автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:О нелокальных краевых задачах для уравнений смешанного типа второго рода

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РСФСР ПО ДЕЛАМ НАУКИ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ

• НОВОСИБИРСКИЙ -ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ " ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КМ.ЛЕНИНСКОГО КОМСОМОЛА . ..

На правах рукописи

ЫУМИНОВ Фарход Маликович

УДК 51-73:550.3

О НШОГМЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ТИПА ВТОРОГО РОДА ■.

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования в математических методов в научных исследованиях (по информатике)

Автореферат:

диссертации на соисканий ученой степени кандидата физико-математических наух

Новосибирск - 1991

, 1'абс^а вшолнвна в Новосибирском ордена Трудового Краоного Знамени государственном университете им.Ленинского комсомола. .

Научный руководитель - ВРАГОВ Б.Н., доктор физико-

математических наук, црофеосор.

Официальные оппонента: ВОЕЕОШШ А.Ф., доктор физико-

математических наук, гтрофеооор;

ДАРЪКИН Н.А., кандидат физико-математических наук, доцент

Ведущая организация: Институт вычислительных технологий СО АН СССР

Защита состоится 1991 г., в iff

чао. на заседании специализированного совета К 063.98.05 Новосибирского университета л<? присуждению ученой.степени канрйдета наук ио адресу:' С40Q90, -Новосибирск-90, ул.Пиро-гова, 2. : .' .

(; диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского университета {Новосибирск-90, ул.Пирогова,

Автореферат разослан ЛУ-

J{ 1991 Г

Учений сикпетарь спе циали аиров а нного совета, кандидат (физико-математических наук

1ат физико-математических л vrf-

доцент № 1) Н • Н. Сергеев -Адьбов

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темь.. Теория уравнений смешанного типа является одним из важнейших разделов современной .теории дифференциальных уравнений с частными производными. Иос ледова ни о краенга задач для уравнений смешанного типа начзтось в 20-30-е годы. Б работах <5.Трихома, С.Геллврстедта были впервые поставлены и исоледоЕ ни краевые задачи дк. модельных уравнений

у^хг + Цр-МФ,

т.е. для уравнений, которые в одной части области определения эллиптического типа, а в другой части - гиперболического типа.

В работах А.М.Келдыша, М.А.Лаврентьева, С.А.Христиано-Еича, ИЛ.Векуа, А.В.Еицодзе, Л.З.Овсянникова, Ф.И.Франкля, . К.Гудер. эя и др. было упзано на важность исследования уравнений смешанного типа для задач околозвуковой газовой динамики, бесконечно малых изгибОЕ поверхностей, магнитогидродинамики и других разделов механики и физики. Дальнейшее развитие теория получила в работах А.В.Бицадза, О.А.Олейник, М.М. Смирнова, Д.Г.Каратопраклиева, Т.Ш.Каль...еноЕа, В.Н.Врагова, Б.А.Бубнова, Н.А.Ларькина, А.И.лСвканова, С.Г.Пяткова и др. авторов. ''

В настоящее гре-и теория неюкальн ;с краевых згцач представляет собой интенсивно развивающийся; раздел дн$фвренциаль них уравнений. Исследуя ударную волну, Ф.М.Франкль поставил новую нелокальную зад ,чу для уравнъиий ттчанного тип.. Эта задача, существенно отличающаяся от задач Трикоми и Геллер-стецта, сейчас называется задача Франкля.

Исследования так называемых йелокалы: х задач для классических и неклаосических уравнений к тематической физики -сравнительно новое нападение в теории краевых задач. Особый, штерав зги задачи представляют'в\связа с их при; эжением

3

к разят _>ый задачам механики и физики. Нелокальный задачи такте возникают при моделировании тепломаоо обмена в капиллярно-пористых средах биологических объектов. Различные клао '•ч Т-ИХ задач подробно исследованы в работах А,_.Бицадзе, 4 А.А.Дезша, В.Л т1яьин_, Г.Д.Коротопржлиев'1, В'.Н.дегалова, Д.Б.Базарова, С.Н.Глазатова, А.Н.Терехова, Н.О.Алимова, А.М.Нахушева.

