автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы нелинейного анализа в построении приближенных решений задач управления и оптимизации

На правах рукописи

ИСМАИЛОВ ИЛХАМ ГУСЕЙНКУЛУ ОГЛЫ

МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОГО АНАЛИЗА В ПОСТРОЕНИИ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ И ОПТИМИЗАЦИИ

Специальность: 05.13.01 — ''Системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации)"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание ученой степени доктора физико-математических паук

17 АПР 2С14

МОСКВА - 2014

005547221

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте проблем управления им. В. Л. Трапезникова Российской академии наук

I Ьгучный консультант:_

Бобылев Николай Антонович

доктор физико-математических наук, профессор.

Официальные оппоненты:

—Задорожний Владимир Григорьевич, доктор физико-магема-тпческих наук, профессор, заведующий кафедрой нелинейных колебаний факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета.

—Климов Владимир Степанович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа математического факультета Ярославского государственного университета им. II. Г. Демидова.

-Токарев Владислав Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института системного анализа Российской академии наук.

Ве.дущая организация:

- Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Вычислительный центр им. Л. А. Дородницына Российской академии наук

Защита состоится 23 июня 2014 г. в 14()0 час. на заседании Диссертационного Совета Д 002.22G.02 ФБГУН Института проблем управления нм. В. А. Трапезникова РАН по адресу: 117997, Москва, ул. Профсоюзная. 65.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПУ РАН.

Автореферат разослан 27 марта 2011 г.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета Д 002.220.02 кандидат физико-математических наук

А. А. Галяев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Оптимизация систем с бесконечным числом степеней свободы — важнейшая задача современной теории управлении. На сегодняшний день имеется множество как частных результатов решения задач, так и общих .методов. Последние, чаще всего.'требую т ограничительных предположений о минимизируемом функционале (повышенная гладкость, информация о близости начального приближения к отыскиваемому решению, хорошая обусловленность и т.д.). которые па практике, как правило, не выполнены. В связи с этим возникает потребность разработки достаточно общих методов, эффективных н простых в численной реализации.

Изучаемые в диссертации методы продолжения по параметру восходят к Л. Пуанкаре и С. Н. Вернштейпу. Метод продолжения в задачах приближенного решения нелинейных уравнений впервые был применен по-видимому, М. Лаэем.

На основе метода продолжения П. А. Бобылев разработал деформационный принцип минимума. Он состоит в том, что если в процессе специальной, так называемой невырожденной деформации оптимизационной задачи ее экстремаль остается равномерно изолированной, то она сохраняет свойство быть точкой минимума. Как показал II. Л. Бобыле», деформационный принцип обобщается па случай невырожденных деформаций гладких функционалов на гильбертовых пространствах, нормальных деформаций, гомотопий в задаче о слабом минимуме и т.д. Деформационный метод находит эффективное применение в задачах вариационного исчисления, оптимального управления, многокритериальной оптимизации, задачах нелинейного программировании и других прикладных вопросах.

Метод продолжения в вычислительных задачах применялся ря дом авторов (Fiendenstein F.. Roth В., Deist F.. Гавурнп М. К.. Давщеп-ко Д. Ф„ Дикусар В. В., Шидлонская II. Л.) В работах Л. М. Дементьевой метод продолжения развит для исследования общих задач, сводящихся к операторным уравнениям.

Имеющиеся на сегодняшний день результаты по данной тематике обладают рядом недостатков: в них либо предполагается глобальная разрешимость дифференциальных уравнений в банаховых пространствах что требует дополнительной гладкости, либо формулируются утверждения о сходимости метода без каких-либо оценок скорости сходимости.

Предлагаемая в диссертации деформационно-Ньютоновская процедура позволяет получить приближение к минимуму функционала е заданной точностью г за, конечное количество шагов ~N(<г). которое выписывается явно. Альтернативная деформационно-градиентная процедура дает возможность избавиться от требования гладкости. Обе эти проце- . дуры не требуют близости начального приближения к экстремали. Для

разработанных методов рассматриваются приложения к классическим ;пдачпм оптимального управления и вариационного исчисления.

Анализу приближенных процедур ч ипа градиентного спуска локализации оптимального решения (точки минимума) посвящена обширная литература. Строгие доказательства сходимости получены Л. В. Канторовичем. М. М. Вайибсргом. Ка])])и и другими н середине XX века. Далее метод развивался многочисленными исследователями, среди которых -Я. II. Альбер. Ф. 11. Васильев, Б. Т. Поляк.

1Ьшболее полно эти процедуры исследованы в случае, когда изучаемый функционал удовлетворяет какому-либо условию выпуклости (строгая выпуклость, сильная выпуклость, монотонность градиента и т.д.). В ряде важных задач (например, в задачах оптимального управления с функционалами качества общего вида, в задачах классического вариационного исчисления) изучаемые функционалы невыпуклы. В таких случаях локальная сходимость градиентного метода установлена в предположении невырожденности точки минимума. Позднее II. А. Бобылевым' был выделен класс функционалов (Я-правильпые функционалы). . и я которых удалось доказать сходимость градиентных процедур (метод наискорейшего спуска, метод простых итераций) в предположении лишь изолированности отыскиваемой точки минимума. Затем эти результаты были обобщены П. А. Бобылевым. С. К. Коровиным и А. А. Кутузовым для гак называемых (Р. 5)-правнльных функционалов. В то же время во многих задачах бесконечномерной оптимизации критические точки не изолированы.

В настоящей работе доказывается сходимость градиентного метода для функционалов на бесконечномерных пространствах специального класса в случае континуума кри тических точек без предположений о выпуклости или невырожденности. Этот результат позволил доказан. георему о сходимости метода типа спуска для системы уравнении Гинзбурга Ландау, описывающих поведение сверхпроводника во внешнем магнитном поле. Существование решений системы уравнении Гинзбурга Ландау было доказано II. А. Бобылевым и В. С. Климовым.

Другая актуальная проблема, рассмотренная в диссертации -• проблема сходимости ироекциопно-птерационпых процедур. Последние, начиная с ме тода Галеркина и его модификаций — Бубнова Талеркипа. Галеркпиа Петрова и др. широко распространены и применяются как для доказательства разрешимости уравнений математической физики (Лпопс Ж. -Л.), так и для фактического поиска решений. В диссертации рассматривается приближенное построение колебательных режимов в нелинейных системах. 11олученные результаты используются для построения последовательных приближении к колебательным режимам в системах автоматического регулирования.

Па сегодняшний день известны общие теоремы о сходимости метода гармонического баланса. Например, доказана сходимость приближений

к циклу, если его топологический индекс отличен от нуля и приближающие1 операторы аппроксимируют исходный. В ряде случаев приводился экспоненциальная оценка сходимости, которая, однако, может оказаться неприемлемой для начальных приближении общего положения. В данной работе предлагается метод выбора начального приближения, основанный на априорной грубой информации относительно искомого решения. Фактически это означает, что чем больше известно о структуре отыскиваемого цикла, тем быстрее сойдется предложенный метод.

Важным вопросом является вопрос о приближенном построении колебательных режимов (циклов) 1! автономных системах ав гома пгни кого регулирования. Если отыскиваемый цикл орбитальпо асимптотически устойчив и достаточно хорошо локализован, то посредством какого-либо метода численного интегрирования можно получить сколь угодно точное приближение. Однако во многих важных си туациях (например, в задаче хаотической динамики) отыскиваемые циклы, как правило, неустойчивы. Это существенно усложняет задачу. Одни нз приемов приближенного построения неустойчивых циклов автономных систем, предложенный П. А. Бобылевым и М. Л. Красносельским, базируется на комбинации метода функционалнзации параметра и какого-либо метода Галеркина (метод гармонического баланса, метод механических квадратур, метод коллокации и др.) Однако такой поход весьма трудоемок в вычислительном отношении и требует дополнительной информации об отличип от нуля топологического индекса решения. В диссертации предлагается новый итерационный алгоритм приближенного построения циклов автономных систем, эффективный в вырожденных ситуациях ме тод локализации на гиперплоскости. Суть его в том, что фиксируется какая-либо точка цикла с помощью произвольной гиперплоскости и затем методом наискорейшего спуска минимизируется функционал невязки как но переменной фазового пространства, лак и но времени. Доказано, что если исходное приближение достаточно близко к циклу, то соответствующая итерационная процедура сходится.

Отдельный параграф описывает обобщение так называемого прокси-мационного метода (или ргох-метода). Понятие ирокеимационного отображения введено Моро, рюх-метод является частным случаем метода регуляризации для некорректных задач, предложенного Л. II. Тихоновым и используется в задачах с вырожденными и плохо обусловленными функционалами. К настоящему времени ргох-метод детально разработан и исследован для выпуклых функционалов. Результаты, относящиеся к невыпуклым задачам для конечномерного и бесконечномерного случаи даются в диссертации.

Наряду с: дискретными методами приближенного построения решений рассматривается также и непрерывный. Начиная с классической работы Л. М. Ляпунова''Общая задача об устойчивости движения". методы функций Ляпунова получили широчайшее распространение как в

абстрактном нелинейном анализе, так п 15 исследовании конкретных задач. Например. Л. II. Лурье. И. II. Постникову, II. Г. Четаеву принадлежа! работы по асимптотической устойчивости в целом для нелинейных систем. Далее направление развивалось в работах ученых М. А. Лйзср-мапа. Б. II. Де.мндовнча. Н. II. Красовского. М. Г. Крейпа. Е. С. Пятницкого и других.

Основной трудностью использования метода функций Ляпунова является отсутствие общих методов их построения. Одним из путей преодолении этой труднос ти служит использование векторных функций „Ляпунова. предложенное Р. Бэллманом и В. М. Матросовым, и развивавшееся затем Л. IO. Лия польским. С. II. Васильевым и другими. В настоящей работе не предлагается способов построения таких функций, но выделен класс функционалов па банаховых пространствах, для которых упрощается проверка классических условий устойчивости и асим-тотнческой устойчивости по Ляпунову. Это, в свою очередь, приводит к возможности локализации устойчивого решения операторного уравнения сдвигом вдоль траектории системы, что может быть реализовано классическими численными методами (Эйлера, Рупге Кутта и т.д.)

Далее градиентный метод используется для построения оптимального управления в сетях связи. В настоящее время активно развиваются различные сетевые модели. Однако существующие методы их исследования ие носят универсального характера. Это связано с тем. что основное внимание исследований было направлено па анализ статических моделей. В то же время реальные системы связи являются существенно нестационарными объектами. Также в случае значительных нагрузок на очереди, ограничений на пропускную способность каналов (очередей) и использования более интеллектуальных алгоритмов диспетчеризации динамика сети становится существенно нелинейной. В диссертации приводятся уравнения динамики такой системы. Получены необходимые условия оптимального управления и предложен вычислительный алгоритм.

I !есмотря на многообразие теоретических результатов, основным средством приближенного решения нелинейных уравнений с частными производными являются разностные, методы. Для применения разностных методов в области определения отыскиваемого решения строят некоторую сетку, а зачем заменяют производные конечными разностями. Таким образом, вопрос' о построении сетки выделяется как один из основных вопросов реализации разностной схемы. С другой стороны, это приводит к проблеме введения глобальной криволинейной системы координат в заданной области. Например, в некоторых работах ставится задача об отыскании двух функций, обеспечивающих гомеоморфное отображение квадрата на заданную двумерную область при заданном отображении границы квадрата в границу области.

Использование гомеоморфизмов лежит в основе многочисленных ме-

тодол построения сеток, которые обрадуют и настоящее время бурно развивающееся направление вычислительной математики.

, Одним из методов построении гомеоморфизма является переход к глобальному гомеоморфизму от локального. Теоремы. доказанные г, работе, могут быть использованы для обоснования корректности построения той или иной разностной сеч ки в областях сложной формы.

Цель работы состоит в разработке приближенных методов решения нелинейных задач управления, оптимизации и автоматического регулирования.

Для этого необходимо:

1. Определить классы функционалов, допускающих обобщение классических приближенных методов па случай бесконечномерных задач и разработку новых приближенных процедур.

2. Исследова ть свойства функционалов чтих классов.

3. Изучить естественность определенных классов функционалов как часто встречаются на практике их представители. Найти приложения в теории оптимального управления, вариационном исчислении, оптимизации.

4. Разработать приближенные процедуры, доказать их сходимость, оценить число достаточных шагов (если возможно) или скорость сходимости.

5. Применить разработанные приближенные процедуры 1! теории автоматического регулирования, управления п математической физике.

6. Найти приближенные процедуры построения управляющих воздействий в задачах оптимального управления.

