автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Оптимальное по быстродействию управление экологическими системами

На правах рукописи

ОПТИМАЛЬНОЕ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ УПРАВЛЕНИЕ ЭКОЛОГИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ.

Специальность 05.13.01. - Управление в технических

системах.

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва - 1990

Работа выполнена о Московском государственном институте электроники и математики (Технический университет).

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор В.Б.КОЛМАНОВСКИЙ

Официальные оппоненты: доктор технических наук.

профессор В.И.Горелов,, доктор технических наук, профессор Г.Е.Колосов.

Ведущее предприятие - Институт Проблем Управления РАН

Защита состоится

мин.

на заседании диссертационного Совета Д-063.68.05 Московского государственного института электроники и математики по адресу:

г.Москва, Б.Трехсвятительский пер. д. 3/12,

каф.Кибернетики.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГИЭМ.

Автореферат разослан ■ МА^СЦбС 1996г.

Ученый секретарь

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность. Несмотря на то. что человек издревне жил в тесном контакте с разнообразными экологическими системами, пристальный интерес к моделированию, изучению законов .функционирования и вопросам управления такими системами появился сравнительно недавно.

Сам термин "экология", хотя и имеет греческие корни, сконструирован в конце 18 века для нужд ботаников и применялся первоначально только по отношению к растениям. С развитием учения Дарвина (вторая половина 19 века) появляется раздел зоологии - "экология животных"; а современное понятие экологии, как науки о взаимоотношениях между различными растительными, животными и человеческими -сообществами, утвердилось несколько десятков лет назад.

Вследствие всевозрастающей жизненной необходимости экономить энергию, материалы и ресурсы основной акцент при исследовании экологических систем постепенно переместился с чистого построения моделей на задачи управления, то есть -на поиск и изучение свойств оптимального в том или ином смысле управления. При этом вопрос быстродействия моделируемой системы в условиях ограниченности средств • и ресурсов управления занимает не последнее место в этом списке. Возникшая в технических системах (например, управление полетом твердого тела) задача оптимального быстродействия находит все большее применение в таких областях как биология, медицина, производство лекарственных

препаратов, охрана окружающей среды и т.д.

Цель работы. Целью работы является построение оптимального по быстродействию управления несколькими экологическими системами с учетом ограничений на управление.

В связи с этим, были поставлены и решены следующие задачи:

- обзор ряда существующих математических моделей, описывающих поведение экологических систем в медицине, социологии, биологии с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений и систем ОДУ;

- формулировка типичных целей при управлении подобными экологическими системами и обоснование выбора задачи оптимального быстродействия;

- выбор моделей, на примере которых будут рассмотрены полученные теоретические результаты и проведено численное моделирование поведения системы;

- исследование свойств выбранной модели и формулировка ограничений на её параметры с учетом цели управления и требуемых качеств реальной системы;

- исследование вопросов существования и устойчивости нетривиального состояния равновесия указанных моделей;

- синтез оптимального по быстродействию управления в моделях типа "хищник-жертва" и "хемостат" при наличии ограничений на управление;

- вывод зависимости оптимального поведения системы от сочетания параметров задачи;

- построение типичных для данной системы траекторий и упрайгения (в том числе оптимальных) с целью наилучшего

визуального представления полученных результатов

моделирования;

- разработка для решения вышеперечисленных задач как теоретического, так и программного (для ПЭВМ) обеспечения.

Методы исследования. При решении поставленных задач применяются основные теоремы математического анализа и теории оптимального управления, в том числе принцип максимума Понтрягина и методика исследовалия точек покоя линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Для численного моделирования

использована формула Рунге-Кутта-Фельберга (6-ой степени).

. t

Программный комплекс для работы под управлением DOS написан на языке Borland С.-

Научная новизна. В диссертации проведено теоретическое исследование структуры оптимального управления для стационарной системы ОДУ второго порядка с ограниченным управлением по одной координате и интегральным критерием качества, не зависящим явно от времени и управления. Доказано, что в случае существования оптимального управления и выполнения некоторых дополнительных ограничений на правые части системы и функцию из критерия качества, во-первых, оптимальное управление имеет описанный кусочно-постоянный вид и, во-вторых, точки переключения оптимального управления располагаются в пространстве координат системы определенным образом в зависимости от параметров задачи. Основываясь на сформулированной и доказанной в диссертационной работе теореме построен синтез оптимального управления для модели типа "хищник-жертва" с внутривидовой конкуренцией хищников и

для системы типа хемостат, описыващей динаадму взаимодействия популяций микроорганизмов и гелателман веществ. Исследованы вопросы существования и устойчивости нетривиального состояния равновесия указанных «оделей. Описан вид оптимальных траекторий систем в зависимости от параметров.

