автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Принцип невязки и его применение к численному моделированию некоторых обратных задач математической физики

На правах рукописи

□03055В41

Япарова Наталья Михайловна

ПРИНЦИП НЕВЯЗКИ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К ЧИСЛЕННОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ НЕКОТОРЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

05 13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Челябинск - 2007

003055641

Работа выполнена на кафедре математического анализа Южно-Уральского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Танана Виталий Павлович

Официальные оппопеты:

доктор физико-математических наук, профессор Менихес Леонид Давидович доктор физико-математических наук, профессор Павленко Вячеслав Николаевич

Ведущая организация: Государственный ракетный центр

"КБ им акад В.П. Макеева".

Защита диссертации состоится &?2007г. в .. ¿3 ч. на заседании диссертационного совета Д 212.296 02 по присуждению ученой степени доктора физико-математических наук при Челябинском государственном университете по адресу. 454021, г. Челябинск, ул Бр. Кашири-ных, 129, конференц-зал

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Челябинского государственного университета

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор

Актуальность работы. Многие задачи математической физики, геофизики, физики твердого тела и других разделов естествознания, возникающие в практических приложениях, сводятся к операторным уравнениям первого рода, не удовлетворяющим условиям корректности по Адамару Эти задачи получили название некорректных и традиционные методы оказались неприемлимыми для их решения, поэтому возникла необходимость в разработке специальных методов решения

Основы теории методов решения некорректных задач были заложены в работах академиков А Н Тихонова, М М Лаврентьева и член - корреспондента РАН В К Иванова Дальнейшее ее развитие связано с трудами этих выдающихся математиков , а также с работами их учеников и последователей А Л Агеева, В Я Арсенина, А Б Бакушинского, А Л Бухгейма, Г.М Вайникко, В В Васина, В А Винокурова, А В Гончарского, А Р Данилина, А.М Денисова, А С Леонова, О А Лисковца, И В Мельниковой, Л Д Менихеса, В А Морозова, В Н Страхова, В П Танаиы, А М Федотова, Г В Хромовой, А Г Яголы и многих других математиков

Из-за того, что в последнее время значительно расширился круг задач, требующих высокой точности решений, возникла необходимость в разработке более точных методов и получении оценок их погрешности

Наиболее значимые результаты в этом направлении были получены в работах А Л. Агеева, А Б Бакушинского, Г М Вайникко, В В Васина, А.Р, Данилина, В К Иванова, Т И Королюк, В Н Страхова, В П Тананы, Г В Хромовой, А Г Яголы и многих других математиков

Цель работы. Получение оценок погрешности модифицированного метода невязки нулевого порядка на логарифмическом классе корректности

Построение метода проекционной регуляризации с выбором параметра регуляризации из принципа невязки и получение оценок погрешности для этого метода на произвольном классе корректности

Исследование построенных методов на оптимальность

Общая методика исследования. В работе используются методы теории некорректно поставленных задач и функционального анализа

Научная новизна работы. Впервые получены точные по порядку оценки погрешности модифицированного метода невязки нулевого порядка на логарифмическом классе корректности Доказана оптимальность по порядку этого метода на соответствующем классе корректности

Построен метод проекционной регуляризации с выбором параметра регуляризации из принципа невязки Для этого метода получены точные по порядку оценки погрешности на произвольном классе корректности Мг, определяемом непрерывной и строго возрастающей функцией G(cr) такой, что (3(0) = 0. Доказана оптимальность по порядку этого метода на классе корректности Мт

Найдены точные по порядку оценки погрешности приближенного решения обратной задачи физики твердого тела, полученного этим методом

Практическая и теоретическая ценность работы. Результаты диссертации могут быть использованы для дальнейшего развития теории некорректных задач Построенный в работе метод проекционной регуляризации может быть использован специалистами по вычислительной математике при разработке численных алгоритмов решения неустойчивых операторных уравнений, а также при выборе наиболее подходящих методов решения широкого круга прикладных задач

Апробация работы. Основные результаты, полученные в работе докладывались и обсуждались на семинаре кафедры математического анализа (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Ме-нихес JI Д) на семинаре кафедры вычислительной математики (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Танана В П ) и на семинаре по некорректным задачам Института Математики и Механики УрО РАН (руководитель - член-корреспондент РАН Васин В В), на VIII Международной конференции "Обратные и некорректные задачи" (Москва, МГУ, 2003г), Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, ИММ УрО РАН, 2004 г), на Международной конференции 'Тихонов и современная математика" (Москва, МГУ, 2006г), Всероссийской конференции "Математика Механика. Ин-

ФР^..(tlnnr.«;»™™- UonFV onnfinl

UpMUl Ш\и у LWi/lUUtfOlVj J. v^w > J- U , ¿Uuu" Jj

Публикации.По теме диссертации опубликовано 8 работ, в том числе

4 статьи и 4 тезиса докладов

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав и библиографии, насчитывающей 119 наименований Работа изложена на 135 страницах машинописного текста.

Содержание диссертации.

Введение содержит обзор основных публикаций и монографий, посвященных некорректным задачам и методам их решения. В этом разделе обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и основные результаты исследований, показана научная новизна и дана общая характеристика работы

В работе рассматривается операторное уравнение первого рода

Аи = /, UEU, fe Y, (1)

где U и Y - гильбертовы пространства, A U —»■ Y - инъективный, линейный, ограниченный оператор, а оператор Ai определен соотношениями Ai = А*А, спектр Sp(Ai) = [О, ||Л||2]

Предполагается, что при / = /о существует точное решение ко, принадлежащее множеству Мт = BSr, где Sr = {v. v е V, ||v|| < г},

V- гильбертово пространство, а В . V ->■ [/-линейный, ограниченный оператор и для оператора Bi = В*В выполнено

в\>2 = G(A}/2), (2)

функция G(cr) - непрерывная, строго возрастающая на [О, ||Л||] и G(0) — О Множество Mr = BSr будет классом корректности для исходной задачи Известны приближения правой части 6 Y и уровень ее погрешности

