автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Аналитически-численный метод исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами

На правах рукописи

005050678

Шумаков Александр Александрович

АНАЛИТИЧЕСКИ-ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 4 МАР 2013

Санкт-Петербург - 2013

005050678

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетно. образовательном учреждении высшего профессионального образования «Санкт Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им В.И.Ульянова (Ленина)» (СПбГЭТУ) на кафедре теоретических осно] электротехники

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор,

профессор кафедры теоретических основ электротехники СПбГЭТУ Бычков Юрий Александрович Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор, профессор кафедры высшей математики 1 СПбГЭТУ Постников Евгений Валентинович доктор технических наук, профессор,

заведующий кафедрой теоретических основ электротехники федеральной государственного образовательного бюджетного учреждения высшей профессионального образования «Санкт-Петербургский государственны!" политехнический университет»

Коровкин Николай Владимирович

Ведущая организация:

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшей профессионального образования «Санкт-Петербургский государственны? университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича»

Защита состоится марта 2013 года в ДОО на заседании диссертационноп совета Д.212.238.01 Санкт-Петербургского государственного электротехнической университета «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина) по адресу: 197376, Санкт Петербург, ул. Проф. Попова, 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета

Автореферат разослан 3.6 февраля 2013 года.

Ученый секретарь совета по защите

докторских и кандидатских диссертаций Д.212.238.01 уймг ЩеголеваН.Л.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Для описания, протекающих в пространственных областях в реальном масштабе времени физических процессов, например, процесса распространения электромагнитного излучения в оптическом волокне, процесса распространения сигналов в нейронах и процесса распределения токов и напряжений в длинной линии, широко применяют математические модели с распределёнными параметрами, уравнения динамики которых представляют собой /равнения в частных производных. Поиск решений таких уравнений представляет :обой сложную математическую задачу, что обуславливает существование эольшого числа как аналитических, так и численных методов их решения. Существующие методы характеризуются следующими недостатками. Во-первых, аналитические методы подходят для решения узких классов задач и требуют выполнения сложных операций и преобразований, что на практике часто оказывается неприемлемо. Во-вторых, численные методы либо не контролируют гюкальную точность находимого решения, либо её увеличение с целью получения более точного решения сопровождается уменьшением шага расчёта, что в свою очередь ведёт к быстрому увеличению объёма вычислений. В-третьих, исследование области решения характеризуемой большими значениями одной из координат при помощи численных методов, сопровождается выполнением большого числа шагов расчёта и характеризуется высоким уровнем накопленной погрешности, в результате практическая ценность полученных результатов равна нулю. В-четвёртых, численные методы не позволяют доказать существование, единственность и гладкость решения. Перечисленные недостатки существующих аналитических и численных методов указывают на то, что актуальной является разработка нового метода исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка нового аналитически-численного метода исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами, обладающего рядом преимуществ перед существующими методами.

Для достижения цели работы были поставлены и решены следующие задачи:

1. Изучены существующие методы исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами, проанализированы их недостатки при исследовании различных математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами, на основе анализа недостатков существующих методов и запросов практики сформулированы требования к разрабатываемому методу.

2. Разработан аналитически-численный метод исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами, соответствующий сформулированным требованиям.

3. Разработан программный комплекс, автоматизирующий применение метода.

Предметом исследования данной работы являются математические модели динамических систем с распределёнными параметрами.

Методы исследования: математическое моделирование, аналитические и численные методы исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами с применением ЭВМ, вычислительный эксперимент.

Научные положения, выносимые на защиту: аналитически-численный метод исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами и реализующий его комплекс программ, включающие следующие алгоритмы:

- эффективного (как в плане объёма вычислений, так и в плане накапливаемой погрешности) исследования области больших значений одной из координат, на основе смещения заданных для исследования математической модели динамической системы с распределёнными параметрами граничных и начальных условий;

- исследования существования, единственности и гладкости решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами;

- поиска, с заданным уровнем локальной точности в виде абсолютной локальной погрешности расчёта, приближённых значений решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами (увеличение локальной точности не требует уменьшения шага расчёта и не ведёт к значительному росту объёма вычислений);

- поиска точных решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами в классе обобщённых функций с регулярными составляющими в виде полиномов относительно одной из координат.

Научная новизна содержится в следующих результатах диссертационной работы. Предложены алгоритмы:

- смещения заданных граничных и начальных условий по осям координат,

позволяющий исключить необходимость выполнения большого числа шагов

расчёта при исследовании решений уравнений динамики математических

4

моделей динамических систем с распределёнными параметрами в областях сколь угодно больших значений одной из координат;

поиска приближенных значений решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами с заданным уровнем локальной точности в виде абсолютной локальной погрешности расчёта;

- исследования существования, единственности и гладкости решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами;

- поиска точных решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами в классе обобщённых функций с регулярными составляющими в виде полиномов относительно одной из координат.

