автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Синтез оптимальных по быстродействию систем управления методом малых приращений

На правах рукописи

Р Г Б (УД

г \ АИР Ш

ДЕНИСОВ Алексей Игоревич

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДОМ МАЛЫХ ПРИРАЩЕНИЙ

Специальность 05.13.01 - «Управление в технических системах».

А ВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Тула 1999

Работа выполнена на кафедре «Системы автоматического управления» в Тульском государственном университете.

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор Н.В. Фалдин.

Официальное оппоненты: доктор технических наук,

профессор B.C. Карпов;

кандидат технических наук, доцент Ю.Л. Парфенов.

Ведущая организация: ГНПП «Сплав».

Защита диссертации состоится_:_на заседании диссерт

ционного совета Д.063.47.04 Тульского государственного университета (30060 г. Тула, пр. Ленина, 92, ауд. 9-101).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государс венного университета.

Автореферат разослан_.

Ученый секретарь диссертационного совета д.т.н., профессор

яш. т - о/и и, о

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При проектировании систем автоматического управления часто возникает необходимость оптимизации системы по .тем или иным критериям исходя из специфики решаемой задачи. Особое место среди задач оптимального управления занимают задачи синтеза управления оптимального по быстродействию. Время регулирования входит в число основных характеристик систем автоматического регулирования. Для многих технических систем , уменьшение-времени регулирования, т.е. повышение быстродействия системы, имеет исключительно важное практическое значение.

Математическая теория оптимального управления возникла и сформировалась в конце 50-х годов. Особенно интенсивно она стала развиваться после того, как было сформулировано и доказано необходимое условие оптимальности управления, известное как принцип максимума Л.С. Понтрягина, появление которого повлекло за собой большое число теоретических исследований в области оптимального управления. В частности, были сформулированы и доказаны теоремы существования и единственности, теорема о числе переключений и другие, являющиеся теоретической основой решения задач оптимального управления.

Но, несмотря на обилие теоретических работ по синтезу оптимального по быстродействию управления, если оценивать приведенные в них результаты с практической точки зрения, то их, к сожалению, следует признать весьма скромными. Это объясняется серьезными затруднениями теоретического и технического порядка, которые возникают при построении й последующей реализации оптимального закона управления. Эти трудности обусловлены, прежде всего, высоким порядком дифференциальных уравнений, описывающих движение объекта, и нелинейностью реальных технических объектов. Задачей настоящей работы является преодоление указанных трудностей. Рассмотрим их более подробно.

Первая и наиболее серьезпая из этих трудностей связана с тем, что при увеличении порядка математической модели системы управления объем вычислений, необходимых для решения задачи синтеза оптимальной системы, стремительно нарастает. Известный американский ученый, крупный специалист в области оптимального управления Ричард Беллман назвал это явление «проклятием размерности». Поэтому в литературе, посвященной синтезу оптимальных по быстродействию систем автоматического управления, как правило, рассматриваются примеры синтеза систем невысокого (второго - третьего) порядка, в то время как реальные технические системы обычно имеют более высокий порядок.

Однако следует отметить, что точное решение задачи имеет скорее чисто научный, нежели прикладной интерес. Поэтому приближенное решение задачи,

выполненное с необходимой точностью, вполне удовлетворяет практически нужды. Значительное увеличение возможностей современных ЭВМ, их шир< кое внедрение в научно-исследовательскую и инженерную практику способс вуют применению численных методов для решения задач оптимального yпpaJ ления.

Анализ литературы, посвященной указанной теме, показал, что сущес вующие методы синтеза оптимальных по быстродействию систем не позволяя: успешно бороться с проблемой, порожденной высокой размерностью матсм; тической модели объекта управления.

В связи с вышеизложенным, разработка достаточно простого и надежног метода, который успешно позволяет решить задачу синтеза оптимальной по бь стродействию системы для объекта управления высокого порядка, является ш туальной задачей.

С достаточно серьезными трудностями приходится сталкиваться и на эт; пе реализации оптимальной системы. Это связано с тем, что после соответс вующих расчетов поверхность переключения (или ее часть, как будет рассма риваться ниже), как правило, задается в виде некоторого дискретного набор чисел. Это предполагает либо получение соответствующих аппроксимируют» зависимостей, либо табличное задание поверхности переключения в вщ большого массива чисел, который необходимо хранить в памяти управляющег устройства, и применение соответствующей интерполяции, выполняемой п< стоянно в ходе процесса управления. Поэтому разработка способа реализаци оптимальных систем также является актуальной задачей.

На практике часто встречаются системы, содержащие различного ро; нелинейности. К наиболее важным из них относятся нелинейности, порожде! ные различного рода ограничителями. Примером указанных ограничителей м< гут служить механические упоры, схемы отсечки тока, зоны насыщения и т.] Следует отметить, что объекты с ограничителями в теории оптимальног управления рассматривались весьма слабо. Это относится как к необходимым достаточным условиям оптимальности, так и к методам синтеза оптимально! управления для таких объектов. Исходя из сказанного, актуальными проблем; ми являются развитие теории оптимального управления объектами с огранич1 телями и разработка соответствующего метода синтеза.

На решение перечисленных выше задач и направлена настоящая работа.

Целью работы является разработка метода синтеза оптимальных по бь стродействию систем автоматического управления и решение на его основе з; дач синтеза различных систем.

На защиту выносятся:

• метод малых приращений для синтеза оптимальных по быстродействию систем позиционного управления (для случаев как неосциллирующего, так и осциллирующего объектов управления);

• метод малых приращений для синтеза оптимальных по быстродействию следящих систем управления,

• достаточные условия оптимальности для объектов с ограничителями типа «насыщение», теорема единственности и теорема о числе переключений для таких объектов;

• метод малых приращений для синтеза оптимальных по быстродействию систем для объектов с ограничителями типа «насыщение»;

• способы формирования оптимальных по быстродействию законов управления, использующие информацию, полученную с помощью метода малых приращений.

Методы исследования. Для вывода основных теоретических результатов были использованы методы математической теории оптимального управления, методы теории дифференциальных уравнений, методы линейной и нелинейной теории автоматического регулирования. При рассмотрении конкретных систем широко использовалось цифровое моделирование.

Научная новизна работа состоит в разработке метода синтеза оптимального по быстродействию управления, получившего название «метод малых приращений», который позволяет проводить синтез оптимальных систем для различных объектов как неосциллирующих, так и осциллирующих. Данный метод дает возможность преодолеть одну из наиболее серьезных проблем, возникающих при решении задач синтеза оптимальных систем - проблему, обусловленную высоким порядком объекта управления. Также в работе получены достаточные условия оптимальности по быстродействию для объектов с ограничителями в форме насыщения, сформулирована и доказана теорема о числе переключений для таких объектов. Основываясь на этих теоремах, метод малых приращений был распространен на объекты с ограничителями в форме насыщения.

Практическая ценность работы состоит в том, предложенный метод синтеза открывает широкие возможности для проектирования оптимальных по быстродействию систем управления реальными техническим^ объектами, так как он позволяет преодолеть одно из самых серьезных затруднений, порожденное высоким порядком математических моделей объектов управления. Именно это затруднение являлось основным препятствием для широкого использования оптимальных по быстродействию систем управления на практике. Данный ме-

ход позволяет решать соответствующие задачи для объектов различных классов, в том числе осциллирующих объектов (т.е. для случая невыполнения теоремы о числе переключений) и объектов с ограничителями в форме насыщения.

Результаты НИР внедрены на ГУП КБ приборостроения (г. Тула) и используются в разработке алгоритмов управления электроприводами.

Работа выполнена в рамках гранда государственного комитета РФ по высшему образованию на 1996-97 гг. по фундаментальным исследованиям в области автоматики и телемеханики, вычислительной техники, информатики, кибернетики, метрологии и связи: «Синтез оптимальных по быстродействию замкнутых систем автоматического управления».

Реализация результатов работы. Работоспособность и эффективность предложенного в работе метода подтверждена синтезом оптимальных по быстродействию позиционного пневмопривода и следящего электропривода постоянного тока, которые были промоделированы на ЭВМ, а также синтезом оптимальных по быстродействию систем для ряда модельных объектов. Методика синтеза оптимального по быстродействию следящего электропривода была также проверена экспериментально в лабораторных условиях.

Апробация работы. Основные положения диссертации и отдельные ее разделы докладывались:

• на научно-технической конференции, посвященной 40-летнему юбилею кафедры «Систем автоматического управления», г. Тула (1997 г.);

• на 6-ой международной студенческой олимпиаде по автоматическому управлению (Балтийской Олимпиаде), г. Санкт-Петербург (1998 г.);

• на 2-й международной научно-технической конференции «Управление в технических системах», г. Ковров (1998 г.);

• на 12-ой международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях», г. Великий Новгород (1999 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть печатных работ.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех разделов и заключения, изложенных на 130 страницах печатного текста, списка литературы из 79 наименований и приложения. Работа содержит 47 рисунков и 1 таблицу.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введешш проведен анализ литературы, посвященной теме исследования. Рассмотрены основные проблемы, возникающие при проектировании оптимальных систем управления. Показано, что существующие методы, синтеза оптимальных по быстродействию систем управления неприемлемы для случая высокой размерности математической модели объекта управления. На основании проведенного анализа обоснована актуальность разработки метода малых приращений для синтеза оптимальных но быстродействию систем управления.