Практическая ценность. В диссертационной работе рассмотрено несколько моделей экологических оклей, состоящих из двух основных популяций, где первый вид живет за счет второго или за счет ресурсов, производимых этим вторым видом. Такие системы названы системами типа "хищник -жертва", и их типичными представителями являются пары: волков и зайцев, кошек и мышей, растений - паразитов и их хозяев-кормильцев. При этом в качестве управляющих воздействий выступают охота, целенаправленная вырубка деревьев или их посадка, внесение пестицидов или удобрений. Описанию аналогичными дифференциальными уравнениями поддаются эко-системы, не имеющие строго обозначенных популяций хищников и жертв: в них два вида соперничают в борьбе за общие источники питания или среду обитания. Так ведут себя, например, ель и берёза в Подмосковных лесах, сорняки и полезные сельскохозяйственные растения.

Третья группа моделей, также нередко относимых к типу "хищник - жертва" из-за похояего вида моделирующих уравнений. - это разнообразные технологические процессы наподобие производства дрожжей или экологической очистки сточных вод, где популяции грибков, бактерий или других микроорганизмов кормятся в органической или минеральной

среде. Целью управления такими процесса является обычно или максимальный выход продукта жизнедеятельности грибков и т.д. (в случае дрожжей), и/или приведение системы в одно из положений естественного равновесия, с тем, чтобы добиться наибольшей эффективности работы при минимизации затрат на поддержание продуктивного режима. Многочисленные испытания .показали, что математическое описание изменения количества пищи в питательной среде ограниченного объема сходно с описанием размножения и гибели популяции жертв. В последнее время такие модели называют моделями хемостатного типа. ( Методы моделирования описанных систем применимы и для составления обоснованных прогнозов о результатах внешних воздействий на среду или некоторые популяции живых организмов (например. вредные выбросы Промышленных предприятий, выдача лицензий и квот На огетрел, медикаментозное лечение, особенно химиотерапия и т.й.).

Таким образом, рассмотренные в диссертационной работе экологические системы относятся к различным обяас1гйМ человеческой деятельности, а предложенный длй Н* исследования аппарат, включая и теоретический, й оригинальное программное обеспечение.. монет быть полезен при решении целого ряда задач оптимального управления.

Внедрение. Полученные в диссертации результаты использованы в Государственном НИИ моделирования И интеллектуализации сложных систбм (ГНИ ИММС) г.Санкт-Петербург, в Московском государственном институте электроники и математики (МГИЗМ): а также при создании пакета программ по теме . "Разработка ' программно-

методического комплекса по циклу учебных дисциплин "Проектирование систем управления" (НИР-И41 ПР-2: подпрограмма "Информатика" программы ГК РФ по высшему •образованию "Перспективные информационные технологии"), о чем имеется акт о внедрении.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международной конференции, посвященной 50-летию МАТИ (г.Москва, 9-12 февраля 1991г.), Втором коллоквиуме по дифференциальным уравнениям (Болгария, г.Пловдив, 19-24 августа 1991г.), Международном симпозиуме по математической теории сетей и систем (Германия, г.Регенсбург, 2-6 августа 1993г.), научном семинаре кафедры "Кибернетика" "Устойчивость и управление" (в 1390 - 1995гг.).

Публикации. Основные положения диссертации изложены в 6 публикациях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения. Объем работы - 92 страницы машинописного текста (без рисунков, списка литературы и приложения); всего 116 страниц. Библиография содернит 20 наименований, из них 9 на иностранных языках.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, ее научное и практическое значение. Описывается структура работы. Приводятся основные положения.

- Э -

выносимые на защиту.

Глава I посвящена истории вопроса и содержит обзор по наиболее близким к исследуемым в диссертации экологическим моделям; здесь кратко описаны результаты математического моделирования некоторых систем народонаселения, развития опухолевых тканей человека, взаимоотношений хищников - жертв и модель Коно.

Глава_П содержит формулировку и доказательство основной теоремы диссертации - теоремы "о разделении точек переключения оптимального управления в пространстве координат системы", а такие лемму и два следствия из теоремы ■для различных постановок задач управления.

В главе III ставится и решается задача оптимального быстродействия для системы "хищник-жертва" с внутривидовой конкуренцией среди хищников.

