автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы диффузионной фильтрации и повышения резкости изображений

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи УДК 517.958

Борисенко Григорий Валерьевич

МЕТОДЫ ДИФФУЗИОННОЙ ФИЛЬТРАЦИИ и ПОВЫШЕНИЯ РЕЗКОСТИ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

□ОЗ174211

Москва - 2007

003174211

Работа выполнена на кафедре Математической физики факультета

Вычислительной математики и кибернетики Московского Государственного

Университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Денисов Александр Михайлович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Кумсков Михаил Иванович доктор физико-математических наук, профессор Попов Александр Михайлович

Ведущая организация:

Институт Прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН

Защита диссертационной работы состоится 9 ноября 2007г., в _

заседании диссертационного совета К 501.001.07 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

вычислительной математики и кибернетики, ауд. 6*3-5~

Автореферат разослан" р " £>£/$

2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук, доцент Говоров Валерий Михайлович

Актуальность темы. В последнее время одной из обширных областей применения методов математического моделирования и компьютерных технологий является обработка изображений1

Существует множество задач, для решения которых применяется цифровая обработка изображений2 Типичными задачами являются фильтрация изображений, распознавание текста, идентификация объектов на изображении, обработка данных измерений, внедрение и распознавание водяных знаков, компрессия и другие Кроме того цифровая обработка изображений используется для работы с изменяющимся во времени сигналом, таким как, например, видеосъемка или результат работы томографа

Разнообразие и важность задач цифровой обработки изображений обуславливают актуальность разработки широкого спектра математических методов обработки изображений, их реализации в программном обеспечении и применения для решения возникающих задач

Одним из часто используемых классов математических методов обработки изображений являются методы диффузионной фильтрации Эти методы основаны на решении задач для уравнения диффузии с обрабатываемым изображением, взятым в качестве начального условия Самые простые алгоритмы диффузионной фильтрации состоят в решении задачи для линейного уравнения диффузии с постоянным коэффициентом Существуют методы, в которых коэффициент диффузии зависит от начального или текущего изображений, методы с коэффициентом диффузии выбранном в виде матрицы, методы, использующие уравнения диффузии с источником и ряд других3

' Гашников М В, Глумов Н И, Ильясова НЮ и др, Методы компьютерной обработки изображений Учебное пособие (под ред СойфераВ A)//ISBN 5922101803 2001

2 Acharya T, Ray А, Image Processing Principles and Applications // ISBN 0471719986 Wiley 2005

3 Weickert J, A review of non'mear diffusion filtering //Lecture Notes In Computer Science 1997 V 1252 P 328

В настоящее время методы диффузионной фильтрации применяются в таких областях как выделение контуров, сегментация, реконструкция изображений, постобработка неустойчивых результатов измерений, визуализация, компьютерный контроль качества, слежение за объектом, определение оптического потока, метод активных контуров, и многие другие Весьма интенсивно методы диффузионной фильтрации применяются в обработке данных медицинских измерений

Широкая область применения методов диффузионной фильтрации изображений определяет актуальность разработки новых методов и их программной реализации

Цель работы. Цель диссертационной работы состоит в разработке новых методов диффузионной фильтрации и повышения резкости изображений, их программной реализации и применению для некоторых классов изображений

Научная новизна и практическая значимость. Разработаны новые методы диффузионной фильтрации изображений, основанные на решении уравнения диффузии, в котором использованы новые модели коэффициента диффузии и источника Предложены методы повышения резкости изображений, базирующиеся на применении метода квазиобращения для решения уравнения диффузии с обратным направлением времени и новой модели коэффициента диффузии На их основе разработаны численные алгоритмы и комплекс программ, который применен для обработки ряда изображений

Апробация работы. Результаты работы докладывались на международной научной конференции «Тихонов и современная математика», в г Москва, в 2006г, на XIV международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов 2007», в г. Москва, в 2007г, на Международной конференции по компьютерной графике, машинному зрению, обработке изображений и видео «Графикон'2007», в г

Москва, в 2007г, а также на семинарах кафедры математической физики факультета ВМиК МГУ им МВ Ломоносова

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 5 печатных работах, список которых приведен в конце автореферата

Структура и объем диссертационной работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и библиографического списка, содержащего 77 наименований Диссертационная работа изложена на 88 страницах машинописного текста и содержит 29 рисунков

Основное содержание диссертационной работы.

Во введении дается обзор литературы по теме диссертационной работы и кратко излагается ее содержание

В первой главе предложены, изучены и программно реализованы методы диффузионной фильтрации изображений, основанные на решении уравнения диффузии, в котором использована новая модель коэффициента диффузии, зависящая от локальной интегральной интенсивности изображения Новизна методов диффузионной фильтрации обусловлена использованием в них дополнительной информации о локальной интенсивности фильтруемого изображения В качестве источника информации выбрана величина интеграла от исходного или текущего изображения взятого по некоторой окрестности фильтруемой точки Эта величина позволяет отличить области с высокой общей интенсивностью от областей с низкой с тем, чтобы устанавливать для них различную скорость фильтрации Точки, где величина локальной интегральной интенсивности велика, в большинстве случаев являются содержащими полезную информацию Процесс диффузии в таких точках должен быть существенно замедлен Если же интегральная интенсивность мала, то данная точка, скорее всего, принадлежит незначащей зашумленной области, где диффузия должна протекать с нормальной скоростью

Пусть f(x,y) - исходное монохромное изображение Методы диффузионной фильтрации определяются следующими задачами

и, = div(gVu), (x,y)eQ,0<t<T, и|г = 0, 0<t<T,

u{x,yfi) = f{x,y), (x,y)sQ, где коэффициент диффузии

g{x,y,f) =

1 + я2

V

jf(s,p)dsdp

\.0(х,у)