В первом разделе работы рассматривается общая идея метода малых приращений для систем позиционного управления и приводится его основной алгоритм как для случая неосциллирующего объекта управления, так и для осциллирующего. В последнем параграфе раздела данный метод распространяется и на следящие системы.

При разработке указанного метода автор исходил из того факта, что область начальных условий реальных технических систем ограничена. Поэтому нет необходимости рассчитывать всю поверхность переключения, а достаточно рассчитать лишь ее часть, что позволяет сильно упростить решение задачи. Особенно ярко это проявляется для случая систем позиционного управления.

В позиционных системах управления осуществляется перевод системы из одной позиции в другую, т.е. из одного состояши равновесия в другое. При синтезе это можно интерпретировать (с помощью преобразования переменных) как перевод фазовой точки, лежащей на одной из координатных осей, в начало координат. Поскольку начальное положение фазовой точки строго локализовано, то при синтезе нет необходимости строить всю поверхность переключения, а достаточно ограничиться той ее частью, которая необходима для перевода фазовых точек, лежащих на указанной координатной оси. Совокупность точек фазового пространства, в которых происходит переключение управления, в этом случае задается несколькими линиями, соответствующими первому переключению, второму переключению и т.д.

Пусть движение объекта в пространстве ошибок задается уравнением Лс

-=Лх+Ви + 1>£, (1)

здесь дг - л-мерный вектор состояния системы, и - управляющий параметр, на значения которого наложено ограничение ¡Ц < /?, - постоянный входной сигнал,/!, В и О - матрицы. Начальное значение векторах полностью определяется входным сигналом я. Рассмотрим расчет указанных выше линии переключения.

Будем сначала предполагать, что объект (1) удовлетворяет теореме о числе переключений. Положим для определенности, что в оптимальном движении имеет место три переключения оптимального управления (рис. 1), здесь ц - момент окончания движения.

Пусть известна некоторая оптимальная траектория *(/) {()<!</.,). Будем называть ее опорной. Соответствующее этой траектории оптимальное управление изображено на рис. 1. Дадим входному сигналу малое приращение Это приведет к малому изменению траектории и, следовательно, к малому изменению моментов времени /2, Н и и, которые обозначим соответственно ¿¡I/, &г,

<*.!. И

• и

11 h h Ц п

Рис. 1.

Обозначим У(1) нормированную фундаментальную матрицу решений однородного линейного уравнения

Л л

Ж

т.е. Уф = е4'. Пусть, далее, 1](1) - решение неоднородного уравнения

dx

dl

■ = Ах -t- Dg

(2)

при нулевых начальных условиях.

Приращения ¿>¡7, Sl2, Sts, и ät4 могут быть найдены из уравнения äefti) + (Bu(tJ+ Dy0)&4 = О, где

Sx(t<) = 2RV(tHi)B-öt, -2RV(t<-ti)B-öh + 2RV(trt3)B-5i3 +V(trh)-Tj(ti) + + V(U-h)-n(lrti) + V(trh)-nM + 4M + VftJ-äcfO), здесь &(0) - вариация начального условия, которое однозначно определяете: вариацией 8g. Матричное равенство (2) представляет собой систему линейны алгебраических уравнений. В работе подробно излагается способ ее формиро вания. Зная моменты переключения, легко определить соответствующие точк на указанных выше линиях переключения. Последовательно наращивая вхо/ ной сигнал g путем прибавления малых вариаций нетрудно построить сам зги линии.

При применении алгоритма в процессе вычислений моментов времени 1 /г, /з и /4, могут постепенно накапливаться погрешности, для устранения коте рых рекомендуется через каждые несколько шагов обращаться к процедур уточнения, основанной на методе Ныотона. Величины ошибок Sit, St2, и г5 в методе Ньютона по-прежнему определяются из уравнения (2), если положит tj(t) 0, а слагаемое V(t4) -ik(0) заменить на слагаемоеx(t4).

Для использования алгоритма метода малых приращений, предваритслы требуется определить опорную траекторию - оптимальную траекторию, соо

ветствующую какой-либо начальной точке, принадлежащей интересующей области начальных условий, Это может быть сделано с помощью способа, в основе которого лежит все тот же метод малых приращений. Сначала с помощью принципа обращения Фельдбаума строится некоторая оптимальная траектория, а затем но описанному выше алгоритму (2) начальная точка траектории выводится на соответствующую координатную ось.

Ксли для объекта (1) не выполняется теорема о числе переключений, то алгоритм метода малых приращений следует несколько видоизменить, для чего воспользуемся принципом максимума Понтрягина, в соответствии с которым оптимальное управление имеег вид

и(0 = Н*х„1/(1)В/, здесь у/(/) - вспомогательная вектор-функция, которая определяется уравнением

1Г = (3)

Оптимальное управление полностью определяется начальным значением вектора цт.

Будем, как и выше, полагать, что известна некоторая опорная оптимальная траектория х{1), а соответствующее ему оптимальное управление имеет вид, изображенный на рис. 1. В работе показано, что для определения приращений Я, (/ = /. 2, 3, 4) и 84/(0) систему уравнений (2) необходимо дополнить соотношениями

=0,

(1?(фчг(0))Т В+(у>{г$ ВЯ3 =0' (4)

здесь И^/) - нормированная фундаментальная матрица решений однородного уравнения (3). Для уточнения результата, как и выше, можно использовать метод Ньютона.

Было установлено, что для систем позиционного управления в случае комплексных корней характеристического многочлена число переключений оптимального управления, как правило, соответствует теореме о числе переключений. Поэтому при решении практических задач обращение к алгоритму, основанному на уравнениях (2), (4), требуется лишь в исключительных случаях.

Изначально, метод малых приращений разрабатывался доя синтеза оптимальных но быстродействию систем позиционного управления. Однако в ходе работы был сделан вывод, что возможно применить указанный метол и ллу спите «1 следящих систем управления

Рассмотрим входное воздействие у„(1), представляющее собой линейную

функцию времени:

}'о(1) gl! < go, (5)

где -gi и go некоторые величины, изменяющиеся в диапазонах gi„m, <gi <ghiax, iitimm ¿go ^go mm ■ При этом уравнение движения системы в пространстве ошибок имеет вид

dx

— = Ax+Bu+rg, + r,(glt + g№)t (6)

где В' = -В. Г, и Г- матрицы-столбцы размерности п.

Пусть объект управления имеет астагизм первого порядка. Такая ситуация на практике встречается достаточно часто. Например, этим свойством обладают электроприводы и гидроприводы, которые широко используются в технике. В этом случае матрица Г/ уравнения (6) равна нулю, т.е. правая часть уравнения (6) не зависит от ge и от /. Тогда уравнение (6) будет аналог ично уравнению (1).

Проведя рассуждения, аналогичные изложенным ранее, нетрудно получить уравнение, совпадающее с уравнением (2), где <$с(!„), как и ранее, определяется с помощью У(I) и ij(t).

Далее алгоритм расчета точек переключения не отличается от описанного ранее алгоритма для систем позиционного управления. Разница заключается в том, что повторять процедуру алгоритма надо многократно, задавая вариации обоим параметрам входного сигнала gi и go. В результате применения данного алгоритма, можно получить необходимую информацию о значениях координат точек фазового пространства, в которых происходят переключения оптимального управления, соответствующего множеству дискретных значений параметров входного сигнала go и gj , принадлежащих заданным диапазонам 0 <gj <gim<ix и

go mm ¿go — go шаг-

Следу ет отметить, что для каждого из переключений рассчитанные точки лежат на некоторых 2-мерных поверхностях в «-мерном фазовом пространстве. Этот факт существенно упрощает решение задачи синтеза оптимальной следящей системы при размерности фазового пространства п > 3, так как отпадает необходимость расчета многомерной поверхности переключения. Вместо этогс рассчитываются п-1 2-мерные поверхности, являющиеся частями поверхности переключения, что значительно проще. Далее эту информацию можно использовать для построения оптимально по быстродействию закона управления ;ш> следящей системы.

Во втором разделе работы рассматриваются способы формирования оптимального по быстродействию закона управления., использующие информа-цию-о координатах точек переключения, полученную с помощью могола малы) приращении.

Рассмотрим вначале системы позиционного управления. Пусть объею управления удовлетворяет условиям теоремы о числе переключений Toi да дл)

каждого дискретного значения начального условия имеем единственную оптимальную траекторию х(1), п пространстве ошибок, которая пересекает поверхность переключения в п точках: х(и). \'(1 :),■■■. хО,,./) и х(!п) 0, которые в п-мериом фазовом пространстве однозначно определяют некоторую плоскость, уравнение её может быть записано в виде

х„ = С,XI + С 2X2 + ... + С„.1Х„.1. • (7)

Точки пересечения оптимальной траектории с поверхностью переключения являются также и точками пересечения этой траектории с плоскостью (7).

Коэффициенты С/, с2 , ... с,,.! определяются координатами точек л//;Л \~0;).....

х(1„). Очевидно, что каждому значению начального условия соответствует своя плоскость. Таким образом, коэ<|>фиписнты а, с2, ... с,,./ являются функциями от значений начальных условий, которые определяются входным сигналом

Для реализации закона управления следует найти аппроксимацию этих функций аналитическими зависимостями удобными для реализации. Как правило, удается получить достаточно простые аналитические выражения с помощью метода наименьших квадратов. Если же оказывается, что зависимости имеют слишком сложный вид, и для них трудно подобрать подходящую аппроксимацию, то возможно задать коэффициенты с/, С2 , ... с„_/ таблично, при этом следует предусмотреть соот ветствующую интерполяцию, которую необходимо выполнять в процессе управления.

