автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Синтез систем третьего и четвертого порядка квазиоптимальных по быстродействию

На правах рукописи

ЗАМЯТИН ДМИТРИЙ ВЛАДИМИРОВИЧ

СИНТЕЗ СИСТЕМ ТРЕТЬЕГО И ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА КВАЗИОПТИМАЛЬНЫХ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ

05 13 01 - Системный анализ, управление и обработка информации

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

ООЗ175463

Красноярск 2007

003175463

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Сибирский государственный — аэрокосмический университет имени академика М Ф Решетнева», г Красноярск

Научный руководитель доктор технических наук, профессор

Ловчиков Анатолий Николаевич

Официальные оппоненты доктор технических наук, профессор

Охорзин Владимир Афанасьевич

доктор технических наук, профессор Пантелеев Василий Иванович

Ведущая организация ФГУП НПО прикладной механики имени

академика М Ф Решетнева, г Железногорск

Защита состоится 8 ноября 2007 г в 13 00 на заседании диссертационного совета Д 212 249 02 при Сибирском государственном аэрокосмическом университете имени академика М Ф. Решетнева по адресу 660014, г Красноярск, пр им газ «Красноярский рабочий», 31

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Сибирского государственного аэрокосмического университета имени ак. М Ф Решетнева

Автореферат разослан 5 октября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета

ИВ Ковалев

Общая характеристика работы

Актуальность. В настоящее время существует множество технических объектов, математическая модель которых представляет собой дифференциальное уравнение высокого порядка Примерами могут служить силовой объемный гидропривод или импульсный стабилизатор напряжения (ИСН) с двухзвенным фильтром Такими объектами необходимо управлять Причем технический прогресс в развитии промышленности и исследовании космоса поставил задачу создания все более совершенных систем К ним предъявляются требования уменьшения стоимости разработки, изготовления, эксплуатации, потребляемой энергии, повышения качества функционирования, надежности и т п Поэтому в современных системах реализуется управление, позволяющее получить высокое качество их функционирования при экономии ресурсов

Повышение производительности различного рода технических устройств, применяемых в автоматизированных производственных и технологических процессах, обусловливает сокращение времени протекания переходных процессов Однако оно в любой реальной системе не может быть меньше определенной минимальной величины в связи с ограниченной мощностью источников энергии, используемых в автоматических системах, а также в связи с условиями и характером работы каждой конкретной системы (ограничения по прочности конструкции, нагреву).

Повышение быстродействия при заданных ресурсах — это повышение производительности процессов и машин, и поэтому оптимальные по быстродействию и близкие к ним системы стали первоочередным объектом исследования специалистами по автоматике

Задача создания оптимальных по быстродействию систем возникает при разработке следящих систем, автоматических компенсаторов, систем управления приводами прокатных станков, ракетами, подъемньми устройствами и систем автоматизации технологических процессов, а также ряда энергетических установок и других технических устройств

Задача создания систем оптимальных по быстродействию различных порядков рассматривается уже несколько десятков лет Теория оптимального быстродействия впервые была сформулирована в трудах А А Фельдбаума, который в 1953—1956 годах ввел понятие об оптимальных по быстродействию процессах и сформулировал общую задачу нахождения оптимальных фазовых траекторий в п-мерном фазовом пространстве (теорема «об п интервалах») В этот же период Я 3 Цыпкин рассмотрел вопрос об определении моментов переключения реле для оптимальных процессов в релейных системах

Академик Л С Понтрягин сформулировал в 1956 году принцип максимума, являющийся единым математическим аппаратом теории оптимальных по быстродействию процессов для систем п-го порядка с несколькими управляющими органами при ограниченных по модулю координатах управлений

В работах этих ученых были сформированы основные принципы построения оптимальных систем, в том числе и быстродействующих Но в

основном рассматривались вопросы, касающиеся синтеза систем первого второго. Созданные методы и методики зарекомендовали себя при создании таких систем

Появилась необходимость в синтезе систем порядка выше, чем второй Существует определенное количество разработок в данном направлении, но большинство из них не дают четкого ответа о том, каким образом нужно проектировать систему высокого порядка оптимальную по быстродействию. Из недостатков уже имеющихся подходов следует считать сложность реализации алгоритмов, объемы вычислений, узкую область применения, невысокую точность получаемых результатов и т п

Таким образом, имеется научная задача создания простой методики синтеза систем оптимальных по быстродействию высокого порядка, позволяющей получать приемлемое качество результатов проектирования

Определение оптимального управления для систем высокого порядка является сложной и трудновыполнимой задачей, поэтому для таких систем целесообразно нахождение квазиоптимального управления

Цель работы: Развитие методики синтеза систем квазиоптимальных по быстродействию на основе принципа максимума Л С Понтрягина и метода фазовых траекторий на системы третьего и четвертого порядка