или

( V1

g(x,y,f)= 1 + ¿2|V/|2 \f{s,p)dsdp , (х,у)еп,л>0

V 0(x,y) j

(1 1) (12) (1 3)

(14) О 5)

некоторая окрестность точки (х,у). В качестве отфильтрованного изображения берется решение задачи (1 1)-(1 4) или (1 1)-(1 3),(1-5) u(x,y,t) в некоторый момент времени Т Краевое условие (1 2) соответствует тому, что вблизи границы изображения нет полезных объектов

Наряду с описанными вариантами методов диффузионной фильтрации в первой главе рассмотрен и ряд других, в которых величины градиента и интеграла, входящие в коэффициент диффузии, могут вычисляться на основе -текущего изображения u(x,y,t)

Для задачи (1 1)-(13) с коэффициентами диффузии вида (14), зависящими от начального или текущего изображения, показана устойчивость решения по начальным данным Предложены разностные схемы для численного решения задач, определяющих построенные методы диффузионной фильтрации, и установлен их порядок аппроксимации

Методы диффузионной фильтрации программно реализованы в Microsoft® Visual Studio® 2005 на языке С# Для работы с графическими объектами использован программный интерфейс DirectDraw из коллекции

Microsoft® DirectX® 9.0c. В приложение включен модуль пакетной обработки изображений и оригинальный алгоритм автоматического сравнения результатов фильтрации. С использованием разработанного программного обеспечения, проведены расчеты и на ряде примеров продемонстрированы свойства построенных методов, а также их эффективность по сравнению с другими методами диффузионной фильтрации.

Рассмотрим результаты применения методов для фильтрации изображений. На рисунке 1 представлено исходное изображение. Рисунки 2 и 3 демонстрируют результаты фильтрации. Изображение 2 - результат фильтрации гауссовским фильтром, а изображение 3 методом диффузионной фильтрации, задаваемым задачей (1.1)-(1.4).

I «jï

к Lip (с у ih+ \

/■VVQ il(l-i) ■ _

Рис. 1. Исходное изображение.

i^nS ло / I

* Ufjt *■ И > i"-* ^м .'.'»•) « * 4^ /<f i>J ^ ~ if*'

kj, ¿M * Vя

Рис. 2. Результат фильтрации с использованием гауссовского фильтра.

/СкГ/ч -YO / i ty,

^ i^Jcvl) ъ fiym ЛИ

(tys é f tyjo.1} - i"

¡r -z ¿_(i-i) ■

Рис 3 Результат фильтрации с использованием метода, задаваемого задачей

(1 1)-(1 4), Л = 0 1

Приведенные примеры демонстрирует преимущества применения метода диффузионной фильтрации основанного на решении задачи (1 1)-(1 4), по сравнению с фильтром Гаусса При одинаковой интенсивности размытия шума, предложенный алгоритм гораздо лучше сохраняет полезные объекты

Во второй главе разработаны, исследованы и программно реализованы методы диффузионной фильтрации изображений, состоящие в решении уравнения диффузии, в котором использована новая модель источника, зависящая от локальной интегральной интенсивности изображения, в комбинации с различными коэффициентами диффузии В первом параграфе рассмотрен знакоопределенный вариант источника, зависящего от локальной интегральной интенсивности Действие этого отрицательного источника (стока) состоит в следующем В точках, в малой окрестности которых содержится много точек полезного изображения, величина локальной интегральной интенсивности велика, и в них влияние источника должно быть незначительным В тех же точках, в окрестности которых находится только шум, источник активно действует, снижая интенсивность шума Методы диффузионной фильтрации определяются следующей задачей

u,=div(gVu)-Q(x,y;f)u, (x,y)eQ,Q<t<T, (16)

и|г =0, 0<t<T, (17)

и{х,у,0)= f{x,y\ (х,у)еП, (1.8)

где g постоянный коэффициент диффузии или коэффициент диффузии, зависящий от модуля градиента, а произведение Q{x,y,f)u описывает источник Функция Q(x,y,f) определяется формулой

42V1

Q(x,y,f)=

1+

я \f(s,p)dsdp

\ 0(х,у)

, (х,у)вС1,Л>0 (19)

Также рассмотрен вариант знакоопределенного нелинейного источника, в котором интеграл по локальной окрестности точки вычисляется от текущего изображения

Для задачи (1.6)-(19) с постоянным коэффициентом диффузии, линейным и нелинейным источниками доказана устойчивость решения по начальным данным Предложены разностные схемы для численного решения задач, определяющих методы диффузионной фильтрации, и установлен их порядок аппроксимации

Во втором параграфе предложены методы диффузионной фильтрации, основанные на использовании знакопеременного источника. Появление у источника значений разных знаков позволяет алгоритму наряду с уменьшением интенсивности шума использовать его и для увеличения интенсивности полезных объектов Один из вариантов знакопеременного источника определяется формулой

V

Q(x,y,f) = R

¡f(s,p)dsdp

У.О(х,у)

(1 Ю)

где функция R(z) такова, что

R(z)>0, ze[0,Zo),

й(2)<0, zefo.Zj, (111)

R{z) = 0, z0[O,Z,J Параметр Z0 задает порог отсечения шума Величина 2Х определяется как значение квадрата интеграла функции fix,у) по окрестности 0(х,у), в которой все точки имеют максимальную интенсивность.

Знакопеременный источник использован для построения новых методов диффузионной фильтрации на базе задач для уравнения диффузии с различными коэффициентами диффузии Также как и в первом параграфе, рассмотрены адаптивные варианты алгоритма, в котором интеграл зависит от текущего фильтруемого изображения Рассмотрен метод диффузионной

фильтрации со знакопеременным источником и анизотропным коэффициентами диффузии.

Предложены разностные схемы для численного решения задач для уравнения диффузии со знакопеременным источником и различными видами коэффициента диффузии.

