автореферат диссертации по геодезии, 05.24.01, диссертация на тему:Модификация учета влияния дальней зоны при решении локальных задач физической геодезии

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИПЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ II КАРТОГРАФИИ

( М И И Г А и К )

На правах рукописи

РГ6 од

1 * АПР 1303

РУДЕНЯ НАДЕЖДА РОМАНОВНА

МОДИФИКАЦИЯ УЧЕТА ВЛИЯНИЯ ДАЛЬНЕЙ ЗОНЫ ПРИ РЕШЕНИИ ЛОКАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ФИЗИЧЕСКОЙ ГЕОДЕЗИИ

05.24.01. Геодезия

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 1998

Работа выполнена на кафедре высшей математики Московского государственного университета геодезии и картографии.

Научный руководитель - доктор технических наук,

профессор Ю. М. Нейман

Официальные оппоненты - доктор технических наук,

профессор С. В. Лебедев

- кандидат технических наук, В. Б. Непоклонов

Ведущая организация - Геофизический центр Российской

академии наук ( ГЦРАН )

Защита состоится " /У" ^/¿-Сс^ 1998 года в ^6 часов

на заседании специализированного совета К 063.01.01 в Московском государственном университете г еодезии и картографии по адресу : 103064, г. Москва, К - 64, Гороховский переулок, дом 4, МИИГА и К , ауд. 321.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета. Автореферат разослан исс2 А^-/¿с 1998 года.

Ученый секретарь у7/ /р *

специализированного совета I/ с в. А. Монахов

ОЫДЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

' Актуальность работы Методика учета влияния дальней зоны при вычислении высот квазигеоида ( ВК ) и составляющих 1равпмстрических уклонений отвесной линии ( СУОЛ ) с помощью комбинированного метода Молоденского подробно разработана для случая, когда ближняя зона имеет форм}' круга.

Но имеющиеся в настоящее время каталоги аномалии силы тяжести представляют собой значения, усредненные по ячейкам "прямоугольной" формы: 5' х 7.5' , 10' х 15'. Это вносит неопределенность при стыковке результатов учета влияния дальней зоны с результатами интегрирования по ближней зоне круглой формы.

Кроме того, круглая форма ближней зоны неудобна и с точки зрения реализации современных численных методов физической геодезии, основанных на двумерных преобразованиях Фурье или Хартли по прямоугольнику.

Поэтому актуальной задачей является модификация методов учета влияния дальней зоны для случая, когда ближняя зона представляет собой прямоугольную сферическую трапецию.

В некоторых случаях ( например, при наличии границы государства или горного хребта ) ближняя зона может иметь произвольную форму, поэтому целесообразно также модифицировать метод учета влияния дальней зоны для ближней зоны произвольной формы. Аналогичная постановка задачи упомянута в известной работе профессора Бровара.

В связи с развитием спутниковых систем актуальным является проведение исследований в двух направлениях - когда исходная гравиметрическая информация задана в виде разложения смешанной аномалии силы тяжести в ряд по сферическим функциям и когда она задана в виде разложения чистой аномалии силы тяжести.

Цель работы заключается в разработке методики учета влияния дальней зоны произвольной формы, а также в сопоставлении ( с учетом современных требований к точности ) модифицированных результатов с результатами, полученными традиционными методами.

Научная новизна работы

- Предложен метод учета влияния дальней зоны на ВК и СУОЛ в случае ближней зоны произвольной формы.

- Для ближней зоны в форме прямоугольной сферической трапеции разработана методика учета влияния дальней зоны, изучена

целесообразность ее применения и проведены соответствующие численные расчеты и исследования. Рассмотрены также точностные вопросы вычисления вклада дальней зоны согласно разработанной методике.

Прпктпчесют ценность работы

- Разработан пакет программ, позволяющий при заданных исходных данных в виде коэффициентов разложения смешанной аномалии силы тяжести в ряд по сферическим функциям и для параметров, характеризующих форму и местоположение сферической трапепнм, вычислять вклад дальней зоны в ВК и СУОЛ, а также аналогичные вклады в случае равновеликой круглой ближней зоны и оценивать точность полученных результатов.

- Аналогичный пакет программ разработан для случая, когда исходные данные заданы в виде разложен™ чистой аномалии силы тяжести.

Структура и об'ьем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и содержит 101 страницу машинописного текста. Кроме того, имеются два приложения, содержащие 56 страниц. Первое приложение содержит в себе таблицы, графики и гистограммы, иллюстрирующие выполненные исследования, второе - программное обеспечение и описание его практического использования. Список литературы насчитывает 27 наименовании, в том числе 6 па иностранных языках.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в трех статьях в журнале "Известия ВУЗов", раздел "Геодезия и аэрофотосъёмка" и внедрены в НИР, выполненную Вч 2И09.

содержание работы

Во введении кратко обоснована актуальность темы и сформулированы основные направления исследований.

В иарафпфс 1.1 первой главы рассмотрены краевые задачи с исходными данными в виде аномалии силы тяжести. Приведены две возможности решения внешней краевой задачи для возмущающего потенциала ТС г, ф, X ) в сферическом приближении, основанные на различных исходных данных. В одном случае, при решении третьей краевой задачи, исходными данными является смешанная аномалия силы тяжести Дg(фЛ), в другом, при решении краевой задачи Неймана

- чистая аномалия силы тяжести 8g(<p,\). В обоих случаях выписаны

интегральные формулы, а именно формул!,I бтокса и Аенинг-Меннсса в нервом случае и соответственно, формула Неймана и модифицированные формулы Венпнг - Мейнсса во втором, позволяющие вычислять как возмущающий потенциал Т , так и его трансформанты -высоту квазпгсоида С, и составляющие уклонений отвесной линии % и Л •

13 иара1рафс 1.2 первой главы рассмотрен комбинированный метод Молоденского вычисления указанных интегралов, согласно которому численное интегрирование ведется только в пределах некоторой "ближней зоны", обеспеченной подробной гравиметрической съёмкой , влияние же аномалии на больших расстояниях от исследуемого пункта ( в "дальних зонах" ) раскладывается в ряд по сферическим функциям и учитывается при помощи разложения аномалии силы тяжести ( смешанной или чистой ) в ряд по этим функциям. Так, например, для- смешанной аномалии силы тяжести указанное разложение имеет следующий вид:

оо '/; л

• Ag(фЛ) = 2 (фЛ) = X X ( Апк соБкХ. + Впк яшкА.) Р„к фпф), (1)

п = 2 п = 2 к = О

где Рпк (вшф) - присоединенные функции Лежандра.

