автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное исследование критических режимов в нелинейных полевых моделях физики

Введение.б

1 Вычисление бифуркационных зависимостей

1.1 Постановка задачи.

1.2 Применение НАМИ для вычисления точек бифуркаций.

1.3 Сплайн-коллокационная схема.

1.3.1 Введение.

1.3.2 Построение сплайн-коллокационной схемы.

1.3.3 Численные тесты.

2 Критические режимы в конденсированных средах

Введение

2.1 Уравнение Гинзбурга-Ландау

2.1.1 Постановка задачи.

2.1.2 Вариационная формулировка задачи.

2.1.3 Обсуждение численных результатов.

2.2 Длинные джозефсоновские переходы.

2.2.1 Модель джозефсоновского перехода.

2.2.2 Вычисление точек бифуркаций статических состояний при фиксированном токе

2.2.3 Вычисление бифуркаций статических состояний при заданном магнитном поле кв.

2.2.4 Обсуждение результатов численного эксперимента.

2.3 Двухслойные ДЦП.

2.3.1 Численный алгоритм.

2.3.2 Обсуждение результатов численного эксперимента.

2.4 Джозефсоновские решетки.

2.4.1 Постановка задачи.

2.4.2 Обсуждение результатов численного эксперимента.

2.5 ДП минимальной длины

2.5.1 Постановка задачи.

2.5.2 Метод решения задачи со свободной границей.

2.5.3 Обсуждение результатов численного эксперимента.

2.6 Нелинейное уравнение Шредингера.

2.6.1 Постановка задачи.

2.6.2 Обратная спектральная задача

2.6.3 Численные результаты.

3 Критические режимы в астрофизике

3.1 Бозонные звезды.

3.1.1 Постановка задачи на собственные значения.

3.1.2 Метод решения.

3.1.3 Некоторые результаты численного эксперимента.

3.2 Бозонно-фермионные звезды.

3.2.1 Постановка задачи.

3.2.2 Прямое решение задачи о БФЗ

3.2.3 Некоторые численные результаты.

3.2.4 Второй метод решения задачи для БФЗ.

3.2.5 Обсуждение численных результатов.

3.3 Черные дыры.

3.3.1 Постановка задачи."

3.3.2 ЧД с экстремальными горизонтами.

3.3.3 Задача с фиксированной границей

3.3.4 Задача со свободной границей.

3.3.5 Обсуждение численных результатов.

Основные результаты диссертации

Список авторских публикаций.

Настоящие законы не могут быть линейными ."

А. Эйнштейн

Как известно, сущность математического моделирования состоит в замене исходного объекта изучения его математической моделью и исследовании современными вычислительными средствами математических моделей [1].

Современные модели теоретической физики описываются сложными системами нелинейных дифференциальных уравнений (ДУв частных производных, допускающими в ряде случаев солитонные или солитоноподобные решения (локализованные в пространстве частицеподобные состояния с конечной энергией). Понятие солитона было введено в работе [2] в 1965 году; там же первоначально были описаны его свойства. Моделирование явлений, связанных с образованием и распространением солитонов, следует считать одной из быстро развивающихся междисциплинарных областей современной вычислительной физики. Физическая причина интереса к такой тематике очевидна — солитоны и солитоноподобные образования являются важными примерами устойчивых состояний в очень широком классе нелинейных неограниченных и однородных моделей физических систем (см., например, [3] — [6]).

С математической точки зрения значительный интерес к нелинейным интегрируемым уравнениям, таким как уравнение sin-Гордон, нелинейное уравнение Шрединге-ра, уравнение Кортевега-де Фриза и других, обусловлен развитием метода обратной задачи рассеяния (см. монографии [6], [7]). Открытие и изучение полностью интегрируемых систем позволило получить многочисленные примеры абсолютно упруго взаимодействующих структур (уединенных волн) 2, которые являются солитоиами в строгом смысле слова.

На практике, однако, реальные физические системы ограничены в пространстве и могут иметь внутренние структурные неоднородности. В свою очередь, ограниченность и неоднородность могут порождать новые физические эффекты. Объяснение этих эффектов связано, как правило, с возможностью локализации солитонов и соли

1 Список используемых сокращений приводится в конце настоящей диссертации.

2 Под абсолютно упругим понимается взаимодействие, при котором сохраняется форма, амплитуда и скорость уединенной волны. тоноподобных структур на неодиородностях и/или с их взаимодействием с границами. Такие объекты не являются солитонами в строгом смысле слова, но ряд их особенностей, в частности, конечные энергия и размеры, обосновывают целесообразность и удобство называть их также солитонами, но в некотором "широком смысле" слова [11]. В настоящей работе термин солитон тоже понимается в широком смысле.

Если в физической системе отсутствует внешняя подкачка энергии и, кроме того, имеется затухание, связанное с диссипацией энергии, то произвольное начальное соли-тонное состояние в модели в конечном счете переходит в некоторое равновесное (статическое) решение, иногда называемое [9] статическим аттрактором. Существенный интерес представляют также стационарные решения, обусловленные, например, равновесием между диссипацией и внешним притоком энергии или более сложными нелинейными процессами3.

Значительные трудности при исследовании устойчивости равновесных решений относительно малых пространственно-временных возмущений определяются наличием в моделях заданных или неизвестных геометрических и физических параметров, таких как размеры системы и неоднородностей, структура неоднородностей, параметры, определяющие поведение полей на границах, вид и величину нелинейного взаимодействия элементов системы и т.д. Удобно различать геометрические и физические параметры модели. Например, в длинных джозефсоновских переходах (ДДП), являющихся объектом исследований в диссертации, геометрическими параметрами являются длина ДП, размер и положение возможных микронеоднородностей, а физическими — величина критического внешнего тока и магнитное поле на концах перехода. Для моделей звезд и черных дыр (ЧД), также изучаемых в настоящей диссертационной работе, в качестве параметров выступают радиус звезды, горизонт ЧД, центральные плотности бозонной и фермионной материи, масса дилатона, электрический и магнитный заряды, параметры уравнений состояния материи и т.д.

Во многих моделях физических систем постепенное изменение некоторого конкретного параметра соответствует единственному и непрерывному решению и линей

3 Широкий класс автомодельных решений нелинейных уравнений, например решения типа бегущих волн [26] в подвижной системе координат, связанной с волной, также формально можно рассматривать как "статические". ная теория устойчивости достаточно хорошо описывает состояния системы. Однако, существует большое количество задач, в которых устойчивость (стабильность) и число решений изменяется резко при переходе параметра через некоторые критические значения. Такие явления, называемые обычно разветвлениями или бифуркациями [12] — [22]4, описывают качественные изменения в физической системе. Значения параметров, при которых в системе происходит бифуркация (рождение или уничтожение) решений, называются бифуркационными или критическими. Сам процесс перехода через критические значения параметров часто называется критическим или бифуркационным режимом.

В своей наиболее общей форме теория бифуркации представляет собой теорию равновесных решений ДУ. Под равновесными решениями понимаются, например, стационарные решения, решения периодические по времени и квазипериодические решения [20].

Основы теории бифуркации были заложены JI. Эйлером в его знаменитой задаче об устойчивости вертикального стержня под действием силы, направленной по оси стержня (современная постановка и обобщения даны в в [15]). Смена характера устойчивости установившихся режимов при переходе некоторых параметров через их критические значения является ключом к объяснению большого количества физических эффектов, таких как возникновение волн в непрерывных средах, вихри в атмосфере, вихри в теории сверхпроводимости, процессы эволюции, основанные на внутривидовом отборе и т.д.

О важности и практической необходимости развития методов математического моделирования физических процессов с бифуркациями можно судить по отчету [25] по изучению аварии на Чернобыльской АЭС.

Отметим, что задачи, связанные с изучением критических значений параметров для широкого класса нелинейных уравнений, в последние годы являются объектом активного изучения (см. обзор [5]). Среди работ по устойчивости решений нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) и его модификаций, выполненных за последние годы

4 Литература по теоретическим и прикладным аспектам теории устойчивости и бифуркаций решений ДУ весьма значительна. Здесь отмечены лишь работы, отражающие в той или иной мере личные предпочтения автора. с участием сотрудников ОИЯИ, отметим [27] — [35], которые представляют собой естественное развитие результатов работ [Б15] — [Б17].

В теоретическом аспекте знание бифуркационных зависимостей позволяет найти число равновесных решений, понять их структуру и, возможно, описать происходящие при этом физические явления. Тем самым численное моделирование упрощает исследование физической системы и дает возможность оценить области изменения параметров, в которых можно ожидать устойчивость или неустойчивость системы.

Для практических целей особо важна возможность экспериментальной проверки бифуркационных зависимостей параметров системы, что, со своей стороны, является важным источником информации для уточнения модели. В качестве конкретного примера укажем на методы изучения вихревых солитоноподобных структур магнитного потока в ДДП, основанных на измерении (бифуркационной) зависимости критического тока от магнитного поля (см., например, работы [9, 77, 78, 118, 130]).

Предположим, что семейство решений уравнений некоторой физической модели известно заранее как функция независимых переменных и параметров. Тогда формально задача об устойчивости конкретного решения из этого семейства, соответствующего фиксированным значениям параметров, сводится к исследованию спектра некоторой задачи, ассоциированной с исходными уравнениями. Отсюда можно в принципе получить соответствующие бифуркационные зависимости между параметрами, например, путем их перебора. В некоторых случаях (см. конкретные примеры в [5, 36], [29] — [35], а также раздел 2.6 на с. 132 в настоящей работе) бифуркационные зависимости можно найти численным путем, решая обратную спектральную задачу.

