автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Обратные краевые задачи для бианалитических функций и их использование в моделировании напряжённого состояния упругого тела

На правах рукописи

004600173

Скородулина Елена Юрьевпа

ОБРАТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В МОДЕЛИРОВАНИИ НАПРЯЖЁННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГОГО ТЕЛА

Специальность 05.13.18- «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва 2010

1 АПР 20Ю

004600173

Работа выполнена в Федеральном государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Смоленская государственная сельскохозяйственная академия»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Юденков Алексей Витальевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Ивлев Дюне Данилович

доктор технических наук, профессор Дли Максим Иосифович

Ведущая организация: Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева

Защита состоится Опрепр 2010 года в 1Г- часов на

заседании Диссертационного совета Д 212.128.02 при Московском государственном горном университете по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинский проспект, д.6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного горного университета.

Автореферат разослан « ге » /ИЗрМЗ 2010 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д 212.128.02 Ы

кандидат технических наук, доцент УЖ^тУ^^ Адигамов А.Э.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Известно, что краевые задачи для аналитических функций и их обобщений являются эффективным средством математического моделирования реальных процессов в аэро- и гидродинамике, теории теплопроводности, теории упругости для изотропных и анизотропных сред.

По своей постановке краевые задачи можно разделить на два вида. В первом требуется определить неизвестную функцию, используя в основном условия на контуре, при этом вид самого контура играет второстепенную роль. К такому виду задач относятся известные задачи Римана, Гильберта, Карлемана и др. В задачах второго вида аналитическую функцию восстанавливают, основываясь на виде контура. Такие задачи называются обратными.

Обратные краевые задачи для аналитических функций были рассмотрены в работах таких отечественных и зарубежных специалистов, как Рябушинский, Демченко, М.Е. Нужин, Векуа И.Н., Векуа Н.П., Зверович Э.И., Каландия А.И., Манджавидзе Г.Ф., Карташов Э.М., Квеселава Д.А., Ивлев Д.Д., Жуков П.Н.. Мусхелишвили Н.И., Савин Г.Н., Угодчиков А.Г., Фильчаков П.Ф., др. Большой вклад в развитие теории обратных краевых задач внёс Ф.Д. Гахов и его научная школа. Обратные краевые задачи для аналитических функций позволили моделировать ряд важных технических задач - таких, как определение формы авиационного профиля по заданному на нём распределению давления.

В свою очередь, в теории краевых задач для бианалитических функций, возникшей при моделировании основных задач теории упругости однородных изотропных и анизотропных тел, до последнего времени обратные краевые задачи не рассматривались.

Это связано в основном с двумя причинами.

1) конформноотображающие функции, играющие основную роль при решении обратной краевой задачи для аналитических функций в теории краевых задач, для бианалитических функций используются ограниченно, так

как бианалитические функции и их обобщения неинвариантны относительно конформных отображений.

2) теоретической основой обратных краевых задач для аналитических функций является теорема единственности. Для бианалитических функций теорема единственности в классической постановке не выполняется. Поэтому для постановки и решения обратной задачи для бианалитических функций необходимо сформулировать и доказать утверждение, аналогичное теореме единственности для аналитических функций.

Поставленная проблема тесным образом связана с проблемой Хейнмана. В своей работе Хейнман указал на то, что теорема единственности для бианалитических функций не выполняется (бианалитическая функция

^Х2) -2'2 обращается в ноль на единичной окружности Л '■ 2 ■ г = 15 однако тождественным нулём не является), и поставил задачу определить некоторый достаточно общий класс контуров, для которых теорема единственности справедлива.

Теоремам единственности для бианалитических функций посвящено более 50-ти работ Смоленской школы математиков. Однако использование доказанных утверждений для моделирования задач теории упругости представляется затруднительным.

Таким образом, актуальной научной задачей является построение и исследование математической модели обратной задачи теории упругости, основанной на краевых задачах для бианалитических функций.

Тема работы предполагает следующие цели исследования:

1. Формулировка и доказательство утверждения для бианалитических функций и их обобщений, аналогичного теореме единственности для аналитических функций.

2. Подбор достаточно широкого класса контуров, для которых выполняется теорема единственности для бианалитических функций и их обобщений.

3. Постановка обратных краевых задач для бианалитических функций и их обобщений, моделирующих напряжённое состояние однородного изотропного тела.

4. Исследование поставленных задач на разрешимость и устойчивость.

5. Анализ обратных краевых задач для бианалитических функций на возможность применения их для математического моделирования напряжённого состояния упругого тела.

6. Постановка численного эксперимента для проверки разработанной теории.

Основная идея заключается в использовании обратных краевых задач для бианалитических функций и их обобщений при построении математической модели напряжённого состояния однородного изотропного тела.

Методы исследований. Для решения поставленных задач в работе использовались методы теории функций комплексного переменного, математической теории упругости, теории интегральных уравнений, математического моделирования.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Постановка и доказательство теоремы единственности для бианалитических функций и их обобщений.

2. Построение на основе теоремы единственности математической модели напряжённого состояния в виде обратных краевых задач для бианалитических функций на двух контурах.

3. Исследование полученной модели на разрешимость и устойчивость.

4. Разработка общего алгоритма решения обратных краевых задач для бианалитических функций и их обобщений на двух контурах.

5. Постановка и решение новых смешанных задач плоской теории упругости изотропного тела.

Обоснованность и достоверность результатов обеспечивается:

• корректностью использования математического аппарата, доказательством всех основных положений теории;

• сопоставимостью полученных результатов с результатами, полученными другими авторами;

• проведением численного эксперимента.

Новизна работы заключается в следующем:

• была сформулирована и доказана теорема единственности для бианалитических функций для достаточно широкого класса контуров (частичное решение проблемы Хейнмана);

• на основе доказанной теоремы построен и изучен класс краевых задач для бианалитических функций, моделирующих напряжённое состояние изотропного однородного тела;

• краевые задачи для бианалитических функций изучены на устойчивость и разрешимость;

• с использованием разработанной математической модели поставлены и решены новые смешанные задачи теории упругости;

• на основе изученных задач для бианалитических функций и их обобщений предложен общий алгоритм решения смешанных задач теории упругости и его численная реализация.

Научное и практическое значение работы состоит:

• в построении новой математической модели напряжённого состояния упругого тела, основанной на обратных краевых задачах для бианалитических функций и их обобщений;

• исследование модели на разрешимость и устойчивость;

• разработка математического и алгоритмического обеспечения модели;

• разработанная математическая модель позволяет решать новые задачи теории упругости, в которых недостаток информации о нагрузке на тело компенсируется информацией о виде области, занятой телом;

• результаты работы используются для проведения спецкурсов на кафедрах информационных технологий и высшей математики и механизации ФГОУ ВПО «Смоленская ГСХА»;

• результаты работы приняты к использованию при разработке методов обнаружения дефектов трубопроводов тепловых сетей МУП «Смоленсктеплосеть».

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (2006, Весенняя сессия - Кисловодск), IX Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (2008, Весенняя сессия -Кисловодск), неодно!фатно докладывались на кафедре информационных технологий и прикладной математики ФГОУ ВПО «Смоленская государственная сельскохозяйственная академия» (2006-2009 гг.), на кафедре высшей математики Московского государственного горного университета (2009 г.).

