автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Обобщенная геометрически нелинейная теория и методы численного анализа деформирования и устойчивости пространственных стержневых систем

На правах рукописи

ГАЛИШНИКОВА ВЕРА ВЛАДИМИРОВНА

ОБОБЩЕННАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА ДЕФОРМИРОВАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

05.23.17 — Строительная механика;

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

2 9 АПР 2015

Москва 2015

005567849

005567849

Работа выполнена в Федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования «Российский университет дружбы народов».

Научный консультант: доктор технических наук, профессор, действительный член РААСН Петров Владилен Васильевич

Официальные Лалин Владимир Владимирович, доктор

оппоненты: технических наук, профессор,

Ведущая организация ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет архитектуры и строительства»

Защита состоится «20» мая 2015 г. в 13 часов на заседании диссертационного совета Д 212.138.12, созданного на базе ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет», по адресу: 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д.26, зал Ученого совета МГСУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» www.mgsu.ru.

Автореферат разослан « » « »2015 г.

ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет», заведующий кафедрой «Строительная механика и строительные конструкции»

Карпов Владимир Васильевич, доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет», профессор кафедры «Прикладная математика и информатика»

Гайджуров Петр Павлович, доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Ростовский государственный строительный университет», профессор кафедры «Техническая механика»

Ученый секретарь диссертационного совета

Анохин Николай Николаевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации определяется необходимостью дальнейшего развития обобщенной нелинейной теории деформирования и устойчивости пространственных стержневых систем и разработки совокупности последовательных и согласованных аналитических методов и вычислительных алгоритмов, позволяющих выполнять полный расчет таких конструкций, учитывающий геометрически нелинейное деформирование, общую и местную потерю устойчивости, а также их упругопластическое поведение и предельную нагрузку.

Проблема устойчивости равновесия является неотъемлемой частью анализа нелинейного поведения стержневых систем и может быть корректно решена лишь с учетом предшествующей истории нагружения конструкции. Расчеты конструкций на устойчивость в нелинейной постановке сводятся к решению нескольких задач: определение возможных равновесных форм конструкции; установление области и границ существования каждой из этих форм, закономерностей перехода из одной равновесной формы в другую; отыскание значения параметра нагрузки, при котором происходит бифуркация равновесных форм; установление конфигураций этих форм; описание послекритического поведения конструкции и оценки опасности для конструкции смены форм равновесия.

В настоящее время в расчетах большепролетных пространственных конструкций широко используются коммерческие программные комплексы на основе метода конечных элементов. Решение задач нелинейной устойчивости с использованием этих комплексов сопряжено со значительными трудностями. Эти трудности связаны с недостаточным уровнем разработки теории и методов геометрически нелинейного анализа устойчивости стержневых конструкций.

В связи с этим, разработка на основе нелинейной теории упругости обобщенного численного метода геометрически нелинейного расчета пространственных стержневых систем, позволяющего надежно предсказывать их напряженно-деформированное состояние, а также возможные виды потери устойчивости, является актуальной задачей.

Цель диссертационной работы - развитие геометрически нелинейной теории пространственных стержневых систем, и разработка на ее основе совокупности последовательных и согласованных аналитических и численных методов, позволяющих выполнять полный расчет таких конструкций, учитывающий геометрически нелинейное деформирование, общую и местную потерю устойчивости, а также их упругопластическое поведение и предельную нагрузку.

Научная новизна работы состоит в том, что на основе фундаментальных уравнений нелинейной механики деформируемого твердого тела построена обобщенная теория нелинейного деформирования и устойчивости пространственных стержневых систем; сформулирована матрица секущей жесткости инкрементальных разрешающих уравнений, обладающая свойством , -

симметрии; разработан метод нелинейного деформационного анализа, основанного на использовании инкрементальной матрицы секущей жесткости, позволяющего сохранять в уравнениях метода конечных элементов все нелинейные члены исходных разрешающих нелинейных уравнений и улучшить скорость сходимости итерационной процедуры; разработан способ разложения секущей матрицы жесткости на основную симметричную матрицу и остаточный член, позволяющий избежать увеличения числа операций алгоритма решения и необходимого объема оперативной памяти, возникающих вследствие несимметричности инкрементальной матрицы секущей жесткости; разработана методика учета неуравновешенных сил, отличающаяся тем, что неуравновешенные силы используются для уточнения матрицы секущей жесткости на шаге нагружения; разработан прямой метод вычисления сингулярных точек, основанный на формулировке общей проблемы собственных значений; разработан метод продолжения траекторий нагружения, основанный на расширении системы уравнений; разработаны методика прямого упругопластического расчета пространственных стальных ферм на предельную нагрузку в условиях больших перемещений и модификация метода геометрически нелинейного расчета пространственных ферм, включающая разработанную методику и позволяющая учитывать пластическую работу стали; разработана теория пространственных рам второго порядка, использующая единое допущение для вариаций компонент перемещения в поперечном сечении элемента, справедливое для совместного действия осевой деформации, изгиба и кручения; выполнена конечно-элементная формулировка разработанной теории, основанная на одноэлементном подходе; разработана методика вычисления коэффициентов матрицы жесткости элемента как узловых усилия в элементе, полученных из точного решения однородных разрешающих уравнений для единичных перемещений и поворотов в узлах элемента; разработаны программные приложения на базе объектно-ориентированной платформы Java, позволившие выполнить исследование и оценку новых методов, представленных в диссертации.

Личный вклад соискателя в решении исследуемой проблемы заключается в обобщении и развитии теоретических положений нелинейного расчета пространственных стержневых систем; разработке аналитических и численных методов, позволяющих выполнять расчет стержневых конструкций, учитывающий их геометрически нелинейное деформирование, общую и местную потерю устойчивости, а также их упругопластическое поведение и предельную нагрузку.

Обоснованность и достоверность полученных результатов определяется корректностью постановки задач в рамках механики деформируемого твёрдого тела и классических методов строительной механики с использованием общепринятых гипотез и допущений, сходимостью численных решений, сопоставлением решений тестовых задач с решениями, полученными на основе других методов и подходов, а для некоторых задач - сравнением с данными, полученными при помощи программного комплекса ANS YS.

Практическое значение работы заключается в разработке системы согласованных методов и численных алгоритмов для решения задач нелинейного деформирования, устойчивости и послекритического поведения сложных стержневых систем, позволяющих существенно повысить надежность проектных решений, безопасность эксплуатации сложных пространственных стержневых конструкций и эффективность расчетных программных комплексов.

Предложенные методы и программное приложение, разработанное на их основе, могут быть использованы в практических инженерных расчетах стержневых систем как с шарнирными, так и с жесткими и упругими узлами. На основе предложенного обобщенного подхода могут быть разработаны теории и алгоритмы для других конструктивных элементов и физически нелинейных задач.

Внедрение результатов работы. Методика геометрически нелинейного расчета пространственных ферм на деформации и устойчивость равновесия реализована в виде объектно-ориентированного приложения на платформе Java 2. Разработанное программное приложение, зарегистрированное в отраслевом фонде алгоритмов и программ Министерства образования и науки РФ, было использовано при расчете конструкций сетчатой оболочки и арочной пространственной фермы, разработанных НППЦ «СТРОЙКОМПЛЕКС» (г. Саратов). При помощи данного программного приложения был выполнен анализ устойчивости равновесия сетчатого алюминиевого купола покрытия резервуара, разработанного в ЦНИИПСК им. Мельникова.

Апробация диссертации определяется докладами автора по отдельным разделам работы на следующих научно-технических конференциях и семинарах:

- 60-й международной научно-технической конференции молодых ученых(СПбГАСУ, Санкт-Петербург, 2007);

-XXVII Российской школе по проблемам техники и технологий(Миасс,

2007);

- Симпозиуме «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» (Нижний Новгород, 2007); XXI международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (СГТУ, Саратов, 2008);

- Ежегодной научно-технической конференции ВолгГАСУ, секция «Строительная механика и строительная информатика» (Волгоград, 2009);

Научном семинаре кафедры «Строительная механика» ВолгГАСУ (Волгоград, 2009);

- Объединенном научном семинаре кафедр «Строительная механика» и «Информатика и прикладная математика» МГСУ (Москва 2009);

- Научном Межвузовском семинаре «Геометрия и расчет тонких оболочек неканонической формы» (РУДН: Москва, 2010);

- Объединенном научном семинаре кафедр строительной механики и прикладной математики Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета (СПбГАСУ, 2011);

- Расширенном заседании кафедры строительной механики Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета (Волгоград, 2011);

- Научном семинаре кафедр строительной механики и прикладной математики Российский университет дружбы народов (РУДН, 2014);

- Расширенном заседании кафедры прочности материалов и конструкций Российского университета дружбы народов (РУДН, 2014);

- 7th International Congress on Civil Engineering: Tarbiat Modarres University, (Tehran, Iran, 2006); Scientific Seminar of the Department of Civil Engineering of Stellenbosch University (Stellenbosch, Republic of South Africa, 2007);

- 2th International Conference on Computing in Civil and Building Engineering & 2008 International Conference on Information Technology in Construction (Beijing, China 2008);

- 16th Annual Workshop of the European Group for Intelligent Computing in Engineering (EG-ICE) (TU Berlin, Germany, 2009);

- 13th International Conference on Computing in Civil and Building Engineering (Nottingham, UK 2010);

- 14th International Conference on Computing in Civil and Building Engineering (Moscow, Russia 2012).

На защиту выносятся: положения, составляющие научную новизну диссертации, а также следующие результаты диссертационного исследования:

1. Реализация предлагаемых методик в объектно-ориентированных программных приложениях на основе платформы Java.

2. Аналитическое решение задачи геометрически нелинейного поведения и потери устойчивости регулярной трехстержневой фермы.

3. Анализ нелинейного деформирования и потери устойчивости сетчатого купола с использованием моделей с жесткими и шарнирными узлами.

