автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Мультиоператорный метод построения и анализа математических моделей сложных систем

004612609

е

Казаков Олег Андреевич

МУЛЬТИОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ И АНАЛИЗА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ (НА ПРИМЕРЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ)

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2010

1 1 НОЯ 2010

004612609

Работа выполнена в ГОУ ВПО Московском Государственном Технологическом Университете «СТАНКИН»

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор

Уварова Людмила Александровна

Официальные оппоненты:

Заслуженный деятель науки Российской Федерации,

доктор физико-математических наук, профессор

Латышев Анатолий Васильевич

доктор физико-математических наук, профессор

Лобанов Алексей Иванович

доктор физико-математических наук, профессор

Дубовик Владимир Михайлович

Ведущая организация: Московский Государственный Университет

Приборостроения и Информатики

Защита диссертации состоится « 23 » ноября 2010 г. в 12.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.142.03 при ГОУ ВПО Московском Государственном Технологическом Университете «СТАНКИН» по адресу: 101475, ГСП, г. Москва, Вадковский пер., д.1.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ГОУ ВПО МГТУ «СТАНКИН» по адресу: г. Москва, Вадковский пер., д.1.

Автореферат разослан « 20 » октября 2010 г.

Ученый секретарь -~

диссертационного совета Д 212.142.03 С&М^у'' Семячкова Е.Г.

Общая характеристика работы

Актуальность. В настоящее время методы математического моделирования процессов и систем являются одним из важнейших инструментов в решении различных задач науки и техники, позволяющим с помощью ЭВМ глубоко и в достаточной полноте изучать объекты и явления, проектировать новые технические системы и алгоритмы управления ими.

Первым этапом исследования физических и технических систем методами математического моделирования является построение модели, протекающих в системе процессов. Обычно в качестве моделей используют уравнения, являющиеся математическим представлением известных физических законов. Адекватности добиваются введением в уравнения модели новых слагаемых, учитывающих взаимосвязь различных процессов и/или функциональную зависимость коэффициентов уравнений, отражающую неоднородность, анизотропность или нелинейность физических свойств среды. Физическая интерпретация результатов моделирования при таком подходе заложена в саму его основу.

Если этот подход к построению моделей не оправдан из-за многообразия и сложности процессов, протекающих в системе, или отсутствия достаточной информации (например, о свойствах сред), используют методы идентификации.

В природе и промышленности существует широкий класс физических и технических систем, которые можно рассматривать как два взаимосвязанных преобразователя энергии из одного вида в другой — «источник» и «нагрузку» (потребитель энергии). В представлении системы с сосредоточенными параметрами характеристиками процесса являются вектор-функции (от времени /) входа нагрузки и = и(0 (выхода источника) и выхода нагрузки у = у(0 (входа источника), компоненты которых имеют обычно смысл обобщенных сил (интенсивные переменные) и, соответственно, обобщенных потоков (экстенсивные переменные). Для механических систем — сил и скоростей или моментов сил и угловых скоростей. Для электромагнитных систем переменного тока — напряжений и токов. (Такой подход можно использовать и при исследовании экономических, социальных и других системы.)

Для анализа энергетических процессов в таких системах используют мгновенные или усредненные (на характерном интервале То времени) энергетические характеристики: билинейные по обобщенным силам и потокам (мощности) и квадратичные (энергии).

Уравнение, связывающее вектор-функции входа и и выхода у, как правило, рассматривается как модель «нагрузки» и является некоторым приближением физического закона, например, для электромагнитных систем его можно считать обобщенным законом Ома.

Проблема поиска соотношения, связывающего энергетические характеристики такой системы, была поставлена электротехниками для электромагнитных систем переменного тока как проблема получения ортогонального разложения полной мощности

(1)

являющегося в настоящее время основным соотношением для анализа режимов работы электроэнергетических систем и формирования критериев качества передачи электромагнитной энергии от производителя («источника») к потребителю («нагрузке»). Оно следует из ортогонального разложения тока

У = Ул + Уп Уа - ((ч, у)/||ч||2)и> (2)

где S = ||и||-||у|| — полная мощность, в зарубежной литературе кажущаяся (apparent power); Р = (и, у) — активная мощность; Q = ||u||-||yr|| — реактивная мощность (иногда называемая неактивной); уа — вектор-функция активных токов; у, = ortu у = у - у а — вектор-функция реактивных (неактивных) токов. Повышение качества передаваемой энергии связывают с компенсацией реактивной мощности Q (применением пассивных и/или активных фильтров).

Когда вектор-функцию реактивного тока в самом общем виде определяют выражением уг = у - уа, равенство (2) нельзя рассматривать в качестве уравнения математической модели системы (обобщенного закона Ома). Соответственно, ортогональное разложение полной мощности (1) нельзя рассматривать в качестве замкнутого соотношения, когда реактивную мощность определяют

выражением Q = Vs2 -Р2 .

Несмотря на многочисленные попытки и оригинальные подходы электротехников к решению задачи построения ортогонального разложения полной мощности в общем случае (Iliovici М., Budeanu СЛ., Emde F., Fortescue C.L., Fryze S-, Лурье JI.C., Пухов Г.Е., Маевский O.A., Shepherd W., Zakikhani P., Sharon D., Shepherd W., Zand P., Küsters N.L. - Moore M.J.M., Novomiejski Z., Демирчян К.С., Czarnecki L.S., Новосельцев A.B., Стрелков M.T., Зиновьев Г.С., Emanuel А.Е., Akagi Н., Czamecki L.S., Depenbrock М., Агунов M.B. и др.), в настоящее время эта задача математически корректно решена только для однофазных систем с синусоидальными функциями напряжения и тока.

В этом случае с помощью линейных операторов D (фазового сдвига на угол я/2, дифференцирования или интегрирования) были получены представления реактивного тока yr - ({Du, y)/|(Du((2)Du и реактивной мощности

Q = (u, Dy) = - (Du, у), подстановка которых в выражения (2) и (1) позволяет рассматривать их как замкнутые соотношения. Разложение тока (1) по орто-нормированной системе функций {u/||u]|, Du/||Du|]} — как уравнение математической модели системы, а разложение полной мощности (2) (в связи с тем, что (Du, и) = 0 и ||Du|| = ||u||) — как другую форму равенства Парсеваля

||у||2 = «u, y)/||u||)2 + ((Du, y)/||Du||)2. (3)

Ортонормированная система базисных векторов, для которой справедливо равенство Парсеваля, называется замкнутой (по крайней мере, для бесконечномерных гильбертовых пространств)1. По аналогии равенство Парсеваля (3) и

1 Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа - М.: Наука, - 1972. -496 с.

4

связанное с ним разложение полной мощности (2) можно считать замкнутыми энергетическими соотношениями.

Но в настоящее время чаще используются электромагнитные системы переменного тока с нелинейными устройствами («источником» и/или «нагрузкой») и, в связи с этим, с несинусоидальными функциями напряжения и тока. Повышение же эффективности их работы не продуктивно без детального анализа энергетических характеристик процесса.

Основным подходом к решению проблемы ортогонального разложения полной мощности в общем случае были попытки детализировать разложение полной (реактивной) мощности, т.е. пополнить базис, порождаемый вектором и, с помощью какого-либо набора операторов. Но, как выше уже было отмечено, замкнутые модели и соответствующие им замкнутые разложения полной мощности получены не были. Наиболее продуктивным из таких детализаций, по мнению автора, было использование степеней оператора дифференцирования".

Для того чтобы такая детализация была востребована при решении прикладных задач (создание новых и повышение эффективности работы существующих электромагнитных систем) выбор операторов должен опираться на достаточно ясную физическую интерпретацию вводимых билинейных форм (составляющих полной мощности).

Активная мощность Р имеет давно известный четкий физический смысл — мощности диссипации энергии электромагнитного поля или среднего потока энергии от источника к нагрузке (среднего потока вектора Пойнтинга).

Поиск же соответствия реактивной мощности известным, общепринятым физическим характеристикам в основном сводился к оценкам, тем или иным способом, средних потоков энергии в электромагнитных системах между источником энергии и нагрузкой и не привел для несинусоидальных режимов к какой-нибудь общепринятой интерпретации. Поэтому почти с самого появления электромагнитных систем переменного тока (конец XIX века) не прекращается поиск наилучшего (а иногда и «единственно верного») представления реактивной мощности в ортогональном разложении, и ее физического смысла.

Выше сказанное определяет как актуальность решения прикладной математической проблемы разложения полной мощности и физической проблемы интерпретации реактивной мощности, так и актуальность обобщения этой проблемы, поставленной электротехниками, на любые системы типа «источник -нагрузка». То есть актуальность математически корректного построения системы билинейных форм (мощностей), отражающих энергетические процессы в системе на выбранном интервале времени и в выбранной области пространства, и поиска взаимосвязи этой системы билинейных форм с математическими моделями процессов исследуемой системы.

Цель работы. Разработка теоретических основ построения класса математических моделей (названных в работе мультиоператорными), связывающих пару скалярных или векторных функций входа и выхода системы, и набора би-

2 Зиновьев АС. Прямые методы расчета энергетических показателей вентильных преобразователей - Новосибирск: Изд-во Новосибирского университета, - 1990. -219с.

линейных форм (ассоциируемых в физике с мощностями), достаточных для описания энергетического процесса, а также поиск физической интерпретации билинейных форм в случае электромагнитных систем.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются сложные физические и технические системы, а предметом — уравнения математических моделей и билинейные формы.

Методы исследований. В работе используются методы линейной алгебры, теории групп и алгебр, теории функций; численные методы и методы классической электродинамики. Научная новизна.

1. Разработан новый мультиоператорный метод построения и анализа математических моделей сложных систем и связанных с ними замкнутых систем билинейных форм (мощностей).

2. Впервые введено понятие замкнутой системы билинейных форм и доказано, что следствием выполнения обобщающего равенство Парсеваля условия замыкания системы (матрицы) билинейных форм является существование линейного пространства математических моделей. Получены оценки спектра обобщенных сингулярных чисел матрицы билинейных форм. Доказано, что система билинейных форм замкнута, если хотя бы одно из обобщенных сингулярных чисел этой матрицы равно 1.

3. Разработан метод построения дифференциальных моделей (как реализация мультиоператорного метода) для гладких аппроксимаций скалярных и векторных функций входа и выхода.

4. Впервые построена общая теория метода симметричных составляющих, используемого для анализа многофазных электромагнитных и электроэнергетических систем.

5. Разработаны алгоритм поиска базисных уравнений линейного пространства мультиоператорных уравнений моделей и комплекс программ построения дифференциальных моделей для С°°-гладких периодических аппроксимаций скалярных функций входа и выхода.

6. Для периодических функций напряжения (вход) и и тока (выход нагрузки) у, описывающих процессы в электромагнитных системах, и мультиопера-торной алгебры А(В) с образующим оператором дифференцирования В впервые получена корректная физическая интерпретация реактивной мощности — элемента р\2 = (и, Ву) = -(Пи, у) =¿>21 матрицы билинейных форм Р. Показано, что для однородных, изотропных и нейтральных лоренцевых сред плотность реактивной мощности с точностью до 4-дивергенции совпадает с плотностью функции Лагранжа, а реактивная мощность равна значению функционала действия объекта.

7. Показано, что применение плотности реактивной мощности (плотности функции Лагранжа) позволяет полнее анализировать структуру электромагнитного поля в различных задачах электродинамики. В частности, в задаче об отражении монохроматической волны от плоскости раздела двух диэлектрических сред получено обобщение угла Брюстера для произвольного угла поляризации падающей волны.

Практическая значимость. Разработанный метод построения мультиопе-раторных уравнений модели системы и связанных с ними замкнутых систем билинейных форм пары функций может быть использован:

• для идентификации систем;

• для исследования по результатам вычислительного эксперимента математических моделей, построенных из физических законов, проверки их адекватности и классификации решений;

• для анализа энергетических процессов, протекающих в электромагнитных, механических и других сложных системах;

• для построения разностных схем эволюционных задач.

Плотность функции Лагранжа можно использовать для анализа структуры электромагнитного поля, найденного в результате вычислительного эксперимента при решении различных задач электродинамики, радиофизики и оптики. Основные положения, выносимые на защиту.

1. Теоретические основы мультиоператорного метода построения математических моделей и его реализации при построении дифференциальных моделей систем со скалярными и векторными функциями входа и выхода, являющихся конечными С''"-гладкими аппроксимациями.

2. Математическое обоснование понятия замкнутой системы билинейных форм. Доказательство того, что следствием выполнения обобщающего равенство Парсеваля условия замыкания системы (матрицы) билинейных форм является существование линейного пространства математических моделей (мультиоператорных уравнений). Результаты исследования спектральных свойств матрицы билинейных форм.

3. Теория метода построения операторных ортогональных проекторов для разложения вектор-функций на симметричные ортогональные составляющие.

4. Алгоритмы поиска базисных уравнений линейного пространства мультиоператорных уравнений и линейного пространства дифференциальных уравнений моделей системы со скалярными и векторными функциями входа и выхода, являющихся конечными С-гладкими аппроксимациями.

5. Физические приложения предложенного метода для электромагнитных систем, а именно: физическая интерпретация (локальные представления) реактивной мощности в классической электродинамике и применение плотности реактивной мощности (плотности функции Лагранжа) для анализа структуры электромагнитного поля.

Личный вклад соискателя. Все результаты, изложенные в публикациях, получены автором самостоятельно.

Связь работы с научными проектами. Работа была выполнена при поддержке РФФИ (грант 07-07-00213а).

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на 15 научных конференциях, конгрессах и семинарах: Всероссийский Электротехнический Конгресс, ВЭЛК-99 (Москва, 1999); V International congress on mathematical modeling (Dubna, 2002); Всероссийская научная конференция «Физика радиоволн» (Томск, 2002); VI научная конференция МГТУ

«Станкин» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» - ИММ РАН» (Москва, 2003); Days on Diffraction'2003 International seminar (St.Petersburg, 2003); VI International congress on mathematical modeling (N.Novgorod, 2004); Days on Diffraction'2005 International seminar (St.Petersburg, 2005); 13 международная конференция «Математика, компьютер, образование» (Дубна, 2006); Третья международная конференция по проблемам управления (Москва, 2006); 2-я Международная конференция «Акустооптические и радиолокационные методы измерений и обработки информации» (Суздаль, 2007); VI Международная конференция «Идентификация систем и задачи управления» SIGPRO'07 (Москва, 2007); 15 международная конференция «Математика, компьютер, образование» (Дубна, 2008); семинар, посвященный юбилею В.М. Дубовика «От теоретической физики до технологии» (ЛТФ ОИЯИ, Дубна, 2008); Международная научная конференция «Моделирование нелинейных процессов и систем» (Москва, 2008); 16 международная конференция «Математика, компьютер, образование» (Пущино, 2009); межкафедральный семинар по математическому моделированию РУДН (РУДН, Москва, 2009); Mathematical Modeling and Computational Physics (Dubna, 2009).

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав и заключения. Общий объем составляет 292 страниц. Диссертация содержит 30 рисунков, 7 таблиц, список литературы из 230 наименований.

Содержание диссертации

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулированы цель и научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В Главе 1 вводится и обосновывается понятие замкнутой системы (матрицы) билинейных форм, построенных для пары векторов (и, у) (скалярных или векторных функций и: К" , у: Е" Е1" либо и: ПГ Сл', у: ИГ С") и операторов, являющихся элементами свободного модуля (7 с конечным множеством образующих Ов = {А,: I —> Ь, г = О, А/ -1}, действующих в евклидовом (унитарном) линейном пространстве Ь.

Доказывается, что при выполнении условия замыкания билинейных форм существует линейное пространство (свободный модуль) эквивалентных математических моделей (уравнений, связывающих векторы и и у).

Исследуется спектр обобщенных сингулярных чисел матрицы билинейных форм. Доказывается, что если хотя бы одно из обобщенных сингулярных чисел равно единице, то система билинейных форм замкнута.

Предполагается, что:

1) векторы и е Ь, у е Ь принадлежат линейному, евклидовому (унитарному) пространству Ь над полем Р;

2) задано конечное множество Са = {А,, I = О, М -1} (база) образующих, являющихся операторами А^.Ь-^Ь, свободного модуля (7 с элементами

М-1 лч

а = ^а'Л,. ебУ е Ртакими, что ах = (Л,х) для V х е

¡=0 /=0

3) системы векторов, являющиеся компонентами вектор-столбцов

Чл = (Л(|)и>..Л(;)и,...Лми)7'и уА = {А1{\]у,...Ату,...А^К)у)т, являются базисами линейных оболочек £/= и, / = 0, М-1) и соответст-

венно Г= ярап(А,у, 1 = 0, М - 1) — подпространств II с. Ь и У с Ь;

4) 5(0, г(/') такие индексы, что А^ е С в, А:(1) е Ов, N < М, К < М.

