автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование напряженного статического состояния анизотропного упругого тела на основе векторных краевых задач со сдвигом для аналитических функций

На правах рукописи

и0306372 1

Володченков Александр Михайлович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СТАТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ АНИЗОТРОПНОГО УПРУГОГО ТЕЛА НА ОСНОВЕ ВЕКТОРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ СО СДВИГОМ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Специальность 05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2007

003069721

Работа выполнена в Федеральном государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Смоленская государственная сельскохозяйственная академия»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент

Алексей Витальевич Юденков

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Дюис Данилович Ивлев

кандидат физико-математических наук, доцент Валерий Васильевич Романков

Ведущая организация:

Институт проблем управления РАН им. академика В.А.Трапезникова

Защита состоится 0£> 2007 года в 45" часов на заседании

Диссертационного совета Д 212 128 02 при Московском государственном горном университете по адресу 119991, ГСП-1, Москва, Ленинский проспект, д 6, МГГУ

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного горного университета

Автореферат разослан «20 » О^

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212 128 кандидат технических наук, доцент

2007 г

Адигамов А Э

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы В последнее время развитие космической и авиационной техники предъявляет повышенные требования к прочности материалов В связи с этим в используемых изделиях специально "усиливаются" направления, подвергающиеся максимальным нагрузкам Наибольший технологический и экономический эффект достигается при использовании материалов с явно выраженными анизотропными свойствами К анизотропным материалам относятся легированные стали, большинство магнитопластов, используемых в промышленности, современные композитные материалы и т д

Традиционно считается, что основные задачи анизотропной теории упругости являются одними из наиболее сложных в теории упругости сплошных сред Более того, классические методы теории упругости в условиях анизотропии пригодны для решения простейших задач упругого равновесия и не дают единого подхода к исследованию основных задач анизотропной теории упругости Поэтому в 30-е годы XX века встал вопрос о широком использовании методов математического моделирования при решении основных задач теории упругости для анизотропного тела

Использование математических моделей позволяет не только решать более широкий класс задач теории упругости анизотропного тела, но и автоматизировать большинство расчетов

Известно, что использование математических моделей в теории упругости изотропного тела оказалось весьма плодотворным В случае анизотропных тел ситуация усложняется

К настоящему времени известны два подхода к составлению математической модели упругого состояния анизотропного тела

Первый развит математической школой, долгое время возглавляемой академиком Н И Мусхелишвили В основе математической модели лежат многоэлементные краевые задачи со сдвигом При подобном подходе, во-

первых, процесс построения математической модели практически повторяет результаты, полученные при исследовании упругого состояния изотропного тела, во-вторых, привлекается хорошо развитый аппарат теории краевых задач со сдвигом Однако данная математическая модель подходит лишь для частного вида анизотропии, к тому же большинство результатов по многоэлементным краевым задачам носит качественный характер и не дает эффективных методов решения

Другой подход был предложен в работах Г С Лехницкого, Г Н Савина, С Г Михлина В этом случае математическая модель строится с использованием векторных краевых задач для аналитических функций Данная математическая модель позволяет рассматривать основные задачи теории упругости для тел с анизотропией самого общего вида, однако используется только для ограниченного вида областей Для областей произвольной формы искомые функции, если их рассматривать в одной точке, не учитывая сдвиг, не являются аналитическими

Если взять за основу вторую математическую модель и ввести в ней понятие функции сдвига, то это не только расширит класс искомых функций, но и позволит решать более широкий класс задач теории упругости анизотропного тела как по виду анизотропии, так и по форме области, ограничивающей упругое тело

Таким образом построение эффективной математической модели основных задач теории упругости на основе краевых задач со сдвигом, исследование ее устойчивости и разрешимости, а также разработка алгоритмов численного решения является актуальной научной задачей

Целью работы является построение эффективной математической модели напряженного статического состояния анизотропного упругого тела на основе векторных краевых задач со сдвигом для аналитических функций Указанная цель предполагает решение следующих основных задач 1 Постановка и решение векторных краевых задач со сдвигом, моделирующих основные задачи теории упругости анизотропного тела

2 Исследование разрешимости и устойчивости поставленных задач

3 Выявление случаев, допускающих решение поставленных задач в замкнутой форме

4 Создание алгоритма для построения функции сдвига в виде полинома

Основная идея заключается в расширении области применения математической модели напряженного состояния упругого тела, построенной на основе векторных краевых задач для аналитических функций, введением в модель функции сдвига, а также использование краевых задач Гильберта и Римана, уравнений Фредгольма и конформных отображений для исследования математической модели

Методы исследований. Для решения поставленных задач в работе использовались методы теории функции комплексного переменного, математической теории упругости, теории интегральных уравнений, математического моделирования

Основные научные положения, выносимые на защиту:

1 Построение математической модели основных краевых задач теории упругости анизотропного тела на основе векторных краевых задач со сдвигом для аналитических функций

2 Исследование разрешимости полученной математической модели

3 Исследование устойчивости математической модели в зависимости от вида нагрузки и от формы тела

4 Исследование функции сдвига и разработка алюритма аппроксимации функции сдвига полиномами Лагранжа

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций подтверждаются

• корректным использованием математического аппарата, доказательством всех основных положений,

• сопоставимостью полученных результатов с данными экспериментальных исследований,

• сопоставимостью с результатами исследований, проведенных другими учеными

Новизна работы заключается в следующем

• впервые было проведено полное исследование математической модели напряженного состояния анизотропного тела на основе векторных краевых задач со сдвигом для аналитических функций, изучены вопросы устойчивости и разрешимости данной модели в зависимости от вида нагрузки и формы тела,

• применен новый подход для исследования функций сдвига, основанный на теории конформных отображений, получен алгоритм для аппроксимации функции сдвига полиномами Лагранжа,

• в результате получен алгоритм решения краевых задач со сдвигом для анизотропного тела, применимый для анизотропии общего вида и тел сложной конфигурации

Научное и практическое значение работы состоит

• в построении математической модели основных задач теории упругости для анизотропного тела с использованием векторных краевых задач со сдвигом и ее исследовании,

• исследование функции сдвига с использованием конформных отображений,

• разработка математического и алгоритмического обеспечения полученной математической модели,

• результаты исследований позволяют разрабатывать эффективные численные методы для решения задач анизотропной теории упругости в области линейных деформаций в самых разнообразных постановках на основе обшей математической модели - векторной краевой задачи со сдвигом для аналитических функций,

• результаты работы используются для проведения специальных курсов на кафедрах прикладной математики и механизации ФГОУ ВПО «Смоленская ГСХА»

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (2006, Весенняя сессия - Кисловодск), XVII Международной научно-технической конференции «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании» (г Пенза), I Международной научно-технической конференции «Аналитические численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (г Пенза), неоднократно докладывались на кафедре информационных технологий и прикладной математики ФГОУ ВПО «Смоленская государственная сельскохозяйственная академия»

Публикации По результатам диссертации опубликовано 8 работ, список которых приведен в конце работы, из них 3 в журналах, рекомендованных ВАК РФ

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, 3 глав, заключения, содержит список литературы из 108 наименований, рисунки, таблицы

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Актуальность и цели работы формулируются во введении

В первой главе диссертации излагается современное состояние проблем математического моделирования процесса линейной деформации упругих тел, а также приводится необходимый математический аппарат, используемый в дальнейших исследованиях

Разработке и исследованию математических моделей основных задач теории упругости анизотропного тела с помощью краевых задач для аналитических функций посвящено значительное число работ отечественных и зарубежных ученых, среди которых можно отметить труды С Г Лехницкого, С Г Михлина, С А Редкозубова, Г Н Савина, А Г Угодчикова идр

Приведем постановку основных задач теории упругости анизотропного тела и рассмотрим соответствующие им математические модели

Известно, что напряженное состояние тела полностью можно охарактеризовать, зная составляющие напряжений, образующие тензор второго рода

(1)

Для характеристики деформации вводится следующий симметричный тензор 2-го ранга

V

а, т т

\ ч

т.. а. т..