5 > 0 такие, что ||Д - /0|| < 8

Требуется построить приближенное решение щ уравнения (1) и оценить

длл 1 fi/ nAtiúuifn /~чт> гглицлил плтлтгггп Cí W J> IWXVUWllii^/ U í. X\J liiv>x V рошч ilti7t

Первая глава В этом разделе дано понятие метода решения условно-корректной задачи и определена количественная характеристика его точности на соответствующем классе

Определение 1. Семейство операторов {Т& : 0 < <5 < $о} будем называть методом приближенного решения уравнения (1) на множестве М, если 6 (О, ¿о] оператор Т& У —> и непрерывен и

-> и0 при 6 О равномерно на множестве М при условии, что — Аио|| < 5 Определение 2. Функцию Д(7{), <5 € (0, ¿о] назовем оценкой погрешности метода {% . О < 5 < ¿о} на множестве М, если \/5 € (0, ¿о]

Д(Г,) = вир( 11« - ЗД и ем, II Аи - /,|| < Л (3)

Рассмотрим модуль непрерывности обратного оператора Ы\(т, М), который определен формулой 1

о>1 (т,М) = Бир\ ||«1 - иг|| «1, иг € М, — Ли2|| < г «1,«2 I

Определение 3. Метод 0 < 6 < ¿о} будем называть оптимальным по порядку на множестве М, если 3к такое, что \/5 € (0, ¿о]

Д(Т/) <ки>1(26,М)

Вторая глава посвящена построению и исследованию модифицированного метода невязки нулевого порядка Для этого метода получена точная по порядку оценка погрешности и доказана его оптимальность по порядку на логарифмических классах корректности

Пусть и = У — V = Н, где Н - гильбертово пространство Модифицированный метод невязки нулевого порядка 2 заключается в сведении задачи приближенного решения уравнения (1) к вариационной задаче

шШ«|МИ«-ЛН<3^}. (4)

иен

1 Иванов В К , Королкж Т И <06 оценке по! решности при решении некорректных задач» //Журп вычисл матем и матем физ, 1969, т 9, № 1, с 30-41

~В К Иванов «О приближенном решении операторных уравнений первого рода* // ЖВМиМФ, 1966 г 6 г !0!М

При любом fseH эта задача имеет единственное решение 3 щ такое, что при условии H/íll > 3л/5

ttí = <w = (A1 + o^r1A7í, (5)

где параметр регуляризации a(á) - удовлетворяет уравнению ¡HC^i + aE)~lA*fs — /г|| = 3\/¿,

а при ||/4|| < 3V&

Щ = 0 (6)

Далее метод, который ставит в соответствие исходным данным (fs,S) ре-пгение щ заданное формулами (5,6) определим следующим образом

f Г ufS) при Ш>3^, Ш \ о при ||/4|| <3^5 U

Если В\П = Gq[A^\ где q > 0 и а > тах(1, ||Л||), а

Gq{a) при ¿->+0 (8)

то соответствующий класс корректности Mr = BST будем называть логарифмическим классом

Пусть Мг - логарифмический класс корректности, а о;9(г, г)-модуль непрерывности обратного оператора в нуле на этом классе определен формулой

о>9(т, г) = sup|||u|| и 6 Мг, ||Au|| < т j, тогда существуют положительные числа ¿з и /4 такие, что

13 г ЬГ* ^ j < ш9(т, г) < ¿4 • Г ln-« {^J j. (9)

Теорема 1. Пусть ||/¿|| > 3\Д, щ G Мг, ащ — T¿f¡ Тогда существует число с > 0 такое, что

||«í - «о|| < сшч{5,г)

3В В Васин «О связи некоторых вариационных методов приближенного решения некорректных

----------ЩТПт-Т-О .ОПЕ ПМ

¡ ¡ оаисл ,itf j i ,d ü, льw-ti i 4.

На основании этой теоремы была доказана

__>4.

Теорема 2. Метод Та оптимален по порядку т классе Мг

Третья глава посвящена построению и исследованию метода проекционной регуляризации для несамосопряжеяных операторов с параметром регуляризации, выбранным из принципа невязки В результате был получен нелинейный вариант метода проекционной регуляризации 4

Пусть Я-гильбертово пространство В качестве регуляризующего семейства возьмем семейство операторов {Ра • 0 < а < ||Л||} , где 1ИП

Ра/ - I <Г*&Е.А*и / € Я, 0 < а < |[А||, (10)

а

а {Еа а € [0, ЦАЦ]} - спектральное разложение единицы Е, порожденное оператором А1/1

Элемент иопределим формулой

«? = РаЛ (П)

Для выбора параметра регуляризации а по исходным данным (/¿,5) используем уравнение

и«? - ли2 = ад2^, (12)

в котором и" задан формулой (11)

Лемма 1. Если Ц/^Ц > 3||АЦ5, то существует значение а, удовлетворяющее уравнению (12)

Приближенное решения щ уравнения (1) определим формулой

( Рай при \Ш\>ЩА\\5, щ — = < (13)

I 0 при Ш| < ЗЦАР,

4 Линейный вариант этого метода был предложен в работе В К Иванова "О применении метода Пикара к решению интегральных уравнений первого рода" // Bui Inst/ Politehc Iasi, 1968, v 14, № 3/4,p 71-78

В работе В П Тананы и А Р Данилина "Об оптимальности регуляризугощих алгоритмов при решении некорректных задач" //Дифференц уравн , 1976, т 7, с 1323-1326

была доказана оптимальность по порядку и получена точная оценка погрешности линейного варианта

где параметр а является одним из решений уравнения (12) Имеет место следующая теорема

Теорема 3. Оператор определяемый формулой (13), непрерывен на пространстве Н

Предположим, что оператор В определен формулой (2), а класс корректности Мг = ВЯг Тогда справедливы следующие теоремы

Теорема 4. Если щ е МТ, а ||/г|| > 3||Л||5, то

\т6-щ\\<3\\А\\сл(25,Мг)