7. Рассмотреть случай автономных систем автоматического регулирования; предложить приближенные методы их исследования.

8. Изучить связь устойчивости по Ляпунову и сходимости приближенных методов. Доказать устойчивость н асимптотическую устойчивость для выделенного класса бесконечномерных задач.

9. Разработать методы построения сеток для разностных уравнений па счетных областях сложной формы, исходя из локальной информации о требуемой сетке.

Методы исследования. В работе использованы методы общей теории систем и теории автоматического управления, методы нелинейного

функции!га.-п,ноги анализа, интегральных уравнении, вариационного исчисления. теория итерационных процедур приближенного решения операторных уравнений.

Научная новизна. Результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Памп предложена единая методика приближенного построения решений задач управления, оптимизации и ав томатического регулирования. При построении и исследовании вычислительных алгоритмов решения бесконечномерных оптимизационных задач впервые применен деформационный принцип, использующий свойства инвариантов функционалов качества.

H работе предложены и обоснованы новые приближенные процедуры решения бесконечномерных оптимизационных задач, основанные на деформационном методе (методе продолжения). Эти процедуры (дефор-маппоппо-иыотоповская и деформационно-градиентная) применены к решению задач вариационного исчисления, механики, управления движением и]>и интегральных ограничениях па управляющие воздействия. С целью обоснования указанных методов установлена деформационная теорема о сохранении минимума функционала качества бесконечномерной системы при невырожденной деформации этого функционала в ситуации. когда его градиент не обладает повышенной гладкостью. Предложен градиентный метод поиска минимума для специальных классов функционалов. Доказана сходимость этого метода к многообразию (множеству) критических точек функционала, реализующему его локальный минимум. Это позволило в качестве приложения решить задачу об итерационном поиске решений системы уравнений Гинзбург а-Ландау. Доказана сходимость разновидности градиентного метода для интегральных функционалов на пространстве непрерывно дифференцируемых функций. Разработан метод приближенного построения вынужденных колебаний в нелинейных системах, основанный на методе гармонического баланса. Данный метод применен к исследованию нелинейных систем автоматического регулирования. Разработан алгоритм приближенного построения циклов мпогокоптуриых автономных систем автоматического регулирования, эффективный в вырожденных ситуациях — метод локализации на гиперплоскости. Данный алгоритм не требует оглпчня от нуля топологического индекса цикла, или его орбитальной асимптотической устойчивости. Обоснован ргох-метод решения невыпуклых оптимизационных за.дач и проведены вычисления на ЭВМ, иллюстрирующие скорость его сходимости. Определен класс функционалов Ляпунова на рефлексивных сепарабельных банаховых пространствах. Это позволило сформулировать доела точные условия устойчивости и асимптотической х'стопчпвос тп бесконечномерной динамической системы, что может служпп» обоснованном метода приближения к стационарному состоянию (решению операторного уравнения) сдвигом вдоль траекторий этой системы. Получено необходимое условие оптимальности управления се-

тевыми системами. Дан градиентный .метод приближенного построении оптимальных управлений таких систем. Предложен метод глобализации гомеоморфизма в задаче о построении разностных сеток. Он основан на локальной информации и информации о соответствии границ. В качестве приложения, метод позволяет решать задачу об адаптации сетки в счетной области.

Практическая ценность. Полученные результаты могут использоваться для приближенного поиска автоколебании в системах автома тического регулирования, оптимизации вырожденных функционалов качества, оптимизации сетевых систем, при построении оптимального управления движением с ограничениями по энергетике, для введения разнос тных сеток сложной конфигурации, приближенного поиска неустойчивых периодических режимов систем автоматического регулирования.

Апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы н доложены па научных семинарах И11У РЛП. Ml'У им. М. В. Ломоносова, ИСЛ РАН, Воронежского государственного университета, па Воронежской зимней математической школе, на 111 Всесоюзном совещании но распределенным автоматизированным системам массового обслуживания (Винница 1990 г.), на Ш Интернациональном симпозиуме "Method and Models in Automation and Robotics" (Польша 1990 г.), Международной научно-практической конференции "Управление большими системами" (Москва 1997 г.), па Международном семинаре "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара 1997 г.). па Международном симпозиуме "Обобщенные решения в задачах управлении" (Пе-реславль 2002 г.), VII Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва 2002 г.). Международная научно-практическая конференция "ТАС-2011" (Москва 2011 г.). Конференция "Управление в технических, эргатическнх. организационных и сетевых системах" (УТЭОСС-2012 Санкт-Петербург 2012 г.)

Публикации. По теме диссертации опубликовано работы, среди которых 15 статей в ведущих рецензируемых журналах и одна монография.

Личный вклад автора. Все основные результаты получены автором самостоятельно.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, объединяющих 22 параграфа, выводов и списка литературы из 23G наименования. Работа содержи т 275 страниц печатного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснована актуальность работы, описано состоянии исследуемой области на сегодняшний день и перечислены основные положения работы.

В главе 1 описываются деформационно-ньютоновская и деформационно-градиентная процедуры и доказывается их сходимость. Это требует определения пространств и классов функционалов, для которых развиваются методы. 15 качестве абстрактного пространства на протяжении всей работы (за исключениями, оговоренными специально) рассматривается сепарабелыюе гильбертово пространство. Введен специальный класс функционалов и для нет доказаны результа ты о сходимости приближенных процедур.

В параграфе 1.1 приводятся классические условия, компенсирующие отсутствие компактности в бесконечномерном случае. Затем определяются Я-правильпые. (Р. 5)-правильные. функционалы и доказываются теоремы об отношениях различных классов. В параграфе 1.2 дана общая характеристика, деформационных методов. В следующем параграфе сформулирован деформационный принцип минимума для Я-правп. 1М1ЫХ функционалов, лежащий в основе деформационно-итерационных процедур.

Следующее определение фактически обобщает понятие -Неправильного функционала, введенное II. Л. Бобылевым, так как не требует лип-пшцевостн градиен та. Л именно:

Пусть Я вещественное гильбертово пространство со скалярным произведением (</. /•)■ Ниже через В(р, г) обозначается шар

B(p,v) = {u&H:\\u-v\\<íp}

через ОВ(р. г) его граница. Кроме тот, используются также обозначения В{(>. 0) = В{р). £(1,0) = В.

Определенный па шаре B(p,v) функционал /(и) называют Я-пра-впльны.м на В(р. г), если /(«) непрерывно дифференцируем но Фреше па B(f>.r). а его градиент V/(u) ограничен на B(p,v). и удовлетворяет следующему условию (S): если последовательность ип слабо сходится к элементу и о («д. —«о) и

Пш (V/(«„),«„-«♦) ^ 0, (1)

П-^'Х.

lim ||«„ — «.И = 0.

п—>CXJ

(Здесь il в дальнейшем через —^ обозначается слабая сходимость в Я.)

Рассмотрим на B(p.v) Я-правильные функционалы /о(н.) и /i(«). Пусть »о G int В(р. г) критическая точка (т.е. нуль градиента) функционала /'(>(")• a. ni £ int B(p. v) критическая точка функционала

Одпоиараметричсское семейство Я-правильных на B(p,v) функционалов /(«: Л) ((К А ^ 1) назовем деформацией функционала /о(м) в функционал f\(u). сели

1 • /(и; 0) = /„(«),/(«: l)=/i(u).

2. Функционал /(и; Л) непрерывен па Я х [0.1] имеете е градиентом Vu/(u: А), причем /'(«; Л) и градиент V„/(«.:A) непрерывны по Л равномерно относительно и 6 В(р,и).

Деформацию функционала /о(и) в функционал /|(м) назовем Д(/), (;)-иевырожденной, если при каждом А е [0,1] функционал ,/'(«: А) имеет непрерывно зависящую от А критическую точку

■¡¿(А) € int В (р. и), которая единственна в B{p,v) н

■u(0)=mu, u(l) = /i[.

Основным вспомогательным результатом первой главы является обобщение деформационного принципа на случай, когда, градиенты функционалов ограничен!,I, но не обладают свойством лшшшцевости.

Теорема 1.3.1. Пусть существует В(р, и)-нелмрож.()п»шя деформация f(u: А) H-правильного функционала fo(u) о Н-нрааильныи функционал /i(-tt). Пусть «о — точка локального мшишу.иа функционала .Ми). Тогда и\ — точка локального минимума функционала ,f\(u).

С целью обоснования этой теоремы в главе 1 (параграфах 1.1. 1.">) доказываются шесть лемм.

В параграфах 1.8, 1.9 дастся определение деформационно-ньютоновской и деформационно-градиентной процедур. Их обоснование проводится с использованием теоремы '1.3.1.

Рассмотрим такое однолараметрическое семейство функционалов /(■и; А) (и G Я; 0 < А ^ 1). для которого f(u: 1) = /, (и), а функционал /о(и) = /(и; 0) обладает заданными свойствами (например, является растущим). Функционал /о(и) будем называть эталонным.

Пусть при каждом А € [0,1] функционал /(и: А) имеет экстремаль и(А), причем точка щ -- и(0) реализует минимум функционала fu(u). Разобьем промежуток [0,1] на к частей точками 0 = .s(l < .s, < ... < «д. =.-= 1 » рассмотрим функционал /(и:щ). Если достаточно мало. то естественно предположить, что экстремаль «(.*,) будет точкой глобального минимума функционала f(u;s\). Для отыскания этой точки л.......-

мума какой-либо итерационной процедурой (например, метолом Ньютона или градиентным методом) в качестве начального приближения возьмем точку минимума иа функционала /о(и). Построив достаточно точное приближение щ к экстремали ix(.Si). возьмем его в качестве начального приближения дли минимизации функционала .f(u:s'>) и т.д. На (к — 1)-ом шаге мы найдем приближение ■«/,._| к экстремали м(л-д.„|) функционала /(«; s/t_i), которая в естественных предположениях будет

точкой минимума этого функционала. Найденный элемент можно использовать в качестве начального приближения при построении точки минимума функционала J\(u) (например, методом Ньютона, если /,(») дважды дифференцируем, или градиентным методом, если /i(«) обладает лишь одной производной).

Более формальное описание изложениого метода выглядит следующим образом:

1 lycTb /((/: Л) В(р, г)-певырождеппая деформация Я-правилыюго функционала

Ми) = /(«:())

и функционал

/,(«) = /(«:!)

и и (А) 6 int В{(), г) единственная в шаре B(p,v) экстремаль функционала/(и.: А). 11оложнм

рп = шах ||г - "(А)||.

(2)

Предположим, что для некоторых положительных постоянных Со-Сь С2. Сл. С\, а и

Г < р - Ра

выполнены неравенства

sup I /'(«: А] ) - Дм; Л2)| ^ С0 |А] - А2|

„eii(r.r)

(Ль Л2 е [0,1]).

sup ¡/(A: it] ) - /(A:u2)| < Ci ||«i - «2|| («1, U-2 G B(p, ?,')),

sup ||V /'(«1 : A) — V /(«2: A)|| ^ C2 ||u, -и2|| 0<.АйИ

(HI, u2 e D(p.v)),

sup ||V/(m;Ai) — V/(w:A2)|| < C:5 |A, - A2|

чеп(р-г)

(A,. A2 G [0.1]), sup ||V2 /(«, ; A) - V'2 f(u2: A)|j < С, ||щ - и2|| (M], U-2 € B(p,v)). inf (V2 f(u: A) h, h)>a\\hf

„eli(r.u(A)). OiAsSl

(h € Я).

(3)

(-'1)

(5)

(6)

(7)

Пусть «о, «1, ..., яд. такие точки отрезка [0,1], что О = «о < .«1 < ... < л-А. = 1

/1 = шах (й/ — ,ч/_ 1).

Зафиксируем некоторое I £ {0,1,... , А:} и рассмотрим процедуру метода Ньютона приближенного построения -экстремали м(.ч/) функционала /(гг.

чп+и = Щи - (V2 /(Wn.il *,)) 1 V /(■«„,,; .41),

Щ.1

и,.

(10)

В лемме 1.8.5, сформулированной ниже, доказано, что для любого фиксированного I при некоторых предположениях сходимость метода Ныотона (иногда называемого в данном случае методом Ньютона Канторовича) является локально квадратичной. Это означает, что для "хороших" начальных приближений н(* норма разности ипЛ — и{щ) убывает как (11 где (1 < 1.

Назовем элементарной операцией один шаг процедуры (10). выполненный при каких-либо п и I.