Если база бд свободного модуля О содержит тождественный (единичный) оператор Ао = I и у е и, то можно получить разложение (в общем случае неортогональное) вектора у по базису и^ подпространства и — уравнение

N

у=2>Чои (у=аи<) (4)

м

и разложение квадрата нормы этого вектора

||у||2 = Р*Су-'Р, (5)

которое является аналогом равенства Парсеваля в метрике подпространства и. Вследствие чего элементы №<1-матрицы Р билинейных форм р,л - (А10)и, у) будем называть замкнутой системой билинейных форм пары векторов (и, у). (Здесь а = (я1,...я") = Рву-1 — арифметическая вектор-строка коэффициентов

уравнения (4); Р*— 1 хЛ^-матрица, сопряженная матрице Р; Gv, Gц~1 —эрмитова невырожденная матрица Грама базиса и^ с элементами (Go),; = (Л^и, А^и) и ей обратная.)

В электротехнических приложениях, когда векторы и и у являются скалярными или векторными функциями напряжения и тока, элементы ph\ = (А^^и, у) матрицы билинейных форм Р интерпретируются как мощности, а результат умножения выражения (5) на ||и||2 — как разложение полной мощности.

Представляя в ортогональных разложениях векторов

Лг(/)У = Р ги Л(0У + orty Al(i)у, Л j(i)u = pry As(0 и + orty As(i) u

базисов уj и uA проекции этих векторов pry А^,)У, pry Д^ч на подпространства U и соответственно Y как результат действия операторов ортогонального проектирования Q: Y-> Uи R: С/-* Y, можно получить матричные уравнения

Уа = ß(yа) + Уа1 = 0»а + у а1, , (6)

ил = Л(и^) + и/ = R уА + и/, (7)

где Q(Уа) = Q иА, ЩиА) = RyA — векторы с компонентами ртс/А2(0у = Q(Az(i)у) и соответственно prr А^и = R(As(l)u); Q = P G^1, R = PGf-1 — матрицы, являющиеся представлениями оператора Q : Г-» Uв подпространстве Uc базисом u^ и оператора R: U-^Y в подпространстве Y с базисом у/, у А1 = (orte Ал 1)У,.. .ort и Az(K)y)T, и/ = (ort)- A(1)u,... ort у Amuf — векторы, компоненты огХиАг^)У, ort)-/iv(,)U которых (перпендикуляры) принадлежат, соответственно, orty A:(i)y е С/1, ortr /liV(,)U е Y1 ортогональному дополнению С/1 с t/u Y к подпространству U и ортогональному дополнению У1 с С/и У к подпространству 7; Р — Лгх/Г-матрица билинейных форм (мощностей) p,j = (А^и, Al{j)y) пары векторов (и, у); Gy, Gу— симметричные (эрмитовы) положительно определенные матрицы Грама базисов и^ и уА. При этом справедливы следующие утверждения:

1. Операторы ортогонального проектирования Q : Г—» U и R: > F взаимно сопряженные, а размерности их образов равны рангу матрицы билинейных форм Р: dim(im Q) = rank Q = rank P = rank R = dim(im R).

2. Матрицы Q и R*, R и Q* эквивалентны: Q = GyR'Gy"1, R = GuQ*Gr~'.

Умножив скалярно компоненты уравнений (6) на Az(l)y, i = 1, К, а компоненты уравнений (7) на А^и, г = 1, N, получим два матричных уравнения, которые после элементарных преобразований примут вид

Y1 = Gy-P*Gt/_1P, U1 = Gy- PGy~'P*, (8)

где Y1, U1 — эрмитовы матрицы Грама компонент векторов у^1 и и/.

Если U n Y ф 0, то для V г е U ел Y существуют нетривиальные разложения z = au^, а = (a\...a',...aN) Ф 0, а' е Р и z = by.,, b = {ЬХ,...У,...ЬК) * О, У е Рпо базисам подпространств U и соответственно Y, т.е. справедливо равенство

2>Ч(,)У=E«4wu =

j=i .»I

которое можно рассматривать как уравнение, которому удовлетворяет частное решение — пара векторов (и, у).

О взаимном расположении подпространств U и Y можно судить по внутренней структуре ортогональных дополнений У1, UL, отражением которой являются алгебраические свойства матриц У"1", U1 и, опосредованно, вследствие уравнений (7) и (8) алгебраические свойства матрицы билинейных форм Р и матриц Грама Gy, G у.

Если U*0, Y±0 и

1. если Р = 0 (rankP = 0), то подпространства [/, Y ортогональны Uи Y= U© Y и не существует линейной относительно операторов А, взаимосвязи векторов u и у, даже в виде уравнений (6), (7);

2. если rank Р * 0 и rank Y1 = К = dim Y, rank U1 = N= dim U, то Un Y = 0, U kjY = U + Y и можно выделить линейную относительно операторов А, взаимосвязь между векторами и, у в виде уравнений (6), (7), но не существует уравнений (9).

Теорема 1. Если Пф0, rank Р* 0 и матрица Y"1 (U1) вырождена

rank Yx< dim Y (rank U1 < dim U), mo:

1. вырождена и матрица U1 (Y1);

2. UГ\ Уф 0 и существуют dim U гл У линейно независимых векторов 4 = = atu, е Uп Y, аt= (e*',...at',.. V) * 0, Ьк = (Ьк1,...Ы,...ЬкК) * О, а' е Р, У е Р и соответствующих каждому из та уравнений

16*Ч(,)У = ¿«;'Л(оц' к = WmC/nr; (10)

М м

3. dim игл Y= def и1 = dim U-rank U'L = def Y1 = dim Y-rank Y\

Условиями вырожденности матриц Y1, U1 являются условия равенства нулю их определителей

det Y1 = det(Gr - Р WP) = 0, det U1 = det(Gf, - PGr'P*) = 0. (11)

Если ye U, K= 1, AZ([) = Ao = I, то равенство (5), являющееся обобщением равенства Парсеваля на случай неортогонального базиса, совпадает с первым из равенств (11). Поэтому равенства (11) можно считать условиями замыкания системы билинейных форм, обобщающими равенства Парсеваля.

Определение. Матрицу Р будем называть замкнутой системой билинейных форм (мощностей) пары векторов (и, у), отражающей взаимосвязь этих векторов в виде уравнений (9), если выполняются условия замыкания (11).

Если Uл 7= 0, то любому вектор z е U n Y можно поставить во взаимно однозначное соответствие уравнение (9), частным решением которого является пара векторов (и,у), а любой линейной комбинации векторов z¡е Ur\Y —

единственную линейную комбинацию соответствующих этим векторам уравнений. Следовательно, множество уравнений (9) изоморфно пересечению игл У подпространств [/, У и является линейным пространством. Любое уравнение, принадлежащее этому линейному пространству, можно рассматривать как математическую модель взаимосвязи заданных векторов и и у, а линейное пространство этих уравнений — как множество моделей, эквивалентных для данного частного решения (пары векторов (и, у)).

Систему уравнений (10), соответствующих векторам гк <= II г> У, к = 1,с1т[/ п У базиса пересечения (7п У подпространств и, У, можно рассматривать как множество образующих (базу) линейного пространства (свободного модуля) уравнений моделей (ЛПУМ) исследуемой системы для всех пар векторов (и, у), удовлетворяющих всем уравнениям (10). Это множество пар векторов (и, у) будем называть множеством решений ЛПУМ. Но для некоторых решений (и*, у*) системы уравнений (10) система векторов ъ^ е [/ п У*, соответствующих этим уравнениям, может оказаться линейно зависимой, а ЛПУМ только сюръективно отображаться на пересечение подпространств I/, У , порожденных векторами и и соответственно у .

Можно утверждать, что любое уравнение (модель), принадлежащее ЛПУМ, адекватно отражает взаимосвязь входа и выхода исследуемой системы на множестве решений ЛПУМ.

Это означает, что в задачах идентификации для построения оптимальной (в каком-либо смысле) математической модели системы достаточно найти подходящую линейную комбинацию уравнений базы свободного модуля моделей.

Справедливы следующие свойства симметричных (эрмитовых) и неотрицательно определенных матриц У1, Р'вс/'Р и1, РСк'Р*, входящих в выражения (8) и условия замыкания (11):

1) Все собственные числа этих матриц действительные и неотрицательные.

2) Для собственных чисел /1У, уу, Лу и /ии, Уи, Ли, соответственно, матриц Р*С(7_1Р, У1, С у и РвкР, и1, ву справедливы следующие оценки:

0 <//у< шахЯу, 0 < уу < тахЛу, 0 < Цц < тахЛи, 0 < уи < тахЛи.

3) Обобщенные собственные числа Л, /л матриц Р'С^Г'Р и РСу_1Р* удовлетворяют неравенствам: 0 < Л< 1,0< ¿и< 1.

4) Если одна из матриц У1, и1 (РЧ5у-1Р, Рв^'Р) имеет нулевое собственное число (единичное обобщенное собственное число), то и другая имеет такое же (обобщенное) собственное число и той же кратности, пересечение подпространств [/, У не пусто и ел У* 0 и существует ЛПУМ, размерность которого равна кратности этих (обобщенных) собственных чисел.

Можно ввести понятие обобщенных сингулярных чисел матрицы билинейных форм Р, равных квадратному корню рк = ^¡Л- = из совпадающих

обобщенных собственных значений Л1 = ц матриц Рв^'Р и РСу_1Р*. Тогда будут справедливы следующие свойства:

5) Если матрица Р имеет единичное обобщенное сингулярное число, то пересечение подпространств U, Уне пусто Un Y* 0 и существует ЛПУМ, размерность которого равна кратности единичного обобщенного сингулярного числа матрицы Р.

6) Если прямоугольная матрица Р является матрицей полного ранга и все обобщенные сингулярные числа матрицы Р равны единице и если rank Р = К (rank Р = N), подпространство Y (U) вложено Ус U (U с Y) в подпространство U{Y), компоненты векторного уравнения

у, = P*Gy-' U/) (u, = PGy"1 у,) (12)

преобразования базисов u^ -> у^ (у^ —» и^) являются базисом АГ-мерного (iV-мерного) ЛПУМ и справедливо матричное уравнение

gr = p*gi/~'p (gy = pgy~'p). (13)

7) Если матрица Р, квадратная K = N, невырожденная rank Р = N и все ее обобщенные сингулярные числа равны единице, то Y=U, компоненты любого из векторных уравнений (12) являются базисами //-мерного ЛПУМ, выполняются соотношения конгруэнтности матриц (13) и справедливо матричное уравнение Р = GyP"'G[/.

В Главе 2 построены теоретические основы мультиоператорного метода построения математических моделей, т.е. использования операторов, являющихся элементами свободной линейной мультиоператорной алгебры с конечным множеством образующих операторов.

Выбор подходящего класса описывающих систему математических моделей, (структурная идентификация) — это в первую очередь выбор подходящего множества операторов. Обычно, вследствие естественного развития науки, это множество является свободной линейной алгеброй операторов с одним или несколькими образующими элементами.

В этой работе оператор g: L —>• L называется линейным, если g(ax) = a(gx) при VxeLaVaeP; эндоморфизмом, если g(x + у) =gx +gy при V х € L, у е L и линейным эндоморфизмом, если g(x + у) = gx + gy при V х е L, у е L и V ссеР, /? € Р.

Определение. Свободную линейную алгебру A(Gr), порожденную конечным множеством Gr образующих: линейных операторов gj е Gn j = 1, г, действующих gf. £ —» L в евклидовом (унитарном) линейном пространстве L, будем называть мультиоператорной алгеброй, а ее элементы а(п) е A(Gr) — муль-тиоператорами а(п): L L.

Предполагается, что мультиоператорная алгебра A(Gr) — линейно упорядоченное множество, а множество модулей Mod(Gn п) различных порядков п, подмножеств алгебры A(Gr), элементами которых являются мультиоператоры a(k < п) е Mod(Gr, п) порядков к<п, а базой мономы т($,(/<:)), k = Q, п — строю

п т

упорядочено. Здесь = — мультиоператор порядка и;

»=0 ¡«1

т($,(к)) € М(Ог) — операторные мономы (одночлены) порядка к, являющиеся

произведениями = .?(/)~ТЬ1Х степеней (индексов ¿'(7) е 2) обра-

м

зующих, элементами свободного мультипликативного моноида М(С,)\ $(к) = (.у( 1), .т(2),....?(/'),,...у(г)) — мультииндекс монома т(ъ,{к)У, Щк) — количество различных мономов порядка к.

Если все образующие мультиоператорную алгебру А(БГ) линейные операторы являются линейными эндоморфизмами пространства Ь, то и любые муль-тиоператоры — элементы алгебры А{Ог) являются линейными эндоморфизмами этого пространства.

Определение. Если образ действия мулыпиоператорной алгебры А(СГ) на линейном многообразии Хс.Ь линейного пространства Ь совпадает с X и все элементы алгебры А(С,) являются линейными эндоморфизмами X, то такое линейное многообразие будем называть мулътиоператорным линейным многообразием (линейным многообразием с мультиоператорной алгеброй А(СГ)).

Подмножество

А(вг)х = {ах е 11 х е I, V а е А(вг)} сЬ

линейного пространства Ь, каждый элемент которого является результатом ах е А(Сг)х действия какого-либо элемента а е А(СГ) мультиоператорной алгебры Л((?г) на вектор х е Ь, можно назвать Л(<5>)-орбитой вектора х е I. Очевидно, что для V а е РДСг)-орбиты векторов ах совпадают.

Теорема 2. А(Сг)-орбита А(Сг)х с Ь вектора х е Ь является мулътиоператорным линейным многообразием.

Частным случаем Л(б>)-орбит являются подпространства Крылова, названные в честь российского и советского математика и инженера, академика А.Н. Крылова, который предложил использовать эти подпространства конечномерного векторного пространства в прикладных задачах линейной алгебры. В настоящее время метод подпространств Крылова является основой многих эффективных алгоритмов, допускающих использование параллельных вычислений, и одним из наиболее востребованных при решении многих задач в различных областях науки и техники, в частности при решении систем линейных алгебраических уравнений и отыскании собственных значений и собственных векторов матриц большой размерности.

Подпространство Крылова — это Л(!*)-орбита порождающего ее вектора для свободной мультиоператорной алгебры А(%) с одним образующим линейным оператором (представлением которого в пространстве К" является матрица) и поэтому со строго упорядоченным мультипликативным моноидом.

Определение. Любое максимальное линейно независимое подмножество системы векторов {m(Sj(/))x, i = О, я, j-1, } будем называть естественным базисом Mod(Gn п)-орбиты К„(х) вектора х е L. Этот базис будем называть невырожденным, если его размерность равна dim К„(х) = N числу N = всехМОИОМОв M(SA0) е Mod(Gr, п) модуля Mod{Gr, и).

Для V а е Л(б>) A(Gr)-орбита вектора ax е A(Gr)x является мультиоператор-ным линейным подмногообразием Л(Сг)-орбиты вектора х е L.

Если произведение мультиоператоров а, € A(Gr), i = 0, п, пф оо не равно нулевому оператору, то пересечение a^(Gr)-орбит вектора х е L не пусто и всегда содержит j Л (С?,)-орбиту этого вектора.

Mod(Gr, н)-орбита вектора х е L

Кп (х) = span(m(sj{i))x\ xsl, m(s/i)) е Mod(Gr, п), i = 0, п, j = 1, jV(i) )

является конечномерным линейным подпространством /С,(х) £ A(Gr)-

орбиты этого вектора (но не является мультиоператорным многообразием).

Определение. Мультиоператор (порядка к> 0) апп(к, х) е A(Gr), для которого выполняется равенство

ann(k, х)х = 0, (14)

будем называть аннулятором вектора х е L.

Элементы идеала апп(к, x)A(Gr) с A(Gr) мультиоператорной алгебры A(Gr), порожденного аннулятором апп(к, х) е A(Gr) вектора х 6 L, являются аннуля-торами этого вектора. Любой аннулятор вектора х е L является аннулятором /1(Сг)-орбиты этого вектора. Любая линейная комбинация конечного числа ан-нуляторов вектора xeL является аннулятором этого вектора.

