автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Программное обеспечение численного исследования автономных систем в приложениях и учебном процессе

Введение

1 Обзор численных методов анализа автономных систем

1.1 Численное интегрирование жестких систем.

1.2 Построение диаграмм стационарных решений методом продолжения по параметру.'.

1.3 Исследование устойчивости стационарных решений

1.4 Одно- и двупараметрический анализ стационарных решений

2 Базовые алгоритмы пакета программ STEP

2.1 Алгоритм метода продолжения по параметру.

2.2 Исследование устойчивости стационарных решений по методу Годунова - Булгакова в зависимости от параметра

2.3 Численные схемы интегрирования Розенброка и Гира

2.4 Построение бифуркационных кривых «овражным методом»

3 Численное исследование математических моделей из приложений 68 3.1 Примеры модельных задач учебного курса.

3.2 Математическая модель поверхностных процессов в реакции окисления СО на иридии.

3.3 Математическая модель регуляции внутриклеточного биосинтеза холестерина.

4 Организация численного эксперимента в пакете STEP

4.1 Ввод и вывод информации.

4.2 Работа с моделью в диалоговом режиме

4.3 Раздел «Задача Коши».

4.4 Раздел «Нелинейные системы».

Актуальность

При изучении многих прикладных задач важную роль играет вычислительный эксперимент, предоставляя возможность более глубокого понимания существа изучаемых процессов через исследование соответствующей математической модели. Кроме того, в ряде случаев моделирование процессов в лабораторных или натурных условиях сложно и дорого.

Для проведения численного исследования физического процесса необходимо:

- построить физическую модель процесса, т. е. найти закономерности, позволяющие судить о характере протекания процесса (это, например, схемы кинетических реакций, уравнения теплового баланса, равновесия, законы сохранения и т. п.);

- построить математическую модель, в нашем случае в терминах обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ);

- найти решения системы дифференциальных уравнений, применяя методы численного интегрирования;

- провести численное исследование поведения решений в зависимости от параметров системы;

- сопоставить полученные результаты с известными качественными представлениями о характеристиках изучаемого физического процесса.

В работе предлагается пакет программ STEP, предназначенный для численного исследования автономных систем из п уравнений общего вида: = (0.0.1) где х = (si,. ,£„) £ Rn - фазовые (динамические) переменные, р = р1,.,^"1) € Rm - скалярные параметры, от которых зависит модель, fi(x>p)i • • • > fn{x,p) ~ достаточно гладкие функции переменных и параметров.

Как отмечается, например, в [73], достаточно полное аналитическое исследование автономных систем (в том числе и бифуркационный анализ) возможно, как правило, лишь для систем специального вида. Поэтому важна роль численных методов, составляющих основу организации численного эксперимента при изучении качественных характеристик поведения решения, и разработок программного обеспечения, использующего эти методы.

Востребованность разработок программного обеспечения такого рода состоит в том, что многие математические модели из приложений формулируются в терминах автономных систем дифференциальных уравнений. Из литературы известен ряд программных комплексов типа пакета STEP, реализующих численные алгоритмы качественного анализа автономных систем. В частности, много работ было посвящено изучению бифуркаций в гидродинамике (см., например [5]). Для изучения бифуркаций в биологических системах были созданы (НИИВЦ АН СССР, Пущино) такие программные комплексы, как LINLBF [98] и более поздние его модификации, L0CBIF [99] и CONTENT [101]. Можно также назвать такие широко известные пакеты программ, как DERPAR [83] и AUTO [85]. Для интегрирования задачи Коши применяются, например, комплекс программ MADONNA, см. http://www.berkeleymadonna.com/, пакеты GEAR [82] и DIFFSUB [87].

Опыт работы с приложениями показывает, что решение конкретных задач на практике оказывается затруднительным в случае применения готовых комплексов программ, являющихся, как правило, коммерческим продуктом, закрытым для доступа к текстам программ. В этом случае применение так называемого «черного ящика» может вызвать затруднения при организации численного эксперимента. Кроме того, в рамках используемого комплекса программ может оказаться проблематичным и привлечение новых алгоритмов.