Зафиксируем некоторое с > 0 обозначим через Лг(г) число элементарных операций, позволяющее в рамках описанной выше деформацпоппо-ныотоновской процедуры получить приближение и* к точке минимума III функционала /¡(и) с точностью не ниже е:

|и£ — Ы1|| < е.

Обозначим через 9Л множество пар {а, т} таких положительных а п натуральных т, которые удовлетворяют неравенствам

С-л

<

И,

111 > 1С

С,,

(11) (12)

где число и = шит

«2

Основная теорема восьмого пункта дает оценку числа шагов процедуры:

Теорема 1.8.1. Пусть

К = пни

{о,т}еШ!

111

1и Л

+ 1

(т - 1),

si

L±d < 1. Tonda атшс.длша оценка Ъг

N(s) < Л' +

lll d

+ 1.

(13)

Заметим, что нее оценки записаны через константы, характеризующие функционалы из пашен деформации и дне их производные.

I Ьяспим утверждение теоремы. В ней говорится, что можно так разбить отрезок параметра [0,1] па конечное число частей, что совершая итерации для каждого .чд е [0,1] деформационно-ньютоновского метода и постепенно увеличивая к. мы за М{е) шагов достигаем ^-приближения к точке минимума функционала При этом нулевой «слои» этой процедуры «о — о тривиален: минимум функционала /0(-) известен заранее.

Оценка числа шагов в теореме (1.8.1) основана на следующей лемме о скорости сходимости градиентного метода.

Лемма 1.8.5. Обозначим

{аг а2 1

2"!CJ-

11ра)поло:>к:ил1,. что d = (fi.C.\) / (2а2) < 1 и

uf € В(г. и(.ч/)). || V/(и,*:*,) || < /i.

Toada метод Ньптюпа (10) щтбли-ж.енного построения экстремали u(s¡) cxodumvM и имеет место оценка,

¡I (/.„., - и(.ч,)

2« ~с\

;2"

В случае, когда функционал (и) ие обладает второй производной, схема Ньютона приближенного построения его экстремалей становится неприменимой. В этой ситуации приходится пользоваться методами, использующими лишь производные первого порядка функционала (и). Далее исследуется деформационная процедура приближенного построения точек минимума, Я-иравильпых функционалов, основанная па использовании метода наискорейшего спуска.

Пусть /(«: Л) В(/>, (^-невырожденная деформация функционала

в функционал

/о(«) =/(и: 0)

Пусть, далее, и{ А) € т ЬВ(р,и) — единственная в шаре В(р, г) экстремаль функционала /(«; А). Мы будем предполагать, что деформация /(и; А) удовлетворяет условию Липшица и оценкам (3) ((>). Зафиксируем положительное число

г < р- ра,

где ро определено формулой (2).

Лемма 1.9.1. Если г > 0 достаточно мило, то сущестаунт такое положительное число сх(г), для которого

гт п<д<1(/(и; А) " /(и(А); А)) ^ °(г)- ('

Предположим, что точка

Ио - и(0)

реализует локальный минимум функционала

/„(«) = /(«; 0).

Тогда в силу деформационной теоремы экстремаль и(А) при каждом А € [0,1] является точкой локального минимума функционала /(«: А). Зафиксируем некоторое А0 £ [0,1] и рассмотрим функционал /(;/: А()).

Рассмотрим далее метод наискорейшего спуска приближенного построения точки минимума и(\ц) этого функционала:

ип+1 = ип - 7„ V /(«„; Ао) (н = 0,1,...) (IГ.)

с начальным условием В этом методе множители ■у,, выбираются из условий

(У/К -*У/(«п;Ао);Л„), У/(«„;А,,)) X) (()<*< 7„). (V /(«„ - 7„ V /(и„: А0); А„), V /(ц„: Л,,)) = 0.

Разобьем отрезок [0,1] на к частей точками

0 = «о <•»!<...< .V/, = 1.

Положим

к = тах («/ — 1).

Теорема 1.9.1. Пусть I/, и г настолько малы, что при I = 1, 2,... Л" иыпо.гнсны. оценка

и* (Яи: *,)-/(«(*/); «('■). (10)

„ешцгл^,))

||м(.ч,) -■«(*,_,)|| < (17)

(18)

„еЩ'-М»! 1)) 4

Том)а дарормацштио-щикттппая процедура приближенного построения .жстрг.мали и\ функционала /у {и) сходится.

15 .чанном случае нет оценки скорости сходимости — это следствие отсутствия второй производной. Однако можно использовать следующий прием: построить деформацию /(-:А) так. чтобы /(-;А) был дважды дефференцирусм по Фреше для А строго меньше единицы. Тогда во всех слоях процедуры, кроме последнего, можно применять метод Ньютона. Это позволит оцепить количеств,о шагов ко всех слоях, кроме финального слоя А = 1.

В главе 2 теоремы иллюстрируются примерами конкретных задач.

В параграфе 2.1 изучается задача оптимального управления движением. Рассмотрим задачу оптимального управления движением со свободным правым концом и закрепленным временем

г

I Г{.ч,х{.ч),и(.ч))<1чпни, (20)

'о

П('.Х.и). :(,'(0) = 0. (21)

Т

I и2(.ч1. (22)

'о

Функция г. и) и вектор-функция д^.х.и) (0 ^ I ^ Т. х 6 п е ал/) предполагаются непре1)ывными по совокупности переменных вместе с первыми производными по х/. и.) (г = 1,..., ЛГ: ] = 1,..., М).

Ограничения, вида (22) возникают в задачах коррекции движения: они отвечают управлению с ограничениями по энергетике (в частности.

управлению прн помощи малой тяги). Вид ограничений (22) естественным образом приводит к использованию пространства ^[0, Т] в качестве пространства управляющих воздействий. Пусть при каждом управлении

и = u(t) е L2[0,T]

задача Копш (21) имеет единственное решение

Оператор, сопоставляющий управлению и решение х, обозначим через у. Тогда задача (20) - (22) эквивалентна минимизации функционала

1

/(«) = J F{sM")M»

))d.s

(23)

на единичном шаре в пространства ¿2 [0, Т]. Пуст ь при 0 < i < Г.

х G M'v, и € Кл/ имеют место оценки

О F (t., х, и)

йх

+

Og(t, х, и)

дх

0F{t,x,u) dg(t, х, и)

Ou Du

< сл(^х)(1 + \и\2): ^c2(t,x)(l + \u\),

(21) (25)

где c.i(t,x) и C2(t,x) — непрерывные функции. Тогда функционал (23) непрерывно дифференцируем на 1,2 [0,Т] н

с) F

V/(«) = j^(t,x-,ti)-h т

(20)

здесь (*) — операция транспонирования, х = ¡р(и). a X(t.) фундамеп-тальная матрица линейной системы

% = %L(tMt)Mt))h.

at ах

(27)

Пусть, кроме того, функция y(t,x,u) является линейной по и и выполнена оценка:

idFjt.x. ui) 0F(t. х, и>) _ \ \ Du да 1 1)

^ О |«| — «2|".

(28)

где м > 0. Тогда функционал f(u) L^fO.Т]-иравилсн на Б. Таким образом. оптимальное управление в задаче (20) (22) может отыскиваться деформационно-градиентной процедурой.

В параграфе 2.2 изучаются задачи минимизации интегральных функционалов.

о

Рассмотрим на И"'"' (Q) интегральный функционал

/(«) = I F(x.u(x), Du(x),..., D'"u(x)) dx. (29)

Здесь

Dkii(x) = {Т>п и(x) : |r*| = к} (k = 1..... m).

<К,Ж.н

(30)

Предположим. что иптеграпт F(x,£) (x € = : |a| ^ m} € G Ел/) непре|>ывеп по совокупности переменных вместе с первыми и вторыми производными по Ç 6 Пусть, кроме того, выполнены оценки

(\ РпИ

1+ £ im*

Здесь:

А. />- произвольное положительное число, если -у — m — N/2.

M. р. = 2N/{N - 2{т - |т|)). если m - N/2 < |-/| < т.

С. ]>o.i = 1 - р~] - P~i ' • N = = т.

L). i>n.i — I - р~\ если m — N/2 < |cv| < т. I'-- P<\A = 1- если |n |. |/i| < m — N/2.

F. 0 < p„j < 1 -p-1 -p-\ если |o|,\ft\ > m - N/2. |«| + \ß\ < 2m.

о

M чтом случае функционал / дифференцируем по Фреше па ^'(¡"(П). а его градиент V/ удовлетворяет условию Липшица на каждом шаре

о

пространства П'^П). ¡'-ели. кроме того, выполнена оценка

£ Vl (31)

(с: > 0.х е е у = {г/о : ¡о| = /»}),

о

то функцпопа.л /(») является W?>"(fi) нравпльпым и, следовательно, для отыскания его -жегремалей применим деформационно-градиентный метод.

В параграфе 2.3 описано приложение деформационно-ньютоновской процедуры к задаче о продолжении решения по малому параметру.

Вопрос формулируется следующим образом: существует ли при .малых // единственная непрерывная ветвь решений краевой задачи

í £j£+k*x + № = nF(t.x), т

\ :г(0) = 0, х(Т) =0.

При некоторых ограничениях на /, F, к, ц вопрос имеет положительный ответ и функция х,,(•), |/<| < //о может быть найдена деформационно-ньютоновским методом.

Теорема 2.3.1. Пусть в условиях задачи (32) функции f.F являются Т-периодическими и гладкими, выполняется ограничение

|iT'.(t,x)| < М, (t,x) е [0,Т] X Ж.

Пусть |/r| < у. Тогда для любого фиксированного ц :

краевая задача с параметром (32) имеет единственное решение и мпи

о ,

решения образуют непрерывную в Wh (пространство Соболева функций, с ■нулевыми следами на границе) кривую х/,(■). Любое такое решение Xfi(-) может быть найдено деформацштно-пъюпиточекой процедурой, стартуя от Xq(-) — решения линейной задачи

х" + k2x + f(t) = 0, t G [0.Т]: х(0) = х(Т) = 0.

В параграфе 2.4 (Дополнительные замечания) пе1)ечпслепы некоторые классы задач, для которых справедлив деформационный принцип. К ним. в частности, относятся бесконечномерные задачи математического программирования, многокритериальные задачи (в том числе с ограничениями), деформации функционалов на метрических пространствах, так называемые нормальные деформации и т. д.

Глава 3 диссертации посвящена приближенным методам оптимизации и построения решений с использованием методов современного нелинейного анализа.

Во многих задачах бесконечномерной оптимизации критически«; точки функционалов не изолированы. Это является следствием различных симметрнй, возникающих в математических моделях физических систем.

В параграфе 3.1 градиентный метод развивается для функционалов. имеющих связные континуумы критических точек, а также для

функционалов на пространстве непрерывно дифференцируемых функции.

11аномиим <к:повпые понятия, связанные с методом градиентного спуска. Пусть Я вещественное гильбертово пространство. / : Я —> .....

дифференцируемый функционал и м* его точка минимума. Для приближенного построения и* часто используют следующую процедуру

и„+, = ип - 7п^/(«„) (п = 0.1,...), (33)

которая называется градиентной процедурой. Для ее применения задают начальное щуиймюижпие. Щ) и положительные числа уп. называемые ущшиляющими параметрами, метода. Коли

7„ = 7 (п=1,2,...),

то процедура (33) называется .методом простых итераций. Пели числа 7„ выбираются из условии

(У/К - *У/Ю). V/K)) > О (0 ^ £ < 7п), (34)

(У/'("и - 7^/(н„)), У/К)) = 0. (35)

то процедура (33) называется .методом наискорейшего спуска. Вычисление управляющих параметров метода наискорейшего спуска в конкретных задачах весьма сложно. Поэтому на. практике управляющие параметры либо задаются априорно, либо указываются пределы, в которых эти параметры должны находиться. В этом случае процесс (33) называется процессом типа спуска (или градиентного спуска).

Коли при реализации метода (33) значения функционала / на итерациях х„ монотонно убывают, то последовательность х.„ называется релаксационной, а параметры уп — рела.кеа,циотшми параметрами.

В пункте 3.1.3 рассматривается сходимость метода типа спуска к многообразиям кри тических точек для (Р, 5)-пра.внльных функционалов.

Дифференцируемый по Фреше функционал / : Я -> Е будем называть (Р. Б)-пранилънъш. если он удовлетворяет следующему условию Пале Смейла: для каждого ограниченного замкнутого множества Л/ С Н из неравенства

у/(и)^0 {чем) (36)

вытекает неравенство

М || V/(н) || >0. (37)

т/6 М

Заметим, что Я-правильпость является частным случаем (Р, 5)-правиль-постп.