Практическая значимость работы заключается в создании программного комплекса автоматизирующего применение разработанного метода. Метод и комплекс программ были использованы для исследования различных математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами, в том числе моделей описывающих распространение электромагнитного излучения в оптическом волокне и распределения токов и напряжений в длинной линии.

Достоверность результатов исследования подтверждается

вычислительными и натурными экспериментами, осуществлявшимися для различных математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами.

Внедрение результатов работы. Разработанный метод был использован при проектировании подводных волоконно-оптических линий связи в рамках СЧ ОКР «Грация» и «Гранат КП 1Р», а также при расчётах линий связи подводных гидроакустических антенн в рамках СЧ ОКР «Кудесник» на заводе «Псковгеокабель».

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

- Научно-практической конференции «Транспортно - коммуникационная система Арктики в геополитическом взаимодействии и управлении регионами в условиях чрезвычайных ситуаций» (Санкт-Петербург, 13-14 ноября 2009 г.);

- Научно-практической конференции «Наукоёмкие и инновационные технологии в решении проблем прогнозирования и предотвращения чрезвычайных ситуаций и их последствий» (Санкт-Петербург, 12-13 ноября 2010 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ, среди которых 5 публикаций в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных в действующем перечне ВАК и 2 работы в научных трудах международных практических конференций, получено 1 свидетельство о регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объём диссертации: диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Общий объём диссертации 116 страниц текста, включая 15 рисунков и 4 таблицы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулированы цель и задачи исследования, показана практическая значимость работы.

В первой главе (разделы 1.1 и 1.2) обоснована необходимость разработки нового аналитически-численного метода исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами.

В разделе 1.1 рассмотрены некоторые из используемых, при решении различных инженерных и научных задач, математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами: широко применяемая модель линии электропередач, разработанная Хэвисайдом; предложенная в 2005 году солитонная модель, описывающая распространение сигналов в нейронах; модель, описывающая распространение электромагнитного излучения в оптическом волокне. Описаны аналитические и численные методы, используемые для исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами: метод разделения переменных, метод дифференциальных связей, метод конечных разностей, метод конечных элементов и другие. Проанализированы недостатки существующих методов при исследовании математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами.

В разделе 1.2 на основе проведённого в разделе 1.1 анализа существующих методов исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами и их недостатков, сформулированы требования к разрабатываемому аналитически-численному методу.

Во второй главе (разделы 2.1, 2.2 и 2.3) описаны аналитическая и численная части разработанного метода и алгоритм исследования области характеризуемой

б

большими значениями одной из координат. Разработанный метод предназначен для исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами, уравнение динамики которых имеет следующий вид:

A(dt,dx)Z(t,x) = F(t,x) + H(zi(t,x)), (1)

где A(ßt,dx) - квадратная матрица порядка L с полиномиальными от операторов

частного дифференцирования — и — элементами, Z(t,x) и F(t,x) - матрицы-

Si ох

столбцы решений Zj(t,x), I е 1 ,L и функций /¡{t,x),le. 1 ,L определяемых

внешними воздействиями, 7/(z/(i,x)) - матрица-столбец, строки

Hu(zi(t,x)),u e[l,L] которой содержат суммы произведений решений zj(t,x) и их

частных производных в некоторых дробно-рациональных степенях. Для решения

/ ч Sz,(t,x) d"lz,(t,x) , , т

уравнения (1) заданы начальные гД?,л;)|(=0,—^———UL и

граничные z,{t,x\x=0,—±--|х=0,...,—-f——,х=0,1 е l,L условия, при этом

дх дх '

уравнение (1) не содержит смешанных производных и старшие производные уравнения (1) содержатся в матрице A(dt,dx).

В разделе 2.1 описана аналитическая часть метода, позволяющая с помощью преобразований Лапласа и их свойств, методов решения систем линейных алгебраических уравнений и функционально-степенных рядов, получить для решения уравнения (1) описание в виде обобщённой функции:

zl{t,x) = zT{t,x) + zf{t,x), (2)

где zj(t,x) - сингулярная составляющая решения, описываемая как сумма произведений с некоторыми весовыми коэффициентами импульсных функций S(t) и д{х) или их обобщённых производных некоторых порядков.

Для описания регулярной составляющей zf(t,x),l& 1 ,L решения Zj(t, х) уравнения (1) используется ряд двух независимых переменных, имеющий следующие две формы представления:

zt(t,x)=ZRu(t)^, (3)

7=0 1-

00 J

zt(.t,x)=^Ru(x)- (4)

/=0 1-

В случае если, начиная с некоторого г, все коэффициенты или Я; ¡(х)

равны нулю, аналитическая часть метода позволяет получить решение уравнения (1) в замкнутой форме - в виде полинома относительно одной из независимых переменных t или х.

