автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Оптимальная конечностная нелинейная фильтрация морковских последовательностей и диффузионных процессов



л

Л

На правах рукописи

УДК 681.518.22:519.246.2

РУЯЕЖО Евгений Агехсандрович

ОШШШ ГОЙЕЧЖЖРШ ШШШ ШТРАЩ НОТОВСМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И

атшшш прощхх®

Специальность 05.13.01 Управление в технических системах

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1997

Работа выполнена на кафедре математической кибернетики факультета прикладной математики Московского государственного авиационного института Стехнического университета)

Научный руководитель - доктор технических наук

профессор В. В. Семенов

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

профессор А. И. Енбзуи

- кандидат физико-математических наук старший научный сотрудник В. И. Кип

Ведущая организация - НПО им. Лавочкина

Защита состоится "Я?" /й-^ь5ч 1997 года в I & часов на заседании диссертационного Совета Д 053.18.05 Московского государственного авиационного института по адресу: 125871, Москва, ГСП, Волоколамское шоссе, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАИ Автореферат разослан " " С^г 1997 года.

Отзыв, заверенный печатью, просим направить в одном экземпляре по адресу: 125871, Москва. ГСП, Волоколамское шоссе. 4.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор фйико-катематпческих каук

В. Г. парков

ОБЦАЯ ШШМЛЯк РМИ

Диссертация посвящена решению задачи синтеза структуры легко реализуемых в темпе с поступлением новых измерений нелинейных фильтров, порядок (число уравнений состояния) которых не превышает порядка формирующего фильтра полезного сигнала, и демонстрации их применения для оценивания состояния летательного аппарата СЛА).

Актуальность дроблены. При проектировании систем навигации и наведения современных ЛА существует проблема учета неточности или неполноты измерений, используемых для получения возможно более точных оценок его текущего состояния. При этом, с целью обеспечения высокой точности навигации, необходимо учитывать нелинейность математических моделей процесса движения и устройств ЛА, а также возможную негауссовость случайных воздействий. Аналогичная задача оценивания актуальна и в радиосвязи, когда требуется выделить полезное сообщение из принятого с помехой модулированного сигнала.

Современная теория абсолютно-оптимаяьпой нелинейной фильтрации марковских случайных процессов Стратоновича-Кушнера основана на использовании весьма сложного для реализации уравнения для апостериорной плотности вероятности. Практическими следствиями из этой теории являются получившие популярность наиболее простые субоптимальные алгоритмы фильтра нормальной аппроксимации и обобщенного фильтра Калмана. Их порядок равен п(п+3)/2, где п - размерность вектора состояния формирующего фильтра полезного сигнала С наблюдаемого объекта}. Это часто оказывается слишком большим для реализации фильтров в реальном масштабе времени, а сами фильтры -слишком грубыми, так как излишние упрощения приводят к потере точности и даже к расходимости фильтра Ссрыву процесса оценивания). Стремление же повысить точность оценивания заставляет увеличивать число учитываемых достаточных статистик (семиинвариантов, квазимоментов). В результате резко возрастает и порядок субоптимального фильтра, что препятствует его реализации.

Разорвать этот замкнутый круг в принципе позволяет теория условно-оптимальной нелинейной фильтрации марковских процессов, развиваемая академиком В.С.Пугачевым с 1978 г. Она основана на предварительном задании структуры (правых частей) разностных или дифференциальных уравнений состояния нелинейного фильтра порядка И^п, реализовать который гораздо проще, и на поиске неизвестных коэффициентов усиления этого фильтра из условия минимума либо среднего квадрата ошибки оценивания в случае дискретного времени, либо его

производной в непрерывном случае. Получены уравнения для вычисления части оптимальных коэффициентов, определяющих фильтр порядка п, которые позволяют, по крайней мере численно на большой ЗВМ, найти эти коэффициенты на этапе проектирования фильтра. Однако вопрос выбора структуры условно-оптимального фильтра, очевидным образом оказывающей влияние на точность оценивания, который обсуждали М.Л. Дашевский, А.Р. Панков, J.R. Raol, N.K. Sinha, остается открытым.

Синтез части структуры нелинейного фильтра конечного порядка рассматривали в своих работах В.В. Семенов, 0. Л. Перов и Л. Е. Широков, Y. Yavin,.A.B. Пантелеев.

Цель работы: нахождение из условия среднеквадратической оптимальности всей структуры реализуемых в реальном масштабе времени нелинейных фильтров конечного порядка для марковских последовательностей и диффузионных процессов.

Методы исследования: теория вероятностей, в том числе вероятностных мер, теория марковских случайных процессов, методы оптимизации.

Научная новизна состоит в постановке задачи и создании нового метода синтеза дискретного и непрерывного конечномерных нелинейных фильтров оптимальной структуры, порядок которых может быть равен или меньше порядка формирующего фильтра полезного сигнала.

Практическая ценность работы заключается в создании методики получения структурных функций оптимальных и субоптимальных конечномерных нелинейных фильтров, легко реализуемых в темпе с процессом поступления измерений, а также методики вычисления параметров субоптимальных фильтров методом статистического моделирования.

