автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Нелокальные задачи для уравнений влагопереноса

На правах рукописи

|' < О

Евдокимова Наталья Николаевна ] Я [ \

НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВЛАГОПЕРЕНОСА

5.13.18 - Теоретические основы математического моделирования, исленные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САМАРА - 2000

Работа выполнена в Самарском государственном университете

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Пулькина JI.C.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кислов Н.В.;

доктор физико-математических наук, профессор Репин O.A.

Ведущая организация: Самарский государственный технический

университет

Защита состоится /P^&Mfij 2000 года в час. на заседани

диссертационного совета К 063.94.08 в Самарском государственно] университете по адресу: 443011, г.Самара, ул.Ак.Павлова, 1, ауд. 201 х/б.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарског государственного университета.

Автореферат разослан ¿^-¿¿¿■fZ-f 2000г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Новиков С.Я.

Общая характеристика работы

(Актуальность темы. Математическое моделирование некоторых физических явлений приводит к постановке задач для дифференциальных уравнений в частных производных с нелокальными условиями вместо краевых и начальных, в частности, с интегральными условиями.

Интегральные условия возникают в тех случаях, когда область физических характеристик рассматриваемой среды недоступна для непосредственного измерения, но возможно получение дополнительной ^формации о характере процесса в виде какого-либо усреднения.

В работе (О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений //Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16. \г2 11. С.1221-1228) А.А.Самарский приводит постановку задачи с штегральным условием для уравнения теплопроводности и отмечает, что юдобные задачи возникают при изучении некоторых процессов, фоисходящих в плазме. Впервые задачу с интегральным условием >ассмотрел Cannon J.R. (The solution of the equation subject to the pecification of energy //Quart. Appl. Math. 1963. Y.21. № 2. P. 155-160). 1адача Самарского с интегральным условием для параболических 'равнений изучена в работах Н.И.Ионкина. JI. И. Муравей и ^.В.Филиновский рассмотрели модель некоторого технологического фоцесса, которая также может быть описана параболическим уравнением : интегральными условиями.

Естественным оказывается постановка задач с интегральными ■словиями и для гиперболических уравнений. Ряд статей Л.С.Пулькиной юсвящены этой теме.

В предлагаемой работе рассматриваются некоторые математические «одели процесса переноса влаги в капиллярно-пористых средах. Одним из ¡ервых этот процесс с физической точки зрения рассмотрел А.В.Лыков. С юмощью методов термодинамики необратимых процессов им было

получено уравнение влагопереноса второго порядка. Введя безразмерные переменные, А.М.Нахушев свел это уравнение к вырождающемуся гиперболическому уравнению, известному сейчас как уравнение Лыкова-Бицадзе.

Еще одной моделью процесса влагопереноса в почвенном грунте является уравнение третьего порядка:

Аихху +Вихх + Сиху +аих +Ьиу +си- /(х,у).

Существенный вклад в исследование моделей влагопереноса внес А.М.Нахушев. Для уравнений влагопереноса им были поставлены задачи с интегральными условиями, но при исследовании этих задач рядом авторов интегральное условие обычно заменялось на некоторую конечную сумму.

В связи с тем, что задачи с интегральными условиями возникают при моделировании многих различных физических процессов, но исследование проводились для случая конечных сумм, возник интерес к обосновании корректности постановки задач с интегральными условиями. Поэтом} отыскание условий существования и единственности решений подобны? задач является достаточно важным.

Основная цель работы. Обоснование существования и единственное« решений задач с интегральными условиями для уравнений влагопереноса Разработка метода нахождения приближенных решений.

Общая методика исследования. В работе используется аппарат теорш дифференциальных уравнений, функционального анализа, специальны: функций, методы априорных оценок, метод Галеркина.

Научная новизна. Для каждой из поставленных задач доказана теорем; существования единственного непрерывно зависящего от данных задач| решения. Получены условия на коэффициенты уравнений и данные задач

при которых решения принадлежат соответствующему функциональному пространству. Предложен алгоритм построения приближенного решения.

Практическая и теоретическая значимость. Разработанные методы, опирающиеся на доказанную в работе корректность постановки исследуемых задач, могут быть использованы при нахождении приближенных решений задач с интегральными условиями для широкого класса уравнений в частных производных.

Апробация работы. Основные результаты и содержание работы докладывались:

- на научных семинарах кафедры уравнений математической физики в самарском госуниверситете (руководитель- доктор физико-математических наук, профессор О.П.Филатов);

- на Международном семинаре «Дифференциальные уравнения и их приложения». - Самара, 1996год;

- на Всероссийской молодежной научной конференции « XXIII Гагаринские чтения».- Москва, 1997 год;

- на седьмой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи»,- Самара, 1997 год.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ [1 -5].

Объем и структура работы. Диссертация содержит 67 страниц текста и ¡»стоит из введения и двух глав, разбитых на 6 параграфов. Библиографический список литературы содержит 39 наименования.