К сожалению, найти в аналитическом виде точное решение уравнений физической модели достаточно затруднительно. Поэтому, аналитические выражения для кривых и поверхностей бифуркаций удается получить преимущественно в достаточно простых моделях [79]. Упрощающие же допущения в более содержательных примерах могут привести к потере интересных и физически важных решений. Это позволяет утверждать, что для большинства реалистических задач современной физики изучение бифуркационных зависимостей между параметрами возможно главным образом путем применения адекватных численных методов и алгоритмов.

Из всего вышесказанного вытекает, что разработка и компьютерная реализация единой методики исследования критических режимов для широкого класса нелинейных моделей физических процессов является важной и актуальной проблемой математического моделирования.

Цели и задачи исследований

Целями исследований, представленных в настоящей диссертационной работе являются: yj создание эффективного численного метода моделирования бифуркаций равновесных решений широкого класса уравнений физики при изменении параметров, входящих в уравнения и/или краевые условия, и построения соответствующих бифуркационных зависимостей между этими параметрами;

V7 создание на базе единого математического и алгоритмического подхода комплексов программ для численного моделирования бифуркаций равновесных решений и построения бифуркационных зависимостей; у/ применение разработанных комплексов программ для расчета бифуркационных решений и зависимостей между параметрами в задачах: физики джозефсоновских переходов; [> физики звезд и черных дыр.

Научная новизна работы

Все представленные в настоящей диссертации научные результаты являются новыми.

В частности, в диссертации предложен оригинальный единообразный численный подход к исследованию устойчивости равновесных решений широкого класса задач теоретической физики при варьировании геометрических и физических параметров моделей. Основная идея заключается в рассмотрении системы из краевой задачи для равновесных состояний модели в совокупности с порожденной линейной задачей на собственные значения с фиксированным собственным значением и подходящим условием нормировки как единой нелинейи ной спектральной задачи для одного из параметров модели при заданных прочих параметрах. Объединяющим является использование непрерывного аналога метода Ньютона (НАМН) и его обобщений для вывода итерационных схем, а также применение метода коллокации5 для построения вычислительных схем. На этой основе разработан оригинальный, достаточно общий итерационный алгоритм вычисления точек бифуркации равновесных (и, в частности, статических) решений при изменении параметров модели. Предлагаемый метод имеет существенные преимущества перед некоторыми традиционными методами и представляет интерес для развития методов и алгоритмов численного решения нелинейных задач на собственные значения.

Наличие единообразного алгоритма дает возможность построить пакет программ, в котором для решения одной конкретной задачи требуется менять только модули ввода параметров и обработки результатов численного эксперимента.

В совокупности такой подход позволил путем построения и комбинации нескольких основных программных модулей решать весьма разнообразные задачи теоретической физики, такие как: л/ исследование устойчивости и бифуркаций решений уравнения Гинзбурга-Ландау (ГЛ) и его модификаций при варьировании феноменологических коэффициентов; у/ изучение устойчивости и бифуркаций статических вихревых структур в неоднородных ДДП при изменении магнитного поля и тока, а также геометрии перехода и неоднородностей;

Vх исследование устойчивости солитонных решений нелинейного уравнения Шре-дингера (НУШ) специального вида (так называемые пузырьковые солитоны) при изменении скорости солитона и параметра среды; х/ изучение устойчивости статических конфигураций бозонных и бозонно-ферми-онных звезд в рамках скалярно-тензорных теорий гравитации с массивным ди-латоном при изменении физических параметров модели, таких как центральные

5 В работе [Б09] применялся также метод конечных элементов. плотности бозоиной и фермиоииой материи, уравнений состояния фермионной материи, массы дилатона и т.д.;

-J исследование бифуркаций горизонтов заряженных ЧД с массивным дила.тоном в зависимости от величины заряда и массы дилатона.

Среди основных результатов диссертации, имеющих самостоятельный физический интерес, отметим следующие.

Впервые показано (раздел 2.1), что для достаточно широкого класса моделей ДДП основная зависимость джозефсоновского сверхтока от разности фаз на кромках барьерного слоя ДДП состоит из гладких ветвей, порожденных устойчивым и неустойчивым решениями для амплитуды параметра порядка в уравнении ГЛ. Точки склейки ветвей соответствуют максимальному (критическому) току Джозефсона и являются точками бифуркации решений. Численно исследовано влияние ГЛ-параметров на форму этих кривых и построены бифуркационные зависимости максимального сверхтока от параметров модели. На этой основе указана область применимости высших уравнений sin -Гордон для описания ДДП.

Впервые численным путем подробно изучена структура вихрей в неоднородных ДДП с резистивными микронеоднородностями. Предложен простой новый критерий рождения и/или уничтожения вихревых образований магнитного потока в неоднородных и однородных ДДП.

Экспериментальная зависимость критического тока от магнитного поля для ДДП интерпретируется как огибающая бифуркационных кривых, соответствующих различным вихревым состояниям магнитного потока. Проведенный численный эксперимент позволил предсказать новый физический эффект, характерный для неоднородных ДДП — в малых магнитных полях на графике критической зависимости могут появляться крестообразные ветви, соответствующие связанным состояниям флюксо-на и антифлюксона, локализованных на неоднородности. Этот результат был впоследствии подтвержден физическим экспериментом [78].

Впервые численным путем изучена устойчивость и построены критические кривые вида ток — магнитное поле для двухслойных неоднородных ДДП.

Впервые изучена связь устойчивости вихрей в джозефсоновских решетках из резистивных неоднородностей с геометрическими параметрами решетки.

Впервые численным путем показано, что каждому нетривиальному состоянию магнитного потока в неоднородном ДЦП соответствует минимальная длина перехода, при которой это состояние сохраняет свою устойчивость (неустойчивость). В частности, для единичного флюкс.она минимальная длина ДП, при которой флюксон устойчив, равна примерно (4.2 ~ 4.3) Aj , где Aj есть джозефсоновская длина проникновения. Этот результат, с одной стороны, фиксирует классификацию одномерных ДП на длинные и короткие, а с другой позволяет оптимизировать габариты устройств, включающие как элементы ДДП.

Впервые численным образом установлена критическая скорость, при которой пузырьковые солитоны НУШ теряют устойчивость.

Впервые численно изучена устойчивость равновесных состояний бозонных и бо-зонно-фермионных звезд в рамках обобщенных скалярно-тензорных моделей гравитации с массивным дилатоном. Продемонстрировано нетривиальное влияние дилатон-иого поля на структуру и устойчивость звезд.

Впервые проведено численно-аналитическое исследование структуры горизонтов электрически и магнитно заряженных черных дыр (ЧД) с массивным дилатоном. В зависимости от заряда и /или массы дилатона продемонстрирована возможность наличия в таких моделях ЧД наряду с регулярными, также внутренних и внешних экстремальных и трехкратно вырожденных горизонтов.

Отметим, что все изученные в настоящей диссертационной работе задачи входят в список проблем, ".которые занимают особенно важное место в физике и астрофизике на рассматриваемый момент времени" [8].

Достоверность результатов

Достоверность результатов настоящей диссертационной работы обеспечивается проведением для всех рассмотренных физических моделей тестовых расчетов на сгущающихся сетках и/или расширяющихся интервалах и сравнения численных результатов с теоретическими оценками [77]. Предсказанный нами физический эффект о крестообразном перекрытии флюксонной и антифлюксонной ветвей на диаграмме зависимости критического тока от магнитного поля в неоднородном ДДП инициировал экспериментальную проверку и подтвержден в независимом физическом эксперименте [78]. Путем усовершенствования модели ДДП удалось получить адекватное соответствие между результатами численных расчетов и эксперимента. Частичные результаты работы в области физики джозефсоновских переходов и физики черных дыр были повторены недавно независимым образом другими авторами [84, 236].

Апробация результатов диссертации

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах в ЛИТ (ЛВТА) и ЛТФ ОИЯИ, Дубна, Софийском университете "Св. Кл. Охридский", Институте математики Болгарской АН, Факультете прикладной математики Технического университета, София, и следующих международных конференциях:

Conference Numerical Methods and Applications, August 1988,1996, 2002, Sofia, Bulgaria;

Conference Equadiff - 4, Praha, 1988.

IVth International Workshop on Solitons and Applications, Dubna, August 1989; Conference on Differential Equations and Applications, August 1994, 1996 к 1997, Plovdiv, Bulgaria;

Conference on Numerical Analysis and Applications, August 1997, 1998, Russe, Bulgaria.

Международная школа Приложения математики в технике и экономике, июнь 1998, 1999, 2000, 2001, Созополь, Болгария;

2-nd International Conference Modern Trends in Computational Physics, July 24-29, 2000, Dubna, Russia;

Seminar on Algorithms for Scientific Computations, Bulgarian Acad. Sci., 1999, 2000, Sofia, Bulgaria;

2-nd International Workshop Cooperative Phenomena in Condensed Matter,

August 2001, Pamporovo, Bulgaria.

1-st First Advanced Research Workshop Gravity, Astrophysics and Strings, June 2002, Kiten, Bulgaria.

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 24 работ, из которых 2 работы в ведущий российский научный журнал Математическое моделирование и 8 работ в западных научных журналах (Physics Letters A, Physical Review D, Journal of Computational Physics, Superconducting Science and Technology, Modern Physics Letters А и других).

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Полный объем диссертации — 240 страниц машинописного текста, включая 119 рисунков, 5 таблиц и список литературы, содержащий 235 наименований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

Исходя из проведенных исследований, на защиту выносятся следующие результаты:

1. Построена эффективная численная схема моделирования бифуркационных зависимостей равновесных решений широкого класса уравнений физических моделей. Для этой цели система из уравнений для равновесных решений, уравнений порожденной линейной задачи на собственные значения при фиксированном собственном значении, характеризующем бифуркацию, вместе с условиями на концах, в точках разрыва производных и т > 1 дополнительными "условиями нормировки", рассматривается как обратная спектральная задача для т параметров модели. Тем самым построен и изучается новый класс нелинейных спектральных задач, для решения которых на основе развития НАМН строится эффективная вычислительная схема.

