автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы нелинейного анализа в проблеме качественного и приближенного исследования некоторых задач теории управления и оптимизации

Введение

§1. Гомотопический метод исследования функционалов классического вариационного исчисления

1.1. Постановка задачи.

1.2. Основная теорема.

1.3. Подготовительные леммы.

1.4. Доказательство основной теоремы.

1.5. Признаки минимума для конкретных классов интегральных функционалов

§2. Метод Ритца приближенного решения оптимизационных задач

2.1. Постановка задачи.

2.2. Теорема сходимости метода Ритца

2.3. Подготовительные леммы.

2.4. Доказательство теоремы сходимости

2.5. Задачи классического вариационного исчисления

2.6. Многомерные задачи вариационного исчисления

2.7. Задачи оптимального управления

§3. О построении сеток в проблеме приближенного решения уравнений с распределенными параметрами

3.1. Постановка задачи

3.2. Гладкие отображения

3.3. Непрерывные отображения областей

3.4. Кусочно-гладкие отображения областей

В последние годы наблюдается бурное развитие нелинейного анализа и его приложений к смежным областям (хаотическая динамика, теория колебаний, теория игр и математическая экономика и т.д.). Отметим здесь монографии [10, 18, 19, 26, 31, 38, 40, 43, 45, 46, 47, 52, 56, 57, 63, 68, 79]. Идеи и методы нелинейного анализа привели к существенным продвижениям, как в классических разделах математики (вариационное исчисление, нелинейное программирование, математическая физика и др.), так в ряде прикладных областей (теория управления, методы оптимизации, численные алгоритмы и методы (см. например, [1, 18, 22, 25, 29, 30, 33, 34, 35, 36, 37, 39, 44, 49, 50, 63, 71])). Однако внедрение идей и методов нелинейного анализа в прикладные области находится в состоянии интенсивного развития и весьма далеко от своего завершения.

Настоящая диссертация посвящена приложениям методов нелинейного анализа к проблемам качественного и приближенного исследования некоторых задач вариационного исчисления, бесконечномерной оптимизации, оптимального управления, теории устойчивости систем с распределенными параметрами, численным методам.

Диссертация состоит из Введения, четырех параграфов, Заключения и списка литературы.

Основные результаты работы заключаются в следующем:

1. Разработан гомотопический метод исследования на минимум экс тремалей интегральных функционалов классического вариационного ис числения.2. Исследована сходимость метода Ритца приближенного решения абстрактных бесконечномерных оптимизационных задач.3. Исследован диапазон применимости метода Ритца к приближен ному построению решений задач классического вариационного исчисле ния, многомерных вариационных задач и задач оптимального управле ния с интегральными ограничениями.4. Исследована возможность построения сеток для областей сложной природы в задачах приближенного решения уравнений с распределенны ми параметрами.5. Найдены эффективные условия асимптотической устойчивости в целом бесконечномерных градиентных систем.

1. Алексеев И. М., Тихомиров В. М., Фомин С.В. Оптимальное управление. - М.: Наука, 1979.

2. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967.

3. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1954.

4. Бобылев Н. А. О деформации функционалов, имеющих единственную критическую точку // Мат. заметки. 1983. - 34. №3.- С. 387 398.

5. Бобылев Н. А. О деформационном методе исследования функционалов качества систем с бесконечным числом степеней свободы / / Автомат, и телемехан. 1981. №7. - С. 11 - 18.

6. Бобылев Н. А. Разрешимость краевых задач и признаки минимума интегральных функционалов // Укр. мат. 1985. - 37. № 4.- С. 418 424.

7. Бобылев Н. А. О градиентном методе в задачах бесконечномерной оптимизации // Автомат, и телемехан. 1985, 12. - С. 34 - 42.

8. Бобылев Н. А. Деформационный метод исследования задач нелинейного программирования. I // Автомат, и телемехан. 1989. №7.- С. 82 90.

9. Бобылев Н. А. Деформационный метод исследования задач нелинейного программирования. II // Автомат, и телемехан. 1989. №8. - С. 24 - 33.

10. Бобылев Н. А., Емельянов С. В., Коровин С. К. Геометрические методы в вариационных задачах. М.: Магистр, 1998.

11. Бобылев Н. А., Иваненко С. А., Исмаилов И. Г. Несколько замечаний о гомеоморфных отображениях // Мат. заметки. 1996.- Т. 60. №4. С. 593 - 596.108

12. Бобылев Н. А., Казунин А. В. Об одном подходе к исследованию функционалов классического вариационного исчисления // Вестник Российского университета дружбы народов. Сер. Математика.- 2002. №3. С. 163 - 176.

13. Бобылев Н. А., Казунин А. В. О методе Ритца приближенного решения оптимизационных задач // Нелинейная динамика и управление.- 2002. Вып. 2. - С. 169 - 176.