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи

- проанализировать и обобщить имеющийся опыт в построении систем высокого прядка оптимальных и квазиоптимальных по быстродействию, рассмотрев применяемые методики и примеры создания указанных систем,

- разработать методику описания гиперповерхности переключения при применении метода фазовых траекторий,

- выбрать аналитическое выражение для аппроксимации гиперповерхности переключения,

- разработать способ формирования звена коррекции для систем третьего и четвертого порядка квазиоптимальных по быстродействию,

- на основе исследований разработать методику синтеза квазиоптимальных по быстродействию систем третьего и четвертого порядка;

- продемонстрировать практическую применимость модернизированной методики синтеза

Методы исследования: Методы теории автоматического управления, методы теории оптимального управления, методы математического моделирования и моделирования с помощью программных средств Ма&саё, МайаЬ и МшгоСАР

Научная новизна. Для систем третьего и четвертого порядка модернизирована методика синтеза систем квазиоптимальных по быстродействию, основанная на принципе максимума Л С Понтрягина и методе фазовых траекторий В методику синтеза систем третьего и четвертого порядка квазиоптимальных по быстродействию включен этап формирования звена коррекции, что позволяет перейти от найденного аналитического выражения гиперповерхности переключения к реализации коррекции с помощью передаточной функции в виде интегро-

дифференциального звена Разработана последовательность

формирования корректирующего звена Проведены исследования по синтезу систем третьего и четвертого порядка квазиоптимальных по быстродействию в результате которых определено выражение для вычисления 1раницы временного интервала решения системы дифференциальных уравнений, в дополнение к этому составлена таблица по выбору коэффициентов для расчета границы временного интервала, найдены значения коэффициента преобразования при построении передаточной функции звена коррекции, представлен сравнительный анализ систем с аппроксимацией гиперповерхности выражениями различной степени. В работе приведены примеры реализации модернизированной методики в распространенных математических пакетах Показано построение импульсного стабилизатора напряжения с двухзвенным фильтром квазиоптимального по быстродействию с помощью предлагаемой методики синтеза

Основные положения, выносимые на защиту:

— методика синтеза систем третьего и четвертого порядка квазиоптимальных по быстродействию позволяет решить задачу построения системы на основе метода фазовых траекторий,

— результаты исследований по синтезу систем третьего и четвертого порядка квазиоптимальных по быстродействию имеют теоретическую и практическую ценность и позволяют решать основные проблемы, возникающие при проектировании данных систем,

— предложенный способ построения звена коррекции дает возможность сформировать передаточную функцию и упрощает практическую реализацию корректирующего устройства

Практическую ценность представляют:

- методика совместного применения программ для математических расчетов Ма&Сас! и МаНаЬ, включая использование редактора структурного моделирования Ма&аЬ ЗшшЬпк, и программы схемотехнического моделирования МюгоСар,

- совокупность основных положений методики на этапе формирования коррекции, позволяющих перейти к моделированию работы технического устройства,

- пример применения рассматриваемой методики для синтеза двухзвенного импульсного стабилизатора напряжения с широтно-импульсной модуляцией,

- варианты реализации коррекции и различные схемы ИСН с коррекцией;

- результаты исследований работы квазиоптимального по быстродействию ИСН в режимах включения и коммутации нагрузки

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на конференциях Международная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии», Томск, 2005, IX Международная научная конференция, посвященная 45-летию Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М Ф Решетнева,

Красноярск, 2005, Всероссийская научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь и наука - третье тысячелетие», Красноярск, 2005, Всероссийская научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука. Технологии Инновации» - НТИ-2006, Новосибирск, 2006

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованных источников

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована цель и поставлены задачи исследования, рассмотрены вопросы научной новизны и практической ценности проведенных исследований, изложены основные положения, выносимые на защиту

Первая глава диссертации посвящена обзору методов синтеза систем высокого порядка оптимальных по быстродействию.

Для синтеза оптимальных по быстродействию систем могут быть применены различные методы Наиболее широко распространены метод фазовых траекторий в дополнение к принципу максимума, который для нелинейных объектов высокого порядка используют в сочетании с вычислительными машинами, и методы математического программирования

Ранее Куропаткин П В, Александров А Г и др в своих работах подробно рассмотрели синтез систем, оптимальных по быстродействию, второго порядка В этих работах были приведены устоявшиеся приемы и хорошо разработанные методики построения таких систем. В то же время, делались выводы о том, что применять имеющиеся разработки можно лишь для систем низших порядков, а для систем высокого порядка следует ограничиться частными решениями или синтезировать управление, близкое к оптимальному

