автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Краевые задачи для бианалитических функций на пространстве случайных функций и их использование для моделирования линейных задач теории упругости



Изотова Ольга Александровна

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ Б «АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ НА ПРОСТРАНСТВЕ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Специальность 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 2 МАЙ 2011

Москва 2011

4845146

Работа выполнена на кафедре «Общематематических и естественнонаучных дисциплин» филиала ГОУ «Московский государственный индустриальный университет» в г. Рославле Смоленской области.

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор

Юдепков Алексей Витальевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Максимова Людмила Анатольевна; доктор технических наук, профессор Дли Максим Иосифович

Ведущая организация: Московская государственная академия тонкой химической технологии им. М.В. Ломоносова

Защита состоится 12 мая 2011 года в /5°° часов на заседании диссертационного совета Д 212.128.02 при Московском государственном горном университете по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинский проспект, Д.6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного горного университета.

Автореферат разослан <?_апреля 2011 г.

Учёный се1фетарь диссертационного совета Д 212.128.02 Ьл^^^^ кандидат технических наук, доцент АдигамовА.Э.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. На современном этапе развития автомобильной, авиационной техники, строительных технологий одной из важнейших проблем становится оценка надежности сложных механизмов и конструкций.

Для решения этой проблемы, безусловно, необходим комплексный подход, использующий различные методы, в том числе и методы математического моделирования.

Следует отметить фундаментальные работы В.В. Болотина, в которых изучается устойчивость упругих систем, а также методы решения важных практических задач теории упругой устойчивости; работы Д.Д. Ивлева, которые имеют фундаментальный характер для всей механики деформируемого твердого тела (большой вклад им был внесен в математическую теорию пластичности).

В то же время при моделировании упругого состояния систем тел, находящихся под воздействием случайных факторов, достаточно ограниченно применялся хорошо развитый аппарат краевых задач для аналитических функций и их обобщений. Это связано с тем, что традиционно в краевых задачах полагается, что коэффициенты, входящие в граничные условия, - это детерминированные функции, принадлежащие пространству функций Гёльдера.

В работах B.C. Рогожина, М.П. Ганина, И.А; Соколова были рассмотрены краевые задачи для бианалитических функций в случае контуров, представляющих собой окружность. В работах С.А. Редкозубова, A.B. Юденкова были предложены общие алгоритмы решения краевых задач для бианалитических функций, основанные на теории интегральных сингулярных уравнений, конформных отображений, получены эффективные методы

решения задач теории упругости для изотропных и анизотропных тел, для контактных задач.

Напомним, что ещё в 1909 году Г.В. Колосов положил начало серьезному применению теории функций комплексного переменного (ТФКП) к плоской задаче теории упругости. В частности, им было обнаружено, что эффективным средством для решения задач плоской теории упругости изотропного тела могут служить краевые задачи для бианалитических функций, т.е. функции вида Фо(г) + 2ф1(г), где ф0(г) и ф^г) - аналитические функции.

В дальнейшем теория краевых задач для бианалитических функций и их обобщений (а также их применение) развивалась в работах Н.И. Мусхелишвили, Ф.Д. Гахова, В.П. Векуа, Г.Н. Савина, Э.М. Карташова, М.Б. Балка, С.Г. Михлина, Л.Д. Ландау, А.И. Каландия, Д.И. Шермана, Г.Ф. Манджавидзе, 3. Пресдорфа и других отечественных и зарубежных математиков.

К настоящему времени теория краевых задач для бианалитических функций и их обобщений в основном построена на классических математических моделях. В общепринятых моделях полагается, что нагрузки, действующие на тело, и форма тела описываются детерминированными функциями, принадлежащими пространству функций Гёльдера. В то же время на практике эти характеристики могут являться случайными функциями.

Поэтому на данный момент актуальной научной задачей является расширение пространства функций, на которых рассматриваются краевые задачи, с целью построения более общей математической модели, учитывающей случайный характер нагрузок и форму тела.

Цель работы состоит в создании общего алгоритма решения краевых

задач для бианалитических функций и их обобщений на пространстве

случайных функций, сходящихся в среднем квадратическом, и применении

полученных результатов для построения математических моделей

2

напряженного состояния тела с учетом случайного характера нагрузок и формы контура.

Основная пдея работы заключается в том, чтобы при построении математической модели напряженного состояния упругого тела использовать краевые задачи, заданные на специальном пространстве случайных функций, сходящихся в среднем квадратическом.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе использовались методы ТФКП, математической теории упругости, теории интегральных уравнений, теории случайных функций, методы математического моделирования.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

• Определены основные операторы и исследованы их свойства на пространстве случайпых функций Гёльдера, сходящихся в среднем квадратическом;

• Получены эффективные решения основных краевых задач для бианалитических функций и их обобщений на пространстве случайных функций Гёльдера, сходящихся в среднем квадратическом;

• Предложена" математическая модель основных задач теории упругости, учитывающая случайный характер нагрузок и форму тела;

• Исследована математическая модель на разрешимость и устойчивость.

Достоверность и обоснованность результатов подтверждаются

строгостью проводимых математических обоснований при формулировании и доказательстве основных положений, результатами численных расчетов, проведенных на задачах теории упругости однородного тела.

Новнзна работы состоит в следующем:

• Было расширено пространство функций Гёльдера на пространство случайных функций и определены для нового пространства основные операторы, необходимые для решения краевых задач;-

• На новом пространстве функций поставлены и исследованы краевые задачи для бианалитических функций (задача Римана, Гильберта и типа Карлемана) и их обобщения;

• Проведено исследование краевых задач для бианалитических функций на устойчивость;

• Изучены математические модели основных задач теории упругости с учетом влияния случайных факторов.

Научное и практическое значение работы состоит в том, что расширен класс функций Гёльдера на класс случайных функций; на новом классе функций исследованы краевые задачи для случайных аналитических функций, которые позволяют решать важные практические задачи теории упругости, а также разрабатывать новые эффективные численные методы их решения.

Реализация результатов исследования. Результаты работы используются для проведения специальных курсов на кафедрах механизации, информационных технологий и прикладной математики ФГОУ ВПО «Смоленская ГСХА», при проведении факультативных занятий со студентами филиала ГОУ «Московский государственный индустриальный университет» в г. Рославле Смоленской области, а также рекомендованы для использования при проведении НИОКР на 2009-2015 годы конструкторской службой ЗАО «Рославльский автоагрегатный завод» AMO ЗИЛ для совершенствования качества технической подготовки освоения новых изделий.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на IX Всероссийском симпозиуме по'прикладной и промышленной математике (2008, Весенняя сессия, Кисловодск), а также докладывались на кафедре информационных технологий и прикладной математики ФГОУ ВПО «Смоленская государственная сельскохозяйственная академия», кафедре общематематических и естественнонаучных дисциплин филиала ГОУ «Московский государственный индустриальный университет» в г. Рославле Смоленской области, на кафедре высшей математики ГОУ ВПО «Московский государственный горный университет».

Публикации. Основные положения диссертации отражены в 5 научных работах.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения; содержит список литературы из 102 наименований и 3 иллюстрации.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируется цель исследований, показана новизна, научная и практическая ценность работы, отражены защищаемые положения и сведения об апробации, приводится структура диссертации.

В первой главе работы содержится в основном вспомогательный математический аппарат, необходимый для дальнейших исследований. Цель главы - общий анализ и систематизация наиболее существенных результатов, полученных другими авторами в данном направлении.

В начале работы приводится решение основных краевых задач для аналитических функций: задач Римана, Гильберта, типа Карлемана:

а) задача Рнмапа. В данной задаче требуется определить неизвестную кусочно аналитическую функцию Ф±(г) в области 0+ и по граничным значениям на гладком контуре Ь:

Ф+а) = са)Ф-а)+§(1), а)

где 0(1) и §(1) -известные функции;

б) задача Гильберта. Требуется найти аналитическую в области и непрерывную на контуре Ь функцию ^г) = и(х,у) + ¡у(х,у), предельные значения действительной и мнимой части которой удовлетворяют на контуре Ь линейному соотношению

a(s)u(s) + b(s)v(s) = c(s), (2)

где a(s), b(s), с (s) - действительные функции дуги s контура;

в) задача типа Карлемана. Требуется определить аналитическую в D+ функцию 0+(z) по краевому условию на контуре L:

' 0+[a(t)] = G(t)$4Q + g(t), (3)

где cc(t) - прямой сдвиг Карлемана (a[a(t)] = t); G(t), g(t) - заданные функвдш.

Все задачи рассматриваются на пространстве функций, удовлетворяющих условию Гёльдера.

Основной результат, полученный при исследовании классических краевых задач для аналитических функций, можно сформулировать следующим образом.

Утверяедение. Краевые задачи для аналитических функций на пространстве функций Гёльдера являются линейными нётеровыми операторами с индексами х> равными индексам коэффициентов в краевых условиях.

Напомним, что нётеровым оператором (или оператором Нётера) по определению называется линейный ограниченный оператор А, действующий из пространства Xi в пространство Х2, если:

1) оператор А нормально разрешим;

2) конечно число линейно независимых решений уравнений

Ах = 0, А* и = О,

где А* - оператор, сопряженный с А.

