автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Некоторые задачи управления коэффициентами в параболических уравнениях

Московский ГОСУДАРСТВЕННО УНИВЕРСИТЕТ им. ШЗ.Лжонэсовд Факултгг вьмслпьльюА математики и кибернетики

На правах рукописи

Копылова Татьяна Валерьевна

УДК 517.95

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ

Специальность оз.1з.хэ - 'Теоретические основа математического моделирования, численные метода и комплексы программ"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва,1994

Работа выполнена в Иосковском государственном >нивероитетс 11 М-В Лситс-ьа

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Муравей Л-А.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Гергель В.Д. кандидат физико-математических наук, доцент Мипилин А. В-

Ведущая организация:

НИИ физических проблем им.Ф-П.Лукина (г.Зеленоград)

Защита состоится ".4-Х.••. 199+ г- в 14.30 на заседании

Специализированного совета К.053.05.87 в Московском государственном университете по адресу: 119399, Иосква, Воробьевы горы, МГУ, Факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд.бвэ.

С диссертацией мохно ознакомиться в библиотеке факультета ВИиК

ИГУ.

Автореферат разослан " . .".Ч 1994 г.

Ученый секретарь Специализированного совета кандидат физико-математических наук .

В-М-ГоЕоров

о

Общая характеристика рабсти.

Актуальность проблрмн. Диссертация посвящена изучению модели процесса внешнего генерирования, применяющегося, например, при очистке кремниевых плат от примеси тяжелых металлов, Интегральная электроника - одна из наиболее быстро развивающихся отраслей современной промышленности.Текущий этап ее развития связан с созданием сверхбольших интегральных схем (СБИС). При этом моделирование применяется на всех этапах производства СБИС, поскольку натурные эксперименты весьма дорогостоящи. Вопросам моделирования посвящено значительное число работ как зарубежных авторов (обзор некоторых из них содержится в1>, так и отечественных, из которых отметим наиболее близкие к диссертации исследования Гергеля В-А-, Миргородского D.H., Петрова В-II., Суриса P.A., Шипилина A.B.; достаточно полный обзор дается в2.

Одним из составляющих создания интегральной схемы является процесс генерирования. Его описание и исследование на основе физических экспериментов содержится в книге1. Используемый е диссертации физический подход к задаче управления этим процессом был предложен Гергелем В.А. и Сурисом P.A., а первоначальное математическое описание его имеется в работе3. В диссертации выбрана модель, описываемая смешанной задачей для уравнения теплопроводности, в которой одно из граничных условий носит нелокальный по времени характер. Яри этом управляющими параметрами являются коэффициент диффузии, входящий в уравнение и коэффициент сегрегации, входящий в нелокальное граничное

13и С. Технология СБИС. Ы.: Кир, 1<?аь.

2Электронная промышленность. 1904. вып-"?.

^Муравей Л.А., Петров В.М. Некоторые задачи управления диффузионными технологическими процессами //Актуальные проблемы моделирования и управления системами с распределенными параметрами. Киев. 1937.

С.42-43.

условие.

Цель процесса генерирования - максимальное удаление примеси из узкого приграничного слоя платы в момент окончания процесса. Математически это означает задачу минимизации в заданный момент времени т специального интегрального функционала, определенного на решениях смешанной параболической задачи- Поскольку известна экспериментальная зависимость управляющих коэффициентов диффузии и сегрегации от температуры, то задача минимизации сводится к нахождению оптимального температурного режима-

Цель работа заключается в качественном изучении свойств некоторых классов управления коэффициентами в этой задаче, позволяющих рассматривать смешанную задачу с нелокальным граничным условием, доказать существование оптимального температурного режима и построить алгоритм нахождения этого режима с достаточной степенью точности-Основные результаты работы.

1. Исследована одномерная математическая модель широко применяемого в микроэлектронике технологического процесса,а именно, доказана теорема существования и единственности для рассматриваемой смешанной задачи (обобщенного решения в смысле Соболева). Для этого решения получена оценка в естественных соболевских пространствах, которая устанавливает его зависимость от начальных данных,где константа определяется управляющими параметрами.

