автореферат диссертации по геодезии, 05.24.01, диссертация на тему:Разработка устойчивых алгоритмов решения конечномерных и бесконечномерных некорректных задач геодезии

МОСКОВСКИЕ ОРДЕНА ЛЕНИНА ИНСТИТУТ ИНЖЕНЕРОВ ГЕОДЕЗИИ, АЭРОФОТОСЪЁМКИ И КАРТОГРАФИИ

На правах рукописи

БЫЕШЕВ ВИКТОР АЛЕКСЕЕВИЧ

УДК- 528.1; 528.2

'азработка устойчивых алгоритмов решения конечномерных I бесконечномерных некорректных задач геодезии

05.24.01 - Геодезия

Автореферат 1иссертации на соискание учёной степени хоктора технических наук

Москва - 1989

- г -

Работа выполнена в Московском ордена Ленина институте инженеров геодезии, аэрофотосъемки и картографии.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор В.В. Бровар; член-корреспондент АН УССР, доктор физико - математических наук, профессор В.И. Старостенко ; доктор технических наук, профессор Е.Б. Клюшин.

Ведущая организация:

кафедра высшей геодезии .Новосибирского института

инженеров геодезии, аэрофотосъёмки и картографии.

Защита состоится " • " •_ 1990г. в_часов

на заседании специализированного совета Д.063.01.01 Московского ордена.Ленина института инженеров геодезии, аэрофотосъёмки и картографии / 103054, Москва К-64, Гороховский пер., дом 4, ауд. 321/,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ШИГАиК.

' 'Автореферат разослан "_" _ 1990г.

Учёный секретарь

специализированного совета.

кандидат технических наук

п.1. Общая характеристика работы Актуальность темы. В геодезии - прикладной, высшей и космической, в теории фигуры Земли и геодезической астрономии, в фотограмметрии, теории ошибок и, собственно, в ТМОГИ распространены так называемые обратные задачи, состоящие в решении уравнений первого рода

Л'2 =£. ш .

Здесь - результат измерения величины 0на магет

быть вектором конечномерного арифметического пространства функцией - элементом некоторого- функционального гильбертова пространства/^ . Далее, Д - ошибка измерения; А - некоторый линейный оператор ( в частности, матраца ), связнваищй равенством

А-2исг = £„ст • (2)

измеряемую величину С,ист с искомой величиной ВелцркЕа 5Е//СТ

модет быть либо вектором из . либо функцией - элементом неко- . торого функционального гильбертога пространства Н^ •

Срздз геодезических задач (I) существует целый класс так называемых некорректных задач, т.е. задач, в которых наругается хотя'бы одно из следуЕцзх двух услоЕзЗ:

1) псевдореЕение задача (I) единственно. Здесь

131

2) пеевдорешение задачз2(I) устойчиво к неизбежным, вообще

. говоря,, осзбкаи в оператора А п свободном члене . Иными слова-длячто Цг'-^кепри |£-£^¡¿8 п ¡А~АкЯ' гда Д ~ возмущенное значение оператора Д.. Так, налрг^зр, некорректней является следугсще вазные для практики задача геодезия:.

I). Задача по изучении фзгурн и гравитационного поля Зежи ( главная Еробяегл." геодззги ) ыа основанжи конечного набора результатьв изнзрзнгй, выполненных на ш взв её физической поверхности 3.

В самом-деле, поеде линеаризации соответствующих функциональных уравнений связи эта задача принимает вид

э1^жвалентннй, с учетом обозначений^ =(В'Л)'2?=<£сЛу'Ф°Рые Здесь В - матрица коэффициентов; СС~ вектор искомых поправок в приближенные координаты точек, где выполнены измерения; /.- наббр 1%, линейных ограниченных фушшдоналов; 1 = \iJ~\J - искомый воз-иущаэдий потенциал. Он, как известно, является чрезвычайно сложной функцией (Т£ где ~ гильбертово пространство

функций, гармоничных вне сферы Бьерхакмара и"регулярных на беско-нечностн) н, в силу этого, не когет быть

восстановлен по любому ко-* печному набору измерений . Инша словами, задача (4) шает

нведжкетвенное решение, т.е. является некорректной бесконечномерной ( т7 принадлежит бесконечномерному гильбертову цространству задачей.

Замечание I. Задача (4) может быть переведена из класса функциональных в класс алгебраических обратных задач ( си. реферат главы 4]

В'Х +С^.Л' = 0 (5)

Здесь С - матрица коэффициентов, С^- искомый вектор ^/^Л^-/У - количество точек, где проводились измерения) числовых характеристик аномального гравитационного поля Земли. Однако и задача (5! в свою очередь, является некорректной конечномерной задачей в силу столбцового дефектаУ матрицы £ , приводящего к неединственности псевдорешения — (^¡С. ^ • 2) Задача уравнивания методом наименьшее квадратов свободных геодезических сетей, т.е. сетей без необходимого количества твердых элементов • Как известно, недостаточное количество твердых элементов сети вызывает столбцовый дефектматрице А коэффициентов параметрических уравнений поправок (I). Это,

в свою очередь, обусловлйвает и неединственность псевдореиений 2. задачи (I) и неустойчивость их к возмущениям начрицы А. Следовательно, данная задача является некорректной конечномерной ( 2исТ принадлеяит конечномерному евклидову пространству задачей.

Мелду тем, идея свободного уравнивания находит весомые приложения в инженерной геодезии, что позволяет считать данную задачу значимой.

3) Задача решения алгебраических уравнений (I) методом наименьших квадратов (м.н.к.) - задача уравнительных вычислений - в случае возмущенной матрица 7 в сочетании с её плохой обусловленностью. В этой ситуации, как доказано акад. А.Н.Тихоноенн, данная задача является некорректной, ибо оценка величины м.н.к.

неустойчива к возмущениям матрицы А и способна отягощаться теоретически как угодно большими ошибками.

Замечание 2. Кроме того, слабо устойчивой мояет оказаться та не за-■ дача уравнительных вычислений и в случав хорошей обусловленности матрицы А при использовании алгорзтмоз вычисления 2 » чувства- ■ тельзнх я остбкаи округления. Таким, например, является ( при неудачном унборе начальной матрицы О о) известный рекуррентный алгоритм

к.^Оига,,

предгоЕеннкй Р.Ш.Липцером и Е.'АЛШ^гкимв 1972г/КЕМ. и МФ, 12,4,1972/. ■

Здесь О!". - ¿.-я строка матрицы А, О,- вес величины , О -

/ ¡.о

априорно заданная матраца весовых коэффициентов начального значения-¿Е оценки 2 .

Очевидны теоретические г. вычислительные трудности, связанные с отыскакге!.: и интерпретацией решения некорректных задач (I), значимость которых для геодезия свидетельствует об актуальности разработки теории и оптимальных устойчивых алгоритмов их решения, т.е. 'об актуальности темы работы, п.2. Основной целью работы является:

- уточнение теории и.алгоритмов ср. кв. коллокации - основного

__ современного универсального метода решения главной задачи геодезии (4);

- разработка алгебраического подхода'(5) к изучению фигуры и числовых характеристик аномального-гравитационного поля Зеиш по разнородной информации;

- исследование функциональных свойств основных операторов физической геодезии;

- разработка методики выбора параметра регуляризации в алгоритме вычисления гравнузтрхгчзскых уклонений отвеса вариационным методом регуляризации акад. А.Н.Тихонова;

- развитие ( в контексте с конкретными задачами прикладной геодезии) теориа уравнивания м.п.к. свободных геодезических сетей и разработка универсальншс устойчивых алгоритмов: а.) - обращения соответствующей задаче. (I) матрицы А/ коэффициентов нормальных уравнений, б) вычисления любых псеедореаеша с требуемыми свойствами;

- разработка методики выбора параметра регуляризации и аппарата точйостных расчетов при решении вариационным методом акад. А.Н.Тихонова конечномерных обратных некорректных ( и корректных ) геодезических задач ( задач уравнительных вычислений ).

. п.З. Научная новизна и практическое значение работы состоят в получении следушшх основных новых результатов, которые в вкносятся на защиту -

_ с _

1) Уточнение теории и алгоритмов метода ср. кв. коллокации.

2) Алгоритм использования априорной информации о гравитационном поле для повышения точности решения главной задачи геодезии (4) методом ср. кв. коллокации.

3) Новые алгоритмы усреднения геофизических полей (модифицированная ср. кв. коллокадия и метод Рунге в сочетании с кубатурной формулой ячеек).

4) Алгебраический подход к изучению фигуры и числовых характеристик аномального гравитационного поля Земли по разнородной (наземной и спутниковой) информации.

5) Методика выбора параметра регуляризации в алгоритмах вычисления гравиметрических уклонений отвеса вариационным методом регуляризации.

6) Результаты исследования функциональных свойств основных операторов (Стокса и Венинг-Мейнеса) физической геодезии.

7) Вклад в теории и устойчивые алгоритмы уравнивания м.н.к. свободных геодезических сетей: а) результаты исследования алгебраической структуры множества матриц, -обратных к матрице коэффициентов нормальных уравнений; б) универсальные устойчивые алгоритмы -обращения; в) статистические свойства и взаимосвязь всех псевдорешений уравнений ошибок (I); г) устойчивый алгоритм вычисления чебншевских псевдорешений уравнений ошибок

8) Не требувдий псевдоинверсии устойчивый алгоритм оценивания внутренних деформаций обширных свободных геодезических сетей, обла-даицих центральной симметрией, создаваемых для строительства и эксплуатации кольцевых ускорителей заряженных частиц.

9) Методика контроля качества радиотехнических изделий специального назначения, базирующаяся на принципах свободного уравнивания.

10) Методика оптимального проектирования опорно-монтажной сети линейного ускорителя большой протяженности.

