автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы решения линейной задачи быстродействия, основанные на min-проблеме моментов Маркова

Глава 1. Решение канонической задачи быстродействия

§1.1. Линейная задача, быстродействия и степенная проблема моментов

§1.2. Канонические переменные.

§1.3. Дифференциальные свойства канонических переменных.

§1.4. Нахождение моментов переключения управления.

§1.5. Минимальный полином для нахождения моментов переключения управления.

§1.6. Связь между каноническими переменными.

§1.7: Связь между определителями Г и Г.

§1.8. Примеры решения канонической задачи быстродействия.

§1.9. Итерационный метод решения задачи быстродействия.

Глава 2. Решение задач быстродействия, близких к каноническим

§2.1. Непрерывная зависимость решения задачи управления от параметра и начальных данных.

§2.2. Гладкая зависимость моментов переключения от спектра матрицы в линейной задаче быстродействия

§2.3. Решение линейной задачи быстродействия с матрицей, имеющей вещественный спектр.

§2.4. Численное решение линейной задачи быстродействия с матрицей, имеющей некратный спектр.

§2.5. Численное решение линейной задачи быстродействия с матрицей, имеющей кратный спектр

§2.6. Аналитическое решение линейной задачи быстродействия с матрицей, имеющей спектр сг(Л) = {А,2А,.,пА}.

Глава 3. Решение линейной задачи быстродействия с многомерным управлением

§3.1. Опорный вектор к области управляемости.

§3.2. Задача быстродействия с двумерным управлением

§3.3. Приведение системы к каноническому виду.

§3.4. Численные методы решения задачи быстродействия с двумерным управлением.

§3.5. Управление в ноль для линейной системы с произвольной матрицей

§3.6. Решение линейной задачи быстродействия с управлением произвольной размерности.

Математическая теория оптимального управления возникла в середине 50-х годов XX столетия. Ее возникновение связано с необходимостью решения новых в тот период задач управления движущимися объектами, движение которых описывается дифференциальными уравнениями. Выдающуюся роль в развитии теории оптимального управления сыграло открытие принципа максимума — JI.C. Понт-рягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко [67, 80], который дает необходимое условие оптимальности. Вопросам оптимального управления посвящены монографии [5, 11, 12, 15, 18, 26, 30, 52, 57, 60, 67, 73].

Большой вклад в развитие теории оптимального управления внесли математики В.И. Благодатских, Р.Ф. Габасов, А.И. Егоров, В.И. Зубов, Ю.Н. Киселев, Ф.М. Кириллова, В.И. Коробов, H.H. Кра-совский, А.Б. Куржанский, H.H. Моисеев, М.С. Никольский, Р.П. Фе-доренко, А.М. Формальский, Ф.Л. Черноусько и другие. Среди работ, посвященных вопросам оптимального управления, можно выделить [16, 29, 39, 40, 43, 49, 50, 51, 54, 55, 60, 62, 63, 72, 77 - 79]. В настоящее время теория оптимального управления нашла применение в различных областях науки и техники. Это управление движущимися механическими объектами, в том числе летательными аппаратами [56, 57, 83]; управление тепловыми и диффузионными процессами [25]; управление процессами в экономике [10, 61]; управление процессами в медицине [2]; управление оборонной достаточностью государства [28] и управление процессами в других областях знаний [57].

В современной теории оптимального управления одно из центральных мест занимает проблема быстродействия, в частности линейная проблема быстродействия, систематическое исследование которой впервые дано в работах Р.В. Гамкрелидзе [16, 17]. Исследованием задач быстродействия занимались А.И. Егоров, Ю.Н. Киселев, В.И. Коробов, H.H. Красовский, Г.М. Скляр, Ф.Л. Черноусько и другие. Этим вопросам посвящены работы [1, 3, 8, 20 - 23, 33, 35, 36, 58, 69, 74, 75, 79]. Поскольку время быстродействия является наиболее естественным критерием оптимальности, задачи на быстродействие стали одним из наиболее распространенных объектов применения различных методов оптимального управления. Начиная с создания принципа максимума JI.С. Понтрягина и до настоящего времени широко исследуются задачи быстродействия. Основными методами решения задач быстродействия являются методы, основанные на принципе максимума JI.C. Понтрягина [12, 57, 67], который впервые был получен Р.В. Гамкрелидзе для решения линейных задач быстродействия ; на сведении к L-проблеме моментов, инициированным H.H. Красовским [50, 51]; на идеях динамического программирования [7, 37, 60, 76% 77]. В настоящее время оказались эффективными методы решения линейных задач быстродействия, основанные на min-проблеме моментов A.A. Маркова, предложенные В.И. Коробовым и Г.М. Скляром [40 -46, 81, 82].