Данное утверждение следует воспринимать как общий перефраз известных теорем.

Также в работе представлены основные уравнения плоской теории упругости однородного изотропного тела.

Различают две основные задачи теории упругости, в которых требуется определить напряжения и смещения в любой точке внутри тела и на его поверхности.

Первая основная задача. Требуется определить упругое равновесие тела, когда на контуре Ь заданы внешние усилия Хп и Уп. Граничные условия можно записать так:

сх соз(п, х) + тху соэСп,у) = ХП/ ТхуСоэСп, х) + оусоз(п, у) = УП| (4) где п - внешняя нормаль к контуру Ь.

Вторая основная задача. Требуется определить упругое равновесие тела, когда на контуре Ь области О заданы перемещения. Граничные условия при этом примут вид:

Ч = §1(5). V = g2(s), (5)

где gl(s) и §2 СЮ - заданные смещения точек контура Ь.

Иногда выделяют также третью задачу — смешанную, когда на одной части контура Ь области Б заданы напряжения, а на остальной части -перемещения.

В работах Н.И. Мусхелишвили было показано, что решение основных задач теории упругости можно свести к краевым задачам для бианалитических функций. Так, математическая модель первой основной задачи имеет вид:

Фоа)+Еф'^о+Ф1(о = -[90а) + +91(о]+g1(t), Ф0М + - = [Ф0СО + - Ф1(1)] + ё2(0, (6)

где (к = 1,2) - известные функции.

Аналогичным образом вторую основную задачу теории упругости можно свести к следующей системе:

<ро ю+Ц (о+хФ1 со = - Коо+цаз+хср^)] + & со,

+- хф1(1) = [ф0(1)+1ф;а)-хс?1а)]+(?)

где = -4(хи; д2(1) = -4цу; х = ^^ - упругая постоянная материала, X, ц - коэффициенты Ламе.

Математические модели (6) и (7) достаточно хорошо изучены. В работе даются основные методы их исследования, приводится соответствующая библиография. Однако приведенные модели в ряде случаев приближенно описывают напряженное состояние тела даже в случае линейных деформаций, т.к. в них изначально полагается, что все известные параметры являются детерминированными величинами. На практике же эти величины определяются, как . правило, с определенными допусками, которые определяются через известные моменты заданных на контуре упругих характеристик тела (напряжений, деформаций).

Для уточнения математических моделей (6) и (7) в работе предлагается расширить пространство функций Гёльдера, на котором рассматривались краевые задачи и модели напряженного состояния тела, на пространство случайных функций. Это позволит применить математические модели (6) и (7) в случае, когда:

1) нагрузка на тело носит случайных характер;

2) форма тела задана с определенными допусками. ■

Основной задачей второй главы работы является разработка математического аппарата для дальнейшего исследования модели напряженного состояния однородного тела в случае, когда нагрузка на тело и форма тела носят случайный характер.

Для того чтобы работать с контурами и нагрузками, заданными случайным образом, необходимо расширить пространство функций Гёльдера на пространство случайных функций.

Для этого необходимо рассмотреть все известные сходимости последовательностей случайных величин. Напомним, что существуют следующие основные виды сходимости случайных величин:

Определение 1. Последовательность случайных величин {Хп} сходится к

р

константе с слабо или по вероятности, Хп -> с, если для любого е > 0:

lim Р(|ХП - с\ > е) = 0. (8)

n->co

Определение 2. Последовательность случайных величин {Хп} сходится к

п.н.

константе с сильно или почти наверное, Хп —> с, если

pteXn=c) = 1- <9> Определение 3. Последовательность случайных величин {Хп} сходится к

с.к.

константе с в среднем квадратнческом, Хп —► с, если

lim М(ХП - с)2 = 0. (10)

п~* ОЭ

Следующие теоремы устанавливают связь между различными типами сходимости.

Теорема 1. Из (10) => (8), т.е. сходимость в среднем квадратнческом влечет сходимость по вероятности.

Теорема 2. Из (9) => (8), т.е. сходимость почти наверное влечет сходимость по вероятности.

Теорема 3. Если Хп —> с так, что М(Хп - с)2 < оо, то Xn ^ с. Таким образом, сходимость в среднем квадратнческом является более сильной.

Аналогично определению 3 введем понятие сходимости в среднем квадратнческом к случайной величине X.

Определение 4. Последовательность случайных величин {Хп} сходится к

с.к.

случайной величине X в среднем квадратнческом, Xn —* X, если

lim М(ХП-Х)2 =0. (11)

71-» СО

Введем в рассмотрение пространство случайных функций, удовлетворяющих условию Гёльдера в среднем квадратическом.

Определение 5. Случайная функция <£(t) принадлежит пространству функций Гёльдера в среднем квадратическом на контуре L с показателем ц (O(t) 6 H*(L)), если для любых t-, и t2, принадлежащих контуру L, выполняется условие:

M||<DCt2) - OCtOII2 ^ A|t2

где А - определенная константа, 0 < ц < 1.

Кроме того, на расширенном пространстве необходимо выполнять такие операции, как дифференцирование, интегрирование, сингулярное интегрирование, сдвиг.

Приведем определения отмеченных выше операции.

Определение 6. Случайная функция i>(t) называется дифференцированной в среднем квадратическом (в области Т), если существует такая случайная функция Ф (t), к которой сходится в среднем квадратическом при всех t 6 Т случайная функция [®(t + h) - d>(t)]/h при h 0. Случайная функция Ф (t) называется средней квадратической производной случайной функции Ф(0.

Пусть ®(t) - случайная функция, определенная в области Т изменения аргумента t, g(t, х) - функция двух переменных t, т € Т.

Определение 7. Средним квадратическим интегралом от случайной функции g(t,x)0(x) по области Т называется средний квадратический предел последовательности интегральных сумм (Yn(t)}, если он существует:

Y(t)= f g(t,T)®(x)dx= HmYn(t), J П-.СО

T

Nn k=l

где т^ - произвольная точка области Д^ - объем области А£ (к =

Определение 8. Сингулярным (или особым) интегралом от случайной функции Фф по контуру Ь называют предел

где ЬЕ - оставшаяся часть контура Ь.

Определение 9. Сдвигом называется функция отображающая

контур Ь взаимно однозначно на себя с сохранением направления и имеющая производную а'(0, удовлетворяющую условию Гёльдера в среднем квадратическом и не обращающуюся в нуль.

При этом считается, что указанные операции выполнимы для всех реализаций рассматриваемой случайной функции.

Кроме того, будем учитывать, что рассматриваемые далее случайные функции являются гладкими, стационарными (в широком смысле), подчиняющимися нормальному закону распределения. Все нагрузки, рассматриваемые в работе, являются статистическими.

Далее будем предполагать, что рассматриваемые нами случайные функции принадлежат пространству случайных функций Гёльдера в среднем квадратическом с показателем ц. на контуре Ь.

Для решения краевых задач необходимо на пространстве случайных функций определить интеграл типа Коши и оператор сингулярного интегрирования.

Определение 10. Интегралом типа Коши (средним квадратическим интегралом типа Коши) от случайной функции называется интеграл вида

1.....ги.

1 Г фМ ,

¡га./ т-1:

где ф(т) - случайная функция, принадлежащая пространству функций Гёльдера в среднем квадратическом.

Кроме того, интеграл типа Коши обладает предельными значениями Ф+((:0) и Ф~(1:0), к которым он стремится при 1: -»^ слева и справа от контура Ь 0:0 6 Ь).

Определение 11. Оператором сингулярного интегрирования

называется интеграл вида

где Я(т) - плотность оператора сингулярного интегрирования, принадлежащая пространству функций Гёльдера в среднем квадратическом.

Доказано следующее утверждение.

Теорема 4. Если Ь - замкнутый контур и И(т) удовлетворяет на Ь условию Гёльдера в среднем квадратическом с показателем ¡х, то предельные значения интеграла типа Коши Ф+00 и Ф~00 удовлетворяют этому условшо с тем же показателем, если 0 < ц < 1 и с показателем сколь угодно мало отличающимся от ц, если ц = 1.

Теорема 4 является центральной в представленных исследованиях и дает возможность доказать ряд важных свойств оператора сингулярного интегрирования, которые сформулированы в виде теорем. Так, справедливы следующие теоремы.

Теорема 5. Оператор Э = Ба — аБ непрерывен на пространстве функций Гёльдера в среднем квадратическом.

1£ I,

(13)

ь

Теорема 6. Пусть L - гладкий контур (замкнутый или незамкнутый) и ф(т) - случайная функция точек контура, удовлетворяющая условию Гёльдера. Тогда средний квадратический интеграл типаКоши от случайной функции (12) имеет предельные значения Ф+(0, Ф~(0 во всех точках контура L, не совпадающих с его концами, при приближении к контуру слева и справа по любому пути и эти предельные значения выражаются по формулам Сохоцкого-Племеля:

L L

Доказанные утверждения (теоремы 4-6) позволяют исследовать основные задачи для аналитических функций (краевую задачу Римана, краевую задачу Гильберта, краевую задачу типа Карлемана) на линейном пространстве функций, удовлетворяющих условию Гёльдера в среднем квадратическом.