II) Методика выбора параметра регуляризации а аппарат точностных расчетов при решении вариационным методом регуляризации акад. А.Н.Тихонова конечномерных обратных геодезических задач, п.4. Реализация результатов исследований

Разработанные в диссертации методики и алгоритмы внедрены я следующие организации: НШС, ГСЩ, НИИГАиК, Институт ядерных, исследований АН СССР, предприятие "Азимут". Справки о внедрении содержатся в диссертация. п.5. Апробация работы

Основано результаты работы, опубликованные в 22 статьях и 2-х научно-технических отчетах, докладывались и обсуждались на:

1) Научном мехка$едрадьном семинаре ШТГАгК но проблемам геодезии под руководством проф. Й.М.Нейшяа (1979 - 1988 г.г.);

2) Ыеадународноя симпозиума по теории фигуры и гравитационного ноля 8вадк, Луны и других планет (г.Ленинград, ИГА, 1982г.);

3) Международном симпозиуме по теории фигуры и гравитационного поля Земли, Луны и других планет (ЧССР, г.Прага, 1982г.);

4) Всесоюзной школе-семинаре акад. А.Н.Тихонова по некорректным задачам (г. Самарканд, 1983г.); .

5) Научном свшнара отдела космических исследований ЦНИИГАлЙ-4 (г. Москва, 1985г.);

6) Всесоюзном симпозиума по теории фигуры и гравитационного но ля Зеьш^, Луны и других планет (г. Ленинград, ИГА, 1988г.).

д.6. Достоверность и обоснованность научных результатов- и выводов, сформулированных в диссертации, проверялись либо методом математического моделирования, (напртшер, уточненные алгоритмы ср. кв. коллокации), либо, где представлялась возможность, - в вто ге сопоставления результатов вычислений по разработанным алгоритмам с известными эталонными значениями (щшршзер, ори вычис лении гравиметрических уклонений отвеса вариационным методом регуляризация).

- 9 -

п.7. Структура диссертации. -

Диссертационная работа, состоящая из введения/ четырёх глав, двух приложений и списка литературы, разделена на две части. В'первой части обсуждаются конечномерные обратные задачи геодезии, во второй - бесконечномерные. Объём диссертации без приложений и списка литературы составляет 316 страниц машинописного текста. В приложение, А вынесены.йримеры конечномерных задач, в приложение Б -примеры бесконечномерных аадач.В диссертации имеются 27 таблиц и 52 рисунка. Список литературы содержит 213 наименований, из них 55 на иностранных языках. . п.8. Содержание работы.

В первой главе обсуждается приложение метода регуляризации акад. А.Н. Тихонова к решению конечномерных алгебраических задач (I) - задач уравнительных вычислений. Среди используемых в. геодезии и смежных дисциплинах методов решения алгебраических задач (I) с невозмущйнной и полного ранга матрицей А (этот случай сейчас "

■ будет рассматриваться) доминирующее положение заслуженно занимает

„

. ФС2Х-Р-1Г , (1.2)

. обладающий свойством оптимальности ^(¿нлкО ^ (I*3)

в:классе линейных несмещённых процедур решения задачи (I):

А~А= Хк,к. (1.4)-

Йдесь А- - некоторая псевдообратная слева к А матрица, ~][ - е^-да-нгчная матрица, К(гО - ковариационная матрица соответствующей оценки Ж , явдянцаяся мерилом её'точности в классе (1.4). Свойство оптимальности (1.3), зафиксированное в фундаментальной теореме Гаусса - Маркова и являющееся обоснованием м.н,к., справедливо самое большее (при нормальном законе распределения центрированных ошибок измерений А ) в классе

2=УГ£) > = (1.5)

всех несмещенных процедур У решения задачи (I). В более ае широком классе, например, в классе линейных смещенных процедур,

н = £ , £(д) ф -^исг, (1.6)

где, подчеркнем, мерилом точности является не Г\(£), а матрица М(с) средних квадратов ошибок, -г

МС-в)=Е(А2-а^КСЮ+ЬА

теорема Гаусса-Царкова неверна..Лруггад словака, в классе (1,6) свойством оптимальности м.н.к. уже не обладает. (Выше приняты обозначения: Б - оператор математического огидания; (-1- - произвольная не зависящая от & матрица, определяющая оценку > смещение оценки 2 •) Такая ситуация стимулирует разработку методов решения алгебраических задач (I) или, что всё равно, - уравнений поправок (1.2), доставлять'! более точное ( в смысле

1400 < мнк))

решение 2 » чем нпк* ^"анно такЕШ методом, как выяснилось, является разработанный в последние десятилетия акад. Д.Н.Тихоновым метод регуляризации (м.р.). В нём решением уравнений (1.2) слуЕит

доставдявдий Минимум сглаживающему функционалу

^<ЛУ-УГРУ ; 'Л. Ю)

где Зк>с- произвольная положительно определенна? матраца,

- неотрицательный скаляр (параметр регуляризации). М.р., совпадая с ы.н.к. в частном случае о(— О .относится цра к смещенным процедурам (1.6) ^решений уравнений попра-

вок (1.2). И именно поэтому для любой задачи (1.2) он обладает более высокими точностными возисошостями, чем м.н.к. Конкретно,

справедливо

Утверждение 1.1. Для любой задачи (1.2) существует непустое множество значений оС У/ О » при которых имеет место неравенство

где матрица структуру (1.7), т.е.

где к

Проблема, следовательно, заключается в построении должной методики выбора параметра регуляризации оС . Её решению посвящена . часть первой главы. Суть разработанной здесь методики выбора о^.

заключается в привлечении результатов - ¿Е , = -

/А,/ х £ тк ^ п—кг

и / \(Щьцк-/=(У ~ Решения Уравнений поправок (1.2) м.н.к. к вычислению оценки . По ним построена несмещенная (1.15) оценка /\ _ . а /\т

(1.14)

ЕСмсг^-мОад, <1Л5>

матрицы (1.12) средних квадратов ошибок оценки ^ • ® итоге оказался всегда доступным выбор под условием

В связи с этим имеет место

Утверждение 1.2 Пусть при данном оС неравенство (1.16) оказывается справедливым ддя каждой реализации случайного вектора ошибок измерений . Тогда справедливо неравенство (1.11).

Разработаны и исследованы несколько алгоритмов выбора«^ под условием (1.16). Наиболее простой из н,их имеет вид

где ^ ^

Следует подчеркнуть, что в процессе вычисления с выбором с>4 по принципу (1.17) по существу выполняете^ переход от оценки к оценке ДЕЕ^ • Происходит ли реальное повышение точности оценки по сравнению с ? Статистические эксперименты на модельных

задачах показывают, что повышение точности тем заметнее, чем хуже обусловлена задача (1.2) и чем больше отношение

> - (1.18)

т.е. чем большую долю в оценке занимает ошибка. В задачах с

хорошей обусловленностью повышение точности редкя превосходит 10-15$.

Обратимся к примерам. Пример 1.1. На рис.1.1 изображена известная эталонная наземная сеть Лл/сЬ£., расположенная в Альпах на территории ФРГ

[гскн] -1"

6ЪЮ

Рис. 1.1

На* "её семи пунктах / Р; Т, измерено 102 величины (см. таблицу 1.1, <Т V»/

где все обозначения общеупотребительные).

Таблица 1,1

Тип измеряемой величины ^.ИСГ Щ щ вс^) щ ч щ 9Ы

Количество 31 26 17 7 7 7 7

Зр.кв.ошибки измерений 0?5 2,5 20-60мм 1.1' 0,6 0,6 О.ОЗОмгал

Поставим задачу по определению референцннх пространственных координат пунктов данной сети. Детальнее этого вопроса коснемся, реферируя 4-ю главу работы. Здесь гее подчеркнем, что в данной задаче в вектор неизвестных 2 входят помимо геометрических величин

(поправки в приближенные координаты точек ] п/ ) и поправ" " . _____ «гу-й *

ки в ориентирупцие углы; величины о

= РФ), • • • Ш РЪО

физического характера. (Здесь ^С^-)., З^Оэ^КЮ ~ чистая аномалия силы тяжести и компоненты уклонения отвеса относительно негеоцентрического рефереяц-эллипсоида.) Таким образом, задача сводится к решению системы уравнений поправок (1.2), где

> Я У ^

В таблицах 1.2 и 1.3 приведены оценки референцннх координат, соответственно м.н.к. и м.р. (с выборомо( = 2,83*10 по

принципу (1.17)).

Таблица-1.2

М.Н.К.

Точка ОСЦ) (м) -</■ /тг^ См) Щ (м) (м) ^ (м)

г« 4196161,720 0,000 898742,743 0,000 4703433,795 0,000

\ 4202061,586 0,061 907380,425 0,038 4697757,708 0,066

4199597,288 0,074 911739,310 0,036 4699383,171 0,081

р< 4197498,761 0,064 907181,034 0,033 4701096,629 0,072

Р5 4194184,230 0,067 906023,467 0,034 4703842,119 0,074

Ре 4203084,355 0,061 896138,803 0,030 4698870,754 0,070

4206885,153 0,074 895330,625 0,041 4696354,339 0,090

К. Р. Таблица 1.3

Точка Рг* а /ГЦ; <{■ тЕ

I 2 3 4 5 6 7

Р< 4196161,720, 0,000 858742,743 0,000 4703433,795 0,000

Продолжение табл.1.3

"I 2 3 .4 5 6 7

рг. 4202061,581 0,055 907380,422 0,032 4697757,710 0,064

рз 4199597,282 0,066 911739,306 0,031 4699383,174 0,074

р< 4197498,757 0,058 907181,031 0,030 • 4701096,631 0,064

Р5 4194184,226 0,060 ■ 906023,462 0,031 4703842,125 0,068

Рб 4203084,348 0,054 896138,799 0,027 4698870,758 0,065

4206885,149 0,067 895330,619 0,036 4696354,346 0,083

Сопоставление содержимого таблиц 1.2 и 1,3 позволяет сделать вывод, что точность оценок референции: координат м.р. примерно на 10-15$ выше точности оценок м.н.к.

Ещё один простейший пример ^ Бурмистров Г.А. Задачник по способу наименьших квадратов, М..Геодезиздат, 1960, стр.160-162]. Его небольшая размерность позволяет представить здесь полную сравнительную картину оценивания искомых величин м.н.к. и м.р.

Пример 1.2 На рис.1.2 изображена нивелирная сеть и указаны веса измеренных превышений.

Нике приведены: свободные члены

(0;0,5;0;-1,1;-1,0;1,0;0;0)см (1.21)

соответствующей системы уравнений поправок (1.2), её решение

(поправки в приближенные отметки определяемых отметок реперов

-¿-/й.4) м.н.к.