Множество аннуляторов вектора х е L порядка 0 < к < п является подмодулем Апп(к<п, х) с Mod(Gr, п) модуля Mod(Gr, п). В нем всегда можно выбрать систему линейно независимых аннуляторов (базу подмодуля Апп(к < п, х)) апп{к, х), / = 1, К ,К = dim Апп(к <п,х).

Если модуль Mod(G„ п) содержит хотя бы один аннулятор (не содержит ни одного аннулятора) вектора хе£ порядка к <и, то естественный базис Mod(G„ и)-орбиты Кп(х) этого вектора вырожден (не вырожден).

Множество однородных мультиоператорных уравнений порядка к<п (14) изоморфно подмодулю Апп{к < п, х), и, следовательно, является линейным пространством, базисом которого является система совместных уравнений {annfjc, х)х = 0, i = 1, К} (по крайней мере, вектор х е L удовлетворяет всем этим уравнениям).

Размерность Mod(Gr, я)-орбиты вектора х ei равна разности размерности базы модуля ModiGr, и) мультиоператоров порядка и-1 и числу линейно независимых аннуляторов этого вектора порядков к < п.

Если число линейно независимых аннуляторов порядка п равно N(n), то A(Gr)-орбита вектора х е L является конечномерным подпространством линейного пространства L, совпадающим с Mod(Gr, «-1)-орбитой этого вектора. По-видимому, только в этом случае построенный для вектора х е L базис линейного пространства (систему) однородных мультиоператорных уравнений порядка к < п можно рассматривать в качестве математической модели, а Л(Сг)-орбиту вектора х е L — как подмножество решений этой системы уравнений.

Если все образующие операторы мультиоператорной алгебры A(Gr) являются линейными эндоморфизмами,

- то A(Gr)-орбита A(Gr)z с L вектора z = х + у является подмножеством объединения ^(Gr)-op6HT A(Gr)x, A(Gr)у, соответственно, векторов х е L и у е L\

- то Mod(Gr, и)-орбита вектора г= ах + ßy, а е Р, ß е Р является линейным подпространством объединения Mod{Gr, «)-орбит вектора х е L и вектора у е L;

- а аннулятор апп(п, х) вектора х е L аннулирует апп{п, х)у = 0 вектор у е L, то он аннулирует любой вектор, принадлежащий объединению Л(Ог)-орбит вектора х е L и вектора у е L (Mod(Gn «)-орбит вектора х е L и вектора у е L).

Произведение аннуляторов апп(к, х) вектора xsl и апп(1, у) вектора у € L является аннулятором порядка п = к+1 любого вектора, принадлежащего объединению Л(0г)-орбит вектора х е L и вектора у ei.

Определение. Равенство

Ьу = аи, (15)

в котором мультиоператоры b € A(Gr) и а е A(Gr) не являются аннуляторами векторов у е L и, соответственно и е L, будем называть мультиоператор-ным уравнением, устанавливающим взаимосвязь векторов и е L и у е L.

Если пересечение A(Gr)-op6mbi U вектора u е L и Л(0г)-орбиты Y вектора у £ L не пусто С/г* У* 0, то для любого вектора г е UnY, z ^ 0 найдутся такие мультиоператоры b е A(Gr), а е A(Gr), что z = by, г = au, и, следовательно, справедливо мультиоператорное уравнение (15).

Если элементы мультиоператорной алгебры A{Gr) упорядочены, то любому мультиоиераторному уравнению (15) можно приписать порядок и = тах(&, т), где к — порядок мультиоператора b е A(Gr), am — порядок мультиоператора a € A(Gr).

Если пара (и, у) векторов и е L и у е L удовлетворяет мультиоиераторному уравнению (15), то:

1) пересечение ^(Gr)-op6nT этих векторов не пусто U п У Ф 0;

2) A(Gr)-орбита Z вектора г = Ьу = аа является подмножеством ZcUnY пересечения A(Gr)-орбит векторов u е L и у е L;

3) для любого мультиоператора <1 е А(СГ), при условии что произведения мультиоператоров с1Ь и с/а не являются аннуляторами соответственно векторов у е £ и и е £, пара (и, у) векторов и е £ и у е £ удовлетворяет мультиоператорным уравнениям (с!Ь)у = (¿а) и;

4) для любого мультиоператора с1 е Л(б>) пара векторов ¿и е 17, с1у е У, принадлежащих /4(Сг)-орбитам и, У, соответственно, векторов и е £ и у е £, удовлетворяет мультиоператорному уравнению (15).

Непустое пересечение [/п У* 0 Л(Ог)-орбиты (7 вектора и е £ и А(СГ)-орбиты Г вектора у е £ является мультиоператорным линейным многообразием — объединением А(Сг)-орбит векторов, принадлежащих этому пересечению.

Если мультиоператорная алгебра не содержит аннуляторов векторов и е £ и у е £, то пересечение Л((3>)-орбит 7Л любого конечного числа векторов

%к = Ьку = а1и е игл У, к = 1, п, п < а> не пусто * 0.

Если Мос&Стг, п- 1)-орбиты векторов ие£иуе£не пересекаются, а пересечение К„(и) п Кп(у) Мой{Ог, и)-орбит этих векторов не пусто, то для каждого вектора е К„(и) п К„(у), к = 1, «ит^Д^пХДу) базиса этого пересечения найдутся такие мультиоператоры Ьк(щ) е. Мос1(Сг, и), ак(тк) е Мос1(Сг, п) порядков пкйп,тк = п или пк = п, тк < п, что пара векторов (и, у) будет удовлетворять мультиоператорному уравнению (порядка п)

Ьк{щ)у = ак(тк)и. (16)

Если любому г е АГ„(и) п К„{у) поставить в соответствие линейную комбинацию уравнений (16) с теми же коэффициентами, как и в разложении вектора г по векторам гк базиса Кп(и) п К„{у), то это соответствие будет взаимнооднозначным. И линейное пространство (свободный модуль) мультиоператорных уравнений (ЛПМУ), базой которого являются уравнения (16), будет изоморфно пересечению подпространств К„(и) п К„(у).

Решениями системы уравнений (16) и любой их линейной комбинации являются пары векторов (¿/и, с1у), (1 е А(СГ), принадлежащих /1(Ог)-орбитам векторов и е £ и у е £.

Поскольку на практике предпочитают пользоваться моделями минимального порядка, то чаще всего достаточно найти базис первого (по возрастанию порядка модуля Мос1(Сг, п)) непустого пересечения К „(и) п К„( у) ф 0 Мос1{Сп п)-орбит К„(ч), К„( у) векторов ие£иуе£ и соответствующие векторам этого базиса уравнения базисных моделей. Но, если требуется пополнение ЛПМУ, например, когда для построения модели, обеспечивающей достаточную адекватность исследуемой системе, требуется повысить порядок уравнения модели, то надо по крайней мере, знать какую структуру имеет пересечение Л(Сг)-орбит векторов и е £ и у е £.

Любому вектору Л(0,)-орбиты 2к вектора хк можно поставить в соответствие мультиоператорное уравнение порядка т>п. Но это соответствие опять же не обязательно взаимнооднозначно.

Поэтому построение базиса пересечения i/пУ A(Gr)-op6iii U, У векторов u £ L и у е L проще проводить последовательно, повышая на единицу порядок т Mod(Gr, т)-орбит К,„(и), Кт(у) и пополняя базис линейного подпространства Ä',„(u) n KJy) до базиса линейного подпространства ÄTm+i(u) n ^Tm+i(y). Выбирая какое-нибудь мультиоператорное уравнение порядка т+1, соответствующее каждому новому вектору пополнения, мы пополняем базу ЛПМУ.

Если пересечение A(Gr)-орбит U и 7 двух векторов u е L и, соответственно, у е L не пусто Uгл Уф 0, то возможны три случая расположения этих A(Gr)-орбит:

1) U - У, либо когда одномерные линейные оболочки векторов u е L и у е L совпадают span(u) = span(у) (векторы «коллинеарные»), либо когда у е U и u е У, т.е. существуют такие мультиоператоры а е A(Gr) übe A(Gr), что выполняются уравнения

у = au, u = by; (17)

2) U с. У (У elf), когда найдется такой мультиоператор а е A(Gr) (,b е A(Gr)), что выполняется первое (второе) уравнение из (17), но не найдется такого мультиоператора b е A(Gr) (а е A(Gr)), что будет выполняться второе (первое) уравнение из (17);

3) U r\Y^U и U г\УфУ, когда мультиоператорная алгебра A(Gr) не содержит мультиоператоры а и Ъ, такие что выполняется хотя бы одно из уравнений (17).

В прикладных задачах рассматриваемые векторы u е L и у е L являются либо дискретными (сеточными) скалярными или векторными функциями (в этой работе зависящими только от времени и заданными на некотором его характерном интервале), либо конечными гладкими аппроксимациями (степенными или тригонометрическими полиномами и т.п.) этих дискретных функций. То есть линейное пространство L, в которое они погружены, конечномерное — это либо пространства арифметических векторов или матриц, либо им изоморфные функциональные пространства.

В этом случае Л(Сг)-орбита любого вектора х е I является линейным подпространством пространства L. Существуют модуль Mod(Gr, п) порядка п, начиная с которого все Mod{Gr, т > я)-орбиты вектора х € L совпадают с его A(Gr)-op6moH, конечный естественный базис этой Л(Сг)-орбиты и конечная система однородных мультиоператорных уравнений порядка п, которую можно рассматривать как математическую модель системы. Если существует непустое пересечение 11глУф0 Д0,)-орбит векторов u е L и у е L, то оно является конечномерным линейным подпространством Л(б>)-орбит этих векторов и, следовательно, базис ЛПМУ (линейного пространства моделей), изоморфного пересечению U ел У, будет состоять из уравнений конечного порядка.

Если на конечномерном линейном пространстве L все образующие операторы мультиоператорной алгебры A(Gr) являются линейными эндоморфизмами, то в L может найтись вектор, Л(0г)-орбита которого совпадает с L. Кроме того, т.к. любое конечномерное линейное пространство L изоморфно арифметиче-18

скому векторному пространству К" (С") и представлением любого образующего оператора g, s Gr мультиоператорной алгебры A(G,) в Ж" (С") является

квадратная матрица, то для каждого из них справедлива теорема Гамильтона -Кэли. То есть, если ДЯ) — характеристический многочлен оператора g„ то операторные многочлены (мультиоператоры) /¡(g,) являются нулевыми операторами и, следовательно, аннуляторами V х е L (всего пространства L). Для любого х g L найдется аннулятор минимального порядка, являющийся делителем мультиоператора

Ниже приведен алгоритм вычисления матрицы билинейных форм Р и коэффициентов базисных уравнений ЛПМУ.

В Главе 3 анализируются особенности реализации мультиоператорного метода построения дифференциальных моделей систем со скалярными функция-

СОО

-гладкими аппроксимациями. В основном результаты получены применительно к однофазным электромагнитным системам переменного тока, т.е. при аппроксимации функций напряжения и = и(х) и тока входа у =}'(*) тригонометрическими полиномами (где х= cot, со- 27iJТа, То — основная угловая частота и период ЭДС источника, I — время).

При обработке экспериментальных данных на ЭВМ в научных исследованиях и в АСУ ТП, а также в вычислительных экспериментах при исследовании математических моделей имеют дело с дискретными значениями непрерывных функций и/или требующих аппроксимации непрерывными функциями для корректной интерпретации исследуемого процесса.

Полагаем, что функции напряжения u = и(х) е Е и тока входа у = _у(х) s Е принадлежат TV-мерному линейному евклидову (унитарному) функциональному пространству Е с метрикой ¿2, являющемуся линейной оболочкой Е - span(çn(x), и = О, /V -1 ) базисных аппроксимирующих функций <р„(х). Для построения моделей используется мультиоператорная алгебра A(D) с одним образующим оператором дифференцирования D = d/dx — линейным эндоморфизмом D:E-ïE,D° = I.

Теорема 3. Если конечномерное линейное функциональное пространство Е инвариантно относительно оператора {линейного эндоморфизма) D, т.е. D: Е ->Е и fix) a Е не является собственной функцией оператора D, то базисом (Крылова) А{р)-орбиты (подпространства Крылова) К(Дх)) çr Е функции fix) является последовательность (Крылова) функций

{Dkfix), к = О, dimA-(/(x)) -1} размерности dim K(J{x)), равной степени анну-лятора этой функции минимального порядка

являющегося делителем мультиоператорас/Щ), где <р(Х) — характеристический многочлен оператора D.

При использовании аппроксимации функций алгебраическими полиномами справедлива следующая теорема.

Теорема 4. Если функции и(х) е Е и у(х) е Е принадлежат евклидовому функциональному пространству Е = span(x", п = О, N-I) и и(х) Ф О,у(х) * 0, a D оператор дифференцирования, то:

1. размерность Аф)-орбиты (подпространства Крылова) любой функции fix) е Е на единицу больше максимальной степени аппроксимирующего её полинома', минимальным аннулятором этой функции является Diim

2. всегда одна из A(D)-op6um UqE и УсЕ соответственно функций и(х) е Ейу(х) е Е вложена в другую UcYи/или Yс U, существует замкнутая система билинейных форм и линейное пространство связывающих функции и(х), у(х) мультиоператорных (линейных дифференциальных) уравнений (ЛПМУ) с базисом yD = PGu' uD и/или uD = PGr-1 у о, где в общем случае прямоугольные матрицы p*gct' и pgy-1 являются правыми треугольными (¿-тые компоненты векторов uD, Уо естественных базисов являются функциями Dku(x) и Dky(x) базисов Крылова).

Рассмотрены вопросы использования сглаживающих (прореживающих) полиномиальных сплайнов и БПФ для получения аппроксимаций тригонометрическими полиномами или полиномами комплексных экспонент. В частности, получены формулы, разработаны алгоритмы и программы для получения комплексных спектральных составляющих сплайнов. Так, для нелокального сплайна степени Ks > 1 требуется Ks + 1 обращений к процедуре БПФ (для каждого коэффициента сплайна). Для вычисления комплексных спектральных составляющих локальных и эрмитовых сплайнов требуется только один раз вызывать процедуру БПФ. Эти спектральные составляющие могут быть представлены в виде

U(Jfc) = UppT (Jt)W(k), W( - k)=W(N - k)=W\k), где UfftW — спектральные составляющие, полученные БПФ дискретной функции щ(п), и = О, N -1; W(к) — функция частотного окна. Например,

W(0)=1 и \V(k) = sin2{zk/N)/(Trk/N)2 (W(£) = sin4(7rk/N)/(xk/N)4) при

к > 0 для линейного сплайна (локального кубический сплайн дефекта 2).

Исследуется алгебраическая структура матриц Грама gy, Gy и билинейных форм Р, а также пространства линейных дифференциальных моделей при использовании аппроксимации тригонометрическими полиномами. Обсуждается физическая и техническая интерпретация замкнутых систем билинейных форм (в том числе ортогонального разложения полной мощности) для электромагнитных систем.

Для построения базисов Крылова используется ортонормализация последовательностей Крылова uD—Mion, уо~>Уоп по методу Ланцоша с переортогонали-зацией по методу Грама-Шмидта.

Установлено, что при использовании формата представления чисел DOUBLE PRECISION, для функций, являющихся конечными рядами Фурье на интервале [-я; /т] с асимптотическими свойствами коэффициентов от Ак ~ 0(l/k)

до Ак - о{\/V4/ri (4А'/е)* j и соответственно различной гладкостью, вызванное

численным вырождением базиса Крылова (при ортонормализации) достаточно использовать число точек разбиения периода N= 2'" < 32.

Разработаны алгоритмы и программы построения аппроксимаций дискретных функций входа и выхода тригонометрическими полиномами, базисов Крылова, порожденных этими аппроксимациями, вычисления матрицы билинейных форм Р и коэффициентов базисных уравнений ЛПМУ.

Тестовые расчеты проводились для функций напряжения и тока, полученных с помощью разработанной автором одномерной МРГД-модели сильноточного дугового разряда (z-пинча).

В Главе 4 анализируются особенности реализации мультиоператорного метода построения дифференциальных моделей систем с вектор-функциями входа и выхода, компоненты которых являются конечными С°°-гладкими аппроксимациями, в основном применительно к М-фазным электромагнитным системам переменного тока.

