автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование упругого и вязкоупругого поведения трехмерных тел сложной конфигурации

Р Г 6 ¡йО.И.СТЕРСТСО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

з о ДОГ 1993

ТАШКЕНТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ГАИНАЗАРОВ СУЛТАН МАМАНАЗАРОВИЧ

МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРУГОГО И ВЯЗКОУПРУГОГО ПОВЕДЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ ТЕЛ СЛ01Н0П КОНФИГУРАЦИИ

05.13.18 - Теоретические основы математического моделирования. численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ташкент-1993

- г -

Работа выполнена в Ташкентском государственном университете. Научный руководитель:

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

б 14 часов на заседании Специализир< в Ташкентском государственном университете по апресу: 700095, Ташкент, Вузгородок, ТашГУ, факулмег Прикладной математики и механики, ауд. 205, отсек А.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ТашГУ (Вузгородок).

Автореферат разослан _____ 1993г.

доктор физико-математических наук, профессор Б. КУГМАНБАЕВ;

профессор Ii. МУХИДИНОВ

канднлит физико-математических наук

с.н.с. H.H. КАРИМОВ

Ведущая организация:

Ташкентский госулэрствсшшп tiíxiiíi-\ ческии уш шеренге г, факультет cono 'летострое'—

Зашита диссертации состоится

Учения секретарь Специализированного гог.ета К. 057 02. ?6 к. ф.-м. н. , дои. Полатod А. И. — -уг \

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Необходимость решения проблемы сни-хения материалоемкости, обеспечения долговечности и надехнос-ти пространственных элементов конструкции требует создания эффективных численно-аналитических алгоритмов и на их основе автоматизированных систем для моделирования напряхенно-дефор-мированного состояния трехмерных тел различной конфигурации с реологическими свойствами при воздействии различного рода нагрузок. Это связано с большими трудностями, так как напря-тенно-деформированное состояние твердого тела описывается системой трехмерных линейных или нелинейных уравнений в частных производим с начальными и краевыми условиями. Однако в ряде случаев эти трудности мохно частично избегать, не вызыва, при этом недопустимых погрешностей, путем перехода от континуальных моделей задачи к дискретным.

Одним из таких методов дискретизации является метод конечных элементов (МКЭ). Применение этого метола в механике деформируемого твердого тела и его дальнейшему развитию при решении конкретных задач посвящено огромное количество работ советских и зарубежных ученых.

Отметим, что основная часть этих работ ориентирована на исследование состояния упругих и вязкоупругих тел простоя конфигурации, и почти отсутствует подобные исследования для трехмерных упругих и вязкоупругих тел со сложной конфигурацией которые являются неотъемлемой частью различных строительных сооружении.

Н этой связи актуальными становятся вопросы построения них моделей трехмерных упругих и вязкоупругих тел при возле 1СТВИИ разного рода нагрузок, полнее учитывавших процессы, происходящие в теле; разработки специализированных эффективных численно-аналитических алгоритмов их решения,

рационально использующих во:- -ю ности аналитических и численных методов; создании пр^Гмемко-ориентированных комплексов программ на базе совремешых идея алгоритмизации, технологии программирования и вычислительных систем для решения и исследования [рехмерных задач механики деформируемого твердого тола с реологическими свойствами.

Целью работы является: - построение единой модели расчета тр- «мерных упругих и

оязкоупругих тел слохнои конфигурации;

- создание комплекса программ с сервисными возможностями, позволявший проводить вычислительный эксперимент на ЭВМ;

- численное обоснование применимости различных алгоритмов и комплекса программ;

- численное моделирование напряхенно-деформированного состояния упругого тела типа плотины под действием статической нагрузки;

- численное исследование и анализ амплитудно-частотных характеристик вязкоупругого тела типа плотины при действий *

установившейся периодической силы;

исследование Хвязкоупругого поведения тела типа плотины при сейсмическом воздействии;

Научная новизна работы заключается в численно-аналитическом алгоритме моделирования трехмерных упругих и вяэкоупругих тел слохнои формы при соответствующих статических и динамических воздействиях и созданном на их базе программном обеспечении, позволявшем проводить вычислительный эксперимент на ЭВМ.