14. Бобылев Н. А., Исмаилов И. Г., Пропой А. И. Деформационно-итерационные процедуры приближенного решения экстремальных задач // Препринт. Институт проблем управления АН СССР.- М., 1990. 48 с.

15. Бобылев Н. А., Исмаилов И. Г., Пропой А. И. Метод продолжения в проблеме приближенного построения решений бесконечномерных оптимизационных задач // Докл. АН СССР. 1990. - 312. №3.- С. 550 554.

16. Бобылев Н. А., Климов В. С. Методы нелинейного анализа в задачах негладкой оптимизации. М.: Наука, 1992.

17. Бобылев Н. А., Коровин С. К. Топологические методы в вариационных задачах. М.: Изд-во "Диалог - МГУ", 1997.

18. Бобылев Н. А., Коровин С. К., Скалыга В. И. О гомотопическом методе исследования многокритериальных задач / / Автомат, и те-лемехан. 1996. №10. - С. 168 - 178.109

19. Бобылев Н. А., Коровин С. К., Кутузов А. А. Градиентные методы в бесконечномерных задачах // Дифф. уравнения. 1995. - 31, №10.- С. 1701 - 1707.

20. Бутковский А. Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965.

21. Бутковский А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975.

22. Вайникко Г. М. Анализ дискретизационных методов. Изд-во Тартуского ун-та, Тарту, 1976.

23. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977.

24. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

25. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач.- М.: Наука, 1988.

26. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Методы оптимизации. Минск: Изд-во Б ГУ, 1981.

27. Годунов С. К., Забродин А.В. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976.

28. Гродзовский Г. JI., Иванов Ю. Н., Токарев В. В. Механика космического полета. Проблемы оптимизации. М.: Наука, 1975.

29. Далецкий Ю. JI., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

30. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости.- М.: Наука, 1967.

31. Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Приближенные методы решения экстремальных задач. Л.: Изд-во ЛГУ, 1968.110

32. Евтушенко Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их применения в системах оптимизации. М.: Наука, 1982.

33. Емельянов С. В. Системы автоматического регулирования с переменной структурой. М.: Наука, 1978.

34. Емельянов С. В. Бинарные системы автоматического управления.- М.: Изд-во МНИИПУ, 1984.

35. Емельянов С. В., Коровин С. К. Новые типы обратной связи. Управление при неопределенности. М.: Наука, Физматлит., 1997.

36. Емельянов С. В., Коровин С. К., Бобылев Н. А., Булатов А. В. Гомотопии экстремальных задач. М.: Наука, 2001.

37. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.

38. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

39. Казунин А. В. О методе Галеркина приближенного построения точек минимума нелинейных функционалов // XXII научная конференция Российского университета дружбы народов. 2002.- С. 112.

40. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

41. Коннор Дж., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. М.: Судостроение, 1979.

42. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 1966.111

43. Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука. - 1975.

44. Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П., Рутиц-кий Я. Б., Стеценко В. Л. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука. - 1969.

45. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

46. Красовский Н. Н. Теория управления движением. Линейные системы. М.: Наука, 1968.

47. Кротов В. Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973.

48. Курпель Н. С. Проекционно-итеративные методы решения операторных уравнений. Киев: Наукова думка, 1968.

49. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука. - 1965.

50. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1952.

51. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир. - 1981.

52. Моисеев Н. Н., Иванилов Ю. П., Столярова Е. М. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978.

53. Обен Ж.-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения.- М.: Мир, 1988.

54. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988.

55. Первозванский А. А. Курс теории автоматического регулирования.- М.: Наука. 1986.112

56. Польский Н. И. Некоторые обобщения метода Б. Г. Галеркина // ДАН СССР. 1952. - 86. № 3. - С. 469 - 472.

57. Польский Н. И. О сходимости некоторых приближенных методов анализа // УМЖ. 1955. - 7. № 1. - С. 56 - 70.

58. Польский Н. И. Об одной общей схеме применения приближенных методов // ДАН СССР. 1956. - 111. № 6. - С. 1181 - 1184.

59. Поляк Б. Т. Градиентные методы минимизации функционалов // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1963. - 3. № 4. - С. 643- 653.

60. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.

61. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. 3-е изд.- М.: Наука. 1976.

62. Попов Е. П., Пальтов И. П. Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем. М.: Физматгиз. - 1960.

63. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука.- 1971.

64. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука. - 1978.

65. Скрыпник И. В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка. Киев: Наукова думка, 1973.

66. Скалыга В. И. О деформационном методе исследования на условный минимум функционалов качества систем с бесконечным числом степеней свободы // Автомат, и телемехан. 1991. № 6. - С. 47 - 55.

67. Скалыга В. И. Деформационный метод исследования бесконечномерных оптимизационных задач // Матем. заметки. 1993. - 53. № 2. - С. 175 - 176.

68. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука. - 1978.113