В разделе 2.2 описан алгоритм, позволяющий исследовать область решения уравнения динамики, характеризуемой большими значениями одной из координат. Алгоритм основан на смещении граничных и начальных условий по осям координат и позволяет за счёт выполнения только аналитических операций, не связанных с выполнением большого числа шагов расчёта и не приводящих к возникновению вычислительной погрешности, приблизится по одной из осей координат к области, интересующей исследователя.

Получение смещённых по оси времени / начальных условий

к

3 ¡се 0>и. для Т0Чки с координатами / = ^, х = 0 сводится к

дГ 1

дифференцированию описания (3) по переменной t и последующей подстановке в результаты такого дифференцирования дискретного значения независимой переменной / = ^:

1 00 г'

Смещённые по / граничные условия определяют на основе заданных при х = О

„ 8кг, и,х) , п граничных условии --^т—-|х=0,ке 0,от; посредством разложения известных

8х

функций, описывающих граничные условия, в степенные ряды в точке, с абсциссой

Э*г/С+ *!.*) _ у «?№1

ЗхК /=о г!

(6)

После выполнения алгоритма будут получены описания в виде степенных рядов новых, смещённых по переменной / граничных и начальных условий, соответствующих дискретным значениям независимых переменных ? = /'1,х = 0, где любое наперёд заданное число. Смещение граничных и начальных условий по оси х выполняется аналогичным образом. Полученные смещённые граничные и начальные условия позволяют, в свою очередь, исследовать область сколь угодно больших значений одной из координат без выполнения большого числа шагов расчёта и накопления погрешности.

В разделе 2.3 описана численная часть разработанного метода исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами, 1редназначенная для поиска приближённых значений решений гД/,х),/е[1,£], соответствующих дискретным моментам времени / = и значениям 1ространственной координаты х = х ¡с, с заданным уровнем локальной точности - в зиде абсолютной локальной погрешности расчёта. В рамках численной части метода гриближенное значение решения г1{1к,хк) для некоторой точки (7 = = х^,)

ицется на основе приближённого значения решения и приближённых описаний раничных и начальных условий в точке (/ = 1^,х = х^) или (/ = = хи

саждый шаг расчёта выполняется относительно одной из независимых переменных ! ига х. Для выполнения каждого из шагов расчёта по переменной / используется следующая форма описания решения:

со /=0

Поиск приближённого значения решения и приближённых описаний ■раничных и начальных условий (для выполнения следующего шага расчёта) ¡опровождается исследованием сходимости внутренних рядов (7), выбором шага >асчёта, определением, на основе заданной локальной точности и шага расчёта,

юрядков полиномов используемых для вычисления частичной суммы

¡нутренних рядов (7), и, на шаге расчёта по переменной I, осуществляется по :ледующим формулам:

00 г., *] ^Втт

7=0

(7)

\'='к~ У'1! >17'

81к

1=0

й"

8хк {*=Хк Ж"

-=1 1=0

Л

(8)

J=n

J-n

(У-и)!

Г_

В формуле (8) выражение -р—-—\(=(к определяет начальные условия, а

а"

Г8кг(1,х)

выражение

ах

к \х=хк

<Ип

дГ

граничные условия для следующего шага расчёта,

4'о И ]

при этом выражение X Л,[0:01 — определяет приближённое значение решения 7=о Л

уравнения (1) для точки с координатами = = Выполнение шага расчёта по переменной х сопровождается применением формул аналогичных (8).

На рисунке 1 проиллюстрировано выполнение первых шагов расчёта при помощи численной части разработанного аналитически-численного метода.

Рисунок 1. Выполнение первых шагов расчёта при помощи разработанного метода

Необходимо отметить что за каждым шагом относительно независимой переменных Г или х, может следовать произвольное число шагов расчёта относительно любой из независимых переменных. В таблице 1 приведены выборочные результаты исследования математической модели, используемой для

ю

описания поведения волн на поверхности воды, с заданными уровнями абсолютной локальной погрешности расчёта е(Л) = 1 х 10~5 и е(Л) = 1 х 1СГ10 (уравнение динамики имеет вид уравнения Кортевега-де-Фриза

а3 д_

дхЪ+

ох

Таблица 1

Выборочные результаты исследования математической модели используемой для описания поведения волн на поверхности воды с заданными уровнями абсолютной

