автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Метод предельных отклонений в проектировании следящих систем

На правахщсописи

СЕМАШКИН Валентин Евгеньевич

0034ЬУ

МЕТОД ПРЕДЕЛЬНЫХ ОТКЛОНЕНИЙ В ПРОЕКТИРОВАНИИ СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМ

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в промышленности)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

с'; о

itцJ

¡.ОоО

Тула 2008

003459766

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Тульский государственный университет»

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Макаров Николай Николаев ич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Ларкин Евгений Васильевич

кандидат физико-математических наук, доцент Барабанов Иван Николаевич

Ведущая организация: ГУП «Конструкторское бюро приборостроения» (г. Тула)

Защита состоится «//»^у^у^ 200$ г. в 14 час. на заседании диссертационного совета Д 212.271.05 при ГОУ ВПО «Тульский государственный университет» (300600, г. Тула, ГСП, просп. Ленина, д. 92,9 корп., ауд. 101).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Тульский государственный университет»

Автореферат разослан «2£ » 200% г.

Ученый секретарь диссертационного совета

В.М. Панарин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Важным классом систем автоматического управления являются следящие системы, находящие широкое применение в гражданской и военной технике. Современные следящие системы имеют сложную динамику, к ним предъявляются высокие требования. Поэтому проектирование следящих систем является сложной задачей, часто требующей индивидуального подхода в каждом конкретном случае.

Важным фактором, который необходимо учитывать при синтезе следящих систем, является класс возможных входных сигналов, так как невозможно сделать систему, одинаково хорошо воспроизводящую любые произвольные сигналы. Но все распространённые методы синтеза либо вообще не учитывают класс входных сигналов, либо учитывают только определенные частные случаи (например, ступенчатые или гармонические сигналы), либо оценивают лишь средние значения ошибки.

Современным методом, позволяющим исследовать качество слежения на произвольных классах входных сигналов, является метод предельных отклонений. Данный метод разработан и активно развивается на кафедре «Системы автоматического управления» Тульского государственного университета. Его ключевая особенность - описание класса сигналов с помощью дополнительного динамического звена - задающего устройства (ЗУ).

В настоящее время в рамках указанного метода решены многие важные задачи анализа систем - вычисление предельных отклонений для линейных и некоторых классов нелинейных систем, построение класса сигналов, соответствующего ЗУ и т.д. Однако синтез систем, оптимальных по предельным отклонениям, всегда сводился к численной оптимизации параметров регулятора, что требует много времени и часто не приводит к успеху. Поэтому задача создания формализованного метода синтеза регуляторов, оптимальных по предельным отклонениям на заданном классе входных сигналов, остаётся акту альной. Решению этой задачи и посвящена настоящая работа.

Целью работы является создание теоретических основ и формализованных методов проектирования следящих систем, обеспечивающих близкую к предельной точность слежения на заданном классе входных сигналов.

Задачами работы является:

1. Формализовать выбор ЗУ, наилучшим образом соответствующего конкретной задаче проектирования.

2. Формализовать определение требований к исполнительному двигателю для обеспечения необходимой гарантированной точности слежения системы.

3. Разработать закон управления, минимизирующий гарантированную точность слежения за сигналами, поступающими с выбранного задающе го устройства.

4. Реализовать оптимальные регуляторы для моделей гидравлического и электрического приводов. Сравнить качество работы синтезированных следящих систем с требованиями к ним и результатами, полученными традиционными методами, оценить чувствительность систем.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Решена задача о предельно-достижимой гарантированной точности слежения линейного объекта управления.

2. Разработан метод синтеза закона управления., обеспечивающего высокую гарантированную точность слежения.

3. Сформулирована и доказана теорема о том, что граница области достижимости состоит из участков траекторий, движение на которых происходит под действием управления и =±1.

4. Получены новые аналитические выражения границ областей достижимости звеньев 2-го порядка, позволяющие вычислять площадь областей и решать задачу о принадлежности точки области достижимости.

Практическая ценность работы. Результаты работы позволяют формализованно синтезировать линейные зако ны управления для высокоточных следящих систем различного назначения (следящих приводов станков с ЧПУ, приводов наведения ракетно-артиллерийских систем и т.п.).

Формализованный синтез исключает из процесса ручные операции, поиск решений перебором и т.п. Это существенно снижает длительность и ресурсоёмкосгь процесса проектирования.

Линейный характер закона управления не требует больших вычислительных ресурсов, а, значит, снижает требования к элементной базе. Для реализации линейных законов не требуется написание сложного программного обеспечения, что снижает требования к квалификации разработчиков. В итоге снижается себестоимость изделий.

В процессе эксплуатации изделий низкая чувствительность законов управления к параметрическим возмущениям увеличивает надёжность изделия и снижает стоимость эксплуатации.

Внедрение результатов. Результаты работы использованы в ГУП «Конструкторское бюро приборостроения» (г. Тула) при проведении исследований по теме «Панцирь». Акт внедрения прилагается к работе.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Метод выбора ЗУ, наилучшим образом соответствующего конкретной задаче проектирования.

2. Решение задачи о вычислении предельных отклонений в нелинейных импульсных системах.

3. Решение задачи о предельно достижимом гарантированном отклонении для линейных объектов управления с импульсными и непрерывными регуляторами.

4. Метод определения требований к исполнительному двигателю для обеспечения необходимой точности слежения на заданном множестве входных сигналов.

5. Метод синтеза закона управления, оптимизирующий предельные отклонения в следящих системах с линейными объектами.

6. Метод синтеза фильтра помех, основанный на оптимизации гарантированной точности слежения замкнутой системы.

7. Оптимальные законы управления для гидравлического привода наведения ЗРПК и электрического следящего привода, обеспечивающие высокую точность слежения.

Апробация работы. Основные результаты работы и отдельные её части докладывались на:

1. VII Всероссийской юбилейной научно-технической конференции «Проблемы совершенствования робототехнических и интеллектуальных систем летательных аппаратов» (Москва, МАИ, 2005).

2. XVI международном научно-техническом семинаре «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (Алушта, 2007).

3. Мевдународной конференции «Перспективные инновации в науке, образовании, производстве и транспорте'2008» (Одесса).

4. 5-й конференции «Мехатроника, автоматизация, управление» в рамках 2-й Российской мультиконференции по проблемам управления (Санкт-Петербург, ГНЦ РФ ЦНИИ "Электроприбор", 2008).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ, среди них 4 научные статьи в изданиях, включённых в список ВАК, и 4 публикации в материалах всероссийских и международных конференций и семинаров.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и приложения.

Во введении сформулированы объект и предмет исследования, рассмотрено текущее состояние проблемы, обоснована актуальность исследования, сформулированы цели и задачи исследования, перечислены основные результаты, пвказана их научная новизна и практическая полезность.