В указанном параграфе приведен краткий обзор и дана сравнительная характеристика существующих методов учета влияния "дальней зоны" , предложенных М. С. Молоденским (1945), В. Ф. Еремеевым и М. И. Юркиной (1957), О. М. Остачем (1970) , В. В. Проваром (1989) и другими авторами.

Рассмотрены точностные вопросы вычисления вклада " дальней зоны " в ВК и СУОЛ и подтвержден известный вывод о том, что с . ростом числа N количества учитываемых гармоник дисперсия за счет ошибки исходных коэффициентов разложения аномалии силы тяжести в ряд по сферическим функциям ( модель СЕМ-10) значительно превосходит дисперсию за счет усечения и оказывает превалирующее влияние на полную дисперсию. Данный вывод справедлив как для метода Молоденского учета влияния дальней зоны, так и дом других перечисленных выше методов.

В качестве альтернативы приведен принцип, предложенный Проваром и 8]оЬещ , минимизирующий полную дисперсию учета влияния дальней зоны и требующий, в отличие от принципа Молоденского, привлечения той или иной модели спектра поля -а так же аппроксимация В. А. Бывшева этого принципа. Кроме того

отмечено, что переход к чистым аномалиям силы тяжести повышает точность вычисления вклада дальней зоны.

1'. napaiрифе 1.3 первой главы изложена постановка задачи модификации метода учета влияния дальней зоны для ближней зоны произвольной формы и для ближней зоны в форме прямоугольной сферической трапеции и сформулированы основные направления исследований. При учете влияния дальней зоны поставлен вопрос о допустимости замены ближней зоны в форме прямоугольной сферической трапеции на равновеликую ей круглую ближнюю зону и о выработке соответствующих критериев.

Вторая глава посвящена модификации метода учета влияния дальней зоны в случае, когда исходная информация представлена в виде разложения смешанной аномалии силы тяжести.

В параграфе 2.1 второй главы рассматривается учет влияния дальней зоны при вычислении ВК. Приводится преобразование Молоденского, согласно которому интегральная формула Сгокса может быть представлена в виде суммы следующих трех слагаемых:

CCA) = Ii +Ь+ Ь =

N

= R/4ny if [ S(Mr) - S n(m0] Au(B) dco + R/2y X a„ Д»П(А) + 8C(A). (2)

ok) n = 0

Здесь coo некоторая окрестность точки вычисления А - "ближняя зона", границей которой служит произвольная непрерывная замкнутая линия па сфере (рис. 1):

= i|;„ = i|/(a) . О < а < 2к . (3)

N - количество учитывааемых гармоник Agn (А) , S(i|/) - безразмерная функция Стокса , Sn(4»> - некоторая лилейная комбинация нормированных полиномов Лежандра:

Sv(«|/)= Z, (2k+l)/2 akPk(cos4/). , . (4)

k = О

Рис. 1. Ближняя зона соо произвольной формы.

В приведенной выше формуле первое слагаемое представляет собой вклад ''ближней зоны', второе - вклад "дальней зоны", а третьим слаг аемым пренебрегают' и называют ошибкой усечсння. Для отыскания коэффициентов а п используется условие Молодепского

Я [ Sív) - S N О) ] 2 dro - min, (5)

ovo! о

которое приводит к решению следующей СЛЛУ :

л г

S(2k+1 )/2 Rkn(fOo) ak = Q„ (го„), n = 0, 1,..., N . (6)

k=0

Здесь величины

2n

Qiifcoo) = I/2л: f Qni'l'a) da ,

о

(7)

2л

Rknfmo) = 1 /2 л: jRkn(i|'fl) da ,

n

могут быть вычислены при помощи численного интегрирования, а Qn (ч*») и Rkn (»(/„) обозначают следующие интегралы

л

QnOJ = Í S(H') Рл (cosi|'j sin»[/ di|/,

(8)

л

Rkn(i|0 = í Pk(COSI|/) Pn (COSl|i) sini|/dl|» .

КоэфИЦИСНТЫ Оп(чО И Rkn(4<„) могут быть получены как непосредственно численным интегрированием, так и по реккурентным формулам. Результаты вычислений показали, что оба способа получения коэффициентов имеют хорошую точность и применимы даже при больших п. Однако, в связи с тем. что вычисление по реккурентным формулам требует значительно меньше затрат машинного времени, рекомендуется принять их за основу, используя при этом численное интегрирование в качестве контроля. Сделанные выше выводы полностью совпадают с соответствующими рекомендациями профессора Пеллинена.

В случае, когда ближняя зона является сферическим кругом радиуса vjio , проблема вычисления коэффициентов упрощается, так как , СОГЛаСНО (7) , Qn (fOo) = Qn (l|<o) , R'kn (юо) = Rkn (ц/о) , и в результате решения системы (6) могут быть найдены классические коэффициенты Молодепского Mn (>¡/o).

В общем случае корни СЛАУ (6) обобщают классические коэффициенты Молоденского. поэтому будем называть их обобщенными коэффициентами и обозначать Мп(м0).

