автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование аналитической модели кромки при обработке изображений с использованием уравнений нелинейной диффузии

Введение.

Глава 1. Модели обработки изображений с использованием уравнений в частных производных.

§ 1. Основные подходы.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Дивергентная форма параболических уравнений.

1.3. Неустойчивость по Адамару для уравнений в дивергентной форме.

1.4. Применение свертки с гауссианом.

1.5. Фильтры с сильными разрывами.

1.6. Модели с оптимизацией функционалов.

§ 2. Аналитическая модель сохранения кромки для уравнения нелинейной диффузии.

2.1. Первый класс автомодельных решений и построение сингулярных решений.

2.2. Некоторые обобщения.

Глава 2. Обобщенные и сильные решения уравнения модели сохранения кромки.

§ 1. Свойства решений уравнения нелинейной диффузии.

1.1. Решение в смысле распределений.

1.2. Априорные оценки для производных.

1.3. Сохранение типа особенностей.

§ 2. Разрешимость уравнения диффузии в функциональных классах.

2.1. Определение обобщенных решений.

2.2. Первая краевая задача.

2.3. Приближенные решения и априорные оценки для их норм.

2.4. Предельный переход и построение решения.

2.5. Вторая краевая задача.

2.6. Задача Коши.

§ 3. Результаты расчетов.

3.1. Одновременное сохранение бесконечных градиентов и подавление шумов.

3.2. Вычисления на двумерных изображениях.

Глава 3. Второй класс автомодельных решений.

§ 1. Свойства автомодельных решений.

1.1. Монотнонность и ограниченность.

1.2. Обобщение на случай сферической и цилиндрической симметрии и на случай операторов более высоких порядков.

1.3. Вид решений.

§ 2. Поведение решений при £ оо.

2.1. Предельные решения.

2.2. Характер асимптотического приближения решений.

В конце 80-х и начале 90-х годов прошедшего столетия появились работы по применению моделей с дифференциальными уравнениями в частных производных при обработке изображений. Так, в работе Регопа Р. and Malik J., Scale-Space and Edge Detection Using Anisotropic diffusion. // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 1990. Vol. 12. №.7. pp. 629-639 предлагается следующая модель. С математической точки зрения шум интерпретируется как некоторая абстрактная функция с максимумами и минимумами; с некоторой, быть может, характерной частотой; конечно, непериодическая; с условной амплитудой, меньшей, чем характерные значения сигнала для обрабатываемого изображения. Если рассматривать такую функцию (сначала в одномерной по пространственной переменной интерпретации) в качестве начального условия задачи Коши для линейного уравнения в частных производных параболического типа (уравнения диффузии), то, такой шум будет исчезать с течением времени, в силу свойств указанного уравнения. С другой стороны, если рассмотреть ступенчатую функцию, которая интерпретирует кромку на изображении (резкую границу яркости), в качестве начальной функции для того же линейного уравнения диффузии, то кромка будет размазываться с течением времени и четкость картинки будет нарушаться. П. Перона и Дж. Малик ставят следующую задачу: как добиться одновременного подавления шума и сохранения кромки в данном применении параболических уравнений? Для этой цели предлагается рассмотреть коэффициент диффузии, нелинейно зависящий от градиента решения. При этом он должен стремиться к нулю, когда производная решения стремится по модулю к бесконечности. В цитированной работе предлагаются типичные зависимости, удовлетворяющие указанному свойству. Однако авторы рассматривают уравнение диффузии в дивергентной форме. Простейшая подстановка выявляет некорректность по Адамару задачи с начальными условиями для предлагаемых зависимостей коэффициента диффузии от градиента решений.

Идеи П.Пероны и Дж.Малика развивались в работах Catté FLions P.-L., Morel J.-M. and Coll T., Images selective smoothing and edge detection by nonlinear diffusion // SI AM J. Numer. Anal 1992. Vol. 29. №1. pp. 182193 и Alvarez L., Lions P.-L. and Morel J.-M., Images selective smoothing and edge detection by nonlinear diffusion. //// SI AM J. Numer. Anal. 1992. Vol. 29. №3. pp. 845-866. В последней работе обнаруживается некорректность по Адамару и предлагается модель, использующая уравнение параболического типа в недивергентной форме. Здесь, в коэффициенте диффузии используется свертка с гауссианом, куда входит малый параметр. Однако не понятно, какое значение малого параметра должно браться в каждом конкретном случае обработки изображений. К тому же, само использование гауссиана с малым параметром означает фактически некоторую регуляризацию, то есть заранее приводит к размазыванию изображений.