Как известно, построение -численных методов решения краевой задачи дл" уравнения смешанного типа является ь..туаль-нол задачей в вычисл. гельний математике. Оледоватеяы.л, разработка и • )боснование численных мете ,ов, создание программного обеспечена для исследования задач неклассичёских урав нений математической физики актуальная задача вычислительной математики и ее приложений в прикг дном аспект и в области математического моделирования.

Е ) л 1 работ и. Постановки и иссле .ования разрешимости нелокальных краевых задач для уравнений смешанного типа второго рода, изучение корректных краевых•задач для У1 ,вн ния смешанна-составного типа, реализация численнш алгоритмов решения смешанных задач на основе . ычисителькых методов ч создание комплота прикладньс. программ дл.. их реализации.

Метод исследования. 3 диссертации при исследовании разрешимости задачи используются методы функционального анализа с применением тег^ем клоу.ения, априорных оценок, метода Галеркина, метода вспомогательного оператора.

Научная новизна, теоретическое и практическое значение. В Д1^сертации"получены следующие : эвые результаты:

1. Доказана разрешимость в пространстве Соболева нелокальной задачи для уравнения смешанного типа второго рода.

2. Доказана позначная разрешимость в сооолевских про-с.'ранс.'вах смешанных задач для уравнений третьего поряуча.

3. Создан пакет программ на языке Фортрг-л для расчета решения нелокальных и смешанных 3£._ач. Они могут быт*

использованы в области математического моделирования.

Апробация р а 1 о i ы.' Резул ,таты ди^серта щи обсувдались на семинарах по дифферёнциалькым уравнениям з ИМ СО All СССР, в Ташкентском госуни^арситете, на конференциях молодых ученых Сибири и Дальнего Востока, 1987, 1288 гг.,

Всесоюзной школе'молодых уче"ых "Функциональные мг-^одц в трлкладной математике и математической физике", Ташкент, [9РЗ г. . "

Публикации. По тс.а диссертации опубликовано 3 работ указанных в конце автореферата.

Структура и объем работы. Дис-гертаотя состоит из введения, твух глав (Еосвюь параграфов), рисунков и списка использованной литературы (80 наименований).

П.' СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен обзор литературы по теме диссертации, определена цель работы, сжито изложены основное результаты.

В § I главы I рассматривается дифферент; :ьное уравнение третьего." порядка

дли , 4

s - 1Г + Ъ L f

^fü^f^i), (I)

где , v '

В области * (О, О , где /Р • односвязная ограни-

ченная область е Я11 , с достаточно гладкой границей ,

Всюду ниже будем предполагать, что ¿' (]?),

0С30\ ߣсгф), o*j(i)e CzZo,f}, Ч< 2.

<Р< /fTg ^ ^^ ( Р> J I произвольно и ко-

нечно при Л = 1,2). - " -

ж-'-чим ч«рез 0 ) вектор внугрен-

Л Г ' к-д

|ДИ к О ■ . ' 2 л .

ней нормали к

Краевая задача I. Найти решение уравнения (I) в области «£> такое, что

>

Обозначим через с^ клаоо функций из пространства

Н> [и: ие^(^).

УД0ВЛ9ТЕ0рШ1""Х условия;,! (2).

В пространстве (<£>) , р=.2 норма определяется следующим образом:

Эи.ре деление I. На зовем функцию ре-

гулярным решением задачи <1) - (2), если .

и удовлетворяет уравнению (I) почти вскщу в об- "

лаити & .

Теорема 1.1. Пу^ть выполнены у-товия для коэффициентов уравнения С Г) и всюду в' области <2) -

тогдр для любой функци.. £//г (¿0) существует един-

ственное р--пение задачи . СI) - (2).

