автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Синтез оптимальных следящих приводов, работающих от автономных источников энергии

На правах рукописи

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ СЛЕДЯЩИХ ПРИВОДОВ, РАБОТАЮЩИХ ОТ АВТОНОМНЫХ ИСТОЧНИКОВ ЭНЕРГИИ

Специальность: 05.13.01 -«Системный анализ, управление и обработка информации (промышленность, промышленная безопасность и экология)»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

ТУЛА - 2004

Работа выполнена на кафедре «Системы автоматического управления» в Тульском государственном университете

Научный руководитель: - доктор технических наук, профессор

Фалдин Николай Васильевич

Официальные оппоненты: - доктор технических наук, профессор

Карпов Вячеслав Сергеевич

- кандидат технических наук Кислицын Вадим Юрьевич

Ведущая организация: - ГУП «КБ приборостроения»

Защита состоится » 2004 г. в часов

на заседании диссертационного совета Д 212.271.05 в Тульском государственном университете по адресу: 300600, г. Тула, пр. Ленина, 92 (в ауд. 9-101)

Отзывы на автореферат в одном экземпляре, заверенные печатью предприятия, просим высылать по указанному адресу

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета

Автореферат разослан

«» июмкл

2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

В. М. Панарин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Эффективность современных управляемых комплексов вооружения в значительной степени определяется качеством исполнительных следящих приводов систем наведения. К ним предъявляются высокие требования по таким динамическим характеристикам, как точность и быстродействие. В качестве исполнительных приводов в основном используются высокоточные моментные электроприводы и силовые гидравлические приводы с объёмным регулированием скорости (практически не имеющие альтернативы при очень высоких мощностях). Приводы рассматриваемого класса, как правило, работают от автономных источников энергии, причём часто имеет место дефицит энергии. Поэтому весьма актуальной является задача экономии потребляемой приводом энергии.

Существуют различные подходы к решению этой задачи. Одно из направлений основано на повышении эффективности автономных источников питания за счёт применения различного рода накопителей энергии. В частности для электроприводов используются ёмкостные накопители. Для гидроприводов автономным источником энергии служит, как правило, дизельный двигатель. В этом случае роль накопителя механической энергии выполняет маховик.

Другой подход к решению обозначенной проблемы основан на синтезе оптимального закона управления, который позволяет снизить нерациональное потребление энергии приводами в переходных режимах, обусловленное рядом физических и конструктивных причин. Он также должен обеспечивать приемлемое быстродействие и точность в режиме слежения. При синтезе систем управления вооружением это позволяет, в свою очередь, снизить массогабаритные характеристики накопителей энергии, улучшает технико-экономические показатели комплексов.

Вопросам проектирования автономных следящих приводов с высокими динамическими характеристиками и минимизацией энергетических затрат посвящены работы А. Н. Геращенко, В. А. Полковникова, В. Г. Стеблецова. Большой вклад в развитие теории проектирования гидроприводов внесли Н. С. Гамынин, В. Н. Прокофьев. Синтезу и оптимизации гидроприводов посвящены работы, выполненные на кафедре САУ Тульского государственного университета Н. В. Фалдиным, Н. Н. Макаровым.

Актуальность диссертации заключается в том, что в настоящее время недостаточно разработаны методы синтеза оптимального управления не тененными динамическими системами, обеспечивающие снижение потребления энергии Такими системами являются электро- и гидроприводы современных комплексов вооружения.

Цель работы. Диссертация направлена на разработку методов синтеза оптимального управления электрическим приводом постоянного тока и объемным силовым гидроприводом, позволяющих наряду с обеспечением высокого быстродействия экономить потребляемую энергию.

Научная новизна работы.

Для линейных объектов управления и комплексного критерия вида

J = j(k + \u(t)\)dt, k = const > 0 (1)

доказана достаточность необходимых условий оптимальности (принципа максимума).

Для модельного объекта управления третьего порядка выявлена структура поверхности переключения, с помощью которой задается оптимальное управление, минимизирующее комплексный функционал.

Разработан алгоритм численного решения двухточечной задачи оптимального управления с линейным объектом управления и комплексньм критерием качества.

Разработан метод синтеза оптимального по комплексному критерию управления электроприводом постоянного тока. Применение комплексного критерия качества позволяет экономить потребляемую энергию.

Решена задача синтеза оптимального по быстродействию электропривода постоянного тока при наличии ограничителя тока и с выходом системы на режим слежения.

Разработан метод синтеза оптимального по быстродействию объемного силового гидропривода с минимизацией потребляемой энергии в переходных процессах.

Практическая ценность работы. Разработанные методы позволяют синтезировать приводы (электрические и гидравлические), которые наряду с высоким быстродействием (для гидроприводов с предельно достижимым быстродействием) обеспечивают экономию энергии Это очень важно для приводов, работающих от автономных источников энергии, которые обладают низким энер-

гозапасом. Именно такая необходимость (обеспечение высокого быстродействия с одновременной экономией энергии) возникает для приводов, используемых в управляемых комплексах вооружения. Разработанные методы приняты к внедрению для практического использования в ГУП «КБ приборостроения» (г. Тула).

На защиту выносятся:

1) Теорема, доказывающая достаточность необходимых условий оптимальности по комплексному критерию качества.

2) Алгоритм численного решения двухточечной задачи оптимального управления с линейным объектом управления и комплексным критерием качества.

3) Метод синтеза оптимального управления электроприводом постоянного тока по комплексному критерию качества.

4) Синтез оптимального по быстродействию электропривода постоянного тока при наличии ограничителя тока и с выходом системы на режим слежения.

5) Метод синтеза оптимального по быстродействию закона управления гидроприводом с учётом фазового ограничения давления, метод позволяет, наряду с обеспечением предельно допустимого быстродействия, существенно снизить потребляемую в переходных процессах энергию.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в работе, были изложены в докладах на региональной научно-технической конференции «Техника XXI века глазами молодых ученых и специалистов» (2003 г.), на Всероссийской научно-технической конференции «Проблемы проектирования и производства систем и комплексов» (2003 г.), на I Всероссийской научно-технической конференции студентов и аспирантов «Идеи молодых - новой России» (2004 г.).

Публикации. По результатам исследований и разработок опубликовано 10 печатных работ в российских изданиях.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, библиографического списка используемой литературы. Текст изложен на 125 страницах, включая 33 рисунка, библиографический список из 76 наименований и приложения на трёх страницах.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе рассмотрены некоторые общетеоретические вопросы оптимального управления.