2. Разработан комплекс программ, реализующих основные этапы предлагаемого численной схемы. Единообразие алгоритма позволяет секционировать пакет таким образом, что для решения одной конкретной задачи меняются только модули ввода начального приближения, параметров модели и обработки численных результатов.

3. Проведено подробное исследование бифуркаций амплитуды параметра порядка в модифицированном уравнении Гинзбурга-Ландау для джозефсоновского перехода. Показано, что критический джозефсоновский ток соответствует бифуркации амплитуды параметра порядка. Построены кривые ток — фаза и исследована численно зависимость соответствующих коэффициентов Фурье-разложения кривых от параметров ДП. Тем самым указана область применимости высших sin-Гордон уравнений для описания процессов в ДП.

4. В рамках модели неоднородного ДДП, основанной на возмущенном уравнении sin-Гордон, при помощи разработанного алгоритма впервые проведено численное моделирование бифуркаций статических вихревых состояний магнитного потока в Д ДП с одной неоднородностью и с решеткой неоднородностей в барьерном слое. Введен новый критерий рождения и уничтожения (квантования) вихрей магнитного потока в джозефсоновских переходах при изменений физических и геометрических параметров. Численным путем предсказан новый физический эффект, связанный с поведением бифуркационной кривой вида "ток — магнитное поле" для единичного флюксона в длинных неоднородных джозефсоновских переходах при его захвате неоднородностью. Этот эффект подтвержден физическим экспериментом.

О Впервые построены критические кривые для основных состояний магнитного потока в двухслойных джозефсоновских переходах.

О Впервые найдена минимальная длина джозсфсоновского перехода, при которой распределения магнитного потока сохраняют устойчивость.

5. Впервые численно исследована устойчивость семейства пузырьковых солитон-ных аналитических решений нелинейного уравнения Шредингера с кубической нелинейностью. Показано, что существует минимальная скорость распространения волны, зависящая от параметра среды, ниже которой солитон становиться неустойчивым.

6. Впервые проведено численное изучение класса моделей статических бозонных и бозонно-фермионных сферически-симметричных звезд, базирующихся на скалярно-тензорных теориях гравитации с массивным дилатоном.

О Разработан эффективный численный алгоритм для решения возникающих нелинейных спектральных задач с внутренней неизвестной границей. Показано, что устойчивость равновесных конфигураций звезд в таких моделях существенно зависит от центральных плотностей бозонной и фермионной материи, а также от массы дилатона.

7. Рассмотрен класс сферически-симметричных моделей электрически заряженных черных дыр с массивным дилатоном.

О Проведено аналитическое исследование структуры горизонтов ЧД. Показана возможность существования в зависимости от значения массы дилатона и заряда ЧД регулярных, экстремальных и трижды вырожденных горизонтов. Приведен критерий существования двух и трехгоризонтных состояний ЧД.

D> Предложен эффективный численный алгоритм для многоточечной краевой задачи с неизвестными границами, описывающей модель ЧД. Численным путем получены решения с двумя регулярными, одним регулярным и одним экстремальным, а также с тремя регулярными горизонтами.

210

Благодарности

Благо дарности

Автор выражает свою искреннюю и глубокую благодарность проф. Т.П. Пузы-ниной и И.В. Пузынину (ЛИТ, ОИЯИ) за их благожелательность, поддержку и внимание. Спасибо И.В. Пузынину за первое знакомство с НАМН, за нетривиальные замечания и информативные подсказки при обсуждении совместных работ по джозефсоновским контактам, ряда важнейших разделов настоящего диссертационного труда, а также за то многое еще, что иногда затруднительно передать словами . Спасибо, дорогие и глубокоуважаемые Таисия Петровна и Игорь Викторович!

Спасибо глубокоуважаемым проф. Ю.С. Гальперн и проф. А.Т. Филиппову (ЛТФ, ОИЯИ) за постановку и эффективные обсуждения задачи о неоднородных ДДП, а также за интереснейшие обсуждения в последнее время задач о черных дырах. Решающее вмешательство Ю.С. Гальперн при обсуждении первоначальной путаницы, появившейся после получения первых численных результатов в задаче о неоднородных ДДП, позволило нам во всем быстро разобраться. Спасибо Юля, спасибо, Александр Тихонович!

Искренно благодарю проф. Е.П. Жидкова (ЛИТ, ОИЯИ) за внимание и его многолетнюю поддержку. Спасибо Евгений Петрович!

Выражаю свою искреннюю признательность проф. Е.Х. Христову (Факультет математики и информатики Софийского университета "Св. Кл. Охридский", София, Болгария). Я четко отдаю себе отчет, что для моего приезда в Дубну в 1984 году, а, следовательно, и для реализации настоящей работы, его содействие было важнейшим! Благодаря ти, чичо Гени(й) -:)

Большое спасибо проф. Ст. Димовой (Факультет математики и информатики Софийского университета "Св. Кл. Охридский", София, Болгария) за содержательные обсуждения широкого спектра вопросов, связанных с "джозефсоновскими" задачами и ценные подсказки. Благодаря ти, Стефи!

Проф. Пламену Физиеву (Физический факультет Софийского университета "Св. Кл. Охридский", София, Болгария) огромное спасибо за идею создания и организацию работающей группы JGGA (Joint Group on Gravity and Astrophysics5), за дискуссии по физике и, в частности, по физике звезд и черных дыр, обогащающие новыми познаниями и идеями. Благодаря ти, Пламене!

Я выражаю свою глубочайшую благодарность всем уважаемым соавторам: д-ру Н. Алексеевой, проф. И.В. Барашенкову, проф. Т. Жанлаву, доц. М. Тодоро-ВУ> Д-РУ Ст. Язаджиеву и Д.В. Павлову, за их неоценимое сотрудничество, за обсуждения, важные замечания и информативные подсказки. А также, что для меня отнюдь немаловажно — за хорошие коллегиальные и человеческие взаимоотношения. Спасибо, коллеги!

Я благодарен проф. А.В. Устинову (Черноголовка) за нашу дискуссию в далеком 1987 году, которая стимулировала работу по джозефсоновским контактам.

Автор благодарит проф. Ст. Радеву (Институт механики Болгарской АН) за интереснейшие дискуссии на солитонную тематику. Благодаря ти, бате Стефане!

Я благодарю всех друзей, коллег и знакомых, благожелательно или не очень -:) относящихся к моей работе. Первых — за поддержку, вторых — за стимул !

Огромное спасибо Димитрине за психологическую поддержку, за столь нужные иногда чуткость, внимание и понимание. Благодаря ти, Дима!

5http:/'/webgate.bg/jgga/index.htm

1. Б02. T.L. Boyadjiev. Bifurcations of the solutions of Modified Ginzburg-Landau Equation for Josephson Junctions: Сообщение ОИЯИ Ell-2001-248, Дубна, 2001 (принята к печати в журнал "Математическое Моделирование").

2. БОЗ. Т.Д. Бояджиев, Ю.С. Гальперн, И.В. Пузынин, А.Т. Филиппов. Бифуркации связанных состояний флюксонов в неоднородном джозефсоновском переходе конечной длины: Сообщение ОИЯИ Р11-85-807, Дубна, 1985.

3. Б04. Т.Д. Бояджиев, Ю.С. Гальперн, И.В. Пузынин, А.Т. Филиппов. Связанные состояния флюксонов в неоднородном джозефсоновском переходе с током во внешнем магнитном поле: Сообщение ОИЯИ Р17-86-506, Дубна, 1986.

4. Б05. А.Т. Filippov, Yu.S. Gal'pern, T.L. Boyadjiev and I.V. Puzynin. Critical currents in Josephson junctions with micro inhomogeneities attracting solitons // Phys. Lett. A, v. 120, № 1, 1987, p. 47.

5. Б06. Т.Д. Бояджиев, Д.В. Павлов, И.В. Пузынин. Ньютоновский алгоритм вычисления критических параметров в одномерном неоднородном джозефсоновском переходе: Сообщение ОИЯИ Р11-88-409, Дубна, 1988.

6. Б07. А.Т. Filippov, Т. Boyadjiev, Yu.S. Gal'pern and I.V. Puzynin. Localization of solitons on small inhomogeneities in Josephson Junctions: Comm. JINR E17-89-106, Дубна, 1989.

7. Б09. T.JI. Бояджиев, C.H. Димова. Numerical analysis of the steady states in long Josephson junctions by the finite element method // Математическое моделирование, v. 6, No б, 1996, pp. 37 — 47.

8. BIO. Т.Д. Бояджиев, Д.В. Павлов, И.В. Пузынин. Вычисление бифуркаций устойчивых состояний в двухслойных неоднородных джозефсоновских переходах: Сообщение ОИЯИ Р5-89-173, Дубна, 1989.

9. Б11. N. Alexeeva and Т. Boyadjiev. Periodic bound states of the magnetic flux in Josephson lattices of resistive inhomogeneities // Bulgarian Journal of Physics, 1997, v. 24, No 1 2.

10. Б12. Т.Д. Бояджиев, H. Алексеева. "Оптимальные" джозефсоновские решетки из резистивных неоднородностей: Сообщение ОИЯИ Р17-97-28, Дубна, 1997.

11. Б 13. Т. Boyadjiev and М. Todorov. Numerical Investigation of a Bifurcation Problem with free Boundaries Arising from the Physics of Josephson Junctions // e-print: cond-mat/9809297; Математическое моделирование, v. 12, No 4, 2000, pp. 61 — 72.

12. Б14. T. Boyadjiev, M. Todorov. Minimal Length of Josephson Junctions with Stable Fluxon Bound States // e-print: cond-mat/0012468; Superconducting Science and Technology, 14 (2002), pp. 1 7.