Пусть н методе градиентного спуска параметры 7„ удовлетворяют неравенствам

О < Ы) ^ 7„ < 1>1 < ос.

Обозначим 9Л изолирова[Н1ый связный компакт критических точек функционала /. реализующий его локальный минимум; /•;(«.. 9Л) расстояние точки и до 9Л. Выберем е > 0 таким, ч тобы в ^-окрестности

У(е;£ОТ) = {и е Н : р{а:Ш) < с}

компакта 9Л не было критических точек функционала /. отличных от точек множества ЭЛ. Рассмотрим процедуру градиентного спуска приближенного построения точек компакта 9Л. Пусть

У(е;дЛ) С В (г) = {« е Н : ЦиЦ < /•}.

Теорема 3.1.3. Пусть управляющие иара-метры уп .метода удовлетворяют неравенствам

0<Ь0 < к <22Г\ (38)

где Ь — константа Липшица градиента V/ функционала / на шаре В (г). Пусть начальное приближение щ достаточно блшко кШ. Тогда последовательные приближения ип метода градиентного спуска с:годятся к 9Л:

Пш />(«„; 9Л) =0. (39)

«—»ос-

Теорема 3.1.3 обосновывает лишь локальную сходимость градиентного метода, так как в условиях присутствует требование близости начального приближения к отыскиваемой точке минимума. Однако если функционал /' является растущим, т.е. 1пп /'(и) = ос. а его градиент

ИНос'

удовлетворяет условию Пале-Смейла, то сходимость метода >н$ляется глобальной, т.е. не зависит от выбора начального приближения. Приведем формулировку соответствующего утверждения.

Рассмотрим произвольное начальное приближение ■«« и определим множество

Л/о = {«£ Я:/(«)</(«„)}. (10)

В силу условия роста 'эт о .множество ограничено п. следовательно, содержится в некотором шаре Во- Обозначим через £ц константу Липшица градиента V/ функционала / на шаре Во.

Теорема 3.1.4. Пусть .множество всех критических точек ШТ растущего функционала / содержится в Во, а управляющие, параметры "¡„ градиентного .метода удовлетворяют неравенствам

о < к) < 1п < ь, < 2Ь~К

Шп р{и„:Ш)

п—>ос

Как следствия полученных результатов можно рассматривать теоремы о сходимости градиентного метода-к изолированным критическим точкам.

связи с этими теоремами следует упомянуть [заботу Б. Т. Поляка, в которой доказана локальная и глобальная сходимость метода типа спуска для функционалов па гильбертовом пространстве Я. Вместо условия (Р. ^-правильности там используется условие вида

• IIУ/(.Г)II2 > 2г(/(э:) - /*), Г > 0, * € Я,

где /* значение глобального минимума /(:с). Таким свойством обладают. например, гладкие сильно выпуклые функционалы. (Р, ^-правильные функционалы не обладают этим свойством хотя бы потому, что любая функция, заданная на конечномерном подпространстве, может быть продолжена до (Р. ^-правильного (и даже Я-правильного) функционала па Я с сохранением поля градиентов на этом подпространстве.

В пункте 3.1.4 эти результаты применяются к функционалам классического вариационного исчисления.

Рассмотрим одномерный интегральный функционал

I

/(.-»:) = I .«•(/). а:(0) = х(Т) - О

(41)

с дважды непрерывно дифференцируемым лагранжианом Р(1,х,р).

I !редиоложнм. что лагранжиан Р^.,х,р) функционала / удовлетворяет оценкам

Х.р)\ +

ОР(Г,х,р)

9ч

+

сИ^^.х.р)

дх2

0Р{1.х.р)

Ор

+

О < с <

дхдр

< Сз&х)

(42)

(43) (41)

Ор2

(()<£< 1, я, ре К).

Оказывается. градиент V/ функционала / является локально лип-ишневым па пространстве И'-] [О? Т] и удовлетворяет условию (Р, 5) Пале -Смсйда. Поэтому справедлива теорема (3.1.3) о сходимости к многообразию критических точек. А именно: предположим, что ЯЛ ■— изолированный связный компакт критических точек функционала /, реализующий его локальный минимум. Обозначим через Б(г) замкнутый шар

с центром в нуле, содержащий ^-окрестность Ш. в которой нет других критических точек /. Тогда из теоремы (3.1.3) следует утверждение.

Теорема 3.1.5. Пусть

0</3<7„ (1Г>)

где Ь — константа Липшица градиента V/ /«« #(/•). Пусть на-

чальное приближение хо = а:о(£) градиентного метода

I «

-7г. ( / (р;,(.ч,хп(»),х'п(8))- I Г'^Т, хп(т).х'п(т)) (1т) (1,4-

о

7'

~т

У (г;,(«,хп(*),х'п(*)) I Р'х(т,хп{т),х'п{т))(1т)<1.?

о о

достаточно близко в норме Т] к Тогда

Аналогичные результаты имеют место для многомерных вариационных задач.

Пункт 3.1.6 посвящен задачам управления системами с распределенными параметрами.

При исследовании процессов сорбции, сушки п др. возникает следующая задача оптимального управления:

I I ¡р°(.ч^,х{.ч,1),и{.ч,1))(1.ч<Н инн (18)

У

д-х(.ч^) . . ■ .. дх(н,Ь)

: 19)

'ж

.т(0,¿) = О (0 ^ * < Г), а;(я, 0) = о (0 < „ < 5') (Г>0)

и2(н^)(1ч(И < [>~. (51)

У

Л

Здесь Q = {(.w.f) e К2 : (0 ^ .S ^ S. 0 < t. < T)} прямоугольник на плоскости M-, .г = (;(•]----,х„). и, = («1____,vr). функция (р° и матрицы C|).C|.(72.C;î непрерывно дифференцируемы по совокупности переменных. причем частные производные и ip\] удовлетворяют условию Липшица по л. и п существует п > 0 такое, что

(*>"(*• i-a-vwi) - t,x,m).in - и-л) > «|«i - и2|2. (52)

Эта ¡а.чача отвечает максимизации абсорбированного газа (в случае сорбции) и минимизации оставшейся жидкости (в случае сушки).

При сделанных предположениях задача Гурса Дарбу (49) (50) при каждом фиксированном и — м(.ч, t.) G L£(Q) имеет единственное решение

.г = D(u).

Поэтому задача (18) (51) эквивалентна задаче минимизации функционала

/(«) = / f v0(»,t.D(u),u(s-t))dsdt ' Q

па шаре В(р) С L!2(Q).

Лемма 3.1.3. Функционал, / : Б(р) -¥ M является (Р, S)-правильным, а то fjHuhuMim V/ : L!y(Q) —> L!',(Q) определяется, формулой

V/(«) - «).«(".*)) - С0*(МК'(М),

где t:(s.t) 6 L!i(Q) и является решением, ¿задачи

г"(5. t) =0 (0 ^ t. < Т). ф{.ч, Т) =0 (0 < « ^ 5), a .r(s.t) ото решение задачи (19). (50).

Таким образом, к приближенному решению задачи (18) (51) может быть применен градиентный метод приближения к многообразию критических точек. В

пункте 3.1.7 разработанная техника применяется к задаче приближенного построения решении системы уравнений Гинзбурга Ландау.

15 феноменологической теории сверхпроводимости Гинзбурга-Ландау изучается поведение сверхпроводника во внешнем магнитном иоле. Состояние сверхпроводника, занимающего объем il С R-1. описывают решения уравнений Гинзбурга Ландау. При соответствующем выборе единиц

и змерения эти уравнения и граничные условия, определяющие их решения. имеют вид

(/V - Af v + /i|t';|2V' - Ai," = 0. (Г>.Ч)

—rot rot A = Л|</>|2 + i(V>*Vi'> - V'Vv*), (5 1)

(", HW - Atfr))

= 0, (55)

№

rot Ax n = 0. (56)

Oil

Здесь i) — ограниченная выпуклая область в М'! с границей Oil: п вектор нормали к Oil; i>> — комплексная функция, называемая параметром порядка (I'V'I" пропорционален плотности сверхпроводящих электронов); А — (Ль /1'2, Ац) векторный потенциал вектора магнитной индукции: V - оператор градиента в К'*, rot — операция ротора. (*) операция комплексного сопряжения: (•, •) скалярное произведение в R А и 11 вещеет-венные параметры. При этом положительный параметр р зависит лишь от плотности вещества, а параметр А пропорционален разности температур Тс — Т. где Тс — точка фазового перехода.

Уравнения Гинзбурга-Ландау являются уравнениями Эйлера функционала свободной энергии проводника, который определяется па парах и =■ (</;. Л) равенством

/(«.) = 1 Д| rot Л|2 + I Щ, - ¡Ас- + 1 - A|V[2) (Г»7)

S!

П. Л. Бобылевым и В. С. Климовым доказано, что при специальном выборе пространства Н функционал / : II —> Е является растущим, а краевая задача (о3) - (56) имеет но крайней мере одно нетривиальное обобщенное решение для А > 0. Кроме того, критические точки функционала (57) па пространстве Н совпадают с решениями уравнений Гннзбурга-.Пандау (53) (56).

В свете сказанного выше. ¿-утя отыскания решении исходных уравнений можно воспользоваться градиентной процедурой.

Пусть ОТ — многообразие критических точек функционала (57). лежащее в шаре В(г) — {и G Н : ||м|| fi г}. ГШ ф 0. a L константа Липшица градиента V/ функционала. (57) на В(г). Рассмотрим градиентную процедуру

un+i = и„ - 7,iV/(w„) (и = 0.1....). (58)

Несложно показать, что функционал / является (Р. 5)-прпвп.льиым. Тогда из теоремы 3.1.3 вытекает

Теорема 3.1.9. Пусть управляющие параметры 7„ процедуры (58) удовлетворяют неравенствам

О < и < 7„ ^ Ь < 2Ь~К

Пусть начальное приближение процедуры (58) достаточно ближо по норме Н к Ш. Тогда, имеет место сходимость

Нш ш£ ||мга-н||я=0. н->эо иеая

В предыдущих разделах исследовалась сходимость градиентных процедур приближенного решения оптимизационных задач в гильбертовых пространствах. Па чтпх пространствах условия дифференцируемое™ интегральных функционалов требуют весьма существенных ограничений на рост лагранжианов и их производных.

В пункте 3.1.9 нроводипя анализ сходимости градиентных процедур для интегральных функционалов в пространствах с равномерными нормами чипа С1 в которых гладкость таких функционалов определяется лишь гладкостью их интегрантов.

Рассмотрим задачу минимизации интегрального функционала

1

/(х) = I (59)

о

О

па пространстве с [0. 1] непрерывных функций, обращающихся в ноль в точках 0 и 1.

Пусть лагранжиан Г функционала (59) непрерывен но всем переменным. его производные и Рх/ непрерывны по I и удовлетворяют условию Липшица

\fain- 41,*) - рлг>2,92,01 < щт - рА + - <Ы)> (оо) <п • 0 - яъ 01 < Ц\Р1 - Р21 + кл - (я|), (61)

а вторая производная непрерывна но вс:ем переменным и удовле-

творяет неравенству

Рх,х, ^ а > 0. (02)

Для минимизации функционала / воспользуемся градиентной процедурой

а-'н-М = хп ~ 1п« = 0,1,... (03)

где .¡'о некоторый элемент пространства Сг[0,1]. 7,( — исх:ледователь-пость положительных чисел, называемых управляющими параметрами метода ((>3) и удовлетворяющих неравенствам

0 < О ] ^ 7„ < п2 < -^т, (01)

а У/(х) — оператор в пространстве С1- полученный сужением градиента / из соболевского нрост])анства И'.,. Здесь Ь константа. входящая в неравенства ((¡И) н (01).

Тогда. оказывается, локальная сходимость градиентного метода пмс-

о .

ет место в пространстве С [0,1]:

Теорема 3.1.10. Пусть х„ = изолированная в пространстве

С1 [0,1] экстремаль функционала (59). реализующая его локальны/И. ми-пи.му.и. Пусть начальное приближение

Х0 = Х0(«) ес'М

о .

градиентного метода (63) достаточно близко по норме С [0,1] к х*. Тогда

Иы^ \\хп{1) - *.(*)НС°.![(М] = 0. (6Г|)

В параграфе 3.2 градиентная процедура применяется для поиска решений нелинейного интегрального уравнения Гаммсрштсйпа. Сначала уравнение заменяют эквивалентной ему вариационной задачей. Известны условия на нелинейность и линейное ядро, при ко торых соответствующий функционал является растущим и Я-правнльпым. При этом справедлива теорема о сходимости градиентного метода к многообразию экстремалей (3.1.1). Если вернуться к уравнению, то градиентная процедура принимает вид. при котором (н + 1)-ый элемент итерационной последовательности получается вычитанием из «-го элемента невязки • уравнения на «-ом элементе с некоторым параметром.