Методы диффузионной фильтрации программно реализованы в Microsoft® Visual Studio® 2005 на языке С#. В приложение включен модуль пакетной обработки изображений и оригинальный алгоритм автоматического сравнения результатов фильтрации. С использованием разработанного программного обеспечения, проведены расчеты и на ряде примеров продемонстрированы свойства построенных методов, а также их эффективность по сравнению с другими методами диффузионной фильтрации.

Рассмотрим результаты применения методов для фильтрации изображений. На рисунке 4 представлено исходное изображение. Рисунок 5 иллюстрирует результат работы известного адаптивного анизотропного метода диффузионной фильтрации, а рисунок 6 - изображение, отфильтрованное новым методом, построенным на основе решения анизотропного уравнения диффузии с нелинейным знакопеременным источником, зависящим от локальной интегральной интенсивности.

Рис.4

Рис.5 Рис.6

Количество шагов по времени для отфильтрованных изображений одинаково. Функция R(z) была выбрана в виде

R{z) = Acos(BÀ2z\\ + Я2г] z е [о,(2288)2 ]; R(z) = 0, [о, (2288)2 ]. Параметр Я = 0.0\.А = 3,5 = 0.009. В качестве окрестности интегрирования 0(х,у) выбран квадрат с центром в точке (х, у) и со стороной в три пикселя.

Рассмотренный пример демонстрирует, что использование источника в уравнении диффузии, позволяет существенно улучшить фильтрационные свойства методов диффузионной фильтрации.

В третьей главе предложены, изучены и программно реализованы методы повышения резкости изображений, базирующиеся на применении метода квазиобращения для решения уравнения диффузии с обратным направлением времени и моделью коэффициента диффузии, зависящей от локальной интегральной интенсивности изображения. Исследуется класс изображений, в которых снижение резкости обусловлено применением к изображению некоторого алгоритма диффузионной фильтрации. Восстановление резкости рассматривается как процесс аналогичный его обратному процессу. Соответственно рассматривается задача с обратным направлением времени для уравнения диффузии. Затем в качестве метода повышения резкости используется метод, основанный на применении метода квазиобращения для решения задачи с обратным направлением времени для уравнения диффузии. Новый алгоритм повышения резкости, предложенный в

работе, использует при повышении резкости информацию о локальной интегральной интенсивности

Задача, определяющая метод повышения резкости исходного изображения /(х,у), записывается следующим образом

и( = Аи-аА2и, О,

м|г =0, Г>0,

и№{х,0^)=и№(х,Ь,1) = 0,0 <х<а, и(х,у,0) = /(х,у), (х,у)еП,

где

Ли — -d.lv

1 +

\Л

. 0(*о>)

2\ Л Ум

/

А>0,

(1 12) (1 13) (1 14)

(1 15)

на- положительная постоянная

Рассмотрен аналогичный метод повышения резкости, в котором коэффициент диффузии зависит от интеграла по локальной окрестности от текущего изображения и(х,у,()

Для численного решения задач, определяющих методы повышения резкости, предложены варианты разностных схем Разработано программное обеспечение, позволяющее применять описанные в главе алгоритмы для обработки изображений В него включен модуль, который получает на вход набор изображений и на их основе рассчитывает оптимальные значения некоторых параметров Исследование показало, что использование зависимости от локальной интегральной интенсивности позволяет сделать алгоритм повышения резкости более устойчивым к локальным возмущениям Проведены расчеты и в конце главы представлены примеры, иллюстрирующие эффективность использования построенных методов

Приведем пример результатов обработки изображений На рисунке 7 представлено исходное нерезкое изображение Результаты повышения

12

резкости с использованием методов основанных на использовании метода квазиобращения для решения задачи с обратным временем с постоянным коэффициентом диффузии и с коэффициентом диффузии, зависящим от локальной интегральной интенсивности, изображены на рисунках 8 и 9 соответственно.

вШ ёешашШШ кит mm та ь> Ы-t a&vmiMpt о

ii * i Ш. Л . J&. -

Рис.7. Исходное изображение.

This section contains sample s This section contains sample i that demonstrate bow to use и that demonstrate how to use n extensions to take advantage < extensions to tnke advantage t

Рис.8. Рис.9.

Результаты расчетов демонстрируют эффективность методов повышения резкости и обоснованность введения в алгоритм информации о суммарной локальной интенсивности обрабатываемого изображения.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе.

1. Предложены, изучены и программно реализованы методы диффузионной фильтрации изображений, основанные на решении уравнения диффузии, в котором использована новая модель коэффициента диффузии, зависящая от локальной интегральной интенсивности изображения.

2. Разработаны, исследованы и программно реализованы методы диффузионной фильтрации изображений, состоящие в решении уравнения диффузии, в котором использована новая модель источника, зависящая от локальной интегральной интенсивности изображения, в комбинации с различньми коэффициентами диффузии.

3 Предложены, изучены и программно реализованы методы повышения резкости изображений, базирующиеся на применении метода квазиобращения для решения уравнения диффузии с обратным направлением времени и моделью коэффициента диффузии, зависящей от локальной интегральной интенсивности

Список публикаций автора по теме диссертационной работы.