Теорема 5. Метод {Тд 0 < 5 < ¿о} оптимален по порядку па классе решений МТ

Четвертая глава. Метод проекционной регуляризации был использован для решения обратной задачи физики твердого тела восстановления энергетического спектра кристаллов по теплоемкости 5 и для этой задачи была получена точная по порядку оценка погрешности приближенного решения

Связь энергетического спектра кристалла с его теплоемкостью описывается интегральным уравнением первого рода

оо

/KDs-wf-

(14)

где S(x) = С (в) - теплоемкость системы, в — kT, Т -

абсолютная температура, а к - константа, определяемая системой, п(е) -спектральная плотность, удовлетворяющая условию

00 2 °°

J & + J[пЬ(е)]аг de < г2 (15)

о о

' Лифшнц И M "Об определении энергетического спектра бозе-системы по ее теплоемкости" // ЖЭТФ, 1954, т 26 У1 Г;,'' 551-556

Если С (в)/в и п(е) € ¿2 [0, оо), то уравнение (14) становится некорректной задачей Вместо Со(в) известны приближения С^(в) и уровень погрешности 8 > 0 такие, что

Сделав замену переменных в уравнении (14) е = е^ и в = ет получим

сю

А<Р= I к{т-£)<р{€№ = Пт), (16)

-00

вместо /(т) извесгны приближения /¿(г) и уровень погрешности 6 > О такие, что

\\1(т)-Мт)\\<5,

где Ш\ > 3\\А\\6

Требуется по исходным данным задачи /¿и 5 построить приближенное решение (р(£) уравнения (16) и оценить его уклонение от точного решения Полагая, что / и <р е ¿г(—оо, оо), применим к уравнению (16) преобразование Фурье Тогда

АФ = ^ЪгК(р)Ф(р) = ^(р), (17)

где Ф(р) - фурье-образ решения, ^(р)- фурье-образ функции /(г)

Для реализации метода проекционной регуляризации определим функцию Ра[р,2(6)], следующим образом

Р г -/ХМ / при -

0, при \р\ > а{6)

Параметр а(<$) удовлетворяет уравнению -«((5) +оо

I |ВД|2С*Р+ У |^(р)|2ф = 9||А||2г2

-оо 5(<5)

Приближенное решение <рб(£) определим формулой

оо

= / ¡КМ^ЪЬаМ&Лр

Для этого решения получеша точная но порядку оценка

IN ™ <Л)|| < Пи

I — consl.

Из теорем 4 и 5 следует оптимальность по порядку примененного метода проекционной регуляризации на соответствующем классе корректности.

На основании результатов, полученных во второй и третьей главе, для задачи (14) был создан программный комплекс и для модельных примеров были построены численные решения обратной задачи восстановления фононных спектров (рис 1,2).

Рис. 1: modo! - точное решение, 1)-арргох- решете, полученное методом регуляризации 0-го порядка, 1-арргох - методом регуляризации 1-го порядка ;(ля функции

2ñ * s2, cí; л и 0 < я < 0.2,

если 0.2 < s < 0.3,

*М -

4 * s - 0,0, если 0.3 < s < 0.45,

4.92 - 0 * л1", если 0.45 < s < 0.6,

15 * s - 8.73, если 0.6 < s < Q.7,

10 * е"'2 - 12.45, если 0.7 < s < 0.8,

4.23 - 2.2 * s, если 0.8 < é < 19,

Р- S

22.5 * г---, если 0,9 < s < 1,,

Ь — а '

Рис. 2: ггшсЫ - точное ШШение, 0-арргс«- решсняе, Полученное методом регуляриз&щт 0-го порядка, 1 -с1]>ргох - методом регулярнаяции ]-ги порядка дия функции

25 * если 0 < Й < 0.2,

J 1 + (100 * (к2 - 0.6 * % + 0.08)) * если 0.2 < « < 0.5,

1 + (100 * (а* ■ 1.4 ».¿ЙН 0.48)) *е*~1, если 0.5 < «< 0.8,

25 * (] - з)2, егли 0.8 < я < 1.,

Пятая глава посвящена применению метода проекционной регуляризации с выбо]юм параметра регуляризации и:? принципа невязки для численного моделирования обра тной задачи тепловой диагностики двигателей и обратной задачи непрерывней разливки стали.

Эти задаче сводятся к решению следующей задачи

- хе\оц о о

т ~ дх* ■ И2и'

ЦЙ0) = о; же [0,1] «(0,£) =0, ¿>0,

<(0,0-/(0, (19)

где граничное значение ^ = Д-1-— - ^ 0 подлежит определению.

Полагая, что $$ и и{{) € ^[0, оо), применим к уравнению (19) преобразование Фурье Тогда

сР л

г\и(х, А) = и(х, А), х £ [0,1], А е (-оо, +оо),

и(0, А) = 0, А е (-оо, + оо),

%((), А) = /¿(А), А е (-оо; +оо), (20)

где А)-фурье-образ решения, а /¿(А)-фур ье-образ функции /¿(¿)

Используя метод проекционной регуляризации, исходные данные задачи /г (А) преобразуем в функцию

/,(л,ад) = />'<Л>' """ 1л|5а<{>'

\ 0, при |Л| >«(<),

где параметр регуляризации а(5) удовлетворяет уравнению -5(6) +оо

I |/г(А)|2ЙА + I |/5(А)|2<*А - 952 (21)

-ОО а(<5)

а фурье - образ регуляризованного решения щ{1, А) определим формулой щ(1, А) = /¿(А, ад), А € (-00, +00), (22)

/ХОУЛ

где Мо = 75(1 + *)

На основании результатов, полученных в пятой главе, была разработана программа, позволяющая находить регуляризованное решение уравнения (19) по приближенно заданной функции /(£) = и'х(0,£)

В качестве тестирующих программ были решены обратные задачи для некоторых модельных функций

Решение, полученное для модельной функции ы(£) = 1* (е-г — е-1) изображено на рисунке 3, а для модельной функции и( 1, г) = йгп(Зтгё) * е~ь - на рисунке 4

Рис. пвдЙЙ - точное решение, щ- приближенное решение для граничной функции & и(р-1- г"1}.