\

/2У,

е>

<г*><

1/

1/

'2' е,

(2)

В дальнейшем будем рассматривать так называемую плоскую задачу, те параметры напряженного состояния с индексом г будем полагать равными нулю

В случае анизотропного тела основные уравнения плоской задачи описываются следующей системой

Эт.

да Эг

—+ —- + Х = 0, Эх ду

да,

- + —ь + у =

Эх ду

Е, =с,,сг

-с12стч + с13стг+с16тч

еу =с|2ач+с22а>

0 = с13ах + с23а, +с„ог+с36тч),

Г«

д2е

= с,йст. +с26сту + с36а, + с6(.тХ),

_=

Эх* ЭхЭу

(3)

¿У

Если объемные силы отсутствуют, то удобно составить математическую модель, используя функцию Эри 1)(х, у), являющуюся решением уравнения Э4и

^22 2а36

Э4" /о ч Э4и „

+ (2а,г +а66) . , -2а

" дх3ду

дк ду

Э4и Э4и Л

и,-г + ап—г = 0

ЭхЭу "Эу4

(4)

В случае неравных корней соответствующего характеристического уравнения общий интеграл уравнения (4) имеет вид и(х, у) = 2Ке [И,(2,) + Р2(г2)],

где

1 + ц, I — |Дк _ г, =х + р,у = -^г + —^г (к=1,2),

рк — корни соответствующего характеристического уравнения, которые называются обобщенными координатами

Непосредственное решение уравнения (4) сопряжено со значительными трудностями Поэтому для определения неизвестных компонент смещения и напряжения используются различные граничные условия Обычно их разделяют на три типа

Первая основная задача На всей поверхности задаются внешние усилия (Х„, У„,

Вторая основная задача На всей поверхности задаются проекции смещения на три несовпадающие направления

Смешанная задача На части поверхности задаются усилия, на другой части - смещения, или же задаются две компоненты усилий и одна напряжений и т д

В зависимости от цели исследования, формы тела, распределения усилий выбирают наиболее удобную систему условий Введем обозначения

Ф,(г,) = Р,'(21), <£>2(г2) = ¥2'(т2) В этом случае математическая модель первой основной задачи будет иметь вид

Ф,(г1) + Ф1(21) + Ф2(г2) + Ф2(г2) = Г,+с,,

где Г2 = }х„с15

о о

Вторая основная задача возникает на практике при описании напряженного тела в случае, когда фиксирована форма тела Например, расчет напряжения в анизотропной пластине возле абсолютно жесткого ядра Известно, что в случае, когда заданы смещения для плоской задачи, контурные условия для функций Ф|(г,) и Ф2(г2) имеют вид

где gk О) (к = 1,2)- заданные на контуре Ь функции смещения К настоящему времени традиционно смешанная задача теории упругости считается наиболее сложной из всех основных задач Существует несколько формулировок смешанной задачи В данном случае будем считать, что на часть контура, ограничивающего область занятую телом заданы напряжения, на оставшейся части смещения

Пусть тело занимает область О (конечную или бесконечную) ограниченную простым замкнутым контуром Ь Пусть на Ь взяты дуги г ) = 1, 2, , р не имеющие общих концов, положительные направления которых совпадают с положительным направлением контура Ь Обозначим совокупность дуг через V Совокупность оставшихся дуг обозначим через V

Пусть на V заданы внешние напряжения, а на Ь" - смещения Математическая модель смешанной задачи будет иметь вид

2 Ке[р,Ф,(г,)+ ЛФ2(72)] = 2 Яе[9,Ф, (:,) + <72Ф2 (г2)] = £2 (я),

(6)

2 Ке[Ф, ) + Ф2 (г2)] = (0, (еС 2 Яе[АФ, (-,) + //2Ф2 (г2)] = Л (0.

/ е

(7)

Здесь /А (О - заданные на Ь функции В частности

о

о

fl(<) = gг(sЪ />(') = при / е!

Как видно из систем уравнений (5) - (7) математические модели напряженного состояния для различных задач достаточно похожи Основная трудность в решении связана с наличием обобщенных координат 2Ь г2

В первой глазе диссертации содержится математический аппарат, который используется в дальнейших исследованиях Кратко приводится теория основных задач для аналитических функций (задача Римана и Гильберта), теория нетеровых операторов, уравнения Фредгольма, оператор сингулярного интегрирования, теория конформных отображений

Основные цели второй главы - это представление математической модели упругого состояния анизотропного тела в виде векторных краевых задач со сдвигом для аналитических функций, исследование математической модели на устойчивость и разрешимость, определение условий при которых векторные задачи допускают решение в замкнутой форме

В работе предлагается рассматривать обобщенные координаты ъи г2 в следующем виде

г + г

{

ч 2'

= \(1-' А) <"*) ~ = Л*(~), (к=1,2) (8)

Как видно из уравнения (8) обобщенные координаты г\< можно представить в виде бианалитических функций от одной комплексной переменной г

Функции Ф,(2|) и Ф2(г2) можно рассматривать как функции обычной комплексной переменной на различных областях О, и 02, находящихся в аффинных соответствиях, хк = х + аку, ук=рку, рк=ак+фк с исходной областью Э При отображении областей и Э2 на одну область у (например, окружность) уравнения (5) примут вид

ч',(а,(о)) + м'1(а1(ст))+ у2(а2(сг)) + у2(а2(а)) = ГДст),

-------(9)

ц,Ч/|(а1(а)) + ц1ч/1(а1(а)) + ц2»)/2(а2(ст)) + ц2ч'2(а2(ст)) = Г, (а),

где

Н/2(^) = Ф2(ш2(ед) (10)

0.1(0), а2{а) - функции сдвига

а, (сг) = (А, (со{а))),

(П)

сс2(сг) = й>, (/^(«(сг))), а>,(^), - функции, конформно отображающие единичный

круг на области О,, 02, О соответственно, - функция обратная а) ,

Основной результат по решению систем (5) - (7) сформулируем в виде теорем

Теорема 1. Системы (5) и (6) равносильны треугольным системам, состоящим из двух задач Гильберта

2т 1 сг0-£ /

^ 1 ЮШап))с1а0 (12)

2т1

где О, (ст) = ^ (а) - у 2 (а2(а)) - у 2 (а2 (ст)) <22(сг) - известная функция

Теорема 2. Система (7) равносильна треугольной системе, состоящей из двух задач Гильберта с разрывными коэффициентами

Теорема 3. Основные задачи анизотропной теории упругости решаются в замкнутом виде, если функции сдвига представляют собой полиномы

Для применения численных методов исследуется устойчивость и разрешимость математических моделей (5) - (7) Получен следующий результат

Теорема 4. Математическая модель первой основной задачи плоской теории упругости для анизотропного тела однозначно разрешима Из теоремы 4 можно получить важное следствие

Следствие 1. Если функции сдвига ак(ст)(к = 1,2) заменить на сходящиеся к ним полиномы, то решение систем (5) - (7) будет сходиться к истинному решению

В работе рассматриваются два вида устойчивости математических моделей на примере первой основной задачи теории упругости

1. Устойчивость математической модели при изменении параметров /¡(сг) и /2(с).

