автореферат диссертации по геодезии, 05.24.01, диссертация на тему:Разработка методики высокоточного определения высоты квазигеоида и составляющих уклонения отвесной линии в центральной зоне с помощью преобразования Хартли

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ Л КАРТОГРАЫЛ ( М И И Г А и К )

—^—т

На правах руколизи

ДО МИНЬ 1УАН

РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ ВЫСОКОТОЧНОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЫСОТЫ КВАЗИГЕОЩ И СОСТАВЛЯЩИХ УКЛОНЕНИЯ ОТВЕСНОЙ ЛИНИИ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ЗОНЕ С ПОМОЩЬЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ХАРТЛИ

Oo.i4.OI. Геодезия

Автореферат диссертации на соискание ученой степей:: кандидата технических наук

Москва 1993

Работа выполнена на кафедре высшей математики Московского государственного университета геодезии и картографии.

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор Ю.Н.Нейман

Официальные оппоненты - доктор технических наук, профессор С.В.Лебедев

- кандидат технических наук В.Б. Непоклонов

Ведущая организация- Центральный научно-исследовательский инс-^ титут геодезии, аэрофотосъемки и картографии ( ЦНИИГА и К ).

3 Я 11/

Зашита состоится 1993 года в

часов на заседании специализированного совета К 063.01.01 в Московском государственном университете геодезии и картографии по адресу: 103064, г. Москва, К-64, Гороховский переулок, дом 4, МИИГА и К, ауд.321.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан '1993 года.

Ученый секретарь специализированного совета

В-А* Монахов

/

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы В настоящее вреия наиболее эффективный метод вычисления высот квазигеоида ( ВК ) и составляющих уклонения отвесной линии ( СУОЛ ) основан на быстром преобразовании Зурье. Такой подход позволяет практически рёшать задачу по строгим форг- . мулам теории Иолоденского с точностью не только нулевого, но и первого и последующих приближений теории Молоденского, что практически не выполнимо традиционными методами. При этом затраты машинного времени существенно сокращаются, а результаты вычислений ( например, ВК £ и СУОЛ | ^ | ) получаются в узлах регулярной сетки ., что суваственно облегчает их дальнейшее использование.

Однако, как известно, преобразование Фурье является в обшей случае комплекснозначным даже в том случае, когда исходной является аномалия силы тяжести, то есть функция заведомо действительная. Необходимость работать с комплексными числами заметно снижает оперативность вычислений. Преобразование Хартли представляет собой определенную модификацию преобразования Фурье в плоскости вещественных чисел. Работая только с вещественными числами, оно не только естественно подходит к реальным геодезическим задачам, но и сокращает малинное время и экономит оперативную память ПЭВМ почти в 2 раза. Поэтоцу кодификация существующих алгоритмов в терминах преобразования Хартли является актуальным.

Цель работы заключается в изучи <и целесообразности использования преобразования Хартли при вычислении ВК и СУОЛ и в разработке необходимых алгоритмов в центральной зоне с учетом современной точности полученных результатов.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем. До сих пор наиболее эффективное решение задач Физической геодезии в рамках стрргой теории Молоденского было достигнуто на основе быстрого преобразования Фурье. В'данной работе впервые разработана новая методика, в основе которой лежит быстрое преобразование Хартли, появившееся в математике сравнительно недавно как наиболее эффективная модификация преобразования Фурье. Точностные возможности разработанной методики изучены на модели.

Практическая ценность работы

- получен пакет программ, позволяющих вычислить значения ВК и СУОЛ в центральной зоне с точностью нулевого и первого приближении теории Молоденского с помощью наиболее современной теории - преобразования Хартли ;

- подучен пакет программ, позволявших вычислить модельные значения аномалии силы тяжести и других трансформант возцушапцего потенциала в центральной зоне,э также гармонические коэффициенты модельного потенциала.

Структура и обьем диссертации Диссертационная работа состоит из.введения, 3 глав основного текста и заключения обшим объемом

страниц машинописного текста. Кроме того, имеется приложение из 15 страниц. Список литературы насчитывает 48 наименований, в том числе 12 на иностранных языках.

Апробация работы Основные результаты диссертационной работы опубликованы в трёх статьях в Журнале " Изв.вузов", раздел геодези и азрофотосьемки, и докладывались на конференции студентов и моле дых ученых МИИГА и К.

СОДЕРЖАЩЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы и сформулированы осно-«ные направления исследований ( см. выше " цель работы").