Позднее появились работы по построению оптимальных систем высокого порядка Для начала делались попытки найти точное решение оптимального управления Дня систем выше третьего порядка оптимальное управление может быть найдено лишь с помощью численного решения При этом процедура синтеза остается той же самой, что и в ранее рассмотренных примерах

Изложенные в работах Павлова А А методики синтеза оптимальных систем высокого порядка предусматривает возможность получения явных функций, чего обычно сделать не удается Таким образом, математические трудности обрекают на неудачу принципиально разрешимую задачу синтеза оптимальных систем высокого порядка. В какой-то мере эти трудности могут быть обойдены с помощью разработки приемлемых приближенных методов решения уравнений и применения вычислительных машин

При решении задач синтеза оптимальных по быстродействию систем и их реализации, как правило, производят ряд упрощений и идеализируют характеристики реальных элементов. Полученная при этом реальная система отличается от оптимальной и имеет законы управления, близкие к

оптимальным Особенно логичной выглядит разработка квазиоптимальных систем высокого порядка

Если воспользоваться методом фазовых траекторий, то для объектов высокого порядка функция, характеризующая поверхность переключения, обусловливает применение большого количества сложных нелинейных преобразователей В связи с этим после получения оптимальных законов управления, как правило, производят некоторые упрощения, аппроксимируя функции переключения Б так, чтобы реализация устройства оптимального управления была более простой

Были предложены следующие варианты аппроксимации1

1 С помощью суммы функций одной переменной

ы\

2 Отрезком степенного ряда

хп=сю х1+ +с„о *»+сп *|2 + +с,2 X] х7 + +с„, х„ х, +

Наиболее удобна для реализации линейная функция переключения Для объектов второго порядка при этом получаем линию переключения на фазовой плоскости, а для объектов более высокого порядка — гиперплоскость переключения, при их реализации достаточно использовать линейные усилители вместо нелинейных преобразователей

Таким образом, в первой главе показано, что в настоящее время не существует четкой и подробной методики синтеза систем высокого порядка оптимальных по быстродействию позволяющей получить высокое качество результатов проектирования системы Имеющиеся методики обладают существенными недостатками, такими как сложность реализации алгоритмов, объемы вычислений, узкую область применения, невысокую точность получаемых результатов

Во второй главе изложена предлагаемая методика синтеза систем высокого порядка квазиоптимальных по быстродействию

При разработке оптимальных по быстродействию систем обычно используют принцип управления объектом при максимально допустимой величине сигнала управления (если отсутствуют ограничения на фазовые координаты) Наиболее удобным для проектирования систем оптимальных по быстродействию видится принцип максимума, к которому в дополнение используют метод фазовых траекторий Именно метод фазовых траекторий планируется взять за основу в разрабатываемой методике для проектирования систем третьего и четвертого порядка

Предполагается, что известна математическая модель объекта управления в виде дифференциального уравнения или передаточной функции

При решении задачи создания системы высокого порядка оптимальной по быстродействию и наличии ограничений на управляющее воздействие |11|<итах структурная схема системы соответствии с принципом максимума Л С Понтрягина представляется, как показано на рисунке 1, в следующем виде

Рисунок 1 - Структурная схема

где Woy(p) - передаточная функция объекта управления, РЭ - релейный элемент, обеспечивающий ступенчатое изменение управляющего воздействия U от - U тах до + U тах и наоборот, S(e) - блок, реализующий определенную функцию переключения релейного элемента S в функции ошибки системы

Необходимо определить вид и параметры функции S(e), при которой система переходит из одного устойчивого состояния в другое за минимальное время

В дальнейшем под системой высокого порядка будем понимать системы третьего и четвертого порядка Закон оптимального управления формируется в виде нелинейной зависимости координаты управления от вектора состояния системы, определяемого функцией переключения (рис.1).

и (1)

Задача нахождения оптимального управления U сводится к определению функции переключения S(e) Релейный элемент переключается тогда, когда функция переключения меняет знак, отсюда уравнение переключения имеет вид-

s(*)=0 (2)

Уравнение (2) для систем второго порядка определяет линию в фазовом пространстве, для систем третьего порядка - поверхность, а для систем порядка выше третьего - гиперповерхность в координатах сигнала ошибки и ее производных

Предлагаемая методика синтеза системы высокого порядка, оптимальной по быстродействию, состоит из двух стадий

- нахождение уравнения переключения,

- формирование коррекции.