Реализация результатов. Диссертационная работа проводилась на кафедре "Математическая кибернетика" МАИ в рамках 4 научно-исследовательских тем. Результаты работы вошли в 15 научно-технических отчетов по ним за 1984-1995 годы.

Апробация работы. 0 содержании работы было доложено на:

- 11-й Всесоюзной научно-технической конференции "Создание и внедрение систем автоматического и автоматизированного управления технологическими процессами", Новгород, 9-11 сентября 1986.

- Всесоюзной научно-технической конференции "Микропроцессорные системы, автоматизации технологических, процессов", ^.Новосибирск, 14-16 апреля 1987.

- Всесоюзном семинаре "Динамика нелинейных процессов управления", Таллин, сентябрь 1987.

- Всесоюзной школе-семинаре "Математическое и программное обеспечение интеллектуальных систем", Ярополец, Моск. обл., май 1990.

- Всесоюзном научно-техническом совещании "Теоретические и прикладные проблемы создания систем управления технологическими процессами", Челябинск, 5-7 июня 1990.

- Всероссийской научно-технической конференции "Проблемы совершенствования робототехнических и интеллектуальных систем ЛА", Москва, 28-30 мая 1996.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 17 печатных работах, из них 6 статей в сборниках научных трудов МАИ, препринт объемом 64 с., параграф в учебном пособии, тезисы докладов 6 конференций или семинаров.

Структура и обген диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников и приложения. Основной текст содержит 166 страниц, включая 1 таблицу и 25 рисунков. Список литературы включает 118 наименований. Приложение занимает 37 страниц.

(ЩРШЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность темы диссертации, приводится описание и анализ недостатков известных методов абсолютно-оптимальной и условно-оптимальной нелинейной фильтрации, а также работ по синтезу части структуры нелинейных фильтров конечного порядка. Дается характеристика выполненой работы и ее краткое содержание, приводится описание соответствующих публикаций автора.

Глава 1 посвящена решению задачи синтеза оптимальной структуры конечномерного нелинейного фильтра, оценивающего часть компонент марковского вектора состояния объекта наблюдения в случае дискретного времени.

В § 1.1 приведена постановка задачи синтеза дискретного конечномерного фильтра. Предполагается, что для случайных вектора Xfce3C)c9Rn!c полезного сигнала (вектора состояния объекта наблюдения) и вектора У^еЗ^зЛ его косвенных измерений выполнены следующие условия: 1? Последовательность пар Xfc,Yfc имеет конечный второй момент, т.е. MCP)cfl2+aYkBzD<® для любого к>0, где gwfi2=vV 2? Последовательность X™ является марковской с известными начальным распределением Рс (й0)7р Р0бА<Л и вероятностью перехода за один шаг °Se®Se+i '"Sc^- 3? Измерение Yk характеризует только текучую величину

Хк и определяется условной вероятностью <?кф|с|хк). 4? В общем случае элементы Хк+1 ,Ук последовательностей X®, У® могут быть условно-зависимыми, т.е. определяться взаимной условной вероятностью 1хк3- Тогда вероятности <\,(Зк являются маргинальными

Здесь А^^ - произвольные борелевские подмножества из соот-

ветственно.

Условные вероятности могут быть заданы конструктив-

но, если известны уравнение формирующего фильтра полезного сигнала (уравнение состояния объекта) и уравнение измерителя

\ =ьк<хкЛ). к>0. ш

Здесь Ук - элемент не зависящего от Хо дискретного белого шума со значениями из *к3{1к и известным распределением *к0>к) ДЛЯ любого борелевского 1>кЯ/к; ак,Ьк - измеримые по Борелю вектор-функции. Например,

Ш *

к

где х^ ~ индикатор множества С: *с(и)=1 при иеС, х^СиЭЮ при иге. На каждом такте к>0 по выборке измерений нарастающего объема

У^=Ро.....Ук) будем искать пк-мерный вектор оценки слу~

чайного вектора Хк, составленного из первых пк<пк компонент вектора Хк. Класс Г допустимых оценок со значениями в множестве а^Л зададим следующими рекуррентными соотношениями фильтрации (уравнениями конечномерного фильтра):

где - произвольные измеримые по Борелю вектор-функции, опре-

деляющие структуру этого фильтра, имеющего локальный порядок пк (порядок на такте) и глобальный порядок п'= шахк>о пк. Тем самым на множество всех возможных оценивающих функций ук наложено следующее ограничение рекуррентности:

?0СУ0) - г. р.). ^СО »

На множестве Е допустимых оценок определим последовательность Iе" средних квадратов ошибок оценивания

1к = МВХ-2^ . (3)

где Цг^И* =£к1-к£к - квадратичная форма заданной матрицы 1^)0.

Требуется найти оптимальные структурные функции Гк фильтра (2), последовательно доставляющие минимум функционалам (3): 10сгос,:)] —»• —>шп . к>1.

о к

В $ 1.2 проводится определение структурных функций фильтра. Теорема 1.1. Если МР^||г<ао, к>0, то оптимальный в смысле минимума (3) конечномерный фильтр (23 существует, его структурные функции могут быть определены равенствами

^СУ0) = М0Г|Уо=уо),

- ^ и}

а оптимальные оценки имеют конечный второй момент: М|2к|2<оо, к>0.