Предполагается, что компоненты ит{х) е Е, у,„(х)) е Е М-мерных вектор-функций входа и(х) = (иi(x),.. .ифс)) и выхода у(х) = (у\(х),...уфс)) принадлежат конечномерному линейному евклидову (унитарному) функциональному пространству с метрикой ¿2 — линейной оболочке Е = span(<p„(x), п = 0, N-1), а вектор-функций входа u(x) е Ем и выхода у(х) е £м — векторному функциональному пространству Ем с евклидовой (унитарной) метрикой, соответствующей ¿2-метрике компонент.

Рассматривается и анализируется применение мультиоператорных алгебр:

1. Л(Х>), образующим которой является оператор дифференцирования вектор-функций D: Ем~> Ем, D°-I{D = diag(D), I- diag(Z) — операторные диагональные Л/хМ-матрицы, элементами главной диагонали которых являются оператор D: £ £ и соответственно тождественный оператор /:£-»£);

2. /4(2), S), образующими которой являются оператор дифференцирования вектор-функций D и оператор циклической перестановки компонент вектор-функций S: Ем —> Ем, который фактически представляет собой A/xAf-матрицу циклической перестановки S, являющейся генератором циклической группы порядка М, Sk+> = SkS, (S*)"' = S°=SA'= E,WxM;

3. A(D, Sm, m = 0, M -1), образующими которой являются оператор дифференцирования вектор-функций D и М идемпотентных, самосопряженных ортогональных проекторов Sm: Ем —> Ем, которые могут быть представлены

Л/хЛ/-матрицами (бивекторами) = етет\ построенными на векторах е,„, т = О, М -1 ортонормированного базиса арифметического пространства Км (Сл') и генерирующих ортогональные составляющие Ь„(х) е вектор-функции ф^^'Ц*). Г(х) е Ем

Ых) = 8,Дх) = е,„е,„*{(х) = с,„<р,„(х), <рт(х) = ст'{{х), т = О, М -1, Ь(х)) = 0 при п*к;

4. А(В, Тт, т = О, М — 1), образующими которой являются оператор дифференцирования вектор-функций I) и М идемпотентных, самосопряженных ортогональных операторных проекторов Тт: Ем —> Ем — операторных МхМ-матриц (бивекторов) Тт = *„,<„ , построенных на операторных векторах 4, = М~т(1, Т",.. .(Г")м1)т, т = О, М -1 и генерирующих ортогональные симметричные составляющие $т{х) = Т,„Цх) = I,„(,„"^х) е £м вектор-функции = 6 Ем, где оператор Т: Е Е обладает свойствами,

перечисленными в теореме 5.

Все эти мультиоператорные алгебры линейно упорядочены. Порядок монома равен степени входящего в него оператора дифференцирования, а элемента алгебры — максимальному порядку, входящих в него мономов.

Построена теория операторных проекторов, поскольку одной из задач анализа многофазных электромагнитных систем является оценка асимметрии системы по напряжению (по входу нагрузки), по току (по выходу нагрузки) и по активной мощности. Показано, какие коэффициенты асимметрии можно построить, используя предлагаемый метод анализа систем.

Определение. М-мерную вектор-функцию (п(х) е Ем будем называть Т-симметричной, если ее компоненты /„,„(х) = (Т")т~[/„(х) = Т"<~т~^/„(х\ т = 1, М являются результатом применения п(т-\ )-той степени линейного оператора Т': F--»F, порождающего конечную циклическую группу вм порядка М операторов Т (Т°-7м=1) преобразований скалярных функций/„(х) е ЕсЕ, неинвари-антых Т/„(х) ф/п(х) относительно оператора Т.

Теорема 5. Пусть оператор Т\ F—>F является образующим конечной циклической группы порядка М операторов 1" (7° = Iм = Г), изоморфной группе См

2 к -

поворотов в плоскости на углы —п, п = 0, Ми обладает следующими

М

свойствами:

1. оператор Т ортогональный ||Г/(х)|| = ||Дх)||;

2. оператор, сопряженный оператору Т, равен Т* = ТХ = Г1''1;

3. (Г)* = (Г)4 = Г" = 7^";

4. действительные собственные функции оператора Т инвариантны относительно групповых преобразований;

6. оператор Т коммутирует 0(Т/(х)) = Т(И/(х)) с оператором дифференцирования.

Тогда можно построить М операторных проекторов (бивекторов) Т,1 = 1„1„'--Ем~>Ем (где 1„ = М~т(1, Г, ...(Г)"")7, /„*-М'112(1, Г", которые будут обладать следующими свойствами

1) операторные бивекторы Т„ самосопряжены Т„ =Т„\

2) операторные бивекторы Т„ идемпотентны Т„Т„ = Т„;

3) Т„Тк = О при пФк (О — матрица, все элементы которой нулевые операторы);

4) / = У, Тп, (I — матрица с тождественными операторами на главной

диагонали, а все остальные элементы нулевые операторы)',

5) справедливо разложение вектор-функции ^х) е Ем на V-симметричные ортогональные составляющие {„(х) е Ем

í (х) = ХГ=(Х (*)> = 7"»г(х) = *п<Рп(х), <рп(х) = СЦх), (Цх), Тк(х)) = О, при п* к.

Исследуется алгебраическая структура матриц Грама С и, Су и билинейных форм Р, а также пространства линейных дифференциальных моделей, построенных для перечисленных выше мультиоператорных алгебр. Обсуждается физическая интерпретация замкнутых систем билинейных форм.

В Главе 5 предложена физическая интерпретация реактивной мощности (или первой составляющей реактивной мощности), т.е. элемента р 12 = (и, £>у) матрицы билинейных форм Р однофазных электромагнитных систем с периодическими функциями напряжения и = ы(х) (входа нагрузки) и тока у = 1(х) (выхода нагрузки)

<2=-!-}«4Л. (18)

После подстановки в (18) формул для напряжения « = -|е°с// и полного тока /(¿)= + = с1т двухполюсника, с помощью перехода к интегральным суммам и последующего предельного перехода можно преобразовать произведение линейного и поверхностного интегралов в интеграл по объему объекта V, а линейных интегралов в интеграл по поверхности объекта Б у и получить выражения (в СИ)

1а>0\д1 дг дг дг + 2\_ дг 1 д( ^¿^Дл т)

-\~Wdvdt,

д1

где Е°=-У <р, <р —напряженность потенциального электрического поля и его потенциал; А — векторный магнитный потенциал; С — замкнутый контур пересечения эквипотенциальной поверхности Б с поверхностью объекта Б у; Е = Е° -¿?А/<?7, Б — напряженность и индукция результирующего электрического поля; н, в — напряженность и индукция магнитного поля; ] — плотность тока проводимости;

Этот переход возможен при следующих допущениях: двухполюсник — протяженный объект, объем которого не изменяется и не деформируется; внутри объема объекта и на его поверхности все электромагнитные параметры непрерывны и ограниченны; среда объекта нейтральна; поверхности электрического контакта объекта с соединительными проводниками эквипотенциальны; индуцированным электрическим полем - дКвне объема объекта можно пренеб-

речь. При этом можно пренебречь интегралом — dsdt.

Из уравнений Максвелла можно получить дополнительно к уравнению Умо-ва-Пойнтинга еще одно уравнение дивергентного вида (в СИ)

которое можно трактовать как локальное уравнение сохранения (в интегральном виде — баланса) «реактивной энергии». Выражение в квадратных скобках первого слагаемого левой части (20) можно по аналогии с уравнением Умова-Пойнтинга назвать плотностью «реактивной энергии», второе (плотность мощности источника) — объемной плотностью реактивной мощности q(r,t), а выражение под знаком дивергенции правой части уравнения (20) — плотностью потока «реактивной энергии», соответствующему представлению реактивной мощности в виде поверхностного интеграла (19).

Построение моделей в сосредоточенных параметрах требует некоторых допущений, в частности при введении понятия «напряжения». Поэтому логичнее считать, что существует электромагнитная характеристика объекта — реактивная мощность О1, определяемая через локальные электромагнитные параметры выражениями (19).

(20)

Используя для электромагнитных величин преобразование Фурье, можно из (19) получить принимающую только действительные значения спектральную плотность объемной плотности реактивной мощности (в СГСМ),

q{ г,tu):

О)

в„(г)н;(г)+в;(г)н.,(г) ря(г)е;(г)+р;(г)е,(г)

16/Г

16яг

+ 1-

4л"

•(Effl(r)£(r)-L(r)E;(r)) ,

где частота ®>0, а^(г) = ^с](г,со)с!со — усредненная объемная плотность реактивной мощности.

Получены энергетические представления реактивной мощности

Гк

1соаЕк

дЕ^ ât

позволяющие считать ее все-таки мощностью — суммой усредненных определенным образом изменений составляющих энергии поля и Среды, а также мерой неуравновешенности скоростей преобразования энергии одного вида в другой. Здесь Ек — плотность энергии: кинетической, внутренней, электрического или магнитного полей; д — положительный (слагаемое ассоциируется с изменением энергии магнитного поля) или отрицательный (слагаемое ассоциируется с изменением энергии электрического поля) коэффициент.

Показано, что в однородной, изотропной и нейтральной лоренцевой (с s= dj), а= a{t) и /л= /j(t)) среде вариационная задача ¡5Q/JE* =0 (где Е* — компоненты вектора напряженности электрического поля сопряженной задачи, Q = ^dv^dt[~L%u{r,t)j2n^) с лагранжианом

1

+— 2

<4

/

1 | âEâE'

ât ât

——(VxE)ÎVxE*) /V

+

<7 + £,

CE £0£ Ôj.1

- +

V

ât // ât

да

- + £n

â2£

— s*

â

£ âji И ât

/ v \

E^-E'^

ât ât

/

â£\ \ âji 2 cr + £n—--—

ât J ¡л ât

ЕЕ

"Л2 "Л приводит к волновому уравнению

—- + —± +-Ух(УхЕ) +--— -+1 =0.

д? 81 цац v ' цд1\д1 )

Плотность реактивной мощности совпадает с этим лагранжианом с точностью до 4-дивергенции (выражение в фигурных скобках)

4 ^РЕ 2 д1 2

й)02 Л 2й)0и Л

где 2 = ^¡л^/л) е0е , п = у[с/л — волновое сопротивление и коэффициент преломления среды объекта; с — скорость электромагнитных волн в вакууме. Поэтому реактивную мощность можно считать функционалом действия.

Этот результат позволяет предположить, что в задачах моделирования электромагнитных систем в распределенных параметрах плотность функции Ла-гранжа (и/или плотность реактивной мощности) может иметь и прикладное значение.

Знак реактивной мощности указывает на то, является ли нагрузка индуктивной (плюс, средняя энергия магнитного поля больше средней энергии электрического поля) или емкостной (минус, средняя энергия электрического поля больше средней энергии магнитного поля).

По аналогии можно использовать средние значения плотности функции Ла-

___ 1 ^ Г 1 1 ]

гранжа ¿Дг) и лагранжиана ¿(г) =— (ОЕ-ВН) + -^А-е^|<Л волнового электромагнитного поля для выявления его структуры, подобной структуре стоячей электромагнитной волны, т.е. разбиением на знакоопределенные области (области пучностей электрического или магнитного полей стоячей волны) ¿„(г)>0 (¿(г) > 0 ) и Ъп(г) < 0 (¿(г)<0), границами которых являются поверхности, определяемые из уравнения ¿„(г) = О (Ь (г) = 0).

Такую пространственную структуру, подобную структуре стоячей волны, будем называть лагранжевой структурой электромагнитного поля. Области пространства (поверхности, линии и точки), в которых ¿Дг) = 0 (1(г) = 0), можно рассматривать как области локального резонанса.

Исследование структуры полей с помощью лагранжиана как функции пространственной координаты и управляющих параметров (например, угла падения плоской волны на поверхность раздела сред), а именно поиск нулей, экстремумов, асимптот и т.п., позволит классифицировать решения задач математического моделирования и дополнить информацию о структуре поля.

В работе рассмотрены и проиллюстрированы лагранжевы структуры электромагнитного поля некоторых простых систем, рассматриваемых в классической электродинамике.

Так, в задаче об отражении плоской волны от плоской поверхности раздела диэлектрических сред для условий и)2<1 и п12> 1, <р^<рг получено обобщение

\'/2

% = агсБШ

"¡2 +1 -у/(»12 + 1)2"4п12б'"2 2Р ) ¡Л^ътгр

угла Брюстера <рв = агсБШ^/д/и^ +11 на произвольный угол поляризации волны в пределах я/4</кя/2, т.е. угол падения волны <р=<ръ, при котором вырождается

/0 = 0 лагранжева структура в области с падающей и отраженной волной. Отраженной волны нет только при /?=я/2 (Е-волна) <р^<рв- Если /Ья/4, то при И|2> 1 Щ=<рг, (рг = агс51п(1Л);2) - предельный угол полного отражения.

На рис. 1, 2 продемонстрированы -структуры собственных ТЕ (Н22) - и ТМ (Е22) - волн в волноводах круглого сечения (заштрихованные области с Ь,г < 0 ). На рис. 3 представлена -структура электромагнитного поля осциллирующего диполя (^ОДё^оСОЗ«?) в среде без диссипации с положительными, постоянными и равными диэлектрической и магнитной проницаемостями (волновое сопротивление равно 1, бл(#) — диаграмма направленности), штриховыми линиями показаны асимптоты г = ±г/у12 поверхности локального резонанса, минимальное расстояние до которой от диполя равно гтЬ = 42А/4ж , и экстремальная точка лагранжиана (Ьс.х,г) с координатами гех1г = {уГзл/Ля, о|. Для

осциллирующего магнитного диполя на рис. 3. заштрихована область > 0.

В среде без диссипации с постоянными диэлектрической и магнитной проницаемостями, отличающимися знаком и равными по модулю, лагранжевой структуры поля нет — лагранжиан во всем пространстве имеет один и тот же знак. Рис. 3 демонстрирует области знакопостоянства средней плотности энергии электромагнитного поля.

Алгоритм

вычисления матрицы Р и коэффициентов базисных уравнений ЛПМУ

1. Задать jV-мерные векторы х*, к = 1, N, с компонентами хк, = 0 при г ф к, Хкк = 1 _

2. Задать нулевые А'-мерные вектор-строки коэффициентов Ь*, а к, к = 1, N базисных уравнений ЬкуА = ъкиА ЛПМУ

3. Провести ортонормализацию естественного базиса и,) —» и„„, у^ -> у„„ и вычислить их размерности, соответственно, Ku<NnKy£N

4. Вычислить элементы КихКу матрицы Рв„

5. Вычислить и обратить левые треугольные матрицы i-iy, l~*y разложении базисов Крылова u^ = Lи и„„ и уА = Ly у„„ по ортонормированным базисам и матрицы билинейных форм Р = L[/P0„Lу

6. ifA^S^then

7. Вычислить элементы КухКу матрицы В = Р„„ Р0„ - Е

8. if матрица В нулевая (FcU) then

9. Вычислить Ь^ = Xk, Щ = (XkP0n)Lu~l, k = 1, KY

10. else

11. Получить QR-разложение матрицы В = QR

12. if матрица R трапециевидная, then

13. Вычислить все нетривиальные решения уравнения Rx* =0

14. Вычислить вектор-строки Ък = хкЬу~ ,

15. end if

16. end if

17. else (Ku<Ky)

18. Вычислить элементы КихКц матрицы А = Р0ЯР0„ - Е

19. if матрица А нулевая (£/с У) then

20. Вычислить ak = хк, b4 = (xtP

on

21. else

22. Получить QR-разложение матрицы А = QR,

23. if матрица R трапециевидная then

24. Вычислить все нетривиальные решения уравнения Rx* = 0

25. Вычислить вектор-строки ak = x*Lц~\ bt = (х*Р„„)Ьк-1

26. end if

27. end if

28.end if

29. stop

30. end

Основные результаты и выводы.

1. Разработаны основы теории мультиоператорного метода построения линейного пространства математических моделей, связывающих вектор-функции входа и и выхода у систем, изоморфного пересечению орбит свободной линейной (мультиоператорной) алгебры А(СГ) с конечным множеством Сг образующих операторов, порожденных вектор-функциями и и у.

