автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.11, диссертация на тему:Математическое обоснование алгоритмов комбинаторной теории супералгебр Ли

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

РГБ ОД

1 1 ШР

На правах рукописи УДК 519.688 512.554.3 512.55.0 519.717 519.682.9

МИХАЛЁВ АЛЕКСАНДР АЛЕКСАНДРОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ СУПЕР АЛГЕБР ЛИ

05.13.11 — математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов, систем и сетей

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва — 1996

Работа выполнена на механико-математическом факультете Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук,

профессор С. А. Абрамов

— доктор физико-математических наук, доцент А. В. Болсинов

— доктор физико-математических наук, профессор М. М. Глухов

Ведущая организация — Объединенный институт

ядерных исследований, Лаборатория вычислительной техники и автоматизации

Защита диссертации состоится "..«)..." 1996 г.

в ОАчасов на заседании диссертационного совета Д 053.05.38 при МГУ им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП-3, Москва, МГУ, факультет ВМиК, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Автореферат разослан Л. 1996

г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Д 053.05.38 при МГУ ^

профессор Н. П. Трифонов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Данная работа относится к некоммутативной компьютерной алгебре, ока посвящена разработке алгоритмов комбинаторной теории супералгебр Ли.

Изучение алгебраических систем, заданных образующими и определяющими соотношениями, (например, групп, полугрупп, колец) началось в начале 20-го века. К настоящему моменту комбинаторная алгебра (комбинаторная теория групп, полугрупп, колец и др.) представляет собой активно развиваемое направление алгебры с широким спектром приложений. Отметим лишь фундаментальные результаты Д. Нильсена, О. Шрейера, В. Магпуса, А. Г. Куроша, А. И. Мальцева, Р. Линдона, Ф. Холла, М. Холла, А. А. Маркова, П. С. Новикова, С. И. Адяна, А. И. Кострикина, А. Л. Шмелькина, А. Ю. Ольшанского, Ю. А. Бахтурина, М. Шутценберже, А. И. Ширшова, Е. Вптта, Л. А. Бокутя, В. Н. Латышева, В. Н. Ремесленникова, О. Г. Харлампо-вич. Интенсивно развивалась алгоритмическая теория алгебр: раздел комбинаторной теории, исследующий существование алгоритмов для решения основных алгоритмических проблем в алгебре (проблемы равенства, вхождения, изоморфизма, рекурсивного базиса и т. д.). Основы алгоритмической теории свободных алгебр были заложены А. Г. Курошем и А. И. Мальцевым. А. И. Ширшовым были получены фундаментальные результаты комбинаторной и алгоритмической теории алгебр Ли. Одной из важных целей комбинаторной алгебры является построение эффективных алгоритмов, решающих определенный класс задач в конкретных областях.

Успешное применение компьютеров в последние 20-30 лет возобновило интерес к эффективным алгебраическим конструкциям. Были пересмотрены конструктивные результаты, полученные в прошлом, что привело к формированию новой самостоятельной области — компьютерной алгебры, выросшей из математики, вычислительной математики и программирования (см., например, монографии [1,2,6,9,19,20,33,36,38,65,78,93,96,102,118,120,131,132]). Разработка новых алгоритмических решений и создание их компьютерных реализаций позволяют применять новые методы совместно со всем предыдущим наработанным материалом для создания высокотехнологичной среды научных исследований с использованием символьных преобразований. В основе современных систем компьютерной алгебры лежат эффективные алгоритмы, позволяющие производить сим-

вольные вычисления. Основные преимущества систем компьютерной алгебры основаны на возможности производить большие алгебраические вычисления. Появились специализированные системы для символьных вычислений (отметим, например, АНАЛИТИК, MAPLE, MACSYMA, MATHEMATICA, AXIOM (SCRATCHPAD), GROBNER, FORM, MACAULAY, PARI, REDUCE, CAYLEY, SMP, SCHOONSHIP, GAP, DERIVE, CoCoa, SAC, AlPi). Регулярно проводятся международные конференции EUROCAL, ISSAC, SYMSAC, EUROSAM, AAECC, Computers and Mathematics, Rewriting Techniques and Applications, конференции в ОИЯИ в Дубне по применениям компьютерных вычислений в физических исследованиях.

При исследованиях в компьютерной алгебре одним из основных моментов является построение алгоритмов. Наиболее разработанным в настоящее время является коммутативный случай (например, за последние несколько лет вышел ряд монографий, посвященных технике канонических базисов идеалов колец многочленов, так называемых базисов Гребнера, [26,55,62,69,70,74,88]). В последнее время значительно возрос интерес к некоммутативной компьютерной алгебре (см., например, [7,26, 56,57, 63,64,71,72,76, 81,87,89-92,94,103,116, 117,134-136,146,169,171,171,174,181,182]). Это вызвано как внутренними потребностями вычислений в некоммутативных алгебраических системах, так и широким спектром реальных задач в теории дифференциальных уравнений и в физике (отметим нелинейные задачи, суперуравнения Кортевега-де-Фриза, уравнения турбулентности, вычисления в псевдомеханических системах, эволюционные уравнения, теории супергравитации и суперструн, пуассоновы структуры) . Ряд пакетов программ позволяет работать с некоммутативными ассоциативными алгебрами (например, BERGMAN, GROEBNER, GRAAL).

С этой точки зрения особый интерес представляют конечно определенные алгебраические системы, то есть системы, заданные конечным числом образующих и определяющих соотношений (в случае алгебр Ли отметим гамильтоновы алгебры, (супер)алгебры Ка-ца-Муди, супералгебры в теории струн). При изучении конечно определенных алгебр в первую очередь необходимо рассмотреть свойства абсолютно свободного объекта.

Изучение свободных алгебр Ли было начато М. Холлом (в 1950-м году он построил базис свободной алгебры Ли — базис Холла, [98]). Базисы Линдона-Ширшова были построены в 1958 году Ченом, Фок-

сом и Линдоном [73] и А. И. Ширшовым [48]. Затем различными авторами был построен ряд других базисов ([51,67,127,158-160,165, 175,176]). Теорема о свободе подалгебр свободных алгебр Ли была пока^яня А. И. Ширшовы:.: s 1053 г., [46] (аналогичный результат для свободных колец Ли и для ограниченных алгебр Ли был получен Е. Виттом в 1956 г., [179]). А. И. Ширшов развил для алгебр Ли методы А. Г. Куроша работы с подалгебрами свободных алгебр. Канонические базисы идеалов свободных алгебр Ли были введены А. И. Ширшовым в 1962 г., [49,50]. Он доказал теорему о композиции, которая явилась основой для решения серии алгоритмических проблем теории алгебр Ли.

Идея рассмотрения наряду с коммутирующими антикоммути-рующих перемепных восходит к Грассмапу (1844 г.) и Клиффорду. Изучение супералгебр Ли началось в 1950-х годах. Основными источниками их изучения были теория супермногообразий, теория су-персимметрий, деформации алгебраических систем, гомологическая алгебра, алгебраическая топология (заметим, что свободные супералгебры Ли естественным образом возникают в теории гомотопий при рассмотрении гомотопических групп с произведением Уайтхе-да), см. [3,5,8,15,16,27,31,58,86,97,101,119,123,125,130,142-144,148, 153,170,178]. Систематическое изучение простых супералгебр Ли было начато В. Г. Кацем ([106-108]). Изучение свободных супералгебр Ли было начато Р. Ри, И. К. Бабенко, И. Л. Кантором, А. А. Михалевым, А. И. Штерном, А. И. Молевым и Л. М. Цаленко, Г. Мелансоном, см. [A3, А4,3,34,53,110,128,129,148].

Отметим статьи, обзоры и монографии, отражающие различные аспекты применения супералгебр Ли в теоретической физике: [59,77,84,95,104,109,139,177]. 22-градуированные алгебры (супералгебры) успешно применялись в исследованиях в алгебре (например, [18,111-114,162,180]).

Обобщенные (цветные) супералгебры Ли были введены Р. Ри в 1960 г. ([148]). В теоретической физике и теории операторов они естественно возникают как обобщения алгебр и супералгебр Ли ([35,122,137,151,152,154,172,173]). Ряд общих аспектов этой теории отражен в обзоре [126]. Начато изучение тождеств в цветных супералгебрах Ли ([А1,60,61]).

Методы исследования подалгебр свободных алгебр близки к теоретико-групповым методам и восходит к Нильсену и Шрайеру (см. [29,30,141,157]). А. Г. Курош и его школа начали исследова-

ние относительно свободных алгебр и их подалгебр ([11-14,23-25,47] и др.).

Канонические формы элементов различных алгебраических систем неоднократно использовались для решения алгоритмических проблем. Истоки таких расследований лежат в теории (полу)групп, теории графов, теории колец многочленов (см., например, [100,140]).

■ В некоммутативном случае различные варианты леммы о композиции (о слиянии) применялись в свободных неассоциативных алгебрах (А. И. Жуков [14]), в свободных алгебрах Ли (А. И. Ширшов [49]), в свободных ассоциативных алгебрах (Л. А. Бокуть [7], Дж. Бергман [64], Д. Аник [56], В. Н. Латышев [26], Е. С. Голод [91]).

Свободное дифференциальное исчисление для свободных групп было введено Фоксом в [85]. Дж. Бирман [66] получила матричный критерий распознавания автоморфизмов свободных групп. В [40] У. У. Умирбаев доказал аналог этого результата для свободных алгебр Ли (Ройтенауэр в [149] и В. Шпильрайн в [163] также получили этот критерий; более общая ситуация была рассмотрена В. Шпиль-райном в [163] и У. У. Умирбаевым в [42]). О. Г. Харлампович в [45] использовала свободное дифференциальное исчисление в связи с изучением условия Линдона для алгебр Ли. У. У. Умирбаев в [43] получил критерий для того, чтобы система элементов свободной группы имела данный ранг. В работе [164] В. Шпильрайн определил понятие ранга элемента свободной алгебры Ли и получил описание ранга однородного по длине элемента свободной алгебры Ли в терминах размерности линейного подпространства смешанных частных производных этого элемента.

