автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:О разрешимости и численной реализации краевых и смешанных задач для одного класса уравнений третьего порядка гиперболического типа

государственный ксмитег нжр по делам шш и 7ысшкй школы новосибирский овдша трудового красного знамени .

госудагствйшй университет им. лшиешко комсомола

На правах рукописи

АБУЛОВ Цумив Арзикулович

УЖ 51-73:550.3

0 разрншмссш и числшной реализации краешд и смшданных задач для (щого класса уг'внений третьего порядка гиперболического топа

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по информатике) )

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кавдицата физико-математических наук

новосибирск 1991

Работа выполнена в Новосибирском ордена Трудового Краевого Знамени государственна» университете т. Ленинского комсомола. ' ,

Научный руководитель - Врагов В.Н., доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты: Аниконов Д.С., доктор физико-математических наук, профессор

Ерохин Г.Н., доктор физико-математических наук

Ведущая организация - ИТПМ СО АН СССР.

Защита ооотоится " 2 " иши -_1991 г., в 16°°чао.

на заседании Специализированного совета К.063.98.05 Новосибирского университета по присуждению ученой степени кавдвда-та наук по адресу:; 630090, Новосибирск-90, Пирогова, 2. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новоси-• бирского университета {Новосибирск-90, Пирогова, 2).

Автореферат разослан" 31 " /щя_1991 г. .

Ученый секретарь Специализированного' совета, кандидат физико-математических s наук, доцент Н.Н.Сбргеев-Альбов

I. СБВДЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

— ^Актуаяъяооть темы. Впервые нек, зссичеокие уравнения математической физики появились как уравнения смешанного типа при исследовании околозвуковых течений в работе С.А.Чаплыгина "О газовых струях". Определенный интерес к юс изучению был вызван исследованиями Ф.Трикомй, С.Гепнерстедта, которые изучали краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа на плоскости. В работах М.А.Лаврентьева, А.В.Бицадзе, М.В.Кетщыша, Ф.И. Бранкля, К.Г.Гудергая и других было указано на важность иссле-цования неклассических уравнений математической физики при решении задач, возникающих в трансзвуковой газовой дыамике, а также безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака и во многих прикладных задачах механики.

Важным этапом развития теории разрешимости, обидах краевых гадач для уравнений неклассического типа являйтея фундаментальные р^ Зоты А.В.Бицадзе, К.И.Бабеико, Ф.И.Франкпя, Л.Д.Куд- • рлвцева и их учеников.

Дальнейшее развитие эта теория получила в работах А.В.Бицадзе, О.А.Олейник, Е.В.Вэдкевича, М.М.Смирнова, Г.Фикера, ¡йГ.Каратопраклиева, Т.Ш.Кальменова, А.И.Кипряянсза, В.Н.Вра-гова, Б.А.Бубнова, Н.А.Ларькина, А.И.Кояаггова, С.Г.Пяткова и цругих авторов.

Краевые задачи для некоторых клаооов уравнений некласси-геского типа высокого порядка изучались в работах Ю.А.Дубшс-:юго, В.П.Глушкс, Ю.Б.Савченко, Б.Н.Братова, И.Е.Егорова,

А.И.Кожанова, С.Г.Пяткова и других.

Отметим, что исследованию краевых задач для уравнений составного и смешанно-составного типа третьего порядка посвящено довольно много работ, например М.С.Салахитдкнова, Т.Д.Дкурае-ва, А.И.Кожанова и др. Изучены такие различные задачи для уравнений третьего порядка гиперболического типа в работах С.Е.Елубаева, Т.Д.Дкураева и других авторов, где наряду с теоретическими исследованиями ряда существенных вопросов этой теории была указана и их практическая значимость.

Смешанные задачи для неклассических уравнений математической физики представляют значительный интерес в связи о важностью их прилоасе'"1й в различных разделах механики, физики. Отметим здесь работы Р.иакамато, С.К.Годунова, В.М.Гордаенко, В.Н.Врагова, М.М.Лаврентьева, К.С.Темирбулатова, А.М.Блохмна, В.Н.Федосова, Н.Н.Яненко и др.

Как известно, не всегда удается решить многие задачи неклассических уравнений математической физики аналитически. Поэтому численные методы являются эффективными методами решения таких задач и позволяют заменить физический или механический эксперимент математическим моделированием. Следовательно, разработка и обоснование чиоленных методов, а также создание программного обеспечения для исследования задач неклассических уравнений математической физики является актуальной задачей в вычислительной математике и ее приложениях в прикладном аспекте и в области математического моделирования.

Цодъю работы являются постановки и исследования разрешимости смешанных и начально-краевой задач для одного класса уравнений третьего порядка гиперболического типа, изучение 'корректных краевых задач для уравнения смешанно-составного тпиа и нелинейных уравнений эысокого порядка гиперболического

типа, построение устойчивых разностных схем для начально-краевой задачи, реализация численных алгоритмов решения конечно-разностных задач на основе вычислительных методов и создание комплекса прикладных программ для их реализация.