Задача Римана. Требуется найти случайные функции 0+(z) и Ф~ ('/.), дифференцируемые в среднем квадратическом соответственно в областях D+ и D-, по краевому условию на L:

0+(t) = G(t)O-(t) + g(t), (15)

где G(t) и g(t) - заданные функции, именуемые коэффициентами задачи, причем G(t) - детерминированная функция, a g(t) - случайная функция, удовлетворяющая условию Гёльдера в среднем квадратическом.

Получен следующий результат.

Теорема 7. Пусть % = IndG(t) > 0. Тогда искомое решение краевой задачи Римана (15)

Ф±(г) = X±(z)4/±(z) + X±(z)Px_1(z).

Здесь X+(z),X (z) - канонические функции задачи Римана(15), случайная

функция Wz) = —f. Pv-i(z) - многочлен степени не выше Y - 1 с

2д1 ь Xt[TJ T-Z л

произвольньми комплексными коэффициентами с0, сг..... cx-i> являющиеся

случайными величинами. Если % < 0, то задача Римана неразрешима.

Задача Гильберта. Пусть L - простой гладкий замкнутый контур. Даны функции дуги s контура a(s),b(s), удовлетворяющие условию Гёльдера; c(s) принадлежит пространству случайных функций, удовлетворяющих условию Гёльдера в среднем квадратическом. Требуется найти случайную аналитическую в области D+ и непрерывную в среднем квадратическом на контуре L функцию F(z) = u(x,y) + iv(x,y), предельные значения действительной и мнимой части которой удовлетворяют линейному соотношению

a(s)u(s) + b(s)v(s) = c(s),

где u(s) = u[x(s),y(s)] - функция, полученная заменой координат функциями дуги S.

Сформулируем полученный результат.

Теорема 8. Если индекс комплексной функции a(s) + ib(s) % > 0, то однородная краевая задача Гильберта и неоднородная - безусловно разрешимы. Однородная задача имеет 2%+1 линейно независимых решений, линейная комбинация которых входит слагаемым в общее решение. Если %<0, то задача Гильберта неразрешима.

Задача типа Карлемана. Найти случайную аналитическую функцию Ф+(г) в области D+, ограниченной простой замкнутой кривой Ляпунова L, удовлетворяющую условию Гёльдера в D+ U L, по краевому условию на L:

Ф+[а(0] = вОЗФЧО + g(t), (16)

где а(0 - прямой сдвиг, для которого выполняется условие Карлемана а[а(1)] = X, 0(0 - детерминированная функция, §(0 принадлежит пространству функций Гёльдера в среднем квадратическом вместе со своими производными.

Сформулируем полученный результат.

Теорема 9. При % = > 0 краевая задача типа задачи

Карлемана (16) безусловно разрешима и ее решение, представимое формулой

Ф[«а)]

Ф+00 = ^(г)

Ь

содержит % + 1 произвольных случайных величин. При х < 0 однородная задача типа Карлемана неразрешима.

Основные результаты работы содержатся в третьей главе. В данной главе решаются основные краевые задачи для бианалитических функций на пространстве случайных функций. Основное отличие этих задач от классических заключается в том, что согласно с результатом второй главы расширение пространства функций приводит к тому, что при отрицательных значениях индекса краевые задачи исследовать нельзя. Однако если ставить целью построение математической модели напряженного состояния упругого тела на пространстве случайных функций Гёльдера, сходящихся в среднем квадратическом, то такие «потери» вполне допустимы.

Рассмотрим три основные задачи теории бианалитических функций.

1. Задача Римана для бианалитических функций

Требуется найти все кусочно бианалитические случайные функции: ф+(г) = фо(г) + (г) в области и Ф~(г) = Фо(г) + '¿(р{(г) в области Б-, исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на Ь следующим условиям:

+ _ = с2(0 — + 18,(1). (17)

где ^(О - детермшгарованные функции, СО - принадлежат пространству функций Гёльдера в среднем квадратическом вместе со своими производными (к =1,2).

Сформулируем полученные результаты:

Теорема 10. Задача Римана для бианалитических функций равносильна системе сингулярных интегральных уравнений с индексом Х1 + Хг-

Теорема 11. Задача Римана для бианалитических функций равносильна системе из двух задач Римана для аналитических функций.

Теорема 12. Задача Римана для бианалитических функций устойчива относительно изменений краевых свободных членов я^О:) (к = 1,2).

Замечание. Под устойчивостью будем понимать то, что для невозмущённого внешнего воздействия математическое ожидание основных характеристик напряженного состояния изменяется бесконечно мало при бесконечно малом изменении внешнего воздействия.

2. Задача Гильберта для бианалитических функций

Пусть Ь - простой замкнутый' контур и на нем даны функции комплексного переменного I = х(э) + ¡у(э); Ь^М, удовлетворяющие

условию Гёльдера, ск(0 принадлежит пространству функций Гёльдера в среднем квадратическом вместе со своей производной. Кроме того, на Ь выполняются равенства:

[акф]2 + [Ьк(1)]2 ее 1, к =1,2.

Требуется найти дифференцируемую в среднем квадратическом в

области и непрерывную в среднем квадратическом на контуре Ь случайную

бианалитическую функцию Р(г) = и(х,у) + ¡у(х,у), предельные значения

16

действительной и мнимой части которой удовлетворяют на контуре Ь соотношениям:

ди. дч Зи Зу

311М^ + ьх(0- = с1(0, а2а) — + Ь2а)- = С2(1). (18)

Сформулируем полученные результаты:

Теорема 13. Задача Гильберта для бианалитических функций равносильна системе сингулярных интегральных уравнений с индексом XI + Хг-

Теорема 14. Задача Гильберта для бианалитических функций равносильна системе из двух задач Гильберта для аналитических функций.

Теорема 15. Задача Гильберта для бианалитических функций устойчива относительно изменений краевых свободных членов ск(0 (к = 1,2).

3. Задачи типа Карлемана для бианалитических функций

Пусть даны область 0+ и простой замкнутый контур Ь, ограничивающий данную область. Требуется определить неизвестную дифференцируемую в среднем квадратическом в области случайную бианалитическую функцию Р+(г) = фо (г) + 2(р1 (г) по краевым условиям на Ь:

..Л) ^ЭР+СО^.

где а(0 - прямой сдвиг Карлемана: сс[а(1:)] = ^ Ск(0 - заданные на Ь детерминированные функции, §кОО принадлежат пространству функций Гёльдера в среднем квадратическом вместе со своими производными (к = 1,2).

Сформулируем полученные результаты:

Теорема 16. При соблюдении условий Ск[а(0]Ск(1) Ф 1 (к = 1,2) краевая задача типа Карлемана для случайных бианалитических функций равносильна системе из двух задач об аналитическом продолжении. Решение

задачи типа Карлемана для случайных бианалитических функций при соблюдении условий

Ск[а(1)]СЙХ) = 1, ек[аС0] + = О, (к = 1,2)

сводится к последовательному решению обобщенной задачи типа Карлемана относительно случайной аналитической функции си обычной задачи типа Карлемана относительно случайной аналитической функции <рд'(г).

Теорема 17. Задача типа Карлемана для бианалитических функций устойчива относительно изменения краевых свободных членов gk(t) (к = 1,2).

Обобщая результаты исследований, можно сказать, что при расширении пространства функций Гёльдера на пространство случайных функций свойства краевых задач для бианалитических функций при положительных индексах сохраняются. Проведение общего исследования при отрицательных индексах невозможно.

В работе исследуется случай, когда в условиях краевой задачи для бианалитических функций полагается случайная форма области, занятой упругим телом.

Рассматриваются задача Римана и задача Гильберта для бианалитических функций. В данном случае удается исследовать только задачи по скачку, что достаточно для дальнейшего использования краевых задач при определении напряженного состояния тела.

При решении задачи Гильберта используется метод конформного отображения (рис.1):

Получен следующий результат:

Теорема 18. Задача Гильберта для бианалитических функций на случайном контуре Ь равносильна двум краевым задачам Римана для бианалитических функций на единичной окружности.

При решении задачи Римана используется тот же метод конформного отображения (рис.2):

Получен следующий результат:

Теорема 19. Задача Римана для бианалитических функций на случайном контуре Ь равносильна двум краевым задачам Газемана для бианалитических функций со случайным сдвигом на единичной окружности.

Обе задачи в предложенной постановке являются неустойчивыми.

В четвертой главе работы рассматривается решение первой основной задачи теории упругости для бесконечной плоскости с эллиптическим отверстием. В качестве примера приводится решение задачи Колосова в случае, когда нагрузка представляет собой случайную функцию (рис.3).