•Отметим основные монографии, в которых затрагиваются различные аспекты комбинаторной теории алгебр Ли: [10] Н. Джекоб-сона, [39] Ж.-П. Серра, [4] Ю. А. Бахтурина, [22] А. И. Кострикина, [37] Ю. П. Размыслова, [17] В. Г. Каца, [150] К. Ройтенауера, [68] Л. А. Бокутя и Г. П. Кукина, а Также обзор [115] О. Г. Харлампович и М. В. Сапира. По комбинаторной теории супералгебр Ли вышло две монографии: [А1] Ю. А. Бахтурина, М. В. Зайцева, А. А. Михалева и В. М. Петроградского, и [А2] А. А. Золотых и А. А. Михалева. По общей теории супералгебр Ли следует упомянуть монографии [155] М. Шойнерта, [5] Ф. А. Березина, [27,28] Д. А. Лейтеса, [80] Б. де Витта.

Таким образом, в рамках некоммутативной компьютерной алгебры сформировалось активно развивающееся новое направление —

комбинаторная теория супералгебр Ли, к которой относится и данная диссертация.

Можно выделить четыре взаимосвязанных направления в компьютерной алгебре: системы символьных преобразований; алгоритмы компьютерной алгебры; сложность алгоритмов; приложения. Под системами понимается развитие языков программирования и сопутствующего программного обеспечения символьных преобразований. Теория алгоритмов компьютерной алгебры связана с исследованием эффективных математических алгоритмов для работы с алгебраическими объектами. Оценки сложности алгоритмов чрезвычайно важны при их практической реализации. Приложения относятся к символьным вычислениям в широком спектре областей знаний и дают важный стимул для развития систем и алгоритмов. Данная диссертация относится ко второму направлению из этих четырех (а именно, к построению алгоритмов и их математическому обоснованию), рассмотрение вопросов сложности созданных алгоритмов ограничивается лишь некоторыми комментариями, поскольку серьезный анализ такого рода составляет самостоятельное направление, основанное на других методах и идеях.

Цель работы. Целью работы является создание среды символьных вычислений в супералгебрах Ли, основанной на новых результатах автора в комбинаторной теории супералгебр Ли.

Методы исследования. В работе используются последние достижения комбинаторной и компьютерной алгебры, а также следующие разработанные автором методы и техника исследования свободных супералгебр Ли:

• техника канонических базисов в символьных преобразованиях;

• методы исследования подалгебр свободных алгебр;

• свободное дифференциальное исчисление в супералгебрах Ли.

Научная новизна. Основным результатом работы является построение системы алгоритмов комбинаторной теории супералгебр Ли, позволяющих производить символьные вычисления в свободных супералгебрах Ли и в супералгебрах Ли, заданных образующими и определяющими соотношениями (глава 5, алгоритмы 1-51). Эта система алгоритмов состоит из четырех групп алгоритмов:

I алгоритмы линейных вычислений в свободных супералгебрах Ли (параграф 5.1, алгоритмы 1-22);

II алгоритмы, основанные на свойствах приведенных подмножеств (параграф 5.2, алгоритмы 23-28);

III алгоритмы, использующие канонические базисы идеалов (параграф 5.3, алгоритмы 29-39);

IV алгоритмы, использующие свободное дифференциальное исчисление (параграф 5.4, алгоритмы 40-51).

Алгоритмы изложены в стандарте, принятом в компьютерной алгебре. Основными алгоритмами данной системы являются следующие:

• алгоритмы линейных вычислений в свободных супералгебрах Ли (алгоритмы 1-13, 15, 17);

• алгоритмы для определения, является ли элемент свободной ассоциативной алгебры сунерлиевским, или нет (алгоритмы 14, 16);

• алгоритм для извлечения «квадратного корня» из четного элемента свободной супералгебры Ли (алгоритм 20);

• алгоритм преобразования подмножества к приведенному виду (алгоритм 24);

• алгоритм для решения проблемы вхождения в конечно порожденную подалгебру свободной супералгебры Ли (алгоритм 26);

• алгоритм построения канонического базиса идеала свободной супералгебры Ли, порожденного однородными элементами (алгоритм 32);

• алгоритмы приведения к каноническому виду элемента супералгебры Ли, заданной образующими и устойчивым или однородным множеством определяющих соотношений (алгоритмы 33, 34);

• алгоритмы для решения проблемы равенства в супералгебрах Ли, заданных устойчивым или однородным множеством определяющих соотношений (алгоритмы 35, 36);

• алгоритмы построения канонического базиса супералгебры Ли, заданной однородным или устойчивым множеством определяющих соотношений (алгоритмы 37, 38);

• алгоритмы нахождения ранга подалгебр (алгоритмы 24, 40);

• алгоритмы для распознавания автоморфизмов свободной (р-)супералгебры (алгоритмы 28, 46);

• алгоритм «интегрирования» суперлиевского элемента по его частным производным (алгоритм 43);

• алгоритмы нахождения ранга (р-) суперлиевского элемента (системы элементов) и определения примитивности элемента и системы элементов (алгоритмы 44, 45);

• алгоритмы реализации ранга системы элементов и алгоритм построения дополнения к примитивной системе элементов до множества свободных образующих свободной (р-)супералгебры Ли (алгоритмы 49-51).

Отметим, что алгоритмы, связанные с определением рангов и примитивностью систем элементов были получены в соавторстве с А. А. Золотых при равном вкладе авторов.

Теоретические результаты глав 1-4 являются математическим обоснованием построенных алгоритмов (в частности, они гарантируют корректность алгоритмов и завершение их работы за конечное число шагов). Основными среди них являются следующие:

1) для свободных супералгебр Ли построены линейные базисы и доказана эквивалентность свойств Нильсена и Шрайера, что дает основу для алгоритмических исследований свободных супералгебр Ли (как следствие получена теорема о свободе подалгебр и исследованы свойства подалгебр), (теоремы 1,2, 6-20);

2) для супералгебр Ли и р-супералгебр Ли доказана теорема о композиции (супер-аналог теоремы А. И. Ширшова о композиции) , что дает возможность ввести понятие канонического базиса идеала свободной (р-)супералгебры Ли. В качестве следствий получен базис свободного произведения с объединенной подалгеброй, а также аналог теоремы Пуанкаре-Биркгофа-Витта для дифференциальных супералгебр Ли, (теоремы 25, 32-35);

3) получены результаты о строении подпространств суперлиев-ских элементов свободной ассоциативной алгебры, в частности, найдена структура супералгебр перемешиваний, построены базисы образов внутренних дифференцирований элементов свободных суперколец Ли (теоремы 3-5, 31);

4) для свободных (р-)супералгебр Ли развито свободное дифференциальное исчисление (универсальные дифференцирования, являющиеся аналогами частных производных Фокса в свободных группах):

4а) доказано, что для этих алгебр справедлива гипотеза о якобиане (аналог теоремы Дж.Бирман для свободных групп) (теоремы 37, 38);

46) доказана дифференциальная и финитная отделимость подалгебр (теоремы 26, 28);

4в) рассмотрены орбиты элементов при действии группы автоморфизмов; получен критерий того, что элемент имеет данный ранг (ранг элемента —- это наименьшее число свободных образующих, от которых зависит его образ после применения автоморфизма); получены критерии для определения ранга систем элементов; показано, что тестовые элементы мономорфизмов свободных (р-)супералгебр Ли — это элементы максимального ранга, (теоремы 41-45);

5) для примитивных элементов свободных алгебр и супералгебр Ли получены следующие результаты:

5а) получен критерий примитивности элемента и системы элементов в терминах обратимости матрицы частных производных (решение дифференциального варианта проблемы Серра для алгебр Ли и супералгебр Ли); доказано, что эндоморфизм свободной (р-) су п е р ал г е б р ы Ли, сохраняющий свойство примитивности элементов, является автоморфизмом (теоремы 45, 46, 48);

56) построен пример несвободной алгебры Ли когомологической размерности один (три образующих и одно определяющее соотношение; универсальная обертывающая алгебра

этой алгебры Ли является свободной ассоциативной алгеброй ранга два), что дает отрицательное решение проблемы о справедливости аналога теоремы Столлингса- Суона

ГТПО •> ЛПЛ^ГЧ ТТ»» ЛТ\

1МЛ1 Ч/ЧУ^ VI'! у 1 )'

Отметим, что результаты 4в и 5а были получены совместно с Л. А. Золотых, а 56 — совместно с А. А. Золотых и У. У. Умирбаевым при равном вкладе авторов. А. С. Штерн в [53] независимо построил базис в свободной супералгебре Ли над полем и показал, что справедлива теорема о свободе подалгебр и что четная компонента свободной супералгебры Ли имеет счетный ранг. Примыкающая теорема о свободе ^-градуированных подалгебр свободных супералгебр Ли была доказана Лемейром в [119].