В первой главе изложены краткие сведения из теории Молоденского и математики, необходимые для дальнейших теоретических обсуждений.

Приведены члены нулевого и первого приближения классического ряда Иолоденского. Для сравнения также приведены формулы вычисления ВК и СУОЛ на основе аналитического продолжения. В терминах свертки ВК $ и СУОЛ | ^ ] в центральной зоне вычисляются по следующим известным форцулам:

ги* 11' 1

, VH 1 3 Ц

1 г» * л * î

V2'M3 v

Здесь н I - ядра преобразования Стокса,

Венинг-Мейнеса и вертикального дифференцирования в плоской аппроксимации :

\ 1

V

/ri

5

[Щ)ъ ' 3 (GvY

о _ •

-з-

Д , , Ч* /

~ исходный массив аномалии силы тяжести. Двумерное преобразование Хартли определяется в математике парой интегралов :

л

-Î-

Н(м) = J] -» V^)Jс/к,

- Оо

j Hlu.v;casflTl(ux +VgJ' duJl/,

-t-

где cas«. = costx, + sm< ; U и V - частоты ; H(U.v) - образ Хартли ; - его прообраз . При этом для геодезических прило-

жений важным является двумерное дискретное преобразование, которое имеет вид :

Ню.«,-1М

» мм

М» х=о

N.. N.

г

" ^ 1 N. N.. ]

N1

1М У=0

В этой главе также приведен алгоритм реализации быстрого преобразования Хартли. Разъясняются понятия линейной и циклической свёрток и связь между ниш. Хорошо известно, что интегралы Стокса и Бенинг- Иейнеса в плоской аппроксимации являются интегралами типа линейной свёртки, что определяется как

Однако теорема о свёртке в частотной области, на которой основаны : приложения преобразования Хартли в геодезии, чмеет дело с циклической свёрткой вида

М Г I 1

• 2 ].. Д и].

При переходе от циклической свёртки к цуиноыу выражению в терминах линейной свертки в конечном результате возникает так называемое наложение информации. В параграфе 1.3.2 подробно описана природа возникновения ошибки такого рода и пути её преодоления. Соответствуиций порядок работы позволяет полностью избавиться от наложения информации, нг> при этом вместо массива размерностью N х I1 приходится работать с массивом размерностью 2М х 3-М . Такой же порядок используется в практике дискретного преобразования Фурье, и состоит он в следующем. К иеходноцу массиву аномалии сила' тяжес размерностью N X N добавляются нули справа и снизу до подучен! массива размерностью IN X £М , я затеи выполняем двумерное двы

ретное преобразование Хартли над ним. Полученный массив образа Хартли аномалии силы тяжести размерностью ^ X следует перемножить поточечно с образом Хартли той »е. размерности для ядра Стокса ( к котороцу нули не добавлялись). Конечный результат составляет только первую ч'етзерть ( массиз размерностью N X N ) из вычисленного указанным образом массива размерностью И* X . При атом удается полностью избежать искажения результатов за счет цикличности, но остаются искажения за счет асииметрии точек вычислений в исходном массиве. Выходом из этого положения служит рекомендация, согласно которой в качестве конечного результата берется только центральная часть полученного массива размерностью N X N1 ( если, например, N ¿32, то центральная часть ограничена столбцами и строками с номерами 8 и 24-).

Вторая глава посвящена теории высокоточного определения ВК и СУОЛ с помощью преобразования Хартли. Изложение главы начинается с коррекции классических ядер,Стокса и Венинг-Мейнеса в плоской аппроксимации в ближней зоне. Дело в том, что известные выражения вида

1 <

5(«,э)

х ^

ум* 1 Ч

3 (/7777 I * Г

не устраивают современные требования к точности определения ВК и СУОЛ, поскольку отличаются на краях зоны до 6 % от соответствующих выражений в сферической аппроксимации- Результаты нашей коррекции представлены в виде

и* гг («.$>]

где значения коэффициентов К, , Кг , К( и зависят от размеров ближней зоны и наибольшей степени учитываемых гармоник при учете влияния дальней зоны.

То обстоятельство, что функции Стокса и Бенинг-Ыейнеса заданы аналитически существенно облегчает- их использования. Поэтоцу следу щей задачей , которая решена в диссертации, является вывод аналитических выражений для образов Хартли откорректированных ядер Стокса и Венинг-Ыейнеса. Окончательные результаты таковы. Если ядро Стокса определяется на плоскости функцией

$(о =

И*. М-Ь-'

Г

г > Г.

