автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Ограниченность, сходимость и устойчивость решений некоторых классов обыкновенных дифференциальных уравнений

МОРДОВСКИЙ ОРДЕНА ДРУЖБЫ НАРОДОВ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.П. ОГАРЕВА

На правах рукописи Романков Валерий Васильевич

ОГРАНИЧЕННОСТЬ, СХОДИМОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ К11АСС0В ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (промышленность)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саранск 1990

/ > ' у"

Работа выполнена на кафедре высшей математики Всесоюзного заочного института инженеров железнодорожного транспорта.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор A.A. Шестаков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Ю.Н. Бибиков,

кандидат физико-математических наук, доцент Ю.И. Голечков

Ведущая организация: Горьковский государственный

университет имени Н.И. Лобачевского

Завдта диссертации состоится - ^И^^'Ш г. в " № " часов на заседании специализированного совета К 063.72.04 Мордовского государственного университета по адресу: 430000, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 6Ь, ауд.. 315 (2)

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета.

Автореферат разослан " ¿3 " ИлЛ^^Л^ 1990 г>

Ученый секретарь специализированного совета К 063.72,04,

доцент ^еРегУДин

Р&Р И.

р

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОШ Актуальность тет. Исследование свойств ограниченности, сходимости и устойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений является олной из актуальных задач как теории устойчивости, так и качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющее большое теоретическое и прикладное значение. диссертация посвящена исследованию свойств ограниченности, равномерной ограниченности, ограниченности в пределе, равномерной ограниченности в пределе, сходимости, асимптотической устойчивости решений некоторых классов дифференциальных уравнений второго порядка и многомерных обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью прямого метода Ляпунова. Перечисленные выше свойства решений будем называть устойчивоподобными.

В рекомендациях Всесоюзных конференций по качественной теории дифференциальных уравнений неоднократно отмечалось, "то задача исследования устойчивоподобных свойств является перспективным направлением в теории устойчивости Ляпунова и качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Методы исследования. В диссертации использован как классический метод функций Ляпунова, так и современные методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории устойчивости этих уравнений (обобщенный прямой метод Ляпунова). В математическом моделировании динамических систем прямой метод играет значительную роль. B-настоящее время во многих практических задачах динамические системы и функции Ляпунова моделируются совместно. Изучение свойств уравнений опирается на фундаментальные исследования A.M. Ляпунова, Н.Г. Четаева, Е.А. Барбашина, H.H. Красовского, В.В. Немецкого, 13. Л. Зубова, К.П. ЛнСалля и исследования других ученых.

Научная новизна, о диссертации п-сч.тгботанн процедуры

построения функций Ляпунова непосредственно по правым частям исследуемых уравнений. Эти процедуры позволяют исследовать вопросы ограниченности, сходимости и устойчивости решений рассматриваемых уравнений.

Предложены подходы к исследованию дифференциальных систем, позволяющие получить новые достаточные условия различных видов ограниченности, сходимости, асимптотической, частичной и полной устойчивости решений рассматриваемых систем, а также обобщить различные достаточные условия, данные другими авторами в работах [I, 2, 3, 4, 5, 21, 63, 56, 61, 6сГ[.

П;якт" .еская ценность. Рассматриваемые в диссертации классы дифференциальных уравнений являются математическими моделями многих свойств реальных физических систем и технических объектов. Результаты диссертации могут быть использованы при исследовании различных: математических моделей в нелинейной механике, в теории автоматического регулирования, математической кибернетике.

Объем и структура диссертации. Диссертация содержит 94 страницы машинописного текста. Она состоит из введения, пяти глав и списка литературы (81 наименований на русском и иностранных языках).