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Построенная система алгоритмов может быть и уже используется в теоретических исследованиях (так, с ее помощью было найдено отрицательное решение проблемы о справедливости аналога теоремы Столлингса-Суона для алгебр Ли). В ряде случаев (даже для обычных алгебр Ли) построенные алгоритмы оказываются эффективнее имеющихся. Эти алгоритмы могут быть использованы при символьных вычислениях в суперструктурах теоретической физики. В диссертации разобран ряд конкретных примеров вычислений в свободных супералгебрах Ли с использованием построенных алгоритмов. Изложение алгоритмов позволяет включать их в системы компьютерной алгебры. Часть алгоритмов реализована в виде пакета программ А. А. Золотых и А. А. Михалева, включенного на дискете в их монографию [А2] (этот пакет содержит, в частности, базовую арифметику вычислений в свободных супералгебрах Ли, краткое изложение которой приведено в параграфе 5.6).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах по алгебре, по компьютерной алгебре и по программированию в Московском Государственном университете, на алгебраических семинарах Варшавского университета, на международных конференциях по алгебре (Новосибирск 1989, Барнаул 1991, Красноярск 1993), на 5-й научной школе по теории многообразий алгебраических систем (Барнаул 1988), на 4-й научной школе «Алгебры Ли и их применения в математике и физике» (Казань 1990), на 6-й научной школе по теории многообразий алгебраических систем

(Магнитогорск 1990), на б-м симпозиуме по теории колец, алгебр и модулей (Львов 1990), на 1-м Европейском математическом конгрессе (Париж 1992), на 3-й Международной конференции по неассоциативной алгебре (Овьедо 1993), на Международной конференции «Алгебра и анализ» (Казань 1994), на Международном математическом конгрессе (Цюрих 1994), на Международной конференции по теории полугрупп (С-Петербург 1995), на 7-м международном симпозиуме по формальным рядам и алгебраической комбинаторике (Марн-ля-Вал-ле 1995), на конференции «Интеллектуальные системы и компьютерное моделирование» (Москва 1995), на конгрессе молодых ученых «Молодежь и наука: взгляд в третье тысячелетие» (Москва 1996).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 40 работах автора, список которых приводится в конце автореферата (цикл работ [А16, А18-А21, А24-А26, А28, А40] выполнен в соавторстве с А. А. Золотых; работы [А17] и [А29] выполнены в соавторстве с А. А. Золотых и У. У. Умирбаевым; работа [АЗО] выполнена в соавторстве с Е. А. Васильевой; монография [А1] написана в соавторстве с Ю. А. Бахтуриным, М. В. Зайцевым и В. М. Петроградским; монография [А2] написана в соавторстве с А. А. Золотых).

Объем работы. Диссертация изложена на 291 страницах и состоит из введения и пяти глав. Библиография содержит 298 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе вводятся необходимые определения и доказываются основные факты о свободных супералгебрах Ли. В параграфе 1.1 приведены основные определения.

Пусть К — коммутативное ассоциативное кольцо с 1 и без 2-кручения, К* — группа обратимых элементов кольца К, С? — абе-лева полугруппа. Отображение е: С? х С —>■ К* называется коммутационным фактором на £7, если

£{д,к)е(Ь,д) = 1; е{д,д) = ± 1;

Ф, Л + /) — е[д, Л) е{д, /); е{д + Л, /) = ф, /) е(А, /)

для всех /, д, И £ £?.

Обозначим

С+ = {д е С I е(д,д) =1}, = {<? е С | е(д,д) = -1).

С-градуированная й"-алгебра Я — 0 Яд с умножением [, ]

де<?

является цветной супералгеброй Ли, если

[а,6]= -е(<*(а),</(6))[6,а] (е-антикоммутативность),

еИс), <*(а))[а, [Ь, с}} + е(с1(а), <1(Ь)) [Ь, [с, а]] + еЩЪ), ¿(с)) [с, [а, Ъ]] = О (е-тождество Якоби)

для С-однородных элементов а, 6, с £ Я и

[V, [и, и]] = О

для С_-однородных элементов V £ Я, с1(и) £

Пусть р — простое число, К — 2£р-алгебра. Цветная супералгебра Ли Я над К является цветной р-супергшгеброй Ли, если на однородных компонентах Яд, д £ , задано такое отображение а а^, й (а^) = рс1(а), что для всех а £ К, а, 6, с £ Я, (¡(а) = с/(6) £ С+, выполнены следующие условия:

ам,с

(аа)И = а"оМ; (ас! (с) =

(а + = а^]

= 0*1 а)" (с);

где jsj(a,Ь) — коэффициент при^-1 в многочлене (ас!(/а + 6))р-1(а), при этом (ас! а)(.г) = [а, г].

Мы будем обозначать

Я+ = 0 Яд, Я- = ф Яд.

В параграфе 1.2 введены универсальные конструкции, в частности, свободные цветные супералгебры VIII и их универсальные обертывающие алгебры.

Пусть X — б-градуированное множество, Б(Х) — свободная б-градуированная полугруппа на X, Г(Х) — свободный группоид неассоциативных одпочленов в алфавите X, и о V = [и, г] для и, V £ Г(Х) — умножение в Г(Х), : Г(Х) —> Я(Х) — гомоморфизм опускания скобок, [и] £ Г(Х) — некоторая расстановка скобок на слове и £

Пусть F(X) — свободная неассоциативная алгебра с множеством X свободных образующих над К. Алгебра F{X) является также и свободной G-градуированной неассоциативной алгеброй:

F(X) = @F(X)g,

дев

где F(X)g ■— /С-линейная оболочка всех элементов w £ Г(Х) с d(w) —д. Пусть теперь I -■— G-градуированный идеал в F(X), порожденный однородными элементами вида

[а, 6] + е(а, 6) [6, а], [[а, 6], с] - [а, [Ъ, с]] + е(а, Ь) [б, [а, с]], [и, [и, и]},

где а, 6, с, и — G-однородные элементы из Т(Х), d(u) G G_. Тогда L(X) = F(X)/I — свободная цветная Ji-супералгебра Ли.

Параграф 1.3 посвящен комбинаторике правильных слов и правильных одночленов. В параграфе 1.4 построены базисы свободных супералгебр Ли (теоремы 1 и 2).

Пусть множество X G-градуировано и вполне упорядочено и что множество S(X) упорядочено лексикографически. Одночлен и 6 Г(Х) называется правильным (по Линдону - Ширшову), если либо и € X,либо

(i) из и = [i¡i, иг] следует, что щ, u-¿ — правильные одночлены, ui>uÍ\ „ _

(ii) из и — [[«i, «г], из] следует, что «г < «з-

Одночлен и £ Г(Х) называется s-правильным, если либо и — правильный одночлен, либо и = [v, г], где v — правильный одночлен и d{v) GG_.

Теорема 1. Пусть К — коммутативное ассоциативное кольцо с 1 без 2-кручения и L(X) = F(X)/I — свободная цветная супералгебра Ли. Тогда множество смежных классов, представители которых — s-npaetubHbie одночлены, образует базис свободного G-градуированного К-модуля L(X).

Линейно упорядоченное подмножество R £ Г(Х) называется базисным семейством, если выполнены следующие условия:

1. XCR;

2. w = [u, iijgii тогда и только тогда, когда u,v £ R, и

(a) и > v;

(b) если и = [ui, и?], то и•> < v.

(c) w > V.

Теорема 2. Пусть К не имеет 2-кручения, X — G-градуиро-ванное множество, R — базисное семейство в Г(Х),

R' = {а, [6,6] | a,b€R, d(b) е <?-}•

Тогда смежные классы с представителями из R' образуют базис свободного К-модуля L(X) = F(X)/I.

Теоремы 3, 4 и 5 описывают случаи, когда образы внутренних дифференцирований элементов свободных супералгебр Ли выделяются прямыми слагаемыми. Параграф 1.5 посвящен специальным подмножествам Z, W и PZ свободных супералгебр Ли, которые используются в дальнейшем для исследования подалгебр свободных алгебр. Параграф 1.6 посвящен свойствам приведенных подмножеств (подмножество является приведенным, если старшая часть любого элемента этого подмножества не принадлежит подалгебре, порожденной старшими частями остальных элементов этого подмножества). Основными результатами этого параграфа являются теоремы 6 и 7, утверждающие, что любое приведенное подмножество свободной цветной (р-)супералгебры Ли является независимым, то есть является множеством свободных образующих подалгебры, которую оно порождает (то есть показана эквивалентность свойств Нильсена и Шрайера для свободных супералгебр Ли).

Следствиями этих результатов являются теоремы о свободе подалгебр (теоремы 8-10), а также теорема 11 о том, что множество элементарных автоморфизмов порождает группу автоморфизмов свободной цветной (р-)супералгебры Ли конечного ранга.

Теорема 8. Пусть К — поле, char Л' ф 2, Ь{Х) — свободная цветная супералгебра Ли, В — G-однородная подалгебра в L(X). Тогда В — свободная цветная супералгебра Ли.

В параграфе 1.7 исследуются свойства подалгебр свободных супералгебр Ли. В частности, теоремы 14 и 15 дают аналоги классических формул Шрайера для рангов подгрупп конечного индекса в случае подалгебр конечной коразмерности.

Теорема 16 утверждает, что пересечение подалгебр конечного ранга в свободной цветной р-супералгебре Ли также является подалгеброй конечного ранга. Следствием является аналогичный результат для свободных цветных супералгебр Ли над полем положительной характеристики. Теорема 17 показывает, что подалгебра конечного ранга с нетривиальной нечетной компонентой однозначно определяется этой компонентой.

Теорема 17. Пусть К — поле, char К ф 2, |Х_ | > 1 и А, В — G-однородные подалгебры конечного ранга в свободной цветной супералгебре Ли L(X), А = А+фА-, В = В+®ВЕсли А. — В- ф О, то А = В.

В подпараграфе 1.7.2 изучаются подалгебры бесконечного ранга.

Теорема 18. Пусть \Х~\ > 1, L(X) = L+ ф — свободная цветная супералгебра Ли, М = М+ ф М- — такая G-однородная подалгебра в L(X), что М_ = L- и dimL+/M+ = s < оо. Тогда rank(M) = оо,М = L{Y) и |У_| = оо.

Теорема 19 показывает, что четная компонента свободной цветной супералгебры Ли имеет бесконечный ранг, при этом найдены конкретные свободные образующие этой алгебры.