Первая глава содержит краткий обзор метода предельных отклонений, истории его развития и современного состояния.

Вопросам анализа и синтеза систем автоматического управления посвящены работы таких известных учёных как Беллман Р., Бесекерский В.А., Калман Р.Э., Красовский A.A., Лакота Н.Е., Понтрягин Л.С., Попов Е.П., Солодовников В.В., Фалдин Н.В., Чемоданов Б.Д. Однако классические результаты не предназначены для исследования характеристик систем при заданном классе входных сигналов. Этот пробел восполняет метод предельных отклонений, развиваемый на кафедре САУ ТулГУ. Ключевой особенностью данного метода является использование в модели системы дополнительного звена - задающего устройства (ЗУ), которое является источником сигналов для следящей системы и динамика которого определяет класс возможных входных сигналов (рисунок 1).

слежения

Рисунок 1 - Использование задающего устройства (ЗУ) в модели системы

Важнейшим частным случаем предельных отклонений является отклонение ошибки слежения. Эту величину имеет смысл вынести в самостоятельное понятие - гарантированная точность. Отсюда второе название метода - метод гарантированной точности.

В настоящее время решены многие вопросы анализа предельных отклонений. В частности, известна взаимосвязь между динамикой ЗУ и классом сигналов, который оно воспроизводит. Решена задачи вычисления предельных отклонений для нелинейных систем, описанных дифференциальными уравнениями состояния с непрерывно-дифференцируемой правой частью. Предложен оригинальный способ линеаризации нелинейных систем.

Однако ряд вопросов остаётся нерешённым. По-прежнему затруднительно вычислэть предельные отклонения для многих классов систем управления. Всё ещё не существует методики проектирования следящих систем, оптимальных по предельным отклонениям на классе входных сигналов, с высокой вероятностью приводящей к успеху.

В данной работе разработан метод синтеза регулятора, включающей способ выбора ЗУ, критерии выбора исполнительного двигателя, синтез закона управления и синтез фильтров шумов датчиков. Кроме того, решена задача вычисления предельных отклонений для нелинейных импульсных систем, описанных разностными уравнениями состояния с непрерывно-дифференцируемой правой частью.

Во второй главе решены задачи выбора ЗУ, наилучшим образом соответствующего конкретной задаче проектирования, а так же формирования на основе ЗУ требований к статическим характсрнстикам исполнительного двигателя.

В технических заданиях (ТЗ) на проектирование используются различные способы описания классов входных сигналов. Входной сигнал может быть представлен как стохастический процесс, и задан спектр этого процесса. Может быть перечислен набор типовых сигналов. Может быть дано неформализованное словесное описание. Поэтому на первом этапе необходимо выбрать ЗУ, наилучшим образом соответствующее ТЗ.

Можно показать, что для описания большинства практически важных классов входных сигналов требуется исследовать звенья второго порядка. Если из ТЗ можно получить спектр случайного входного сигнала, то задача подбора ЗУ сводится к задаче его аппроксимации спектральной характеристикой звена второго порядка. Это решение к данному моменту хорошо изучено.

Если же в ТЗ перечислен набор сигналов, то для исследования используется область достижимости ЗУ. Совместно с ней строится множество состояний, соответствующих перечисленным в ТЗ траекториям. Подбор ЗУ сводится к выбору области достижимости, покрывающей данное множество минимальным образом. Ниже (рисунок 2) показан пример такого подбора в координатах х\ - выходная величина ЗУ, хг - её скорость.

Эффективного алгоритма решения этой задачи ранее не существовало. В работе доказана теорема о том, что граница области достижимости состоит из участков траекторий ЗУ, движение на которых происходит под действием управления и - ±1. С помощью этой теоремы были получены следующие новые результаты.

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 х, У////^Х множество входных сигналов

-й- область достижимости выбранного ЗУ

Рисунок 2 - Пример выбора ЗУ для множества входных сигналов

Рассмотрим апериодическое звено с передаточной функцией

(2.1)

(л+а,)(*+аг)'

Если а{Фаг, то верхняя половина границы области достижимости описывается уравнениями:

1

д 2 СС, ехр (~а2() - а, ехр (-а,/)

а.-а.

г«™?

лехр(-аг/)-ехр(-а,<)

(0 = 2

а,-а,

(2.2)

О £ ( < а).

Площадь области достижимости апериодического звела:

=-р-г- (2.3)

Необходимые условия нахождения точки (х,, х2) вну-фи области достижимости:

Ч-а,а2х,-$1вп(дс2)-а2|х,1

2

а,

(2.4)

Если а, = а2 - а, то вместо формул (2.2)...(2.4) следует использовать формулы (2.5)...(2.7) соответственно:

Хг~Л') = 2'еМ-а>)> 8

а, '

-|х2| + 2/ехр(-а<) £ О,

/--■: 1 1д 1 — ' ) ~ Д 1

Рассмотрим теперь колебательное звено с передаточной функцией Верхняя половина границы области достижимости описывается уравнениями:

(2.6)

(2.7)

(2.8)

1

1-2| соsm.pt -—

К Р ), _._(

1-ехр -а —

1 Р

эр/?/ ехр(-а<)

1-ехр

(2.9)

Площадь области достижимости колебательного звена:

2 '^Н)

(2.10)

Необходимое условие нахождения точки (х,, х2) внутри области достижимости: я

1-ехр -й-----

ехрН')--^ -■ («2 + /?2) ■ ^п (*2) - а|*21)3 + (/?л-г )2 > О,

р\х

сОБ/?/ =

(2.11)

Во всех рассмотренных случаях нижняя половина границы может быть достроена исходя из свойства симметрии области достижимости относительно начала координат.

Формулы (2.2)...(2.11) позволяют решать задачу о подборе ЗУ с помощью эффективной процедуры численной минимизации площади области достижимости, покрывающей заданное множество точек. Данное решение так же является новым.

9

Предложенным методом в работе выбрано ЗУ для задачи проектирования привода наведения ЗРПК. С помощью модели полёта воздушной цели сформировано множество фазовых траекторий привода наведения, соответствующих слежению за различными маневрами цели (рисунок 3). Затем подобрано колебательное звено, наилучшим образом воспроизводящее полученные траектории. Так же рассмотрены примеры выбора ЗУ по наборам заданных гармонических сигналов.

Ускорение,А рад/с*

0.2-

рад/с

Рисунок 3 - Пример множества требуемых фазовых траекторий

ЗУ позволяет сформулировагть ряд требований к статическим характеристикам исполнительного механизма. Предельное отклонение произведения скорости на ускорение выходного сигнала ЗУ позволяет определить максимальную требуемую мощность, а сама граница области достижимости описывает требуемую механическую характеристику пары «двигатель-редуктор». В работе на основе таких требований выбран двигатель и редуктор для электропривода. Так же сформулированы требования для привода наведения ЗРПК. Заданный силовой гидропривод проверен на соответствие поставленным требованиям.