= (-0,051;-0,376;0,047;0,838)см (1.22)

мнк

»рттап-ш тчоттипгпа

'МНК

и оценка /С^ ^ковариационной матрицы решения /0,138 0,046 0,044 0,059\

\ = ! 0,114 0,047 0,038' =/и*.о ь-ы

/ N4 ЮК/ 1 о,145 0,092 } С ^^

0,143/ СМД

где = 0,225 см.

Решение тех же уравнений поправок м.р. с выбором сЛ - 0,112 по'принципу (1,17) оказалось такик

= (-¿0,077 -0,336 -0,035 0,670) см . (1.24)

Оценка |^1(2?)(см.(1.14)) его матрицы средних квадратов ошибок равна /0,061 0,0029 ~0А0031 0,00604

А

А

) = I 0,059 0,0015 ~0,'0:Г1'

V

/ (1.25)

I /

0,059 0,024

0,078/ СМД *

На основании (Г.23) и (1.25) составлена таблица 1.4 эмпирических ср.кв. ошибок отметок реперов, определенных м;н.к. и м.р., позволяющая судить о их точностных возможностях в данной задаче.

Таблица 1.4

метод пьСН^ ггьСН^ т-СНм)

м.н.к. 3,6 мм 3,3 мм 3,7 мм 3,7 мм

м.р. 2,5 мм 2,4 мм 2,4 мм 2,8 мм

До настоящего момента при обсуждении линеаризованных алгебраических задач (1.2) предполагалась общепринятая в геодезии и смежных дисциплинах, вообще говоря, идеализированная ситуация (схема Гаусса-Маркова;, в которой матрица А постулируется невозмущенной :: имеющей полный ранг. Эта схема автоматически обеспечивает корректность задаче (1.2). Однако в реальности приходится решать задачи

X = А ■ г - £ , (1.26)

к,к к,1

с возмущенной матрицей А (например, из-за ошибок представления чисел в ЭШ). Как доказано акад. А.Н.Тихоновым, в этом случае, который будет сейчас предполагаться, задача (1.26) при плохой обусловленности А является, вообще говоря, некорректной (причина некорректности состоит в отсутствии свойства непрерывности ранга матрицы А. к возмущению её коэффициентов). Это означает, что решение ^^^задачи (1.26) м.н.к. неустойчиво- к возмущениям матрицы А и, следовательно, способно отягощаться теоретически как угодно большими ошибками. Напротив, решение У*^ задачи (1.26) м.р. устойчивостью (при правильном выборе ©4 ) обладает.

В силу алгоритмической близости (см. (1.1) и (1.9)) м.н.к. и м.р. естественно'желание вернуть устойчивость решению зада-

чи (1.26) при помощи м.р., согласовывая значение Оч одновременно с величиной ^ возмущения матрицы А и требованием ТГ-Р'ТГ—*—1гил

------ оС

м.н.к.: „ т-

~ , [ОАС^ 1Г.Р.1Г

гу( =<и =- « ** .(1.27)

_ — [о<ал)

Здесьсимволозначает, чтооС является некоторой функцией А и /ъ- •

'В первой главе диссертации разработаны несколько вариантов методики выборапо 'критерию (1.27) регуляразированного м.н.к. Суть дела здесь такова. Исходна^ задача (1.26) сведена к задаче вычисления матриц О =</4 РА) в процессе решения следующего операторного уравнения первого рода

' - /V • (1.28)

с приближенной правой частьюД'Цч'/"М • Здесь Х/УУ - оператор инверсии. Опираясь на введенное акад. А.Н.Тихоновым фундаменталь-' ное понятие регуляризирупдего оператора, доказывается, что при надлежащем выборе с/, устойчивым решением уравнения (1.28) является матрица Обосновываются два принципа выбора ©^ .

»«— - Т • A./L,. /■weiaui-töä^g

естественно назвать принципом невязки в идеальной вычислительной среде, поскольку прно("«оСл;/Л.' матрицапроявляет себя в смысле равенстве.

так же, как л истинная матрица . Важно иодчзряяуть, что при вычисления ¿F , (см. (1.9)) с не нужно обращать ншшжих

..........©ч •

катряц: 2Z /ксан0 найти в пвоцессе решения снсте^н

(/&+<*• в)-z = Д"ТЛ£ . <1.з1>

нормальных уравнений с улучшенной обусловленностью. Таким образом, _ V

при вычислении о сК^оС ' трудозатраты точно такие ае. как и при вычислении . но при этом ^^ оказывается устойчивым к воз-

мущениям матрицы А, естественно совпадая с !ЕЕ.мик при А = А. Следует, однако, обратить Еянкание на то, что

все дело ка-

^ Мнк

целено на борьбу с возмущенней матрапы А. па не на борьбу с ошибками округления. возкЕкагаяли в процессе решения системы (I.3I). По этой причине использование требует далее численно устой-

чивых методов рвения (I.3I) (ндоршгер, метода квадратного корня). Bö втором принципе выбора СуС по критерию (1.27),

^Сс 7 truz^cüi^e^m^c ■ (1.32)

значение .напротив", цежом нацелено на борьбу с олибкамя

округления, возникакдаш при получении Б конкретной вычисляем ,//

тельной среде. (Запись (1.32) требует пояснения: максималь-

ный аргумент локального максимума скалярной функции ^^^--f'QjT' где £ - градиент самого слабого элемента сети) Рис.М.З иллюстрирует смысл оч^ик.

возможные J. j график *Р(?0 в идеальной вычислительной

в реальной

лительсой среде —Ш—-~~~---^ „/

'Значение оС = с/л''),<К0ЖЯ0 с успехом использовать при отыскании решения ¿ник задачи (1.2) численно неустойчивыми алгоритмами. Так, в 55 главы I диссертации приведены несколько примеров использования ПРИ формировании начальной матрицы по правилу

О = X ■ I (1.33)

в чувствительном к ошибкам округления рекуррентном алгоритме (6). Замечание 1.1 Б литературе встречается следующая рекомендация по выбору 00 :

Оо = 7Егм (1'34)

где целочисленная величина /77- = 5, 6, ..., 9 жестко не увязывается с каждой конкретно;": задачей [!.£). Рекомендация (1.34) может про-ЕоцироЕать неустойчивость алгоритма (6) к ошибкам округления, если Ю €- ак'ннк') . Соответствующее экспериментальное подтверждение приведено в 55 главы I.

Во второй главе описан вклад автора диссертации б общую теорию и устойчивые алгоритмы решения классической некорректной конечномерной задачи геодезии (I) - задачи уравнивания к.н.к. свободных геодезических сетей ( т.е. сетей без необходимого количества твёрдых элементов ). , Рассмотрим .общий вид уравнений связи

У-ист = ; 2>г) /2.1)

соответствующих свободной сети. &десь, для конкретности, нас3°Р

определяемых координат точек сети в некоторой системе координат , 2 ; набор твёрдых элементов сети, при помощи которых

ист к г-

реализуется система координат г~ ; Ч--^- набор измеряемых величин, У'ист^-^п,' ^едостато,}ное количество твёрдых-элементов <2)р ,

играющих рель параметров в отображении-^;/^ —$ , порожденном

п. п

уравнениями (2.1), индуцирует неинъективность отображениям- (одному на

бору измеряемых величин ¿^с7£"/^соответотвуют в смысле (2.1) несколько наборов^"^^^^у^одределяемых величин. Следовательно, однозначно восстановить по ¿¿.^нельзя). Формальными аналитическими следствиями недостаточного количества являются: I) наличие

г

столбцового дефекта 1а

матридыД=^-|, соответствуюцей системы уравнений поправок (1.2); 2) неединственность её псевдорешений (т.е. некорректность задачи) и, что'равносильно, 3) нетривиальность ядра //^ег/А

матрицы А.

На первый взгляд, сеть с недостаточным количеством твердых элемен-тов^^г кажется геодезическим'казусом, и здравий смысл тут же подсказывает выход из такой вот некорректности: нужно взять столько параметров 2)р . чтобы сеть стала несвободной, тогда матрица А обретёт полный ранг, псевдорешение станет единственным и, следовательно, задача (1.2) корректной. Однако этот естественный выход ш ;час противоречит столь же' естественно возникающим на практике за ,ачам. Рассмотрим описанную в приложении одну из таких задач, в решении которой автор принимал участие вместе с сотрудника ч НИИРа; иофизики имени акад. А.А.Расплетина. Суть её такова. На плоской поверхности радиотехнического изделия (Рис.2.1) имеется множество физически реализованных- точек- центров секций {А/- несколько сотен).-Согласно проекта точки должны иметь координаты

в системе плоских прямоугольных координат Г (см.Рис.2.2). Система /*" на реальном изделии отсутствует. Требуется определить в системе фактические координаты

-СОСнст Ци'ст ОС^и^) (2.5)

точек 1 г- [■ . Предельное отличие

фактических координат (2.5) от соответствущих проектных определено в техническом задании и составляет несколько миллиметров. Для измерений доступны расстояния между точками и ^ (минимальное рассто-

яние около 1м).

\

\

Рис.2.1

X

р°

•р;

•к

-г-

5

4

Рис.2.2

¡Г

Решение данной задачи естественно сводится к уравниванию свободной по координатам и дирекционному углу сети плоской трилатера-ции (фрагмент её представлен на рис.2.1). Заметим, к слову, что первоначальные попытки решить згу задачу, пользуясь классическим несвободным уравниванием (множество 2)_состоит из 3-х необходимых элементов), неизменно приводили к неудаче - допуск (2.6)на краях изделия не-выполнялся более чем на порядок!

Приведенный выше пример иллюстрирует прикладную геодезическую содержательность проблемы свободного уравнивания, являющейся классической некорректной (из-за нарушения первого условия, корректности) задачей. Первые камни в фундамент её теории и алгоритмов заложены 18 лет назад в работах немецкого геодезиста /Ь¿^¿ЗУТяд^ег? В них, базируясь на результатах Рао и Бьерхаммара, построен устойчивый алгоритм (2.7), + , . /А/'Р^С'

вычисления главной ^ -обратной матрицы/V и главного (или нормального) псевдорешения

■елсг;

г 9

(2.8)

_ . . И . Л

А'(0 = {н - / ¿те ; (2.