Теорема 20 утверждает, что множество неподвижных точек свободной цветной супералгебры Ли относительно действия конечной нетривиальной группы линейных автоморфизмов является подалгеброй бесконечного ранга.

Теорема 20. Пусть К — область главных: идеалов без 2-кручения, 2 < |Х| < оо и Н — конечная нетривиальная подгруппа группы F всех линейных автоморфизмов алгебры L(X). Тогда LH — свободная цветная супералгебра Ли бесконечного ранга.

Результаты главы 1 являются математическим обоснованием алгоритмов линейных вычислений в свободных супералгебрах Ли (алгоритмы 1-22, параграф 5.1), а также алгоритмов, основанных на преобразовании подмножеств свободных супералгебр Ли к приведенному виду, (алгоритмы 23-28, параграф 5.2).

Глава 2 посвящена каноническим базисам идеалов свободных супералгебр Ли. В параграфе 2.1 приводится лемма о слиянии для ассоциативных алгебр, а также рассматриваются односторонние идеа-

JTK! ГВПЙШНЛМ ЯГГЛПИЯТНВИПТ* я гтлайтль* Р тпгччлп^Лчо О О 1ЧШЛ1Т(.ГРГ.ПП.Г

---------М-------------------~ ««^«ч.

ется, как лемма о слиянии может быть применена для доказательства теорем типа теоремы Пуанкаре-Биркгофа-Витта. В частности, получен аналог теоремы Пуанкаре-Биркгофа-Витта для дифференциальных супералгебр Ли (теорема 25). Теорема 26 утверждает, что подалгебры цветных супералгебр Ли дифференциально отделимы.

Теорема 26. Пусть К — поле, L — цветная супералгебра Ли, В — подалгебра в L. Тогда подалгебра В дифференциально отделима, то есть если J — левый идеал в U(L), порожденный подалгеброй В, то LnJ = B.

В случае, когда char К = р > 2, пусть М — цветная р-супер-алгебра JIu, D — подалгебра в М. Тогда подалгебра D дифференциально отделима (относительно и(М)).

Утверждение теоремы 28 показывает, что свободные цветные сунералгебры Ли финитно отделимы.

Теорема 28. Пусть L(X) — свободная цветная супералгебра Ли над полем К (в случае char А' — р > 2 пусть также LP(X) — свободная цветная р-супералгебра Ли). Тогда алгебра L = L[X) (L — LP(X) соответственно) финитно отделима, то есть если а — G-однородный элемент в L, В — подалгебра конечного ранга, а £ В, то существуют такие конечномерная цветная (р-) супералгебра Ли Н и эпиморфизм ¡р: L -4 Н, что <р{а) <р{В).

В подпараграфе 2.2.4 рассматриваются структуры градуированных алгебр Хопфа на (ограниченных) универсальных обертывающих алгебрах цветных супералгебр Ли. Теорема 31 описывает структуру свободных супералгебр перемешиваний. В параграфе 2.3 изучаются особенности пересечения и включения между степенями правильных слов, индуцированные расстановки скобок, а также вводятся понятия композиций пересечения и включения для элементов свободной цветной (р-)супералгебры Ли. В параграфе 2.4 доказывается теорема 32 — теорема о композиции для свободных цветных супералгебр Ли.

Подмножество 5 С Ь(Х) (5 С 1/{Х)), состоящее из С-однород-ных элементов, называется устойчивым, если выполнены следующие условия:

(¡) коэффициенты при старших одночленах в «-правильной (в ре-правильной) записи элементов из 5 равны единице;

(11) если для а,Ь 6 5 существует композиция с = (а, 6) (или с = (а, 6)), то либо а(а,Ъ) £ Я, О ф а £ К (0(а,Ь) £ 5, 0 ф /3 € К соответственно), либо в ассоциативной записи

где а{ £ К, Si £ 5, Ai,Bi £ S(X), ЛгвГ^! = (а,Ь), А(ЩВ{ < AisTBi для всех г, где / обозначает старшее слово в записи элемента /£ Л(Х).

Теорема 32. Пусть К — поле, char К ф 2, L(X) — свободная цветная супералгебра Ли (в случае, когда char К = р > О, LP(X) — свободная цветная р-супералгебра Ли), S — устойчивое подмножество в L{X) {в LP(X)), id(S) — идеал в L{X) {в LP(X)), порожденный подмножеством S. Тогда для любого элемента а идеала id(S) слово а содержит подслово b для некоторого элемента b из S. Более того, s-правильные (ps-правильные) одночлены и, такие что еловой не содержит подслое b, b £ S, образуют линейный базис факторал-гебры L(X)/id(S) (Lp(X)/id(S) соответственно).

С использованием теоремы 32 в параграфе 2.5 доказываются теоремы 34 и 35 о базисах свободного произведения с объединенной подалгеброй цветных супералгебр Ли. В параграфе 2.6 построен линейный базис свободных лево-симметричных сунералгебр (теорема

Результаты главы 2 являются математическим обоснованием алгоритмов, использующих канонические базисы идеалов свободных супералгебр Ли для вычислений в супералгебрах Ли, заданных образующими и определяющими соотношениями (алгоритмы 29-39, параграф 5.3).

Глава 3 посвящена свободному дифференциальному исчислению в свободных супералгебрах Ли. В параграфе 3.1 приводятся необходимые определения и элементарные свойства частных производных.

36).

Любой элемент а свободной ассоциативной алгебры А(Х) имеет единственное представление в виде а = а ■ 1 + xi а\ + Х2 я-2 Н----, где

только конечное число элементов а,- £ Л(Х) отличны от нуля и а £ К. Злемент п.: няловем правой частной производной (правей частной

производной Фокса) элемента а по х.{ и обозначим а,- = —— = ——а.

C/Xj

Теоремы 37, 38 из параграфа 3.2 доказывают гипотезу о якобиане для свободных цветных (р-)супералгебр Ли.

Теорема 37. Пусть К — поле, X = {xi,..., хп}. Эндоморфизм tp свободной цветной (р-) супералгебры Ли является автоморфизмом тогда и только тогда, когда матрица Якоби J(f) обратима над А(Х). Более того, J(y>)-1 = <£>(J(<£-1)).

Теорема 39 дает матричный критерий независимости подмножества.

Теорема 39. Подмножество П = {hi,... ,hm} G-однородных элементов в L(X) (в LP(X)) независимо тогда и только тогда, когда столбцы матрицы J(H) независимы справа над А(Х).

В параграфе 3.3 собраны технические леммы о частных производных элементов свободпых цветных (р-)супералгебр Ли.

Результаты главы 3 являются математическим обоснованием алгоритмов 40, 46 (параграф 5.4), использующих свободное дифференциальное исчисление.

В главе 4 изучаются орбиты элементов свободных цветных (р-)супералгебр Ли относительно действия групп автоморфизмов этих алгебр. Элемент h свободной цветной (р-)супералгебры Ли имеет ранг к, если к — наименьшее число свободных образующих, от которых зависит элемент <p(h), где ср пробегает группу автоморфизмов этой алгебры. Пусть Lx = L{X) в том случае, когда char А" = 0, и Lx = LP(X) в том случае, когда char К = р > 2. Теорема 41 утверждает, что ранг элемента свободной цветной супералгебры Ли совпадает с рангом левого идеала свободной ассоциативной алгебры А{Х) (как свободного левого Л(Х)-модуля), порожденной частными производными этого элемента. Теорема 42 дает аналогичное утверждение для ранга системы элементов.

Теорема 42. Пусть hi,..., hk — G-однородные элементы алгебры Lx- Тогда ранг системы элементов {hi,...,hk} равен рангу

левого А(Х)-подмодуля А(Х)-модуля А(Х)'1 = А(Х)е 1 ф- • -фА(Х)ец, порожденного элементами

Теорема 43 утверждает, что мономорфизм свободной цветной (р-)супералгебры Ли, оставляющий на месте элемент максимального ранга, является автоморфизмом.

Система элементов свободной алгебры называется примитивной, если она является подмножеством некоторого множества свободных образующих этой алгебры. Теоремы 45 и 46 являются матричными критериями примитивности системы элементов.

Теорема 46. Пусть Л— О-однородные элементы алгебры 1>х ■ Тогда эквивалентны следующие условия: (]) система {/11,..., Л^} примитивна; (и) существуют такие элементы га^ € А{Х)> ' = 1) } = 1,..., п, что для всех г, в = 1,..., к

Для свободной цветной супералгебры Ли это утверждение справедливо лишь над полем нулевой характеристики. Теорема 47 дает пример алгебры Ли над полем положительной характеристики, заданной тремя образующими и одним определяющим соотношением, со следующими свойствами: эта алгебра не является свободной алгеброй Ли, однако ее когомологическая размерность равна единице и универсальная обертывающая алгебра этой алгебры Ли является свободной ассоциативной алгеброй ранга два, что дает отрицательное решение проблемы о справедливости аналога теоремы Столлинг-са-Суона для алгебр Ли. Теорема 48 утверждает, что эндоморфизм свободной цветной (р-)супералгебры Ли, сохраняющий свойство примитивности элементов, является автоморфизмом.

слева.

Результаты главы 4 являются математическим обоснованием алгоритмов для нахождения характеристик орбит элементов свободных супералгебр Ли относительно действия групп автоморфизмов, использующих свободное дифференциальное исчисление (алгоритмы 41-51, параграф 5.4).