След. 1.1. Оптимальные конечномерные оценки , к>0 являются несмещенными М(£ )=М(Х£) и обладают свойствами

соуО^Л^соуС^Л,,}. соу^.^соу^,^}. к>0. След. 1.2. Если известно распределение г случайных величин ЧЛЛ-Л-. то оптимальная структурная функция Гк нахо-

дится по формуле

Гк^к'ук-1 '2к-«Э - Г х^Сс1х)с|у1с.у1с.1.2к.1). к>1. (4'0

где условное распределение рк определяется как производная Радона-Никодима совместного распределения гк по маргинальному распределению зк величин

¿г,. С*. . •. •. О

След. 1.3. Если известно распределение го величин ХоЛ0. то

л с1г & -О

Г (уп) = I х'р Сс1х |у ), где р СА |у ) = ° 0 (у )

9й»' о^о у о'-'о-' гоч о'^о' '■'о'

к

След. 1.4. Если известно совместно-условное распределение то условное распределение из С 4'О определяется по формуле

где сгкОк|ук1.2к.1)^кС^.Вк|ук.1.2к_,).

В } 1.3 осуществляется нахождение по известным функциям Г*"1 распределений гк.т)к. необходимых для вычисления следующей структурной функции ^ фильтра С2).

Теорема 1.2. Если в марковской последовательности пар Хк+1 Лк эти случайные величины условно-зависимы в смысле 4°, а оценки 2к определяются разностным уравнением С2), то последовательность троек Хк+1Д)с,гк также является марковской с вероятностью перехода за один шаг

и начальным распределением

•Р|»,.вв.св) = / [Г0СУ0)]Г0СЛ ^уо|хо)ро(ахо).

X хБ 0 о о

След. 1.5. Имеет место связь (Ш)) ^к

в которой чк - распределение величин ХкЛк,2к, определяемое соотношениями

= / к

= I х Р0(у0)]/зос<1уо|хо)рос<1хо). Условное же распределение (к находится по априорным данным

к к к а^кс-|хк) *

След. 1.6. Совместные распределения гк находятся по формулам

Г0»0.В0) = / /зосво|хоэрос^хоэг

А

о

След, 1.7. Совместно-условное распределение (5) находится по формуле (к£1)

где прогнозирующее распределение лк определяется выражением

"к« <4*, 1Ук'2к5 = I ^ \

в котором условное распределение ?к вычисляется по совместному распределению чк:

ск}. Л О

.«ЧО^.г.О * \

В 5 1.4 описаны два замкнутых, алгоритма точного последовательного нахождения структурных функций фильтра С 2).С4). При этом требуемые вычисления не используют .результатов измерений Ук, а потому могут быть выполнены до начала процесса обработки измерений,

на этапе проектирования фильтра, по имеющейся априорной информации в виде распределений ро и у^. Результатом синтеза являются не только структурные функции фильтра Гк, но и полные характеристики его точности в виде распределения Ь^ ошибки фильтрации Ек =Х£.

Алгоритм 1 основан на вычислении условного распределения рк по совместному распределению гк и имеет следующий вид

« : 1

••• -Р)с + 1 "к*,

I

'-

Алгоритм 2 базируется на вычислении рк по совместно-условному распределению т)к и имеет следующий вид

1 ; ; - 1 i-► г,

к+1 ' Нс-м

Алгоритм 1 удобен для достаточно точного численного определения оптимальных структурных функций фильтра, тогда как алгоритм 2 - для их нахождения приближенно-аналитическими методами, например, методом гауссовского приближения.

В } 1.5 приводится вывод уравнений гауссовского приближения к фильтру оптимальной структуры С2),С4). Он основан на аппроксимации распределений гауссовскими С нормальными) законами и на опре-

делении связей между параметрами последних из соотношений алгоритма 2. В результате получены следующие уравнения субоптимального гауссовского фильтра

20 = НоУо + ео- ик = ГкРк#Т+V

2к " К + к>1.

Здесь символы операций усечения (отбрасывания последних пк~п£ строк) и псевдообращения матриц соответственно, ик,Лк,Фк - промежуточные переменные, две последние из которых имеют смысл прогноза вектора Хк и его ковариации, а функции прогноза тк,8к и коррекции ^к' (¡к'Рк определяются с помощью известной операции статистической линеаризации по переменной хк следующих пар условных средних екС^.у,) = М(Хк+1 |хк,ук), з^.у^ = мсхк+1х^ |хк,ук).

по формулам

тк (у.и,Т) = Мм[рк(Х1с.у)|иД].

©к Су.ч.Т) = ^С^о^.утт] - ткСу.и,Т)т^Су.и."П, (7)

Гк(Х.4) = М^О^ЛХ.Ф] -где оператор М^ означает усреднение по гауссовской плотности И: Мм[д(Х)|К,Ф] = д(х)Н(х|Х,Ф}йх, ^ - оператор градиента по X.

Параметры фильтра Н^,е^, Гк,*к,Тк находятся по математическим ожиданиям и ковариациям распределения qk. Последние могут быть достаточно просто вычислены методом статистического моделирования одновременно с получением значения критерия 1к=1г|1кфк+т£т£т)].