При оптимизации технических систем приходится сталкиваться с ограничениями фазовых координат системы двух типов. Ограничения фазовых координат обеспечиваются специальными конструктивными мерами (механическими упорами, сбросовыми клапанами и т. п.) или физическими свойствами объекта. Такие ограничения не могут быть нарушены при любом выборе управления. Объекты, обладающие такими свойствами, принято называть объектами с ограничителями. Ограничение фазовых координат системы может быть обеспечено средствами управления. В последнем случае говорят о задачах оптимального управления с ограничениями на фазовые координаты системы.

В литературе присутствуют необходимые условия оптимальности (в форме принципа максимума) как при ограничениях первого, так и второго типов. Однако отсутствуют условия оптимальности, когда в задачах оптимального управления одновременно присутствуют оба типа ограничений, то есть когда требуется оптимизировать объект, содержащий ограничители при наложении на вектор состояния дополнительных фазовых ограничений.

В работе сформулированы такие условия оптимальности в форме принципа максимума. Рассматривается наиболее простой случай, когда управление является скалярным и отсутствует движение по границе допустимой области, обусловленной одновременно ограничителем и фазовым ограничением, так как такая ситуация невозможна при оптимизации гидропривода.

Поскольку указанные условия имеют громоздкий вид, поэтому в автореферате не приводятся.

В диссертации большое внимание уделяется синтезу оптимального управления по комплексному критерию (1). Коэффициент к определяет компромисс между критерием, задающим время управления, и критерием, определяющим расход управления. Функционал / позволяет косвенным образом учесть затрачиваемую на управление энергию.

Рассмотрим линейный объект управления, движение которого задаётся уравнением

где х - п -мерный вектор состояния, А и В - постоянные матрицы, имеющие размерности соответственно пхп и пх1, и - скалярное управление (|ц| <Щ. Будем полагать, что система (2) является нормальной.

Теорема. Если x*(t) и x(t) - близкие траектории, переводящие фазовую точку системы из заданного начального положения х° в начало координат (точку х = 0) и траектория x*(t) удовлетворяет условиям принципа максимума Понтрягина, то

является строгим.

В литературе синтез оптимального по критерию (1) управления рассмотрен только для объектов второго порядка. В диссертации выполнен классический вариант синтеза оптимального по критерию (1) управления для простого модельного объекта, который задается уравнением

Рис. 1. Поверхность переключения управления

Оптимальное управление принимает значения и = 1, и = 0, и = -1 и задается поверхностью переключения, вид которой представлен на рисунке 1. Указанная поверхность имеет сложную структуру, и ее построение предполагает весьма трудоемкие исследования Эти исследования приведены в диссертации.

Во второй главе рассматривается алгоритм синтеза оптимального закона управления по комплексному критерию качества для электропривода постоянного тока.

Рассмотренный выше пример по выявлению структуры оптимальной поверхности переключения показал, что классический вариант синтеза оптимального управления даже для системы третьего порядка очень трудно осуществить на практике. Далее, в прикладном плане, вообще говоря, нет необходимости иметь закон управления, который обеспечивал бы оптимальные переходные процессы из любой точки фазового пространства, так как в реальных условиях область возможных начальных условий локализована. Для привода в переходном процессе требуется перевод фазовой точки из одного установившегося состояния в другое. Поскольку привод имеет астатизм, то это всегда можно интерпретировать как перевод фазовой точки с некоторой прямой в начало координат.

Для нахождения оптимального управления и оптимальных траекторий, можно воспользоваться изложенным ниже методом решения двухточечной задачи оптимального управления.

Рассмотрим объект, движение которого описывается уравнением (2), а качество процесса управления задаётся функционалом (1). Требуется найти оптимальное управление и оптимальную траекторию, переводящие фазовую точку из некоторого заданного начального состояния х° в начало координат.

В соответствии принципом максимума оптимальное управление принимает значения:

, если

если если ц/'Ь < -1,

где вспомогательный вектор

V

О,

В<1,

(3)

(принимается,

что у/п = -1) удовлетворяет сопряженной системе уравнений

(4)

Так как условия переключения управления зависят от , то для нахождение оптимальной траектории, удовлетворяющей минимуму функционала (1) и переводящей систему из начального состояния х° в начало координат, необходимо определить вектор уг(0) = 0. Он находится при помощи метода Ньютона.

Прежде чем рассматривать его реализацию необходимо заметить, что поскольку сопряженная система (4) для ^ не устойчива, то задача о нахождении ц/(0) является плохо обусловленной,

что приводит к существенным вычислительным ошибкам. Для преодоления этих трудностей целесообразно в качестве искомого аргумента использовать не чг(0), а цг(Г) (Т - время окончания движения). Систему (4) следует рассматривать в обратном времени г. Учитывая выше сказанное, с применением метода Ньютона решаются следующие уравнения

Гх(ф(ПГ) = 0,

относительно цд(Г) и Т.

Алгоритм метода Ньютона имеет следующий вид

х(чЛП7У1^ У(ГУ1а^У >дг* =0)

ечг(Г') ат*

^'(Г'"1) = + ЛУ(Г'),

где /г - номер шага.

Частные производные определяются соотношениями.

%(Г) ВЛц|(гя) ^ ВЧ'ф (V,)

(7)

= Щ1Г = Ах(Г) + Ви(Г), (8)

8НЫПТ) = ттла»(чКР,Р+Гздспг) у (9)

5цг(Г) ^ V ЗТ ; '

где У(г) = елТ', а = еА!, пг - число переключений. Выбор знака перед Д в (7) зависит от направления переключения управления: при переключении с «+» на 0 и с 0 на «-» перед Л ставится знак «+», а при переключении с «-» на 0 и с 0 на «+» перед В ставится

знак«-». Производная

После того, как определены все частные производные, система линейных алгебраических уравнений (6) решается относительно Дцг(Т) и Д7\ По ним определяются искомые цг(!Г) и Г на следующем шаге метода Ньютона. Как только достигается требуемая точность, итерации прекращаются.

Для электропривода постоянного тока, математическая модель которого представлена структурной схемой на рисунке 2, рассмотрим синтез оптимального закона управления.