В ряде задач теории упругости приходится заменять функции напряжений (сг) и /2(сг) на более удобные функции (полиномы) Это имеет место в случае, когда на тело действуют сосредоточенные нагрузки Поэтому важно установить устойчивость предложенной модели относительно малых изменений параметров Л (с)(к = 1,2)

Согласно полученным результатам, выражения для определения функций и имеют вид (12) (константы в данном случае считаем

равными нулю, так как они не влияют на напряженное состояние тела)

Заменим функции /,(с) и /2(<т) на функции /, (сг) и //(сг) Будем полагать, что функции /к (сг) (к = 1,2) так же принадлежат пространству гельдеровых функций

В работе доказано следующее положение

Теорема 5. Математическая модель первой основной задачи плоской статической теории упругости для анизотропного тела, основанная на векторных краевых задачах со сдвигом, устойчива относительно изменения параметров /¡(<х) и /2(с), если функции /к(сг) (к = \,2) принадлежат пространству Гельдера

2. Устойчивость математической модели относительно изменения области занимаемой телом.

Будем считать, что две области бесконечно мало отличаются друг от друга, если функции, отображающие эти области на внутренность круга, принадлежат классу Гельдера и бесконечно мало отличаются друг от друга

13

Заменим область О на бесконечно близкую область В этом случае в краевых условиях (9) функции сдвига аг,(ег),аг2(сг) и «"(ег),а£ (<г) бесконечно близкие Решение первой основной задачи теории упругости для области Э имеет вид

2т / <г0

¿7Г7 , СГ() £ I

Решение первой основной задачи для области Эп

фг(£)=~/а(#■(*„» ^^

2л1 / сг„ - £ <х0

2л7/ сг(|-£ /

(13)

(14)

В работе показано, что, если (сг0) - Д" (сг(1 )| —> 0, то Таким образом справедливо утверждение

Теорема 6 Математическая модель первой основной задачи теории упругости для анизотропного тела устойчива относительно изменений области занятой телом, при условии, что ограничивающий область контур, принадчежнт классу кривых Ляпунова

Полученные утверждения дают возможность применения численных методов для решения систем (5) - (7)

В третьей части работы предлагаются алгоритмы для представления функции сдвига в виде полиномов

Общий вид алгоритма можно представить следующим образом

1 Строятся функции, осуществляющие взаимообратные конформные отображения областей О, О] и Э2 на единичный круг у

2 Находятся координаты аффинно-соответствующих точек контуров Ь, Ь) и Ь2 на единичной окружности Г

3 Строятся функции сдвига в виде полиномов Лагранжа

14

В данном алгоритме точность решения можно определить по точности, с которой функции сдвига отображают единичную окружность на себя

Для построения конформно отображающей функции используется полином Ла1ранжа, построенный на т узлах интерполяции М^ (см рис 1)

Сами узлы ищутся путем последовательного сноса основных и вспомогательных точек (см рис 2)

В конце работы приводится ряд численных экспериментов для проверки адекватности предложенных математических моделей и эффективности разработанных алгоритмов

Численные эксперименты разбиты на две части В первой части рассматриваются примеры, в которых можно получить точные решения В основном это случаи, когда тело представляет собой бесконечную плоскость с эллиптическими вырезами (см Рис 3 )

Подобные задачи возникают на практике при изучении процесса разрушения материала, т е образования в образце трещин эллиптической формы и возникновения очагов текучести

Также была решена задача о напряженном состоянии упругого полупространства под воздействием нормального и касательного напряжений (см Рис 4 )

У

Л-'

Рис 3

У1 0 / / / / " / / у

т 5

Рис 4

Вторая часть численных экспериментов была проведена для плоскостей с вырезами, отличными от эллиптического В частности рассматривались вырезы в виде треугольников и прямоугольников с закругленными краями (см рисунки 5, 6)

Рис 6

I I

I I

— Р

'11111*

Рис 7 17

Полученные результаты хорошо согласуются с опытными данными и полностью совпадают в частных случаях с результатами, полученными другими авторами

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе решена актуальная научная задача по построению и исследованию математической модели напряженного состояния анизотропного упругого тела с использованием векторных аналитических задач со сдвигом для аналитических функций

В том числе получены следующие результаты

• построена математическая модель процесса упругой деформации тела на основе векторных краевых задач со сдвигом,

• с помощью новой математической модели получено эффективное решение основных задач теории упругости анизотропного тела,

• рассмотрены условия при которых решение основных задач теории упругости анизотропного тела может быть получено в замкнутой форме,

• исследована разрешимость и устойчивость математических моделей основных задач теории упругости анизотропного тела,

• на основе полученных результатов разработано программное обеспечение математических моделей основных задач теории упругости

Список публикаций

1 Редкозубое С А , Юденков А В , Володченков А М Моделирование процесса линейной деформации упругого однородного тела с помощью бианалитических функций //Вестник Чувашского государственного педагогического университета им И Я Яковлева №1(48), г Чебоксары, -200бг -С 128-137

2 Володченков А М , Юденков А В Устойчивость векторной краевой задачи со сдвигом, моделирующей основные задачи теории упругости анизотропного тела //Труды седьмого Всероссийского симпозиума по прикладной и промышленной математике Ж «ОП и ПМ», М - 2007 -Т 13, вв 5-6 - С 581-583

3 Володченков А М, Юденков А В Моделирование основных задач плоской теории упругости однородных анизотропных тел краевыми задачами со сдвигом //Труды седьмого Всероссийского симпозиума по прикладной и промышленной математике Ж «ОП и ПМ», М - 2006 -Т 13, вып 3 - С 482-484

4 Володченков А М, Скородулина Е Ю, Юденков А В Системы сингулярных интегральных уравнений в плоской теории упругости в пространстве Ьр //Труды седьмого Всероссийского симпозиума по прикладной и промышленной математике Ж «ОП и ПМ», М - 2006 -Т 13, вып 3 - С 546-547

5 Володченков А М , Юденков А В Математическое моделирование основных задач термоупругости с помощью краевых задач для бианалитических функций //Сборник материалов XVII Международной научно-технической конференции «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании» Пенза, 2006 С 295 - 297

6 Володченков А М, Юденков А В О разрешимости и устойчивости математической модели основных задач теории упругости для анизотропных тел, построенной с использованием векторных краевых задач со сдвигом //Сборник материалов I Международной научно-технической конференции «Аналитические численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» Пенза, 2006 С 61 -64

7 Юденков А В , Володченков А М Классификация функций сдвига на основе их порождающих конформных отображений //Сборник

материалов Международной научно-практической конференции, посвященной 30-летию со дня основания ФГОУ ВПО «Смоленский сельскохозяйственный институт» Смоленск, 2004 Т 3, ч 2 С 203-205 8 Володченков А М Математическая модель напряженного статического состояния анизотропного упругого тела на основе векторных краевых задач со сдвигом для аналитических функций //Конкурс молодых ученых материалы конференции - Смоленск «Универсум», 2006 С 101-104

Подписано в печать 12 04 2007 г Печать офсетная Тираж 100 экз Заказ № 3650 Формат 60x84 1/16 1 п л

Отпечатано в ОАО «Смоленская городская типография» 214000 Смоленск, ул Жукова, 16

Введение.

Глава 1. Математический аппарат для исследования обобщенной математической деформации однородного тела.