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 30 печатных работы, в том числе 15 статей в изданиях, входящих в список ВАК, 9 статей и 1 монография в российских издательствах, 4 статьи и 1 монография в иностранных журналах и издательствах. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, восьми глав, заключения, списка литературы из 339 наименований и пяти справочных приложений. Общий объем диссертации составляет 423 страницы, 109 рисунков и 14 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи работы, изложены основные положения, которые выносятся на защиту.

В первой главе выполнен обзор современного состояния исследований в области геометрически нелинейной теории упругости, методов решения нелинейных уравнений, анализа устойчивости равновесия конструкций, а также методов продолжения решения основных уравнений после достижения конструкциями сингулярных конфигураций.

Основы современной нелинейной теории упругости были заложены в начале 20 века в работах Ф.С. Ясинского, С.П. Тимошенко, И.Г. Бубнова, ЕЛ. Николаи, Е.П. Попова. Нелинейная теория упругости в классической форме была сформулирована В.В. Новожиловым и получила свое дальнейшее развитие в трудах И.И. Гольденблатта, А.И. Лурье, А. Грина, Дж. Адкинса и других исследователей.

Развитию нелинейных теорий и алгоритмов расчета отдельных видов конструкций посвящены работы В.В. Новожилова, В.З. Власова, A.C. Вольмира, А.Л. Гольденвейзера, В.В. Петрова, В.И. Феодосьева, Х.М. Муштари и К.З. Галимова; М.В. Колтунова, М.В. Корнишина, П.М. Огибалова, П.А. Лукаша и др. исследователей.

Первыми работами, посвященными конечно-элементному подходу к нелинейному анализу конструкций, признаются статьи М. Тернера и его соавторов. Хотя эти работы и не были посвящены конкретно нелинейным расчетам конструкций, но они привели к развитию этой области, результаты которого были обобщены в монографии Одена, вышедшей в 1972 году. В 1970-е годы появился целый ряд основополагающих публикаций: Вуда и Зенкевича; Вундерлиха и Беферунгена; Аргириса, Дунна и Шарпфа; Бате и Полурха. Метод конечных элементов в различных его формах использовался в работах Ф.В. Рекача, В.В. Ананяна, P.A. Хечумова A.A. Покровского и других авторов для решения геометрически и физически нелинейных задач стержневых конструкций.

Нелинейные задачи строительной механики и теории упругости формулируются в виде систем нелинейных разрешающих уравнений с параметром. Наиболее распространенным способом решения нелинейных уравнений является отслеживание изменения решений с изменением параметра задачи. Впервые идея продолжения решения по параметру в вычислительных целях была реализована М. Лаэем. Другая формулировка метода принадлежит Д.Ф. Давиденко, который применил его (под названием «метод вариации параметра») к широкому классу задач прикладной математики, требующих решения нелинейных операторных уравнений. Методы продолжения решения по параметру реализуются численно в виде различных шаговых алгоритмов.

Независимо от метода продолжения по параметру, В.В. Петровым в развитие идеи В.З. Власова был сформулирован известный метод последовательных нагружений для решения задач геометрически нелинейного

деформирования оболочек. В.В. Карпов интерпретировал метод последовательных нагружений как алгоритм интегрирования начальной задачи методом Эйлера.

Шаговые методы и методы продолжения по параметру были обобщены Е. Григолюком и В. Шалашилиным. Монография этих авторов содержит обширную библиографию по применению этих методов в нелинейных задачах механики. В. Шалашилин и Е. Кузнецов получили математически строгое доказательство того, что наилучшим параметром продолжения решения является длина дуги кривой, представляющей решение нелинейного уравнения.

В задачах дискретной нелинейной строительной механики метод продолжения по параметру, в котором в качестве параметра используется длина дуги кривой равновесных состояний, впервые был использован Риксом и Вемпнером. Последующие модификации этого метода были выполнены Крисфилдом и рядом других авторов. Метод продолжения решения по длине дуги кривой равновесных состояний использовался в работах С.И. Трушина для построения конечно-элементного решения задач нелинейного деформирования оболочек.

Проблема устойчивости является основополагающей во многих областях науки и техники. Классическая теория устойчивости пластин и оболочек сформировалась в первой половине 20-го века. Основополагающими в этой области были работы Р. Цоэлли, Р. Лоренца, С.П. Тимошенко, В. Флюгге. В 30-е годы начали развиваться исследования поведения оболочек после выпучивания (закритическое поведение), а также исследования влияния начальных несовершенств. В работе В. Койтера изложена концепция устойчивости континуальных упругих систем, которая позволяет асимптотически точно описать начальную стадию закритической области.

Особое место в исследовании нелинейной устойчивости занимает теория бифуркаций, позволяющая исследовать локальное поведение конструкций в окрестностях особых точек. Современная нелинейная теория бифуркаций основана на трудах В. Пуанкаре, A.M. Ляпунова и Е. Шмидта. В этих работах были предложены первые способы классификации особых точек. A.M. Ляпуновым было сформулировано математическое определение устойчивости для процессов, включающих несовершенства.

В 1969 году появилась первая работа, посвященная исследованию проблемы ветвления (бифуркации) при помощи численных методов (Thurston). Предложенный в ней метод исследования траектории вблизи точки ветвления может рассматриваться как численный аналог аналитического метода Койтера. Появление метода конечных элементов, вызвало прорыв в численных исследованиях проблем устойчивости. В этой области хорошо известны работы Белычко, Вагнера, Риггерса и Крисфилда.

Традиционный подход к определению критических точек нелинейных задач состоит в дополнении шагово-итерационных методов решения так называемыми «сопровождающими действиями», направленными на исследование устойчивости поведения конструкции. Для вычисления критических точек Крисфилдом был предложен методом бисекции интервала.

Метод Вагнера использует почти сингулярную точку для формулировки прямого метода вычисления сингулярной точки, но применяемый при этом метод линеаризации основных разрешающих уравнений, приводит к несимметричной системе линейных уравнений с высокой размерностью.

Вычисление продолжения траекторий нагружения по вторичным ветвям в точках бифуркации представляет собой задачу большой сложности. Известные специалисты в области теории устойчивости Крисфилд, Вагнер и Риггерс выявили эти сложности, но не сумели предложить удовлетворительного общего решения. Говоря о методах касательной жесткости применительно к ветвям, где собственные значения матрицы отрицательны, что соответствует неустойчивости конструкции, Крисфилд заключает: «Со всей очевидностью в данной области требуется дальнейшая работа».

В последнем разделе главы приведен обзор программных продуктов, позволяющих выполнять нелинейные расчеты.

Проведенный обзор современного состояния исследований показал, что в области анализа устойчивости равновесия легких конструкций все еще остаются существенные теоретические и вычислительные проблемы.

Во второй главе диссертации выполнена формулировка общей геометрически нелинейной теории статического расчета упругих тел, подчиняющихся линейному физическому закону, и на ее основе, как частный случай, разработана геометрически нелинейная теория пространственных шарнирно-стержневых систем. Общая нелинейная теория упругих тел сформулирована таким образом, что на её основе можно получить частные теории для отдельных видов конструктивных элементов, применяя соответствующие гипотезы поведения. Целью такого подхода является унификация нелинейных теорий конструктивных элементов, позволяющая сократить затраты на их программную реализацию, а также добиться совместимости различных типов конструктивных элементов, объединяемых в сложные системы.

При выводе разрешающих уравнений для описания напряжений и деформаций использовались следующие известные в нелинейной теории упругости тензоры: тензор деформаций Грина Е, тензор напряжений Коши Т, второй тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа в.

Материальные точки характеризуются своим положением в исходной конфигурации. Координаты тензора деформаций Грина Е вычисляются как функции производных перемещения по координатам:

ект = (О

I

где и, к - производная перемещения и1 по координате хк.

Напряженное состояние элемента в исходной конфигурации описывается тензором напряжений Коши Т. Уравнения равновесия элемента составляются в его текущей конфигурации. При этом осуществляется переход от тензора напряжений Коши ко второму тензору напряжений Пиолы-Кирхгофа 8 :

8 = (сЫР^ТЕ-1, (2)

где F- градиент деформаций.

Дифференциальные разрешающие уравнения преобразуются к интегральному виду при помощи метода взвешенных невязок. В качестве весовых коэффициентов невязок приняты вариация перемещений 5м и вариация напряжения 51 Интегрирование взвешенных невязок по всей области С и преобразование полученного уравнения при помощи интегрирования по частям дает следующую форму интегрального разрешающего уравнения:

= [£fiutpqtdv+ J5 u,t,Qda+ [blinda

С ' ™ m С i с, c„ (3)

и, e Cu : и, = uiQ

Здесь Cu - область поверхности тела в текущей конфигурации, на которой заданы перемещения; С, - область поверхности тела в текущей конфигурации, на которой заданы напряжения; t ¡m - напряжения Коши.

Уравнение (3) выведено для пространственных элементов тела (элементы Эйлера) в текущем состоянии, которое не известно заранее. Поэтому выполняется его преобразование к форме, записанной для исходного состояния (элемент Лагранжа). Используя преобразование (2) и выполняя дальнейшее преобразование векторов к исходному пространству, получим интегральное разрешающее уравнение задачи для исходного состояния:

|8егоЛ> = |5urq pdv + JSurpífa + |5urp0úfa

с с си с, (4)

= "ю

Здесь с - вектор деформаций, составленный из координат тензора Грина, о - вектор напряжений, построенный на основе второго тензора Пиолы-Кирхгофа.

Инкрементальные разрешающие уравнения строятся для двух последовательных текущих состояний: известного текущего состояния С и неизвестного текущего состояния С. Разность компонент тензора относительных деформаций Грина для двух текущих состояний раскладывается на линейную Ае°т и нелинейную Ае"т составляющие:

лет = Ае?т + Ае"т

Ае°т = (Ли, m + AumJ + J^uK,Auk m + иктАик,)/2 (5)

к

Ае"т = (ЕЧ-Ч.)'2'

к

В качестве весовой функции в интегральной форме разрешающих уравнений для неизвестного текущего состояния используется вариация перемещения 8П в этом состоянии:

Su = 5(u + Au) = 5(Ди) (6)

Вариация перемещения 8и для известного текущего состояния в уравнении (б) принимается равной нулю.