Рис. 2. Структурная схема электропривода

Для применения изложенной методики, эта модель преобразуется к виду (2). Область возможных начальных условий в фазовом пространстве представляет собой ось 0<р. На ней выбирается ряд значений начальных условий из заданного диапазона. Далее определяются оптимальные траектории, выходящие из каждой такой точки и приходящие в начало координат. В результате мы получаем семейство оптимальных траекторий, соответствующих некоторому набору возможных начальных условий.

Рассмотрим способ формирования оптимального закона управления по комплексному критерию качества, используя информацию о полученных координатах точек переключения. Каждая оптимальная траектория имеет четыре точки переключения управления, а также все траектории имеют одну общую точку окончания движения — начало координат. Эти точки можно разделить на две группы: первая соответствует моментам переключения управления с «плюса» на 0 и с 0 на «плюс», а вторая соответствует моментам переключения управления с «минуса» на 0 и с 0 на «минус». В каждой такой группе по две точки. Исходя из этого, для каждой оптимальной траектории можно построить две плоскости в трёхмерном фазовом пространстве, проходящие через начало координат и соответствующие группы точек переключения управления.

С использованием пары плоскостей переключения закон оптимального управления формируется следующим образом: и = R • sign [sign (g - (р - с* (g) ■ i - с\ (g) ■ со) +

где g - входной сигнал; c^.ct и с], с, - коэффициенты плоскостей переключения «+» 0 и «-» 0, соответственно.

Результаты моделирования замкнутой системы электропривода приведены на рисунке 3. Во время движения объекта под

управлением равном нулю электропривод не потребляет энергию. Длительность этого интервала можно варьировать выбором коэффициента k функционала (1).

Рис. 3. Отработка электроприводом входного сигнала

Для электроприводов средней и большой мощности на передний план выходит задача ограничения потребляемой мощности в пусковых и переходных режимах. С этой целью электропривод как объект управления имеет в своём составе систему ограничения тока, обеспечивающую снижение нерационального потребления мощности в пусковых режимах обусловленное насыщением магнитопровода.

В литературе задача синтеза для электроприводов оптимального по быстродействию управления с учётом указанного выше ограничителя тока не рассматривалась. Необходимо также иметь в виду, что ограничение тока является ещё одним средством экономии энергии. Указанное ограничение можно осуществить как с помощью специального ограничителя, так и средствами управления, то есть рассматривая данное ограничение как фазовое.

Структурная схема электропривода (рис. 2) дополняется ограничителем тока D.

Из проведённого анализа математической модели следует, что электропривод как объект управления имеет сильно разнесённые постоянные времени. Поэтому при синтезе оптимального по быстродействию закона управления можно пренебречь электромагнитной постоянной времени Г,. Это позволяет понизить порядок объекта управления, что упрощает процедуру синтеза оптимального управления. Полученную таким образом модель привода будем называть «базовой».

Будем считать ограничение по току как фазовое. Для получения более общего результата рассмотрим оптимальный по быстродействию вывод системы на режим слежения. Входной сигнал

будем рассматривать как произвольную линейнонарастающую функцию времени у = gй + g^it. Уравнения движения в ошибках имеют вид-

с1х,

= *2>

(И)

где x¡=gд-<p, xг-g¡-co. Для системы второго порядка ( 2^=0) фазовое ограничение по току приводит к переменной области управления. Эта область задается неравенствами:

Принцип максимума Понтрягина позволяет выделить множество всех возможных оптимальных траекторий и тем самым осуществить синтез оптимального по быстродействию управления. Принимая во внимание, что в реальной системе электропривода постоянного тока работает автоматический ограничитель тока, то оптимальный закон управления можно существенно упростить. В работе показано, что он задается равенством

и = -/(*,.■§■,)) >

причем для функции в диссертации получено аналитиче-

ское выражение.

015 оа О 25 03 039

1 1 1 ' / ¡ - Гг ■ 1 1 1

11* . г -. -1~Г -

О О» 0 1 О 15

О л& 0 2

Рис 4. Отработка электроприводом линейно нарастающего входного сигнала Для уточнения базового закона управления необходимо учесть влияние малой постоянной времени . Для этого в базовом

законе управления текущие координаты х, и хг заменяются упрежденными на некоторое «эквивалентное» запаздывание г. В результате оптимальный по быстродействию закон управления принимает вид

Величина «эквивалентного» запаздывания г подбирается путём моделирования системы с законом управления (12). Полученный таким образом закон управления практически не отличается от строго оптимального.

Осциллограмма отработки следящим электроприводом линейно нарастающего входного сигнала приведена на рисунке 4.

В третьей главе диссертации рассматривается оптимизация по быстродействию силового объёмного гидропривода, работающего от автономного источника энергии. Гидропривод как объект управления представляет собой сложную нелинейную систему высокого (десятого) порядка, причем нелинейность динамической модели гидропривода обусловлена, прежде всего, наличием в нем разнообразных ограничителей. Для объектов такого класса в настоящее время не разработан метод синтеза оптимального по быстродействию управления.

Потребляемая приводом мощность пропорциональна произведению р-у, где р - давление масла в магистрали, у - угол поворота люльки насоса переменной производительности. Давление масла в магистрали ограничивается перепускными клапанами (ограничитель). Потребляемую гидроприводом энергию можно заметно снизить, если при синтезе оптимального управления давление масла в магистрали ограничивать средствами управления, то есть рассматривать как фазовое. В этом случае при ограничении давления реализуется минимальное произведение

Динамические модели объемных силовых гидроприводов содержат звенья, имеющие большие и малые постоянные времени, которые разнесены в 90 и более раз. На рис. 5 изображена структурная схема базовой динамической модели гидропривода, то есть динамической модели, в которой приравнены нулю малые постоянные времени, не учитываются также нежёсткость механической передачи и люфт в редукторе.

В системе гидропривода угол у конструктивно ограничен максимальным значением , давление р ограничивается средствами управления

Рис 5. Структурная схема базовой системы

Синтез оптимального по быстродействию гидропривода выполняется по следующей схеме: сначала определяется оптимальный закон управления для базовой системы, а затем в полученном законе приближенно учитывается влияние малых постоянных времени (малых параметров). Таким способом удается существенно упростить процедуру синтеза. Данный подход позволяет также решить проблему, обусловленную высоким порядком объекта управления, названную Р. Беллманом «проклятием размерности».