Метод исследования. В диссертации при исследовании разрешимости задачи для уравнений третьего порядка гиперболического типа, смешанно-составного типа, нелинейного уравнения высокого порядка попользуются методы математической физики, а также аппарат функционального анализа. Устойчивость разностной схемы исследуется спектральным методом. Решение разностной задачи находится методам прогонки о использованием формулы Симпсона.

Научная новизна, теоретическая и практическая деннооть. Новыми в работе являются следующие основные результаты:

1. Постановки и исследования разрешимости смешанных и начально-краевой задач для одного клаиса уравнений третьего порядка гиперболического типа,

2. Изучена разрешимость краевых задач для уравнения смешанно-составного типа и нелинейных уравнений высокого порядка гиперболического типа.

3. Построенные устойчивые разностные схемы, аппроксимирующие начально-краевые задачи для одного класоа уравнения третьего порядка гиперболического типа.

. 4. Создан пакет программ на языке Фортран для расчета на ЭВМ решения начально-краевой задачи. Она могут быть использованы в области моделирования волновых полей при определении неизвестной внешней силы.

Апробация габотц. Результаты диссертации обсуждались на семинарах по дифференциальным уравнения-в ИГУ, Ш СО АН СССР,

Щ СО АН СССР, в Карвиноком гоопединституте Узбекской ССР, на конференции молодых ученых Сибири 1988 г. '

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 работы, указанные в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав (6 параграфов), 6 рисунков и списка цитированной литературы (68 наименования). Работа изложена на 90 страницах • машинописного текста, :

П. СОДЕРЖАНИЕ РАБОШ

Во введении' »ется краткий обзор результатов советских и зарубежных авторов но исследованию задач неклассических уравнений математической физики, определяется цель работы. Схато излагаются основные результаты диссертации. •. .

В главе I в облаоти 0<Х<1, |^|<оо]

0<Я</, |у|<оо] изучаются шеоть смешанных задач для уравнения третьего порядка

д , ■ ' ■ :

В первом параграфе наследуется омешанкая задача I. Найти решение уравнения (I) в области £) из пространства Соболева \1^(сЮ), удовлетворяющее о ледупдим начальным и-граничным ус-

б

где - постоянные действительные числа и йфо Положил

й1-\о<-Ь<1к, ¿<ж/, \у\<»о}, £ -{¿>0, л:-¿7,.

Г5~\о<Ь<,и, я«/, |у1<«}.

Теорема 1.1. Пусть функции у), И^у) таковы, что ^¿(Г,) и выполнены условия

(4

и условия согласования

. " ^ + ^ м- я'

Тогда существует,и притом единственное, решение задачи (I)— (3) из пространства оно допускает оценку

где Функция решение следуицей задачи Кож в области

л ^о-^Щи>

решение следующей задачи Коиш в области Гл

В § 2 изучаются смешанные задачи для уравнения (I) в области^ с граничныш условиями одного из следующих видов:

.. и^а,их. (6)

' + х-о

1:

я с начальными данными (2), где й-, ё^ - постоянные действительные числа, а„ ¥0. й.^ О'

» ¡г

"еорема 1.2. Пуоть щ (£, ре. (/^ ), ¿7. V/. ),

ВЫПОЛНеНЫ условия и условия согласования

дг- дг г дуг'

Тогда существует, я притом единственное, решение задачи (I), (2), (4) из пространства V/, (Щ) причём справедлива оцен-

о)

ка

%>b.rf + 'Uli/./J'

где ^UiyX^ißit/) - определяются однозначно через данккз (2), £4) и уравнение (I).

Теорема Т.З. Пусть функции таков;1, что

$ 7

иа(Х,у)€. ), и,(ос,у)€. , выполнены условия

й2г-^г-а2){Наг)^0 И условия согласования

Р дгрФ {О, Ю

-0, р-0,/,2, (II)

а ; ч ' Р^Ьт

~ -Щгф—О, 9-0,/,

(а У^^Щуу^V - ' (12)

Тогда существует, и притом единственное, решение задачи (I), (2), (5) из пространства и оно допускает'оцен-

ку

хгде функции - определяются однозначно

через данные (2), (5) и уравнение (1).

Теорема 1.4. Пуоть функции 110Щ)£11^)4 Н^), выполнены условия

и условия согласования (10), (II). Тогда существует, и притом единственное, решение задачи (I), (2), (6) из пространства У//(<0() и оно допускает оценку

где ^ у), У^уХФ^Ау)- определяются однозначно через данные (2), (6) и уравнение (I).