Вариация относительной деформации в неизвестном текущем состоянии определяется аналогично вариации перемещения:

8(Де°,) =-(5 (и

) + 8(мт;) + XX ш) + ик т§(Аик ,)) \ * ' (7)

С) = ~^Аик^(Аик,т) + 1 к

Подставляя значения вариаций в уравнения (4) и выполняя преобразования, получаем следующий вид инкрементальных разрешающих уравнений:

|8(Ле°)г С АЕ° сЫ + ^ЗСДЬ/вДЬ,^ = 5е +

С С '

+ |5(Ди)7"лд рсН> + ¡8(Аа)Тлр¿а + |б(Ди)гДр0 с1а (8)

С Сы сг

Здесь С - матрица физических свойств тела (коэффициентов обратного закона Гука), Ь; - вектор производных перемещений.

Вариация невязки в уравнении (8) равна:

5е = ^(Ди^рЛ + с

+ |5(Ди)грс/а + |б(Ди)гр0й?а — |5(Де°)гоЛ (9)

си с, с

+ 18(Ди)г р с1а + |§(Ди)г р0 йа - |5(Де0)7'аЛ с„ с, с

Из сравнения выражения (9) с интегральным уравнением (8) видно, что невязка равна нулю, если решение удовлетворяет основному уравнению (4).

Аналитические разрешающие уравнения нелинейной теории упругости получены для тел, поле перемещений которых может быть задано функциями, непрерывными по всему объему и по всей поверхности тела. Сложность формы и поведения строительных конструкций, как правило, не позволяют отыскать такие математические функции. Поэтому выполняется переход к алгебраическим разрешающим уравнениям путем разбиения тела на отдельные конечные элементы и введения интерполирующих функций перемещений.

На основе общей геометрически нелинейной теории упругости получена геометрически нелинейная теория пространственных шарнирно-стержневых систем. Особенности предлагаемого подхода состоят в том, что при выводе разрешающих уравнений задачи используется матрица секущей жесткости конструкции, формируемая на основе разностных операций. При этом в выражениях для коэффициентов матрицы секущей жесткости сохраняются все нелинейные члены исходных разрешающих уравнений.

Интегральная форма разрешающих уравнений, описывающих нелинейное поведение упругих тел, применяется к случаю пространственной шарнирно-

стержневой системы. Каждый интеграл по объему тела заменяется суммой интегралов по объемам отдельных стержней. Поверхностные нагрузки и реакции заменяются нагрузками и реакциями в узлах фермы. Таким образом, интегральная форма разрешающих уравнений для описания нелинейного поведения пространственных шарнирно-стержневых систем сводится к виду:

X = 5(дсуг(Ч, + г,) (10)

е с

е

где Се- объем, занимаемый стержнем е в исходной конфигурации; е- осевая деформация в стержне (координата еп тензора деформаций Грина); б - осевое напряжение в стержне (координата Бц второго тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа); Ас1? - инкремент вектора перемещений системы.

Инкремент деформаций стержня при переходе из известной текущей конфигурации С<5) в последующую неизвестную конфигурацию раскладывается на линейную и нелинейную составляющие:

де = Де° + Де", (11)

Де° = (1 +у1Д)Ду, д + у2дДу2>1 + у3>1Ду3Д, (12)

ДЕ" = 0,5(ДУц + Ду|;1 + ДУ|,) . (13)

Здесь Де°- линейная составляющая инкремента деформации; Де"-нелинейная составляющая инкремента деформации.

Вариации деформации следуют из выражений (12) и (13):

5(Де°) = (1 + Уи)5(Дуи) + У2Д5(ДУ21)+ Узд8(ДУ31) , (14)

8(Де") = Ду1Л5(Дуи) + Ду2Д5(Ду21) + Ду318(Ду31) . (15)

Аналитическое инкрементальное разрешающее уравнение для шага нагружения пространственной фермы имеет вид

£ /5(е + ДБ)(Я-Д5)Л =8е + 8(Д^)г^ + 8(Ай1)тйгх, (16)

е Се е Се

где е- осевая деформация текущего состояния С^ , 5- осевое напряжение второго тензора Пиолы-Кирхгофа; (1?, я, и г5- векторы перемещений, нагрузок и реакций системы. Невязка в уравнении (16) задана следующим выражением:

5е="Е /5(Де°)лЖ+8(Д«11)7^,+5(Д|1,)гг1, (17)

е с

Уравнения (16) и (17) линеаризуются на каждом шаге решения путем использования приближенных значений инкремента деформаций и его вариации, определяемых итерационно:

Де = (1 + у1 ! + Ду"и / 2) Ду,д + (у21 + Ду21 / 2) Ду21 + (у3 , + Ду31 / 2)Ду31 ,

8(Де) = (1 + у1Д + Ду1>1)8(Ду1>1) +(у2д +Ду2д)5(Ду21) + (у31 +Ду31)8(Ду3Д),

где Дут 1 - приближенные значения производных инкрементов перемещения, определяемые в предыдущих циклах итераций на шаге нагружения.

При этом ни один из членов исходного разрешающего уравнения (10) не опускается.

Для преобразования уравнений (16) в алгебраические разрешающие уравнения используется метод конечных элементов. Зависимость между перемещениями и нагрузками элемента описывается матрицей секущей жесткости, которая формулируется следующим образом:

1. Записываются алгебраические разрешающие уравнения задачи геометрически нелинейного деформирования конструкции для двух последовательных состояний конструкции 5-1 и 5.

2. Определяются разности соответствующих коэффициентов матриц полной жесткости К5 и К5-1 уравнений состояний 5 и 5-1.

3. Формируются коэффициенты матрицы секущей жесткости К5 для данного шага нагружения.

Инкрементальная матрица секущей жесткости в общем случае не является симметричной. Следствиями потери симметрии являются увеличение необходимого объема памяти, увеличение числа операций алгоритма решения. В диссертации разработан новый способ разложения секущей матрицы жесткости на основную симметричную матрицу и остаточный член. Остаточный член преобразуется в корректирующий член нагрузки, уточняемый в процессе итераций на шаге нагружения. Для предлагаемого способа разложения корректирующий член нагрузки быстро убывает в процессе итераций.

Результирующие коэффициенты матриц секущей жесткости элементов сохраняют нелинейные члены исходных уравнений. Матрица секущей жесткости в цикле итераций на шаге нагружения последовательно аппроксимируется с использованием значений инкрементов перемещений, вычисленных в предыдущем цикле итераций.

Матрица секущей жесткости конструкции компонуется из матриц составляющих ее элементов по известным правилам. В результате получается следующая система алгебраических разрешающих уравнений относительно инкрементов перемещений и реакций пространственной стержневой системы на шаге нагружения:

К,Дй, = е, + Дя,+Дг, , (18)

где КЛ - матрица секущей жесткости системы, Дс1$- вектор инкрементов перемещений, е5 - вектор погрешности, - вектор инкрементов нагрузок, Дг5 - вектор инкрементов реакций системы.

Алгебраические разрешающие уравнения решаются пошагово. Так как нельзя предсказать заранее, какая из компонент перемещений станет критической в сингулярной точке, для задания характеристической кривой нагружения вводятся нормы перемещений и усилий. Процедура решения определяется нормализованной кривой зависимости «перемещение-нагрузка».

Упорядоченная система разрешающих уравнений (18) может быть представлена в блочном виде:

К„ К,2 Ас!!

К21 к22 Дс12

АЧ1

Дч2

+

Дг,

(19)

где Ас!) - инкременты свободных перемещений, А(12- инкременты заданных перемещений.

Нагрузка, действующая на конструкцию в некотором заданном состоянии, определяется коэффициентом нагружения X. Инкремент коэффициента нагружения АХх определяет изменение нагрузки и заданных перемещений на шаге нагружения:

ДЯ! = ДА.д1(, Aq2=ДA.q2í^ А«12=АЛ<12(. (20)

Инкременты свободных перемещений Ас115. и реакций Дг2, выражаются из уравнений (20) как функции инкремента коэффициента нагружения ДХ5:

Ас!,

да., ^ + ь15,

Аг2, = ДХ,,г2, + Ь2( , где

(21)

«*1/ = К^Дч^-К,^,);

ь„ = К

*2Г

К21А< + К221й2( ~Ч2М

"25

Инкремент коэффициента нагружения на каждом шаге является

неизвестной величиной. Он определяется из условия постоянства длины хорды дуги на каждом шаге нагружения. Исходной является длина хорды на первом шаге, которая вычисляется из следующего выражения:

Ь\ = д^ор^ро + (22)

Длина хорды дуги , вычисленная по формуле (22), учитывает нагрузки, реакции и перемещения линейно упругой конструкции, но не учитывает поправочные перемещения и поправочные реакции Ь2 в выражениях (21). В некоторых случаях эти поправки могут быть значительными. Для учета поправочных членов, начальная длина дуги пересчитывается на каждом цикле итераций первого шага нагружения.

Размер шага в назначается так, чтобы длина хорды дуги между точками в и в+1 на кривой равнялась к0. При этом длина хорды должна вычисляться через разность норм векторов перемещений и сил в начале и в конце шага. Уравнение для определения инкремента шага нагружения при этом условии обладает высокой степенью нелинейности и включает тригонометрические функции, содержащие в качестве аргумента искомый инкремент. Для упрощения задачи в в диссертации используется приближенная методика замены разности норм векторов нормой их разности.

Метод продолжения по длине дуги кривой равновесных состояний, используемый в данной работе, требует корректировки решения уравнений (21) на каждом шаге нагружения. Обычно такая корректировка выполняется итерационно путем вычисления неуравновешенных сил в конце каждого шага

нагружения и приложения их к конструкции в виде внешней нагрузки. Неуравновешенные силы состояния 5 конструкции содержатся в векторе погрешности с, системы уравнений (21).