Публикации. По результатам исследования опубликовано 5 работ, из них 2 в журналах, рекомендованных ВАК Минобрнауки России.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы, приложения и содержит 5 иллюстраций.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируется цель исследований, показана новизна, научная и практическая ценность работы, отражены защищаемые положения и сведения об апробации, приводится структура диссертации.

В первой главе диссертации проведён анализ состояния вопроса, излагается необходимый математический аппарат, который будет использован в дальнейших исследованиях.

Основное внимание уделяется изложению теории краевых задач для аналитических функций. При построении теории краевых задач для

аналитических функций используется теорема единственности. В работе предлагается следующая формулировка.

Теорема 1 (единственности). Пусть на некотором контуре L расширенной плоскости комплексного переменного аналитическая функция /(2) равна нулю, тогда /(z)s 0 на всей плоскости комплексного переменного.

Краевые задачи для аналитических функций рассматриваются на пространстве функций Гёльдера, норма в котором задаётся формулой

В пространстве функций Гёльдера вводятся операторы сингулярного интегрирования

' ml т-t

сдвига сопряжения

(фРХ0= р(0

и рассматриваются их свойства.

На сегодняшний день поставлено и решено достаточно много краевых задач для аналитических функций, но основными считаются две задачи без сдвига (задача Римана и задача Гильберта) и четыре задачи со сдвигом (задача Газемана, задача Карлемана, задача типа Газемана и задача типа Карлемана). Приведём их формулировки. Будем считать, что для всех задач выполняются условия G{t)bH{L),G{t)*b,g{f)&H№Mt)eH\L\a'(i)*Q, L - замкнутый контур Ляпунова.

Задача Римана. Найти исчезающую на бесконечности кусочно-аналитическую функцию Ф* (г) по краевому условию

Ф+(0=с«)-Ф'(0+9(0- (1)

Задача Гильберта. Найти аналитическую в области D функцию Ф(г) по краевому условию

0(t)=G(t)0(t) +g(t). (2)

Задача Газемана. Найти исчезающую на бесконечности кусочно-аналитическую функцию Ф* (z) по краевому условию

0+(<x(O)=G(O-<p-(O+g(O, (3)

где ос(/) - прямой сдвиг (гомеоморфизм контура L на себя, сохраняющий ориентацию контура).

Задача Карлемана. Найти аналитическую в области D функцию по

краевому условию

<P(a(0)=G(0-<P(0 + g(0, (4)

где - обратный сдвиг второй кратности ("(«(0) s -

Задача типа Газемана. Требуется определить исчезающую на

бесконечности кусочно аналитическую функцию Ф+{z) по краевому условию

ф+(а(0)= <?(*)• Ф^+гСО , (5)

где а(0 - обратный сдвиг.

Задача типа Карлемана. Требуется определить аналитическую в области D функцию Ф(г) но краевому условию

ф+(а(0)=<7(0-ф40+г(0, (6)

где а(0 - прямой сдвиг второй кратности.

Для всех сформулированных задач характерно то, что число линейно независимых решений однородной задачи и число условий разрешимости

неоднородной задачи определяется индексом коэффициента <7(0.

Пусть ал- число линейно независимых решений однородной краевой

задачи, Рл - число условий разрешимости неоднородной задачи. Тогда справедливо утверждение

аА- /3А= Jnd G(t).

Следовательно, краевые задачи для аналитических функций (1 )-(6) являются нётеровыми операторами.

Напомним, что линейный ограниченный оператор А называется нётеровым, если:

1) оператор А нормально разрешим;

2) Лй А = аА-$А - конечное число.

В частности, нётеровым оператором является оператор Фредгольма, для

которого выполняется условие = Рл .

Основной целью второй главы диссертационной работы явилась систематизация результатов, полученных при исследовании классических краевых задач для бианалитических функций и их обобщений, а также формулировка и доказательство некоторых граничных свойств бианалитических функций.

Первые краевые задачи для бианалитических функций, моделирующие напряжённое состояние однородного изотропного тела, были поставлены ещё в работах Г.В. Колосова и Н.И. Мусхелшпвили. Целенаправленные исследования краевых задач для бианалитических функций и их обобщений начались с конца сороковых годов XX века по инициативе Ф.Д. Гахова. К настоящему времени теория классических задач для бианалитических функций на пространстве функций Гёльдера в основном построена. Это позволило достаточно полно исследовать не только основные задачи теории упругости изотропного тела, но и тела с прямолинейной анизотропией общего вида.

Напомним, что полианалитической в некоторой конечной области /Г называется функция вида

где 2 =х-1у, (к = ОД,...,и-1) - аналитические компоненты

полианалитической функции.

л-1

(7)

к=О

При п = 2 полианалитическая функция называется бианалитической.

На сегодняшний день исследованы краевые задачи для полианалитических функций, находящиеся в соответствии с основными краевыми задачами для аналитических функций (1}-{6).

Для примера сформулируем задачу типа Карлемана для полианалитической функции порядка И.

Найти неизвестную в области О полианалитическую функцию порядка Я по следующим краевым условиям на контуре Ь, ограничивающим область О.

дхкду"-к дхк8уп-к ' (8)

где £к(*)~ заданные на Ь функции, б* (О е #(2л * ^(Х),

- прямой сдвиг Карлемана, а(0

Легко заметить, что при п = 1 краевая задача типа Карлемана для полианалитических функций переходит в краевую задачу типа Карлемана для аналитических функций (6). С другой стороны, при п = 2 а(/)=/, (7, (/) = (?2(0 = 1 задача (8) переходит в математическую модель первой основной задачи теории упругости

$ (0+- (рх (0=(0+7 Ф) - (Рх (о]+ 8г (0- (9)

Здесь ¿^(^Х £г(0 - заданные на контуре Ь функции, зависящие от внешних нагрузок.

Такое двойное «родство» задачи типа Карлемана для полианалитических функций порядка и позволяет широко использовать достаточно развитую теорию краевых задач для решения задач теории упругости в самых разнообразных постановках.

Впервые полное исследование задачи типа Карлемана для полианалитических функций порядка п было проведено С.А. Редкозубовым и A.B. Юденковым.

Приведём основные результаты, полученные при решении задачи (8). Теорема 2. Задача типа Карлемана для полианалитических функций является нётеровым оператором с индексом

где X* =МвкЦ).

Теорема 3. Задача типа Карлемана для полианалитических функций порядка п равносильна треугольной системе, состоящей из п-1 задач типа Карлемана, содержащей интегральные члены, и одной обычной задачи типа Карлемана для аналитических функций.

Заметим, что задача типа Карлемана (8) сводится к п обычным задачам типа Карлемана для аналитических функций, если функция, конформно отображающая единичный круг на область С, представляет собой рациональную функцию или полином.

При выполнении указанных условий задачи теории упругости разрешимы в замкнутой форме.

Для основных задач для полианалитических функций, соответствующих задачам (1}-(6), справедливы утверждения, аналогичные теоремам 2,3.

Можно проследить следующую логическую цепь. Краевые задачи для полианалитических функций сводятся к краевым задачам для аналитических функций, которые решаются с использованием граничных свойств аналитических функций, важнейшим из которых является теорема единственности.