В третьей главе рассмотрена проблема предельно-достижимой гарантированной точности следящих систем.

В результате исследования класса входных сигналов (глава 2) было получено ЗУ и требования к статическим характеристикам объекта управления. Однако их выполнение само по себе ничего не гарантирует. Динамика объекта управления (исполнительного двигателя) всегда накладывает определённые ограничения на возможности всей системы и для каждого конкретного двигателя существует величина предельно-достижимой точности, превзойти которую невозможно ни при каком допустимом управлении. Поэтому, для правильного выбора двигателя необходимо вычислять эту величину заранее. Также она представляет

(

интерес и для задачи синтеза, так как обеспечивающий такое отклонение регулятор является оптимальным по гарантированной точности.

В связи с развитием цифровой техники подавляющее большинство современных регуляторов являются дискретными по времени (импульсными). Поэтому предварительно необходимо решить задачу вычисления предельных отклонений в импульсных системах. Пусть дана нелинейная импульсная система, линейная по управлению:

+ (3.1)

где F(x) - непрерывно дифференцируемая функция, F(0) - 0, к - дискретное время (номер шага). Величина допустимого управления ограничена по модулю jut| < 1. Пусть вектор-строка С задаёт направление, в котором необходимо вычислять отклонение. Известно, что для стационарной системы, начинающей движение из положения равновесия, достаточно исследовать ошибку только в конечный момент времени N, то есть тахСд-д,.

В работе с помощью теоремы Куна-Таккера получено следующее необходимое условие оптимальности. Если последовательность ut, лгм, к = 0...N-X решает поставленную задачу оптимизации, то существует последовательность векторов Л*, такая что:

'dF у

дх \ x*xt J

Л i = — Л. k = 0...N-2, (3.2)

дх „, v * У

k = 0...N-t, Л[Н*0.

Условие (3.2) в случае полностью линейной системы F(x) = Фх сводится к уже известному результату:

= сг- (3.3)

ut = sign Я.

В общем случае для решения системы уравнений (3.2) в работе предложен дискретный аналог алгоритма замороженных траекторий.

Рассмотрим задачу о предельно достижимой гарантированной точности слежения в импульсной системе. Пусть дана разомкнутая расширенная система, то есть ЗУ и объект управления (рисунок 4а). У неё два входа (вход ЗУ и вход объекта управления) и один выход - ошибка слежения. Задачей регулирования является подача на вход объекта управляющего сигнала и, минимизирующего абсолютную величину ошибки слежения Регулятором будем называть устройство, вырабатывающее сигнал и на основе измерений состояния объекта и ЗУ (рисунок 46).

(3.4)

а) разомкнутая 6) замкнутая расширенная

расширенная система система

Рисунок 4 - Разомкнутая и замкнутая расширенная система Пусть разомкнутая расширенная система описана уравнениями (3.4)

У к ~ С*» •

где х - вектор состояния расширенной системы, к - дискретное время (номер шага). Будем так же считать, что возможности сторон по выбору управляющих сигналов ограничены замкнутыми множествами и я У:

ПеГ, ик е и.

Пусть go(x) - абсолютная величина ошибки слежения в начальном положении .

Яо(*) = И. (3.6)

Пусть также gm(x) - минимальная абсолютная величина ошибки, которую регулятор может достичь независимо от действий противника (минимальная гарантированная ошибка) через т шагов при движении из начального состояния х. Тогда:

(*)=тМт И* у))) • (3-7)

Минимально возможная ГТ в процессе длительностью т шагов составит:

ГТ7=?Я(0) (3.8)

В работе показано, что если система линейна и правая часть уравнений состояния (3.4) имеет вид р(х, и, у) = Ф*+Нии + Ну\, а возможные управления ограничены только по модулю и |и4|<1), то уравнение минимального гарантированного отклонения (3.7)

имеет единственное решение:

^тах 1|СФ/Я„ | + Е |СФ'Я» I ~ |СФ'Я« | |СФт*| + Х|СФ'Я,,|-|СФ'Я,,|

(3.9)

(

Данное предельное отклонение может быть достигнуто при следующих законах управления:

если * 0 и |СФ^>К-Ч|,

\°т (л) = ±11фоизвольно, если СФ"чЯу/0 и |СФ"ос|<|СФ~~'Я,,|, произвольно, если СФ^'Я, = 0.

(3.10)

^¡гп СФ"Х , если СФ"-'Н*0 и \СФ"х\>\СФт-1н\ ° СФ-'Н.. " III "I

СФ"х

если СФ""'Ни*0 и ¡СФ"*! 2 |СФ""'Я„|, (3.11)

сф-'Я.

произвольно, если СФ""'Я. = 0

Минимально возможная ГТ такой системы составит:

ГТГ =.таХ)||СФуЯ.| + ^[СФ'Я>|-|СФ'Я„||. (3.12)

Полученные результаты можно обобщить на случай непрерывной по времени системы. Пусть разомкнутая расширенная система описана дифференциальными уравнениями (3.13):

х = Ах + В и + у = Сх.

Вместо количества шагов до конца процесса т будем рассматривать время до конца процесса Т. Минимальное гарантированное отклонение такой системы составит:

g(x, Г) = шах

шах ¡¡СгА'В^-\Сел'В^1

о

\СелЦ+\сел'В\-\СеА,Ви\Л

(3.14)

Данное предельное отклонение может быть достигнуто при следующих законах управления:

»(х,Т) =

5'&п <~в4Г*-, если СеАТВ„*0 и \СеАТх\>0, Се В,

±1 произвольно, если СеАТВ„ Ф 0 и \СеАТ^ = 0, произвольно, если Се" В^ = 0.

(3.15)

и(х,Т) =

Селтх

-51гп—■=—, если СелтВи ф О,

, л.', V V

Се Ва

произвольно, если Се" В^, =0.

(3.16)

Выражения минимально-возможной гарантированной точности (3.9) для импульсных и (3.14) для непрерывных систем позволяют проверить пригодность исполнительного двигателя по его линейной модели. В работе таким способом проверен выбранный электродвигатель и проверен заданный гидропривод.

Данный результат, вместе с требованиями к статическим характеристикам, сформулированными в главе 2, составляет новый метод постановки требований к исполнительному двигателю для обеспечения необходимой гарантированной точности слежения.

В четвертой главе рассматривается задача синтеза регулятора, оптимизирующего гарантированную точность замкнутой системы.