В текущей конфигурации конструкции, для которой определен вектор е5, этот вектор уравновешен перемещениями, реакциями и внутренними усилиями в конструкции. Неуравновешенные силы не дают вклада в нагрузку, действующую на конструкцию. Поэтому в данной работе разработана новая методика учета неуравновешенных сил. Вектор неуравновешенных сил не добавляется к внешней нагрузке, действующей на конструкцию, а используется для вычисления корректирующих перемещений и корректирующих реакций, которые затем используются для уточнения матрицы секущей жесткости на шаге нагружения. Данный подход существенно улучшает точность и скорость сходимости деформационного анализа.

В третьей главе диссертации излагается теория бифуркаций в виде, пригодном для использования в численном анализе по методу конечных элементов, и исследуется продолжение траекторий нагружения пространственных стержневых систем в точках сингулярности.

Разработан новый прямой метод определения сингулярных конфигураций пространственных стержневых систем. В этом методе матрица касательной жесткости в сингулярной точке выражается через инкременты перемещений и неизвестный инкремент коэффициента нагружения от почти сингулярной точки к сингулярной точке. Формулируется общая проблема собственных значений, в которой искомым собственным значением является инкремент коэффициента нагружения. При этом новый метод дает симметричную систему уравнений.

Коэффициент нагружения, перемещения и реакции в сингулярной точке определяются из условия, что определитель матрицы касательной жесткости в этой точке равен нулю. Диагональные коэффициенты матрицы секущей жесткости, которая используется в пошаговом расчете, при этом могут в ноль не обращаться. Поэтому критерием прохождения сингулярного состояния в данном алгоритме служит изменение на шаге знака хотя бы одного из диагональных коэффициентов разложения матрицы секущей жесткости К^ = ЪЛЛТ. Состояние в начале шага при этом считается почти сингулярным.

Если почти сингулярное состояние конструкции выявлено, то для некоторой точки К, предшествующей сингулярной точке Б на траектории нагружения, вычисляются перемещения и реакции при помощи обычной процедуры метода постоянных дуг. Инкременты Ас1 перемещения из точки N в сингулярную точку 8 записываются как функции неизвестного инкремента коэффициента нагружения АХ:

А(1 = (23)

где (1(- вектор перемещений от полной нагрузки при жесткости фермы, вычисленной для состояния К, а Г- вектор перемещений от неуравновешенных сил того же состояния. Полученное в результате выражение

для матрицы касательной жесткости фермы в сингулярном состоянии является нелинейной функцией неизвестного инкремента коэффициента нагружения АХ:

К^ = К0 +ДА.К1(Д\). (24)

Определитель матрицы касательной жесткости в сингулярной конфигурации полагается равным нулю:

ааско + дьк!) = о. (25)

Значение АХ вычисляется итерационно. В первой итерации члены, нелинейные относительно АХ, опускаются. Значение АХ определяется из решения общей задачи на собственные значения (25), соответствующей уравнению критического равновесия

К0х = АХКгх. (26)

Здесь АХ, х — собственные значения и собственные векторы матриц (К0, К^. Так как в данном случае требуется отыскать лишь наименьшее собственное значение, то наиболее эффективен метод обратных векторных итераций. Если состояние К, для которого вычисляются матрицы К0 и К] близко к сингулярному состоянию, то итерации сходятся достаточно быстро.

В последующих циклах итераций на шаге от состояния N к состоянию 8 нелинейные члены, входящие в матрицу касательной жесткости состояния Б, аппроксимируются с использованием значения инкремента коэффициента нагружения АХ, полученного в предыдущем цикле итераций. Процедура может быть кратко описана следующим образом:

- цикл 0:

АХ=0 => вычисление к[0) => решение проблемы СЗ относительно

- цикл Б:

ДА/5"'* => вычисление К^ =>решение проблемы СЗ относительно

Найденное значение А^-пип = пнп|ДА.| подставляется в выражение (23) для вычисления инкремента перемещения в сингулярное состояние:

Ас! = Л^ттс1, + f. (27)

Так как вектор А<1 получен с использованием приближенного значения матрицы касательной жесткости, то точка Б, вычисленная с его использованием, не будет являться точной сингулярной точкой кривой нагружения. Описанная выше процедура повторяется, используя Б как новую почти сингулярную точку. Алгоритм прерывается, когда изменение инкремента коэффициента нагружения становится меньше заданного предельного значения.

Автором были выполнены исследования свойств решений основных нелинейных уравнений в окрестностях сингулярных точек и выявлено, что использование линеаризованной матрицы касательной жесткости не может обеспечить надежного продолжения решения в точках бифуркации. В сязи с этим, в диссертационном исследовании разработан новый подход к продолжению траекторий нагружения, основанный на применении матрицы

полной жесткости конструкции. Предлагаемый подход обладает следующими особенностями: а) сингулярная точка вычисляется прямым методом с использованием свойств основной ветви; б) алгоритм продолжения решения, не зависит от типа сингулярной точки; в) на первом шаге продолжения решения учитывается изменения коэффициента нагружения.

В результате разработан новый метод расчета, основанный на расширении системы разрешающих уравнений. Его отличие от методов, предложенных Крисфилдом, Вагнером и Риггерсом заключается в том, что в уравнения включается конечный инкремент коэффициента нагружения. Метод основан на следующих допущениях:

1) Направление инкремента свободных перемещений на первом шаге, следующем за сингулярной точкой примерно параллельно собственному вектору, соответствующему нулевому собственному значению, или произвольно выбранной линейной комбинации нескольких векторов, соответствующих нулевым собственным значениям.

2) Направление инкремента свободных перемещений на шаге нагружения s, следующем за первым шагом продолжения решения, примерно равно инкременту перемещения на предыдущем шаге s -1.

Построение ветви выполняется пошагово. Вектор перемещений в начале первого шага продолжения равен вектору перемещений в сингулрной точке.

На первом шаге продолжения (5 = 0) пробное перемещение d назначается в соответствии с первым допущением:

d = dc + Т|х, где х - собственный вектор задачи (28)

На последующих шагах s > 0 продолжения пробное решение вычисляется при помощи второго допущения:

d = d(s) + (d(s}-d(,_1}), (29)

где dv - перемещение в начале шага нагружения s.

Конструкция в пробном состоянии находилась бы в равновесии, если бы она была загружена вектором сил, определяемым из уравнения Kd = f, где К - матрица полной жесткости для пробного перемещенного состояния d. Матрица полной жесткости К здесь не формируется в явном виде. Вместо этого, матрицы жесткости отдельных элементов умножаются на векторы перемещений этих элементов и суммируются, составляя пробный вектор сил f.

Нагрузка в пробном состоянии в конце первого цикла итераций на первом шаге продолжения решения в сингулярной точке не является строго пропорциональной модельной нагрузке. Нежелательная нормальная составляющая нагрузки, обычно исключается путем вычитания из векторов пробного состояния перемещений и реакций, соответствующих этой составляющей нагрузки. Исследования, проведенные при помощи тестовой платформы, показали, что эта процедура часто приводит к расхождению итераций, что отмечалось и другими исследователями.

В предлагаемом методе к вектору погрешности е добавляется некоторая часть 8 заданной модельной нагрузки. Множитель 0 к модельной нагрузке

выбирается таким образом, чтобы инкремент перемещений от нагрузки е + 0р, был нормален инкременту перемещения от сингулярного состояния к состоянию s(1). При помощи инкремента нагрузки е + 0р, корректируется пробное состояние конструкции, а также вычисляются инкременты перемещений и реакций от этого инкремента нагрузки.

I = rflp + е,, где Г,гре, = 0 и г = (ffpfj )/(f^flp). (30)

Считается, что пробное состояние имеет достаточную точность для прерывания итерационной коррекции на шаге нагружения s, если норма нормальной компоненты пробной нагрузки меньше заданной доли нормы параллельной компоненты пробной нагрузки:

yRb * vsr>/fiTpfIp

Вычисление продолжения решения при помощи метода расширения продолжается до тех пор, пока матрица касательной жесткости не станет достаточно хорошо определенной для возврата к методу постоянных дуг, использовавшемуся на основной ветви траетории нагружения. Это условие проверяется при помощи разложения DLDT матрицы касательной жесткости

пробного состояния.

Алгоритм продолжения траектории нагружения, основанный на разработанном подходе, реализован в программном приложении. Исследование показало, что новый метод продолжения решения обладает численной устойчивостью и высокой точностью.

В четвертой главе диссертации для подтверждения точности, надежности и устойчивости алгоритмов, разработанных в диссертации, приводится исследование результатов расчетов пространственных трёхстержневых ферм, полученных при помощи разработанного программного приложения на объектно-ориентированной платформе Java. При верификации полученных численных данных использовано аналитическое решение, приведенное в Приложении А диссертации. Приведен также ряд примеров, демонстрирующих возможности применения разработанных методов к практическим задачам.

В качестве тестового примера рассматривалась задача нелинейного деформирования симметричной пространственной трехстержневой фермы, показанной на рисунке 1, для которой автором получено точное аналитическое решение. Расчет выполнялся для двух типов ферм - пологой и подъемистой.

Пологая ферма. Радиус основания фермы равен 2,00 метра, высота фермы 0,15 метра. Площадь поперечного сечения всех стержней равна 10 кв. см. Модуль упругости материала принят равным 2 ■ 105 МПа. В верхнем шарнирном узле D ферма загружена вертикальной силой Р = -10,0 кН.

Подъемистая ферма. Радиус основания фермы равен 0,5 метра, высота фермы h0= 5 м. Площадь поперечного сечения всех стержней равна 2см2.

Модуль упругости материала принят равным 103 МПа. В верхнем шарнирном узле D ферма загружена вертикальной силой Р = -10,0 кН.

2 а .............

га Л

/ ...............