локальной погрешности расчёта е(й) = 1х10 5 и е(/г) = 1x10 10

Параметр Значение

X 0.000000 0.290000 0.600000 0.890000 1.200000 1.490000

/ 0.000000 0.300000 0.600000 0.900000 1.200000 1.500000

К - 0.010000 - 0.010000 - 0.010000

А/ 0.010000 - 0.010000 - 0.010000 -

- -0.950470 -0.928456 -0.842972 -0.749362 -0.643719

= 1х10"5) - -0.950470 -0.928456 -0.842964 -0.747212 -0.623678

г{1,х,г{И) = = 1хЮ"10) - -0.950470 -0.928456 -0.842965 -0.747257 -0.634841

В таблице 1 использованы следующие обозначения хи/ - начала вынесенных в таблицу шагов расчёта, кх и Ъ, — шаги расчёта по переменным х и t, х) —

, ч 6х(х}-241)

точное значение решения, вычисленное на основе описания г(1,х) = —^-,

(х +12/)

г(Г,д:,Е(/1) =1 хЮ-5) и = 1 х 10 ) приближённые значения решения,

полученные при помощи разработанного метода, и соответствующие заданным абсолютным локальным погрешностям расчёта е(й) = 1x10-5 и е(й) = 1 х Ю-10.

Как видно из таблицы 1 уменьшение абсолютной локальной погрешности расчёта сопровождается уменьшением полной погрешности расчёта (разности между приближённым значением и точным значением решения). При исследовании других математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами, уменьшение уровня абсолютной локальной погрешности также вело к уменьшению полной погрешности расчёта, что в свою очередь говорит о том, что при использовании разработанного аналитически-численного метода уменьшение локальной погрешности по меньшей мере в некоторых случаях ведёт к уменьшению полной погрешности расчёта.

В третьей главе (разделы 3.1 и 3.2) описаны разработанные алгоритмы исследования существования единственности и гладкости, решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами.

В разделе 3.1 описан алгоритм исследования существования и единственности решения уравнения динамики. В основе этого алгоритма лежит исследование сходимости двойного функционально-степенного ряда описывающего регулярную составляющую решения уравнения (1) и используемого при выполнении шагов расчёта в рамках численной части метода - (7).

Исследование сходимости ряда (7) реализуется пошаговым образом, по осям параллельным координатным осям независимых переменных /их,и одновременно с получением приближённого значения решения уравнения (1) и приближённых описаний граничных и начальных условий для следующего шага расчёта на основе формул (8).

В результате выполнения шагов расчёта по переменным t их вместо ряда (7) формируется выражение:

Выражение (9) определяет приближённое значение решения г/ (¡,х) после выполнения двух шагов расчёта по переменным X и х, при этом при выполнении шагов расчёта будет доказана сходимость ряда (7) (на основании исследования числовых мажорант ряда (7)), а следовательно и существование решения уравнения (!)■

Единственность, как свойство решения, может быть исследована, исходя из того, что если для описания решения г/([,х) уравнения (1) возможно сформировать несколько различных функционально-степенных рядов и имеет место сходимость

/=о

i

7=0

R

wV j , i

двух или более из них, то это служит необходимым и достаточным условием существования неединственного решения г/(/,х) уравнения (1).

В разделе 3.2 описан алгоритм определения согласованных граничных и начальных условий - условий, при которых в решении уравнения динамики отсутствует сингулярная составляющая решения, обусловленная заданными граничными и начальными условиями. Применение этого алгоритма позволяет определить по заданным начальным (граничным) условиям согласованные с ними граничные (начальные) условия. С этой целью граничные условия представляются в виде функционально-степенных рядов с неизвестными коэффициентами:

(10)

дх i=o г!

Далее выполняются диктуемые аналитической частью метода операции, после чего будет получено описание решения в виде:

*,(',*)= Х^М^т, (П)

i=o i!

где

R,.M = S' ^5(л:)+ I R\<} ^ (12)

j=о j=о J г!

Структура выражения (12) и коэффициентов Sf'J такова, что содержит

неизвестные коэффициенты разложения в ряды определяемых согласованных граничных условий (10) и известные коэффициенты, определяемые заданными начальными условиями и параметрами уравнения. Это позволяет определить коэффициенты Jiff разложения в ряд каждого из граничных условий, а сами граничные условия сформировать в виде (10).

Четвёртая глава (разделы 4.1, 4.2 и 4.3) посвящена описанию алгоритмов расширяющих границы применимости разработанного метода исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами.