Рйе. 4: тр<1с] - точное решение и^ нрибмижепное решение для граничной функции

Основные результаты.

• Построен модифицированный метод невязки нулевою порядка. Получена точная по порядку оценка его погрешности и доказана оптимальность но порядку атого метода на логарифмических классах корректности.

• Построен нелинейный вариант метода проекционной регуляризации, НаЙД^Ча '>*»чняя по гтрядку оценка погрешности для этого метода и

доказана его оптимальность по порядку при общих предположениях о классе корректности

• Для обратной задачи физики твердого тела получена точная по порядку оценка модуля непрерывности обратного оператора на классе кусочно - гладких функций

Основные публикации.

1 Танана В П Япарова Н М Об оптимальности конечномерных аппроксимаций регуляризованных решений // Изв ЧНЦ, 2003, в 1, с 1-5

2 Танана В П , Япарова Н М Об оптимальности метода невязки на некоторых классах равномерной регуляризации // Вест ЮУрГУ, 2003, №6, с 38-44

3 Танана В П , Япарова Н М Об оптимальности метода невязки // Вест.ЧелГУ, 2003, сер 3, №1, с 174-188

4 Танана В П., Япарова Н М Об оптимальном по порядку методе решения условно-корректных задач // Сиб журн вычисл матем , 2006, т9, №4, с 353-368

5 Танана В П., Япарова Н М Об оптимальности метода невязки //VIII конференция " Обратные и некорректно поставленные задачи" Тезисы докл - Москва, МГУ, 2003

6 Танана В П , Япарова Н М Об оптимальности методов регуляризации нулевого порядка // Всероссийской науч конф" Алгоритмический анализ некорректных задач " Тезисы докл - Екатеринбург, УрГУ, 2004

7 Танана В П , Япарова Н М Об оптимальности по порядку метода решения условно-коррекгных задач // В кн Тихонов и современная математика Обратные и некорректно поставленные задачи Тезисы докл междун конф - Москва, МГУ, 2006

8 Япарова Н М Об оценке оптимальных по порядку методов решения условно-корректных задач. // Всероссийской конфМатематика Механика Информатика " Тезисы докл - Челябинск, ЧелГУ, 2006.

Подписано в печать 15 03 07 Формат 60x90 1/16 Услпечл 1 Бумага офсетная

Тираж 100 экз Заказ № 367 Отпечатано в типографии Издательства ЮУрГУ, 454080, г Челябинск, пр Ленина, 76

Введение

Глава 1. Основные понятия теории условно - корректных задач

1.1 Постановка задачи.

1.2. Основные понятия.

1.3. Строение классов корректности для линейных операторных уравнений

1.4. Понятие оптимальности и оптимальности по порядку для методов решения условно -корректных задач.

1.5. Класс корректности для линейных операторных уравнений

Глава 2. Исследование методов регуляризации Тихонова при различных подходах к выбору параметра регуляризации.

Метод невязки.

2.1 Метод регуляризации Тихонова нулевого порядка.

2.2 Исследование точности метода регуляризации Тихонова нулевого порядка на различных классах корректности.

2.3 Общий метод регуляризации Тихонова

2.4 Построение модифицированного метода невязки.

2.6 Оценка погрешности модифицированного метода невязки

Глава 3. Метод проекционной регуляризации с выбором параметра по принципу невязки.

3.1 Построение и свойства регуляризующего семейства операторов

3.2 Оценка погрешности метода проекционной регуляризации

Глава 4. Обратная задача восстановления энергетического спектра бозе-системы по ее теплоемкости.

4.1 Постановка задачи о восстановлении фононных спектров

4.2 Исследование асимптотического поведения функции ядра

4.3 Строение класса корректности для задачи восстановления фононных спектров

4.4 Оценка погрешности приближенного решения

4.5 Применение принципа невязки при восстановлении энергетического спектра бозе-системы по ее теплоемкости

4.6 Конечномерная аппроксимация для задачи восстановления фононного спектра.

4.7 Численная реализация задачи восстановления фононного спектра.

Глава 5. Численное моделирование обратных граничных задач тепломассообмена

5.1 Обратная задача тепловой диагностики ракетных двигателей

5.2 Обратная задача непрерывной разливки стали.

5.3 Численное решение обобщенной обратной задачи методом проекционной регуляризации.

Многие задачи математической физики, возникающие в практических приложениях, не являются корректно поставленными по Адамару [ИЗ], [114], то есть не удовлетворяют условиям корректности: существования, единственности решения и непрерывной зависимости полученных решений от исходных данных. Следствием этого является то, что традиционные численные методы оказываются неприемлимыми для решения подобного класса задач. Такие задачи получили название некорректно поставленных.

Впервые практическая ценность таких задач была замечена А.Н. Тихоновым в работе [98]. Кроме того, в данной работе была отмечена важность правильной постановки некорректных задач как для их дальнейшего исследования, так и для их решения, требующего создания новых методов.

Основы теории некорректных задач были заложены в трудах А.Н. Тихонова [99]-[102], М.М. Лаврентьева [55]-[58] , В.К. Иванова [37]-[44]. Дальнейшее развитие теории некорректно поставленных задач связано с работами этих выдающихся математиков , а также с работами их учеников и последователей: В.Я. Арсенина, A.J1. Агеева, А.Б. Бакушинского, A.JI. Бухгейма, Г.М. Вайникко, Ф.П. Васильева, В.В. Васина, В.А. Винокурова, Ю.Л. Гапоненко, А.В. Гончарского, В.Б. Гласко, A.M. Денисова, В.И. Дмитриева, А.С. Ильинского, А.С. Леонова, О.А. Лис-ковца, И.В. Мельниковой, Л.Д. Менихеса, В.А. Морозова, А.И. Прилепко, В.Г. Романова, В.Н. Страхова, С.Б. Стечкина, В.П. Тананы, A.M. Федотова, Г.В. Хромовой, А.В. Чечкина, А.Г. Яголы и многих других математиков [1]-[33], [Зб]-[49], [51j-[59j, [61]-[63], [65j-[71j, [73], [78]-[104], [106]-[112], [115]-[119].