а

\ ^ \ 2 а\ '

_а—^

2

ВС

Рисунок 1 - Деформирование симметричной пространственной трехстержневой фермы.

Выполненные примеры продемонстрировали высокую точность и сходимость метода. Показано, что предельные точки и точки бифуркации могут быть вычислены с заданной точностью. Продемонстрирована возможность вычисления продолжения решения как в предельных точках, так и в точках бифуркации. На рисунке 2 показаны графики компонент перемещений верхнего узла фермы при соотношениях высоты фермы к радиусу основания Ь0/а =0,075 (пологая ферма) и Ь0/а = Ю,0 (подъемистая ферма). По всей траектории нагружения погрешность численного расчета пренебрежимо мала.

попогая ферма

подъемистая ферма

-0.8§

-0.15 -0.10 -0.05 О

нормализованные перемещения вершины

-8.0 -4.0 о

нормализованные перемещения вершины

Рисунок 2 - Графики компонент перемещений верхнего узла фермы

В данной главе приведен также ряд практических примеров расчета конструкций по деформациям и устойчивости при помощи разработанного программного приложения. В частности, выполнен расчет на деформации и устойчивость стальной арки сквозного решетчатого сечения, очерченной по окружности радиусом 30 м, показанной на рисунке 3. Арка состоит из 12-ти прямолинейных монтажных секций длиной по 6 м каждая. Размеры сечения каждой секции 1,5x1,5 м. Ветви арки выполнены из стальных равнополочных уголков сечением 125x125x10 мм, решетка - из уголков сечением 75x75x9 мм.

1-Ц

Рисунок 3 - Геометрическая схема арки

Сечение ветвей и решетки были подобраны на основе статического и конструктивного расчетов решетчатой арки в программном комплексе ЛИРА 9.4. Расчет производился для арки, работающей в составе арочного большепролетного покрытия. Шаг арок в покрытии равен 6 м. Постоянная нагрузка от собственного веса покрытия и временная нагрузка от веса снегового покрова взяты для города Волгограда. Поведение фермы исследовалось при действии модельной нагрузки в виде двух вертикальных сосредоточенных сил величиной 20 кН, приложенных в замковых узлах верхнего пояса арки.

На рисунке 4 показано деформированное состояние конструкции на шаге с коэффициентом нагружения А, = 2,280. На рисунке 5 приведены графики компонент перемещений замкового узла п1 верхнего пояса.

От начала нагружения до значения коэффициента нагружения X «1,6 деформации носят линейный характер. Однако уже при такой нагрузке появляется горизонтальное перемещение в узлах, сопровождающееся закручиванием сечений арки. Начиная от уровня нагрузки X «2,2 начинает быстро нарастать горизонтальное перемещение. Потеря устойчивости происходит при значении коэффициента нагружения Хсг = 2,575. Горизонтальные перемещения в момент потери устойчивости достигают 2,5 метров. Значения напряжений в стержнях при этом превосходят предел прочности стали. Решающее значение будет иметь расчет по второй группе предельных состояний - максимальным перемещениям из плоскости фермы.

Рисунок 4 - Деформированное состояние арки на шаге нагружения 48:

- коэффициент нагружения X = 2,280. - перемещения увеличены в 20 раз по отношению к размерам фермы

К =2,575

2,0 -

i

0,0-1-1--,-н------

-4.00 -3,00 -2,00 -1.00 0.00

перемещение, м

Рисунок 5 - Графики компонент перемещения перемещений замкового узла арки: - а, б - горизонтальные перемещения, в - вертикальное перемещение.

Выполненные в данной главе расчеты реальных пространственных стержневых систем на деформации и устойчивость подтверждают практическую значимость проведенного исследования.

В пятой главе диссертации представлена методика упругопластического расчета пространственных ферм с учетом больших перемещений. С этой целью была разработана модификация авторской программы геометрически нелинейного расчета пространственных ферм, позволяющая учесть поэтапное возникновение пластических шарниров в стержнях фермы, а также определить предельную нагрузку на пространственную ферму, при которой образуется пластический механизм разрушения.

Полагается, что каждый стержень находится либо в идеально упругом, либо в идеально пластическом состоянии на каждом шаге нагружения. Размер шага определяется в алгоритме решения таким образом, чтобы это предположение удовлетворялось. Вклад каждого стержня в матрицу секущей жесткости фермы определяется по правилам, введенным ранее для геометрически нелинейного расчета ферм. Если стержень находится в пластическом состоянии, его вклад в матрицу секущей жесткости равен нулю. На рисунке 6 показаны возможные изменения состояния стержня как функции приращения осевой деформации на шаге нагружения. В точках А, Б и в стержень остается упругим для положительных и отрицательных приращений деформации. В точках В и С стержень является пластичным при положительных приращениях деформации и упругим при отрицательных приращениях деформации. В точках Е и Б стержень является упругим при положительных приращениях деформаций и пластическим при отрицательных приращениях деформаций.

С пластичность

Рисунок 6 - Изменение усилия в стержне в зависимости от осевой деформации Пусть е(, ее и ер - полные, упругие и пластические деформации стержня

соответственно. Обозначим верхним индексом (б) значение переменной в начале шага, а верхним индексом (0 - ее значение в конце шага нагружения. Пусть \к -координаты перемещения в исходной координатной системе, а - их производные по осевой координате у1. Полная осевая деформация определится по формуле:

Чд

(31)

Если стержень на первом шаге является упругим, то его деформация в пробном состоянии задается следующими выражениями:

6?>=Е«-Е« 6<?=е<?> (32)

Пусть ш- коэффициент преобразования между напряжениями второго тензора Пиолы-Кирхгофа и техническими напряжениями.

т = л/(1 + ^д)2 +у22д+У321 (33)

Напряжение а и осевая сила в стержне в пробном состоянии равны:

Если стержень на шаге нагружения является пластичным, то его деформация в пробном состоянии равна

р(0 _РМ

С» о — С.-, .

=6«+^,

где А£р = б, -е, (35)

Напряжение а и осевая сила в стержне, находящемся в пластическом

состоянии на шаге не изменяются: а(,) = , = /

Разработанная методика прямого итерационного расчета на предельную нагрузку позволяет определить потерю устойчивости фермы как в упругой стадии работы, так и в результате образования пластического механизма разрушения. Алгоритм учитывает как геометрическую, так и физическую нелинейность поведения конструкции и включает два вложенных цикла. Внешний цикл выполняется по шагам нагружения, до достижения заданного коэффициента нагружения или до выявления предельного состояния конструкции. Во внутреннем цикле итерационно вычисляется матрица секущей жесткости фермы на шаге нагружения. В процессе итерации уточняются приращения перемещений и изменения в состояниях стержней фермы.

В начале расчета, на первом шаге нагружения все стержни считаются упругими и ненапряженными. В первом цикле итерации на всех последующих шагах нагружения стержень полагается пластичным, если он становится пластичным в конце предыдущего шага нагружения. В противном случае, стержень считается упругим. Состояния всех стержней проверяются, и в случае необходимости корректируются в конце каждого шага нагружения.

При помощи разработанного программного приложения выполнен пример расчета на предельную пластическую нагрузку шарнирно опертой круговой решетчатой арки, показанной на рисунке 7.

но _ я*)

Рисунок 7 - Схема решетчатой арки (диагонали условно не показаны)

Арка имеет пролет 28,0 м, высоту сквозного сечения 0,80 м и ширину сечения 2,0 м. Расчет выполнен для радиусов кривизны средней линии арки, изменяющихся от 20 до 200 метров, что соответствует стреле подъема замка от 5,717 до 0,491 метров. Все стержни имеют сечение площадью 0,008 кв.м, за исключением приопорных элементов поясов, которые имеют сечение 0,012 кв.м. Прочность стали по пределу текучести принята равной 2,4 * 105 кН/м2, а модуль упругости - равным 2,1 * 108 кН/м2. Модельная нагрузка представляет собой две

вертикальные сосредоточенные силы величиной 100 кН, приложенные в замковых узлах арки.

На рисунке 8 показана последовательность наступления текучести в стержнях арки радиусом кривизны 30,0 м при пошаговом увеличении нагрузки. В правой части рисунка 6 показаны планы двух панелей верхней грани арки, соседствующих с нагруженными узлами.

\Л/ = 160,88

\Л/

\Л/

\Л/

\Л/

| УУ = 181,72

Рисунок 8 -Последовательность наступления текучести в стержнях решетчатой арки с радиусом кривизны 30 метров

Предельная нагрузка решетчатой арки с радиусом кривизны 30 метров составляет 181,72 кН. Арка разрушается из-за того, что все стержни, поддерживающие нагруженные узлы в направлении X!, становятся пластическими. Как следствие, нагруженные узлы могут перемещаться в направлении Х[ без увеличения нагрузки. Это состояние выявляется алгоритмом, который отслеживает сингулярные состояния матрицы жесткости.

Новый инкрементальный метод расчета на предельную нагрузку увеличивает надежность предсказания потери устойчивости конструкции и позволяет выявить ее причину.

В шестой главе диссертации предложен одноэлементный подход к расчету пространственных рам, испытывающие большие деформации, но малые повороты. Этот подход дает возможность представлять стержень рамы в компьютерной модели одним конечным элементом, позволяя при этом определять критические нагрузки потери устойчивости. Главными элементами новизны единого подхода являются включение бимоментов и вторичных

крутящих моментов, а также введение в дополнение к гипотезе плоских сечений гипотезы Вагнера (касательное напряжение от стеснения кручения равно нулю).

Подход разрабатывался в два этапа. На первом этапе сформулирована теория первого порядка стержневого элемента пространственной рамы, не учитывающая деформации рамы при составлении уравнений равновесия. Результаты теории первого порядка затем использованы на втором этапе при формулировке теории второго порядка пространственных рам, в которой уравнения равновесия составляются для деформированной конфигурации рамы. Основным отличием разработанной теории второго порядка от используемого в настоящее время коротационного метода Орана-Крисфилда является то, что в ней учитывается влияние осевых усилий вследствие искривления оси стержня при изгибе.