Апробация диссертации. Результаты диссертации доложены и обсуждены на:

- семинаре по качественной теории динамических систем во Всесоюзном железнодорожном институте ж-д транспорта (19У7, 196Ь, 19о9, 1990 гг.);

- семинаре по дифференциальным уравнениям в Мордовском гос-упиверситете им. 11.П. Огарева (1989, 1990 гг.);

- расширенном заседании кафедры высшей математики Всесоюзного заочного и нети гу инженеров т-д транспорта (1990 г.);

- семн'ч; с кзфедрч вне.ией математики и физики Смоленского

филиала Московской сельскохозяйственной акадеши им. Тимирязева (1990 г.).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 6 печатных работах (27-3^.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В диссертации исследован ряд устойчивоподобных свойств решений следующих классов обыкновенных дифференциальных уравнений:

/ = (I)

X + У = (П)

X + - Ь(^) (Ш)

(1У)

X + (У)

X + + а2(±) ^(х; Ь (У1)

х+^(Х^ + а^^х^Ь^; (УП)

х + Ь )х+я5 =° (УШ)

(1Х)

Первая глава посвящена основным понятиям к вспомогательным предложениям. В § I приведены сокращения и обозначения. В § 2 главы дано спределеше функции Ляпунова (в с)лгсле Немыцкого-ЛаСалля).

Лусть К есть открытое множество в К Я , Л - непустое открлое подмножество множества К, 3 - открытое мно-ество в КП • Орбитальной производной "^(^Х) функции

в течке называется супремум -

у[1о/о ):,=Фо^Ло/^-^о

Функция Уе С (_(Р—^г К) называется функцией Ляпунова на множестве^Рсотносительно неавтономной системы /I/, если:

I) для каждого компактного множества /И с: существует число такое, что V (Ь} Х)<ьЛ1

Это определение функции Ляпунова на множестве б^К дано В.В. Немыцким и Ж.П. ЛаСаллем. Оно обобщает классическое определение Ляпунова и в настоящее время стало использоваться для исследования устойчивоподобных свойств решений в различных технх-ческих задачах и задачах нелинейной механики и физики. В § 3 рассмотрены типы ограниченности решений и приведены теореш Т. йо-сидзавы об ограниченности решений. В § 4 приведены теореш о сходимости решений. В § 5 приведены определения устойчивости н теореш об устойчивости.

Во второй главе дана трактовка исследуемых дифференциальных уравнений, как математических моделей движения экипажа железнодорожного транспорта - инженерной задачи, имеющей большое прикладное значение. Показано, что тот или иной класс дифференциальных уравнений, изучаемых в диссертации, является математической моделью движения в зависимости от требуемой цели исследования в инженерной задаче.

В третьей главе прямим методом Ляпунова исследуются свойства ограниченности решений системы вида (I), а также свойства ограниченности решений дифференциальных уравнений второго порядка вида (Ш) и *.1У). В § I установлены три теореш о равномерной ограниченности и равномерной ограниченности в пределе реаений систем; (I), используя функции Ляпунова со знакопостоянной орбитальной производной. Эти теоремы являются модификациями известных теорем Т. Иосидзавы об ограниченности решений, в которых используются функции Ляпунова со знакоопределенной орбитальной производной.

Приведем теоремы § I этой главы.

Пусть Хё-К^ уеК™ К*),

^ е С(R+* R^X Rm, Rm) . Рассмотрим систему

уравнений вида (I).

Теорема I. Пусть: I) для любой тройки (io^o^yoj&Rx существует единственное решение

систеш (I) и для любой точки существует единствен-

ное решение уравнения

2) для любого £>о существует постоянное L о такое, что | $ (t,X,y)| + R+-

3) существуют функции hi £ R+) , ( L = 1, cL) h, (S) >0 j S >o такие, что

I'(t ,X, У>-<Г (t,X ,o) 14 Ь1 Hb г О У!) ^б^Уек) у 6 R

4) существует функция Уб- C(R+xRlix К'71, J и постоянные Li ^О ) такие, что

ö-iiUii-iaO^V^x^JSr Bt (и|-ну|);

6) V"(f, X, 3) $ - Cl (131), V(t 6 f^X Rjn , d, *

где a,^c^C^R1") >o при £>TU2 и '

CL,('t)->=<= при t —^ e^j

7) существуют функции \X/6 C^*^ R^ ) и

R + ) , постоянная Ьз>0 такие, что

VVü) ^г(\х\)у\х\}13 ;

h3(s)>0npns>lii и ^ приз—.

Тогда решения дифференциальной системн (I) равномерно ограничены и _ ограничены в пределе.

Теорема 2. Пусть: а) выполнены условия 1)->Л теоремы I;

б) выполнено условие:

---^------------— „----,— Z

такая, что W (-t, X) ¿ f?z (t*l) . Тогда репения диф-

ференциальной системы (I) равномерно ограничены и ра номерно ограничены в пределе.