§ 1. Основные виды анизотропных тел.

§2. Общие уравнения теории упругости и постановка основных задач.

§3. Краевая задача Римана.

§4. Задача Гильберта.

§5. Функция сдвига.

Глава 2. Моделирование процесса линейной деформации упругого однородного тела с помощью векторный краевых задач со сдвигом для аналитических функций.

§ 6. Математическая модель первой основной задачи для упругого анизотропного тела.

§ 7. Математическая модель второй основной задачи для анизотропного тела, основанная на краевой векторной задаче и ее исследование.

§ 8. Математическая модель смешанной задачи для анизотропного тела, основанная на краевой векторной задаче.

§ 9.0 разрешимости и устойчивости векторной модели со сдвигом основных задач теории упругости для анизотропных тел.

§ 10. Аппроксимация функции сдвига полиномами.

Глава 3. Решение основных задач теории упругости с помощью математической модели, основанной на векторных краевых задачах со сдвигом для аналитических функций.

§11. Основные задачи теории упругости в случаи отверстий эллиптических формы.

§ 12. Первая основная задача теории упругости для тел, обладающих общей анизотропией в случае упругой полуплоскости.

§ 13. Решение первой основной задачи теории упругости для анизотропного тела для области с отверстием, отличающимся от эллиптического.

Актуальность работы. Современные тенденции развития строительной, авиационной и космической техники ставят задачи автоматизации расчетов напряжений и деформаций по известным граничным условиям для систем сложной конфигурации. Важная роль при решении подобных задач принадлежит математическому моделированию.

Традиционно считается, что наиболее сложные задачи теории упругости возникают в том случае, когда исследуемый материал обладает анизотропными свойствами. Поясним возникающие сложности на сравнении задач для изотропного и анизотропного тел в статическом случае.

В работах Г.В.Колосова и Н.И.Мусхелишвили было показано, что математическая модель линейной деформации может быть представлена в виде краевых задач для бианалитических функций вида

F(z) = i|/(z) + z<p(z), где \j/(z) и ф(г) - аналитические в некоторой заданной области функции (аналитические компоненты), z = х - i у - неаналитические компоненты.

В данных краевых задачах неизвестные аналитические компоненты ищутся в одной точке контура.

В случае анизотропного тела, как показано в работах С.Г.Лехницкого, также может быть использована функция вида

U{x,y) = Re[Fx{zx) + F2{z2)}, по своим свойствам несколько схожая с бианалитической функцией. Однако в краевых условиях неизвестные аналитические функции ищутся в разных точках контура. Говорят, что функции Фх и Ф2 сдвинуты относительно друг друга. Подобного рода краевые задачи относятся к краевым задачам со сдвигом.

В последние годы появилось достаточно много оригинальных работ, в которых развивается теория краевых задач со сдвигом. Особенно следует отметить работы Н.П.Векуа, Газемана, Ф.Д.Гахова, Карлемана, Г.С.Литвинчука, С.Г.Михлина, Г.Н.Савина и др. В этих работах была разработана качественная теория задач со сдвигом. Однако, в данной теории имеется существенный недостаток. В постановке задачи полагается, что функция сдвига известна. На практике функция сдвига известна только для ограниченного числа областей. Кроме того большинство задач со сдвигом относится к неустойчивым задачам, что осложняет применение численных методов. Данные обстоятельства привели к тому, что на современном этапе теория краевых задач со сдвигом достаточно редко применяется для решения задач теории упругости.

Таким образом построение эффективной математической модели основных задач теории упругости на основе краевых задач со сдвигом, исследования ее устойчивости и разрешимости, а также разработка алгоритмов численного решения является актуальной научной задачей.

Целью работы является построение эффективной математической модели напряженного статического состояния анизотропного упругого тела на основе векторных краевых задач со сдвигом для аналитических функций.

Указанная цель предполагает решение следующих основных задач:

1. Постановка и решение векторных краевых задач со сдвигом, моделирующих основные задачи теории упругости анизотропного тела.

2. Исследование разрешимости и устойчивости поставленных задач.

3. Выявление случаев, допускающих решение поставленных задач в замкнутой форме.

4. Создание алгоритма для построения функции сдвига в виде полинома.

Основная идея работы состоит в использовании конформных отображений для построения функции сдвига, а также использование краевых задач Гильберта и Римана, уравнений Фредгольма для исследования математической модели.

Методы исследований. Для решения поставленных задач в работе использовались методы теории функции комплексного переменного, математической теории упругости, теории интегральных уравнений, методы математического моделирования.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

1. Сведение основных паевых задач теории упругости анизотропного тела к векторным краевым задачам со сдвигом для аналитических функций.

2. Исследование разрешимости полученной математической модели.

3. Исследование устойчивости математической модели в зависимости от вида нагрузки и от формы тела.

4. Исследование функции сдвига и разработка алгоритма аппроксимации функции сдвига полиномами Лагранжа.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций подтверждаются:

• корректным использованием математического аппарата, доказательством всех основных положений;

• сопоставимостью полученных результатов с данными экспериментальных исследований;

• сопоставимостью с результатами исследований, проведенных другими учеными.

Новизна работы заключается в следующем:

• впервые было проведено полное исследование математической модели напряженного состояния анизотропного тела на основе векторных краевых задач со сдвигом для аналитических функций, изучены вопросы устойчивости и разрешимости данной модели в зависимости от вида нагрузки и формы тела;

• применен новый подход для исследования функций сдвига, основанный на теории конформных отображений, получен алгоритм для аппроксимации функции сдвига полиномами Лагранжа;

• в результате работы получен алгоритм решения краевых задач со сдвигом для анизотропного тела, применимый для анизотропии общего вида и тел сложной конфигурации.

Научное и практическое значение работы состоит:

• в постановке математической модели основных задач теории упругости для анизотропного тела с использованием векторных краевых задач со сдвигом и ее исследовании;

• исследование функции сдвига с использованием конформных отображений;

• разработка математического и алгоритмического обеспечения поставленной математической модели;

• результаты исследований позволяют разрабатывать эффективные численные методы для решения задач анизотропной теории упругости в области линейных деформаций в самых разнообразных постановках на основе обшей математической модели - векторной краевой задачи со сдвигом для аналитических функций;

• результаты работы используются для проведения специальных курсов на кафедрах механизации и прикладной математики ФГОУ ВПО «Смоленская ГСХА».

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (2006, Весенняя сессия - Кисловодск), XVII Международной научно-технической конференции «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании» (г.Пенза), I Международной научно-технической конференции «Аналитические численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (г.Пенза), неоднократно докладывались на кафедре информационных технологий и прикладной математики ФГОУ ВПО «Смоленская государственная сельскохозяйственная академия».

Публикации. По материалам работы сделано 8 публикаций, список которых приведен в конце описания работы.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, 3 глав, заключения; содержит список литературы из 108 наименований, рисунков, таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Актуальность задачи, формулировка цели и основных задач работы содержится во введении.

В первой главе работы излагается современное состояние проблем математического моделирования процесса линейной деформации упругих тел, а также приводится необходимый математический аппарат, используемый в дальнейших исследованиях.

Разработке и исследованию математических моделей основных задач теории упругости анизотропного тела посвящено значительное число работ отечественных и зарубежных ученых, среди которых можно отметить труды С.Г.Лехницкого, С.Г.Михлина, С.А.Редкозубова, Г.Н.Савина, А.Г.Угодчикова и др.