В разделах 4.1 и 4.2 описан алгоритм, который позволяет получить для решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с неравномерно распределёнными нестационарными параметрами, с нелинейностями в виде элементарных функций описания (2), (3) и (4). Уравнение динамики таких математических моделей имеет вид подобный уравнению (1):

A(dt, dx)Z(t, х) = F(t, х) + H(zl (t, x)), (13)

при этом как матрица А(&,8х) так и матрица Я(г/(?,х)) содержат смешанные производные (но старшие производные содержатся в матрице дх)),

коэффициенты при частных производных представляют собой функции независимых переменных / и х. Каждая строка и матрицы //(г/(г,х)) имеет вид:

= (14)

дг дх

где К (г; (г, х), ^ , ^ х) - некоторая элементарная функция от

дt дх

решений и их производных.

В разделе 4.3 описан алгоритм построения сетки при помощи разработанного метода исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами. Сетка представляет собой множество траекторий вида изображенного на рисунке 1, каждая из которых обладает уникальными характеристиками отражающими существование и единственность решения, а также промежутки быстрого и медленного изменения решения. Алгоритм построения сетки проиллюстрирован на рисунке 2. На рисунке 3 приведены сетки для решений телеграфного уравнения, уравнения Кортевега-де-Фриза, уравнения Бюргерса, электромагнитного волнового уравнения.

Исследователь может предъявлять особые требования к алгоритму построения сетки. Во-первых, во всей области решения уравнения динамики могут быть промежутки, которые с точки зрения исследователя наиболее интересны. В таком случае для таких промежутков необходимо увеличить частоту узлов сетки, причем сам исследователь определяет эту частоту. Во-вторых, исследователю может потребоваться равномерная сетка, расстояния между узлами которой одинаковы во всей области. При решении обеих задач исследователь направленным образом изменяет величины шагов расчёта по независимым переменных 1нх.

В пятой главе описан программный комплекс АММБоЬег автоматизирующий применение разработанного метода исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами. В основе комплекса лежит библиотека МВББо^ег, которая содержит реализации следующих алгоритмов:

- получения описания решения (2) уравнения (1);

- поиска с заданным уровнем абсолютной локальной погрешности расчёта приближённого значения решения уравнения (1);

- определения согласованных граничных и начальных условий;

- исследования существования и единственности решения уравнения (1);

- построения сетки для решения (2) уравнения (1).

Программный комплекс разработан при помощи ШЕ Microsoft Visual Studio 2010 и языка С++ и допускает как независимое использование для исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами, так и использование в рамках других программных комплексов.

В заключении подводятся итоги работы, делаются выводы об эффективности и применимости полученных результатов.

В приложениях 1 и 2 приведены соответственно копия свидетельства о регистрации программы для ЭВМ и общая схема применения разработанного метода при исследовании математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами.

Рисунок 3. Сетки для решений телеграфного уравнения, уравнения Кортевега-де-Фриза, уравнения Бюргерса, электромагнитного волнового уравнения

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработан аналитически-численный метод исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами. В рамках разработанного метода предложены следующие алгоритмы:

1.1. Исследования существования, единственности и гладкости решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами. Выполнение этих алгоритмов позволяет не только доказать существование решения, но и исследовать область сколь угодно близкую к границе области несуществования решения.

1.2. Исследования области решения уравнения динамики характеризуемой большими значениями одной из координат. Этот алгоритм основан на аналитических операциях не связанных с выполнением шагов расчёта и накоплением погрешности.

1.3. Вычисления с заданным уровнем локальной точности в виде абсолютной локальной погрешности расчёта приближённых значений решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами, при этом повышение локальной точности находимого приближённого значения решения не требует изменения величины шага расчёта и не ведёт к значительному росту объёма вычислений.

1.4. Поиска точных решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами в классе обобщённых функций с регулярными составляющими в виде полиномов относительно одной из координат.

2. Реализован программный комплекс, автоматизирующий применение разработанного метода. Программный комплекс допускает как самостоятельное использование, так и использование в рамках других программных комплексов для исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами.

3. Разработанные метод и комплекс программ были применены для исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами, описывающих распространение электромагнитного излучения в оптическом волокне и распределения токов и напряжений в длинной линии.

В целом результаты работы способствуют более полному пониманию и точному описанию физических процессов, происходящих в различных системах, в том числе в оптическом волокне и длинных линиях.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК

1. Бычков Ю.А., Щербаков C.B., Шумаков A.A. Расчёт динамики линейных нестационарных электрических цепей с неравномерно распределёнными параметрами на основе интегрального преобразования Лапласа и функционально-степенных рядов // Радиоэлектроника. 2009. № 2. С. 21-35.

2. Бычков Ю.А., Щербаков C.B., Шумаков A.A. Вычислительный алгоритм анализа динамики нелинейных нестационарных электрических цепей с неравномерно распределёнными параметрами с помощью функционально-степенных рядов//Радиоэлектроника. 2009. № 4. С. 5-19.