2. Введено и алгебраически обосновано понятие замкнутой системы билинейных форм вектор-функций входа и и выхода у и интерпретируемых для систем «источник - нагрузка» как энергетические характеристики процесса (мощности). Доказано, что следствием выполнения обобщающего равенство Парсеваля условия замыкания системы (матрицы) билинейных форм является существование линейного пространства математических моделей (мультиоператорных уравнений).

3. Получены оценки спектра обобщенных сингулярных чисел матрицы билинейных форм. Доказано, что система билинейных форм замкнута, если хотя бы одно из обобщенных сингулярных чисел этой матрицы равно 1.

4. Разработана реализация мультиоператорного метода построения дифференциальных моделей и связанных с ними замкнутых систем билинейных форм для скалярных и векторных функций входа и выхода одного аргумента, являющихся С°°-гладкими периодическими аппроксимациями, и некоторых мультиоператорных алгебр, одним из образующих которых является оператор дифференцирования.

5. Разработаны теоретические основы метода симметричных составляющих, т.е. разложения с помощью операторных ортогональных проекторов (операторных матриц) вектор-функций на ортогональные составляющие, компоненты которых являются результатами преобразования предыдущей с помощью одного из элементов конечной мультипликативной циклической группы линейных операторов.

6. Предложен метод прореживания дискретных сигналов с помощью сглаживающих сплайнов и БПФ для получения периодических Сх-гладких аппроксимирующих функций. Получены функции частотных окон линейного сплайна, эрмитового и локального сплайнов третьего порядка.

7. Разработан алгоритм вычисления матрицы билинейных форм и коэффициентов базисных уравнений линейного пространства мультиоператорных уравнений.

8. Разработан комплекс программ, реализующий этот алгоритм для построения дифференциальных моделей, связывающих С°°-гладкие периодические аппроксимации функций входа и выхода с использованием сглаживающих сплайнов.

9. Для периодических функций напряжения (вход) и и тока (выход нагрузки) у, описывающих процессы в электромагнитных системах, и мультиоператорной алгебры А (О) с образующим оператором дифференцирования Б получена физическая интерпретация реактивной мощности — элемента Р\г = (и, £>у) = -(Ли, у) = рц матрицы билинейных форм Р, а именно:

Получены два локальных (в распределенных параметрах электромагнитного поля) представления реактивной мощности, позволяющие считать реактивную мощность мерой неуравновешенности преобразования одного вида энергии в другой.

Из уравнений Максвелла, в дополнение к уравнению Умова-Пойнтинга, выведено новое уравнение дивергентного вида, составляющие которого имеют энергетическую интерпретацию (уравнение баланса «реактивной энергии»);

Показано, что для однородных изотропных сред с линейными электромагнитными свойствами плотность реактивной мощности с точностью до 4-дивергенции совпадает с плотностью функции Лагранжа, а реактивная мощность равна значению функционала действия объекта (вариационная задача для этой функции Лагранжа приводит к волновому уравнению для напряженности электрического поля); Установлено, что плотность функции Лагранжа позволяет найти набор опорных точек в информационном множестве, позволяющих полнее анализировать структуру электромагнитного поля (лагранжевы структуры) в различных задачах электродинамики. В частности, в задаче об отражении монохроматической волны от плоскости раздела двух диэлектрических сред получен особый угол вырождения лагранжевой структуры поля, являющийся обобщением угла Брюстера для произвольного угла поляризации падающей волны. Найдены еще три особых угла, связанные с особыми точками зависимости лагранжиана от угла падения как от параметра, позволяющих более тонко подразделить область решения этой задачи на классы.

Публикации

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 29 статьях и в монографии.

Из них 13 статей в периодических изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Казаков O.A. О вольт-амперной характеристике дугового разряда переменного тока // Электричество,- 1995. № 8. с. 49-56.

2. Казаков O.A. Реактивная мощность как характеристика преобразования составляющих энергии электромагнитного поля // Инженерная физика-1999.-№ 1.-С. 50-59.

3. Казаков O.A. Применение дифференциальных циклических базисов, порождаемых периодическими функциями напряжения и тока, для ортогонального разложения полной мощности // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. - 2000. - № 7. - С. 71 - 76.

4. Казаков O.A. Лагранжевы структуры электромагнитного поля // Инженерная физика - 2000,- N 4. - С. 23 - 43.

5. Казаков O.A. Алгебраический метод структурной идентификации динамических моделей системы "источник - нагрузка" на классе СГ-гладких аппроксимирующих скалярных и векторных функций входа и выхода // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление. Вып. 2 (29). Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, - 2005. - С. 109 - 117.

6. Казаков O.A. Структурная идентификация динамических моделей системы "источник-нагрузка" на классе гладких функций, аппроксимирующих дискретные сигналы входа и выхода // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. -2005. -№ 11.-С. 25-31.

7. Казаков O.A. Структурная идентификация линейных динамических моделей электромагнитных систем и их связь с разложением полной мощности // Измерительная техника. - 2006. - № 6. - С. 26 - 29.

8. Казаков O.A. Применение сглаживающих сплайнов и быстрого преобразования Фурье для построения периодических непрерывных аппроксимаций дискретных сигналов // Измерительная техника. - 2006. - № 7. - С. 26 -29.

9. Казаков O.A. Общие принципы построения линейного пространства моделей при идентификации динамических систем на вектор-функциях входа и выхода // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. -2007,-№2.-С. 24-27.

Ю.Казаков O.A. Использование линейных операторов для построения линейного пространства моделей при идентификации динамических систем на вектор-функциях входа и выхода // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. - 2007. - № 7. - С. 27 - 30.

П.Казаков O.A. Использование операторов, генерирующих симметричные составляющие, при построении линейного пространства моделей для идентификации динамических систем на вектор-функциях входа и выхо-

да // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. - 2007. -№9.-С. 21-24.

12.Казаков O.A. Ортогональные проекторы и метод симметричных составляющих для многофазных электромагнитных систем // Измерительная техника. - 2009. - № 1. - С. 26 - 29.

13.Казаков O.A., Фарнасов Г.А., Душин А.Н. К расчету электрических параметров сильноточной дуги сталеплавильной печи // Электротехника, 1982, N4. с. 61-63.

Монография:

И.Казакова O.A. Мультиоператорный метод построения математических моделей и связанных с ними замкнутых систем билинейных форм - М.: «ЯНУС-К», 2010,- 96 С.

Статьи в других периодических изданиях, сборниках научных трудов, трудах конференций:

15. Казаков O.A. Структурная идентификация динамических объектов на классе интерполяционных многочленов / О. А. Казаков // Управление и проектирование на базе интеллектуальных технологий. Сборник научных трудов. Межвузовский- М.: МГИРЭА. 1999. ISBN 5-7339-0196-9. с. 66 -72.

16. Казаков O.A. Лагранжевы структуры электромагнитного поля в некоторых задачах радиофизики // Физика радиоволн: Труды Всероссийской научной конференции Томск: Изд-во Том. ун-та, 2002. ISBN 5-7511-1549-Х. с. VI-33-VI-36.

П.Казаков O.A. Алгебраический метод структурной идентификации динамических моделей системы «источник-нагрузка» на классе С гладких аппроксимирующих функций // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: Сборник научных трудов, вып. 6 / Под ред. Л.А. Уваровой. - М.: Изд-во «Янус-К», 2003. ISBN 5-8037-0122-Х. с. 198 - 204.

18. Казаков O.A. Построение периодических и апериодических непрерывных аппроксимирующих функций дискретных сигналов с помощью сглаживающих сплайнов и БПФ // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: Сборник научных трудов, вып. 6 / Под ред. Л.А. Уваровой. - М.: Изд-во «Янус-К», 2003. ISBN 5-8037-0122-Х. с. 198 - 204.

19. Казаков O.A. Применение Лагранжевых структур для исследования электромагнитных полей в задаче об отражении плоской волны от плоской поверхности раздела двух диэлектрических сред // VI научная конференция МГТУ «Станкин» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» - ИММ РАН». Сборник докладов. М.: «Янус-К». 2003. ISBN 5-8037-0131-9. с. 29 - 32.

20. Казаков O.A. Лагранжевы структуры в задаче об отражении плоской волны от поверхности раздела двух диэлектрических сред // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-

технологических систем: Сборник научных трудов, вып. 7 / Под ред. ДА. Уваровой. - М.: Изд-во «Янус-К», 2004. ISBN 5-8037-0175-0. с. 82 - 89.

21.Казаков O.A. Структурная идентификация дифференциальных моделей на классе С™-гладких вектор-функций, аппроксимирующих дискретные сигналы входа и выхода. // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: Ежегодный сборник научных трудов, вып. 9 / Под ред. ДА. Уваровой. - М.: «Янус-К», 2006. ISBN 5-8037-0319-2. с. 47 - 56.

22.Казаков O.A. Структурно-параметрическая идентификация динамических моделей систем на классе С-гладких аппроксимирующих скалярных и векторных функций входа и выхода // Третья международная конференция по проблемам управления (20 - 22 июня 2006 года): Пленарные доклады и избранные труды. - М.: Институт проблем управления, 2006. ISBN 5-201-14989-8. с. 281 -288.

23.Казаков O.A. О реактивной мощности и лагранжевых структурах электромагнитного поля // Труды Российского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи имени A.C. Попова / РНТОРЭС им.

A.C. Попова, Ин-т радиотехники и электроники РАН, Рос. Секция IEEE. -M., 2007. (Акустооптические и радиолокационные методы измерений и обработки информации; вып. 2). ISBN 978-5-93907-031-7. с. 166 - 170.

24. Казаков O.A. Структурно-параметрическая идентификация динамических моделей систем на классе С^-гладких аппроксимирующих скалярных и векторных функций входа и выхода // Труды VI Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SIGPRO'07/ Москва, 29 января - 2 февраля 2007 г. Институт проблем управления им.

B.А. Трапезникова РАН. М.: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2007. ISBN 5-201-14992-8. с. 116 - 142.

25.Елисеева Ю.В., Казаков O.A., Уварова Л.А., Федирко В.А., Щетинин Е.Ю. Математическое моделирование процессов, явлений и структур в сложных системах. // Вестник МГТУ «Станкин» № 1, 2008. с. 44 - 59.

26.Казаков O.A. Замкнутые системы билинейных характеристик // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: Ежегодный сборник научных трудов, вып. 12 / Под ред. Л.А. Уваровой. Том 1. - М.: «Янус-К», 2009. ISBN 978-5-80370452-2. с. 102-124.

27. O.A. Kazakov. Structural identification for electromagnetic system linear dynamic models and the relation to total power resolution // Measurement techniques. V. 49. N. 6. 2006. p. 562 - 566.

28.O.A. Kazakov. Use of smoothing splines and rapid fourier transformation for constructing periodic differentiable approximations of discrete signals. // Measurement techniques. V. 49. N. 7. 2006. p. 666 - 671.

29.O.A. Kazakov. Orthogonal projectors and he method of symmetrical components for multiphase electromagnetic systems // Measurement techniques. V. 52. Issue 1 (2009). p. 65-75.

Подписано в печать 14.10.2010

Формат 60х90'/|б Бумага 80 гр/м2 Гарнитура Times

Объем 2,0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 452

Отпечатано в «ИПД Триальфа», 103305, Москва, Зеленоград, проезд 4807, д. 1., стр. 1

Введение

Глава 1. Замкнутые системы билинейных форм и связанные с ними уравнения математических моделей

1.1. Разложение вектора по ортонормированной системе, порожденной другим вектором, и замкнутые системы билинейных форм

1.2. Замкнутые системы билинейных форм пары векторов (и, у) в случае, когда один из векторов принадлежит линейной оболочке, порожденной другим вектором

1.3. Матричные соотношения, возникающие при взаимном ортогональном проектировании подпространств, порожденных векторами пары (и, у) и системой операторов

1.4. Замкнутые системы билинейных форм пары векторов (и, у) в общем случае

1.5. Некоторые свойства матриц Y"1, U1 и матрицы билинейных форм Р

Глава 2. Мультиоператорные модели

2.1. Линейные свободные мультиоператорные алгебры

2.2. Мультиоператорные линейные пространства, орбиты и аннуляторы

2.3. Мультиоператорные модели, связывающие пару векторов и, у)

2.4. Мультиоператорные уравнения, связывающие пару векторов и, у), принадлежащих конечномерному пространству

2.5. Алгоритмы вычисления матрицы билинейных форм и коэффициентов мультиоператорных уравнений

Глава 3. Мультиоператорные дифференциальные модели (уравнения) на классе скалярных аппроксимирующих функций одной переменной (применение метода Крылова)

3.1. Некоторые вопросы использования мультиоператорной алгебры A{D) для построения дифференциальных мультиоператорных моделей

3.2. Применение сглаживающих сплайнов и БПФ для построения периодических непрерывных аппроксимаций дискретных сигналов

3.3. Мультиоператорные дифференциальные модели для функций входа и выхода, аппроксимируемых тригонометрическими полиномами Фурье

3.4. Оценки размерности базиса Крылова, алгоритмы построения мультиоператорных дифференциальных уравнений и результаты расчетов на примере МРГД-модели дугового разряда переменного тока

Глава 4. Мультиоператорные дифференциальные модели «вход -выход» на классе векторных аппроксимирующих функций одного аргумента

4.1. Общие вопросы

4.2. Построение мультиоператорных моделей с помощью алгебры, порожденной оператором дифференцирования и оператором циклической перестановки компонент вектор-функций

4.3. Ортогональные проекторы и метод симметричных составляющих

Глава 5. О физической интерпретации реактивной мощности

5.1. Представления реактивной мощности в распределенных параметрах электромагнитного поля

5.2. Энергетическое представление реактивной мощности (объемный интеграл)

5.3. Энергетическое представление реактивной мощности (поверхностный интеграл)

5.4. Реактивная мощность — действие объекта

5.5. Лагранжевы структуры электромагнитного поля 236 Заключение 272 Литература 275 Приложение I

Актуальность. В настоящее время методы математического моделирования процессов и систем являются одним из важнейших инструментов в решении различных задач науки и техники, позволяющим с помощью ЭВМ глубоко и в достаточной полноте изучать объекты и явления; проектировать новые технические системы и алгоритмы управления ими.

Первым этапом исследования физических и технических систем методами математического моделирования является построение модели процессов, протекающих в системе. Обычно в качестве моделей используют уравнения, являющиеся математическим представлением известных физических законов. Адекватности добиваются введением в уравнения модели новых слагаемых, учитывающих взаимосвязь различных процессов и/или функциональную зависимость коэффициентов уравнений, отражающую неоднородность, анизотропность или нелинейность физических свойств среды. Физическая интерпретация результатов моделирования при таком подходе заложена в саму его основу.

Если этот подход к построению моделей не оправдан из-за многообразия и сложности процессов, протекающих в системе, или ввиду отсутствия достаточной^ информации (например, о свойствах сред), используют методы идентификации [1-21].

Для анализа процессов и систем наряду с величинами, измеряемыми (при работе этих систем или в результате эксперимента) или вычисляемыми (являющимися решениями уравнений модели процесса), используют сформированные из них билинейные формы процесса (мощности, составляющие энергии). Иногда билинейные формы оказываются предпочтительнее либо в связи с прикладными вопросами и задачами функционирующей или исследуемой системы (например, для энергетических систем), либо из-за1 более ясных образов, порождаемых современным языком физики, чаще оперирующим энергетическими понятиями, чем силовыми.

В природе и технике существует широкий класс физических и технических систем, которые можно рассматривать как два взаимосвязанных преобразователя энергии из одного вида в другой — «источник» и «нагрузку» (потребитель энергии). и

Рис. 1. Блок-схема системы «источник - нагрузка»

В представлении системы с сосредоточенными параметрами характеристиками процесса являются вектор-функции (от времени I) входа нагрузки и = и(£) (выхода источника) и выхода нагрузки у = у(/) (входа источника), компоненты которых имеют обычно смысл обобщенных сил (интенсивные переменные) и, соответственно, обобщенных потоков (экстенсивные переменные). Для механических систем — сил и скоростей или моментов сил и угловых скоростей. Для электромагнитных систем переменного тока — напряжений и токов. (Такой подход молено использовать и при исследовании экономических, социальных и других систем.)

Уравнение, связывающее вектор-функции входа и и выхода у, как правило, рассматривается как модель «нагрузки» и является некоторым приближением физического закона, например, для электромагнитных систем его можно считать обобщенным законом Ома [22,23].