Теорема 3. Пусть: <3) выполнены все условия теорекы 2, кроме условий Ч) 5) , 6) ; 6) выполнены условия;

10) существуют функция R^xR™,

и постоянные Li, "L 2 ^О такие, что

at (ui+iaiM v(M,y; ¿^О'+'уО;

где функции а, и такие же, что и в теореме I;

и) , |xi-Hy|¿-Xi,

где ^(^у^о при и w*

любого р>0 функция P,t/)::=: >JiLn { Ф СХ, У) , IX ) ¿ р } непрерывна По у И ^(.Р,У)>0 при IУ -

Тогда решения .дифференциальной системы (I) равнокзерно ограничены и равномерно ограничены в пределе.

В § 2 приведены примеры на исследование ограниченности с помощью теорем, доказанных в § I. Здесь рассмотрены две нелинейные системы второго порядка, для которых с помощью построенных функций Ляпунова со знакопостоянными орбитальными производными установлены свойства ограниченности их решений. В § 3 с помощью построенной функции Ляпунова установлена теорема о равномерной ограниченности и равномерной ограниченности в пределе решений обобщенного уравнения Льенара, то есть уравнения вида (Ш). В § 4 установлены четыре теоремы об ограниченности решений дифференциального уравнения вида (1У).

Четвертая глава посвящена исследованию сходимости решений некоторых классов обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода произведения систем, принадлежащего Т. Иосидзаве. В I с помощью метода произведения систе1.1 - доказаны две теоремы

о сходимости решений дифференциального уравнения второго порядка вида (У).

В § 2 с помощью метода произведения систем установлена теорема о сходимости решений дифференциального уравнения второго порядка вида (У1). В § 3 с помощью метода произведения систем доказаны две теореш о сходимости репений дифференциального уравнения второго порядка вида (УП).

В пятой главе изучается асимптотическая устойчивость решений некоторых классов обыкновенных дифференциальных уравнений. В § I модифицирована теорема В.П. Иарэчкова об асимптотической устойчивости для дифференциальной систем (П), а также модифицирована теореш Барбапина - Красовского об асимптотической устойчивости для неавтономной дифференциальной системы (П). В этом параграфе установлено шесть теорем об асимптотической устойчивости: одна теорема о неравномерюй асимптотической устойчивости, одна теорема о равномерной устойчивости и асимптотической устойчивости, одна теорема о равномерной асимптотической устойчивости и три теоремы об асимптотической устойчивости з большом.

Приведем три теоремы § I этой главы.

Пусть Н^.Хб ^ , У& К?,

{хе |*) К { У 6 Я"1: | У) }.

Рассмотрим систему уравнений вида ([1).

Теорема 4. Пусть: I) функции К^,

^ К+Х к^х Я™ кт

непрерывны и ^ = о) = с^, 0,0)~ О;

2) через любую точку Уо) ^ ^^ К г.

проходит единственное реиение ё (± , ^о, I- —

- (X у(-1;-Ьо,Хо,Уо_|) системы (П),

а через любую точку ' } Хо) €= К"* X К-Г проходит

единственное решение уравнения

3) существует постоянная Г,(>0 такая, что

4) существует непрерывная функция

Ь:!?'1'-»^, К 1.0^ = 0 такая, что

№,у;нь(|у\;, у) е к^ з

5) существует непрерывная функция

V г Х^ Я. ' такая, что

уСЬ>Х,У) ¿-с* 0

где V - орбитальная производная относительно системы (II) и ^ Сд : > _ непрерывные неубывающие

Функции и ас,(г)>о ; V Ъ>о ;

6). существует непрерывная функция

такая, что

0

где \Х/ - орбитальная производная относительно уравнения (2/ и О-2.Я1", С2 : ---> - не-

прерывные неубывающие функции и (Л 2

7) существует постоянная 1£ >0 . такая,

что

>а2)\ ^ 1,2 (^"^г 1,

Тогда нуль - решение системы (ГО асимптотически устойчиво. Теорема 5. Пусть:¿1) выполнены условия 1)-7) теоремы 4. 6) выполнено условие:

8) существует непрерывная неубывающая функция

В, ( Ъ-)>0, У "г. >0 такая, что

VIМ. УК 6,(1X1 -ИУ1)} У^Л^бК+хК^?.