уравнений поправок (1.2), возникающих в свободных сетях. (В формулах (2.7)-(2.9) приняты обозначения: ^^ матрица, линейно-независимые столбпз которой образуют базис подпространства

ДГегЛ = М(е) = З/хгп-С^,^.^). (2.Ю)

далее, множество всех псевдорешений уравнений поправок (1.2));

Теперь, собственно, содержание 2-й главы. В §1 сформулированы 4 направления исследований по данной проблеме, содержащиеся в работе и отчетливо проявившиеся в общем потоке публикаций. Это: I). Исследование статистических свойств оценок ,2'

параметров свободных сетей, вычисленных'согласно (2.11) при

помощи тех или иных О. -обратных матриц/Д/ . 2). Алгоритмы вшшс-ления тех или иных -обратных матриц Д/-. 3), Алгоритмы уравнивания свободных сетей без -обращения-. 4). Приложение свободного уравнивания к проблемам геодезии.

В $2 дана достаточная для приложений геодезическая интерпретация результатов 2 уравнивания свободных сетей, базирующаяся на проекционных свойствах матрицы/\/'/\/1си. Рис.2.3) и свойствах подпространства

см.(2.3)), играющих фундаментальную роль во всей проблема.. Эта интерпретация (при рассуядешта в дифференциалах) такова:

1. Пусть в области физического пространства зафиксирована неподвижная система координат/" (см. .например, Рис.2.2).

2. Пусть 2о - соответственно истинные и приближенные координаты точек {Р. сети (см.Рис.2.1) в системе

I ' >

Тогда уравненные м.н.к. координаты представляют собой несмещенную эффективную оценку координат точек сети, относящихся к некоторой системе координат/*" , отличной*, вообще говоря, от системы/"(см.Рис2.£

Эта интерпретация далее (§4 главы 3) получала следуидее развитие, стшулярованное упогизутой выхе задачей о контроле качества из- .

. - 22 -

готовленая радиотехнических изделий ( Рис.2.1-2.2). Пусть система координат/-" имеет возможность движения, причем точки яестко

связаны с Я"(т.е. их координаты 2ов процессе движения rvt меняются). Тогда JET 'представляет собой несмещенную эффективную оценку координат точек {йТ, сети, относящихся к. той-же системе координат F .

. Здесь я&. в §2. дана геодезическая интерпретация элементов мно-жествас^егД(см.(2.3)) как двКЬереншалов си^^)изменений координат (2.5) точек сети, обусловленных переходом из системы /" в систему/-".. Кроме того, построена универсальная аналитическая методика вычисления базиса Е^шожества /\ :

= . (2.12) Р=ро >

играющего фундаментальную роль в проблеме свободного уравнивания. Здесь ^^ (fay, вяутреннве координаты на ¿¿г мерной'поверхности ^ Cj^-o^ ' СОСТОЯЕ1а2 Е3 тех векторов которые правилом (2.1) отображаются в вектор =

Как видно из (2.II), свободное уравнивание тесно соцракасается с за-

х

дачей ^ -обращения матрицы А/-Д РА> И действительно, в теории и

практике свободного уравнивания Q -обратные матрицы А/ играют основ-'

О ■ "'.' -

ну» роль, поскольку они, во-ЕэрЕых, определяют свойства опенки

(т.е. определяют систем координат f~ ) и, во-вторых, используются

пра вычислении ж одешюашя точности 2L . В связи с этем, в §§3-4

главы 2 исследована алгебраическая структура мноаества

q АУ-А/'-Л/^АУ) (2.13)

всех шгргц, -обратных к штрице /Vкоэффициентов нормальных уравнений, возникающих в .свободной геодезической сетн. При этом в §3 изучено подкноаество

С'=(А/"| A/'&G ,¿y-AW-A^ejo

Cj. -обратных матрвц, кмещнх одинаковый с катрицей/У ранг Tfisia штрицн /У играют основную^роль в практике свободного уравнивания. Кроме того, uBozeojBciQt является в определенном сшсле

базисным для 0-. •

Опуская детали, отмечу некоторые конечные результаты. Сначала относительно множества : I. В евклидовом пространстве^(&}всех квадратных матриц размеров КхК множество Су- является объединением непересекающихся линейных многообразий £ (^размерности <£. X с1 :

&' = ЦсвТСВ)- о (2Л5)

Здесь £ ~ совокупность всех подпространств $ (см. Рис.2.3) из удовлетворяющих двум условиям: .

I) = ; 2) в П Же,гА =0 . (2.16)

Далее,О(S)- линейное многообразие, которое заполняют элементы А/ из (^г , такие, что проектор (Рис.2.3) на О .

2, Любая -обратная матрица А/ из i^r взаимнооднозначно определяется подпространством S (см.(2.16)) и подпространством "Г", где

. cLimT-К - ZK/V= d ; T0JmA/=O. (2.17) _

3. Универсальный устойчивый алгоритм вычисления любой матрицы Г1

нэ (-г имеет вцд .__ . . , , , v '

Здесь о матрицы, столбцами которых являются базисные векторы

соответственно подпространств S^ "Т* (см.Рис.2.3) .упомянутых выше.

Аналогичные по смыслу результаты получены в §4 для множества (см.(2.13)). Здесь отмечу лишь универсальный устойчивый алгоритм вычисления любой -обратной матрицы из :

АС = + % л 12Л,9)

где - произвольная матрица из* такая, что/4^Л/и/у1/;Л£

о

проекторы на одно и то же подпространство О (см,(2.16)); _

О^ч^ - коэффициенты, характеризующие/V/(при фиксированной/^/);

°РтоЕоРмиР°Башшй йазис^бг/4-

В §5 приведены пять численных геодезических примеро^.иллюстрирувдих универсальные алгоритмы (2.18)-(2.19) ^ -обращения. В §6 изучены с позиции многомерной геометрии статистические свойства всех псевдорешений ¿^^уД ^уравнений поправок (1.2) .соответствующих свободной геодезической сети. Получены необходимые и достаточные условия > — а /

р-р.Д/.Д/ (2>20)

несмещенного оценивания линейных функций ■Щсг' •^алее> ка£-

дена взаимосвязь двух произвольных псевдорешений к,2 Уравнений поправок (1.2) , у _у ,7-

и их ковариационных матриц ^и '

Здесь матрица размеров к> а. . столбцы которой образуют базис подпространства » ортогонального подпространству 3 > с0~

„..___и улпмеч

£ и2 связаны равенством

держащему и удовлетворящему условиям (2.16). Иными словами,

(2.23)

'2. —2.

В §7 выполнено обоснование алгоритмической содержательности развитой Еыше теории о алгебраической структуре множества £7 -обратных матриц в процессе сопоставления с соответствувдими результатами других авторов. Здесь отмечу следуицие результаты:

1. Формулы (2.18)-(2.19), во-первых, обладают устойчивостью к возмущениям матрицы А и, во-вторых, перекрывают по своим возможностям все существующие формулы -обращения.

2. В геодезической практике бытуют неустойчивые алгоритмы ^-обращения (в §7 приведены 3 примера), способные до неузнаваемости обезобразить конечные результаты.

3. Принцип (2.22) фиксации псевдорешений уравнений поправок является .всеобъемливдам, _т.е. все другие известные принципы, например,

и • 22)' '¿.-*~1тиМ-.вытекают из него.

4. Матрицафиксирующая согласно принципу (2.22) псевдорешение 2 , может быть восстановлена по -г? как фундаментальное решение

следующей системы линейных алгебраических уравнений ., -(%$). -

5. Последний результат в сочетание с представлением любого псевдорешения виде (Рис.2.3) Л

гдекоэффициенты, характеризующие 2 > дает с учетом (2.22) возможность строить алгоритмы вычисления псевдорешений ¿Е с заданными свойствами. Так, в приложении в контексте с задачей контроля качества радиотехнических изделий (см. Рис.2.1' и вид (2.6) допуска ) построен и проиллюстрирован алгоритм вычисления псевдорешения ,5" ££/4 ((0> наименее уклоняющегося от нуля (его резонно назвать чебышевсккм псевдорешением):

н (2.26)

Завершается вторая глава анализом совместимости свободного уравнивания с астрономо-геодезическим методом. В итоге сделан вывод что они не совместимы, и, следовательно, свободное уравнивание является инструментом решения соответствующих задач прикладной геодезии. В третьей главе, именованной "Свободные сети на прецизионных

инженерных сооружениях", собраны результаты автора, полученные в процессе работы над конкретными задачами щжкладной геодезии. В §1 описан не требующий С^. -обращения устойчивый алгоритм (3.1)

, -2 = ьС-и^ (3-2

уравнивания практически неограниченных по количеству пунктов У р. г.......и

плоских свободных геодезических сетей, обладавших центральной симметрией. Сети с таким свойством возникают при строительстве и эксплуатации кольцевых ускорителей заряженных частиц. (Фрагмент одного из наиболее распространены* типов этих сетей, принятый, в частности, на Ереванском' электронном ускорителе, показан на Рис.3.1).

; Рис. з.1

В процессе конструирования алгоритма (3.1), суть которого кратко излагается ниже, продвинута теория эквивалентных преобразований уравнений поправок (1.2), созданная в своё время Н.Д. Дроздовым и И.Д.. Лисеевым. (Конкретно, введено и конструктивно использовано при построении алгоритма (3.1) понятие преобразования уравнений поправок (1.2), эквивалентного относительно заданного подщространст-ва

Обратимся к алгоритму-(3.1). Центральная симметрия сетей типа (Рис.3.1) порождает замечательное свойство матрицы А уравнений по-йравок (1.2): она может быть представлена в блочном виде (3.2)

™ А^.'А.'.А \ 2) =(УЛ^¥3)

А Л « Ни

- г? -

где каждый из блоков А;» является П.-мерным циркулянтом, т.е. матрицей вида (3.3). Это свойство позволяет отыскивать любое псевдорешение 2 €А(0* виде • где)« ~ коэффициенты Фурье разложения ортогональному базису^^.^йостранства решений/^.