Адекватность этой модели физическим процессам, протекающим в системе, достигается как выбором подходящей структуры уравнения (структурная идентификация), т.е. выбором системы операторов (линейных, нелинейных, дифференциальных, интегральных и т.п.), действующих на вектор-функции входа и и выхода у, так и подбором значений параметров (параметрическая идентификация).

Для анализа энергетических процессов в таких системах используют мгновенные или; усредненные (на характерном интервале То времени) энергетические характеристики: билинейные по обобщенным силам и потокам (мощности) и квадратичные (энергии).

При анализе, электромагнитных« систем в качестве характеристик процесса используют, понятия активной мощности и среднеквадратичных (действующих) значений напряжений и токов и, даже когда это явно не формулируется, полагают, что компоненты iikif) е Е, y^t) е Е вектор-функций напряжения и тока (обычно периодические) принадлежат линейному функциональному пространству Е с ./^-метрикой (евклидовой или унитарной) [24-85] . Нормы векторов ||и|| и.||у|| (среднеквадратичные значения напряжения и тока) индуцированы этой метрикой, а скалярное произведение (билинейная форма)

Р = (и, у) = — Г'° u(t)y(t)dt С — символ сопряжения) вектор-функций и, у Т0 J'o-7o равно среднему (за период Г0) значению потока электромагнитной энергии от источника к нагрузке, которое называют активной мощностью.

Проблема поиска соотношения, связывающего энергетические характеристики такой системы, была поставлена' электротехниками для электромагнитных систем переменного тока как проблема получения ортогонального разложения полной мощности

S2 = Р2 + Q2, (1) являющегося в настоящее время основным соотношением для анализа режимов работы электроэнергетических систем и формирования критериев качества передачи электромагнитной энергии от производителя («источника») к потребителю («нагрузке»). Оно следует из ортогонального разложения тока

У = У« + Уг, уй = (<U, y>/||u||2)u, (2) где S = ||и||-||у|| — полная мощность, в зарубежной литературе кажущаяся« (apparent power); Р = (и, у) — активная мощность; Q = ||u||-|jyr|( — реактивная мощ8 ность (иногда называемая неактивной); уа — вектор-функция активных токов; yr= ortu У = У ~ У а — вектор-функция реактивных (неактивных) токов. Повышение качества передаваемой энергии связывают с компенсацией реактивной мощности Q (применением пассивных и/или активных фильтров).

Когда векгор-функцию реактивного тока в самом общем виде определяют выражением уг = у - уа, равенство (2) нельзя рассматривать в качестве уравнения математической модели системы (обобщенного закона Ома). Соответственно, ортогональное разложение полной мощности (1) нельзя рассматривать в качестве замкнутого соотношения, когда реактивную мощность определяют выражением Q = >/s2 -Р2.

Несмотря на многочисленные попытки и оригинальные подходы электротехников к решению задачи построения ортогонального разложения полной мощности в общем случае (Iliovici М., Budeanu C.I., Emde F., Fortescue C.L,, Fryze S., Лурье JLC., Пухов Г.Е., Маевский O.A., Shepherd W., Zakikhani P., Sharon D., Shepherd W., Zand P., Küsters N.L. - Moore M.J.M., Novomiejski Z., Демирчян K.C., Czaniecki L.S., Новосельцев A.B., Стрелков M.T., Зиновьев Г.С., Emanuel A.E., Akagi H., Czamecki L.S., Depenbrock M., Агунов M.B. и др.) [24— 85], в настоящее время эта задача математически корректно решена только для однофазных систем с синусоидальными функциями напряжения и тока.

Для таких систем различными авторами [26, 28, 30, 40, 43, 48] с помощью линейных операторов D (фазового сдвига на угол я/2, дифференцирования или интегрирования) были получены представления реактивного тока yr=«Du, y)/||Du||2)Du и реактивной мощности Q = <u, Dy) = -(Du, у), подстановка которых в выражения (2) и (1) позволяет рассматривать их как замкнутые соотношения.

Разложение тока (2) по ортонормированной' системе функций {u/||uj|, Z)u/||Du||} — как уравнение математической модели системы, а разложение полной мощности (1) (в связи с тем, что <£>и, и) = 0 и \\Ои\\ = ||и||) — как другую форму равенства Парсеваля

11у1!2 = «и, у)/1|и||)2 + ДОи, у)/|Ри||)2. (3)

Ортонормированная система базисных векторов, для> которой справедливо равенство Парсеваля, называется замкнутой (по крайней мере, для бесконечномерных гильбертовых пространств [100]). По аналогии равенство Парсеваля (3) и связанное с ним разложение полной мощности (1) можно считать замкнутыми энергетическими соотношениями.

Но в настоящее время чаще используются электромагнитные системы переменного тока с нелинейными устройствами («источником» и/или «нагрузкой») и, в связи с этим, с несинусоидальными функциями напряжения и тока. Повышение же эффективности их работы непродуктивно без детального анализа энергетических характеристик процесса.

Основным подходом к решению проблемы ортогонального разложения полной мощности в общем случае были попытки детализировать разложение полной (реактивной) мощности, т.е. пополнить базис, порождаемый вектором и, с помощью какого-либо набора операторов. Но, как выше уже было отмечено, замкнутые модели и соответствующие им замкнутые разложения полной мощности получены не были. Наиболее продуктивным из таких детализаций, по мнению автора, было использование степеней оператора дифференцирования предложенное Г.С. Зиновьевым.

Для того чтобы такая детализация была востребована при решении прикладных задач (например, создание новых и повышение эффективности работы существующих электромагнитных систем), выбор операторов должен опираться на достаточно ясную физическую интерпретацию вводимых билинейных форм (составляющих полной мощности).

Активная мощность Р имеет давно известный четкий физически» смысл — мощности диссипации энергии электромагнитного поля или среднего потока энергии от источника к нагрузке (среднего потока вектора Пойнтинга).

Поиск же соответствия реактивной мощности известным, общепринятым физическим характеристикам в основном сводился к оценкам, тем или иным способом, средних потоков энергии в электромагнитных системах между источником энергии и нагрузкой и не привел для несинусоидальных режимов к какой-нибудь общепринятой интерпретации. Поэтому почти с самого появления электромагнитных систем переменного тока (конец XIX века) не прекращается поиск наилучшего (а иногда и «единственно верного») представления реактивной мощности в ортогональном разложении и ее физического смысла.

Вышесказанное определяет актуальность как решения прикладной математической проблемы разложения полной мощности и физической проблемы интерпретации реактивной мощности, так и обобщения этой проблемы, поставленной электротехниками, на любые системы типа «источник - нагрузка». То есть актуальность математически корректного построения системы билинейных форм (мощностей), отражающих энергетические процессы в системе на выбранном интервале времени и в выбранной области пространства, и поиска взаимосвязи этой системы билинейных форм с математическими моделями процессов исследуемой системы.

Цель работы. Разработка теоретических основ построения класса математических моделей (названных в работе мультиоператорными), связывающих пару скалярных или векторных функций входа и выхода системы, и набора билинейных форм (ассоциируемых в физике с мощностями), достаточных для описания энергетического процесса, а также поиск физической интерпретации билинейных форм в случае электромагнитных систем.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются сложные физические и технические системы, а предметом — уравнения математических моделей и билинейные формы.

Методы исследований. В работе используются методы линейной алгебры, теории групп и алгебр, теории функций; численные методы и методы классической электродинамики.

Научная новизна.

1. Разработан новый мультиоператорный метод построения и анализа математических моделей сложных систем и связанных с ними замкнутых систем билинейных форм (мощностей).

2. Впервые введено понятие замкнутой системы билинейных форм и доказано, что следствием выполнения обобщающего равенство Парсеваля условия замыкания системы (матрицы) билинейных форм является существование линейного пространства математических моделей. Получены оценки спектра обобщенных сингулярных чисел матрицы билинейных форм. Доказано, что система билинейных форм замкнута, если хотя бы одно из обобщенных сингулярных чисел этой матрицы равно 1.

3. Разработан метод построения дифференциальных моделей (как реализация мультиоператорного метода) для гладких аппроксимаций скалярных и векторных функций входа и выхода.

4. Впервые построена общая теория метода симметричных составляющих, используемого для анализа многофазных электромагнитных и электроэнергетических систем.

5. Разработаны алгоритм поиска базисных уравнений линейного пространства мультиоператорных уравнений моделей и комплекс программ построения дифференциальных моделей для С°°-гладких периодических аппроксимаций скалярных функций входа и выхода.

6. Для периодических функций напряжения (вход) и и тока (выход нагрузки) у, описывающих процессы в электромагнитных системах, и мультиопера-торной алгебры А(П) с образующим оператором дифференцирования О впервые получена корректная физическая интерпретация реактивной мощности — элемента р\2 = (и, £)у) = -фи, у) = рг\ матрицы билинейных форм Р. Показано, что для однородных, изотропных и нейтральных лоренцевых сред плотность реактивной мощности с точностью до 4-дивергенции совпадает с плотностью функции Лагранжа, а реактивная мощность равна значению функционала действия объекта. 7, Показано, что применение плотности реактивной мощности (плотности функции Лагранжа) позволяет полнее анализировать структуру электромагнитного поля в различных задачах электродинамики. В частности, в задаче об отражении монохроматической волны от плоскости раздела двух диэлектрических сред получено обобщение угла Брюстера для произвольного угла поляризации падающей волны.

Практическая значимость. Разработанный метод построения мультиопе-раторных уравнений модели системы и связанных с ними замкнутых систем билинейных форм пары функций может быть использован:

• для идентификации систем;

• для исследования по результатам вычислительного эксперимента математических моделей, построенных из физических законов, проверки их адекватности и классификации решений;

• для анализа энергетических процессов, протекающих в электромагнитных, механических и других сложных системах;

• для построения разностных схем эволюционных задач.

Плотность функции Лагранжа можно использовать для анализа структуры электромагнитного поля, найденного в результате вычислительного эксперимента при решении различных задач электродинамики, радиофизики и оптики. Основные положения, выносимые на защиту.

1. Теоретические основы мультиоператорного метода построения математических моделей и его реализации при построении дифференциальных моделей систем со скалярными и векторными функциями входа- и выхода, являющихся конечными С"0-гладки ми аппроксимациями.

2. Математическое обоснование понятия замкнутой системы билинейных форм. Доказательство того, что следствием выполнения обобщающего равенство Парсеваля условия замыкания системы (матрицы) билинейных форм является существование линейного пространства математических моделей (мультиоператорных уравнений). Результаты исследования спектральных свойств матрицы билинейных форм.

3. Теория метода построения операторных ортогональных проекторов для разложения вектор-функций на симметричные ортогональные составляющие.

4. Алгоритмы поиска базисных уравнений линейного пространства мультиоператорных уравнений и линейного пространства дифференциальных уравнений моделей системы со скалярными и векторными функциями входа и выхода, являющихся конечными С°°-гладкими аппроксимациями.

5. Физические приложения предложенного метода для электромагнитных систем, а именно: физическая интерпретация (локальные представления) реактивной мощности в классической электродинамике и применение плотности реактивной мощности (плотности функции Лагранжа) для анализа структуры электромагнитного поля.

Личный вклад соискателя. Все результаты, изложенные в публикациях, получены автором самостоятельно.

Связь работы с научными проектами. Работа была выполнена при поддержке РФФИ (грант 07-07-00213а).

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на 15 научных конференциях, конгрессах и семинарах: Всероссийский Электротехнический Конгресс, ВЭЛК-99 (Москва, 1999); V International congress on mathematical modeling (Dubna, 2002); Всероссийская научная конференция «Физика радиоволн» (Томск, 2002); VI научная конференция МГТУ «Станкин» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» - ИММ РАН» (Москва, 2003); Days on Diffraction'2003 International seminar (St.Petersburg, 2003); VI International congress on mathematical modeling (N.Novgorod, 2004); Days on Diffraction'2005 International seminar (St.Petersburg, 2005); 13 международная конференция «Математика, компьютер, образование» (Дубна, 2006); Третья международная конференция по проблемам управления

Москва, 2006); 2-я Международная конференция «Акустооптические и радиолокационные методы измерений и обработки информации» (Суздаль, 2007); VI Международная конференция «Идентификация систем и задачи управления» SIGPRO'07 (Москва, 2007); 15 международная конференция «Математика, компьютер, образование» (Дубна, 2008); семинар, посвященный юбилею В.М. Дубовика «От теоретической физики до технологии» (ЛТФ ОИЯИ, Дубна, 2008); Международная научная конференция «Моделирование нелинейных процессов и систем» (Москва, 2008); 16 международная конференция «Математика, компьютер, образование» (Путцино, 2009); межкафедральный семинар по математическому моделированию РУДН (РУДН, Москва, 2009); Mathematical Modeling and Computational Physics (Dubria, 2009).

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав и заключения. Общий объем составляет 306 страниц. Диссертация содержит 30 рисунков, 7 таблиц, список литературы из 230 наименований - и два приложения.

Основные результаты предлагаемой диссертации

1. Разработаны основы теории мультиоператорного метода построения линейного пространства математических моделей, связывающих вектор-функции входа и и выхода у систем, изоморфного пересечению орбит свободной линейной (мультиоператорной) алгебры А(Ог) с конечным множеством Ог образующих операторов, порожденных вектор-функциями и и у.

2. Введено и алгебраически обосновано понятие замкнутой системы билинейных форм вектор-функций входа и и выхода у и интерпретируемых для систем «источник - нагрузка» как энергетические характеристики процесса (мощности). Доказано, что следствием выполнения обобщающего равенство Парсеваля условия замыкания системы (матрицы) билинейных форм является существование линейного пространства математических моделей (мультиоператорных уравнений).

3. Получены оценки спектра обобщенных сингулярных чисел матрицы билинейных форм. Доказано, что система билинейных форм замкнута, если хотя бы одно из обобщенных сингулярных чисел этой матрицы равно 1.

4. Разработана реализация мультиоператорного метода построения дифференциальных моделей и связанных с ними замкнутых систем билинейных форм для скалярных и векторных функций входа и выхода одного аргумента, являющихся С°°-гладкими периодическими аппроксимациями, и некоторых мультиоператорных алгебр, одним из образующих которых является оператор дифференцирования.

5. Разработаны теоретические основы метода симметричных составляющих, т.е. разложения с помощью операторных ортогональных проекторов (операторных матриц) вектор-функций на ортогональные составляющие, компоненты которых являются результатами преобразования предыдущей с помощью одного из элементов конечной мультипликативной циклической группы линейных операторов.

6. Предложен метод прореживания дискретных сигналов с помощью сглаживающих сплайнов и БПФ для получения периодических С°°-гладких аппроксимирующих функций. Получены функции частотных окон линейного сплайна, эрмитового и локального сплайнов третьего порядка.

7. Разработан алгоритм вычисления матрицы билинейных форм и коэффициентов базисных уравнений линейного пространства мультиоператорных уравнений.

8. Разработан комплекс программ, реализующий этот алгоритм для построения дифференциальных моделей, связывающих С^-гладкие периодические аппроксимации функций входа и выхода с использованием сглаживающих сплайнов.

9. Для периодических функций напряжения (вход) и и тока (выход нагрузки) у, описывающих процессы в электромагнитных системах, и мультиопера-торной алгебры А(р) с образующим оператором дифференцирования В получена физическая интерпретация реактивной мощности — элемента Р\2 = (и, £>у) = -(£>и, у) = р2\ матрицы билинейных форм Р, а именно: а. Получены два локальных (в распределенных параметрах электромагнитного поля) представления реактивной мощности, позволяющие считать реактивную мощность мерой неуравновешенности преобразования одного вида энергии в другой. b. Из уравнений Максвелла, в дополнение к уравнению Умова-Пойнтинга, выведено новое уравнение дивергентного вида, составляющие которого имеют энергетическую интерпретацию (уравнение баланса «реактивной энергии»); c. Показано, что для однородных изотропных сред с линейными электромагнитными свойствами плотность реактивной мощности с точностью до 4-дивергенции совпадает с плотностью функции Лагранжа, а реактивная мощность равна значению функционала действия объекта (вариационная задача для этой функции Лагранжа приводит к волновому уравнению для напряженности электрического поля);

1 Установлено, что плотность функции Лагранжа позволяет найти набор опорных точек в информационном множестве, позволяющих полнее анализировать структуру электромагнитного поля (лагранжевы структуры) в различных задачах электродинамики. В частности, в задаче об отражении монохроматической волны от плоскости раздела двух диэлектрических сред получен особый угол вырождения лагранжевой структуры поля, являющийся обобщением угла Брюстера для произвольного угла поляризации падающей волны. Найдены еще три особых угла, связанные с особыми точками зависимости лагранжиана от угла падения как от параметра, позволяющих более тонко подразделить область решения этой задачи на классы.