В работе Osker S. and Rudin LFeature-oriented image enhancement using shock filters. // SIAM J. Numer. Anal. 1990. Vol. 27. Щ. pp. 919-940 предлагается использовать уравнение линейного переноса с разрывными коэффициентами. Однако основная цель здесь сегментирование изображения, а не подавление шумов.

В работах Rudin L., Osker S. and Fatemi E., Nonlinear total varaition based noise removal algorithms //Physica D. 1992. Vol. 60. pp. 259-268 и Proesmans M., Pauwels E.J., van Gool L., Coupled geometry-driven diffusion equations for low-level vision /f Geometry-driven diffusion in computer vision. Dordrecht: Kluwer Acad. Pubis. 1994■ pp. 191-228 предлагаются модели подавления шумов и улучшения изображения, основанные на оптимизации функционалов. Необходимое условие экстремума в виде уравнения Эйлера-Лагранжа решается методом градиентного спуска. Получается довольно громоздкая система уравнений в частных производных с искусственно вводимым параметром и не лишенная неустойчивости по Адамару.

В работе Цурков В.И., Аналитическая модель сохранения кромки при подавлении шумов посредством анизотропной диффузии // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2000. №3. С. 107-110 рассматривается уравнение нелинейной диффузии, справедливое вблизи кромок, с коэффициентом, зависящим от градиента в виде степенной функции и удовлетворяющего упомянутому условию Пероны-Малика. Найдено автомодельное решение с сингулярностью гёльдеровского типа, которая сохраняется с течением времени. Автор интерпретирует этот факт как аналитическую модель сохранения кромки.

Диссертационная работа посвящена выбору модели одновременного сохранения кромки и подавления шумов на изображениях на основе уравнений в частных производных, исследованию её математических свойств и адекватности, разработке эффективных алгоритмов для использования на реальных изображениях.

Целью диссертационной работы является:

1. Среди различных моделей с использованием дифференциальных уравнений при обработке изображений выбор модели, обладающей следующими свойствами: разрешимостью соответствующих задач, устойчивостью в смысле малых возмущений начальных значений, одновременным подавлением шума и сохранением кромки, возможностью построения эффективного численного алгоритма в конкретных реализациях.

2. Построение и анализ автомодельных решений, которые имеют сингулярности, сохраняющиеся с течением времени и интерпретирующие модель сохранения кромки на изображении; анализ асимптотического поведения автомодельных решений.

3. Численное обоснование одновременного сохранения кромки и подавления шума в аналитической модели.

4. Создание программного комплекса на основе применения аналитической модели сохранения кромки для эффективной обработки реальных изображений и его тестирование.

Научная новизна. Впервые исследованы свойства модели нелинейной диффузии в обработке изображений и получены следующие результаты :

1. Установлена адекватность аналитической модели кромки исходному требованию одновременного подавления шумов и сохранения кромок при обработке реальных изображений.

2. Разработаны численные алгоритмы по обработке изображений с использованием модели на основе уравнения нелинейной диффузии, включая расщепление по одномерным направлениям в методе дробных шагов.

3. Для уравнения модели нелинейной диффузии, на основании метода априорных оценок для потенциальной функции, установлено, что если в начальный момент кромка задаётся в виде сингулярной функции гёльдеровского типа с показателем, зависящим от параметра системы, то с течением времени решение будет относиться к тому же классу. Найдена зависимость класса решений уравнений модели подавления шумов в зависимости от типов начальных данных.

4. Исследованы закономерности предельного поведения решений уравнений модели нелинейной диффузии.

Практическая ценность.

Результаты диссертационной работы применимы в задачах обработки изображения и как предварительный этап в задачах распознавания и анализа изображений. Применение уравнения нелинейной диффузии позволяет удалить шум на изображении, максимально сохранив его естественную структуру. В работе предложен и программно реализован эффективный численный метод решения рассматриваемого уравнения.