Модель, описывающая систему "хищник - жертва", взята в

виде:

x'(t) = [ i-y(t)-c,U, (t) ] x(t), (1) y'(t) = D[ x(t)-l-ay(t)-c2Ü2(t) ] y(t), x(0) > 0, y(0) >0.

где x(t). y(t) - численность популяции жертв и хищников соответственно в момент времени t; произведение x(t)y(t) описывает межвидовую борьбу; член ау2(t) - отвечает за внутривидовую конкуренцию среди хищников. Предполагается, что жертвы не конкурируют между собой за выживание. Функции Ui'(t). U2(t) обозначают управление: üj Ш действует на.

жертвы, а Цо (1) - на хищников. Знак "минус" перед и, (и означает допущение, что возможно непосредственное влияние только на смертность в популяции, то есть управление приводит к потере I)) Шх(0 жертв и/или 1)2 Ц)уШ хищников. Добавление животных извне запрещено. Кроме того, учитывается возможная ограниченность ресурсов:

(2) 0 < и, Ш < «,

(3) 0 < и2Ш < В.

где аир положительные константы.

Коэффициенты С1, с2 (принимающие значения 0 или 1) введены в уравнения (1) для удобства совместного рассмотрения двух случаев: когда управление действует только на жертвы (с4 •=!. сгО):

х' Ш = [ 1-у («-и! (и 1 х(«,

(4) у'Ш = М хиы-ау») ] уЦ). х(0) > 0, у(0) > 0

и когда только на хищников (с; =0, сг«=1):

х' (М = [ 1-уН) ] х(М.

(5) у' С г) = М х(1;)-1-ау(и-и2(и ] у(и. х(0) > 0, у(0) > 0.

Координаты хШ > 0, у(г) > 0 для любого конечного X и

- И -

положительных начальных положений х(0) > 0, у(0) > 0. что согласуется с физическим смыслом модели.

Системы имеют устойчивые положения равновесия, в том числе при нулевом управлении (точка й0); через Т обозначено время первого попадания системы в это равновесие.

Требуется привести системы (О и (5) из любого допустимого начального состояния в конечное положение нетривиального (ненулевого) равновесия за минимально возможное время с учетом соответствующих ограничений на управление (2). (3):

.1

(6) Дх.у.Ч)

<П Шп Т.

и

Для решения поставленной задачи используется теорема "о разделении точек переключения оптимального управления в пространстве координат системы" и техника исследования точек покоя линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

В диссертации доказано, что для обеих подсистем оптимальное по быстродействию управление кусочно - постоянно и для подсистемы (4) выше прямой х - 1 - ау - 0 оно может переключаться только со значения а на 0; ниже этой прямой управление переключается только с 0 на а; и никак иначе. Оптимальное управление Цг°р1(и в системе (5) может менять свое значение также единственным образом: с 0 на в над прямой у ' 1 и с в на 0 под прямой у » 1 в первом квадранте

фазовой плоскости.

При любом фиксированном постоянном допустимом управлении система' (1) имеет единственное положительное равновесие. Обозначим:

Е0 = (Хоо-Уоо) = ( 1 ) " равновесие неуправляемой системы (1) (когда и, Ш 3 0);

= (Хо1. Уо1) = ( 1+оУо1 > ) = С 1+а-аи1( 1-^) -^ * 1

равновесие подсистемы (4) при каком-либо постоянном допустимом управлении и

Кг = (*ог. Уог) = ( 1+ау0г+и2. 1 ) = ( 1+а+и2, 1) -

нетривиальное равновесие для (5) при Щ Ш^ог^. Пусть запись К'(х0,у0) означает любую из этих трех точек.

Очевидно, что вид линии переключения оптимального управления в обеих подсистемах зависит от сочетания характеров кусков оптимальной траектории, состоящей из неуправляемых траекторий и траекторий с постоянным граничным (максимально допустимым) управлением. Поэтому так важно соотношение характеров точек К0 и ^ и Я2. Подбором управления и, (I) и ограничений, накладываемых на а и Ь дополнительно к постановке задачи, можно получить следующие сочетания равновесий '

- Ло + Н,: узел + узел, узел + фокус, фокус + узел, фокус + фокус;

- По + К2: узел + узел, узел + фокус, фокус + фокус. Причем точка В,'- узел при

О < и, < 1,

и ) 4( 1+0(1-11)) )/( ^ (1-и4) ). а > О

(7) или

.1

1»1 > 1.

а * 1/( 0,-1 ). Ь > 0.

В случае фокуса для подсистемы (4) необходимо выполнение условий

О < ^ < 1,

(8) Ъ < 4( 1+а(1-0,) )/( (^(ЬО,) ). а > 0.