На первой стадии находится аналитическое решение задачи синтеза системы квазиоптимальной по быстродействию Таким образом, здесь необходимо получить уравнение переключения Стадия включает в себя два этапа- определение описания поверхности переключения,

- аппроксимация поверхности

Описание поверхности переключения следует находить в виде набора точек в n-мерном фазовом пространстве В этом случае необходимо решать систему дифференциальных уравнений с применением принципа «обратного времени» на определенном интервале времени to-tk Сложность

решения последующей задачи аппроксимации при удовлетворении требования квазиоптимальности (то есть близости системы к оптимальной) определяется значением 1к . Чтобы получить наилучший результат, выбираем границу интервала времени исходя из порядка системы и вида корней характеристического уравнения объекта управления

На втором этапе проводится аппроксимация поверхности переключения некоторым аналитическим выражением с использованием уже имеющихся точек поверхности. Выбор выражения для аппроксимации влияет на сложность реализации коррекции в системе Поэтому выражение должно быть простым и, по-возможности, близким к реальной поверхности. Предлагается аппроксимация полиномом первой степени

= (з)

/=0

Несмотря на серьезное упрощение аналитического выражения поверхности переключения, полином первом степени наиболее подходит для систем оптимальных по быстродействию третьего и четвертого порядка, так как позволяет получить высокие результаты при простом корректирующем устройстве

Выбор метода аппроксимации не оказывает значительного влияния на точность результатов Для получения аналитического выражения поверхности переключения можно использовать метод наименьших квадратов

Поверхность переключения описывается выражением

=0 (4)

1=0

Коррекцию в синтезируемой квазиоптимальной по быстродействию системе можно проводить двумя способами Первый — это непосредственно реализовывать корректирующее устройство, отражающее уравнение переключения В этом случае, следует вводить дополнительные обратные связи по сигналам производных ошибки, с соответствующими коэффициентами

Второй способ - использование корректирующего устройства с некоторой передаточной функцией. Поверхности переключения, описываемой выражением (4), соответствует звено коррекции с передаточной функцией-

= (5)

1=0

Передаточная функция звена коррекции (5) лишь теоретически заставляет систему работать нужным образом На практике реализация передаточной функции, у которой порядок числителя больше порядка знаменателя, не применяется из-за того, что в реальной системе всегда присутствуют различные сигналы шума, которые имеют большую частоту, и применение дифференцирования на данных частотах ведет к потере полезного сигнала Для того, чтобы исключить дифференцирование

сигнала на высоких частотах, реализуем звено коррекции с передаточной функцией:

_ л-1

— (6)

2

1=0

Передаточная функция в виде 6 позволяет спроектировать корректирующее устройство, обеспечивающее системе

квазиоптимальность по быстродействию.

Производить оценку того, насколько близка спроектированная система к оптимальной по быстродействию следует с помощью интеграла-

J=)(¡|X|\)dt (7)

ыо

где х - значение сигнала ошибки, Т - время переходного процесса

Таким образом, в главе 2 предложена сущность методики синтеза систем высокого порядка квазиоптимальных по быстродействию, основанной на методе фазовых траекторий, который используется в дополнение к принципу максимума Л С Понтрягина

Глава 3 посвящена особенностям применения предлагаемой методики для систем третьего и четвертого порядка

Если известно дифференциальное уравнение объекта управления, то, согласно описанной выше методике, можно получить набор точек поверхности (или гиперповерхности, если порядок системы больше третьего) переключения Исследования проводились в программе для математических расчетов МаЛСАВ, поэтому дифференциальное уравнение из канонической формы преобразовывалось в нормальную форму, и решалось, используя принцип «обратного времени»

Общий вид дифференциального уравнения объекта управления

с„ у"(0 + с„-, у"-'(0+ +С, у « + С„ У(0 = К Щ) (8)

Чтобы преобразовать это уравнение с систему уравнений, используем следующие выражения

ео = е{1)= Уш ~ У > (9)

где е1 = е("|),1 = 1,2> п-1

Система дифференциальных уравнений представляется в следующем

виде

(Ю)

Решение системы дифференциальных уравнений (10) ведется на некотором промежутке времени при этом задача решается в

«обратном времени» Значение границы ^ равно нулю, а от того, какое

значение 1* выбрано, будет зависеть то, появится ли при переходном процессе перерегулирование, колебания или переходной процесс будет замедлен Чем больше значение границы тем больший участок гиперповерхности около начала координат фазового пространства принимается для аппроксимации Участок для аппроксимации не должен быть слишком большим, чтобы система точно переходила в заданное состояние (те в начало фазового пространства), но и не должен быть слишком маленьким, так как тогда система будет медленно переходить в заданное состояние при больших значениях сигналов ошибки и ее производных. Значение сигнала на входе объекта управления увх принимается согласно принципу максимума Понтрягина, но знак сигнала Увх не имеет особого значения, так как гиперповерхность симметрична относительно начала координат фазового пространства. Задающее воздействие узад постоянно

Были рассмотрены системы третьего и четвертого порядка, с различными видами корней характеристического уравнения объекта управления

