автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Оптимальное проектирование деформационных GPS/ГЛОНАСС сетей

На правах

Шеста ков Николай Владимирович

ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИОННЫХ СРв/Г ЛОНАСС СЕТЕЙ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Владивосток 2005

Работа выполнена в секторе геодезии и геодинамики лаборатории моделирования экологических процессов Института прикладной математики Дальневосточного отделения Российской Академии Наук

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Герасименко Михаил Данилович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Ащепков Леонид Тимофеевич

кандидат технических наук, доцент Лукашенко Валентина Александровна

Ведущая организация: Институт морской геологии и геофизики

ДВО РАН

Защита состоится " 2005 г. в часов на заседании

диссертационного совета Д 005.007.01 Института автоматики и процессов управления ДВО РАН по адресу: 690041, г. Владивосток, ул. Радио 5

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института автоматики и процессов управления ДВО РАН

Автореферат разослан ••-/Г" 2005 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 005.007.01 А.В. Лебедев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Деформационные GPS/TJIOHACC сети широко используются для мониторинга современных движений и деформаций земной коры в глобальном, региональном и локальном масштабах; деформаций крупных инженерных сооружений, например, плотин ГЭС; техногенных деформаций земной поверхности, вызванных добычей полезных ископаемых, и т.д. В мире функционирует одна глобальная (IGS), более десяти региональных и свыше сотни локальных деформационных GPS/TJIOHACC сетей, причем количество сетей последнего класса продолжает быстро увеличиваться, а существующие сети постоянно расширяются за счет включения в их состав новых пунктов и дополнительных измерений. В этой связи особую актуальность приобретают вопросы, связанные с оптимальным проектированием именно локальных деформационных GPS/ГЛОНАСС сетей.

Несмотря на то, что оптимальному проектированию классических геодезических построений (триангуляция, трилатерация, полигонометрия, нивелирные сети) посвящена обширная литература отечественных (Ю.М. Нейман, З.П. Тамутис, М.Д. Герасименко, Ю.И. Маркузе, К.Ф. Афонин, К.Л. Проворов, K.P. Третяк, В.А. Вагин, A.C. Ярмоленко и др.) и зарубежных авторов (Е. Grafarend, В. Schaffrin, G. Schmitt, К. Koch, Р. Xu, К. Shen-Long и др.), вопросы оптимального проектирования локальных деформационных GPS/ГЛОНАСС сетей остаются слабо освещенными, в особенности в отечественной геодезической литературе. Особый научный и практический интерес представляют следующие проблемы:

1) Модернизация и адаптация существующих, разработка новых методов и алгоритмов оптимального проектирования деформационных GPS/ГЛОНАСС сетей. Их программная реализация.

2) Поиск и отбор в проектируемой или уже функционирующей деформационной GPS/TJIOHACC сети наиболее информативных возможных измерений, оказывающих наибольшее влияние на точность получения параметров принятой модели деформаций.

3) Учет корреляционной зависимости проектируемых GPS/TJIOHACC измерений и исследование влияния этой процедуры на оценку точности деформационных параметров и результаты проектирования.

Практическое применение методов оптимального проектирования позволяет в ряде случаев значительно снизить объем затрат на постройку и наблюдение деформационной сети за счет уменьшения количества измерений и пунктов в проектируемой сети, оптимизации точности измерений, оптимального улучшения уже существующей сети путем включения в ее состав дополнительных измерений.

Концентрация усилий на реализации наиболее информативных измерений чрезвычайно важна при выполнении деедос-

БИБЛИОТЕКА j С.Петерву*г QtQ'f »9 mjttJlj л

татка времени, средств, людских и материальных ресурсов, а также при изучении быстропротекающих геодинамических процессов, например, землетрясений, извержений вулканов и т.д.

Корректность учета корреляционной зависимости во многом определяет правильность результатов оптимального проектирования и математической обработки измерений.

Вопросы, непосредственно связанные с вышеперечисленными проблемами, рассматриваются в данной диссертационной работе.

Цель работы. Разработка и практическая реализация методов и алгоритмов оптимального проектирования и отбора наиболее информативных измерений в деформационных вРЗ/ГЛОНАСС сетях, пункты которых могут располагаться только в фиксированных на местности или инженерном сооружении местах.

Для достижения поставленной цели необходимо было рассмотреть и решить следующие задачи:

1) Сформулировать и формализовать задачу оптимального проектирования локальной деформационной СРБ/ТЛОНАСС сети. Разработать алгоритм ее решения, позволяющий выполнять оптимизацию 1-го, 2-го и 3-го порядка спутниковой сети. Программно реализовать алгоритм и апробировать его на практике.

2) Разработать алгоритм поиска и отбора наиболее информативных измерений в локальной деформационной СРБ/ГЛОНАСС сети, совокупность которых обеспечивает достижение заданной точности получения параметров принятой деформационной модели. Программно реализовать алгоритм и апробировать его на практике.

3) Выявить и исследовать эффекты, возникающие в процессе оптимального проектирования и математической обработки результатов ОРБ/ГЛОНАСС измерений при учете корреляционной зависимости измерений. Вскрыть причины и условия возникновения этих эффектов.

Методы исследования. При выполнении настоящей диссертационной работы использовались методы теории математической обработки измерений и корреляционной теории, способы рекуррентного уравнивания геодезических сетей методом наименьших квадратов, численные методы решения задач нелинейного программирования.

Научная новизна.

1) Поставлена и формализована задача оптимального проектирования локальной деформационной ОРБ/ГЛОНАСС сети, пункты которой могут располагаться только в фиксированных на местности или инженерном сооружении местах, а измерения обеспечивают получение оценок параметров принятой модели деформаций с точностью не ниже заданной при минимальных затратах на построение сети и выполнение измерений в ней. В рамках данной задачи возможно использование разнообразных целевых функций и ограничений, как на веса проектируемых измерений, так и на

различные функции ковариационной матрицы деформационных параметров, а также величины, не являющиеся ее функциями. Разработан, программно реализован и апробирован на практических примерах алгоритм ее решения, позволяющий осуществлять оптимальное проектирование 1-го, 2-го, 3-го порядка и их комбинаций.

2) Разработан, программно реализован и апробирован на практических примерах алгоритм поиска и отбора наиболее информативных измерений в локальных деформационных СР5/ГЛ0НАСС сетях, совокупность которых обеспечивает достижение заданной точности получения параметров принятой деформационной модели. Алгоритм позволяет учесть ограничение на количество избыточных измерений в проектируемой сети.

3) Обнаружены и рассмотрены на численных примерах эффекты, возникающие в процессе оптимального проектирования СР8/ГЛ0НАСС сетей и/или математической обработки измерений при учете физической корреляционной зависимости измеряемых величин:

а) "искусственного" повышения веса (точности) определяемых параметров;

б) получения отрицательных весов определяемых параметров;

в) получения некорректных значений определяемых параметров.

Вскрыты причины и условия возникновения вышеприведенных эффектов.

Практическая ценность и реализация результатов. Практическое использование разработанных алгоритмов оптимального проектирования и отбора наиболее информативных измерений в деформационных СРБ/ГЛОНАСС сетях способно обеспечить, в ряде случаев, значительный экономический эффект как за счет уменьшения количества измерений и оптимизации точности их выполнения, так и за счет уменьшения числа пунктов в проектируемой сети. Концентрация усилий на реализации наиболее информативных измерений в условиях недостатка времени, материальных средств и людских ресурсов может сыграть ключевую роль при выполнении спутниковых наблюдений в неблагоприятных условиях и/или при изучении быстропротекающих геодинамических процессов и явлений. Обнаруженные эффекты, возникающие при учете корреляционной зависимости проектируемых измерений, в ряде случаев могут оказать существенное негативное влияние на результаты оптимального проектирования и математической обработки измерений.

Результаты и практические рекомендации, полученные в диссертационной работе, а также комплекс программ на основе разработанных алгоритмов внедрены в нескольких производственных и научно-исследовательских организациях, в том числе за рубежом (Япония, Кения), а также используются в учебном процессе в Дальневосточном государственном университете и Дальневосточном государственном техническом

университете, г. Владивосток. По фактам внедрения подписано 6 актов о внедрении.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 2001), научной конференции студентов и аспирантов ДВГУ (Владивосток, 2001), научном семинаре Института сейсмологии и вулканологии Хоккайдского университета (Саппоро, Япония, 2003), XXXIII Генеральной ассамблее международного союза геодезии и геофизики (Саппоро, Япония, 2003), пятой юбилейной научной конференции "Гидрометеорологические и географические исследования на Дальнем Востоке" (Владивосток, 2004).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 8 работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. Основное содержание работы изложено на 151 странице текста. Работа содержит 20 рисунков и схем. Список литературы содержит 108 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко охарактеризовано современное состояние рассматриваемых в диссертационной работе проблем, дается обоснование их актуальности, формулируется цель работы, рассматривается научная и практическая ценность полученных результатов и их научная новизна, приводятся сведения об апробации и структуре работы.

В первой главе диссертационной работы дается понятие деформационной геодезической ОРБ/ГЛОНАСС сети, рассматривается классификация и основные характеристики таких сетей, а также приводятся выражения для компонент тензора деформаций и некоторых функций от них. Рассматриваются общие выражения, необходимые для формирования деформационной модели и оценки ее параметров. Приводятся примеры простейших и наиболее часто встречающихся на практике деформационных моделей, а также выражения, связывающие результаты ОРБ/ГЛОНАСС измерений (квази-измерения) и подвижки пунктов деформационной сети. Рассматривается структура и основные способы формирования ковариационной матрицы разных видов проектируемых ОР8/ГЛОНАСС измерений. Описывается структура весовой матрицы спутниковых измерений для разных видов квази-измерений.