Базисные векторы

С!)и:=(5Л Ф, 1-Ю>

сконструированы из аналитически определяемых собственных векторов

з; = (0,51лК/,.. -АШ&д^,.¿¡пк&а-ф (3.5)

К"--/,

симметричных /1- -мерных циркулянтов (все/"¡^-Мерные симметричные циркулянты имеют одди и тот же набор собственных векторов (3.5^

Коэффициенты Фурье » отыскиваются по свободным-членам £?

- - * .

уравнений поправок (1.2), их весам Р. и коэффициентам матрицы А,

опираясь на аналитически вычисляемые спектры циркулянтов и_то обстоятельство , что множество всех П, -мерных циркулянтов замкнуто относительно операций сложения, умножения и умножения на числа (она ■ является ассоциативным и коммутативным кольцом). В 62 описана методика точностных расчетов в алгоритме (3.1). Она базируется на доказанной там попарной статистической некоррелированности коэффициентов (с^ З^у •

3-Й, нридож,едия А:даны- численные примеры (см.ниже пример 3.1) оптимального оценивания алгоритмом (3.1) внутренних 2: и условных р? деформаций (см. замечание 3.1) опорной монтажной сети типа Рис.3.1, принятой на Ереванском электронном ускорителе. В контексте с этой задачей построена спектральная форма (3.7)у

= - > п (3.7)

алгоритма (3.8) перехода от результатов несвободного уравнивания ¿Г к главному псевдорешению уравнений поправок

Полезно подчеркнуть, что алгоритм (3.8), полученный впервые, видимо, немецким геодезистом

нлг^г, •является частным -случаем нашего проекционного преобразования (2.21). Далее, в (3.7) векторй ¿¿я>.,.;//^°бразуют ортогональный-базис

Э&гА ■ '

Замечание 3.1 В любой задаче по определению деформации сети (изменений во времен? координат её точек . £ р*. главное псевдорешение

уравнений поправок (1.2), составленных без каких-либо гипотез о стабильности элементов сети, является оценкой именно внутренних деформаций, приводящих к изменениям сЕормы или размеров сети.Услов-

ной же деформацией 2 я называю изменения координат точек | Р-1, вы-

I ' и

численные при условии, что в сети не изменились<х, элементов (т.е. в сети зафиксировано с/ твердых элементов и она, следовательно, является несвободной). По выявленным деформациям опорно'-монтагной сети ускорителя, пункты которой расположены на технологическом оборудовании, производят его юстировку. Цель юстировки - установить оборудование в проектное положение в некоторой единой системе координат Л~ . Естественно при этом измерять объем юстировочных работ величинами 12 К' ® это^ ситуации иссользование оценки ¿ЕГ

предпочтительнее в силу неравенства 12: | ^С II ^ I

Ал '

Путеу 3.1 5 табл.3.1 приведены величина (д^., изменений

высот и сторон ¿1 сети (см.Ряс.3.1, П = 24) за Бремя мевду начальным и текущим циклами измерений. Ср. кв. ошибки ¡ТЪ^рж /?7-дд составляют 0,05км и 0,2мм соответственно. Из величин А К., и /4 й; формируется вектор свободных членов

завнений поправок (1.2). Вектор у? искомых неизвестных (деформа-

4$ 1

й сети) имеет вид: '

гДе - изменения полярных координат (АО^- выражено

в мм) точки Р^ . Матрица ^обладает структурой (3.2), где 2, а циркулянты А^ равны

■ <£> У о... чоМм>лггд..н{Лам.

Здесь »р— . Оценки внутренних^Гти 'условных ^ "деформаций

приведены в таблице 3.2. (Оценка¿5"вычислена при условии, что в

сети сохраняются 3 твердых элемента«2^.=( /^а ^ ,

дирекционный угол стороны )• 11

Таблица 3.1

. 1 / д/^ ДЭд 0 / д/ч

(мм) (мм) и (мм) (мм) и (км) (мм)

I 0,04 0,10 9 0,15 -0,18 17 -0,09 0,07

2 0,08 0,25 10 0,22 0,02 18 -0,18 -0,15

. 3 0,10 0,31 II 0,17 0,17 19 -0,23 -0,27

4 -0,06 0,12 12 0,18 0,24 20 -0,10 -0,31

5 -0,11 -0,15 13 0,09 0,33 21 0,13 -0,33

6 -0,14 -0,21 14 0,23 0,39 22 0,22 -0,40

7 0,02 -0,29 15 0,12 0,44 23 0,16 -0,20

8 0,11 -0,31 16 0,01 0,23 24 0,09 0,05

Оценки 2? + и

Таблица 3.2

• (. А Я? лег д/?Г ле] 1 де/ дяг

(мм) (мм) (мм) (мм) (мм) (мм) (мм) («м)

I 2 3 4 5 6 7 . 8 9" 1.0

I 0,38 -1,45 0 0 13 0,93 -.0,95 0,85 -5,58

2 -0,37 -1,28 0,01 0,11 14 -0,38 -0,73 -0,46 -5,29

3 -1,02 -0,76 0,08 0,37 15 -0,37 -0,29 -1,93 -4,59

4 -1,51 0,00 0,22 0,67 16 -1,03 0,36 -3,22 -3,49

Продолжение табл. 3.2

I 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5 -1,49 0,64 0,73 0,70 17 -1,40 0,92 -4,08 -2,32

6 -0,98 ' 0,98 1,57 0,29 18 -1,35 1,36 -4,36 -1.17

7 -0,03 1,00 2,66 -0,43 19 •-0,82 1,48 -3,97 -0,26

8 0,95 0,73 ' 3,58 -1,50 ' 20 0,09 1,29 -2,92 0,34

9 1,66 0,14 4,03 -2,83 21 1,23 0.79 . -1,60 0,59

10 1,99 -0,39 3,93 -4,02 22 1,85 0,06 -0,55 0,51

II 1,88 -0,77 3,24 -4,91 23 -0,80 -0,05 0,17

12 1,52 -0,95 2,19 -5,43 ■ 24 1,18 -1,35 0,04 -0,04

В 2 приложения А описанна выше упомянутая методика контроля ка-

чества изготовления радиотехнических изделий (Рис.2.1), целиком основанная на идее свободного уравнивания с использованием главного ^ + и введенного выше (см.(2.26)) чебышевского псевдорешений соответ-ствуюцих уравнений поправок (1.2). Приведен реальный пример. В приложения А изложена методика- проектирования свободной (в классическом смысле) опорно-монтажной сети линейного ускорителя большой протяженности. Эта работа выполнена в содружестве с И.Ю.Васютин-ским а Д.А.Козловым специально для строящегося в настоящее время ускорителя мезонной фабрики Института ядерных исследований АН СССР. В силу специфики сооружения, опорно-монтажная сеть имеет форму вытянутого хода, разделенного Д/ фундаментальными реперами на отдельные секции монтЪшой сети (Рис.3.2) ^

пункты монтажной се'Тй__-—-—' мч&С

^достаточная нестворность

- За -

Общее количество пунктов опорной (/V) и монтажной (П. ) сетей уш-зано с количеством единиц Т технологического оборудования:

/(Л/, Л-,Т)=0. <3-12>

На ошибки положения пунктов сети в заданной системе плоских прямоугольных координат/"" наложено, согласно техническому заданию, специфическое требование: остаточный ср. кв. развороч^Пг^ал)Л^Л-) смежных сторон опорно-монтажной сети, зависящий, очевидно, от точности

угловых измерений в опорной сети, методики С измерений в монтажной сети, величин Д/ и П, , не должен превышать заданной величины ^ = 1,"4, т.е.

^ X , (3.13)

Суть предложения по оптимальному проектированию опорно-монтажной сети ускорителя состоит в таком выборе величин /V и /1 , точности ^Соизмерений в опорной сети и методики С створных измерений в секциях монтажной сети, чтобы с учетом условий (3.12) и (3.13) минимизировалась стоимость (ргЛ^С^/^всех геодезических работ

на пунктах данной сети в течение всего срока эксплуатации ускорителя:

2) (гп. (оп),С? /V, ¡г)-^тиъ

В итоге решения задачи (3.14) получена следующая рекомендация:

1^3; С - методика угломерного хода с точностью измерений углов/72^и//)= 1*3} Л/= 7 Г /1- = 30, которая и была принята на данном объекте.

На этом,заканчивается первая часть работы. Перехожу ко второй, где обсуждаются связанные с основной проблемой геодезии задачи обработки геодезических функционалов или, другими словами, бесконечномерные задачи геодезии. Вторая часть включает главу 4 и приложениеБ.' В четвертой главе содержатся в основном теоретические разработки, в приложении Б - примеры бесконечномерных задач.

Краткое содержание четвертой главы Любая измеряемая на или вне физической поверхности Земли "Э 3 величина ^,А!сгзавнсит от её местоположения СС'^в реальном пространстве и '(за редчайшим исключением) гравитационного поля ^^Зеюш

Чг = А (х* Ю,

гдер - система координат (см. Рис.4.1), в которой определены ьек-тррпотенциал силы тяжести . Иными словака, величи-

на ^"^является геодезическим функционалом.поскольку зависит от функции (.пузырек уровня постоянна об этом каноьЕнагт) ^

На зависимости (4.1) базируются все физические теории геодезии. Объектом одной из таких теорий, находящейся на стыке геодезии, математической физики н функционального анализа, служат различные функциональные преобразования (или операторы), при помощи которых одни характеристики гравитационного поля Земли (например, аномалия силы тяжести ) трансформируются в некоторые другие характеристики (например, в аномалию высоты или уклонение отвеса (5 В §2 выполнено исследование функциональных свойств основных операторов физической геодезик в плоской аппроксимации - Стокса (4.2)?

• и Вевдяг-Мейвеса (4.3).