Применяя разработанную методику синтеза систем третьего и четвертого порядка квазиоптимальных по быстродействию рекомендуется выбирать границу интервала времени решения ^ системы дифференциальных уравнений исходя из формулы для расчета границы ^

1к»Т

а + Ьое

К и

Узад

(11)

а, р - коэффициенты, Узад

т - коэффициент, вычисляемый как

(12)

где с„ - коэффициент при старшей производной дифференциального уравнения системы, п - порядок системы

Значения коэффициентов аир выбираются из таблицы, составленной по результатам проведенных исследований. Этот выбор гарантирует, что в проектируемой системе переходной процесс не будет иметь перерегулирования и не будет замедлен

Таблица 1 Значения коэффициентов а и Р

Порядок, корни характеристического уравнения а Р

Третий, 3 действительных корня 0 8-12 0 6-1

Третий, 1 действительный, корень, 2 мнимых 0 9-1 4 0 5-0 9

Четвертый, 2 действительных корня и 2 мнимых 2 1-2 5 1 2-1 6

Четвертый, 4 действительных корня 2 3-2 6 1 3-1 6

Четвертый, 4 мнимых корня 2 7-3 2 1 3-1 7

На рисунке 2 представлен график определения границы ^ для случая, если проектируемая система третьего порядка и характеристическое уравнение объекта управления имеет три отрицательных действительных корня. Аналогичные зависимости получены и для других случаев для систем третьего и четвертого порядка.

_________

/ \

1........ 4-- 1 -

и

Уш

Рисунок 2 - График определения границы 1;к

Если выбрать значение границы интервала времени меньше 1*, чем из рекомендуемого интервала, то в синтезируемой системе будет перерегулирование. Если значение границы ^ выбрать больше, чем из рекомендуемого интервала, то в синтезируемой системе переходной процесс будет замедлен.

Ниже представлен пример построение квазиоптимальной по быстродействию системы управления четвертого порядка. Имеется система дифференциальных уравнений:

г '=-!-г• ¡1 ■ [/ + 2.586■ 10"' ■ е, + 0.179-е, +0.847-г, + 1-е„-1 уш,\

- 5.747 -1(Г3 1 3 2 1» 'шп

Корни характеристического уравнения объекта управления для системы 13 имеют следующие значения: г]=-3, г2=-2, гз=-20-5(М, г4=-20+501. Значение управляющего сигнала и=30, задающего сигналаузад=\5.

Также определено значение т: т =^5.747 ■ 10~5 = 0.087. Значение границы 1к (на основе выражения 10 и таблицы 1)для рассматриваемой системы с объектом управления (13) равно: г, =о.2бс.

Используя метод наименьших квадратов и выражение (3) определены коэффициенты в передаточной функции звена коррекции (5) (см. рисунок 1):

УГк{р) = 3.21 -Ю""5-рг +1.61М0"? •р2 + 0.105 •/> + !. (14)

12

На рисунке 2 представлен график переходного процесса для системы (13) и передаточной функцией звена коррекции (14):

!

: : У / ;

/i-.ii!;

/ / > '

Рисунок 3 - График переходного процесса при значении 1к=4т

Кроме того, в данной главе рассмотрено формирование корректирующего звена для систем третьего и четвертого порядка, квазиоптимальных по быстродействию.

Используя набор точек гиперповерхности переключения и метод наименьших квадратов, формируется аналитическое выражение гиперповерхности переключения (4), которому соответствует передаточная функция звена коррекции (5), являющаяся основой для построения (6).

Реализация коррекции (6) позволяет исключить дифференцирование на высоких частотах при сохранении его на рабочих частотах. Для этого необходимо правильно подобрать коэффициенты Ь| в выражении.

Следует отметить, что коэффициенты Ь; должны быть намного меньше коэффициентов числителя г.\, чтобы не производить дифференцирование на высоких частотах, совпадающих с частотами сигнала шума. Непосредственно значения коэффициентов Ь) не играют роли, важен их порядок по отношению к коэффициентам числителя. Поэтому знаменатель следует формировать из одинаковых последовательных звеньев первого порядка, что значительно облегчает практическую реализацию звена коррекции:

=1\{ЬТ„_1Р + 1). (15)

¡=0 /=1

Предполагается, что числитель передаточной функции коррекции можно представить в виде последовательных звеньев первого порядка:

+ О6)

|-0 ¡-1

Сравниваются коэффициенты аТ„_, и ЬТП_,, и по аналогии с корректирующим звеном первого порядка, где отношение этих коэффициентов было равно 10, можно получить отношение для систем третьего и четвертого порядков.