Очевидно, что при доказательстве утверждения, аналогичного теореме единственности, появится возможность построить новый класс задач для полианалитических функций, моделирующий напряжённое состояние упругого тела.

л

(10)

Основным результатом второй главы является доказательство теоремы единственности для бианалитических функций и их обобщений.

Теорема 4. Пусть на плоскости комплексного переменного 2 заданы две концентрические окружности с центром в начале координат Г, и Г2 с радиусами Я1 =1, 0 < Я2 < 1 соответственно. Пусть бианалитическая функция

= <р0 (г) + 2(р{ (г) обращается в ноль на окружностях Г, и Г2. Тогда бианалитическая функция тождественно равна нулю на всей плоскости комплексного переменного.

Теорема 5 допускает обобщение на более широкий класс функций.

Теорема 5. Если полианалитическая функция порядка п обращается в ноль на п концентрических окружностях Г], Г2, ...,Г„, причём 1 = Ы2>...>

^>0, то полианалитическая функция равна нулю на всей плоскости *

комплексного переменного.

Для того чтобы расширить класс контуров, для которых выполняется теорема единственности, воспользуемся конформным отображением. Доказаны следующие утверждения.

Теорема б. Бели бианалитическая функция обращается в ноль на двух контурах и которые ограничивают конечные области Д и соответственно на плоскости комплексного переменного г, причём области £>, и Ог связанны с внутренностью единичной окружности конформно

отображающими функциями = + +-■-+ ап£>")

(п = \,2,ЛХ ^ Я2), то бианалитическая функция является тождественным нулём.

Теорема 7. Если бианалитическая функция обращается в ноль на двух контурах 4 и Ьг, которые являются границами бесконечных областей Ц" и

плоскости г, причём конформноотображающие функции областей Д , и единичного круга У плоскости ^ задаются функциями

_ ц^ 2 т

+---+агЛ ) (¿ = 1,2), то бианалитическая функция -

тождественный ноль.

Теоремы 6 и 7 можно обобщить на случай полианалитической функции произвольного порядка, как это было сделано в теореме 5.

Таким образом, утверждения 4—7 определяют достаточно широкий класс контуров, для которых справедлива теорема единственности для бианалитических функций и их обобщений, что даёт возможность рассмотреть новый. класс краевых задач, моделирующих напряжённое состояние однородного изотропного тела.

Все задачи для бианалитических функций и их обобщений исследовались по одной общей схеме.

1) на основе теоремы единственности, доказанной в главе 2, решается однородная задача о скачке.

2) исследуется неоднородная задача о скачке.

3) на основе задачи о скачке решается соответствующая краевая задача для бианалитических функций на концентрических окружностях.

4) при возможности результаты, полученные в пункте 3, распространяются на более широкий класс контуров.

5) краевая задача рассматривается для полианалитических функций произвольного порядка.

Заметим, что в теории краевых задач для аналитических и бианалитических функций достаточно мало внимания уделяется исследованию устойчивости полученных решений. Поскольку в данной работе краевые задачи воспринимаются не только как особые математические объекты, а в первую очередь как математические модели напряжённого состояния упругого тела, то исследование устойчивости занимает особое место в построенной теории.

В третьей главе сформулированы исследованные в работе задачи и основные результаты.

1. Задача Римана для бианалитических функций

Найти кусочно бианалитическувд функцию {г)— + 2 по

краевым условиям

ох ох

ох ох

где Ьг и 1-2- концентрические окружности радиусами с Щ и соответственно;

~ заданные на контуре функции класса Гёльдера. Справедливы следующие утверждения.

Теорема 8. Однородная задача Римана по скачку не имеет нетривиальных решений.

Теорема 9. Неоднородная задача Римана по скачку однозначно разрешима в замкнутой форме.

Теорема 10. Задача Римана по скачку для бианалитических функций, заданная на двух концентрических окружностях, устойчива относительно

изменений функций

в случае, если

Теорема 11. Задача Римана для бианалитических функций (11) является нётеровым оператором с индексом

где %к

Теорема 12. В случае, когда X* — 0, задача Римана (11) устойчива

относительно изменений функции ёк(1к), если

Результаты, полученные при исследовании задачи Римана для бианалитических функций, можно обобщить на случай произвольного п.

Требуется определить неизвестную кусочно. полианалитическую функцию

по следующим условиям на контурах -Ц, ,

..., £„ соответственно.

дхП:хк=Ск(!к) ^У'+еМ (* = 1,...,л) (12)

Здесь - концентрические окружности радиусами

соответственно, ёЛЬ) - известные функции класса

Гёльдера, ^0.

Задачу (12) можно исследовать аналогично тому, как это делалось в случае бианалитических функций. Приведём основные результаты.

Теорема 13. Задача Римана для полианалитических функций порядка п на п концентрических окружностях сводится к решению п краевых задач Римана для аналитических функций.

Теорема 14. Задача Римана для полианалитических функций является

нётеровой с индексом ^(Ю ~ Х\ +Хг + — + ХП, где

X,- JndG.it,) (£ = 1,2,...,«).

2. Задача Газемана для бианалитических функций

Найти кусочно бианалитическую функцию (2) = Фо (2) + 2" Ф* (2) по краевьм условиям

ох ах

ОХ ох

где А, -¿2 такие же, как в задаче (11), аА ) - прямые сдвиги контуров ^к (к=1,2), Ск(1к)еН^(1к), 8к{1к)^Н^Ьк), а к{Ц)еН^Ьк),

Получены следующие результаты.

Теорема 15. Задача Газемана для бианалитических функций по скачку равносильна системе интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода следующего вида

(

п !т \ 1

p^(т^)dт]=g]{t ,)*„

гЫоЬ/>,('!)+-(

т /

ч

1тт

«1 (г,)

1

«2 (Ь)

1

^а2(г2)-а2(г2)

(14)

Здесь

1 ГРД^)^

(15)

2%11 1к -2

Теорема 16. Однородная задача Газемана для бианалитических функций по скачку не имеет нетривиальных решений.

Теорема 17. Неоднородная задача Газемана по скачку для бианалитических функций безусловно и однозначно разрешима.

Теорема 18. Если функции сдвигов ак (!к) являются рациональными, то задача Газемана для бианалитических функций по скачку решается в замкнутой форме.

Теоремы 15-18 можно обобщить на случай полианалитических функций произвольного порядка.

Теорема 19. Задача Газемана по скачку для бианалитических функций, заданных на двух концентрических окружностях, устойчива относительно

изменений функций (Ч)> ак(г*) = 1,2).

Теорема 20. Задача Газемана для бианалитических функций, заданная на двух концентрических окружностях, является нётеровой.

3. Задача типа Карлемана для бианалитических функций

Исследование задачи типа Карлемана для бианалитических функций является центральным моментом третьей главы. Именно полное исследование задачи типа Карлемана позволит строить новые модели напряжённого состояния однородного тела. В то же время ранее исследованные задачи значительно облегчают работу с задачей типа Карлемана.

Приведём формулировку задачи и основные результаты.

Пусть 1>1 и Ъг - две концентрические окружности с центром 0(0, 0), ограничивающие области и Д соответственно.

Требуется определить неизвестную бианалитическую функцию

^Х2)~Фо(2) + 2Ф1(2), где ф0(2) и Ф|(г) аналитические в £>, иД> функции по краевым условиям.