Решение задач линейного быстродействия также важно и с точки зрения нелинейных систем, поскольку решение таких задач может быть сведено к решению линейных систем [27, 34, 48, 68, 84, 85].

Следует отметить, что одно из центральных мест в решении линейных задач быстродействия занимает решение задач быстродействия для канонических систем. На основе решения канонических задач возможно решение произвольных линейных задач [45]. В настоящее время решается проблема отображаемости траекторий как линейных, так и нелинейных систем на канонические [47, 84].

Важным звеном, связывающим теоретические исследования с практикой является разработка для решения задач быстродействия численных методов, ориентированных на компьютерное применение. Созданию таких численных методов посвящены монографии [59, 71], а также работы [9, 24, 31, 64 - 66]. Большой интерес представляет решение задач быстродействия для систем с большой размерностью. Одна из трудностей, связанной с решением таких задач, состоит в том, что в процессе вычислений приходится иметь дело с плохо обусловленными матрицами (в работе [86] предложен метод решения канонической задачи третьего порядка).

Из приведенного обзора видно, что создание численных методов решения линейных задач быстродействия представляет интерес для развития теории оптимального управления. Эти методы могут как использоваться для решения линейных задач быстродействия, так и служить основой для создания методов решения нелинейных задач быстродействия.

Цель диссертационной работы состоит в решении линейных задач быстродействия на основе гшп-проблемы моментов А.А.Маркова. Основными задачами исследования являются следующие:

1. Получить аналитическое решение задачи быстродействия для канонической системы.

2. На основе аналитического метода решения задачи быстродействия для канонической системы получить численное решение для систем близких к каноническим.

3. Исследовать вопросы решения линейных задач быстродействия для произвольных систем на основе гшп-проблемы А.А.Маркова.

Основные результаты, полученные в диссертации являются новыми. Выделим некоторые из них.

1. Введена система специальных многочленов 0,й) и %(х, 0,й), (к = 1,2,. ,п), называемых каноническими переменными, изучены дифференциальные свойства этих переменных и взаимосвязь между ними.

2. Получены уравнения, имеющие симметричный вид для нахождения моментов переключения Т^Т^,. ,ТП 1 управления и(Ь) (точек разрыва управления

3. Получен многочлен минимальной степени, корнями которого являются моменты переключения.

4. Получены новые численные методы решения задачи быстродействия с матрицей, имеющей вещественный спектр а(А) = {А1, Л2,., Ап}. В связи с этим получены новые результаты о непрерывной зависимости решения задачи управления от параметра (в частности спектра матрицы) и начальных условий. Получены условия гладкой зависимости моментов переключения от спектра матрицы.

5. Получен явный вид опорного вектора к области управляемости канонической задачи быстродействия.

6. Получены численные методы решения задачи быстродействия с двумерным управлением на основе ппп-проблемы моментов А.А.Маркова.

7. Предложен численный метод решения задачи быстродействия с многомерным управлением.