Содержание работы

Во введении дается обоснование актуальности темы диссертации; приводится обзор результатов, полученных другими авторами по вопросам, связанным с темой диссертации; излагается краткое содержание диссертации.

В первой главе § 1 приводится постановка нелокальной задачи А с интегральным условием для уравнения влагопереноса третьего порядка.

Рассмотрим в области D- {(л,у):0<х<1,0<у<Т}уравнение третьего порядка

Ч», х.у) и) х+Ь(х,у) иу+с (х,у) и =/(х,у), (1)

где А- действительная постоянная, а(х,у), b(x,y), с(х,у), f(x,y)- заданные, достаточно гладкие функции.

Для уравнения (1) рассмотрим задачу: определить распределение влаги и(х,у) в почвенном слое 0 <х<1 для всех времен 0 <у<Т, если известно:

1) глубинный ход влажности в начальный момент времени

И(>,0) = г(*), хе{0,1]; (2)

2) "поток" влаги на глубине х =1

»xV,y) = v(y), (3)

3) скорость расхода влаги в слое х,<х<1, >0

^-\u(x,y)dx = f!{y),ye[0,T}, (4)

причем у/(0) = г'(/).

Модель в такой постановке предложена Нахушевым A.M. В работе Водаховой В.А. («Краевая задача с нелокальным условием А.М.Нахушева для одного псевдопараболического уравнения . влагопереноса»// Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. № 2. С.280-285) исследование

проводится для несколько иной задачи, где интегральное условие (4) заменяется на конечную сумму вида:

и(1,У) = Хв'(у)и{х„у) + 6{у),

р 1

где а'(у),5(у)- заданные функции, Xj- заданные точки, причем 0<х, <х2 <... <х„ </.

Условие (4) перепишем в виде:

/ у '

\ и(х,у)с1х=<р(у) = ¡тЛ + /г(*)Лс, (4')

1|' о дг0

I

где (р{у)- также известная функция, причем р(0) = | т(х)с!х.

»»

Будем называть задачу (1 )-(2)-(3)-(4') задачей А. Обозначим [/ = {г<(х,_>>): к(;с, у) е € С(£>)}.

Замыкание множества (7 по норме ЦиЦ1 = ||(ы2 + и' + ±и\)с1хйу обозначим

с

/?2(£>). Это гильбертово пространство со скалярным произведением:

(и,и) = + ихих + иуиу + ихуиху )с1хйу. и

Определение. Принадлежащая пространству Н2(Р) функция и(х, у) называется обобщенным решением задачи А, если она удовлетворяет начальному условию (2), интегральному условию (4') и тождеству

/

Ц(иху + А их\£1хс1у= {[(/[(ян), +<Ьк>, + си - [\И)о(1х(1уг {у)+А ц4у))л1хс1\. (5)

О О х О

при всех 1{х,з') е Нг{В), для которых выполнены условия (2) и (4'). Задача А сводится к эквивалентной задаче В для нагруженного уравнения второго порядка

иХ}, +Аих = Пх, у, и, их ,иу), (6)

/

где Г(х,у,и,их,иу)=¡[(аи), +Ьиу +си-ДЖ+Ауг(у) + у/'(у)

X

с условиями (2) и (4').

Установленная эквивалентность позволяет свести вопрос с разрешимости задачи А для уравнения третьего порядка к исследованию разрешимости задачи В для уравнения второго порядка.

В § 2 главы 1 проводится исследование задачи В, которая сведена * задаче с однородными условиями относительно новой неизвестно» функции ДО:

\уху + = Г2{х,у^) (7

и выполняются условия

/

>ф:,0) = 0, \к(х,у)сЬе = 0, (&

о

где Г2(х,>',5^) = + ()(х, у), а

I } |

5и> = |[(ап>), +Ь( и'+-¡у>Лх)у + с(н>-)---^\ус1х))ск

х о '~хо о '

<2(х,у) = \{{а, 0,у) + с(1,уЖт^—<Р(У) ~ г—— }г Ш + г(/>) + * г-х0 1~х0х„

+ а(1,уУ (/) +■ —5—<р' (у)Ь(1,у) - /О, +А (у(у) - т'(х))+ух\у). 1-х0

Обозначим Я'(-О) пространство функций и>{х,у)&Ь1{Б) удовлетворяющих условиям (8) и имеющих обобщенные производим первого порядка, также принадлежащие Х2 (£>). Й(О)- гильбертов!

пространство с нормой ¡|и£ = ||(н>2 + -+ ы])<Ь;с1у.

о

Для введения понятия обобщенного решения рассмотрим оператор I действующий по формуле:

Т X Тх ^

Ь= jvx(x,т)dт-jvy(},y)dt - для всех veHi(D).

у 0 у О

Затем, рассматривая скалярное произведение

(и'ху+АПхМ^ ^(КхуМц+^хМ^ и преобразуя первое слагаемое интегрированием по частям, приходим к равенству:

I X

о о

/ х

Обозначим В(= + (Аи<х,Ь)1г - .