Обоснованность научных положений. Теоретические результаты, полученные в диссертации, сформулированы в виде лемм и теорем и строго доказаны. Экспериментальные исследования проведены по предварительно разработанным и теоретически обоснованным методикам.

Методы исследования. В диссертации используются подходы математического моделирования, теории уравнений в частных производных, априорные оценки, принцип максимума для параболических уравнений, метод дробных шагов, метод потенциальных функций.

Апробация работы. Основные положения и результаты докладывались:

• на научной конференции "Математические модели сложных систем и междисциплинарные исследования", посвященной 85-летию академика H.H. Моисеева (ВЦ РАН, Москва, 2002);

• на семинаре кафедры математического моделирования Московского Энергетического Института, в 2002 году;

• на семинаре лаборатории под руководством [НА. Бобылева) в институте проблем управления РАН в 2002 году.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 4 печатные работы [9-12].

Работа состоит из настоящего введения, трех глав, заключения, списка литературы, содержащего 70 наименований. Общий объём диссертации — 108 страниц.

В первой главе представлены основные известные подходы применения дифференциальных уравнений в частных производных при обработке изображений. Особое место уделяется вышеупомянутой постановке П.

Пероны и Дж.Малика, и детально обсуждается отсутствие устойчивости по Адамару для задач с начальными значениями. Центральное внимание уделяется недивергентной форме нелинейных параболических уравнений и аналитической модели сохранения кромки, чему и посвящается вся последующая часть диссертационной работы.

Во второй главе представлены теоремы существования и единственности краевых задач для уравнений нелинейной диффузии в функциональных пространства. Поскольку аналитическая модель кромки связана с сингулярной функцией гёльдеровского типа, то устанавливается теорема существования в классе Гёльдер-непрерывных функций. Доказательство основано на получении внутренних априорных оценок констант Липшица для так называемой потенциальной функции. Другой тип теорем существования предполагает, что начальные данные задаются в соболевских пространствах. Метод доказательства основан на получении априорных оценок энергетического типа и использовании аналога метода Галёркина. Также представлены результаты вычислений. На сингулярную функцию из аналитической модели сохранения кромки накладываются возмущения различных типов. В рамках данного рассмотрения после нескольких итераций шумы исчезают, а кромка — остаётся. В другой серии вычислений аналитическая модель кромки применяется в обработке реальных изображений. Используется метод дробных шагов для расщепления на одномерные модели. Представлены графики яркости до и после удаления шумов.

В третьей главе изучается класс автомодельных решений с переменной, равной отношению пространственной координаты к квадратному корню от времени. Устанавливается вид решений. Рассматривается асимптотическое поведение решений и стремление решений уравнения в частных производных к таким автомодельным решениям.

Результаты, выносимые на защиту

1. Осуществлен выбор модели одновременного подавления шумов и сохранения кромки на основе использования недивергентных уравнений параболического типа с точки зрения устойчивости относительно начальных данных, отсутствия априорного сглаживания и сохранения сингулярностей решения с течением времени.

2. Для модельных уравнений нелинейной диффузии со степенной зависимостью коэффициента от производной решения получены оценки производных потенциальной функции, из которых выводится разрешимость уравнений. Найдены типы решений в зависимости от классов начальных условий.

3. В модели нелинейной диффузии установлены свойства класса автомодельных решений и их роль как предельных по времени для исследуемой модели.

4. Разработан программный комплекс на основе эффективных численных алгоритмов по модели интерпретации одновременного сохранения кромок и подавления шумов, а также по обработке изображений с использованием уравнения нелинейной диффузии, включая расщепление по одномерным направлениям в методе дробных шагов.

Заключение

В заключение перечислим результаты, выносимые на защиту.

1. Осуществлен выбор модели одновременного подавления шумов и сохранения кромки на основе использования недивергентных уравнений параболического типа с точки зрения устойчивости относительно начальных данных, отсутствия априорного сглаживания и сохранения сингулярностей решения с течением времени.

2. Для модельных уравнений нелинейной диффузии со степенной зависимостью коэффициента от производной решения получены оценки производных потенциальной функции, из которых выводится разрешимость уравнений. Найдены типы решений в зависимости от классов начальных условий.