Используя эти алгоритмы и программы проведено исследо-ньние и анализ целого ряда новых задач.

Практическая ценность дисссертаиии состоит в разработке схемы расчета трехмерных тел с реологическими свойствами, при воздействии различного рода нагрузок и создание комплексу программ. Результаты могут быть применены в энергетическом строительстве, машиностроении промышленности и других областях техники, а такхе могут быть применены для проведения вычислительных экспериментов в моделировании.

Достоверн о сть научных полохении достигнута путем применения корректной постановки задачи, обоснования сходимости применяемых моделей расчета и сравнения полученных результатов с известными результатами других авторов.

Апр о баиия работы. Содерхание и основные результаты диссертационной работы докладывались на различных научных конференциях и семинарах, в том числе: VI Всесоюзный съезд по теоретической и приклелной механике. (Ташкент 1986); научная конференция по современны?! проблемам алгоритмизации. (Ташкент 1991); П-я школа семинар сои. стран (Международный симпозиум по вычислительной механике и автоматизации проектирования. Ташкент 1988): межреспубликанская научно-техническая конфе-

режшя (Численные методы решения задач строительной механики теории упругости и пластичности (Волгоград 1990); объединенной семинар кафедры МСС и МОЗВМ (ТашГУ 1991), на семинаре кафедры прикладной математики ТашГГУ (ТаиГТУ 1992)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 научных ста;еи отражавших основное содержание диссертаиионноя работы Обьем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы из 11Ц, наименовании и приложения. Работа изложена на - 1Д.8 страницах" машинописного текста, содержит 15 таблиц и 43 рисунка.

Основное содергание работы. ' Во введении сделан краткии обзор работ, обоснован. 1 актуальность темы, определена цель исследования и научная новизна, изложено краткое содергание работы.

В первой главе состоящей из 6 параграфов приведен единая модель расчета трехмерных упругих и вязкоупругих тел сложной конфигурации.

В первом параграфе приведена математическая постановка задачи. На основе принципа Даламбера из вариационного .уравт -ния Лагранжа с учетом вязкоупругих свойств материала получено единое вариационное' уравнение.

• Во втором параграфе описана методика разбиения трехмерного тела на параллелепипедные и изопараметрические конечные элементы в зависимости от конфигурашн тела, предложен полуавтоматический метод построения конечноэлементной модели.

Для оптимальной нумерации узлов применен алгоритм Кагхилла-Макки. Описан способ кодирования физических характеристик, краевых и начальных условии, позволяющих автоматизи-рова~ь их использование.

З третьем параграфе применяя метод конечных элементов (НО) вариационное уравнение сведено к системе обыкновенных дифференциальных уравнения (си^еме интегродифферешшальных уравнении).

В четвертом параграфе предложен алгоритм вычисления коэффициентов систем разрешающих уравнения для различных конечных элементов.

В пятом параграфе разработаны схемы решения систем разрешающих уравнении. В частности для систем алгебраических

уравнений использован метол квадратных корней, а для систем дифференциальных уравнений метод разложения по собственным формам. Для нахождения собтвенных форм и частот применен метод итерирования подпространством Крылова с импользованием процедуры Релея-Ритца.

Для решения нестационарных задач в шестом параграфе использован прямой метод Ньюмарка. Построены расчетные формулы для нахогдения узловых перемещении при соответствующих значениях времени.

Вторая глава состоит из четырех параграфов и посвящена, проблеме автоматизации расчета упругих и вязкоупругиХ тел сложной конфигурации. \

В первом параграфе описана общая структура программного комплекса. Во втором параграфе приводится функциональное наполнение комплекса, в треть ж системное наполнение и схема взаимодействия модулей и наборов данных. В четвертом параграфе описана инструкция по использованию программного компомплекса и приведен тестовый пример.

В третьей главе изложены результаты численного моделирования упругого и вязкоупругого поведения тел сложной конфигурации. Она состоит из шести параграфов.

В первом параграфе приведено обоснование применения МКЭ к расчету напряженно-деформированного состояния тел. На примере сжатия куба показано численная сходимость и достоверность 'результатов при исользовании разработанного алгоритма расчета и влияние краевых условии и размеров тела на сходимость.