о о

Определение. Обобщенным решением задачи (7)-(8) будем называть функцию и{д:,у)еЯ'(0), удовлетворяющую для любой функции

и(х,у) е //'(¿)) тождеству

В(к,и)= (Е^у^Мц • (9)

Для доказательства теоремы существования и единственности обобщенного решения задачи (7)-(8) используется метод линеаризации. Рассматривается вспомогательная задача с условиями (8) для линейного уравнения:

\чху+Ау/х=Р2{х,у). (10)

Доказаны следующие утверждения:

Лемма 1. Пусть Р\(х,у) е 12{П) и А>0. Тогда существует такая постоянная С>0, что обобщенное решение задачи (10)-(8) удовлетворяет неравенству

Теорема 1. Если Рг(хлу) е ¿ДО), то существует единственное обобщенное решение задачи (10)-(8).

Лемма 2. Если коэффициенты Ь(х,у),с(х,у) и первая производная

аАх>У) ограничены, то оператор £ : Я1 также ограничен и существует постоянная С) > 0 такая, чго

!Н-СИ-

Основной результат § 2 главы 1 представим в видетеоремы.

Теорема 2. Если коэффициенты Ь{х,у), с(х,у), ах(х,у) ограничены,

постоянная А> О, функции /(х^вЬ^П), г(х), <р(у), уг(у)еН1(0), то

существует по крайней мере одно обобщенное решение и'0 е Я1 (¿}) задачи

(7)-(8) и |и'0 < где т)2 = С2 - \. Решение будет единственным, если

щ Л"

С,<С.

Существование же \\>ху е Ь2{0) вытекает из следующего неравенства:

ы^н+ю*,.

которое справедливо, если функции г,<р,ц/, входящие в 0,(х,у), принадлежат пространству Я'{£>).

Основной вывод главы 1: из существования е Ь2 (О) следует, что обобщенное решение задачи В принадлежит пространству Й2(Р), а, значит, в ему эквивалентности задач А и В, оно является обобщенным решением задачи А. Следовательно, при выполнении условий теоремы 2 обобщенное решение задачи А существует и притом единственное.

И наконец, в § 3 в качестве примера рассмотрена задача Гурса для уравнения Адлера, которое является частным случаем уравнения (1).

Во второй главе рассматриваются четыре математические модели динамики влагопереноса в капилярно-пористом теле. А именно, изучена нелокальная задача для неоднородного уравнения влагопереноса Лыкова-Бицадзе:

Ьи = у2иа-и>г^аих = Г(х,у), (11)

где а- действительная постоянная.

у2 V2

В характеристических координатах Е,-х-~,ц = х + ~ уравнение (11) принимает вид:

= + ' 02)

Для уравнения (12) в области О- {(£,77): 0<£ < 1] < 1} будем изучать нелокальную задачу с интегральными условиями:

= = (13)

г о

где функции /(^,7) € € заданы и

удовлетворяют условиям согласования

О о

а «?(1) = ^(0) = 0 и <р(0) = (/(1).

Решен вопрос об однозначной обобщенной разрешимости этой задачи в некотором функциональном пространстве £,(£>) при условии, что |а|<3 и функции /(£,??),9>(£),И)7) принадлежат указанным выше пространствам, и предложен алгоритм нахождения приближенного решения, основанный на методе Галеркина.

При а = 0 данная задача исследована в работе Л.С.Пулькиной (Об одной неклассической задаче для вырождающегося гиперболического уравнения// Математика. Известия высших учебных заведений. 1991. № 11. С.48-51).

В § 2 второй главы изучается задача с интегральными условиями для уравнения (11), но область 2) в характеристических координатах £ и 7

п

представляет собой квадрат В = £>+иТ> , где О' ={(4,ц):0<7]<^<Ц, а

= {(%,т]):0 <7) <\}.

При этом уравнение (11) в этих координатах принимает вид

¿и=/, 04)

Г „ , ¡Ь.и, в 2Г \Г(Ш, в2Г

где Ьи = < . / = 1

Т /¡Г V

а £и = ^-т])и(п +—и4+—ы,,

т /• 0-Т1 и—1

= (»/ - +-—— вс + -у-«.

0-1

-И, ■+-

4 ' 4

Для уравнения (14) поставим задачу: найти функцию и{%,т)) в области Д удовлетворяющую уравнению (14), интегральным условиям

|и(£»7)#=0, 7)^ = 0 (15)

о о

и условиям согласования

$ 4 л V

оооо Основными результатами этой части второй главы являются теорема единственности и теорема существования обобщенного решения задачи (14)-(15). Для краткости сформулируем в виде одной теоремы. Теорема. Если /(^,?/)еХ2(£>), то существует единственное обобщенное решение задачи (14)-(15), которое непрерывно зависит от данных задачи.