В § 2 ра смаиривается дифгзренциалт-чое уравнение

дли п. •

\р[хЛ)и + ¿(Ьш'и (3)

л

где

йи - щ{ - 2 .

1=1 * ^

Краевая задача 2. Н' 1ти решение уравнения (3) в области ¿0 , удовлетворяющее условиям

Обозначим через С^ класс ^ункции из пространств^

[и: ие V//(¿?)i и€.Ьрт),

удовлетворяющих условиям (2).

Определение 2. Назовем функцию регу-

лярным решением задыи '.2) - (3), если И&Сд х\и\Рц&Ьр0) и удовлетворяет уравнению (3) почти в'к"у в областной

Теорема 1.2. Пусть выполнены условия теоре* : мы 1.1, кроме того, пусть >а . рО)-0 . Тог-

да для любой функции / € (<@) существует единственное регулярное решение задачи (2) - (3).

Рассмотрим дьфферешг'альнов уравнение

Ж + ^^+

Краевая задача 3. Нэйти решение уравнения (4) в области о^ такое, что

М^о, щ -о. «,

Регулярное решение задачи (4) - (5) ищется аналогично, как в определении I.

Т ь; о ^ е м а ,1.3. Пусть р. области ¿О еыполноны УСЛ01ИЯ

? 3-/3^ С?2>0, К (г

тогду для функц, г /в суцестЕуе"? единственное ре-

гулярное решение задачи (4) - (5).

К р а в ь а л за; а ч а 4. Найти решение уракке-

»"-• а ч

Ж 4

в области

£ такое, что

(7)

Теорем.' 1.4. - Пусть еып шены условия теорв-мн !..>, кроме того, пусть ; тогда для

функции f6.br (•#) существует единственное регулярное пе-шение з. дачи (6) - (7).

Замечание. Для уравнения (I) и (4) в области аналогично рагсматрииаится (в шейном случае) задачи '

и\ы-°< ЧиГ0' ЩГ0'

Ыъ-Р*

В § 3 главы 1 цля задачи (б) - (7) (в линеалом случае) описан алгоритм ч по этому алгоритму составлена программа на языке 0ор»ран-77 для ЭВМ ЕС-1061.

В § 1 главы 2 рассматриваемся дифференциальное уравнение второго порядки

3 ограниченной области <0 , которая при у>Р состоит из прямоугольника с вершинами в течках (I и),г\ Л (х.,0), (1,1) (0,1). а У^О - огр..личена характеристика-

дар нения (8), т.е.

Часть области <0 , яекащук в потупл^схост/ у>0(Г/<0), обозначим , /г« {Л,,Яг) - единичный ректор

Г:1Г -ранней нормали к д<& .

Нелокальная краевая задача Найти релоние уравнения (8) в области ¿О , удовлетворяющего условиям:

(9)

5.

и{0, у) ■ и(/,у) - О,

(10)

Всюду нве предполагается, что оС(£) , 1,2,

где . г

С^ознгчи.м че^ез чл^со функций из С ЦЗ) , удовлет-воряюаи!! краевые условия;.: (9) - (10). Через \!г (¿0) будем обозначить простри -тео ^чбодева, пол; енноа зашунием по -ормо

класса (Т.-гчкщ;й С^

\и\

¿0

По пространа^ам функций и Ьг {<&) построим нега-

ТИЕНЫе пространства ранстЕа ¿,г (¿0 ) по нор...а

полученные замыканием прост-

Л <_ м и а Г. Л. Пуоть ^(^у)г:^>0 в области , и пусть, кроме того,

Тогда имеет мес.о неравенство

Рассмотри,. формально сопряженное уравнение

1 и

¿>*У 2

(II)

и сопряженные краевые условия

Щп/- Щ„иБС , (13)

Обозначив черыз С^* классы функций из Сг{&) , удовлетворяющие краевым условиям (12) - (13).