В главе 3 были получены стратегии управления, оптимальные по предельному отклонению в конечный момент времени. Они в явном виде зависят от количества времени до конца процесса, а значит, не являются стационарными. Поэтому максимальная ошибка слежения системы, замкнутой таким регулятором, будет достигаться не обязательно в конечный момент времени. Тем не менее, иа основе этого результата можно разработать регулятор, обеспечивающий хорошее значение ГГ. Поскольку закон управления (3.11) позволяет получить высокую точность в конце процесса (т —> 0), то имеет смысл построить некоторую аппроксимацию -ггого закона для малых т. Например, рассматривать т как малую константу. Данный регулятор можно реализовать линейными обратными связями с единичным ограничением на выходе:

Практически интересна ситуация, когда ограничение управляющего воздействия не достигается. Для проверки данного факта необходимо рассмотреть систему, замкнутую чисто линейным регулятором и = гх,и вычислить предельное отклонение управления в такой системе. Оно должно быть меньше максимально допустимого значения:

если |пс)>1, пс, если |п| й 1,

(4.1)

СФ"

г =

СФ""1Я„

(4.2)

В этом случае можно анализировать только полностью линейную систему и вычислять ГТ аналитически:

ГТ=||с(Ф + Я.г)'Я,| (4.3)

В работе синтезирован закон управления (4.1) для гидропривода наведения ЗРПК. Система дискретизирована с тактом квантования 0,001 с. Управляющее напряжение ограничено 8 В. Управления рассчитывается по линейной модели 8 порядка. Ниже (рисунок 5) приведены зависимости ГТ и предельного отклонения управления замкнутой системы от параметра т.

Рисунок 5 - Пример зависимости свойств замкнутой системы от параметра т

Из рисунка видно, что при т> 17 регулятор работает в линейной зоне <8 В). При этом обеспечивается высокая точность слежения, ухудшающаяся с ростом параметра т. С уменьшением параметра т уменьшаются и запасы устойчивости, при т = 1 замкнутая система неустойчива. Аналогичные результаты были получены и на модели электропривода.

Перечисленные свойства позволяют создать регулятор с динамическим подбором' величины т в процессе управления по следующему алгоритму. Если нет признаков срыва процесса слежения, то имеет смысл уменьшать т, иначе надо наоборот, увеличивать т.

Данный закон так же был синтезирован для гидропривода наведения ЗРПК. Управление рассчитывается по линейной модели 8 порядка. Такт квантования 0,001 с. Критерием срыва режима слежения является выход переменных состояния на их предельные значения. Закон обеспечил точность слежения менее 1 мрад без использования второй производной входного сигнала.

Следует отметить, что задача управления данным гидроприводом имеет высокую практическую полезность и изучается многими авторами. Различные подходы к синтезу опубликованы в работах Шорникова Е.Е., Короткова О.В., Фалдина Н.В., Макарова H.H., Есипова А.Н., Васютина Е.В., Варнавского С.О. и др. Наилучший из этих результатов

обеспечивает точность слежения 2,3 мрад. Таким образом, предложенный закон обеспечивает рекордную точность слежения.

Полученные результаты обобщены и для систем с непрерывным временем. Рассмотрим в формуле (3.16) параметр Г просто как малую константу, такую что СелтВи 0. Тогда получится стационарный релейный регулятор:

СеАГ

Г СеАТВ,' (4.4)

u = sign(rл).

Если на поверхности переключения выполняется условие

\гАх+гВху\<-гВи, (4.5)

то в системе возможно движение в скользящем режиме. Для исследования такого движения релейное управление можно заменить эквивалентным линейным:

э гА гВ„ ,ч

«э = ——х—-^у. (4.6)

гВ„ гВи

В методе ГТ предполагается, что система движется из нулевых начальных условий, то есть с поверхности переключения. Поэтому возможен «мучай, когда ни при каком входном сигнале срыв скользящего режима не происходит. Для проверки данного факта необходимо рассмотреть систему, замкнутую эквивалентным управлением, и вычислить предельное отклонение эквивалентного управления. Оно должно быть меньше полки реле:

и.**

Л+

гВ„

гВ„

<1. (4.7)

1 гВи ( гВ„ ) 1ч " гВи Тогда линейное эквивалентное управление можно использовать для вычисления ГТ:

(гВ,

гт=|си

гВи ) ^ * тВи

а. (4.8)

Предложенные законы управления используют переменные состояния ЗУ и объекта для формирования управления. Однако в реальной системе ЗУ не существует. Зная математическое описание ЗУ, эти переменные состояния оцениваются как линейная комбинация входного сигнала и его производных. На практике количество доступных производных входного сигнала ограничено. Неизвестные производные можно полагать нулевыми, что соответствует «прицеливанию» в центр множества возможных состояний ЗУ.

Измерение производных входного сигнала и переменных состояния объекта сопряжено с задачей фильтрации шумов датчиков. Традиционные методы фильтрации не позволяют оптимизировать точность слежения на произвольном классе сигналов. Строгие математические методы (например, фильтр Калмана) рассматривают только полностью

стохастические процессы, когда не только помеха, но и полезный сигнал является случайным процессом. Инженерные методы (например, фильтрация высоких частот на выходе датчика) основаны на минимизации среднеквадратичного расхождения между идеальным (незашумлённым) значением измеряемой величины и отфильтрованным значением, что не имеет прямой связи с оптимизацией точности работы всей системы.

В работе предложен новый метод выбора оптимальных параметров фильтров. Пусть динамика системы описана линейной моделью. Итоговая ошибка слежения будет складываться из двух слагаемых. Первое - максимальная амплитуда шума на выходе объекта управления. Она уменьшается с ростом инертности фильтра. Вторая - гарантированная точности замкнутой системы с фильтром без помех в сигналах. Она, наоборот, увеличивается с ростом инертности. Параметры фильтра необходимо выбирать таим образом, чтобы обеспечить наименьшее значение суммарной ошибки.

В работе синтезирован регулятор с фильтрацией помех для электропривода постоянного тока. Дискретный закон управления (4.1), рассчитанный по линейной модели третьего порядка, использует ток обмотки якоря, скорость вращения вала двигателя и рассогласование. С датчиков рассогласования (вращающийся трансформатор) и скорости (тахогенератор постоянного тока) идут помехи, для фильтрации которых используются апериодические звенья второго порядка. Ниже (рисунок 6) приведён график зависимости итоговой ошибки слежения от постоянной времени фильтра помех вращающегося трансформатора.

Синтезированный регулятор управляет нелинейной моделью электропривода высокого порядка, учитывающей ШИМ управления, динамику ключевого усилителя с ограничением тока, люфт и двумассовость редуктора. Итоговая точность слежения составляет -3,4 мрад. Точность слежения не снижается при отклонении параметров привода от номинальных в пределах возможных погрешностей. Так же в работе приведено сравнение предложенных результатов с результатами, которые обеспечивают классические методы -последовательная частотная коррекция и коррекция обратными связями по состоянию с наблюдателем Калмана. Предложенный регулятор обеспечивает лучшую точность слежения при управлении полной нелинейной моделью электропривода.