Рассмотрим способ формирования оптимального управления. Будем формировать оптимальный закон управления в предположении, что плоскость (7) и оптимальная траектория пересекаются только в точках переключения. Отметим, что в большинстве случаев оно выполняется. Таким образом, плоскость (7) эквивалентна поверхности переключения в смысле расчета управляющего воздействия ятя фиксированного значения начального условия. При этом движение системы будет полностью соответствовать оптимальному по быстродействию управлению. То есть для каждой конкретной начальной точки х(0), то есть для каждого значения входного сигнала оптимальный закон управления можно записать в виде

и = Пыхи [х„ - (с,Ы-.г, + с/хо) х2 -+...+ сп.,(хв) *„/)], (8) при этом траектория движения будет оптимальной.

Кроме того, построенный таким образом закон управления обеспечивает по окончании переходного процесса скользящий режим движения, который жестко удерживает заданную конечпчю позицию.

Перейдем к рассмотрению с.т\чая, когда теорема о числе переключений не выполняется. В этом случае и оптимальном движении имеет''место более чем (п-\) переключение управления Очевидно, что, в отличие от предыдущего случая, нельзя пронести едино венную плоскость через необходимые точки - точки переключения управления и начало координат. Поэтому в законе управления вместо одной системы плоскостей вида (7), будем использовать несколько. Па-пример, имеется система фетьего порядка, которая не удовлетворяет теореме о

числе переключений. Пусть оптимальное управление для нес имеет четыре переключения. Проведем в фазовом пространстве две плоскости: одну - через па-чало координат и точки первого и второго переключений, вторую - через начало координат и точки третьего и четвертого переключений. Or момента начала движения до момента второго переключения в качестве поверхности переключения используется первая плоскость. Сразу после второго переключения в качестве поверхности переключения используется вторая плоскость. С практической точки зрения такой способ построения закона управления не отличается or предыдущего. Переход от первой плоскости ко второй можно осуществлять с помощью информации о значении выходной координаты, так как при оптимальных по быстродействию процессах она изменяется моноюнно (рис.2).

Однако, как следует из вышеизложенного, для построения закона управления с применением данного метода необходимо иметь полную информацию о значениях всех компонент фазового вектора системы. Это не всегда возможно, так как в реальных технических системах часто бывает трудно, а зачастую и вовсе невозможно, измерить с необходимой точностью все физические величины. Информацию о текущих значениях фазовых координат системы можно получить с помощью наблюдателя, но его использование существенно усложняет систему.

В каждой системе автоматического управления осуществляется измерение значения выходной величины (угол поворота выходного вала электропривода, перемещение рабочего органа и т.п.). Поэтому представляет интерес метод построения оптимального закона управления, который использовал бы только информацию о выходной координаге системы и пе требовал бы измерения остальных фазовых переменных.

При оптимальных по быстродействию процессах, как отмечалось выше, выходная величина в системах позиционного управления изменяется монотонно, перерегулирование отсутствует. Этот факт позволяет формировать оптимальное но быстродействию управление следующим образом:

u(t) = sign[(х(() - х<1,))■ (x(t) - x(lj}) ... ix(i) - x«J)]. (9)

где m - число переключений. Нсфудпо видеть, что произведение, стоящее внутри квадратных скобок выражения (9), и {меняет свой знак тогда и только if» да, когда к ходе движения выходная величина пршшмао значения, равные раесчитайным для соответствующих точек переключения управления. Рисунок 2 иллюстрирует сказанное .для случая, когда оптимальное но быстродействию

управление имеет три переключения, конечной точкой движения является начало координат.

Таким образом, закон управления (9) обеспечивает смену знака управляющего воздействия и(!) при требуемых значениях выходной величины х, а значит, в силу монотонности зависимости х({), и при требуемых значениях остальных фазовых координат.

Такой способ построения закона управления имеег очевидные достоинства, так как требуется измерение только одной выходной координаты, а не всего фагового вектора. Существенно упрощается техническая реализация системы, упрощается структура управляющего устройства, а следовательно, уменьшается стоимость системы в целом. Но данный способ построения закона управления имеет и серьезные недостатки. Во-первых, т.к. кривая графика переходного процесса по выходной координате на конечном этапе движения имеет малый наклон (рис. 2), то даже незначительные погрешности при измерении выходной координаты х(!) могут привести к значительному отклонению момента последнего переключения управления 1т от требуемого. А это, в свою очередь, снижает точность работы системы управления в целом. Однако, если в конкретном рассматриваемом случае не требуется, чтобы все фазовые координаты в конечный момент движения приняли определенные значения, а достаточно, чтобы только выходная величина имела требуемое значение, то такой способ построения закона управления вполне приемлем, так как в момент 1т выходная величина уже мало отличается от конечного значения. Во-вторых, сформированный таким способом закон управления не обеспечивает после прихода траектории в конечную точку скользящего режима, и, если не принять соответствующих мер, система уйдет из заданной точки.

1>ис. 3.

Для борьбы с этими недостатками по приходу фазового вектора в малую окрестность конечной точки слсдуст перейти к другому закону управления, который обеспечил бы удержание фазовой точки системы в заданном положении Примером такого закона унрашктшя может быть чакон, аччвегеплкчиш: струг/урной схеме системы, изображенной на рис. 3. Параметры '/', к и I( подбираются таким образом, чтобы в системе в установившемся состоянии имел

место скользящий режим движения и у(0 ~уо- Соответствующие значения параметров в конкретной ситуации определить не сложно.

Оптим;шм1ыи закон управления для следящих систем также может бить сформирован в виде (8). При этом коэффициенты с /, с2, ... с„.1 зависят 01 значений х/ и Хо- параметров входного сигнала (5). Такой способ формирования закона управления обеспечивает оптимальные по быстродействию процессы для линенонарастающих входных сигналов. Если входной сигнал имеет более сложный вид. то для построения закона управления также можно использовать такой подход. При этом процессы в системе будут достаточно близки к оптимальным.

Третий раздел работы посвящен синтезу оптимальною но быстродействию управления для объектов, имеющих в своем составе звено с ограничителем в форме насыщения.

Пусть состояние объекта в каждый момент времени I задается (номерным вектором (х, <5), принадлежащим (п+г}-мерному векторному пространству X, где д- = /.V/, хг,..., х„} соответствует линейной части объекта управления,

5= {81, ¿2_____б,} - звеньям с ограничителями. Наличие ограничителей приводи т

к тому, что область В возможных значений вектора (х, 3) оказывается ограниченной и задается неравенствами

Щ\<О;0= 1,2,...,г). (10)

Поверхности Я/ и Я/ 0 - 1. 2.....г), ограничивающие область В, задаются уравнениями х/(х.^/ - 4 ~ = ^ и &2(х>3) ~ - А " 0 соответственно.

Будем полагать, что свободное движение объекта описывается уравнениями

с!х

— =Ах + Сд, (П)

с13

-¿ = кЛ~а/>„] = 1.2.-,г, (12)

здесь А и С - постоянные матрицы соответственно пхп и пхг, и = {и:, и2.....иг} - г-

мерный вектор, задающий управление, и о, - коэффициента.

Пусть, далее, вектор и может принимать свои значения из област и <У, которая задается неравенствами

\и,[ < $ а =1,2.....г). (13)

Будем рассматривать задачу о наибыстрейшем переводе фазовой точки системы из начального положения (х",&') в конечное положение (х!,{')').

Введем обозначение

с1

1\ (х(1), Ш). и(1)) - х,(х</),Л(П). (14)

11рн движении по границе Sl области В должно выполняться условие

а

1>,(х(0. ¿'(О, н(0) = ~К1(х(1),<)(1)):: (¡¿п . $>(), V] ер. (15)

Здесь через р обозначено множество индексов / таких, что

|

если / е р. Величину 1)(х(1), 6(1), и(1)) называю! прижимающей атш. С се помощью можно установить, когда система «прижимается» к ограничителю (при ¡)(х(1), ¿>(0,11(0) > 0), а ког да сходит с него ( при ¡>/х(0.6(Г),и(1)) < 0).

Управление и,(1) будем называть приведенным, если оно выбрано таким образом, что 1'/х(1), д(1), и(1)) = 0. Ксли использовать приведенное управление, то, как свободное движение, так и движение на офаничителях можно задавать уравнениями (11), (12). Область управления, определяемую соотношениями

М < /г,, а = /, 2,..., г), Р/х, ,1 и) 0.] ер, обозначим сор. Будем считать, что при движении по границе области И управление и принимает свои значения из области (о

Введем векторы у/ = {у,, у2..... цг = {упц, Щ,< г} и у {у/0,

У1, У^} {Щ>, Ц>!,---, составим функцию Гамильтона

Н(щ х, 5, и) = щ + (ч/)у-(Ах + С$+(у2)Т(кй-а8),

здесь ки {к¡и;, к2и2,..., к^1г}, ад = (а/д), а,Зг}. Вектор у/(!) при движе

нии в открытом ядре области В определяется уравнениями

¿Ч>о

ж

с1у' бИ(у/,х,д,и)

Ж ¿к (|б)

ду/2 Ш(цг,х,ё.и)

- -Ст¥] л-ау/2,

__А д8

где ацг* = {а/ у/„+1, а2у/,.....агу/^г}.

Справедливо следующее очевидное утверждение. Если х(1), 1а < < < I-оптимальная траектория, то любой связанный кусок згой траектории, например участок траектории, определенный на отрезке I '<1<1"{ 1ц « I' ' /"• 0). также является оптимальной траекторией. Отсюда, г. частности, вытекает, что участок оптимальной траектории, целиком лежащий в открытом ядре области должен удовлетворять принципу максимума 11онфягина.