Следует отметить, что задача (14)-(15) имеет единственное решение для любых действительных значений параметра а.

Кроме того, во второй главе рассматриваются еще две задачи: задача 1 и задача 2. В каждой из них одно из условий является интегральным.

Задача 1. Найти в области = функцию

, удовлетворяющую уравнению а-1 й+1

-:и( + —г", = Д£»7)

(16)

и условиям:

£ 5

где г(£),<р(£)- заданные непрерывные функции и $?(0) = 0.

Задача 2. Найти в области I) = {(£,7): 0 <?/<£< 1} функцию и(Ц,г]) е С(¿))р)С2 (/>), удовлетворяющую уравнению (16) и условиям:

Ьпи(£»7) = Г(£), \и(4,^ = чг(г]),

ч

где т(^),^(7)- заданные непрерывные функции и у/(1) = 0.

Найдены условия на функции г(£),<?(£). и на коэффициент а(|а| < 1), при которых существует классическое решение, и найдено представление этого решения ддя каждой задачи.

В заключении отмечено, что в зависимости от свойств среды и других особенностей протекающего процесса модели уточняются. В работе рассмотрены такие математические модели влагопереноа, где в качестве дополнительных условий задаются некоторые средние величины и условия записываются в виде интегралов вдоль характеристик. Для уравнения второго порядка существует классическое решение поставленной задачи, если |а]<1, где а- это отношение коэффициента пропорциональности, зависящего от пористости тела, его капиллярных свойств и вязкости жидкости, к коэффициенту диффузии. При доказательстве же существования и единственности обобщенного решения оказалось достаточным выполнения более слабого ограничения на коэффициент а,

то есть Это означает, что решение может быть получено и для

сильно пористой среды, что ведет к потере гладкости решения.

В работе доказана корректность поставленных задач и разработан метод отыскания приближенного решения. При численной реализации на ЭВМ задач такого рода предложенный метод может оказаться весьма полезным.

Пользуясь возможностью, выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю доценту Пулькиной Л.С. за постоянное внимание и всестороннюю поддержку.

Основные положения диссертации опубликованы в работах:

1. Евдокимова H.H. Об одной нелокальной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения// Тез. докл. международного семинара «Дифференциальные уравнения и их приложения», 1996, Самара, с.48.

2. Евдокимова H.H. Задача с интегральными условиями для вырождающегося гиперболического уравнения// Труды седьмой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», 1997, Самара, с.27-29.

3. Евдокимова H.H. Об одной нелокальной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения// Тез. докл. Всероссийской молодежной научной конференции «XXIII Гагаринские чтения», 1997, Москва, с.51 -52.

4. Евдокимова H.H., Пулькина Л.С. Нелокальная задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения// Вестник Самарского госуниверситета, № 2, 1999, с.67-70.

5. Евдокимова H.H. Задача с интегральным условием для нагруженного дифференциального уравнения// Труды десятой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», 2000, Самара, с.54-56.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ ДЛЯ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ВЛАГОПЕРЕНОСА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА.

§ 1. Обобщенное решение задачи А в Н2 (О).

1. Постановка задачи.

2. Сведение задачи А к задаче В.

3. Эквивалентность задач А и В в Н2{В).

§ 2. Вспомогательная задача с интегральным условием.

1. Обобщенное решение задачи В в Е1(Ъ).

2. Разрешимость задачи с интегральным условием в Н (Б).

3. Гладкость решения.

§ 3. Задача Гурса для уравнения Аллера.

ГЛАВА 2. НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ

ВЛАГОПЕРЕНОСА ЛЫКОВА - БИЦАДЗЕ.

§ 1. Задача с интегральными условиями для уравнения влагопереноса Лыкова- Бицадзе в треугольнике.

1. Постановка задачи.

2. Априорная оценка решения.

3. Существование и единственность обобщенного решения.

§ 2. Задача с интегральными условиями для уравнения влагопереноса в квадрате.

1. Постановка задачи.

2. Единственность обобщенного решения.

3. Существование обобщенного решения.

§ 3. Задачи с одним интегральным условием для уравнения влагопереноса Лыкова-Бицадзе.

1. Задача 1.

2. Задача 2.

За последние годы существенно повысился интерес к разработке новых математических моделей. Сегодня многие разделы теории дифференциальных уравнений в частных производных уже приобрели законченный вид. Дальнейшее развитие во многом зависит от постановки новых задач.

Проникновение математических методов в самые разнообразные, подчас неожиданные сферы человеческой деятельности, означает возможность пользоваться новыми, как правило, весьма плодотворными средствами исследования. Вместе с тем на практике оказывается, что одних лишь математических знаний далеко не достаточно для решения той или иной прикладной задачи - необходимо еще получить навыки в переводе исходной формулировки задачи на математический язык. Собственно в этом и состоит проблема овладения искусством математического моделирования.