В параграфе 3.3 решается задача оптимального приближения вынужденных колебаний в нелинейной Г-периодической сис теме.

Рассмотрим систему

^ = + /(«,*). ' № т

Здесь х = {я.'1,... ,:г'лг} ..... вектор евклидова пространства Нл: А —

= {я^} (г,],..., ЛГ) — постоянная матрица: / : МхМл' -> К'4' непрерывная по совокупности переменных Т-периодическая по t (т.е. /(£ + Т. :г) = = /(¿,ж)) вектор-функция /(¿,а:), удовлетворяющая условию Липшица

|/(4,а.-1)-/(М:2)| — 1• (07)

Предположим, что система (60) имеет Т-иериодический режим =

= ((.).... ,:г1Д)(0}- В методе гармонического баланса приближения хп(Ь) = {.т„л(0> • • • -хг1.лгМ} ищутся « виде тригонометрических по.шшь мов

-Л/ 2жк1 , . 2—И \

ХГ1.„{1) = 0()..ч + 2^1 "'.-ч с:ОН + к»1 -у~ I • ((>«)

А=1 ^ '

Для отыскании коэффициентов составляется равенство

dt

= Axn(t) + Pnf(t,xn(t)), (69)

где P„!)(t) ■ отрезок ряда Фурье Т-периодичеекой функции y(t), в котором удержаны гармоники до порядка п. Приравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках в левой и правой частях равенства (69). получаем систему (2п + 1 )N уравнений

Щ («о.ь • • • ... :1)пЛ,..., ao.N,---

с (2п + 1)ЛТ неизвестными. Уравнения (70) образуют систему уравнений гармонического баланса. Находя решения этой системы и подставляя их г. (G8). получаем компоненты приближения xn(t) к отыскиваемому периодическому режиму xr(t).

Па практике систему (70) зачастую решают приближенно. Задача отыскания Т-исрподпческих режимов системы (60) эквивалентна отысканию решений интегрального уравнения

г

x(t)= j H(t-s:T) f(s,x(s))ds. (71)

о

Функция H(t:T) определена на всей оси. Т-периодична и H(t: Т) = (I - cTAyxetA (0 s? t < Т).

Уравнение (71) изучается в пространстве Ь2 вектор-функций x(t). определенных на [0.Т]. измеримых и суммируемых с квадратом. 11о. ложим

Г

Пх = j H{t-s;T)x{s)ds, (72)

о

fW =/(*,*(*))• (73)

Линейный оператор 71 действует в L> и ограничен, а оператор суперпозиции f действует is L> и удовлетворяет условию Липшица

llf(*i) - f(x-2)||ta < q\\xi - ar2|U2, (74)

где (j коэффициент из (07). Уравнение (71) можно записать в операторной форме:

■г = Щ(х) (х € £,). (75)

В силу (71) оператор 'Щ : L> -ь ¿2 удовлетворяет условию Липшица с константой (¡ЦЩ. где ||Н|| норма оператора Н : L> -> L>. Кслп иыпол нено нера nei i ство

ч\\Щ < 1, (7(5)

то оператор Щ : L-¿ —1► /-2 удовлетворяет условиям принципа сжимающих отображений и. следовательно, уравнение (7Г>) (а значит, и уравнение (71)) имеет единственное решение :i.'* = x*(t), являющееся Г-периодическим решением системы (G6). При этом последовательные приближения

хк+1 = Щхк) (к = 0,1,...) (77)

сходятся к х» при любом начальном приближении хц и

К сожалению, эта оценка мало полезна при значении (j\\7i\\ близком к единице.

Следующая теорема основана на использовании априорной информации об отыскиваемом колебательном режиме: если он .достаточно хорошо аппроксимируется тригонометрическим многочленом низкого порядка. то в качестве начального приближения следует брать решение, найденное методом гармонического баланса этот порядка.

Введем Нп стандартное конечномерное подпространство первых (2и. + 1)АГ элементов векгорпозначных тригонометрических функций. Рп : L > —> Н„ ортопроектор пространства L> на Н„.

Нижеследующий результат относится к спроектированному уравнению:

а:„ - Рг,ПЦхп). хп <=Н„. (78)

Теорема 3.3.5. Пусть выполнены первенства

Ч\\Щ<1. -Р,,,:^,., <£>()

IMIirJ < Р, /»>0

Пусть начальное приближение метода

4+1 = Р„Щ{хк = 0,1...., ч > т (7!))

является решением ущапения

х = pn,Hf(x) т

Toada, справедлива следующая оценка скорости сходилюста метода. итераций

и _ и Тр (<№\\)4i+<m\\) „

»•'* 27г(1 — </||"Н||)(н. + 1) (l-'OT)2 ^

Теорема демонстрирует зависимость скорости сходимости от грех параметров начального приближения, размерности подпространства и номера итерации.

В пункте 3.3.4 полученные результаты применимы к теории систем автоматического регулирования. Динамика такой системы 1V описывается дифференциальным уравнением

Цр)у = М{р)у{1,у),

где Р =

Цр) = р1 +«1 р' 1 + ... + Я1,

М(р) = Ьор'п + Ь1Р'"-] + ... + Ь,п

п I > т. Предполагается, что нелинейность '/(¿.у) непрерывна но совокупности переменных. Г-иериодична по I и удовлетворяет условию . Ьппппца но ц\

т) - <№,т)\\ ^ Фп - т\\- (81)

Кроме того, предположим. что многочлен Ь{р) не имеет корней вида (2/.'7г/')/Г. (к = О, ±1,...). Система автоматического регулирования эквивалентна интегральному уравнению:

I

,Д0 = I ПЦ - 8:Т)д{8,у{*)№,

где /»(<:: Т) импульсно-частотиая характеристика линейного звена с передаточной функцией И'(р) -- М(р)/Ь(р). Как и раньше, введем ко-.нечно.ме])ные подпространства тригонометрических функций Нп: Рп — ортопроектор Ь> па Н„. Обозначим

Г

I );/ = I 1,Ц-»:Т)у(.ч)с1», Ь

Для оператора () справедливы равенства

'2кттг

= ||-Р«*} ||= шах

А—0.1.....п

И'

т

(82)

11редположим. ч то система 1Г имеет Т-иериодический режим у* = у«(£). Определим метод последовательных приближений

Н1;^ = Р,,ЫИп) (Л-= 0,1,...). (83)

Теорема 3.3.9. Зафиксируем m < п. Предположи.и. vino выполнены неравенства:

IMIu'J < Р' «>,(!< 1, \\Р,„У* - y*\\l.2 ^ -

Пусть начальное приближение у" в методе (83) принадлежит Нт и является решением уравнения

У = РтН(у)-

Т-)?.da

П k\\< Тр I -

I!.'/* .'Л,II - 27г(1 _ a.nq)(tl -+- 1) (1 _ П„7)(1 - n,„q) ~

Полученные результаты не только показывают качественную зависимость сходимости приближенного метода от выбора начального приближения. но и дают количественные оценки скорости этой сходимости. Кроме того, они составляют наиболее эффективное и применимое на практике средство решения задач о вынужденных колебаниях.

В параграфе 3.4 предложен итерационный алгоритм приближенного построения циклов многоконтурных систем автоматического регулирования. Этот алгоритм не требует устойчивости цикла, равно как н отличия от пуля каких-либо топологических индексов.

Динамика .многоконтурной автономной системы автоматического регулирования описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений

' ^ (;í):ri (ж)/•(*"■ ■•,*»),

- ....................................... (81)

. .......,)•

Здесь L¡{p) и M¡{p) многочлены:

L;(р) = р1> + аУ'-'-Г+ ... + а)., (8Г»)

-- i>'op"" + чу"'-1 + ■■■ + кп,• (»«)

(1 = 1,...,«),

р = 4т — оператор дифференцирования по переменной t.

Данная система может быть записана в виде автономного векторного дифференциального уравнения

^ =./•(:<•) (х е K,v), N = h+h + ... + ln. (87)

Рассмотрим следующую итерационную процедуру

.'•А + 1 =-n-7A■■^(I-VT(t,.xk.))-(xk.-p(tbxh:)) + ({a,xk}~b)-ay (88)

h + l = t-k + Нк- ■ {f(p(tk, *к - p(tk, fc = 0,1.....

V(Lx) (V(Q,x) = I)

фундаментальная .матрица линейной системы дифференциальных уравнений

f = (90)

а "А -/'А- управляющие параметры итерационной процедуры (88) - (89).

Теорема 3.4.1. Пусть najxi {а;*,Т*} является изолированным решением системы уравнений

(I - VT(t. х))(х - p(t, х-)) + ((а, х) - Ь)а = 0, (91)

{f{]>{t,x)),x-p{t,x))= 0, (92)

а управляющие тцм.метры 7а-,/Ц- итерационной процедуры (88), (89) удовлетворяют ис/швенствам

О < «о < 7fe < А) < 1, (93)

0<«, < 1, (91)

где числа ¿fo и lit достаточно .малы. Пусть начальное приближение {.го-^о} проа.едуры (88). (89) достаточно близко к {./,'*, Т*}. Тогда последовательные. приближения {Xk-tk} процедуры (88). (89) сходятся к

\hn(\\xk-x*\\ + \tk~T*\) = 0. (95)

Теорема (3.1.1) гарантирует локальную сходимость итерационного процесса к паре {ж*.Г*}, которая определяет точку х* на искомом цикле и период Т* этого цикла. Фактически она представляет собой градиентный метод, записанный для функционала суммы двух погрешностей. Первая представляет уклонения вектора х при его сдвиге вдоль траектории на время t от самого вектора х. Вторая уклонение х от гиперплоскости, заданной вектором га и числом I).

Пункт 3.4.4 описывает выбор параметров алгоритма -д. и исходя из оценок на правую часть и ее производную выписываю тся неравенства для ßo и ß\. при которых метод сходится.

В параграфе 3.5 приводится обобщение проксимациопного метода для задач невыпуклой оптимизации.

Классические методы решения вырожденных оптимизационных задач (например, градиентный метод или метод Ньютона) могут оказаться неработоспособными даже в ситуациях, когда минимизируемый функционал является выпуклым и сколь угодно гладким. Поэтому в вырожденных ситуациях часто прибегают к какой-либо регуляризации задачи. Одним из наиболее распространенных методов регуляризации является проксимационный метод (или ргох-метод). К настоящему времени ргох-метод детально разработан и исследован .тля выпуклых оптимизационных задач.

Опишем процедуру ртох-метода. Пусть /(:г) -- минимизируемый функционал, определенный на вещественном гильбертовом пространстве Н. и имеющий вырожденную точку минимума .г». Зафиксируем положительный параметр 5. начальное приближение :го п рассмотрим процедуру

хш е Arg шш (/(я) + \ z II:« - хкIii,) . (90)

Теорема 3.5.2. Пусть функционал f{x), х € Н обладает свойством Н-правильности, удовлетворяет условию роста:

^ lim /(:г) = ос

и имеет единственную критическую точку х*. Toada при любом начальном приближении хо и любом значении параметра регу.щпмации е > 0 ргох-метод

х,,+, 6 Arg min (/(x) + \ е ||а: - хк||2) (97)

сходится к точке х*:

lim =0.

Ä—>ЭС'

Теорема справедлива и для конечномерных пространств. В главе 4 показывается связь между устойчивостью и приближенным поиском решений, затем вводятся так называемые ^-правильные функционалы Ляпунова, позволяющие упростить проверку достаточных условий устойчивости и сходимости приближенных процедур.

Широкий класс задач математической физики, а также оптимизационных задач может быть съеден к отысканию стационарных точек системы

d* „ , . Л =

которая является частным случаем абстрактного дифференциального уравнения

(99)

в банаховом пространстве.

Часто решение некоторой задачи соответствует нулю ж, оператора /. К ели х* асимптотически устойчив, то его можно приблизить сдвигом произвольного начального значения xq вдоль траекторий уравнения.

В пункте 4.1.2 на примере явного метода Эйлера показана связь меж/у/ сходимостью последовательных приближений и существованием функционала Ляпунова.