На основе анализа результатов сделан вывод о том, что увеличение количества конечных элементов в дискретной модели тела уточняет результат, с уменьшением толщины тела численная сходимость решений несколько ухудшается. В этом случае для достижения необходимой точности решения надо увеличить количество конечных элементов или использовать специальные конечные элементы.

Во втором параграфе приведено численное моделирование напряженного состояния тела типа плотины АВСВА'В'С'Б' с координатами (в метрах): А(а,-20,0), В(а,20,0), С(-а,-20,0), 0(-а,20,0), А'(5,-100,80), В'(5,100,80), С(-5,-100,80), 0'(-5,100,80); и механическими параметрами: Е=4.0-105Т/шг,

у-0. 16, р=0. 2 г/т3: где a-i /2,(1 =10,20,40 толщин?. поломи),

< X

у которого боковые поверхности АА'СС, ВВ'ЫУ и основание ABl'D затеплены (и=0, v=0,w=0), на поверхности CC'D'D задана равномерно распределенная нагрузка (направленная параллельно оси х J :

Рх-1001) l/ia2, Ру=0, Р2=0. Поверхности A'C'D'В' и АА'В'В свободны от нагрузок (Рх=0,Р =0.р„=0).

Харакгер перенеиенип и вдоль осп х качественно не меняется, но с приблизекием к поверхности АА'В'В значения

уменьшается.

Значения перемещения v и w с приближением к поверхности АА'В'В меняют знак на противоположная.

В целом характер распределения значения перекеаенкп по всей высоте тела не меняется, но с приближением к певерхности A'CD'В' значения увеличивается по абсо*атноп величине. Это связано с большей толгкшоя и зашемлениен подоевц и с налоя толиыэи и больиим про лот он на оголовке плотнхм. Увеличение толоиш подоивы призмот к уненьшетю всех значзинп компонент перенесений.

Нормальнее напряжение Х„ в интервале -Б0*у*-48 работает iu растяаеикз, a а остальной части приводит сгатиэ.

Нормальнее напряженно ïv в игтерваке -60*уз-30 работает на растязение, а о интервале -30=уз0 работает на с:гат:"з, с прпвлигениен :с поверхности АД'С В зона растлгенил переходит a зону сжатия, и наоборот.

Нормальнее игпрягеиче 2, работает на растяжение, a на свободной поверхности in сгэтпе. Нормальнее напрягенпл V и ?. _ а дза para превсс/олят Нанбольп:;:' значения нхезт

напряжения

П целом :со;!П1Л!-э!!Г:1 тпря ;еы<.я д.{, Y я Zг с прибли^анизм в по^ерхиоетч Л'C'D'В' качественно из мсняотсл. Количественно в орекнеи части юпрлгення вило, чем в ннгней и верхней частях - это связано с гени ге причинами, что и в перемещениях.

С уиелпчен'лги толтошц подо.тлвы кормалыше напряжения уменьшай гс я.

Касательные иапрягения Х^ и X, .при переходе от лииемле.чнен боковой поверхности к центру плотины меняет знак два раза, однако при толстой подошве (1 такого

изменения не наблюдается - это связано с тем, что при малой

- о -

толщине тело работает как плита, а'при большой - работает гак гело с соразмерными сторонами.

Касательное напрягение Уг меняет знак вдоль оси х.

В третьем параграфе приведено обоснование схемы вычисления собственных частот и форм колебания упругого тела (при г=0

и=0, у=0, и=0; Е=2,0-107Т/мг;1"=0,333; р=8г/м3; 1 -1 =1 = 1}, и

х у г

влияние геометрических и краевых условии на распределение частот я форм.

Из анализа собственных частот и форм колебании вытекает следующее:

-увеличение степени дискретизации приводит к уточнение собственных частот и форй;

- - при защемленном основании с уменьшением высоты тела <?ориц, соответствуйте низшим частотам, в основном работает на растяжение и сгатие в плоскости ху, с увеличением длины тела соответствусиие формы работает в основном на изгиб;

- различные условия закрепления влияет на значение и расположение собственных частот и форм, и в кагдом конкретном случае надо проводить обстоятельное исследование.

О четвертом параграфе исследовано распределение собственных частот (табл. 1) и форм колебания упругого тела типа плотины.