А Точность, рад

О 0.002 0.004 0.006 0.006 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 Г, с

Рисунок 6 - Пример зависимости точности слежения от постоянной времени фильтра

ВЫВОДЫ

В работе предложен формализованный метод синтеза регуляторов для следящих систем, в том числе получены следующие новые результаты'.

1. Разработан метод выбора ЗУ, наилучшим образом соответствующего конкретной задаче проектирования.

2. Решена задача о вычислении предельных отклонений в нелинейных импульсных системах.

3. Решена задача о предельно-достнжимом гарантированном отклонении для линейных объектов управления.

4. Предложен метод определения требований к исполнительному двигателю для обеспечения необходимой гарантированной точности слежении системы.

5. Разработан метод синтеза закона управления, оптимизирующего предельные отклонения в следящих системах с линейными объектами.

6. Предложен метод синтеза фильтров помех, оптимальных по гарантированной точности слежения замкнутой системы.

С использованием предложенного метода реализованы оптимальные законы управления для моделей гидравлического и электрического приводов, обеспечивающие высокую точность слежения.

Таким образом, все поставленные задачи решены, цели достигнуты.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ:

1. Макаров H.H., Семашкин В.Е. Вычисление гарантированной точности импульсных нелинейных систем управления [Текст] // Вестник Тульского государственного университета. Сер. Системы управления. - Тула. Изд-воТулГУ, 2007.-Вып. 1.-С. 124-128.

2. Макаров H.H., Семашкин В.Е. Двойственность решений задач об оптимальном быстродействии и предельном отклонении [Текст] // Вестник Тульского государственного университета. Сер. Системы управления. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. - Вып. 1. - С. 128-131.

3. Макаров H.H., Семашкин В.Е. Один подход к синтезу регуляторов на основе метода гарантированной точности |Текст] // Известия Тульского государственного университета. Сер. Вычислительная техника. Информационные технологии. Системы управления. - Тула, 2006. - Вып. 3. Системы управления. - Т. 2. -С. 49-52.

4. Макаров H.H., Семашкин В.Е. Один подход к синтезу регуляторов на основе метода гарантированной точности [Текст] // Современные технологии в задачах управления, автоматизации и обработки информации. Труды XVI Международного научно-технического семинара-Тула: ТулГУ,2007.-С. 121.

5. Макаров H.H., Семашкин В.Е. Оптимизация точности силового следящего гидравлического привода [Текст] // Материалы 2-й Российской мультиконференции по проблемам управления. Мехатроника, автоматизация, управление. СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ "Электроприбор", 2008. - С. 86-89.

6. Макаров H.H., Семашкин В.Е. О формировании задающего устройства для метода гарантированной точности [Текст] // Известия Тульского государственного университета. Сер. Вычислительная техника. Информационные технологии. Системы управления. - Тула, 2005. - Вып. 3. Системы управления. - С. 132-139.

7. Макаров H.H., Семашкин В.Е. Предельно достижимая точность линейных следящих систем [Текст] // Мехатроника, автоматизация, управление : Теоретический и прикладной научно-технический журнал. - М.: Новые технологии, 2008. - №10. - С. 8-13.

8. Макаров H.H., Семашкин В.Е. Современное состояние метода предельных отклонений [Текст] П Сбориик научных трудов по материалам международной научно-практической конференции «Перспективные инновации в науке, производстве и транспорте '2008». - Одесса, 2008. - Т. 2. Технические науки. - С. 12-14.

9. Макаров Н.Н, Семашкин В.Е. Формирование требований к приводам наведения на основе исследования динамики JIA [Текст] // Сборник докладов VII Всероссийской юбилейной научно-технической конференции «Проблемы совершенствования робототехнических и интеллектуальных систем летательных аппаратов». - М.: МАИ, 2005. -С. 376-379.

Ю.Макаров H.H., Семашкин В.Е., Богданова Л .А. Один подход к анализу точности приводов паведспия [Текст1 И Оборонная техника. - 2006. — Вып. 5-6. - С. 9398.

11. Семашкин В.Е. Определение предельно достижимой точности работы следящих систем [Текст] // Приборы и управление: Сборник статей молодых ученых ТулГУ. Вып. 4. -Тула, 2006.-С. 199-201.

12. Семашкин В.Е. Формирование требований к приводам наведения с помощью построения областей достилсимости входных сигналов // Приборы и управление : Сборник статей молодых учёных ТулГУ. Вып. 3. - Тула, 2005 - С. 130-134.

Изд. лиц. ЛР № 020300 от 12.02.97. Подписано в печать

Форм!гг бумаги 60<<84 '/и. Бумага офсетная _ __

Усл. печ. л. Уч.-изд. л. /, & . Тираж/^Якэ. Заказ 0x9 Тульский государственный университет 300600, г. Тула, просп. Ленина, 92 Отпечатано в Издательстве ТупГУ 300600, г. Тула, ул. Болдина, 151

Содержание.

Обозначения и сокращения.

Введение.

1 Краткий обзор метода предельных отклонений.

1.1 Практические проблемы, потребовавшие разработки метода.

1.2 Основные положения метода предельных отклонений.

1.3 Современное состояние метода предельных отклонений.

Выводы по главе 1.

2 Формирование задающего устройства для исследования следящих систем методом предельных отклонений.

2.1 Связь технических требований к следящей системе с требованиями к задающему устройству.

2.2 Задача о границе области достижимости линейного звена второго порядка.

Метод формирования ЗУ.

2.3 Формирование задающего устройства для привода вертикального наведения ЗРПК.

2.4 Постановка требований к объекту управления следящей системы на основе задающего устройства.

2.5 Проверка требований к гидроприводу наведения ЗРПК и выбор двигателя и редуктора для электропривода.

Выводы по главе 2.

3 Предельно-достижимая точность следящих систем.

3.1 Предельное отклонение в импульсных системах.

3.2 Постановка задачи о предельно-достижимой точности слежения импульсной системы.

3.3 Теорема о предельно-достижимой точности линейной системы.

3.4 Сравнение теоремы о предельно-достижимой точности линейной системы с уже известными результатами.

3.5 Обобщение теоремы о предельно-достижимой точности линейной системы на случай непрерывного времени.

3.6 Метод определения требований к исполнительному двигателю.

3.7 Проверка предельно достижимой точности слежения гидравлического и электрического приводов.

Выводы по главе 3.

4 Синтез регулятора, обеспечивающего высокую точность слежения.

4.1 Регулятор, оптимальный по отклонению в конечный момент.

4.2 Синтез стационарного закона управления на основе полученных результатов.

4.3 Переход от модели расширенной системы к реальной следящей системе. Оптимальная по предельному отклонению фильтрация сигналов.

4.4 Синтез стационарного регулятора для гидропривода наведения ЗРПК.

4.5 Синтез стационарного регулятора для электропривода с учётом реальной динамики схемы управления и датчиков.