В достаточно общем виде, деформационная модель может быть записана в матричной форме

До = АВе. (1)

Здесь До - вектор разностей измеряемых величин между эпохами (циклами) наблюдений. В качестве таких величин при проектировании деформационной СРв/ГЛОНАСС сети могут быть использованы следующие виды квази-измерений: координаты геодезических пунктов х„ у» г„ компоненты базовых линий (векторов) Ьу между точками сети Дху, Ауц, а также

длины базовых линий /у. Элементами матриц А и В являются коэффициенты уравнений, связывающих измеряемые величины с подвижками точек деформационной сети и подвижки ее пунктов с оцениваемыми деформационными параметрами. Если эти уравнения нелинейны относительно определяемых параметров, для записи (1) требуется их линеаризация. Вектор е - вектор определяемых параметров выбранной деформационной модели. В качестве его элементов могут быть взяты компоненты тензора деформаций, их различные функции или любые другие параметры, характеризующие изучаемый объект и позволяющие представить реально наблюдаемое поле подвижек пунктов сети или изменение с течением времени других измеряемых величин в виде функций от этих параметров.

Оценка параметров принятой деформационной модели и точности их получения, как правило, осуществляется методом наименьших квадратов (МНК). Точность получения МНК-оценок этих параметров характеризуется ковариационной матрицей Ке = СТо<2е, где сг0 - апостериорная средне-квадратическая ошибка единицы веса, вычисляемая по результатам уравнивания деформационной сети; <2е - матрица весовых коэффициентов параметров деформаций. На стадии проектирования сг0 обычно заменяется априорной оценкой или приравнивается к единице, тогда К, = <2е.

Полагая на стадии проектирования, что точность получения параметров принятой деформационной модели определяется только случайными ошибками геодезических измерений, вид деформационной модели (1), состав измерений в сети, их точность и используемая система координат одинаковы для всех эпох проектируемых измерений, т.е. матрицы В, = В, А, = А и Р( = Р для V /=1,2, ...,/, и полагая сг0 = 1, получаем, что оценка деформационных параметров и их точности может быть выполнена по двум эпохам наблюдений при помощи выражений:

е = [(АВ)гР(АВ)]~'(АВ)гРДо, (2)

д, = 2[(АВ)гР(АВ)]-', (3)

где Р = весовая матрица проектируемых измерений, получаемая обращением ковариационной матрицы используемого вида квази-измерений. При игнорировании зависимости вРЗ/ГЛОНАСС измерений ковариационные матрицы всех видов квази-измерений будут диагональными. При учете корреляционной зависимости между координатами отдельных пунктов или компонентами независимых базовых векторов, соответствующие им

ковариационные матрицы будут иметь квази-диагональную структуру. В этом случае элементы блоков, расположенных на главной диагонали матрицы Q0, как правило, получают путем их моделирования при помощи эмпирических моделей и/или путем использования или модификации апостериорной ковариационной матрицы уравненных измерений, выполненных в ходе предыдущего цикла (циклов) наблюдений.

Во второй главе диссертации ставится и формализуется задача оптимального проектирования деформационной GPS/ГЛОНАСС сети, пункты которой могут располагаться только в фиксированных на местности или инженерном сооружении местах, а измерения обеспечивают получение оценок параметров принятой модели деформаций с точностью не ниже заданной при минимальных затратах на построение сети и выполнение измерений в ней. При использовании в качестве оптимизируемых величин весов проектируемых спутниковых измерений эта проблема в достаточно общем виде может быть записана в форме:

<?(/>,,....р,)-» min, (4)

Д.mm - Pi- А,™*. /= 1,2,..., /, (5)

^(Q,)^,,nu*(Qe). ¿=1,2, ..., к, (6)

g, /=1,2, ...,r, (7)

где G(pi,...,p,) - минимизируемая целевая функция; р,тт и р1Пах - допустимые минимальные и максимальные значения проектируемых весов спутниковых измерений; g>,(Q,) ~ некоторые функции ковариационной матрицы деформационных параметров Qe, а (р, ^(Q,) - их максимально

возможные значения, заданные проектировщиком; g, и g; max - некоторые функции оптимизируемых параметров и их предельные значения, реализующие другие возможные ограничения на проектируемую сеть.

Для реализации проектируемой деформационной GPS/ГЛОНАСС сети и измерений в ней наиболее экономичным путем, в целевую функцию (4) обязательно должен входить критерий минимальности затрат в той или иной его форме, например, в виде

I

фо =ХС.А "»min, (8)

ы

где с, - коэффициенты относительной выгодности проектируемых измерений.

В общем случае целевая функция (4) может быть вектор-функцией и одновременно включать в себя не только критерий затрат (8), но и другие необходимые критерии, например, критерий максимальной чувствительности к деформациям заданного уровня, наилучшей внутренней и/или внешней надежности сети и т.д. Для решения возникающей в этом случае задачи многокритериальной оптимизации можно воспользоваться, например, методом сверток. Необходимо отметить, что в рамках задачи (4)-(7)

одновременно с оптимизацией весов измерений можно оптимизировать и схему проектируемой сети, удаляя из нее малоинформативные измерения и даже отдельные пункты. Для этого нижний предел изменения весов в ограничениях (5) необходимо положить равным нулю, т.е. р,тт =0. Для удаления из сети малоинформативных пунктов в целевую функцию (4) можно включить совокупность критериев вида

<fiJ=[uJyJ(QJJW1 ^rmn, j=\,2,...,q, (9)

где Uj - коэффициенты относительной выгодности пунктов, которые желательно исключить из окончательного варианта проектируемой сети; Vj (Qjj ) - некоторые функционалы от подматриц QM ковариационной матрицы координат пунктов проектируемой сети, в качестве которых может быть использована, например, величина малой полуоси эллипса ошибок координат пункта. Введение в целевую функцию критериев вида (9) обеспечит максимизацию ошибок положения пунктов, оказывающих наименьшее влияние на определяемые параметры и их функции, и, как следствие этого, приведет к минимизации весов всех инцидентных им спутниковых измерений, что позволит удалить такие пункты из схемы проектируемой деформационной GPS/TJIOHACC сети.

В число ограничений (6) могут, например, входить известные критерии А- и D-оптимальности, а в простейшем случае могут быть взяты ограничения на диагональные элементы матрицы Qt в виде

vecdiag(Q,)< Че™\ (10)

где оператор "vecdiag" строит вектор, состоящий из диагональных элементов матрицы Qc,а вектор q^" содержит заданные проектировщиком максимальные величины диагональных элементов матрицы Qe,определяющие точность получения элементов вектора деформационных параметров е.

В качестве ограничений (7) могут быть взяты любые выражения, не являющиеся функциями ковариационной матрицы деформационных параметров, например, ограничение на предельную избыточность и/или ограничения на внутреннюю надежность проектируемой сети и т.д. Однако следует заметить, что к выбору критериев и ограничений в задаче (4)-(7) необходимо подходить с большой тщательностью, так как некоторые из них взаимно противоречивы и не могут использоваться совместно.

Для решения задачи оптимального проектирования (4)-(7) в диссертационной работе предлагается следующий алгоритм, реализованный в виде комплекса программ на языке технических расчетов MATLAB и языке VISUAL FORTRAN 6.0:

1) Ввод исходной информации: координат пунктов проектируемой сети; априорных значений деформационных параметров; предельных значений тех условий из набора выражений (5)-(7), которые используются для

задания ограничений на проектные параметры и их функции; величин, необходимых для расчета среднеквадратических ошибок спутниковых измерений и формирования весовой матрицы проектируемых измерений Р; £ -число, отражающее необходимую точность вычислений.

2) Вычисление элементов матриц А и В. Формирование весовой матрицы измерений. Если в процессе проектирования учитывается корреляционная зависимость измерений, то Р находится обращением ковариационной матрицы используемого вида квази-измерений Р = Q0'.

3) Проверка всех ограничений при максимально возможных весах Pi шах всех измерений в проектируемой сети. Если ограничения удовлетворяются, осуществляется переход на шаг 4). В противном случае необходимо либо увеличить максимально возможную точность проектируемых GPS/ГЛОНАСС измерений, либо изменить конструкцию сети или ослабить ограничения на оптимизируемые параметры и их функции и вернуться к шагу 2).

4) Снятие ограничений (5) на веса проектируемых измерений путем перехода к вектору новых переменных ф.

5) Нахождение такого оптимального решения ф*, что G{\p*) = min G(ip) на преобразованной допустимой области, определяемой ограничениями (5)-(7). Переход от переменной ф к весам измерений, т.е. преобразование \J/* в Р*.

6) Печать результатов оптимизации деформационной GPS/ГЛОНАСС

сети.

Снятие ограничений на веса проектируемых измерений на шаге 4) необходимо, поскольку количество возможных измерений в GPS/ГЛОНАСС сети нелинейно возрастает с увеличением количества пунктов, включаемых в проектируемую сеть, и может достигать нескольких сотен и даже тысяч в относительно небольшой деформационной GPS/ГЛОНАСС сети, содержащей несколько десятков геодезических пунктов. Для перехода к новой переменной можно использовать известные в математической литературе выражения, содержащие тригонометрические или гиперболические функции.

В общем случае проблема оптимального проектирования (4)-(7) представляет собой задачу нелинейного программирования. Для поиска экстремума целевой функции на шаге 5) может быть использован широкий спектр численных методов условной оптимизации. В данной работе используется метод штрафных функций, а для поиска экстремума преобразованной целевой функции применяется метод градиентного спуска.