13. Б15. I.V. Barashenkov, T.L. Boyadjiev, I.V. Puzynin and T. Zhanlav. Stability of the moving bubbles in the system of interacting bosons, Pliys. Lett. A, v. 135 (2), 1989, pp. 125 128.

14. Б17. T.JI. Бояджиев, Т. Жанлав, И.В. Пузынин. Численное исследование одной задачи на собственные значения, возникающей в теории устойчивости солитонов // Сообщение ОИЯИ Р5-89-423, Дубна, 1989.

15. Б18. P. Fiziev, S. Yazadjiev, Т. Boyadjiev and М. Todorov. Boson stars in massive dilatonic gravity, e-print: gr-qc/0001103; Physical Review D, 61 124018 (2000).

16. Б19. S. Yazadjiev, T. Boyadjiev, M. Todorov and P. Fiziev. A Free Boundary Problem in the Theory of Stars, e-print: astro-ph/0012496; Bulgarian Journal of Physics, v. 27, No 3 (2000), pp. 66 69.

17. Б20. T. Boyadjiev, M. Todorov, P. Fiziev and S. Yazadjiev. Mathematical Modeling of Boson-Fermion Stars in the Generalized Scalar-Tensor Theories of Gravity, e-print: math.sc/9911118; Journal of Сотр. Phys., v. 166, No 2, January 2001, pp. 253 -270.

18. B21. T. Boyadjiev, M. Todorov, P. Fiziev and S. Yazadjiev, New Numerical Algorithm for Modeling of Boson-Fermion Stars in Dilatonic Gravity, e-print: math.sc/0004108; Journal of Computational and Applied Mathematics, v. 145 /1, pp. 113 — 131.

19. Б22. S.S. Yazadjiev, P.P. Fiziev, T.L. Boyadjiev and M.D. Todorov. Electrically Charged Einstein-Born-Infeld Black Holes with Massive Dilaton, e-print: hep-th/0105165; Mod. Phys. Lett. A, v. 16, No 33 (2001), pp. 2143 2149.

20. Б23. Т.Д. Бояджиев, П.П. Физиев. Численное моделирование черных дыр с массивным дилатоном: Сообщение ОИЯИ Р2-2002-1, Дубна, 2002.

21. Б24. T.JI. Бояджиев Сплайн-коллокадионная схема повышенного порядка точности: Сообщение ОИЯИ Р2-2002-101, Дубна, 2002.

22. Список цитируемой литературы

23. А.А.Самарский, П.Н.Вабищевич. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент, ИММ РАН, 2000;http://www.imamod.ru/ vab/matmod/MatMod.htm

24. N.J. Zabusky, M.D. Kruskal, Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states, Phys. Rev. Lett., v. 15, 1965, pp. 240 — 243.

25. Солитоны, Ред. Р.Буллаф и Ф.Кодри, ИО НФМИ, 1999.

26. А. Ньюэлл, Солитоны в математике и физике. М.: Мир, 1989.

27. Т.И. Белова, А.Е. Кудрявцев. Солитоны и их взаимодействия в классической теории поля, УФН, 40 (4), 1997, pp. 359 — 386.

28. В.Е. Захаров, С.В, Манаков, С.П. Новиков, Л.П. Питаевский, Теория солитонов. Метод обратной задачи, М., Наука, 1980.

29. I.D. Iliev, Е. Kb. Khristov, and К.P. Kirchev. Spectral methods in soliton equations, Longman Sci. & Techn.; Wiley, 1994.

30. В.Л. Гинзбург, О некоторых успехах физики и астрономии за последние три года, УФН, т. 172, No 2, 2002, с. 213 219.

31. Ю.С. Гальперн, А.Т. Филиппов. Связанные состояния солитонов в неоднородных джозефсоновских переходах, ЖЭТФ, т. 86, вып. 4 (1984), с. 1527; Sov. Phys. JETP, 59 (1984), p. 894.

32. P.W. Anderson, Phys. Rev. Lett. 9, 1962, p. 309.

33. И.Л. Боголюбский, Исследование с помощью ЭВМ локализованных решений ряда нелинейных задач математической физики, Диссертация на соиск. уч. степ. Д.ф.-м.н., Дубна, 1990.

34. М.А. Красносельский, Некоторые задачи нелинейного анализа, УМН, т. IX, вып. 3(61), 1954, с. 57-114.

35. М.М. Вайнберг, В.А. Треногин, Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969.

36. В.В. Новожилов, Основы нелинейной теории упругости, М., 1948.

37. Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения / Ред. Дж.В. Келлер и С. Антман, М.: Мир, 1974.

38. В.И. Арнольд. Особенности, бифуркации и катастрофы, УФН, 1983, т. 141, с. 569.

39. В.И. Арнольд, В.С.Афраймович, Ю.С. Ильяшенко, Л.П. Шильников, Теория бифуркаций, 218 с. Москва: ВИНИТИ, том 5, 1986.

40. E.J. Doedel, Lecture notes on "Numerical analysis of bifurcation problems", Survey lectures on "Nonlinear Systems of Equations", Spring School on Numerical Software, Hamburg, Germany, March 1997, 132 pages.

41. E.J. Doedel, Numerical methods for boundary value problems with application to bifurcation problems, J. Shanghai Jiaotong Univ., v. E-3 Sup (I), 1998, pp. 27-36.

42. Ж. Йосс, Д. Джозеф, Элементарная теория устойчивости и бифуркаций, М., Мир, 1983.

43. Куркина Е.С., Макеев А.Г. Бифуркационный анализ математической модели реакции N0+C0/Pt(100) // Сб. "Обратные задачи естествознания". М.: МГУ, 1997. С.52-78.

44. Куркина Е.С., Малых А.В. "Исследование уединенных бегущих волн в одной че-тырехкомпонентной модели типа реакция-диффузия."//ЖВМиМФ, том 41, №10, с. 11597-1609, 2001г.

45. А.А. Самарский, В.А. Галактионов, С.П. Курдюмов, А.П. Михайлов, Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических систем, М., Наука, ГРФМЛ, 1987.

46. Т.С. Ахромеева, С.П. Курдюмов, Г.Г. Малинецкий, А.А. Самарский. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М:Наука, 1992.

47. В.П. Маслов, В.П. Мясников, В.Г. Данилов, Математическое моделирование аварийного блока Чернобыльской АЭС, М., Наука, 1988.

48. I.V. Barashenkov, V.G. Makhankov, Phys. Lett. A, 128 (1-2), 1988.

49. I.V. Barashenkov et al, Physica D, 34, No 1,2, 1989, p. 240.

50. I.V. Barashenkov, Some remarks on the stability of kinks and bubbles, Comm. JINR Dubna, El7-89-81.

51. I.V. Barashenkov, E.V. Zemlyanaya, Stable complexes of parametrically driven, damped nonlinear Schroedinger solitons, Preprint JINR, Dubna, E17-99-124; Phys. Rev. Lett., v. 83, 1999, pp. 2568 2571.

52. I.V.Barashenkov, D.E.Pelinovsky, and E.V.Zemlyanaya. Vibrations and oscillator}' instabilities of gap solitons, Phys. Rev. Lett., v. 80, 1998, p.5117 — 5120.

53. I.V.Barashenkov and E.V.Zemlyanaya. Existence threshold for the ас-driven nonlinear Schroedinger solitons, Physica D, v. 132, No. 3, 1999, pp.363 — 373.

54. N.V. Alexeeva, I.V. Barashenkov and D.E. Pelinovsky, Dynamics of the parametrically driven NLS solitons beyond the onset of the oscillatory instability, Nonlinearity, v. 12 (1999), pp. 103 140.

55. I.V. Barashenkov and E.V. Zemlyanaya. Oscillatory instabilities of gap solitons: A numerical study, CPC, v. 126, No. 1-2, 2000, pp. 22 27.

56. I.V.Barashenkov, E.V.Zemlyanaya, and M.Baer, Travelling solitons in the parametrically driven nonlinear Schroedinger equation, Preprint JINR, Dubna, E17-2000-147; Phys.Rev. E, v. 64, 2001, p. 016603.

57. I.V. Barashenkov, N.V. Alexeeva and E.V. Zemlyanaya. Two- and three-dimensional oscillons in nonlinear Faraday resonance, Preprint JINR E17-2001-142, Dubna, 2001.

58. Т. Жанлав, И.В. Пузынин. Численное решение задачи на собственные значения, возникающей при исследованиии нелинейного уравнения Шредингера с накачкой: Сообщение ОИЯИ Р11-90-213, Дубна, 1990.

59. X. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас, Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения, М., Мир, 1978.

60. М.К. Гавурин, Известия ВУЗов, Математика, т. 5(6), 1958, с. 18; Math. Review, 25(2), #1380 (1963).

61. Е.П. Жидков, Г.И. Макаренко, И.В. Пузынин, Непрерывный аналог метода Ньютона для нелинейных задач физики, ЭЧАЯ, т. 4, No. 1, 1973, с. 127.

62. Е.П. Жидков, И.В. Пузынин. Применение непрерывного аналога метода Ньютона для приближенного решения одной нелинейной граничной задачи, ДАН СССР, т. 180, 1, 1968, с. 18.

63. Е.П. Жидков, Г.А. Ососков, Решение нелинейного интегрального уравнения путем введения непрерывного параметра, ДАН СССР, 180, 6, 1968.

64. Е.П. Жидков, Г.И. Макаренко, Стабилизация по параметру решения задачи Дирихле для нелинейного эллиптического уравнения: Сообщение ОИЯИ Р5-4128, Дубна, 1968.

65. Е.П. Жидков, Г.И. Макаренко, Решение задачи Дирихле для нелинейного эллиптического уравнения путем введения непрерывного параметра, ДАН СССР, 187, 4, 1969.

66. Е.П. Жидков, Т.В. Рильцева, Б.В. Феоктистов, Метод решения краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих движение заряженных частиц в магнитных полях ускорителей, ЖВМиМФ, 10, 5, 1970.