Диссертационная работа носит теоретический и практический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при решении задач быстродействия в различных прикладных задачах, могут являться основой при решении нелинейных задач быстродействия. Кроме того, они могут найти свое применение в качестве материала для спецкурса по методам оптимизации. Полученные в диссертации методы решения задач быстродействия могут быть использованы для создания пакета прикладных программ.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре по оптимальным управлениям под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.И. Коробова в Харьковском государственном университете; на III Всесоюзном симпозиуме "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики и его роль в развитии численного эксперимента на ЭВМ" (Харьков, 1987 год); на Международной математической конференции "Ляпуновские чтения" (Харьков, 1992 год); На Весенней Воронежской математической школе "Понтрягинские чтения" (1993 год); на Международной конференции "Устойчивость, управление и динамика твердого тела" (Донецк, 1996 год); на IV Крымской Международной математической школе "Метод функций Ляпунова и его приложения" (Алушта, 1998 год); на Международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" (Одесса, 2000 год); на семинаре исследовательской группы "Analysis, Control and Stabilization of Dynamical Systems" в Международном математическом центре им. С.Банаха Института математики Польской академии наук (Варшава, 2001 год).

Основное содержание диссертации отражено в 11 публикациях. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографического списка. Она изложена на 135 страницах машинописного текста. Библиографический список содержит 86 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

1. Альбрехт Э.Г., Ермоленко Е.А. Синтез оптимального по быстродействию управления в линейных системах // Дифференциальные уравнения - 1997. - Т. 33, №11. - С. 1443 - 1450.

2. Андреева Е.А., Циркулева В.М. Оптимальное управление процессом распространение эпидемии // Применение функц. анал. в теории приближений / Твер. гос. ун-т. Тверь, 1977. - С. 5 - 20.

3. Арутюнов A.B. Об одном классе линейных процессов оптимального быстродействия // Дифференциальнеые уравнения. 1982.- Т. 18, №4. С. 555 - 560.

4. Ахиезер Н.И. Классическая проблема моментов. М.: Госиздат, физ. мат. литературы, 1961. - 310 с.

5. Атанс М., Фал б П. Оптимальное управление. М.: Машиностроение, 1968. - 763 с.

6. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. - 600 с.

7. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1960. -400 с.

8. Белолипецкий A.A. Дифференцируемость изохронных поверхностей в линейной задаче оптимального быстродействия // Журн. выч. матем. и матем. физ. 1973. - Т. 13, №5. - С. 1319-1323.

9. Белолипецкий A.A. Численный метод решения линейной задачи оптимального быстродействия сведением ее к задаче Коши / / Журн. выч. матем. и матем. физ. 1977. - Т. 17, №6.С. 1380 1386

10. Беляева Н.П., Цирлин A.M. Оптимальное управление покупкой и продажей ценных бумаг // Автомат, и телемех. 1998. - №4.- С. 135 143.

11. Благодатских В.И. Линейная теория оптимального управления.- М.: Изд-во МГУ, 1978.

12. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969. - 408 с.

13. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. - 400 с.

14. Воеводин В.В., Тыртышников Е.Е. Вычислительные процессы с теплицевыми матрицами. М.: Наука, 1986. - 320 с.

15. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971. - 508 с.

16. Гамкрелидзе Р.В. К теории оптимальных процессов в линейных системах // Докл. АН СССР. 1957. - Т. 116, №1. - С. 9 - 11.

17. Гамкрелидзе Р.В. Теория оптимальных по быстродействию процессов в линейных системах // Изв. АН СССР, Сер. математическая. 1958. - 22, №4. - С. 449-474.

18. Гамкрелидзе Р.В. Основы оптимального управления. Тбилиси: Издательство ТбГУ, 1977. - 264 с.

19. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. - 576 с.

20. Гончарова М.Н. Синтез линейного быстродействия с фазовыми ограничениями // Доклады НАН Беларуси. 1999. - Т. 43, №6. - С. 8 - 12.

21. Гончарова М.Н. Достаточные условия оптимальности в задаче оптимального быстродействия с фазовыми ограничениями // Доклады НАН Беларуси. 2000. - Т. 44, №1. - С. 17 - 21.

22. Данилин А.Р., Ильин А.М. О структуре одной возмущенной задачи быстродействия // Фундаментальная и прикладная математика, 1998. Т.4, №3. С. 905-926.

23. Дубовицкий А.Я., Рубцов В.А. Линейные быстродействия // Журн. выч. матем. и матем. физ. 1968. - Т.8, №5. - С. 937 - 949.