3. Бычков Ю.А., Щербаков C.B., Шумаков A.A. Существование и единственность решений уравнений динамики нелинейных электрических цепей с

неравномерно распределёнными нестационарными параметрами // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ». 2010. № 10. С. 36-44.

4. Бычков Ю.А., Щербаков C.B., Шумаков A.A. Анализ уравнений динамики нелинейных электрических цепей с неравномерно распределёнными нестационарными параметрами при помощи функционально-степенных рядов // Радиоэлектроника. 2011. №4. С. 13-21.

5. Шумаков A.A. Смещение граничных и начальных условий при анализе динамики нелинейных электрических цепей с неравномерно распределёнными нестационарными параметрами // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ». 2011. № 7. С. 96101.

Свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ:

6. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012619072. Шумаков A.A., Бычков Ю.А. «MBSSolver»

Публикации в других изданиях

7. Бычков Ю.А., Щербаков C.B., Шумаков A.A. Прогнозирование и предупреждение возникновения чрезвычайных ситуаций в физических системах на основе анализа их нелинейных неавтономных динамических моделей с распределёнными параметрами // Материалы международного конгресса. Том 1. Научно-практическая конференция «Транспортно-коммуникационная система Арктики в геополитическом взаимодействии и управлении регионами в условиях чрезвычайных ситуаций», Санкт-Петербург, 13-14 ноября 2009 г. - СПб.: ООО «ПИФ.СОМ», 2009. - С. 42-47.

8. Бычков Ю.А., Щербаков C.B., Шумаков A.A. Прогнозирование и предупреждение возникновения чрезвычайных ситуаций в физических системах на основе анализа существования решений описывающих их моделей с распределёнными параметрами // Материалы международного конгресса. Том 1. Научно-практическая конференция «Наукоёмкие и инновационные технологии в решении проблем прогнозирования и предотвращения чрезвычайных ситуаций и их последствий», Санкт-Петербург, 12-13 ноября 2010 г. - СПб.: ООО «ПИФ.СОМ», 2010.-С. 120-125.

Подписано в печать 20.02.13. Формат 60*84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 8.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательства СПбГЭТУ "ЛЭТИ"

Издательство СПбГЭТУ "ЛЭТИ" 197376, С.-Петербург, ул. Проф. Попова, 5

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ЛЭТИ» им. В. И. УЛЬЯНОВА (ЛЕНИНА)

На правах рукописи

Шумаков Александр Александрович

АНАЛИТИЧЕСКИ-ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ

ПАРАМЕТРАМИ

О

Ч^1 Специальность: 05ЛЗЛ8 - Математическое моделирование, численные

^^ методы и комплексы программ

Ю со

Ю £ СО 8

ц^ Диссертация на соискание учёной степени

О о

^ кандидата технических наук

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор Бычков Ю.А.

Санкт-Петербург - 2013

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ..............................................................................................................4

ГЛАВА I ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ.................................10

1.1. Математические модели динамических систем с распределёнными параметрами. Обзор существующих методов исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами и анализ их недостатков............................................................................................................10

1.2. Формулировка требований к разрабатываемому методу исследования математических моделей динамических систем с распределёнными

параметрами...........................................................................................................16

ГЛАВА II АНАЛИТИЧЕСКАЯ И ЧИСЛЕННАЯ ЧАСТИ РАЗРАБОТАННОГО МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ..................................................................................................18

2.1. Аналитическая часть метода. Поиск решения уравнения динамики математической модели динамической системы с распределёнными параметрами в замкнутой форме.........................................................................18

2.2. Исследование области, характеризуемой большими значениями одной из координат, решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами..................................32

2.3. Численная часть метода. Поиск, с заданным уровнем локальной точности, приближённых значений решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными

параметрами...........................................................................................................39

ГЛАВА III АЛГОРИТМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ, ЕДИНСТВЕННОСТИ И ГЛАДКОСТИ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ..................................53

3.1. Алгоритм исследования существования и единственности решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами...........................................................................53

3.2. Алгоритм исследования гладкости решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными

параметрами...........................................................................................................63

ГЛАВА IV РАСШИРЕНИЕ ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ РАЗРАБОТАННОГО МЕТОДА................................................................................................................71

4.1. Исследование математических моделей динамических систем с неравномерно распределёнными нестационарными параметрами, уравнения динамики которых содержат функциональные нелинейности........................71

4.2. Исследование математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами, уравнения динамики которых содержат смешанные производные......................................................................................83

4.3. Построение, с помощью разработанного метода, сетки для решения уравнения динамики математической модели динамической системы с

распределёнными параметрами...........................................................................90

ГЛАВА V ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РАЗРАБОТАННОГО МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКИХ

СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ..................................98

ЗАКЛЮЧЕНИЕ...................................................................................................108

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ..................................................................................110

ПРИЛОЖЕНИЕ № 1...........................................................................................116

ПРИЛОЖЕНИЕ № 2...........................................................................................115

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность

К системам, используемым в производстве, медицине, обороне и других областях предъявляются всё более жёсткие требования: низкое энергопотребление, надёжность, минимально возможный размер, безопасность, возможность модификации. Такие требования обуславливают необходимость всё более полного понимания и точного описания физических процессов, лежащих в основе работы той или иной технической системы. Это, в свою очередь, приводит к необходимости постоянного совершенствования математических моделей физических процессов и методов их исследования.