Для системы (5) точка Яг - фокус при а > 0.

(9) Ь < 4( 1+а+и2 )/а2,

и2 > О

и узел, если

а > 0.

(30) Ь > 4( 1 +а+и2 )/а2.

и2 > 0.

Условия (7)-(10) выражают параметр Ь через а. но при численном моделировании монет потребоваться обратная зависимость. Поэтому такие формулы также приводятся в диссертационной работе.

При аналитическом исследовании модели сделано несколько предположений о характере оптимальных траекторий и линии переключения оптимального управления, которые полностью подтвердились в результате численного моделирования поведения системы.

Уравнений (4). (5) интегрировались с помощью пакета оригинальных программ для персонального компьютера. Чтобы получить линии переключения оптимального управления, систему уравнений рассчитываем от положения равновесия ^ неуправляемой системы в обратном времени с заданием различных начальных (конечных - в прямом времени) значений координат сопряженной системы с учетом следующих фактов:

а) привести данную систему в положение равновесия И0 за конечное время можно только по управляемой траектории. Поэтому значение управления в момент начала счета должно быть не нулевым.

б) как только знак соответствующей сопряженной переменной (с^ для первой системы и с2 Для второй) меняется.

уточняем точку ее перехода через нуль и интегрируем систему далее, поменяв управление. согласно приводимым. в диссертационной работе формулам.

Накопив достаточное количество отдельных оптимальных траектория с точками переключения оптимального управления, объединяем нх в единый график.

Таким путем было получено, что если й0 - фокус, то всегда существует хотя бы одна точка переключения, причем в зависимости от области начала движения, параметров а. Ь и верхних границ управлений а, р число точек переключения может быть равно строго одной, двум, трем и так далее. Иными словами, если полевение равновесия неуправляемой системы (1)' имеет характер фокуса, то существует допустимое управление, переводящее эту систему за конечное время из любого начального полозения ( в первом квадранте) в точку покоя.

Если Во - узел, то определяется область начальных значений координат системы, при движении из -которой полозение равновесия недостижимо за конечное время ни при каком управлении. Вне этой области оптимальное управление существует.

В главе IV рассматривается задача оптимального по быстродействии управления хемостатом.

Модель открытой системы, где ограниченная пища потребляется развивающейся популяцией микроорганизмов при наличии'бактерий, разлагающих мертвый органический материал в минеральные компоненты, после замены переменных приведена к виду:

x (t) = Р + U(t) - D(x) y(t) + a y(t). (11) y' (t) = y (t) [ -b + D(x) ]. t > 0.

Здесь x(t). y(t) - концентрация питательной массы и микроорганизмов. соответственно. в момент времени t; константа а: 0 < а < 1. описывает какая часть умерших микроорганизмов усваивается в виде пищи живыми; константа Ъ: О < Ь (. 1. отражает насколько рождаемость микроорганизмов превышает их смертность; функция D(x) характеризует процесс потребления пищи. Возьмем D(x) - х/( х + Q ), где постоянная Q > 0. Такой вид функции потребления согласуется с налагаемыми из физического смысла ограничениями и приемлем с точки зрения моделирования поведения реальных систем. Величина t Р + U(t) ], Р > 0, - уровень подачи в хемостат питательной смеси в момент.времени t. а функция управления U(t) удовлетворяет ограничениям: gt ( 0(t) < gz, где gi<0. Igi I < P. & > 0.

Требуется перевести систему (11) из любого допустимого начального состояния в состояние ее строго положительного равновесия Rq (то есть с положительными координатами). соответствующего значению U(t)*D, за минимально возможное время. Обозначим Т - момент первого достижения системой (11) равновесного при U(t)-0 состояния. Функционал качества запишем в виде

(12) Лх.у.Ш =

<п -» т1п т. < и(г) <

и

Отметим, что при сделанных предположениях решение системы (11) положительно при любых конечных I для произвольных начальных условий х(0) = х„ >0, у(0) = у0 > 0. •

Выяснено, что для существования в первом квадранте пространства переменных устойчивого нетривиального положения равновесия системы с постоянным управлением (в том числе нулевым), необходимо наложить дополнительные ограничения на ее параметры: Ъ>а и.6*1.

Определен характер положений равновесия

М> Р + 1М)

Ко = V) = - . -

1 ~ ь 6 - а

при любом фиксированном допустимом управлении. Среди них наиболее важные - это равновесия при постоянных управлениях и(и = О, Ш) 3 г, и иШ 3 .Они асимптотически устойчивы и их характер определяется соотношением параметров системы: если 0 < Р+ии) <4а(г>-а)г/С1-1) )г, то .точка йо - фокус; если Р+ЩЬ) > 40 ( Ь - а )г / ( 1 - Ъ )г. то йо - узел. Иного не дано.