Можно потратить много времени для нахождения классического решения для данной модели, которая не оправдана самой постановкой задачи. В результате наблюдения было замечено, что поиск классического решения в некоторых задачах математической физики ведет к дополнительным ограничениям, которые имеют громоздкий вид, поэтому имеет смысл обсуждать вопрос существования и единственности обобщенного решения. Кроме того, следует отметить, что приближенный ответ может оказаться более эффективным, чем точный. Это часто свидетельствует в пользу непосредственного численного приближенного решения.

Математическая модель представляет собой упрощение реальной ситуации. Ощутимое упрощение наступает тогда, когда несущественные особенности ситуации отбрасываются и исходная сложная задача сводится к идеализированной задаче, поддающейся математическому анализу. Именно при таком подходе в классической прикладной математике возникли блоки без трения, невесомые нерастяжимые нити, невязкие жидкости и многие другие понятия подобного рода. Эти понятия не существуют в реальной действительности. Они являются абстракциями, составной частью идеализации, предпринятой автором модели. И тем не менее их часто можно с успехом считать хорошим приближением к реальной ситуации.

Ситуации моделируют для разных целей. Главная из них -необходимость предсказывать новые результаты или новые свойства явления.

В предлагаемой работе рассматриваются некоторые математические модели процесса переноса влаги в капиллярно -пористых средах.

Одним из первых, кто рассмотрел этот процесс с физической точки зрения, был Лыков A.B. С помощью методов термодинамики необратимых процессов им получено уравнение влагопереноса [20]. А именно, для описания переноса влаги u = u{%,t) в коллоидном капиллярно - пористом теле он воспользовался обобщенным решением переноса влаги dw du и = ~Dn--т, —, 0 dt где w = w(g,t) - влажность в точке £ в момент времени t, D -коэффициент диффузии, р - плотность, г0 — — - время релаксации. v dw du

Учитывая закон сохранения массы влаги, то есть р— =--, было dt dg получено дифференциальное уравнение массопереноса в коллоидном капиллярно - пористом теле в виде: du п дги d du = D—---r0— . (1) dt д%2 dt 0 dt

А.В.Лыков, принимая во внимание, что для ряда капиллярно-пористых тел скорость переноса о примерно равна скорости капиллярного движения, которая в свою очередь обратно пропорциональна пути движения £, полагает

2) о где а0 - коэффициент пропорциональности, зависящий от пористости тела, его капиллярных свойств и вязкости жидкости.

Из (1) в соответствии с (2) получаем уравнение влагопереноса

3) а0

В 1980 году в своей работе [25] Нахушев А.М. предложил перейти в уравнении (3) к безразмерным независимым переменным к л№о

В этих переменных уравнение (3) принимает следующий вид:

1 Риуу{х,у) лД их (х,у) = —--{—~)ихх (х,у). к) аок) аок)

Отсюда получаем уравнение влагопереноса:

4) где а = ~ - безразмерная величина.

Впервые уравнение (4) было приведено А.В.Бицадзе [2] как пример уравнения, для которого при |а\ < 1 корректна по Адамару задача Коши с начальными данными на линии у = 0параболического вырождения, хотя и нарушено условие Геллерстедта. Уравнение (4) принято называть уравнением Лыкова-Бицадзе.

Для него изучены задачи Кощи [3], Гурса [14,15], Дарбу [27], Трикоми [17] и другие краевые задачи [5, 19, 30, 33].

В данной работе рассмотрены не краевые задачи для уравнения (4), а нелокальные: данными являются значения интегралов от искомой функции вдоль некоторых многообразий, принадлежащих области, в которой ищется решение, меньшей размерности. В предлагаемой работе такими многообразиями являются характеристики уравнений. Отметим, что с физической точки зрения корректность постановки таких задач оправдывается тем, что на практике, как правило, измеряются некоторые усредненные (интегральные) характеристики величин.

Впервые задачу с интегральным условием для уравнения теплопроводности

Ч (5) поставил Cannon J.R. [38]. Задача состояла в отыскании температуры u{x,t) такой, что

J и{х, t)dx = E(t), x(t) > 0, t > О, о и(х,0) = 0>(х),х > 0, где E(t),x(t),q>{x) - заданные непрерывные функции в [0,оо), причем

Xq

Е(0) = Jnp(x)dx. В работе показано, что если общая тепловая энергия Е о некоторой части проводника тепла задана как функция времени, начальная температура известна, а в случае конечного проводника поведение температуры на одном из концов задано, то существует единственное распределение температуры в проводнике, которое и определяет заданную общую энергию в заданной части проводника.

Позже в статье [34] Самарский A.A. поставил задачу для уравнения теплопроводности (5) с условиями вида: 1 и(х,0) = и0(х), 0<jc<1; u(0,t) = v(t), ¡u(x,t)dx = ju(t), (6) о где u0(x),v(t),ju(t)- заданные непрерывные функции.

Самарский A.A. отмечает, что подобные нестандартные задачи возникают и при математическом моделировании некоторых процессов, происходящих в физике плазмы [4].