67. Е.П. Жидков, В.Г. Маханьков, В.Н. Цветович, Чой-Зай-Хем, Calculating of the spectra of stationary plasma turbulence, Flasma Physics, 12, 1970.

68. Е.П. Жидков, Ю.М. Казаринов, Г.И. Макаренко, А.В. Ракитский, Решение обратной задачи теории рассеяния методом введения непрерывного параметра: Сообщение ОИЯИ Р1-5306, Дубна, 1970.

69. Е.П. Жидков, Некоторые нелинейные задачи современной физики и математические методы их решения, Дисс. на соиск. уч. ст. Д.ф.м.н., Дубна, 1970.

70. И.В. Пузынин, Непрерывный аналог метода Ньютона для численного решения задач квантовой механики, Дисс. на соиск. уч. ст. д.ф.м.н., Дубна, 1978.

71. Т.А. Стриж, Ньютоновские схемы и метод продолжения в численном анализе некоторых нелинейных моделей теоретической физики, Дисс. на соиск. уч. ст. К.ф.-м.н., Дубна, 1989.

72. Е.В. Земляная, Численное исследование моделей полярона и кваркония на основе обобщенного непрерывного аналога метода Ньютона, Дисс. на соиск. уч. ст. к.ф.-м.н., Дубна, 1994.

73. Е.Р. Zhidkov, New mathematical method for analysing some nonlinear physics problems with the aid of a computer, CPC, 4, 1972.

74. Л. Александров, Дифференциальные уравнения, т. 13, вып. 7, 1977, с. 1281.

75. Е.П. Жидков, М. Нгуен, Б.М. Хоромский, Некоторые методы приближенного решения уравнений типа Лоу, Совместный научный сборник KFKI-1979-82.

76. Е.П. Жидков, М. Нгуен, Н.П. Недялков, Б.М. Хоромский, Исследование одного класса решений уравнения Лоу, ч. I, Малые по модулю решения, ЖВМиМФ, 4, 1979.

77. Д. Баатар, Численное решение некоторых многопараметрических задач на собственные значения в теоретической физике, Дисс. на соиск. уч. ст. К.ф.-м.н., Дубна, 1982.

78. Е.П. Жидков, Р.С. Екигян, К теории непрерывного аналога метода Ньютона: Сообщение ОИЯИ Р11-84-361, Дубна, 1984.

79. I.V. Amirkhanov, О.М. Juraev, V.N. Pervushin, I.V. Puzynin, N.A. Sarikov, Preprint JINR E2-90-414, Dubna, 1990.

80. I.V. Puzynin, I.V. Amirkhanov, T.P. Puzynina, E.V. Zemlyanaya, JINR Rapid Comm., 1993, 562]-93, Dubna, p.63.

81. I.V. Amirkhanov, I.V. Puzynin, T.P. Puzynina et al. In: 9th International Conference "Computational Modelling and Computing in Physics", Dubna, September 16-21 1996, JINR, D5, 11-97-112, Dubna, 1997, p.48.

82. B.C. Мележик, И.В. Пузынин, Т.П. Пузынииа, Л.Н. Сомов, Решение частичной задачи Штурма-Лиувилля для системы интегродифференциальных уравнений специального вида: Сообщение ОИЯИ Р5-12789, Дубна.

83. С.И. Виницкий, А.Д. Гочева, И.В. Пузынин, Повышение точности разностного решения интегродифференциального уравнения методом вариации параметра, и паде-экстраполяции: Сообщение ОИЯИ Р11-82-315, Дубна.

84. И.В. Пузынин, Т.П. Пузынина, Т.А. Стриж. SLIPH4 — программа для численного решения задачи Штурма-Лиувилля, Сообщения ОИЯИ, Дубна, Р111-87-332.

85. Т. Жанлав, И.В. Пузынин, А.В. Ракитский, Схема сплайн коллокации для численного решения одноканальной задачи рассеяния: Сообщение ОИЯИ Р11-88-823, Дубна, 1988.

86. Т. Жанлав. Об аппроксимации решений краевых задач кубическими сплайнами, Препринт ОИЯИ, Дубна, Р11-89-343.

87. Т. Жанлав, И.В. Пузынин. Сходимость итерационной ньютоновской схемы: Сообщение ОИЯИ Р5-91-559, Дубна, 1991.

88. Т. Жан лав, И.В. Пузыннн. Эволюционный Ньютоновский процесс решения нелинейных уравнений, ЖВМиМФ, т. 32, No 1, 1992, с. 3 12; An evolutionary Newton procedure for solving non-linear equations, Comput. Math. Math. Phys., v. 32, No 1, pp. 1 - 9, 1992.

89. Т. Жанлав, И.В. Пузынин, О сходимости итераций на основе непрерывного аналога метода Ньютона. // ЖВМ и МФ. 1992, т. 32, вып. 6, с. 846 — 856.

90. S.N. Dimova, D.P. Vasileva, Numerical realization of blow-up spiral wave solutions of a nonlinear heat-transfer equation. Int. J. Num. Meth. Heat&Fluid Flow, 4 (1994), pp. 497- 511.

91. Амирханов И.В., Пузынин И.В., Стриж T.A., Лахно В.Д. Решение уравнений ЛЛП в теории биполярона. Известия РАН, сер. физика, 1995, 59, 8, с.106.

92. M.S.Kaschiev, K.Makhajlov. Beam Resting on Tensionless Winkler Foundation /7 Computers & Structures, vol. 55, No 2, pp. 261 — 264, 1995.

93. S.N. Dimova, M.S. Kaschiev, M.G. Koleva, D.P. Vasileva, Numerical analysis of the blowup regimes of combustion of two-component nonlinear heat-conducting medium. Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz., 35 (1995), pp. 380 399.

94. M. Kaschiev, D. Koulova-Nenova, Newton's Method for Solution of One Complex Eigenvalue Problem. WNAA 1996, pp. 227 235.

95. E.B.Земляная, И.В.Пузынин, Т.П.Пузынина. PROGS2H4 — программа для решения краевой задачи для системы дифференциальных уравнений: Сообщение ОИЯИ Р11-97-414, Дубна, 1997.

96. Jhy-Jiun Chang, C.H. Ho. Nonlocal responce to a focused laser beam in one-dimensional Josephson tunnel junctions, Appl. Phys. Lett. 45 (2) 1984, p. 192 — 184.

97. A.H. Выставкин, Ю.Ф, Драчевский, В.П. Кошелец, И.Л. Серпученко. Обнаружение статических связанных состояний флуксонов в распределенных джозефсоновских переходах с неоднородностью, Физика ниских температур, т. 14, No 6 (1988), с. 646.

98. Б.М. Левитан, И.С.Саргсян. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака, М., Наука, 1988.

99. S.J. Chapman, Q. Du, and M.D. Gunzburger. A Ginzburg-Landau type model of superconducting/normal junctions including Josephson junctions, Euro. J. Appl. Math., 1995, 6, p. 97.

100. F. Sols and J. Ferrer. Crossover from the Josephson effect to bulk superconducting flow, Phys. Rev. B, 49 (1994) 15913.

101. J.-G. Caputo, N. Flytzanis, Y. Gaididei, N. Stefanakis, E. Vavalis. Stability analysis of static solutions in a Josephson junction, e-print: cond-mat/0010335; Supercond. Sci. Technol. 13, 423 (2000).

102. N. Stefanakis and N. Flytzanis. Critical currents in Josephson junctions with macroscopic defects, Supercond. Sci. Technol., 14 (2001) 16-29.

103. П.Н. Вабищевич. Численные методы решения задач со свободной границей, Изд-во МГУ, М., 1987.

104. П.Н.Вабищевич. Метод фиктивных областей в задачах математической физики, М., МГУ, 1991.

105. П.Н.Вабищевич. Численное моделирование, М., МГУ, 1993.

106. П.Н. Вабищевич, С.А. Васенко, К.К. Лихарев, В.К. Семенов. Распределение магнитного поля в двумерных джозевсоновских переходах, ЖЭТФ, т. 86, No 3,1984, с. 1132 1141.

107. П.Н. Вабищевич, С.А. Васенко, В.К. Семенов. Численное решение задач со свободной границей в теории джозевсоновских переходов, Вестник МГУ, т. 86, No 3, 1984, с. 1132 1141.

108. А. Самарский, П. Н. Вабищевич. Разностные схемы на нерегулярных сетках, ДАН СССР, 370 (1):27-30, 2000.

109. К. К. Licharev. Superconducting weak links, Rev. Mod. Phys., 51 (1979) 101-159.

110. J. R. Waldram. The Josephson effects in weakly coupled superconductors, Rep. on Prog, in Phys., 39 No 8 (1976) 751-827.

111. И.О. Кулик, ЖЭТФ, том 57, 1969, с. 1745.

112. J. Bardeen and J.L. Johonson, Phys. Rev. В 5, 1972, p. 72.

113. Y. Asano. DC Josephson Effect in SNS Junctions of Anisotropic Superconductors, e-print: cond-mat/0110085.

114. M. Nishida, N. Hatakenaka, and S. Kurihara, Josephson Effect between Condensates with Different Internal Structures, e-print: cond-mat/0108368.

115. A. A. Golubov, M.Yu. Kupriyanov, and Ya. V. Fominov, Nonsinusoidal current — phase relation in SFS Josephson junctions, e-print: cond-mat/'0204568.

116. M. Eschrig, J. Kopu, J. C. Cuevas and Gerd Schon. Theory of Half Metal-Superconductor Heterostructures. e-print: cond-mat/0206278.

117. Г.С. Казача, С.И. Сердюкова, А.Т. Филиппов, Численное моделирование движения флюксонов в системе с микронеоднородностями: Сообщение ОИЯИ, Дубна, Р11-84-76.