24. Дюркович Е. Численный метод нахождения времени быстродействия с заданной точностью // Журн. выч. матем. и матем. физ. 1983.-Т. 23, №1.-С. 51-60.

25. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978. - 463 с.

26. Егоров А.И. Оптимальное управление линейными системами. -Киев: Выща школа, 1988. 287 с.

27. Жирабок А.Н., Жуков A.M. Преобразование нелинейных динамических систем к линейному виду // Изв. РАН. Теория и системы упр. 1997. - №6. - С. 172 - 176.

28. Жеребин A.M., Попов В.А., Титенко Й.М. Один подход к управлению оборонной достаточностью государства // Изв. РАН. Теория и системы упр. 1997. - №4. - С. 111 - 114.

29. Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. JL: Машиностроение, 1974. - 335 с.

30. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. -495 с.

31. Иванов Р.П. Об одном итерационном методе решения задачи быстродействия // Журн. вычисл. математ. и математ. физики. -1971. Т. 11, №4. - С. 1031 - 1037.

32. Иохвидов И.С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. М.: Наука, 1974. - 264 с.

33. Кирин Н.Е. К решению общей задачи линейного быстродействия // Автоматика и телемеханика. 1964. - Т. 25, №1. - С. 16 - 22.

34. Киселев Ю.Н. Асимптотическое решение задачи оптимального быстродействия для систем управления, близких к линейным // ДАН СССР. 1968. - Т. 182, №1. - С. 31 - 34.

35. Киселев Ю.Н. Методы решения гладкой линейной задачи быстродействия // Труды МИАН СССР. 1988. -Т. 185. - С. 106 -115.

36. Киселев Ю.Н. Оптимальный синтез в гладкой линейной задаче быстродействия // Дифференциальные уравнения. 1990. -Т. 26, №2. - С. 232 - 237.

37. Коробов В.И. О сходимости одного варианта метода динамического программирования для задач оптимального управления // Журн. выч. матем. и матем. физ. 1968. - Т. 8, №2. - С. 429 -435.

38. Коробов В.И. О непрерывной зависимости решения задачи оптимального управления со свободным временем от начальных данных // Дифференциальные уравнения. 1974. - Т. 10, №6. -С. 1120 - 1123.

39. Коробов В.И., Маринич А.П., Подольский E.H. Управляемость линейных автономных систем при наличии ограничений на управление // Дифференциальные уравнения. 1975. - Т. 11, №11. -С. 1967 - 1979.

40. Коробов В.И., Скляр Г.М. Оптимальное быстродействие и степенная проблема моментов // Мат. сборник. 1987. - 134(176), №2 (10). - С. 186 - 206.

41. Коробов В.И., Скляр Г.М. Решение задачи быстродействия для колебательной системы // Докл. АН УССР. Сер. А. 1987. -№10. - С. 6 - 9.

42. Коробов В.И., Скляр Г.М. Точное решение одной n-мерной задачи быстродействия // Докл. АН СССР. 1988. - 296, №6. - С. 1304 - 1308.

43. Коробов В.И., Скляр Г.М. Оптимальное быстродействие и тригонометрическая проблема моментов // Изв.АН СССР, Сер. математическая. 1989. - 53, №4. - С. 868 - 885.

44. Коробов В.И., Скляр Г.М. Проблема моментов Маркова на минимально возможном отрезке // Докл.АН СССР. 1989. - Т. 308, №3. - С. 525 - 528.

45. Коробов В.И., Скляр Г.М. min-проблема моментов Маркова и быстродействие // Сиирский математический журнал. 1991. -Т. 32, №1. - С. 60 - 71.

46. Коробов В.И., Скляр Г.М. Метод порождающей функции в проблеме моментов с периодическими пропусками // Докл.АН СССР.- 1991. Т. 318, №1. - С. 32 - 35.

47. Коробов В.И., Иванова Т.И. Отображение нелинейных управляемых систем специального вида на каноническую систему // Математическая физика, анализ, геометрия. 2001. - Т. 8, №1. - С. 42 - 57.