Для описания протекающих в пространственных областях, в реальном масштабе времени физических процессов, широко применяют модели с распределёнными параметрами, математические описания которых представляют собой уравнения в частных производных [10,12,41]. Поиск решений таких уравнений представляет сложную математическую задачу, что обуславливает существование большого числа как аналитических, так и численных методов их решения.

Существующие аналитические методы характеризуются следующими недостатками. Во-первых, применение аналитических методов сопряжено с выполнением сложных математических преобразований, что требует большого количества времени и вычислительных ресурсов для поиска решения и на практике может оказаться неприемлемо. Во-вторых, аналитические методы подходят для решения узкого класса задач или позволяют искать решение в некоторой наперёд заданной форме, что значительно ограничивает область их применения. Применение

существующих численных методов позволяет преодолеть недостатки аналитических методов при поиске решений уравнений в частных производных, но при этом приводит к ряду новых. Во-первых, исследуемые характеристики физических процессов, а вследствие этого и решения уравнений динамики математических моделей с распределёнными параметрами, часто измеряются малыми величинами. Вследствие этого численный метод должен предоставлять способ искать решение с некоторой наперёд заданной локальной точностью (соответствующей величине решений). В существующих численных методах либо не контролируется локальная точность, либо её увеличение с целью получения более точного решения сопровождается уменьшением шага расчёта, что в свою очередь ведёт к увеличению объёма вычислений и на практике может оказаться неприемлемо. Во-вторых, при изучении физических процессов часто требуется исследование области больших значений одной из координат -например пространственной. Вследствие этого, численный метод должен предоставлять способ эффективного исследования области характеризуемой сколь угодно большими значениями хотя бы одной из координат. Решение такой задачи при помощи существующих численных методов сопровождается выполнением большого числа шагов расчёта и характеризуется высоким уровнем накопленной погрешности, в результате практическая ценность полученных результатов равна нулю. В-третьих, приступая к поиску решений уравнений динамики систем с распределёнными параметрами, необходимо ответить на вопрос о существовании искомого решения. В случае использования аналитических методов ответ на подобный вопрос следует из самой возможности получения аналитического описания решения, например в замкнутой форме. В случае использования численных методов вопрос о существовании решения остаётся открытым. На практике это означает, что существующие численные методы находят некоторое

значение решения даже в тех точках, в которых оно не существует, или ищут решение в том классе функций, в котором оно не существует.

Перечисленные недостатки существующих методов указывают на то, что актуальной является разработка нового метода исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами. Новый метод востребован при исследовании различных математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами, например: модели описывающей распространение электромагнитного излучения в оптическом волокне [13], модели описывающей распространение сигналов в нейронах [30], модели описывающей распределение токов и напряжений в длинной линии [42] и других.

Предметом исследования данной работы являются математические модели динамических систем с распределёнными параметрами.

Методы исследования: математическое моделирование, аналитические и численные методы исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами с применением ЭВМ, вычислительный эксперимент.

Источник исследования: работы исследователей в области математического моделирования и методов исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами.

Цель работы

Целью данной работы является разработка метода исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами, обладающего рядом преимуществ по сравнению с существующими методами.

Задачи исследования

1. Обзор существующих методов исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами, анализ их недостатков, формулирование на основе анализа недостатков существующих методов требований к разрабатываемому методу.

2. Разработка аналитически-численного метода исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами, соответствующего поставленным требованиям.

3. Разработка программного комплекса автоматизирующего применение разработанного метода.

Научная новизна содержится в следующих результатах диссертационной работы. Предложен метод, основанный на следующих алгоритмах:

- эффективного, как в плане объёма вычислений, так и накапливаемой погрешности, исследования решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами в областях сколь угодно больших значений одной из координат;

- поиска приближенных значений решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами с заданным уровнем локальной точности, увелечение которой не сопровождается значительным ростом объёма вычислений;

- исследования существования, единственности и гладкости решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами;

- поиска точных решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами в классе обобщённых функций с регулярной составляющей в виде полинома относительно одной из координат.

Достоверность результатов исследования подтверждается вычислительными и натурными экспериментами, осуществлявшимися для различных математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами.