В рамках задачи (4)-(7) при помощи разработанного на основе приведенного выше алгоритма программного обеспечения была выполнена оптимизация Кенийской геодинамической GPS сети (Кения, восточная Африка), предназначенной для мониторинга геодинамической активности Кенийского рифта (KP), и Приморской геодинамической GPS сети (При-

ю

морский край, Россия), предназначенной для мониторинга движений и деформаций земной коры, связанных с активностью Центрального Сихотэ-Алиньского разлома (ЦСАР). Для моделирования геодинамических процессов, связанных с КР и ЦСАР, использовалась модель относительного перемещения двух жестких блоков. В процессе планирования все измерения принимались равновыгодными. Результаты оптимального проектирования вышеуказанных сетей, сводятся к следующему:

- получен ряд оптимальных вариантов данных сетей, соответствующих различной точности получения определяемых параметров деформационной модели. В ряде оптимальных вариантов удалось не только уменьшить количество измерений, но и уменьшить число геодезических пунктов в сети по сравнению с первоначальным планом.

- в оптимальный вариант GPS сети должны входить компоненты наиболее коротких базовых линий, пересекающих ось рифта или разлома. Корректность данного вывода показана теоретически.

- формальный учет корреляционной зависимости спутниковых измерений в проектируемых сетях в ряде случаев приводит к возрастанию точности получения деформационных параметров, что влияет на количество включаемых в оптимальный проект сети измерений и геодезических пунктов. Справедливость данного вывода для рассмотренных сетей также показана теоретически.

Полученные результаты практически внедрены в ИПМ ДВО РАН; в Институте сейсмологии и вулканологии Хоккайдского университета (Institute of Seismology and Volcanology, Hokkaido University), Япония и в Кенийском университете сельского хозяйства и технологий (Jomo Kenytta University of Agriculture and Technology), Кения, совместно осуществляющих эксплуатацию Кенийской геодинамической GPS сети.

В третьей главе рассматривается задача поиска и отбора в проектируемой деформационной GPS/ГЛОНАСС сети наиболее информативных измерений, совокупность которых обеспечивает заданную точность получения параметров принятой деформационной модели. Предполагается, что: общее количество всех возможных измерений в сети I избыточно по отношению к количеству определяемых параметров к) ковариационная Q0 и весовая Р матрицы спутниковых измерений не изменяются в процессе проектирования; пункты деформационной сети могут располагаться только в строго фиксированных на местности или инженерном сооружении местах.

Изменение ковариационной матрицы деформационных параметров Qe при включении в проектируемую сеть независимого вектора (группы) измерений С, может быть оценено при помощи известных рекуррентных формул:

<г,=<г,-,-<гм АГ^АЯМ. (п)

= рс' + А(<3/-АГ> (12)

где Я, - матрица коэффициентов нормальных уравнений коррелат; А, -матрица коэффициентов условных уравнений коррелатного метода уравнивания, соответствующая вектору избыточных измерений С, и формально равная матрице коэффициентов уравнений поправок параметрического способа уравнивания; Рс - весовая матрица вектора избыточных измерений С,; и О, - матрицы весовых коэффициентов определяемых параметров, вычисленные соответственно до и после включения в состав сети вектора С,. Если вектор С, включает в себя только одно измерение, выражения (11) и (12) перепишутся в виде

о, = о,.,--¿-(о,-.«Г»,о,-.). сз)

к1

Д^д'+вЯмвГ, (14)

где а, - строка коэффициентов /-го условного уравнения, р1 - вес /-го избыточного измерения. Величина 1 / /?, в данном случае есть скаляр, на который умножаются элементы матрицы (^^а^О,.,.

Изменение величин диагональных элементов матрицы ()е, определяющее вклад у-й группы избыточных измерений или отдельного у'-го измерения в точность получения деформационных параметров, можно оценить по формуле

<4!О) = Я',и-1)-Ч'АА ' = 1,2,...,к; у = 1,2,...,/, (15)

где и <7'(у) - диагональные элементы матрицы 0е до включения

в схему сети у'-й группы измерений (/-го измерения) и после ее включения соответственно, вычисляемые по формулам (11)-(12) или (13)-(14). Однако непосредственное применение выражения (15) для оценки вклада отдельных измерений или их групп в точность деформационных параметров в ряде случаев может оказаться затруднительным, поскольку диагональные элементы матрицы <Зе часто значительно различаются по величине (на порядки). В первую очередь это связано с тем, что деформационные параметры могут быть разнородными величинами и выражаться в разных единицах измерения. В этом случае вычисленные по формуле (15) величины Д<7'ХЛ для отдельных параметров могут оказаться ничтожно малыми по сравнению с аналогичными оценками для других неизвестных. Поэтому оценивать вклад в точность определяемых параметров каждого добавочного измерения или их группы удобнее в относительной (процентной) форме

^О)^'0,'1 ^О)100%, 1=1,2,...,*; у = 1,2,...,/. (16) я', 0-1)

Очевидно, что 0 < Лд'О) < 100%. Совокупность вычисленных по формуле (16) величин может быть представлена в виде матрицы вкладов всех возможных групп или отдельных измерений в точность определяемых параметров размера 1*к:

'л?Г,(1) Л%(1) ... л%(1)4

Д^,(2) Д%(2) ... Л%(2)

(17)

[Ч'Ю Л%(0 ••• Д%(0,

Строки матрицы Л(Зе содержат информацию о вкладах соответствующих групп или отдельных измерений в точность всех определяемых параметров. Столбцы матрицы Д<2е позволяют оценить вклады всех реализуемых в проектируемой сети групп или отдельных измерений в точность соответствующих деформационных параметров. Матрица (17) используется для поиска и отбора наиболее информативного измерения на каждом этапе вычислений, учета уже отобранных измерений и т.д.

Критерием отбора наиболее информативной группы или отдельного измерения у служит выражение

£л^(/) = тах[Хл^(/)]. (18)

Согласно (18) наиболее информативным на каждом шаге вычислений является группа (измерение), обеспечивающая максимальный суммарный вклад в точность всех определяемых параметров.

С учетом отобранной по критерию (18) наиболее информативной на данном этапе вычислений группы измерений или отдельного измерения, по рекуррентным формулам (11)-(12) или (13)-(14) заново вычисляются элементы матрицы <2е и проверяется, не достигнута ли заданная точность какого-либо одного, нескольких или сразу всех деформационных параметров. Если требуемая точность хотя бы одного из них еще не достигнута, процедура отбора измерений по формулам (16)-(18) повторяется до тех пор, пока не будет обеспечена необходимая точность всех определяемых параметров.

В процессе поиска и отбора очередного наиболее информативного измерения (группы измерений) необходимо исключать из рассмотрения столбцы матрицы Д<2е, соответствующие параметрам, заданная точность определения которых уже достигнута, что достигается заменой элементов этих столбцов нулями. Аналогичным образом производится учет уже ото-

бранных наиболее информативных измерений - заменяются нулями элементы соответствующих строк матрицы Д<2е.

Описанная выше процедура отбора наиболее информативных измерений позволяет также в некоторой степени учесть требования к внешней и внутренней надежности проектируемой сети. Для этого к системе ограничений, налагаемых на точность получения деформационных параметров, может быть присоединено ограничение на количество избыточных измерений в сети г > Я, где Л - требуемое количество избыточных измерений в проектируемой сети.

Поскольку все принципиально реализуемые в проектируемой сети измерения предполагаются избыточными, формирование начальной ковариационной матрицы деформационных параметров <2„ для начала вычислений по формулам (11)-(12) или (13)-(14) в данной работе предлагается осуществлять в соответствии с рекомендациями Ю.И. Маркузе в форме: <30 = 10™ Е - для однородных неизвестных параметров, (10й1 Л

Qo

1(Г:

v

- для разнородных неизвестных параметров,

10й*

✓

где т, mi, т2, ...,ntk~ целые, достаточно большие числа. Теоретически эти числа могут быть сколь угодно большими, однако фактически их величина не должна превышать числа разрядов в разрядной сетке ЭВМ, иначе произойдет "потеря" верных значащих цифр в элементах матрицы Р^1 или в

величине р~' при сложении с величинами A,Q|4 А(г или a(Q(_,af.

На основе вышеописанной процедуры отбора наиболее информативных измерений разработан алгоритм и реализующее его программное обеспечение, предназначенное для проектирования геодезических GPS профилей, а также пространственных/плановых GPS сетей для мониторинга движений и деформаций земной коры вблизи геологических разломов сдвигового типа и активных вулканов. Результаты проектирования геодезических GPS профилей позволили установить, что, даже при близости требуемой точности получения деформационных параметров к предельно достижимой в данных условиях, не обязательно выполнять спутниковые наблюдения на всех пунктах профиля, равномерно расположенных вдоль его оси через несколько километров друг от друга, что до сих пор практикуется, например, при исследовании разлома Сан-Андреас (штат Калифорния, США). На точность получения параметров разлома - глубины запирания и скорости скольжения его крыльев, наибольшее влияние оказывают измерения подвижек в пунктах профиля, наиболее удаленных от оси разлома, а также расположенных в зонах "перегиба" деформационной кривой.

В результате отбора наиболее информативных измерений в действующей Окмокской геодинамической GPS сети, охватывающей вулкан Окмок (о. Умнак, Алеутские острова, США), удалось не только уменьшить количество проектируемых измерений и пунктов в сети, но и выявить, что спутниковые измерения, наиболее значительно влияющие на точность получения параметров модели Моги, используемой для моделирования геодинамических процессов, протекающих вблизи вулкана Окмок, сосредоточены в пределах кальдеры вулкана. Получен и проанализирован ряд оптимальных вариантов Окмокской GPS сети, которые соответствуют различным режимам активности вулкана Окмок, наблюдения за которым чрезвычайно важны для обеспечения безопасной работы международных авиалиний, трассы которых проходят над вулканом.