Определение, 3. Слабым рвением задачи (II) - (13) оудем называть функцию' иё.1гШ) такую, что для всех функций и^-С^ ' выполняется тожг ство

Определение 4. Слабым решением задачи (8)-(10) будем называть функцди 11€-Ьг (¿0) такую, .чтс для всех функций выполняется тождество

(и,1*сг)0 - {М,.;

Теорема 2.1. Если выполнены условия леммы 2.1, то для любог функции €(<&) , г - 1,2 существует

слабое решение задачи (II) - (1о,.

Теорема 2.2, Пусть выполнены условия ..еммы 2.1

Тогда для любой функции € L¿ (<&) , Т.2 существует слабое решение задачи (8) - (10) из ¡пространства \l¿L¿ü) .

Нелокальная задача 6. Няйти решение уравнения

■¿и'ш ?fyy+z/xx+<>ЦъуЫу -fe.y) (14)

в области JO , удовлетворяющее j ловиям ч9) - (ТО).

Лемма 2.2. Пусть существует %>0 такая, что Еыполненк неравенства 2яС.[х,у)—%у-^(}>0 в области Ю .

Тогда справедлива оценка

Теорема 2.3. Пусть выполнены условия леммы 2.2. Тогда для любой функции f£¿>z (&") существует обобщеннее решение (14) -• (9)-(10).

Нелокальная задача 7. Найти решение уравнения

¿и - yl'^y + - Дг,у) (15)

в области £) ., удовлетьоряющее краевым условия..

дги

дги\

" ТТЛ , émA-t, (16)

JT»¿7 и* IX'i

^ (17)

где/3 (х)еСг\.0,Ц ,0<р<!

Теорема 2.4. " Пусть выполнены условия

Тогда для любой функции /е4г (¿Р) существует обобщенное решение : лдачи (15), (16), (17) из пространства

В § 2 рассматривается полулинейное уравнение смс инно-

го типа

LusK[aty)u^ив) где K(r,y)i0 при уго ,к(х,у)<0 пр" у<0,

Пусть ¿D - область при у>0 состоит из прямоугольника с вершин»: в точках ^(¿Л ¿7) , 3[-f,u) , d,{0,0 . ДГ/,/> • а при у<0 ограничена характеристиками уравне-

ния -

$гт yw-o,

Положил S ш S, U Sz,

Н в л о к .а л ъ н а я задача 3. Найти решение уравнения (18) в области £> такое, что

иМ) - u(i,y)~o, (IS)

и{Х'ЩГ, - '(20)

где ¡ЩъС*т, у(*)е$, а, >о.

Через W2 [Я) обозначим подпространство функций из п: странства , которые удовлетворяют краевом ус-

ловием (IS) - (20). '

Определение 5. Оункция U{X,y)e.4l2 i ¿D) называется обобщенным решение;.! задачи (13), (12), (20), ес'; я выполнено интегральное тождество

1 \-tiJKii)u - uTWaii/+liíir+\u\Pi¿?\d3=\{Ш

j?L У ■ У**,* J J (21)

О /

для любой функции 1Г из \\>г т.

Теорема 2.5. Пусть г -полнены условия и неравенства 2а-Ку-%К> (?>0.

Тогда для любой функции /б Ь2 (•£?) существует сбобцен-ное решение задачи (18) - (13), (20).

В С 3 рассматривается нелинейное уравнение г -ешанно-го типа

(22)

в области«^ , кторая при t>0 сос.о;:'! из куба с вершинок в точках ¿(0,0.0) СЩб) . £(■/, /./) , Е1 (0,/, ,3,(1,0,0, а при -¿<0 - ограничена поверхностям:

>а1)П*± Пгх~0<

(.де , ^ ) - вектор внутренней нормали к

и плоскостями. проходящими соотЕвтстг. ;нно через пряг. э ¿г-г? , , V-/.

Будем предполагать, что Г ,К<0

при

, кеС3(3)т=сопх£>0,

-1<р<. ОС.