4.6 Сравнение результатов синтеза регулятора для электропривода с результатами традиционных методов синтеза.

4.7 Регулятор с динамическим подбором параметров.

4.8 Регулятор с динамическим подбором параметров для гидропривода наведения ЗРПК. Сравнение с результатами других авторов.

Выводы по главе 4.

Важным классом систем автоматического управления являются следящие системы, находящие широкое применение в гражданской и военной технике. Примером таких систем являются приводы наведения артиллерийских комплексов, которые должны обеспечивать поворот массивной нагрузки с высоким быстродействием и точностью. Необходимость развивать большие усилия обуславливает сложность конструкции приводов, что в свою очередь, приводит к сложной нелинейной динамике. А требования по точности наведения могут быть соизмеримы с точностью изготовления самого привода (например, с величиной люфта редуктора). Поэтому проектирование современных следящих систем является сложной задачей, часто требующей индивидуального подхода в каждом конкретном случае. Это приводит к высокой длительности (порядка нескольких лет) и ресурсоёмкости процесса проектирования.

Проектированию следящих систем посвящено много работ разных авторов, предлагающих различные подходы к решению отдельных задач встающих, в процессе проектирования - выбору двигателя, составлению математической модели двигателя, её линеаризации, выбору источника энергии, синтезу закона управления, выбору датчиков, фильтрации помех в сигналах, реализации закона управления в техническом изделии [13, 15, 17, 21, 51, 53, 60, 61 68.70, 75]. В теории автоматического управления хорошо разработаны математические методы анализа и синтеза систем с учётом воздействия случайных помех [19, 55], методы идентификации и адаптивного управления [22, 19]. Сейчас интенсивно развиваются методы снижения чувствительности системы к изменениям динамики объекта [18, 49], методы интеллектуального управления без использования строгих математических моделей объектов [26, 46, 64]. Однако длительность и стоимость процесса проектирования по-прежнему остаётся высокой.

Это объяснятся, помимо вышеперечисленных трудностей, ещё и тем, что на следящую систему в процессе работы воздействует много факторов, неизвестных не этапе проектирования. Одним из таких факторов, неизвестным заранее, но существенно влияющим на работу следящей системы, является входной сигнал этой системы. Однако все классические методы либо вообще не учитывают класс возможных входных сигналов, либо учитывают только определённые частные случаи (например, гармонические сигналы). Современным методом, позволяющим исследовать качество слежения на произвольных классах входных сигналов, является метод предельных отклонений (метод гарантированной точности) [28, 29]. Данный метод разработан и активно развивается на кафедре «Системы автоматического управления» Тульского государственного университета [10, 11, 30.34].

В рамках данного метода решены многие задачи анализа систем. Однако синтез систем, оптимальных по предельным отклонениям, всегда сводился к численному подбору, который требует много времени и часто не приводит к успеху. Поэтому задача создания формализованного метода синтеза регуляторов, оптимальных по предельным отклонениям на заданном классе входных сигналов, остаётся актуальной.

Объектом исследования в данной работе являются следящие системы, сделанные на основе гидравлического привода с объёмным регулированием и электрического привода постоянного тока.

Предметом исследования являются теоретические основы и новые методы решения задач анализа и синтеза оптимальных по предельным отклонениям следящих систем.

Целью работы является создание теоретических основ и формализованных методов проектирования следящих систем, обеспечивающих близкую к предельной точность слежения на заданном классе входных сигналов.

Задачи, которые необходимо решать для достижения данной цели:

1. Формализовать выбор задающего устройства, наилучшим образом соответствующего конкретной задаче проектирования.

2. Формализовать определение требований к исполнительному двигателю для обеспечения необходимой гарантированной точности слежения системы.

3. Разработать закон управления, минимизирующий гарантированную точность слежения за сигналами, поступающими с выбранного задающего устройства.

4. Реализовать оптимальные регуляторы для моделей гидравлического и электрического приводов. Сравнить качество работы синтезированных следящих систем с требованиями к ним и результатами, полученными традиционными методами, оценить чувствительность систем.

Научная новизна состоит в том, что метод предельных отклонений существенно развит в части синтеза следящих систем. А именно:

1. Решена задача о предельно-достижимой гарантированной точности слежения линейного объекта управления.

2. Разработан метод синтеза закона управления, обеспечивающего высокую гарантированную точность слежения.

3. Сформулирована и доказана теорема о том, что граница области достижимости состоит из участков траекторий, движение на которых происходит под действием управления и = ±1.

4. Получены новые аналитические выражения границ областей достижимости звеньев 2-го порядка, позволяющие вычислять площадь областей и решать задачу о принадлежности точки области достижимости.

Практическая ценность работы. Результаты работы позволяют формализованно синтезировать линейные законы управления для высокоточных следящих систем различного назначения (следящих приводов станков с ЧПУ, приводов наведения ракетно-артиллерийских систем и т.п.).

Формализованный синтез исключает из процесса ручные операции, поиск решений перебором и т.п. Это существенно снижает длительность и ресурсоёмкость процесса проектирования.

Линейный характер закона управления не требует больших вычислительных ресурсов, а, значит, снижает требования к элементной базе. Для реализации линейных законов не требуется написание сложного программного обеспечения, что снижает требования к квалификации разработчиков. В итоге снижается себестоимость изделий.

В процессе эксплуатации изделий низкая чувствительность законов управления к параметрическим возмущениям увеличивает надёжность изделия и снижает стоимость эксплуатации.

Внедрение результатов. Результаты работы использованы в ГУП «Конструкторское бюро приборостроения» (г. Тула) при проведении исследований по теме «Панцирь». Акт внедрения приведён в Приложении.

Апробация работы. Основные результаты работы и отдельные её части докладывались на:

1. VII Всероссийской юбилейной научно-технической конференции «Проблемы совершенствования робототехнических и интеллектуальных систем летательных аппаратов» (Москва, МАИ, 2005).

2. XVI международном научно-техническом семинаре «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (Алушта, 2007).

3. Международной конференции «Перспективные инновации в науке, образовании, производстве и транспорте'2008» (Одесса).

4. 5-й конференции «Мехатроника, автоматизация, управление» в рамках 2-й Российской мультиконференции по проблемам управления (Санкт-Петербург, ГНЦ РФ ЦНИИ "Электроприбор", 2008).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ, среди них 4 научные статьи в изданиях, включённых в список ВАК, и 4 публикации в материалах всероссийских и международных конференций и семинаров.