В четвертой главе рассматриваются вопросы, связанные с учетом корреляционной зависимости проектируемых GPS/TJIOHACC измерений. Для иллюстрации эффектов, которые могут возникнуть в результате учета физической корреляционной зависимости геодезических измерений, рассматривается пример обработки ряда зависимых неравноточных измерений Y = (_у„_)>2,...,>>л)годной величины .у. Решение методом наименьших квадратов системы уравнений поправок

Ay - Y = V

позволяет получить оценку искомой величины и ее вес в виде:

у = (АГРА)"'ArPY, (19)

P, = ArPA = ££p„, (20)

М (=1

где матрица А=( 1, 1, ... , I)7, V - вектор поправок к измерениям,

P = p2R~'p2 - весовая матрица измерений, а ри - ее элементы. Матрица

R-1 - обратная корреляционная матрица проектируемых измерений; р -диагональная матрица, на главной диагонали которой расположены веса проектируемых измерений р,. Получим выражения (19)-(20) в явном виде. Предполагая для простоты, что все измерения коррелированны одинаково, т.е. rv=r, где гц - коэффициенты корреляции измерений и г € (-1,1), после ряда преобразований можем записать:

[1 + г(п - 2)£>,у( - r^yjJfjYJpi

/=1 1 1=1 9--:-:-. (2D

Р+Кя-глЕд-'Е^Хл/л

/=1 7=1 <=1 t*J

(23)

1=1

Рр =-=-^-. (22)

' г (1 - л) + г(л - 2) +1

Рассмотрим некоторые частные случаи выражений (21)-(22). Предположим, что все измерения равноточны, т.е. р1 = р для V /=1,2, ...,п, а коэффициент корреляции принадлежит полуотрезку ге(-1,0]. Тогда (22) может быть преобразовано к виду

пр_ 1 + Ф-1)

Полагая л > 2 и р=1, получаем, что величина Рр может оказаться как больше веса оцениваемой величины, вычисленного при г = 0, так и меньше этого значения. Более того, из (23) следует, что в ряде случаев вес искомой величины может принимать даже отрицательные значения! Например, легко видеть, что при и = 3 и г < -0.5 вес оценки всегда будет Рр < 0.

Для отдельных сочетаний п иг можно получить Рр = <ю, т.е. вес оценки неограниченно возрастает! Этот эффект может проявиться даже при незначительной величине коэффициента корреляции, например, при л = 11 и г = -0.1 из (23) получаем, что Рр = да. Аналогичный результат получается

при п = 3 и г = -0.5. Таким образом, если коэффициент корреляции, вводимый для учета зависимости планируемых измерений, является отрицательной величиной, в ряде случаев это может привести к чисто формальному, не связанному с физической реальностью, повышению точности искомого параметра, либо к совершенно бессмысленным результатам планирования (отрицательный вес)!

Предположим, что планируется выполнить только два измерения с весами р1 = р = 1 и р2= ср = с, где с - некоторая константа. Тогда выражения (21) и (22) перепишутся в виде:

+ (24)

(1 -г^)у}+(с-г^)у2 1-2 г4с+с

Из выражения (24) очевидно следует, что при г е (-1,0] величина Рр > (1 + с), где (1 + с) - вес оцениваемой величины, полученный при г=0. Если г € [0,1), вес оценки искомой величины может принимать значения как большие, так и меньшие чем (1 + с), причем, при приближении коэффициента корреляции к единице, функция Рр(с) приобретает ярко выраженный овражный вид.

Можно показать, что если выполняется условие г >- и вес

1 + с

оценки у, рассчитанный по формуле (24), будет больше его величины, полученной для независимых измерений. Так как отношение веса второго измерения к первому равно с, то с ростом с будет наблюдаться тенденция к

уменьшению значения-, а значит и величины коэффициента корреля-

1 +с

ции, при котором Р^, > (1 + с). Говоря иными словами, можно столкнуться с

эффектом увеличения веса искомой величины при положительных значениях коэффициента корреляции, значительно меньших единицы, если по каким-либо причинам вес второго измерения значительно (на порядок и более) отличается от веса первого измерения. С подобной ситуацией часто приходится сталкиваться при оптимальном проектировании геодезических измерений.

Предположим, что вес второго измерения по каким-либо причинам очень мал по величине и с достаточной для практических расчетов точностью может бьггь приравнен к нулю, т.е. р2 = с = 0. Подобный прием часто используется при оптимальном проектировании геодезических сетей и служит для удаления из схемы проектируемой сети измерений, не оказывающих существенного влияния на точность определяемых параметров. Полагая в (24) с=0, получаем, что вес оценки искомой величины равен

Р- = —г- > р{, хотя практически планируется выполнить только одно 1 -г

измерение с весом />, = 1. Более того, при |г| -»1 получаем, что Рр -» оо!

Таким образом, понижение или даже устремление к нулю веса зависимого измерения, при г=сот1 может дать совершенно неожиданный результат -точность определяемого параметра возрастет, вместо того чтобы уменьшиться!

Применяя формулу (25) для оценки весового среднего двух сильнокоррелированных (г=0.9) измерений у1 и у2, веса которых различаются более чем в 1.5 раза, нетрудно убедиться, что получаемое значение у не лежит в ожидаемых в соответствии с привычными представлениями пределах у1 й у й у2!

При учете корреляционной зависимости проектируемых ОРБ/ГЛОНАСС измерений эффект "искусственного" повышения веса (точности) определяемых параметров, проиллюстрированный выше на простых численных примерах, ограничивает использование классической процедуры понижения весов малоинформативных измерений до несущественного уровня, так как вклад таких измерений в элементы матрицы

^ I

/(Р) = /(р2Я"'р2) может оказаться отличным от нуля. Действи-

тельно, предположим, что веса только двух измерений отличны от нуля, т.е. р,* 0 и * 0, а вес всех остальных измерений строго равен нулю.

Если бы все измерения были независимы, все элементы весовой матрицы проектируемых измерений были бы равны нулю, за исключением двух элементов на ее главной диагонали - р, и ру В случае зависимости измерений матрица Р определяется выражением: ГО

гН

Pi

(-1)

rH)D ГЛ PJ

где Гу~1> - элементы матрицы R 1. Так как в вычислении '' участвуют все элементы матрицы R, которые не зависят от весов измерений и отличны от нуля, элементы матрицы Qe также будут зависеть от коэффициентов корреляции даже тех измерений, веса которых строго равны нулю. При г > 0.9 величины диагональных элементов матрицы R-1 могут достигать

нескольких порядков, а внедиагональные элементы по абсолютной величине становятся заметно отличными от нуля. Для не столь значительных коэффициентов корреляции эффект "искусственного" повышения точности выражен слабо и может быть просто незамечен, особенно при значительном объеме вычислений и их выполнении на ЭВМ.

Эффект "искусственного" возрастания веса (точности) получения определяемых параметров практически обнаружен при учете физической корреляции спутниковых измерений в процессе оптимизации геодезического GPS профиля, предназначенного для мониторинга движений и деформаций земной коры, связанных с геодинамической активностью геологического разлома, а также выявлен и теоретически исследован при учете корреляционной зависимости компонент базовых линий в ходе проектирования Кенийской геодинамической GPS сети.

В приложении приведены документы по внедрению результатов работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Сформулирована и формализована задача оптимального проектирования локальной деформационной ОРЭ/ГЛОНАСС сети, пункты которой могут располагаться только в фиксированных на местности или инженерном сооружении местах, а измерения обеспечивают получение оценок па-

раметров принятой модели деформаций с точностью не ниже заданной при минимальных затратах на построение сети и выполнение измерений в ней. Разработан, программно реализован и апробирован на практических примерах алгоритм ее решения, позволяющий выполнять оптимальное проектирование 1-го, 2-го, 3-го порядка и их комбинаций.

2. При помощи комплекса разработанных прикладных программ, реализующих данный алгоритм, выполнено планирование измерений в Восточно-Африканской рифтовой GPS сети (EARGN) и Приморской геодинамической GPS сети (PGGN). Результаты планирования показали, что, в соответствии с принятыми условиями, оптимальные планы данных сетей должны формироваться из компонент наиболее коротких базовых линий, пересекающих ось рифта или разлома. Теоретически показана корректность этих рекомендаций.

3. На основе способов рекуррентного уравнивания традиционных геодезических сетей разработан и программно реализован алгоритм поиска и отбора в локальных деформационных GPS/TJIOHACC сетях наиболее информативных измерений, совокупность которых обеспечивает получение заданной точности параметров принятой модели деформаций. Численная устойчивость и эффективность применения разработанного алгоритма и программного обеспечения проиллюстрирована на примерах проектирования геодезического GPS профиля, предназначенного для мониторинга геодинамической активности геологического разлома сдвигового типа, и Ок-мокской геодинамической GPS сети (США), используемой для мониторинга движений и деформаций земной коры в районе действующего вулкана. По результатам проектирования даны практические рекомендации.

4. Рассмотрена проблема учета корреляционной зависимости геодезических измерений при проектировании деформационных GPS/TJIOHACC сетей. Теоретически и на ряде численных примеров показано, что:

а) Введение в процесс математической обработки результатов GPS/TJIOHACC измерений корреляционной матрицы, внедиагональные элементы которой отличны от нуля, может привести как к понижению, так и к повышению точности получения искомых параметров, а в отдельных случаях может даже привести к получению отрицательных весов определяемых параметров. Какой из этих эффектов будет проявляться в результатах вычислений - зависит от знака и величины коэффициентов корреляции между измеряемыми величинами, различий в величинах весов планируемых измерений, а также вида функциональной модели, связывающей определяемые параметры и измеряемые величины. Показано, что перечисленные выше эффекты могут иметь место не только при больших положительных значениях коэффициентов корреляции (г>0.9), но и при малых по величине отрицательных значениях г.