Предположим, что оператор / в уравнении (99) ограничен на ограниченных множествах. Запишем (формально) явный метод Эйлера для сис темы (99) и банаховом пространстве Е:

■'•(-и = ж,- + /</(*';), г = 0.1,2,..., (100)

где xa начальное значение, h - положительный параметр. Тогда можно сформулировать следующее достаточное условие сходимости метода (100). "

Теорема 4.1.1. Предположим, что существует функционал V(x), определенный. на шаре В{г.х*). г > 0, равномерно дифференцируелшй на В {г, а:*), для которого выполняются неравенства

iiif V(x) > //(/>) >0, 0 < р < г

Y sup (VV(x),f(x))<v(p)< 0, 0<р^г, [ПП>

где. //(•). ;-'(•) - непрерывные функции и градиент VV(í) ограничен на В(г,х,). Тогда для любого ~ > 0 найдется параметр h > 0 такой, что ппщхщионпая последовательность (100) сходится за конечное число шагов к .г, с точностью ||.г„ — ;г*|| < £ для любого начального вектора .('о е В(г.х*). удовлетворяющего условию F(:f.-o) < р(г).

В параграфе 4.2 приводятся новые достаточные условия устойчивости и асимптотической устойчивости, позволяющие обойтись (км затруднительной проверки поведения функционала Ляпунова к окрестности положения равновесия. Сначала вводится понятие ¿^-правильного функционала.

Пусть Е — вещественное сенарабелысое рефлексивное банахово пространство. Определенный на Е непрерывно дифференцируемый по Фрс-ше функционал V(:r) назовем Е-праиильным. если его градиент VV" : Е Е* является локально липшнцевым и обладает следующим cuoii-ством (£')+: если последовательность х„ 6 Е слабо сходи тся к точке .»•„

и _

lim (VV(xn),x„ - .то) <0, (102)

/I —»oo

ТО

|| хп-хо ||=0. (10.4)

В пункте 4.2.1 устанавливаются основные общие свойства таких функционалов, далее приводятся типичные примеры, характеризующие класс.

Л. Пусть А : Н —> Н — ограниченный самосопряженный линейный оператор, спектр сг(А) которого лежит па положительной полуоси. Тогда функционал

n*) = !,(Л»:..г)

будет .Н-правильным, а, следовательно, н ^-правильным.

B. Пусть теперь спектр rr(A) оператора А представим в виде а (Л) : = ст+(А) U (.4). где

а+(А) С М+, а-(А) С К-,

причем (Т-(А) состоит нз конечного числа собственных значений оператора А. имеющих конечную кратность. Тогда соответс твующая квадратичная форма

V(x.) = \(Ах,х)

является //-правильным функционалом.

C. Пусть функционал д(х) (х £ Н) слабо непрерывен, т.е. сели последовательность хп слабо сходится к Хц. то

lim <j(xn) = </(ха).

Градиент Vf/(.r) равномерно непрерывно дифференцируемого по Фреше слабо непрерывного функционала у(х) является впомне непрерывным

оператором, т.е. V//(;r) непрерывен как оператор нз Я в Я и каждое ограниченное множество в Я он переводит в предкомнактное множество. Пусть функцнопяч имеет вид

где А : Я —> Я ограниченный самосопряженный оператор, удовлетворяющий предположениям предыдущего раздела, а д(х) — равномерно непрерывно дифференцируемый по Фреше и слабо непрерывный функционал. Тогда функционал V(x) является Я-правнльным.

В пункте 4.2.2 сформулированы и доказаны теоремы об устойчивости дифференциального уравнения в банаховом пространстве Е:

= /(•'•), /(') • Е Е (104)

Теорема 4.2.1. Пусть точка х — 0 является точкой строгого локального минимума Е-щхшильиого функционала V(x) (||.т|| < г) и

{VV(x),f{x))^0 (хев(г)). (105)

Тогда нулевое состояние ¡мипювесия уравнения (101) устойчиво по Ляпунову.

Теорема 4.2.2. Пусть правая часть уравнения (10-1) удовлетворяет неравенству

,.i»f II Я*') II >а(р) (0 <р^г), (106)

где <\{р) (0 < ft ;•) положительная непрерывная функция. Пусть точка х = 0 является лиолщншаююй критической точкой Е-правинь-ного функционала V(x) (Ц.г'Ц < г), реализующей его локальный минимум. Пусть, на.конец, для некоторого числа 3 < 0

<W(:r). /(*■)> ^ /^||VV(:i;)|| ||/(ж)|| ( \\х\\ < г). (107)

Тогда нулевое, состояние, равновесия уравнения (104) асимптотически устойчиво.

Новизна полученных результатов состоит в том. что классические условия асимптотической устойчивости

iuf V(x)^p(p)> о (0 <р<г)

1И1=/'

п

snp (VV(x).f(x)) ^ ;/(/>) < 0. (0 < р <: ,■).

!М1=/'

окачиваются выполнены в случае ^-правильных функционалов Ляпунова в условиях теоремы (1.2.2).

И качестве нрп.-юження в копне третьей главы рассмотрены счетные системы дифференциальных уравнений и нитегро-дмфферепцпа. ii.in.ie уравнения.

Глава 5 посвящена двум важным прикладным задачам оптимальному управлению сетевыми системами и проблеме построения разностных сеток.

В параграфе 5.1 рассматриваются сетевые системы связи. Выведены необходимые условия оптимальнос ти н на основе градиентного ме тода предложен приближенный алгоритм построения оптимального управляющего воздействи я.

Начало разработки методов анализа » синтеза сетей связи в НЛО г. положил Эрлапг. Затем направление развивалось в работах советских ученых А. А. Харкевпча. С. И. Самойленко. В. Л. Жожпкашвплп. В. М. Вишневского и др., иностранных ученых К. Шеппопа. .1. Клейн-рока и др.

В работе за основу принята линейная модель, предложенная U.M. Гу-ревпчем. С учетом нелинейных особенностей реальных систем она приобретает более общий вид:

где A¡(t) интенсивность потока в узле j системы. P,j(A,(f)) вероятность отправки сообщения из узла г в узел ;/, ¡(t: \¡(t.)) плотность вероятности пребывания сообщений в очереди ij. v¡(t) внешний поток в узле j.

Систему интегральных уравнений (108) можно переписать в векторной форме

Изучаемая сетевая система рассматривается на временном промежу тке [О, Т]. Управляющими параметрами являются внешние потоки. Критерии качества имеет вид:

о

т

о

Рассмотрены интегральные ограничения тина неравенств и равенств па компоненты внешнего потока и типа неравенства па суммарный внешний поток:

Г

I с-(т)(1т^М (109)

о

Получены необходимые условия оптимальности управления системой связи. Предложена вычислительная процедура построения оптимальной) управляющего воздействия при ограничении на суммарный внешний поток вида (109). основанная на методе градиентного спуска. Проведен анализ выбора параметров итерационной последовательности.

Параграф 5.2 посвящен задаче построения сеток .тля разностных уравнений. Основным инструментом служат специальные гомеоморфизмы.

В пункте 5.2.2 описываются задачи численных методов, которые естественно приводят к попеку гомеоморфизма между счетной областью 52 и какой-нибудь модельной областью, например, единичным кубом. Такие вопросы возникают при построении квазиравномерных сеток, при попытке продолжить сетку с границы счетной области внутрь этой области, при построении .криволинейной системы координат, в которой счетная область становится н-мерным брусом. Кроме того, если известен один гомеоморфизм, можно получить много, имея в распоряжении семейство гомеоморфизмов счетной области на себя. Доказанные далее теоремы позволяют строить такое семейство, зная только локальное поведение отображения внутри области.

Пункты 5.2.3 и 5.2.4 посвящены формулировке и доказательству теорем о переходе от локального гомеоморфизма к глобальному.

Пусть ЯЛ евклидово пространство П С RN —- ограниченная связная область, п h : 52 —> И -■ отображение класса С1. Дифференцируе-мость h в точках границы <К1 области 52 понимается в обычном смысле: существует область il D Ц и отображение h : SIit — класса С1, сужение которого на 52 совпадает с Ii. Через h'(x) ниже обозначается матрица Якобп отображения h в точке х.

Теорема 5.2.3. Пусть отображение h гомео.морфто отображает границу д{} обмети 52 на себя и

<let h'(x) > 0 (xett). (110)

Тогда 11 гомеоморфизм из 52 на 52.

Если в условиях теоремы 5.2.3 отображение h отображает <952 па ¿>52. по не является гомеоморфизмом, то, вообще говоря, h может не быть гомеоморфизмом 52 па 52. По в этом случае I) сюръективное отображение 52 на 52.

Аналог теоремы 5.2.3 справедлив и для отображений вида

1,.{х)=Х-А{х). (14)

в бесконечномерных банаховых пространствах. где А вполне непрерывный оператор.

Пусть 12 - ограниченная связная область в вещественном банаховом пространстве Е п Л : О П ■ ■■ отображение вила (111) класса С1.

Теорема 5.2.4. Пусть отображение к го.шюморфто отображает границу №1 области П на себя. Пусть при каждом х € единица не является собственным значением операпюра А'(х). Тогда Л гомеоморфно отображает Й па И.

ВЫВОДЫ

результате разработано эффективное направление в теоретических методах приближенного решения нелинейных бесконечномерных задач. Оно базируется на использовании деформационных принципов и специальных классов функционалов, позволяющих строго доказывать теоремы сходимости методами нелинейного анализа.

• Предложена деформационно-ньютоновская приближенная процедура решения бесконечномерных оптимизационных задач, основанная на деформационном методе (методе продолжения). Выделен класс так называемых Н-правильпых функционалов, для которых эта процедура сходится. При этом достаточное количество шагов для достижения заранее заданной точности определяется в явном виде.

• Доказана сходимость так называемой деформационно-градиентной процедуры в случае отсутствия второй производной. Она. наряду с: предыдущей. применена к решению задач вариационного исчисления, механики, управления движением при интегральных ограничениях на управляющие воздействия. Обе эти процедуры не требуют близости начального приближения к отыскиваемой экстремали.

• Установлена деформационная теорема о сохранении минимума у функционала качества бесконечномерной системы при невырожденной деформации этого функционала в ситуации, когда его градиент не обладает повышенной гладкостью.

• Выделен класс функционалов па гильбертовых пространствах, для которого доказана сходимость метода градиентного спуска в случае, когда

точки минимума образуют континуальные множества. По сути, это дифференцируемые функционалы, градиенты которых удовлетворяют условию (Р, 6') Пале Смейла. При этом не требуется выпуклости а также невырожденности многообразия экстремалей.

Этот результа т использован для итерационного поиска решения системы уравнений Гинзбурга-Ландау.

В случае растущего на бесконечности функционала доказано, что сходимость метода является глобальной.

• Доказана сходимость метода градиентного спуска в пространстве ти-

о .

па С . где гладкость функционалов определяется лишь гладкостью их ни теграи тов. Это важно, поскольку в гильбертовых пространствах, на которых традиционно рассматриваются решения оптимизационных задач и соответствующие процедуры их приближения, условия диффереп-нируемости интегральных функционалов требуют весьма существенных ограничений на рост .лагранжианов и их производных.

• Доказана сходимость метода тина минимальных невязок для нелинейных интегральных уравнений Гаммерштейна. Условия сходимости формулируются в терминах ограничений на линейное ядро и нелинейность уравнения.

• Разработан метод приближенного построения вынужденных колебаний в нелинейных системах, обладающий высокой скоростью сходимости. Предлагается процедура выбора начального приближения итерационного метода- основанная на использовании априорной информации об отыскиваемом колеба тельном режиме. Показана зависимость скорости сходимости от трех параметров - начального приближения, размерности подпространства и номера итерации. Полученные результаты в том число дают количественные оценки скорости этой сходимости. В частности. эти результаты использованы для исследования систем автоматического регулирования.

• Пред.ложен алгоритм приближенного построения циклов многоконтур-пых систем автоматического регулирования, эффективный в вырожденных ситуациях. Данный алгоритм не требует отличия от нуля топологического индекса цикла. Суть метода в том. что фиксируется какая-либо точка цикла с помощью произвольной гиперплоскости и затем методом градиентного спуска минимизируется функционал невязки как по переменной фазового пространства, так и по времени. К ели исходное при-б. шженпе достаточно близко к циклу, то соответствующая итерационная процедура сходится.

• Обоснован ргох-метод для регуляризации вырожденных и певыпуклих задач. Рассмотрен как конечномерный, так и бесконечномерный случаи, доказана соответствующая теорема сходимости.

• Определен класс функционалов Ляпунова на рефлексивных сспара-бельных банаховых пространствах. Это позволило сформулировать достаточные условия устойчивости и асимптотической устойчивости бесконечномерной динамической системы, что может служить обоснованием метода приближения к стационарному состоянию (решению операторного уравнения) сдвигом вдоль траекторий системы.