Соответствующий им вклад дальней зоны будет иметь следующий вид:

Для наиболее актуального на практике случая, а именно когда ближняя зона имеет форму прямоугольной сферической трапеции (рис.2), предложены формулы, позволяющие вычислять сферическое расстояние ф(а) от точки А до текущей точки В трапеции.

Рис.2 Ближняя зона со0 в виде прямоугольной сферической трапеции.

Все линии на Рис.2 являются дугами больших кругов геосферы (кроме, конечно, отрезков параллелен 41 и 32), Р - полюс. Точка вычисления Л находится в средней части области и характеризуется сферическими координатами фо . Х„ .

Приведем формулы, полученные для вычисления сферического расстояния ф(<л).

Спорна необходимо вычислить азимуты вершин трапеции а 1 , где ¡ = 1.2.3,4 соответственно:' а|~а1, а.2=тс-а2, аз = л + аз, сц — 2я-а4.

N

Ь(соо)= к/2у Е Мр («<>) Л2п (А)

(9)

И О

р

Здесь

- Х0\ совф

а; = апжт

(10)

[ 1- {БШф БШфо + СОБф СОЬфо СОЯ (X - Хо)}2] 1,2

где па место ф и X надо поставить широту и, соответственно, долготу

I - й вершины. 1 = 1, 2, 3, 4 .

Далее вводится вспомог ательный угол

л =

а , 0 < а < л 2п - а , я < а < 2л

(П)

и рассматриваются две возможности местоположения точки вычисления В.

Если точка В расположена между вершинами на параллели <р| или фг под азимутом а , то

ф(а)

где

<|/(а,ф2) , а е [0, ai,) и [«4, 2л) »|;(а,ф|) , а е [а.2, аз)

(12)

Ф1 - фо А + В tg- sin-

1|;(а,ф0 = 2 arctg

1=1,2,

В-А

sm

В =

Р, i = l я-Р, 1 = 2

СОЙфо

р = aresin (- sin А ) , i=l,2.

sirKp¡

Если же точка вычисления В расположена между вершинами на меридиане Xi, или А. 2 под азимутом а , тогда

4<(а) =

где

i|/(a,ta) , а е [ai, аг) 4/(a,Xi) , а е [а.2, аз)

(13)

Ч»(а, к) = aresin

СОБфо SÍn|X, - 7.0 |

[ 1 - { sinA sin|X¡ - БШфо - cosA cos|A.¡ - Хо | } 2 ]

1/2

< 'опоетавлять сферический круг радиуса 1|;С) и прямоугольную сферическую гранению, указанную на рис.2, можно под услош-м их равповслпкостп. Но задание сферического радиуса ф0 н координат центра по определяет однозначно равновеликую сферическую трапецию, которая может иметь различную форму. Исходя из этого был введен дополнительный параметр к, характеризующий форму трапеции, п получены выражения для геодезических координат углов прямоугольной сферической трапеции в первом, "плоском'' приближении:

Ф1 = фо - ^п/к фо/2 , ф2 — фо +Л/я/к фо/2

\'лк >|/о л/як х|)0

Я.1 = Хо - - — , Я.2 — Хо --— —

со.Чфо 2 сояфо 2

(14)

где

(X.; - ) СО«ро

к=- . ' (15)

(ф 2- ф 0

При к = 1 прямоугольную сферическую трапецию будем условно называть "квадратной"'. Полученная "квадратная" трапеция не только равновелика сферическому кругу, но н максимально приближена к нему но форме.

Исходя из необходимости возможно более точного вычисления вклада дальней зоны были также получены точные формулы для вычисления геодезических координат углов прямоугольной сферической трапеции, равновеликой заданному сферическому кругу. Проведенные исследования показали , что обобщенные коэффициенты Молодеиского, вычисленные с использованием точных формул и формул плоского" приближения (14) практически не отличаются друг от друга. Исходя из этого в дальнейших расчетах использовалось "плоское" приближение.

Исследования показали, что с ростом порядка N решаемой системы пли размера ближней зоны матрица коэффициентов СЛЛУ (6) становится плохо обусловленной, поэтому большое значение следует придавать точности вычисления коэффициентов рп(со0) и К-кп(соо) и методу решения СЛАУ.

Отмечено, что при увеличении порядка решаемой систем!,I наиболее надежным является метол сингулярного разложения.

В качество примера к разработанной методике была рассмотрена "квадратная" сферическая трапеция с центром 1! точке ср0 = 56° , л„ - 57" . равновеликая сферическому кругу радиуса >|/0 = 5° . При этом число учитываем!,IX сферических гармоник было принято равным N = 30 .

Точность вычисления коэффициентов (2п(со„) и Якп(оъ) , а значит, и обобщенных коэффициентов Молоденского зависит, в частности, от шага, с которым ведется интегрирование по трапеции. Сравнение результатов вычислении, проделанных с шагом И = 2тг/50 и с шагом в два раза меньшим позволяет сделать вывод о том, что полученные значения обобщенных коэффициентов Молодснского имеют шесть верных знаков после запятой, что отвечает необходимой точности.

Обобщенные коэффициенты Молоденского М„(го0), не зависящие от долготы Х0 , теоретически зависят от широты центра ближней зоны (ро , по практические расчеты показали, что малые (порядка 1°) изменения широты ср0 влекут за собой крайне незначительные изменения коэффицентов Мп(со0).

Отличие обобщенных и классических коэффициентов Молоденского может быть охарактеризовано нормой их разности, которая для рассмотренного примера составила в процентном отношении 0.5 % .

Используя для вычисления сферических гармоник гармонические коэффициенты разложения возмущающего потенциала ОБи91, были найдены следующие значения вкладов дальней зоны в высоту квазигеопда, а именно 12.07м в случае "квадратной'' ближней зоны и 12.04м в случае равновеликой ей круглой. Таким образом, их разность составила 0.03м.