Глава 5 посвящена алгоритмам комбинаторной теории супералгебр Ли. Приводится ряд примеров вычислений с помощью построенных алгоритмов. В параграфе 5.1 приведены алгоритмы линейных вычислений в свободных цветных супералгебрах Ли и в свободных цветных р-супералгебрах Ли (комбинаторные алгоритмы для г-правильных и ре-правильных слов и одночленов (алгоритмы 1-9, 21, 22); алгоритмы записи элементов свободных супералгебр Ли в (р)ь~-прав ильном базисе (алгоритмы 10-13, 15, 17); алгоритмы записи ассоциативного элемента в РВИл-базисе (алгоритмы 18, 19); алгоритмы определения суперлиевости ассоциативного элемента (алгоритмы 14, 16); алгоритм «извлечения квадратного корня» из четного элемента свободной цветной супералгебры Ли (алгоритм 20)).

В параграфе 5.2 собраны алгоритмы, основанные на преобразовании подмножеств свободных супералгебр Ли к приведенному виду (алгоритм преобразования подмножества к приведенному виду; алгоритм построения приведенного множества порождающих элементов подалгебры; алгоритм определения ранга подалгебры; алгоритмы распознавания мономорфизмов и автоморфизмов (алгоритмы 23-28)).

В параграфе 5.3 изложены алгоритмы, использующие технику канонических базисов свободных супералгебр Ли (взаимо-редукция элементов, построение канонического базиса однородного идеала, нахождение канонической формы элемента в факторалгебре свободной (р)-супералгебры Ли; решение проблемы равенства в свободной супералгебре Ли, заданной образующими и устойчивым или однородным множеством определяющих соотношений; построение линейного базиса факторалгебры свободной (р)-супералгебры Ли, (алгоритмы 29-39)).

Параграф 5.4 посвящен алгоритмам определения характеристик орбит элементов свободных супералгебр и р-супералгебр Ли относительно действия групп автоморфизмов этих алгебр, использующим свободное дифференциальное исчисление (алгоритмы нахождения ранга подалгебры, интегрирования элемента, нахождения ранга системы элементов, распознавания примитивности системы элементов, реализации ранга системы элементов и дополнения примитивной

системы элементов до свободного порождающего множества свободной супералгебры Ли (алгоритмы 40-51)).

В параграфе 5.5 на ряде примеров демонстрируются применения построенных алгоритмов.

В параграфе 5.6 приведен пример компьютерной реализации основных алгоритмов линейных вычислений в свободных супералгебрах Ли. Дано описание программы CALS, реализующей базовую арифметику и основные алгоритмы линейных вычислений в свободных супералгебрах Ли (эта программа включена на дискете в монографию [А2] А. А. Золотых и А. А. Михалева), приведены примеры вычислений с использованием программы CALS.

Автор благодарен: А. И. Кострикину, Е. И. Зельманову, Ю. И. Манину, А. Л. Шмелькину, Ю. А. Бахтурину, М. В. Зайцеву, У. У. Умирбаеву и В. Э. Шпильрайну за многочисленные обсуждения проблем теории алгебр и супералгебр Ли; В. Н. Латышеву, Л. А. Бокутю, А. А. Золотых, У. У. Умирбаеву, А. Г. Кушниренко, Е. В. Панкратьеву, Е. В. Зима за обсуждение проблем комбинаторной и компьютерной алгебры и их приложений.

Литература

[1] А. Акритас. Основы компьютерной алгебры с приложениями. — М.: Мир, 1994.

[2] А. Ахо, Дж. Хопкрофт, Дж. Ульман. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. — М.: Мир, 1979.

[3] И. К. Бабенко. Аналитические свойства рядов Пуанкаре пространств петель // Матем. заметки. — 1980. — Т. 27. — С. 751-765.

[4] Ю. А. Бахтурин. Тождества в алгебрах Ли. — М.: Наука, 1985.

[5] Ф. А. Березин. Введение в алгебру и анализ с некоммутирую-щими переменными. — М.: Изд-во МГУ, 1983.

[6] Г. Биркгоф, Т. Барти. Современная прикладная алгебра. — М.: Мир, 1976.

[7] Л. А. Бокуть. Вложения в простые ассоциативные алгебры // Алгебра и логика. — 1976. — Т. 15, № 2. — С. 117-142.

[8] С. И. Гельфанд, Ю. И. Манин. Методы гомологической алгебры. I. — М.: Наука, 1988.

[9] Дж. Давенпорт, И. Сирэ, Э. Турнье. Компьютерная алгебра. — М.: Мир, 1991.

[10] Н. Джекобсон. Алгебры Ли. — М.: Мир, 1964.

[11] М. М. Глухов. Свободные разложения и алгоритмические проблемы в ^-многообразиях универсальных алгебр // Матем. сб. — 1971. — Т. 85, № 3. — С. 307-338.

[12] Ц. Е. Дицидзе. Неассоциативные свободные суммы алгебр с объединенной подалгеброй // Матем. сб. — 1957. — Т. 43, № 3. — С. 379-396.

[13] А. И. Жуков. Неассоциативные свободные разложения алгебр с конечным числом образующих // Математический сборник. — 1950. — Т. 26. — С. 471-478.

[14] А. И. Жуков. Приведенные системы определяющих соотношений в неассоциативных алгебрах // Математический сборник. — 1950. — Т. 27, № 2. — С. 267-280.

[15] М. В. Карасев, В. П. Маслов. Нелинейные скобки Пуассона. — М.: Наука, 1991.

[16] А. Картан, С. Эйленберг. Гомологическая алгебра. — М.: ИЛ, 1960.

[17] В. Кац. Бесконечномерные алгебры Ли. М.: Мир, 1993.

[18] А. Р. Кемер. Многообразия и Жг-градуированные алгебры // Изв. АН СССР, сер. мат. — 1984. — Т. 48, № 5. — С. 1042-1059.

[19] Д. Кнут. Искусство программирования для ЭВМ. М.: Мир, Т. 1: 1976; Т. 2: 1977; Т. 3: 1978.

[20] Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления. — М.: Мир, 1986.

[21] П. Кон. Свободные кольца и их связи. — М.: Мир, 1975.

[22] А. И. Кострикин. Вокруг Бернсайда. — М.: Наука, 1986.

[23] А. Г. Курош. Неассоциативные свободные алгебры и свободные произведения алгебр // Мат. сборник. — 1947. — Т. 20, № 2. — С. 239-262.

[24] А. Г. Курош. Неассоциативные свободные суммы алгебр // Мат. сборник. — 1955. — Т. 37, № 2. — С. 251-264.

[25] А. Г. Курош. Свободные суммы мультиоператорных алгебр // Сиб. мат. ж. — 1960. — Т. 1, № 1. — С. 62-70.

[26] В. Н. Латышев. Комбинаторная теория колец, стандартные базисы. — М.: Изд. МГУ, 1988.

[27] Д. А. Лейтес. Теория супермногообразий. — Петрозаводск: изд-во К ФАН СССР, 1983.

[28] Д. А. Лейтес. Супералгебры Ли // ВИНИТИ. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Т. 25. — М.: ВИНИТИ, 1984. — С. 3-50.

[29] Р. Линдон, П. Шупп. Комбинаторная теория групп. — М.: Мир, 1980.

[30] В. Магнус, А. Каррас, Д. Солитэр. Комбинаторная теория полугрупп. — М.: Наука, 1974.

[31] Ю. И. Манин. Калибровочные поля и комплексная геометрия. — М., Наука, 1984.

[32] А. И. Мальцев. Алгебраические системы. — М.: Наука. 1970.

[33] А. В. Михалев, Е. В. Панкратьев. Компьютерная алгебра. Вычисления в дифференциальной и разностной алгебре. — М.: Изд-во МГУ, 1989.

[34] А. И. Молев, Л. М. Цаленко. Представление симметрической группы в свободной (супер)алгебре Ли и в пространстве гармонических многочленов // Фупкцион. анал. и прилож. — 1986. — Т. 20, № 2. — С. 76-77.

[35] М. В. Мосолова. О функциях от некоммутирующих операторов, порождающих градуированную алгебру Ли // Мат. заметки. — 1981. — Т. 29, № 1. — С. 35-44.

[36] Е. В. Панкратьев. Компьютерная алгебра. Факторизация многочленов. — М.: Изд-во МГУ, 1988.

[37] Ю. П. Размыслов. Тождества алгебр и их представлений. — М., Наука, 1989.

[38] Э. Рейнгольд, Ю. Нивергельт, II. Део. Комбинаторные алгоритмы. Теория и практика. — М.: Мир, 1980.

[39] Ж.-П. Серр. Алгебры Ли и группы Ли. — М.: Мир, 1969.

[40] У. У. Умирбаев. Об якобиане алгебр Ли // 6-я Сибирская школа по многообр. алгебр, систем. Тезисы сообщ. — Магнитогорск, 1990. — С. 32-33.

[41] У. У. Умирбаев. Некоторые алгоритмические вопросы ассоциативных алгебр // Алгебра и логика. — 1993. — Т. 32, № 4. — С. 450-470.

[42] У. У. Умирбаев. Частные производные и эндоморфизмы некоторых относительно свободных алгебр Ли // Сиб. матем. журн. — 1993. — Т. 34, № 6. — С. 179-188.

[43] У. У. Умирбаев. Примитивные элементы свободных групп // УМН. — 1994. — Т. 49, № 2. — С. 175-176.

[44] В. А. Уфнаровский. Комбинаторные и асиптотические методы в алгебре // Итоги науки и техн. Совр. пробл. матем. Фундам. напр. Т. 57. — М.: ВИНИТИ, 1990. — С. 5-177.

[45] О. Г. Харлампович. Условие Линдона для разрешимых алгебр Ли // Изв. вузов. Мат. — 1984. — № 9. — С. 50-59.

[46] А. И. Ширшов. Подалгебры свободных лиевых алгебр // Мат. сб. — 1953. — Т. 33, № 2. — С. 441-452.

[47] А. И. Ширшов. Подалгебры свободных коммутативных и свободных антикоммутативных алгебр // Мат. сб. — 1954. — № 1. — С. 81-88.