Нелокальное условие (6) принято называть условием Самарского. В работе [34] задача поставлена, но вопросы о существовании, единственности и устойчивости решения остались открытыми.

Интегральное условие возникает не только при изучении процессов, происходящих в плазме [23], но и при исследовании процессов, связанных с распространением тепла [38,13], при моделировании некоторых технологических процессов [19], в задачах биологии [29,26]. Например, Нахушев A.M. в области Q = {(x,t):<x<l,0<t<T} рассмотрел уравнение неразрывности Мак Кендрика- фон Фестера [29] ux+ut + с(х, i)u = 0. (7)

Это уравнение достаточно хорошо описывает динамику замкнутой популяции особей, когда на ее поведение фактически не влияет взаимодействие между особями различного возраста. При такой интерпретации функция и = u(x,t) означает численность особей возраста х е [0, /] в популяции в момент времени t е [0, Т].

Для уравнения (7) была поставлена и изучена задача, которая является моделью для широкого класса различных популяционных задач. А именно, задача состоит в следующем: найти регулярное всюду в области О, за исключением , быть может, характеристики х = t, решение уравнения (7), непрерывное в О. и удовлетворяющее условиям: i

1) и(0,0 = f к(х, t)u(x, t)dx, (0<t<T) - уравнение рождаемости, о где / - предельный возраст, k(x,t) - коэффициент рождаемости, принадлежащий классу С([0,/] х [0,7*]);

2) и(х,0) = т(х),(0<х</), где т(х) - начальное распределение популяции по возрастам, которое непрерывно на [0,/|.

При численной реализации на ЭВМ этой задачи Нахушев A.M. предлагает перейти к частному варианту следующего условия:

11(0,0 = Za,(t>(xnt) + g)0(t),(0 ^t<T), t> 0 то есть заменить конечной суммой интеграл, входящии в уравнение рождаемости.

Задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения изучена Пулькиной J1.C. в работах [7,21,32].

Еще одной моделью процесса влагопереноса в капиллярно-пористом теле, например, в почвенном грунте [36], является уравнение третьего порядка:

Auxxy+Buxx+Cu^,+aux+buy+cu = f(x,y). (8)

Исследованием краевых задач для уравнения (8) занимались Шхануков

М.Х. [37, 16], Канчукоев В.3.[16], Нахушев А.М.[24, 26, 28], Водахова В.А.

6] и другие.

Многие задачи, связанные с динамикой почвенной влаги и грунтовой воды, редуцируются к локальным и нелокальным краевым задачам для различных частных случаев уравнения (8). Например, если А ^ const > 0, В = const>0,b = -\,a = c = 0 и переменную у считать временной, то из (8) получается уравнение Адлера [24]: и =-—{Dux + Аи ) = —П(х,у), (9) дх дх где А и В- достаточно гладкие положительные функции, П(х,у) - поток почвенной влаги в точке х в момент времени у > 0.

Нахушевым A.M. для уравнения (9) рассматривалась следующая задача: определить распространение влаги и(х,у) в почвенном слое 0 <х<1 для всех времен у е [0, Т], если известны:

1) П(0,у) = f(y), 0<у<Т- поток влаги на поверхности почвы, то есть испарение;

2) и(0,у) = у/(у), 0 <у<Т- распределение влаги на поверхности почвы или же и(£,уЩ = т(у),0<у<Т (10) ду I

- скорость расхода влаги в слое 0 < х < х0,0 <х0</.

Исследование задачи в такой постановке не приводится, а изучается задача, где интегральное условие (10) заменяется на конечную сумму вида:

В связи с тем, что задача с интегральными условиями возникает при моделировании многих различных физических процессов, но исследования проводились для случая конечных сумм, заменяющих интегральные условия, возник интерес к обоснованию корректности постановки задач с интегральными условиями. В предлагаемой работе задачи с интегральными условиями исследуются для уравнения влагопереноса.

В первой главе настоящей работы в области В = {(х,у):0<х</,0<у<Т} рассматривается уравнение влагопереноса третьего порядка где А- действительная постоянная, а(х,у), Ъ(х,у), с(х,у), /(х,у)-заданные, достаточно гладкие функции.

Для него изучена следующая задачу: определить распределение влаги и (х,у) в почвенном слое 0 <х<1 для всех времен 0 < у <Т, если известно: 1) глубинный ход влажности в начальный момент времени д "

Е^ООМУ ,>>) = т(у). ихху+А ихх+(а(х,у) и)х+Ь(х,у) иу+с (х,у) и=Дх,у),

И) м(х,0) = г(х),х е [0,/];

2) "поток" влаги на глубине х = 1 их{1,у) = Ну),уФ,Т\\

3) скорость расхода влаги в слое х0 <х<1,х0 > 0

Я '

12)

Эта задача поставлена Нахушевым A.M. [24]. В работе Водаховой В.А. [6] приводится постановка этой задачи, но изучена несколько иная, в которой интегральное условие (12) заменяется на конечную сумму: п

У) = Zaj {у)и{х3., у) + ¿О),

5=1 где aJ(y),S(y)~ заданные функции, ху- заданные точки, причем О < х1 < х2 <. < хп < I.