Здесь круг радиуса /? , в центре которого помещен начало коор-

динат системы (0Д,У); плоскость, содержащая Рис.4.2),

Опуская детали, приведу некоторые окончательные результаты. Сначала относительно оператора Стокса. I. Оператор Стокса (4.2) как отображение гильбертова пространства в гильбертово прост-

ранства /л„(СОр) ,т

6 ? 4Ф)—4(4), (4-4)

где О)^ - круг радиуса^ о центром в точке 0 (см. Рис.4.2), является вполне непрерывным (компактным) оператором с нормой

(4.5)

чэллшсоид

Рис.4.1 Рис.4.2

Здесь{2{ё?)- функция аргумента© - При © 0,1 значе-

ния <2.(Ё>)шжно вычислять по формуле СЬ(<Э) - 1,О2*1О~?0 При

0,1^ I приемлема ланейная интерполяция по данным таблицы 4.1 •

Таблица 4.1

0 0.1 0.5 I

асе) 1,02-10"' 4,94'Ю"3' 8,72-Ю"7

Нормуудобно использовать в точностных расчетах (соответствукь 2 ' ище примеры.содержатся в работе). Здесь приведу простейшую формулу

'.Щ =-§-'/7Ц> (4.6)

для вычисления ср.кв. осибки ¡П.^ аномалии высоты по известной ср.кв. опшбкё ГТЪд^гяаиалт силы тяжести.

2. При р= оператор Стонса (4.2) является самосопряженным (Эрмитовым) и,следовательно, нормальнш оператором, обладающим чисто точечным действительным счетным спектром с единственной нулевой предельной точкой.

3. Оператор ^ -У у Г Г

обратный к оператору Стокса (4.2), неограничен в пространстве но замкнут.

Замечание 4.1 Существование и неограниченность обратного оператора Стокса 3 имеет важное значение для приложений. В связи с этим, такие задачи, как а) определение на море по данным 3> альтиметрии (см.(4.7)), <3) определение поправок Молоденского О.^^

9< .. . <«>

в аномалию силы тяжести ЛО, за различие ги уровней (см.Рис.4.3)

--*7Г- теллуроид

|Нд . ЭЛЛИПСОИД Р' '—1.

■

Рис.4.3

при вычислении по значениям А^. * — + ^ уклонений отвеса с точностью первого приближения теории Молоденского являются.типичными задачами поставленным некорректно ( в силу нарушения.условия 2)корректности). Для решения подобных задач целесообразна регуляризация алгоритма, например, вариационным методом акад. А.Н.Тюсонова.

Теперь'некоторые результаты об операторе Венинг-Мейнёса (4.3)„ ■

1. Оператор Венинг-Иейнеса как отображение гильбертова пространства

является непрерывным сингулярным интегральным -оператором с нормой

IV!, (4:Г0)

2. Предельные значения ср.кв. ошибок/Д^и/71^ компонент ¿яр могут быть вычислены по формуле:'

т1 - - (4.и)

3. Оператор Веяинг-Мейнеса имеет чисто мнимый непрерывный.спектр, сосредоточенный на отрез*-. ^ .¿..¿.^

4. Существует, но неограничен оператор обратный к оператору Ве-нинг-Мейнеса, позволяющий по ^ (или ) восстанавливать .

5. Прж вычислении интеграла Вешшг-Мейнеса выгодно воспользоваться (для ослабления влияния систематических ошибок) свойством

его характеристики и отыскивать ( » ) в виде (|) = |(1,3)

привлекая даЙее квадратурную формулу прямоугольников при интегрировании поо( и квадратурную формулу Гауссова типа при интегрировании по "2. .

В 53 выполнено уточнение теории и алгоритмов ср.кв. коллокадии - основного современного универсального метода решения главной проблемы геодезии (4). Суть дела такова. Пусть на или вне физической поверхности Земли(см. Рис.4.1) измерено /Х- величин (4.1); следовательно, имеется система уравнений ошибок ч

Ь = (4.14)

После линеаризации (4.14) в окрестности приближенных неизвестных 2'—(Ьс! ~ потенциал силы тяжести нормального эл-

липсоида, система (4.14) приводится к линейной функциональной системе (4). Требуется на основании (4) найти оптимальную оценку неизвестных £=фс,Т)шш• в частном случае, найти оптимальную оценку набора

= -г . (4.15)

значений некоторых других линейных функционалов = ^

на возмущающем потенциале Т.

Построенные Морицем и Крарупом ^Мориц Г. Современная физическая геодезия. М.,Недра, 1983, стр.93-101] ставшие уже классическими алгоритмы ср.кв. коллокации имеют вид т „ -у

£ - {вт-(С« ■ 11

I им'

Э их основе лежит предпосылка

МС4) = Д, (4Л8)

где & - ошибки измерении, М - оператор.однородного и изотропного усреднения по исходному множеству :

- 36 - ¿от

Б §3 диссертации предпосылкаТ4Л8) анализируется и в итоге доказывается, что при построении алгоритмов ср.кв. коллокацша есть основание не отвергать и альтернативную гипотезу

Модифицированные алгоритмы ср.кв. коллокации, построенные в предположении (4.20). получаются-в итоге замены в алгоритмах (4.16)-(4.17) ковариационной матрицы ошибок СГ/улна матрацу М^ц}. Эта матрица является результатом воздействия на С1. оператором М (см.(4.19)).

ад

Замечание 4.1 В связи со сказанным выше нужно заметить следующее.

1. Классические (4.16)-(4.17) и модифицированные алгоритмы ср.кв. коллокации совпадают вне зависимости от гипотез (4.18) и (4.20) при однородном и изотропном шуме А (в этом случае

2. Если предпосылка (4.18) нарушается и шум Д не является однородным и изотропным, то алгоритмы (4.16)-(4.17), во-первых, не оптимальны по точности и, во-вторых, их точностные 'характеристики

могут необъективно характеризовать реальную точность оценок .^С и § • Напротив, в такой ситуации модифицированные алгоритмы указанных недостатков лишены. Следующий пример иллюстрирует сказанное. Пример 4.1 Две точечные массы (см.Рис.4.3), расположенные в точках А (55,5км; 55,5км; 30км) и В (166,5км; 166,5км; -80км), создают на плоском квадратном множестве скалярное поле .где

Ковариационная функция поля+(_Р)хорошо аппроксимируется известной функцией Джордана / н . \

- 37 -

с параметрами 2) = 24мгал , а, = 33км.

Искомым функционалом 3 здесь является ср. интегральное функции £

" ™ 2 ' 5 •/= хк ■ I<«•>

В качестве результатов измерений выступают возмущенные псевдослучайными ошибкамизначения в 64 точках£ , расположенных в узлах квадратной сетки, т.е.

Оценка величины (4.23) классическим алгоритмом (4.17), где В=0,имеет а----"------------

фицированныы - £, _ ^ 0

& О = • + МССлл)) • и (4.26)

Оценки ^ и О вычислялись при двух вариантах закона распределения ошибок измерений ¿V .(В каждом варианте выполнено 50 статистических экспериментов). Первый вариант - шум нормальный однородный и изотропный с ковариационной функцией о о

П Га о\ - I 52мГаЛ ^ (4.27)

В этой ситуации имеет место равенство — СС2 )я оценки (4.25) и (4.26) совпадают. Априорная -/Т^) =/П(§')= УЩ^, =0,?^

и эмпирическая /71^$ }=/7Т/^/)г£)?5ср.кв. ошибки хорошо согласуются.

Л .Лч ~ / .» Л2Й/1

( /77.(5} найдена по формуле Гаусса). Второй вариант - шум нормальный неоднородный и неизотропный с ковариационной функцией

4мгал при Р^ = £ £ • ЮОмгал цри Р-=р^£у\у' (4.28) I 0 при р^р^ ^^ •

Оценки о и о разнятся, поскольку

Априорная ср.кв. оиябка/т2<2)равна/71(8) = О.бБмтал .а её эмпирическое значение - /тУСБ ) = 1.2мгал. Видно, что они не согласуются, при этом /77(фдает оптимистическое представление о точности Ь . Напротив, априорная ср.кв. ошибка/72С5Аравная0.74мгал.хорошо. согласуется с эмпирическим значением/77С5^0.84мгал.вычисленным по формуле Гаусса, как и

/ч/

В '§4 построена универсальная методика линеаризации геодезических функционалов (4.1). Она, во-первых, позволяет оценивать ошибку линеаризации при приведении функциональных уравнений ошибок (4.14) к линейному виду (4) и, во-вторых, выявляет аналитическую структуру (4.30; линейных геодезических функционалов :

/ _ Г^оДЬ^, (4.30)

о 1 ~ № '

Здесь Ор£- дельта-функционал, [У- - приближенная точка, где измерялаы

величина" - коэффициенты, <$гах1 - оператор взятия гради-

ента, I - тождественный оператор.

В §5. опираясь на (4.30) .найдена связь/л'и с основными операторами физической геодезии:

ЗдесьМ^=^*- оператор Брунса (оператор умножения ка -X ), =

- & - оператор Молоденского, М='Д , Мп = -|££^2-опе-ог г. с>1 о I о1 / г.'ггг»

раторы Венинг-Ыейнеса, ( £>^ ^ ^ ~ 150э$Фш11:енты» зависящие

от ( От'7-, 77" ^• Из (4.31) вытекает полезная дяя практики ка/ т-

ноническая форма (4.32) физических слагаемых Л.' уравнений ошибок (4):

Здесь основные трансформанты возмущаицего

потенциала Т в точке Р*-,где измеряется величина

'Замечание 4.2 Форма (4.32) присуща любой измеряемой на точке величине (4.1) - будь то горизонтальное направление или угол, зенитное расстояние или наклонная дальность, приращение нормальной высоты или астрономически координаты и т.п. Важно, однако, подчеркнуть, что коэффициенты и линейно-зависимые.

В §6. опираясь на (4.32), Построен алгебраический подход к изучению фигуры и числовых характеристик гравитационного поля Земли в системе !~с (см.Рис.4.1) по разнородной информации. Он может рассматриваться как вклад в единую (интегральную) геодезиюО-.^^апЯаи.

Н.,Е£КсЬГК. Ег^гилдепЕш-1п{е$г[£г{£П. МЫаи^^'к&шд 109, №2, 1984 ,

Суть дела здесь такова. Функциональная система уравнений ошибок (4) с учетом (4.32) приводится к алгебраической системе уравнений поправок

К, = В*.,*'00^ + С^уУм - £п>1-, (4.33)

оде числовые характеристики аномального гравитационного поля

Земли

С , - столбцово-вырожденная матрица, составленная из коэффициентов .