/

Г

Рис.2

X у у у

Рис.3

Основное внимание уделяется расчету математических ожиданий характеристик упругого состояния однородной пластины, ослабленной отверстием. Заметим, что благодаря полученным результатам удалось оценить погрешность окончательных расчетов по данным первоначальных допусков.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты, полученные в работе, представляют собой решение актуальной научной задачи построения общего алгоритма решения краевых задач для бианалитических функций' и их обобщений на пространстве случайных функций, сходящихся в среднем квадратическом, и могут применяться для построения математических моделей напряженного состояния тела с учетом случайного характера нагрузок и формы контура.

В процессе работы лично автором получены следующие научные и практические результаты:

• Расширено пространство функций Гёльдера на пространство случайных функций Гёльдера, сходящихся в среднем квадратическом

ОДО);

• Доказаны свойства оператора сингулярного интегрирования на пространстве HjJ(L);

• Исследованы краевые задачи для бианалитических функций (задачи Римана, Гильберта и задача типа Карлемана) на пространстве HJ(L);

• Предложена математическая модель, основанная на краевых задачах для бианалитических функций, для решения основных задач теории упругости однородного тела в случае, когда нагрузки и форма контура носят случайный характер.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Изотова O.A. Основная задача теории упругости для однородного тела, обладающего прямолинейной анизотропией в стохастической постановке / A.B. Юденков, O.A. Изотова // Обозрение прикладной и промышленной математики: материалы IX Всероссийского симпозиума по прикладной и промышленной математике. - Выпуск 6. Том 15. - 2008. - С. 1148-1149.

2. Изотова O.A. Математические модели основных задач теории упругости в стохастической постановке. //Конкурс молодых ученых: сборник материалов. - Смоленск: Изд-во «Смоленская городская типография», 2009. - С.116-119.

3. Изотова O.A. Математические модели задач теории упругости для анизотропного тела на классе случайных функций / A.B. Юденков, А.Э. Адигамов, O.A. Изотова, A.M. Володченков // Горный информационно-аналитический бюллетень. - 2010. - №1 - С.76-82.

4. Изотова O.A. Новый класс функций Гёльдера в среднем квадратическом, обобщающий класс функций Гёльдера на случай стохастических процессов // Обозрение прикладной и промышленной математики: материалы XI Всероссийского симпозиума по прикладной и промышленной математике. -Выпуск 17. Том 3.- 2010. - С. 415-416.

21

5. Изотова O.A. Исследование основных краевых задач в классе случайных бианалитических функций // Обозрение прикладной и промышленной математики: материалы XI Всероссийского симпозиума по прикладной и промышленной математике. - Выпуск 17. Том 3- 2010. - С. 416-417.

Подписано в печать 07.04.2011. Формат 60x90/16. Бумага офсетная 1,0 п. л. Тираж 100 экз. Заказ № 2348

и ГОСУДАРСТВЕННОГО ГОРНОГО УНИВЕРСИТЕТА

Лицензия на издательскую деятельность ЛР № 062809 Код издательства 5X7(03)

Отпечатано в типографии Издательства Московского государственного горного университета

Лицензия на полиграфическую деятельность ПЛД№ 53-305

119991 Москва, ГСП-1, Ленинский проспект, 6; Издательство МГГУ; тел. (499) 230-27-80; факс (495) 737-32-65

Введение.

Глава 1. Краевые задачи для бианалитических функций и математические модели основных задач теории упругости на пространстве функций Гёльдера.

§1. Интеграл типа Коши и краевые задачи.

§2. Классические краевые задачи для аналитических функций на пространстве функций Гёльдера.

§3. Краевые задачи для бианалитических функций и их обобщений на пространстве функций Гёльдера.

§4. Математические модели основных задач теории упругости однородного изотропного тела.

§5. О расширении пространства функций Гёльдера на пространство случайных функций для математического моделирования основных задач теории упругости.

Глава 2. Моделирование краевых задач для аналитических функций при помощи аппарата случайных функций, сходящихся в среднем квадратическом.

§ 6. Основные положения теории случайных функций.

§7. Случайные функции, удовлетворяющие условию Гёльдера в среднем квадратическом, основные свойства, основные операторы.

§8. Краевая задача Римана.

§9. Краевая задача Гильберта.

§10. Краевая задача типа Карлемана со сдвигом.:.:.:.

Глава 3. Краевые задачи для бианалитических функций на пространстве случайных функций Гёльдера, сходящихся в среднем квадратическом.

§11. Исследование задачи Римана на пространстве случайных бианалитических функций Гёльдера, сходящихся в среднем квадратическом.

§12. Исследование задачи Гильберта на пространстве случайных бианалитических функций Гёльдера, сходящихся в среднем квадратическом.

§13. Исследование задачи Карлемана на пространстве случайных бианалитических функций Гёльдера, сходящихся в среднем квадратическом.

§14. Задача Гильберта для бианалитических функций в случае контура, определяемого случайной функцией Гёльдера, сходящейся в среднем квадратическом.

§15. Задача Римана для бианалитических функций в случае контура определяемого случайной функцией Гёльдера, сходящейся в среднем квадратическом.

Глава 4. Решение основных задач плоской теории упругости с использованием краевых задач для бианалитических функций на пространстве функций Гёльдера, сходящихся в среднем квадратическом.т.

§16. Первая основная задача для бесконечной плоскости с эллиптическим отверстием.

§17. Задача Колосова на пространстве случайных функций Гёльдера, сходящихся в среднем квадратическом.

Актуальность работы. На. современном этапе развития автомобильной, авиационной техники, строительных технологий одной из важнейших проблем становится оценка надежности сложных механизмов и конструкций. Для решения этой проблемы, безусловно, необходим комплексный подход, использующий различные методы, в том числе и методы математического моделирования.

Следует отметить фундаментальные работы В.В. Болотина, в которых изучается устойчивость упругих систем, а также методы решения важных практических задач теории упругой устойчивости; работы Д.Д. Ивлева, которые имеют фундаментальный характер для всей механики деформируемого твердого тела (большой вклад им был внесен в математическую теорию пластичности).

В то же время при моделировании упругого состояния систем тел, находящихся под воздействием случайных факторов, достаточно ограниченно применялся хорошо развитый аппарат краевых задач для аналитических функций и их обобщений. Это связано с тем, что традиционно в краевых задачах полагается, что коэффициенты, входящие в граничные условия, - это детерминированные функции, принадлежащие пространству функций Гёльдера.

В работах B.C. Рогожина, М.П. Ганина, И.А. Соколова были рассмотрены краевые задачи для бианалитических функций в случае контуров, представляющих собой окружность. В работах С.А. Редкозубова, A.B. Юденкова были предложены общие алгоритмы решения краевых задач для бианалитических функций, основанные на теории интегральных сингулярных уравнений, конформных отображений, получены эффективные методы решения задач теории упругости для изотропных и анизотропных тел, для контактных задач.

Напомним, что ещё в 1909 году Г.В. Колосов положил начало серьезному применению теории функций комплексного переменного (ТФКП) к плоской задаче теории упругости. В частности, им было обнаружено, что эффективным средством для решения задач плоской теории упругости изотропного тела могут служить краевые задачи для бианалитических функций, т.е. функции вида ф0(г) + гф^г), где ф0(Х) и (г) - аналитические функции.

В дальнейшем теория краевых задач для бианалитических функций и их обобщений (а также их применение) развивалась в работах Н.И. Мусхелишвили, Ф.Д. Гахова, В.П. Векуа, Г.Н. Савина, Э.М. Карташова, М.Б. Балка, С.Г. Михлина, Л.Д. Ландау, А.И. Каландия, Д.И. Шермана, Г.Ф. Манджавидзе, 3. Пресдорфа и других отечественных и зарубежных математиков.

К настоящему времени теория3 краевых задач- для бианалитических функций и их обобщений в- основном построена на классических математических моделях. В общепринятых моделях полагается, что нагрузки, действующие на тело, и форма тела описываются детерминированными функциями, принадлежащими пространству функций Гёльдера. В то же время на практике эти характеристики могут являться случайными функциями.

Поэтому на данный момент актуальной научной задачей является расширение пространства функций, на которых рассматриваются краевые задачи, с целью построения более общей математической модели, учитывающей случайный характер нагрузок и форму тела.

Цель работы состоит в создании общего алгоритма решения краевых задач для бианалитических функций и их обобщений на пространстве 5 случайных функций, сходящихся в среднем квадратическом, и применении полученных результатов для построения математических моделей напряженного состояния тела с учетом случайного характера нагрузок и формы контура.

Основная идея работы заключается в том, чтобы при построении математической модели напряженного состояния упругого тела использовать краевые задачи, заданные на специальном пространстве случайных функций, сходящихся в среднем квадратическом.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе использовались методы ТФКП, математической теории упругости, теории интегральных уравнений, теории случайных функций, методы математического моделирования.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

• Определены основные операторы и исследованы их свойства на пространстве случайных функций Гёльдера, сходящихся в среднем квадратическом;

• Получены эффективные решения основных краевых задач для бианалитических функций и их обобщений, на пространстве случайных функций Гёльдера, сходящихся в среднем квадратическом;

• Предложена математическая модель основных задач теории упругости, учитывающая случайный характер нагрузок и форму тела;

• Исследована математическая - модель на разрешимость и устойчивость.