[1] Борисенко Г.В, Денисов А М, Крылов АС, Об одном методе диффузионной фильтрации изображений // Программирование, 2004, №5, с 43-47

[2] Bonsenko G V, Demsov А М., Krylov A S , A Quasnnversion Method for Image Enhancement II Международная конференция «Тихонов и современная математика» Тезисы докладов секции Обратные и некорректно поставленные задачи, 2006 с 41

[3] Борисенко Г В , Численное решение краевой задачи для нелинейного уравнения диффузии, возникающей при обработке изображений П Прикладная математика и информатика М Издательство «МАКС-Пресс», 2006 №24 с 24-35

[4] Борисенко Г В, Метод фильтрации изображений, основанный на анизотропном уравнении диффузии с нелинейным источником II Материалы Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов 2007», апрель 2007 с 9

[5] Bonsenko G.V, Demsov А М, Krylov A S , Image diffusion methods with integral-based coefficient // Материалы Международной конференции по компьютерной графике, машинному зрению, обработке изображений и видео «Графикон'2007», июнь 2007

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01Л 2.99 г. Подписано к печати 02.10.2007 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печ.л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 481. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

4

ГЛАВА Диффузионная фильтрация изображений с коэффициентом диффузии, зависящим от локальной интегральной интенсивности

§1.Методы диффузионной фильтрации с коэффициентом диффузии, зависящим от локальной интегральной интенсивности

§2.Методы диффузионной фильтрации с коэффициентом диффузии, зависящим модуля градиента и от интеграла по локальной окрестности

§3.Реализация алгоритмов диффузионной фильтрации, их применение и сравнение результатов

ГЛАВА 2. Методы диффузионной фильтрации изображений с различными источниками

§1.Методы диффузионной фильтрации со знакопостоянным источником

§2.Методы диффузионной фильтрации со знакопеременным источником

§3.Реализация алгоритмов диффузионной фильтрации, их применение и сравнение результатов

ГЛАВА 3. Методы повышения резкости изображений основанные на решении обратной задачи для уравнения диффузии

§1.Методы повышения резкости изображений основанные на использовании уравнения диффузии с постоянным коэффициентом

§2.Методы повышения резкости изображений основанные на использовании уравнения диффузии с коэффициентом диффузии, зависящим от локальной интегральной интенсивности

§3 .Реализация алгоритмов повышения резкости изображений, их применение и сравнение результатов

В последнее время одной из обширных областей применения методов математического моделирования и компьютерных технологий является обработка изображений.

Обработка изображений - это вид обработки информации, в котором исходными данными является изображение или набор изображений, например, фотография или видеоряд. Результатом обработки может быть как изображение, например, отфильтрованное или подготовленное для типографской печати, так и некий набор сведений о нем, как то количество объектов на изображении или его принадлежность к некоторому классу.

Несколько десятилетий назад обработка изображений по большей части была аналоговой и выполнялась оптическими системами. С развитием компьютерной техники широкое распространение получила цифровая обработка изображений. Под цифровой обработкой изображений понимается обработка двумерных или трехмерных изображений, представленных в цифровой форме. Методы цифровой обработки изображений являются более надежными, гибкими и простыми в реализации, нежели аналоговые методы. В цифровой обработке изображений широко применяется специализированное оборудование, такое как графические микропроцессоры, процессоры с конвейерной обработкой инструкций и многопроцессорные системы.

Существует множество задач, для решения которых применяется цифровая обработка изображений [1-3]. Типичными задачами являются редактирование изображений, распознавание текста, идентификация объектов на изображении, обработка данных измерений, внедрение и распознавание водяных знаков, компрессия и другие. Редактирование изображений включает в себя геометрические преобразования, цветовые преобразования и коррекцию, комбинирование и сегментацию изображений, интерполяцию, сглаживание, ретуширование, расширение динамического диапазона, компенсацию потери резкости, удаление шума и пятен, восстановление поврежденных изображений и т.д. Кроме того цифровая обработка изображений используется для работы с изменяющимся во времени сигналом, таким как, например, видеосъемка или результат работы томографа [4].

Разнообразие и важность задач цифровой обработки изображений обуславливают актуальность разработки широкого спектра математических методов обработки изображений, их реализации в программном обеспечении и применения для решения возникающих задач. Одним из важных классов математических методов обработки изображений являются методы диффузионной фильтрации.

В настоящее время методы диффузионной фильтрации активно применяются в обработке изображений. Одним из первых методов диффузионной фильтрации можно считать многошкальный метод обработки изображений, предложенный в 1971 году в работе Rozenfeld и Thurston [5]. Формальное обоснование этого метода было сделано в работе Witkin [6]. В дальнейшем метод развивался работах Koenderink [7], Babaud, Duda и Witkin [8], Yuille и Poggio [9] и Hummel [10-11].

Основной идеей многошкального метода является то, что вместо исследования одного изображения, происходит работа с семейством изображений. Это семейство состоит из исходного изображения и изображений, полученных сверткой исходного с функцией Гаусса с различной величиной дисперсии.

Пусть f{x,y) - исходное изображение. Тогда его сглаженным семейством называют функцию dsdp, t > 0.

1.1)

При t = О, оно совпадает с исходным, а при t > О представляет собой сглаженный аналог исходного изображения, причем с ростом t интенсивность сглаживания увеличивается.

В работах, посвященных многошкальному методу, Koenderink [7] и Hummel [10] предложили вместо соотношения (1.1), рассматривать семейство сглаженных изображений как решение задачи для уравнения диффузии с постоянным коэффициентом диффузии на плоскости, где в качестве начального условия выбрано исходное изображение ut = Дм, / > 0, (1.2) u(x,y,0) = f(x,y). (1.3)

Переход от рассмотрения свертки исходной функции с функцией Гаусса к решению задачи для уравнения диффузии обусловил появление ряда работ, где рассматривались вопросы применения уравнения диффузии для обработки изображений [12-13].

Первая широко известная работа, в которой был осуществлен переход от линейного уравнения диффузии к нелинейному, была опубликована в 1987 году [14]. Ее авторы, Регопа и Malik, в рамках все того же мультишкального подхода, предложили строить сглаженное семейство изображений решая задачу для нелинейного уравнения диффузии. Их целью было построение сглаженного семейства, в котором контуры объектов не размывались бы и не смещались под воздействием диффузии при больших значениях параметра t. Так как интенсивность сглаживания в каждой точке изображения определяется величиной коэффициента диффузии в этой точке, они использовали коэффициент диффузии, величина которого различна для различных точек на изображении. Их подход, легший затем в основу построения множества различных методов диффузионной фильтрации, состоит в использовании коэффициента диффузии обратно-пропорционального величине модуля градиента изображения [15].