Тогда нуль - решение системы (П) равномерно устойчиво и асимптотически устойчиво.

Теорема 6. Пусть: 3) выполнены условия П-8) теорем* 5; ; б) вшолнено условие:

9) существует непрерывная неубывающая функция £>?:

(о) = 0} $г['1)>0} >0 такая, что

Тогда нуль - реиение системы (П) равномерно асимптотическ) устойчиво.

В § 2 пр!ведены два пр1мера на исследование асимптотическ< устойчивости; причем, первая система является .линейной, а втор система - нелинейной.

В § 3 рассмотрена асимптотическая устойчивость по координ; теХнуль-ресения уравнения вида (УШ). Здесь доказаны две теоре.'.я: первая теорема касается асимптотической устойчивости I координате^уравнения (УШ), а вторая - равномерной асимптотической устойчивости по координате X для уравнения X + ■ являгхлегося частным случаем уравнения (УШ).

В § 4 доказаны две теоремы об асимптотическая устойтавостг нуль-репекия уравнения вида (IX): одна теорема касается неравномерной аснгатотической устойчивости нуль-репгения, а другая теорема о раЕнсидар-гой асимптотической устойчивости нуль-репени; уравнения (IX). Полученные результаты сбобдвпт теореи!, устаног ленные Л. Хатвани.

I. Ногуф'.цнрованы три теорема Т. Иосидзавы о равномерной ограниченности и рзвнонернсй ограниченности в пределе для дифференциальной системы Е.чда (I) с использованием функций Ляпунова со знакопостоянной орбитальной производной.

2. Получены новые достаточные признаки равномерной ограниченности и равномерной огражченности в пределе решений дифференциальных уравнений второго порядка вида (Ш) и (1У),

3. Получены новые достаточные признаки сходимости решений для дифференциальных уравнений вида (У)-(У1)-(УП).

4. Мо,щфщирована теорема В.П. Ыарачкова об асимптотической устойчивости, а также модифицирована теорема Барбашна-Красовско-го об асимптотической устойчивости для неавтономной дифференциальной системы вида (П) с использованием функций Ляпунова со знакопостоянной орбитальной производной.

5. Получены новые достаточные признаки асимптотической устойчивости для дифференциальных уравнений вида (УИ0-(1Х).

6. Показано, что дифференциальные уравнения второго порядка вида (Ш)-(IX) являются математическими моделями движения железнодорожного экипажа.

27. Романков В.В. Об асимптотической устойчивости невозму-движения одной модели железнодорожного транспорте!. 1;рсблс!.и совершенствования управления перевозочным процессом на железнодорожном транспорте, выл. 134. Межвузовский сборник научных трудов (ВЗЖГ), 19&6, с. 13-16.

2Ь. Романков В.В. О сходимости решений дифференциального уравнения второго порядка. Современные математические методы в задачах динашки подвижного состава и ж.д. пути, вып. 140, Неж-яудовский сборник научных трудов МШ СССР 190?, с. 7ь-64.

29. Романков В.В., Широв И.И. Об асимптотической устойчивости нулевого решения дифференциальных уравнений второго порядка. Исследования пс геометрической теории дифференциальных уравнений и ее прнложеюа. Сборник научных трудов Самаркандского гос.университете газ. А- Давай, 19Ь6, с. 33-36.

По теме диссертации опубликованы следующие работы

30. Романков В.В, 0 некоторых теоремах сходимости решений дифференциального уравнения второго порядка. .Динамические системы. Межвузовский сборник научных трудов Якутского гос.универси-

- тета, 19Ь9, с. 52-Ь7.

31. Романков В. В. Об устойчивости движения неавтономных динамических процессов. Проблемы динамики подвижного состава и устойчивости движения динамических систем. Сборник научных трудов ВЗИИТа, 1990, с. 1>1-54.

32. Ромчнков В.В. Об ограниченности решений дифференциального уравнения второго порядка. Современные проблемы управляемости, устойчивости и колебаний механических систем железнодорожного транспорта. Сборник научных трудов ВЗЛИТа, 1990.