Известно, что напряженное состояние тела полностью можно охарактеризовать, зная составляющие напряжений, образующие тензор второго рода. т ху ау

Txz V

Зная составляющие напряжений в точке на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через какую-либо точку тела, можно определить напряжение на любой площадке, проходящей через эту точку. Обозначая через Xn, Yn, Zn проекции напряжения, действующего на площадку, получим:

Xn = ах cos(n,x)+Txy соз(п,у)+1я cos(n,z),' Yn = тху cos(n,x)+ay cos(n,y)+Tyz cos(n,z), Zn = тш cos(n, x)+ти cos(n, y)+az cos(n, z).

Для характеристики деформации вводится следующий симметричный тензор 2-го ранга:

0.1)

У?

Угу у \/ у ^

21 ч /2Г)а

У2Чк

2hz где Ej (i = х, у, z) - относительное удлинение отрезка первоначально параллельного i, уу (i = х, у, z, j = х, у, z, i * j) - изменение угла между отрезками, первоначальные направления которых i и j.

В дальнейшем будем рассматривать так называемую плоскую задачу, т.е. параметры напряженного состояния с индексом z будем полагать равными нулю.

В случае анизотропного тела основные уравнения плоской задачи описываются следующей системой: ас. у—^+Y = 0, дх ду дх. ду х =С11СТх +С12(УУ +C13az + С16Тху> £у = С12°х +С22<*у + C23CTz + С26 V O = c130x+C23ay+C33o1+C36xv,

Уху = С16<*х +С26СТУ + C36CTz + СбЛу' д\ д\ д2у

X У ' ху

0.2) ду2 дх2 дкду Если объемные силы отсутствуют, то удобно составить математическую модель, используя функцию Эри U(x, у), являющуюся решением уравнения

В случае неравных корней соответствующего характеристического уравнения общий интеграл уравнения (0.3) имеет вид: цк - корни характеристического уравнения.

Непосредственное решение уравнения (0.3) сопряжено со значительными трудностями. Поэтому для определения неизвестных компонент смещения и напряжения используются различные граничные условия. Обычно их разделяют на три типа.

Первая основная задача. На всей поверхности задаются внешние усилия (Xn, Yn, Zn).

Вторая основная задача. На всей поверхности задаются проекции смещения на три несовпадающие направления.

Смешанная задача. На части поверхности задаются усилия, на другой части - смещения, или же задаются две компоненты усилий и одна напряжений и т.д.

В зависимости от цели исследования, формы тела, распределения усилий выбирают наиболее удобную систему условий.

Введем обозначения:

В этом случае математическая модель первой основной задачи будет иметь вид:

U(x,y) = 2Re[F1(z1) + F2(z2)], где zk = x + hJ =

2 + (к= 1,2), l(Zl) = F,'(Zi), <D2(z2) = F2'(Z2).

01(z1)+01(z1)+02(z2)+02(z2) = f1+c„ л»

0.4)

101(zJ)+^01(z1) + ^202(z2) + n202(z2) = f2+c s s где fi = ~ jYnds ? f2 = |Xnds. о о

Вторая основная задача возникает на практике при описании напряженного тела в случае, когда известна форма тела. Например, расчет напряжения в анизотропной пластине возле абсолютно жесткого ядра.

Известно, что в случае, когда заданы смещения для плоской задачи, контурные условия для функций Ф,^,) и Ф2(г2) имеют вид: где {к = 1, 2) - заданные на контуре L функции смещения. К настоящему времени традиционно смешанная задача теории упругости считается наиболее сложной из всех основных задач. Существует несколько формулировок смешанной задачи. В данном случае будем считать, что на часть контура, ограничивающего область занятую телом заданы напряжения, на оставшейся части смещения.

Пусть тело занимает область D (конечную или бесконечную) ограниченную простым замкнутым контуром L. Пусть на L взяты дуги ар}, j = 1, 2,., р не имеющие общих концов, положительные направления которых совпадают с положительным направлением контура L. Обозначим совокупность дуг через V. Совокупность оставшихся дуг обозначим т ч через L .

Пусть на L' заданы внешние напряжения, а на L" - смещения. Математическая модель смешанной задачи будет иметь вид:

2Re[A®i W + = 8i(s),

2 Re [^Ф, {zx )+д2Ф2 (z2)] = g2 (s),

0.5)

2Re[®, (Zj )+Ф2 (z2)] = /, (/);

0.6)

2Re[p1o1(21)+/>2o2(z2)] = i/!(0; t&L

2 (г1)+д2Ф2(г2)] = f2(t).

Здесь fk{t) - заданные на L функции. В частности s s = -\Ynds, m=\xnds при tеL' и о о flit) = g2(s), f2(t) = g2(s) при teL

Как видно из систем уравнений (0.4) - (0.6) математические модели напряженного состояния для различных задач достаточно похожи. Основная трудность в решении связана с наличием обобщенных координат zb z2.

Также в первой главе диссертации содержится математический аппарат, который используется в дальнейших исследованиях. Кратко приводится теория основных задач для аналитических функций (задача Римана и Гильберта), теория нётеровых операторов, в частности уравнения Фредгольма и оператор сингулярного интегрирования, теория конформных отображений.

Чтобы эффективно решать поставленные задачи (0.4) - (0.6) на наш взгляд необходимо ответить на следующие вопросы:

1. Можно ли представить математическую модель основных задач теории упругости в виде системы краевых задач для аналитических функций?

2. Можно ли перевести решение системы краевых задач на окружность?

3. Можно ли свести систему краевых задач к системе известных задач для аналитических функций?

4. В каком случае можно получить эффективное численное решение системы краевых задач?

На сформулированные выше вопросы отвечают утверждения доказанные во второй главе диссертации. В работе предлагается рассматривать обобщенные координаты ъ\, z2 в следующем виде z + z с -\ z-z 2 f At

2 г

Как видно из уравнения (0.7) обобщенные координаты zk можно представить в виде бианалитических функций от одной комплексной переменной z.

Функции Ф^г,) и Ф2(^2) можно рассматривать как функции обычной комплексной переменной на различных областях Di и D2, находящихся в аффинных соответствиях, хк=х+аку, ук = 0ку, /лк=ак+ i/3k с исходной областью D. При отображении областей Di и D2 на одну область у (например, окружность) уравнения (0.4) примут вид:

1(а1(а)) + ц/1(а1(ст)) + ц/2(а2(ст)) + \|/2(а2(а)) = f,(c),

-- --(0.8)

Vl (<*1 И) + И, Vl («1 (<*)) + W2 (а2 (<*)) + ^2 ¥2 (а2 (<*)) = f2 (о), где

V2(S) = <M<o2(S)), (0'9) ocj(ct), а2(ст) - функции сдвига. a2(o-) = ^ (Д2 (гу(<т))), г(£)>^('г) - функции, конформно отображающие единичный круг на области Di, D2, D соответственно, 0){{z) - функция обратная со,.

Основной результат по решению систем (0.4) - (0.6) сформулируем в виде теорем.

Теорема 1. Системы (0.4) и (0.5) равносильны треугольным системам, состоящим из двух задач Гильберта.

2л1/ <т0-£ /

0.11)

1 2Л7 J (Ун-Е где Qj (а) = f, (а) - \|/2 (а2 (а)) - у 2 (а2 (ст))

Q2(&) - известная функция.

Теорема 2. Система (0.6) равносильна треугольной системе, состоящей из двух задач Гильберта с разрывными коэффициентами.

Теорема 3. Основные задачи анизотропной теории упругости решаются в замкнутом виде, если функции сдвига представляют собой полиномы.