Если известны уравнения объекта наблюдения и измерителя С1), то условные средние измерения определяются по простым формулам

Ук (х) = М{Ьк Сх.\)]. (х) = 1% (х. Ук)ь£ (х.Ук)].

тогда как условные средние состояния в случае, если распределение Рк СВ, |хк) имеет плотность Рк (ук |хк) =м{<5 [ук-Ьк (хк,представляют собой отношения

Сук |хк], ^ (х^.у,)^ Сук 1хк]//зк СУк К).

в которых

^СУк1хк) = м{акСх)с.7к)б|Ук-ЬкСхк.Ук)]}.

Локальный порядок гауссовского фильтра (6),С7) равен Действительно, исключая из системы уравнений С6) промежуточные переменные Лк,Фк,ик1, можно получить замкнутое разностное уравнение относительно п£-мерного вектора оценки

В этом состоит принципиальное отличие предлагаемого гауссовского фильтра от известного из теории абсолютно-оптимальной нелинейной фильтрации субоптимального фильтра нормальной аппроксимации, в алгоритме которого используются те же функции тк•®к < ^■ (?к•Рк• Последний имеет порядок пк(рк+3)/2, так как описывается системой равнений относительно апостериорного математического ожидания Хк=М(Хк|У^) полного вектора состояния и матрицы его апостериорной ковариации Е^соуСХ^Ду.Параметров же этот фильтр не имеет.

В $ 1.6 предлагается более простое - линеаризованное - приближение к фильтру оптимальной структуры, подобное обобщенному фильтру Калмана. Оно имеет вид С6), но функции прогноза и коррекции непосредственно выражены через функции объекта а. и измерителя

Ьк, а также их первые частные производные. Рассмотрены два случая: независимых и зависимых гауссовских помех объекта и измерителя. г

В 5 1.7 рассмотрено построение конечномерного нелинейного фильтра (2),С4) полного порядка п£=пк для частного случая линейных уравнений объекта и измерителя (1) и гауссовских начального состояния Хо и возмущения Доказано (теорена 1.3), что он вырождается в этом случае в линейный фильтр Калкана.

В 5 1.8 обсуждаются способы построения более точных, чем га-уссовский и линеаризованный, субоптимальных конечномерных нелинейных фильтров. Рассмотрены другие способы аппроксимации нелинейнос-тей и вероятностных распределений, а также условно-оптимальная модификация гауссовского и линеаризованного конечномерных фильтров. Предложен более эффективный двухшаговый конечномерный фильтр оптимальной структуры и его гауссовское приближение.

В $ 1.9 описан созданный в соавторстве пакет программ синтеза методом статистического моделирования параметров как разработанных приближений к фильтру оптимальной структуры, так и условно-оптимальных фильтров, а также анализа точности этих фильтров и аналогичных приближений к абсолютно-оптимальным фильтрам.

В главе 2 рассматривается задача синтеза оптимальной структуры непрерывного конечномерного нелинейного фильтра для оценивания части элементов диффузионного вектора состояния объекта наблюдения.

В $ 2.1 приведена постановка задачи для случая точного измерения части переменных состояния наблюдаемой системы. Пусть совместная математическая модель объекта наблюдения и измерителя имеет вид системы стохастических дифференциальных уравнений Ито = аС-.^Д^Л + В(1.Х1 Х4 = Хо ,

= сС-.Х^Т^Л + БСЬ^Д^. Уо . (8}

О

Здесь Хг=ХС1), У^=УСО - п-мерная ненаблюдаемая и т-мерная наблюдаемая части вектора состояния объекта, У^ - I-мерный стандартный винеровский процесс, не зависящий от случайных начальных условий ХоЛо, определяемых совместной плотностью распределения ро(х,у).

Предполагается: 1°. Стохастические уравнения (8) удовлетворяют условиям существования и единственности их решений Х4, У4. 2°. Для любого совместное распределение векторов Х1, имеет конечные вторые моменты и является абсолютно-непрерывным. 3°. Матрица На,х,у)=0(1,х,у)Вта,х,у) >0 для любых 1>1о, х€1Л

Оценку 21 п'-мерного вектора Х^, составленного из первых п'<п компонент вектора Хг, будем искать в классе неявно заданных функ-

ционалов Zt =Ft JV^ j всех предшествующих измерений Y* =-£yt, to<r<t.y

Этот класс определим следующими множествами дифференциальных уравнений и начальных условий

dZ = fCL.Y fZ }dt + CCL,Yt.Z JdY . 2t = hfl ) CS)

о 0

Здесь функции f,G,h являются неизвестными из множеств допустимых функций hei, f,Ge$, удовлетворяющих предположениям: 4°. Решение системы уравнений (8)Д9) существует и единственно. 5°. При любом t£to одноточечное совместное распределение векторов Xt,Yt,Zt имеет конечные вторые моменты и является абсолютно-непрерывным.