Достоверность и обоснованность результатов подтверждаются строгостью проводимых математических обоснований при формулировании и доказательстве основных положений, результатами численных расчетов, проведенных на задачах теории упругости однородного тела.

Новизна; работы состоит в-следующем:

• Было расширено пространство функций Гёльдера на пространство случайных функций и определены для нового пространства основные операторы; необходимые для решения краевых задач;

• На новом пространстве функций поставлены и исследованы-краевые задачи для бианалитических функций (задача Римана, Гильберта и типа Карлемана) и их обобщения;

• Проведено исследование краевых задач для бианалитических функций на устойчивость;

• Изучены математические модели основных задач теории упругости с учетом влияния случайных факторов.

Научное и практическое значение работы состоит в том, что расширено пространство функций Гёльдера на пространство случайных функций; на новом пространстве: функций исследованы краевые задачи для случайных аналитических функций, которые позволяют решать важные практические задачи; теории упругости, а также разрабатывать новые эффективные численные методы их решения.

Реализация результатов исследования. Результаты работы используются для проведения специальных курсов на кафедрах механизации, информационных технологий; и прикладной математики ФГОУ ВПО «Смоленская« ГСХА», при проведении факультативных занятий со студентами* филиала ГОУ «Московский государственный индустриальный университет» в г. Рославле Смоленской области,,а также рекомендованы;для использования при проведении НИОКР на 2009-2015 годы конструкторской службой ЗАО «Рославльский автоагрегатный завод» AMO ЗИЛ для совершенствования качества технической подготовки освоения новых изделий.

Апробация работы. Основные результаты, работы были представлены на IX Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (2008, Весенняя сессия;-Кисловодск), а также докладывались на 7 кафедре информационных технологий и прикладной математики ФГОУ ВПО «Смоленская государственная сельскохозяйственная академия», кафедре общематематических и естественнонаучных дисциплин; филиала ГОУ «Московский государственный индустриальный университет» в г. Рославле Смоленской области, на кафедре высшей математики: ГОУ ВПО «Московский государственный горный университет».

Публикации. Основные положения диссертации отражены в 5 научных работах.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения; содержит список литературы из 102 наименований и 3 иллюстрации.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируется цель исследований, показана новизна, научная и практическая ценность работы; отражены защищаемые положения; и сведения об апробации, приводится структура диссертации.

В первой, главе; работы содержится в основном вспомогательный математический, аппарат, необходимый для дальнейших исследований;- Цель главы — общий анализ и систематизация наиболее: существенных результатов; полученных другими-авторами в данном направлении:

В начале работы; приводится решение основных краевых задач для* аналитических» функцийзадач Римана, Гильберта, типа Карлемана: а) задача Римана. В данной, задаче требуется определить неизвестную кусочно аналитическую функцию Oi(z) в области D+ и D" по граничным значениям на гладком:контуре L:

Ф+00 ■= G (t) Ф ~ (t) + g(t), (1) где в(1;) и -известные функции; б) задача Гильберта. Требуется найти аналитическую в области 0+ и непрерывную на контуре Ь функцию = и(х,у) + гу(х,у), предельные значения действительной и мнимой части которой удовлетворяют на контуре Ь линейному соотношению а(5)и(5) + Ь(5)у(5) = ф), (2) где а^), Ь(б), с(б) — действительные функции дуги б контура; в) задача типа Карлемана. Требуется определить аналитическую в фикцию Ф+(г) по краевому условию на контуре Ь: ф+ [а(0] = СОФЧО + 6(0, (3) где а(Х) — прямой сдвиг Карлемана (а[а(1:)] = 1); в^), g(t) - заданные фикции.

Все задачи рассматриваются на пространстве функций, удовлетворяющих условию Гёльдера.

Основной результат, полученный при исследовании классических краевых задач для аналитических функций, можно сформулировать следующим образом.

Утверждение. Краевые задачи для аналитических функций на пространстве функций Гёльдера являются линейными нётеровыми операторами с индексами х> равными индексам коэффициентов в краевых условиях.

Напомним, что нётеровым оператором (или оператором Нётера) по определению называется линейный ограниченный оператор А, действующий из пространства Хх в пространство Х2, если:

1) оператор А нормально разрешим;

2) конечно число линейно независимых решений уравнений

Ах = О, А*и = О, где А* - оператор, сопряженный с А.

Данное утверждение следует воспринимать как общий перефраз известных теорем.

Также в работе представлены основные уравнения плоской теории упругости однородного изотропного тела.

Различают две основные задачи теории упругости, в которых требуется определить напряжения и смещения в любой точке внутри тела и на его поверхности.

Первая основная задача. Требуется определить упругое равновесие тела, когда на контуре Ь заданы внешние усилия Хп и Уп. Граничные условия можно записать так: ах соб(п, х) + т^ собСп, у) = Хп> х^созСп, х) + аусо5(п, у) = УП( (4) где п — внешняя нормаль к контуру Ь.

Вторая основная задача. Требуется определить упругое равновесие тела, когда на контуре Ь области Э заданы перемещения. Граничные условия при этом примут вид: u = gl(s), V = §2(5)* (5) где g1 (б) и g2 (б) - заданные смещения точек контура Ь.

Иногда выделяют также третью задачу - смешанную, когда на одной части контура Ь области Б заданы напряжения, а на остальной части -перемещения.

В работах Н.И. Мусхелишвили было показано, что решение основных задач теории упругости можно свести к краевым задачам для бианалитических функций. Так, математическая модель первой основной задачи имеет вид:

ФоОО + Ф^О = -[ФоСО+^СО'+Ф^О] + ёг (О,

Фо(0фгОО == [ф0(о + 1ф;а)-фга)] + g2(t); I-е ь, (6) где gk(t) (к = 1,2) - известные функции.

Аналогичным образом вторую основную задачу теории упругости можно свести к следующей системе: фо00 + + хф1оо = -[ф0(0+1ф;(1)+хф1(0] + е^СО,

Х) + Щ\(Х)~ =-[фо(0+^.(1>—Хф±(0] + g2(t:), (7) где = —4^хи; = —4}1у; х = ^^ - упругая постоянная материала,

X, (I - коэффициенты Ламе.

Математические модели (6) и (7) достаточно хорошо изучены. В работе даются основные методы их исследования^, приводится: соответствующая библиография; Однако приведенные модели в ряде случаев приближенно описывают напряженное состояние тела даже в случае линейных деформаций^ т.к. в них изначально1 полагается,, что все известные параметры являются детерминированными величинами. На практике же эти величины определяются, как правило, с определенными допусками, которые, определяются через известные моменты заданных на контуре упругих характеристик тела (напряжений, деформаций).

Для уточнения математических моделей (6) и (7) в работе предлагается расширить пространство функций Гёльдера, на котором рассматривались краевые задачи и модели напряженного состояния, тела, на пространство случайных функций. Это позволит применить математические модели (6) и (7) в случае, когда:

1) нагрузка на тело носит случайных характер;

2) форма тела задана с определенными допусками.

Основной задачей второй главы работы является разработка математического аппарата для дальнейшего исследования модели напряженного состояния однородного тела в случае, когда нагрузка на тело и форма тела носят случайный характер.

Для того чтобы работать с контурами и нагрузками, заданными случайным образом, необходимо расширить пространство функций Гёльдера на пространство случайных функций.

Для этого необходимо рассмотреть все известные сходимости последовательностей случайных величин. Напомним, что существуют следующие основные виды сходимости случайных величин:

Определение-!. Последовательность случайных величин {Хп} сходится р к константе с слабо или по вероятности, Хп -» с, если для4любого е > 0: lim Р(|Х„ - с\ > г) = 0. (8)

71-»00

Определение 2. Последовательность случайных величин {Хп} сходится п.н. к константе с сильно или почти наверное, Хп —» с, если pflimXn = с) = 1. (9)

471—»оо '

Определение 3. Последовательность случайных величин {Хп} сходится

С.К. к константе с в среднем квадратическом, Хп —> с, если lim М(ХП - с)2 = 0. (10)

П-» 00

Следующие теоремы устанавливают связь между различными типами сходимости.

Теорема 1. Из (10) => (8), т.е. сходимость в среднем квадратическом влечет сходимость по вероятности.

Теорема 2. Из (9) =» (8), т.е. сходимость почти наверное влечет сходимость по вероятности.

С.К. п.н.

Теорема 3. Если Хп —» с так, что — с) < оо, то Хп —> с.

Таким образом, сходимость в: среднем квадратическом является более сильной.

Аналогично определению 3 введем» понятие сходимости в среднем квадратическом к случайной величине X.

Определение 4. Последовательность случайных величин {Хп} сходится с. к. к случайной величине X в среднем квадратическом, Хп —> X, если lim М(ХП-Х)2 = 0. (И)

71-»ОО

Введем в рассмотрение пространство случайных функций, удовлетворяющих условию Гёльдера в среднем квадратическом.

Определение 5. Случайная функция O(t) принадлежит пространству функций Гёльдера в среднем квадратическом на контуре L с показателем ц. (O(t) G HJ(L)), если- для любых tx и t2, принадлежащих контуру L, выполняется условие::

M|joct2D - oCtOII2 < A|t2 где А - определенная константа, 0 < р. < 1.