На основе вычислительных алгоритмов, разработанных в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН, было создано программное обеспечение численного исследования автономных систем, включающее в себя, в частности, оригинальный вариант метода продолжения для решения систем нелинейных уравнений, зависящих от параметра, определение устойчивости стационарных решений по методу Годунова - Булгакова в зависимости от параметра, алгоритмы проведения одно- и двупараметрического анализа стационарных решений автономной системы.

Постановка задачи

Приведем несколько определений, связанных с постановкой задачи. Пусть xi = ipi(t), x2 = (p2{t), txn = (pn(t),

- какое-нибудь решение системы (0.0.1). Множество точек ip(t) = {<Pi(t), if2(t), • • • ,<Pn(t)), где t принимает все значения, при которых определено решение Х\,Х2,. ,хп, называется траекторией, соответствующей данному решению, или фазовой траекторией.

По определению, фазовый портрет системы есть совокупность всех ее траекторий x\(t).xn(t), изображенных в пространстве фазовых переменных Rn (фазовом пространстве) при фиксированных значениях параметров (см. [б], [7]). Решая задачу Коши с различных начальных данных, мы можем построить фазовый портрет системы при некоторых фиксированных параметрах модели.

При изменении какого-либо параметра системы может произойти качественное изменение - бифуркация - установившегося режима при некотором значении параметра, которое будем называть критическим. Очевидно, что фазовый портрет изучаемой системы при этом меняется. Так, в случае, когда стационарное решение теряет устойчивость при критическом значении параметра, может возникнуть замкнутая траектория (предельный цикл) - бифуркация Андронова - Хопфа или, иначе, комплексная бифуркация. Другим возможным проявлением нелинейности модели является существование критического значения параметра, при котором возникает множественность решений.

Говорят, что разбиение пространства параметров Rm на области с качественно различными типами динамического поведения определяет бифуркационную диаграмму.

Качественные, топологические перестройки фазовых портретов динамических систем уравнений при непрерывном, плавном изменении параметров системы описываются теорией бифуркаций. Изложение основных методов теории бифуркаций и результатов, полученных в этой области, начиная с основополагающих работ А. М. Ляпунова, А. Пуанкаре и А. А. Андронова, можно найти, например, в работах [2], [3], [б], [7], [73].

При проведении численного эксперимента наибольший интерес представляет качественная картина, сохраняющаяся при изменении фазового портрета системы. Это прежде всего вопросы о характере режимов, которые устанавливаются в системе по завершении переходного процесса: число состояний равновесия, отвечающих стационарным режимам данной системы, и их устойчивость; возможность существования предельных циклов, отвечающих режимам периодических колебаний и т. п. Очевидно, что построение бифуркационной диаграммы в совокупности с соответствующими фазовыми портретами позволит ответить на вопросы о возможных в системе динамических режимах и их качественных перестройках.

Предметом диссертационной работы являются вопросы организации численного эксперимента с помощью вычислительных средств, которые позволяют проводить качественное исследование автономных систем вида (0.0.1) в зависимости от параметров и систем нелинейных уравнений, не обязательно являющихся правыми частями автономных систем. Применение пакета программ STEP при проведении численного эксперимента предоставляет следующие возможности.

• Численное интегрирование задачи Коши для автономной системы с целью выхода на стационарный режим, либо с целью получения колебательного режима. Определение периода колебаний в режиме диалога и нахождение решения задачи Коши при изменении значения параметра в процессе счета.

• Построение связных ветвей стационарных решений в зависимости от выбранного параметра модели методом продолжения по параметру, с учетом возможного существования точек ветвления типа поворот.

• Численное исследование устойчивости найденных стационарных решений на основе теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

• Обнаружение на диаграмме стационарных решений точек, в которых возможна бифуркация Андронова - Хопфа.

• Проведение двупараметрического анализа стационарных решений автономной системы.

Цели и задачи работы

• Разработка пакета программ, предназначенного для численного исследования автономных систем ОДУ общего вида и систем нелинейных трансцендентных уравнений.

• Применение пакета STEP в качестве математического обеспечения учебного процесса в курсе «Инженерная химия каталитических процессов».

• Организация численного эксперимента с помощью пакета программ STEP для выявления качественных свойств конкретных математических моделей из приложений.