Краевая задача 9. Нз/.ти функцию в области , удовлетворяющую уравнению (22) и краевым ус.^иия:,:

(23)

«^(¿йа^. '.24)

Всюду ниже будс предполагать, что

Обозначил! через Н класс функций из пространства I \Ьр ,

удовлетворяющих условиям (23) - (24), где

Определение 6. Функция ис И называется обобщенным ^решением задачи ',72) - (24), если для лк ой функции (<&) П Ьр {■£>) . такой, что , выпол-

няеюя интегральное тоздество • •

+¿г>1Г+/7г\рщгг\i¿ - ^

Теорема 2.6. Пусть выполнено уоловие

и пусть существует постоянная А, >¿7 такая, что выполнены неравенства

%4>2а-%к-к{>¿?г>0,

Тогда для любой функци /(¿Э) существует обобщенное решение из класса Н задачи (22) - (24). В § 4 рассматривается уравнение

/ 1 хл 0"Ьи з

я-- - П.

'у,

^ у<0, -/<т<а' <25)

Пусть область Ю состоит из параболической части <£?*', ограниченной отрезками ЛЗ ,В0В ,Л0ЗдХ и прямых

у —0 , £С~{ , у— , х=0 . соответственно, и гипербо-лк .еской части' , ограниченной характеристиками уравнения (25) при у<0 " т+2

Краевая задача 10. Найти функида, обладающую следующими свойствами:

1. и(Х,у)€ С(£».

2. Производные гл. и и„ непрерывны вплоть до отрезка

АЗ . '

3. ШХ, у? является в оО классическим решением уравнения (25), а в ай~- обобщенным решением уравнения (25)

класса л^

4. Удовлетворяет условию склеивания

0) - «(Г,-о) - 0<Х</,

ди{Х^О) _ ди(ХГ0)

Оу ' " 0<х</.

краевым условиям

Ш0,у)'(р9{у), 0*у*уо, (26)

и{Хлу)\^~фЦ), (28)

а также условию согласования ис10) - ф(О) , где Х0 - любая фиксированная точка интервала (О,/) , е., {у) , осг(у) , РУР >&(у) • Яу) . У>о > &У) ~ заданные функции, непрерывные в замыкании области их определения, причем

Однозначная разрешимость аадач (25) - (28) доказывается их сведением к эквивалентным илг интегральным уравнениям В конце § 5 главы 2 д.ш задачи (9), (10), (14) описан алгоритм и по этому алгоритму составлена программа н~ языке Фортран -77 для ЭВМ ЕС-1061.

Уев тор выражает искпацнмю благодарность научному руководитель доктору физико-математических наук, профессору В.Н.Врагову за постановку зад. ш и постоянное внимание к работе. .

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Муминов Ф.М. Теорема единственности решений одной нелокальной задачи // Тез. докл. конф. молодых ученых Сибири и дальнего Востока. - Новосибирск, 1987. - С. 56-59. '

2. Муминов Ф.М. Од одной краевой задаче со смещением для уравнения смешанного типа // Тез. докл. П конф. молодых ученых Сябири и Дальнего Востока. Новосибирск, 1988. -?5-99.

3. Муминов Ф.М. Теорема существо- ¡ния решений одной нелокальной задачи // Тез. докл. Всесоюз. школы молодых учеши %ункциоь..льные методы в прикладной математике и математической физика" - Ташкент, 1988. - С.41-43.

4. Муминов Ф.М. Нелокальные краевые задачи для уравнения смешанного а ..па / НГУ. - Новосибирск, 1988. - 7 о. -Деп. в ВИНИТИ, Й 8817-В88.

5. Мугшнов Ф.И. Об одной нелокальной краевой задаче для полулинейного ураЕ"ения смешанного типа // Математический нализ и дискретная математика: Нежвуз сб. лауч. тр. - Новосибирск, 1989. - С. 58-62.

6. Муминов Ф.М. Об одной налокальнсй краевой задаче для уравнения смешанного типа // Дифференциальные уравнения и оптимальное управление, - Ашхабад, 1950. - С. П8-9Э.