Если же числитель передаточной функции коррекции невозможно представить в виде последовательно соединенных звеньев, то, так как

нужно найти только отношение порядков коэффициентов числителя и знаменателя, рекомендуется использовать некоторый усредненный коэффициент аТ„.1, который следует вычислять из коэффициента а„.! при старшем слагаемом числителя рп"' в передаточной функции корректирующего звена

(П)

Далее, зная отношение коэффициентов аТп_1 и ЬТ„.для заданного порядка системы, следует определять значение ЬТ„./

(18)

ш

Проведенные исследования по формированию звена коррекции для систем третьего и четвертого порядка показали следующие результаты, сведенные в таблицу. При построении корректирующего звена необходимо воспользоваться приведенными значениями для получения гарантированного результата

Таблица 2 Значения коэффициента отношения

Порядок Наилучший интервал значения коэффициента ш

Третий 30-40

Четвертый 50-70

При построении корректирующего звена рекомендуется вычислять коэффициент га из соотношения

со = (п-1) 15

Был выполнен сравнительный анализ систем квазиоптимальных по быстродействию с аппроксимацией гиперповерхности переключения на основе выражений первой (3) и второй степени

ад £■„+<?! £-,+«2 Ег+аз £'3+а4 г,2+я6 е22 + а-, ■ е32 (19)

Аналогично проведено построение системы четвертого порядка на основе методики, представленной в главе 2, с коррекцией первой степени и на основе выражения второй степени (19)

Математическое описание системы четвертого порядка в форме системы дифференциальных уравнений

^ £0 = е,,

) (20)

г?,'=—!— [1 30 + 14 £.,+3 4 е2+3 4 е0-1 15]

На рисунке 3 представлены графики переходных процессов с коррекцией первой и второй степени соответственно.

Рисунок 3 - Переходные процессы с коррекцией первой и второй степени для системы четвертого порядка

Время переходного процесса сокращено не более чем на 3 %.

В итоге, в главе 3 на основе предлагаемой методики проведен синтез систем квазиоптимальных по быстродействию третьего и четвертого порядка. Сформулированы основные рекомендации по построению систем третьего и четвертого порядков.

Четвертая глава п освящена проектированию импульсного стабилизатора напряжения квазиоптимального по быстродействию с двухзвенным фильтром на основе предлагаемой в главе 2 методики синтеза.

Имеется схема стабилизатора напряжения с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ):

ЕХ1 и М.2 12

г

□

Компаратор

Ел

и™к

Рисунок 5 - Схема стабилизатора напряжения

На рисунке 5 ТК - транзисторный ключ, ивх - входное напряжение, и„ - напряжение на нагрузке, Ы и Ь2 - индуктивности дросселей, С1 и С2 - емкости конденсаторов, 1 и ЯЬ2 - активные сопротивления дросселей, Я„ - сопротивление нагрузки, Б - диод, их - напряжение, подаваемое на ключ, б - сигнал ошибки, 11Гпн - пилообразное напряжение с генератора пилообразных напряжений ГПН, и0п - опорное напряжение.

Формируется математическую модель ИСН в виде структурной схемы, изображенной на рисунке 1 Структурная схема приведена к виду, когда решается задача построения системы, оптимальной по быстродействию, при заданной структуре и параметрах объекта управления и заданных ограничениях на управляющее воздействие

Передаточная функция двухзвенного фильтра имеет следующий вид

И^0>)-15 10-,7 ^4+59 {0-14 у+45оз Ю"8 рг+1135 КГ4 р + \5 03 ^

Закон оптимального управления необходимо формировать в виде нелинейной зависимости координаты управления от ошибки Еф (1), определяемой отклонением выходного напряжения ин от задающего воздействия Функция переключения 8(е) в данном случае учитывает вектор задающего воздействия, поэтому поверхность переключения, определяемую уравнением (2), следует рассматривать в фазовом пространстве вектора ошибки (9)

Для определения аналитического выражения гиперповерхности переключения, в первую очередь, необходимо описать эту гиперповерхность набором точек Набор точек гиперповерхности переключения формируется в программе для математических расчетов МаШСас! 11

В Ма&СасЗ 11 реализуется система дифференциальных уравнений,

которая выглядит следующим образом г

еВ =е\у

^ (22) р5 Цаф+5 9 10~'4 е3 +450310"8 £,+1135-Ю"4 е, +15.03 е0 -1503 !/„„]

ч

Решение системы уравнений производится, применив принцип «обратного времени» На основе выражения 11 и таблицы 1 определена граница интервала решения <:к=0 ООО 14

Согласно предлагаемой методике синтеза систем третьего и четвертого порядка оптимальных по быстродействию в качестве аппроксимирующего полинома следует применить простой полином первого порядка

а0 е0 + а, г, + а2 е2 + а3 г, (23)

где во,г1,е2,уз - координаты ошибки, ее первой, второй и третьей производных;

а0,аьа2,аз - коэффициенты

Данному полиному соответствует уравнение гиперповерхности переключения

вг = 0 (24)