Задающие структуру конечномерного фильтра С9) функции f,G,h выберем из множеств с помощью двух условий: несмещенности оценки MpJ=Mß;] при любых t>to и ее оптимальности в смысле минимума среднего квадрата ошибки фильтрации It=M|X^-Zt|® , где

Lt >0. Известно, однако, что оптимальный в смысле минимума It для

любых t>to конечномерный нелинейный фильтр не существует. Поэтому,

фактически следуя В.С.Пугачеву, структуру фильтра (9D будем

выбирать из следующих двух условий: .

I —► min , I = dl _ rin Hvt>t .

о hei 1 uu i,G6<J> 0

последнее из которых известно как критерий локальной оптимальности. В § 2.2 проводится определение функций f,G,h такого фильтра. Теореиа 2.1. Структурная функция начального условия оптимального конечномерного фильтра определяется по формуле

hCy3=Mp;|Yo=y]=J x'po(x|y]dx, где Р0 Сх|у)=ро (x,y)/J p0(x,y)dx.

R" R"

а начальная оценка имеет конечный второй момент.

След. 2.1. Оптимальная начальная оценка является несмещенной

Mpt ]=М[Х;3 и обладает свойствами

°cov|}(;,Yol = covpt ,YJ, cov[X;,Zt ] = covpt ,Zt J.

о о oo.

Зависимость производной среднеквадратической ошибки It от функций f,G дает ленна 2.1: Если выполнены предположения 1°,2°,4°, 5°, то критерий локальной оптимальности имеет вид

It= <tr{Lp(z-x')(f+Gc)T- 2S'GT+ GRGT]}, г> + const[f,G].

Здесь S=BDT, г - одноточечная плотность совместного распределения случайных процессов Xt,Yt,Zt, а угловыми скобками обозначено скалярное произведение функций при фиксированном t:

<vCt,x,y,zJ, r(t,x,y,z)> = Г ¥<l,>,y.z)r(l.x,y.z)dxdydz.

I^n+m+n'

Теорена 2. 2. При любом независимость функционала от Г

и его минимум по Б достигаются на решениях следующих уравнений 2 = 6 р= р

где условная плотность р(1,х|у,г) = г(1.x,у,г) / ^г (1,х,у,г)с1х.

След. 2.2. Определяемая условиями теоремы 2.2 оптимальная конечномерная оценка при любом является несмещенной Мр1]= и обладает свойствами соу^,^] = соур1,У1]. соу{}(1'.г1] = соу[21.21].

Теорема 2.3. Вектор-функция Г несмещенного фильтра С9) определяется справедливым для любой функции ?(1,у,г) из некоторого класса Е интегральным тождеством

(?= ,зСа'-(}а)^1г[?уу.зР.)+21г(?^,56Р.]пг(?22 .зСР.Ст)а_.

Здесь 1=17п',""'Р1=(Хд-г1)1{' , б^^г сЗх - маргинальная плотность,

большими круглыми скобками обозначено скалярное произведение в К"*"' матриц-функций 9, П согласованных размерностей

(в,п) = /^п+п .© О-»У»2) 0 О-, У, г) (1^2, а черта над функцией означает ее усреднение по переменной х с весом в виде условной плотности р:

2 = ХС1,у.г) = 2(1,х,у,г) = Г 2а,х,у,г)р(1,х|у,г)с1х.

Отметим, что это интегральное тождество может быть использовано для нахождения функции Г методом.Галеркина.

След. 2.З1. Если функции с, Б'дважды непрерывно дифференцируемы по переменной у, а совместная Плотность распределения г -по у и т., то структурная функция Г несмещенного конечномерного фильтра (9) определяется по явной формуле

Т = а'- в с + С. СЮ)

где элементы п'-мерной вектор-функции С имеют вид

с»СзР1 М Сз(ЗР1 ьУ*

След. 2.32. Если в уравнениях (8) матрица Б(I,х,у) не зависит от переменной х, т.е. 0=0(1,у), то (=0 и функция Г находится по более простой формуле Г=а'-(3с.

Явный же вид оптимальной матрицы-функций в дает выражение

бО.,У,г) = [(х'-2)ст(1,х,у) + ^(г.У.г)] И СЬ.у.г}. (И) В 5 2.3 описаны два способа вычисления структурных функций оптимального несмещенного фильтра (9). Первый из них состоит в нахождении обобщенного решения системы из задачи Коши для уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова относительно плотности г и интегральных

уравнений СЮ), СИ). Другим способом является определенная численная процедура метода Монте-Карло.

В 5 2.4 рассмотрены два случая аналитического синтеза фильтра.

Теорена 2.4. Пусть правые части уравнений наблюдаемой системы (8) линейны относительно Х1, а плотность р условно-гауссова: Р0 Сх,у)=Р0 Сх 1у)20 (у). р0 Сх|уй[х|т0 Су).Юо су)] ,

где то(у)=М[Хо|Уо=у], до (у)=соу[Хо|¥о=у]. Тогда непрерывный конечномерный фильтр оптимальной структуры полного порядка п'=п вырождается в фильтр Липцера-Ширяева.

След. 2.4. Если система уравнений С8) является линейной, а ее начальные условия - гауссовскими, то фильтр оптимальной структуры полного порядка п'=п вырождается в линейный фильтр Калмана-Бьюси.