б) Эффект возрастания весов определяемых параметров, имеющий место при получении коэффициентов корреляции проектируемых измере-

ний путем априорного их назначения или моделирования на основе разного рода статистических, эмпирических и других зависимостей, может привести к существенному завышению точности получения этих параметров, и, как следствие этого, искаженным, а в худшем случае ошибочным результатам планирования. Особенно ярко этот эффект проявляется при стремлении весов отдельных измерений к нулю и значительных величинах коэффициентов корреляции (г>0.9), что часто имеет место при оптимизации геодезических сетей.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Шестаков Н.В. Дифференцирование обратной матрицы нормальных уравнений параметрического способа МНК // Тезисы докладов Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию, Владивосток, 12-15 ноября 2001. -Владивосток: Изд-во Даль-наука, 2001, с. 43-44.

2. Шестаков Н.В. Проблема оптимального проектирования конфигурации деформационных GPS-сетей // Материалы научной конференции студентов и аспирантов ДВГУ. 2001. -Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та, 2001, с. 126-128.

3. Герасименко М.Д., Шестаков Н.В., Касахара М. Каких неприятностей можно ждать от зависимых измерений? // Геодезия и картография, 2002, №10, с. 10-13.

4. Герасименко М.Д., Касахара М., Шестаков Н.В. Оптимальное проектирование схемы деформационных геодезических сетей // Изв.ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъемка, 2002, № 4, с. 21-35.

5. Шестаков Н.В. Предварительные результаты оптимизации Окмок-ской геодинамической GPS сети // Гидрометеорологические и географические исследования на Дальнем Востоке. Материалы пятой юбилейной научной конференции к всемирным дням воды и метеорологии, ДВГУ, Владивосток, 22-23 марта 2004. -Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та, 2004, с. 76-78.

6. Шестаков Н.В. Алгоритм оптимального отбора измерений в деформационных GPS/ГЛОНАСС сетях. Препринт ИПМ ДВО РАН №17. -Владивосток: Дальнаука, 2004, 23 с.

7. Gerasimenko M.D., Shestakov N.V., Kato Т. On optimal geodetic network design for fault-mechanics studies // Earth, Planets and Space, 2000, Vol. 52, p. 985-987.

8. Shestakov N.V., Waithaka H.E., Kasahara M., Gerasimenko M.D. Two examples of optimal design of geodynamic GPS networks // Proceedings of the International Association of Geodesy: A window on the future of geodesy. Ed.: F. Sanso, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 2005, Vol. 128, p. 538-544.

Личный вклад автора. Все результаты, составляющие основное содержание диссертационной работы, получены автором самостоятельно. В опубликованных в соавторстве работах автору принадлежат следующие научные и практические результаты: в работах [4, 7] автором разработан алгоритм решения задач оптимального проектирования, выполнены практические расчеты и проанализированы их результаты. В работе [3] автором рассмотрены частные случаи полученных выражений для оценки искомой величины и ее веса. В работе [8] автором в рамках сформулированной научным руководителем общей проблемы сформулирована задача оптимального проектирования, разработан и программно реализован алгоритм ее решения, выполнены практические расчеты и проанализированы их результаты.

ШЕСТАКОВ Николай Владимирович Оптимальное проектирование вРв/ГЛОНАСС сетей Автореферат

Подписано к печати 11.11.2005 г. Усл. п. л. 1.2. Уч-изд. л. 1.0. Формат 60x84/16. Тираж 100. Заказ 32.

Издано ИАГТУ ДВО РАН. г. Владивосток, Радио 5. Отпечатано участком оперативной печати ПАПУ ДВО РАН. г. Владивосток, Радио 5.

1

г

HS 2 2 9 1 h

РНБ Русский фонд

2006-4 27170

i

г

Введение.

Глава1. Основные понятия и определения

1.1. Деформационные геодезические сети, их классификация и основные характеристики.

1.2. Основные деформационные параметры и их функции.

1.3. Деформационная модель.

1.4. Оценка параметров деформационной модели и их точности.

1.5. Величины, получаемые в результате обработки GPS/TJIOHACC измерений, и их связь с параметрами деформационной модели.

1.6. Формирование весовой матрицы проектируемых GPS/TJIOHACC измерений.

Глава 2. Оптимальное проектирование деформационных GPS/TJIOHACC сетей

2.1. Общие замечания.

2.2. Математическая формулировка задачи оптимального проектирования.

2.3. Алгоритм оптимизации деформационной

GPS/TJIOHACC сети.

2.4. Дифференцирование ковариационной матрицы деформационных параметров при учете корреляционной зависимости спутниковых измерений.

2.5. Примеры оптимального проектирования деформационных

GPS сетей.

2.5.1. Оптимизация Восточно-Африканской рифтовой GPS сети.

2.5.2. Оптимальное проектирование Приморской геодинамической GPS сети.

Глава 3. Отбор GPS/TJIOHACC измерений, наиболее значительно влияющих на точность определения параметров деформационной модели

3.1. Постановка задачи и общие замечания.

3.2. Вычисление матрицы весовых коэффициентов деформационных параметров методами рекуррентного уравнивания геодезических сетей.

3.3. Процедура отбора наиболее информативных измерений в деформационной GPS/TJIOHACC сети.

3.4. Формирование начальной ковариационной матрицы деформационных параметров при отборе наиболее информативных измерений.

3.5. Алгоритм отбора наиболее информативных измерений в деформационной GPS/TJIOHACC сети.

3.6. Примеры использования алгоритма отбора наиболее информативных измерений для проектирования деформационных

GPS сетей.

3.6.1. Проектирование геодезического GPS профиля.

3.6.2. Проектирование трехмерной геодинамической GPS сети.

Глава 4. Об учете корреляционной зависимости при проектировании GPS/ГЛОНАСС измерений

4.1. Исходные соображения.

4.2. Обработка ряда зависимых измерений одной величины.

4.3. Учет корреляционной зависимости измерений при проектировании геодезического GPS профиля.

Построение и мониторинг геодезических сетей различного назначения при помощи систем глобального спутникового позиционирования GPS и ГЛОНАСС прочно вошло в геодезическую практику большинства развитых зарубежных стран. Процесс активного освоения и внедрения в геодезическое производство спутниковых технологий идет и в нашей стране.

В настоящее время очень большое внимание уделяется научным и прикладным исследованиям в области применения GPS/TJIOHACC систем для мониторинга разного рода деформаций, например: движений и деформаций земной коры в глобальном, региональном и локальном масштабах; деформаций земной поверхности, обусловленных добычей полезных ископаемых; деформаций крупных гидротехнических и инженерных сооружений и т.д. На сегодняшний день в мире функционирует одна глобальная (IGS), более десяти региональных и свыше сотни локальных деформационных GPS/TJIOHACC сетей. Количество сетей последнего класса продолжает быстро увеличиваться, а существующие локальные деформационные сети постоянно расширяются за счет включения в их состав новых пунктов и дополнительных измерений. В связи с этим вопросы оптимального проектирования, построения и выполнения геодезических наблюдений в локальных деформационных GPS/TJIOHACC сетях вызывают значительный научный и практический интерес.

Оптимальному проектированию классических геодезических построений - сетей триангуляции, трилатерации, полигонометрии, нивелирных сетей посвящена обширная литература отечественных и зарубежных авторов. В нашей стране хорошо известны работы в этой области советских ученых-геодезистов Ю. М. Неймана [33, 34], 3. П. Тамутиса [40, 41], М. Д. Герасименко

7-11,16, 17, 70], Ю. И. Маркузе [29], К. Ф. Афонина [3, 4], К. Л. Проворова [37] •ь и др. Наиболее значительные достижения зарубежных исследователей в области оптимального проектирования традиционных геодезических сетей разных видов собраны в сборнике [92]. Однако вопросам проектирования и оптимизации деформационных GPS/TJIOHACC сетей уделяется мало внимания, особенно в отечественной геодезической литературе. Среди наиболее интересных работ в этой области, вышедших за рубежом, следует отметить монографию [83], а также статьи [55, 67, 71, 80]. Среди отечественных публикаций, по-видимому, только наши публикации [15, 44, 46, 47] непосредственно затрагивают вопросы * проектирования и оптимизации деформационных GPS/ГЛОНАСС сетей. В связи с этим особую остроту приобретает разработка новых, модификация и адаптация существующих алгоритмов проектирования и оптимизации геодезических построений с целью их использования для оптимального проектирования деформационных GPS/ГЛОНАСС сетей. Чрезвычайно актуальна и программная реализация таких алгоритмов на ЭВМ.

Другая проблема, возникающая при проектировании и эксплуатации деформационных GPS/ГЛОНАСС сетей и имеющая большое прикладное значение, связана с поиском и отбором в таких сетях наиболее информативных измерений, которые бы гарантировали достижение заданной точности получения параметров принятой модели деформаций. Дело в том, что количество измеряемых величин в GPS/ГЛОНАСС сети нелинейно возрастает с увеличением числа пунктов, включаемых в сеть. Поэтому количество возможных измерений, оказывающих, в общем случае, неодинаковое влияние на точность получения деформационных параметров, даже в сравнительно небольшой проектируемой GPS/ГЛОНАСС сети может быть весьма велико (сотни и даже тысячи измерений). В связи с этим разработка и программная реализация алгоритма, позволяющего осуществлять отбор в проектируемой или t* уже функционирующей деформационной спутниковой сети наиболее информативных измерений, которые бы гарантировали достижение заданной точности получения параметров принятой модели деформаций, является весьма актуальной задачей. Практическое использование программного обеспечения, разработанного на основе такого алгоритма, позволит в ряде случаев достичь существенной экономии финансовых и людских ресурсов не только за счет уменьшения количества подлежащих измерению величин и пунктов сети, но и за счет правильной организации полевых наблюдений.