На управление наложено ограничение |и| < А . В соответствии с рис. 5 давление масла в магистрали

1

(ву- УГа)

Рассмотрим следующую задачу оптимального управления. Требуется среди допустимых управлений перево-

дящих фазовую точку системы из заданного (любого) начального состояния в начало координат так, чтобы выполнялось неравенство

1.(0К«)-Му( 0)

(13)

найти такое, которое минимизирует функционал

Ограничение (13) и Д выделяют в фазовом пространстве

системы некоторую замкнутую область В, которой должны принадлежать оптимальные траектории. Граница области В задается четырьмя плоскостями

Г-А=0Р Г + Ц=0, (14)

г- ])г= о, —г-—а + в2= 0.

(15)

При движении по границам (15) области В управление определяется из условия

и задается соотношением

WKD, (G W ) W и^-^^-у-^у—со. (17)

Из (16), в частности, следует, что одновременное движение фазовой точки по границам (14) и (15) невозможно. Из условий оптимальности следует, что при движении в открытом ядре области В оптимальное по быстродействию управление является кусочно-постоянной функцией, принимающей значения ±А. Синтез оптимального управления сводится к построению в фазовом пространстве поверхности переключения. Она образована оптимальными траекториями (рис. 6) и состоит из особых точек фазового пространства, которые переводятся в начало координат с одним переключением управления (имеются в виду переключения, которые происходят на линии MON, включая точки М и N). Указанные траектории определяются численно, путем интегрирования уравнений системы в обратном времени, задаваясь значением управления u(t) в соответствии с рис. 6.

Рис. 6. Поверхность переклю- Рис. 7. Отработка рассогла-чения сования базовой системой

Для формирования оптимального закона управления, целесообразно выполнить аппроксимацию поверхности переключения. Так как базовая система имеет невысокий (третий) порядок, то это можно сделать методом сечений при этом удается обеспечить достаточно высокую точность аппроксимации

Обозначим уравнение поверхности переключения.

Запишем отимальный по быстродействию закон управления

Hi

если |р|<Д или |р] = Бг и (Ф(у, со) - ф) • sign р < О, WKD., . (G W ) W , . п

- Ч1РТ||-V--м если |р| = А и

со) — ф) • sign р > О.

GT-SlSn{Lr-L(0

Закон управления (18) обеспечивает как движение по границам (15), так и сход с границы в открытое ядро области В.

На рис. 7. представлены осциллограммы отработки синтезированной системой начального рассогласования <р0 =-50 рад. по углу поворота гидродвигателя.

Учтём в законе управления (18) влияние малых постоянных времени. Для этого будем последовательно присоединять к базовой системе звенья, содержащие малые постоянные времени. Присоединим сначала к базовой системе звено, учитывающее динамику нарастания давления масла. Структурная схема объекта управления в этом случае имеет вид, представленный на рис. 8.

и

1 Г

S

7\ . Ml г р к 03 1 ф

Т. S+1 - Т s+1 S

W

Рис. 8. Структурная схема гидропривода, учитывающая динамику изменения давления

Для объекта управления ограничение давления является фазовым ограничением второго порядка. Обеспечить ограничение давления средствами управления можно лишь в том случае, если в момент ? входа на ограничение |р| = Бг производная

йр\ 1

dt\

1(Су(1)-]Ксо(1'))-р(1)

(19)

Упреждение фазовых координат непосредственно в законе управления (18) не обеспечивает выполнение равенства (19) и, если не использовать ограничитель, приводит к нарушению неравенства |р| < . Это затруднение можно избежать, если обеспечить движение по границе в скользящем режиме, а упреждения отнести только к переменным, задающим поверхность переключения. Для рассматриваемого объекта четвертого порядка (см. рис. 8) оптимальный по быстродействию закон управления определяется выражением

и -

И=Аи

Ф| у,(о + -{Кр-со)т, ¡-р-ог,

, если |р| < Д или в^п р < О,

1 Г 1

(20)

, если

|р| = 0, и

ф| '/•<»+р(кР-Ф, I-р-юг,

Б^П Р > 0.

При хорошо подобранной величине г, он практически не отличается от строго оптимального. Величина эквивалентного запаздывания г, подбирается в процессе моделирования системы с законом управления (20) на компьютере.

Влияние остальных постоянных времени учитывается весьма просто, поскольку они не оказывают сколь-либо заметного влияния на потребляемую гидроприводом энергию. Для этого достаточно в базовом оптимальном законе управления (по отношению к данной постоянной времени) ввести упреждение фазовых координат.

На рис. 9 представлена структурная схема гидропривода, причем гидропривод как объект управления выделен пунктиром.

Рис. 9. Структурная схема гидропривода

При синтезе оптимального закона управления рассматривалась автономная система, то есть предполагалось, что входной сигнал отсутствует. Поскольку объект управления обладает аста-тизмом, от закона управления, полученного для автономной системы, можно легко перейти к закону управления для неавтономной системы. Для этого в законе управления для автономной системы фазовые координаты следует заменить ошибками по соответ-

ствующим координатам и изменить знак управления. Для повышения точности режима слежения в качестве входного сигнала рассматривалась произвольная линейнонарастающая функция времени.

На рис. 10 представлена осциллограмма обработки системой десятого порядка ступенчатого входного сигнала ,у=0.5-1 (0 рад. Из сравнения осциллограмм представленных на рис. 7 и 10, следует, что упреждённый закон управления обеспечивает практически ту же длительность переходных процессов, что и закон управления (18) в базовой системе. Аналогичная ситуация имеет место при любой амплитуде входного сигнала.

05 1 1.5 0 0 5 1 1.5

Рис. 10. Осциллограммы отработки гидроприводом ступенчатого входного сигнала

В диссертации проводилось исследование режима слежения оптимального гидропривода. В качестве входного сигнала использовалась гармоническая функция времени. В результате выявлено, что синтезированный оптимальный по быстродействию закон управления гидроприводом обеспечивает высокую точность режима слежения. На рис. 11 представлена осциллограмма отработки оптимальным по быстродействию гидроприводом гармонического входного сигнала.

Рис. 11. Режим слежения за гармоническим входным сигналом

Ошибка слежения ¿-(0 за тестовым сигналом составляет 2,3 мрад., что для рассматриваемого гидропривода является хорошим результатом. Синтезированный закон управления обеспечивает

также экономию потребляемой энергии в переходных режимах не менее 30%.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Для линейных объектов управления и комплексного критерия вида (1) доказана достаточность необходимых условий оптимальности (принципа максимума).