2. Исследованы свойства собственных функций соответствующей несамо-сопрякенной стационарной задачи, содержащей спектральный параметр в граничных условиях- Обоснован метод Фурье построения решения в случае кусочно-постоянных коэффициентов.

3. Определен класс существования решения оптимизационной задачи, связанной с управлением коэффициентами в рассматриваемой параболической задаче.

Получены необходимые условия оптимальности задачи минимизации в

случае интегрального функционала качества, изучена соответствующая сопряхенная задача.

5.Предложен метод аппроксимации и численный метод нахождения оптимального управления <температурного режима). Установлены интервалы параметров, при которых обеспечена сходимость применяемых методоз. 6.Основные результаты перенесены на случай многомерного параболического уравнения.

Научная новизна, в настоящей работе решена задача управления коэффициентами для уравнения теплопроводности с нелокальным граничным условием и разработан алгоритм приближенного нахождения оптимальных значений этих коэффициентов, сходящийся для экспериментально определенного диапазона параметров.

Практическая ценность. Выбор задачи в значительной мере определялся практической необходимостью.

Характерная особенность рассматриваемой задачи заключается в том, что управление возможно только в довольно ограниченном интервале температур, что связано с имеющимися технологическими возможностями. Поэтому главным вопросом являлось выяснение возможности создания требуемого профиля в момент окончания процесса, что неочевидно. Положительный ответ на этот вопрос, данный в работе, позволил, в свою очередь, предложить алгоритм численного нахождения оптимального режима, устойчивый для определенного диапазона параметров, границы которого были определены экспериментально.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из четырех глав, введения и списка литературы, содержащего 27 наименований.

Краткое содержание работы.

Первая глава посвящена исследованию модели процесса внешнего генерирования. Математически ее можно описать с помощью уравнения теплопроводности

и((1,х)=К(1)и>)(4,х), 0<«<1, 0<«:<Т сл.)

с начальным условием

u(0,x)=u.¿х), t=0

(2)

и граничными условиями на левом

u(t,o>=o, te(o,T>

(3)

и правом

p0u0<l,-Jk(t' Ju^t' .l)dt'=p(t)u(t,l), t€(0,T) (4>

концах отрезка to, 13.

Здесь u0<x) ,k<t> ,ptt) - заданные функции. u0u> - распределение гримеси в плате <о<х<1} в начальный момент времени t=o, a u<t,x> -ее распределение в текущий момент времени t.

Коэффициент диффузии kit) в этом процессе зависит от температуры, которую из технологических соображений можно изменять с течением времени в определенных пределах, откуда возникают ограничения на коэффициент ми и зависящий от.Mt> коэффициент сегрегации pit).

Условие (3) означает, что диффузионный поток через левую границу платы ix=o> отсутствует."

Нелокальное по времени t граничное условие (4) физически означает, что часть вещества сосредотачивается (сегрегируется1, на правой границе пластины. Это условие демонстрирует равенство концентрации примеси, накопленной в приповерхностном слое ii<x<i+a} толщины o.««i, к моменту времени t, ее значению u(t,i) на границе раздела t-=i> пластина-слой, умноженному на коэффициент сегрегации P(t)-a( l+iSiT^it)), a,f),y>o. вид которого связан с зависимостью коэффициентов диффузии в пластине и в слое от температуры.

Условие о) иногда удобно представлять в нелокальной по пространственной переменной форме:

Отметим.что нелокальные параболические краевые задачи возникают также при исследовании процесса теплопередачи. Так. например, в ра-

боте4 рассмотрена задача о распространении тепла в тонком нагретом

стержне <о<х<и, если задано количество тепла на части стержня

<o<x<x(t)>, o^fcO". Этот процесс приводит к изучению граничной задачи

для уравнения и> с нелокальным (по пространственным переменным)

краевым условием Jit!

u(t,x)dx=E(t), 0<t<l,

J0

где Ett) и x(t)-известные функции-

В работе4 доказано существование и единственность классического решения данной задачи, если функции ejt) и*ш непрерывно дифференцируемы на со,т].