К настоящему времени теория некорректно поставленных задач выделилась в отдельную область математики. Результаты исследований в данной области имеют широкий круг приложений в современных естественных науках и технике.

Накопленный значительный теоретический и практический материал частично отражен в известных монографиях М.М. Лаврентьева [55],

A.Н. Тихонова и В.Я. Арсенина [101], В.К. Иванова, В.В. Васина и

B.П. Тананы [45], В.В. Васина и A.JI. Агеева [23], В.А. Морозова [70], М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова и С.П. Шишатского [57], В.К. Иванова, И.В. Мельниковой и А.И. Филинкова [48], О.А. Лисковца [63], В.П. Тананы, М.А. Реканта, С.И. Янченко [89], А.В. Бакушинского А.В. Гончарского [8], A.M. Федотова [106], А.Н. Тихонова, А.С. Леонова, А.Г. Яголы [104], а также в работах многих других математиков [1]-[34], [36]-[49], [51]-[63], [65]-[71], [73], [78]-[104], [106]-[119]. современной теории некорректно поставленных задач можно выделить три основных направления:

I. Исследование регуляризуемости задачи. В этой области решается проблема существования хотя бы одного регуляризующего семейства операторов.

В работе Винокурова [26] было замечено, что не для всех некорректных задач можно построить регуляризующие алгоритмы.

Например, уравнение

Au = f, Ae(U -> F) для линейного, инъективного, непрерывного оператора А, действующего из несепарабельного банахова пространства U в сепарабелыюе банахово пространство F будет нерегуляризуемым.

Общая проблематика этого направления связана с исследованиями В.А. Винокурова [26], [27], Л.Д. Менихеса [28] и др. математиков.

Параллельно с решением вопроса о принципиальной возможности решения конкретной задачи, то есть её регуляризуемости, встает вопрос о выборе метода решения, наиболее подходящего для данной задачи. Круг этих вопросов относится ко второму направлению теории некорректных задач.

И. Построение специальных методов решения для класса регуляри-зуемых задач. В основу этого направления было положено решение конкретных задач математической физики.

Основополагающие работы в этом направлении принадлежат А.Н. Тихонову [99] - [104], В.К. Иванову [37] - [45], М.М. Лаврентьеву [55] - [57]. В этих работах были сформулированы основные принципы регуляризации и предложены некоторые методы, исследование которых продолжается по настоящее время.

Одним из основных вопросов при построении метода регуляризации является вопрос о выборе параметра регуляризации. Решение этого вопроса В.К. Ивановым [40], В.А. Морозовым [68] и Philips D.L. [119] привело к созданию принципа невязки для метода регуляризации А.Н.

Тихонова. Применение этого принципа сыграло большую роль в развитии теории некорректных задач.

Бакушинский А.Б. в работе [4] предложил общий прием построения регуляризующих алгоритмов. Начиная с этой работы, в теории некорректных задач появилась некоторая неопределенность, заключающаяся в том, что для одной и той же задачи имелось несколько методов решения.

Это привело к тому, что дальнейшие исследования в теории некорректных задач были связаны с созданием количественных характеристик для оценки эффективности тех или иных методов. Подобные характеристики легли в основу сравнения методов решения.

В работе В.К. Иванова [41] появились исследования по равномерной регуляризации на некоторых классах решений, которые позволили получить оценки погрешности различных методов регуляризации. Это, дало возможность классифицировать имеющиеся методы и выделить среди них те, которые имеют наименьшую погрешность на некотором классе решений, то есть дать определение оптимальных, а также оптимальных по порядку методов.

Построению и исследованию оптимальных методов решения операторных уравнений первого рода в гильбертовых пространствах посвящены работы В.Н. Страхова [78], Melkman A., Micchelli С. [115], Г.М. Вайникко [9]- [И] , A.JI. Агеева [1] [2], В.П. Тананы [83] и других математиков.

Для операторов дифференцирования в банаховых пространствах построением и исследованием оптимальных методов решения занимались С.Б. Стечкин [79], В.В. Васин [16], [22], и другие.

Полученные результаты позволили покончить с неопределенностью в теории некорректных задач и привели к исследованиям, связанным с построением оптимальных и оптимальных по порядку методов, в которых приняли участие многие математики.

Практическая реализация основных методов невозможна без использования компьютерных технологий. С численной реализацией методов решения некорректных задач связано третье направление в рамках которого исследуются вопросы замены исходной задачи некоторым конечномерным аналогом.

III. Конечномерная аппроксимация регуляризующих алгоритмов.

При реализации основных методов решения некорректных задач таких, как метод регуляризации А.Н, Тихонова, метод М.М. Лаврентьева, метод квазирешений В.К. Иванова, метод невязки требуется замена исходной бесконечномерной задачи её конечномерным аналогом. При этом указанная замена не должна испортить сходимости регуляризованных решений к точному. Исследованию этого вопроса посвящено большое число работ, среди которых отметим [19]-[22],[21]-[22], [31]-[32], [45], [85], [87]-[88], [99]-[100], [115]-[116].

Настоящая работа принадлежит ко второму направлению. В ней исследованы на точность методы регуляризации, использующие принцип невязки и построены оптимальные по порядку методы. Эти методы были использованы при решении некоторых обратных задач математической физики [60].

Особое отличие построенных в работе методов от известных заключается в том, что они не используют явно априорную информацию о классе корректности задачи и в то же время оказываются оптимальными по порядку при достаточно общих предположениях об этом классе. Этот факт является важным ввиду того, что при решении задач с априорной информацией класс корректности может быть известен приближенно, что будет ухудшать точность полученных решений.

Впервые такие методы для классов корректности степенного типа были построены в работах И.В.Емелина и М.А.Красносельского [109] и Г.М.Вайникко [10]. Заметим, что все эти методы являются нелинейными.

