корреляционной связи между и др.) дают

основание утверждать, что при ! достаточно громоздких преобразованиях степень приближения полученных выражений для Z как Функций с. в. А будет относительно невысокой. Поэтому такое направление исследований практически неприемлемо.

Исходя из этого, более удачным представляется направление, при котором на основании заданного закона распределения с.и.° определяются числовые характеристики функций случайных величин и далее производится расчет конструкции по детерминированной схеме. Возможный разброс расчетных значений 2 и S относительно их математических ожиданий HZ, HS может быть оценен с помощью JD& . '

• Математическое ожидание величины Rjj можно определить по выражению HRij = И01к AkJ ' Л второй смешанный

центральный момент (ковариационный момокт) элементов Ry и Rre будот определяться по равенству

-ljre* AXi'Akj"V .'V

Матрица K0lk имеет тот же тип, что и 0, a Eihon -четырехмерная ковариационная матрица для О,

Элементы матрицы Q для отдельного стержня С табл. 11 представляют собой функцию с. в. 6 . Для определения их числовых характеристик может быть использована точная методика либо с достаточной для практики точностью приближенная, основанная на линеаризации функции нескольких с. в.

Для описания вероятности безотказной работы соединения, как и во многих работах по теории надежности, принят экспоненциальный закон распределения 6*.

В 7.6 проведено определение числовых характеристик концевых реакций • для стержня с податливыми узловыми соединениями.

Для всех' функций, определяющих изменение концевых реакций, решение получено по единой методике с использованием

интегральней показательной функции.

с.х . * *

й?^ I ® Д^Х)) ♦ « сс^ В^х»! . (13)

о„х

"V "I" 1 ,8 < сш+ 31(х» * ®2 5 Ск«+ ,1. (14)

«V"--г: «Л*»* 21<х> >•

(15)

ог к ' х

и1а 13 х U1.5-0.25X) е®5«:^ ВХ(Х)> - (1.5+0.25Х) о2(СМ1+

.. ' I -

♦ 31<Х)> + - 01У1Г

(16)

о2 Х X

01Г2=13 М<в-Х)о2ССм*Н1<>.» -<О+\)в0ССг1в+31(Х)> 0>-СНУ2)2.

о2-Х

(17) (18)

Приняты обозначения: г - 4Е1

, С1 - "С" '

с = -Щ-2---С '

>3 » -Ч1'>

- 1 -Хи

С = ---¿и .

"" 1/8 и•

С - /_2— ¿9 "» 1/2 р

1 в-Хи

С = / ----du

м1/3 и

Ь

При вычислениях значений. * —;— использовано разложение

а

Ь«-***« ь х.» ь х2 2 Ь ,3,3 Ь х4„4 Ь в ряд /в-гЙ8,Хп1х|| - ♦ |г|Т | - |т|Т I - £т£Т I - •

Значения коэффициентов С^«,» СВ11, СС1В и числовых

характеристик функций с. в. для стержня с податливыми связями, вычисленные по полученным выражениям, приведены в диссертации. Зависимости показаны на рис. 7.

В задачах проектирования строительных объектов полученные значения числовых характеристик концевых реакций стержня могут использоваться двояко:

1) матрица жесткости стержня с.податливыми узловыми соединениями, обладающими заданным законом распределения

содержит числовые характеристики концевых реакций, соответствующие значениям из таблицы для :.

2) значения концевых реакций определяются по выражениям в

ч

табл. I, а соответствуюсця характери'ггика 6 находится по цепочке НУ^ '•* X. •* & ' • •,

П. 7.7 содержит результаты оптимизации рамы с податливыми узловыми соединениями (рис. 8). Распределение оптимальных объемов материала и соответствующих усилий М и И для 5-1х> элемента о зависимости.от показано на рис.9.

В общем случав нельзя утверждать, что вектор ПП, для которого оптимальное значение > является максимальным из

всех возможных оптимальных ) для всого интервала

измонения 4 , будет удовлетворять ограничениям задачи .