118. Г.С. Казача, С.И. Сердюкова // ЖВМиМФ, т. 33, No 3, 1993, с. 417 427.

119. N. Hatakenata, Н. Takayanagi, Y. Kasai, and S. Tanda. Double sine-Gordon fluxons in isolated long Josephson junctions, Physica В (2000) 563-564.

120. B.D. Josephson, Possible new effect in superconductive tunneling, Phys. Lett., 1, 251-253, (1962).

121. P.W. Anderson and J.M. Rowell, Probable observation of the Josephson superconducting tunneling effect, Phys. Rev. Lett., 10, pp. 230-232, (1963).

122. S. Shapiro, Josephson currents in superconducting tunneling; the effect of microvawes and other observations, Phys. Rev. Lett., v. 11, p. 80 (1963).

123. И.О. Кулик, И.К. Янсон. Эффект Джозефсона в сверхпроводящих туннельных структурах, М., Наука, (1970).

124. JI. Солимар. Туннельный эффект в сверхпроводниках и его применение, М., Мир, 1974.

125. К.К. Лихарев, Б.Т. Ульрих. Системы с джозефсоновскими контактами, М., Изд-во МГУ, 1978.

126. А. Бароне, Дж. Патерно. Эффект Джозефсона: физика и применения, М., Мир, 1984.

127. К.К. Лихарев. Введение в динамику джозефсоновских переходов, М., Наука, 1985; Dynamics of Josephson Junctions and Circuits, Gordon and Breach, New York (1986) 634 pp.

128. И. M. Гельфанд, С. В. Фомин, Вариационное исчисление, М., Наука, 1961; I. М. Gelfand, S. V. Fomin. Calculus of Variations, Prentice-Hall, 1963.

129. B.A. Треногин. Функциональный анализ, M., Наука, 1980.

130. Б.П. Демидович, Лекции по математической теории устойчивости, М., 1967.

131. ИЗ. Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн. Устойчивость дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, М., Наука, ГРФМЛ, 1970.

132. D.W. McLaughlin and А.С. Scott. Perturbation analysis of fluxon dynamics, Phys. Rev. A, 18 (1978) pp. 1652-1680.

133. A.C. Scott and L. MacNeil. Binding energy for a "small" stationary solit.on, Phys. Lett. A, 98 (1983) pp. 87-88.

134. N. S. Bakhvalov and G. S. Kazachaand К. K. Likharev and S. I. Serdyukova Single-electron solitons in one-dimensional tunnel structures. Soviet Physics JETP 68(3):581-587, March 1989.

135. I.L. Serpuchenko, A.V. Ustinov, Solid State Comm., 68 (7), 1988, p. 693.

136. B.H. Larsen, J. Mygind, A.V. Ustinov, Commensurability between fluxons and inhomogeneities in a long Josephson junction, Phys. Lett. A, 193 (1994), pp. 359362.

137. B.A. Malomed, A.V. Ustinov. Pinning of a fluxon chain in a long Josephson junction with a lattice of inhomogeneities: Theory and experiment, J. Appl. Phys., 67 (8), 1990, pp. 3791 3797.

138. A. V. Ustinov. Solitons in long Josephson junctions with inhomogeneities. In: Nonlinear Superconductive Electronics and Josephson Devices, eels. G. Costabile et al., Plenum Press, NY, 1991, pp. 315-336.

139. B.A. Malomed and A.V. Ustinov. Pinning of a fluxon chain in commensurable lattice of inhomogeneities in long Josephson junction, ISEC'89 Contributed Papers, (1989), pp. 284-287.

140. A.B. Устинов. Джозефсоновские вихры в распределенных сверхпроводящих структурах, Диссертация на соиск. уч. степени доктора физ.-мат. наук, Черноголовка, 1994.

141. A.V.Ustinov. Long Josephson junctions and stacks, In: Superconductivity in Networks and Mcsoscopic Structures, Eds. C. Giovannella & C. Lambert, AIP, 1998.

142. A.V. Ustinov. Solitons in Josephson junctions, Lecture course 1998 — 1999, Universitat Erlangen — Ntirnberg.

143. A.V. Ustinov, H. Kohlstedt, M. Cirillo, N.F. Pedersen, G. Hallmanns, and C. Heiden. Coupled fluxon modes in long Nb/AlOx/Nb stacked Josephson junction. Phys. Rev. В (Rapid Commun.) 48, 10614-10617 (1993).

144. P. Barbara, A. Ustinov, and G. Costabile. Experimental study of the interaction between fluxon arrays in stacked Josephson junctions. Phys. Lett. A, 191, 443-448 (1994)

145. A.V. Ustinov, H. Kohlstedt, and C. Heiden. Possible phase-locking of vertically stacked Josephson flux — flow oscillators. Appl. Phys. Lett., 65, 1457-1459 (1994).

146. S. Sakai, A.V. Ustinov, H. Kohlstedt, A. Petraglia, and N.F. Pedersen. Theory and experiment on electromagnetic wave propagation velocities in stacked superconducting tunnel structures, Phys. Rev. В 50,12905-12914 (1994).

147. A. Petraglia, A.V. Ustinov, N.F. Pedersen, and S. Sakai. Numerical study of fluxon dynamics in a system of two stacked Josephson junctions, J. Appl. Phys. 77,1171-1177 (1994).

148. B.H. Larsen, J. Mygind, and A.V. Ustinov, Commensurate fluxon states in long Josephson junctions with inhomogeneities. Physica В 194-196, 1729-1730 (1994).

149. A.V. Ustinov, T. Doderer, H. Kohlstedt, S.G. Lachenmann, and D. Quenter. Direct observation of coherent vortex motion in stacked Josephson junctions, Phys. Lett. A 201, 375-380 (1995).

150. H. Kohlstedt, A.V. Ustinov, and F. Peter. Double barrier long Josephson junctions with a contact to the intermediate superconducting layer. IEEE Trans. Appl. Supercond., 5, 2939-2942 (1995).

151. A. A. Golubov, A. V.Ustinov, and S. Shokhor. Interaction between fluxons in lateral Josephson junction stacks, Physica С 258, 379-383 (1996).

152. А. V. Ustinov and H. Kohlstedt. Interlayer fluxon interaction in Josephson stacks. Phys. Rev. B, 54, 6111-6114 (1996).

153. E. Goldobin, H. Kohlstedt, and A. V. Ustinov. Tunable phase-locking of stacked Josephson flux-flow oscillators, Appl. Phys. Lett., 68, 250-252 (1996).

154. B.A. Malomed and A.V. Ustinov. Analysis of testing the single-fluxon dynamics in a long Josephson junction by a dissipative spot. Phys. Rev. В 49, 13024-13029 (1994).

155. A.V. Ustinov and B.A. Malomed. Fluxon-fluxon collision testing by a dissipative spot, Phys. Rev. В 54, 9047-9049 (1996).

156. A. Wallraff, A. Lukashenko, C. Coqui, T. Duty, and A. V. Ustinov, High resolution measurements of the switching current in a Josephson tunnel junction: Thermal activation and macroscopic quantum tunneling, e-print: cond-mat/0204527.

157. H.H. Калиткин. Численные методы, M., 1981.

158. R.D. Parmentier, In: Solitons in Action, Edited by К Lonngren and A Scott (Academic Press), 1978.

159. V. Kaschieva, Lecture Notes Сотр. Sci., 1196 (Springer), 1997, p. 236.

160. B.H. Кублановская. Применение метода Ньютона для определения собственных значений А-матриц, ДАН СССР, том 188 (1969), с. 1004-1005.

161. A. Ruhe. Algorithms for the non-linear eigenvalue problem, SIAM J.Numer. Anal., v. 10, No 4 (1973), p. 674-689.

162. Volkmer H. Multiparameter eigenvalue problems and expansions theorems. Berlin-Heidelberg:Springer, 1988.

163. P. Binding and P.J. Browne, Multiparameter Sturm theory, Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 99A (1984) 173 184.

164. A.L. Andrew, Variational solution of some nonlinear eigenvalue problems, J. Math. Anal. Appl. 32 (1970), pp. 400 413.

165. A.L. Andrew, K.-W. E. Chu and P. Lancaster, On the numerical solution of nonlinear eigenvalue problems, Computing, 55 (1995), 91 — 111.

166. T. Shibata, Global L2 bifurcation for non-autonomous nonlinear Sturm-Liouville problems, Journal of Indian Mathematical Society, 62 (1996), 246 — 258.

167. H. Steinruck, U. Ascher, P. Markowich, C. Schmeiser, R. Wei/3, Conditioning of the steady state semiconductor device problem, SIAM J. Appl. Math., 49, (1989) pp. 165-85.

168. H. Steinruck, A bifurcation analysis of the steady state semiconductor equations, SIAM J. Appl. Math., 49 (1989), pp. 1102 1121.

169. Q. Du, M. Gunzburger, and J. Peterson. Solving the Ginzburg-Landau equations by finite-element methods, Phys. Rev. B, 46 (1992) 9027 9034.

170. К. H. Hoffman, L. Jiang, W. Yu, and N. Zhu. Models of Superconducting Normal Superconducting Junctions, Math. Methods Appl. Sci., 21 (1998) 59 — 91.

171. Q. Du and J. Remski. Simplified models of superconducting-normal-superconducting junctions and their numerical approximations, Euro. J. Appl. Math., (1999) 10 1.

172. A. Aftalion and S. J. Chapman. Asymptotic Analysis of a Secondary Bifurcation of the One-Dimensional Ginzburg-Landau Equations of Superconductivity, SIAM J. Appl. Math., 60(4) (2000) 1157.

173. Golin A.V., Ivartyshov S.V. Numerical stady of stability and nonlinear eigcnevalue problems // Surveys on Mathematics for Industry, 1993, N 3, p.29 — 48

174. Абрамов А.А., Ульянова В.И. Один метод решения самосопряженных многопараметрических спектральных задач для слабо связанных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // ЖВМиМФ, т. 37, 5, 1997, с. 566 — 571.