В традиционной теории изгиба балок используются независимые законы распределения перемещений по поперечным сечениям балок от действия осевых деформаций, изгиба и кручения. В теории первого порядка, разработанной в данной диссертации, используется единое распределение перемещений, связывающее координаты перемещения у,Р точки Р = (у2,уз) , принадлежащей поперечному сечению, с перемещениями vi и поворотами (3, центроида сечения, а также с функцией депланации со и функцией кручения у поперечного сечения при одновременном действии растяжения-сжатия, кручения и изгиба:

ухр

"2 Р

узр

0 Уз ~У2 р,

-Уз 0 0 р2

У2 0 0 Рз

+ И

(33)

Из уравнения (33) выводятся выражения для деформаций и напряжений, а также равнодействующих напряжений и внутренней работы. Эти выражения упрощаются при помощи введения гипотез Кирхгофа и Вагнера. Хорошо известная гипотеза Кирхгофа связывает повороты р2 и (З3 с производными перемещений у2 и у3 . Гипотеза Вагнера полагает, что касательные деформации вследствие стесненного кручения равны нулю. Она устанавливает зависимость между функциями депланации га и кручения у и производными поворота Р1. Получающиеся в результате выражения для напряжений а1к в стержневом элементе имеют вид:

~ У2 Уз у3,11 + ю V,! )

-"п

ст12 = -бСУз+Ю,2)01,1

°13 = СО>2-<в3)Ри

(34)

Дифференциальные разрешающие уравнения элемента при действии силовых и моментных нагрузок ц1 и Г, выводятся на основе принципа

виртуальной работы, при помощи интегрирования по частям, с использованием

следующих характеристик сечения: площади сечения А, моментов инерции относительно главных осей сечения 12 и 13, момента инерции кручения 1т и секториального момента инерции 1М:

ЕАухп +?!=0

Е12*2,\\П + Н,\-Ч2 = 0 (35)

- '2,1-93 = 0

=0

Формулировка разрешающих уравнений теории второго порядка для стержневого элемента основана на предположении о том, что квадрат поворота любого поперечного сечения от приложенной нагрузки мал по сравнению с единицей. Глобальная система координат рамы, а также системы координат стержней и узлов, задаются в исходной (отсчетной) конфигурации рамы и не изменяются в процессе расчета. В каждой текущей конфигурации рамы для каждого поперечного сечения стержня задается особая локальная система координат. Ось г1 этой системы направлена по касательной к деформированной оси стержня, оси г2 и гг сонаправлены с главными осями поперечного сечения. Выражения для координат базовых векторов локальной координатной системы, записанные через перемещения в текущей конфигурации, имеют высокую степень нелинейности. В диссертации используется аппроксимация координат базовых векторов производными перемещений, в которой квадраты координат поворотов опускаются, как малые величины по сравнению с единицей. Базовые векторы образуют столбцы матрицы поворота между координатной системой стержня и локальной координатной системой рассматриваемого бесконечно малого элемента. Эта матрица используется для преобразования равнодействующих напряжений между двумя координатными системами.

Дифференциальные уравнения равновесия для бесконечно малого элемента стержня в текущей конфигурации формулируются в координатах, записанных в исходной координатной системе стержня. Таким образом координаты равнодействующих напряжений в начальной и конечной точке бесконечно малого элемента записываются в единой системе координат, хотя локальные системы координат в этих точках различны. Координаты равнодействующих напряжений в уравнениях равновесия преобразуются к локальной координатной системе. Получающиеся в результате производные матрицы поворота по осевой координате стержня ух аппроксимируются с точностью того же порядка, что и коэффициенты матрицы поворота. Затем в уравнения подставляются зависимости между равнодействующими напряжений и производными перемещений и поворотов, полученные в теории первого порядка. Полученные в результате разрешающие уравнения теории второго порядка пространственных рам имеют следующий вид:

Растяжение-сжатие:

«1,1 - V2.ll«2 - У3,11«3 + Ч\ + У2,\Ч2 = 0 (36)

«1,1 =

Кручение:

\\ + 1 - у2,11 Щ. - ^зд 1Щ + Ц + у2л/2 + у3д?3 =0 (37)

«1.1+<11 = (0/г + ^-^)Р1,11-£/Апп

Изгиб:

™2,и + V3.11«! щ п - у2Д1Й, -д2 =0 (38)

т2=-Е /3узд1, тъ= Е 12г2л ,

Общепринятый подход метода конечных элементов не может быть использован для вывода матриц жесткости стержней в теории второго порядка, так как не существует интерполирующих функций, удовлетворяющих однородным разрешающим уравнениям.

В седьмой главе диссертации разработан альтернативный подход формирования матриц жесткости стержневых элементов, при котором вначале находится решение однородного разрешающего уравнения второго порядка для заданных перемещений и поворотов узлов. Затем для заданных единичных перемещений по направлениям степеней свобод находятся соответствующие реакции, которые представляют собой коэффициенты матрицы жесткости. Для того, чтобы найти коэффициенты вектора нагрузки стержня, выполняется частное решение уравнения для стержня с жестко защемленными концами. Реакции в узлах представляют собой искомые коэффициенты. Ниже метод проиллюстрирован для случая изгиба стержня с действующим в нем осевым усилием /7,. Краевая задача записывается следующим образом:

¿2у2

= 0

Щ Щ

^=0: у2 =у2А у1=а:у2 = v2B (39)

Ф! йух

С целью учета влияния сжимающей осевой силы на интерполирующую функцию перемещений при изгибе, вводится некоторое характеристическое число е. В критической точке это число соотвествует коэффициенту формулы Эйлера.

8 := а^-П1/(Е12) при щ <0 (40)

Характеристическое число используется в формулировке пробной функции:

• ЕУ1 еу, V,

У2 = С^Ш—^ +С2С08^-!- +с3— + Сл (41)

а а а

Коэффициенты с, определяются исходя из удовлетворения граничных условий задачи. Перемещение у2 выражается в виде функции обобщенных узловых перемещений:

((e2 H5)V2A + H«)V2B + (Е2 М^РЗА + (g2 И8)«РзЛ )

v2 = WlA + ^2V2B + РзЛ + M4« Рзв ' ГДе Hi = 1 + Ф1 h\ + Ф2^2> = ~ Ф1 hl ~ Ф2Й2' Нз = уг/а + Ф3А1+Ф4А2. Н4= Ф5й1+Фбй2>

ф1 = (esinE)/aT, 92=s(cosE-l)/i/, ф3 = (s sins + cose-\)/d,

ф4 = (e coss-sinE)/d, ф5= (1-cose)/g?, ф6= {sms-s)/d,

. E y, ey-i J E yl

h, = sin————, h2 = cos 1, 1 a a a

2

d = — £ sin e (sin e — £) £ (1 — cos e) .

Изгибающий момент щ и поперечная сила п2 определяются подстановкой перемещения v2 в разрешающие уравнения (36) и (38): Е17

Щ =--2"

а

п2 = EI2 ^ (ф!У2Л - щ\2в + ф3 фЗА + ф5 аРзв)

. £у> evi • £У\

ц5 = ф1 Sin— + ф2 COS цб= -ф^Ш-*--ф2С08-

а а а а

. £у, б vi . еу\

М-7 =фз51п—— + фл cos— р8= Ф5 Sin-!- + фбС05-

' а а а а

В окрестности е = 0 тригонометрические функции не могут использоваться из-за того, что коэффициент d в их знаменателе стремится к

1ч 1 2

нулю: d =--е (1--е +...).

3 12 15

В этом случае тригонометрические функции sinE и cose аппроксимируются их разложением в ряды. Модифицированные выражения для коэффициентов используются для значений характеристического числа, находящихся в пределах 0<е<0,02. Например, выражения для коэффициентов Ф/ преобразуются к следующему виду:

б

е

£

3 60 25200 £2 60 25200

На рисунке 9 показаны единичное узловое перемещение и узловые реакции, образующие первый столбец матрицы жесткости К2:

п2 А тА П2В т3 В

Рисунок 9 -Коэффициенты матрицы жесткости стержня

График, показанный на рисунке 10, демонстрирует, что коэффициенты ¿оо = ¿22 и ¿02 = ¿20 = являются наиболее чувствительными к изменению значения характеристического числа е. При с = л достигается критическая нагрузка и коэффициент А, = 0.

о 10.0

2 8.0

5 6.0 £

О 2.0 о

X

5 0.0

0.0 1.0 2.0 3.0 характеристическое число б

Рисунок 10 - Зависимость коэффициентов жесткости стержней от его характеристического числа

После определения коэффициентов матрицы жесткости стержневых элементов и вектора нагрузок, составляется и решается полная система уравнений конструкции.

Решение тестового примера показало, что единственный конечный элемент, разработанный в диссертации, обеспечивает вычисление критической нагрузки Эйлеровых колонн с различными условиями закрепления. В отличие от формулы Эйлера, в получаемом уравнении учитывается укорочение стержня колонны, предшествующее потере устойчивости. Влияние его на критическую нагрузку мало.

Одноэлементный подход позволяет существенно сократить требования к объему памяти для хранения компьютерной модели конструкции. Размерности матриц жесткости и векторов системы уравнений сокращается на порядок. В результате сокращаются затраты на решение систем уравнений на каждом шаге решения, и значительно сокращается общее время расчета. Несмотря на

К2у2 = п2

¿00 ¿01 ¿02 ¿03

¿10 ¿11 ¿12 ¿13 Рзл

¿20 ¿21 ¿22 ¿23 В

¿30 ¿31 ¿32 ¿33 Рз в

X

к

\

ь, \

\

\

|Ь4

\

\

сокращение объема данных, результаты расчета содержат полную информацию о характеристиках и поведении пространственной рамы.

В восьмой главе диссертации выполнен сравнительный анализ устойчивости равновесия сетчатого купола по схемам с шарнирными и жесткими узлами.