Была проведена опенка точности полученных результатов вычисления вклада дальней .зоны в ВК . Ошибка учета влияния дальней зоны, соответствующей ближней зоне прямоугольной формы, складывается из ошибки усечения 6С(Л) и случайных ошибок в исходш,IX коэффициентах гармоник А§„ . Соответственно полная дисперсия состоит из двух слагаемых и оценивается следующим образом:

ст*(ц) = ст г (С) + а г 2(С) =

N 00

= ( Я/2у )2 [ Т (8„ Мп(®о) )2 Чп + £ Ь' пМ(го„) 13п] (16)

я = (I п = N+1'

где 1)„ - п-ая степенная дисперсия глобального поля аномалии силы тяжести , с)п - п-я степенная дисперсия погрешностей ноля, -стабилизирующие множители, а величины Ь„м(а>о) вычисляются следующим образом:

N -

Ь„м(с0о) = Qn (гао) - Z(2k+l)/2 Rkn(®0) Mn(co0). к = О

(17)

Для рассмотренного выше примера были получены следующее значение полной среднсквадратической ошибки:

о(0 =''vo i2(q + c22(q = v0.0013 + 0.0027 = 0.063 м.

(18)

Результаты вычислений отражают эффективность условия Молоденского с точки зрения уменьшения ошибки усечения. Вместе с тем при больших значениях N дисперсия сл2(С) значительно превосходит О22(0 и оказывает превалирующее влияние на полную дисперсию, что полностью согласуется с результатами, полученными ранее другими авторами для случая ближней зоны круглой формы.

Полная дисперсия аЦС) в рассмотренном примере принимает наименьшее значение при N = 40 (причем минимум довольно размыт), поэтому был сделан вывод о том, что оставаясь в рамках модели 081191 нерационально придавать N значения , значительно превосходящих указанный предел.

В параграфе 2.2. второй главы рассмотрен учет влияния дальней зоны при вычислении гравиметрических уклонений отвеса.

Преобразование Молоденским формулы Венинг-Мейнеса имеет следующий вид •

4(А) Л(А)

1/4лу Л [ V(.|») - VN(H') ]

ra»

cosa

sma

Ag(B) dco -

- ШуЕап1

(d/\g,Jd(p) a

(seccp dAgn/SA.) л

+

5£(A)

8Л(А)

(19)

где N - количество учитываемых гармоник, У(ц/) - безразмерная функция Венинг-Мейнеса, Уы(ц/) - линейная комбинация присоединенных функций Лежандра к-й степени и 1-го порядка:

N

' = Л (2к+1 )/2 ак' Рк> (С0М|/). (20)

1 к = 1

Здесь, как и ранее, первое слагаемое представляет собой вклад "ближней зоны", второе - вклад "дальней зоны", а третье - ошибку усечения. Обобщенные коэффициенты Молоденского Мп'(юо) могут быть найдены из условия Молоденского

Я [ У(ч») - V,, О,/) ] 2 сЬ = ппп, (21)

О-СОо

которое приводит к необходимости решения следующей системы

N

£(2к+1)/2 ИкпЧсоо) ак' = (и»), п = 1,..., N. (22)

к=1

Здесь величины

2л

СУ(гао) = 1/2я I (Мч'а) <1а,

о

(23)

2-я

ЯкпЧгао) = 1/2п 1 Икп' (ч'а) ¿а,

о

могут быть вычислены при помощи численного интегрирования, а <Зп'(Ч'=) и Якп1 (ц/„) обозначают следующие интегралы

л

(МчО = - 1 /пГп+1) I У(ч») Рп (совч/) вину <!>(/,

V«

(24)

л

КкпЧч'») = - 1 /л(п+1) I

V«

Выводы, сформулированные в параграфе 2.1 настоящей главы относительно способов и точности вычисления коэффициентов, распространяются так же и на коэффициенты (^4®°), Якп'^о) > МпЧоъ).

Для рассмотренного выше примера вклад дальней зоны составил, соответственно, 0.04" в компоненту Е, и 0.12" в компоненту т|.

Дисперсия ошибки модуля 0 = (£,2 + т)2 )"2 уклонения отвеса за счет втияпня дальней зоны вычисляется по формуле

СТЧО) = О 1-10) + С7 22(0) = N

= ( У2у )г [ Г л(п+1)(йп М„ |(Юо) )2 <1„+2 п(п+1)(Ы пм(соо))2 и„] , (25)

п = I п = N+1

где первое слагаемое сл2(0) представляет собой дисперсию за счет ошибок исходных коэффициентов,- О22(0) - дисперсию за счет усечения , а

N

ЬпмЧоъ) = (^„'(О),,) - Х(2к+1)/2 Икп'Сюо) Мп'(юо). (26)

к = 1

/(ля приведённого выше примера были получены следующие результаты:

а(9) = V а |2(0) + а г2(0) = V 0.006 + 0.0052 = 0.076". (27)'

Было установлено, что при N = 45 полная дисперсия (для данных из рассмотренного примера) принимает наименьшее значение. При N > 45 полная дисперсия возрастает за счет возрастания дисперсии т2(0).

В третьей главе рассмотрена модификация учета влияния дальней зоны в случае, когда исходными данными является разложение чистой аномалии силы тяжести Sg в ряд по сферическим функциям. Для вычисления сферических гармоник 8 g„ , за неимением реальных коэффициентов разложения, была использована следующая связь:

8«„ = (п+ 1)/(п- 1) Л§т, , п* 1 (28)

Параграф 3.1 третьей главы посвящен учету влияния дальней зоны при вычислении ВК. Приведено преобразование Молоденского пнтиральпои формулы Неймана, согласно которому

N ^

Ц(Л) = К/4т1уЯ [N(40 - NN(40] 58(В)сЬ + К/2у £ 7п5о„(А) + 8£(А), (29) <й„

где N - количество учитываемых гармоник в разложении чистой аномалии силы тяжести, N(>1*) - безразмерная функция Неймана, Кы(ч/) - следующая линейная комбинация:

N

Mn('I') = Z (2k 4-0/2 TtPk (cosi|/). (30)

к = 0

Условие Молодеиского приводит к СЛАУ:

M

Z(2k+l)/2 Rkn(frto) ak = 'Qn(coo), (31)

k~0

решение которой названо обобщенными модифицированными • коэффициентами Молодеиского и обозначено Мп(а>о).