При движении по Гранине Sl области И векгор у/(1) будем задавать уравнениями

dl

dw' Л1(ш.х,8м) v- ЯЧх.й.и)

- + l^At(t)- --------

dl (k ' fk (17)

dy/2 ai(y,x,6,u) v a\(x.S.u) dt o5 ж

Вспомогательные функции fyi) определяются уравнением

д.U(y,x,S,u) . „ a',{x,6,u)

--—c/> (IgJ

Обозначим Г и /"точку входа на ограничитель и точку схода с ограничителя соответственно. Будем говорить, что в интервале / < t < I выполнено условие оптимальности на границе области И, если найдется такая ненулевая непрерывная вектор-функция y(t) и такие вспомогательные функции Я/1) (j ер), что:

1) в каждый момент времени t(£<t< t") выполняется условие максимума

/1(у(1), *(')• W, и(0) = тсюс И(Ш ЩМФ =<»; (19)

и €Л>

2) для любого j е р в каждой точке дифференцируемости л,(1):

dZii)

< о. (20)

3) выполняется условие нетривиальности, т.е. решение системы (17) вида

т>(0 - о. гг<;=2>4 -J '

где Pj - некоторое действительное число, не допускается.

В точках стыка г имеют место следующие соотношения, называемые условиями скачка.

В Щ(т+ 0) = щ,(т- ())-у/Уг+ 0) = у/(т- 0),

■уг<г+ О) = цг(т- 0) + ¿./'/j rjg ......-j .

</4i /г- 0) = (/. j с E,

Ц>„ ,/г+ 0) = 0. j с (-■>.□ (21)

где Pi - произвольные действительные числа; Е- множество индексов / соотвсч сгвуюших точкам выхода на .ограничитель Sr О - множество индексов / соответ ствующих точкам схода с ограничителя

О качестве управления можно судить по значению функционала

.)(х,и) = \с11 ^ (22)

а

которое представляет собой длительность переходного процесса. Здесь /,, - время окончания движения.

В работе доказаны следующие теоремы.

Теорема 1. (Достаточные условия оптимальности.) Пусть и(!) - кусочно-непрерывное, куспчни-.иадкое управление, переводящее фазовую точку (X, 8} сметаны (II), (12) т заданного начального положения (х°, 8') в начат коорОн-нат, т.е. с точку х'=0, 8'-0. Если каждый участок соответствующей управлению и(1) траектории (х(1), 5(1)), принадлежащий открытому ядру области В,' удовлетворяет принципу максимума Понтрягина, каждый граничный участок траектории (х(/), ¿>(1)) удовлетворяет условиям оптгшачьпости на границе, а в точках стыка выполняются условия скачка, то на траектории (х(1), 8(1)) функционал (22) Оостигает абсолютного минимума.

Теорема 2. (Теорема единственности.) Наш (х(1), 5"(1)) - траектория, удовлетворяющая условиям теоремы I, а (х (0, 8"(1)) - любая другая оптимальная траектория, то

(х(<), <Г(0) ¿"(0)-

При движении на ограничителе ¿>у- управление и/1) должно удовлетворять неравенству (15), причем конкретное значение и/1)не влияет на фазовую траекторию системы. Для упрощения закона управления будем считать, что и/1) - кусочно-постоянная функция времени, принимающая значения йу и -И1.

Теорема 3. (Теорема о числе переключений.) Если матрица А имеет только действительные собственные числа, то оптимальные по быстродействию управления ?/,, /' = 1, 2,..., г, являются кусочно-постоянными функциями, принимающими значения и , и каждое управление щ меняет знак не более п раз.

В третьем разделе работы приводятся доказательства перечисленных теорем, а также излагается метод малых приращений для случая, когда обтлкт управления имеет в своем составе ограничитель типа «насыщение».

Рассмотрим систему позиционного управления, объект управления которой при движении в открытом ядре допустимой области фазового прострлпст пл описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями:

(Ьс

^ = + ■ (23)

8 +-а8—ки, {?4 !

где х - //-мерный вектор. Л - матрица коэффициентов размериост г< ■ . I -матрини размерности их/, 8- скалярная величина, выход звена с огранкчик-

лем, |<>1< 1), и - скалярное управление, |«|< Я. Будем считать, что для объекта управления выполняется теорема о числе переключений.

При достижении ограничения ( | <У| = /) ) движение объекта можно описать тем же самым уравнениями (23) и (24), если заменить управление и на зк-

. а!)

виналептнос управление и — ■ _ Таким образом, объект управления во всем

диапазоне значений фазовых переменных можно описать дифференциальными уравнениями

—■ - Лх + Со

(¡1

. 8 + а8 = ки:>,

где эквивалентное управление и;> принимает следующие значения.

( ±н' "р»

•> |±/г при $ = о.

Такая замена управления на эквивалентное позволяет использовать метод малых приращений для объектов рассматриваемого класса практически в том же виде, что и для линейных объектов.

В чегвертом разделе приводятся примеры использования метода малых приращений для синтеза оптимального управления для различных объектов.

1. Был проведен синтез оптимального по быстродействию позиционного пневмопривода, математическая модель которого имеет пятый порядок, привод имеет в своем составе звено с ограничителем в форме насыщения. С помощью описанного в работе метода были рассчитаны координаты точек переключения оптимального управления, и по полученным таким образом данным сформирован закон управления. Для анализа близости синтезированной системы к оптимальной было проведено ее моделирование па ЭВМ, результаты которого подтвердили теоретические расчеты.

2. Метод малых приращений для осциллирующих объектов управления проиллюстрирован на примере системы третьего порядка, имеющей в своем составе консервативное звено. Сформирован соответствующий закон оптимально-то управления, работоспособность которого подтверждена результатами цифрового моделирования на ЭВМ.

3. С помощью метода малых приращений проведен синтез оптимального по быстродействию следящего электропривода постоянного тока, математическая модель которого, с учетом нежссткости механической передачи, имеет следующий вид:

dtù, I ce. с с с

-L -------(У ----ф +--ф, H--Г/,

dl J, r ' J,k J,k J,r d<p, dl '

'(25)

dl " JJ ^

d(i%

-y- '-=«,-dl

Здесь.// и ,l2 - моменты инерции двигателя и нагрузки соответственно, с - коэффициент упругости механической передачи, приведенный к выходному валу привода, к - коэффициент редуктора, г - сопротивление якорной обмотки, се и с;„ - коэффициенты передачи двигателя по току и по моменту соответственно, и -управляющее воздействие, u~±R, R - напряжение питания, <pi и <р2 - углы поворота валов двигателя и нагрузки соответственно, a>i и ю2 - их угловые скорости. При записи уравнений приняты следующие допущения. Индуктивность обмотки якоря будем считать пренебрежимо малой, потери на сухое и вязкое трение равны нулю, насыщение материала магнитопровода не учитываем. Входной сигнат, который должен отрабатывать привод имеет вид:

Уо(0 = gît + go- (26)

Алгоритм метода малых приращений был применен для синтеза оптимального по быстродействию следящего электропривода постоянного тока со следующими параметрами: Jj-3-HT4 И-мс2, J2 ¡000 Нм-с2, с 1.7-Hf Им/рад, к 700, г 0.15 Ом, се 0.078 В/рад/с, см 0.078 Н-м/А. В результате применения алгоритма рассчитаны точки, в которых происходит переключение управления, соответствующие дискретным значениям параметров входного сигнала £/ и go из диапазонов 0 < g0 < я/2, - 0,2 < g, < 0,2.

Как показали результаты моделирования на ЭВМ, для формирования закона управления можно использовать плоскость (7), т.е.

и --- R ■ .v/tf/j^y + Но-<*,+ (■•, ('[1Ы>- ) с2 (уу Ч>, - -у <Р; ) - с, (Я, - ы2 jj. (27)

где значения коэффициентов с<, с2, о вычисляются по зависимостям

с, = Х.ОО lir-gi - 4.4H IIÏ7, с2 = 1.15 Ю'4^- ¡.85 10'\ с3 —2.95- i(f2 gt - 2.63 Ю'2. При этом процессы в системе для значений go > 0.05 рад практически не отличаются от строго оптимальных. При <;в < 0.05 рад такой закон управления обеспечивает переходные процессы.'отличающиеся по длительности от строи» оптимальных не более чем на 20%.

На рис. 4 показаны переходные процессы в системе для 0.12 рад/с и Но 0.1 рад, полученные методом цифрового моделирования, закон управления имеет вид (27).

Кроме того, как показал анализ, закон управления (27) позволяет отрабатывать гармоническое входное воздействие. На рис. 5 показан соответствующий процесс для входного сигнала с частотой 2 / 'ц.

4. Проведены экспериментальные исследования с помощью стенда, выполненного на основе электродвигателя постоянного тока с цифровым управлением. Управляющее устройство реализовано на ПЭВМ с процессором 1л1с1 80386, 40 МГц. Частота квантования составляет ¡000 1'ц, угол поворота выходного вала измеряется с помощью 12-разрядного датчика, уз ловая скорость - 8-разрядиого. Синтез оптимального управления проводился без учета дискретизации. На рис. 6 приведены процессы при отработке линейно-изменяющегося сигнала вида (26) системе для X/ = 0.42 раФ'с и я„ = 0.1 рад, а на рис. 7 - при гармоническом входном воздействии с част отой / ¡ 'ц и амплитудой 0.1 рао.