Заключение

Для анализа процессов и систем наряду с величинами, измеряемыми (при работе этих систем или в результате эксперимента) или вычисляемыми (являющимися решениями уравнений модели процесса), используют сформированные из них билинейные формы процесса (мощности, составляющие энергии). Иногда билинейные формы оказываются предпочтительнее либо из-за прикладных вопросов и задач функционирующей или исследуемой системы (например, для энергетических систем), либо из-за более ясных образов, порождаемых современным языком физики, чаще оперирующим энергетическими понятиями, чем силовыми.

Поэтому математические вопросы, поставленные и решенные в предлагаемой работе, имеют не только теоретическое, но и практическое значение, например, в задачах идентификации систем, для анализа решений задач моделирования.

1. Ли Р. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление. -М.: Наука, 1966.

2. Ван Трис. Теория обнаружения оценок и модуляции. — М.: Советское радио, 1972.

3. Сейдж Э.П., Мелса Дж.Л. Идентификации систем. М.: Наука, 1974. 284 с.

4. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975683 с.

5. Современные методы идентификации систем./Под ред. П. Эйкхоффа.- М.: Мир, 1983.-400 с.

6. Гроп Д. Методы идентификации систем М.: Мир, 1979 - 302 с.

7. Дейч A.M. Методы идентификации динамических объектов. М.: Энергия, 1979. 240 с.

8. Салыга В.И., Карабутов H.H. Идентификация и управление процессами в черной металлургии. М.: Металлургия, 1986. 192 с.

9. Райбман Н.С. Что такое идентификация? М.: Наука, 1970. 119 с.

10. Дисперсионная идентификация. / Под ред. Н.С. Райбмана. М.: Наука, 1981. 336 с.

11. Wellstead P.E. Introduction to Physical System Modeling. Academic Press. N.Y. 1979.

12. Walter E.Identifiability of State Space Models. Springer-Verlag. N.Y. 1982.

13. Перельман И. И. Оперативная идентификация объектов управления. М.: Энергоиздат, 1982. 272 с.

14. Острем К., Виттенмарк Б. Системы управления с ЭВМ М.: Мир, 1987 -480 с.

15. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991.432 с.

16. Ljung L. System Identification Theory for the User. Prentice Hall, Upper Saddle River, N. J. 2nd edition, 1999. 499 p.

17. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. М.: Наука,1995. 336 с.

18. Карабутов H. Н. Адаптивная идентификация систем: информационный синтез. КомКнига/URSS, 2006. 384 с.

19. Карабутов H. Н. Структурная идентификация систем: анализ динамических структур. М.: МГИУ, 2008. 160 с.

20. Карабутов H.H. Структурная идентификация систем: анализ информационных портретов. М.: УРСС, 2009. 176 с.

21. Кирпанев A.B., Лавров В.Я. Электромагнитное поле: Теория идентификации и ее применение. М.: «Вузовская книга», 2002. 280 с.

22. Нетушил A.B. Обобщение закона Ома воль-амперными операторами // Электричество. 1996. № 8. с. 73.

23. Бутковский А.Г. Обобщение закона Ома воль-амперными операторами (К дискуссии по поводу статьи Нетушила A.B. в журнале Электричество.1996. № 8) // Электричество. 1997. № 4. с. 69 71.

24. Stanley W. Jr. Phenomena of retardation in the induction coil // American Institute of Electrical Engineers, Vol. V, No. 4, 1888, pp. 97-114.

25. Shallenberger O.B. The distribution of electricity by alternative current // electrical world, March 3, 1888, pp. 114-115.

26. Steinmetz C.P. Theory of alternating current phenomena, McGraw, New York, 1897.

27. Houston E.J., Kennelly A.E. On the causes producing phase differences in AC // Electrical World, 1895, p. 651.

28. Iliovici M. Definition et mesure de la puissance et de l'energie reactives // Bulletin de la Soc. Française des Electriciens, 1925, pp. 931-956.

29. Budeanu C.I. Puissances reactives et fictives. Instytut Romain de l'Energie, Bucharest, 1927.

30. Emde F. Entohmung // Elektrotechnische Zeitschrift, April 1930, Vol. 15, p. 533.

31. Knowlton A.E. Reactive power concepts // AIEE Vol. 52,1933, p. 250.

32. Fortescue C.L. Power, power factor and reactive volt amperes I I Electrical Engineer, 1933, p. 319.

33. Fryze S. Wirk-, Blind-, und Scheinleistung in Elektrischen Stromkreisen mit nicht-sinusoidalen Verlauf von Strom und Spannung // Elektrotechnische Zeitschrift, Vol. 53, 1932. No. 25, pp. 596-599, No. 26, pp. 625-627, No. 27, pp. 700-703.

34. Лурье Л.С. Кажущаяся мощность трехфазной системы // Электричество. 1951. № I.e. 47-53.

35. Телешев Б.А. Необходимые уточнения терминологии в вопросе измерения реактивной мощности // Электричество. 1952. № 11. с. 72-74.

36. Пухов Г.Е. Теория мощности системы периодических многофазных токов // Электричество. 1953. № 1. с. 56.

37. Shepherd W., Zakikhani P. Suggested definition of reactive power for nonsinu-soidal systems // Proc. ГЕЕ, Vol. 119,1972, No. 9, pp. 1361-1362.

38. Sharon D. Reactive power definitions and power factor improvement in nonlinear systems // Proc. ГЕЕ, Vol. 120,1973, No. 6, pp. 704-706.

39. Пенфилд П., Спенс P., Дюинкер С. Энергетическая теория электрических цепей-М.: Энергия. 1974. 152 с.

40. Маевский O.A. Энергетические показатели вентильных преобразователей-М.: Энергия, 1978. 320 с.

41. Сидорович A.M. О мгновенной комплексной мощности систем переменного тока// Электричество. 1979. № 11. с. 12 16.

42. Shepherd W., Zand P., Energy flow and power factor in nonsinusoidal circuits. Cambridge Univ. Press, 1979, p. 191.

43. Küsters N.L., Moore M.J.M. On the definition of the reactive power under non-sinusoidal conditions // IEEE Trans, on Power Apparatus and Systems. Vol. 99, No. 5, 1980, pp. 1845-1850.

44. Page C.I. Reactive power in nonsinusoidal situations // IEEE Trans, on Instrumentation and Measurements. Vol. 29,1980, pp. 420-426.

45. Filipski P. A new approach to reactive current and reactive power measurement in nonsinusoidal systems // IEEE Trans, on Instrumentation and Measurement, Vol. 29, Dec. 1980, pp.423-426.

46. Солодухо Я.Ю. Состояние и перспективы внедрения в электропривод статических компенсаторов реактивной мощности. Реактивная мощность в сетях с несинусоидальными токами и статические устройства для ее компенсации-М.: Информэлектро, 1981. 88 с.

47. Novomiejski Z. Generalized theory of electric power // Arch. 1. Electrotechnik. Vol. 63. 1981. pp. 177- 182.

48. Кадомский Д.Е. Интегральное определение реактивной мощности в нелинейных цепях / Проблемы нелинейной электротехники, ч. 1- Киев: ИЭД АН УССР, 1981. с. 124 128. '

49. Кадомский Д.Е. Активная и реактивная мощности — характеристики средних значений работы и энергии периодического электромагнитного поля в элементах цепей // Электричество. 1987. № 7. с. 35 43.

50. Демирчян К.С. Реактивная или обменная мощности? // Известия АН СССР. Сер. Энергетика и транспорт. 1984. № 2. с. 66-72.

51. Савиновский Ю.А., Стратонов A.B. Некоторые противоречия теории мощности. //Изв. вузов. Энергетика. 1984. № 10. с. 58 60.

52. Жарков Ф.П. Об одном способе определения реактивной мощности // Электричество. 1984. № 2. с. 73-81.

53. Жежеленко И.В. Саенко Ю.Л. О методах расчета реактивной мощности при несинусоидальных режимах // Промышленная энергетика. 1985. № 12. с. 40-41.1. N.

54. Czamecki L.S. Considerations on the reactive power in nonsinusoidal situations // IEEE Trans, on Instrumentation and Measurements. Vol. 34, 1985. No. 3, pp 399-404.

55. Новосельцев A.B., Стрелков M.T. Определение составляющих полной мощности в однофазных электрических цепях на основе интегрального, спектрального и статистического методов. // Препринт № 459 Киев: ИЭД АН УССР, 1986. 58 с.

56. Новосельцев А.В., Стрелков М.Т. Определение составляющих полной мощности в однофазных электрических цепях на основе классического метода и метода гипотетических составляющих. // Препринт № 460.- Киев: ИЭД АН УССР, 1986. 62 с.

57. Новосельцев А.В., Стрелков М.Т. Метод мгновенных мощностей и составляющие полной мощности в трехфазных электрических цепях. // Препринт № 464,- Киев: ИЭД АН УССР, 1986. 58 с.

58. Новосельцев А.В., Стрелков М.Т. Метод унитарного оператора в теории мощности электрических цепей. // Препринт № 497- Киев: ИЭД АН УССР, 1987. 52 с.

59. Баланс энергий в электрических цепях / Тонкаль А.Е., Новосельцев А.В., Денисюк С.П. и др. АН Украины. Ин-т проблем энергосбережения Киев: Наукова думка, 1992. 312 с.

60. Тонкаль В.Е., Новосельцев А.В., Стрелков М.Т. Применение метода сопряженных функций в теории электрических цепей // Электричество. 1993. № 11. с. 58-71.

61. Enslin J.H.R., van Wyk J.D. Measurement and compensation of fictitious power under nonsinusoidal voltage and current conditions // IEEE Trans, on Instrumentation and Measurements. Vol. 37, 1988. No. 4, pp. 403-408.

62. Enslin J.H.R., van Wyk J.D. A new control philosophy for power electronic converters as fictitious power compensators // IEEE Trans, on Power Electronics. Vol. 5, 1990. No. 1, pp. 88-97. Discussion, Vol. 5, 1990. No. 4, pp. 503-504.

63. Беркович Е.И. К определению понятия мощности в нелинейных цепях // Электричество. 1989. № 1. с. 61 64.

64. Зиновьев Г.С. Прямые методы расчета энергетических показателей вентильных преобразователей Новосибирск: Изд-во Новосибирского университета, 1990. 219 с.

65. Зиновьев Г.С. Проблемы энергооптимизации преобразовательных систем. / Научный вестник НГТУ, 1995. Вып. 1. с. 95 106.

66. Emanuel А.Е. Power in Nonsinusoidal Situations a Review of Definitions and Physical Meaning // ШЕЕ Transactions on Power Delivery, Vol. 5, 1990. No. 3, pp. 1377 297

67. Emanuel A.E. Poynting Vector and the Physical Meaning of Nonactive Power // IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, Vol. 54, 2005. No. 4, pp. 293 297

68. Демирчян К.С. Реактивная мощность на случай несинусоидальных функций. Ортомощность //Изв. РАН, Энергетика. 1992. № 1. с. 15-38.

69. Akagi Н., Nabae A. The p-q theory in three-phase systems under non-sinusoidul conditions // Europ. Trans, on Electrical Power, ETEP, Vol. 3, No. 1, January/February 1993, pp. 27-31.

70. Watanabe E.H., Stephan R.M., Aredes M. New Concepts of Instantaneous Active Power in Electrical Systems with Generic Loads" // IEEE Transaction on Power Delivery, Vol. 8, No. 2,1993. pp. 697-703.

71. Akagi H. Instantaneous Active and Reactive Power Theory and Applications. IEEE Computer Society Press, 2007. ISBN-13: 9780470118931. ISBN-10: 0470118938.400 р.

72. Willems J.L. A new interpretation of the Akagi-Nabae power components of nonsinusoidal three-phase situations // IEEE Trans, on Instrumentation and Measurements. Vol.41,1992. No. 4, pp. 523-527.

73. Willems J.L., Ghijselen J.A., Emanuel A.E. The apparent power concept and the IEEE Standard 1459-2000 // IEEE Trans, on Power Delivery, Vol. 20, 2005, No. 2, pp. 876-884.

74. Czamecki L.S. Physical Reasons of currents rrns value increase in power systems with nonsinusoidal voltage. // IEEE Trans, on Power Delivery, Vol. 8, No. 1,1993, pp. 347-354.

75. Czarnecki L. Comparison of instantaneous reactive power p-q theory with theory of the current's physical components // Electrical Engineering (Archiv fur Elektrotechnik). Volume 85, Number 1 / February, 2003. pp. 21-28.

76. Czarnecki L.S. Instantaneous reactive power p-q theory and power properties of three-phase systems // IEEE Transactions on Power Delivery. Vol. 21, 2006. No. l,pp. 362-367.

77. Depenbrock M. The FBD-method, a generally applicable tool for analyzing power relations // IEEE Trans, on Power Systems, Vol. 8, 1993. No. 2, pp 381387.

78. Peng F.Z., Lai J.S. Generalized Instantaneous Reactive Power Theory for Three Phase Power Systems // IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement. Vol. 45,1996. No. 1, pp. 293 297.

79. Агунов M.B. Энергетические процессы в электрических цепях с несинусоидальными режимами и их эффективность Кишинев-Тольятти: 1997. 84 с.

80. Агунов М.В., АгуновА.В. Об энергетических соотношениях в электрических цепях с несинусоидальными режимами // Электричество. 2005. № 4. с. 53-56.

81. Лохов С.П. Энергетические составляющие мощности вентильных преобразователей. Однофазные цепи, ч.1-Челябинск: ЮУрГУ, 1999. 106 с.

82. Лохов С.П. Энергетические составляющие мощности вентильных преобразователей. Многофазные цепи, ч.2.- Челябинск: ЮУрГУ, 1999. 123 с.

83. Бутырин П.А., Шатунова О.А. Оценки интенсивности и качества электромагнитных процессов по площадям и длинам их траекторий // Электричество. 2001. № 10. с. 50-60.

84. Хусаинов Ш.Н. Мощностные характеристики несинусоидальных режимов // Электричество. 2005. № 9. с. 63-70.

85. Беллман Р. Введение в теорию матриц М.: Мир, 1969. 367 с.

86. Воеводин В.В. Линейная алгебра М.: Наука, 1980. 401 с.

87. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления М.: Наука, 1984. 320 с.

88. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц М.: Наука, 1967. 576 с.

89. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1966. 271 с.

90. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрияМ.: Наука, 1999. 528 с.

91. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М.: МГУ, 1980. 304 с.

92. Ланкастер П. Теория матриц М.: Наука, 1978. 280 с.

93. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре М.: Наука, 1984. 416 с.

94. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры М.: Наука, 1970. 400 с.

95. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения М.: Мир, 1980. 454 с.

96. Халмош П. Конечномерные векторные пространства- М.: Физматгиз, 1963.264 с.

97. Roman S. Advanced linear algebra. Springer. 2008. 522 p.

98. Vujicic M. Linear algebra thoroughly explained. Springer. Berlin Heidelberg. 2008. ISBN 978-3-540-74637-9. 288 p.

99. Колмогоров A.H., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа-М.: Наука, 1972. 496 с.

100. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа.- М,-Л.: Гос. Изд-во Технико-теоретической литературы, 1951. 360 с.

101. Лукашенко Т.П. Системы разложения подобные ортогональным // Фундаментальная и прикладная математика. 1997. Т. 3. № 2. с. 487 517.

102. Лукашенко Т.П. О свойствах систем разложения подобных ортогональным // Известия РАН. Серия математ. 1998. Т. 62. № 5. с. 188 206.

103. Лукашенко Т.П. Об интеграле Римана-Стилтьеса и равенстве Парсеваля // Вестник Моск. Ун-та. Матем. Механ. 2002. № 4. с. 18 23.

104. Лукашенко Т.П. Об интегралах Стилтьеса и равенстве Парсеваля для кратных тригонометрических рядов // Известия РАН. Серия математ. 2005. Т. 69. №5. с. 149-168. Юб.Кострикин А.И. Введение в алгебру-М.: Наука, 1977. 496 с.

105. Ленг С. Алгебра.-М.: Мир, 1968. 575 с.

106. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра.- М.: Наука, 1979. 624 с.

107. Кон П. Универсальная алгебра-М.: Мир, 1968. 400 с.

108. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре М.: Наука, 1973. 400 с. Ш.Курош А.Г. Теория групп-М.: Наука, 1967. 648 с.

109. Ляпин Е.С. Полугруппы М.: Гос. Изд-во Физико-математической Литературы, 1960. 592 с.

110. Лаллеман Ж. Полугруппы и комбинаторные приложения М.: Мир, 1985. 440 с.

111. Курош А.Г. Мультиоператорные кольца и алгебры // УМН, 1969, т. 24, вып. 1 (145), с. 3-15.

112. Higgins P.J. Groups with multiple operators, Proc. London Math. Soc. 6. 1956. pp. 366-416.

113. Толстых А.И. Мультиоператорные схемы произвольного порядка, использующие нецентрированные компактные аппроксимации //Докл. РАН. 1999. Т.366, № 3. с.319 322.

114. Липавский М.В., Толстых А.И. Мультиоператорные компактные схемы 5-го и 7-го порядков // ЖВМ и МФ, 2003, т. 43, № 7. с. 1018 10.

115. Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. Том 1- М.: Изд-во Иностранная литература, 1963. 373 с.

116. Каш Ф. Модули и кольца-М.: Мир, 1981. 368 с.

117. Фейс К. Алгебра, кольца модули и категории. Том 1.-М.: Мир, 1977. 688 с.

118. Крылов А.Н. О численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются, частоты колебаний материальных систем // Известия Акад. Наук СССР, сер. физ.-мат. 1931, т. УП, с. 491-539.

119. Lanczos С. An iteration method for the solution of the eigenvalue problem of linear differential and integral operators // Journal of Research of the National Bureau of Standards, 45 (1950), pp. 255-282.

120. Arnoldi W.E. The principle of minimized iteration in the solution of the matrix eigenvalue problem // Quart. Appl. Math., 9 (1951), pp. 17-29.

121. Hestenes M.R., Stiefel E. Methods of conjugate gradients for solving linear systems // Journal of Research of the Bureau Standards. 1952, 49, pp. 409-435.

122. Фаддеев Д.К., Фаддеева B.H. Вычислительные методы линейной алгебры.-M.-JL: Физматгиз, 1963. 656 с.

123. Икрамов Х.Д. Несимметричная проблема собственных значений. Численные методы,-М.: Наука, 1991. 240 с.

124. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления М.: Мир, 1999. 548 с.

125. Saad Y. Numerical Methods for Large Eigenvalue Problems. Manchester: Manchester University Press, 1992, 347 p.

126. H.A. van der Vorst Iterative Krylov Methods for Large Linear Systems. Cambridge University Press, Cambridge, New York, and Melbourne, 2003, 221 p.

127. Jea K.C., Young D.M. On the simplification of generalized conjugate-gradient methods for nonsymmetrizable linear systems // Linear Algebra and its Applications. 1983, 52, pp. 399-417.

128. Saad Y., Schultz M.H. Conjugate gradient-like algorithms for solving nonsym-metric linear systems // Mathematics of Computation. 1985, 44, pp. 417-424.

129. Saad Y. Analysis of some Krylov subspace approximations to the matrix exponential operator // SIAM Journal on Numerical Analysis. 1992, 29(1), pp. 208227.

130. Weiss R. Properties of generalized conjugate gradient methods // Numerical Linear Algebra with Applications. 1994, 1, pp. 45-63.

131. Boley D.L. Krylov space methods on state-space control models // Circuits Systems Signal Process. 1994, vol. 13, no. 6, pp. 733-758.

132. Semlyen A. Fundamental concepts of a Krylov subspace power flow methodology // ШЕЕ Transactions on Power Systems. 1996, vol. 11, no. 3, pp. 15281534.

133. Simoncini V., Gallopoulos E. Convergence properties of block GMRES and matrix polynomials // Linear Algebra and its Applications. 1996, 247, pp. 97-119.

134. Hochbruck M., Lubich C. On Krylov subspace approximation to the matrix exponential operator// SIAM Journal of Numerical Analysis. 1997, 34, 1911-1925.

135. Баландин М.Ю., Шурина Э.П. Некоторые оценки эффективности параллельных алгоритмов решения СЛАУ на подпространствах Крылова // Вычислительные технологии. 1998, т. 3, № 1, с. 23-30.

136. Freund R.W. Krylov-subspace methods for reduced-order modeling in circuit simulation // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2000, vol. 123, pp.395-421.

137. Simoncini V. On the convergence of restarted Krylov subspace methods // SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 2000, 22 (2), 430-452.

138. Ernst O.G. Residual-minimizing Krylov subspace methods for stabilized discretizations of convection-diffusion equations // SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 2000, 21, pp. 1079-1101.

139. Trellakis A., Ravaioli U. Computational issues in the simulation of semiconductor quantum wires // Computer Methods in Applied Mechanics Engineering. 2000, 181, pp. 437-449.

140. Вайс P., Подгаецкая И., Хёффнер X., Шонауэр В. Итерационные методы решения систем линейных уравнений от прошлого к будущему // Математическое моделирование. 2001, т. 13, № 2, с. 39-50.

141. Eiermann M., Ernst O.G., Geometric aspects of the theory of Krylov subspace methods //Acta Numérica. 2001,10, pp. 251-312.

142. Schneider M.K., Willsky A.S. Krylov Subspace Estimation // SIAM Journal on Scientific Computing. 2001, vol. 22, no. 5, pp. 1840- 1864.

143. Bai Z. Krylov subspace techniques for reduced-order modeling of large-scale dynamical systems // Applied Numerical Mathematics. 2002, vol.43, no.1-2, pp. 9-44.

144. Golub G.H., Ye Q. An Inverse Free Preconditioned Krylov Subspace Method for Symmetric Generalized Eigenvalue Problems // SIAM Journal on Scientific Computing. 2002, 24, pp. 312-334.

145. Freund R.W. Model reduction methods based on Krylov subspaces // Acta Numérica, May 2003, 12, pp. 267-319.

146. Warsa J.S., Wareing T.A., Morel J.E., McGhee J.M., Lehoucq R.B. Krylov subspace iterations for deterministic k-eigenvalue calculations // Nuclear Science and Engineering. 2004,147, pp. 26-42.

147. Michler C., van Brummelen E.H., de Borst R. An interface Newton-Krylov solver for fluid-structure interaction // International Journal of Numerical Methods Fluids. 2005, 47(10-11), pp. 1189-1195.

148. Biros G., Ghattas O. Parallel Lagrange-Newton-Krylov-Schur methods for PDE-constrained optimization. Part I: the Krylov-Schur solver // SIAM Journal on Scientific Computing. 2005, 27, pp. 687-713.

149. Bouras A., Fraysse V. Inexact matrix-vector products in Krylov methods for solving linear systems: A relaxation strategy // SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 2005, 26, pp. 660-678.

150. Rui P.L., Chen R.S. Implicitly restarted GMRES fast Fourier transform method for electromagnetic scattering // Journal of Electromagnetic Waves and Applications. 2007, vol. 21, no. 7, pp. 973-986.

151. Wang S., de Sturler E., Paulino G., Large-scale Topology Optimization using Preconditioned Krylov Subspace Methods with Recycling // International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2007, 69, pp. 2441-2468.

152. Bellalij M., Saad Y., Sadok H. Analysis of some Krylov subspace methods for normal matrices via approximation theory and convex optimization // Electronic Transactions on Numerical Analysis. 2008, 33, pp. 17-30.

153. Lambers J.V. Enhancement of Krylov subspace spectral methods by block Lanc-zos iteration // Electronic Transactions on Numerical Analysis. 2008, vol. 31, pp. 86-109.

154. Xin Y.F., Rui P.L. Adaptively accelerated GMRES Fast Fourier Transform method for electromagnetic scattering // Progress in Electromagnetics Research, PIER. 2008, 81, pp. 303-314.

155. Ильин В.П. Метод бисопряженных направлений в пространствах Крылова // Сибирский журнал индустриальной математики. 2008, т. И, № 4 (36), с. 47-60.

156. Пупышев В.В. Методы сплайн-функций в проблеме нескольких тел // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 2004. Т. 35., вып. 2. с. 257-347.

157. Бахвалов Н.С. Численные методы-М.: Наука, 1975 631 с.

158. Применение цифровой обработки сигналов. / Под ред. Э.Оппенгейма. М.: Мир, 1980.- 552 с.

159. Голденберг JI.M. и др. Цифровая обработка сигналов: Справочник / JI.M. Голденберг, Б.Д. Матюшкин, М.Н. Поляк. М.: Радио и связь, 1985.-312 с.

160. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов.-М.: Мир, 1978. 848 с.

161. Марпл.-мл. СЛ. Цифровой спектральный анализ и его приложения М.: Мир, 1990. 584 с.

162. Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов М.: Мир,1989. 448с.

163. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций- М.: Наука, 1980 350 с.

164. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. т. 1.-М.: Наука, 1965. 615 е., т. 2-М.: Наука, 1965. 537 с.

165. Желудев В.А. Периодические сплайны и быстрое преобразование Фурье // ЖВМиМФ. 1992. т. 32. № 2. с. 179 198.

166. Желудев В.А. Представление остаточного члена аппроксимации и точные оценки для некоторых локальных сплайнов II Математические заметки.1990, т. 48. №3. с. 54-65

167. Вайнштейн Л.А., Вакман Д.Е. Разделение частот в теории колебаний и волн.-М.: Наука, 1983.- 288 с.

168. Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. М.: Радио и связь, 1986. 544 с.

169. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. М.: Наука, 1970. 704 с.

170. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том III. М.: Наука, 1969. 656 с.

171. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовича и И. Стигана. М.: Наука, 1979. 832 с.

172. Казаков O.A., Фарнасов Г.А., Душин А.Н. К расчету электрических параметров сильноточной дуги сталеплавильной печи // Электротехника, 1982, №4. с. 61-63.

173. Казаков O.A., Фарнасов Г.А. Исследование процессов тепломассопереноса в мощной электрической дуге // Сб. науч. тр. ВНИИЭТО Математическое моделирование и расчет дуговых и сталеплавильных печей М.: Энерго-атомиздат. 1983. с. 35 - 42.

174. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. -М.: Наука, 1980. 352 с.

175. Калиткин H.H., Кузьмина JI.B., Рогов B.C. Таблицы термодинамических функций и транспортных коэффициентов плазмы / Препринт ИПМ АН СССР.-М., 1972. 112 с.

176. Оптические свойства горячего воздуха / И.В. Авилова, JIM. Биберман, B.C. Воробьев, В.М. Замалин, Г.А Кобзев и др. М.: Наука, 1970. 320 с.

177. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М.: Наука, 1972. 720 с.

178. Предводителев A.C. и др. Таблицы термодинамических функций воздуха (для температур от 200 до 6000 К и давлений от 0,00001 до 100 атмосфер). -М.: Наука, 1962.330 с.

179. Асиновский Э.И., Шабашов В.И. Экспериментальное исследование коэффициентов электропроводности и теплопроводности плазмы воздуха // ТВТ. 1969. №2. с. 217-222.

180. Асиновский Э.И., Батенин В.М. К расчету электропроводности частично-ионизованной плазмы // ТВТ. 1971. № 4. с. 676 682.

181. Севастьянов Р.М, Здункевич Н.Д. Электрическая проводимость воздуха в диапазоне 1000 до 20000 К // Инженерный журнал. 1965. № 2. с. 227 229.

182. Кринберг И.А. Расчет теплопроводности некоторых газов при температуре 1000 20000 К и атмосферном давлении // ТВТ. 1965. № 4. с. 654 - 656.

183. Соколова И.А. Коэффициенты переноса воздуха в области температур от 3000 до 25000 К и давлений 0.1, 1, 10, 100 атм. // ЖПМиТФ. 1973. № 2. с. 80 90.

184. Пэн Цзай-чэн, Пиндорх А. Уточненный расчет свойств воздуха при высоких температурах // Вопросы ракетной техники. 1962. - № 12. - с. 3 - 12.

185. Fortescue C.L. Method of symmetrical coordinates applied to the solution of * polyphase networks // Transactions of the AffiE, pt. II, vol. 37, 1918, pp. 10271140.

186. Вагнер К.Ф., Эванс P.Д. Метод симметричных составляющих. В применении к анализу несимметричных электрических цепей. Главная редакция энергетической литературы. JI.-M., 1936.

187. Нейман JI.P., Калантаров П.Л. Теоретические основы электротехники. Часть вторая. Теория цепей переменного тока. М.-Л.: Государственное энергетическое издательство, 1954.

188. Grib O.G. Error analysis for the correlation method of measuring asymmetry in three-phase networks // Measurement techniques, vol 30, no. 10, 1987. pp. 1007 -1010.

189. Phadke A.G., Ibrahim M., Hlibka T. Fundamental basis for distance relaying with symmetrical components // Proc. IEEE Trans. Power Apparatus and Systems, vol. PAS-96, 1977, no. 2, pp. 635-646.

190. Lobos T. Fast estimation of symmetrical components in real time // Proc. Inst. Elect. Eng. C, vol. 139, pp. 27-30,1992.

191. Stankovic A.M., Lev-Ari H., Perisic M.M. Analysis and implementation of model-based linear estimation of dynamic phasors // IEEE Trans. Power Systems, vol. 19, no. 4, 2004, pp. 1903-1910.

192. Tenti P., Willems J.L., Mattavelli P., Tedeschi E., Generalized symmetrical components for periodic non-sinusoidal three-phase signals // Electrical Power Quality and Utilization, Journal, vol. XIII, no. 1, 2007, pp. 9-15.

193. Жораев Т.Ю., Харитонов С.А. Обобщенный метод симметричных составляющих и методика их выделения с помощью цифрового фазовращающего фильтра // Научный вестник НГТУ. № 1(34), Новосибирск, НГТУ, 2009 с. 191-203.

194. Абрагам-Беккер. Теория электричества. М.: Л.: Главная редакция общетехнической литературы, 1936. 539 с.

195. Стрэттон Д.А. Теория электромагнетизма.- М.-Л.: Гостехиздат, 1948. 539 с.

196. Джексон Дж. Классическая электродинамика. М.: Мир, 1965. - 702 с.

197. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны.- М.: Радио и связь, 1957. 581 с.

198. Никольский В.В. Теория электромагнитного поля.-М.: Высшая шк., 1964. 384 с.

199. Кухаркин Е.С. Основы технической электродинамики М.: Высшая шк., 1969. - 509 с.

200. Семенов А.А. Теория электромагнитных волн М.: МГУ, 1968. 317 с.

201. Семенов Н.А. Техническая электродинамика. М.: Связь, 1973. 480 с.

202. Гольдштейн Л.Д., Зернов Н.В. Электромагнитные поля и волны. М.: Советское радио, 1971. 664 с.

203. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле. -М.: Высшая школа, 1986. 263 с.

204. Rothwell E.J., Cloud M.J. Electromagnetics. Boca Raton, London, New York, Washington. CRC Press LLC. 2001. ISBN 0-8493-1397-X.

205. Фейнман P., Лейтон P., Сэндс M. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6. Электродинамика. М.: Мир, 1977. 347 с.

206. Тамм И. Е. Основы теории электричества. -М.: Наука, 1989. 504 с.

207. Акивис М.А., Гольдберг В.В. Тензорное исчисление. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 304 с.

208. Де Гроот С.Р., Сатторп Л.Г. Электродинамика. М.: Наука, 1982. 560 с.

209. Рогов B.C. Расчет проводимости плазмы. // ТВТ .- 1970 .- N 4 .- с. 689-694.

210. Бредов М.М., Румянцев В.В., Топтыгин И.Н. Классическая электродинамика. -М.: Наука, 1985. 400 с.

211. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. 1- М.: ИИЛ, 1958. 930 с.

212. Павленко Ю.Г. Гамильтоновы методы в электродинамике и в квантовой физике. М.: Изд-во МГУ, 1985. 336 с.

213. Боголюбов H.H., Ширков Д.В. Квантовые поля.- М.: Наука, 1993. 332 с.

214. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред (серия: Теоретическая физика, Т. VIII). М.: Наука, 1982. - 620 с.

215. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики М.: Наука, 1972. 735 с.

216. Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям (Полное собрание трудов. Т. IV).-М.: Изд-во АНССР, 1955. 511 с.

217. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля (серия: Теоретическая физика, Т. VIII).-М.: Наука, 1982. 620 с.