где Г, - радиус ближней зоны, то соответствующий образ Хартли кмее вид :

а ^ , Г ИяМ 1г К, ЯК, Г,

■ м1 ] ^ (ьчзД

1 ' М> ] .(*

Аналогичные результаты для откорректированных ядер Венинг-Мей-

неса таковы: . _ _.

м Ж /

V

кду к,. V + --»-

2п|и|3

т!

(^Г Лу1 ш|у13 ^ НА1

)

1Ни кди к, и -.).-+ —

'П-

.Первые слагаемые в правой части форцул (15),(16),(17)- представляют собой образы Хартли для классической плоской аппроксимации ядер. Эти слагаемые совпадают с известными соответствующими образами Фурье, разница-лишь в том,что в них отсутствуют мнимые единиц) Последующие ( уточняющие ) слагаемые подучены в диссертации.

Заметим, что функция Я^и»^ - симметричная, причем она обладает свойством четности и относительно и ,н относительно V,то есть

Функция является антисимметричной, но она обладают свой-

ством нечетности относительно V и четности относительно 0 , то есть

Я м>= - - - (и.-у;. _ -

Аналогично также антисимметричная, но она обладает

своиствон четности относительно V и нечетности относительно и ,

Учитывая эти факты и непосредственно опираясь на теорию двумерного дискретного преобразования Хартли, следующие формулы рекомендуются для вычислений : - высоты квазигеоида $

Я'.)) . [1алх][б(м;. Я5 (»■')];

5 .......

- компонент уклонения отвеса ^ и к)

Цс.уь [зЫД'&м.^.я^ («■»;]•

Здесь С 2ДПХ ] обозначает двумерное дискретное преобразование Хартли - образ Хартли исходной аномалии силы тяжести. Матрица получается путем перемещения элементов матрицы (з[\А,ч) на позиции, симметричные относительно » штот Найквиста.

Как и для одномерного быстрого дискретного преобразования Фурье, для одномерного дискретного преобразования Хартли существуют высококачественные программы, которыми естественно попытаться пользоваться дважды : сначала выполнить одномерное дискретное быстрое преобра-

зование Хартли каждой строки двумерного массива исходной аномалии силы тяжести, а затем выполнить опять одномерное дискретное быстрое преобразование Хартли по столбцам. Такое преобразование мы назвали повторным двухкратный дискретным преобразованием Хартли и обозначили [ ПДДХ . Оно не совпадает с двумерным дискретным преобразованием Хартли, которое мы обозначили Г 2ДОХ Этот факт, установленный в диссертации, принципиально отличает практическое использование двумерного дискретного преобразования Хартли по сравнению с двумерным дискретным преобразованием Фурье при вычислении СУОЛ.

Результатом этих исследований являются форцулы, рекомендованные в диссертации для практических вычислений СУОЛ :

: [яЬх] [б (и,-*). , -13-

3 . Я^ (и.»)]. -И-

С практической точки зрения они выгодно отличаются от аналоги/

чных форцул (21),(22), непосредственно вытекающих из теории двумерного дискретного преобразования Хартли.

Следующий путь повышения точности определения ВК и СУОЛ состоит в учете вкладов первого и последующих приближений теории Молоден-ского в значения ЁК и СУОЛ нулевого приближения. В терминах свертки вклады первого приближения теории Молоденского вычисляются по сле-дую(цим формулам 1

ял У

Д.) ту

ьИМ"« Г*

1

-25-

-Н-

где !■) обозначает высоту точки,

¡т в

г =

'*7-

У

С помощью преобразования Хартли ати величины вычисляются как

п

я5]

-28-

зч I (»1

-Н

нКн

ш

■М&

%

], - ¿9-

Здесь & = - - {й^ .

В форцулах (28),(29) под А& следует понимать образ Хартли для аномалии силы тяжести. Однако в форцуле (29), в отличие от формулы (28), вместо ^G(u,v) следует пользоваться выражением ((Л-у) и ¿Ь (-Ч.У) для и У, соответственно. Матрицы (г(1Ь-1/) и ¡\&'(-[)) получаются путем перемещения элементов матрицы на позиции,

симметричные относительно частот Найквиста по оси ОУ для | ( и по оси Ои для ^соответственно.