Рис. 6. Рис. 7.

Возникающие в процессе слежения автоколебания объясняются дискретизацией системы по времени и но уровню. Результаты эксперимента были сопоставлены с расчетными характеристиками и подтвердили хорошую работоспособность сформированного закона управления.

В заключении сформулированы основные теоретические и практические результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

В диссертации разработан метод малых приращений, позволяющий проводить сингез оптимальных по быстродействию систем для объектов управления высокого порядка.

В ходе работы получены следующие основные результаты:

• разработан метод малых приращений для синтеза оптимальных по быстродействию систем позиционного управления (для случаев как неосцилли-рующего, так и осциллирующего объектов управления);

• метод малых приращений, полученный изначально для систем позиционного управления, распространен и для синтеза оптимальных по быстродействию следящих систем;

• сформулированы и доказаны достаточные условия оптимальности для объектов с ограничителями типа «насыщение», теорема единственности и теорема о числе переключений для таких объектов;

• разработан метол малых приращений для синтеза оптимальных но быстродействию систем для объектов с ограничителями типа «насыщение»;

• разработаны способы (¡юрмирования оптимального по быстродействию законов управления, использующие информацию, полученную с помощью метола малых приращений

• разработана методика синтеза опгимшшных по быстродействию следя-тих электроприводов постоянною тока.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТКМК ДИС СЕРТАЦИИ.

1. Денисов А.И., Пученков Н.В., Фалдин Н.В. Синтез оптимальных по быстродействию позиционных систем управления. // Динамика систем и процессы управления. Тезисы докладов научно-технической конференции, посвященной 40-летнему юбилею кафедры «Систем автоматического управления». Гула, 1497. - С. 15-16.

2. Денисов А.И., Фалдип 11.В. Оптимизация по быстродействию с не i ем позиционного управления. // Управление в технических системах: материалы второй международной научно-технической конференции. Ковров: KITA, 1998. -С. 223-225.

3. Денисов А.И., Фалдин Н.В. Синтез оптимальных по быстродействию позиционных систем управления. Случай выполнения теоремы о числе переключений. // Известия Тульского государственного университета. Серия «Вычислительная техника. Автоматика. Управление.» Том 1. Вып. 3. Управление. Гула, 1999.-С. 3-10.

4. Денисов А.И., Фалдин Н.В. Синтез оптимальных по быстродействию позиционных систем управления. Случай невыполнения теоремы о числе переключений. // Известия Тульского государственного университета. Серия «Вычислительная техника. Автоматика. Управление.» Том 1. Вып. 3. Управление. Тула, 1999.-С. 10-17.

5. Денисов А.И., Фалдин Н.В. Применение метода линеаризации для синтеза оптимальных по быстродействию систем управления. // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-12: Сборник трудов международной научной конференции. В 5-ти т. Том 5. Великий Новгород: НГУ, 1999. - С. 137-139.

6. Denisov A.I. The Synthesis of Time-Optimal Systems of Positional Control. // IVeprints 6th International Student Olympiad on Automatic Control (Baltic Olympiad). St. Petersburg, 1998. - P. 28-32.

ВВЕДЕНИЕ.

1. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДОМ МАЛЫХ ПРИРАЩЕНИЙ.

1.1. Оптимальные системы управления. Основные понятия.

1.2. Системы позиционного управления.

1.3. Применение метода малых приращений для определения точек переключения в случае неосциллирующих объектов управления (позиционное управление).

1.4. Уточнение точек переключения с помощью метода Ньютона.

1.5. Определение опорной траектории.

1.6. Применение принципа максимума для определения точек переключения в случае осциллирующих объектов управления (позиционное управление).

1.7. Применение теоремы о числе переключений для осциллирующих объектов управления.

1.8. Применение метода малых приращений для синтеза следящих систем управления.

1.9. Выводы по разделу.

2, СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ.

2.1. Формирование оптимального закона управления по точкам переключения.

2.2. Формирование оптимального закона управления на основе информации только по выходной координате.

2.3. Формирование оптимального закона управления для следящих систем.

2.4. Выводы по разделу.

3. ОПТИМАЛЬНОЕ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ УПРАВЛЕНИЕ ДЛЯ ОБЪЕКТОВ С ОГРАНИЧИТЕЛЯМИ.

3.1. Математическая модель объектов с ограничителями.

3.2. Достаточные условия оптимальности по быстродействию для объектов с ограничителями в форме насыщения.

3.3. Теорема о числе переключений.

3.4. Определение оптимального по быстродействию управления методом малых приращений.

3.5. Выводы по разделу.

4. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МАЛЫХ ПРИРАЩЕНИЙ ДЛЯ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ СИСТЕМ.

4.1. Синтез оптимального по быстродействию позиционного пневмопривода.

4.2. Синтез оптимального по быстродействию управления для осциллирующего объекта.

4.3. Синтез оптимального по быстродействию следящего электропривода.

4.4. Синтез оптимального по быстродействию следящего электропривода с учетом нежесткости механической передачи.

При проектировании систем автоматического управления часто возникает необходимость оптимизации системы по тем или иным критериям исходя из специфики решаемой задачи. Особое место среди задач оптимального управления занимают задачи синтеза управления оптимального по быстродействию. Время регулирования входит в число основных характеристик систем автоматического регулирования. Для многих технических систем уменьшение времени регулирования, то есть повышение быстродействия системы, имеет исключительно важное практическое значение. При этом спроектированные системы обладают, как правило, такими положительными качествами как высокая точность, отсутствие перерегулирования и проч.

Задача синтеза оптимальной по быстродействию системы управления заключается в формировании закона управления в виде функции вектора состояния системы. Решению задач оптимального управления посвящен важный раздел теории автоматического управления - теория оптимального управления.

Математическая теория оптимального управления возникла и сформировалась в конце 50-х годов. Ее основой является принцип максимума и связанные с ним исследования, проведенные группой советских математиков, возглавляемых Львом Семеновичем Понтрягиным [13], [14], [21-25], [61]. Принцип максимума был высказан в качестве гипотезы Л.С. Понтрягиным и был впервые обнародован на международном конгрессе математиков в Эдинбурге в 1958 году. Теория оптимального управления стала развиваться особенно интенсивно после выхода в свет в 1961 году известной работы [60] коллектива ученых, возглавляемого Л.С. Понтрягиным. В этой работе было сформулировано и доказано необходимое условие оптимальности управления, широко известное как принцип максимума Л.С. Понтрягина. Для линей5 ных систем принцип максимума был доказан Р.В. Гамкрелидзе, а для нелинейных - В.Г. Болтянским. Оба они работали под руководством Д.С. Понтря-гина.

Появление принципа максимума повлекло за собой большое число теоретических исследований в области оптимального управления. Вышли в свет многочисленные публикации на эту тему, существенно продвинувшие вперед теорию оптимального управления. Среди них следует отметить работы A.A. Павлова [56], Л.И. Розонэра [65], Л.П. Смольникова [70], В.П. Колесника, ВЛЗ. Солодовникова [41-43], H.H. Красовского [45], Ю.Г. Антомонова [5, 6], A.A. Колесникова [38, 44], В.А. Иванова [37], М. Атанса, П. Фалба [7] и другие. Были сформулированы и доказаны теоремы существования и единственности, теорема о числе переключений и другие, являющиеся теоретической основой решения задач оптимального управления.

Но, несмотря на обилие теоретических работ по синтезу оптимального по быстродействию управления, если оценивать приведенные в них результаты с практической точки зрения, то их, к сожалению, следует признать весьма скромными. Это объясняется серьезными затруднениями теоретического и технического порядка, которые возникают при построении и последующей реализации оптимального закона управления. Эти трудности обусловлены, прежде всего, высоким порядком дифференциальных уравнений, описывающих движение объекта и нелинейностью реальных технических объектов. Задачей настоящей работы является преодоление указанных трудностей. Рассмотрим их более подробно.

Первая и наиболее серьезная из указанных трудностей связана с тем, что при увеличении порядка математической модели системы управления объем вычислений, необходимых для решения задачи синтеза оптимальной системы, стремительно нарастает. Известный американский ученый, крупный специалист в области оптимального управления Ричард Беллман [8] на6 звал это явление «проклятием размерности». Поэтому в литературе, посвященной синтезу оптимальных по быстродействию систем автоматического управления (см. например, работы [3], [4], [19], [35], [36], [38], [55], [80]), как правило рассматриваются примеры синтеза систем невысокого (второго -третьего) порядка, в то время как реальные технические системы обычно имеют более высокий порядок.

Определенные успехи в решении проблемы порядка дифференциальных уравнений движения достигнуты в работах В.В. Солодовникова и В.П. Колесника [41-43]. Но применение предложенного в этих работах метода синтеза ограничено специфическим требованием, предъявляемым к структуре объекта управления. На практике .объекты с требуемой структурой встречаются не так уж часто. Например, ни гидравлические, ни газовые, ни электрические привода не обладают необходимой структурой. Кроме того, построенный в соответствии с [42, 43] закон управления обеспечивает оптимальную (или близкую к оптимальной) длительность переходных процессов лишь для некоторой области начальных условий.

Некоторыми возможностями по синтезу оптимальных по быстродействию систем автоматического управления высокого порядка обладает метод прогнозирования [67], но его практическое применение сдерживается высокими требованиями, которые он предъявляет к быстродействию цифрового управляющего устройства.