3. В модели нелинейной диффузии установлены свойства класса автомодельных решений и их роль как предельных по времени для исследуемой модели.

4. Разработан программный комплекс на основе эффективных численных алгоритмов по модели интерпретации одновременного сохранения кромок и подавления шумов, а также по обработке изображений с использованием уравнения нелинейной диффузии, включая расщепление по одномерным направлениям в методе дробных шагов.

99

Считаю своим приятным долгом поблагодарить профессора Цуркова В.И. за постановку задачи и научное руководство, а также профессора Дубинского Ю.А. и чл.корр. РАН Бесова О.В. за научные консультации. Автор признателен к.т.н. Мурынину A.B. и к.ф.м.н. Матвееву И.А. за предоставление аппаратуры для экспериментальной части.

1. Баренблатт Г. И. О некоторых неустановившихся движениях жидкости и газа в пористой среде // Прикл. матем. и механ. — 1952. — т. 16, вып. 1. - С. 67-78.

2. Баренблатт Г.И., Вишик М.И., О конечной скорости распространения в задачах нестационарной фильтрации жидкости и газа. // Прикладная математика и механика. 1956. Т. 20. Вып. 3. с. 411-417.

3. Бернштейп С.Н. Ограничение модулей последовательных производных решений уравнений параболического типа // ДАН СССР — 1938. Т. 18, № 7. - С. 385-388.

4. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. — М.: Наука, 1996.

5. Вишик М.И. О разрешимости краевых задач для квазилинейных параболических уравнений высших порядков // Матем. сб. — 1962. — Т. 59(101) С. 289-325.

6. Дубинский Ю.А. Некоторые интегральные неравенства и разрешимость вырождающихся квазилинейных эллиптических систем дифференциальных уравнений // Матем. сб. — 1964. Т. 64,№3. — С. 458-480.

7. Зельдович Я. Б., Компанеец A.C.K теории распространения тепла притеплопроводности, зависящей от температуры // В "Сб., посвященном семидесятилетию акад. А.Ф. Иоффе"., М.: Изд-во АН СССР, 1950.

8. Киттелъ Ч. Элементарная физика твердого тела. — М.: Наука, 1965.

9. Д.В. Ковкое, В.И. Цурков Сингулярные решения задачи с начальными условиями для уравнения анизотропной диффузии. // Известия РАН. Теория и системы управления — 2000. — №4. — С. 13-18.

10. Д.В. Ковков, В. И. Цурков Некоторый класс автомодельных решений уравнения нелинейной диффузии. — М:ВЦ РАН. 2001. 19с.

11. Д.В. Ковков, В.И. Цурков Асимптотическое поведение решений некоторого класса уравнений нелинейной диффузии. — М:ВЦ РАН. 2003. 16с.

12. Кружков С.Н. Результаты о непрерывности решений параболических уравнений и некоторые их применения // Математические заметки. — 1969. Т. 6, № 1. - С. 97-108.

13. Ладыженская O.A., Солонииков В.А., Уралъцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. — М.: Наука, 1967.

14. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

15. Марр Д. Зрение: информационный подход к изучению представления и обработки зрительных образов. — М.: Радио и связь, 1987.

16. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. — М.: Наука, 1974.

17. Олейник O.A., Вентцель Т.Д. Первая краевая задача и задача Коши для квазилинейных уравнений параболического типа // Математический сборник 1957. - Т. 41(83), ДО 1 - С. 105-128.

18. Олейник O.A., Калашников A.C., Чжоу Юй-Линъ Задача Коши и краевые задачи для уравнения типа нестационарной фильтрации //Известия АН СССР. Серия математическая. — 1958. — Т. 22. — С. 667-704.

19. Олейник O.A., Кружков С.И. Квазилинейные параболические уравнения второго порядка со многими независимыми переменными //УМН 1961 - Т. 16, ДО 5. - С. 115-155.

20. Самарский A.A. Об одном экономичном разностном методе решения многомерного параболического уравнения в произвольной области // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1962. Т. 2, ДО 5. - С. 787-811.

21. Самарский A.A., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнении — М:Наука, 1987. — 480 с.