Научная новизна

В работе представлено программное обеспечение численного исследования автономных систем ОДУ общего вида, оформленное в виде пакета программ STEP. В пакете STEP использованы вычислительные алгоритмы, ориентированные на изучение систем произвольной размерности. Применение этих методов дает возможность эффективно организовать численное исследование математических моделей в зависимости от параметров. Кроме того, указанные вычислительные алгоритмы учитывают возможность проявления нелинейных эффектов, которые, как правило, присутствуют в математических моделях, описывающих «нелинейные» процессы (гистерезис, сильная параметрическая чувствительность, возникновение автоколебаний и т.д.).

Предложен и программно реализован новый алгоритм, расширяющий возможности численного построения бифуркационных кривых для автономных систем из п уравнений.

Представленный в работе пакет программ STEP применялся для решения многих прикладных задач (см. [9], [26], [28], [33], [50], [57] - [68], [79], [88], [89], [91] - [95], [104]). Как показала практика, пакет легко адаптируется к моделям из различных приложений благодаря использованию в пакете алгоритмов универсального типа.

Применение пакета STEP в учебном процессе показано на примерах модельных задач вычислительного практикума учебного курса «Инженерная химия каталитических процессов». Вычислительный практикум, в качестве программного обеспечения которого используется пакет STEP, разработан на кафедре катализа и адсорбции НГУ.

Проведено численное исследование математической модели, описывающей поверхностные процессы, протекающие в реакции окисления СО на иридии. Полученные для этой модели результаты являются новыми.

Проведено численное исследование математической модели, описывающей регуляцию внутриклеточного биосинтеза холестерина, в зависимости от параметров модели и построена матрица параметрической чувствительности.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 150 страниц. Библиография содержит 108 наименований.

Заключение

В работе получены следующие основные результаты.

1. На основе эффективных вычислительных алгоритмов разработано программное обеспечение для численного исследования автономных систем ОДУ общего вида, зависящих от параметров, которое оформлено в виде пакета программ STEP. Базовые алгоритмы пакета программ включают в себя:

• методы интегрирования жестких задач: многошаговый метод Гира переменного порядка точности и полунеявный метод Розенброка 2-го порядка;

• метод продолжения по параметру для построения связных ветвей стационарных решений с учетом возможного существования точек ветвления типа поворот;

• метод Годунова - Булгакова для определения устойчивости по Ляпунову стационарных решений.

2. Разработан и программно реализован новый алгоритм построения бифуркационных кривых в параметрической плоскости двух параметров.

3. Представлен вариант пакета программ STEP, написанный на языке Microsoft FORTRAN и реализованный в операционной среде DOS. Пакет предназначен для работы на IBM-совместимых компьютерах в среде MS-DOS. Пакет может также работать в среде эмуляции MS-DOS под WINDOWS 95, 98. Модель для исследования формируется в текстовом редакторе (либо с помощью конвертор-программы) и сохраняется в «банке» моделей. Вход в пакет организован таким образом, чтобы существовала дополнительная возможность вводить данные, полученные вне рамок пакета STEP. Результаты расчетов на выходе оформляются в табличном и графическом виде. Трансляция и компиляция программы расчета для каждой модели осуществляется в автоматическом режиме. Многооконный графический интерфейс пакета позволяет проводить исследование моделей в режиме диалога.

4. Проведено численное исследование математической модели реакции окисления СО на иридии. Было обнаружено, что предложенная модель [25], описывающая модификацию поверхностных центров, приводит к таким кинетическим явлениям, как гистерезис сложной формы, ме-тастабильные состояния реакции, автоколебания и медленные релаксации скорости при резком изменении внешнего параметра реакции (давления или температуры). В реальном диапазоне параметров модели были найдены области возникновения автоколебаний и построены области множественности решений.

5. Проведено численное исследование математической модели, описывающей регуляцию биосинтеза холестерина в клетке крови. Построены зависимости концентрации холестерина от параметров модели, являющихся, в биологическом смысле, константами скоростей реакций элементарных процессов, происходящих в клетке. Для указанных параметров построена матрица параметрической чувствительности.