2. Выполненные исследования показали, что строгий синтез оптимального управления по комплексному критерию даже моделью третьего порядка приводит к серьёзным вычислительным затруднениям, причём полученный при этом оптимальный закон управления очень сложно реализовать на практике. Поэтому для упрощения процедуры синтеза рекомендуется учитывать имеющую место на практике ограниченную область возможных начальных условий. В связи с этим разработан алгоритм численного решения двухточечной задачи оптимизации.

3. С учётом ограниченной возможной области начальных условий разработан метод синтеза оптимального управления по комплексному критерию электроприводом постоянного тока.

4. Выполнен синтез оптимального по быстродействию электропривода постоянного тока при наличии ограничителя тока и с выходом системы на режим слежения.

5. Разработан метод оптимизации и проведён синтез оптимального по быстродействию закона управления объёмным силовым гидроприводом с фазовым ограничением давления, обеспечивающего снижение энергопотребления в переходных процессах.

6. В режиме слежения синтезированный гидропривод обеспечивает высокую динамическую точность.

ОСНОВНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ

1. Фалдин Н. В., Васютин Е. В. Синтез следящего привода оптимального по расходу управления // Известия ТулГУ. Серия. Проблемы Специального машиностроения. Вып. 5 Часть 1. -Тула: Изд-во ТулГУ, 2002. - С. 295-298.

2. Васютин Е. В. Метод синтеза систем оптимальных по расходу управления. // Международная научная конференция «XXVIII Гагаринские чтения». Тезисы докладов. М.: Изд-во ЛАТМЭС, 2002. Т. 2.-С. 415.

20

»22290

3. Васютин Е. В. Синтез оптимального закона управления методом малых приращений // Техника XXI века глазами молодых ученых и специалистов. Выпуск 3. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2003. - С. 232-237.

4. Васютин Е. В. Оптимизация систем третьего порядка по комплексному критерию качества. // Международная научная конференция «XXIX Гагаринские чтения». Тезисы докладов. М.: Изд-во ЛАТМЭС, 2003. Т. 5. - С. 385.

5. Васютин Е. В. Оптимальный закон управления автономным электроприводом // Техника XXI века глазами молодых ученых и специалистов. Выпуск 4. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. -С. 123-129.

6. Фалдин Н. В., Васютин Е. В. Синтез оптимального объёмного гидропривода с учётом фазовых ограничений // Известия Тул-ГУ. Серия. Проблемы Специального машиностроения. Вып. 6. Часть 1. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2003. - С. 338-342.

7. Васютин Е. В., Фалдин Н. В. Синтез оптимального объёмного гидропривода при фазовых ограничениях с учётом малых постоянных времени // Известия ТулГУ. Серия. Вычислительная техника. Информационные технологии. Системы управления. Том 1 Вып. 1. Системы управления. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2003. - С. 49-56.

8. Фалдин Н. В., Васютин Е. В. Оптимизация по быстродействию объёмного силового гидропривода, работающего от автономного источника энергии // Мехатроника, автоматизация и управление. №5 - 2004. С. 26-32.

9. Васютин Е. В. Метод синтеза оптимального по быстродействию объёмного силового гидропривода с минимизацией потребляемой энергии. // Идеи молодых - новой России: Сб. тез. докладов 1-ой Всероссийской научно-технической конференции студентов и аспирантов 24-26 марта 2004 г. Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. - С. 210.

10. Васютин Е. В., Глухов Г. В. Оптимизация следящего электропривода с учетом ограничения по току. // Приборы и управление. Сборник статей молодых учёных ТулГУ. Выпуск 2. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. - С. 23-28.

Изд. лиц. ЛР № 020300 от 12.02.97. Подписано в печать Формат бумаги 60x84'/1б. Бумага офсетная. Усл. печ. л. ■ Уч.-изд. л. . Тираж (00 экз. Заказ 3*-

Тульский государственный университет. 300600, г. Тула, пр. Ленина, 92.

ВВЕДЕНИЕ.

1. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ОБЩЕТЕОРЕТИЧЕСКОГО ХАРАКТЕРА.

1.1. Условия оптимальности при наличии в объекте управления ограничителей и при задании фазовых ограничений

1.2. Достаточные условия оптимальности.

1.3. Синтез оптимального управления объектом третьего порядка по комплексному критерию качества.

1.4. Метод малых приращений при оптимизации системы по быстродействию и расходу управления.

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОПРИВОДОМ ПОСТОЯННОГО ТОКА.

2.1. Синтез оптимального по быстродействию управления методом малых приращений.

2.2. Синтез электропривода оптимального по быстродействию и расходу управления.

2.3. Синтез оптимального по быстродействию электропривода с учётом ограничения по току.

3. ОПТИМИЗАЦИЯ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ СИЛОВОГО ОБЪЁМНОГО ГИДРОПРИВОДА, РАБОТАЮЩЕГО ОТ АВТОНОМНОГО ИСТОЧНИКА ЭНЕРГИИ.

3.1. Синтез оптимального по быстродействию базового закона управления с учётом фазового ограничения давления.

3.2. Формирование оптимального по быстродействию закона управления с учётом динамики нарастания давления.

3.3. Оптимальный по быстродействию гидропривод.

Эффективность современных управляемых комплексов вооружения в значительной степени определяется качеством исполнительных следящих приводов систем наведения. К ним предъявляются высокие требования по таким динамическим характеристикам, как точность и быстродействие. В качестве исполнительных приводов в основном используются высокоточные моментные электроприводы и силовые гидравлические приводы с объёмным регулированием скорости (практически не имеющие альтернативы при очень высоких мощностях). Приводы рассматриваемого класса, как правило, работают от автономных источников энергии, причём часто имеет место дефицит энергии. Поэтому весьма актуальной является задача экономии потребляемой приводом энергии.

Существуют различные подходы к решению этой задачи. Одно из направлений основано на повышении эффективности автономных источников питания за счёт применения различного рода накопителей энергии. В частности для электроприводов используются ёмкостные накопители. Для гидроприводов автономным источником энергии служит, как правило, дизельный двигатель. В этом случае роль накопителя механической энергии выполняет маховик.

Другой подход к решению обозначенной проблемы основан на синтезе оптимального закона управления, который позволяет снизить нерациональное потребление энергии приводами в переходных режимах, обусловленное рядом физических и конструктивных причин. Он также должен обеспечивать приемлемое быстродействие и точность в режиме слежения. При синтезе систем управления вооружением это позволяет, в свою очередь, снизить массогабаритные характеристики накопителей энергии, улучшает технико-экономические показатели комплексов.