Для применения численных методов исследуется устойчивость и разрешимость математических моделей (0.4) - (0.6). Получены следующие результаты.

Теорема 4. Математическая модель первой основной задачи плоской теории упругости для анизотропного тела однозначно разрешима.

Из теоремы 4 можно получить важное следствие.

Следствие 1. Если функции сдвига ак{а){к-1,2) заменить на сходящиеся к ним полиномы, то решение систем (0.4) - (0.6) будет сходится к истинному решению.

В работе рассматриваются два вида устойчивости математических моделей на примере первой основной задачи теории упругости.

1. Устойчивость математической модели при изменении параметров 7IO) и /2(<т).

В ряде задач теории упругости приходится заменять функции напряжений /(<т) и /2(сг) на более удобные функции (полиномы). Это имеет место в случае, когда на тело действуют сосредоточенные нагрузки. Поэтому важно установить устойчивость предложенной модели относительно малых изменений параметров /к (о1) (к = 1,2).

Согласно полученным результатам, выражения для определения функций 1^2(£) и имеют вид (0.11) (константы в данном случае считаем равными нулю, так как они не влияют на напряженное состояние тела).

Заменим функции fie) и /2(сг) на функции /1*(<7) и flier). Будем полагать, что функции flier) (к = 1,2) так же принадлежат пространству гёльдеровых функций.

В работе доказано следующее положение:

Теорема 5. Математическая модель первой основной задачи плоской статической теории упругости для анизотропного тела, основанная на векторных краевых задачах со сдвигом, устойчива относительно изменения параметров f(cг) и /2(<т), если функции fk(сг) (к = 1,2) принадлежат пространству Гельдера.

2. Устойчивость математической модели относительно изменения области занимаемой телом.

Будем считать, что две области бесконечно мало отличаются друг от друга, если функции отображающие эти области на внутренность круга принадлежат классу Гельдера и бесконечно мало отличаются друг от друга.

Заменим область D на бесконечно близкую область Dn. В этом случае в краевых условиях (0.8) функции сдвига ах{сг\а2{а) и a"{a),al{a) бесконечно близкие. Решение первой основной задачи теории упругости для области D имеет вид:

2 т* <г0 <?о

2 м} сг0-£ / Решение первой основной задачи для области Dn:

0.12)

В работе показано, что, если |/?Д<70)~/^"(<T0)j 0, то

Фк({)-Ф№)\-+0(к = 1, 2).

Таким образом справедливо утверждение:

Теорема 6. Математическая модель первой основной задачи теории упругости для анизотропного тела устойчива относительно изменений области занятой телом, при условии, что контур, ограничивающий область принадлежит классу кривых Ляпунова.

Полученные утверждения дают возможность применения численных методов для решения систем (0.4) - (0.6). Насколько нам известно, впервые математически обосновано применение численных методов для построения функции сдвига в виде полинома.

В третьей части работы предлагаются алгоритмы для представления функции сдвига в виде полиномов.

Общий вид алгоритма можно представить следующим образом:

1. Строятся функции, осуществляющие взаимообратные конформные отображения областей D, Dj и D2 на единичный круг у.

2. Находятся координаты аффинно-соответствующих точек контуров L, Li и Li на единичной окружности Г.

3. Строятся функции сдвига в виде полиномов Лагранжа, а также функции.

В данном алгоритме точность решения можно определить по точности с которой функции сдвига отображают единичную окружность на себя.

Для построения конформно отображающей функции используется полином Лагранжа, построенный на m узлах интерполяции М-^ (см. рис. 1).

Рис. 1.

Сами узлы ищутся путем последовательного сноса основных и вспомогательных точек (см. рис. 2).

В конце работы приводится ряд численных экспериментов для проверки адекватности предложенных математических моделей и эффективности разработанных алгоритмов.

Численные эксперименты разбиты на две части. В первой части рассматриваются примеры в которых можно получить точные решения. В основном это случаи, когда тело представляет собой бесконечную плоскость с эллиптическими вырезами (см. рис. 3.).

Данные задачи возникают на практике при изучении процесса разрушения материала, т.е. образования в образце трещин эллиптической формы и возникновения очагов текучести.

В качестве образцов использовались материалы по своим прочностным характеристикам близкие к сосне и березе.

Также была решена задача о напряженном состоянии упругого полупространства под воздействием нормального и касательного напряжений (см. рис. 4.)

Рис. 3.

Рис. 4. 17

Вторая часть численных экспериментов была проведена для плоскостей с вырезами отличными от эллиптического. В частности рассматривались вырезы в виде треугольников и прямоугольников с закругленными краями (см. рисунки 5, 6).

JL

N11'

Рис.5.

1 f

- О

Г I? У

•р

11111'

Рис.6.

Полученные результаты хорошо согласуются с опытными данными и полностью совпадают в частных случаях с результатами, полученными другими авторами.

ВЫВОДЫ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ

В работе решена актуальная научная задача по построению и исследованию математической модели напряженного состояния анизотропного упругого тела с использованием векторных аналитических задач со сдвигом для аналитических функций.

В том числе получены следующие результаты:

• получено эффективное решение основных задач теории упругости анизотропного тела с использованием теории краевых задач со сдвигом;

• рассмотрены условия при которых решение основных задач теории упругости анизотропного тела может быть получено в замкнутой форме;

• исследована разрешимость и устойчивость математических моделей основных задач теории упругости анизотропного тела;

• на основе полученных результатов разработано программное обеспечение математических моделей основных задач теории упругости.

1. Айзенберг J1.A. Формулы Карлемана в комплексном анализе. Первые приложения. - Новосибирск: Наука, сиб. отд., 1990. - 246 с.

2. Алещенко JI.H., Соколов И.А. Краевые задачи типа Римана с дополнительными условиями для полианалитических функций // Изв. АН БССР. Сер. физ-мат.наук. -1974. №1. - С.37 - 41.

3. Балк М.Б. Полианалитические функции и их обобщения // Итоги науки и техники ВИНИТИ / Сер. Совр. Проб, матем. Фунд. напр.- т.85- М: ВИНИТИ. 1991.-С. 187-246.

4. Бахвалов И.В., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. Москва - Санкт-Петербург, Физматлит. 2000. - 622 с.

5. Бикчантаев И.А. Об одной краевой задаче для дифференциального уравнения эллиптического типа. // Тр. Семинара по краев, задачам. Казанск. ун. т. -1971.-Вып. 8.-С. 31-40.

6. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции .-М.: Наука, 1988. 509 с.

7. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений М.: Наука, 1970.-379 с.

8. Ганин М.П. Краевые задачи теории полигармонических функций // Учен.зап.Казанск. ун-та. 1950. - Т.111, кн.Ю. - С.9 -13.

9. Ганин М.П. Краевые задачи для полианалитических функций // Докл. АН СССР. -1951 . Т.75, № 6. - С.921-924.

10. Гахов Ф.Д. Краевые задачи М: Наука, 1977. - 640 с.

11. П.Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука. 1978. -292 с.

12. Гончаров Н.С. Краевая задача типа задачи Гильберта со сдвигом на внутреннем контуре для кусочно полианалитических функций. // Вест. Белорус.ун-та. Сер. 1. 1974. - № 3. - С. 23-26.

13. Зверович Э.И., Литвинчук Г.С. Односторонние краевые задачи теории аналитических функций // Изв. АН СССР, сер. мат. 1964. т. 26 №5. - с. 1003 -1036.

14. Ильюшин А.Л., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязко-упругости. М.: Наука. 1970. - 280 с.