• Получены необходимые условия оптимальности управления системой связи. Рассмотрены интегральные ограничения типа неравенств и равенств на компоненты внешнего потока и типа неравенства, па суммарный внешний поток.

• Предложена вычислительная процедура построения экстремального' управляющего воздействия в задаче оптимального управления системой связи. Проведен анализ выбора параметров итерационной последовательности.

• Обоснован метод построения разностных сеток в областях сложной формы на основании только локальной информации о введенной сетке и информации о соответствии границ. Для этого доказано достаточное условие перехода от локального гомеоморфизма к глобальному. Результат обобщается на случай банаховых пространств.

• Совокупность полученных результатов можно охарактеризовать как теоретически значимое направление' в теории приближенных методов решения бесконечномерных задач, основанное на современных достпже-пиях нелинейного анализа. Это направление в равной степени полезно как для обоснования различных вычислительных алгоритмов, так и для практического использования.

Литература

1. Бобылей II. .1., Исшшлои И. Г.. Пропой А. И. N 1етод п] юдол жен и я в проблеме приближенного построения решений бесконечномерных оптимизационных задач , Доклады АН СССР. 1990. 312. Л'".'!. - С. Г)50 - 55 1.

2. Ислшилов И. Р. О проксимацнонном методе решения невыпуклых оптимизационных задач , , Автоматика и телемеханика - 1990. .V" Г). С. 186 189.

Ислшилов И. Г. Алгоритмическое обеспечение задачи оптимизации систем связи Прикладные задачи оптимального управления: модели, методы, алгоритмы. -- М.: Институт проблем управления, 1990. С. 65 - 71.

I. Бобылев II. Л.. Иваненко С. Л., Исмаилов И. Р. Несколько замечаний о гомеоморфпых отображениях / / Математические заметки.

1990. Т. (¡0. X* 1. С. 593 - 590.

5. Бобылев //. Л., Исмаилов И. Г., Коровин С. К. Градиентные процедуры и задачах с неизолированными экстремалями // Доклады РАН. 1997. 351. X« 1. С. 11 — 13.

0. Бобыле.в Н. Л., Исмаилов И. Р. Итерационные процедуры в задачах управления и оптимизации // Приборы и системы управления. -1997. .V» 2. - С. 15 - 18.

7. Исмаилов И. Г. Об одной процедуре приближенного ¡кипения задач управления и оптимизации /.' Автолштика и. телемеханика. -1997. .V» 1. - С. 227 - 231.

8. Исма-илов И. Г.. Кутузов Л. Л. Градиентные процедуры .для интегральных функционалов , ,' Автолштика и телемеханика. - 1997. .V' 3. С. 5Г 5(5.

9. Бобылев II. Л., Исмаилов И. Р.. Коровин С. К. Градиентные процедуры в задачах с неизолированными экстремалями '/ Дифференциальные уравнения. 1998. - Т. 31. X® 3. - С. 12 - 22.

10. liobylev N. Л., Ismailov I. G.. Korovin S. К . Gradient methods in problems with extremal contiima // ESA1M. Control, Optimization and Calculus of Variations. - 1998.'X'- 5. -P. 131 - 1 12.

11. Исмаилов И. P. .Е-правильные функционалы Ляиуиова в задаче об устойчивости бесконечномерных систем 'Груды Института про блем управления им. В. А. Трапезникова РАИ. - Т. XVII. - 2002.

С. 31 18.

12. Исмаилов И. Р. Об устойчивости бесконечномерных систем /,' Ле-томатика и телемеханики. А"» 8. -• 2002. -- С. 24 - 30.

13. Исмаилов И. Р. Итерационный алгоритм построения циклов нелинейных автономных систем. 4.1. Сходимость. Проблемы управления. 2005. X» 3. С. 10 - 12.

11. Исмаилов И. Г. Итерационный алгоритм иск троения циклон нелинейных автономных систем. 4.2. Оценка параметров. Проблемы ущшштия. - 2005. 4. С. 30 32.

15. Исмаилов И. Г. Кузнецов Ю. О. Метод типа минимальных невязок для нелинейных интегральных уравнений. Проблемы управления. - 2005. .V 6. - С. 18 - 21.

10. Исмаилов И. Г. Условия оптимальности в задаче управления входными потоками многоканальных сетей связи Проблемы управ ления. - 2011. Л"» 6. - С. 2 - 6.

17. Исмаилов И. Г. Вычислительная процедура построения оптимального управления входными потоками многоканальной сети связи Проблемы управления. - 2012. 1. - С. 77 7!).

18. Исмаилов И. Г. Проекционно-нтерациопные процедуры приближенного построения вынужденных колебаний в нелинейных системах /,' Управление большими системами. 2012. Выпуск 3!). С. 37 - 52.

19. Исмаилов И. Г. Приближенные процедуры решения задач управления и оптимизации. - М.: МАКС Пресс. 2002. 21!) с.

20. Бобылев П. А.. Исмаилов И. Г.. Пропои. Л. И. Деформацпоппо-итерационные процедуры приближенного решения экстремальных задач 7 Препринт. - Институт проблем управления АП СССР. - М.. 1990. 18 с.

21. Исмаилов И. Г. О приближенном построении оптимальных управлений многоканальными сетевыми системами VI Всесоюзное совещание "Управление многосвязными системами'" Тезисы док. гадов. - Суздаль. - 1990. - С. 67 - 68.

22. Исмаилов И. Г. Управление динамической моделью многоканальной сети связи /У Ш Всесоюзное совещание по распределенным автоматизированным системам массового обслуживания Тезисы докладов. Винница. 1990.

23. Дементьев С. П.. Исмаилов И. Г.. Кутузов .1. .1. Градиентные методы в задачах оптимального управления раеп|>едолеппыми системами. Математические задачи химической кинетики. Тверь. 1995.

2-1. Бобылев П. Д., Исмаилов И. Г.. Коровин С. К. Об одном алгоритме построения предельных циклов в системах автоматического

регулирования IV Международный семннар "Устойчивость и колебании нелинейных систем управления". - Москва. - 1996. С. <>.

Ismailov 1. G. Gradient method in .problems of infinite-dimensional optimization Third Internationa] Symposium 011 "Method and Models in Automation and Robotics". Poland. - 1996.

Ismailov l. С. On the scheme of approximate construction of cycles of nonlinear systems .'/ Fourth International conference 011 "Control, automation, robotics and vision", Singapore. 1996.

Ismailov !. С. О11 the approximate construction of cycles in automatic control systems Fourth International Symposium 011 "Method and Models in Automation and Robotics", Poland. - 1997.

Нсмаилои И. Г. Оптимизационные задачи с симметрнями // Материалы международной научно-практической конференции "Управление большими системами". - Москва. - 1997. С. 310.

Исмаилов И. Г. Градиентные методы приближенного решения уравнений Гинзбурга-Ландау // Тезисы доклада в Международном семинаре "Дифференциальные уравнения и их приложения". Самара. 1997.

Исмаилов И. Г. Об устойчивости бесконечномерных систем // VII Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" , Тезисы доклада. - М.: Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова. - 2002. - С. 81 - 85.

Исмаилов И. Г. О приближенном построении экстремалей вариационных задач Международный симпозиум "Обобщенные решения в задачах управления". - Переславль. 2002. - С. 21 - 25.

Исмаилов И. Г. Оптимальное управление системами связи // Теория активных систем. Сборник трудов Международной научно-практической конференции "ТАС-2011". - М.: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова. - 2011. - Т. 2. - С. 156 - 160.

Ислиаиюв И. Г. Исследование вынужденных колебаний с помощью проекциопио-итерацпоиных процедур и метода гармонического баланса Конференция "Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах" (УТЭОСС-2012). - Сапкт--Иетсрбург. 2012. С. 136 - 139.

Личный вклад автора в работах. опубликованных с соавторами, следующий: в |1.20| - доказательство деформационной теоремы при отсутствии повышенной гладкости функционала, определение п дока ¡а-тельство деформационшьградиептпоп и деформационно-ньютоновской процедур: приложение к задаче оптимального управления, в | !| доказательство конечномерной и бесконечномерной теорем о глобализации локального гомеоморфизма при гомеоморфпом соответствии границ. в [б| - доказательство теоремы об оценке скорости сходимости итерационного метода в зависимости от выбора начального приближении, в |8] ■- формулировка основной теоремы и доказательство леммы о сходимости градиентного метода для вещественной функции с: возмущениями. в [5,9] - доказательство теорем о локальной и глобальной сходимости градиентного метода к множеству экстремален (Р. ¿^-правильного функционала н приложение результата к исследованию решений уравнений Гинзбурга Ландау, в [10] - доказательство леммы о положительности (Р, Э)-правильного функционала в окреетпостпом слое связного компакта локальных минимумов, а также приложение к исследованию экстремалей многомерных интегральных функционалов, в |15) формулировка и доказательство основной теоремы.

Научное издание

Исмаилов Илхам Гусейнкулу оглы

Методы нелинейного анализа в построении приближенных решений задач управления и оптимизации

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 20.03.2014. Формат 00x90/16. Усл. печ. л. 2.81. Уч.-изд. л. 2.0. Тираж 100 экз. Зака з X2 30.

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова Российской академии паук. 117997. ул. Профсоюзная, д. 05 Россия, Москва Е-шаП: svnQipn.ni Ь^р:, www.ipu.ni

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова

Российской академии наук

УДК 517.97:618.511.4

На правах рукописи

ИСМАИЛОВ ИЛХАМ ГУСЕЙНКУЛУ ОГЛЫ

МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОГО АНАЛИЗА В ПОСТРОЕНИИ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ И ОПТИМИЗАЦИИ

Специальность: 05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации)

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Научный консультант Бобылев Николай Антонович

доктор физико-математических наук, профессор

МОСКВА—2014

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ....................................................................6

1 Метод продолжения в проблеме приближенного решения бесконечномерных оптимизационных задач............................17

1.1 Основные понятия......................................................17

1.2 Общая характеристика деформационных методов..................26

1.3 Деформационный принцип............................................32

1.4 Конечномерные леммы ................................................33

1.5 Свойства Я-правильных функционалов..............................40

1.6 Деформационная теорема..............................................45

1.7 Следствия, дополнительные замечания..............................47

1.8 Деформационно-ньютоновская процедура............................49

1.9 Деформационно-градиентная процедура ............................61

1.9.1 Постановка задачи..............................................61

1.9.2 Основные результаты..........................................62

2 Приложения деформационно-итерационных процедур.....68

2.1 Задачи оптимального управления....................................68

2.1.1 Постановка задачи..............................................68

2.1.2 Вспомогательные утверждения................................69

2.1.3 Деформационные теоремы....................................78

2.2 Задачи вариационного исчисления....................................81

2.2.1 Одномерные задачи............................................81

2.2.2 Многомерные интегральные функционалы..................83

2.2.3 Деформационная теорема......................................85

2.3 Итерационные процедуры и метод малого параметра..............86

2.4 Дополнительные замечания............................................91

2.4.1 Деформации бесконечномерных задач

математического программирования..........................91

2.4.2 Деформации многокритериальных задач....................93

2.4.3 Многокритериальные задачи с ограничениями..............97

2.4.4 Деформационный принцип минимума

для функционалов на метрических пространствах..........99

2.4.5 Нормальные деформации...................101

3 Итерационные процедуры в задачах управления и оптимизации ......................................104

3.1 Градиентные процедуры приближенного построения решений оптимизационных задач.........................104

3.1.1 Общие сведения........................105

3.1.2 Градиентный метод для (Р, 5)-правильных функционалов 107

3.1.3 Градиентные процедуры в задачах с континуумами экстремалей ............................113

3.1.4 Функционалы классического вариационного исчисления . 120

3.1.5 Многомерные вариационные задачи.............122

3.1.6 Задачи оптимального управления системами

с распределенными параметрами...............124

3.1.7 Градиентные процедуры в задаче приближенного построения решений уравнений Гинзбурга-Ландау........126

3.1.8 Один пример функционала с континуумом экстремалей . 131

3.1.9 Градиентные процедуры в задачах о слабом минимуме . . 133

3.2 Нелинейные интегральные уравнения................142

3.2.1 Основной результат......................142

3.2.2 Нелинейное уравнение Пуассона...............150

3.3 Проекционно-итерационные процедуры приближенного построения вынужденных колебаний в нелинейных системах.......152

3.3.1 Введение............................152

3.3.2 Постановка задачи.......................153

3.3.3 Основные результаты.....................155

3.3.4 Колебания в системах автоматического регулирования . . 169

3.3.5 Дополнительные замечания..................173

3.4 Итерационный алгоритм приближенного построения циклов многоконтурных систем автоматического регулирования.......174