Эта работа положила начало исследованиям в области применения решения различных задач для уравнений в частных производных для фильтрации изображений. Появился класс методов, в которых используется не дивергентная форма уравнения диффузии [3,16-18], методы полной вариации [19-28], методы, определяемые системами уравнений в частных производных [17,29-31], анизотропные методы диффузионной фильтрации [17,32-39] и многие другие. Фундаментальные исследования нелинейных методов диффузионной фильтрации проведены в работах [3,17,37,39-41]. Для численного решения задач, определяющих методы диффузионной фильтрации разработан ряд разностных схем [17,40,42-45].

В настоящий момент методы диффузионной фильтрации применяются в следующих областях: выделение контуров [21,39,46-48], сегментация [49-52], реконструкция изображений [31,39,41,53-60], постобработка неустойчивых результатов измерений [37], компьютерный контроль качества [36,37,60], определение оптического потока [47,61-62], метод активных контуров [47,63], и многие другие. Очень широкое применение методы диффузионной фильтрации нашли в обработке данных медицинских измерений [33,35,37,51,64-69].

Диссертационная работа посвящена разработке новых методов диффузионной фильтрации и повышения резкости изображений, их исследованию, программной реализации и применению для некоторых классов изображений.

В первой главе предложены, изучены и программно реализованы методы диффузионной фильтрации изображений, основанные на решении уравнения диффузии, в котором использована новая модель коэффициента диффузии, зависящая от локальной интегральной интенсивности изображения. Новизна методов диффузионной фильтрации обусловлена использованием в них дополнительной информации о локальной интенсивности фильтруемого изображения. В качестве источника информации выбрана величина интеграла от исходного или текущего изображения взятого по некоторой окрестности фильтруемой точки. Эта величина позволяет отличить области с высокой общей интенсивностью от областей с низкой с тем, чтобы устанавливать для них различную скорость фильтрации. Точки, где величина локальной интегральной интенсивности велика, в большинстве случаев являются содержащими полезную информацию. Процесс диффузии в таких точках должен быть существенно замедлен. Если же интегральная интенсивность мала, то данная точка, скорее всего, принадлежит незначащей зашумленной области, где диффузия должна протекать с нормальной скоростью.

Пусть fix,у) - исходное монохромное изображение. Методы диффузионной фильтрации определяются следующими задачами ut=div{gVu), (x,y)eQ,0<t<T, (1.4) и\г = О, 0<t<T, (1.5) u(x,y$) = f(x,y), (ij)ea, (1.6) где коэффициент диффузии V g(x,y,f) =

2V1

1 + я2 f(s,p)dsdp Кр{х.у)

1.7) или

-1 g(x,y-j)= 1 + A2|V/|2 \f{s,p)dsdp > (х,у)еП,Л>0.

V <*(х,у) У

1.8)

0(x,y) - некоторая окрестность точки (*,>>). В качестве отфильтрованного изображения берется решение задачи (1.4)-(1.7) или (1.4)-(1.6),(1.8) u(x,y,t) в некоторый момент времени Т. Краевое условие (1.5) соответствует тому, что вблизи границы изображения нет полезных объектов.

Наряду с описанными вариантами методов диффузионной фильтрации в первой главе рассмотрен и ряд других, в которых величины градиента и интеграла, входящие в коэффициент диффузии, могут вычисляться на основе текущего изображения u{x,y,t).

Для задачи (1.4)-(1.6) с коэффициентами диффузии вида (1.7), зависящими от начального или текущего изображения, показана устойчивость решения по начальным данным. Предложены разностные схемы для численного решения задач, определяющих построенные методы диффузионной фильтрации, и установлен их порядок аппроксимации.

Методы диффузионной фильтрации программно реализованы в Microsoft® Visual Studio® 2005 на языке С#. Для работы с графическими объектами использован программный интерфейс DirectDraw из коллекции Microsoft® DirectX® 9.0с. В приложение включен модуль пакетной обработки изображений и оригинальный алгоритм автоматического сравнения результатов фильтрации. С использованием разработанного программного обеспечения, проведены расчеты и на ряде примеров продемонстрированы свойства построенных методов, а также их эффективность по сравнению с другими методами диффузионной фильтрации.

Во второй главе разработаны, исследованы и программно реализованы методы диффузионной фильтрации изображений, состоящие в решении уравнения диффузии, в котором использована новая модель источника, зависящая от локальной интегральной интенсивности изображения, в комбинации с различными коэффициентами диффузии.

В первом параграфе рассмотрен знакоопределенный вариант источника, зависящего от локальной интегральной интенсивности. Действие этого отрицательного источника (стока) состоит в следующем. В точках, в малой окрестности которых содержится много точек полезного изображения, величина локальной интегральной интенсивности велика, и в них влияние источника должно быть незначительным. В тех же точках, в окрестности которых находится только шум, источник активно действует, снижая интенсивность шума. Методы диффузионной фильтрации определяются следующей задачей ut = div(gVu)-Q[x,у;f)u, {x,y)eQ,0<t <Т, (1.9) u\v = 0, 0<t<T, (1.10) и(х,у$)=f(x,y), (x,j)eQ, (1.11) где g постоянный коэффициент диффузии или коэффициент диффузии, зависящий от модуля градиента, а произведение Q(x,y,f)u описывает источник. Функция Q(x,y;f) определяется формулой (

Q(x,y,f)= 1+ Я \f{s,p)dsdp \ о(х,у) ; у (1.12)

Также рассмотрен вариант знакоопределенного нелинейного источника, в котором интеграл по локальной окрестности точки вычисляется от текущего изображения.