Здесь

2*

Qn(coo) = I /2л J Qn (i|/a

о

(32)

" я

СМчО = J N(v|î) Р„ (cosi|i) siinj; d<|',

Ч»«

а коэффициенты Rk,i(co0) остаются без изменения и вычисляются по приведенным ранее формулам (7), (8J. ^

Следует отметить, что вычисление коэффициентов Qn(4'a) но реккурентиым формулам существенным образом зависит от точности представления чисел.

Так, проводя вычисления с точностью 17 знаков после запятой, удается вычислить значения коэффициентов Qn(4'a) . n = 1, . . . , 24. При n > 24 вычисления по реккурентиым формулам требуют более высокой точности и рекомендуется применять метод численного нахождения коэффициентов Qn(iM , что влечет за собой значительное увеличение необходимого для вычислении машинного времени.

Для приведенного выше примера были получены решения СЛАУ (31) н вычислено значение вклада дальней зоны, которое составило 11.14 м.

Дисперсия полной ошибки учета влияния дальней зоны на ВК может быть вычислена по формуле, аналогичной формуле (16).

Для рассмотренного выше примера были получены следующие результаты:

a(Ç) =Vcri ЧО + агЧС)

= V 0.0008 + 0.0020 =

0.053 м .

(33)

В нлршрафс 3.2 третье» ¡лапы рассмотрен учет влияния дальней ¡они при вычислении СУОЛ. В этом случае модифицированная формула Венннг-Мейнсса может быть представлена в следующем виде:

^Л)

г|(Л)

1/4яу JJ [V(M;}-VN(M;)]

ГОо

cosa

stna

- l/2yZX'

' (¿J6gn/<> ) Л

(seccp o&gJDX) a

8g(B) d(o

[ £(A) [sí^A)

где V(i(f) - модифицированная функция Венинг-Мейнсса, а

Vnív) = Z (:

(2k+l)/2 ak1 Pk'ícosijj).

k = 1

Условие Молоденского приводит к следующей СЛАУ

N

Z(2k+1 )/2 Rkn'Uoo.W = ОпЧгоо), n = 1,..., N,

k = 1

где коэффициенты

2л

Qn'(coo) = 1/2к f Qn'Ol'o) da ,'

(34)

(35)

(36)

(37)

Г ^

(МчО = - 1/п(п+Г).) \'( 1|/) РП' Ссоя1р) япу <1ч»,

ч'<г '■ ;

при больших п рекомендуется вычислять численно , а коэффициенты Ккп'(гоо) расчитываются по прежним формулам .

Вклад дальней зоны составил, соответственно, 0.03" в компоненту £, и -0.10" в компоненту т|.

Дисперсия ошибки модуля 0 за счет влияния дальней зоны определяется формулой, аналог ичной формуле (25).

Полная срсднсквадратнческая ошибка для рассмотренного примера равна

N

а(0) = у!??г(0) = V 0.004 + 0.039 = 0.066". (38)

Выводы, сделанные во второй главе относительно характера зависимости полной дисперсии от количества N учитываемых гармоник остаются справедливыми и в настоящей главе.

Сравнение же результатов вычисления дисперсий, полученных при использования чистой и смешанной аномалии силы тяжести, позволяет сделать вывод о том, что переход к чистой аномалии повышает точность счета ВК и СУОЛ .

13 четвертой главе диссертации приведены и обобщены результаты исследований, проведенных согласно методике, разработанной в главах второй и третьей. В качестве примера рассмотрена "квадратная" сферическая трапеция, равновеликая заданному сферическому кругу. Параметры, характеризующие размеры и местоположение трапеции и количество учитываемых при вычислении вклада дальней зоны гармоник одинаковы для всех рассмотренных случаев вычисления вклада дальней зоны и соответствуют примеру из параграфа 2.1 второй главы. Для вычисления сферических гармоник использовались

коэффициенты разложения возмущающего потенциала 081191, а для вычисления гармоштк беп связь (28).

Были получены следующие значения вкладов дальней зоны (единицы измерения для ВК - метры, для СУОЛ - секунды):

Вклад дальней зоны в: С Исходной информацией является разложение смешанной аномалии силы тяжести Исходной информацией является разложение чистой аномалии силы тяжести

сферический круг 12.04 "квадратная" трапеция 12.07 сферический круг "квадратная" трапеция

11.09 11.14

у ь 0.04 .0.04 0.03 0.03

Л -0.11 -0.12 -0.10 -0.10

Приведенная выше таблица даст основание утверждать о незначительном отличии вкладов дальних зон, соответствующих круглой и "квадратной" формам ближней зоны.

Результаты, полученные ятя различных исходных параметров позволяют сделать вывод о том, что при учете влияния дальней зоны замена ближней зоны в форме "квадратной" трапеции на равновеликий сферический круг не вносит существенной погрешности в результат и вполне применима.

Перейдем сейчас к оценке точности полученных результатов.

В следующей таблице представлены значения соответствующих средних квадратпчсских ошибок, вычисленные для параметров упомянутого выше примера ( единицы измерения прежние):

Исходной информацией Исходной информацией

является разложение является разложение

смешанной аномалии чистои аномалии

силы тяжести силы тяжести

сферический "квадратная" сферический "квадратная"

круг трапеция круг трапеция

<40 0.056 0.063 0.047 0.053

ф) 0.065 0.076 0.061 0.066

Из приведенной таблицы можно сделать вывод о том, что переход к чистым аномалиям повышает точность вычисления ВК и СУОЛ .