8. Результаты работы внедрены в ГУП «Конструкторское бюро приборостроения» (г. Тула) при проведении исследований по теме «Панцирь». Акт внедрения приведён в Приложении. ч

Заключение

В работе развит метод предельных отклонений, разработан формализованный метод синтеза регуляторов для следящих систем на основе данного метода. Можно выделить следующие важные результаты:

1. Разработан метод выбора ЗУ, наилучшим образом соответствующего конкретной задаче проектирования. Использование ЗУ является ключевым отличием метода предельных отклонений. Разработанный метод позволяет выбирать ЗУ, область достижимости которого покрывает заданное в ТЗ множество траекторий и при этом имеет минимальную площадь.

2. Решена задача о вычислении предельных отклонений в нелинейных импульсных следящих системах. Решение использует теорему Куна-Таккера и не использует напрямую методы оптимального управления, такие как принцип \ максимума или принцип оптимальности Беллмана. Решение позволяет анализировать качество работы следящих систем на классах сигналов.

3. Решена задача о предельно-достижимом гарантированном отклонении для линейных объектов управления. Данная величина является важным критерием объекта управления (исполнительного двигателя). Вычисление этой величины использовано для выбора электродвигателя и проверки гидропривода. Кроме того, результаты решения использованы для синтеза закона управления.

4. Предложен метод определения требований к исполнительному двигателю для обеспечения необходимой гарантированной точности слежения системы, который позволяет учитывать класс возможных входных сигналов, статические (мощность, механическая характеристика) и динамические характеристики двигателя (предельно-достижимая точность).

5. Разработан метод синтеза закона управления, оптимизирующего предельные отклонения в следящих системах с линейными объектами. Метод отличается от существовавших строгой формализацией и отсутствием численного подбора параметров закона управления. Кроме того, он обеспечивает близкую к оптимальной гарантированную точность слежения.

6. Предложен метод синтеза фильтров сигналов. Метод оптимизирует гарантированную точность слежения замкнутой системы.

7. С использованием предложенных методов реализованы оптимальные законы управления для гидравлического и электрического приводов зенитного ракетно-пушечного комплекса, обеспечивающие высокую точность слежения.

1. F-16E/F Block 60 Desert Falcon Электронный ресурс. Текстовые дан. и граф. дан. - Режим доступа: http://www.airwar.ru/enc/fighter/fl6df.html, свободный. -Загл. с экрана.

2. General Dynamics F-16 Fighting Falcon Электронный ресурс. Граф. дан. в архиве (2418 кб). - Режим доступа: http://www.airwar.ru/other/draw/fl6verlinden.zip, свободный. - Загл. с экрана.

3. General Dynamics F-16 Fighting Falcon Электронный ресурс. Граф. дан. в архиве (270 кб). - Режим доступа: http://www.airwar.ru/other/draw/fl6.zip, свободный. - Загл. с экрана.

4. General Dynamics F-16A/B Fighting Falcon Электронный ресурс. — Граф. дан. в архиве (2078 кб). Режим доступа: http://www.airwar.ru/other/draw2/fl6ab.zip, свободный. - Загл. с экрана.

5. General Dynamics F-16C Block 52 Электронный ресурс. Граф. дан. в архиве (1449 кб). - Режим доступа: http://www.airwar.ru/other/draw/fl6cb52aiv.zip, свободный. — Загл. с экрана.

6. General Dynamics F-16C Falcon Block 40 Электронный ресурс. — Граф. дан. в архиве (900 кб). Режим доступа: http://www.airwar.ru/other/draw/fl6c.zip, свободный. - Загл. с экрана.

7. Бесекерский В. А. Динамический синтез систем автоматического регулирования Текст. М.: Наука, 1970.

8. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования Текст. -М.: Наука, 1975. 768 с.

9. Булгаков Б.В. О накоплении возмущений в линейных колебательных системах с постоянными коэффициентами Текст. // Доклады АН СССР, т. 51, вып. 5.- 1946.

10. Варнавский С.О. Синтез закона управления системой силовых следящих приводов с учетом ограниченной мощности источника энергии Текст. : дис. . к. т. н.: 05.13.01. Тула, 2002. - 115 с.

11. Варнавский С.О., Воробьев В.В., Макаров H.H. Один метод синтеза следящего гидропривода Текст. // Известия ТулГУ. Сер. Проблемы специального машиностроения: Материалы региональной научно-технической конференции. -Тула, 2002. Вып. 5. - С. 81-85.

12. Васильев В.В. Расчёт аэродинамических характеристик летательных аппаратов Текст. Куйбышев, 1986. - 67 с.

13. Васютин Е.В. Синтез оптимальных следящих приводов, работающих от автономных источников энергии Текст. : дис. . к. т. н. : 05.13.01. Тула, 2004. -129 с.

14. Воронин П.А. Силовые полупроводниковые ключи. Семейства, характеристики, применение Текст. М.: Додэка, 2001. - 384 с.

15. Динамика гидропривода Текст. / Колл. авторов. Под ред. В.Н. Прокофьева. М.: Машиностроение, 1972. - 292 с.

16. Дьяконов В.П., Ремнев A.M., Смердов В.Ю. Энциклопедия устройств на полевых транзисторах Текст. М.: Солон-Р, 2002. - 512 с.

17. Есипов А.Н., Руднев С.А., Фалдин Н.В. Структурный синтез корректирующего устройства высокоточного гидравлического привода Текст. // Системы автоматического управления и их элементы : Сборник научных трудов. -Тула, 1996.-С. 87-93.

18. Ефимов Д.В. Робастное и адаптивное управление нелинейными колебаниями Текст. СПб.: Наука, 2005. - 314 с.

19. Изерман Р. Цифровые системы управления Текст. : Пер. с англ. / Под ред. чл.-корр. АН СССР И.М. Макарова. М.: Мир, 1984. - 541 с. - Перевод изд.: Rolf Isermann. Digital Control Systems. - Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1981.

20. Колмогоров A.H., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа Текст. 7-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 572 с.

21. Короткое О.В. Релейная автоколебательная система управления приводом объёмного регулирования Текст. // Газовые привода и системы управления : Сборник научных трудов. Тула, 1983. - С. 98-105.

22. Красовский A.A., Буков В.Н., Шендрик B.C. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными процессами Текст. / под ред. Красовского A.A. М. : Наука, 1977. - 272 с.

23. Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства Текст. М.: Машиностроение, 1976. - 286 с.

24. Лебедев A.A., Карабанов В.А. Динамика систем управления беспилотными летательными аппаратами Текст. -М.: Машиностроение, 1965.

25. Лебедев A.A., Чернобровкин B.C. Динамика полета Текст. М.: Машиностроение, 1973.

26. Леоненков A.B. Нечёткое моделирование в среде MATLAB и fuzzyTECH Текст. СПб.: БХВ-Петербург, 2003. - 736 с.

27. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов Текст. // Автоматика и телемеханика. 1960. № 4-6.

28. Макаров H.H. Гарантированная точность в проектировании линейных следящих систем Текст. // Известия высших учебных заведений. Сер. Электромеханика. 1980. -№ 7. - С. 661-722.