Развитие теории оптимального управления совпало по времени с прогрессом вычислительной техники. Значительное увеличение возможностей ЭВМ, их широкое и повсеместное внедрение в научно-исследовательскую и инженерную практику способствовало разработке приближенных численных методов решения задач автоматического управления вообще и оптимального управления в частности. 7

Следует отметить, что точное решение задачи имеет скорее чисто научный нежели прикладной интерес. Так как поведение реального объекта всегда, хоть и незначительно, отличается от математической модели. Поэтому приближенное решение задачи, выполненное с необходимой точностью, вполне удовлетворяет практические нужды.

Существует множество приближенных методов решения задач оптимального управления (см., например, работы [9], [16], [35], [39], [46-49], [50], [54], [58], [59], [62], [63], [71]). Но большинство из них представляют собой не методы синтеза оптимального управления в общем смысле, а методы определения оптимального программного управления, т.е. позволяют найти оптимальную траекторию для одной начальной точки.

Дадим краткий обзор численных методов решения задач оптимального управления.

История численных методов берет свое начало с Леонарда Эйлера, который предложил заменить искомую непрерывную функцию сеточной, а функционал - соответствующей разностной аппроксимацией. При этом ученым преследовались главным образом чисто теоретические нежели практические цели, так как проведение требуемого для решения задач объема вычислений в то время было абсолютно нереально. Появление ЭВМ в известной степени ослабило проблему о числе операций.

Первые методы численного решения задач оптимального управления были методами градиентного поиска в функциональном пространстве. Вначале они разрабатывались применительно к достаточно простым задачам, и для таких случаев действительно оправдывают себя. Дальнейшее развитие этих методов - метод штрафных функций [77], [59], который позволяет учитывать ограничения различного рода. Эти методы являются достаточно универсальными, но при практической их реализации появляются трудности 8 обусловленные медленной сходимостью, ненадежностью и грубостью результатов.

Из всего многообразия работ, посвященных построению приближенных методов решения задач оптимального управления, как отмечается в [77], можно выделить три главных направления. Первое направление связано с попытками решить систему уравнений, образующих принцип максимума. Второе направление связано с построением минимизирующей последовательности траекторий. Третье направление связано с построением минимизирующей последовательности управлений.

После доказательства принципа максимума, было приложено много усилий по построению достаточно простых и надежных способов решения системы уравнений, образующих его. Все они как правило требуют больших вычислительных затрат.

Интересный метод решения довольно общей задачи оптимального управления был предложен американскими математиками Нейштадтом и Итоном [11], [77]. Однако, сходимость метода была доказана при очень существенном предположении о строгой выпуклости области достижимости, что сильно ограничивает область применимости метода, причем нарушение строгой выпуклости не только лишает силы доказательство сходимости, но и ликвидирует саму сходимость. Кроме того, сходимость метода даже в случае выпуклой области сходимости довольно медленная, а цена одного шага решения достаточно высока. Поэтому в целом метод очень трудоемкий.

Ко второму из направлений, о которых говорилось выше, относится метод приближенного решения вариационных задач, разработанный H.H. Моисеевым и его сотрудниками, являющийся по существу методом спуска в фазовом пространстве. В монографии [53] подробно отражена история развития методов приближенного решения задач оптимального управления группой ВЦ АН СССР под руководством H.H. Моисеева. К сожалению, полный и 9 теоретически обоснованный алгоритм H.H. Моисеева практически не реализуем для прикладных задач на современных ЭВМ, однако содержащиеся в нем идеи породили упрощенные модификации [46], [47]. Последние уже реализуемы и применялись на практике, но вопросы их обоснования встречают серьезные препятствия по существу дела.

Типичным методом построения минимизирующей последовательности управлений является метод последовательной линеаризации [77]. Он предназначен для решения весьма общего класса задач. В вычислительный алгоритм метода входит некоторое число параметров, значения которых очень существенны для эффективности метода. К сожалению, значения этих параметров различны для разных задач и даже для разных этапов решения одной и той же задачи, так что использовать опыт решения предыдущих задач не так просто.

Перечисленные выше методы приближенного решения задач оптимального управления предназначены для отыскания оптимальной траектории, переводящей систему из заданной начальной точки в конечную, т.е. для определения оптимального программного управления. Поэтому они не позволяют определить закон управления в виде функции вектора состояния системы, т.е. решить задачу синтеза и построить поверхность переключения, Эти методы достаточно трудоемки сами по себе, поэтому применять их для определения оптимального управления для некоторого множества начальных точек и расчета таким образом некоторой части поверхности переключения очень затруднительно.

Чтобы решить задачу синтеза оптимального по быстродействию управления и сформировать закон управления в виде функции вектора состояния, необходимо воспользоваться методом, позволяющим построить в фазовом пространстве системы поверхность переключения.

10

Одним из таких методов является изложенный в [74] метод, использующий принцип «попятного движения» Фельдбаума. Он позволяет рассчитать поверхность переключения и задать ее в виде таблицы. Данный метод относительно прост для понимания, но не позволяет справиться с «проклятием размерности», т.к. объем необходимых вычислений при увеличении порядка объекта управления возрастает экспоненциально.

Исходя из вышеизложенного видно, что разработка надежного численного метода синтеза оптимальных по быстродействию систем, который бы обладал достаточной универсальностью, точностью и - главное - позволял рассчитать поверхность переключения для объекта высокого порядка, не сталкиваясь при этом с «проклятием размерности», является весьма актуальной задачей. В настоящей диссертации предлагается ее решение, причем рассматривается не только случай, когда объект управления удовлетворяет условиям теоремы о числе переключений [60] (т.е. когда соответствующий характеристический многочлен имеет вещественные корни), как в большинстве работ, но и случай, когда указанные условия не выполняются. Изложению разработанного метода синтеза оптимального управления, названного автором методом малых приращений, для линейных объектов посвящены работы автора [28-32], [79] и раздел 1 диссертации. При разработке указанного метода автор исходил из того факта, что область начальных условий реальных технических систем ограничена. Поэтому нет необходимости рассчитывать всю поверхность переключения, а достаточно рассчитать лишь ее часть. Это позволило сильно упростить решение задачи.

С достаточно серьезными трудностями приходится сталкиваться и на этапе реализации оптимальной системы. Это связано с тем, что после соответствующих расчетов поверхность переключения (или ее часть, как будет рассматриваться ниже), как правило, задается в виде некоторого дискретного набора чисел. Это предполагает либо получение соответствующих аппрок

11 симирующих зависимостей, либо табличное задание поверхности переключения в виде большого массива чисел, который необходимо хранить в памяти управляющего устройства, и применение соответствующей интерполяции, выполняемой постоянно в ходе процесса управления. Поэтому разработка способа реализации оптимальных систем также является актуальной задачей. Вопросы, связанные с реализацией оптимального закона управления излагаются во второй главе работы.

На практике часто встречаются системы, содержащие различного рода нелинейности. К наиболее важным из них относятся нелинейности, порожденные ограничителями. Примером указанных ограничителей могут служить механические упоры, схемы отсечки тока, зоны насыщения и т.п. Ограничители можно встретить практически в любой технической системе. Фазовый вектор объекта, содержащего ограничители, оказывается ограниченным и не может выйти за пределы некоторой определенной области фазового пространства при любом выборе управления.

Объект, содержащий ограничители, представляет собой нелинейную систему специфического вида. Движение такого объекта описывается дифференциальными уравнениями с разрывными правыми частями, причем разрывными могут быть и его фазовые траектории.

С точки зрения теории оптимального управления объекты, содержащие ограничители, имеют много общего с задачами оптимального управления при ограничениях на фазовые координаты системы. Эти задачи достаточно хорошо изучены (см. [1], [2], [26], [27], [33], [34], [40], [75], [76]).

Условия оптимальности для дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями были получены в [60], [12], [18], [72], [73] и некоторых других работах. Однако, формальное распространение результатов этих работ на объекты с ограничителями оказывается невозможным. Дело в том, что для объектов с ограничителями при получении необходимых условий оп

12 тимальности, как и в случае ограничения фазовых координат, часто необходимо сравнить оптимальную траекторию, соответствующую движению на ограничителе, с близкими траекториями, принадлежащими открытому ядру допустимой области. Это сравнение сильно усложняется тем обстоятельством, что движение на ограничителе и свободное движение описываются разными дифференциальными уравнениями.

Вообще, следует отметить, что объекты с ограничителями в теории оптимального управления рассматривались крайне незначительно. Развитию теории синтеза оптимального по быстродействию управления для объектов с ограничителями посвящены работы [20], [51], [52], [68], [69], [78] выполненные под руководством Н.В. Фалдина. В них были сформулированы соответствующие условия оптимальности, приведены примеры синтеза оптимального по быстродействию управления для некоторых объектов с ограничителями.

В настоящей диссертации, также выполненной под научным руководством профессора Н.В. Фалдина, эти идеи получили свое развитие. В главе 3 получены достаточные условия оптимальности по быстродействию для объектов с ограничителями в форме насыщения и соответствующая теорема о числе переключений. Кроме того, разработан способ синтеза оптимального по быстродействию управления для таких объектов с помощью метода малых приращений.

В главе 4 приводятся результаты проведенных исследований по синтезу оптимального по быстродействию управления для различных объектов с помощью разработанного метода, а также приводятся данные по экспериментальному исследованию оптимального по быстродействию электропривода.