6. Подготовлена и внедрена версия пакета STEP, которая используется в качестве программного обеспечения компьютерного практикума учебного курса «Инженерная химия каталитических процессов»на кафедре катализа и адсорбции факультета естественных наук НГУ. Пакет STEP в течение ряда лет применяется для научных исследований, о чем свидетельствует ряд публикаций (см. [9], [26], [28], [33], [50], [57] - [66], [68], [79], [88], [89], [91] - [95], [104]).

Всего список публикаций по теме диссертации включает в себя 31 работу: 8 статей, 2 препринта, учебное пособие и 20 тезисов.

1. Арис Р. Анализ процессов в химических реакторах. Л.: Химия, 1989.

2. Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: НИЦ «Рег. и хаотич. динамика»; МЦНМО, 2002.

3. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С., Шильников Л.П. Теория бифуркаций. «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.» Т. 5. М.: Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР, 1986.

4. Арушунян О.Б., Залеткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране. М.: Изд-во МГУ, 1990.

5. Бабенко К.И. Об использовании ЭВМ при исследовании гидродинамической устойчивости. В сб.: Исследование гидродинамичесой устойчивости с помощью ЭВМ. - М.: ИПМ АН СССР, 1981. - С.с. 5-79.

6. Базыкин А.Д., Кузнецов Ю.А., Хибник А.И. Портреты бифуркаций. -М.: Знание, 1989.

7. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976.

8. Березин А.Ю., Гайнова И.А., Фадеев С.И. Пакет программ STEP. Новые возможности. Новосибирск: Тезисы Сибирской конференции «Методы сплайн-функций», посвященной памяти Ю.С.Завьялова. Изд-во Ин-та математики, 2001. - С.с. 17-18.

9. Бесков B.C., Флокк В. Моделирование каталитических процессов и реакторов. М.: Химия, 1989.

10. Боресков Г.К. Гетерогенный катализ. Новосибирск: Наука, 1986.

11. Воронин А.И., Низовский А.И., Елохин В.И. Экспериментальное обоснование механизма реакции С0+02 на иридии и его численное моделирование. Сб. трудов IV Всес. Конф. по механизму каталитических реакций, Москва, 1986. - С.с. 196-200.

12. Воронин А.И., Низовский А.И. Реакция окисления окиси углерода на иридии. Новосибирск: Механизмы адсорбции и катализа на чистых поверхностях металлов. Сб.науч.тр., 1989. - С.с. 39-61.

13. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

14. Гельфанд И.М., Цетлин М.Л. О некоторых способах управления сложными системами Успехи мат. наук, Т. 17, 1(103), 1962. - С.с. 3-25.

15. Годунов С.К. Обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Новосибирск: Изд-во НГУ, Т. 1, 1994.

16. Годунов С.К. Современные аспекты линейной алгебры. Новосибирск: Научная книга, 1997.

17. Давиденко Д.Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений. ДАН СССР, Т.88, N 4, 1953. - С.с. 601-602.

18. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге Кутта для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1988.

19. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М.: Наука, 1966.

20. Демидов Г.В., Новиков Е.А. Оценка ошибки одношаговых методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Численные методы механики сплошной среды, Т. 16, N 1, 1985. - С.с. 27-42.

21. Дятлов В.Л., Коняшкин В.В., Потапов Б.С., Фадеев С.И. Пленочная электромеханика. Новосибирск: Наука, 1991.

22. Елохин В.И., Яблонский Г.С. Кинетические модели каталитических реакциий, учитывающие воздействие реакционной среды. Новосибирск: Взаимодействие катализатора и реакционной системы. Сб.науч.тр., 1988. - С.с. 86-108.

23. Елохин В.И., Воронин А.И. Моделирование реакции СО + Ог на иридии. Новосибирск: Механизмы адсорбции и катализа на чистых поверхностях металлов. Сб.науч.тр., 1989. - С.с. 62-76.

24. Ермакова А., Пай З.П., Гудков А.В., Фадеев С.И., Гайнова И.А., Березин А.Ю. Основы «химической» модели жидкофазной реакции Клауса. Параметры модели, численный анализ, сравнение с экспериментом. ТОХТ, 1997, Т. 31, N 5, С.с. 516 - 523.

25. Жданов В.П. Элементарные физико-химические процессы на поверхности. Новосибирск, Наука, 1988.

26. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ. Киев: Наук, думка, 1986.