Применив теорему "о разделении точек переключения оптимального управления в пространстве координат системы", выяснили,' что оптимальное управление в задаче (11.) -(12)

т

кусочно-постоянно и принимает максимально и минимально допустимые значения в зависимости от знака первой сопряженной переменной:

(13) Uopt(t) =

g4 < 0, f, (t) < 0. g2 > 0. Tj (t) > 0.

Кроме того показано, что смена значения Uopt(t) с gt < 0 на Вг > 0 возможно только "левее" прямой x(t)«i, где х -абсцисса положения равновесия системы (11) при U(t) ■ 0; обратно, с g2 ) 0 на g) < 0. оптимальное управление может переключаться только "правее" этой вертикали.

Проведено аналитическое исследование оптимальных траекторий системы и линий переключения оптимального по быстродействию управления в зависимости от' параметров задачи. Так как управление релейно, оптимальные траектории состоят из чередующихся .кусков траекторий системы (И) с постоянным управлением gt или g2. Характер этих последних траекторий зависит, в свою очередь, от вида фазовых траекторий линеаризованной около равновесия системы.

Пусть Ко - положение равновесия неуправляемой. U(t)"0. системы; В2 - положение равновесия системы при управлении U(t) - g2>0, 'a R) - равновесие при U(t) = <0. Возможны четыре варианта для сочетания xapantepoB точек в тройке (Rs.Ro.K,), условно обозначенные "kkk", "kkf". "kit" и "iff", где буква к соответствует узлу, а буква f - фокусу. При этом справедливо

Замечание 1. Все. три положения равновесия имеют одинаковую абсциссу и располагаются на прямой x(t) =1=ЬО/(1-Ь). Причем, ординаты такие, что уг > у0> у,.

Замечание 2. При изменении параметров так, что точка Rt "спускается" к оси абсцисс, вариант "kkk" переходит в сочетание характеров "kkf"; другие варианты не меняются.

Замечание 3. Особая точка Rt монет иметь нулевую ординату, хотя при ' этом характер равновесия меняется на неустойчивый. В этом случае траектории системы с управлением U(t) -Si < 0 в окрестности точки Rj - прямые. Вследствие чего оптимальные траектории на участках, близких справа к Ro, "спрямляются" в том случае, когда Rj достаточно близка к оси абсцисс, (см. замечание 2).

Замечание 4. Линия переключения оптимального управления в окрестности равновесия R0 содержит куски траекторий системы с U(t) - Ёг > 0 слева и системы с U(t) г gi < О справа от прямой x(t) = ж = t> Q / ( 1 - t>). Таким образом, приход в точку Rg возможен как с положительным управлением (слева), так и с отрицательным (справа).

Замечание 5. В вариантах "kif", "kkf" и, особенно, "kkk" возможно наличие области начальных данных для фазовых координат, при движении из которой невозможно достичь равновесие R<, за конечное время.

Эти замечания подтвердились при численном моделировании оптимального поведения системы, которое проведено тем же программным комплексом, что и система "хищник-жертва". Для получения линий переключения оптимального управления система (11) интегрировалась от положения равновесия Вд в обратном

времени с заданием различных начальных (конечных - в прямом времени) значений координат сопряженной системы таким образом, чтобы движение происходило бы вправо (^ <0. и (и = g^ < 0) или влево (У, > 0. ЦЦ) с & >0) от точки К0. Как только знак Ц) меняется, уточняем точку перехода через нуль и интегрируем систему (11) далее, но уже с другим постоянным управлением. Накопив достаточное количество оптимальных траекторий с единичными точками переключения оптимального управления, делаем вывод о качественном виде всей линии переключения.

В результате проведенных исследований моано предположить, что сочетания параметров системы, приводящие к положениям равновесия типа устойчивого фокуса, есть наиболее естественные для поведения различных экологических систем, где взаимодействуют две ведущие популяции. И с математической точки зрения вариант фокусов содержит в себе более широкие возможности моделирования.

Численные эксперименты для системы хемостатного типа, описанной уравнениями (11М12), показали:

1. Оптимальное управление, отвечающее постановки задачи, существует для любого начального положения х„ > 0. у0 > 0 в случае "111".