Таблица I.

X \ "1 "г из 4 ИБ и 6

10 27.030 63.632 83.963 114.41 Л 8. 02 118,05

20 33.238 72. 974 104.27 124.52 125.38 12Р.35

40 52. 883 92.502 131.22 131.32 135.44 ■!'. 54

Из таблицы 1 видно, что значения частот возраст, ■>' с увеличением толаины подошвы, кроме того, структурно иен чг.т распределение частот.

Анализ форм показывает, что собственная форма, соотпс!-стующая первой частоте (рис 1 а,0,в) при всех толшннах, работает на поперечные колебания п плоскостях ху и хг в направлении оси х.

Во второй форме компоненты, соотиествуснше поперечным колебаниям в плоскости ху. явл'шгея первыми знагоперс!М"н?>ии

первой формы и меняют знак при у=0. Основные смешения происходят в плоскости ху и в направлении оси х. Максимальны'? смешения достигаются на поверхности z=30 в четверти расстояния от краев плотины. Остальные снесения аналогичны первоп форме. Гпкая картина паблядается при всех толяинах.

В третьпп форме. при всех толсинах, компоненты, сосп'етструвг.ие поперечным колебаниям в плоскости xz являвтся первыми знакопеременами первой формы и нзн.тат знак при z=E!î Основные смешения происходят в плоскости xz и в направления осп х . Максимальные снесения достигаются на поверхности

в пснтрс плотины. Остальные снесения внологнчнн первой форме.

Таким образом, первые три формы работаат па поперечим колебания вдоль осзп у и z. Они качественно одинаковы для всех толпин, но з силу различной зестхости отличается сгепеньэ кривизны ч гочкоп перемены знака в третьей форме.

Начинал с четвертей частоты, происходит перераспределение Ферм. Так, при 1 =10 четвертая форма, а при 1 =20,40 пятая

X X

форма соперсавт продольные колебания вдоль оси z, то есть ра-ботпвт ¡¡а сгатие и растяжение, достигая иаксиызлыюго зпачо ИМЯ при 2 = 80, у=0, х=0.

Чегвбргол форма при 1„=20,40 и пятая форма при 1 »10, соверпппг продольные колебания вдоль оси у и рабогапт на езз-тнл и ртстяг.енге, достигал нанбольпего значения в ссрс\гп<:"' плотины.

Г:еегня форнл во всех трех случая:: является второй К'.р'чтаноя иоперочтя колебания, соверЕавсихсл вдоль оси ?.

В п;пом irapar рафе приведено исследование вмплитуяпо-чгк; тошсс характеристик: влзкоупругого тела типа плогикн при ус-юношттихся сш!У~лэнных гармонических колебаниях (Р "-Р031 гт<*(,' Г "!' -0 на CDC'D', Р„-1000Т/мг; 1 -10,20,40м., р=0.2г/м'\

У 7. О X

Е*4.П-10ЧГ'1Г, 1'-0,1В, lut) - ?<Г''ЧЛ"!, fbQ.05; <»-0, }).

р»-.?')нп|к:нк0 пики в различных точках плотины прегеи-чю» при ошпж и 1зх se частотах вмиуглршеп силы и огличчг'т

только ггенень?) резонанса;

0гн'!Г'.1!ь,г-? рзэоппнегшв пики происходят при частот

меньпиу собственной ''пстгы, лэльнетмее упели и'"'^

тго " т : f " î - • i; (<■'■: г венных Форм п рачт^енни ге wi-.".! каких

существенных изменений в амплитуду.

Анализ результатов показывает, что не все собственные частоты (табл. 1) создаст пиковые резонансц: это связано с ортогональностью внешней нагрузки к соответствующим формам.

При малой вязкости появляются на резонансной кривой дополнительные резонансные пики, соответствующие работающий формам. С увеличением вязкости эти резонансные пики существенно уменьшаются и сдвигаются влево, го есть возникают на частоте меньшей, чем собственная частота. При большой вязкости резонансные кривые резко меняют спой характер. На кривой остается единственный резонансный пик, соответствующий первой собственной частоте.