В { 2.5 приводится определение структуры субоптимального гауссовского фильтра, основанное на аппроксимации плотностей ро, г нормальными плотностями. В общем случае негладкости функций с,Б',!? наблюдаемой системы (8) по переменной у, а совместной плотности г - по у,г, структурные функции фильтра находятся по формулам

ЬНСУ) = е; + н;у , емс..у.2) = {д; ^а.у.г.у.Г^ + А* +

(?, КГ") = (?, НСа'-С^)] + ^Цг(?ии, +

с помощью коэффициентов статистической линеаризации нелинейностей

в которых = ут]. Здесь у=у0-, У. г) , ит=[ут, гт],

?ии=7цу^?, И=Н(У,г¡п^.О^.Б*,^) - гауссовская плотность.

ер.р.] =

р1 р16' СР1 СР.СТ

Если же условия гладкости следствия 2.З1 в отношении с,Б'.И выполняются, то для функции Г имеет место явное приближение

гн = 2' - + А;ВЬк ПЗ",^ и —. + д#8Ьн ]|.-,,

I" уг г.,п' Iе ух «■ ' у.-»"^! ,п-п'

J

где 1^[С.Р.] = е[6,Р.] - 20«®^ ^©р.Р,] +

+ ^У^ер/Р^}, причем и^и-т^.

В } 2.6 описаны два способа вычисления параметров гауссовского фильтра. Ими являются коэффициенты и свободные члены

линейных функций у.Ь", блоки Д^,Д£\А* симметрической матрицы Г , а также числовые характеристики маргинальной гауссовской плотности N. Все они выражаются через математические ожидания и кова-риации плотностей ро,г . либо совпадают с ними. Поэтому задача сводится к определению этих характеристик диффузионного марковского вектора состояния (Х^У^г^ нелинейной стохастической системы (8),<9), в которой следует положить Г=ГН, 6=СМ,

Первый способ состоит в применении какого-либо из известных приближенных методов сведения соответствующего уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для желаемого конечного числа семиинвариантов, квазимоментов или других числовых характеристик совместной плотности г. Другим является метод пошагового статистического моделирования Монте-Карло. Одновременно с нахождением параметров легко получить и моменты ш®, Б® ошибки Е1 =Х^с целью проверки несмещенности оценки и анализа точности гауссовского фильтра.

В $ 2.7 предлагается более простое - линеаризованное - приближение к непрерывному фильтру оптимальной структуры. Его структурные функции непосредственно определяются через функции системы (8), а также их первые частные производные:

= ({.иса'-с^)) + нарЧ^])!. —, +

«■Д*|1гГ?

2 1 X]

Н9[СЬД

V Л 1 "к=1 ,п-п' к

Последнее выражение требует существования производных К (1,1,. у). В противном случае для другого варианта линеаризованного приближения Гь получено явное выражение

В более гладком случае существования не только требуемых следствием 2.31 вторых производных по у, но и производных сххх, В'хх, °ххх этах же функций по х, найдено такое приближение Г* = а' - 6ьс + а;яьк ПЗ'-.К 1Г —, + д^аь* КМ ]В( -

В $ 2.8 рассмотрено построение конечномерного нелинейного фильтра в случае неточных измерений в присутствии белого шума, когда модель наблюдаемой системы С8) имеет следующий вид:

Х^аСЬ.Х . X =Хо. и =с&.Х )+ВС-.Х .

О •

Здесь п-мерный вектор состояния, Х^Х /<И, У^с^/сИ - вектор стандартного гауссовского белого шума, ш-мерный вектор измерений, а начальное состояние Хо определяется плотностью распределе-

ния р (х). Уравнения синтезируемого фильтра ищутся теперь в виде ® «

= гс,.г ) + вс-.г )^. \ = ь,

о

находя Г,в,И из тех же условий несмещенности и оптимальности. Показано, что решение этой задачи может быть получено из предыдущих результатов главы 2 простым удалением из них переменной у.

В § 2.9 приведен одномерный пример сравнения субоптимальных конечномерных непрерывных фильтров с известными: обобщенным фильтром Калмана-Бьюси, фильтром нормальной аппроксимации и условно-оптимальным фильтром. Проведенные расчеты свидетельствуют, что предложенные гауссовский и линеаризованный непрерывные конечномерные фильтры оптимальной структуры при вдвое меньшем порядке по сравнению с соответствующими приближениями к абсолютно-оптимальным фильтрам обеспечивают не менее (гауссовский), а то и более (линеаризованный) высокую точность, и гораздо точнее условно-оптимального фильтра того же порядка с эвристически заданной структурой.

^В 5 2.10 обсуждаются способы дополнительного уточнения параметров линеаризованного и гауссовского фильтров субоптимальной структуры: регрессионный (условно-оптимальный) - для линейно входящих параметров, и нерегрессионный - для общего случая.

В главе 3 демонстрируется применение предлагаемого метода к решению задачи оценивания текущего состояния космического аппарата, совершающего аэродинамическое торможение в атмосфере Марса, по дискретно выполняемым неточным автономным измерениям проекций вектора перегрузки на оси инерциальной системы координат.