27. Иоффе И.И., Письмен Л.М. Инженерная химия гетерогенного катализа. -Л.: Химия, 1972.

28. Кафаров В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. М.: Химия, 1989.

29. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 2001.

30. Колчанов Н.А., Ананько Е.А., Колпаков Ф.А.,Подколодная О.А., Игнатьева Е.В., Горячковская Т.Н., Степаненко Е.Л. Генные сети. Мол. Биол. (Москва), т. 34(4), 2000. - С.с. 533-544.

31. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы высшей математики. Т.1. Минск: Высшая школа, 1972.

32. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975.

33. Левеншпиль О. Инженерное оформление химических процессов. М.: Химия, 1969.

34. Лихошвай В.А., Матушкин Ю.Г., Ратушный А.В., Ананько Е.А., Игнатьева Е.В., Подколодная О.А. Обобщенный химико-кинетический подход для моделирования генных сетей. Мол. Биол. (Москва), т. 35(6), 2001. - С.с. 1072-1079.

35. Лихошвай В.А., Матушкин Ю.Г., Фадеев С.И. Задачи теории функционирования генных сетей. Сиб. журн.индустриальной математики, (Новосибирск), т. 6, N 2(14), 2003. - С.с. 64-80.

36. Малышев А.Н. Введение в вычислительную линейную алгебру./ Отв.ред. С.К.Годунов. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1991.

37. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложение. М.: Мир, 1980.

38. Математическое моделирование химических реакторов /под ред. Г.И.Марчука. Новосибирск: Наука, 1989.

39. Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. Новосибирск, Наука, 1997.

40. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976.

41. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975.

42. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения диффе- . ренциальных уравнений. М.: Наука, 1986.

43. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979.

44. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики. М.: Научный мир, 2000.

45. Сеттерфилд Ч. Практический курс гетерогенного катализа. М.: Мир, 1984.

46. Слинько М.Г. Пленарные лекции конференций по химическим реакторам: «Химреактор-1» «Химреактор-3». - Новосибирск: 1996.

47. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений./ Редакторы Дж.Холл и Дж.Уатт. М.:Мир, 1979.

48. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. Ленинград: Гос.Издат., 1950.

49. Фадеев С.И. О решении систем трансцендентных уравнений с параметром методом Ньютона. Новосибирск: Изд-во Института математики СО АН СССР, Препринт ИМ СО РАН, N 72, 1984.

50. Фадеев С.И., Иванов Е.А., Гайнова И.А. Комплекс программ численного исследования стационарных режимов в реакторах полного смешения. Школа-семинар «Динамика процессов и аппаратов непрерывной технологии», г.Яремча. Реферат доклада в Хим.пром., N 5, 1991.

51. Фадеев С.И., Гайнова И.А. Пакет программ STEP для численного исследования систем нелинейных уравнений. Новосибирск: Препринт ИМ СО РАН, N 13, 1994.

52. Фадеев С.И., Гайнова И.А. Пакет программ STEP для численного исследования систем нелинейных уравнений. Вычислительные технологии (Сб. научных трудов), Новосибирск, ИВТ СО РАН, т. 4, N 10, 1995. - С.с. 275-289.

53. Фадеев С.И., Гайнова И.А., Березин А.Ю. Применение пакета STEP для численного исследования систем нелинейных уравнений и автономных систем общего вида. Новосибирск: Препринт ИМ СО РАН, N 14, 1995. - 52 с.

54. Фадеев С.И., Гайнова И.А., Березин А.Ю., Ермакова А., Пай З.П., Гудков А.В. Основы «химической» модели жидкофазной реакции Клауса. Нестационарная модель и стационарные режимы. -ТОХТ, т.31, N 4, 1997. С.с. 440 - 446.

55. Фадеев С.И., Гайнова И.А., Березин А.Ю., Ермакова А., Пай З.П., Гудков А.В. Основы «химической» модели жидкофазной реакции Клауса. Стационарные режимы при частичной замене раствора. ТОХТ, т.31, N 6, 1997. - С.с. 634-637.

56. Фадеев С.И., Савченко В.И., Иванов Е.А., Березин А.Ю., Гайнова И.А. Исследование математических моделей каталитической реакции окисления СО на неоднородной поверхности. Новосибирск: Сплайны и