15. Какичев В.А. Краевые задачи теории аналитических функций многих комплексных переменных // Научные труды юбилейного семинара по краевым задачам. Минск.: Изд-во: "Университетское". 1985. - С.47-57.

16. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. М: Наука, 1973.-303 с.

17. Каландия А.И., Манджавидзе Г.Ф. Методы теории аналитических функций в некоторых задачах теории упругости. В кн.: Тр. II съезда по теор. и прикл. мех. 1964. Изд-во АНСССР. М., 1964, с. 99-100.

18. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа, 2001. - 548 с.

19. Квеселава Д.А. Задача Римана-Гильберта для многосвязной области // Со-общ. АН ГССР. 1945. - Т.6., №8. - С.581-590.

20. Квеселава Д.А. Некоторые граничные задачи теории функций // Труды ма-тем. ин-та. АН Груз.ССР 16 (1948), С.39-80.

21. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах. М.: Из-во МАИ, 2000.-347 с.

22. Колосов Г.В. Применение комплексной переменной к плоской задаче теории упругости. ГТТИ. Л М., 1939. - 224 с.

23. Костров Б.В., Никитин Л.В., Флитлан Л.М. Механика хрупкого разрушения. Изв. Ан СССР МТТ. 1969, № 3. С. 112-125.

24. Краенов М.Л. Интегральные уравнения. М.: Наука. 1975. - 301 с.

25. Курош А.Г. Курс внешней алгебры. -М: Наука. 1971. 431 с.

26. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатскнй С.П. Некоторые задачи математической физики и анализа. М.: Наука. 1980. - 286 с.

27. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного М: Наука. 1973 . - 736 с.

28. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория упругости. 4-е изд. М.: Наука, 1987. -246 с.

29. Лехницкий Г.С. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. -446 с.

30. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные уравнения со сдвигом.- М.: Наука. 1977. 448 с.

31. Манджавидзе Г.Ф. Об одном сингулярном интегральном уравнении с разрывными коэффициентами и его применении в теории упругости. Прикл. матем. и мех., т. XV, вып. 3,1951, с. 279-296.

32. Манджавидзе Г.Ф. О приближенном решении граничных задач теории функций комплексного переменного. Сообщ. Ан ГССР, т. XI, №6, 1950, с. 351-356.

33. Манджавидзе Г.Ф. Сингулярные интегральные уравнения как аппарат решения смешанных задач плоской теории упругости. Приложения теор. функций в мех. сплошной среды (Тр. Международного симпозиума в Тбилиси), т. 1,1965, с. 237-247.

34. Манджавидзе Г.Ф., Хаеделидзе Б.В. О задаче Римана Привалова с непрерывными коэффициентами // ДАН СССР 123; 5(1958), 791-794.

35. Маркушевич А.И. Об одной граничной задаче теории аналитических функций. Уч. зап. МГУ, т. I, вып. 100,1946, с. 20-29.

36. Михлин С.Г. Об одной частной задаче теории упругости. ДАН СССР, 1940, 27. 6.

37. Михлин С.Г. Плоская деформация в анизотропной среде. Тр. Сейсмологического ин-та АН СССР, № 76,1936, с. 1-19.

38. Михлин С.Г. Интегральные уравнения. М. Л., 1949. - 378 с.

39. Мосаковская С. Функция напряжений для упругих тел, обладающих поверхностной ортотропией. Бюллетень Польской АН, (отд. 4) 3, № 1,1955, с. 3-6.

40. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука. 1966. - 707 с.

41. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.-511 с.

42. Натансон В .Я. О напряжениях в растягиваемой пластинке, ослабленной отверстиями, расположенными в шахматном порядке // Мат. сб. 1935. - 42, №5-С. 617-633.

43. Победря Б.Е. Механика композитных материалов. М.: МГУ, 1986. 336 с.

44. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Из-воМГУ, 1995.-635 с.

45. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М.: Мир, 1979. -493 с.

46. Пресдорф 3. Линейные интегральные уравнения. // Итоги науки и техники ВИНИТИ / Сер. Совр. пробл. матем. Фунд. напр. т. 27 / - М.: ВИНИТИ, 1988.-с. 5-130.

47. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. М. - Л. 1950. -336 с.

48. Пыхтеев Г.Н. Точные методы вычисления интегралов типа Коши. Новосибирск: изд-во «Наука», 1980. - 118 с.

49. Рева Т.Л. Задача сопряжения для бианалитических функций ее связь с упруго пластической задачей // Прикладная механика (Киев). 1972. - т. 8. вып 10. - с. 65-70.

50. Рогожин B.C. Некоторые краевые задачи для полигармонического уравнения // Учен. зап. Казанского ун-та. 1950. - Т.110, кн.З. - С.71-93.

51. Ростовщев Н.А. К теории упругости неоднородной среды. ПММ 28., вып. 4, 1964, с. 601-611.

52. Савин Г.Н. Основная плоская статическая задача теории упругости для анизотропной среды. Тр. Института строительной механики АН УССР, № 32, 1938.1-55.

53. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. «Наукова думка». Киев, 1975.-887 с.

54. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1970, Т. 1. 492 с.

55. Синани А.Б., Степанов В.А. Механика композитных материалов. 1981. № 1, С. 109-115.

56. Соболев JI.C. Об одной краевой задаче для полигармонических уравнений // Мат. сб. 1937. - Т.2., №3. - С.465-499.

57. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. 576 с.

58. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука., 1972.-735 с.

59. Тихонов А.Н. Арсенин В .Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука., 1979.-285 с.

60. Угодчиков А.Г. и др. Решение краевых задач плоской теории упругости на цифровых и аналоговых машинах. М.: Высшая школа, 1970. - 528 с.

61. Фильчаков П.Ф. Приближенные методы конформных отображений. Киев. «Наукова думка», 1972. 530 с.

62. Филыптинский JI.A. Двоякопериодическая задача теории упругости для изотропной среды, ослабленной конгруэнтными группами произвольных отверстий // Прикл. мат. и мех. 1972. - 36. - С. 682-690.

63. Фридман М.М. О некоторых задачах теории изгиба тонких изотропных плит-ПММ, 1941,5,1, С. 92-102.

64. Халилов З.И. Общая краевая задача для системы обобщенных полигармонических уравнений, Докл. АН СССР, т. 51, № 3,1946, С. 167-169.

65. Халилов З.И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, Изв. АН СССР, сер. матем., т. 11, № 4,1947, С. 345-362.

66. Хведелидзе Б.В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения // Тр. Тбилисск. матем. ин-та. 1956. - Т.23. - С. 3-156.

67. Хведелидзе Б.В. О задаче Римана в теории аналитических функций и о сингулярных уравнениях с ядром типа Коши. Сообщ. Груз. АНССР. т. LXXVI, №2,1951, С. 177-180.

68. Хведелидзе Б.В. Граничная задача Римана-Привалова с кусочно-непрерывным коэффициентом. Тр. Груз, политех, ин-та. № 1(81), 1962, С. 11-29.

69. Цой Б., Карташов Э.М., Шевелев В.В. Прочность и разрушение полимерных пленок и волокон. М.: Химия, 1999. 495 с.

70. Черепанов Г.П. Решение одной линейной краевой задачи Римана для двух функций и ее приложение к некоторым смешанным задачам плоской теории упругости. Прикл. матем. и механ., т. 26. № 5.1962. С. 902-912.