48. Коробова Е.В., Скляр Г.М. Один конструктивный метод отображения нелинейных систем на линейные // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. 1991. - №55. - С. 68- 74.

49. Костоусова Е.К., Куржанский А.Б. Гарантированные оценки точности вычислений в задачах управления и оценивания // Вычислительные технологии. 1997. - Т. 2, №1. - С. 19 - 27.

50. Красовский H.H. К теории оптимального регулирования // Автоматика и телемеханика. 1957. - Т. 18, №11. - С. 960 - 970.

51. Красовский H.H. Об одной задаче оптимального регулирования // Прикладная математикм и механика. 1957. - Т. 21, №5. - С. 670 - 677.

52. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.- 465 с.

53. Крейн М.Г., Нудельман A.A. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М.: Наука, 1973. - 551 с.

54. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1974.

55. Куржанский А.Б., Филиппова Т.Ф. Об описании пучка выживающих траекторий управляемой системы // Дифференциальные уравнения. 1987. - Т. 23, №8. - С. 1303 - 1315

56. Летов А.М. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969. -359 с.

57. Ли Э.Б., Маркус JI. Основы теории оптимального управления. -М.: Наука, 1971. 574 с.

58. Минюк С.А. О точном решении задачи быстродействия в случае линейных стационарных систем // Дифференциальные уравнения. 1996. - Т. 32, №12. - С. 1645 - 1652.

59. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971. - 424 с.

60. Моисеев H.H. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975. - 528 с.

61. Миронова В.А., Соболев В.А., Цирлин А.М. Оптимальное управление потоками сырья и готовой продукции путем выбора цен // Автомат, и телемех. 1998. - №2. - С. 91 - 100.

62. Никольский М.С. Об одной задаче осуществления заданного движения. Гибкие системы // Докл. РАН. 1996. - №6. - С. 739 -741.

63. Никольский М.С., Степаносов К.В. Одна задача идентификации коэффициентов линейного управляемого объекта // Вестн. МГУ. Сер. 15. 1998. - №1. - С. 50 - 51.

64. Орлов М.В. Об одном численном методе решения линейной задачи быстродействия // Рукопись деп. ВИНИТИ 27.06.83., №366383. 26 с.

65. Орлов М.В. О некоторых численных методах решения задачи быстродействия // Вестник МГУ. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. 1986. - №4. - С. 41 - 46.

66. Пшеничный Б.Н. Численный метод расчета оптимального по быстродействию управления для линейных систем // Журн. выч. ма-тем. и матем. физ. 1964. - 4, №12. - С. 52 - 60.

67. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976. - 362 с.

68. Скляр E.B. О классе нелинейных управляемых систем, отображающихся на линейные // Математическая физика, анализ, геометрия. 2001. - Т. 8, №2. - С. 205 - 214.

69. Тынянский Н.Т., Арутюнов A.B. Линейные процессы оптимального быстродействия // Дифференциальные уравнения.— 1979.15, №2. С. 32 - 37.

70. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1960. - 656 с.

71. Федоренко Р.П. Приближенные методы решения задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. - 488 с.

72. Фельдбаум A.A. О синтезе оптимальных систем с помощью фазового пространства // Автоматика и телемеханика. 1955. - Т.16, №2. С. 129 - 149.

73. Формальский A.M. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. М.: Наука, 1974. - 368 с.

74. Хайлов E.H. О поведении моментов переключения в линейной задаче быстродействия // Вестник МГУ. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 1988. - №4. - С. 65 - 67.

75. Хайлов E.H. О моментах переключения экстремальных управлений в линейной задаче оптимального быстродействия // Тр. Ин-та матем. и мех. УрО РАН. 1996. -4. - С. 225 - 265.

76. Черноусько Ф.Л. Метод локальных вариаций для численного решения вариационных задач // Журн. выч. матем. и матем. физ. 1965. char 242 4. - С. 749 - 754.

77. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. М.: Наука, 1973. - 238 с.

78. Черноусько Ф.Л. Эллипсоидальные оценки области достижимости управляемых систем // Прикладная математика и механика. -1981.-Т. 45, №1.-С. 11-19.