Для задачи (1.9)-(1.12) с постоянным коэффициентом диффузии, линейным и нелинейным источниками доказана устойчивость решения по начальным данным. Предложены разностные схемы для численного решения задач, определяющих методы диффузионной фильтрации, и установлен их порядок аппроксимации.

Во втором параграфе предложены методы диффузионной фильтрации, основанные на использовании знакопеременного источника. Появление у источника значений разных знаков позволяет алгоритму наряду с уменьшением интенсивности шума использовать его и для увеличения интенсивности полезных объектов. Один из вариантов знакопеременного источника определяется формулой

Q(x,y;f) = R jf(s,p)dsdp

1.13)

0(x.y) где функция R(z) такова, что 0, 2e[0,Z0); R(z)< 0, z6[Z0,Z,]; Л(г) = 0, ze[0,Z,].

1.14)

Параметр Z0 задает порог отсечения шума. Величина Z, определяется как значение квадрата интеграла функции f(x,y) по окрестности 0(х,у), в которой все точки имеют максимальную интенсивность.

Знакопеременный источник использован для построения новых методов диффузионной фильтрации на базе задач для уравнения диффузии с различными коэффициентами диффузии. Также как и в первом параграфе, рассмотрены адаптивные варианты алгоритма, в котором интеграл зависит от текущего фильтруемого изображения. Рассмотрен метод диффузионной фильтрации со знакопеременным источником и анизотропным коэффициентом диффузии.

Предложены разностные схемы для численного решения задач для уравнения диффузии со знакопеременным источником и различными видами коэффициента диффузии.

Методы диффузионной фильтрации программно реализованы в Microsoft® Visual Studio® 2005 на языке С#. В приложение включен модуль пакетной обработки изображений и оригинальный алгоритм автоматического сравнения результатов фильтрации. С использованием разработанного программного обеспечения, проведены расчеты и на ряде примеров продемонстрированы свойства построенных методов, а также их эффективность по сравнению с другими методами диффузионной фильтрации.

В третьей главе предложены, изучены и программно реализованы методы повышения резкости изображений, базирующиеся на применении метода квазиобращения для решения уравнения диффузии с обратным направлением времени и моделью коэффициента диффузии, зависящей от локальной интегральной интенсивности. Исследуется класс изображений, в которых снижение резкости обусловлено применением к изображению некоторого алгоритма диффузионной фильтрации. Восстановление резкости рассматривается как процесс аналогичный его обратному процессу. Соответственно рассматривается задача с обратным направлением времени для уравнения диффузии. Затем в качестве метода повышения резкости используется метод, основанный на использовании метода квазиобращения для решения задачи с обратным направлением времени для уравнения диффузии. Новый алгоритм повышения резкости, предложенный в работе, использует при повышении резкости информацию о локальной интегральной интенсивности.

Задача, определяющая метод повышения резкости исходного изображения f(x,y), записывается следующим образом ut = Аи-аАги, (x,y)eQ,?>0, и|г = 0, />0, И«(°» У>*) = = 0,0<у<ь, иуу (* А 0 = Uyy (*» b,t) = 0,0<x<a, и(х, >>,0) = f(x, у), (х, у) е Q,

1.17)

1.16)

1.15) где

I ( Ли = -div 1 + Я Л

1.18) а а - положительная постоянная.

Рассмотрен аналогичный метод повышения резкости, в котором коэффициент диффузии зависит от интеграла по локальной окрестности от текущего изображения u{x,y,t).

Для численного решения задач, определяющих методы повышения резкости, предложены варианты разностных схем. Разработано программное обеспечение, позволяющее применять описанные в главе алгоритмы для обработки изображений. В него включен модуль, который получает на вход набор изображений и на их основе рассчитывает оптимальные значения некоторых параметров. Исследование показало, что использование зависимости от локальной интегральной интенсивности позволяет сделать алгоритм повышения резкости более устойчивым к локальным возмущениям. Проведены расчеты и в конце главы представлены примеры, иллюстрирующие эффективность использования построенных методов.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе, были представлены на нескольких конференциях и опубликованы в ряде изданий. Ссылки на тезисы конференций и печатные работы представлены в общем библиографическом списке в конце диссертации.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе

1. Предложены, изучены и программно реализованы методы диффузионной фильтрации изображений, основанные на решении уравнения диффузии, в котором использована новая модель коэффициента диффузии, зависящая от локальной интегральной интенсивности изображения.

2. Разработаны, исследованы и программно реализованы методы диффузионной фильтрации изображений, состоящие в решении уравнения диффузии, в котором использована новая модель источника, зависящая от локальной интегральной интенсивности изображения, в комбинации с различными коэффициентами диффузии.

3. Предложены, изучены и программно реализованы методы повышения резкости изображений, базирующиеся на применении метода квазиобращения для решения уравнения диффузии с обратным направлением времени и моделью коэффициента диффузии, зависящей от локальной интегральной интенсивности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Гашников М.В., Глумов Н.И., Ильясова НЛО. и др., Методы компьютерной обработки изображений: Учебное пособие (под ред. Сойфера В.A.) ISBN 5922101803. 2001. 784 с.

2. Acharya Т., Ray A., Image Processing. Principles and Applications. // ISBN 0471719986. Wiley. 2005. 449 c.

3. Alvarez L., Guichard F., Lions P.-L., Morel, J.-M., Axioms and Fundamental Equations in Image Processing. Arch. Rational Mech. Anal., vol. 123, pp. 199-257, 1993.

4. Paragios N., Chen Y., Faugeras O. Mathematical Models in Computer Vision: The Handbook. ISBN 0-387-26371-3. Springer. 2006.

5. Rosenfeld M., Thurston M., Edge and curve detection for visual scene analysis. IEEE Trans. Comput., № C-20, c. 562-569. 1971.