В ьтой главе мы затрагиваем важный вопрос в практике определения ВК и СУ01 об саибке за счет дискретизации исходной аномалии силы тяжести и о выборе разумного шага дискретизации. Известно, что входом интегралов Стокса и Венанг- Мейнеса служит непрерывная фун-щия аномалии силы тяжести А ^ . Однако в реальной практике аномалия силы тяжести задана дискретно точечными или сглаженными зна-гсниями в узлах регулярной сетки с некоторым шагом Д в ближай-гей окрестности исследуемой точки и множеством сглаженных значений ю определенным ячейкам, размер которых можно увеличивать по мере даления от исследуемой точки. Поэтому < ггественно возникает вопрос: :ак выбрать шаг дискретизации для того, чтобы соответствующей пог-ешностью можно пренебречь по малости. И следовательно, какова оши-ка за счет дискретизации исходной аномалии силы тякести при за-

1

О

данной величине сага дискретизации в зависимости от сложности изучаемого поля ?

Из математики известно, что восстановить безошибочно непрерывную функцию, например, аномалию силы тяжести А^, , по дискретным значениям отой 'функции на регулярной сетке с шагом Л можно лишь в том случае, если исходная функция является функцией ограниченных частот, то есть её спектральная плотность равна нулю для высоких частот :

$ До г*»« и; 4 ц!

3 1 г -30-

0 при > и?г . Здесь 1А)Г - граничная круговая частота, которая связана с шагом

дискретизации соотношением :

\аг

Реальное поле А^ не является", конечно, функцией ограниченных частот. Однако граничную частоту ^г можно выбрать из условия, что дисперсией

можно пренебречь по малости. Здесь ^ Д^ обозначает дисперсию реального поля, а 71 £ . - дисперсия поля ограниченных частот с граничной чаететой 10г . Дня выполнения реальных расчетов мы. предположим, что возцушающий геопотенциал в районе работ изотропе а его корреляция достаточно адекватно описывается марковской моделью 2-ого порадка

Здесь Г'- расстояние между дйуия точками, параметр £ = 0.44// , ^ - радиус корреляции. Соответствуоцая двумерная спектральная плотность

Ьл (VI) , -— ~ ю

3 (ю^Ул*

убывает для высоких частот не столь неправдоподобно быстро, как вто имело бы место при обычно используемой в геодезии марковской модели 3-его порядка.

Установлено, что в указанных условиях дисперсия поля Л за счет дискретизации связана с иагоа дискретизации 4 и параметрами поля 71 и Г следующим соотношением :

Л А -35-

-- (К 15— •

Ч 5

Однако в реальной действительности высокочастотная часть поля Д^ , соответствующая IV > К) г , не равна нулю, а перемешивается с низкочастотной частью и тем самым вноснт дополнительные искажения. В связи с этим формулу (35) приходится преобразовать к более пессимистическому виду, а именно :

ь ^ 5

Здесь б" обозначает дисперсию за счет дискретизации поля. Формула (36) рекомендуется для практического использования. Для уменьшения ошибок за счет дискретизации возможны два пути. Первый путь состоит в измельчении шага дискретизации. Однако цена такого увеличения исходной ин&орк&зии может оказаться непомерно высокой. Второй путь состоит в назначении тага дискретизации под условием (35), менее жестким чем (36). Но при этом необходимо ещё до дискретизации путём низкочастотной фильтрации подавить ту часть поля, которая содержится на высоких частотах Ц},>Ц!Г , чтобы иметь дело

с ¡функцией ограниченных частот.

Известно, что чем больше размер ближней зоны, тем меньше ошибка усечения при учете влияния дальней зоны и чем. меньше шаг дискре-\ тизации, тем меньше ошибка за счет дискретизации. Таким образом,

увеличение размера ближней зоны и уменьшение шага дискретизации должно благоприятно сказываться на точности конечных результатов. Однако при этом размер исходного массива непременно увеличиваете? и может превзойти возможности используемой вычислительной техники. Это противоречие следует должным образом учитывать при выборе шага дискретизации. Поэтому условие выбора шага дискретизации должно основываться на принципе минимальной суммы ошибок усечения и дискретизации с учетом технических возможностей используемого компью-

Л

тера.

Итогом второй главы является разработанный алгоритм высокоточного определения ВК и СУОЛ с помощью преобразования Хартли с точ-нстью первого приближения теории Молоденского. Все теоретические разработки снабжены соответствующими программами для персонального компьютера. Понятно, что разработанный алгоритм вычисления Hi и СУОЛ на основе ШХ нуждается в проверке и изучении его точностных характеристик. В диссертации зти исследования решено проделать на . модели и вся третья глава посвяшена этому вопросу.