2. Характерная линия переключения оптимального управления для "Ш" содержит куски линии переключения, совпадающие с траекторией управляемых систем при М) = в! и иШ При некотором сочетании параметров в случае трех фокусов в фазовом портрете системы наблюдаются особенности линии переключения; при этих параметрах модели вдоль

оптимальной траектории наблюдается более трех точек переключения оптимального управления.

3. При "опускании" точки ^ к оси абсцисс наблюдается изменение рисунка линии переключения справа от " прямой х(1;)-х, причем, как куска, являющегося траекторией системы При иШ <0, так и куска, несовпадающего ни с одной из траекторий (стремление его к горизонтальной асимптоте).

4. Количество ■ точек переключения оптимального управления (от момента начала движения до момента прихода в равновесие й0) зависит от начального положения (х<,, у0). ' При машинном счете получено количество точек, равное одной, двум и до пяти. Можно предположить, что если линия переключения слева от прямой х(Ъ)=л не подходит бесконечно близко к оси ординат (что наблюдается в некоторых случаях), то при удалении начала движения от положения й0, количество точек переключения будет расти.

5. При появлении "узлов" среди положений равновесия рисунок траектории становится более причудливым, но линия переключения в принципе не меняется, то есть по-прежнему содержит два куска оптимальных траекторий (слева и справа от «¡з), а также продолжающие ее вправо хвост при х -» 00 и сложную кривую при х -» 0.

В главе V содержится руководство пользователя по программному обеспечению процессов численного моделирования систем дифференциальных уравнений и синтеза оптимального управления в системах "хищник-жертва" и "хемостат".

Программный комплекс выполнен в виде ■ отдельных, самостоятельных модулей, объединенных под дружественной к

неискушенному пользователю оболочкой.• Он позволяет

а) моделировать любые траектории системы

- при произвольном допустимом .управлении

- как в прямом, так и в обратном времени,

- с любого начального положения;

б) проводить построение оптимальных траекторий и точек переключения оптимального управления в отрицательном времени от заданного Вами начального (конечного - в положительном времени) положения, при условии, что Вы знаете значение сопряженных переменных в этой точке.

Если моделировать оптимальный процесс, начиная от положения равновесия неуправляемой системы, то програйна подскажет Вам, в каких пределах должны быть значения сопряженной системы, чтобы траектория "пошла" (в обратном времени) в желаемую сторону, а также сообщит о характере особых точек при выбранных параметрах задачи. В процесса счета Вы можете сохранять результаты работы и/или создать файл инициализации (чтобы знать значения сопряженных переменных в точке, отличной от положения равновесия).

При обработке результатов счета Вы можете объединять траектории системы в одну автоматически масштабируемую картинку, запоминать ее в файл, выводить один или несколько

графиков одновременно на экран и принтер, выбирая стиль *

линий для рисования, вырезать (вычленять) из оптимальных траекторий точки переключения оптимального управления для отдельного их хранения, переименовывать файлы - и все это с подробными комментариями и рекомендациями по применению от самого программного комплекса.

Программный комплекс работает на IBM-совместимых кошыотерах, с видеоадаптером не ниже EGA, оперативной пгзэттью не менее 500 Кб и достаточном месте на диске для запоминания результатов счета и обработанных графиков.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Приложение содержит документы, подтверадающие внедрение результатов диссертационной работы.

Выводы. В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Осуществлена постановка задачи оптимального управления для стационарной системы ОДУ второго порядка с ограниченным управлением по одной координате и интегральным критерием качества, не зависящим явно от времени и управления.

2. Доказана теорема "о разделении точек переключения оптимального управления в пространстве координат-системы" для сформулированной задачи управления.

3. Базируясь на данной теореме построен синтез оптимального управления с учетом ограничений для модели типа "хищник-жертва" с внутривидовой конкуренцией хищников

4. а также для системы хемостатного типа, описывающей динамику взаимодействия популяций микроорганизмов и питательных веществ.

5. •Исследованы вопросы существования и устойчивости нетривиального состояния равновесия указанных моделей.

6. Описан качественный вид оптимальных , траекторий систем "хищник-вертва" и "хемостат" в зависимости от значений коэффициентов моделей и проведено численное

моделирование поведения систем при различных сочетаниях параметров.

7. Разработано оригинальное модульное программное обеспечение как для собственно численного интегрирования уравнений системы ОДУ и построения оптимального управления, так и для наилучшей визуализации и графического представления результатов моделирования.

Полученные результаты имеют универсальный характер и «

могут применяться для решения задач оптимального управления на широком классе моделей. Модули программного комплекса могут -использоваться не только в задачах численного моделирования, но и для графической "визуализации разнообразных функций.