Проблема отбора наиболее информативных измерений в традиционных геодезических сетях, построенных методами классической геодезии, рассматривалась в отечественной геодезической литературе Ю. М. Нейманом [33, 34], 3. П. Тамутисом [40, 41], К. Р. Третяком [42, 43], Ю. И. Маркузе [30, 31] и др. Информативность измерений оценивалась по их вкладу в уменьшение энтропийного объема вектора неизвестных координат пунктов проектируемой сети (Ю. М. Нейман), либо с помощью методов рекуррентного уравнивания, (остальные авторы). Алгоритмы, основанные на рекуррентных методах, обладают рядом достоинств, к которым в первую очередь относятся их высокая численная устойчивость и простота программной реализации. Однако работ, посвященных применению методов рекуррентного уравнивания в приложении к проектированию деформационных GPS/TJIOHACC сетей, в геодезической литературе нами не обнаружено.

Переход от традиционных методов выполнения геодезических измерений к GPS/TJIOHACC технологиям ставит перед специалистами, имеющими дело с проектированием, оптимизацией и математической обработкой геодезических измерений, еще одну достаточно сложную проблему, которая связана с учетом корреляционной зависимости спутниковых измерений. Дело в том, что величины, получаемые в результате математической обработки спутниковых наблюдений, математически и физически коррелированны. Игнорирование корреляционной зависимости проектируемых измерений приводит к искажению оценок определяемых параметров и точности их получения. Учет зависимости спутниковых измерений осуществляется введением в математическую обработку корреляционной матрицы планируемых измерений, элементы которой часто вычисляются на основе использования некоторых априорных величин, получаемых в результате статистической обработки большого количества уже выполненных измерений, либо при помощи эмпирических или даже интуитивных соотношений, которые не всегда адекватно отражают физическую реальность. По данным вопросам имеется довольно обширная литература [48-50, 62, 65, 78 и др.]. Величины получаемых такими способами коэффициентов корреляции, как правило, существенно отличны от нуля, а в ряде случаев могут принимать значения, близкие к ±1. Однако, как показано в работах [14, 15, 18], формальный учет корреляционной зависимости результатов GPS/TJIOHACC измерений в процессе проектирования, оптимизации и обработки измерений в ряде случаев может привести к "искусственному" повышению точности конечных результатов, которое часто интерпретируется как корректность выбора той или иной функции для учета корреляционной зависимости, и даже ошибочным величинам этих параметров. Поиск и изучение причин, порождающих такого рода эффекты, а также анализ влияния, которое они оказывают на результаты расчетов, является важной как с научной, так и с практической точки зрения задачей.

Целью диссертационной работы является: 1) Постановка и формализация задачи оптимального проектирования локальной деформационной GPS/TJIOHACC сети, пункты которой могут располагаться только в фиксированных на местности или инженерном сооружении местах. Разработка алгоритма ее решения, позволяющего выполнять оптимизацию 1-го, 2-го и 3-го порядка в спутниковой сети. Программная реализация алгоритма и его апробация на практике.

2) Разработка алгоритма поиска и отбора наиболее информативных измерений в локальной деформационной GPS/TJIOHACC сети, совокупность которых обеспечивает достижение заданной точности получения параметров принятой деформационной модели. Программная реализация алгоритма и его апробация на практике.

3) Исследование эффектов, возникающих при учете корреляционной зависимости спутниковых измерений в ходе оптимального проектирования и математической обработки спутниковых измерений в локальных деформационных GPS/TJIOHACC сетях. Вскрытие причин и условий возникновения этих эффектов.

Научная новизна работы состоит в следующем.

1) Поставлена и формализована задача оптимального проектирования локальной деформационной GPS/TJIOHACC сети, пункты которой могут располагаться только в фиксированных на местности или инженерном сооружении местах, а измерения обеспечивают получение оценок параметров принятой модели деформаций с точностью не ниже заданной при минимальных затратах на построение сети и выполнение измерений в ней. В рамках данной задачи возможно использование разнообразных целевых функций и ограничений, как на веса проектируемых измерений, так и на различные функции ковариационной матрицы деформационных параметров, а также величины, не являющиеся ее функциями. Разработан, программно реализован и апробирован на практических примерах алгоритм ее решения, позволяющий осуществлять оптимальное проектирование 1-го, 2-го, 3-го порядка и их комбинаций.

2) Разработан, программно реализован и апробирован на практических примерах алгоритм поиска и отбора наиболее информативных измерений в локальных деформационных GPS/TJIOHACC сетях, совокупность которых обеспечивает достижение заданной точности получения параметров принятой деформационной модели. Алгоритм позволяет учесть ограничение на количество избыточных измерений в проектируемой сети.

3) Обнаружены и рассмотрены на численных примерах эффекты, возникающие в процессе оптимального проектирования GPS/TJIOHACC сетей и/или математической обработки измерений при учете корреляционной зависимости измеряемых величин: а) "искусственного" повышения веса (точности) определяемых параметров; б) получения отрицательного веса определяемых параметров; в) получения некорректных значений определяемых параметров. Вскрыты причины и условия возникновения этих эффектов.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в восьми работах.

Апробация работы. Основные результаты по теме диссертации докладывались на.Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 2001), научной конференции студентов и аспирантов ДВГУ (Владивосток, 2001), научном семинаре Института сейсмологии и вулканологии Хоккайдского университета (Саппоро, Япония, 2003), XXXIII Генеральной ассамблее международного союза геодезии и геофизики (Саппоро, Япония, 2003), пятой юбилейной научной конференции "Гидрометеорологические и географические исследования на Дальнем Востоке" (Владивосток, 2004).

Практическая значимость работы. Практическое использование предлагаемых в работе алгоритма оптимального проектирования и алгоритма поиска и отбора наиболее информативных измерений в деформационных GPS/TJIOHACC сетях, а также разработанных на их основе прикладных программ, позволяет в ряде случаев значительно снизить затраты времени и средств на построение деформационной сети и полевые наблюдения в ней как за счет уменьшения числа измеряемых величин, так и за счет уменьшения количества пунктов, на которых необходимо выполнить спутниковые измерения.

Результаты оптимизации и отбора наиболее информативных измерений дают возможность выявить и в первую очередь сосредоточить усилия на выполнении наиболее важных измерений, с точки зрения их влияния на точность получения параметров деформационной модели, что часто имеет решающее значение при выполнении спутниковых измерений вблизи действующих вулканов и активных разломов земной коры.

Обнаруженные и рассмотренные в данной работе эффекты, возникающие при учете корреляционной зависимости измерений в процессе оптимального проектирования и/или математической обработки измерений в геодезических сетях, поднимают вопрос о более тщательном исследовании области применения классических методов оценки точности определяемых параметров при использовании зависимых измерений.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы. Основное содержание работы изложено на 152 страницах текста. Работа содержит 20 рисунков и схем. Список литературы включает в себя 108 наименований, в том числе 58 на иностранных языках.

Основные результаты и выводы, полученные в данной работе, сводятся к следующему:

1. Дана математическая формулировка проблемы оптимального проектирования локальной деформационной GPS/TJIOHACC сети. Рассмотрены и проанализированы возможные ограничения, которые можно наложить на проектные параметры и их функции.

2. Получены рабочие формулы, необходимые для аналитического вычисления производных по весам измерений от ковариационной матрицы деформационных параметров как для случая независимых проектируемых спутниковых измерений, так и с учетом их корреляционной зависимости.

3. На основе известных методик оптимального планирования традиционных геодезических построений разработан и программно реализован алгоритм оптимального проектирования локальных деформационных GPS/TJIOHACC сетей по весам измерений. Предлагаемый алгоритм позволяет решать задачи оптимального проектирования FOD, SOD и COMD в деформационных GPS/TJIOHACC сетях как без учета, так и с учетом корреляционной зависимости измеряемых величин. Алгоритм также предусматривает возможность решения задачи улучшения уже существующей деформационной GPS/TJIOHACC сети за счет оптимального включения в ее состав дополнительных измерений (задача TOD).

4. При помощи разработанного пакета прикладных программ, реализующих алгоритм оптимального проектирования локальных деформационных GPS/TJIOHACC сетей, выполнено планирование измерений в Восточно-Африканской рифтовой GPS сети (EARGN) и Приморской геодинамической GPS сети (PGGN). Результаты планирования показали, что, в соответствии с принятыми условиями, оптимальные планы данных сетей должны формироваться из компонент наиболее коротких базовых линий, пересекающих ось рифта или разлома. Теоретически показана корректность полученных результатов оптимизации.

5. На основе способов рекуррентного уравнивания геодезических сетей разработан и программно реализован алгоритм поиска и отбора в локальных деформационных GPS/TJIOHACC сетях наиболее информативных измерений, обеспечивающих получение заданной точности параметров принятой модели деформаций. Алгоритм позволяет производить отбор измерений с учетом их стоимости и ограничений на количество избыточных измерений в проектируемой сети.

6. Численная устойчивость и эффективность применения разработанного алгоритма и программного обеспечения проиллюстрирована на примерах проектирования геодезического GPS профиля, предназначенного для мониторинга геодинамической активности геологического разлома сдвигового типа, и Окмокской геодинамической GPS сети (США), используемой для мониторинга движений и деформаций земной коры в районе действующего вулкана. По результатам проектирования геодезического профиля получены следующие практические рекомендации: а) Измерения подвижек в пунктах, расположенных в области "перегиба" деформационной кривой (рис. 3.6.1.) и ближайшей к оси разлома зоне, наиболее значительно влияют на точность определения глубины запирания Н. Измерения подвижек в пунктах, наиболее удаленных от оси разлома, оказывают наибольшее влияние на точность получения оценки скорости скольжения крыльев разлома V. б) Даже если требуемая точность определения деформационных параметров V и Н близка к максимально достижимой в данных условиях, существуют области, расположенные симметрично относительно оси разлома, в пределах которых практически не имеет смысла выполнять измерения подвижек, т.к. их влияние на точность получения деформационных параметров ^ пренебрежимо мало. Размер таких областей зависит от величин деформационных параметров.

Результаты отбора наиболее информативных измерений в Окмокской геодинамической GPS сети показали, что наибольшее влияние на точность получения параметров принятой деформационной модели оказывают измерения, сосредоточенные в пределах кальдеры вулкана Окмок.