. Теопема 1.5. Пусть ив(Л,Г/)еУ!(Гг)1Щ£.у)еУ!?(Гг). 'выполнены условия

о агф~/, {{-^ущ^о

и условия согласования (9), (12). Тогда существует, и притом единственное, решение задачи (I), (2), (7) из пространства и для него верна оценка

вде функции

ЩЦ)-

определяются через данные (2),

(7) и уравнение (I).

Теопема 1.6. Пусть и0{х,у)^(о, щх^е^сг,), выполнены условия

и условия согласования (10),

иш и у) + % (о, у) + %уЩ)-иш оу)=0.

Тогда существует, и притом еданотвенное, решение задачи (I), (2), (8) в пространстве ) и оно допускает оценку

где функции - определяются однознач-

но через данные (2), (8) и уравнение (I).

В главе П изучается начально-краевая задача д.чя уравнения

(I).

Начата,но-краевая задача. Найти решение уравнения (I) в области

удовлетворяющее следувдим краевым условиям

и

я начальным даннш

Положим, | 0<Х<^ \у\<оо].

Теорема.2,2, ^ (я, у)£ У//(«ф, М/Ц,)

И ОНИ УДОЕПеТЕОрЯЮГ условиям

Тогда существует решение задачи (I), (12), (13) из пространства

и для него верна оценка

В.- § 2 задача (I), (12), (В) оводкгся к эквивалентной задаче:

Х-0\<Г(Ь-0, (15)

(16)

и для этой задачи предлагается разностная схема и ь^следуется её устойчивость.

Для численного решения начально-краевой задачи (14) - (16) применяется следующая разноотная охема

А JLiу ¿z 1лгу frt > ■

Е- единичный вектор.

Граничные и начальные условия аппроксимируются с^ицим образом:

10л0ким, y^ -

Доказано, что при произвольных Г, , h¿ необходимое условие устойчивости задачи выполняется. Далее, для этой задачи эписан алгоритм и по этому алгоритму ооотавлена программа на ззнке Фортран для ЭВМ ИЗ 1051.

Пусть область из при i>0 еоть куб с вершинами 1(0,0,0), В(0,0,1), С(0,1,0), Д(0,1,1), Ajd.0,0), BjCl.O.I), 3j(I,I,0), а при X'<0 ограничена поверхностями

/ и плоскостями В главе Ы § I в области <¡0 рассматривается уравнеьие третьего порядка

Тх u^Utfaü^u^cufdufjü-fayt).ÍI7)

Краевая задача. Найти в области

Я

решение уравнения

[Г?), удовлетворяющее условиям

При помощи энергетических оценок доказывается единственность сильного решения г слабая разрешимость задачи (17), (18),

В § 2 в цилиндрической области (¿^{О^Т)*£? 1де ог-

„г

ранзченная обдаоть с достаточно гладкой границей в -К , рассматривается уравнение

(19)

йц[х') = ~ достаточно гладкие функции, и выполне-

но условие

г,¡ч ' '

Для уравнения (19) рассматривается задача. Краевая задача. Найти решение уравнения (19), удовлетворяющее условиям

/ {

(го)

ГДЭ $-[0,Т)*д£;

Обозначим через

пространства, являющиеся пополнением класса функций ^ непрерывно дифференцируемых : £+2 раза в области 13 и удовдетворяшцих условии (20), соответственно по нормам , '

Назовём решением задачи (19) - (21) функции и(Х,£) , такую, что

3£ии£ ¿„(О,п4(Щ и^Ьм Ш)

и удовлетворяющую тождеству

= (-//'1 /Л п.в. ^ ,

гао

Доказана теорема. Пусть €Ш), .и,(2)£\'11(/2)()&г(р±г>(£). Тогда существует единственное решение задачи (19) - (21).

Автор выражает искренаш благодарность научному руководителю д-ру физ.-ыат. наук проф.' В.Н.Врагову за постановку задачи и постоянное внимание к работе, д-ру фаз.-мат. наук А.М.Блохину за консультации по спектральному анализу.

Основные результаты диозертадии опубликованы в следующих работах:

I. Абулов М.А. Краевая задача для уравнешля смешанно-составного типа третьего порядка / Новосиб, ун-т. Новосибирск, 1589 . 5 с. Леи. В ШШЛИ. В 1430-Е09.

2. Абулов М.А. О смешанных задачах для одного уравнения третьего порядка. Новосибирск, 1989. 32 с. (Препр./ СО АН СССР. Ин-т математики; А 22)..

3. Абулов М.А. О разрешимости смешанной задачи для нелинейного уравнения высокого порядка^Математический анапз и дискретная математика: Мех.вуз. об. науч. тр. Новосибирск, 1989. С. 73 - 77.

Ротапринт НГУ; 630090, Новосибирск-90, ул. Пирогоэа, 2

Подписано в печать 23.05.91

Усл. печ. л. 0,75 Тирах 100 экз.

Формат 60x84 1/16 Заказ 412 Бесплатно