Кроме того, нал расширенном пространстве необходимо выполнять такие операции, как дифференцирование, интегрирование, сингулярное интегрирование, сдвиг.

Приведем определения отмеченных выше операции.

Определение 6. Случайная функция O(t) называется дифференцированной в среднем? квадратическом (в области Т), если существует такая случайная функция O (t), к которой сходится в среднем-квадратическом при всех . t G Т случайная функция [0(t + h) — 0(t)]/h при h 0. Случайная функция Ф (t) называется средней квадратической производной случайной функции Ф (t).

Пусть Ф(0 - случайная функция, определенная в области Т изменения аргумента t, g(t,x) — функция двух переменных t, т £ Т.

Определение 7. Средним квадратическим интегралом от случайной функции §0:;т)Ф(т) по области Т называется средний квадратический предел последовательности интегральных сумм {Уп(0}, если он существует:

Y(t) = f g(t, T)OCx)dx = lim Yn(t), j П~>°0 T

Nnk=l где т^ - произвольная точка области A£, Atj^ - объем области A£ (k =

Определение 8. Сингулярным (или особым) интегралом от случайной функции O(t) по контуру L называют предел

J 0(t)dt = lim J 0(t)dt, l le где L£ - оставшаяся часть контура L.

Определение 9. Сдвигом называется функция a(t), отображающая контур L взаимно однозначно на себя с сохранением направления и имеющая производную ct'(t), удовлетворяющую условию Гёльдера в. среднем квадратическом и не обращающуюся в нуль.:

При этом считается, что указанные операции выполнимы для всех реализаций рассматриваемой случайной функции.

Кроме того, будем учитывать, что рассматриваемые далее случайные функции являются гладкими, стационарными (в широком смысле), подчиняющимися нормальному закону распределения! Все нагрузки, рассматриваемые в работе, являются статистическими.

Далее будем предполагать, что рассматриваемые нами случайные функции принадлежат пространству случайных функций Гёльдера в среднем квадратическом с показателем ц на контуре Ь.

Для решения краевых задач необходимо на пространстве случайных функций определить интеграл типа Коши и оператор сингулярного интегрирования.

Определение 10. Интегралом типа Коши (средним квадратическим интегралом типа Коши) от случайной функции называется интеграл вида

1 Г ш(т) ь где ср(т) - случайная функция, принадлежащая пространству функций Гёльдера в среднем квадратическом.

Кроме того, интеграл типа Коши обладает предельными значениями Ф+(10) и Ф~0:о), к которым он стремится при I ^ слева и справа от контура Ь £ Ь).

Определение 11. Оператором сингулярного интегрирования называется интеграл вида

1 Г Я(т)с1т

БЮСО = - I е и (13) llJ т — Ь ь где Я(т) - плотность оператора сингулярного интегрирования, принадлежащая пространству функций Гёльдера в среднем квадратическом.

Доказано следующее утверждение.

Теорема 4. Если Ь - замкнутый контур и Я(т) удовлетворяет на Ь условию Гёльдера в среднем квадратическом с показателем р, то предельные значения интеграла типа Коши Ф+(1:) и Ф"^) удовлетворяют этому условию с тем же показателем, если 0 < |1 < 1 и с показателем сколь угодно мало отличающимся от ц, если ц = 1.

Теорема 4 является центральной в представленных исследованиях и дает возможность доказать ряд важных свойств оператора сингулярного интегрирования, которые сформулированы в виде теорем. Так, справедливы следующие теоремы.

Теорема 5. Оператор Б = Ба — а5 непрерывен на пространстве функций Гёльдера в среднем квадратическом.

Теорема 6. Пусть Ь - гладкий контур (замкнутый или незамкнутый) и ф(т) - случайная функция точек контура, удовлетворяющая условию Гёльдера. Тогда средний квадратический интеграл типа Коши от случайной функции (12) имеет предельные значения Ф^О:), Ф~00 во всех точках контура Ь, не совпадающих с его концами, при приближении к контуру слева и справа по любому пути и эти предельные значения выражаются по формулам Сохоцкого-Племеля:

1 1 Г ф(т) 1 1 Г ф(т) ь ь

Доказанные утверждения (теоремы 4-6) позволяют исследовать основные задачи для аналитических функций (краевую задачу Римана, краевую задачу Гильберта, краевую задачу тйпа Карлемана) на линейном пространстве функций, удовлетворяющих условию Гёльдера в среднем квадратическом. -

Задача Римана. Требуется найти случайные функции Ф+(г) и Ф~(г), дифференцируемые в среднем квадратическом соответственно в областях и.Ь~, по краевому условию на Ь: ф+о0 = са)ф-(0 + 8(0, (15)

16 где С(£) и g(t) - заданные функции, именуемые коэффициентами задачи, причем С(Х) - детерминированная функция, а g(t) - случайная функция, удовлетворяющая условию Гёльдера в среднем квадратическом.

Получен следующий результат.

Теорема 7. Пусть % = ШсЮф > 0. Тогда искомое решение краевой задачи Римана (15)

Ф*^) = Х±(г)Ф±(г) + Х±(2)Рх1(г).

Здесь Х+(г),Х~(г) - канонические функции задачи Римана (15), случайная функция^(г) = -—7 Г. ; Ру1(г) - многочлен степени не выше х1 с

2я1 ь Х^Ст) т—ъ л произвольными комплексными коэффициентами с0, с15 ., сх1} являющиеся случайными величинами. Если % < 0, то задача Римана неразрешима.

Задача Гильберта. Пусть Ь - простой гладкий замкнутый контур. Даны функции дуги б контура а(з),Ь(5), удовлетворяющие условию Гёльдера; сф принадлежит пространству случайных функций, удовлетворяющих условию Гёльдера в среднем квадратическом. Требуется найти случайную аналитическую в области Б+ и непрерывную в среднем квадратическом на контуре Ь функцию Р^) = и(х,у) + 1у(х,у), предельные значения действительной и мнимой части которой удовлетворяют линейному соотношению афиСв) + Ь(5)у(б) = с (б), где и (б) = и[х(Х),у(5)] - функция, полученная заменой координат функциями-дуги Б.

Сформулируем полученный результат.

Теорема 8. Если индекс комплексной функции а (б) + Ш(з) % > 0, то однородная краевая задача Гильберта и неоднородная - безусловно разрешимы. Однородная задача имеет 2% + 1 линейно независимых решений, линейная комбинация которых входит слагаемым в общее решение. Если % < 0, то задача Гильберта неразрешима.

Задача типа Карлемана. Найти случайную аналитическую функцию Ф+(Х) в области ограниченной простой замкнутой кривой Ляпунова Ь, удовлетворяющую условию Гёльдера в и Ь, по краевому условию на Ь: .

Ф+ Ш] = ССОФЧО + ё(д, (16) где - прямой сдвиг, для которого выполняется условие Карлемана а[аО:)] = ^ — детерминированная функция, g(t) принадлежит пространству функций Гёльдера в среднем квадратическом вместе со своими производными.

Сформулируем полученный результат. у

Теорема 9. При X= ^ (аг§Ст(1)}ь > 0 краевая задача типа задачи Карлемана (16) безусловно разрешима и ее решение, представимое формулой

Ф+(2) = содержит % + 1 произвольных случайных величин. При % < 0 однородная задача типа Карлемана неразрешима.

Основные результаты работы содержатся в третьей главе. В данной главе решаются основные краевые задачи для бианалитических функций на пространстве .случайных функций. "Основное отличие этих задач от классических заключается в том, что согласно с результатом второй главы расширение пространства функций приводит к тому, что при отрицательных значениях индекса краевые задачи исследовать нельзя. Однако если ставить целью построение математической модели напряженного состояния упругого

7=0 Ь тела на пространстве случайных функций Гёльдера, сходящихся в среднем квадратическом, то такие «потери» вполне допустимы.

Рассмотрим три основные задачи теории би аналитических функций;

1. Задача Римана для бианалитических функций

Требуется найти все кусочно бианалитические случайные функции: Ф+(г) = фЗ"(г) + гф*^) в области и Ф~(г) — Фо(г) + гф^(г) в области Б", исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на Ь следующим условиям: где - детерминированные функции, ёкОО " принадлежат пространству функций Гёльдера в среднем квадратическом вместе со своими производными (к = 1,2).

Сформулируем полученные результаты:

Теорема 10. Задача Римана для бианалитических функций равносильна системе сингулярных интегральных уравнений с индексом Хз. + Хг

Теорема 11. Задача Римана для бианалитических функций равносильна системе из двух задач Римана для аналитических.функций.

Теорема 12. Задача Римана для бианалитических функций устойчива относительно изменений краевых свободных членов (О (к = Г, 2).

Замечание. Под устойчивостью, будем понимать то, что для невозмущённого внешнего воздействия математическое ожидание основных характеристик напряженного состояния изменяется бесконечно мало при бесконечно малом изменении внешнего воздействия.