В & канонической форот (4.32), имеющая в силу линейной за-гисимости коэффициентов и о^ (см.замечание 4.2) столбцовый дефект . сЬ -- /V.

Для устранения некорректности задачи (4;33). обусловленной вырожденностью С. предлагается на всех точках ГР-сети измерять зна-

* *

зения смешанной аномалии силы тяжести АО, (это один из наиболее дешевых видов избирательной информации). Пусть

Я-7 = СРО > ^9-СРд),..., - 14.35)

результаты измерений А<^ . Тогда с учетом (4.35) а представления О/ .'^/система (4.33) примет вид

Из.реаения (4.36) ,напр2мер, .м.а.к. отыскиваются оценки«тДгео-метрическшс ОС и фззическах параметров. Модель (4.36) легко допускает естественное расширение на ту наиболее общую ситуацию, когда на точках сета ] Р. ¡- пскаго результатов наземных измерений имеются результаты спутниковых измерений ££ , полученные в ратаах орбитального гли общего динамического методов.. Расширенная система уравнений- поправок в последнем-случае имеет вид „

(4.37)

щ +в^. -и ].

Здесь¿Э0- поправки в оскулирупцве элементы орбиты, отнесенные к некоторому начальному моменту , А>{ - поправки к гармоническим коэффициентам-(4.38) геопотенциалйХ^,

, т&ъе)}*:*9, С-о, (4.38) ■

пржнятым пра. интегрщюванин уравнений возмущенного движения ИСЗ.

Наконец, обсуждаемый алгебраический подход переносится и на задачу

изучения фигуры и гравитационного поля Земли в референцной системе

координат /~(см.Рис.4.1). при условии, что известны элементы (З^^)

с

внешнего ориентирования. Б этом случае при линеаризации системы уравнений ошибок (4.14), т.е. при вычислении коэффициентов матриц В и С уравнений поправок (4.33), нужно пользоваться нормальным лотенциалом .

где ф)- потенциал притякй^я^Нормальной Земё$ потенциал

центробежной силы инерции.

В конце §6 рассмотрено приложение■обсуждаемого алгебраического подхода к определению в референцной системе координат и числовых характеристик аномального гравитационного поля пунктов сета (см. Пример 1.1). В качестве 1/"(Р)принят потенциал притяжения^^-Ш« Оценки ОС^референцных координат приведены в таблице-1.2. Ниже приведены оценки Цу чжсловых характеристик (1.19) аномального гравитационного поля. таблица 4.2

р> ^Ч . т.х Уф

-57,76 0,033 0,53 0,67 -0,52 0,44

Рд .+14,57 0,043 5.4 0,41 ' -10,8 0,35

V +44,27 0,046 ;8,2 0,52 -9,0 0,44

-22,96 0,041 5,6 0,50 -6,1 0,37

Ру -47;04 0,043 2,3 ' 0,57 -5,0 . 0,45

Ре +10,64 СГ,048 . 11,3 0,24 +0,14 0,25

+58,32 0,052" 8,1 0,42 -0,93 0,49.

Краткое содешаняе приложения Б В §1 состроен алгоргтц повышения.точности оценок (4.16)-(4.17) ме-

• тода ср.кв. коллокацаЕ на основанзаж.пржвлеченшг доступной дополни-.

и

тельной информации о гравгтафнном поле в ваде модели (4.38) гарко-

• нжческнх коэффициентов внешнего гравитационного потенпгада Земли V Этот алгоритм, базируп®г2|ся. на канонической фор^з' (4.32) фгзнческгх слагаемых^, 77 является обобщением на разнороднаа яв^ракдя (4.1)

давно известногу

(для величин чисто физического характера, например.

) пришила использования (4.38). Суть дела,здесь такова. Пусть

(4.38) известны. Возмущающий потенциал Т можно представить в виде

Т = "Т^ ■ + • (5.1)

где первое слагаемое .обусловленное гармониками со 2-ой по.Д^ , а

неизвестное второе слагаемое "Т^, принадлежит более узкому множеству

^осле подстановки правой части (5.1) в уравнения ошибок •

(4) .они цржмут вид -р—

Ь-Х +21 = 'д/в (5.2)

Правая часть С5.2) может быть вычислена с учетом (4.32) по известным

формулам и заданным коэффициентам (4.38). Алгоритму ср.кв. коллокации

г

(4.16)-(4.17) при решении (5.2) сохраняют свой вид,-только в них нужно заменить-на (см. (5.2)), а матрицы С , С г с вычислять не

по всей ковариационной функцииг\СС,2)возмущающего потенциала

а по .её части представительствующей за слагаемое .

В таблице 5.1 для различных приведено усредненное по {Р- \*отно-шение ср.кв. ошибок оценок геоцентрических координат точек р^ сети ^Гшь'Ьо£.(си. Пример 1.1)-, определенных методом ср.кв. коллокацта, с использованием (Н^) и без использования (./71-) гармонических коэффициентов (4.38).

• Таблица 5.1

а;

50

"0753"

. 200

ТТ^Г

500

■0735"

1000

ТГ^Г

2000

"ПТГГ

оо

"0705"

ТШ)

\ т. /с

£

В ,52 описаны два варианта (А077/2 и /лОТМ£+СЯ&) алгоритма вычисления гравиметрических уклонений отвеса вариационным методом регуляризации, опубликованного в монографии [Яейман Ю.М. Вариационный метод физической геодезии. Недра, М., 1979, §22Мой вклад в этот алгоритм состоит в разработке методики (5.6) выбора параметра регуляризации. Варааят/ ОГЯЗ+СЭ^является итогом совместной работы с Л.О.Бабдшсо. Суть дела тажойа. На физической поверхностиЗемли (см.Рис.5.1)

Рис. 5.1

Рис.5.2

в известных точках (р. "^заданы с точностыэ/71. значения смешанной анома-

а Я

лии силы тяжести и нормальные высоты • Кроме того, счита-

ются известными гармонические коэффициенты (4.38) некоторой модели геопотенциала (кЛОТ^Й+СЭЗ^ принята модель ОвП -81 ЛоЛ£= 50). Требуется в заданной точке А (см.Рис.5.1) вычислить вектор 1Г(А) гравиметрического уклонения отвеса. В варианте^07/У2 алгоритма, ориентированном на регулярную сетку{^^.^.векторЩ/^н'аходится в виде суммы:

^ =(?$) %£щсл) , К,о,!,г,ЗА. ™

При вычислении слагаемого!^ 'обусловленного гармониками с номерами 2 , используются регуляризированные по Нейману-Моржцу гармонические коэффициенты о^ Остальные слагаемые 2Г("^отыскиваются в итоге ми-

нимизации сглаживающего функционала ЯР. ('"Л А.Н.Тихонова по формулам , . _ „

Параметр регуляризации с*С Л определяется согласно правилу

Г. 3 > _

3 "''аГ_при у ?, лг >у

- „ - , (5.6)

вытекающему из теории метода регуляризации. Здесь 2). - дисперсия представительства (значения .радиусы зон учата информации ДС^.

и спектральный /V- состав слагаемых Щ(А) приведены в таблице 5.2).

■ Таблица 5.2

> 0 I 2 3 4

2-50 51-157 158-494 495-1624 1695 - Оо

км) Дальние зоны 174 58 19.3 6.5

А(мгал) — 1254 914 545 219

гаемое 1Г$)(см.(5.4)) вычисляется по результатам непосредственных

измерений аномалии силы тяжести в редукции Фая ДС|р?)3 уз^^Ссм.Рис.б.З) по кубатурному аналогу формулы л , * ^_>5

т«- &

4- Ц,гЬ-

Заменят е 5.1 Формулы (5.7)-(5,8) (смысл величин &,(!>) и

см. на Рис.4.3) представляют собой модификацию известного алгоритма вычисления уклонений отвеса ЦНИИГАиК, получившего наибольшее распространение в СССР и занимающего по точности промежуточное положение между нулевым и первач приближениям^ теории Молоденского е плоской аппроксимации [пеллянен Л.П. О вычислении уклонений отвеса и высот квазйгео-ида в горах. Труды ЦНИИГАиК, М..вып.176, 1974] .Модификация (5.7)-(5.8), где функция^ С Р)прияудигельяо обеспечивает в каждой точке равенство

\о\Гп- поправка за рельеф, вычисленная при плотности масс )

1 а

полностью соответствует по точности первому приближению теории Молоденского в плоской аппроксимации. Подчеркнем, что в алгоритме ЦНИИГАиК , функцияв (5.8) полагается.тождественно равной константе^ (обыч-

но& = 2,67^.).

Изложенный алгоритм испытан (см. таблицу 5,3) при вычислении

уклонений отвеса по материалам с известного полигона "(США,штат Нью-Мексико).положенным в основу международного эксперимента, проведенного в 1981-85гг. В таблице 5.3 содержатся истинные ) и

, ср.кв". (/72,,, Ш„ М.=}тт) ошибки значений Ц~(А;), вычисленных в 15 • ■3' Р' гг' 5 > «•/ ■ .

астропунктах алгоритмом и оТНё+СЗЬ Э^ и 4-кя лучшими зарубежными алгоритмами в рамках упомянутого выше международного эксперимента

Соп-Ж.чх-

&®п о4 -Ь&ЯлЦиеь ±о pro.dic.ii ггегпса.8

ТГС$,Е Яерог±$, .А/амвег Заой? сШЛьЬоп. Зиг8&и1лд еплигв^Пна Мац., .ХЯе иьЪтегбЩ о{ СаЛ&гу, * * ^ *

ктощчшГРТ, С1МТ> ЯзЯ/Тг ТЕТС имеют модификации (они помечены буквой Н) .лоззолящие вести вычисления с использованием детальной информации о высотах в радиусе 50-70 км от исследуемой точки А.(Б алгоритме АСЯЫ^ОИЭдетальная информация о высотах используется при вычисле- . А ■

низ поправок о С-) в радиусе4^ 46км от исследуемой точки А).