Вопросам проектирования автономных следящих приводов с высокими динамическими характеристиками и минимизацией энергетических затрат посвящены работы А. Н. Геращенко, В. А. Полковникова, В. Г. Стеблецова [46, 32, 59]. Большой вклад в развитие теории проектирования гидроприводов внесли Н. С. Гамы-нин, В. Н. Прокофьев [26, 27, 28, 50]. Синтезу и оптимизации гидроприводов посвящены работы, выполненные на кафедре САУ Тульского государственного университета Н. В. Фалдиным, Н. Н. Макаровым.

Актуальность диссертации заключается в том, что в настоящее время недостаточно разработаны методы синтеза оптимального управления нелинейными динамическими системами, обеспечивающие снижение потребления энергии. Такими системами являются электро- и гидроприводы современных комплексов вооружения.

Цель работы состоит в разработке методов синтеза оптимального управления электрическим приводом постоянного тока и объёмным силовым гидроприводом с минимизацией потребляемой энергии от автономного источника питания.

При оптимизации технических систем приходится сталкиваться с ограничениями фазовых координат системы двух типов.

Ограничения фазовых координат обеспечиваются специальными конструктивными мерами (механическими упорами, сбросовыми клапанами и т. п.) или физическими свойствами объекта. Такие ограничения не могут быть нарушены при любом выборе управления. Объекты, обладающие такими свойствами, принято называть объектами с ограничителями. Ограничение фазовых координат системы может быть обеспечено средствами управления. В последнем случае говорят о задачах оптимального управления с ограничениями на фазовые координаты системы.

В литературе присутствуют необходимые условия оптимальности (в форме принципа максимума) как при ограничениях первого, так и второго типов [25, 47, 33, 51]. Однако отсутствуют условия оптимальности, когда в задачах оптимального управления одновременно присутствуют оба типа ограничений, то есть когда требуется оптимизировать объект, содержащий ограничители при наложении на вектор состояния дополнительных фазовых ограничений.

В первом разделе работы формулируются такие условия оптимальности в форме принципа максимума. Рассматривается наиболее простой случай, когда управление является скалярным и отсутствует движение по границе допустимой области, обусловленной одновременно ограничителем и фазовым ограничением, так как такая ситуация невозможна при оптимизации объёмного гидропривода.

Оптимизация электропривода с целью уменьшения потребляемой энергии в переходных режимах предполагает рассмотрение ряда аспектов.

Электропривод постоянного тока как объект управления представляет собой систему, в которой потребление энергии напрямую зависит от величины и формы питающего напряжения. В связи с этим для решения поставленной задачи целесообразно выполнить синтез оптимального закона управления по комплексному критерию качества [33]. Рассматриваемый электропривод описывается математической моделью третьего порядка. Поскольку в литературе синтез оптимального управления по комплексному критерию рассматривался для систем второго порядка, то в диссертации приводится классический вариант синтеза оптимального по комплексному критерию управления для простого модельного объекта, который выявляет структуру поверхности переключения, с помощью которой задаётся оптимальное управление.

В большинстве практических случаев для привода в переходном процессе требуется перевод фазовой точки из одного установившегося состояния в другое. Поэтому, в прикладном плане, вообще говоря, нет необходимости иметь закон управления, который обеспечивал бы оптимальные переходные процессы из любой точки фазового пространства, так как в реальных условиях область возможных начальных условий локализована. Поскольку привод имеет астатизм, то это всегда можно интерпретировать как перевод фазовой точки с некоторой прямой в начало координат. Для нахождения оптимального управления и оптимальных траекторий, предлагается метод решения двухточечной задачи оптимального управления. С использованием этого метода осуществляется синтез оптимального управления электроприводом постоянного тока по комплексному критерию качества.

Для гидроприводов систем наведения ракетно-пушечных зенитных комплексов рассматривается синтез оптимального по быстродействию закона управления, то есть синтез специализированного закона управления, минимизирующего длительность переходных процессов. Гидропривод как объект управления представляет собой сложную нелинейную систему высокого (десятого) порядка, причем нелинейность динамической модели гидропривода обусловлена, прежде всего, наличием в нем разнообразных ограничителей, которые приводят к нелинейностям специфического вида. Для объектов такого класса в настоящее время не разработан метод синтеза оптимального по быстродействию управления.

Потребляемую приводным двигателем гидропривода энергию можно несколько снизить, если при синтезе оптимального управления давление масла в магистрали ограничивать не с помощью перепускных клапанов (ограничитель), а средствами управления, то есть рассматривая соответствующее ограничение как фазовое. Таким образом, необходимо разработать метод синтеза оптимального по быстродействию объёмного силового гидропривода по его нелинейной динамической модели, в которой наряду с ограничителями (угол поворота заслонки, перемещение золотника, угол поворота люльки насоса) будет учитываться фазовое ограничение по перепаду давления масла в магистрали.

В диссертации использовались методы теории автоматического управления, теории оптимального управления, метод пространства состояний, методы численного моделирования динамических систем. Работа проводилась в рамках хоздоговора с ГУП «КБ приборостроения» № 018101 на кафедре САУ Тульского государственного университета под руководством д. т. н., проф. Н. В. Фалдина.

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю Заслуженному деятелю науки РФ, д. т. н., профессору Николаю Васильевичу Фалдину.

1. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ

ОБЩЕТЕОРЕТИЧЕСКОГО ХАРАКТЕРА

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Современные комплексы вооружения призваны решать очень широкий круг тактических задач в автоматическом режиме (то есть практически без участия человека). Такая функциональная нагрузка предъявляет очень жёсткие требования к характеристикам всех подсистем комплекса, которые должны надёжно и эффективно взаимодействовать между собой. Одними из звеньев этой цепи являются следящие приводы систем наведения вооружения, которые могут быть как электрическими, так и гидравлическими. Наряду с обеспечением высокой динамической точности и быстродействия они должны обладать экономичным энергопотреблением в переходных режимах работы.

Разработке методов синтеза оптимального управления электрическим приводом постоянного тока и силовым объёмным гидроприводом, работающих от автономного источника энергии, посвящена настоящая диссертация.

В диссертации получены следующие результаты.

1. Для линейных объектов управления и комплексного критерия доказана достаточность необходимых условий оптимальности (принципа максимума).

2. Для модельного объекта управления третьего порядка выявлена структура поверхности переключения, с помощью которой задаётся оптимальное управление, минимизирующее комплексный функционал.