Коэффициенты ао,аьа2,аз определяются, используя метод наименьших квадратов (МНК)

Сформировано уравнение гиперповерхности переключения

1 х0 + 6 578 1(Г5 х1 +1 554 10"' г,+2 705 Ю'14 хг=0 (25)

Чтобы реализовать в системе уравнение гиперповерхности, надо спроектировать корректирующее устройство со следующей передаточной функцией

2 705 10"'4 У+1 554 10"9 /+6 578 10'5 р +1 (26)

Так как гиперповерхность переключения задана в координатах сигнала ошибки, то корректирующее устройство преобразовывает в системе сигнал ошибки

Рисунок 6 - Структурная схема стабилизатора с коррекцией

На рисунке 6 Б - сигнал с корректирующего устройства, В, Ц-пн -пилообразный сигнал с ГПН, В

Но так как в системе имеются сигналы шума, передаточная функция коррекции принимает вид интегро-дифференциального звена

, 2 705 Ю"14 У+1 554 Ю"9 /+6 578 10~5 р + 1 ^ 64 Ю-20 /+48 Ю"11 /+12 10~6+1 1 '

В программе для схемотехнического моделирования МюгоСар 7 0 построены несколько схем ИСН с двухзвенным фильтром квазиоптимального по быстродействию

Одна из схем импульсного стабилизатора напряжения с двухзвенным фильтром и коррекцией приведена на рисунке 7

Рисунок 7 - Общая схема стабилизатора

Рисунок 8 - Переходной процесс в стабилизаторе напряжения

Время переходного процесса ИСН 0.18 мс. Значение интеграла (7) для данного случая: Л=0.001143. На рисунке 9 представлены неоптимальные переходные процессы. В первом случае переходной процесс замедлен и его время составляет 0.26 мс (значение интеграла оценки 12=0.001203), во втором - имеется перерегулирование и время переходного процесса 0.3 мс (значение интеграла оценки 13=0.001194).

Рисунок 9 - Неоптимальные переходные процессы

В итоге, на основе методики предложенной в главе 2 выполнен синтез импульсного стабилизатора напряжения с двухзвенным фильтром оптимального по быстродействию.

В заключении диссертации приведены основные результаты, полученные в ходе выполнения работы, и сформулированы выводы.

Основные результаты и выводы:

- разработана методика синтеза систем третьего и четвертого порядка квазиоптимальных по быстродействию на основе принципа максимума Л.С. Понтрягина и метода фазовых траекторий.

- на основе предлагаемой методики проведен синтез систем третьего и четвертого порядка квазиоптимальных по быстродействию. В результате исследований рассмотренных систем определено выражение для вычисления границы интервала времени решения системы дифференциальных уравнений

í r Í к и и

а + Log\

1 Уш> s .

при котором система близка к оптимальной.

Граница интервала решения ^ - рассчитывается с учетом управляющего и и задающего узад воздействий и коэффициентов т, а и |3, значения которых определены в результате проведенных исследований;

- по результатам исследований систем третьего и четвертого порядка квазиоптимальных по быстродействию составлена таблица для выбора коэффициентов а и Р Выбор основан на порядке системы и виде корней характеристического уравнения объекта управления;

- проведены исследования по формированию передаточной функции звена коррекции и приведены рекомендуемые значения для коэффициента преобразования ю (отношение значений коэффициентов числителя и знаменателя передаточной функции коррекции);

- проведено сравнение систем третьего и четвертого порядка квазиоптимальных по быстродействию с аппроксимацией гиперповерхности переключения на основе выражений первой и второй степени. Показана целесообразность использований для аппроксимации полинома первой степени,

- выполнен синтез импульсного стабилизатора напряжения с двухзвенным фильтром квазиоптимального по быстродействию, который описывается дифференциальным уравнением четвертого порядка, что доказывает возможность использования рассматриваемой методики для проектирования реальных устройств.

Публикации по теме диссертации:

1. Замятин ДВ Синтез систем высокого порядка оптимальных по быстродействию / Д В Замятин, А H Ловчиков // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М.Ф Решетнева СибГАУ - Вып 5 - Красноярск, 2004 -С. 225-230.

2. Замятин ДВ Влияние динамики объекта управления на оптимальную по быстродействию систему / ДВ Замятин, АН Ловчиков // Решетневские чтения материалы IX Междуна науч. конф, посвящ 45-летию Сиб гос аэрокосмич ун-та имени акад МФ Решетнева-Красноярск, 2005 -С 299-300

3 Замятин Д В Определение параметров корректирующего устройства для системы четвертого порядка оптимальной по быстродействию / ДВ Замятин,//Решетневские чтения, материалы IX Междун науч конф, посвящ 45-летию Сиб гос аэрокосмич. ун-та имени акад М.Ф Решетнева-Красноярск, 2005 -С 300-301

yC

4 Замятин ДВ Методика синтеза оптимальных по быстродействию систем / Д.В. Замятин // Молодежь и наука - Третье тысячелетие* Сб

_материалов Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых - Красноярск, 2006 -С 536-538.