3.4.1 Дифференцируемые уравнения динамики

систем автоматического регулирования...........174

3.4.2 Задача о приближенном построении циклов

в автономных системах....................177

3.4.3 Основная теорема.......................178

3.4.4 Оценки параметров алгоритма................184

3.5 Проксимационный метод решения невыпуклых оптимизационных задач ..................................190

3.5.1 Введение............................190

3.5.2 Основные теоремы.......................191

3.5.3 Дополнительные замечания..................195

Непрерывные алгоритмы построения решений бесконечномерных задач и устойчивость бесконечномерных систем . . . 201

4.1 Общие сведения ............................201

4.1.1 Введение............................201

4.1.2 Функционал Ляпунова и явный метод Эйлера.......202

4.1.3 Функционалы Ляпунова на банаховых пространствах . . . 205

4.2 Новые достаточные условия устойчивости .............208

4.2.1 .Е-правильные функционалы Ляпунова...........208

4.2.2 Теоремы об устойчивости...................216

4.2.3 Счетные системы дифференциальных уравнений.....218

4.2.4 Интегро-дифференциальные уравнения...........220

5 Прикладные задачи...........................222

5.1 Итерационный алгоритм решения задачи оптимизации

сетевых систем.............................222

5.1.1 Нелинейные системы. Управление входными потоками . . 222

5.1.2 Интегральные ограничения типа неравенств на компоненты внешнего потока......................230

5.1.3 Интегральное ограничение типа неравенства

на суммарный внешний поток................231

5.1.4 Интегральные ограничения типа равенств

на компоненты внешнего потока...............232

5.1.5 Интегральное ограничение типа равенства

на суммарный внешний поток................233

5.1.6 Вычислительные алгоритмы.................233

5.2 Теоремы о глобальном гомеоморфизме

и задачи построения сеток ......................236

5.2.1 Введение............................236

5.2.2 Некоторые задачи построения сеток.............239

5.2.3 Отображения в конечномерных пространствах.......242

5.2.4 Отображения в банаховых пространствах..........247

Выводы.....................................249

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.........................253

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Оптимизация систем с бесконечным числом степеней свободы — важнейшая задача современной теории управления. На сегодняшний день имеется множество как частных результатов решения задач, так и общих методов. Последние, чаще всего, требуют ограничительных предположений о минимизируемом функционале (повышенная гладкость, информация о близости начального приближения к отыскиваемому решению, хорошая обусловленность и т.д.), которые на практике, как правило, не выполнены. В связи с этим возникает потребность разработки достаточно общих методов, эффективных и простых в численной реализации.

Изучаемые в диссертации методы продолжения по параметру восходят к А. Пуанкаре и С. Н. Бернштейну. Метод продолжения в задачах приближенного решения нелинейных уравнений впервые был применен, по-видимому, Лаэем [224,225] (см., также [158]).

На основе метода продолжения Н. А. Бобылев разработал деформационный принцип минимума. Он состоит в том, что если в процессе специальной, так называемой невырожденной деформации оптимизационной задачи ее экстремаль остается равномерно изолированной, то она сохраняет свойство быть точкой минимума. Как показал Н. А. Бобылев, деформационный принцип обобщается на случай невырожденных деформаций гладких функционалов на гильбертовых пространствах, нормальных деформаций, гомотопий в задаче о слабом минимуме и т. д. Деформационный метод находит эффективное применение в задачах вариационного исчисления, оптимального управления, многокритериальной оптимизации, задачах нелинейного программирования и других прикладных вопросах. Конечномерная теория изложена в работе [13]. Понятие ./^-правильного функционала введено в [15]. Деформационный принцип минимума для гладких функционалов на гильбертовых пространствах, градиенты которых являются локально липшицевыми, обоснован в статье [16]. Его обобщениям на случай, ко-

гда градиенты функционалов могут не удовлетворять условию Липшица (основной вспомогательный результат первой главы 1.3.1) посвящены работы [28,29]. Обобщение теоремы 1.3.1 на случай функционалов, определенных на рефлексивных банаховых пространствах, изложено в работах [8,9,28]. Деформационный принцип для глобального минимума можно найти в работе [14]. Деформации систем в асимптотически устойчивые рассматриваются Н. А. Бобылевым и М. А. Красносельским в работе [35].

Развитию деформационного принципа, его обобщениям на липшицевы функционалы, определенные на бесконечномерных пространствах, а также на задачи с ограничениями, посвящены работы [19,20,30,31,89,189-194,208,235]. В теории краевых задач метод продолжения использовался в работах [17,82].

Метод продолжения в задаче доказательства разрешимости операторных уравнений в банаховых пространствах использовался М. К. Гавуриным [57] (см., также, [132,215,223,226,230,236]).

Данный метод развивался в работах Фрейденстейна и Рота [217], Н. А. Шид-ловской [203], Д. Ф. Давиденко [69-73], Робертса и Шипмэна [228], Босаржа [211]. Более подробную библиографию смотрите в [158,201]. В работах А. М. Дементьевой [77], [78] метод продолжения развит для исследования общих задач, сводящихся к операторным уравнениям.

Имеющиеся на сегодняшний день результаты по данной тематике обладают рядом недостатков: в них либо предполагается глобальная разрешимость дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, что требует дополнительной гладкости, либо формулируются утверждения о сходимости метода без каких-либо оценок скорости сходимости.

Предлагаемая в диссертации деформационно-ньютоновская процедура позволяет получить приближение к решению операторного уравнения с заданной точностью е за конечное количество шагов Аг(с), при этом N(8) выписывается явно. Альтернативная деформационно-градиентная процедура дает возможность избавиться от требования гладкости. Эти процедуры не требуют близости

начального приближения к экстремали. Для разработанных методов рассматриваются приложения к классическим задачам оптимального управления и вариационного исчисления. Указанные процедуры описаны в работах [28,29,106].

Анализу приближенных процедур типа градиентного спуска локализации оптимального решения (точки минимума функционала качества) посвящено большое количество публикаций как в российских, так и в зарубежных научных изданиях. Мы отметим здесь монографии и статьи [3-5,18,52-56,60,99, 101,105,106,119,157,166,169,176,219,229]. Сходимость градиентного метода в проблеме построения экстремалей задач классического вариационного исчисления установлена в [99]. Градиентные процедуры для многомерных вариационных задач изучались в [33], а в задачах оптимального управления системами с распределенными параметрами — в работах [52,53]. Задачам с континуумами экстремалей посвящены работы [26,27,101,210].

Наиболее полно градиентные процедуры исследованы в случае, когда изучаемый функционал удовлетворяет какому-либо условию выпуклости (строгая выпуклость, сильная выпуклость, монотонность градиента и т. д.). В ряде важных вопросов (например, в задачах оптимального управления с функционалами качества общего вида, в задачах классического вариационного исчисления) изучаемые функционалы невыпуклы. В таких случаях локальная сходимость градиентного метода установлена в предположении невырожденности точки минимума. Позднее Н. А. Бобылевым был введен класс функционалов (Н-правильные функционалы), для которых удалось доказать сходимость градиентных процедур (метод наискорейшего спуска, метод простых итераций) в предположении лишь изолированности отыскиваемой точки минимума — [18]. Затем эти результаты были обобщены Н. А. Бобылевым, С. К. Коровиным и А. А. Кутузовым [33] для так называемых (Р, 5)-правильных функционалов. В то же время во многих задачах бесконечномерной оптимизации критические точки не изолированы.

В настоящей работе доказывается сходимость градиентного метода для

(Р, ¿^-правильных функционалов в случае континуума критических точек без предположений о выпуклости или невырожденности. Соответствующие публикации — [26,27].

Этот результат позволил доказать теорему о сходимости метода типа спуска для системы уравнений Гинзбурга - Ландау, описывающих поведение сверхпроводника во внешнем магнитном поле. Данная теорема изложена в отдельном пункте третьей главы; [100, 101, 219] — соответствующие публикации. Существование решений этой системы доказано Н. А. Бобылевым [22] и В. С. Климовым [123].

Далее в диссертации рассмотрена проблема сходимости проекционно-итера-ционных процедур. Последние, начиная с метода Галеркина и его модификаций — Бубнова-Галеркина, Галеркина-Петрова, Фаэдо-Галеркина и др. широко распространены и применяются как для доказательства разрешимости уравнений математической физики (Лионе Ж.-Л.), так и для фактического поиска решений. Проекционным процедурам в нелинейных задачах посвящена обширная литература. Мы упомянем здесь работы [11,12,24,48-50,117,125,131,140, 159,161-165,183,186,195,209,213,232,234]. Методу гармонического баланса, являющегося одной из модификаций метода Галеркина, посвящены монографии и работы [21,24,36,37,39,43,48-50,58,106,126,173,174,180,182,200,209].

На сегодняшний день известны общие теоремы о сходимости метода гармонического баланса. Например, доказана сходимость приближений к циклу, если его топологический индекс отличен от нуля и приближающие операторы аппроксимируют исходный. В ряде случаев приводится экспоненциальная оценка сходимости, которая, однако, может оказаться неприемлемой для начальных приближений общего положения. В данной работе предлагается метод выбора начального приближения, основанный на априорной грубой информации относительно искомого решения. Фактически это означает, что чем больше известно о структуре отыскиваемого цикла, тем быстрее сойдется предложенный метод. Этот результат опубликован в работе [24].

Важным вопросом является вопрос о приближенном построении циклов в автономных системах. Если отыскиваемый цикл асимптотически устойчив и достаточно хорошо локализован, то посредством какого-либо метода численного интегрирования можно получить сколь угодно точное приближение. Однако во многих важных ситуациях (например, в задаче хаотической динамики) отыскиваемые циклы, как правило, неустойчивы. Это существенно усложняет задачу. Один из приемов приближенного построения неустойчивых циклов (Н. А. Бобылев, М. А. Красносельский) автономных систем базируется на комбинации метода функционализации апараметра и какого-либо метода Галеркина (метод гармонического баланса, метод механических квадратур, метод коллока-ции) [34]. Однако такой поход весьма трудоемок в вычислительном отношении и требует дополнительной информации об отличии от нуля топологического индекса решения. В диссертации предлагается новый итерационный алгоритм приближенного построения циклов автономных систем, эффективный в вырожденных ситуациях. Ему посвящены публикации [25,106-108,220,221,231].

Отдельный параграф описывает обобщение так называемого проксимацион-ного метода (или ргох-метода). Понятие проксимационного отображения введено Моро, ргох-метод является частным случаем метода регуляризации для некорректных задач, предложенного А. Н. Тихоновым и используется в задачах с вырожденными и плохо обусловленными функционалами. К настоящему времени ргох-метод детально разработан и исследован для выпуклых функционалов. Проксимационному методу приближенного решения выпуклых оптимизационных задач посвящены монографии и работы [7,118,155,206,218,227]. Этот метод для невыпуклых задач конечномерной и бесконечномерной оптимизации впервые обоснован в статье [94]. Результаты, относящиеся к невыпуклым задачам, излагаются в третьей главе диссертации.

Наряду с дискретными методами приближенного построения решений рассматривается также и непрерывный. Начиная с классической работы А. М. Ляпунова "Общая задача об устойчивости движения", методы функций Ляпунова

получили широчайшее распространение как в абстрактном нелинейном анализе, так и в исследовании конкретных задач. Например, А. И. Лурье, В. Н. Постникову, Н. Г. Четаеву принадлежат работы по асимптотической устойчивости в целом для нелинейных систем. Далее направление развивалось в работах ученых М. А. Айзермана, Б. П. Демидовича, Н. Н. Красовского, М. Г. Крейна, Е. С. Пятницкого [1,10,40,75,79,136,137,177].

Основной трудностью использования метода функций Ляпунова является отсутствие общих методов их построения. Одним из путей преодоления этой трудности служит использование векторных функций Ляпунова, предложенное Р. Бэллманом и В. М. Матросовым, и развивавшееся затем Л. Ю. Ана-польским, С. Н. Васильевым [148] и другими. В настоящей работе не предлагается способов построения таких функций, но выделен класс функционалов на банаховых пространствах, для которых упрощается проверка классических условий устойчивости и асимтотической устойчивости по Ляпунову бесконечномерных систем. Это, в свою очередь, приводит к возможности локализации устойчивого решения операторного уравнения сдвигом вдоль траектории системы (М. А. Красносельский [130]), что может быть реализовано классическими численными методами (Эйлера, Рунге-Кутта и