ох дх

а^У ,г и (16)

---= Ъ2У2)—Г-+ g2\tг)> 2 6 ¿2

дх дх

Здесь а4 (¿к ){к-1,2) - прямой сдвиг второй кратности о.к (ак )) = 1к, аД^)е//(1)(4), - коэффициенты задачи, СД^)еЯ(^),

Теорема 21. Однородная задача типа Карлемана по скачку для бианалитических функций, заданных на двух концентрических окружностях, не имеет нетривиальных решений.

Теорема 22. Неоднородная задача типа Карлемана однозначно

разрешима при любом значении коэффициентов ёк ) и сдвигах а

Теорема 23. Задача типа Карлемана по скачку для бианалитических функций, заданных на двух концентрических окружностях, является

устойчивой относительно изменений функций сдвига и свободных

коэффициентов

Теорема 24. Задача типа Карлемана для бианалитических функций, заданных на двух окружностях, сводится к решению двух задач типа Карлемана для двух аналитических функций.

Теорема 25. Задача типа Карлемана для бианалитических функций, заданных на двух окружностях, является нётеровой с индексом Мй К = Х\+7.2-

Задачу типа Карлемана называют истинно односторонней, так как она не сводится к задаче Римана конформными отображениями. Это, с одной стороны, затрудняет решение задачи, с другой - позволяет эффективно применять конформные отображения, не меняя структуры задачи.

Для задачи типа Карлемана для бианалитических функций в работе рассмотрен более широкий класс контуров, чем для других задач.

Теорема 26. В случае, если Х\ - 0 и %2 ^ 0, задача типа Карлемана для бианалитических функций устойчива относительно изменений функций сдвига ак(Ь) и свободных коэффициентов о*) {к = 1,2).

Утверждения 18-26 остаются справедливыми при решении внешней задачи типа Карлемана и задачи типа Карлемана для полианалитических функций.

В главе 4 диссертационной работы рассматривается приложение разработанной в главе 3 теории для решения различных задач теории упругости. В свою очередь, расчет напряжённого состояния упругого тела является численным экспериментом по проверке теории.

Численные эксперименты разбиты на две части. В первой части рассматриваются задачи теории упругости на двух концентрических окружностях. Решаются аналоги первой, второй и смешанной задач при различной информации о напряжениях, приложенных к контуру. Выявляются случаи, когда задачи решаются однозначно.

Во второй части задачи теории упругости решаются для более сложных видов контуров.

Также в 4 главе рассматриваются вопросы алгоритмизации и численной реализации решения задач теории упругости.

Результаты работы используются для проведения спецкурсов на кафедрах информационных технологий и высшей математики и механизации ФГОУ ВПО «Смоленская ГСХА», а также рекомендованы к использованию при разработке методов обнаружения дефектов трубопроводов тепловых сетей, проложенных канально. Кроме этого, модель позволяет рассчитать остаточный срок службы трубопроводов, проложенных бесканальным и надземным способом - при этом сокращается время, необходимое для расчетов и увеличивается точность определения мест возможных повреждений существующих трубопроводов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе решена актуальная научная задача по построению и изучению нового класса краевых задач для бианалитических функций и его использования для моделирования напряжённого состояния упругого тела.

В процессе исследования лично автором получены следующие результаты:

• доказана теорема единственности для бианалитических функций;

• на основе теоремы единственности для бианалитических функций и их обобщений поставлены и решены обратные задачи Римана, Газемана и типа Карлемана для бианалитических функций на двух контурах;

• проведено исследование краевых задач на устойчивость и разрешимость;

• выявлены случаи, когда краевые задачи для бианалитических функций разрешимы в замкнутой форме;

• исследованные краевые задачи использованы для построения новой математической модели напряжённого состояния упругого тела;

• с помощью новой математической модели получен метод решения краевых задач теории упругости в условиях недостатка информации о напряжениях, действующих на тело.

Основное содержание диссертации отображено в следующих публикациях автора:

1. Скородулина Е.Ю., Володченков A.M., Юденков A.B. Системы сингулярных уравнений в плоской теории упругости в пространстве Lp //Труды Седьмого Всероссийского симпозиума по прикладной и промышленной математике. Ж «ОП и ПМ» - М. - 2006. - Т. 13, вып. 3. - С.546-547.

2. Скородулина Е.Ю., Юденков A.B. Задача Римана для бианалитических функций как обобщение смешанной основной задачи теории упругости для изотропного тела //Труды Девятого Всероссийского симпозиума по прикладной и промышленной математике. Ж «ОП и ПМ» - М. - 2008. - Т. 15, вып. 6. - С. 1021-1022.

3. Скородулина Е.Ю., Юденков А.В, Адигамов А.Э., Юденкова М.А. Теорема единственности для бианалитических функций и её приложение к основным ■ задачам упругости для бианалитических функций //Горный информационно-аналитический бюллетень. - 2007. - № 12 - С. 55-57.

4. Скородулина Е.Ю., Редкозубов С.А., Юденков A.B., Юденкова М.А. Недоопределённые краевые задачи для бианалитических функций в теории упругости //Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И~Я. Яковлева. -2006. - № 2 (49) - С. 66-68.

5. Скородулина Е.Ю., Юденков A.B. Задача Римана для бианалитических функций как обобщение смешанной основной задачи теории упругости для изотропного тела //Сборник материалов XVII Международной научно-технической конференции «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании». - Пенза, 2006.-С. 81-83.

Подписано в печать «Л %» лиувгп*^- 2010 г. Формат 60x90/16 Объём 1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ №

Отдел печати МГГУ. Москва, Ленинский пр-т, д.6

Введение.

Глава 1. Краевые задачи для аналитических функций.

§ 1. Основные положения граничной теории аналитических функций. п. 1. Теорема единственности. п.2. Граничные свойства аналитических функций.

§ 2. Краевые задачи для аналитических функций. п. 1. Краевая задача Римана. п.2. Задача Гильберта.

§ 3. Краевые задачи со сдвигом для аналитических функций. п. 1 Краевые задачи со сдвигом для кусочно-аналитической функции. п.2. Задача типа Газемана для кусочно-аналитических функций. п.З. Задача Карлемана для аналитической в области функции. п.4. Задача типа Карлемана.

Выводы 1 главы.

Глава 2. Краевые задачи для полианалитических функций.

Граничные свойства полианалитических функций.

§ 4. Основные понятия теории полианалитических функций. п.1. Основные определения. п.2. Основные задачи теории упругости, краевые задачи для бианалитических функций.

§ 5. Основные краевые задачи для полианалитических функций. п.1. Постановка краевых задач для полианалитических функций. п.2. Задача типа Карлемана для бианалитических функций. п.З. Основные результаты теории краевых задач для полианалитических функций.

§ 6. Теорема единственности для полианалитических функций. п. 1. Теорема единственности для бианалитической функции, заданной на двух концентрических окружностях. п.2. Теорема единственности для полианалитических функций порядка п, заданных на п контурах, ограничивающих области с конформноотображающей функциями со Д4) = Лк + +. + а А") (А = 1,2,., и). п.З. Теорема единственности для полианалитических функций порядка п, заданных на п контурах, ограничивающих области с конформноотображающими функциями

Л = 1,2,.,я).

Выводы 2 главы.