22. Самарский A.A., Соболь И.М. Примеры численного расчёта температурных волн //Журнал вычислительной математики и матем. физики- 1963 Т. 3, т. - С. 702-718.

23. Слободецкий Л.Н. Оценки решений эллиптических и параболических систем // ДАН СССР 1958. - Т. 120, №3. - С. 468-471.

24. Фридман А.А. Уравнения с частными производными параболического типа. — М.: Мир, 1968.

25. Цурков В.И. Об одном автомодельном решении уравнений газодинамики // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1971. — Т.11, №4. — С. 10511056.

26. Цурков В.И. Свойства решений газодинамических уравнений Эйлера для бозонов при цилиндрической и сферической симметрии // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1998. — Т.38, №6. — С. 1054-1056.

27. Цурков В.И., Аналитическая модель сохранения кромки при подавлении шумов посредством анизотропной диффузии // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2000. №3. С. 107-110.

28. Яненко Н.Н., Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. — Новосибирск. Наука 1967.

29. Alvarez L., Lions P.-L. and Morel J.-M. Images selective smoothing and edge detection by nonlinear diffusion. II // SIAM J. Numer. Anal. — 1992. V. 29, т.- Р. 845-866.

30. Aronson D. G. The porous médium equation // Some problems in nonlinear diffusion. Lecture notes in Mathematics.(eds Fasano A. and Primicerio M.)- Berlín.: Springer, 1987. — V. 1224

31. Aronson D.G. Regularity properties of flows though porous media //SIAM J. Appl. Math. 1969. - V. 17, №2. - P. 461-467.

32. Aronson D.G., Peletier L.A. Large time behaviour of solutions of the porous medium equation in bounded domains //Journal of differential equations 1981.- Vol. 39. - P. 378-412.

33. Atkinson F. V. and Peletier L.A. Similarity profiles of flows trough porous media //Arch. Rat. Mech. Anal. 1971- V.42. - pp. 369-379.

34. Atkinson F.V. and Peletier L.A. Similarity solutions of the nonlinear diffusion equation //Arch. Rat. Mech. Anal. — 1974. — V.54. — pp. 373392.

35. Babaud J., Within A., Baudin M. and Duda R. Uniqueness of the gaussian kernel for scale-space filtering // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence--Jan. 1986. V. PAMI-8.

36. Bailey P.B., Shampine L.F. and Waltman P.E. Nonlinear two point boundary value problems. — New York: Academic Press, 1968.

37. Berryman J.G., Holland C.J. Asymptotic behavior of the nonlinear diffusion equation nt = C^-1^) x J J J. Math. Phys. — 1982. — V. 23, № 6. P. 983-987.

38. Canny J. Finding Edges and Lines in Images: Tech. Report 720, Artificial Intelligence Laboratory, Massachusetts Institute of Technology — Boston, MA, 1983.

39. Carleman T. Problèmes mathématique dans la théorie cinétique des gaz. — Almqvist and Wilsell. Uppsala, 1957.

40. Catte F., Lions P.-L., Morel J.-M. and Coll T. Images selective smoothing and edge detection by nonlinear diffusion // SIAM J. Numer. Anal. — 1992. -V. 29, m. P. 182-193.

41. Crandall M. G. and Evans L. C. A singular semilinear equation in L1(IR) // Trans. Am. math. Soc. 1977. - V. 225. - P. 145-153.

42. Duijn G.J. van, Gomes S.M., Zhang H. On a class of similarity solutions of the equation ut = (um~lux)x, with m > —1. // I.M.A. J. appl. Math.- 1988. V.41.-P. 147-163.

43. Hellfferich F. and Plesset M.S. Ion exchange kinetics: a nonlinear diffusion problem. // J. Chem. Phys. 1958. - V. 28, №3. - P. 418-424.

44. Hummel A. Representation Based on Zero-crossings in Scale-space // Proc. IEEE Computer Vision and Pattern Recognition Conference — June 1986- P. 204-209.

45. Hummel A. The scale-space formulation for pyramid data structures // Parallel computer vision. (Ed.: L. Uhr.) — New York: Academic, 1987 — P.187-223.

46. Kamimura A. and Dawson J.M. Effect of mirroring on convective transport in plasma // Phys. Rev. Lett. 1976. - V. 36. - P. 313-316.