175. Абрамов А.А., Ульянова В.И., Юхно Л.Ф. Метод решения многопараметрической спектральной задачи для некоторых систем дифференциальных уравнений // ЖВМиМФ, т. 40, 1, 2000, с. 18.

176. А.А. Самарский. Теория разностных схем, М., Наука, 1977.

177. Г.И. Марчук, Методы вычислительной математики, М., Наука, 1977.

178. А.А. Самарский, В.Б. Андреев, Разностные методы для эллиптических уравнений, М., Наука, 1976.

179. А.А. Самарский, Е.С. Николаев. Методы решения сеточных уравнений, М., Наука, 1978.

180. Р.Д. Лазаров, В.Л. Макаров, А.А. Самарский. О построении и исследовании однородных разностных схем, Матем. сборник, т. 117 (159), No 4, 1982, с. 469 — 480.

181. А.Н. Толстых, Мультиоператорные схемы произвольного порядка, использующие нецентрированные компактные аппроксимации, Докл. РАН, 1999, том 366, No 3, с. 319-322.

182. E.J. Doedel and Н. Sharifi, Collocation methods for continuation problems in nonlinear elliptic PDEs, Issue on Continuation Methods in Fluid Mechanics, D. Henry and A. Bergeon, eds., Notes on Numer. Fluid. Mech., v. 74, 105-118, Vieweg, 2000.

183. С. Рубин, П. Хосла, Численные решения повышенной точности, использующие кубические сплайны, Ракетная техниа и космонавтика, т. 14, No 7 (1976).

184. Ю.С. Завьялов, Б.И. Квасов, В.Л. Мирошниченко. Методы сплайн-функций, М., Наука, 1980.

185. К. де Боор, Практическое руководство по сплайнам, М., 1987.

186. U. Ascher, J. Christiansen and R.D. Russell, A collocation solver for mixed order systems of boundary value problems, Math. сотр. 33 (1979), p. 659 — 679.

187. U. Ascher, J. Christiansen and R.D. Russell, Collocation software for boundary-value odes, ACM Trans, math software, 7 (1981), pp. 209 222.

188. Г. Стренг, Дж. Фикс, Теория метода конечных элементов, М., Мир, 1977.

189. А.И. Гребенников, Метод сплайнов в численном анализе, М.: Изд-во Моск. Унта, 1997г.

190. JI.B. Канторович. Об одном новом методе приближенного решения уравнений в частных производных, ДАН СССР, т. 2, No 8-9, 1934, с. 532 536.

191. Г.М. Вайникко, О сходимости и устойчивости метода коллокации, Дифф. уравнения, т. 1, No 2, 1965.

192. Э.Б. Карпиловская, О сходимости метода коллокации, Докл. АН СССР, т. 151, No 3, 1963.

193. Э.Б. Карпиловская, О сходимости метода коллокации для некоторых граничных задач математической физики, Сиб. мат. журнал, т. 4, No 3, 1963.

194. Т. Жанлав, И.В. Пузынин, Ю.С. Смирнов. Алгоритм и программа решения задачи Штурма- Л иу вилл я с использованием сплайн-схемы повышенной точности. Сообщение ОИЯИ, Р11-90-501, .Дубна, 1990.

195. Ю.И. Молородов, Б.П. Колобов, Метод локальной коллокации и построение адаптивной сетки для кревых задач с пограничным слоем//Моделирование в механике, т. 3(20) „№ 6, с.53 69.

196. Л.Г. Сёмин, А.Г. Слепцов, В.П. Шапеев, Метод коллокаций — наименьших квадратов для уравнений Стокса // Вычислительные технологии, 1996, т. 1 (2), с. 90.

197. И.Е. Ануфриев, Л.В. Петухов. Применение устойчивого граничного аналога метода коллокации для аппроксимации решения некоторых задач теории упругости// ПММ, 1998, т. 62, No 4. с. 633 — 642.

198. P.T. Chrusciel, Black Holes, gr-qc/0201053.

199. R. Casadio, В. Harms. Can black holes and naked singularities be detected in accelerators?, e-print: hep-ph/0110255.

200. D.M. Eardley, S.B. Giddings. Classical Black Hole Production in High-Energy Collisions, e-print: gr-qc/0201034.

201. L.A. Anchordoqui, L. Feng, H. Goldberg, A.D. Shapere. Black Holes from Cosmic Rays: Probes of Extra Dimensions and New Limits on TeV-Scale Gravity, e-print: hep-ph/0112247;

202. K.A. Bronnikov. Spherically symmetric false vacuum: no-go theorems and global structure, e-print: gr-qc/0104092.

203. K.A. Bronnikov, G.N. Shikin. Spherically symmetric scalar vacuum: no-go theorems, black holes and solitons, e-print: gr-qc/0109027.

204. K.A. Bronnikov. Scalar vacuum structure in general relativity and alternative theories. Confonnal continuations, gr-qc/0110125;

205. S.A.Hayward, T. Shiromizu, K. Nakao, Phys. Rev. D, 49, 5080 (1994).

206. Y.N. Obukhov, F.W. Hehl, in: Black Holes: Theory and Observations, Eds. F.W. Hehl, R.K. Metzler, Springer, 1998, p.289.

207. S. Nojiri, S. Odintsov, Int. J. Mod. Phys. A, 16, 1015 (2001).

208. R. Gregory, J. Harvey. Black holes with a massive dilaton, Phys. Rev D 47, 2411 (1993)

209. J. Home, G. Horowitz. Black Holes Coupled to a Massive Dilaton, Nucl.Phys. В 399 (1993) 169-196; e-print: hep-th/9210012.

210. S. Hawking, Hawking on the Big Bang and Black Holes, World Sci. Singapore, 1993.

211. H. Narai, Sci. Rep. Tohoku Univ. Ser. I 35, 62 (1951).

212. T. Tamaki, T. Torii. Gravitating Blon and Blon black hole with a dilaton, Phys.Rev. D, 62, 061501R (2000)

213. Т. Tamaki, Т. Torii. Dyonic Blon black hole in string inspired model, e-print: gr-qc/0101083.

214. Е.П. Жидков, И.В. Пузынин, ДАН СССР, т. 180, 1, 1968, с. 18.

215. L.I. Ponomarev, I. V. Puzynin, and Т. P. Puzynina, J. Сотр. Phys., 13(1), 1 (1973).

216. L.I. Ponomarev, I. V. Puzynin, and T. P. Puzynina, J. Сотр. Phys., 22(1), 125 (1976).

217. A.T. Filippov, I. V. Puzynin, and D. P. Mavlo, J. Сотр. Phys., 22(2), 150 (1976).

218. R.G. Airapetyan and I. V. Puzynin, Comput. Phys. Comm., 102, 97 (1997).

219. Numerical receipes Books on-line,http: //www. ulib.org/webRoot/Books/Numerical Recipes/.

220. C. Brans and R. Dicke, Mach's principle and a relativistic theory of gravitation, Phys. Rev., 124, 925-935 (1961).

221. C. Callan, D. Friedan, E. Martinec and M. Perry, Strings in background fields, Nucl.Phys. В 262, 593 (1985).

222. M. Colpi, S. Shapiro and I. Wasserman. Boson stars: Gravitational equilibria of self-interacting scalar fields, Phys. Rev. Lett. 57, 2485 (1986).

223. G. Comer and H. Shinkai. Generation of scalar-tensor gravity effects in equilibrium state boson stars, Class. Quant. Grav. 15, 669 (1998).

224. D. Torres, F. Schunck, A. Liddle, Class. Quantum Grav. 15, 3701 (1998)

225. J. Barrow, Phys. Rev. D, 46, 3227 (1992)

226. T. Damour and G. Esposito-Farese. Tensor-multi-scalar theories of gravitation, Class. Quantum Grav., 9, 2093 (1992).

227. R. Dicke. Mach's principle and invariance under transformation of units, Phys. Rev. 125, 2163 (1962).

228. В.В. Ермаков, Н.Н. Калиткин, Оптимальный шаг и регуляризация метода Ньютона, ЖВМиМФ, 21, No 2, 1981, с. 491.

229. А.Т. Filippov, I.V. Puzynin, D.P. Mavlo, Numerical methods for solving some singular boundary value problems of quantum mechanics and quantum field theory, J. Сотр. Phys., 22 (2), 150 (1976).

230. E. Fradkin and A. Tseytlin, Effective field theory from quantized strings, Phys.Lett. B158, 316 (1985).

231. M. Gleiser and R. Watkins. Gravitational stability of stelar matter, Nucl. Phys. В 319, 733 (1989).

232. M.B. Green, J.H. Schwarz and E. Witten, Superstring theory, Cambridge University Press (Cambridge, 1987).

233. M. Gunderson and L. Jensen. Boson stars in the Brans-Dicke gravitational theories, Phys. Rev. D 48 (1993) 5628.

234. A. Henriques, A. Liddle and R. Moorhouse. Combined boson-fermion stars: configurations and stability, Nucl. Phys. В 337, 737 (1990).

235. D. Каир, Klein-Gordon Geon, Phys. Rev., 172, 1331 (1968).

236. J. Maharana and H. Schwarz, Noncompact symmetries in string theory, Nucl.Phys. B, 390, 3 (1992).

237. K. Meissner and G. Veneziano, Symmetries of cosmological superstring vacua, Phys.Lett. В 267 (1991) 33; Mod. Phys. Lett. A 6, 3398 (1992).

238. W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling and B. P. Flannery: Numerical receipes in Fortran, 2nd. ed., Cambridge University Press (Cambridge), 1992.