Глава 3. Основные краевые задачи для бианалитических функций и их обобщений, заданные на двух контурах.

§ 7. Задачи Римана. п. 1. Задача Римана для бианалитических функций. п.2. Однородная задача Римана для бианалитических функций. п.З. Неоднородная задача Римана для бианалитических функций. п. 4. Задача Римана для полианалитических функций порядка п~. п. 5. Пример решения обратной задачи Римана для бианалитических функций.

§ 8. Задача Газемана для бианалитических функций. п. 1. Постановка задачи Газемана для бианалитических функций. п. 2. Задача Газемана для бианалитических функций по скачку. п.З. Решение задачи Газемана для бианалитических функций. п.4. Задача Газемана для полианалитических функций порядка п, заданная на п концентрических окружностях.

§ 9. Задача типа Карлемана для бианалитических функций, заданных на двух контурах. п. 1. Постановка задачи типа Карлемана для бианалитических функций заданных на двух концентрических окружностях. п.2. Задача типа Карлемана по скачку для бианалитической функции, заданной на двух концентрических окружностях. п.З. Задача типа Карлемана для бианалитических функций, заданных на двух концентрических окружностях. п.4. Задача типа Карлемана для бианалитических функций, заданных на двух контурах, ограничивающих конечные области и Б2. п.5. Задача типа Карлемана для бианалитической функции, заданной на двух контурах, ограничивающих две конечные области и 1>2.

Выводы 3 главы.

Глава 4. Математические модели основных задач теории упругости, построенные на обратных краевых задач для 86 бианалитических функций.

§ 10. Решение задач теории упругости при помощи математической модели, основанной на краевой задаче типа Карлемана для бианалитических функций. п. 1. Решение первой задачи теории упругости для кругового диска п.2. Вторая основная задача теории упругости в случае, когда известна одна компонента смещений на двух концентрических окружностях. п.З. Смешанная задача теории упругости на двух концентрических окружностях. п.4. Первая основная задача теории упругости для эллиптических областей.:.

§ 11. О численной реализации решения краевых задач для бианалитических функций, заданных на двух контурах.

Выводы 4 главы.

Актуальность темы. Построение математических моделей сложных строительных и коммуникационных сооружений для расчёта неизвестных компонент напряжений и деформаций требует системного подхода. При этом для разработки математического аппарата приходится не только использовать хорошо известные математические теории, но и разрабатывать новые.

В теории упругости различают первую основную задачу - когда по известным напряжениям необходимо определить деформации и вторую основную задачу, в которой по известным компонентам деформации определяются компоненты напряжения. Кроме этих двух основных задач различают смешанные задачи, в которых может быть задано несколько компонент напряжения и смещения. На практике встречается ситуация, когда известных компонент напряжения и деформаций недостаточно для определения напряжённого состоянии упругого тела. В этом случае возникает вопрос нельзя ли сделать задачу теории упругости определённой, используя свойства контура. При этом придётся использовать краевые задачи особого вида, так называемые обратные краевые задачи.

Необходимо отметить, что впервые краевые задачи для аналитических и бианалитических функций были применены для решения задач теории упругости в работах Г.В. Колосова и Н.И. Мусхелишвили. Разработанные ими методы получили дальнейшее развитие в трудах М.А. Лаврентьева, Г.Н. Савина, Г.С. Лехницкого, А.Г. Угодчикова, А.И. Каландии, Ф.Д. Гахова и других отечественных и зарубежных учёных.

Также эффективным средством математического моделирования напряжённого состояния упругого тела являются системы сингулярных интегральных уравнений, равносильных краевым задачам для бианалитических функций. Исследование этих систем было проведено в основополагающих работах Н.П. Векуа, И.Н. Векуа, С.Г. Михлина и Д.И. Шермана, по имени которого стали называться такие системы сингулярных интегральных уравнений.

Дальнейшее развитие теории сингулярных уравнений Д.И. Шермана получило в работах С.А. Редкозубова, A.B. Юденкова.

В конце сороковых начале пятидесятых годов 20-го века Ф.Д. Гахов сформулировал ряд краевых задач для бианалитических функций, которые с одной стороны обобщали известные краевые задачи теории аналитических функций, с другой стороны явились математическими моделями основных задач теории упругости. Благодаря исследованиям Ф.Д. Гахова, М.П. Ганина, B.C. Рогожина, Э.М. Зверовича, K.M. Расулова, С.А. Редкозубова, A.B. Юденкова теория классических краевых задач для бианалитических функций получила достаточно полное развитие. Был получен общий метод решения основных краевых задач теории упругости изотропных и анизотропных тел в области гуковских деформаций. Математический аппарат, используемый для решения задач теории упругости в случае пластических деформаций достаточно полно изложен в работах А.Ю. Ишлинского, Д.Д. Ивлева (см. [15] и приведённую там библиографию).

Использование краевых задач для бианалитических функций позволяет эффективно решать задачи статической теплопроводности и статической термоупругости, как это показано в работах Э.М. Карташова (см. [18]).

Всё вышесказанное относится к так называемым классическим краевым задачам теории функций комплексного переменного. В данных задачах искомая функция восстанавливается по краевым условиям, вид контура при этом играет второстепенную роль. Помимо классических краевых задач существуют обратные краевые задачи, в которых искомая функция восстанавливается в основном по контуру, на котором она задана.

К настоящему времени достаточно хорошо изучена обратная задача для аналитических функций. Решением этой задачи занимались такие специалисты, как Д.П. Рябушинский, В.В. Демченко, Н.И. Нужин, Ф.Д. Гахов.

Обратные краевые задачи для аналитических функций позволили моделировать ряд важных технических задач - таких, как определение формы авиационного профиля по заданному на нём распределению давления.

В свою очередь, в теории краевых задач для бианалитических функций, до последнего времени обратные краевые задачи не рассматривались.

Это связано в основном с двумя причинами.

1) конформноотображающие функции, играющие основную роль при решении обратной краевой задачи для аналитических функций в теории краевых задач, для бианалитических функций используются ограниченно, так как бианалитические функции и их обобщения неинвариантны относительно конформных отображений.

2) теоретической основой обратных краевых задач для аналитических функций является теорема единственности. Для бианалитических функций теорема единственности в классической постановке не выполняется. Поэтому для постановки и решения обратной задачи для бианалитических функций необходимо сформулировать и доказать утверждение, аналогичное теореме единственности для аналитических функций.

Поставленная проблема тесным образом связана с проблемой Хейнмана. В своей работе Хейнман указал на то, что теорема единственности для бианалитических функций не выполняется (бианалитическая функция = г обращается в ноль на единичной окружности Я: г • г = 1, однако тождественным нулём не является), и поставил задачу определить некоторый достаточно общий класс контуров, для которых теорема единственности справедлива.

Теоремам единственности для бианалитических функций посвящено более 50-ти работ Смоленской школы математиков, среди которых особо следует отметить результаты М.Ф. Зуева, М.Б Балка, М.Я. Мазалова. Однако использование доказанных утверждений для моделирования задач теории упругости представляется затруднительным.

Таким образом, актуальной научной задачей является построение и исследование математической модели обратной задачи теории упругости, основанной на краевых задачах для бианалитических функций.

Тема работы предполагает следующие цели исследования:

1. Формулировка и доказательство утверждения для бианалитических функций и их обобщений, аналогичного теореме единственности для аналитических функций.