6. Witkin A., Scale-space filtring. Int. Joint Conf. Artificial Intelligence, Karlsruhe, West Germany, c.1019-1021. 1986.

7. Koenderink J., The structure of images. Biological Cybernetics. №50. c.363-370. 1984.

8. Babaud J., Witkin A., Baudin M. and Duda R., Uniqueness of the Gaussian kernel for scale-space filtering. IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intell., № PAMI-8, 1986.

9. Yuille A., Poggio Т., Scaling theorems for crossing. IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intell. № PAMI-8,1986.

10. Hummel A., The scale-space formulation of pyramid data structures. Parallel Computer Vision, L. Uhr. Ed. New York: Academic, c. 187-233. 1987.

11. Hummel A., Representation based on zero-crossings in scale-space. In Fischler, M. and Firschein, O. editors, Readings in Computer Vision: Issues, Problems, Principles and Paradigms. Morgan Kaufmann, Los Angeles. 1986.

12. Lindeberg Т., Automatic Scale Selection as a Pre-Processing Stage for Interpreting the Visual World, Proc. Fundamental Structural Properties in Image and Pattern Analysis FSPIPA'99. 1999.

13. Burt P., Fast filter transforms for image processing. Computer Vision, Graphics and Image Processing, 16:20-51.

14. Perona P., Malik J., Scale space and edge detection using anisotropic diffusion. Proceedings of the IEEE Computer Society Workshop on Computer Vision, c. 16-27. 1987.

15. Perona P., Malik J., Scale space and edge detection using anisotropic diffusion, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, №12, 7, c. 629-639. 1990.

16. Haar Romeny, Geometry-driven diffusion in computer vision. Kluwer, Dordrecht, 1994.

17. Weickert J., Anisotropic Diffusion in Image Processing. Teubner. Stuttgart. 1998.

18. Osher S., Rudin L., Feature-oriented image enhancement using shock filters, SIAM Journal Numer. Anal., №27, 919-949,1990.

19. Osher S., Rudin L., Shocks and other nonlinear filtering applied to image processing, Applications of digital image processing XIV, SPIE №1567, 414-425, 1991

20. Alvarez L., Lions P.-L., Morel J.-M., Image Selective Smoothing and Edge Detection by Nonlinear Diffusion, SIAM J. Numeric Analysis, №29, 3, c. 845-866,1992.

21. Rudin L., Osher S., Total variation based image restoration with free local constraints, Proc. First IEEE Int. Conf. Image Processing, IEEE Computer Society Press, №1,31-35,1994

22. Rudin L., Osher S., Fatemi E., Nonlinear total variation based noise removal algorithms, Physica D, №60,259-268, 1992.

23. Rudin L., Osher S., Fu C., Total variation based restoration of noisy, blurred images. Preprint. SIAM J.Numer. Anal., 1992.

24. Lions P.-L., Osher S., Rudin L., Denoising and deblurring images using constrained nonlinear partial differential equations. Preprint. SIAM J.Numer. Anal., 1993.

25. Li V., Santosa F., An affine scaling algorithm for minimizing total variation in image enhancement. Technical report CTC94TR201, Cornell University. 1994.

26. Vogel C.R, Oman M.E., Iterative methods for total variation denoising. Preprint. SIAM J. Sci. Comput. 1994.

27. Dobson D.C., Santosa F., An image enhancement technique for electrical impedance tomography, Inverse Problems, №10, 317-334. 1994.

28. Nitzberg M., Shiota Т., Nonlinear image filtering with edge and corner enhancement, Technical report 90-2, Division of Applied Sciences, Harvard University. 1990.

29. Nitzberg M., Shiota Т., Nonlinear image filtering with edge and corner enhancement, IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell., №14, 826-833, 1992.

30. Gilboa, G., Zeevi, Y., Y., Sochen, N., A., Image Enhancement and Denoising by Complex Diffusion Processes, IEEE Transactions On Pattern Analysis and Machine Intelligence, №26, 8, 1020-1036. 2004.

31. Wilson R., Knutsson H.E., Granlund G.H., Anisotropic nonstationary image estimation and its applications. IEEE Trans. Comm. №31, 398-406,1983.

32. Cottet G.-H., Germain L., Image processing through reaction combined with nonlinear diffusion. Math. Сотр., №61, 659-673,1993.

33. You Y.-L., Kaveh M., Xu W.-Y., Tannenbaum A., Analysis and design of anisotropic diffusion for image processing. Proc. First IEEE Int. Conf. Image Processing. IEEE Computer Society Press, 496-501,1994.

34. Steen E., Olstad В., Scale-space and boundary detection in ultrasonic imaging using nonlinear signal-adaptive anisotropic diffusion. Image processing, SPIE№2176, 116-127, 1994.

35. Weickert J., Anisotropic diffusion filters for image processing based quality control. Proc. Seventh European Conf. on Mathimatics in Industry, Teubner, Stuttgart, 355-362, 1994.

36. Weickert J., Theoretical foundations of anisotropic diffusion in image processing. Theoretical foundations of computer vision, Computing Supplement 11, Springer, Wein, 221-236. 1996.

37. Weickert J., Scale-space properties of nonlinear diffusion filtering with a diffusion tensor, Technical report 110, Laboratory of Technomathematics, University of Kaiserslautern. 1994.

38. Weickert J., Foundations and applications of nonlinear anisotropic diffusion filtering, Proc. Third Int, Congress on Industrial and Applied Math. 1996.

39. Weickert, J., A review of nonlinear diffusion filtering, Lecture Notes in Computer Science, vol. 1252, pp. 3 28,1997.

40. Weeratunga, S., K., Kamath, C., A comparison of PDE-based non-linear anisotropic diffusion techniques for image denoising, Lawrence Livermore National Laboratory Technical report, 2002.

41. Weickert J., Benhamouda B.A, semidiscrete nonlinear scale-space theory and its relation to the Perona-Malik paradox, Advances in Computer Vision, 1-10, 1997.