7. Рассмотрена проблема учета корреляционной зависимости геодезических измерений при проектировании деформационных GPS/TJIOHACC сетей. С помощью теоретических выкладок и на ряде численных примеров в главах 2, 3,4 (пп.2.5.1-2, 3.6.2, 4.2-3) показано, что: а) Введение в процесс математической обработки результатов GPS/TJIOHACC измерений корреляционной матрицы, внедиагональные элементы которой отличны от нуля, приводит к понижению, либо к повышению точности получения искомых параметров, а в отдельных случаях может привести к получению отрицательных весов определяемых параметров. Какой из этих эффектов будет проявляться в результатах вычислений зависит от знака и величины коэффициентов корреляции между измеряемыми величинами, различий в величинах весов планируемых измерений, а также вида функциональной модели, связывающей определяемые параметры и измеряемые величины. Показано, что перечисленные выше эффекты могут иметь место не только при больших положительных значениях коэффициентов корреляции (г>0.9), но и при малых по величине отрицательных значениях г. б) Эффект возрастания весов определяемых параметров, имеющий место при получении коэффициентов корреляции проектируемых измерений путем априорного их назначения или моделирования на основе разного рода статистических, эмпирических и других зависимостей, может привести к * существенному завышению точности получения этих параметров, и, как следствие этого, искаженным, а в худшем случае ошибочным результатам планирования. Особенно ярко этот эффект проявляется при стремлении весов отдельных измерений к нулю и значительных величинах коэффициентов корреляции (г >0.9), что часто имеет место при оптимизации геодезических сетей.

Заключение

1. Антонович К. М., Карпик А. П., Клепиков А. Н. Спутниковый мониторинг земной поверхности // Геодезия и картография, 2004, №1, с. 4-11.

2. Афонин К. Ф. Об оптимальном проектировании геодезической сети // Тр. НИИГАиК. Новосибирск, Т. 37, 1975, с. 141-152.

3. Афонин К. Ф. Определение оптимального соотношения точностей измерений в геодезических сетях // Тр. НИИГАиК. Новосибирск, Т. 34, 1975, с. 47-53.

4. Большаков В. Д., Маркузе Ю. И., Голубев В. В. Уравнивание геодезических построений: справочное пособие. -М.: Недра, 1989. -413 с.

5. Вагин В. А. Алгоритм формирования матрицы весовых коэффициентов уравненных значений неизвестных для нивелирных сетей // Изв.ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1979, № 1, с. 37-42.

6. Герасименко М. Д. О проблемах оптимального проектирования инженерно-геодезических сетей // Междувед. темат. сб-к науч. трудов. Состояние и перспективы инженерно-геодезических и инженерно-фотограмметрических работ. -М.: ЦНИИГАиК, 1990, с. 11-15.

7. Герасименко М. Д. Оптимальное проектирование и уравнивание геодезических сетей. -М.: Наука, 1992. -160 с.

8. Герасименко М. Д. Оптимизация точности измерений в геодезических сетях // Геодезия и картография, 1985, №2, с. 10-14.

9. Герасименко М. Д. Оптимизация формы геодезических сетей // Геодезия и картография, 1991, №5, с. 4-7.

10. Герасименко М. Д. Проектирование и обработка измерений с применением собственных значений матриц. -Владивосток: Изд-во Дальневосточного унта, 1983.-224 с.

11. Герасименко М. Д. Современный метод наименьших квадратов с геодезическими приложениями. -Владивосток: Изд-во Дальнаука, 1998. -101 с.

12. Герасименко М. Д. Уравнивание и оценка точности геодезических сетей методом условий с единым алгоритмом составления условных уравнений. Дисс-я на соискание уч. степ. канд. тех. наук. Новосибирск, 1973. -117 с.

13. Герасименко М. Д., Касахара М. К вопросу об учете физической корреляции при оптимальном проектировании геодезических измерений // Изв.ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъемка, 2005, № 1, с. 17-21.

14. Герасименко М. Д., Касахара М., Шестаков Н. В. Оптимальное проектирование схемы деформационных геодезических сетей // Изв.ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъемка, 2002, № 4, с. 21-35.

15. Герасименко М. Д., Склюева О. Н. Оптимизация инженерно-геодезических сетей специального назначения // Междувед. темат. сб-к науч. трудов. Геодезическое обеспечение строительства и эксплуатации инженерных сооружений. -М.: ЦНИИГАиК, 1987, с. 21-24.

16. Герасименко М. Д., Шароглазова Г. А. Оптимизация точности геодезических измерений в плановой сети // Геодезия и картография, 1991, №8, с. 16-18.

17. Герасименко М. Д., Шестаков Н. В., Касахара М. Каких неприятностей можно ждать от зависимых измерений? // Геодезия и картография, 2002, №10, с. 10-13.

18. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. Пер. с англ. Под ред. А. А. Петрова. -М.: Мир, 1985. -509 с.

19. Глобальная спутниковая радионавигационная система ГЛОНАСС / Под ред. Харисова В. Н., Перова А. И., Болдина В. А. -2-е изд. испр. -М.: ИПРЖР, 1999. -560 с.

20. Гордеев Ю. А. О применении принципа наименьших квадратов при уравнивании зависимых результатов измерений // Изв.ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1960, вып. 2, с. 19-40.

21. Гордеев Ю. А. Уравнивание приращений координат линейной триангуляции по методу условных уравнений // Изв.ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1961, вып. 6, с. 3-21.

22. Златанов Г. Оптимизиране на проекта за опорни геодезически мрежи // Изв. ГУГК, 1976, №4, с. 3-8.

23. Иванов Б. А. Центральный Сихотэ-Алинский разлом. -Владивосток: Дальнев-е книж. изд-во, 1972. -114 с.

24. Кемниц Ю. В. Математическая обработка зависимых результатов измерений. -М.: Недра, 1970. -192 с.

25. Коугия В. А. Преобразования уравнений поправок спутниковых измерений к виду, удобному для уравнивания // Изв.ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъемка, 2001, №6, с. 3-8.

26. Летова Т. А., Пантелеев А. В. Экстремум функций в примерах и задачах: учебное пособие. -М.: Изд-во МАИ, 1998. -376 с.

27. Маркузе Ю. И. Алгоритм объединения наземных и спутниковых геодезических сетей // Геодезия и картография, 1997, №9, с. 23-28.

28. Маркузе Ю. И. Математическая обработка результатов геодезических измерений. Итоги науки и техники. Сер. Геодезия и аэросъемка. -М.: ВИНИТИ, 1985. -133 с.

29. Маркузе Ю. И. Основы уравнительных вычислений: Учеб. пособие для вузов. -М.: Недра, 1990. -240 с.

30. Маркузе Ю. И. Уравнивание и оценка точности плановых геодезических сетей. -М.: Недра, 1982. -191 с.

31. Моцкус И. Б. Многоэкстремальные задачи в проектировании. -М.: Наука, 1967. -214 с.

32. Нейман Ю. М. Алгоритм проектирования геодезического построения на ЭВМ // Изв.ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1966, № 6, с. 33-45.

33. Нейман Ю. М. К анализу геодезических построений // Изв.ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1965, № 4, с. 63-75.

34. Олейников А. В., Олейников Н. А. Геологические признаки сейсмичности и палеосейсмичности южного Приморья. -Владивосток: Изд-во Дальнаука, 2001. -183 с.

35. Панкрушин В. К., Васильев Е. А. Рекуррентное решение задачи обработки многомерных временных рядов геодезических наблюдений современных движений земной коры // Изв.ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1982, № 4, с. 8-16.

36. Проворов К. Л., Афонин К. Ф. Некоторые вопросы оптимального проектирования геодезической сети // Геодезия и картография, 1976, №1, с. 16-20.

37. Решение задач предвычисления точности и оптимизации на ЭВМ ЕС. Методические указания / Сост. Афонин К. Ф., Ушаков С. Н. -Новосибирск: НИИГАиК, 1988.-34 с.

38. Серапинас Б. Б. Глобальные системы позиционирования: учеб. изд. -М.: ИКФ "Каталог", 2002. -106 с.

39. Тамутис 3. П. Оптимальные методы проектирования геодезических сетей. -М.: Недра, 1979.-133 с.

40. Тамутис 3. П. Проектирование инженерных геодезических сетей. -М.: Недра, 1990.-138 с.

41. Третяк К. Р. Оптимальное проектирование измерений в линейно-угловых сетях инженерного назначения // Республ. межведомств, науч-техн. сб-к. Геодезия, картография и аэрофотосъемка. -Львов.: Изд-во при Львовском госун-те, 1986, вып. 43, с. 99-103.

42. Третяк К. Р. Оптимальное проектирование схем измерений в сетях трилатерации // Республ. межведомств, науч-техн. сб-к. Геодезия, картография и аэрофотосъемка. -Львов.: Изд-во при Львовском госун-те, 1985, вып. 42, с. 79-85.

43. Шестаков Н. В. Алгоритм оптимального отбора измерений в деформационных GPS/ГЛОНАСС сетях. Препринт ИПМ ДВО РАН №17. -Владивосток: Дальнаука, 2004, 23 с.

44. Шестаков Н. В. Проблема оптимального проектирования конфигурации деформационных GPS-сетей // Материалы научной конференции студентов и аспирантов ДВГУ. 2001. -Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та, 2001, с. 126-128.

45. Ярмоленко А. С., Кравченко О. В. Минимаксное оценивание координат GPS-построений при неизвестных корреляционных моментах в параметрическом способе уравнивания // Изв.ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъемка, 2003, № 3, с. 23-39.

46. Ярмоленко А. С., Шошина Е. Ю. Определение коэффициента корреляции приращений координат, измеренных GPS методом // Изв.ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъемка, 2005, № 5, с. 15-23.