С увеличением толщины подошвы амплитуды резонансных пикой уменьшаются и-изменяется количество резонансных пиков -это связано с перераспределением собственных форм.

В шестом параграфе приведено исследование поведения трехмерных тел на сейсмические воздействия.

Пусть на тело типа плотины с вязкоупругшш свойствами соответствующими модели Фояхта действует нагрузка, направленная вдоль оси х, характер которой определяется акселограм.юп.

Проведено исследование влияния толщины подошвы на характер переье гения.

Из анализа результатов расчета перемещении видно, что значгиил перемещения почти созпадают со значением заданной а«:селограммы, причем с увеличением толыииы подошвы значения перемещения сглаишаюгся и приближаются к значениям акселог-ранмы, 'л с уменьшением толщины наблюдаются значительный отклонения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

1. Разработана единая модель расчета упругих и вдокоупругьх трехмерних тел ело гноя конфигурации при воздействии рг :нк ••» рода нагрузок.

?,. Разработай комплекс программ, авгоматизируишш пр<. с исследования трехмерных задач.

3. На Сазе единой схемы расчета и соответствующего комплот а программ решен ряд новых задач:

а) Численное исследование сходимости и достоверности предложенных схем расчета статических задач.

Г5) Расчет напряженно-деформированного состояния тела

типа плотины при воздействий равномерно-распределенной поперечной нагрузки на одну из боковых поверхностей.

в) Исследование сходимости собственных частот и форм, а также зависимости их от форм тела и краевых условий.

г) Анализ собственных форм и частот тела типа плотины.

д) Численное исследование амплитудно-частотных характеристик тела типа плотины.

е) Исследование тела . типа плотины при сейсмическом воздействии.

Основное содержание диссертации отражено в работах:

1. Гайназаров С., Курманбаев Б. Построение конечноэле-ментной модели задачи динамики упругого тела. -Деп. в УЗН; ЧН. -Н 17788.-19с.

2. Гайназаров С.М. , Кадырова Н. Р. , Худойбе генов P.A., Единая схема расчета тел методом конечных элементов//2-й международный семинар соц. стран//Вычислительнал механика и автоматизация проектирования - тезисы докладов и сооби шип. -Ташкент: ИК с BU АНУзССР.-1988 -С. 14.

3. Гайназаров С., Курманбаев Б. Численное исследование собственных частот и собственных форм колебаний упругого тела //Вопросы вычислительной и прикладной математики.-Ташкент: РИСО АНУзССР.-1990.-Вып. 89.-С. 23-31.

4. Гайназаров С.М., Курманбаев Б. Численное исследование поведения упругих и вязкоупругих тел методом конечных элементов// Межреспубликанская научно-техническая конференция "Чис-лечные методы решения задач стр. механики, теории упругости и пластичности: Тезисы докладов-Волгоград: НПО "Ремонт".-1990. -С. 97-98.

5. Гайназаров С.М., Курманбаев Б. Автоматизация расчета статического и динамическог поведения упругих и вязкоупругих тел.// Тезисы докладов fa Республ. конференции "Современные проблемы автоматизации'. Ташкент.-1991. -С.140-141.

Б. Курманбаев Б., Гайназаров С.М. -Схема интегрирования уравнения движения пространственных элементов конструкций ' ' Изв. АН УзССР -CTH.-1988.-N 1,-С. 31-34.

7. Курманбаев Б., Полатов A.M., Гаппчзаров С.М. Процедура вычисления матриц инерции, сопротивле1 ля и жесткости в тр<ч' мерных динамических задачах теории упру, ости '' Алгоритм». Ташкент: РИГП АН УзССР.-1988.-Вни. Г,4.-С. 19-23.

В. Абдукапыров A.A., Гайназаров С. И. , Имамов Т. Т., Кадырова Н. Р., Курманбаев Б., Полатов A.M., Саттаров А., Худоп-бергенов P.A., Численное исследование решения некоторых трехмерных задач теории упругости, пластичности и динамикн//6-п Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике: Аннотация докладов.-Ташкент: Фан, УзССР.-1986.-С. [i

9. Гайназаров С.М., Мирзаев И. И., Слдашев JI. У. , Комплексный расчет пространственных составных конструкции методом конечных элементов // Тезисы докладов Международного симпозиума , "Вычислительная механика и автоматизация проектирования"'. -Москва-Ташкент. -1988. -С. 33-34.