42. Weickert J., Haar Romeny B.M., Viergever M.A., Efficient and Reliable Schemes for Nonlinear Diffusion Filtering, IEEE Trans. On Image Processing, №7,3,398-410, 1998.

43. Mitchell A.R., Griffiths D.F., The finite difference method in partial differental equations. Wiley, Chichester. 1980.

44. Борисенко Г.В., Численное решение краевой задачи для нелинейного уравнения диффузии, возникающей при обработке изображений, Прикладная математика и информатика. М.: Издательство «МАКС-Пресс», 2006. №24. с. 24-35

45. Kacur J., Mikula К., Solution of nonlinear diffusion appearing in image smoothing and edge detection. Applied Numerical Mathematics, №17, 4759. 1995.

46. Weickert, J., Applications of nonlinear diffusion in image processing and computer vision. Acta Math. Univ. Comenianae, vol. 120,1, pp. 33-50. 2001.

47. Action S.T., Crawford M.M., A mean field solution to anisotropic edge detection of remotely sensed data, Proc. 12th Int Geosciense and Remote Sensing Symposium. №2. 845-847. 1992.

48. Action S.T., Bovik A.C., Crawford M.M., Anisotropic diffusion pyramids for image segmentation. Proc. First IEEE Int. Conf. Image Processing, IEEE Computer Society Press, №3,478-482. 1994.

49. Whitaker R.T., Geometry limited diffusion in the characterization of geometric patches in images. CVGIP: Image Understanding. №57. 111-120. 1983

50. Whitaker R.T., Gerig G., Vector-valued diffusion, Geometry-driven diffusion in computer vision. Kluwer, Dordrecht. 93-134. 1994.

51. Whitaker R.T., Pizer S.M., Geometry-based image segmentation using anisotropic diffusion. Shape in picture. Springer. 641-650. 1994.

52. Dobson D.C., Santosa F., Recovery of blocky images from noisy and blurred data. Technical report. Dept. of Math., Texas A&M University. TX77843-3368. 1997.

53. Weeratunga, S., К., Kamath, С. PDE-based non-linear Diffusion Techniques for Denoising Scientific and Industrial Images: an Empirical Study, Lawrence Livermore National Laboratory Technical report, 2001.

54. Борисенко Г.В., Денисов A.M., Крылов A.C. Об одном методе диффузионной фильтрации изображений. Программирование. №5. с. 43-47. 2004.

55. Borisenko G.V., Denisov A.M., Krylov A.S., A Quasiinversion Method for Image Enhancement. Международная конференция «Тихонов и современная математика». Тезисы докладов секции Обратные и некорректно поставленные задачи, с. 41. 2006.

56. Борисенко Г.В., Метод фильтрации изображений, основанный на анизотропном уравнении диффузии с нелинейным источником. Материалы Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов 2007», с. 9. 2007.

57. Borisenko G.V., Denisov A.M., Krylov A.S., Image diffusion methods with integral-based coefficient. Материалы Международной конференции по компьютерной графике, машинному зрению, обработке изображений и видео «Графикон'2007», 2007.

58. Борисенко Г.В., Денисов A.M., Нелинейный источник в диффузионных методах фильтрации изображений. Журнал вычислительной математики и математической физики. №10. Том 47. с. 1701-1705. 2007.

59. Weickert J., Multiscale texture enchancement, Computer analysis of images and patterns. Lecture Notes in Сотр. Science, №970. Springer. Berlin. 230237. 1995.

60. Caselles V., Kimmel R., Sapiro G., Geodesic active contours. International Journal of Computer Vision. №22. 61-79. 1997.

61. Goldenberg R., Kimmel R., Rivlin E., Rudzsky M., Fast geodesic active contours. №1682 Lecture notes in computer science. Springer. Berlin. 34-45. 1999.

62. Horn В., Schunck В., Determining optical flow. Artificial Intellegence. №17. 185-203.

63. Bajla I., Marusiak M., Sramek M., Anisotropic filtering of MRI data based upon image gradient histogram. №719 Lecture notes in computer science. Springer. Berlin. 1993.

64. Cottet G.-H., Diffusion approximation on neural networks and applications for image processing. Proc. Sixth European Conf. on Mathimatics in Industry. Teubner. Stuttgart. 3-9. 1992

65. Gerig G., Kubler 0., Kikinis R., Jolesz F.A., Nonlinear anisotropic filtering of MRI data. IEEE Trans. Medical Imaging. №11. 221-232. 1998.

66. Ottenberg K., Model-based extraction of geometric structure from digital images. Ph.D. thesis, Utrecht University. 1993.

67. Loew M.H., Rosenman J., Chen J., A clinical tool for enhancement of portal images. Image processing. SPIE №2167. 543-550. 1994.

68. Whitaker R.T., Characterizing first and second-order patches using geometry-limited diffusion. Information processing in medical imaging. Lecture notes in computer science. №687. Springer. Berlin. 149-167. 1993.

69. Тихонов A. H., Самарский A.A., Уравнения математической физики. Москва. Мир. 1985. 798 с.

70. Ладыженская О.А., Краевые задачи математической физики. Москва. \ Наука. 1973.408 с.

71. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики. Москва. Научный мир, 2000. 316 с.

72. Бахвалов Н.С. О приближенном вычислении кратных интегралов. Вестник МГУ: Серия математики, физики, астрономии. №4. 1959.

73. Самарский А.А., Теория разностных схем. Москва. Наука 1983. 616 с.

74. Самарский А.А., Николаев Е.С., Методы решения сеточных уравнений. Москва. Наука. 1978. 592 с.

75. Латтес Р., Лионе Ж.-Л., Метод квазиобращения и его приложения. Мир. Москва, 1970. 334 с.

76. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. 222 с.