2. Задача Гильберта для бианалитических функций

Пусть Ь - простой замкнутый контур и на нем даны функции комплексного переменного I = хф + ¡у(з); ак(Х), Ьк(Х); удовлетворяющие условию Гёльдера, с^) принадлежит пространству функций Гёльдера в среднем квадратическом вместе со своей производной. Кроме того, на Ь выполняются равенства: акОО]2 + [ЬкОО]2 = 1, к =1,2.

Требуется найти дифференцируемую в среднем квадратическом в области и непрерывную в среднем квадратическом на контуре Ь случайную бианалитическую функцию Р(г) = и(х, у) + гу(х,у), предельные значения действительной и мнимой части которой удовлетворяют на контуре Ь соотношениям:

Зи ду 9и 9у а1 Ш + Ь11ю дк = С1 а*® д^ + Ъ2(-€)д^ = °2^ (18)

Сформулируем полученные результаты:

Теорема 13. Задача Гильберта для бианалитических функций равносильна системе сингулярных интегральных уравнений с индексом

Х1+Х2

Теорема 14. Задача Гильберта для бианалитических функций равносильна системе из двух задач Гильберта для аналитических функций.

Теорема 15. Задача Гильберта для бианалитических функций устойчива относительно изменений краевых свободных членов с^О:) (к =1,2).

3. Задачи типа Карлемана для бианалитических функций

Пусть даны область и простой замкнутый контур Ь, ограничивающий данную область. Требуется определить неизвестную

20 дифференцируемую в среднем квадратическом в области случайную' бианалитическую функцию Р+(г) = фд (г) + гф^ (г) по краевым условиям на Ь: й- = ^-¡г**1®' ду = + (19) где - прямой сдвиг Карлемана: а[а(Х)] = ^ Ск(0 - заданные на Ь детерминированные функции, gk(t) принадлежат пространству функций Гёльдера в среднем квадратическом вместе со своими производными (к =1,2).

Сформулируем полученные результаты:

Теорема 16. При соблюдении условий Ск[схО:)]СкО:) Ф 1 (к =1,2) краевая задача типа Карлемана для случайных бианалитических функций равносильна системе из двух задач об аналитическом продолжении. Решение задачи типа Карлемана для случайных бианалитических функций при соблюдении условий

СкК1:)]Ск0:) = 1, Як[а(0] + 8кООСкК1:)] = 0, (к = 1,2) сводится к последовательному решению обобщенной задачи типа Карлемана относительно случайной аналитической функции Ф^(г) и обычной задачи типа Карлемана относительно случайной аналитической функции ф^'(г).

Теорема 17. Задача типа Карлемана для бианалитических функций устойчива5 относительно изменения краевых свободных членов (к = 1,2).

Обобщая результаты исследований, можно сказать, что при расширении пространства функций' Гёльдера на пространство случайных функций свойства краевых задач для бианалитических функций при положительных индексах сохраняются. Проведение общего исследования при отрицательных индексах невозможно.

В работе исследуется случай, когда в условиях краевой задачи для бианалитических функций полагается случайная форма области, занятой упругим телом.

Рассматриваются задача Римана и задача Гильберта для бианалитических функций. В данном случае удается исследовать только задачи по скачку, что достаточно для дальнейшего использования краевых задач при определении напряженного состояния тела.

При решении задачи Гильберта используется метод конформного отображения (рис.1):

Получен следующий результат:

Теорема 18. Задача Гильберта для бианалитических функций на случайном контуре равносильна двум краевым задачам Римана для бианалитических функций на единичной окружности.

При решении задачи Римана используется тот же метод конформного отображения (рис.2): т)

Рис.1 г

Рис.2 22

Получен следующий результат:

Теорема 19. Задача Римана для бианалитических функций на случайном контуре Ь равносильна двум краевым задачам Газемана для бианалитических функций со случайным сдвигом на единичной окружности.

Обе задачи в предложенной постановке являются неустойчивыми.

В четвертой главе работы рассматривается решение первой основной задачи теории упругости для бесконечной плоскости с эллиптическим отверстием. В качестве примера приводится решение задачи Колосова в случае, когда нагрузка представляет собой случайную функцию (рис.3).

Основное внимание уделяется расчету математических ожиданий характеристик упругого состояния однородной пластины, ослабленной отверстием. Заметим, что благодаря полученным результатам удалось оценить погрешность-окончательных расчетов по данным первоначальных допусков.

У, х

Рис.3

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты, полученные в работе, представляют собой решение актуальной научной задачи построения общего алгоритма решения краевых задач для бианалитических функций и их обобщений на пространстве случайных функций, сходящихся в среднем квадратическом, и могут применяться для построения математических моделей напряженного состояния тела с учетом случайного характера нагрузок и формы контура.

В процессе работы лично автором получены следующие научные и практические результаты:

• Расширено пространство функций Гёльдера на пространство случайных функций Гёльдера, сходящихся в среднем квадратическом (Н*(Ь));

• Доказаны свойства оператора сингулярного интегрирования на пространстве Нц(Ь);

• Исследованы краевые задачи для бианалитических функций (задачи Римана, Гильберта и задача типа Карлемана) на пространстве Н*(Ь);

• Предложена математическая модель, основанная на краевых задачах для бианалитических функций, для решения основных задач теории упругости однородного тела в случае, когда нагрузки и форма контура носят случайный характер.

1. Алещенко Л.Н., Соколов И.А. Краевые задачи типа Римана с дополнительными условиями для полианалитических функций // Известия АН БССР. Серия физ.-мат.наук. - 1974. - №1. - С.37 - 41.

2. Балк М.Б. Полианалитические функции и их обобщения // Итоги науки и техники ВИНИТИ Том 85. 1991. - С. 187 - 246.

3. Балк М.Б., Зуев М.Ф. О полианалитических функциях // УМН. Том 25. Выпуск 5.- 1971. С.203-226.

4. Борисов A.A. Механика горных пород и массивов. М.: Недра, 1980. - 360 с.

5. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции.- М.: Наука, 1988. 509 с.

6. Векуа И.Н. Об изгибе пластинки со свободным краем. Сообщения АН ГССР. Том 3 1942. -№ 7. - С. 641-648.

7. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений М.: Наука, 1970.-379 с.

8. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, Физматлит, 1996.- 400 с.

9. Вентцель Е.С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. -М.: Издательский центр «Академия», 2003. -432 с.

10. Ганин М.П. Краевые задачи теории полигармонических функций // Ученые записки Казанского университета. Том 11. Книга 10. 1950. - С.9 - 13.

11. Ганин М.П. Краевые задачи для полианалитических функций // Доклад АН

12. СССР. Том 75. 1951. - № 6. - С.921-924.

13. Ганин М.П. Краевые задачи для полианалитических функций // Доклад АН СССР. Том 80. 1951. - №3. С.313-316.

14. Гахов Ф.Д. Краевые задачи М: Наука, 1977. - 640 с.

15. Гихман И.И., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов. — М.: Наука, 1976. 567 с.

16. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. — М.: Наука, 1966. — 232 с.

17. Ивлев Д.Д. Пластичности теория (математическая). Физическая энциклопедия. Том 3. — М.: Большая российская энциклопедия, 1992. С. 628-631.

18. Ишлинский А.Ю. Прикладные задачи механики, Тома 1, 2. М.: Наука, 1986.

19. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых* тел. М.: Высшая школа, 2001. - 548 с.

20. Кибзун А.И., Горяинова Е.Р., Наумов A.B. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 232 с.

21. Колосов Г.В. Применение комплексной переменной к плоской задаче теории упругости. МГГТТИЛ, 1939. - 224 с.

22. Костров Б.В., Никитин Л.В., Флитлан Л.М. Механика хрупкого разрушения. Известия АН СССР. 1969. - № 3. - С. 112-125.

23. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1975. 301 с.

24. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексногопеременного М: Наука, 1973 . - 736 с.

25. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория упругости: 4-е изд. М.: Наука, 1987. -246 с.

26. Лехницкий Г.С. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. -446 с.

27. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные уравнения со сдвигом.- М.: Наука, 1977. 448 с.

28. Манджавидзе Г.Ф. Об одном сингулярном интегральном уравнении с разрывными коэффициентами и его применении в теории упругости. Прикладная математика и механика. Том XV. Выпуск 3. 1951. - С. 279-296.

29. Манджавидзе Г.Ф. О приближенном решении граничных задач теории функций комплексного переменного. Сообщения АН ГССР. Том XI. 1950. -№6 -С. 351-356.

30. Манджавидзе Г.Ф. Сингулярные интегральные уравнения как аппарат решения . смешанных задач плоской, теории упругости. Труды Международного симпозиума в Тбилиси. Том 1. 1965. - С. 237-247.

31. Манджавидзе Г.Ф., Хведелидзе Б.В. О задаче Римана Привалова с непрерывными коэффициентами //ДАН СССР 123. - 1958: - №5 - С. 791-794.

32. Мануйлов Н.Ф. Квазинормальные семейства бианалитических функций и некоторые их приложения // Полианалитические и регулярные кватернионные функции. Смоленск. 1973. — С. 22-27.