Вектор ПП, при котором будет обеспечено гарантированное выполнение всех ограничений л , должен иметь своими компонентами Такие, которые были бы максимальными из соответствующих значений для всего ряда векторов; определяющих оптимальные >. Объяснением такому утверждению может бить известное положение о том, что в. статически неопределимых системах увеличение жесткостной характеристики какого-нибудь элемента влечет увеличение и усилия в этом элементе и некоторое уменьшение усилий в других элементах. Последовательное изменение в сторону увеличения жесткостных характеристик других элементов приведет к такому состоянию конструкции, для которого будут выполняться все ограничения задачи,

♦

В конце главы делаются выводы по практической реализации разработанной методики оптимизации материалоемкости стержневой системы с учетом фэхтора податливости узловых соединений,

В прилоюгкии излагается общий подход к задаче ОПК с различными по Физической сути ПП ( 0. h и в - модуль упругости материала ). На основе анализа линеаризованных выражений для уравнений состояния и ограничений задачи целевая Функция и ограничения представлены в форме

3 1 1в *h 1 1 гв 6Ь ÄE jT'

1 С lt* J * ™ 6h бг jT-

Программная реализация алгоритмов ОПК с учетом отмеченных групп ПП выполнена для исследовательских задач и задач реального проектирования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработана методика оптимального проектирования металлических стерэшвых систем с учетом требований нормативной документации.

¡'отод поиска оптимальных конструкций учитывает комплексный подход к проблеме оптимизации строительных конструкций с учетом влияния на критерий эффективности системы общих геометрических параметров системы, геометрических характеристик сечений ее элементов, усилий предварительного натяжения затяжек и основан на малых вариациях ПП, изменения которых определяются с учетом свойств коэффициентов чувствительности ограничения в задаче ОПК.

2. Предложенный и реализованный в алгоритмах оптимизации подход к использованию упрощенной расчетной схемы объекта и cxcioi, соответствующей наиболее полному учету действительных условий работы реального объекта, способствует учету требований С1!иП, позволяет организовать автоматизированное Формирование ограничений задачи ОПК и выбор наиболее активных из них, естественно увязывается с вопросам» формирования патрицы кесткости стер&невой системы.

Задача поиска оптимальных дискретных

сортаиентных характеристик ПП сведена к поиску ПП, меняющихся по типу непрерывных величин. Переход к сортаментным значениям организован в окрестности с -оптимального решения.

3. В рамхах разработанной методжеи ресена проблема поиска ■

глобального оптимума для объекта проектирования посредствен выбора упорядоченной последовательности начальных точек. ;

На примерах реального ; проектирования " доказана эффективность методики выбора упорядоченной последовательности начальных точек, позволявшей за небольшое число циклов . "выходов" к границе ОДР достичь, глобального оптимума.

4. Разработанная";методика оптимизации материалоемкости системы с учетом требований 01иП и другой V нормативной документации проверена на реальных примерах оптимизации поперечной рамы цеха и предварительно напряженной Ф*рмы покрытия. ■ /■"

В Ш, алгоритмах й программных комплексах, ; состав ленных для оптимизации систем названного типа, учтены, все требования для задач реального проектирования: требования СНиП, многовариантность загружений, унификация элементов и т. д..

Существенная экономия материала ,(. до 17% ) по сравнению с типовыми решениями в сочетает с автоматизированным процессом поиска оптимальной конструкции дают основание / характеризовать разработанную методику оптимизации металлических стержневых систем как прогрессивную. ;

5. На полученных оптимальных Проектах объектов , реального Проектирования выполнено обоснование оптимальности полученных решений."''": ..'.'■',•'•'

Проекционные матрицы, позволяющие найти проекции вектора градиента целевой функции на гиперплоскость, ,'■-.• задаваемую ограничением» вдоль/нормального к ; ограничению вектора, формировались на базе наиболее активных ограничений из всех загружений системы. Исследованы особенности выбора,направления продвижения к оптимальному плану с помощью проекционных матриц, образованных на произвольном числе (до (И - 1)-го, И - размерность пространства ПП) активных ограничений.

Установлено, что выполнение условий оптимальности, возможно лишь тогда, когда для рассчитываемой конструкции преобладающим будет только одно загружоние.

6. В качестве дополнительного к основному алгоритму оптимизации разработан и программно реализован модифицированный алгоритм ИПГ с учетом декомпозщиии ограничений в задаче ОПК, позволяющий существенно сократить размерность вектора учитываемых на одной итерации активных

ограничений и обеспечивающий продвижения решения задачи к оптимальному плану через . последовательность точек', не выходящих за пределы ОДР.