2. Подбор достаточно широкого класса контуров, для которых выполняется теорема единственности для бианалитических функций и их обобщений.

3. Постановка обратных краевых задач для бианалитических функций и их обобщений, моделирующих напряжённое состояние однородного изотропного тела.

4. Исследование поставленных задач на разрешимость и устойчивость.

5. Анализ обратных краевых задач для бианалитических функций на возможность применения их для математического моделирования напряжённого состояния упругого тела.

6. Постановка численного эксперимента для проверки разработанной теории.

Основная идея заключается в использовании обратных краевых задач для бианалитических функций и их обобщений при построении математической модели напряжённого состояния однородного изотропного тела.

Методы исследований. Для решения поставленных задач в работе использовались методы теории функций комплексного переменного, математической теории упругости, теории интегральных уравнений, математического моделирования.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Постановка и доказательство теоремы единственности для бианалитических функций и их обобщений.

2. Построение на основе теоремы единственности математической модели напряжённого состояния в виде обратных краевых задач для бианалитических функций на двух контурах.

3. Исследование полученной модели на разрешимость и устойчивость.

4. Разработка общего алгоритма решения обратных краевых задач для бианалитических функций и их обобщений на двух контурах.

5. Постановка и решение новых смешанных задач плоской теории упругости изотропного тела.

Обоснованность и достоверность результатов обеспечивается:

• корректностью использования математического аппарата, доказательством всех основных положений теории;

• сопоставимостью полученных результатов с результатами, полученными другими авторами;

• проведением численного эксперимента.

Новизна работы заключается в следующем:

• была сформулирована и доказана теорема единственности для бианалитических функций для достаточно широкого класса контуров (частичное решение проблемы Хейнмана);

• на основе доказанной теоремы построен и изучен класс краевых задач для бианалитических функций, моделирующих напряжённое состояние изотропного однородного тела;

• краевые задачи для бианалитических функций изучены на устойчивость и разрешимость;

• с использованием разработанной математической модели поставлены и решены новые смешанные задачи теории упругости;

• на основе изученных задач для бианалитических функций и их обобщений предложен общий алгоритм решения смешанных задач теории упругости и его численная реализация.

Научное и практическое значение работы состоит:

• в построении новой математической модели напряжённого состояния упругого тела, основанной на обратных краевых задачах для бианалитических функций и их обобщений;

• исследование модели на разрешимость и устойчивость;

• разработка математического и алгоритмического обеспечения модели;

• разработанная математическая модель позволяет решать новые задачи теории упругости, в которых недостаток информации о нагрузке на тело компенсируется информацией о виде области, занятой телом;

• результаты работы используются для проведения спецкурсов на кафедрах информационных технологий и высшей математики и механизации ФГОУ ВПО «Смоленская ГСХА»;

• результаты работы приняты к использованию при разработке методов обнаружения дефектов трубопроводов тепловых сетей МУП «Смоленск-теплосеть».

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (2006, Весенняя сессия — Кисловодск), IX Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (2008, Весенняя сессия - Кисловодск), неоднократно докладывались на кафедре информационных технологий и прикладной математики ФГОУ ВПО «Смоленская государственная сельскохозяйственная академия» (2006-2009 гг.), на кафедре высшей математики Московского государственного горного университета (2009 г.).

Публикации. По результатам исследования опубликовано 5 работ, из них 2 в журналах, рекомендованных ВАК Минобрнауки России.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы, приложения и содержит 5 иллюстраций.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

В диссертационной работе решена актуальная научная задача по построению и изучению нового класса краевых задач для бианалитических функций и его использования для моделирования напряжённого состояния упругого тела.

В процессе исследования лично автором получены следующие результаты:

• доказана теорема единственности для бианалитических функций;

• на основе теоремы единственности для бианалитических функций и их обобщений поставлены и решены обратные задачи Римана, Газемана и типа Карлемана для бианалитических функций на двух контурах;

• проведено исследование краевых задач на устойчивость и разрешимость;

• выявлены случаи, когда краевые задачи для бианалитических функций разрешимы в замкнутой форме;

• исследованные краевые задачи использованы для построения новой математической модели напряжённого состояния упругого тела;

• с помощью новой математической модели получен метод решения краевых задач теории упругости в условиях недостатка информации о напряжениях, действующих на тело.

В заключении хочется поблагодарить профессора, доктора физико-математических наук Карташова Эдуарда Михайловича, так как именно ему принадлежит идея рассмотреть обратные краевые задачи для бианалитических функций и их обобщений.

1. Алещенко Л.Н., Соколов И.А. Краевые задачи типа Римана с дополнительными условиями для полианалитических функций // Изв. АН БССР. Сер. физ-мат.наук. - 1974. - №1. - С.37 - 41.

2. Арнольд В.И. Теории катастроф. M. - URSS. 2007. - 127 с.

3. Балк М.Б. Полианалитические функции и их обобщения // Итоги науки и техники ВИНИТИ / Сер. Совр. Проб, матем. Фунд. напр.- т.85- М: ВИНИТИ. 1991. С. 187 - 246.

4. Бахвалов И.В., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. Москва - Санкт-Петербург, Физматлит. 2000. - 622 с.

5. Бикчантаев И.А. Об одной краевой задаче для дифференциального уравнения эллиптического типа. // Тр. Семинара по краев, задачам. Казанск. ун. т. 1971. -Вып. 8. - С. 31-40.

6. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции .-М.: Наука, 1988. -509 с.

7. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений М.: Наука, 1970.-379 с.

8. Ганин М.П. Краевые задачи теории полигармонических функций // Учен.зап.Казанск. ун-та. 1950. - Т. 111, кн. 10. - С.9 - 13.

9. Ганин М.П. Краевые задачи для полианалитических функций // Докл. АН СССР. 1951 . - Т.75, № 6. - С.921-924.

10. Гахов Ф.Д. Краевые задачи М: Наука, 1977. - 640 с.

11. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука. 1978. -292 с.

12. Дли М.И., Круглов В.В., Юденков A.B. Математическое программирование в экономике. М.: Финансы, 2007. - 307 с.

13. Зверович Э.И., Литвинчук Г.С. Односторонние краевые задачи теории аналитических функций // Изв. АН СССР, сер. мат. 1964. — т. 26 №5. с. 1003- 1036.

14. Ильюшин А.JI., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязко-упругости. М.: Наука. 1970. - 280 с.

15. Ишлинский Ю.А., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.: Физматлит. 2001. - 701 с.

16. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. М: Наука, 1973.-303 с.

17. Каландия А.И., Манджавидзе Г.Ф. Методы теории аналитических функций в некоторых задачах теории упругости. В кн.: Тр. II съезда по теор. и прикл. мех. 1964. Изд-во АНСССР. М., 1964, с. 99-100.

18. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа, 2001. - 548 с.

19. Квеселава Д.А. Задача Римана-Гильберта для многосвязной области // Со-общ. АН ГССР. 1945. - Т.6., №8. - С.581-590.

20. Квеселава Д.А. Некоторые граничные задачи теории функций // Труды ма-тем. ин-та. АН Груз.ССР 16 (1948), С.39-80.

21. Киреев В.И., Пантелеев A.B. Численные методы в примерах и задачах. М.: Из-во МАИ, 2000. 347 с.