79. Черноусько Ф.Л. Задача оптимального быстродействия при смешанных ограничениях // Изв. РАН. Теория и системы упр. -1995. №4. - С. 103 - 113.

80. Hartl Richard F., Sethi Suresh P., Vickson Raymond G. A survey of the maximum principles for optimal control problem with state constraints // SIAM REV. 1995. - 37, №2. - P. 181 - 218.

81. Korobov V.I., Sklyar G.M. Time optimal problem and Markov's moment problem // 7-th IFAC Workshop. Tbilisi, 1988. - P. 88 -89.

82. Korobov V.I., Sklyar G.M. Markov pover min-moment problem with periodic gaps // J. Math. Sci. 1996. - Vol. 80, No 1. - P. 1559 -1581.

83. Korobov V.I., Krabsand W., Sklyar G.M. Construction of the control realizing thenrotation of a Timoshenko beam // Journal of Optimization Theory and Applications. 2000. - No. 1. - P. 51 - 68.

84. Korobov V.I., Ivanova T.I. Nonsmooth Maping of Linear Control Systems // Journal of Optimization Theory and Applicationas. -2001. No. 2. - P. 389 - 405.

85. Sklyar G.M., Ignatovich S.Yu. Moment approach to nonlinear time optimality // SIAM J. on Control and Optimization. 2000. - Vol. 38, No. 6. - P. 1707 - 1728.

86. Walther U., Georgiou T.T., Tannenbaum A. On the Computation of Switching Surfaces in Optimal Control: A Grobner Basis approach // IEEE Transactions on Automatic Control. 2001. - Vol. 46, No. 4. - P. 534 - 540.

87. Флоринский В.В. Численное решение задачи оптимального быстродействия для канонической системы с двумерным управлением // Международная математическая конференция "Ляпуновские чтения". Тезисы докладов. Харьков. - 1992. - С. 165 - 166.

88. Флоринский В.В. Об одном численном методе решения задачи оптимального быстродействия с двумерным управлением / / Весенняя Воронежская математическая школа "Понтрягинские чтения IV". Тезисы докладов. - Воронеж. - 1993. - С. 192.

89. Флоринский В.В. Непрерывная зависимость моментов переключения от спектра матрицы // Рукопись депонирована в ВИНИТИ 22.02.94., №454-В94. 11 с.

90. Korobov V.I., Florinsky V.V. Solution of time-optimal problem based on min-problem // Dwoudziesta Trzecia Ogonopolska Konferencja Zastosowan Matematyki. Warszawa. - 1994. - P. 53.

91. Скляр Ё.В., Флоринский B.B. Новые способы нахождения моментов переключения для некоторых задач быстродействия //IV Крымская Международная математическая школа "Метод функций Ляпунова и его приложения". Тезисы докладов. Симферополь. - 1998. - С. 61.

92. Коробов В.И., Скляр Г.М., Флоринский В.В. Методы построения оптимальных по быстродействию управлений для канонических управляемых систем // Математическая физика, анализ, геометрия. 1999. - Т. 6, №3/4. С. 264 - 287.

93. Коробов В.И., Флоринский В.В. О нахождении оптимального времени и моментов переключения в задаче быстродействия // Вестник Харьковского университета. Сер. Математика, прикладная математика и механика. 1999. №444. С. 24 - 43.

94. Коробов В.И., Скляр Г.М., Флоринский В.В. Многочлен минимальной степени для определения всех моментов переключения в задаче быстродействия // Математическая физика, анализ, геометрия. 2000. - Т. 7, №3. С. 308 - 320.- 135

95. Флоринский В.В. Явный вид опорного вектора к области управляемости для канонической задачи быстродействия // Дифференциальные и интегральные уравнения. Тезисы докладов Международной конференции. Одесса. - 2000. - С. 280 - 281.

96. Коробов В.И., Скляр Г.М., Флоринский В.В. Минимальный полином для нахождения моментов переключения и опорного вектора к области управляемости // Дифференциальные уравнения 2002. - Т. 38, №1. - С. 16 - 19.