Вопрос о существовании и единственности решения поставленной задачи рассматривается, когда коэффициенты и правая часть уравнения (11) - непрерывные функции, причем удается найти не классическое решение, а обобщенное, которое имеет конкретное представление. В настоящей же работе исследован вопрос об однозначной обобщенной разрешимости данной задачи в некотором функциональном пространстве H2(D), когда правая часть уравнения (11) принадлежит пространству H\D). Кроме того, в § 3 первой главы задача Гурса для уравнения Аллера, которое является частным случаем уравнения (11).

Во второй главе рассматриваются четыре математические модели динамики влагопереноса в капиллярно - пористом теле. А именно, изучена нелокальная задача для неоднородного уравнения влагопереноса (4), имеющего в характеристических координатах / / = x-y,77 = x + Y вид

LU = (tj- + щ + Uv= /(£, 7), (13) в области D = {(£,77): 0 < £ < 7/ < 1} с интегральными условиями:

1 7} u(^,Tj)dTj = (р(£), ¡u(£,T])dZ = Win) О

Функции q>{^\\f/{r]\f{^,ri) заданы и удовлетворяют условию согласования

1 1 | у/{т])(1г1, а также <р(1) = ^/(0) = 0 и <р(0) = у/{ 1). о о

Решен вопрос об обобщенной разрешимости этой задачи в некотором функциональном пространстве Ь2 (О ) при условии, что /(£,/7)еЬ2ф\ <р(£)еЬг(ОД),у/(л)е(ОД) и Н ^ 3, и предложен алгоритм нахождения приближенного решения с использованием метода Галеркина.

При а~0 данная задача исследована Пулькиной Л.С. в работе [32]. В § 2 второй главы также изучается задача с интегральными условиями для неоднородного уравнения влагопереноса, но область В в характеристических координатах £ и г} представляет собой квадрат. А именно, = £Г и , где

При этом в характеристических координатах £ и 77 уравнение влагопереноса имеет вид:

1и = /, где Lu =

Lu, в D

5 J ~ + г (4,г?), BD+

L+u, в D a Lu = (£ - т])и^ + + ^ и, а-1 а +1

-и, н ь

4 1 4 а +1 а -1

-и, - ь

4 f 4

L+u = (т] - +—Щ + •

Основными результатами этой части второй главы являются теорема единственности и теорема существования обобщенного решения поставленной задачи.

Кроме того, во второй главе настоящей работы рассматриваются еще две задачи: задача 1 и задача 2. В каждой из этих задач одно из условий является интегральным.

Задача 1. Найти в области D - {(£,77): 0 < ц < % < 1} функцию и(£,т]) е C(D)f]C2(D), удовлетворяющую уравнению и и условиям:

-»77

Иш и(£,77) = т(4), = о где - заданные непрерывные функции и <р{§) = 0.

Задача 2. Найти в области 73 = {(£,77): 0 < 77 < £ < 1} функцию С(1>)р)С2(1>), удовлетворяющую уравнению (14) и условиям: где т(£),у/(т])- заданные непрерывные функции и ^(1) = 0.

Найдены условия на функции г(£),у/(г}) и на коэффициент а(\а\ < 1), при которых существует классическое решение, и найдено представление этого решения для каждой задачи.

Работа над диссертацией выполнялась на кафедре уравнений математической физики Самарского государственного университета.

Результаты диссертации опубликованы в работах [8-12].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Математические модели процесса влагопереноса изучаются многими авторами в силу их прикладной важности. В зависимости от свойств среды и других особенностей протекающего процесса модели уточняются. Настоящая работа посвящена исследованию таких моделей влагопереноа, где дополнительные данные, все или частично, не могут быть получены в результате непосредственных измерений. В этом случае в качестве дополнительных условий задаются некоторые средние величины и условия записываются в виде интегралов вдоль характеристик. Предложенные к рассмотрению математические модели процесса влагопереноса описываются либо уравнением третьего порядка, либо вырождающимся уравнением второго порядка. Для уравнения второго порядка существует классическое решение поставленной задачи, если |а|<1, где а- это отношение коэффициента пропорциональности, зависящего от пористости тела, его капиллярных свойств и вязкости жидкости, к коэффициенту диффузии. При доказательстве же существования и единственности обобщенного решения оказалось достаточным выполнения более слабого ограничения на коэффициент а, то есть |а| < 3. Это означает, что решение может быть получено и для сильно пористой среды, что ведет к потере гладкости решения.

В работе доказана корректность поставленных задач и разработан метод отыскания приближенного решения. При численной реализации на ЭВМ задач такого рода предложенный метод может оказаться весьма полезным.