47. Ananga N., Coleman R., Rizos С. Variance-covariance estimation of GPS networks // Bulletin Geodesique, Vol. 68, 1994, p. 77-87.

48. Atmaoui N., Hollnack D. Neotectonics and extension direction of the Southern Kenya Rift, Lake Magadi area // Tectonophysics, Vol. 364, 2003, p. 71-83.

49. Benzao Т., Shaorong Z. Optimal design of monitoring networks with prior deformation information // Survey Review, Vol. 33, N 258, 1995, p. 231-246.

50. Berne J. L., Baselga S. First-order design of geodetic networks using the simulated annealing method // Journal of Geodesy, Vol. 78, 2004, p. 47-54.

51. Blewitt G. Advances in Global Positioning System technology for geodynamic investigations: 1978-1992. // Contributions of Space Geodesy to Geodynamics: Technology, Geodynamics, Vol. 25, 1993, p. 195-213.

52. Blewitt G. Geodetic network optimization for geophysical parameters // Geophysical research letters, Vol. 27, N 22, 2000, p. 3615-3618.

53. Caspary W. F. Concepts of network and deformation analysis. Ed: J. M. Riieger. Monograph 11, School of Surveying, the University of New South Wales, Kensington, N.S.W., Australia, 1987. -183 p.

54. Chrzanovski A., Chen Y. Q., Secord J. M. On the strain analysis of tectonic movements using fault crossing geodetic surveys // Tectonophysics, Vol. 97, 1983, p. 297-315.

55. Chrzanowski A., Chen Y. Q., Secord J. M. Geometrical Analysis of Deformation Surveys // Proceedings of Deformation Measurements Workshop, MIT, Cambridge, Oct. 31-Nov. 1, 1986, p. 1-37.

56. Chu D., Gordon R. G. Evidence for motion between Nubia and Somalia along the Southwest Indian ridge // Nature, Vol. 368, 1999, p. 64-67.

57. Cohon J. L. Multiobjective Programming and Planning. -New York: Academic Press, 1978. -460 p.

58. Cooper M. A. R., Cross P. A. Statistical concepts and their application in photogrammetry and surveying (continued) // Photogrammetric Record, Vol. 13, N 77, 1991, p. 645-678.

59. Ding K., Liu D., Ни C. Impacts of correlation between baselines on the adjustment of GPS control network//http ://www. fig.net/nottingham/proc/ts 103dingetal.pdf

60. Eckl M. C., Snay R. A., Soler T. et al. Accuracy of GPS-derived relative positions as a function of interstation distance and observing-session duration // Journal of Geodesy, Vol. 75, 2001, p. 633-640.

61. El-Rabbany A., Kleusberg A. Effect of temporal physical correlation on accuracy estimation in GPS relative positioning // Journal of surveying engineering, Vol. 129, N 1,2003, p. 28-32.

62. EUREF permanent network // http://www.epncb.oma.be/dataproducts/timeseries/index.html-EPN.

63. Even-Tzur G. GPS vector configuration design for monitoring deformation networks // Journal of Geodesy, Vol. 76, 2002, p. 455-461.

64. Even-Tzur G., Papo H. B. Optimization of GPS networks by linear programming // Survey Review, Vol. 33, N 262, 1996, p. 537-545.

65. Frank C. F. Deduction of earth strain from survey data // Bulletin Seismological Society of America, Vol. 56, N 1, 1966, p. 35-42.

66. Gerasimenko M. D. First order design of the deformation networks with the minimal number of geodetic points and their optimal allocation // Far Eastern Mathematical Reports, 1997, №4, p. 86-93.

67. Gerasimenko M. D., Shestakov N. V., Kato T. On optimal geodetic network design for fault-mechanics studies // Earth, Planets and Space, Vol. 52, 2000, p. 985-987.

68. Grafarend E. Criterion matrices for deforming networks // Optimization and design of geodetic networks, ed.: E. Grafarend, F. Sanso -Berlin etc.: Springer, 1985, p. 363-438.

69. Grafarend E. Optimization of geodetic networks // Bolletino di Geodesia a Science Affini, Vol. 33, N 4, 1974, p. 351-406.

70. Grafarend E., Heister H., Kelm R. et al. Optimierung geodetischer messoperationen. -Karlsruhe: Herbert Wichmann Verlag, 1979. -220 p.

71. Grafarend E., Shaffrin B. Kriterion-matrizen I-zweidimensional homogene und isotrope geodatische netze // Zeitschrift Fur Vermessungswesen, N 4, 1979, p. 133-149.

72. Guidelines for EPN Stations and Operational Centers // http://www.epncb.oma.be/organisation/guidelines/guidelinesstationoperational centre.html.

73. Hofmann-Wellenhof В., Lichtenegger H., Collins J. GPS. Theory and Practice. -Third, revised edition. -WienNew York: Springer-Verlag, 1994. -355p.

74. Howind J., Kutterer, Heck B. Impact of temporal correlations on GPS-derived relative point positions // Journal of geodesy, Vol. 73, 1999, p. 246-258.

75. IGS home page // http://igscb.jpl.nasa.gov.

76. Johnson H. O., Wyatt F. K. Geodetic network design for fault-mechanics studies // Manuscripta Geodaetica, Vol. 19, 1994, p. 309-323.

77. Kato Т., Kotake Y., Nalcao S. et al. Initial results from WING, the continuous GPS network in the western Pacific region // Geophysical research letters, Vol. 25, 1998, p. 369-372.

78. Kuang S. L. Evaluating the accuracy of GPS baseline measurements using Minimum Norm Quadratic Unbiased Estimation (MINQUE) // Surveying and Land Information Systems, Vol. 53, N 2, 1993, p. 103-110.

79. Kuang S. L. Geodetic network analysis and optimal design: concepts and applications. Chelsea, Michigan: Ann Arbor Press, Inc., 1996. -368 p.

80. Kuang S. L. Optimization and Design of Deformation Monitoring Schemes. Ph.D. dissertation. Department of Surveying Engineering. Technical Report №157, University of New Brunswick, Fredericton, N.B., Canada, 1991. -179 p.

81. Kuang S. L. Quality control of GPS surveys for tunneling: precision and reliability aspects // Zeitschrift fur Vermessungswesen, Vol. 118, N 7, 1993, p. 329-345.

82. Lisowski M., Savage J.C., Prescott W. H. The velocity field along the San Andreas Fault in central and southern California // Journal of geophysical research, Vol. 96, N B5, p. 8369-8389.

83. Miyagi Y., Freymueller J. Т., Kimata F. et al. Surface deformation caused by shallow magmatic activity at Okmok volcano, Alaska, detected by GPS campaigns 2000-2002 // Earth, Planets and Space, Vol. 56, 2004, p. e29-e32.

84. Mogi K. Relations between the eruptions of various volcanoes and the deformations of the ground surfaces around them // Bulletin of the Earthquake Research Institute, Vol. 36, 1958, p. 99-134.

85. Network of Continuously Operating Reference Stations // http://www.ngs.noaa.gov/CORS/cors-data.html.

86. Nishi K., Ishihara K., Kamo K. Positioning of magma reservoir at Unzen volcano by GPS survey //Bulletin of the Volcanological Society of Japan, Vol. 40, 1995, p. 43-51.

87. Optimization and design of geodetic networks / Ed.: E. Grafarend, F. Sanso -Berlin etc.: Springer, 1985. -606 p.

88. Pearson E. S., Hartley H. O. Charts of the power function of the analysis of variance tests, derived from the non-central F-distribution // Biometrika, Vol. 38, 1951, p. 112-130.

89. Sagiya T. A decade of GEONET: 1994-2003. The continuous GPS observation in Japan and its impact on earthquake studies // Earth, Planets and Space, Vol. 56, 2004, p. xxix-xli.

90. Schmitt G. Second Order Design of free distance networks considering different types of criterion matrices // Bulletin Geodesique, Vol. 54, 1980, p. 531-543.

91. Schuh H., Tesmer V. Considering a priory correlations in VLBI data analysis // http://dgfi2.dgfi.badw-uenchen.de/dgfi/DOC/2000/schuhtesmerivs00.pdf

92. Shaffrin B. Aspects of network design // Optimization and design of geodetic networks, ed.: E. Grafarend, F. Sanso -Berlin etc.: Springer, 1985, p. 548-597.

93. Shaffrin В., Grafarend E. Kriterion-matrizen II-zweidimensionale homogene und isotrope geodatische netze // Zeitschrift Fur Vermessungswesen, N 5, 1982, p.4b 183-194.

94. Shaffrin В., Zielinsky J. В. Designing a covariance matrix for GPS baseline measurements // Manuscripta Geodaetica, Vol. 14, 1989, p. 19-27.

95. Stopar B. Second order design of horizontal GPS net // Survey Review, Vol. 36, N279, 2001, p. 44-53.

96. Wells D. E., Beck N., Delikaraoglou D. et al. Guide to GPS positioning. Canadian GPS Associates, Fredericton, N.B., Canada, 1986. -302 p.

97. Xu P. A hybrid global optimization method: the multi-dimensional case // Journal of computational and applied mathematics, Vol. 155, 2003, p. 423-446.

98. Xu P. A hybrid global optimization method: the one-dimensional case // Journal of computational and applied mathematics, Vol. 147, 2002, p. 301-314.

99. Xu P. Numerical solution for bounding feasible point sets // Journal of computational and applied mathematics, Vol. 156, 2003, p. 201-219.

100. Xu P., Grafarend E. A multi-objective second-order optimal design for deforming networks // Geophysical Journal International, Vol. 120, 1995, p. 577589.

101. Zumberg J. F., Heflin M. В., Jefferson D. C. et al. Precise point positioning for the efficient and robust analysis of GPS data from large networks// Journal of Geophysical Research, Vol. 102, 1997, p. 5005-5017.