С пс!ющм> численных исследований для предложенного алгоритма выявлены особенности назначения компонент весовой матрицы н и величины шага п , оценено влияние их на ход оптимизационного процесса и на конечный результат.

7. Исследованы существующие подходы к формированию линеаризованных моделей ОПК.

С использованием концепций аппроксимирования разработаны алгоритм кусочно-линейной аппроксимации целевой и ограничительных функций в задаче ОПК, ММ приближенной задачи оптимизации и алгоритм ео реализации, программа оптимизации, позволяющие решать практические задачи ОПК с учетом декомпозиции ограничений. Эффективность разработанного поэтапного алгоритма проиллюстрирована на примерах практических задач.

0. Разработана методика оптимизации материалоемкости стерзшевой системы с учетом Фактора податливости узловых соединений.

Выполненный обзор современного состояния проблемы учета действительной работы узловых соединений в задачах расчета и оптимизации стержневых систем показал необходимость разработки вероятностно—экономического подхода к этой проблеме. Отсутствие точной входной информации потребовало избрать теоретический вариант решения этой проблемы.

Предложенная методика вероятностно-экономической оптимизации стержневых систем базируется на изложенной в гл. 3 методике ОПК с неподатливыми узловыми соединениями и учете вероятностной сущности податливостей связей, рассматриваемых кок случайные величины. Для описания вероятности

безотказной работы соединения, как и во многих работах по теории надежности, принят экспоненциальный закон

л*

распределения плотности вероятности 6 .

9. Получены выражения концевых реакций для стержней с податлив цел узловым соединениями. Определены по единой

методике точные аналитические выражения для определения

*

числовых характеристик концевых реакций как функций с. в. 6 и получены табличные значения их.

- 42 -

Нз призере раыной конструкции проведены численные исследования и выполнен анализ результатов оптимизации.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Борисевич А. А. Расчет оптимальных изгибаемых стержневых систем как задача математического программирования // Сб. "26 научно-техническая конференция БПИ. Материалы секции строительной механики". - Минск, 1970.- с.49-55.

2. Борисевич А. А. Некоторые вопросы расчета оптимальных конструкций с преобладающим . изгибом // Сб. "26 научно-техническая конференция БПИ. Материалы секции строительной механики. - Минск, 1970. - с. 56-58.

, 3. Борисевич А. А., Коршун ЛИ., Климова Л. Б., Смирнов В. Ф. Статический расчет оптимальных стержневых конструкций по первым двум предельним; состояниям // Аннотации докладов Всесоюзной конференция по теоретическим основам расчета строительных конструкций. - И., 1970.- 0,05 п. л.

4. Борисевич А. А. Расчет оптимальных норазрезных балок на действие постоянной и временной нагрузок // Сб. "Строительные конструкции и теория сооружений", вып. 2. - Минск, 1974.- с. 20-24.

5. Борисевич А. А. Расчет перекрестных балок минимального веса перекрытий гражданских зданий // Сб. тр. научно-технической конференции "Повышение эффективности жилишио-граждамокого строительства".- Минск, 1971. - с.18-22.

6. Борисевич А. А. Приближенное определение оптимального значения целевой функции при нелинейных ограничениях в задачах оптимизации стержневых систем // Тезисы докладов Всесотной конференции "Проблемы оптимизации в механике твердого деформируемого тела", вып. 1.- Вильнюс, 1974.- 0,05 п. л.

7. Борисевич А. А. и др. Расчет и исследование оптимальных сторжневых систем строительных конструкций на основе методов математического программирования // Аннотации научно-исследовательских и экспериментально-проектных работ по строительству и ар?итектуре, выполненных в БССР за 1975 г. -Минск, 1976.- с. 26-27.

8. Борисевич А. А. Использование кусочно-линейной аппроксимации нелинейных Функций в задачах оптимизации

-4Л -

стержневых систем // Сб. "Строительные конструкции и теория сооружений", вып. 2. - Минск, 1977. - с. 104-108.

9. Борисевич А. А. Учет ограничений-равенств в задачах оптимизации стержневых систем // Сб. "Строительные конструкции и теория сооружений", вып. Э. - Шнек, 1978,- 0,1 п. л.