Список основных публикаций автора по теме диссертации.

1. Буйволова А.Г., К вопросу об управлении системой "хищник-жертва". //АиТ. 1993. N. 4. С.26-34.

2. Буйволова А.Г.. Колмановский В.Б. "Оптимальное по быстродействию управление хемостатом.". //АиТ. 1994. N. 4. С. 41-49.

3. A.G. Buyvolova. V.B.Kolmanovskll. N. I.Koroleva. "The Time Optimal Control- of a Predator-Prey System with lntraspeclflc Struggle". The Second Colloguium on Differential Equations. Plovdiv. Bulgaria. 19-24 August 1991. World Scientific. Autumn 1992. pp. 59-71.

4,5. В.И.Калалин, В.П.Рокотов, Н.И.Мешков,

А.Г.Буйволова "Разработка программно - методического комплекса по циклу учебных дисциплин "Проектирование систем управления" (НИР - И41 ПР-2). Подпрограмма "Информатика"

програмш "Перспективные информационные технологии

Государственного комитета РФ по высшему образовании.МИЭМ, Москва. 1991, 1993.

е. A.G. Buyvolova, V. B.Kolmanovskli. "The Time Optimal Control oi a Predator-Prey System with lntraspeclflc Straggle". Books oi Abstracts International Symposium on the Mathimatical theory oi networks and system. Regensburg, Germany. 2-6 August 1993, p.76. '

Введение.

Глава I. Математическое моделирование экологических систем: история и обзор современного положения.

1.1. Модель народонаселения: от Мальтуса до наших дней.

1.2. Моделирование опухоли человека.

1.3. Модели двух сообществ: хищников и жертв.

1.4. Модель Моно.

Глава II. Теорема "о разделении точек переключения оптимального управления в пространстве координат системы".

Глава III. Оптимальное по быстродействию управление системой "хищник - жертва" с учетом внутривидовой конкуренции.

III Л. Математическая постановка задачи.

111.2. Метод решения. Точки переключения оптимального управления на фазовой плоскости.

111.3. Положения равновесия системы "хищник -жертва".

111.4. Выводы к главе III.

Глава IV. Оптимальное по времени управление хемостатом

IV.1. Введение (описание хемостата)—.

IV. 2. Математическая модель.

IV. 3. Постановка задачи.

IV. 4. Существование и устойчивость положений равновесия системы. Полные условия на параметры задачи.

IV. 5. Метод решения. Исследование оптимального управления.

IV. 6. Аналитическое исследование оптимальных траекторий системы и линий переключения оптимального по быстродействию управления в зависимости от параметров задачи.

IV.7. Численное моделирование поведения хемостата.

IV. 8. Выводы к главе IV.

Глава V. Программное обеспечение процессов численного моделирования систем дифференциальных уравнений и синтеза оптимального управления в системах типа " хищник - жертва " и хемостат. Руководство пользователя.

V. 1. Общие возможности.

V. 2. Алгоритм действий.

V. 3. Сбои в работе.

V. 4. Условия применения.

Несмотря на то, что человек издревле жил в тесном контакте с разнообразными экологическими системами, самый пристальный интерес к моделированию, изучению законов функционирования и вопросам управления такими системами появился сравнительно недавно. Вследствие всевозрастающей жизненной необходимости экономить энергию, материалы и ресурсы основной акцент при исследовании экологических систем постепенно перемещался с чистого построения моделей на задачи управления, а конкретно - на поиск и изучение свойств оптимального в том или ином смысле управления. Причем вопрос быстродействия исследуемой системы в условиях ограниченности средств и ресурсов управления занимает не последнее место. Возникшая в технических системах (например, управление полетом материального тела) задача оптимального быстродействия находит все большее применение в таких областях, как биология, медицина, производство лекарственных препаратов, экология и т.д.