Было исследовано поведение двух составляющих полной дисперсии, а именно дисперсии за счет ошибок исходных коэффициентов разложения аномалии силы тяжести и дисперсии за счет усечения. Результаты исследований показали, что рост дисперсии за счет ошибок исходных коэффициентов оказывает превалирующее влияние па полную дисперсию, поэтому количество учитываемых гармоник нерационально принимать, больше некоторого числа N , зависящего, в общем случае, от используемой модели разложения возмущающего потенциала. Так, к примеру, при использовании модели ОЕМ-Ю оптимальное значение N = 18 при вычислении ВК и 25 при вычислении СУОЛ , а для модели 08Ш1 N = 40 и N = 45 соответственно.

Выше были приведены результаты исследовании в случае "квадратной" формы ближней зоны. Но сферическая трапеция, ограничивающая ближнюю зону, может иметь произвольную форму, которая приближенно характеризуется параметром к (14) . Возникает вопрос, при каких значениях параметра к учет влияния дальней зоны можно проводить, заменяя ближнюю зону в форме прямоугольной

сферической трапеции на равновеликую ей круглую ближнюю зону , а когда необходимо исходить m реальной формы ближней зоны ?

И настоящее время для того, чтобы вычислять высоты с помощью космических систем ГЛОНЛСС или GPS , необходимо знать высоты квазигеоида с точностью по крайней мере 0.1м. Поэтому, если ошибка учета влияния дальней зоны на ВК , получающаяся в результате замены реальной формы ближней зоны на ближнюю зону круглой формы имеет порядок нескольких сантиметров, то такая замена оправдана. В противном случае рекомендуется использовать разработанную в данной работе методику.

Всс вышесказанное относится также к вычислению вклада дальней зоны в СУОЛ, причем в данном случае необходимая точность исчисляется сотыми долями секунды.

Результаты, полученные для "квадратной" трапеции ( параметр k = 1 ) , как видно, например, из приведенной выше таблицы, полностью удовлетворяют указанным требованиям. Исследования показали, что в случае, когда "квадратная" ближняя зона заменяется на равновеликую круглую, увеличение размера ближней зоны не влечет за собой существенной ошибки при замене.

Иначе обстоит дело в том случае , когда форма сферической трапеции отличается от "квадратной".

Па рис. 3 изображена зависимость разности вкладов дальней зоны в ВК для ближней зоны в форме сферической трапеции и для равновеликого ей круга от параметра к , то есть от формы трапеции ( исходные параметры соответствуют рассмотренному выше примеру, в качестве начальных данных используются коэффициенты разложения смешанной аномалии силы тяжести).

(М) о.З 0.2, 0.1 1:(го„) - 1;(Ч'<>)

i Z 3 к

Рис. 3. Зависимость разности вкладов от параметра к .

Как видно из графика, наименьшее отличие вкладов соответствует значению параметра к = I , то есть "квадратной" форме ближней зоны. При к' = 2 и к = 1/2 разность вкладов принимает одинаковое значение, и , таким образом, одинаковое растяжение

трапеции по параллели ( к = 2 ) и по меридиану ( к = 1/2 ) влечёт за собой одинаковое изменение вклада дальней зоны.

Нсли принять, что допустимая разность вкладов в ВК составляе т 5 см , ю из рис. 3 следует, что приемлемые 1рашщы для параметра к таковы: к е [ 0.75 , 1.3 ].

Анало1пчцые результаты были получены для вклада дальней зоны в СУОЛ, причем если за допустимую разность вкладов принять 0.02" , то приемлемые границы для параметра к будут следующими : к е [0.6 , 1.7].

Расчеты, проведённые для различных значений исходных параметров, характеризующих форму и величину сферической трапеции, позволяют сделать вывод о том, что увеличение размеров трапеции влечет за собой повышение требовании к учету её формы.

Положение центра сферической трапеции, а именно широта ср0 , также влияет па рассматриваемую зависимость, но при небольших (порядка 1° ) изменениях широты это влияние несущественно.

Очевидно, чт о при более высокой точности вычисления вклада дальней зоны в ВК и СУОЛ требования к учету формы ближней зоны так же повышаются.

Большое место в работе занимает численная реализация разработанной методики. В связи с этим в приложении представлено соответствующее программное обеспечение. Программы написаны в среде МаП.АВ и снабжены комментариями. Вычисления ведутся с точностью 17 знаков после запятой.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Традиционно учет влияния дальней зоны на ВК и СУОЛ при помощи комбинированного метода Молодснского проводится в предположении, что ближняя зона имеет форму сферического круга. По наиболее естественная на практике форма ближней зоны -прямоугольная сферическая трапеция, следовательно, и дальнюю зону необходимо учитывать , исходя из этой геометрической формы. В некоторых случаях ближняя зона может иметь произвольную форму.

Подводя итоги исследований, выполненных автором в диссертационной работе, можно сформулировать следующие основные положения, которые выносятся на защиту:

- При вычислении высот квазигеоида и уклонений отвеса предложен метод учета влияния дальней зоны в случае ближней зоны произвольной формы.

- Для ближней зоны в форме прямоугольной сферической трапеции подробно разработана методика учета влияния дальней зоны и проведены соответствующие численные расчеты.

- Указанная методика разработ а на дня двух случаев - когда ' . исходная гравиметрическая информация представлена в виде

разложения смешанной аномалии силы тяжести и когда она задана в . виде разложения чистой аномалии силы тяжести в ряд но сферическим 'Микциям.

- При учете влияния дальней зоны исследована возможность замены ближней зоны в форме прямоугольной сферической трапеции на равновеликую ей круглую ближнюю зону и рекомендованы кршерни обоснованности указанной замены.

- Разработано программное обеспечение, позволяющее при заданных исходных данных в виде коэффициентов разложения

. аномалии силы тяжести ( чистой или смешанной ) в ряд по сферическим функциям, вычислять вклад дальней зоны в ВК и СУОЛ , а также оценивать точность полученных результатов для различных параметров, характеризующих форму и местоположение сферической трапеции.