На рисунке 11 показаны план и боковой вид купола. Геометрия купола задана следующими параметрами: радиус сферы - 48,600 м; радиус опорного кольца - 30,000 м; стрела подъема - 10,364 м.

-ЭО.0 -35.0 -20.0 -15.0 -10.0 -5.0 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0

Рисунок 11 - План купола и вид по направлению оси у

Несущий каркас купола - сетчатый. Все элементы каркаса купола представляют собой прямолинейные стержни из прессованных двутавров высотой 200 мм, шириной полки 100 мм, толщиной стенки 4.5 мм и толщиной полки 6,0 мм. Основные элементы (кроме нижнего кольца) имеют один

типоразмер. Элементы нижнего кольца имеют коробчатое сечение 200x200 мм с толщиной стенки 12 мм. Несущий каркас купола выполнен из алюминиевого сплава АДЗЗТ1, ограждающие конструкции - обшивка толщиной 1,2 мм из алюминиевого сплава АМГ-6.

Расчет выполнялся на действие расчетных сочетаний нагрузок, включавших собственный вес элементов сетки и оболочки и снеговую нагрузку, определяемую по симметричной и несимметричной схеме в соответствии с действующими СНиП. Принималось два типа опирания - с неподвижным кольцом и кольцом, подвижным относительно перемещений в горизонтальной плоскости. Всего в расчете использовались шесть случаев нагружения: два случая с симметричной снеговой нагрузкой (С1 и С4) и четыре случая с несимметричной нагрузкой (С2, СЗ, С5, С6). На рисунках 12 и 13 приведены графические представления результатов расчета, выполненного в разработанном программном приложении. Для обеих моделей приведен случай нагружения С2 с несимметричной снеговой нагрузкой и неподвижным опорным кольцом.

Результаты расчетов устойчивости сетчатого купола по моделям с шарнирными и жесткими узлами существенно отличаются. Модель с жесткими узлами дает значительно более высокие значения критической нагрузки, чем модель с шарнирными узлами. Сравнение результатов приведено в таблице 1. Различие в поведении моделей заключается не только в величине критической нагрузки, но и в форме потери устойчивости. Потеря устойчивости сетчатого купола с шарнирными узлами происходит в результате прощелкивания узлов в направлении, нормальном к поверхности купола, при этом происходит изменение углов между стержнями, сходящимися в этом узле.

Рисунок 12 - Потеря устойчивости сетки купола с шарнирными узлами: а) - вид по направлению оси у; б) - сечение у = 0 Перемещения увеличены в 100 раз

Потеря устойчивости сетки купола с жесткими узлами для всех случаев нагружения, кроме случая С5, происходит вследствие потери устойчивости стержнями относительно слабой оси сечения. Для сочетания С5 ведущим

является изгиб сечений относительно сильной оси в приопорной зоне купола. Потеря устойчивости сетки купола с жесткими узлами сопровождается поворотом узлов вокруг оси, нормальной к поверхности купола. При этом линейные перемещения узлов незначительны и происходят в основном в плоскости, касательной к поверхности купола.

Рисунок 13 - Потеря устойчивости сетки купола с жесткими узлами: а) - план сетки; б) - увеличенный фрагмент плана в зоне потери устойчивости

Таблица 1 - Сравнение результатов расчета для двух моделей купола

Сочетание Шарнирные узлы тах2 Жесткие узлы ЕРщахг/ ЕРтах1

С1 0,285 1,882 6,60

С2 0,128 1,000 7,81

СЗ 0,156 1,210 7,76

С4 0,198 1,749 8,83

С5 0,109 0,900 8,26

С6 0,125 1,174 9,39

Выполненное исследование устойчивости реального сетчатого купола показало, что коэффициент запаса потери устойчивости при учете нелинейной работы конструкции и потери устойчивости отдельными стержнями недостаточен. Для расчетной схемы купола с жесткими узлами и закрепленными от горизонтального смещения опорами он составляет 1,0, то есть потеря устойчивости может происходить при расчетной нагрузке. Для

расчетной схемы купола с жесткими узлами и подвижным опорным кольцом коэффициент запаса составляет 0,9. Это означает, что потеря устойчивости может произойти при нагрузке в 90% от расчетной.

Основные результаты работы и выводы

1. Выполненный обзор современного состояния исследований в области анализа устойчивости равновесия конструкций показал, что в данной области всё ещё остаются существенные теоретические и вычислительные проблемы. Необходимо развитие общих методов анализа устойчивости, позволяющих надёжно оценивать общую устойчивость конструкции с учётом взаимодействия отдельных элементов, а также устойчивость каждого отдельного элемента этой конструкции.

2. Предложен обобщённый подход к разработке нелинейных методов расчёта конструкций. Нелинейная теория упругих тел сформулирована таким образом, что на её основе можно получить частные теории для отдельных видов конструктивных элементов, применяя соответствующие гипотезы поведения. В результате такого подхода возможна унификация нелинейных теорий конструктивных элементов, позволяющая сократить затраты на их программную реализацию и добиться совместимости различных типов конструктивных элементов, объединяемых в сложные системы.

3. Полученная на базе общей геометрически нелинейной теории упругости формулировка геометрически нелинейной теории пространственных шарнирно-стержневых систем, не имеет ограничений по величине перемещений, поворотов и деформаций в стержнях. Благодаря отсутствию допущений стало возможным надежное исследование разрабатываемых новых методов, свободное от влияния погрешностей аппроксимации.

4. На основе обощенной теории деформирования и устойчивости равновесия пространственных стержневых систем разработан интегрированный метод численного анализа, позволяющий: вычислять напряженно-деформированное состояние конструкций; выявлять критические конфигурации, для которых матрица касательной жесткости фермы становится сингулярной; точно вычислять критические состояния конструкции; вычислять продолжение траектории нагружения за критическими состояниями конструкции. В качестве составных частей метод включает нелинейный деформационный анализ, выявление и вычисление сингулярных точек, продолжение траекторий нагружения.

5. Разработан новый метод нелинейного деформационного анализа, основанный на использовании инкрементальной матрицы секущей жесткости, который позволяет сохранять в уравнениях метода конечных элементов все нелинейные члены исходных разрешающих нелинейных уравнений. Удержание нелинейных членов улучшает скорость сходимости итерационной процедуры, особенно на участках траектории нагружения с большой кривизной. Сравнение численных результатов, полученных для тестовых задач с точными решениями доказало высокую точность метода секущей жесткости.

6. Предложен новый способ разложения секущей матрицы жесткости на основную симметричную матрицу и остаточный член, позволяет избежать увеличения числа операций алгоритма решения и необходимого объема оперативной памяти, возникающих вследствие несимметричности инкрементальной матрицы секущей жесткости. Остаточный член при этом преобразуется в корректирующий член нагрузки, уточняемый в процессе итераций на шаге нагружения. Для предлагаемого способа разложения корректирующий член нагрузки стремительно убывает в процессе итераций.

7. Предложена новая методика учета неуравновешенных сил для корректировки решения на шаге нагружения, отличающаяся тем, что неуравновешенные силы используются для вычисления корректирующих перемещений и корректирующих реакций, которые затем вводятся в уравнения для уточнения матрицы секущей жесткости на шаге нагружения. Методика существенно улучшает точность и скорость сходимости деформационного анализа.

8. Разработан новый прямой метод вычисления сингулярных точек, основанный на формулировке общей проблемы собственных значений, решением которой является значение инкремента коэффициента нагружения, приводящее из почти сингулярной точки траектории нагружения в сингулярную точку. Сравнение вычисленных значений сингулярных точек тестовых задач с аналитическими решениями доказало высокую точность и надежность нового метода.

9. Разработан новый подход к продолжению траекторий нагружения, основанный на расширении формулировки бифуркации дополнительным условием, в соответствии с которым нагрузка в конце первого шага продолжения решения пропорциональна заданной модельной нагрузке.

10. Предложен способ учета погрешности вектора нагрузки (неуравновешенных сил) в разработанном методе расширения, в котором к вектору погрешности добавляется некоторая часть заданной модельной нагрузки, так, чтобы инкремент перемещений от нагрузки был нормален инкременту перемещения от сингулярного состояния к последующему состоянию. При помощи этого инкремента нагрузки корректируется пробное состояние конструкции, а также вычисляются инкременты перемещений и реакций.

11. Разработана новая инкрементальная методика расчета стальных пространственных ферм на предельную нагрузку, увеличивающая надежность предсказания потери устойчивости конструкции и позволяющая выявить: потерю общей устойчивости конструкции, потерю устойчивости в результате образования пластического механизма или местную потерю устойчивости в узле вследствие потери несущей способности всех сходящихся в нем стержней.

12. Разработана теория пространственных рам второго порядка, позволяющая учитывать дополнительные изгибающие и крутящие моменты, возникающие вследствие искривления оси элемента в текущей конфигурации. Для вычисления матриц жесткости элементов в деформированном состоянии предложены пробные функции, являющиеся решениями основных

дифференциальных уравнений деформированного элемента. Коэффициенты матрицы жесткости вычисляются как узловые усилия в элементе, полученные из точного решения однородных разрешающих уравнений для единичных перемещений и поворотов в узлах элемента.

13. Разработан одноэлементный подход к расчету устойчивости пространственных рам, дающий возможность моделировать каждый стержень пространственной рамы только одним конечным элементом. Одноэлементный подход позволяет точно определять критическую нагрузку потери устойчивости каждого стержня. Отличительной чертой предлагаемого подхода является отсутствие необходимости допущений о величинах перемещений в рамах перед потерей устойчивости. Уравнения равновесия формулируются для деформированного состояния рамы в текущей конфигурации, независимо от величины перемещений, предшествующих этой конфигурации.

14. Разработанны программные приложения на базе объектно-ориентированной платформы Java, позволившие выполнить исследование и оценку новых методов. Использование программных приложений для анализа ряда пространственных стержневых конструкций позволило выявить новые аспекты нелинейного поведения этих конструкций.