[48] А. И. Ширшов. О свободных кольцах Ли // Мат. сб. — 1958. — Т. 45, № 2. — С. 113-122.

[49] А. И. Ширшов. Некоторые алгоритмические проблемы для алгебр Ли // Сиб. мат. ж. — 1962. — Т. 3, № 2. — С. 292-296.

[50] А. И. Ширшов. Об одной гипотезе теории алгебр Ли // Сиб. мат. ж. — 1962. — Т. 3, № 2. — С. 297-301.

[51] А. И. Ширшов. О базах свободной алгебры Ли // Алгебра и логика. Семинар. — 1962. — Т. 1, № 1. — С. 14-19.

[52] А. И. Ширшов. Избранные труды. Кольца и алгебры. — М.: Наука, 1984.

[53] А. С. Штерн. Свободные супералгебры Ли // Сиб. мат. ж. — 1986. — Т. 27, № 1. — С. 170-174.

[54] Е. Abe. Hopf Algebras. — Cambridge-New York: Cambridge Univ. Press, 1980.

[55] W. W. Adams, Ph. Loustaunau. An Introduction to Grobner Bases. — Providence: Amer. Math. Society, 1994.

[56] D. J. Anick. On the cohomology of associative algebras // Trans. Amer. Math. Soc. — 1986. — V. 296. — P. 641-659.

[57] J. Apel, W. Lassner. Computation and simplification in Lie fields // Lecture Notes in Comput. Sci. — 1989. —V. 378. — P. 468-478.

[58] L. L. Avramov. Free Lie subalgebras of the homology of local rings // Trans. Amer. Math. Soc. — 1982. — V. 270. — P. 589-608.

[59] J. Bagger, J. Wess. Supersymmetry and Supergravity. — Princeton Univ. Press, 1983.

[60] Yu. A. Bahturin, V. S. Drensky. Identities of the soluble color Lie superalgebras // Algebra i Logika. — 1987. — V. 26. — P. 403-418.

[61] Yu. A. Bahturin, M. V. Zaicev. Residual finiteness of color Lie su-peralgebras // Trans. Airier. Math. Soc. — 1993. — V. 337. — P. 159-180.

[62] Th. Becker, V. Weispfenning. Grobner Bases. A Computational Approach to Commutative Algebra. — Berlin: Springer-Verlag, 1993.

[63] P. Beckman, J. Stiickrad. The concept of Grobner algebras // J. Symbolic Comput. — 1990. — V. 10. — P. 465-479.

[64] G. M. Bergman. The diamond lemma for ring theory // Adv. Math. — 1978. — V. 29. — P. 178-218.

[65] G. Birkhoff, T. C. Bartee. Modern Applied Algebra. — McGraw-Hill Book Company, 1970.

[66] J. S. Birman. An inverse function theorem for free groups // Proc. Amer. Math. Soc. — 1973. — V. 41. — P. 634-638.

[67] D. Blessenohl, H. Laue. A basis construction for free Lie algebras // Exposition. Math. — 1993. — V. 11. — P. 145-152.

[68] L. A. Bokut', G. P. Kukin. Algorithmic and Combinatorial Algebra. — Dordrecht, Kluwer Academic Publ., 1994.

[69] B. Buchberger. An Algorithm for Finding a Basis for the Residue Class Ring of a Zero-Dimensional Polynomial Ideal: Ph. D. Thesis, Univ. of Ihnsbruck, 1965.

[70] B. Buchberger, R. Loos. Algebraic simplification // Comput. Sup-pi. — 1982. — V. 4. — P. 11-43; Computer Algebra. Symbolic and Algebraic Computation. — Wien-New York: Springer-Verlag, 1983.

[71] R. Cecchini, M. Tarlini. Symbolic superalgebra manipulation using COMMON LISP // Comput. Phys. Comm. — 1990. — V. 60, № 2. — P. 265-270.

[72] R. Cecchini, M. Tarlini. A Computer Algebra System for Lie and Poisson Superalgebras Manipulation. — Univ. di Firenze, Italy.

[73] K. T. Chen, R. H. Fox, R. C. Lyndon. Free differential calculus. IV. The quotient groups of the lower central series // Ann. of Math. (2). — 1958. — V. 68. — P. 81-95.

[74] Computational Aspects of Commutative Algebra / Ed. L. Rob-biano. — Academic Press, 1989.

[75] Computers in Algebra / Ed. M. C. Tangora. — New York: Marcel Dekker, 1988.

[76] Computers in Nonassociative Rings and Algebras / Ed. R. E. Beck and B. Kolman. — New York: Academic Press, 1977.

[77] L. Corwin, Y. Ne'eman, S. Sternberg. Graded Lie algebras in mathematics and physics (Bose-Fermi symmetry) // Rev. Modern Phys. — 1975. — V. 47. — P. 573-603.

[78] J. Demetrovics, E. Knuth, P. Rado. Computer-Aided Specification Techniques. — Singapore: World Scientific, 1986.

[79] J. Desarmenien, G. Duchamp, D. Krob, G. Melangon. Quelques remarques sur les super-algebres de Lie libres // C. R. Acad. Sei. Paris. Ser. I Math. — 1994. — V. 318. — P. 419-424.

[80] B. DeWitte. Supermanifolds. — Cambridge Univ. Press, 1984.

[81] G. Duchamp, D. Krob. Computing with P.B.W. in enveloping algebras // Lecture Notes in Control and Inform. Sei. — 1991. — V. 165, — P. 223-240.

[82] J.-P. Duval. Factorizing words over an ordered alphabet //J. Algorithms. — 1983. — V. 4. — P. 363-381.

[83] G. L. Feldman. Ends of Lie algebras // Uspekhi Mat. Nauk. — 1983. — V. 38, № 1. — P. 199-200.

[84] S. Ferrara. Supersymmetry. — Amsterdam, North-Holland, 1987.

[85] R. H. Fox. Free differential calculus. I. Derivations in free group rings // Ann. of Math. (2). — 1953. — V. 57. — P. 547-560.

[86] A. Frölicher, A. Nijenhuis. Theory of vector valued differential forms, I // Indag. Math. (N. S.). — 1956. — V. 18. — P. 338-359.

[87] T. Gateva-Ivanova, V. N. Latyshev. On recognizing properties of associative algebras //J. Symbolic Comput. — 1988. — V. 6. — P. 371-388.

[88] K. O. Geddes, S. R. Czapor, G. Labahn. Algorithms for Computer Algebra. — Kluwer Academic Publ., 1992.

[89] V. P. Gerdt, I. R. Akselrod, V. E. Kovtun, V. N. Robuk. Construction of a Lie algebra by a subset of generators and commutation relations // Computer Algebra in Physical Researches — Singapore: World Scientific, 1991. — P. 306-312.

[90] V. P. Gerdt, W. Lassner. Isomorphism verification for complex and real Lie algebras by Gröbner basis technique // Modern Group Analysis: Advanced Analytical and Computational Methods in Mathematical Phvsic? — Dordrecht: K!"wpr Academic Publ. 1993. — P. 245-254.'

[91] E. S. Golod. Standard bases and homology // Lecture Notes in Math. — 1988. — V. 1352. — P. 88-95.

[92] P. K. H. Gragert. Lie algebra computations // Acta Appl. Math. — 1989. — V. 16. — P. 231-242.

[93] R. Graham, D. Knuth, 0. Patashnik. Concrete Mathematics. A Foundation for Computer Science. — New York: Addison-Wesley, 1994.

[94] E. L. Green. An introduction into noncommutative Gröbner bases // Comput. Algebra. — Marcel Dekker, 1993. — P. 167-190.

[95] M. B. Green, J. H. Schwartz, E. Witten. Superstring Theory. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1987.

[96] U. Grenander. Mathematical Experiments on the Computer. — New-York: Academic Press, 1982.

[97] R. M. Hain. Iterated Integrals and Homotopy Periods. — Providence, Rhode Island: Amer. Math. Soc., 1984.

[98] M. Hall. A basis for free Lie rings and higher commutators in free groups // Proc. Amer. Math. Soc. — 1950. — V. 1. — P. 575-581.

[99] P. Hall. A contribution to the theory of groups of a prime power order // Proc. London Math. Soc. (2). —1933. — V. 36. — P. 29-95.

[100] G. Hermann. Die Frage der endlichen vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale // Math. Ann. — 1926. — B. 95. — S. 736-788.

[101] P. J. Hilton. On the homotopy groups of the union of spheres // J. London Math. Soc. (1). — 1955. — V. 30. — P. 154-172.

[102] E. Horowitz, S. Sahni. Fundamentals of Computer Algorithms. — Computer Science Press, 1978.

[103] D. I. Hughes. Symbolic computation with fermions // J. Symbolic Comput. — 1990. — V. 10. — P. 657-664.

[104] C. Itzykson, J. B. Zuber. Quantum Field Theory. — New York: McGraw-Hill Book Company, 1980.

[105] N. Jacobson. Lie Algebras. —- New York: Wiley, 1962.

[106] V. G. Kac. A sketch of Lie superalgebras theory // Comm. Math. Phys. — 1977. — V. 53. — P. 31-64.

[107] V. G. Kac. Classification of simple Z-graded Lie superalgebras and simple Jordan superalgebras // Comm. Algebra. — 1977. — V. 13. — P. 1375-1400.

[108] V. G. Kac. Lie superalgebras // Adv. Math. — 1977. — V. 26. — P. 8-96.

[109] V. G. Kac, J. M. van der Leur. Super boson-fermion correspon-dense // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). — 1987. — V. 37, № 4. — P. 99-137.

[110] I. L. Kantor. An Analogue of E.Witt's Formulafor the Dimensions of Homogeneous Components of Free Lie Superalgebras. — Deposited at VINITI, № 2384-84.