- Программное обеспечение позволяет, в частности, вычислять вклад дальней зоны I! предположении, что ближняя зона имеет форму сферического круга, равновеликого заданной трапеции и рассчитывать ошибку, возникающую в результате такой аппроксимации.

Основные результаты работы опубликованы в следующих статьях:

1. Нейман Ю.М. , Руденя Н.Р. Учет влияния дальней зоны при вычислении высот квазигеоида в области прямоугольной формы. Известия ВУЗов, Геодезия и аэрофотосъемка, № 4-5, 1992.

2. Пейман Ю.М. , Руденя Н.Р. Учет влияния дальней зоны при вычислении гравиметрических уклонений отвеса в области прямоугольной формы. Известия ВУЗов, Геодезия и аэрофотосъёмка, № 1, 1994.

3. Руденя Н.Р. Зависимость вклада дальней зоны в высоту квазигсоида от геометрической формы ближней зоны. Известия ВУЗов, Геодезия и аэрофотосъёмка, № 1,1998.

Подп. к печати 11.03.98 Формат 60x90 Бумага офсетная Печ. л. 1,4 Уч.-изд. л. 1,4 Тираж 100 экз. Заказ № 60 Цена договорная

МосГУГиК 103064, Москва К-64, Гороховский пер., 4

Введение.

Глава I. Вводные сведения.

1.1 Краевые задачи с исходными данными в - виде аномалии силы тяжести.

1.2 Обзор существующих методов учета влияния дальней зоны при решении локальных задач физической геодезии.

1.3 Постановка задачи модификации.

Глава 2. Модификация учета влияния дальней зоны в случае смешанной аномалии силы тяжести.

2.1 Учет влияния дальней зоны при вычислении высот квазигеоида.

2.2 Учет влияния дальней зоны при вычислении гравиметрических уклонений отвесной линии.

Глава 3. Модификация учета влияния дальней зоны в случае чистой аномалии силы тяжести.•.

3.1 Учет влияния дальней зоны при вычислении высот квазигеоида.

3.2 Учет влияния дальней зоны при вычислении гравиметрических уклонений отвесной линии.

Глава 4. Результаты исследований и выводы.

Как известно, при вычислении высот квазигеоида и составляющих гравиметрических уклонений отвесной линии по формулам нулевого приближения за основу принимается комбинированный метод Молоденского, согласно которому численное интегрирование ведется только в цределах некоторой "ближней зоны" , обеспеченной подробной гравиметрической съемкой, влияние же аномалии силы тяжести на больших расстояниях от исследуемого пункта ( в "дальних зонах" ) учитывается при помощи разложения аномалии силы тяжести в ряд по сферическим функциям.

До сих пор учет влияния дальней зоны проводился в предположении, что ближняя зона имеет форму сферического круга. Но, на самом деле, ближняя зона может иметь произвольную форму , причем наиболее актуальным на практике является случай, , когда ближняя зона имеет форму прямоугольной сферической трапеции.

В связи с этим в настоящей работе предложен метод учета влияния дальней зоны, на высоты квазигеоида и составляющие уклонений отвесной линии в случае ближней зоны произвольной формы. Для ближней зоны в форме прямоугольной сферической трапеции подробно разработана методика учета влияния дальней зоны и проведены соответствующие численные расчеты.

Целью работы является как разработка самой методики, так и сопоставление ( с учетом современных требований к точности) результатов, полученных для ближней зоны в форме сферической трапеции и для равновеликой ей круглой ближней зоны.

В работе рассматривается также возможность замены ближней зоны в форме прямоугольной сферической трапеции на равновеликую ей круглую ближнюю зону и приводятся критерии обоснованности указанной замены.

Развитие спутниковых систем делает актуальным проведение исследований в двух направлениях - когда исходная информация задана в виде разложения смешанной аномалии силы тяжести в ряд по сферическим функциям и когда она задана ва виде разложения чистой аномалии силы тяжести.

Исходя из этого необходимая методика учета влияния дальней дальней зоны разработана для обоих упомянутых выше случаев.

1. Вводные сведения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе предложен метод учета влияния дальней зоны на высоту квазигеоида и компоненты гравиметрического уклонения отвесной линии в случае ближней зоны произвольной формы.

Для ближней зоны в форме прямоугольной сферической трапеции подробно разработана методика, проведен численный расчет и представлено соответствующее программное обеспечение.

Упомянутая методика учета влияния дальней зоны разработана в двух случаях - в первом исходным гравиметрическим материалом являются коэффициенты разложения смешанной аномалии силы тяжести, во втором - чистой. В обоих случаях проведена детальная точностная оценка полученных результатов.

В случае ближней зоны в форме прямоугольной сферической трапеции рекомендованы критерии, которые позволяют ответить на вопрос, можно ли при учете влияния дальней зоны считать, что ближняя зона имеет форму круга, равновеликого заданной трапеции, или необходимо исходить из реальной формы ближней зоны и применять методику, представленную в данной работе.

П Р И Л О ЖЕ НИЕ 1. ^

Гистограмма I.

Коэффициенты Молоденского Мк(ф0) к = 0,1,.,30, ф0= 5°.

К MiYo) i i I I i i .i. ¡ i ¡ i i i i i i i 1 ! j I í i ! . i. j i i i i i i h ! !■ t { 1 i ; j i i ! ! i I ■" : I— ! i i r-r i n i fillTlnrr • ■ • lílnnrr ■ ! i j j ' '

LU г i ! ! i i t ! ! K+ i ; i 1 i i i 1 1

О 5 10 15 20 25 30 35

-юз ч* „у.

Гистограмма 3.

Модифицированные коэффициенты Молоденского М^(ф ), к = 0,1,.,30, ф0= 5°. г— ! i j i í - f~ Пг 1 irr 1П iFlFInnr ■ • I i i i i

I I ! t i j 1 i i ( . K+l i j ! i

5 10 15 20 25 30 35

Гистограмма 4.