10. Борисевич А. А. Поэтапная оптимизация стержневых систем с использованием кусочно-линейной аппроксимации // Материалы Всесоюзной конференции "Современные методы и алгоритмы расчета и проектирования строительных конструкций с использованием ЭВМ", тезисы докладов,- Таллин, 1979.- 0,05 п. л.

11. Борисевич А. А. Поэтапная оптимизация стержневых систем с использованием линейной аппроксимации // Сб. "Техника, технология, организация н экономика строительства. Строительная механика строительные конструкции", вып. 6. -Минск, 1980. - с. 9-18.

12. Борисевич А. А., Полякова И. В; ' Влияние податливости соединений на надежность конструкции // Тезисы докладов 28 студенческой научно-технической конференции вузов Белоруссии, Молдавии, Эстонии, Латвии, Литвы. - Минск, 1984. - с. 22.

13. Борисевич A.A. 0 расчете стержневых систем с упругоподатливыш связями // Сб. "Техника, технология, организация и экономика строительства. Строительная механика и строительные конструкции", вып. 10. - Минск, 1984.- с. 10-15.

14. Борисевич Д. А. К оценке чувствительности стержневой система // Теоретическая и прикладная механика, вып. 12. -Минск, 1985.- 0,4 п. л.

15. Борисевич A.A. Оптимизация стальных каркасов в условиях неполной информации о характере связей // Труды регионального коллоквиума по стальным конструкциям, т.1/2.-Будапешт, 1987. - с. 1/267 - 1/270.

16. Борисевич А. А. Оценка влияния податливости связей на напряженно-деформированное состояние конструкции // Сб. "Техника,, технология, организация и экономика строительства. Строительная механика и строительные конструкции".- Минск, 1988.-0,1 п. л.

17. Борисевич А. А.. Геращенко Г. А., Мурашко В. П. Оптимальное проектирование ферм с использованием анализа"

архитектуры", вып. 28. - Минск, 1992.- 0,2 п. л.

18. Борисевич А. А.. Быковский С. Г. и др. Оптимизация шарнирно-стержневых систем в условиях реального проектирования // Тезисы докладов второй Всесоюзной конференции "Проблемы снижения материалоемкости силовых конструкций".- Горький, 1989.- с. 16.

19. Борисевич А. А., Быуковский С. Г. и др. Алгоритм и программа оптимизации металлических стержневых систем с учетом общей устойчивости // Тезисы докладов 2-й Всесоюзной школы-семинара "Актуальные проблемы оптимизации конструкций".-Суздаль-Владимир, 1990. - 0,05 п. л.

20. Борисевич А. А., Геращенко Г. А. Оптимизация распределения материала в шарнирно-'ггеркневых системах // Материалы 47-й НТК БПИ. Часть 2. Огкция "Строительство и архитектура". - Минск, 1992.- с. 138.

21. Борисевич А. Л., Геращенко Г. А. Программный комплекс оптимизации варнирно-стер«новых систем // Тезисы докладов на республиканский научно-технической конференции. - Могилев,

1991.- 0,05 п. л.

22. Борисевич Л. А. Программа SIHPL3 // Аннотированный каталог учебных программных средств БГПА, вып. 1.- Минск,

1992.- с. 125.

23. Борисевич А. А , Быковский С. Г., Геращенко Г. А., Шевко В. В. Программный комплекс для оптимизации стальных каркасов производственных зданий // Тезисы докладов на международной научно-практической конференции "Применение персональных компьютеров в проектировании и управлении . строительством", Часть 1. Системы автоматизированного проектирования.- Брест, 1992. - с. 4.

24. Борисевич А. А., Быковский С. Г., Геращенко Г. А., Шевко В. В. Оптимизация предварительно напряженных ферм // Тезисы докладов республиканской научно-технической конференции "Экология и ресурсосбережение". - Могилев, 1993.- 0,05 п. л.

25. Борисевич А. А. Оптимизация стальных каркасов зданий с податливыми узлами // Архитектура и строительство Беларуси.-Минск, 1994, » 2, <5. 20-22.

¡(-JÍ5 Подписано в печать JfJá , . Формат 60 х 84 Почать офсетная. Уч. - изд. л. 2,0. Тираж 100 экз. Заказ Ъ9?> . Бесплатно.

Отпечатано на ротапринте МГСУ-