[111] I. L. Kantor. Jordan and Lie superalgebras determined by a Poisson algebra // Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2. — 1992. — V. 151. — P. 55-80.

[112] I. Kaplansky. Graded Lie Algebras, I, II. — Univ. of Chicago Report, 1976.

[113] I. Kaplansky. Superalgebras // Pacific J. Math. — 1980. — V. 86. — P. 93-98.

[114] I. Kaplansky. Z2-graded algebras // Illinois J. Math. — 1991. — V. 35, № 1. — P. 85-92.

[115] O. G. Kharlampovich, M. V. Sapir. Algorithmic Problems in Vari-etis // Intern. J. Algebra and Computation. — 1995. — V. 5, № 5.

[116] A. V. Kondratiev, A. B. Verevkin. Package of Programs for Calculation of Groebner Basis, Canonical Elements, Hilbert Series, and to Define the Rationality of the Hilbert Series of Graded Associative Algebras. — Ulyanovsk Branch of Moscow State Univ., 1994.

[117] P.-V. Koseleff. Jeux de mots dans les algebres de Lie libres: quelques bases et formules // Theoret. Comput. Sei. — 1991. — V. 79. — P. 241-256.

118] Ph. Le Chenadec. Canonical Forms in Finitely Presented Algebras. — London-New York: Pitman, 1986.

119] J. M. Lemaire. Algèbres Connexes et Homologie des Espaces de Lacets. Lecture Notes in Math. 422. — 1974.

120] J. D. Lipson. Elements of Algebra and Algcbraic Computing. — Addison-Wesley, 1981.

121] M. Lothaire. Combinatorics on Words. — Addison-Wesley, 1983.

122] J. Lukierski, V. Rittenberg. Color-de Sitter and color-conformal su-peralgebras // Phys. Rev. D. (3). — 1978. — V. 18. — P. 385-389.

123] S. MacLane. Homology. — Berlin: Springer-Verlag, 1963.

124] Yu. I. Manin. Quantum Groups and Non-Commutative Geometry: Preprint CRM-1561, Montreal, 1988.

125] Yu. I. Manin. Topics in Non-Commutative Geometry. — Princeton Univ. Press, 1991.

126] W. Marcinek. Generalized Lie algebras and related topics, I, II // Acta Univ. Wratislav. Mat. Fiz. Astronom. — LV, № 1170. — P. 3-52.

127] II. Meier-Wunderli. Note on a basis of P. Hall for the higher commutators in free groups // Comment. Math. Helv. — 1952. — V. 26. — P. 1-5.

128] G. Melançon. Réécritures dans le Groupe Libre, l'Algèbre Libre et l'Algèbre de Lie Libre: Ph.D. Thesis, Univ. du Québec à Montréal,

1991.

129] G. Melançon, Ch. Reutenauer. Une présentation combinatoire de la super-algèbre de Lie libre // C. R. Acad. Sei. Paris Sér. I Math. —

1992. — V. 315. — P. 1215-1220.

130] J. W. Milnor, J. C. Moore. On the structure of Hopf algebras // Ann. of Math. (2). — 1965. — V. 81. — P. 211-264.

131] R. Mines, F. Richman, W. Ruitenberg. A Course in Constructive Algebra. — New York: Springer-Verlag, 1988.

132] B. Mishra. Algorithmic Algebra. — Berlin: Springer-Verlag, 1993.

133] S. Montgomery. Hopf Algebras and Their Action on Rings. — Amer. Math. Soc., 1992.

134] A. Montorsi, M. Rasetti. Symbolic manipulation techniques for (Z2-graded) Lie, Hopf and Hecke algebras // Rend. Sem. Fac. Sci. Univ. Cagliari. — 1991. — V. 61, № 1. — P. 107-110.

135] T. Mora. Grobner Basis for Non-Commutative Polynomial Rings // Lecture Notes in Comput. Sci. — 1986. — V. 229. — P. 353-362.

136] T. Mora. Seven Varitions on Standard Bases. — Report Dip. Mat. Univ. Genoa, 1988.

137] W. Nahm, V. Rittenberg, M. Scheunert. Generalized superalgebras. Phys. Lett. B. V. 61. — 1976.

138] C. Nastasescu, F. van Oystaeyen. Graded Ring Theory. — Amsterdam: North-Holland, 1982.

139] Y. Neeman. The application of graded Lie algebras to invariance considerations in particle physics // Lecture Notes in Math. — 1977. — V. 570. — P. 109-144.

140] M. H. A. Newman. On theories with a combinatorial definition of «equivalence» // Ann. of Math. (2). — 1942. — V. 43/2. — P. 223-243.

141] J. Nielsen. Om Regning med ikke-kommutative Faktoren og dens Anvendelse i Gruppetheorien // Mat. Tidskr. B. — 1921. — P. 77-94.

142] A. Nijenhuis, R. W. Richardson. Cohomology and deformations of algebraic structures // Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.). — 1964. — V. 70. — P. 406-411.

143] A. Nijenhuis, R. W. Richardson. Cohomology and deformations in graded Lie algebras // Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.). — 1966. — V. 72, № 1, part 1. — P. 1-29.

144] A. Nijenhuis, R. W. Richardson. Deformation of Lie algebra structures // J. Math. Mech. — 1967. — V. 17, № 1. — P. 89-105.

145] D. E. Radford. A natural ring basis for the shuffle algebra and an application to group schemes // J. Algebra. — 1979. — V. 58. — P. 432-454.

146] D. W. Rand. Pascal programs for identification of Lie algebras. 3. Levi decomposition and canonical basis // Comput. Phys. Comm. — 1987. — V. 46. — P. 311-322.

147] R. Ree. Lie elements and an algebra associated with shuffles // Ann. of Math. (2). — 1958. — V. 68. — P. 210-220.

148] R. Ree. Generalized Lie elements // Canad. J. Math. — 1960. — V. 12. — P. 493-502.

149] Ch. Reutenauer. Applications of a noncommutative Jacobian matrix // J. Pure Appl. Algebra. — 1992. — V. 77. — P. 169-181.

150] Ch. Reutenauer. Free Lie Algebras. — Oxford: Clarendon Press, 1993.

151] V. Rittenberg, D. Wyler. Generalized superalgebras //J. Nucl. Phys. B. — 1978. — V. 139. — P. 189-202.

152] V. Rittenberg, D. Wyler. Sequences of Z2 © Z2-graded Lie algebras and superalgebras // J. Math. Phys. — 1978. — V. 19. —

. P. 2193-2200.

153] L. E. Ross. Representations of graded Lie algebras // Trans. Amer. Math. Soc. — 1965. — V. 120, JV= 1. — P. 17-23.

154] M. Scheunert. Generalized Lie algebras //J. Math. Phys. — 1979. — V. 20. — P. 712-720.

155] M. Scheunert. The Theory of Lie Superalgebras. An Introduction. Lecture Notes in Math. V. 716. — 1979.

156] A. H. Schofield. Representations of Rings over Skew Fields. London Math. Soc. Lecture Note Ser. V. 92. — 1985.

157] O. Schreier. Die Untergruppen der freien Gruppen // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. — 1927. — B. 5. — S. 161-183.

158] M.-P. Schützenberger. Sur une propriété combinatoire des al-gèbres de Lie libres pouvant être utilisée dans un problème de Mathématiques appliquées: Séminaire Dubreil-Pisot. — Institut Henri Poincaré, Paris, 1958.

159] M.-P. Schützenberger. On a factorization of free monoids // Proc. Amer. Math. Soc. — 1965. — V. 16, N>- 1. — P. 21-24.

160] M.-P. Schützenberger. Sur les Bases de Hall. Notes Manuscrites. — 1971.

161] D. Segal. Free left-symmetric algebras and an analogue of the Poincaré-Birkhoff-Witt theorem // J. Algebra. — 1994. — V. 164. — P. 750-772.

[162] I. P. Shestakov. Superalgebras and counterexamples // Sibirsk. Mat. Zh. — 1991. — V. 32, № 6. — P. 187-196.

[163] V. Shpilrain. On generators of L/R2 Lie algebras // Proc. Amer. Math. Soc. — 1993. — V. 119. — P. 1039-1043.

[164] V. Shpilrain. On the rank of an element of a free Lie algebra // Proc. Amer. Math. Soc. — 1995. — V. 123. — P. 1303-1307.

[165] F. Spitzer. A combinatorial lemma and its applications to probability theory // Trans. Amer. Math. Soc. — 1956. — V. 82. — P. 323-339.

[166] J. R. Stallings. On torsion-free groups with infinitely many ends // Ann. of Math. (2). — 1968. — V. 88, № 2. — P. 312-334.

[167] R. G. Swan. Groups of cohomological dimension one //J. Algebra. — 1969. — V. 12. — P. 585-610.

[168] M. E. Sweedier. Hopf Algebras. — New York: Benjamin, 1969.

[169] Symbolic and Algebraic Computation by Computers / Ed. N. Inada and T. Soma. — World Scientific, 1985.

[170] H. Sze-Tsen. Homotopy Theory. — New York-London: Academic Press, 1959.

[171] V. A. Ufnarovsky. Calculations of growth and Hilbert series by computer // Comput. Algebra. — Marcel Dekker, 1993.

[172] M. A. Vasiliev, De Sitter supergravity with positive cosmological constant and generalized Lie superalgebras // Classical and Quantum Gravity. — 1985. — V. 2. — P. 645-652.

[173] M. A. Vasiliev. Some properties of generalized (Zu)"-graded Lie superalgebras and generalized de Sitter supersymmetry // Quantum Field Theory and Quantum Statistics. V. 2. — Hilger, Bristol, 1987. — P. 273-298.