3. Разработан алгоритм численного решения двухточечной задачи оптимального управления с линейным объектом управления и комплексным критерием качества.

4. Разработан метод синтеза оптимального по комплексному критерию управления электроприводом постоянного тока. Его применение позволяет экономить потребляемую энергию.

5. Решена задача синтеза оптимального по быстродействию электропривода постоянного тока при наличии ограничителя тока и с выходом системы на режим слежения.

6. Разработан метод синтеза оптимального по быстродействию объёмного силового гидропривода с минимизацией потребляемой энергии в переходных процессах.

7. В режиме слежения синтезированный гидропривод обеспечивает высокую динамическую точность.

Предложенный метод синтеза оптимальных по быстродействию объемных силовых гидроприводов является достаточно простым и эффективным инструментом, позволяющим существенно повысить его быстродействие. Это очень важно, прежде всего, для следящих гидроприводов управляемых комплексов вооружения. Задача синтеза решна таким образом, что наряду с обеспечением предельно достижимого быстродействия удается существенно уменьшить (более чем на 30%) потребляемую гидроприводом энергию, что имеет большое значение для гидроприводов, работающих от автономных источников энергии.

Предложенный метод синтеза открывает хорошие перспективы по решению широко известной специалистам по оптимальному управлению проблемы, обусловленной высоким порядком математических моделей технических объектов управления.

1. Автоматизированное проектирование следящих приводов и их элементов. / М.В. Баранов, Ю.В. Илюхин и др.; Под ред. В.Ф. Казмиренко. М.: Энергоатомиздат, 1984. - 306 с.

2. Александровский Н.М. Элементы теории оптимальных сис

3. V тем автоматического управления. М.: Энергия, 1969. 127 с.1.

4. Анализ и оптимальный синтез на ЭВМ систем управления. / Под ред. А.А. Воронова и И.А. Орурка. — М.: Наука, 1984. — 343 с.

5. Антомонов Ю.Г. Синтез оптимальных систем. Киев: Наукова думка, 1972. 316 с.

6. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. М.: Машиностроение, 1968. — 764с.

7. Барковский В.В., Захаров В.Н., Шаталов А.С. Методы синтеза систем управления. — М.: Машиностроение, 1969. — 328 с.

8. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973. — 632 с.

9. Беллман Р., Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления. М.: Наука, 1969. 118 с.

10. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования.- М.: Наука, 1975. 768 с.

11. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. -М.: Наука, 1969. С. 36-64.

12. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972. 544 с.

13. Булгаков Б.В. О накоплении возмущений в линейных колебательных системах с постоянными коэффициентами. // Доклады АН СССР, 1946, т 51, вып. 5.

14. Ван-Трис Г. Синтез оптимальных нелинейных систем управления. М., Мир, 1964. - 167 с.

15. Васютин Е. В., Глухов Г. В. Оптимизация следящего электропривода с учётом ограничения по току. // Приборы и управление. Сборник статей молодых учёных ТулГУ. Выпуск 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. - С. 23-28.

16. Васютин Е. В. Метод синтеза систем оптимальных по расходу управления. // Международная научная конференция «XXVIII Гагаринские чтения». Тезисы докладов. М.: Изд-во ЛАТМЭС, 2002. Т. 2. С. 415.

17. Васютин Е. В. Оптимальный закон управления автономным электроприводом // Техника XXI века глазами молодых ученых и специалистов. Выпуск 4. Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. — С. 123-129.

18. Васютин Е. В. Оптимизация систем третьего порядка по комплексному критерию качества. // Международная научная конференция «XXIX Гагаринские чтения». Тезисы докладов. М.: Изд-во ЛАТМЭС, 2003. Т. 5. С. 385.

19. Васютин Е. В. Синтез оптимального закона управления методом малых приращений // Техника XXI века глазами молодых ученых и специалистов. Выпуск 3. — Тула: Изд-во ТулГУ, 2003. С. 232-237.

20. Волин Ю.М., Островский Г.М. Принцип максимума для разрывных систем и его применение к задачам с фазовыми ограничениями//Изв. вузов. Радиофизика, 1969, №11. С. 16091621.

21. Волков Е.Ф. Оптимальная по быстродействию электромеханическая система 3-го порядка с учетом ограничений, наложенных на координаты системы. В сборнике "Известия ЛЭ1. V* ТИ", вып. 90, 1970.

22. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления. Энергия. Ленинградское отделение. 1970. 328 с.

23. Габасов P.P., Кириллова Ф.М., Ружицкая Е.А. Решение классической задачи регулирования методами оптимального управления. М.:Автоматика и телемеханика, 2001. № 6 - С. 18-29.

24. Гамкрелидзе Р. В. Оптимальные процессы управления при ограниченных фазовых координатах // Изв. АН СССР. Математика, 1960, №3, С. 315-356.

25. Гамынин Н. С. Гидравлический привод систем управления. — М.: Машиностроение. 1972. - 376 с.

26. Гамынин Н.С. Основы следящего гидравлического привода. — М.: Государственное научно-техническое издательство ОБОРОНГИЗ, 1962. 294 с.

27. Гамынин Н.С., Жданов Ю.К., Климашин А.Л. Динамика быстродействующего гидравлического привода. М.: Машиностроение, 1979. 80 с.

28. Демьянов В.Ф. К нахождению оптимального управления в ^ задачах автоматического регулирования. // Вестник ЛГУ,1965, т. 13, вып. 3. С. 26-35.

29. Дунаев В.И. Квазиоптимальные по быстродействию системы автоматического регулирования. М.: Энергия, 1970. 63 с.

30. Иванов В.А., Фалдин Н.В. Теория оптимальных систем автоматического управления. — М.: Наука, 1981. — 336 с.

31. Кичатов Ю.Ф. Аналитический метод решения задачи оптимизации нелинейных систем одного класса И Автоматика и телемеханика, 1967, № 8, С. 1348-1356.

32. Клюев А.С., Колесников А.А. Оптимизация автоматических систем управления по быстродействию. М.: Энергоиздат, 1982. 237 с.

33. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. — М.: $ Наука, 1985.-520 с.

34. Кринецкий И.И. Регулирование двигателей внутреннего сгорания. М.: Машиностроение, 1965. — 232 с.

35. Лазарев Ю.Ф. MatLAB 5.x. К.: Издательская группа BHV, 2000. - 384 с.

36. Медведев B.C., Потёмкин В.Г. Control System Toolbox. М.: "Диалог МИФИ". 1999г. 287с.