Следует отметить, что, к сожалению, теория оптимального управления, бурно развивавшаяся в 60 - 70-е годы, в последние десятилетия прогрессирует слабо. В то время как современная микропроцессорная техника стреми

13 тельно наращивает свою мощность, открывая тем самым широкие возможности для разработки и внедрения в практическое использование оптимальных систем, в теории оптимального управления наблюдается застой. В последние годы немного работ, посвященных этой области теории автоматического управления, выходят в свет. Настоящая работа направлена на развитие методов синтеза оптимальных по быстродействию систем.

Общая характеристика работы. Предметом исследования являются задачи синтеза оптимальных по быстродействию автоматических систем управления.

Целью исследования является разработка методов синтеза оптимальных по быстродействию систем автоматического управления и решение на их основе конкретных задач.

Методы исследования. Для получения основных теоретических результатов были использованы методы математической теории оптимального управления, методы теории дифференциальных уравнений, методы линейной и нелинейной теории автоматического регулирования. При рассмотрении конкретных систем широко использовалось цифровое моделирование.

Основные научные положения, защищаемые в диссертации. На защиту выносятся:

• метод малых приращений для синтеза оптимальных по быстродействию систем позиционного управления объектами высокого порядка (для случаев как неосциллирующего, так и осциллирующего объектов управления);

• метод малых приращений для синтеза оптимальных по быстродействию следящих систем управления;

• достаточные условия оптимальности для объектов с ограничителями типа «насыщение» и теорема о числе переключений для таких объектов;

14

• метод малых приращений для синтеза оптимальных по быстродействию систем для объектов с ограничителями типа «насыщение».

• способы формирования оптимального по быстродействию законов управления.

Достоверность научных положений подтверждена математическими доказательствами, практическим использованием разработанного метода синтеза для различных объектов управления, результатами моделирования на ЦВМ, экспериментальными исследованиями.

Научная новизна работы состоит в разработке метода синтеза оптимального по быстродействию управления, получившего название «метод малых приращений», который позволяет проводить синтез оптимальных систем для различных объектов, как неосциллирующих, так и осциллирующих. Данный метод дает возможность преодолеть одну из наиболее серьезных проблем возникающих при решении задач синтеза оптимальных систем -проблему обусловленную высоким порядком объекта управления. Также в работе получены достаточные условия оптимальности по быстродействию для объектов с ограничителями в форме насыщения, сформулирована и доказана теорема о числе переключений для таких объектов. Основываясь на этих теоремах, метод малых приращений был распространен на объекты с ограничителями в форме насыщения.

Практическая ценность работы состоит в том, предложенный метод синтеза открывает широкие возможности для проектирования оптимальных по быстродействию систем управления реальными техническими объектами, так как он позволяет преодолеть одно из самых серьезных затруднений, порожденное высоким порядком математических моделей объектов управления. Именно это затруднение являлось основным препятствием для широкого использования оптимальных по быстродействию систем управления на практике. Данный метод позволяет решать соответствующие задачи для объ

15 ектов различных классов, в том числе осциллирующих объектов (т.е. для случая невыполнения теоремы о числе переключений) и объектов с ограничителями в форме насыщения.

Результаты НИР внедрены на ГУП КБ приборостроения (г. Тула) и используются в разработке алгоритмов управления электроприводами.

Работа выполнена в рамках гранда государственного комитета РФ по высшему образованию на 1996-97 гг. по фундаментальным исследованиям в области автоматики и телемеханики, вычислительной техники, информатики, кибернетики, метрологии и связи: «Синтез оптимальных по быстродействию замкнутых систем автоматического управления».

Основные результаты, полученные в работе, сводятся к следующему.

1. Предложен метод, названный методом малых приращений, который позволяет синтезировать оптимальные по быстродействию системы позиционного управления произвольного порядка. При этом синтез оптимального управления сводится к построению в фазовом пространстве, как правило, (п-1) линии переключения (одномерных многообразий). Расчет точек, в которых осуществляется переключение управления, выполняется путем решения некоторой системы линейных алгебраических уравнений. Для объектов, удовлетворяющих теореме о числе переключений, эта система уравнений имеет порядок, совпадающий с порядком объекта управления. Для осциллирующих объектов (в том случае, когда приходится обращаться к принципу максимума Понтрягина) эта система имеет несколько более высокий порядок.

2. Предложенный для систем позиционного управления метод синтеза распространен на оптимальные по быстродействию следящие системы, что также позволяет для данного класса систем преодолеть затруднение, обусловленное высоким порядком математической модели объекта управления. Синтез оптимального управления при этом сводится к построению в фазовом пространстве (при любом порядке объекта управления) точек переключения, которые образуют (п-1) двумерных многообразий.

129

3. Предложен способ формирования оптимального по быстродействию закона управления, как для систем позиционного управления, так и для следящих систем. Этот способ основан на использовании некоторой плоскости переключения, параметры которой изменяются в соответствии с изменениями входного сигнала.

4. Для систем позиционного управления предложен способ формирования оптимального закона управления, который не требует измерения или наблюдения вектора состояния системы, что в ряде случаев ведет к существенному упрощению закона управления.

5. Показано, что, хотя теореме о числе переключений, строго говоря, не удовлетворяют большинство реальных технических объектов управления, при синтезе оптимального управления, как правило, число переключений соответствует этой теореме. Для обоснования возможности формального использования теоремы о числе переключений в ситуации, когда она, строго говоря, не выполняется, предполагается использовать обращение к оптимальной магистрали. Если для системы позиционного управления оптимальная магистраль имеет число переключений, соответствующее теореме о числе переключений, то это означает, что данная теорема «справедлива» и для любой оптимальной траектории.

6. Многие технические объекты содержат различного рода ограничители. Для объектов управления, содержащих ограничители в форме насыщения (этим термином называются ограничители, которые не приводят к разрыву фазовых траекторий системы), получены достаточные условия оптимальности по быстродействию, которые гарантируют абсолютный минимум соответствующего функционала, и доказана теорема о единственности оптимальной по быстродействию траектории. Эти условия имеют сравнительно простой вид и их можно успешно использовать для определения оптимального управления и оптимальной траектории.

130

7. Для объектов с ограничителями в форме насыщения, основываясь на полученных в работе достаточных условиях оптимальности, доказана теорема о числе переключений. Как и в случае линейных объектов управления, эта теорема существенным образом упрощает синтез оптимального по быстродействию управления.

8. Синтез оптимального управления с помощью метода малых приращений путем введения некоторого эквивалентного управления, которое отличается от реально действующего на объект управления, распространен на объекты с ограничителями в форме насыщения. При этом процедура синтеза претерпевает незначительные изменения.

9. Применение разработанного метода синтеза иллюстрируется рассмотрением ряда конкретных примеров, как модельных, так и соответствующих реальным техническим объектам. Эти примеры показывают высокую эффективность предложенного метода.

10. Разработана методика синтеза оптимальных по быстродействию электроприводов на основе двигателей постоянного тока. Эта методика рассмотрена в двух вариантах: учитывающем нежесткость механической передачи и в предположении об абсолютной жесткости механической передачи. Было выполнено экспериментальное исследование, которое позволяет сделать вывод о реализуемости разработанных методик синтеза.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящая диссертационная работа направлена на развитие методов синтеза оптимальных по быстродействию систем управления. Основное внимание было сосредоточено на разработке метода, который позволил бы преодолеть хорошо известное в теории оптимального управления затруднение, обусловленное высоким порядком математической модели объекта управления, и образно названное Р. Беллманом «проклятием размерности».

1. Алекперов В.П., Бор-Раменский А.Е., Фалдин Н.В. Оптимальные быстродействия в случае инерционного руля. // Оптимальные системы. Статистические методы: Труды / III Всесоюзное совещание по автоматическому управлению. М. 1967. С. 169-175.

2. Алекперов В.П., Фалдин Н.В. Синтез оптимальной системы при наличии ограничений по фазовой координате. // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1965, №5. С. 143-148.

3. Алексаков Г.Н. Практика проектирования нелинейных систем управления методом фазовой плоскости. М.: Энергия, 1973. 143 с.

4. Александровский Н.М. Элементы теории оптимальных систем автоматического управления. М.: Энергия, 1969. 127 с.

5. Антомонов Ю.Г. Автоматическое управление с применением вычислительных машин. Л.: Судпромгиз, 1962. 339с.

6. Антомонов Ю.Г. Синтез оптимальных систем. Киев: Наукова думка, 1972.-316 с.

7. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. М.: Машиностроение, 1968.- 764 с.

8. Беллман Р., Калба Р. Динамическое программирование и современная теория управления. М.: Наука, 1969. 118с.

9. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1965. 428 с.

10. Ю.Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972. 768 с.

11. П.Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1968.-408 с.132

12. Болтянский В.Г\ Задачи оптимизации со сменой фазового пространства и с переменной областью управления. // Динамика неоднородных систем. М., 1983. С. 78-86.

13. З.Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Понтрягин JI.C. К теории оптимальных процессов. // ДАН СССР, 1956, т.110, № 1. С. 7-10.

14. Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Понтрягин Л.С. Теория оптимальных процессов. Принцип максимума. // Изв. АН СССР, серия матем., 1960, т. 24, № 1. -С. 3-42.

15. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972.-544 с.

16. Ватель И.А., Кононенко А.Ф. Об одной численной схеме решения задач оптимального управления. // ЖВМ и МФ, 1970, т. 10, № 1. С. 37-67.

17. Величенко В.В. Оптимальное управление составными системами. // ДАН СССР, 1967, т. 176, №4. С. 754-756.