В настоящей работе эти результаты распространены на произвольный класс корректности Мг, определяемый непрерывной и строго возрастающей функцией G(a), удовлетворяющие условию G(0) = 0. Это оказывается очень важным при использовании данного метода при решении широкого класса задач и, в частности, обратной задачи физики твердого тела.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав и библиографии, насчитывающей 119 наименований.

1. Агеев A.J1. Об одном свойстве оператора, обратного к замкнутому.// В кн.: Исследования по функциональному анализу. Свердловск: Изд-во Уральского ун-та, 1978, с.3-5.

2. Агеев A.JI. К вопросу о построении оптимального метода решения линейного уравнения 1 рода.// Изв. Вузов. Математика. 1983, №3, с.61-68.

3. Алифанов О.М. Экстремальные методы решения некорректных задач.// М.: Наука, 1988, 170с.

4. Бакушинский А.Б. Один общий прием построения регуляризиру-ющих алгоритмов для линейного некорректного уравнения в гильбертовом пространстве. //Журн.вычис.мат. и мат. физ., 1967, т.7, №3, с. 672-677.

5. Бакушинский А.Б. Оптимальные и квазиоптимальные методы решения линейных задач, порожденные регуляризующими алгоритмами. // Изв. Вузов. Математика. 1978, №11, с.6-10.

6. Бакушинский А.Б. Принцип невязки в случае возмущенного оператора для общих регуляризующих алгоритмов. // Журн.вычис.мат. и мат. физ., 1983, т.22, №4, с. 989-993.

7. Бакушинский А.Б. Замечание о выборе параметра регуляризации. // Журн.вычис.мат. и мат. физ., 1984, т.24, №8, с. 1253-1259.

8. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения.// М.: Из-во Моск. Ун-та, 1989,199с.

9. Вайникко Г.М. Методы решения линейных некорректно поставленных задач в гильбертовых пространствах.// Тару, ТГУ, 1982,110с.

10. Вайникко Г.М., Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах.// Тару, ТГУ, 1982, 110с.

11. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач.// М.: Наука, 1981, 400с.

12. Васин В.В. Регуляризация нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.// Диффереиц. уравн., 1968, т.4, №12, с.2268-2274.

13. Васин В.В. Регуляризация задачи численного дифференцирования. // Матем. зап. Уральск, ун-та, 1969, т. 7, 2, с. 29-33.

14. Васин В.В. О связи некоторых вариационных методов приближенного решения некорректных задач.// Мат. замет., 1970, т.7, в.З, с.265-272.

15. Васин В.В. Об устойчивом вычислении производной в пространстве Со(—оо; +оо)// Журн. вычислит, мат. и мат. физ., 1973, т.13, №6, с.1383-1389.

16. Васин В.В. Оптимальные методы вычисления значений неограниченных операторов.// Институт кибернетики АН УССР, Киев, 1977, 17с.

17. Васин В.В. Дискретная сходимость и конечномерная аппроксимация регуляризующих алгоритмов.// Журн. вычислит, мат. и мат. физ., 1979, т.19, М, с.11-21.

18. Васин В.В. Общая схема дискретизации регуляризующих алгоритмов в банаховых пространствах// Докл. АН СССР, 1981, т. 256, №2, с. 271-276.

19. Васин В.В. Методы итеративной регуляризации для некорректных задач// Изв. Вузов. Математика. 1995, №11, с.402.

20. Васин В.В. Устойчивая аппроксимация негладких решений некорректно поставленных задач // Докл. РАН, 2005, т. 402, №5, с. 1-4.

21. Васин В.В., Агеев A.JI. Некорректные задачи с апириорной информацией./ / УрО РАН, Ин-т математики и механики. Екатеринбург: Наука, 1993, 261с.

22. Васин В.В., Танана В.П. Приближенное решение операторных уравнений первого рода //Матем. зап. Уральск, ун-та, 1968, т. 6, 2, с. 27-37.

23. Васин В.В., Танана В.П., Необходимые и достаточные условия сходимости проекционных методов линейных неустойчивых задач.// Докл. АН СССР, 1974, т. 215, №5, с. 1032-1034.

24. Винокуров В.А. Об одном необходимом условии регуляризуемости по Тихонову.// Докл. АН СССР, 1970, т. 195, №3, с. 530-531.

25. Винокуров В.А., Петунии Ю.И., Пличко А.Н. Измеримость и ре-гуляризуемость отображений, обратных к непрерывным линейным операторам.// Мат. заметки, 1973, т.26, № 4 с.583-593.

26. Винокуров В.А., Менихес Л.Д. Необходимые и достаточные условия линейной регуляризуемости.// Докл. АН СССР, 1976, т. 229, №6, с.1292-1294.

27. Гончарский А.В., Леонов А.С., Ягола А.Г. Об одном регуляризу-ющем алгоритме для некорректно поставленных задач с приближенно заданным оператором.// Журн. вычислит, мат. и мат. физ., 1972, т.12, №6, с.1592-1594.

28. Гончарский А.В., Леонов А.С., Ягола А.Г. Обобщенный принцип невязки.// Журн. вычислит, мат. и мат. физ., 1973, т.13, №2, с.294-302.

29. Гончарский А.В., Леонов А.С., Ягола А.Г. О регуляризации некорректно поставленных задач с приближенно заданным оператором.// Журн. вычислит, мат. и мат. физ., 1974, т. 14, №4, с.1022-1027.

30. Данилин А.Р. Об оптимальных по порядку оценках конечномерных аппроксимаций решений некорректных задач.//Журн. вычислит, мат. и мат. физ., 1985, т.25, №8, с.1123-1130.

31. Данилин А.Р. Необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций метода невязки //Журн. вычислит, мат. и мат. физ., 1982, т.22, №4, с.824-839.

32. Домбровская И.Н., Иванов В.К. К теории некоторых линейных уравнений в абстрактных пространствах.// Сиб. матем. журн., 1965, т.6, №, с.499-508.

33. Дистель Д. Геометрия банаховых пространств //Киев: Вища школа, 1980.

34. Емелин И.В., Красносельский М.А. К теории некорректных задач //Докл. АН СССР, 1979, т. 244, № 4, с. 805-808.