В } 3.1 приведены содержательная постановка и формализация этой задачи. Осуществлена приближенная замена системы дифференциальных уравнений движения аппарата соответствующей системой разностных уравнений метода Эйлера.

В $ 3.2 описано применение линеаризованных дискретных фильтров: предлагаемых линеаризованного фильтра оптимальной структуры (ЛФОС) и его условно-оптимальной модификации (МЛФОС), а также известных линеаризованного абсолютно-оптимального фильтра (ЛАОФ) и двухшагового условно-оптимального фильтра СДУОФ). Приведенные результаты статистического моделирования показывают, что ЛАОФ неработоспособен на начальном участке траектории, а на конечном в 2-3 раза по скорости, в 5-6 раз по углу и в 5-10 раз по высоте менее точен, чем ЛФОС. Последний на конечном участке обеспечивает примерно ту же точность по скорости, что и ДУОФ, а по углу и высоте -в 1.5-2 раза большую. Наилучшую же точность из всех этих фильтров дает МЛФОС, превосходя сравнимый с ним по алгоритму ДУОФ в точное-

ти оценивания скорости и угла в 2-3 раза, а высоты - в 3-4 раза.

В } 3.3 рассмотрено построение дискретных гауссовских фильтров. Найдены коэффициенты статистической линеаризации, определявшие структурные функции прогноза и коррекции. Приведены результаты сравнения гауссовского абсолютно-оптимального фильтра СГАОФ), га-уссовского фильтра оптимальной структуры СГФОС) и услозно-оптимальной модификации последнего (МГФОС). Из них следует, что ГФОС дает практически ту же точность, что и ЛФОС, тогда как ГАОФ резко увеличил свою точность по сравнению с ЛАОФ. Наиболее же точным и в этом приближении является МГФОС, и хотя по сравнению с МЛФОС он не стал лучше, но все же превосходит ГАОФ по точности оценивания в конечный момент времени скорости - в 3 раза, высоты -в 2 раза, в то время как по углу их точность почти одинакова.

В } 3.4 рассмотрен случай неопределенности параметров атмосферы и спускаемого аппарата, для которого также построены линеаризованные фильтры полного порядка. Обобщенный фильтр Калмана СЛАОФ) в данном случае оказался расходящимся. Имеющий же более чем в 4 раза меньшее число уравнений линеаризованный ФОС сохраняет свою работоспособность в течение всего времени спуска. Наиболее точным и в этой задаче является МЛФОС, который превосходит по точности ДУОФ. В конечный момент времени это превосходство составляет: по скорости - в 4.7 раза, по углу наклона траектории - в 7.0 раз, по высоте - в 3.3 раза, по плотности атмосферы - в 3.2 раза, по коэффициенту аэродинамического качества - в 3.6 раза, по углу выставки местной вертикали - в 7.2 раза.

Приложения 1-7 содержат некоторые используемые в диссертации известные сведения из теории вероятностных мер и условных математических ожиданий, а также не вошедшие в ее основной текст соотношения по синтезу оптимальной структуры дискретных нелинейных конечномерных фильтров в частных случаях дискретности или абсолютной непрерывности вероятностных распределений. Приведены уравнения основных типов известных оптимальных и субоптимальных нелинейных фильтров, оценивающих марковские последовательности и диффузионные процессы. Кроме того, приведены используемые в главе 3 известные рекуррентные формулы для гауссовских моментов от произведений степенных и экспоненциальных или степенных и синусоидальных функций случайного вектора, -а также получено их обобщение. Наконец, дан обзор работ автора по примыкающему к теме данной диссертации новому методу оптимального конечномерного стохастического управления-динамическими системами.

ООКШ£ РЕЗУЛЬТАТУ РАБОТЫ

Основным итогом диссертационной работы является создание нового метода синтеза реализуемых в реальном масштабе времени дискретного и непрерывного конечномерных нелинейных фильтров оптимальной структуры, порядок которых не превосходит порядка формирующего фильтра полезного сигнала. Этот итог выражается в следующих результатах работы:

1. Поставлены и решены две новые задачи оптимальной конечномерной нелинейной фильтрации марковских последовательностей (теоремы 1.1, 1.2 и их следствия) и диффузионных процессов (теоремы 2.1-2.3 и их следствия). Созданы методики синтеза конечномерных фильтров оптимальной структуры в дискретном и непрерывном времени.

2. Доказано, что в различных частных линейно-гауссовских случаях предложенные оптимальные нелинейные конечномерные фильтры совпадают с соответствующими модификациями абсолютно-оптимальных линейных фильтров Калмана и Калмана-Бьюси (теоремы 1.3, 2.4).

3. Разработаны методики получения структурных функций субоптимальных дискретного и непрерывного конечномерных фильтров в га-уссовском и линеаризованном приближениях, а также алгоритмы вычисления параметров этих фильтров, в том числе и методом статистического моделирования.

4. Продемонстрировано применение методик построения и проведен сравнительный анализ эффективности предложенных субоптимальных конечномерных фильтров. Для непрерывного времени это сделано на модельном примере, а для дискретного времени - на содержательной задаче оценивания переменных состояния космического аппарата, осуществляющего аэродинамическое торможение в атмосфере Марса, по результатам неточных дискретных измерений проекций вектора перегрузки на оси бортовой инерциальной системы координат. Проведенное статистическое моделирование показало, что в каждом из этих примеров предложенные фильтры обеспечивают, как правило, более высокую точность, чем известные их абсолютно-оптимальные аналоги большего порядка или условно-оптимальные фильтры того же порядка.