15. Сравнение численных результатов расчёта для тестовых примеров с результатами точных аналитических решений показало, что разработанные на основе предложенных методов алгоритмы обеспечивают достоверность и точность вычисления сингулярных конфигураций, позволяют определить тип сингулярных точек, получить значения деформаций и нагрузок в сингулярных точках. Выполненные расчеты реальных пространственных стержневых систем на деформации и устойчивость подтвердили практическую значимость проведенного исследования.

Общность разработанного в диссертации подхода позволяет распространить теоретические положения, а также их реализацию в виде методов, алгоритмов и программного приложения на другие виды конструкций помимо пространственных стержневых систем. Таким образом, диссертация открывает щирокую область исследований и совокупность её результатов можно квалифицировать как обоснование и развитие нового научного направления.

Основные положения диссертационного исследования опубликованы в следующих работах:

Статьи, опубликованные в изданиях, рекомендованных ВАК РФ:

1. Игнатьев В.А. Расчет шарнирно-стержневых систем на устойчивость на основе принципа возможных перемещений [Текст]/В.А. Игнатьев, В.В. Галишникова // Вестник ВолгГАСУ, серия: Технические науки. - Волгоград 2006. Вып. 6(20). - С. 5 - 17.

2. Галишникова В.В. Унифицированный и общий подход к геометрически нелинейному расчету строительных конструкций [Текст]/ В.В. Галишникова // Вестник ВолгГАСУ, серия: Технические науки. - Волгоград, 2006. Вып 6(20) -С. 42 - 66.

3. Галишникова В.В. Геометрически нелинейный расчет плоских рам [Текст]/ В.В. Галишникова, ПЛ. Паль // Вестник ВолгГАСУ, серия: Строительство и архитектура. - Волгоград 2006. Вып. 6(21). - С. 24 - 52.

4. Галишникова В.В. Аналитическое решение нелинейной задачи устойчивости и исследование закритического поведения трехстержневой фермы [Текст]/ В.В. Галишникова // Вестник ВолгГАСУ, серия: Естественные науки. -Волгоград 2006. Вып. 6(23). - С. 53 - 64.

5. Галишникова В.В. Вывод разрешающих уравнений задачи геометрически нелинейного деформирования пространственных ферм на основе унифицированного подхода [Текст]/ В.В. Галишникова // Вестник ВолгГАСУ, серия: Строительство и архитектура. - Волгоград 2009. Вып. 14(33). - С. 39-49.

6. Галишникова В.В. Постановка задачи геометрически нелинейного деформирования пространственных ферм на основе метода конечных элементов [Текст]/ В.В. Галишникова // Вестник ВолгГАСУ, серия: Строительство и архитектура. - Волгорад 2009. Вып. 14(33). - С. 50-58.

7. Галишникова В.В. Модификация метода постоянных дуг, основанная на использовании матрицы секущей жесткости [Текст]/ В.В. Галишникова // Вестник МГСУ. - Москва, 2009. №2. - С. 63-69.

8. Галишникова В.В. Анализ устойчивости пространственных ферм (Stability Analysis of Space Trusses) [Текст]/ В.В. Галишникова // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering / Международный журнал по расчету гражданских и строительных конструкций. - Москва, 2009.

Vol.5, Issue 1&2. - Pp. 35-44.

9. Гачишникова В.В. Численный анализ устойчивости равновесия пространственных ферм в геометрически нелинейной постановке [Текст]/ В.В. Галишникова // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - Москва, 2010. №1. - С. 42-50.

10. Гачишникова В.В. Вычислительные методы решения почти сингулярных систем линейных алгебраических уравнений в алгоритмах геометрически нелинейного анализа устойчивости стержневых систем [Текст]/

B.В. Галишникова // Известия Волгогр. гос. тех. ун-та, серия: Актуальные проблемы управления, вычислительной техники и информатики в технических системах. - Волгоград, 2010. Вып. 9, №11(71). - С. 9-12.

11. Гачишникова В.В. Новый метод расширения для вычисления продолжения решения в сингулярных точках (А New Expansion Method for Continuation of Load Paths at Singular Points) [Текст]/ В.В. Галишникова // Вестник РУДН, серия Математика, информатика, физика. - Москва, 2011. № 2. -

C. 104-113.

12. Гачишникова В.В. Геометрически нелинейная задача устойчивости стержневых систем: о возможностях программных комплексов // Журнал: Вестник Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета. Сер.: Строительство и архитектура. - 2012. -Вып. 29 (48). - С. 231243.'

13. Галишнжова В.В. Проблемы анализа устойчивости равновесия пространственных рам в геометрически нелинейной постановке // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2013. -№4.-С. 28-30.

14. Хейдари А., Галишникова В.В. Аналитический обзор теорем о предельной нагрузке и приспособляемости в упругопластическом расчете стальных конструкций// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений, 2014, №3, С. 3-18.

15. Хейдари А., Гачишникова В.В. Прямой упругопластический расчет стальных ферм с большими перемещениями на предельное равновесие и приспособляемость // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений, 2014, №3, С. 51-64.

Монографии

16. Игнатьев В.А. Регулярные стержневые системы (теория и методы расчета) [Текст]/ В.А. Игнатьев, В.В. Галишникова. - Волгоград: Изд-во ВолгГАСУ, 2006. - 552 с.

17. Galishnikova V.V. Geometrically Nonlinear Analysis of Plane Trusses and Frames (Геометрически нелинейный анализ плоских ферм и рам) [Текст]/ V.V. Galishnikova, P. Dunaiski, P.J. Pähl. - Stellenbosch (Republic of South Africa): SUNMeDIA, 2009. - P.382.

Публикации в других изданиях

18. Galishnikova V.V. A general method for the geometrically nonlinear analysis of structures (Обобщенный метод геометрически нелинейного расчета строительных конструкций) [Текст]/ V.V. Galishnikova, P.J. Pähl // Asian Journal of Civil Engineering (Building and Housing). - Tehran (Iran), 2006. Vol.7, No.4. - Pp. 411-428.

19. Галишникова В.В. Конечно-элементное моделирование геометрически нелинейного поведения пространственных шарнирно-стержневых систем [Текст]/ В.В. Галишникова // Вестник гражданских инженеров (СПбГАСУ). -СПб., 2007. № 2(11). - С. 101—106.

20. Галишникова В.В. Алгоритм геометрически нелинейного расчета пространственных шарнирно-стержневых конструкций на устойчивость [Текст]/ В.В. Галишникова // МСНТ «Наука и технологии»: труды XXVII Российской школы. - М.: РАН, 2007. - С. 235—244.

21. Галишникова В.В. Компьютерное моделирование геометрически нелинейного поведения конструкций [Текст]/ В.В. Галишникова // Тезисы симпозиума «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений». - Нижний Новгород, 2007. - С. 56-58.

22. Галишникова В.В. Продолжение решения по длине дуги в геометрически нелинейном расчете конструкций по МКЭ [Текст]/ В.В. Галишникова // Труды XXI междунар. науч. конференции Математические методы в технике и технологиях / СГТУ, Саратов, 2008. Т. 4. - С. 191—195.

23. Galishnikova V.V. Robust Numerical Stability Analysis of Space Trusses (Надежный численный анализ устойчивочти пространственных ферм) [Текст]/

В.В. Галишникова // Proceedings of 12th International Conference on Computing in Civil & Building Engineering. - Beijing, China, 2008. - P.25-26.

24. Galishnikova V.V. Solving the Unsolvable: Unusual Formulations in Computational Mechanics (Необычные формулировки в вычислительной механике) [Текст]/ В.В. Галишникова // Proceedings of EG-ICE Conference "Computing in Engineering". - Berlin, 2009. - Pp. 113—123.

25. Galishnikova V. V. Nonlinear numerical stability analysis of space trusses (Нелинейный численный анализ устойчивости пространственных ферм) [Электронный ресурс]/ В.В. Галишникова // Proceedings of the International Conference on Computing in Civil and Building Engineering. - Nottingham, UK, 2010. Nottingham University Press. Paper 232. - P. 463.

URL:http:/Avw\v.engineering.nottinaham.ac.uk/icccbe/proceedings/pdf/pf232.pdf.

26. Галишникова В.В. К расчету гибких упругих стержней с учетом больших перемещений и поворотов [Электронный ресурс]/ В.В. Галишникова, В.А. Игнатьев // Интернет-вестник ВолгГАСУ, серия: Строительная информатика. 2006. Вып.1(2). - С. 4. URL: http://vestnik.vgasu.ru/attachments/l-1 1206 000.pdf.

27. Галишникова В.В. Расчет шарнирно-стержневых систем с большими перемещениями узлов [Текст]/ В.В. Галишникова, В.А. Игнатьев // Интернет-вестник ВолгГАСУ, серия: Строительная информатика. 2006. Вып. 1(2). - С. 4. URL: http://vestnik.vgasu.ru/attachments/l-2 1206 000.pdf.

28. Galishnikova V. V. An integrated method for the geometrically nonlinear analysis of space trusses and its implementation in a test bed. // Abstracts of the 14 International Conference on Computing in Civil and Building Engineering, Москва, Издательство ACB, 2012, P.18.

29. Хейдари А., Гапишникова В.В. Факторы, влияющие на критическую нагрузку и распространение местной потери устойчивости в сетчатых оболочках (Современные достижения) // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия инженерные исследования. 2013, №1, С. 118-133.

30. Хейдари А., Галишникова В.В., Кани М. Difficulties for detecting the singular points with commercial programs in space structures and a method for determining the real capacity of the structures // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия инженерные исследования, 2013, №1, Стр. 100-108.

Подписано в печать 24.02.2015 г. Формат 60x84/16. Печать офсетная. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме.

Усл. печ. л. 2,25. Тираж 100 экз. Заказ 189. Российский университет дружбы народов

_115419, ГСП-1, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3_

Типография РУДН 115419, ГСП-1, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, тел. 952-04-41