5 Замятин ДВ Формирование звена коррекции для систем высокого порядка оптимальных по быстродействию / ДВ. Замятин // Наука Технологии Инновации // Материалы всероссийской научной конференции молодых ученых в 7-ти частях Новосибирск- Изд-во НГТУ,2006 Часть 1-С 20-22

6 Замятин ДВ Синтез систем высокого порядка оптимальных по быстродействию / Д.В Замятин // Современные техника и технологии (СТТ'2005). Труды XI Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых в 2 т - Томск, 29 марта-2 апреля 2005 г - Томск. Изд ПТУ, 2005 -с 225-227

Публикации по списку ВАК:

1 Замятин ДВ Методика синтеза оптимальных по быстродействию систем / ДВ Замятин, АН. Ловчиков // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика M Ф. Решетнева, Сиб гос аэрокосмич. ун-т - Вып 7 . — Красноярск, 2005 -С. 28-30

2 Замятин ДВ Определение оптимальных параметров двухзвенного фильтра для режима коммутации нагрузки / Д В. Замятин // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика МФ Решетнева, Сиб гос аэрокосмич ун-т -Вып 11 -Красноярск,2006 -С 15-17

3. Замятин ДВ Определение параметров корректирующего устройства для системы четвертого порядка оптимальной по быстродействию / Д В Замятин, А H Ловчиков // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика МФ Решетнева, Сиб гос аэрокосмич. ун-т -Вып. 11 - Красноярск, 2006 - С 18 - 20

Замятин Дмитрий Владимирович Синтез систем третьего и четвертого порядка квазиоптимальных по быстродействию

Автореферат

Подписано к печати 02.10 2007 Формат 60x84/16 Бумага писчая. Печ л 1 1 Тираж 100 экз. Заказ Отпечатано в СибГАУ 660014, г Красноярск, просп. им. газ «Красноярский рабочий», 31

Введение.

ГЛАВА 1 Обзор ¡методов синтеза систем высокого порядка оптимальных по быстродействию.

1.1 Постановка задачи синтеза оптимальной по быстродействию системы в теории оптимального управления.

1.2 Методы синтеза оптимальных по быстродействию систем.

1.3 Существующие методики синтеза систем оптимальных по быстродействию.

1.4 Методы аппроксимации поверхности переключения.

Выводы.

ГЛАВА 2 Методика синтеза систем третьего и четвертого порядка квазиоптимальных по быстродействию.

2.1 Предлагаемая методика.

2.2 Нахождение уравнения переключения.

2.3 Формирование коррекции.

2.4 Оценка квазиоптимальности системы.

Выводы.

ГЛАВА 3 Особенности применения методики для систем третьего и четвертого порядка.

3.1 Решение системы дифференциальных уравнений.

3.1.1 Решение системы дифференциальных уравнений третьего порядка

3.1.2 Решение системы дифференциальных уравнений четвертого порядка

3.1.3 Решение системы дифференциальных уравнений с астатизмом первого порядка.86.

3.1.4 Выбор количества точек разбиения интервала решения.

3.2 Формирование корректирующего звена.

3.2.1 Формирование звена коррекции для системы третьего порядка.

3.2.2 Формирование звена коррекции для системы четвертого порядка.

3.2.3 Рекомендации по формированию корректирующего звена.

3.3 Сравнительный анализ коррекций первой и второй степени.

Выводы.

ГЛАВА 4 Проектирование импульсного стабилизатора напряжения с двухзвенным фильтром квазиоптпмалыюго по быстродействию.

4.1 Структурная схема.

4.2 Расчет передаточной функции фильтра.

4.3 Определение оптимального управления.

4.4 Нахождение описания гиперповерхности переключения.

4.5 Применение метода наименьших квадратов.

4.6 Построение предварительного графика переходного процесса с коррекцией.

4.7 Способы реализации коррекции.

4.8 Реализация коррекции с помощью корректирующего устройства.

4.9 Особенности реализации корректирующего устройства.

4.10 Моделирование работы стабилизатора в MatLab 6.1.

4.11 Реализация коррекции в MicroCap 7.0 на операционных усилителях.

4.12 Простейшая схема коррекции в MicroCap 7.0.

4.13 Схема коррекции с дросселем в MicroCap 7.0.

4.14 Схема с двумя операционными усилителями.

4.15 Схема стабилизатора с дополнительными обратными связями.

Выводы.