33. Мануйлов Н.Ф. О приводимости в кольце целых псевдополиномов// полианалитические и регулярные кватернионные- функции. Смоленск. — 1973.-С. 10-18. "

34. Михлин С.Г. Об одной частной задаче теории упругости. ДАН СССР, 1940. - 276 с.

35. Михлин С.Г. Плоская деформация в анизотропной среде. Труды Сейсмологического институтата АН СССР. 1936. - № 76. - С. 1-19.

36. Михлин С.Г. Интегральные уравнения. Л, 1949. - 378 с.

37. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. - 707 с.

38. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.-511 с.

39. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1995. - 635 с.

40. Показеев В.И. Нерегулярные полианалитические функции // Известия вузов. Математика. 1975. - № 6. - С. 103-113.

41. Показеев В.В. Интегралы типа Коши для полианалитических функций. // Труды Семинара по краевым задачам. Выпуск 17. Казанский университет. - 1980.-С. 133-139.

42. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М.: Мир, 1979. — 493 с.

43. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. Л: 1950. — 336 с.

44. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Теория стохастических систем. М.: Логос, 2004.-1000 с.

45. Pao С.Р. Линейные статистические методы и их применения. М.: Наука, 1968.-548 с.

46. Расулов K.M. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения. Смоленск: Изд-во СГПУ, 1998. — 344 с.

47. Расулов K.M. О решении некоторых краевых задачи* типа Римана для полианалитических функций // Доклад АН СССРТ.- 1980.- № 5. С. 10591063.

48. Расулов K.M. О краевых задачах для полианалитических функций // 5-я конференция по комплексному анализу. Тезисный доклад. 1988,- С.70.

49. Расулов K.M. Об основных краевых задачах типа задачи Гильберта длябианалитических функций // Некоторые вопросы теории полианалитических функций и их- обобщений; Смоленск. - 1991. - С. 56-64.

50. Рева T.JI. Задача сопряжения- для- бианалитических функций ее связь с упруго пластической} задачей// Прикладная механика. Том 8: Выпуск 10. -Киев. 1972. С. 65-70.

51. Рогожин B.C. Некоторые краевые задачи для полигармонического уравнения// Ученые записки Казанского университета; Том5110. Книга 3. 1950. - С.71-93.

52. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий: — Киев: «Наукова думка», 1975. 887 с. "

53. Седов-Л.И. Механика сплошнойсреды. Том 1. М.: Наука, 1970.— 492 с.

54. Соболев JI.С. Об одной краевой задаче для полигармонических уравнений // Мат. сб. Том 2. 1937. - №3. - С.465-499.

55. Соколов И.А. О краевой задаче типа Римана для полианалитических функций на окружности //Известия АН БССР. Серия физ.- мат. наук. 1969.- №5. С.64-71.

56. Соколов И.А. О краевой задаче типа Римана5 для бианалитических функций в случае произвольного контура //Известия АН СССР. Серия физ.- мат. наук.- 1969. № 6. - С.29-38.

57. Соколов И.А. Первая краевая задача типа Римана для полианалитических функций в случае произвольного контура. // Вестник Белорусского университета. Серия 1. 1970. - №2. - С.20-23.

58. Сорокин A.C. Видоизмененная задача Шварца для полианалитических функций // Исследования по комплексному анализу. Красноярск. - 1989. -№20. - С. 643-644.

59. Фильчаков П.Ф. Приближенные методы конформных отображений. — Киев: «Наукова думка», 1972. — 530 с.

60. Хведелидзе-Б.В. О задаче-Римана в теории аналитических функций-и о сингулярных уравнениях с ядром типа Коши: Сообщения АН FCCP. Том LXXVI. 1951. - № 2. - С. 177-1801

61. Хведелидзе Б.В. Граничная задача Римана-Привалова с кусочно-непрерывным коэффициентом. Труды грузинского политехнического института. 1962. -№ 1. - С. 11-29.

62. Черепанов Г.П. Решение одной линейной краевой задачи Римана для двух функций и ее приложение к некоторым смешанным задачам плоской теории упругости. Прикладная математика и механика. Том 26. 1962. - № 5. - С. 902-912.

63. Черепанов Г.П., Ершов JI.B. Механика разрушения. М.: Машиностроение, 1977.-224 с. -

64. Чибрикова Л.И. Основные граничные задачи для аналитических функций. — . Казань.: изд-во казанского университета, 1977. — 302 с.

65. Шерман Д.И. Об одном методе решения статической задачи о напряжениях для плоских многосвязных областей. Доклад АН СССР. Том 1. 1934. - № 7.- С. 376-378.

66. Шерман Д.И. К решению второй задачи теории упругости для плоских многосвязных областей. Доклад АН СССР. Том IV. 1935. - № 3. - С. 119122.

67. Шерман Д.И. Определение напряжений в полуплоскости с эллиптическим вырезом. Труды сейсмологического института АН СССР. 1935. - № 53. — С. 94.

68. Шерман Д.И. Статическая плоская задача теории упругости для изотропных неоднородных сред. Труды сейсмологического института АН СССР. — 1938. -№86.-С. 1-50.

69. Шерман Д.И. Плоская задача теории упругости для анизотропной среды. Труды сейсмологического института АН СССР. — 1938. № 88. - С.35-41.

70. Шерман Д.И. Смешанная задача статической теории упругости для плоских многосвязных областей. Доклад АН СССР. Том XXVHI. 1940. - № 1. - С. 29-32.

71. Редкозубое С.А. Юденков A.B. Задача типа Карлемана для бианалитических функций в теории изгиба тонкой пластинки // Сборник трудов института теоретической механики РАН и МГГУ, посвященной 70-летию Л.В.Ершова. Москва. - 2001. - С. 270-277.

72. Юденков A.B. Краевые задачи со сдвигом для полианалитических функций и их приложения к вопросам статической теории упругости. Смоленск. «Смядынь», 2002 г. 268 с.

73. Юденков A.B., Володченков A.M. Устойчивость векторной краевой задачисо сдвигом, моделирующей основные задачи теории упругости анизотропного тела. //«Обозрение прикладной и промышленной математики». Выпуск 5-6. —2007. G.581-583.

74. Юденков A.B., Володченков A.M. Моделирование основных задач плоской теории упругости однородных анизотропных тел краевыми задачами со сдвигом. //«Обозрение прикладной и промышленной математики». Выпуск 3. 2006. - С.482-483.

75. Юденков A.B., Римская Л.П., Юденкова А.П. Краевые задачи и- системы сингулярных интегральных уравнений на основе математической модели процесса линейной деформации изотропного тела. Смоленск. - 2005 . — 108 с.

76. Юденков A.B. Задача типа Карлемана для полианалитических функций в теории упругости // Тезисный доклад Воронежской зимней математической школы. Воронеж. - 1999. - С. 183.

77. BalkM.B. Polyanalitic functions. Berlin: Akademie Verlag, 1991. - 192 p.

78. Bose S.C., Torsion of an aeolotropic cylinder having a spheroidal inclusion on its axis. AIAA Journal 3. 1965.- № 7. - P. 1352-1354.

79. Bosch W. Meta-analitic functions of equal modulus // Publications de l'lnstitut mathematique. Nouvelle serie. — 1973. — P. 27-31.

80. Burgatti P. Sulla, funzioni analitiche d'orrdinill Boll. Union math ital: 1922. - № 1.-P. 8-12.

81. Canak M. Randwertaufgabe von Riemanntypes fur die p-polvanalutischen Functionen auf der spiralförmigen, Kontur // Матем: весник (Yugoslawien): — 1988.-№ 3-4.-P: 197-203:

82. Heersink R. Uber Losunger der Bauer-Peschl-Gleichung und polyanalitische Funktionen // Ber. Math. statist. Sekt: Forschungsges; Johanneum. — 1986. - № 28.-p.l-9.

83. Damianovic B. The houndary value problem for polyanalytic function in multiply-connected; region // Матем. вестник (Yugoslävia). 1986. —№ 38. — P. 411 -415.

84. Damianovic В. A special case of the homogeneons contour problem for Pölvanalytie Functions in miiltiply-conneeted regions // 5 Conf. Math. Liulljayf, Sept.- 1986.-P. 41-46.

85. Damianovic B. Boundary Value Problem for polyanalytic functions and integral equations. Международная' конференция. «Краевые задачи, специальныефункции и дробное исчисление». Минск. - 1996. - С.54-63.

86. Krajkiewicz P. Bianalytic functions with exceptional values //Proc. Amer. Math. Soc. 1973. -№ 1. - P. 75-79.

87. Pascali D. Basie representations of polyanalytic functions // Libertas Mthematica. 1989.-P.9.

88. Изотова O.A. Математические модели основных задач теории упругости в стохастической постановке. //Конкурс молодых ученых: сборник материалов. Смоленск: Изд-во «Смоленская городская типография», 2009. С.116-119.

89. Изотова O.A. Математические модели задач теории упругости для анизотропного тела на класс случайных функций / A.B. Юденков, А.Э. Адигамов, O.A. Изотова, A.M. Володченков // Горный информационно-аналитический бюллетень. 2010. - №1 — С.76-82.