71. Черепанов Г.П. Задача Римана-Гильберта для внешности разрезов вдоль прямой и вдоль окружности. Докл. АН СССР. т. 161, № 6, 1965, С. 12851289.

72. Черепанов Г.П. Об одном интегрируемом случае краевой задачи Римана для нескольких функций. Докл. АН СССР, т. 161, № 6, 1965, С. 1285-1289.

73. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.

74. Черепанов Г.П., Ершов Л.В. Механика разрушения. М.: Машиностроение, 1977.-224 с.

75. Черский Ю.И. О сведении смешанных граничных задач к краевой задаче Римана. Докл. АН СССР, т. 116, № 6,1957,С. 927-929.

76. Черский Ю.И. Задачи математической физики, сводящиеся к задаче Римана. Тр. Тбилиск. матем. ин-та АН ГССР, т. XXVIII, 1962, С. 392-399.

77. Чибрикова Л.И. основные граничные задачи для аналитических функций. -Казань.: изд-во Казанск. ун-та, 1977. 302 с.

78. Шерман Д.И. Об одном методе решения статической задачи о напряжениях для плоских многосвязных областей. Докл. АН СССР, новая серия, т. 1, № 7, 1934, С. 376-378.

79. Шерман Д.И. К решению второй задачи теории упругости для плоских многосвязных областей. Докл. АН СССР, т. IV (IX), № 3, 1935, С. 119-122.

80. Шерман Д.И. Определение напряжений в полуплоскости с эллиптическим вырезом. Тр. Сейсмол. ин-та АН СССР, № 53, 1935.

81. Шерман Д.И. Статическая плоская задача теории упругости для изотропных неоднородных сред. Тр. Сейсмол. ин-та АН СССР, № 86,1938, С. 1-50.

82. Шерман Д.И. Плоская задача теории упругости для анизотропной среды. Тр. Сейсмол. ин-та АН СССР, № 88,1938.

83. Шерман Д.И. Смешанная задача статической теории упругости для плоских многосвязных областей. Докл. АН СССР, т. XXVIII, № 1,1940, С. 29-32.

84. Шерман Д.И. Об одной задаче теории упругости со смешанными однородными условиями. Докл. АН СССР, т. 114, № 4,1957, С. 733-736.

85. Юденков А.В. Краевые задачи со сдвигом для полианалитических функций и их приложения к вопросам статической теории упругости. Смоленск. «Смядынь». 2002 г. 268 с.

86. Редкозубое С.А. Юденков А.В. Задача Карлемана для полианалитических функций в теории упругости для областей сложной формы // Сборник трудов ин-та Теор. механики РАН и МГГУ, посвященной 70-летию

87. ЛВ.Ершова, Москва. 2001. С. 263-270.

88. Редкозубое С.А. Юденков А.В. Задача типа Карлемана для бианалитиче-ских функций в теории изгиба тонкой пластинки // Сборник трудов ин-та Теор. механики РАН и МГГУ, посвященной 70-летию ЛВ.Ершова, Москва. 2001. С. 270-277.

89. Редкозубое С.А. Юденков А.В. Об одном решении первой основной задачи теории упругости для однородного тела цилиндрической формы // Сборник трудов ин-та Теор. механики РАН и МГГУ, посвященной 70-летию Л.В.Ершова, Москва. 2001. С. 277-283.

90. Володченков A.M., Юденков А.В. Устойчивость векторной краевой задачи со сдвигом, моделирующей основные задачи теории упругости анизотропного тела. //«Обозрение прикладной и промышленной математики», М. -2007, вып.5-6. С.581-583.

91. Володченков А.М., Юденков А.В. Моделирование основных задач плоской теории упругости однородных анизотропных тел краевыми задачами со сдвигом. //«Обозрение прикладной и промышленной математики», М. -2006, вып.3. С.482-483.

92. Володченков A.M., Скородулина Е.Ю., Юденков А.В. Системы сингулярных интегральных уравнений в плоской теории упругости в пространстве Lp. //«Обозрение прикладной и промышленной математики», М. 2006, вып.З. - С.546-547.

93. Balk М.В. Polvanalvtic functions. Berlin: Akademie Verlag. 1991. -192 p.

94. Avanissian V., Traore A. Sur les functions polyanalytiques de plusieuss variables // C. r. Acad. Sci. 286, № 17. - c. 743-746.

95. Auerbach F. Elastizitat der Kristalle. Handbuch der physikalische und technische Mechanik, В. 3. Leipzig. 1928,239-282.

96. Balk M.B. Polyanalytie functions // In Complex Analysis: Methools, Trends and Applications. Eds.: E. Lanckau, W. Tutschke. Berlin: Akademie - Verlag, 1983.-c. 63-84.

97. Bose S.C., Torsion of an aeolotropic cylinder having a spheroidal inclusion on its axis. AIAA Journal 3, № 7,1965,1352-1354.

98. Bosch W. Meta-analitic functions of equal modulus // Publications de l'Institut mathematique. Nouvelle serie. 1973,15 (290 - c. 27-31.

99. Bosch W, Krajkiewicz P. The big Picard theorem for polyanalutic functions // Proc. Amer. Math. Soc. 1970. - 26. - c. 145-150.

100. Brackx F. On k-monogenie functions of a quaternion variable. In Function-theoretical Methods in Dufferential Eguations. Research Notes in Mathem. Sciences.-L: 1976. c. 22-44.

101. Burgatti P. Sulla funzioni analitiche d'orrdinill Boll. Union math ital. 1922. -l.-Nl.-c. 8-12.

102. Canak M. Randwertaufgabe von Riemanntypes fur die p-polvanalutischen Functionen auf der spiralformigen Kontur // Матем. весник (Yugoslawien). -1988.-Vol. 40, № 3-4. p. 197-203.

103. Goursat E. Sur l'eguition A(Au) = oil Bull. Coc. Math. France. 1898. - 26. -c. 236-237.

104. Heersink R. Uber Losunger der Bauer-Peschl-Gleichung und polyanalitische Funktionen // Ber. Math. statist. Sekt. Forschungsges. Johanneum. - 1986. - № 286.-c. 1-9.

105. Damianovic B. The houndary value problem for polyanalytie function in multiply-connected region // Матем. вестник (Yugoslavia). 1986. - vol. 38. - p. 411415.

106. Damianovic B. A special case of the homogeneons contour problem for Polvanalytie Functions in multiply-conneeted regions // 5 Conf. Math. Liulljayf, Sept. 1986.-p. 41-46.

107. Damianovic B. Boundary Value Problem for polyanalytic functions and integral equations. Международная конференция «Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление». Минск. 1996.

108. Hulbert L.E. The numerical solution of two-dimensional problems of the theory of elasticity. Bull. Engng. Experim. Stat. Ohio State Univss. s. a. № 198, XXIV, 178 p. pill. (PXMex. 1966,126.35).

109. Krajkiewicz P. Bianalytic functions with exceptional values //Proc. Amer. Math. Soc. 1973. - 38, № 1. - c. 75-79.

110. Kubo Toshiniko. Stresses on the orthogonally aeolotropic plate with a row of holes. Proc. 6-th Japan Nat. Congr. Appl. Mech., 1956.

111. Pascali D. Basie representations of polyanalytic functions // Libertas Mthe-matica. 1989. - 9.

112. Schopf G. Das Nullstellen von Petenzreihen in z und z // Math. Nachr. 1977. - 78-c. 319-326.

113. Toda N. Sur les combinaisons exceptionelles de functions hobomorphes applications aux functions algebroides // Tohoku Math. J. 1970. - 22. №2. - c. 290319.