Модифицированные коэффициенты Молоденского 5¿(<f>0). к = 1».30, Ф0= 5°.

- - : i i i i f i ; i ¡ i i

- ! i j j 1 i i j i

ГТ Пп lïlnnr 1ППППГ Шпппг I ? i i ■ i i

L. i 1 . í ¡ i . к ! í i i

5 10 15 20 25 30 35 к М (ч» > М(<а ) к М (ч» ) М (ю ) к о к о к о к о

0 -0.0847 -0.0821 16 0.0557 0.0577

1 -0.0846 -0,0820 17 0.0482 0.0501

2 1.9155 1.9181 18 0.0417 0.0435

3 0.9156 0,9181 19 0.0361 0.0378

4 0.5825 0.5851 20 0.0312 0.0328

5 0.4161 0.4187 21 0.0269 0.0284

6 0.3164 0.3190 22 0.0231 0.0246

7 0.2502 0.2526 ¿3 0.0198 0.0212

8 0.2030 0.2054 24 0.0168 0.0182

9 0.1677 0.1701 25 . . 0.0143 0.0155

10 0.1405 0.1428 26 0.0120 0.0132

11 0.1188 0.1211 27 0,0100 0.0111

12 0.0ИЗ 0.1035 28 0.0083 0.0093

13 0.0868 0.0890 29 0.0068 0.0077

14 0.0747 0.0768 30 0.0054 0.0063

15 0.0644 0.0665

1. Бровар B.B., Чеснокова Т.С. Аппроксимационные формулы для вычисления возмущающего потенциала и его производных в приближении Стокса. Труда ГАМШ, т. 61, М.: МГУ, 1989.

2. Дьяконов В.П. Справочник по применению системы PC MatLAB.-М. :Физматлит,1993.-112с.

3. Бывшев В.А. Оптимизация преобразования-Молоденским формулы Стокса, Изв.ВУЗов,"Геодезия и аэрофотосъемка", N 2-3, 1994

4. Еремеев В.Ф.,Юркина М.И. Учет влияния дальних зон на высоту квазигеоида и на уклонения отвеса. Труды ЦНШГАиК, 1957 вып.121

5. Лоусон Ч. Денсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов. Пер. с англ.-М.: Наука. 1986.- 232 с

6. Молоденский М.С., Основные вопросы геодезической гравиметрии. Труды ЩШИГАиК, 1945, вып.42.

7. Молоденский М.С., Еремеев В.Ф, Юркина М.И. Методы изучения внешнего гравитационного поля и фигуры Земли. Труды ЩШИГАиК, 1960,. вып.131 .•

8. Нейман Ю.М. К описанию гравитационного поля Земли рядами шаровых Функций. "Геодезия и картография", N 9, 1975.

9. Нейман Ю.М. Вариационный метод физической геодезии. М.: Недра, 1979.

10. Нейман Ю.М., Руденя Н.Р. Учет влияния дальней зоны при вычислении высот квазигеоида в области прямоугольной формы Известия ВУЗов, Геодезия и аэрофотосъемка, N 4-5, 1992.

11. Нейман Ю.М., Руденя Н.Р. Учет влияния дальней'зоны при вычислении гравиметрических уклонений отвеса в области прямоугольной формы. Известия ВУЗов, Геодезия и аэрофотосъемка,N 1, 1994.

12. Никифоров А.Ф.,Уваров В.Б., Основы теории специальных функций. M.ï Наука. 1974.-303с.

13. Остач О.М. »Реферативный сборник ЦНИИГАиК, 1970,N 6.

14. Пеллинен Л.П, Высшая геодезия. М.,Недра,1975.

15. Пеллинен. Л. П. Использование формулы М.С. Молоденского для вычисления аномалии силы тяжести по высотам геоида. Геодезия и картография, N 8, 1984.

16. Пеллинен Л.П. Вычисление сглаженных аномалий силы тяжести по альтиметрическим и гравиметрическим данным. Сборник научных трудов ЦНМГАиК. Физическая геодезия. М.: ЦНИИГАиК, 1991.

17. Пеллинен Л.П, Лебедев C.B., Нейман Ю.М., Дронин A.A. Точностные вопросы вычисления уклонения отвеса по сглаженным аномалиям силы тяжести. Известия ВУЗов, Геодезия и аэрофотосъемка, J6-5, 1980.,38с. 7

18. Райе Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение: Пер. с англ.- М.: Мир, 1984. 264с.

19. Руденя Н.Р. Зависимость вклада дальней зоны в высоту квазигеоида от геометрической формы ближней зоны. Известия ВУЗов, Геодезия и аэрофотосъемка, N 1, 1998.

20. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. Пер. с англ.-,М., Мир, 1980.-277с

21. Шимбирев В.П. Теория фигуры Земли. Недра, М. 1975.- 418с.

22. Chen I.I. Methods for Computing Deffec%ions of the Vertical by Modifying Vtning-Meineszf function.- Bull.Geod.,36,1982.

23. Hagiwara J. Truncation error formulas for the geoidal height and the deflection of the vertical. Bull.Geod., 106, 1973, pp.453-466.

24. Hagiwara J. Physical geodesy of Neumann's boundary-value problem for GPS-based gravimetries.- Report of the National Research Institute for Earth Science and Disaster

25. Prevention, N48. October 1991.

26. Hsu H.T. Kernel Junction Approximation of Stokes' Integral Proc. of the' Intern. Summer School on Local Gravity Field Approximation Beijing, 1984, pp. 447-498.

27. Paul M.K. A method of evaluating the trancation error coefficients for geoidal height.- Bull.Geod.,N 110,1973, pp.413-425.

28. Sjoberg I.E., Manusecripta geodaetica,v.9,1984,p.209-229.