18. Волин Ю.М., Островский Г.М. Принцип максимума для разрывных систем и его применение к задачам с фазовыми ограничениями. // Известия вузов. Радиофизика. 1969, №11. С. 1609-162 L

19. Володин Л.В., Фалдин Н.В. Синтез оптимальной по быстродействию системы автоматического регулирования третьего порядка с запаздыванием. // Вопросы оптимизации и автоматизации конструкторских работ: Тр. Тул-ПИ. Тула, 1970. С. 24-30.

20. Володин Л.В., Макаров H.H., Фалдин Н.В. Один метод повышения точности следящего пневмопривода. // Динамика и точность функционирования тепломеханических систем. / ТулПИ, Тула, 1973. Вып. 3. - С. 166-175.

21. Гамкрелидзе Р.В. К общей теории оптимальных процессов. // ДАН СССР, 1958, т. 123, № 2. С. 223-226.

22. Гамкрелидзе Р.В. К теории оптимальных процессов в линейных системах. // ДАН СССР, 1957, т. 116, № 1. С. 9-11.133

23. Гамкрелидзе Р.В. Теория оптимальных по быстродействию процессов в линейных системах. // Изв. АН СССР, серия матем., 1958, т. 22, № 4. -С. 449-474.

24. Гамкрелидзе Р.В. Оптимальные по быстродействию процессы при ограниченных фазовых координатах. // ДАН СССР, 1959, т. 125, № 3. С. 475-478.

25. Гамкрелидзе Р.В, Оптимальные процессы управления при ограниченных фазовых координатах. // Изв. АН СССР, 1960, т. 24, № 3. С. 315356.

26. Денисов А.И., Фалдин Н.В. Оптимизация по быстродействию систем позиционного управления. // Управление в технических системах: материалы второй международной научно-технической конференции. Ковров: КГТА, 1998. С. 223-225.

27. Денисов А.И., Фалдин Н.В. Синтез оптимальных по быстродействию позиционных систем управления. Случай выполнения теоремы о числе переключений. // Известия Тульского государственного университета. Серия134

28. Вычислительная техника. Автоматика. Управление.» Том 1. Вып. 3. Управление. Тула, 1999. С. 3-10.

29. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Задачи на экстремум при наличии ограничений. //ЖВМ и МФ, 1965, т.5, № 3. С. 395-453.

30. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Необходимые условия слабого экстремума в задачах оптимального управления со смешанными ограничениями типа неравенств. // ЖВМ и МФ, 1968, т. 8, № 4. С. 725-779.

31. Дубовицкий А.Я., Рубцов В.А. Линейные быстродействия. // ЖВМ и МФ, 1968, т. 8, № 5. С. 937.

32. Дунаев В.И. Квазиоптимальные по быстродействию системы автоматического регулирования. М.: Энергия, 1970. 63 с.

33. Иванов В.А., Фалдин Н.В, Теория оптимальных систем автоматического управления, М.: Наука, 1981,-336 с.

34. Клюев A.A., Колесников A.A. Оптимизация автоматических систем управления по быстродействию. М.: Энергоиздат, 1982. 238 с.

35. Клюев A.C., Карпов B.C. Синтез быстродействующих регуляторов для объектов с запаздыванием. M«: Наука, 1990. 256 с.135

36. Козлов В.И, Синтез системы управления оптимальной по быстродействию. // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1976, №3. С. 181190.

37. Колесник В.П. Метод синтеза оптимальных по быстродействию нелинейных систем высокого порядка с ограничениями и в условиях неопределенностей. Дис. д-ра техн. Наук 05.13.02. М., 1982. 383 с.

38. Колесников A.A. О синтезе оптимального по быстродействию управления нелинейными объектами одного класса, // Изв. Вузов. Электромеханика. 1978. -№3.- С. 310-320.

39. Красовский H.H. К теории оптимального регулирования. // Автоматика и телемеханика, 1957, № 11. С. 960-970.

40. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления. // ЖВМ и MB, 1962, т.2, №6. -С. 1132-1138.

41. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. Алгоритм метода последовательных приближений для задач оптимального управления. // ЖВМ и МФ, 1972, т. 12, № 1.-С. 14-34.

42. Леончук М.П. О численном решении задач оптимальных процессов с распределенными параметрами. // ЖВМ и МФ, 1964, 4, № 6, С, 1112-1116.136

43. Леончук М.П. и др. О численном решении одной задачи оптимального управления ядерными реакторами. // ЖВМ и МФ, 1965, т. 5, № 3. С. 558560.

44. Мазуров В.М., Карпов B.C. Расчет и проектирование дискретных оптимальных регуляторов. Тула, ТЛИ, 1979. 80 с.

45. Макаров H.H., Фалдин Н.В, Оптимальное по времени управление объектом третьего порядка с насыщением. // Динамика систем: Оптимизация и адаптация: Межвузовский сборник статей. / ГГУ. Горький, 1979. С. 136151,

46. Макаров H.H., Фалдин Н.В. Оптимальное управление системами с ограничителями. // «Оптимальное управление в механических системах». Тезисы докладов III Всесоюзной конференции. Киев, 1979, т. IL С. 69-70.

47. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971.-324 с.

48. Моисеев H.H. Численные методы теории оптимального управления, использующие вариации в пространстве состояний. // Кибернетика, 1966, т. 5, № 3, С. 1-23.

49. Мороз А.И. Синтез оптимального по времени управления для линейных систем третьего порядка. // Автоматика и телемеханика. 1969. №5 с. 5-17,№7-с. 18-19,№9-5-15.

50. Павлов A.A. Синтез релейных систем, оптимальных по быстродействию. М.: Наука, 1966. 390 с.5 7.Писку нов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 1. М.: Наука, 1970,456 с.

51. Поляк Б.Т. О некоторых способах ускорения сходимости итерационных методов. // ЖВМ и МФ, 1964, т. 4, № 5. С. 791-803.

52. Поляк Б.Т., Третьяков Н.В. Метод штрафных оценок для задач на условный экстремум. // ЖВМ и МФ5 1973, т. 13, № 1. С 34-46.137

53. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983. 392 с.

54. Понтрягин JI.C. Оптимальные процессы регулирования. // Успехи матем. наук, 1959, т. 14, вып. 1. С. 3-20.

55. Пшеничный Б.Н. Численные методы расчета оптимального по быстродействию управления для линейных систем. // ЖВМ и МФ, 1964, т. 4, № h С. 52-60.

56. Пшеничный Б.Н., Соболенко J1.A. Ускоренный метод решения задачи линейного быстродействия. // ЖВМ и МФ, 1968, т. 8, № 6. С. 1345- 1351.

57. Рабинович Л.В., Петров Б.И., Терсков В.Г., Сушков С.А., Панкратьев Л.Д. Проектирование следящих систем. М.: Машиностроение, 1969. 500 с.

58. Розоноэр Л.И. Принцип максимума Л.С. Понтрягина в теории оптимальных систем. Автоматика и телемеханика, 1959, №№ 10-12. С. 13201334, 1441- 1458, 1561-1578.

59. Самойленко A.M., Кривошея С.А., Перестюк H.A. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. М.: Высшая школа, 1989, 383 с.

60. Синтез квазиоптимального управления механизмом вращения шагающего экскаватора-драглайна методом прогнозирования. / Ф.Б. Гулько, В.П. Морозов, Ж.А. Новосельцева и др. // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1984. -№ 1. С. 59-66.

61. Синтез следящего гидропривода, близкого к оптимальному по быстродействию. / Н.В. Фалдин, H.H. Макаров, С.А. Руднев и др. // Системы управления, следящие приводы и их элементы (материалы семинара) /' ЦНИИинф. М., 1984. С. 76.138

62. Смолышков Jl.П. Синтез квазиоптимальных систем автоматического управления. Л.: Энергия, 1967. 167 с.

63. Тихонов А.Н., Галкин В.Я., Заикин П.Н. О прямых методах решения задач оптимального управления. // ЖВМ и МФ, 1957, т. 7, № 2. С. 416- 424.

64. Троицкий В.А. Вариационные задачи оптимизации процессов управления в системах с ограниченными координатами. // ПММ, 1962, вып. 3. С. 431-443.

65. Троицкий В.А. Вариационные задачи оптимизации процессов управления для уравнений с разрывными правыми частями. // ПММ, 1962, вып. 2. С. 233-246.

66. Фалдин Н.В. Синтез оптимальных по быстродействию замкнутых систем управления. Тула, ТПИ, 1990. 100 с.

67. Фалдин Н.В. Оптимальное по быстродействию инерционное управление линейным объектом. // Известия вузов. Электромеханика. 1981, №12. -С. 1351-1356.

68. Фалдин Н.В. Оптимальное по времени управление объектом при ограниченных фазовых координатах. // «Техническая кибернетика». Тезисы докладов межвузовской научно-технической конференции. М., 1969. С. 50.

69. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. 488 с.

70. Фельдбаум A.A. Основы теории оптимальных автоматических систем. М.: Физматгиз, 1963. 552 с.

71. Denisov A.I. The Synthesis of Time-Optimal Systems of Positional Control. // Preprints 6th International Student Olympiad on Automatic Control (Baltic Olympiad). St. Petersburg, 1998. P. 28-32.

72. Разработан метод формирования оптимального по быстродействию закона управления с помощью аппроксимации поверхности переключения плоскостями. Исходной информацией для этого метода являются полученные ранее координаты точек поверхности переключения.

73. Выполнен синтез оптимального по быстродействию следящего электропривода постоянного тока. Проведены экспериментальные исследования, подтверждающие теоретические расчеты.