Глобальное гравитационное поле моделируется с помощью 126 точечных масс, расположенных равномерно в теле Земли. Для моделирования локального поля в заданном районе с нужными суиественными параметрами мы используем ещё одну дополнительную точечную массу, координаты и масса которой зависят от требуемых существенных параметров локального поля. Каждой массе ГО- будем ставить в соответствие припичанную началу координат отрицательную массу - № t ( это обеспечивает равенство нулю среднего значения поля ) . Согласно рисунку I, возцушающий потенциал, созданный массами Го; и - равен

Рис Л. Геометрия модели гравитационного поля.

ч 11

где | - геопотенциальная постоянная, ГП; .величина' точечной массы.

Введем следунцие обозначения;

, - •

5 §

Тогда расстояние между исследуемой точкой и точечной массой

будет _____

Г:

где

соь

1 -- I / П «1-й; С05^ ,

В этих условиях аномалия силы тяжести вычисляетяс по формуле

V ' V | йъ ■

где

б;.

4

*13; !' 1м:

Возмущающий потенциал, созданный в точки ( ^ , В и 1_ ) набором из N точечных масс имеет вид К / М,

о / I - и:

5 2

1= <

— - 4

I;

а его трансформанты таковы

У

I»« V •<•, ) 1?.

«и У

) I

1 -Х-СОЗВ^ШЦ-Ь;].

-38-

-зз-

-40-

Модельные значения гармонических коэффициентов для возмушанцегс потенциала Т могут быть вычислены по следующим формулам: N /

Я' I — С05 мЦ

Ьй

\0»

Ьт юг»

где йе, - болыцая полуось принятого для модели эллипсоида,

9

Влияние первой гармоники на эти трансформанты можно найти по следующим формулам :

И* (

VI1- 3

где

- о

Рь6 = ГГ Л»В>

(я«В) гГГ ео&В; г « V е 1 к

^■Тг^ЛчГ''

5.,от >

н

соьЬ;

I;

Пользуясь модельными гармонический» коэффициентами находим влияния дальней зоны при вычислениях ВК и СУОЛ :

[Си

- "р=; ^ (—- IС05

»3 ■.,« \ яеI

V а. а,

о • 11= о

о,

Здесь

< Я" '

=--/а

• п

21?

О

Эв 94

-4з-

а^В'ЗЬ „ N

оп Р Л «I

п-( I п-<

а коэффициенты <ЯЛ и Яи подбираем под условием Цолоденекого

[бы - 5„(*Л ^ - тт

для ап и

для а „ , причем Уц) и обозначают функции С токе а и Венинг-

Мейнеса, соответственно. Пользуясь указанными формулами мы вычислим

центральной зоне радиуса

Л

• и 1ц

? V

$ - -

3

-45-

а также модельные значения исходной аномалии силы тяжести на регулярной сетке с шагом Ах и А^ . Размер сетки 32 X 32 . По модель ным значениям с помощью разработанного нами алгоритма вычис-

лены массивы размера 32 X 32 значений ВК и СУОЛ в центральной зоне. Соответствующие результаты обозначены 5в » 5 ь и Зв ' верки разработанного алгоритма и исследования точностных характеристик полученных результатов заключается в сопоставлении значений ' ^м и Им 0 V ^н и Зм • соответственно.

Существует несколько источников ошибок, обусловливающих среднее квадратическое расхождение между результатами вычислений и соответствующими модельными значениями. Основным'из них является ошибка за счет дискретизации исходной аномалии силы тяжести, являющаяся следствием детальности исходной гравиметрической съемки. При заданной детальности сьемки эта ошибка является неустранимой и присуща всем методам определения ВК и СУОЛ, в том числе и разработанному нами. Соответствующие дисперсии мы будем обозначать 01* для ВК и /Т!^ для СУОЛ.

Примерно то же самое можно сказать об ошибке усечения ряда по сферическим функциям ( вплоть до.заданной степени N ) при учете влияния дальней зоны. Соответствующие дисперсии обозначены нами т;; и .

Поэтоцу точность нашего алгоритма мы оцениваем дисперсией вида

тс - К (и о - т) - п

т - т

0« 6(м.б)

т _ тп

где ^ и ^0114 в) обозначают квадраты средних квадратических

расхождений модельных и вычисленных значений Ш и СУОЛ, соответственно .