239. J. Balakrishna and H. Shinkai, Dynamical evolution of boson stars in Brans-Dicke theory // Phys. Rev. D, 58, 044016-1 (1998).

240. A. Whinnett and D. Torres, Phys. Rev. D 60, 104050, (1999).

241. M. Colpi, S. Shapiro, I. Wasserman, Phys. Rev. Lett, 57, 2485 (1986)

242. R. Ruffini and S. Bonazzola, System of self-interecting particles in general relativity and the concept of an equation of state, Phys. Rev. 187, 1767 (1969).

243. J. Sherk and J. Schwarz. Dual models and the geometry of space-time, Phys. Lett, В 52, 347 (1975).

244. Z. Tao and X. Xue, Boson star in a gravitatinal theory with dilaton, Phys. Rev. D, 45, 1878 (1992).

245. D. Torres, Boson stars in general scalar-tensor gravitation: Equilibrium configurations, Phys. Rev. D, 56, 3478 (1997).

246. D. Torres, F. Shunk and A. Liddle, Brans-Dicke boson stars: Configurarions and stability through cosmic history, Class. Quant. Grav., 15, 3701 (1998).

247. С. M. Will, Theory and Experiment in Gravitational Physics, Cambridge University Press (Cambridge), 1993.

248. S. Yazadjiev, Tensor mass and particle number paek at the same location in the scalar-tensor gravity boson star models — an analytical proof, Class. Quant. Grav. 16, L63 (1999).

249. K. Eriksson and V. Thomee, Maths, of Comput, 43(166), 345 (1984).233. http://www.netlib.org.

250. P.P. Fiziev, A minimal realistic model of dilatonic gravity, e-print: gr-qc/9911037.

251. D.G. Aronson, E.J. Doedel and D.H. Terman, A codimcnsion-two point associated with coupled Josephson junctions, Nonlinearity 10, 1997, 1231-1255.

252. T. Tamaki, Thermodinamic properties of massive dilaton black holes II, e-print: gr-qc/0205048.

253. S. Sakai, P. Bodin, N.F. Pedersen, Fluxons in thin-film superconductor-insulator superlattices, J. Appl. Phys., v. 73, No. 5, 1993, pp. 2411 2418.1. Список иллюстраций

254. Численное решение тестовой задачи (1.48).46

255. Производная решения тестовой задачи (1.48) .47

256. Схема джозефсоновского контакта.51

257. Устойчивая А и неустойчивая V амплитуды параметра, порядка.55

258. Солитонные цепочки для амплитуды параметра порядка .56

259. Зависимости J(A(^/7r) при д2 = 0 и д3 = 0.57

260. Бифуркационные диаграммы для энергии F(J) .58

261. Зависимости МСЗ ЗШтЛ при дг = 1 и д\ = 2 .58

262. Критический ток jc соответствует минимуму энергии.59

263. Зависимость амплитуды R (0) от параметра д\.60

264. Зависимость R~l(J) при фиксированных z.61

265. Влияние параметра д2 на кривые J{A(p) .62

266. Влияние параметра д:$ на кривые J(Aip) .62

267. Зависимость отношения j2/ji от дг .63

268. Зависимость отношений j2/ji и jz/ji от дз.63

269. Бифуркационные кривые Ami„(jc, дг) = 0.64

270. Бифуркационные кривые \min(Aipc, д\) = 0 .64

271. Схема ДДП с оуег1ар-геометрией .66

272. Схема ДДП с in-line геометрией.68

273. Модель тока Джозефсона в резистивной неоднородности .69

274. Часть спектра задачи Штурма-Лиувилля для мейсснеровского решения 74

275. Влияние магнитного поля hB на мейсснеровское решение.82

276. Влияние тока 7 на мейсснеровское решение.83

277. Флюксон/антифлюксон магнитного потока при 7 = 0 .83

278. Солитон/антисолитон магнитного поля при 7 = 0 .84

279. Флюксон/антифлюксон магнитного поля при hB = 0 .84

280. Солитон/антисолитон магнитного поля при Нв = 0.85

281. Устойчивые и неустойчивые распределения магнитного поля.87

282. Первая собственная функция.87

283. Зависимость минимального собственного значения от тока 7.87

284. Зависимость второго собственного значения от тока 7.87

285. Зависимость полного магнитного потока от тока 7.88

286. Зависимость минимального собственного значения от тока 7.88

287. Зависимость Amin от ширины неоднородности ц.89

288. Зависимость Xmin от положения центра неоднородности х0.89

289. Зависимость \min{l) при х0 = 2 .90

290. Влияние модели распределения тока 7 на Xmin.90

291. Цепочки флюксонов в неоднородном ДДП.91237 Зависимость Amin(/is).91

292. Бифуркационная кривая 7{hB) для основного флюксона.92

293. Кресты бифуркационных кривых для однофлюксониых состояний . 93

294. Экспериментальная кривая критический ток — магнитное поле 78. . . 93

295. Бифуркационные кривые для решений с рис. 2.36.94

296. Критическая кривая для ДДП с оуег1ар-геометрией .95

297. Экспериментальная кривая критический ток — магнитное поле 118. . . 95

298. Сравнение критических кривых для разных ji .96

299. Зависимость центра НФ. от внешнего тока 7 .97

300. Зависимость центра НФ. от магнитного поля hB .97

301. Деформация Ф при изменении L не меняет центр флюксона.97

302. Деформация Ф при изменении hB не меняет центр флюксона.99

303. Пара солитонов магнитного поля в двухслойном ДДП.105

304. Бифуркационные кривые для солитонных пар.105

305. Солитон-антисолитонная пара магнитного поля в двухслойном ДДП . . 106

306. Бифуркационные кривые для солитон-антисолитонных пар.106

307. Распределения магнитного поля вдоль решетки: Д — R = 6 (устойчивое), V — R = 12 (устойчивое), □, 0 — R= 12 (неустойчивые) . . . 109

308. Зависимость Amin(R) для решений □ и 0 с рис. 2.53.110

309. Зависимость Лmin{lA для решений □ и 0 с рис. 2.53.111

310. Устойчивые (Л и V) и неустойчивые (□ и 0) 2-вихри потока р(х) . 112

311. Устойчивые распределения магнитного поля в ДДП с A'j = 2.112

312. Зависимость Лmj„(/i) для разных R .113

313. Интервал устойчивости по току 7 бризера как функция размера неоднородности ц при разных R .114

314. Деформации устойчивого бризера магнитного поля при изменении 7 . 114261 Зависимость Ami„(7) .115

315. Зависимость для разных значений R .116263 Зависимость fj,s(R) .116

316. Критические кривые для ДДП с одной и двумя неоднородиостями . 117

317. Магнитный поток, магнитное поле и первая СФ для флюксона Ф . . . 120

318. МСЗ для Ф как функция длины ДДП.121

319. Получение ДДП минимальной длины.125

320. Ток 7 сдвигает максимум магнитного поля от неоднородности.126

321. Влияние тока 7 на минимальную длину ДП .126

322. Влияние поля hB на минимальную длину ДП.127

323. Минимальная длина ДП уменьшается при возрастании hB.127

324. Влияние магнитного поля hB на минимальную длину ДП.128

325. Зависимость энергии и минимального СЗ от ширины /1 неоднородности 129

326. Влияние размера /л неоднородности на минимальную длину ДП . 129

327. Влияние положения неоднородности х0 на минимальную длину ДП . . 130

328. Трисолитонный вихрь минимальной длины.130

329. Распределение сверхтока вдоль ДДП.131

330. Левая ветвь зависимости критической скорости от А.138

331. При измельчении шага h левая ветвь "прижимается" к нулю.139

332. Правая ветвь зависимости критической скорости от А.139

333. Бифуркационная кривая: зависимость критической скорости от А . . . 140

334. Зависимость массы и массы покоя звезды от параметра ас.148

335. Масса бозонной звезды как функция центральной плотности ас . 149

336. Зависимость массы бозонной звезды от параметра 7 при Л = 10 . 149

337. Зависимость бозонного поля звезды от расстояния для разных 7 . 150

338. Зависимость дилатонного поля ip(r) от 7.150

339. Зависимость поля Ф(г) = ехр{—2у>/\/3} звезды для разных 7.151

340. Масса бозонной звезды как функция радиуса звезды R.151

341. Зависимость энергии связи Еьгпа от массы покоя MR.152

342. Зависимость частоты fi от массы покоя MR .153

343. Функция р(х) для разных значений ас .165

344. Дилатон р(х) как функция параметра сгс.165

345. Бозонная плотность а(х) при изменении плотности ас .166

346. Фермионная плотность а(х) в зависимости от параметра ас.167

347. Радиус звезды Rs и параметр fiexp(-z/(0)/2) для разных ас .167

348. Бозонное поле а(х) при ас = 0.4 и рс = 1.2.176

349. Дилатон р(х) при ас = 0.4; рс = 1.2.176

350. Метрическая функция v(x) при ас = 0.4 и р,с = 1.2.177

351. Массовая плотность р(х) при ас = 0.4 и рс = 1.2 .178

352. Сравнение функции (р(х) с асимптотикой 3.52Ь.178

353. Масса звезды М и масса покоя MRp как функции fic .179

354. Зависимость энергии связи Еь от массы покоя MRF.179

355. Масса звезды как функция центральных плотностей цс и ас.180

356. Метрическая функция /(г) для нескольких значений массы 7.186

357. Функции C(ip),Ci(y) и С2(ф) при 7=1 .189325 Зависимость R(q).190326 Зависимость R(7).190

358. Решение с внутренним горизонтом .192328 ip — дискриминант.193

359. Пример решения /(г) с трижды вырожденным горизонтом.194

360. Зависимость Лл(Моо), 7 = 0.01.201

361. Зависимость R (Moo) ,д=1.202332 "Рождение" горизонтов в ЧД.202

362. Пример решений /(г) с двумя регулярными горизонтами . 204