22. Колосов Г.В. Применение комплексной переменной к плоской задаче теории упругости. ГТТИ. JI М„ 1939. - 224 с.

23. Костров Б.В., Никитин Л.В., Флитлан Л.М. Механика хрупкого разрушения.-Изв. Ан СССРМТТ. 1969, №3. С. 112-125.

24. Краенов М.Л. Интегральные уравнения. М.: Наука. 1975. - 301 с.

25. Курош А.Г. Курс внешней алгебры. -М: Наука. 1971.-431 с.

26. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некоторые задачи математической физики и анализа. М.: Наука. 1980. - 286 с.

27. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного М: Наука. 1973 . - 736 с.

28. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория упругости. 4-е изд. М.: Наука, 1987. -246 с.

29. Лехницкий Г.С. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. - 446 с.

30. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные уравнения со сдвигом.- М.: Наука. 1977. 448 с.

31. Манджавидзе Г.Ф. Об одном сингулярном интегральном уравнении с разрывными коэффициентами и его применении в теории упругости. Прикл. матем. и мех., т. XV, вып. 3, 1951, с. 279-296.

32. Манджавидзе Г.Ф. О приближенном решении граничных задач теории функций комплексного переменного. Сообщ. Ан ГССР, т. XI, №6, 1950, с. 351-356.

33. Манджавидзе Г.Ф. Сингулярные интегральные уравнения как аппарат решения смешанных задач плоской теории упругости. Приложения теор. функций в мех. сплошной среды (Тр. Международного симпозиума в Тбилиси), т. I, 1965, с. 237-247.

34. Манджавидзе Г.Ф., Хаеделидзе Б.В. О задаче Римана Привалова с непрерывными коэффициентами // ДАН СССР 123; 5(1958), 791-794.

35. Маркушевич А.И. Об одной граничной задаче теории аналитических функций. Уч. зап. МГУ, т. I, вып. 100, 1946, с. 20-29.

36. Михлин С.Г. Об одной частной задаче теории упругости. ДАН СССР, 1940, 27. 6.

37. Михлин С.Г. Плоская деформация в анизотропной среде. Тр. Сейсмологического ин-та АН СССР, № 76, 1936, с. 1-19.

38. Михлин С.Г. Интегральные уравнения. М. Л., 1949. - 378 с.

39. Мосаковская С. Функция напряжений для упругих тел, обладающих поверхностной ортотропией. Бюллетень Польской АН, (отд. 4) 3, № 1, 1955, с. 3-6.

40. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука. 1966. - 707 с.

41. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.-511 с.

42. Натансон В.Я. О напряжениях в растягиваемой пластинке, ослабленной отверстиями, расположенными в шахматном порядке // Мат. сб. — 1935. -42, №5-С. 617-633.

43. Победря Б.Е. Механика композитных материалов. М.: МГУ, 1986. — 336 с.

44. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Из-воМГУ, 1995.-635 с.

45. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М.: Мир, 1979. -493 с.

46. Пресдорф 3. Линейные интегральные уравнения. // Итоги науки и техники ВИНИТИ / Сер. Совр. пробл. матем. Фунд. напр. т. 27 / - М.: ВИНИТИ, 1988.-с. 5-130.

47. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. М. - Л. 1950.-336 с.

48. Пыхтеев Г.Н. Точные методы вычисления интегралов типа Коши. Новосибирск: изд-во «Наука», 1980. - 118 с.

49. Рева Т.Л. Задача сопряжения для бианалитических функций ее связь с упруго пластической задачей // Прикладная механика (Киев). 1972. - т. 8. вып 10. - с. 65-70.

50. Рогожин B.C. Некоторые краевые задачи для полигармонического уравнения // Учен. зап. Казанского ун-та. 1950. - Т.110, кн.З. - С.71-93.

51. Ростовщев H.A. К теории упругости неоднородной среды. ПММ 28., вып. 4, 1964, с. 601-611.

52. Савин Г.Н. Основная плоская статическая задача теории упругости для анизотропной среды. Тр. Института строительной механики АН УССР, № 32, 1938. 1-55.

53. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. «Наукова думка». Киев, 1975.-887 с.

54. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1970, Т. 1. 492 с.

55. Синани А.Б., Степанов В.А. Механика композитных материалов. 1981. № 1,С. 109-115.

56. Соболев JI.C. Об одной краевой задаче для полигармонических уравнений //Мат. сб. 1937. - Т.2., №3. - С.465-499.

57. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. 576 с.

58. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука., 1972.-735 с.

59. Тихонов А.Н. Арсенин В .Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука., 1979.-285 с.

60. Угодчиков А.Г. и др. Решение краевых задач плоской теории упругости на цифровых и аналоговых машинах. — М.: Высшая школа, 1970. — 528 с.

61. Фильчаков П.Ф. Приближенные методы конформных отображений. Киев. «Наукова думка», 1972. 530 с.

62. Филыптинский Л.А. Двоякопериодическая задача теории упругости для изотропной среды, ослабленной конгруэнтными группами произвольных отверстий // Прикл. мат. и мех. 1972. - 36. - С. 682-690.

63. Фридман М.М. О некоторых задачах теории изгиба тонких изотропных плит-ПММ, 1941, 5, 1, С. 92-102.

64. Халилов З.И. Общая краевая задача для системы обобщенных полигармонических уравнений, Докл. АН СССР, т. 51, № 3, 1946, С. 167-169.

65. Халилов З.И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, Изд. АН СССР, сер. матем., т. 11, № 4, 1947, С. 345-362.

66. Хведелидзе Б.В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения // Тр. Тбилисск. матем. ин-та. 1956. - Т.23. - С. 3-156.

67. Хведелидзе Б.В. О задаче Римана в теории аналитических функций и о сингулярных уравнениях с ядром типа Коши. Сообщ. Груз. АНССР. т. LXXVI, № 2, 1951, С. 177-180.

68. Хведелидзе Б.В. Граничная задача Римана-Привалова с кусочно-непрерывным коэффициентом. Тр. Груз, политех, ин-та. № 1(81), 1962, С. 11-29.

69. Цой Б., Карташов Э.М., Шевелев В.В. Прочность и разрушение полимерных пленок и волокон. М.: Химия, 1999. 495 с.

70. Черепанов Г.П. Решение одной линейной краевой задачи Римана для двух функций и ее приложение к некоторым смешанным задачам плоской теории упругости. Прикл. матем. и механ., т. 26. № 5. 1962. С. 902-912.

71. Черепанов Г.П. Задача Римана-Гильберта для внешности разрезов вдоль прямой и вдоль окружности. Докл. АН СССР. т. 161, № 6, 1965, С. 12851289.

72. Черепанов Г.П. Об одном интегрируемом случае краевой задачи Римана для нескольких функций. Докл. АН СССР, т. 161, № 6, 1965, С. 1285-1289.

73. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.

74. Черепанов Г.П., Ершов Л.В. Механика разрушения. М.: Машиностроение, 1977.-224 с.

75. Черский Ю.И. О сведении смешанных граничных задач к краевой задаче Римана. Докл. АН СССР, т. 116, № 6, 1957,С. 927-929.

76. Черский Ю.И. Задачи математической физики, сводящиеся к задаче Римана. Тр. Тбилиск. матем. ин-та АН ГССР, т. XXVIII, 1962, С. 392-399.

77. Чибрикова Л.И. основные граничные задачи для аналитических функций. Казань.: изд-во Казанск. ун-та, 1977. — 302 с.

78. Шерман Д.И. Об одном методе решения статической задачи о напряжениях для плоских многосвязных областей. Докл. АН СССР, новая серия, т. 1, № 7, 1934, С. 376-378.

79. Шерман Д.И. К решению второй задачи теории упругости для плоских многосвязных областей. Докл. АН СССР, т. IV (IX), № 3, 1935, С. 119-122.

80. Шерман Д.И. Определение напряжений в полуплоскости с эллиптическим вырезом. Тр. Сейсмол. ин-та АН СССР, № 53, 1935.

81. Шерман Д.И. Статическая плоская задача теории упругости для изотропных неоднородных сред. Тр. Сейсмол. ин-та АН СССР, № 86, 1938, С. 1-50.

82. Шерман Д.И. Плоская задача теории упругости для анизотропной среды. Тр. Сейсмол. ин-та АН СССР, № 88, 1938.

83. Шерман Д.И. Смешанная задача статической теории упругости для плоских многосвязных областей. Докл. АН СССР, т. XXVIII, № 1, 1940, С. 29-32.

84. Шерман Д.И. Об одной задаче теории упругости со смешанными однородными условиями. Докл. АН СССР, т. 114, № 4, 1957, С. 733-736.

85. Юденков A.B. Краевые задачи со сдвигом для полианалитических функций и их приложения к вопросам статической теории упругости. Смоленск. «Смядынь». 2002 г. 268 с.

86. Юденков A.B., Юденкова А.П., Римская Л.П. Краевые задачи и системы сингулярных интегральных уравнений на основе математической модели процесса линейной деформации. Смоленск. - 2005. - 106 с.

87. Редкозубов С.А. Юденков A.B. Задача типа Карлемана для бианалитиче-ских функций в теории изгиба тонкой пластинки // Сборник трудов ин-та Теор. механики РАН и МГГУ, посвященной 70-летию Л.В.Ершова, Москва. 2001. С. 270-277.

88. Редкозубов С.А. Юденков A.B. Об одном решении первой основной задачи теории упругости для однородного тела цилиндрической формы // Сборник трудов ин-та Теор. механики РАН и МГГУ, посвященной 70-летию Л.В.Ершова, Москва. 2001. С. 277-283.

89. Юденков A.B., Володченков A.M., Римская Л.П. Математические методы в решении задач анизотропной теории упругости. Смоленск. «Смядынь». 2010.- 131 с.

90. Володченков A.M., Юденков A.B. Моделирование основных задач плоской теории упругости однородных анизотропных тел краевыми задачами со сдвигом. //«Обозрение прикладной и промышленной математики», М. -2006, вып.З. С.482-483.

91. Володченков A.M., Скородулина Е.Ю., Юденков A.B. Системы сингулярных интегральных уравнений в плоской теории упругости в пространстве Lp. //«Обозрение прикладной и промышленной математики», М. 2006, вып.З.-С.546-547.

92. Скородулина Е.Ю., Володченков A.M., Юденков A.B. Системы сингулярных уравнений в плоской теории упругости в пространстве Lp. //«Обозрение прикладной и промышленной математики», М. 2006, Т. 13, вып.З.-С.546-547.

93. Скородулина Е.Ю., Юденков A.B. Задача Римана для бианалитических функций как обобщение смешанной основной задачи теории упругости для изотропного тела. ////«Обозрение прикладной и промышленной математики», М. 2008. - Т. 15, вып.З. - С. 1021-1022.

94. Balk M.B. Polvanalvtic functions. Berlin: Akademie Verlag. 1991. - 192 p.

95. Avanissian V., Traore A. Sur les functions polyanalytiques de plusieuss variables // C. r. Acad. Sei. 286, № 17. - с. 743-746.

96. Auerbach F. Elastizität der Kristalle. Handbuch der physikalische und technische Mechanik, B. 3. Leipzig. 1928, 239-282.

97. Balk M.B. Polyanalytie functions // In Complex Analysis: Methools, Trends and Applications. Eds.: E. Lanckau, W. Tutschke. — Berlin: Akademie Verlag, 1983.-c. 63-84.

98. Bose S.C., Torsion of an aeolotropic cylinder having a spheroidal inclusion on its axis. AIAA Journal 3, № 7, 1965, 1352-1354.

99. Bosch W. Meta-analitic functions of equal modulus // Publications de 1'Institut mathematique. Nouvelle serie. 1973, 15 (290 - c. 27-31.

100. Bosch W, Krajkiewicz P. The big Picard theorem for polyanalutic functions // Proc. Amer. Math. Soc. 1970. - 26. - c. 145-150.

101. Brackx F. On k-monogenie functions of a quaternion variable. In Function-theoretical Methods in Dufferential Eguations. Research Notes in Mathem. Sciences. -L: 1976. c. 22-44.

102. Burgatti P. Sulla funzioni analitiche d'orrdinill Boll. Union math ital. — 1922. -l.-Nl.-c. 8-12.

103. Canak M. Randwertaufgabe von Riemanntypes fur die p-polvanalutischen Functionen auf der spiralförmigen Kontur // Матем. весник (Yugoslawien). -1988. Vol. 40, № 3-4. - p. 197-203.

104. Goursat E. Sur l'eguition A(Au) = oil Bull. Coc. Math. France. 1898. - 26. -c. 236-237.

105. Heersink R. Uber Losunger der Bauer-Peschl-Gleichung und polyanalitische Funktionen // Ber. Math. statist. Sekt. Forschungsges. Johanneum. - 1986. -№ 286. - c. 1-9.

106. Damianovic B. The houndary value problem for polyanalytic function in multiply-connected region // Матем. вестник (Yugoslavia). — 1986. vol. 38. - p. 411-415.

107. Damianovic B. A special case of the homogeneons contour problem for Pol-vanalytie Functions in multiply-conneeted regions // 5 Conf. Math. Liulljayf, Sept. 1986.-p. 41-46.

108. Damianovic B. Boundary Value Problem for polyanalytic functions and integral equations. Международная конференция «Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление». Минск. 1996.

109. Hulbert L.E. The numerical solution of two-dimensional problems of the theory of elasticity. Bull. Engng. Experim. Stat. Ohio State Univss. s. a. № 198, XXIV, 178 p. pill. (PXMex. 1966, 126.35).

110. Krajkiewicz P. Bianalytic functions with exceptional values //Proc. Amer. Math. Soc. 1973. - 38, № 1. - c. 75-79.

111. Kubo Toshiniko. Stresses on the orthogonally aeolotropic plate with a row of holes. Proc. 6-th Japan Nat. Congr. Appl. Mech., 1956.

112. Pascali D. Basie representations of polyanalytic functions // Libertas Mthe-matica.- 1989.-9.

113. Schopf G. Das Nullstellen von Petenzreihen in z und z // Math. Nachr. -1977. 78-c. 319-326.

114. Toda N. Sur les combinaisons exceptionelles de functions hobomorphes applications aux functions algebroides // Tohoku Math. J. 1970. - 22. №2. - c. 290-319.