35. Иванов В.К. О линейных некорректных задачах //Докл. АН СССР,1962, т. 145, № 2, с. 270-272.

36. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах //Мат. сборник,1963, т. 61, №2, с.211-223.

37. Иванов В.К. Об одном типе некорректных линейных уравнений в векторных топологических пространствах //Сиб. матем. журн., 1965, т. 6, № 4, с. 832-839.

38. Иванов В.К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода //Журн. выч. матем. и мат. физики, 1966, т. 6, № 6, с. 1089-1094.

39. Иванов В.К. О равномерной регуляризации неустойчивых задач //Сиб. матем. журн., 1966, т. 7, № 3, с. 546-558.

40. Иванов В.К. О применении метода Пикара к решению интегральных уравнений первого рода. // Bui.Inst/ Politehc. Iasi., 1968, v.14, № 3/4, p.71-78.

41. Иванов В.К. Линейные неустойчивые задачи с многозначными операторами // Сиб. мат. журнал, 1970, т.И, №5, с.1009-1016.

42. Иванов В.К. О величине параметра регуляризации в некорректно поставленных задачах управления // Дифференц. уравн., 1974, т.Ю, №12, с.2279-2285.

43. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения //М.: Наука, 1978, 208 с.

44. Иванов В.К., Королюк Т.И. Об оценке погрешности при решении некорректных задач //Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1969, т. 9, № 1, с. 30-41.

45. Иванов В.К., Коршунов В.А., Решетова Т.Н., Танана В.П. О возможности определния энергетического спектра бозе системы по термодинамическим функциям.//Докл. АН СССР, 1976, т. 228, N 1, с. 19-22.

46. Иванов В.К., Мельникова И.В., Филинков А.И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи.//М.: Наука, 1995, 176с.

47. Иверонова В.И., Тихонов А.Н., Заикин П.Н., Звягина А.П. Определение фононного спектра кристалла по теплоемкости //ФТТ, 1966, т. 8, N 12, с. 3459-3462.

48. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа //М.: Наука, 1972, 496 с.

49. Коршунов В.А., Танана В.П. Определение фононной плотности состояний по термодинамическим функциям кристалла //Докл. АН СССР, 1976, т. 231, N 4, с. 845-848.

50. Коршунов В.А., Танана В.П. Определение фононной плотности состояний по термодинамическим функциям кристалла (германий) //ФТТ, 1976, т. 18, N 3, с. 654-657.

51. Коршунов В.А., Танана В.П. Определение фононной плотности состояний по термодинамическим функциям кристалла. Благородные металлы //Физ. метал, и металловед., 1976, т. 42, N 3, с. 455463.

52. Коршунов В.А., Танана В.П. Определение плотности состояний по термодинамическим функциям //Физ. метал, и металловед., 1979, т. 48, N 5, с. 908-915.

53. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики //Новосибирск: СО АН СССР, 1962, 92 с.

54. Лаврентьев М.М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений //Новосибирск: НГУ, 1973, 71 с.

55. Лаврентьев М.М.,Романов В.Г,Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа.//М.: Наука, 1980, 280 с.

56. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Теория операторов и некорректные задачи //Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 1999, 702 с.

57. Латтес Р., Лионе Ж.Л. Метод квазиобращения и его приложения //М.: Мир, 1970,336с.

58. Лифшиц И.М. Об определении энергетического спектра бозе -системы по ее теплоемкости // ЖЭТФ, 1954, т. 26, № 5, с. 551-556.

59. Лисковец О.А. Некорректные задачи с замкнутым необратимым оператором.//Дифференц. уравн., 1967, т.З, №4, с.636-646.

60. Лисковец О.А. Некорректные задачи и устойчивость квазирешений.// Сиб. Мат. журнал, 1969, т.Ю, №2, с.373-385.

61. Лисковец О.А. Вариационные методы решения неустойчивых задач.// Минск.: Наука итехника, 1981, 343с.

62. Люстерник Л.А., Соболев В.И., Элементы функционального ана-лиза.//М.: Наука, 1965, 520с.

63. Менихес Л.Д., Танана В.П. Конечномерная аппроксимация в методе М.М. Лаврентьева //Сиб. журн. вычисл. матем., 1998, т. 1, № 1, с. 416-423.

64. Менихес Л.Д., Танана В.П. О критерии сходимости аппроксимаций метода регуляризации в Я-пространствах // Докл. РАН, 1999, т. 263, № 5, с. 599-601.

65. Менихес Л.Д., Танана В.П. О критерии сходимости аппроксимаций метода регуляризации // Сиб. матем. журн., 1999, т. 40, № 1, с. 130— 141.

66. Морозов В.А. О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе параметра регуляризации// Журн. вычислит, мат. и мат. физ., 1966, т.6, М, с.170-175.

67. Морозов В.А. Об оптимальности критерия невязки в задаче вычисления значений неограниченных операторов// Журн. вычислит. мат. и мат. физ., 1971, т.И, №4, с.1019-1024.

68. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач// М.:Изд-во МГУ, 1974, 360с.

69. Морозов В.А., Гилязов С.Ф. Оптимальная регуляризация некорректных нормально разрешимых операторных уравнений. // М.:Изд-во МГУ, 1982, 270с.

70. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного перемен-ного//М.:444с.

71. Рекант М.А. Об одном классе методов решения линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве.//Изв. Вузов. Математика. 1980, №11, с.77-79.

72. Рогожин С.А., Танана В.П. Оптимальный по порядку метод решения вырожденных операторных уравнений.// Изв. Вузов. Математика, 1988, № 5, с.86-88.

73. Рудин У. Функциональный анализ //М.: Мир, 1975, 448 с.

74. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике// М.: Наука, 1988, 336с.

75. Соболев С.Jl. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций// М.: Наука, 1989, 254с.

76. Страхов В.Н. О решении линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве //Дифференц. уравн., 1970, т. 6, N 8, с. 1490— 1495.

77. Стечкин С.Б. Наилучшее приближение линейных операторов.// Мат. заметки, 1967, т.1. №2, с. 137-148.