Следующие таблицы подводят итоги численных экспериментов с модельным полем А, , дисперсия которого 185 мГал', радиус корреляции

® IV 0

Г = 20 км. Радиус ближней зоны при этом То = I . дальняя

зона учитывалась с помощью ряда по сферическим функциям до степени

N =36 включительно, шаг дискретизации исходной ¿ср принят

равным 5.6 км. Единицы измерения для СУОЛ - секунды,для ЙК - метры.

у таб.1

"я«..)

( П>

МЬ 5-50 . 0.68 0.63 о. 14

таб.2

т т 6ч

/т1 + т1 ^ »г

0.74 П1 1 л ОЛ

Последние стобци таблиц характеризуют точность разработанного алгоритма.

Если при вычислениях ВК и СУОЛ вместо "откорректированных ядер пользоваться классическими ядрами Венинг- Мейнеса в плоской аппроксимации, то получаем значения )* -(£).6&)1" - 0. ¿3 №

и * ^ • 410 гораздо *Уяе.

Вычисления в нулевом приближении теории Молоденского с класси-

•ческими ядрами Стокса и Бенинг- Кейнеса приводят к

5«

т- )1-(0 - 0.А н ,

К

' 1/(1.74 Л (М5)1 - /з

Таким образом, коррекция плоской аппроксимации классических ядер Стокса и Венинг- Ыейнеса и учёт первого приближения теории Молоден-ского даже в районе с довольно гладким гравитационным полем улучшав-ср. кв. ошибки алгоритма в два раза. Точность разработанного алгоритма определяется асимметрией точки вычисления в массиве исходных данных. Если в качестве конечного результата брать Ш и СУ ОЛ только в одной центральной точке массива, то ср. кв. ошибки алгоритма практически равны нулю. Проделанные выше численные эксперименты относятся к случаю, когда в качестве конечного результата ВК и СУОЛ берут сразу все их значения в центральной части размером 17 X 17 из общего массива 32 X 32. При необходимости повысить точности алгорит ма следует уменьшить размер центральной части, определяющей конечные результаты. Так , например, если центральную часть, определяющей конечные результаты, сузить до размера 8"ХВ, то точность алго-

V

ритма характеризуется уже ср. кв. ошибками И.)н * М

В заключение сформулируем те результаты, которые выносятся на защиту.- Ими являются следующие положения:

- обоснована целесообразность использования преобразования Хартли для определения ВК и СУОЛ в центральной зоне в рамках строгой теор» Ыолоденского^

- разработан численный алгоритм, реализующий теорему о свертке в частотной области в терминах преобразования Хартли, избегающий искажений за счёт цикличности и учитывающий возможные пути уменьшения искажения за счет асимметрии точек вычислений^

_ выполнена коррекция ядер Стокса и Венинг- Нейнеса с целью нова-

шения точности их плоской аппроксимации;

- установлена связь между двумерным дискретным преобразованием Хартли и повторным двухкратным преобразованием. Это позволило использовать в. сококачественные алгоритму и программы одномерного быстрого преобразования Хартли для решения двумерных задач;

- разработан алгоритм вычисления ВК и СУОЛ в центральной зоне с помощью преобразования Хартли в рамках не только нулевого, но и первого приближения теории Молоденского;

- построена модель гравитационного поля и рельефа для локального района с заданными существенными параметрами поля и с целью контроля и исследования точностных характеристик полученных результатов;

- все .теоретические'разработки диссертации обеспечены пакетом программ для персонального компьютера, что позволяет оперативно выполнять как практические вычисления ВК .. СУОЛ, так и теоретические исследования точностных характеристик в зависимости от качества исходной информации;

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах

1. Ю.М.Нейман, До минь Туан. О преобразовании Хартли для исправленного ядра Стокса в центральной зоне. " Изв. вузов ", раздел геодезии и азро|ютосьёмки,М, Ж)92.

2. Ю.М.Нейман, До минь Туан. О преобразовании Хартли для исправленного ядра Венинг- Мейнеса в центральной зоне ." Изв.вузов",раздел геодезия и аэрофотосьемки, № 3,1992.

3. До минь 1уан. Особенности численной реализации двумерного дискретного преобразования Хартли в задачах физической геодезии. " Изв. вузов", раздел геодезии и аэрофотосъемки, Я> 1,1994.