Сам термин "экология", хотя и имеет греческие корни, сконструирован в конце 18 века для нужд ботаников и первоначально применялся только по отношению к растениям. С развитием популярности учения Дарвина (вторая половина 19 века) появляется раздел зоологии "экология животных"; а современное понятие экологии, как науки о взаимоотношениях между различными растительными, животными и человеческими сообществами, утвердилось несколько десятков лет назад. Хотя на основании археологических данных справедливо утверждать, что человек издревне жил во взаимодействии с разнообразными природными эко-системами, пытался понять их внутреннюю структуру, влиял на их развитие; нередко, к сожалению, с катастрофическими для себя и других последствиями. Например, известно, что необдуманное, больше для величия, чем из реальных нужд, широкое строительство оросительных каналов в Древней Вавилонии привело сначала к затяжным засухам и голоду, а затем - к значительному сокращению численности населения и упадку всего хозяйства на 12 веков. А недавние исследования донных отложений в районе Чукотки показали, что жизнь племен в этих краях столетиями была цикличной по причине варварского отношения к источникам питания -северным морским животным и моллюскам. Пример взаимодействия со знаком плюс - у всех земледельческих народов наблюдались накопление и передача из поколения в поколение сведений об изменениях погоды, сложных причинно-следственных связях при созревании урожая и т.д. По-существу, уже такую деятельность можно рассматривать как первый этап моделирования: выявление существенных факторов, составляющих систему, и поиск взаимозависимостей между ними.

Шли века. Удовлетворяя насущную потребность прокормить и защитить себя, человек научился не только более-менее точно предсказывать засухи и наводнения, холод и жару, определять лучшие сроки посевов, но и предпринимал пока еще робкие, основанные на эмпирических фактах, шаги по осознанному управлению некоторыми экологическими системами. Например, народности майя за много веков до "открытия" Америки Колумбом стали удобрять поля с кукурузой птичьим пометом, внося таким образом необходимые растениям азотные компоненты в почву. В феодальной Европе изобрели трехпольное земледелие, пары, определили наилучшую очередность смены сельскохозяйственных культур на одном поле.

Первые, известные мне, попытки формального, математического описания поведения крупной экологической системы относятся к концу 18 - началу 19 веков (см. главу I).

С тех пор наука шагнула далеко вперед как в теории, так и практике. С появлением и совершенствованием электронных вычислительных машин связан существенный прогресс в исследованиях, моделировании и практическом применении различных математических систем, в том числе систем управления. В диссертации численное исследование уравнений моделей проведено с помощью программного комплекса собственного производства, который дает возможность интегрировать системы вида х* Ш = I (хШ.иШ), где хЦ) -п-мерный действительный вектор, в прямом и обратном времени с возможным одновременным расчетом сопряженной системы с целью обеспечения минимума критерия качества. Также в диссертации выполнено теоретическое исследование структуры оптимального управления для стационарной системы ОДУ второго порядка с ограниченным управлением по одной координате и интегральным критерием качества, не зависящим явно от времени и управления. Доказано, что в случае существования оптимального управления и некоторых условиях на правые части системы и функцию качества оптимальное управление имеет кусочно-постоянный вид, и точки переключения оптимального управления располагаются в пространстве координат определенным образом, в зависимости от параметров системы. Основываясь на сформулированной и доказанной в диссертационной работе теореме "о разделении точек переключения оптимального управления в пространстве координат системы" построен синтез оптимального управления для модели типа "хищник-жертва" с внутривидовой конкуренцией хищников и для системы хемостатного типа, описывающей динамику взаимодействия популяций микроорганизмов и питательных веществ. Исследованы вопросы существования и устойчивости нетривиального состояния равновесия указанных моделей. Описан вид оптимальных траекторий систем в зависимости от параметров.

Рассмотренные и изученные в диссертационной работе экологические системы относятся к различным областям человеческой деятельности, а предложенный для их исследования алгоритм, включая теоретический аппарат и оригинальное программное обеспечение, может быть полезен при решении целого ряда задач оптимального управления.

Целью работы являлось построение оптимального по быстродействию управления некоторыми экологическими системами с учетом ограничений на управление.

В связи с этим были поставлены и решены следующие задачи:

- обзор ряда существующих математических моделей, описывающих поведение экологических систем в медицине, социологии, биологии с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений и систем ОДУ;

- формулировка типичных целей при управлении подобными экологическими системами и обоснование выбора задачи оптимального быстродействия;

- выбор моделей, на примере которых будут рассмотрены полученные теоретические результаты и проведено численное моделирование поведения системы;

- исследование свойств выбранной модели и формулировка ограничений на её параметры с учетом цели управления и требуемых качеств реальной системы;

- исследование вопросов существования и устойчивости нетривиального состояния равновесия указанных моделей;

- синтез оптимального по быстродействию управления в моделях типа "хищник-жертва" и "хемостат" при наличии ограничений на управление;

- вывод зависимости оптимального поведения системы от сочетания параметров задачи;

- построение типичных для данной системы траекторий и управления (в том числе оптимальных) с целью наилучшего визуального представления полученных результатов моделирования;

- разработка для решения вышеперечисленных задач как теоретического, так и программного (для ПЭВМ) обеспечения.

Структура и объем диссертации: диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения.