автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Методы, алгоритмы и структурные свойства решения краевых задач типа Газемана и Карлемана для полианалитических функций в теории упругости для областей сложной формы

№

На правах рукописи

Юденков Алексей Витальевич

МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ И СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА ГАЗЕМАНА И КАРЛЕМАНА ДЛЯ ПОЛИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ.

05.13.16. - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях.

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Тверь - 1998.

Работа выполнена на кафедре высшей математики Московского государственного горного университета

Научный руководитель - доктор технических наук,

профессор САРедкозубов.

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук, профессор В.Б.Поручиков

- кандидат физико-математических наук, доцент К.М.Зингерман

Ведущая организация - Московский государственный институт электроники и математики (Технический университет).

Защита состоится 27 ноября 1998 г. в 1400 часов на заседании диссертационного совета Д.063.97.01 при ТвГУ по адресу: 170013, Тверь, ул. Желябова, 33

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Тверского государственного университета

Автореферат разослан 27 октября 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного

совета Д.063.97.01 кандидат физ.-мат. наук, доцент

В.А.Хижняк

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. При расчете стержней, плоских оболочек сложных конструкций и т.д. в космической и авиационной технике, в строительстве важной задачей является определение напряжений и деформаций под воздействием различных нагрузок для областей сложной конфигурации. В классической статической теории упругости такого рода задачи формулируются как первая, вторая и смешанная задачи теории упругости (см. например [1], [2]*).

В работах Г.В. Колосова, Н.И. Мусхелишвили было показано, что первую основную задачу теории упругости можно свести к нахождению бигар-монической функции Щх,у) по заданным значениям ее частных производных.

^ =«.('), ОеЬ) 4)

ди

— ЫО, (2)

где g^ (0, ¿Г2 (0 - заданные на Ь функции.

Напомним, что бигармоническую функцию и(х,у) в комплексной форме можно записать в следующем виде:

Щг) = ^Оо О) + Ро О) + 2(Р\ О) + Щ О)), (3)

или и (г) = Ие {Р(г)}, где

Р(г) = р0(г) + 2р,(2).

Функцию Р(г) называют бианалитической функцией.

Первой и второй основным задачам теории упругости к настоящему вре-

1 Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука,

1966

2 Михлин С.Г. Приложение интегральных уравнении к некоторым проблемам механики, математической физики и техники. М.: Л., 1947.

мени посвещено множество замечательных оригинальных работ Адамара, Лауричелли, С.Л. Соболева, Г.В. Колосова, Н.И. Мусхелишвили, С.Г. Мих-лина, Д.И. Шермана и многих других известных российских и зарубежных математиков.

Особенно простые и эффективные решення были получены в случае, когда Ь представляет собой окружность и для областей, отображаемых на круг рациональными функциями (см. например [1]). Однако в случае разомкнутых контуров или произвольных замкнутых контуров при решении первой основной задачи теории упругости возникают существенные трудности, в частности из-за того, что бианалитические функции неинвариантны относительно конформных преобразований. Одним из возможных методов их преодоления может быть переход к другим краевым задачам для бианалитиче-ских функций в более общей постановке. Следует указать,что в анизотропных телах при решении краевых задач в теории упругости на границе неоднородности тела появляются разные напряжения и деформации, для описания которых вводится функция сдвига. Это имеет место и в краевых задачах со сдвигом для полианалитических функций.

Определение 1. Функция Р(2) = и(х,у) + 1у(х,у) называется полианалитической порядка п (и - аналитической) в некоторой конечной области 0+ плоскости комплексного переменного г=х-иу, если она в имеет непрерывные частные производные по х и у до порядка п включительно и удовлетворяет там уравнению

^■=0, (12)

дг

где — = —[—+¡—1 - дифференциальный оператор Коши-Римана, п еN, 81 2Ч9х ду)

п >2.

Известно, [3]*, что всякую полианалитическую в области D+ функцию F(z) можно представить в виде

F(z)=2zkq>k(z), (13)

k=0

где фк(г)(к = 0,1,...,п -1) - аналитические функции в D+.

Обычно функции cp0(z), tp,(z),..., (pn_,(z) называются аналитическими компонентами полианалитической функции F(z).

Следует отметить, что наиболее важные результаты в качественной теории полианалитических функций были получены математиками Смоленской школы, возглавляемой М.Б. Балком.

Первые краевые задачи для полианалитических функций были поставлены еще в работах Т.В. Колосова. Однако систематическое изучение классических задач для полианалитических функций началось с начала 50-х годов с работ B.C. Рогожина [4] и М.П. Ганина [5], [6].

Определенная завершенность в решении классических краевых задач без сдвига для полианалитических функций была получена K.M. Расуловым [7], [8]* •

Вместе с тем теория краевых задач со сдвигом для полианалитических " функций находится на начальном этапе своего развития. Большинство крае-

' 3 Балк М.Б. Полианалитшеские функции и их обобщения. // История науки и техники ВИНИТИ /

сер. Совр. пробл. матем. фунд. напр. - т.65. -м: ВИНИТИ, 1991. - с. 187-246.

'4 Рогояшн B.C. Некоторые краевые задачи для полианатогического уравнения // Учен. зап. Казанско-

го ун-та. - 1950. - т. 110, кн.3. - с. 71-93.

5 Ганин М.П. Краевые задачи для иолианалитических функции // Учен. зап. Казанского ун-та. - 1950. -т.111 кн. 10. с.9-13.

6 Ганин М.П. Краевые задачи для полианалитических функций // Докл. АН СССР. - 1951. - т. SO. №3 -с. 313-316.

7 Расулов K.M. О решении краевых задач типа Ркмана для полганалтнческих функций в случае многосвязных областей//Докл. АН СССР. - 1989. -т.ЗОб. Л»1 - с. 41-46.

8 Расулов K.M. О решении основных краевых задач типа Гильберта для полнаналиппссшх функций в многосвязных областях // Докл. АН Белоруси. - 1992. - т.Зб. № 9 - 10 - с. 782-785.

3

вых задач со сдвигом для полианалитических функций решалось только для простейших областей (окружность, полуплоскость).

Следовательно, изучение краевых задач со сдвигом для полианалитических функций в случае областей сложной формы, получение алгоритмов для их решения составляет актуальную проблему.

Цель работы. В диссертации решаются три основных задачи со сдвигом для полианалитических функций (задача Газемана и Карлемана) в случае областей произвольной формы. Особое внимание уделяется исследованию структуры и алгоритмам решения этих краевых задач, а также применению разработанных методов в вопросах теории упругости. Приведем формулировки рассматриваемых задач.

1. Требуется найти кусочно полианалитическую порядка п функцию F (z), исчезающую на бесконечности и удовлетворяющую на L(L следующим п условиям:

g'-'FXQ) (0an-'F-(t)

где Gk(t), gk(t) - заданные ira L комплекснозначные функции, удовлетворяющие условию Гельдера вместе со своими производными до (2n-k-2) порядка, причем Gk (t) * 0, a(t) - прямой гомеоморфизм контура L на себя, a'(t) и a(t) удовлетворяет условию Гельдера вместе со своими производными до порядка (2п-1) включительно.

Сформулированную задачу будем называть задачей Газемана для полианалитических функций (Гп).

Отметим, что впервые краевые задачи такого типа для кусочно полианалитических функций ставились и изучались в работах И.А.Соколова. 2. Требуется найти п - аналитическую в области D+ функцию F+(z), удовлетворяющую следующим п условиям на контуре L

дх^ду" "Gk(t)aX»-k5yk-^ Ек()> к-1'2'-'П' (15)

^к 8к (0 ~ известные функции точек контура Ь, а(0 - прямой гомеоморфизм, такой, что (а(а(ф = ^.

Сформулированную задачу будем называть задачей типа Карлемана для полианалитических функций (Кп).

Впервые задача вида Кп была рассмотрена в работах В.С.Рогожина [4] и М.П.Ганина [5], [б].

Следует отметить, что задача Кп является прямым обобщением первой основной задачи теории упругости.

3. Требуется найти п-аналитическую в 0+ функцию Р+(г) удовлетворяющую на Ь следующим условиям:

-, Л = СО-г—тт+ ё^Хк = 1.2,...,«, (¡б)

где Ск(1), Вк(0 - известные функции точек контура Ь, а(1:) - обратный гомеоморфизм, удовлетворяющий условию Карлемана (а(а(Ч)) = I).

Сформулированную задачу назовем задачей Карлемана для полианалитических функций (С„).

Научная новизна. В диссертации разрабатываются новые методы решения основных краевых задач со сдвигом для полианалитических функций (задача Газемана, задача типа Карлемана, задача Карлемана), базирующиеся на, так называемых, обобщенных задачах Газемана, типа Карлемана, Карлемана и методе конформных отображений (аналог метода конформного склеивания). На основе этого подхода впервые получены решения задач Кп,

ГП,С„ (и>2) в случае произвольных областей; выявлены классы рассматриваемых задач, допускающие полное исследование структурных свойств решения. На основе разработанных методов предложены новые решения

первой основной задачи теории упругости в случае произвольных конечных односвязпых областей, а также в случае плоскости с прямолинейным разрезом. Дан общий алгоритм численного решения задач со сдвигом для полианалитических функций.

Практическая значимость заключается в создании новых методов эффективного решения основных задач плоской теории упругости. Разработанные методы и алгоритмы могут быть использованы в научных коллективах, занимающихся исследованиями задач механики сплошной среды.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

В диссертации содержатся следующие новые результаты.

1. Метод решения краевой задачи Гп для полианалитических функций в случае произвольных конечносвязных областей.

2. Решение краевой задачи Г2 для бианалитических функций методом конформного склеивания.

3. Анализ частных случаев задачи Гп, сводящихся к последовательному решению обычных задач Газемана для аналитических функций.

4. Метод решения краевой задачи АТ2 для полианалитических функций в случае односвязной области.

5. Метод конформных отображений для задачи К2 и его применение в теории упругости,

7. Решение задачи ^ в случаях, которые сводятся к решению обычных задач типа Карлемана для аналитических функций.

8. Решение задачи Щг для многосвязной области.

9. Метод решения краевой задачи С2 и его применение в конкретных задачах теории упругости.

10. Решение задачи Сп для п-аналитических функций.

11. Общий алгоритм для численного решения задач Г„, Кпу С„.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной конференции "Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление", посвященной 90-летию со дня рождения академика Ф.Д.Гахова, в Воронежской зимней математической школе, ла Минском семинаре по краевым задачам им.Ф.Д.Гахова (руководитель проф. Э.И.Зверович), кафедре математического анализа Рязанского педагогического университета (рук. семинара проф. М.Т.Терехин), кафедре высшей математики Смоленского сельскохозяйственного института (завкафедрой проф. А.П. Петунии).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 статей.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения, списка литературы. Главы разбиты на 11 параграфов. Нумерация формул (теорем) сквозная. Например, (3.2.) (или теорема 3.2.) означает 2-ю формулу (теорему) 3 параграфа. Общий объем диссертации составляет 126 страниц машинописного текста.

Во введении приводятся общие постановки классических задач Газема-на, типа Карлемана, Карлемана для полианалитических функций, а затем дается обоснование необходимости разработки методов решения этих задач в случае произвольных конечносвязных областей.

В первой главе диссертации, состоящей из трех параграфов, изучается задача Гп в случае конечносвязных произвольных областей.

В §1 содержится в основном вспомогательный материал. Вводятся наиболее используемые обозначения и для удобства ссылок собран ряд известных фактов из теории функций комплексного переменного. Подробно исследуется задача, имеющая важное вспомогательное значение для задачи Гп, состоящая в отыскании кусочно аналитической функции

Основное содержание работы.

с гладкой линией скачков Ь, исчезающей на беско-

ценности и удовлетворяющей на L условию

<b+(oc(t))- G(t)®"(t)-t-jA(t,x)04"(a('c))dx -f-J B(t,T)0"(x)dx = g(t), (17)

L L

где G(t), g(t) - заданные на L функции класса H(L) (Гельдера), причем G(t)^0, a(t) - прямой сдвиг, такой, что a(t) eH^L), «'(0^0, a A(t,i), B(t,t) - заданные на Lx L фредгольдовы ядра.

Для удобства будем называть задачу (17) обобщенной задачей Газемана (или короче - задачей Г ).

Задача Г* хорошо известна в теории краевых задач для аналитических функций. Предлагается метод решения задачи Г* (с выяснением структуры общего решения), суть которого состоит в непосредственном сведении задачи Г к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Доказывается, что структ7ра общего решения Г* имеет вид (теорема 1.4., теорема 1.5).

2т Î(t- Z)X (т) ] tT\

= ^f HYFTTV 1 +1 №"(*), 0 8)

2m i(r-z)X (a(r)) \ tÎ

где X±(z) - канонические функции задачи Г*, g(t) - свободный член краевого условия (17), R^i, z), U£(z) - определенные функции, выражаемые через G(t), A(t,T), B(t,T),a(t); (3,, Р2,..., Р, - произвольные комплексные постоянные, причем 1= к + v-r+, если к>0,и 1= v-г", если к+< 0; здесь le = Jnd G(t), a v и г* - целые неотрицательные числа, v > г4.

В § 2 подробно исследуется задача Гп для бианалитических функций, т.е. Г2.

Относительно задачи Г2 получен следующий результат.

Теорема 2.1. Задача Гп равносильна системе из одной обобщенной и одной обычной задач Газемана относительно неизвестных кусочно аналити-

ческих функций tpf (z) и фд (z) соответственно.

При этом в условие обобщенной задачи Газемана входят краевые значения только функции (pf (z), а в свободный член краевого условия для фд (z) входят граничные значения функций ф f (z)(k) (k = 0,1).

Исследуется вопрос разрешимости задачи Г2 в зависимости от знаков индексов Gk(t) (k = 1, 2). Доказывается, что при любых значениях индексов число условий разрешимости и число линейно независимых решений соответствующей однородной задачи Г2 являются конечными числами, т.е. задача Г2 является нетеровой.

Далее исследуются случаи, когда задачу Г2 можно свести к решеншо обычных задач Газемана.

Доказана теорема 2.2. Если для коэффициентов Gk(t) краевого условия (4) выполняются условия

G1(t) = G2(t)=G(t), то задача Г2 равносильна системе из двух обычных задач Газемана для кусочно аналитических функций.

Доказана теорема 2.3. Если D+ - круговая область, ограниченная кривой L, a(t) является дробно линейным отображением ее границы на себя, то задача Г2 решается в замкнутой форме.

В § 3 предложен альтернативный метод решения задачи Г2.

Доказана теорема 3.1. Решение краевой задачи Г2 для кусочно бианали-тических функций методом конформного склеивания сводится к равносильной системе из обобщенной и обычной задач Римана (здесь пользуемся терминологией данной в работе [9]* ).

§ 4 посвящен исследованию задачи Гп для полианалитических функций

' 'Грахов Ф.Д Краевые задачи. - М: Наука, 1977.

произвольного порядка п (п > 3). Здесь, развивая идею полученного в §2 метода решения задачи Г2, удается установить основной результат.

Теорема 4.1. Задача Гп равносильна системе из и - 1 обобщенных и одной обычной задач Газемана относительно неизвестных кусочно аналитических функций Ф*_,(г), Ф*_2(г)..., Of(z) и <&o(z) соответственно, где

®k(z) = [фк(2)]( '» а Фк(2) " аналитические компоненты искомой кусочно полианалитической функции.

При этом лишь обобщенная задача Газемана относительно Ф^(г) не зависит от других, а краевое условие задачи Газемана для функции Ф*_у(г), v = 2, 3, ..., п, содержит граничные значения кусочно аналитических функций

Важно отметить, что при доказательстве теоремы 4.1. попутно получен алгоритм конструктивного решения задачи Гп.

Исследуется вопрос о разрешимости задачи Г„ в зависимости от индексов кк = JndGk(t), к = 1, 2, ..., п. Получены нижние оценки числа произвольных постоянных, входящих в общее решение задачи. В конце § 4 рассмотрены частные случаи задачи Гп, аналогичные рассмотренным в § 2 (теоремы 4.2 и 4.3).

В главе 2 рассматриваются методы решения краевой задачи К2 в случае односвязной области и их применения к первой основной задаче теории упругости.

В §5 выясняется структура решения известной краевой задачи, состоящей в нахождении аналитической в D+ функции Ф+(г) по краевому условию

Ф+(a(t)) - G(t) Ф+ (t)+J A(t,x) Ф* (а(т))с1т +J B(t, т)Ф+(т) dx = Q(t), (19)

L L

где G(t), Q(t) известные функции класса H(L), причем G(t) Ф 0;

А(Ч, т), В(1,т) - фредгольмовы ядра, а({) - прямой сдвиг Карлемана (т.е. а(а(1)) = I), а'(*) 0, а(1) е Н(1)(Ь), кроме того, выполняются условия

0(<х(1))0(Г)=1, (20)

А(а(0,т) = -В(1,а(т))а(а0))^)[т'(а)]2.

• Будем называть задачу (19) обобщенной задачей типа Карлемана (К*).

Задача К* играет существенную роль при исследовании структуры задачи К 2 .

В теоремах 5.3, 5.4 устанавливается, что общее решение задачи К* имеет вид

ф+(2)=^[-^^-+1к1(2>т)д(т)а,+Еткик(2), (21)

2л1 ЬХ (тХг-г) ь к=1

где Х+(г) - каноническая функция задачи К*; Я(г,т), ик(г) - определенные

функции, выражаемые через С(1),а(1), А(1,т),В(1,т), ук - произвольные

действительные постоянные, причем гп = к + V - г+ +1, если к>0,

т = V - г~ +1, если к < 0, где к = ЛнЮ^); V, г4 - целые неотрицательные

числа (у^г*).

В §6 рассматривается задача К2. Основные результаты параграфа содержатся в следующих теоремах.

Теорема 6.1. Пусть Ск(а(1))Ок(1)^ 1, к = 1, 2, тогда задача К2 равносильна системе из двух задач об аналитическом продолжении относительно функций (р{(г), ф' ¡(г) соответственно.

Краевое условие относительно функции ф^г) содержит только известные функции, а краевое условие задачи об аналитическом продолжении относительно функции <Ро(2) входят граничные значения функции ф ^ (г) и ее производной.

Теорема 6.2. Пусть Gk(a(t))Gk(t)= 1, к = 1, 2, gk(cx(t)) + gk(t)Gk(a(t)) = 0. Тогда решение задачи К2 сводится к последовательному решению задачи К* относительно неизвестной аналитической функции (z) и обычной задачи типа Карлемана относительно неизвестной аналитической функции фд'(г).

В § 6 исследован вопрос разрешимости задачи К2 в зависимости от JndGk(t) (k = 1, 2). Доказано, что число условий разрешимости и число произвольных действительных постоянных конечны. Получены нижние оценки этих чисел.

В конце параграфа изучены некоторые частные случаи задачи К2. Получены следующие результаты.

Доказана теорема б.З. Пусть коэффициенты Gk(t) краевой задачи К2 (k = 1, 2) равны между собой, т.е.

0,(0 = 0,(0 = 0(0, тогда решение задачи К2 сводится к последовательному решению двух обычных задач типа Карлемана.

Доказана теорема 6.4. Пусть D+ является круговой областью, граница L -окружность |z|=l, а(0 - дробно линейное отображение границы L на себя, удовлетворяющее условию Карлемана. При этих условиях задача К2 решается в замкнутой форме.

В § 7 приводится иной метод решения задачи К2. Методом конформного отображения задача К 2 сводится к векторной задаче Газемана на окружности аналогичной задаче Г2.

Доказана теорема 7.1. Решение задачи К2 сводится к решению вырожденной задачи Газемана на окружности для аналитического вектора (аналогичной задаче Г2).

В качестве примера применения теоремы 7.1, дается решение первой ос-

12

новной задачи теории упругости для произвольного односвязного контура

В главе 3 решается задача Кп в случае многосвязной области. В § 8 главы 3 рассматривается задача К* и структурные свойства ее решения в зависимости от связности области.

Относительно структуры общего решения задачи К* получен следующий результат. (Теоремы 8.2, 8.3).

= + (22,

2тп[ 2G(a(î)) (т - z) JL k=1

где R,(z,t), uk(z) - определенные функции, зависящие от G(t), a(t), A(t, t), B(t,t), Pk - произвольные действительные постоянные, 1= к + v—г+ — p + 1, если к>0 и l=v-r~-p+l, если к<0, где к = JndG(t); р - связность области D, v и г1 - целые неотрицательные числа (v>r± + p).

В § 9 содержится основной результат главы 3.

Доказана теорема 9.3. Пусть Gj(a(t))G.(t) j = l, 2,..., s (s<n);

G,(а(0Щ(П = 1,8, Ш) + G,(а(0Ш) = 0, i = s +1, j + 2,... ,/?.

Тогда Kn для полианалитических функций порядка п равносильна системе из n - s - 1 обобщенных (К*), одной обычной задач типа Карлемана, а также s задач об аналитическом продолжении относительно неизвестных аналитических в D+ функций Ф*_,(г), Ф*_2(г), ..., Ф*_5(г), ®n_s_i(z)..., Ф^(г) соответственно, где Ф*(г) = [ф*(г)|п 4 ''^ = 0, 1, ...,n- 1.

Задача К* относительно Ф*_,(г) не зависит от других, а краевая задача типа Карлемана или краевая задача об аналитическом продолжении для функции Ф^-^г), к = 2, 3, ..., п, содержит граничные значения функций Ф:_,(z),..., Ф1к+1(г).

В § 9 даются условия разрешимости задачи Кп в зависимости от значений частных индексов кк = JndGk(t), а также от связности области D+. До-

называется, что задача К„ относится к нетеровым задачам.

В главе 4 (§§ 10, 11) рассматривается задача С„ в случае произвольного простого замкнутого контура и ее применения в теории упругости. В § 10 рассматривается задача Сг.

В начале параграфа исследуется вспомогательная обобщенная задача Карлемана (С ). Требуется определить аналитическую функцию в

области О* по следующему краевому условию

Ф+(а(0)-(Д0Ф+(0^ Дг,г)Ф+(а(г))б/г4-|^,г)Ф+(г)Л = до, (23)

ь I

где 0(1), СХО известные функции класса Гельдера, причем 0(0 ^ 0; ос(1) -обратный гомеоморфизм контура Ь, такой, что а(Ч) еН(|)(Ь), а'(О ^ 0, а(а(0) = 0;А(1:,т), В(0т) - заданные на Ь х Ь ядра Фредгольма. Кроме того выполняются условия

О(а(0)О(/)= 1

О(0б(а(0)+2(0 = 0" А(а((),г) = -В(1,а(т))0(а(т))а'(г) В теоремах 10.2, 10.3 доказывается, что структура общего решения задачи С имеет вид

2*1 { 2С(г) ^ т-2 [20(т)(т-2) 2т {^(г.Хг, -г)

х. л=о

Далее в § 10 решается задача С2, при этом получены следующие результаты.

Доказана теорема 10.4. Если для коэффициентов задачи С2 выполняются условия

Ск(а(1))Ск( 0*1 (к=1,2), то задача С2 сводится к последовательному решению двух задач об анали-

тическом продолжении относительно аналитических функций <рх(г),/р0 (г). Доказана теорема 10.5. Если

Ок(а(0)Ок (0=1, то задача С2 равносильна системе из двух краевых задач для аналитических

функций: задачи С для функции <Р\ (г) и обычной задачи Карлемана от-

г г

носительно функции <р0 (г). Задача Карлемана относительно <р0 (г) содержит граничные значения функций [КО)](° (¡ = 0,1)

Доказана теорема 10.6. Если для коэффициентов задачи С2 выполняются условия

сг, («(0)6,(0*1

С72(а(0)О2(0^1, то решение задачи С2 сводится к последовательному решению задачи Карлемана относительно функции <рх(г) и задачи об аналитическом продолже-

i

нии относительно функции <р0 (г).

В конце параграфа решается первая задача теории упругости для плоскости с прямолинейной щелью путем сведения ее к векторной задаче Карлемана на единичной окружности.

В § 11 приводится основной результат, получающийся при решении задачи С„ (л>2).

Доказана теорема 11.1. Пусть для коэффициентов задачи Сп выполняются условия GJ(a(t))GJ0)Фl, {э<п); Су(а(0)6у(0= 1, £,(«(0) + (а(0)£,(0 = 0,1 = 3+1, 5+2„.„п.

В этом случае задача С„ для полианалитических функций порядка п равносильна системе из п-я-! обобщенных, одной обычной задач Карлемана и э задач об аналитическом продолжении относительно неизвестных в

функций Ф^Дг), Ф;.2(2),..„ Ф^.Дг), Ф^О) соответствен-

но, где Ф ¿ОМ^ОО]

q = О, 1,...,п-1.

Задача С относительно функции Ф*_,(г) не зависит от других, а краевая задача Карлемана или задача об аналитическом продолжении относительно функции Ф к = 2, 3,...,п, содержит граничные значения функций ф;

В приложении дается общий алгоритм для численного решения задач Гп, Кп, Сп состоящий в следующем:

1) решение последовательно и линейных интегральных уравнений,

2) вычисление последовательно и сингулярных интегралов типа Коши,

3) вычисление обычных интегралов комплекс ного переменного.

Расчет интегральных уравнений и интегралов типа Коши проводится по стандартным схемам с помощью известных методов.

Приводится пример расчета первой основной задачи теории упругости в случае, когда Ь является улиткой Паскаля (см. рисунок 1).

Рассмотрен пример, приводящий задачу Г2 к решению вырожденных уравнений Фредгольма 2-го рода.

рис.1

Заключение.

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Разработаны различные методы и алгоритмы решения задачи Газема-на для полианалитических функций (Г„), выяснена структура ее решения

для областей сложной формы. А именно, получены:

- методы решения задачи Гпдля полианалитических функций в случае " произвольных конечносвязных областей. Установлены необходимые и достаточные условия разрешимости и нетеровости задачи Гп;

- анализ частных случаев задачи Гп, допускающих точный подсчет необходимых и достаточных условий разрешимости и решение задачи Г„ в замкнутой форме;

- метод конформного склеивания для решения задачи Газемана для бианалитических функций.

2. Получены методы решения задачи типа Карлемана для полианалитических функций (Кп) в случае произвольных как односвязных, так и многосвязных областей:

- метод решения задачи Кл для областей сложной формы в зависимости от условий, наложенных на коэффициенты задачи;

- метод конформного отображения для задачи К2 и его применение в теории упругости;

- анализ частных случаев решения задачи Кп, сводящихся к решению п задач типа Карлемана для аналитических функций.

3. Получен метод решения задачи Карлемана для полианалитических функций (С„) в областях сложной конфигурации, дан пример приложения метода в теории упругости.

4. Полученные методы и алгоритмы решения задач Газемана и типа Карлемана для полианалитических функций дают принципиальную возможность применения численных методов при решении краевых задач для полианалитических функций. В диссертации даются общий алгоритм численного решения краевых задач для полианалитических функций и пример его применения к плоской задаче теории упругости.

Таким образом автором впервые были получены методы решения с вы-

яснением их структурных свойств основных задач со сдвигом для полианалитических функций (Газемана, типа Карлемана, Карлемана). Получена принципиальная возможность применения численных методов для решения краевых задач для полианалитических функций.

Работы, опубликованные по теме диссертации.

1. Юденков A.B. Об одной задаче типа Газемана для бианалитических функций / Смоленск, гос.пед.ин-т., 1995 г. - 9с. - Деп.в ВИНИТИ, 12.95, №243- В.94.

2. Юденков A.B. Об одной краевой задаче типа Газемана для бианалити-ческой функций // Докл. между нар. конференции, посвященной 150-летию со дня рождения В.В.Докучаева, Смоленск. - 1995. - С.172-176.

3. Юденков A.B. О решении одной краевой задачи типа Римана со сдвигом для полианалитических функций // Тез. научно-практ. конференции, посвященной 35-летию СФМЭУ. Смоленск. 1996. - С.47-49.

4. Юденков A.B. Решение краевой задачи типа Карлемана для полианалитических функций // Тез. докл. Воронежской зимней школы. Воронеж. -1997.-С.174.

5. Петунии А.П., Юденков A.B. Задача Газемана для полианалитических функций // Изв. ТСХА№4, 1998. 10 с.

6. Юденков A.B. Задача типа Карлемана для бианалитических функций // Смоленск, матем. сборник. Смоленск. - 1997.

7. Юденков A.B. Основные краевые задачи со сдвигом для полианалитических функций. Материалы международного семинара Смоленского гос. пед. ин-та, Хагенского заочного университета и Смоленского НИЦ. Вып. 1. Смоленск 1997. С.19-21

8. Юденков A.B. Задача типа Карлемана для полианалитических функций в случае многосвязной области. Смоленский сельхоз. институт. Смоленск 1998. - 5с,- Деп в ВИНИТИ. 27.02.98. № 588-В98



О ?)

Московский государственный горный университет

на правах рукописи

Юденков Алексей Витальевич

Методы, алгоритмы и структурные свойства решения краевых задач типа Газемана и Карлемана для полианалитических функций в теории упругости для областей сложной формы.

05.13.16. - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -профессор, доктор технических наук С.А.Редкозубов

Москва 1998.

Оглавление.

Введение............................................ 3

Глава 1. Задача Газемана для полианалитических функций. ... 20

§ 1. Обобщенная задача Газемана для аналитических функций. 20 § 2. Исследование задачи типа Газемана для бианалитических

функций.......................................... 34

§ 3. Метод конформного склеивания для задачи Газемана для

бианалитических функций........................... 46

§ 4. Задача Газемана для полианалитических функций

произвольногопорядка.............................. 48

Глава 2. Методы решения задачи типа Карлемана для

бианалитических функций. Их применение в задачах плоской теории упругости....................... 63

§ 5. Обобщенная задача типа Карлемана для аналитических

функций.......................................... 63

§ 6. Исследование задачи типа Карлемана для бианалитических функций....................................... 66

§ 7. Метод конформных отображений при решении задачи

Карлемана для бианалитических функций. ,............ 77

Глава 3. Задача типа Карлемана для полианалитических

функций в случае многосвязной области............ 82

§8. Обобщенная задача типа Карлемана в случае многосвязной

области........................................... 82

§ 9. Задача типа Карлемана для полианалитических функций

произвольного порядка.............................. 90

Глава 4. Задача Карлемана для полианалитических функций.

Ее применение в теории упругости................................103

§ 10. Задача Карлемана для бианалитических функций................103

§11. Задача Карлемана для полианалитических функций

порядка п>2............................................................................115

Приложение 117 Литература........................................... 125

Введение.

Актуальность темы. Одним из важнейших разделов плоской теории упругости являются, так называемые, первая и вторая основные задачи теории упругости (см. Например [31] и приведенную там библиографию).

Первая основная задача. Найти равновесие при заданных внешних напряжениях, приложенных к границе L области D.

Вторая основная задача. Найти упругое равновесие при заданных смещениях точек границы L.

Так как напряженное состояние и смещение могут быть выражены через две аналитические функции комплексного переменного çx(z), то

сформулированные задачи сводятся к отысканию этих функций по некоторым условиям, которым они должны удовлетворять на границе области, занятой телом.

В работах Г.В. Колосова, Н.И. Мусхелишвили было показано, что первую основную задачу можно свести к нахождению бигармонической функции U(x,y) по заданным значениям ее частных производных.

— = (teL) (0.1)

âU

= (0, (0.2)

где (0, §2 (0 - заданные на L функции.

Напомним, что бигармоническую функцию U(x,y) в комплексной форме можно записать в следующем виде

U (z) = (р0 (z) + <pQ (z) + z(pl (z) + z(px (z), (0.3)

или U (z) = Re (F(z)}, где

F(z) = (pQ(z) + zçx{z).

Функцию F(z) называют бианалитической функцией.

Первой и второй основным задачам теории упругости к настоящему времени посвящено множество замечательных оригинальных работ Адама-

ра, Лауричелли, С.Л. Соболева, Г.В. Колосова, Н.И. Мусхелишвили, С.Г. Михлина, Д.И. Шермана и многих других известных российских и зарубежных математиков.

Особенно простые краевые решения были получены в случае, когда Ь представляет собой окружность и для областей, отображаемых на круг рациональными функциями (см. например [31]). Однако в случае разомкнутых контуров или произвольных замкнутых контуров при решении первой основной задачи теории упругости возникают существенные трудности, в частности из-за того, что бианалитические функции неинвариантны относительно конформных преобразований. Одним из возможных методов их преодоления может быть переход к другим краевым задачам для бианалитиче-ских функций.

Пример 01. Требуется определить бигармоническую функцию и (х,у), исчезающую на бесконечности и непрерывно продолжающуюся на Ь вместе со своими производными до второго порядка включительно, по краевым условиям (0.1) и (0.2), где Ь = [-2;2].

Решение. С учетом (0.3), краевые условия (0.1) и (0.2) можно переписать в виде

I _ I II _

<р+о (0 + (0 + (р\(0 = ~[<Ро (0 + *<р\ (0 + (р\ (01+(0 (0.4)

I _ I II ___

(р1 (0 + (0 - (р\ (0 = -К (0 + 1<р\ (0 - <р\ (0]+§2 (0 (0.5)

Будем считать, что положительное направление на Ь = [-2;2] совпадает с положительным направлением действительной оси. Будем также различать два берега отрезка [-2;2]: нижний Г_ и верхний Г+.

Так как на Ь выполняется условие

t = г

?

молено ввести новые функции Ф0(Ю, ^С7), граничные значения которых удовлетворяют условиям:

ф+0(О = <Р+0 ,Фо(0 = К = (0,ФГ(0 = < (0.

Знак "+" означает, что функция Ф^ (V) (к=0,1) приближается к Ь сверху,

знак означает, Фк(г) приближается к Ь снизу. С учетом обозначений, получим.

ФПО + ^ФМО + Ф^(0 = -[Фо(0 + ^Ф1'(0 + ФГ(0]+^(0 (0.6)

Фо'(0 + (0-фГС0 = -[фо(0 + '(0-(0]+(0 (0.7) Условия (0.6) и (0.7) представляют собой векторную задачу Римана на разомкнутом контуре.

1 I 2-

Рассмотрим функцию со = —(г-л12 -4) - обратную функцию Жуковского. Она переводит плоскость т с разрезом по линии [-2;2] на внутренность круга у = {со:\со\(\} .

& + = -4) = 5> /еГ (0.8)

= + V/2 -4) = ^ = а(5)> / еГ . (0.9)

В свою очередь функция Жуковского

= ¿У + —

со

переводит внутренность круга

[-2;2].

Введем функции

¿У

— 1 в плоскость х с разрезом по линии

%{со) = Ф^{со)) = Ф1(со + ~)

со '

¿У

Тогда, используя (0.8), (0.9), получим

ФКО = Ф1(аШ) = = («(*))

Краевые условия (0.6) и (0.7) перейдут в следующие условия

% (a(j)) + Х(£ф))Ч'1' (Ф)) + Ч», (ф)) = (i) + -ВДУ,' + +%(s)]+g;(s) (0Л0)

% (a(s)) + ' (a(j)) - У, (a(s)) = -[¥„ (*) + ' -

+ (0 U)

где &W = &(* + "), A-(í) = ¡(>>y'(z(í)).

5

Условия (0.10), (0.11) представляют собой краевые условия векторной задачи со сдвигом. Решение задачи (0.10), (0.11) аналогично решению классической задачи Карлемана для бианалитических функций. Как будет показано в параграфе 10, задача (0.10), (0.11) сводится к последовательному решению двух обычных задач Карлемана относительно функции и {со), каждая из которых решается в замкнутой форме. Уже исходя из приведенного примера видно, что решение различных краевых задач для бианалитических функций, в том числе и со сдвигом, является актуальной проблемой.

Следует указать,что в анизотропных телах при решении краевых задач в теории упругости на границе неоднородности тела появляются разные напряжения и деформации, для описания которых вводится функция сдвига.

Данная диссертация посвящена решению основных задач со сдвигом для полианалитических функций, а также применению разработанных методов в теории упругости.

Определение 0.1. Функция F(z) = u(x,y)+ iv(x,y) называется полиана-

литической порядка п (п - аналитической) в некоторой конечной области Э + плоскости комплексного переменного х-х + \у, если она в имеет непрерывные частные производные по х и у до порядка п включительно и удовлетворяет там уравнению

дпР(г)

82.а

= 0, (0.12)

а 1

где = ^

дх 2

Г

д . д — +1 —

Эх ду)

- дифференциальный оператор Коши-Римана, пеМ;

п > 2.

Известно, [3], что всякую полианалитическую в области функцию Р(г) можно представить в виде

= (0.13)

к = 0

где фк(г) (к = 0,1,...,п - 1) - аналитические функции в 0+.

Обычно функции ф0(2), ф^г),..., фп_,(г) называются аналитическими

компонентами полианалитической функции Р(г).

Полианалитические функции порядка п = 2 называются бианалитиче-скими.

Определение 0.2. Функция Р(г) называется кусочно полианалитической порядка п с линией скачков Ь (см. [16], [42], [43]), если она в двух дополняющих друг друга до полной плоскости областях 0+ и Б" определяется выражениями Р+(г) и Р~(г):

ВД = Ь- Т- (014)

(Р (г), геТ ,

п-1

где Р+(2)=£гкф£, (0.15)

к=0

п-1

к=0 к=0

(p+(z), f (z) - аналитические в областях D+ и D соответственно, кроме того здесь cpö(z) = f"(z), (p~(z) = z"Hf[(z), j>1.

Всюду в дальнейшем будем говорить, что кусочно полианалитическая функция F(z) ограничена (исчезает) на бесконечности, если функция

фр (z)b представлении (0.4) ограничена (исчезает) на бесконечности.

Следует отметить, что наиболее важные результаты в качественной теории полианалитических функций были получены математиками Смоленской школы, возглавляемой М.Б. Балком.

Первые краевые задачи для полианалитических функций были поставлены еще в работах Т.В. Колосова. Однако систематическое изучение разомкнутых задач для полианалитических функций началось с начала 50-х годов с работ B.C. Рогожина [40] и М.П. Ганина [12], [13].

Определенная завершенность в решении классических краевых задач без сдвига для полианалитических функций была получена K.M. Расуловым [34], [35], [36], [38].

Вместе с тем теория краевых задач со сдвигом для полианалитических функций находится на начальном этапе своего развития. Ряд краевых задач со сдвигом для полианалитических функций решался только для простейших областей (окружность, полуплоскость).

Следовательно, изучение краевых задач со сдвигом для полианалитических функций в общей постановке составляет актуальную проблему.

Цель работы. В диссертации исследуются три основные классические задачи со сдвигом для полианалитических функций, а также разрабатываются методы решения этих задач для бианалитических функций, применимых в теории упругости.

1. Требуется найти кусочно полианалитическую порядка п функцию F±(z), исчезающую на бесконечности и удовлетворяющую на L(L еС(2п~2^ следующим п условиям:

+ к = 1, 2, (0.16)

где Ск(1:), gk(t) - заданные на Ь комплекснозначные функции, удовлетворяющие условию Гельдера вместе со своими производными до (2п-к-2) порядка, причем а(1) - прямой гомеоморфизм контура Ь на себя,

0 и а(1;) удовлетворяет условию Гельдера вместе со своими производными до порядка (2п-1) включительно.

Сформулированную задачу будем называть задачей типа Газемана для полианалитических функций (Гп).

Отметим, что впервые краевые задачи такого типа для кусочно полианалитических функция ставились и изучались в работах И.А.Соколова [42]. 2. Требуется найти п - аналитическую в области 0+ функцию Р+(г), удовлетворяющую следующим п условиям на контуре Ь

ЭТУ1+8Ь(0, к = 1, 2,..., п, (0.17)

Эх11 <9у к ахп-к5ук-' к

Ок(1:), - известные функции точек контура Ь, а^) - прямой гомео-

морфизм, такой, что (а(а(0) = I).

Для данной задачи условия, накладываемые на контур Ь и функции в^), gk(t),a(t) существенно зависят от конкретного вида вк(1), gk(t), а(0.

Сформулированную задачу будем называть задачей типа Карлемана для полианалитических функций (Кп).

Впервые задача вида (Кп) была рассмотрена в работах В.С.Рогожина [40] и М.П.Ганина [12], [13].

Следует отметить, что задача Кп является прямым обобщением первой основной задачи теории упругости.

3. Требуется найти п-аналитическую в 0+ функцию Р+(г) удовлетворяющую на Ь следующим условиям:

0)

дхп-к дук-у

где Ск(1:), (1) - известные функции точек контура Ь, а(1) - прямой гомеоморфизм, удовлетворяющий условию Карлемана (а(а(1:)) = I).

Сформулированную задачу назовем задачей Карлемана для полианали-

Научная новизна. В диссертации разрабатываются новые методы решения основных краевых задач со сдвигом для полианалитических функций (задача Газемана, задача типа Карлемана, задача Карлемана), базирующиеся на, так называемых, обобщенных задачах Газемана, типа Карлемана, Карлемана и методе конформных отображений. На основе этого подхода впервые

получены решения задач Кп, ГП,СИ {п> 2) в случае произвольных областей; выявлены классы рассматриваемых задач, допускающие полное исследование. На основе разработанных методов предложены новые решения первой основной задачи теории упругости в случае произвольных конечных и односвязных областей, а также в случае плоскости с прямолинейным разрезом.

Практическая значимость. Изложенные в диссертации результаты имеют в основном теоретическую направленность. Исследованные в диссертации задачи и предложенные методы их решения имеют определенные приложения в задачах теории упругости, в задачах математической физики и механики сплошной среды.

Результаты диссертации могут быть использованы в научных коллективах, занимающихся исследованиями краевых задач комплексного анализа, теорией приближения функций, интегральных и дифференциальных уравнений и их приложений.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

В диссертации содержатся следующие новые результаты.

тических функций (Сп ) .

1. Метод решения краевой задачи Гп для полианалитических функций в случае произвольных конечносвязных областей.

2. Решение краевой задачи Г2 для бианалитических функций методом конформного склеивания.

3. Анализ частных случаев задачи Гп, сводящихся к последовательному решению обычных задач Газемана для аналитических функций.

4. Метод решения краевой задачи К2 для полианалитических функций в случае односвязной области.

5. Метод конформных отображений для задачи К2 и его применение в теории упругости.

7. Решение задачи Кп в случаях, которые сводятся к решению обычных задач типа Карлемана для аналитических функций.

8. Метод решения краевой задачи С2 и его применение в конкретных задачах теории упругости.

9. Решение задачи Сп для п-аналитических функций.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной конференции "Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление", посвященной 90-летию со дня рождения академика Ф.Д.Гахова, в Воронежской зимней математической школе, в Смоленском педагогическом институте на семинарах по теории полианалитических функций (руководитель - доцент, доктор физ. мат. наук К.М.Расулов), дифференциальным операторам (руководитель - проф. В.Д.Будаев), на Минском семинаре по краевым задачам им.Ф.Д.Гахова (руководитель проф. Э.И.Зверович), кафедре математического анализа Рязанского педагогического университета (рук. семинара проф. М.Т.Терехин), кафедре высшей математики Смоленского сельскохозяйственного института (зав.кафедрой проф. А.П. Петунин).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех

глав, списка литературы. Главы разбиты на 11 параграфов. Нумерация формул (теорем) сквозная. Например, (3.2.) (или теорема 3.2.) означает 2-ю формулу (теорему) 3 параграфа. Общий объем диссертации составляет 130 страниц машинописного текста.

Содержание работы. Во введении приводятся общие постановки классических задач Газема-на, типа Карлемана, Карлемана для полианалитических функций, дается обоснование необходимости разработки методов решения этих задач в случае произвольных конечносвязных областей.

В первой главе диссертации, состоящей из трех параграфов, изучается задача Гп в случае конечносвязных произвольных областей.

В §1 содержится в основном вспомогательный материал. Вводятся наиболее используемые обозначения и для удобства ссылок собран ряд известных фактов из теории функций комплексного переменного. Подробно исследуется задача, состоящая в отыскании кусочно аналитической функции Ф(г) = |ф+(г), Ф"(2)| с гладкой линией скачков Ь, исчезающей на бесконечности и удовлетворяющей на Ь условию

Ф+(а(0)-О(1)ф-(0 + |А(1,т)Ф+(а(т))с1т+|В(1,т)ф-(т)с1т = 0(1) (0.19)

ь ь

где 0(1), С)(1) - заданные на Ь функции класса Н (Ь) причем 0(1) ф 0, а(0 -

прямой сдвиг, такой, что а(0 еН^Ь), а'ф^О, а В(1,т) - задан-

ные на Ь х Ь фредгольмовы ядра.

Для удобства задачу (0.19) будем называть обобщенной задачей Газема-на (или короче-задачей Г*).

Задача Г хорошо известна в теории краевых задач для аналитических функций. Так как задача Г* существенным образом используется в последующих параграфах при исследовании задачи Гп, предлагается метод ре-

шения задачи Г* (с выяснением структуры общего решения), суть которого состоит в непосредственном сведении задачи I к интегральному уравнению Фредгольма второго рода (теорема 1.4., теорема 1.5).

Для большей ясности в § 2 подробно исследуется задача Гп для биана-литических функций, т.е. Г2.

Относительно задачи Г2 получается следующий результат.

Теорема 2.1. Задача Гп равносильна системе из одной обобщенной и одной обычной задач Газемана относительно неизвестных кусочно аналитических функций ф^(г) и фо (г) соответственно.

При этом в условие обобщенной задачи Газемана входят краевые значения только функции ф^1 (г), а в свободный член краевого условия для фо (г) входят граничные значения функций (р*(г)(к) (к = 0, 1).

Далее в § 1 исследуется вопрос разрешимости задачи Г, в зависимости от знаков индексов Ок(0 (к = 1, 2). Доказывается, что при любых значениях индексов число условий разрешимости и число линейно независимых решений соответствующей однородной задачи Г2 являются конечными числами, т.е. задача Г2 является нетеровой.

Далее исследуются случаи, когда задачу Г2 можно свести к решению обычных задач Газемана.

Теорема 2.2. Если для коэффициентов Ок(0 краевого условия (4) выполняются условия

0,(0 = 0,(0 = 0(0, то задача Г2 равносильна системе из двух обычных задач Газемана