47. Kaper H. G. and Leaf G.K. Initial value problems for the Carleman equation I/ Nonlinear Analysis. 1980. - V. 4, №2. - P. 343-362.

48. Kaper H.G., Leaf G.K. and Reich S. Convergence of semigroups with an application to Carleman equation // Math. meth. appl. Sci. — 1980. — V. 2. P. 303-308.

49. Koenderink J. The Structure of Images //Biol. Cybern. — 1984. — V. 50.- P. 363-370.

50. Krzyzanski M. Certaines inégalités rélatives aux solutions de l'équation parabolique linéaire normale// Bull. Acad. Pol. Sci., Sér. Sci. Math. Astron. Phys. 1959. - №. 7. - P. 131-135.

51. Kurtz T.G. Convergence of sequences of semigroups of nonlinear operators with an application to gas kinetics. JI Trans. Am. math. Soc. 1973. — V. 186. - P. 259-272.

52. Lonngren K.E. and Hirose A. Expansion of an electron cloud // Phys. Lett.- 1976. V. A59, №. - P. 285-286.

53. Mumford D. and Shah J. Boundary detection by minimizing functionals // IEEE Conf. Comput. Vision and Pattern Recognition — San Francisco, CA, 1985.

54. Nordstrom K.N. Biased anisotropic diffusion — A unified approach to edge detection : Preprint / Dept. of Electrical Engineering and Computer Sciences, University of California, Berkley, CA. 1989.

55. Okuda H. and Dawson J. W. Theory and numerical simulation on plasma diffusion across a magnetic field // Physics Fluids — 1973. — V. 16. — P. 408-426.

56. Osher S. and Rudin L. Feature-oriented image enhancement using shock filters 11 SIAM J. Numer. Anal. 1990. - V. 27, №4. - P. 919-940.

57. Pauwels E.J., Tsurkov V.I., van Gool L. Conditions for Correctness of Anisotropic Diffusion Equations in Filtering Theory // Journal of

58. Computer and System Sciences International. — 1997. — V. 36, №. 3. — P. 430-432.

59. Peletier L.A. The porous media equations, // Applications of Nonlinear Analysis in the Physical Sciences (eds. H. Amann et al). — Boston:Pitman, 1981.

60. Peletier L.A. Asymptotic Behaviour of Temperature Profiles of a Class of Non-linear Heat Conduction Problems // Quart. Journ. Mech. and Applied Math. 1970. - V. 23, No. 3. - P. 441-447.

61. Peletier L.A. Asymptotic behavior of solutions of the porous media equation // SIAM J. Appl. math. 1971. - V. 21, №4. - P. 542-551.

62. Perona P. and Malik J. Scale-Space and Edge Detection Using Anisotropic diffusion // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 1990. - Vol. 12, №.7. - P. 629-639.

63. Proesmans M., Pauwels E.J., van Gool. L. Coupled geometry-driven diffusion equations for low-level vision// Geometry-driven diffusion in computer vision. — Dordrecht: Kluwer Acad. Pubis., 1994. — P. 191-228.

64. Reich S. Convergence and approximation of nonlinear semigroups //J. math. Analysis Applic. 1980. - V. 76. - P. 77-83.

65. Rosen G. Nonlinear heat conduction in solid H2 //Physical Rev. — 1979. V. B19. - P. 2398-2399.

66. Rudin L., Osher S. and Fatemi E. Nonlinear total varaition based noise removal algorithms //Physica D. 1992. — V. 60. - P. 259-268.108

67. Witkin A. Scale-space filtering //Proceedings of IJCAI: Karlsruhe, 1983 — P. 1019-1021.

68. Yuille A. and Poggio T. Scaling theorems for zero crossings. // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence — Jan. 1986. — V. PAMI-8.

69. Zhang H. Large time behavior of the maximal solution of equation ut = {um~lux)x with -1 <m < 0 //Differential and Integral Equations — 1993. V. 6, №. - P.613-626.

70. Zhang H. On a nonlinear singular diffusion problem: convergence to travelling wave. //Nonlinear Anal. T. M. and A. 1992. — V. 19, №12. — P.llll-1120.