Ta&nma 5.3

AjrropuTMH

L0m+C2§

w

0,0 I|4 0.1 -1.7 1.6 0,5 -0,2 0.5 -1.0 -I.I 0,0 0,8 1,4 0,6 -1.9 I.I

FFT

CI/VT

0,4 0.4

0,7

-0,1

-0,8

0.2

-0,5

•I.I -1,0 -0,3 -0,2 1,5 3,4 0,6 2.4

1.3

3

"531

0)3 -2.7 -1,4 0,2 -0,2 -0,2 0,3 -0,8 I.I -0,5 ■ I.I 7.6 -1.4 ■0,2

zX

A?

Aï

A p"

—3 »£ -O.Ê 4,E 2,7 0,6 0,3 0,0 0,1 0,1

4.1 0,7

-2,6

4.2 4,6 2,6

-0,7 -0,1

-0,7

-0,5

0,5

0,2

0,0

-0,2

-0,8

0,5

0,1

0,4

6,5

-1,4

-0,5

ÏX

RI//T

AÍ'

-4,3 -0,2 2,7 1.5 -0,7 -0,3 -0,4 0,2 I.Q-

3,5 0,0 -I.I s,3

3,5 2,4

2,4

-1.6 -0,2

-0,8

-1.3

0,1

-0,1

-0,1

-0,1

-1,2

-0,8

-0,7

0,4

1,2

-1,8

-2.2

1,0

TE TC

FFTOO

Al

-3,2 1.5 3,7 3,3 -1,0 1.7

1.7 0,3 0.4

1.8 1.8

-1,0 4,7

3.3

1.4 2,4

A?

AÍ'

A?

CTATTCH) AÎÙ?

RI/WffflTE ¿22'

-0,8 -0,5

-0,4

-0,5

-0,2

0,3

0,1

-0,1

-1,0

-0,4

-0,2

0,7

5,3

-0,4

0,3

TÊT

3,5 0.9

3,3

2,1

0,9

1,0

1,0

0,0

0,7

1.3

0.9

-1.7

3.0 2,8

1.1 1.9

0,4 0,1

■I, -I. -M -0,2 -0,3 0,3 -0,8 0,9

0.4

1.?

1,4 ££

0,9

8

■1,6 -0|3

2,C

I.I

0,5 0,4 0,3 I.I 0.8 3,0 0,0 0,3 -2,0 0,5 1.0 1,3

-0;2 -0,2

-0,4 -0,6 +0,2 0,0 -0,2 -0,2 -0,7 0,3 -0,2 -0,1 0,9 1,6 1.0 0,6

-3.0 0,4

I.I 0.7 0,2 0,5 0,5 0,4. 1,0 3,4 0,1 1,1 -1,3 -0,7 0.4 1,4

-0,3 0.Í

O.s

-0.1

0,3

0,2

0,1

-1.4 -0,5

0,0 -0,2 1.4 0,4

bo.i 0,6

2.3

1.1 2,0 1,9 1,1

1.4

1.5

1.2 0,7 2,3 1,3 0,6 0,8 I.I 0,8

ÏJ

1.6

3,5

3,0

2,6

2,4

1.6

1.5

'1.6

Сопоставление ср.кв. ошибок 1Пупозволяет утверждать, что алгоритм вполне конкурентоспособен по точности и экономичности. В последнем,§. приложения Б ,в контексте с решением■задачи по корректировке результатов съемок морскими гравиметрами, построены несколько новых алгоритмов усреднения геофизических полей (алгоритмов вычисления величины Э . определенной в (4.23)), а также продвинута теория точностных расчетов в популярном простейшем алгоритме

(5.Ю)

Здесь отмечу лишь один новый алгоритм - это модифицированный алгоритм ср.кв. коллокации (4.26), обладающий свойством оптимальности среди всех линейных алгорнтмов оценивания 3 (см. Пример 4.1). Теперь о приложении алгоритмов усреднения к задаче корректировки результатов съемки морски-ш гравиметрам. Пусть на район акватории, где расположена область ^ (см.Рис.5.1) и где производится гравиметрическая съемка, йдеется каталог (4.24) значений аномалия силы тяжестя (см. .например,' &а£тл-ПО &. "'Зигеап. агаУ"¡ли -Ыеше ХггЬегпа&опа£ Ьи^вИп-

^сть е- C5.ii)

- результаты съемка гравиметром,

где 5 - неизвестный дрейф его нуль-пункта. Тогда оценка велжчаны <5

иожет быть вычзедена по формуле

^ = - (5.12)

где ^ - усредненное алгоритмом (4.26) по областиX значение результатов измерений £. , Ь - усредненная алгоритмом (4.26) по области

Г

иелзчзяа каталожных значений (4.24).

Прзнер 5.1 Пусть согласно упомянутому выше каталогу поле аномалии силы тяжестж имеет следующие параметры ковариационных функций сягнала и

пука. Д. • -2)/ = 24мгалАф Д = Збмгал* (5.13)

= 33км з = 25км Пус.ть ковариационная' функция результатов измерений (5.11) обладает параметрам* ~ 36мгал , (£.>- 0(шум^'. иекоррелароваи). Тогда прж сред-

& о /А "в

' нем расстояние ^ = 15 между точками ^ оценка о имеет (в зависнмос-

+1 от размеров ¿Г ) следующие ср.кв. ошябкя.

Таблица 5.3

Размеры 0.5° х 0.5° _й , -6 .. и 1x1 2°х 2° 3°х3в

3,7мгал 2.3мгал Х.1мг ал' 0,в5мгал

Основные положения диссертации, выносимые на защиту, перечислены в п.З данного автореферата. Её содержание опубликовано в следующих работах.

1. Тихонов А.Н. .Большаков В.Д. ,Бывшев Б.А. .Ильинский А.С. .Нейман Ю.М. О вариационном методе регуляризации при уравнивании свободных геодезических сетей. Изв.вузов.Геодезия и аэрофотосъемка, №3. 1978'•

2.Большаков В.Д. .Ьывшев В.А.-.,Нейман Ю.М. О решении плохо обусловленных' систем нормальных уравнений. Геодезия и. картография, МО, 1978.

3. Бывшев В.А. Об интерпретации результатов уравнивания свободных сетей. Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, №2, IS85.

4. Бывшев В.А. О множестве ^¡.-обратных матриц, приводящих к несмещенным эффективным оценкам параметров .свободных геодезкческих сетей. Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, №6, 1683,"

5. Бывшев-В.А..Горелов В.А.Соловьев А.Н.Данамврян А.Е. Сравнительный анализ результатов -уравнивания плановых свободных сетей кольцевой формы •ускорителей различными методами. 'Вопросы атомной наука и техники. Серия: Проектирование и строительство, 1(8), 1981.

6. Бывшев В.А. О алгебраической структуре множества матрац, £ -обратных к симметричной матрице, в задаче уравнивания со методу наименьших квадратов свободных геодезических сетей. Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, U, 1983.

7. Бывшев В.А. ,Палеев\В.Ш. Делегатов М.А. Об одной задаче прикладной геодезии, сводящейся к уравниванию свободной с«ти. Изв.вузов. Геодезия ж аэрофотосъемка, Л6, 1985.

8. Бывшев В.А. Оценивание внутренних деформаций обширных геодезическая сетей, обладающих центральной симметрией. М., Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, №6, 1980.

9. Большаков В.Д. .Бывшев B.À..,Нейман Ю.Ы. Об использовании регуляризации' при уравнивании геодезических сетей. Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, ЖЕ, I98S?. . _

10. Бывшев, В.А. и др.-К обоснованию использования в геодезии вариационного метода регуляризации. Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка,ЖЗ,1987.

11. Бывшев В.А. и др. К методике выбора параметра регуляризации при уравнивание геодезических сетей регуляризированным методом нажмгныззх квадратов. Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, JH, 1987..

12. Бывшев В.А.и др. 0 некоторых алгоржтмах регуляргзарованяого метода наименьшая квадратов в задачах ТМОГИ. Изв.вузов. Геодезия к аэрофотосъемка, Ji6, 1987.

13. Еывшев В.А. К методике выбора параметра регуляризации в задачах ТМОГИ, Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, Л 2, 1989.

14. Бывшев В.А. Об эффективности оценок внутренних деформаций сетей специального назначения. В сб."Математическая обработка геодезических измерений", М., МШГАиК, 1985.

15. Бывшев В.А. Точностные расчеты при оценивании внутренних деформаций обширных сетей специального назначения, обладающих центральной симметрией. Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, Й5, 1983.

16. Недлинен Л.П.,Нейман Ю.М.,Бывшев В.А. О функциональных свойствах операторов Стокса и Венинг-Мейнеса. Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, Ш, 1983.

17. ¿.Р.^ешг1с1п.У.М.,Ьии^Я&1Г К/1. Оп. Рилс-

~ л---'У- х^^^у- /гсигаиияп-. игш/егзити

Салагу.. Сагда.^МеН^,СапЫа, Шз.

18. Бывшев В.А. Уточнение теории и алгоритмов средней квадратдческой коллокации. Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъёмка, 06, 1989. .

19. Бывшев В.А.,Чунг Б.К. К методике линеаризации геодезических функционалов. Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, М, 1986.

20. Бывшев В.А.,Чунг Б.К. Об использовании априорной "гравиметрической информации в методе ср.кв. коллокации с параметрами. Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, .№2, 1987.

21. Бывшев В.А..Лебедев 0.В..Нейман Ю.М. а др. Методика вычисления уклонений отвеса и аномалии высоты вариационным методом регуляризации. Оценивание точности линейной интерполяции уклонений отвеса. Отчет по теме. 590-х. М., МИИГАиК, 1985, УЖ 528.24:528.22.

22. Нейман Ю.М.,Бывшев В.А..Бабешко Л.О. О вычислении гравиметрических уклонений отвеса в горной местности с точностью первого приближения теории Молоденского в плоской аппроксимации. Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, .К2, 1983.

23. Бывшев В.А. Алгоритмы усреднения геофизических полей и их приложении к задаче определения смещения нуль-пункта гравиметра. Отчет по договору о сотрудничестве между МИИГАиК и предприятием "Азимут", М., ШИГАиК, 1988.

24. Бывшев В.А..Васютинский И.Ю..Козлов Л.А. Методика.оптимального проектирования опорно-монтааной сети линейного ускорителя. Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, Х4, 1988.