78. Танана В.П. Об оптимальных алгоритмах для операторных уравнений первого рода с возмущенным оператором//Мат. сб., 1977, т.146, №10, с.314-333.

79. Танана В.П. Об одном проекционно-итеративном алгоритме для операторных уравнений первого рода с возмущенным оператором// Докл. АН СССР, 1975, т.224, №5, с. 1028-1029.

80. Танана В.П. Об оптимальных алгоритмах для операторных уравнений первого рода с возмущенным оператором //Матем. сб., 1977, т. 146, N 10, с. 314-333.

81. Танана В.П. Методы решения операторных уравнений //М.: Наука, 1981, 180 с.

82. Танана В.П. Об оптимальности методов регуляризации линейных операторных уравнений с приближенно заданным оператором при условии неединственности решения //Докл. АН СССР, 1985, т. 283, К0- 5, с. 1092-1095.

83. Танана В.П. О новом подходе к оценке погрешности методов решения некорректно поставленных задач //Сиб. журн. инд. матем., 2002, т. 5, № 4, с. 150-163.

84. Танана В.П. Об оптимальности по порядку метода проекционной регуляризации. //Сиб. журн. инд. матем., 2004, т. 7, № 7, с. 117132.

85. Танана В.П., Данилин А.Р. Об оптимальности регуляризующих алгоритмов при решении некорректных задач //Дифференц. уравн., 1976, т. 7, с. 1323-1326.

86. Танана В.П., Данилин А.Р. Необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций регуляризованных решений// Докл. АН СССР, 1982, т.264, №5, с. 1094-1096.

87. Танана В.П., Рекант М.А., Янченко С.И. Оптимизация методов решения операторных уравнений. //Свердловск: Уральск, ун-т, 1987, 200 с.

88. Танана В.П., Рекант М.А. Об оптимизации методов решения вырожденных операторных уравнений первого рода. //Докл. АН СССР, 1988, т. 298, № 1, с. 49-52.

89. Танана В.П., Рудакова Т.Н. Исследование на оптимальность метода регуляризации для задач с неинъективным оператором.// MB и ССО. ЧелГУ, Челябинск, 1991,14с.Деп. в ВИНИТИ 25.02.91 №887-В91.

90. Танана В.П., Севастьянов Я.М. Об оптимальных методах решения линейных уравнений первого рода с приближенно заданным оператором //Сиб. журн. вычисл. матем., 2003, т. 6, № 2, с. 205-208.

91. Танана В.П. Об оптимальном методе решения одной обратной задачи Стефана. // Сиб. журн. инд. матем., 2005, т. 8, № 4, с. 124-130.

92. Танана В.П., Япарова Н.М. Об оптимальности конечномерных аппроксимаций регуляризованных решений.//Изв.ЧНЦ. 2003, в.1, с.1-5.

93. Танана В.П., Япарова Н.М. Об оптимальности метода невязки. //Вест. Чел ГУ, 2003, сер.З, №1, с.174-188.

94. Танана В.П., Япарова Н.М. Об оптимальности метода невязки на некоторых классах равномерной регуляризации. //Вест.ЮУрГУ, 2003, №6, с.38-44.

95. Танана В.П., Япарова Н.М. Об оптимальном по порядку методе решения условно-корректных задач. //Сиб. журн. вычисл. матем., 2006, т.9, т, с.353-368.

96. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач //Докл. АН СССР, 1943, т. 39, № 5, с. 195-198.

97. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач //Докл. АН СССР, 1963, т. 153, N 1, с. 49-52.

98. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации// Докл. АН СССР, 1963, т.151, №3, с.501-504.

99. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных за-дач//М.: Наука, 1979

100. Тихонов А.Н., Гласко В.Б. О приближенном решении интегральных уравнений Фредгольма I рода // Журн. вычислит, мат. и мат. физ., 1964, т.4, №, с.564-571.

101. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Регуля-ризующие алгоритмы и априорная информация// М.: Наука, 1983

102. Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи// М.: Наука, 1995, 311 с.

103. Уиттекер Е.Т., Ватсон Г.Н. Курс современного анализа// Пер. с англ. М.:Наука,1978. 468с.

104. Федотов A.M. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками в данных// Новосибирск: Наука, 1982, 190с.

105. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.// М.:Наука, 1969, с.451

106. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. //ML: Мир, 1968, 479с.

107. Хромова Г.В. О регуляризации интегральных уравнений первого рода с ядром Грина // Изв. Вузов. Математика. 1972, №8, с.94-104.

108. Хромова Г.В. Об оценках погрешности приближенных решений уравнений первого рода. // Докл. РАН, 2001, т. 263, № 5, с. 599601.

109. Чечкин A.B. Математическая информатика//М.: Наука, 1991,412с.

110. Franclin J.N. On Tikhonov's method for ill-posed problems// Math. Comput, 1974, vol. 28, №128, p.889-907.

111. Hadamar J. Le problem de Cauchy et les equations aux derivees partielles leneaires hyperboliques//Paris:Herman, 1932.

112. Hadamar J. Sur les problems aux derivees partielles et leur signification physique // Bull.Univ.Princeton, 1902, 13.

113. Melkman A., Miccelli C. Optimal Estimation of Linear Operators in Hilbert Spaces from Inaccurate Data // SIAM J. Num. Anal., 1979, vol.16, №1 p.87-105.

114. Menikhes L.D., Tanana V.P. A convergense for approximation in the regularization mehtod and Tikhonov regularization method of n-th order. // Jornal of Inverse and Ill-posed Problems, 1998, vol.6, №3 p.241-262.

115. Tanana V.P. A criterion of convergense of approximation . // Jornal of Inverse and Ill-posed Problems, 1997, vol.5, №2 p.1-12.

116. Tanana V.P. Method for solution of nonlinear equation.// Utreht, The Netherland, 1997, 241 p.

117. Philips D.L. A techique for the numerical solution of certain integral equations of the first kind. //J. Assoc Comput.Mact., 1962, vol 9, №1, p.84-97.