ПУБ4ОДЩИ DO ТЕК ДОСЕРТАфИ

1. Руденко Е. А. Синтез структуры локально-оптимального непрерывного нелинейного фильтра минимального порядка. МАИ. М. 1984./ Депонир. в ВИНИТИ 1.08.84. N 5599-84 Деп. - 12 с.

2. Руденко Е. А. Оптимальная структура непрерывных фильтров конечного порядка.// Создание и внедрение САУ и АСУ ТП. Тез. докл. 11-й всесоюзн. научно-техн. конф. - Новгород./ М.: КМС ВСНТО,

1986. - С. 27-28.

3. Руденко Е.А. Оптимальная дискретная конечномерная фильтрация дискретных и непрерывных марковских процессов.// Микропроцессорные системы автоматизации технологических процессов: Тез. докл. всесоюзн. конф. - Новосибирск./ Новосибирск: СибНИИМетрологии,

1987. - С. 87-88.

4. Руденко Е.А. Синтез структуры нелинейных фильтров конечного порядка.// Динамика нелинейных процессов управления: Тез. докл. всесоюзн. сем. - Таллин. / М.: ИЛУ, 1987. - С. 88.

5. Руденко Е.А. Оптимальная структура непрерывных нелинейных фильтров конечного порядка.// Теория оценивания и ее примен. в задачах управления ЛА: Тем. сб. науч. тр. / МАИ. - М.: Изд-во МАИ, 1987. - С. 11-18.

6. Руденко Е.А. Синтез оптимальной структуры непрерывных нелинейных фильтров порядка оцениваемого объекта.// Методы восстановления и анализа динамики управляемых процессов: Сб. статей. - М.: Министерство обороны, 1988. - С. 113-123.

7. Руденко Е.А. Оптимальные дискретные конечномерные алгоритмы идентификации состояния и параметров движущихся объектов при дискретных измерениях. // Теория и методы идентификации и управления движущимися объектами: Тем. сб. науч. тр. / МАИ. - М.: Изд-во МАИ, 1988. - С. 43-52.

8. Руденко Е.А. Оптимальная структура нелинейных фильтров конечного порядка. - Препринт. - М.: Изд-во МАИ, 1989. - 64 с.

9. Руденко Е.А., Силин А.Г., Свечников Д.И. Автоматизация проектирования нелинейных фильтров. // Математ. и прогр. обеспечение интеллектуальных систем: Тез. докл. всесоюзн. школы-сем. -Ярополец, Моск. обл./ М.: Изд-во МАИ, 1990. - С. 36.

10. Руденко Е.А. Синтез рекуррентных нелинейных фильтров, ре ализуемых в реальном масштабе времени. // Теор. и прикл. проблемы создания систем управления технол. процессами: Тез. докл. всесоюзн. научно-техн. совещ. - Челябинск. / М.: Изд-во МГТУ, 1990. - С. 68.

11. Руденко Е. А. Оптимальная структура дискретных нелинейных фильтров произвольного порядка.// Статистические методы в'теории управления ЛА: Тем. сб. науч. тр. / МАИ. - М.: Изд-во МАИ, 1990. -С. 53-60.

12. Руденко Е. А. Адаптивный дискретный нелинейный фильтр, пригодный для реализации на борту ЛА.// Управление и навигация ЛА в условиях параметрической неопределенности: Тем. сб. науч. тр./ МАИ. -М.: Изд-во МАИ. 1991. - С. 23-30.

13. Руденко Е. А. Оптимальная структура дискретных алгоритмов конечномерной непрерывно-дискретной нелинейной фильтрации при марковских помехах.// Оптимизация алгоритмов обработки информации и управления: Тем. сб. науч. тр. / МАИ. - М.: Изд-во МАИ. 1992. - С. 62-70.

14. Руденко Е.А. Рекуррентные конечномерные алгоритмы распознавания режима работы и оценивания состояния интеллектуальных систем управления. // Информатика. Сер. Автоматизация проектирования. / М.: ВИМИ. 1992. Вып. 2-3. С. 79-91.

15. Руденко Е. А. Оптимизация структуры конечномерных фильтров. // Методы описания, анализа и синтеза нелинейных систем управления. Авт.: Семенов В. В. и др. / М.: Изд-во МАИ, 1993. С. 286303.

16. Руденко Е. А., Азаров С. В. Программное построение субоптимальных дискретных нелинейных фильтров. МАИ. М. 1996./ Депонир. в ВИНИТИ 23.01.96. N 266-В96. - 32 с.

17. Руденко Е.А., Азаров С.В. Новые алгоритмы и программы оптимальной нелинейной фильтрации и экстраполяции состояния ЛА. // Проблемы совершенствования робототехнич. и интеллектуальных систем ЛА: Сб. тез. докл. Всеросс, конф. - Москва. / М.: Изд-во МАИ, 1996. С. 78-81.