Практическая значимость работы заключается в реализации разработанного метода в виде программного комплекса. Разработанный метод был использован при проектировании подводных волоконно-оптических линий связей в рамках СЧ ОКР «Грация» и «Гранат КП 1Р», а также при расчётах линий связи подводных гидроакустических антенн в рамках СЧ ОКР «Кудесник» на заводе «Псковгеокабель». В целом результаты работы способствуют более полному пониманию физических процессов, происходящих в различных системах.

Положения, выносимые на защиту: аналитически-численный метод исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами и реализующий его комплекс программ, основанные на следующих алгоритмах:

- эффективного, как в плане объёма вычислений, так и накапливаемой погрешности, исследования решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами в областях сколь угодно больших значений одной из координат;

- исследования существования, единственности и гладкости решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами;

- поиска, с заданным уровнем локальной точности, приближённых значений решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами;

- поиска точных решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами в наперёд заданном виде.

Апробация работы

По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ, среди которых 5 публикаций в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных в действующем перечне ВАК. Доклады доложены на 2 международных научно-практических конференциях. Получно 1 свидетельство о регистрации программы для ЭВМ.

Структура диссертации: диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и двух приложений.

ГЛАВА I ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ

1.1. Математические модели динамических систем с распределёнными параметрами. Обзор существующих методов исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами и анализ их недостатков

Рассмотрим некоторые из используемых, при решении инженерных и научных задач, математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами. В электротехнике широко применяется модель линии электропередач, разработанная Хэвисайдом [28,42]. Модель Хэвисайда применима к линиям электропередач всех частот и описывает распределение тока и напряжения в линии во времени и пространстве. В рамках модели Хэвисайда распространение электрических сигналов в линии электропередачи описывает следующая система уравнений в частных производных:

— U(t, x) = -L—lit, x) - RI(t, x)

? a • (1Л>

— I(t, x) = -C— U(t, x) - GU(t, x)

dx dt

где l(t,x) и U(t,x) - соответствуют току и напряжению, а параметры R,L,G,C -определяют характеристики линии электропередачи. Типичные линии электропередач таковы, что длина линий может измеряться величинами порядка 105л<. Вследствие этого при решении уравнения (1.1) необходимо использовать метод, позволяющий эффективно исследовать решение в области больших значений переменной х.

В 2005 году в неврологии была предложена новая солитонная [33,34]

модель описывающая распространение сигналов в нейронах [30]. В рамках

10

этой модели сигналы проходят через клеточную мембрану в форме звукового солитона (звуковой волны сохраняющей свою форму при распространении). Распространение сигналов в нейронах описывает следующее нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных:

¿ГАр=д_ д? дх

(4 + РАР + 1АР2)

2\дАр

(1-2)

дх

дх

где Ар - соответствует изменению плотности мембраны, параметры с0 , р , ц - обусловлены термодинамическими свойствами мембраны и определяются экспериментально, параметр - И определяет частоту колебаний мембраны. Для уравнения (1.2) на данный момент не доказано существование, единственность и гладкость решения в том или ином классе функций. Вследствие этого при решении уравнения (1.2) необходимо использовать метод позволяющий исследовать существование единственность и гладкость решения.

При разработке современных оптоволоконных датчиков требуется исследовать распространение электромагнитного излучения в оптоволокне [13]. При изучении распространения электромагнитного излучения в оптическом волокне используют математическую модель с распределёнными параметрами, уравнения динамики которой представляют собой волновые уравнения [41]:

ог дх1

¡их/,*) _тл = т,зХ))

дГ дх2

(1.3)

Характеристики электромагнитного излучения в оптическом волокне таковы, что напряженность электрического ПОЛЯ £(/,;с) и магнитная индукция В(7,х) могут измеряться малыми величинами. Следовательно, при поиске решений уравнений (1.3) - значений напряженности £(/,*) и магнитной индукции х) необходимо вычислять решение, по меньшей мере, с заданным уровнем локальной точности. Таким образом, при решении уравнения (1.3)

необходимо использовать метод позволяющий контролировать локальную точность решения.

Необходимо отметить, что задачи исследования существования, единственности и гладкости решения, контроля уровня локальной точности и эффективного исследования области больших значений одной из координат возникают не только при использовании вышеуказанных моделей, но и многих других, например модели используемой в квантовой механике для описания быстро движущихся частиц [40], модели используемой для описания волн на поверхности воды [36], модели используемой для описания явления турбулентности [44] и т.д. [23,27].

Потребности практики привели к тому, что было разработано большое количество аналитических и численных методов исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами. Аналитические методы позволяют получить аналитическое описание решения уравнения динамики [10,12,41]. Подобное описание позволяет исследовать любые свойства решения - существование, единственно