1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М. Наука. 1973. Т. 1.-288с.

2. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа. М. Изд-во АН СССР. 1959. -295с.

3. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М. Наука. 1981.-448с.

4. Бицадзе A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач //ДАН СССР. 1969. Т. 185. № 4. С.739-740.

5. Водахова В.А. Краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения в характеристическом двуугольнике// Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15. № 1.С.79-91.

6. Водахова В.А. Краевая задача с нелокальным условием А.М.Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса// Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. № 2. С.280-285.

7. Голубева Н.Д., Пулькина Л.С. Нелокальная задача с интегральными условиями // Математические заметки. 1996. Т.59. Вып.З.

8. Евдокимова H.H. Об одной нелокальной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения// Тез. докл. Международного семинара «Дифференциальные уравнения и их приложения. Самара. 1996. с.48.

9. Евдокимова H.H. Задача с интегральными условиями для вырождающегося гиперболического уравнения// Труды седьмой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара. 1997. с.27-29.

10. Ю.Евдокимова H.H. Об одной нелокальной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения// Тез. докл. Всероссийской молодежной научной конференции «XXIII Гагаринские чтения». Москва. 1997. с.51-52.

11. П.Евдокимова H.H., Пулькина JI.С. Нелокальная задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения// Вестник Самарского госуниверситета. 1999. № 2. с.67-70.

12. Евдокимова H.H. Задача с интегральным условием для нагруженного дифференциального уравнения// Труды десятой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара. 2000. с.54-56.

13. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференциальные уравнения. 1977. Т.13. № 2. С.294-304.

14. Кальменов Т.Ш. Критерий непрерывности решения задачи Гурса для одного вырождающегося уравнения// Дифференциальные уравнения. 1972. Т.8. № 1. С.41-54.

15. Кальменов Т.Ш. Критерий непрерывности решения задачи Гурса для одного вырождающегося уравнения// Дифференциальные уравнения. 1971. Т.7. № 1. С.178-181.

16. Канчукоев В.З., Шхануков М.Х. Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса и сеточные методы их решения// Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15. № 1. С.68-73.

17. П.Капустин Н.Ю. О разрешимости в классе 1л задачи Трикоми для одного параболо-гиперболического уравнения с вырождающейся гиперболической частью// Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22. № 1. С.60-65.

18. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики// М.Физматгиз. 1962. -766с.

19. Кумыкова С.К. Краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения в характеристическом двуугольнике// Дифференциальные уравнения. 1979.Т. 15. № 1. С.79-91.

20. Лыков A.B. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло- и массообмена// Интернофизический журнал. 1965.Т.9.№ 3.C.287-304.

21. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М. Наука. 1976. -392с.

22. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М. Физматгиз. 1959. -233с.

23. Муравей Л.А., Филиновский A.B. Об одной нелокальной задаче для параболического уравнения// Мат.заметки. 1993. Т.54. Вып.4.

24. Нахушев A.M. Краевые задачи для нагруженных интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги// Дифференциальные уравнения. 1979.Т.15. № 1. С.98-105.

25. Нахушев A.M. Критерий единственности решения задачи Дарбу для одного вырождающегося уравнения влагопереноса// Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16. № 9.С. 1643-1649.

26. Нахушев A.M. Нагруженные уравнения и их приложения// Дифференциальные уравнения. 1983. Т.19. № 1. С.86-94.

27. Нахушев A.M. О задаче Дарбу для гиперболических уравнений// ДАН СССР. 1970. Т.195. № 4. С.776-779.

28. Нахушев A.M. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод// Дифференциальные уравнения. 1982. Т.18. № 1. С.72-81.

29. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М. Высшая школа. 1995.

30. Нахушева Ф.Б. Некоторые конструктивные свойства решений гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области// Дифференциальные уравнения. 1982. Т.18 № 2. С.334-342.

31. Пулькина Л.С. О разрешимости нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения// Вестник СамГУ. 1998. № 2. С.64-68.

32. Пулькина JT.C. Об одной неклассической задаче для вырождающегося гиперболического уравнения// Математика. Известия высших учебных заведений. 1991. № 11. С.48-51.

33. Репин О.А. Краевая задача для уравнения влагопереноса// Дифференциальные уравнения. 1990. Т.26. № 1. С.169-171.

34. Самарский А.А. О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений// Дифференциальные уравнения. 1980. Т.16. №И.С.1221-1228.

35. Треногин В.А. Функциональный анализ. М. Наука. 1980. -495с.

36. Зб.Чудновский А.Ф. Теплофизика почв. М.Наука. 1976.

37. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнений третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах// Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. С.689-699.

38. Cannon J.R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy// Quart. Appl. Math. 1963. Y.21. № 2. P.155-160.

39. Pulkina L.S. A nonlocal problem with integral conditions for hyperbolic equation// Ejde.1999. vol.45.p.l-6.