10. Гайназаров 'С. М. , Мирзаев U.M., Слдашев JI. V. , ' Пакет прикладных программ для расчета пространственных конструкций. // Алгоритмы и численные методы решения задач вычислительной и прикладной математики: Сб. науч. трудов. /ТашГУ.-Ташкент.-1988.-С.18-20. '

11. Гайназаров С.М. , Курманбаев Б. Автоматизация расчета статического и динамического пов.дения упругих и вязкоупругих. тел.// Тезисы докладов на Респуол. конференции "Современные проблемы автоматизации".-Ташкент.-1991.-С. 140-141.

12. Курманбаев Б., Мирадилов М. , Гайназаров С.М. Программа решения систем линейных алгебраических уравнении с диагональным заданием // Алгоритмы и программы: Сб. научи. ; тр. - Ташкент: РИСО АН УзССР.-1975.-Вып. 22-С. 42-49

- 1Н -

АННОТАЦИЯ

Мураккаб таркибли уч улчовли эластик ва кусшкок эластик хисмларнинг деформаиияланишини моделлаштириш

Фазодаги конструкиияларнинг узок ягпаши ва уларнинг бузнл-маслиги муаммосини ечиш учун сонли-аналитик алгоритмлар яратиш ва шу асосида реологик хоссаларга эга булган уч улчовли мураккаб таркибли хисмларни деформаиияланиш хараёнини моделлаштириш учун автоматлаштирилган системани тузиш долзарб масала хисобла-нади. I

Диссертаиияйан асосия максад хар хил куч таьсирида эластик ва кусшкок эластик хисмларни хисоблашнинг умумий моделини тузишдан иборат. Бунга барча тадкикот хараёнини замонавии дастурлаш ' технологиясига асосланган дастурлар комплексный яратиш билан эришиш мумкинлиги курсатилган.

Диссертаиияла тенгламаларни ¿-осил килиш ва уларни хос сонлар ва хос шакллар ёки Ныомарк /сули оркали ечиш иуллари курсатилган.

Барча алгоритмларнинг якинлашиши тахлили келтирилган.

Турли масалалар ечилган ва шу орада текис такснмланган куч тасирида тулгоц,шаклидаги хисмни деформаиияланиш хараёнини аниклаш масаласи ечилган. Бу масала ечими бир нечта хил эшш асос учун курилган.

Тугон шаклидаги хисмнинг хос шакллари ва хос частотальри топилган ва улар оркали махбурии гармоник куч тасирида барча кусшкок эластик холлар учун амплитуда-частота характерисги-касн аникланган.

Сеисмик куч тасирида тугон шаклидаги хисмнинг барча аеос-лар учун деформаиияланиш хараени курсатилган.

ANHOTAT IUH

The simulation of the behavior of elasttc and vlscoelastlc complex confl(juratIon three dimensional bodies

The creation numerical1-analytlcal algorithm Is demanded for the s.olvlng problem of securrlty spacing element of construction. On Its base In the work was created an to

mathl mat. leal system for the simulation of stress condition of. the complex configuration bodies wlht reologle property.

The purpose of this work Is to create the Indivisible model forsolutlon elastic and vlscoelastlc bodies under different load.

For- this purpose It was created complex program with using Dodf'rn proarscsralng technology.

in thi^ dissertation work was given the »■ray to get the Helving system of equations. The solution was constraccted Mtlh using the method separaitlon on eigenvectors and eigenvalues or with Hlemnrk's method.

Numerically algorithm was created rmci its envergens vn;-conduct"d

On this base was soluted different problem.

nonnncano n tiRMa r»_

fl

Tnp;>x

1 nn

Подписано К ПСЧа I И 6 о?. 93 3ai.il! №

Тираж /ОО эк i lUU.ifi / п. л. <1'(1|ш;|г йумаш (¡О/НИ ТО.

Üiiii-'iai .то па poiaiipuiiiu и i тин рафии ТашГУ им. 1!. И. Ленина.

Л;||ич: 7000!lf¡, i. laiiii.riir, ГГЦ. Пулородок, ТашГУ.