[174] M. Vaughan-Lee. An algorithm for computing graded algebras // J. Symbolic Comput. — 1993. — V. 16. — P. 345-354.

[175] G. Viennot. Algebres de Lie Libres et Monoi'des Libres. Lecture Notes in Math. V. 691. — 1978.

[176] M. A. Ward. Basic commutators // Trans. Roy. Philos. Soc. London A. — 1969. — V. 264. — P. 343-412.

[177] P. West. Introduction to Supersymmetry and Supergravity. — World Scientific, 1990.

[178] G. Whitehead. Elements of Homotopy Theory. — Springer-Verlag, 1972.

[179] E. Witt. Die Unterringe der freien Lieschen Ringe // Math. Z. — 1956. — V. 64. — P. 195-216.

[180] E. I. Zelmanov. Superalgebras and identities // Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2. — 1991. — V. 148. — P. 39-46.

[181] A. A. Zolotykh. On calculations of integer-valued characteristics of representations of simple Lie algebras. 4th Internat. Conf. on Computer Algebra in Phys. Researches. Abstracts of Reports. — Dubna, 1990. — P. 75.

[182] A. A. Zolotykh. A package for computations in simple Lie algebra representations // Proc. of the 1991 Internat. Sympos. on Symbolic and Algebraic Comput. — Bonn: ACM Press, 1991. — P. 237-238.

Работы автора по теме диссертации

Монографии:

[Al] Yu. A. Bahturin, A .A. Mikhalev, М. V. Zaitsev, V. М. Petrograd-sky. Infinite Dimensional Lie Superalgebras. — Berlin, New York: Walter de Gruyter Publ., 1992. —- x + 250 pp.

[A2] A. A. Mikhalev, A. A. Zolotykh. Combinatorial Aspects of Lie Superalgebras. — Boca Raton, New York: CRC Press, 1995. — viii + 260 pp.

Статьи:

[A3] А. А. Михалев. Подалгебры свободных цветных супералгебр Ли // Матем. заметки. — 1985. — Т. 37, № 5. — С. 653-661.

[A4] А. А. Михалев. Свободные цветные супералгебры Ли // Доклады АН СССР. — 1986. — Т. 286, № 3. — С. 551-554.

[А5] А. А. Михалев. Подалгебры свободных р-супералгебр Ли // Матем. заметки. — 1988. — Т. 43, № 2. — С. 178-191.

[А6] А. А. Михалев. Вложение супералгебр Ли счетного ранга в су-нералгебры Ли с двумя образующими // УМН. — 1990. — Т. 45, № 6. — С. 139-140.

[А7] А. А. Михалев. Теорема Адо-Ивасавы, градуированные алгебры Хопфа и финитная аппроксимируемость цветных р-супер-алгебр Ли и их универсальных обертывающих алгебр // Вестник МГУ. Сер. 1. Матем., механ. — 1991. — № 5. — С. 72-74.

[А8] А. А. Михалев. Свободные суперколъца Ли // Алгебра, геом. и дискретн. матем. в нелинейных задачах. — М.: МГУ, 1991. — С. 107-111.

[А9] A.A. Михалев. Свободные цветные суперкольца Ли / / Известия вузов. Математика. — 1991. — № 10. — С. 4-7.

[А10] А. А. Михалев. Аннуляторы элемента свободной алгебры Ли // УМН. — 1992. — Т. 47, № 1. — С. 205-206.

[All] А. А. Михалев. О неподвижных точках свободной цветной супералгебры Ли относительно действия конечной группы линейных автоморфизмов // УМН. — 1992. — Т. 47, № 4. —

ллг лгчл

ZUU-ZUU.

[А12] A. A. Mikhalev. The composition lemma for color Lie superalge-bras and for Lie p-superalgebras // Contemp. Math. — 1992. — V. 131.2. — P. 91-104.

[A13] А. А. Михалев. О правых идеалах свободной ассоциативной алгебры, порожденных свободными цветными р-супералгебрами

Ли // УМН. — 1992. — Т. 47, № 5. — С. 187-188.

[А14] А. А. Михалев. Образы внутренних дифференцирований свободных алгебр и супералгебр Ли // Вестник МГУ. Сер. 1. Ма-тем., механ. — 1993. — № 1. — С. 35-38.

[А15] А. А. Михалев. Дифференциальные сунералгебры Ли // УМН. — 1993. — Т. 48, А"! 5. — С. 179-180.

[А16] А. А. Золотых, А. А. Михалев. Ранг элемента свободной р-супералгебры Ли // Доклады АН СССР. — 1994. — Т. 334, № б. — С. 690-693.

[А17] А. А. Золотых, А. А. Михалев, У. У. Умирбаев. Пример несвободной алгебры Ли когомологической размерности 1 // УМН. — 1994. — Т. 49, № 1. — С. 203-204.

[А18] A. A. Mikhalev, A. A. Zolotykh. Applications of Fox differential calculus to free Lie superalgebras // Non-Associative Algebra and its Applications. — Dordrecht: Kluwer Academic Publ., 1994. — P. 285-290.

[A19] A. A. Mikhalev, A. A. Zolotykh. Rank and primitivity of elements of free color Lie p-superalgebras // Intern. J. Algebra and Computation. — 1994. — V. 4. — P. 617-656.

[A20] A.A.Mikhalev, A.A.Zolotykh. Automorphisms and primitive elements of free Lie superalgebras // Commun. Algebra. — 1994. — V. 22. — P. 5889-5901.

[A21] А. А. Золотых, А. А. Михалев. База свободных супералгебр перемешиваний // УМН. — 1995. — Т. 50, № 1. — С. 199-200.

[А22] А. А. Михалев. Техника композиции А. И. Ширшова в супералгебрах Ли (некоммутативные базисы Грёбнера) // Труды семин. им. И. Г. Петровского. — 1995. — Т. 18. — С. 277-289.

[А23] A. A. Mikhalev. On some properties of super Lie elements in the free associative algebra // Contemp. Math. -— 1995. — V. 184. — P. 299-304.

[A24] А. А. Золотых, А. А. Михалев. Эндоморфизмы свободных ассоциативных алгебр над коммутативными кольцами и их якобианы // Фундам. и прикл. математика. — 1995. — Т. 1, вып. 1. — С. 177-189.

[А25] A. A. Mikhalev, A. A. Zolotykh. An inverse function theorem for free Lie algebras over commutative rings // Algebra Colloq. — 1995. — 2:3. — P. 213-220.

[A26] A.A.Mikhalev, A.A.Zolotykh. Test elements for monomorphisms of free Lie algebras and superalgebras // Commun. Algebra. —

1995. — V. 23. — P. 4995-5001.

[A27] A. A. Mikhalev. Combinatorial aspects of the theory of Lie superalgebras // Proc. of the Tainan-Moscow Algebra Workshop. — Berlin: Walter de Gruyter, 1996. — P. 37-64.

[A28] А. А. Золотых, А. А. Михалев. Ранги подалгебр свободных супералгебр Ли // Вестник МГУ. Сер. 1. Матем., механ. —

1996. — № 2. — С. 36-40.

[А29] A. A. Mikhalev, A. A. Zolotykh, U. U. Umirbaev. A Lie algebra with cohomological dimension one over a field of prime characteristic is not necessary free // Proc. of the Tainan-Moscow Algebra Workshop. — Berlin: Walter de Gruyter, 1996. — P. 241-248.

[A30] E. А. Васильева, А. А. Михалев. Свободные лево-симметричные супералгебры. Фундам. и прикл. математика. — 1996. — Т. 2, вып. 2. — С. 623-626.

Резюме докладов на конференциях:

[А31] А. А. Михалев. Теорема о свободе и проблема равенства для цветных супералгебр Ли с одним определяющим соотношением специального вида // Тез. докл. 5-й Сиб. конф. по многообразиям алгебр, систем. — Барнаул, 1988. — С. 48-51.

[А32] А. А. Михалев. Лемма о слиянии и проблема равенства для цветных супералгебр Ли, р-супералгебр Ли и р-алгебр Ли // Меж-дун. конф. по алгебре. Тезисы докл. по теор. колец, алгебр и Модулей. — Новосибирск, 1989. — С. 90.

[АЗЗ] А. А. Михалев. Критерий Кона для супералгебр Ли // Всес. школа Алгебры Ли и их применен, в матем. и физике. Тезисы сообщ. — Казань: КГУ, 1990. — С. 90.

[А34] А. А. Михалев. О свободных суперкольцах Ли //6 Всес. школа по теории многообразий алгебр, систем. — Магнитогорск, 1990. — С. 24.

[А35] А. А. Михалев. Финитная аппроксимируемость цветных супералгебр Ли и их универсальных обертывающих алгебр // б Всес. симп. по теории колец, алгебр и модулей. — Львов: ЛГУ, 1990. — С. 86.

[А36] А. А. Михалев. Ассоциативный носитель свободной цветной р-супералгебры Ли // Межд. конф. по алгебре. Тезисы докл. по теории колец, алгебр и модулей. — Барнаул, 1991. — С. 82.

[А37] А. А. Михалев. Annihilators of elements of the free color Lie superalgebra // Межд. конф. по алгебре. Тезисы докл. по теории колец, алгебр и модулей. — Барнаул, 1991. — С. 169.

[А38] А. А. Михалев. Differential Lie superalgebras // III Межд. конф. по алгебре. Тезисы сообщ. — Красноярск, 1993. — С. 417.

[А39] A. A. Mikhalev. Combinatorial theory of Lie superalgebras // III Int. Conf. on non associative algebra. Absrtacts of reports. — Oviedo, Spain, 1993. — P. 15-16.

[A40] A. A. Mikhalev, A. A. Zolotykh. Free differential calculus in free Lie superalgebras // International Congress of Mathematicians. Short Communications. — Zurich, 1994. — P. 18.