В5 для аналогичной задачи в более общей постановке однозначная разрешимость установлена в предположении, что функции E(t> и x<t> удовлетворяют условию Гельдера. При исследовании используются фундаментальные решения параболических уравнений- Применением тепловых потенциалов поставленная задача сводится к системе интегральных сингулярных уравнений Вольтерра второго рода с ядрами, имеющими слабые особенности.

Некоторые классы нелокальных (по времени) краевых задач для параболических операторно-дифференциальных уравнений рассмотрены в работе4*, где найдены условия на оператор, обеспечивающие однозначную разрешимость краевой задачи в соответствующем пространстве.

Cannon J.R. The solution of the heat aquation subject to the specification o-f energy //Quarterly of applied mathematics. 163. , V21 N2 p.155-160.

5Камынин JI. К- Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями //ЖВН и МФ. 1964. т.4, N6.

С.1006-1024.

6Дезин А.А. Операторы с первой производной по "времени" и нелокальные граничные условия //Изв. АН ССОР. Сер. матем- 1967-t.si, mi. С.61-68.

- в -

Обзор более поздних результатов в этом направлении дан в работе7.

При определенных предположениях относительно параметров, условие (4) можно продифференцировать в смысле обобщенных функций и оио принимает вид

+И0и1и,1>=0, 0<£ст (5)

Таким образом, при этих предположениях задачу И)-(з>, о) можно рассматривать как задачу с наклонной производной на правой границе

а, по выводящему из от направлению ö 31

Ö г p'(t)

-Illtt,1)1+ --u(t,H=Q,

я. L J

/

k'(ti+p2(t)

f kit) p(t) "I

H - — , — — >, 0<t

l г-г ■ r~ ■ j

/ k'(t)+p'(t) J к (t)+p (

гле 1=-} — —; , — —• }•, о^<т-единичный вектор,

гт

образующий острый угол с осью ох .

Общая теория разрешимости смешанных краевых задач для параболических уравнений и систем разработана достаточно полно3'9'10, в особенности для случая трех основных задач. Обзор работ в данном направлении содержится, например, в9.

Что касается задач с наклонной производной для параболических

7Дезин A.A. Общие вопросы теории граничных задач- П.: Наука, i9ao.

вИльин A.M.,Каданников А.С.,0лейнш О-А. Линейные уравнения 2-го порядка параболического типа //Успехи матем. наук, учь-i. т. 17, N3.

С-3-147.

9АграновичМ.А., Вишик И.И- Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида //Успехи матем. наук. i964. т-19,

ВЫП.З. С.53-163.

10Ладыженская.О-А-,Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

уравнений, то здесь установлены, в основном, либо принцип максимума3'11, что позволяет доказать единственность классического решения, либо двусторонние оценки, его заменяющие12, или их обобщение на разрывные функции13, из которых вытекает только единственность.

Задача управления, рассматриваемая в диссертации, потребовала изучения обобщенного решения. Основным результатом первой главы является теорема существования и единственности решения смешанной задачи, а именно:

Теорема 1. Для ясех ыырл^.^.ю. ртеУ(ргр2,Р) и и0(х)еЦ<о,1> существует единственное обобщенное решение и(».,х> задачи и>-(4>. и для него справедлива оценка

<с|и(Х)| ,

где постоянная 0 зависит только от к1,к1,к.,р1,р2 и р. Здесь через мск^к.,ю обозначен класс функций м ие^о, п ,

таких

что o<kj^(t)<k2<oo и Jk(t)|, ос, где к(,к2 и к-некоторые

постоянные. Аналогично определяется и класс у<р1,ргр).

Поскольку потребности практики обуславливают необходимость изучения задачи с постоянными коэффициентами < что позволяет использовать метод Фурье >, то в этой *е главе, в §з исследована соответствующая стационарная задача

11Nireriberg A. Strong maximum principle for parabolic equations. Comm. Pure йрр! . Math., 1953, 6, p.167-177.

12

Uestphal H. Zur Abschätzung der LÖszngen nichtlinea^er parabolischer Differentialgleichungen, Math.,Zeit., 1949. 51 p.690-693.