29. Макаров H.H. Метод гарантированной точности следящих систем Текст. // Мехатроника, автоматизация, управление : Теоретический и прикладной научно-технический журнал. М. : Новые технологии, 2006. - №11. - С. 24-30.

30. Макаров H.H., Владимиров К.И. Задача о накоплении возмущений для систем с механическими упорами Текст. // Вестник Тульского государственного университета. Сер. Системы управления. Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. - Вып. 1. — С. 36-43.

31. Макаров H.H., Владимиров К.И. Накопление возмущений линейными дискретно-непрерывными системами Текст. // Известия ТулГУ. Сер.

32. Вычислительная техника. Информационные технологии. Системы управления. -Тула: Изд-во ТулГУ, 2006. Т. 2. Вып. 3. Системы управления. - С. 49-52.

33. Макаров H.H., Семашкин В.Е. Вычисление гарантированной точности импульсных нелинейных систем управления Текст. // Вестник Тульского государственного университета. Сер. Системы управления. Тула: Изд-во ТулГУ, 2007.-Вып. 1.-С. 124-128. .

34. Макаров H.H., Семашкин В.Е. Двойственность решений задач об оптимальном быстродействии и предельном отклонении Текст. // Вестник Тульского государственного университета. Сер. Системы управления. — Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. Вып. 1. - С. 128-131.

35. Макаров H.H., Семашкин В.Е. Предельно достижимая точность линейных следящих систем Текст. // Мехатроника, автоматизация, управление : Теоретический и прикладной научно-технический журнал. М. : Новые технологии, 2008. -№ 10.-С. 8-13.

36. Макаров H.H., Семашкин В.Е., Богданова JI.A. Один подход к анализу точности приводов наведения Текст. // Оборонная техника. 2006. - Вып. 5-6. - С. 93-98.

37. Матвеев A.C., Якубович В.А. Оптимальные системы управления: обыкновенные дифференциальные уравнения. Специальные задачи Текст. : Учебное пособие. — СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 2003. — 540 с.

38. Медведев B.C., Потёмкин В.Г. Нейронные сети. MATLAB 6 Текст. М.: Диалог-МИФИ, 2002.-489 с.

39. Моржов A.B., Фалдин H.B. Линеаризация по полезному сигналу релейных систем управления с трехпозиционным релейным элементом и нелинейным объектом управления Текст. // Известия РАН. Сер. Теория и системы управления. 2008. - № 4. - С. 5-14.

40. Моржов A.B., Фалдин Н.В. Линеаризация по полезному сигналу релейных систем управления, содержащих звенья с ограничителями Текст. // Известия РАН. Сер. Теория и системы управления. 2007. - № 3. - С. 5-15.

41. Небылов A.B. Гарантирование точности управления Текст. М.: Наука. Физматлит, 1998. - 304 с.

42. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов Текст. 4-е изд. - М. : Наука, 1983.-392 с.

43. Проектирование следящих систем Текст. / Под редакцией д.т.н. проф. H.A. Лакоты. -М. : Машиностроение, 1978.-391 с.I

44. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума Текст. 2-е изд. — М.: Наука, 1982. - 144 с.

45. Руднев С.А., Есипов А.Н. Комплексное управление силовым следящим гидроприводом Текст. // Системы автоматического управления и их элементы : Сборник научных трудов. Тула, 1996. - С. 83-86.

46. Руднев С.А., Фалдин Н.В. Линеаризация релейной системы по полезному сигналу Текст. // Известия РАН. Сер. Теория и системы управления. 1998. — № 2. -С. 36-43.

47. Семашкин B.E. Определение предельно достижимой точности работы следящих систем Текст. // Приборы и управление : Сборник статей молодых учёных ТулГУ. Вып. 4. Тула, 2006. - С. 199-201.

48. Семашкин В.Е. Формирование требований к приводам наведения с помощью построения областей достижимости входных сигналов // Приборы и управление : Сборник статей молодых учёных ТулГУ. Вып. 3. Тула, 2005 - С. 130— 134.

49. Следящие приводы Текст.: В 3 т. / Под редакцией Б.К. Чемоданова. Т. 1.- М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 1999. 904 с.

50. Следящие приводы Текст.: В 3 т. / Под редакцией Б.К. Чемоданова. Т. 2.- М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2003. 880 с.

51. Солодовников В.В., Дмитриев А.Н., Егупов Н.Д. Спектральные методы расчета и проектирования систем управления Текст. -М. : Машиностроение, 1986. -439 с. "

52. Солодовников В.В., Плотников В.И., Яковлев A.B. Основы теории и элементы систем автоматического регулирования Текст. М. : Машиностроение, 1985.-536 с.

53. Справочник по электрическим машинам Текст. : В 2 т. Т. 1. / Под общ. ред. И.П. Копылова и Б.К. Клокова. М.: Энергоатомиздат, 1988. - 456 с.

54. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления Текст. -М. : Наука, 1981. 288 с.

55. Управление динамическими системами в условиях неопределённости Текст. / Кусимов С.Т., Ильясов Б.Г., Васильев В.И., Валеев С.С. и др. М.: Наука, 1998.-452 с.

56. Уткин В.И. Скользящие режимы и их применение в системах с переменной структурой Текст. М,: Физматгиз, 1974. - 368 с.

57. Фалдин Н.В. Точный метод исследования релейных систем Текст. / Машиностроение (энциклопедия). Т. 1-4. Автоматическое управление. Теория (под редакцией Е.А. Федосова). — М.: Машиностроение, 2000. С. 231-253.

58. Фалдин Н.В., Васютин Е.В. Синтез оптимального объёмного гидропривода с учётом фазовых ограничений Текст. // Известия ТулГУ. Сер. Проблемы Специального машиностроения. Тула: Изд-во ТулГУ, 2003. -Вып. 6.4. 1.-С. 338-342.

59. Фалдин Н. В., Васютин Е. В. Синтез следящего привода оптимального по расходу управления Текст. // Известия ТулГУ. Сер. Проблемы Специального машиностроения. Тула: Изд-во ТулГУ, 2002. - Вып. 5. Ч. 1. - С. 295-298.

60. Фалдин Н. В., Есипов А. Н. Приближённый способ учёта при синтезе оптимальных систем малых постоянных времени Текст. // Известия высших учебных заведений. Сер. Электромеханика. 1984. - №3. - С. 45-50.

61. Фалдин Н.В., Феофилов C.B. Исследование периодических движений в релейных системах, содержащих звенья с ограничителями Текст. // Известия РАН. Сер. Теория и системы управления. — 2007. — № 2. — С. 15—27.

62. Шорников Е.Е., Тошнов Ф.Ф., Коротков О.В. Высокоточная система управления объёмного регулирования Текст. // Динамика и точность функционирования тепломеханических систем. — Тула, 1980. С.131-133.