37. Методы автоматизированного проектирования нелинейных уг, систем. / Под ред. Топчеева Ю.И. — М.: Машиностроение,1993.-575 с.

38. Некоторые особенности динамики гидропривода / Прокофьев В.Н., Казмиренко В.Ф., Подпоркин Г.Е. и др. — Вестник машиностроения, 1973, №3.

39. Олейников В.А., Смирнов Т.М. Оптимальное по быстродействию управление нелинейными объектами // Автоматика и телемеханика. 1970, №12. С. 167-170.

40. Основы автоматического управления. 3-е изд. / Под ред. B.C. Пугачева. М.: Наука, 1974. - 720 с.fy 44. Основы проектирования следящих систем. Под редакцией Н.А. Лакоты. М.: "Машиностроение". 1978 г. 391 с.

41. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1985. - 360 с.

42. Полковников В. А. Электрические, гидравлические и пневматические приводы летательных аппаратов и их предельные динамические возможности. Учебник. — Изд. 2-е, пере-раб. и доп. М.: Изд-во МАИ, 2002. - 452 с.

43. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Ми

44. V щенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов.1. М.: Наука, 1976. 391с.

45. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления. М.: Наука. ГРФМЛ. 1989. 304 с.

46. Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления. — М.: Наука, 1979. — 255 с.

47. Прокофьев В.Н., Казмиренко В.Ф. Проектирование и расчет автономных приводов. / Под ред. Прокофьева В.Н. М.: Маf v шиностроение, 1978. — 232 с.

48. Пупков К. А., Фалдин Н. В., Егупов Н. Д. Методы синтеза оптимальных систем автоматического управления. — М.: Из-во МГТУ им. Баумана. 2000. - 512 с.

49. Пупков К.А., Егупов Н.Д., Трофимов А.И. Методы теории автоматического управления. Учебное пособие. / Под ред. Н.Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им Н.Э. Баумана, 1998. - 562 с.

50. Рабинович Л.В., Петров Б.И., Терсков В.Г., Сушков С.А., Панкратьев Л.Д. Проектирование следящих систем. М.: Машиностроение, 1969. — 500 с.•Г

51. Садовой А.В., Сухинин Б.В. Сохина Ю.В. Системы оптимального управления прецизионными электроприводами. Киев.: ИСИМО. 1996 г. 298 с.

52. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. — М.: Наука, 1989. 432 с.

53. Системы силовых следящих приводов / В.Ф. Казмиренко,

54. A.Г. Лесков, В.А. Введенский; под ред. В.Ф. Казмиренко. — М.: Энергоатомиздат, 1993. — 304 с.

55. Следящие приводы / Е.С. Блейз, Ю.А. Данилов, В.Ф. Казми-^ ренко и др.; Под ред. Б.К. Чемоданова. М.: Энергия, 1976. —506 с.

56. Следящие приводы: В 3-х т. 2-е изд., доп. и перераб. / Под ред. Б. К. Чемоданова. Т. 1: Теория и проектирование следящих приводов / Е. С. Блейз, А. ЕЗ. Зимин, Е. С. Иванов и др. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1999. - 904 с.

57. Стеблецов В. Г. и др. Моделирование и основы автоматизированного проектирования приборов.: Учеб. пособие для вуf^ зов М.: Машиностроение, 1989. — 224 с.

58. Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования. Книга 1. Математическое описание, анализ устойчивости и качества систем автоматического регулирования. Под ред. В.В. Солодовникова. М.: Машиностроение. 1967. — 770 с.

59. Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования. Книга 1. Анализ и синтез линейных непрерывных и дискретных систем автоматического регулирования. Под ред.

60. B.В. Солодовникова. М.: Машиностроение. 1967. 682 с.

61. Уткин В. И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М.: Наука. 1981. — 368 с.

62. Фалдин Н. В., Васютин Е. В. Оптимизация по быстродействию объёмного силового гидропривода, работающего от автономного источника энергии // Мехатроника, автоматизация и управление. №5 2004. С. 26-32.

63. Фалдин Н. В., Васютин Е. В. Синтез оптимального объёмного гидропривода с учётом фазовых ограничений // Известия ТулГУ. Серия. Проблемы Специального машиностроения. Вып. 6. Часть 1. Тула: Изд-во ТулГУ, 2003. - С. 338-342.

64. Фалдин Н. В., Васютин Е. В. Синтез следящего привода оптимального по расходу управления // Известия ТулГУ. Серия. Проблемы Специального машиностроения. Вып. 5 Часть 1. Тула: Изд-во ТулГУ, 2002. - С. 295-298.

65. Фалдин Н. В., Есипов А. Н. Приближённый способ учёта при синтезе оптимальных систем малых постоянных времени // Изв. вузов. Электромеханика. — 1984. — №3. — С. 45-50.

66. Фалдин Н. В., Макаров Н. Н. Условия общности положения в задачах оптимального управления // Некоторые вопросы дифференциальных уравнений в решении прикладных задач. Тула.: ТулПИ, 1983. С. 148-153.

67. Фалдин Н.В. Достаточные условия оптимальности в одной задаче с ограниченными фазовыми координатами // Изв. вузов. Радиофизика, 1969. №7. С. 1067-1075.

68. Фалдин Н.В. Линейные быстродействия при ограниченных фазовых координатах // Автоматика и телемеханика, 1967.1. С. 23-33.4/

69. Q 70. Фалдин H.B. Оптимальное по быстродействию управление линейным объектом // Изв. вузов. Электромеханика. 1981, №2. С. 1351-1356.

70. Фалдин Н.В. Синтез оптимальных по быстродействию замкнутых систем управления — Тул. политехи, ин-т. Тула, 1990. -100 с.

71. Фалдин Н.В., Руднев С.А. Оптимизация в конечномерном пространстве. Тула. Тульский ордена Трудового Красного Знамени политехнический институт. 1986. 72 с.

72. Фельдбаум А.А. Основы теории оптимальных автоматических систем. М.: Физматгиз, 1963. 552 с.

73. Фельдбаум А.А., Бутковский А.Г. Методы теории автоматического управления. М.: Наука. ГРФМЛ. 1971. 744с.

74. Чемоданов Б.К. Следящие приводы. Книга вторая. М.: Энергия, 1976. 384 с.

75. Чемоданов Б.К. Следящие приводы. Книга первая. М.: Энергия, 1976. 480 с.