13Иуравей Л-А-, Филиновский А.В- Об одной краевой задаче с нелокальным граничным условием для параболического уравнения //Матем. сборник. Т.182, N10. 1991.

{кк"(х)+Хи(х)=0, 0<х<1,

м'(0)=0, (6)

км' (1)=0

Особенность этой задачи заключается в том, что она является несамосопряженкой. Несамосопряженные спектральные задачи, к которым приводит исследование "нелокальных" по пространственным переменным параболических краевых задач, рассмотрены в работе14 и позднее в15, где использовалась возможность построения в явном виде сопряженной спектральной задачи. Существенным отличием данной ситуации является нарушение келдишевского условия г-олноты я отсутствие явного вида сопряженной спектральной задачи- Отметим, что случай р<о требует дополнительного рассмотрения16-

В §з главы I для гладких коэффициентов решение получено в виде ряда Фурье, для чего проведено исследование асимптотики собственных значений и свойств собственных функций задачи (6). Справедлива теорема-.

Теорема Система собственных функций «„<**, п=1,2,... образует базис Рисса в пространстве и(о,п.

В главе и исследуется задача минимизации функционалов

Р(к.р)«Гнх,и<'Г.хПс1х (7)

ло

и

6(к,р)=Гди.ии,? ) )ай . (В)

•'л

14Бицадзе А.В-,Самарский А-А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач //ДАН СССР. 1969. т.185,

N4.0.739-740.

15Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическими краевыми условиями //Дифференциальные уравнения,

л 1977. Т-13, N2. С.294-304.

160рлова Т.В- .Филиновский А-В. О корневых функциях одной спектральной краевой задачи. Деп.в ВИНИТИ. 1939. N8620.

где роль управления играет коэффициент диффузии ми.явно входящий в уравнение и коэффициент сегрегации p<u в нелокальном граничном условии.

В частности.рассматриваются функционалы Г u<T.x>dx. Г и (т.х>ох.

Jo о

вид. которых определяется целью процесса геттериров&ния.

В главе и 52 доказана следующая теорема: Хедкзма з^. Существуют функции к°< t > и р°< t). реализующие минимум функционала <7) в классе kitiivik^kj.n.pitiwip^p^pi. Аналогичная теорема верна и для функционала (si. Так как на практике важен функционал вида

О ( р ) = |< Li ( х . Т , р) -у ( х) ) jd х . (9)

J0

показывающий, что в момент окончания процесса т надо добиться определенного профиля у<х1. то ему посвящено отдельное исследование. Для этого функционала установлен вид градиента, необходимое условие оптимальности (глава и §з), что потребовало изучения сопряженной задачи (глава и §4). на основе этих исследований предложен алгоритм численного нахождения оптимального режима, устойчивого для экспериментально определенного диапазона параметров (глава ни.

Полученные результаты численных расчетов для различных значений параметров качественно показывают, что оптимальный температурный режим кусочно-монотонный, он содержит участи как убывания, так и возрастания. И с увеличением продолжительности процесса генерирование оптимально проводить при более низких температурах-

Б заключение отметим, что метод:; применяемые в работе, позволили перенести основную часть результатов на многомерный случай 'глава iv §1.:',.

Апробация работы.

Результаты исследований докладывались и обсуждались на научных семинарах факультета ВМиК МГУ и КИРАН. отраслевой конференции по микроэлькторонике. международной конференции молодых ученых.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах: .

i. Орлова Т-В..Филиновский A.B. О корневых функциях одной спектральной краевой задачи- Деп.в ВИНИТИ- iva-?, Naé.20. Орлова Т-Б- Об одной нелокальной краевой задаче для одномерного уравнения диффузии. Деп.в ВИНИТИ. i9to, n259-b-?o. т. Орлова Т-В- Математическое программное обеспечение технологического процесса внешнего генерирования- //Первая международная ка-учно-практическая конференция молодых ученых и специалистов в области приборостроения. М.:19?о. С-30-31. 4. Орлова Т-В. Численное нахождение оптимального режима процесса внешнего генерирования.//Отраслевая конференция по микроэлектронике. М--.1490. С. 38-3'У .