автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование в задачах динамической устойчивости вязкоупругих элементов проточных каналов

На правах рукописи

Молгачев Алексей Анатольевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ВЯЗКОУПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ ПРОТОЧНЫХ КАНАЛОВ

Специальность 05.13.18 "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ульяновск 2005

Работа выполнена на кафедре "Высшая математика" Ульяновского государственного технического университета.

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор П.А.Вельмисов

Официальные оиноненты

доктор технических наук, профессор Н.Н. Ковальногов

доктор физико-математических наук, профессор А.С. Андреев

Ведущая организация:

Казанский государственный архитектурно-с гроительный университет

Защита состоится " 1 " июня 2005 г. в 15.00 на заседании диссертационного совета Д212.277.02 при Ульяновском государственном техническом университете по адресу: 432027, г. Ульяновск, Северный Венец, 32, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного технического университета.

Автореферат разослан "оЩ" СОА^й^Я 2005 1

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, профессор

Крашенинников В.Р

Общая характеристика работы

Л Ч 4648

Диссертация посвящена построению математических моделей проточных каналов, содержащих упругие и вязкоупругие элементы, находящиеся во взаимодействии с потоком идеального газа (жидкости), и разработке на основе построенных моделей математических методов исследования динамической устойчивости этих элементов.

Актуальность темы. Важной народно-хозяйственной проблемой во многих отраслях техники является повышение надежности и продление сроков службы конструкций, взаимодействующих с потоком жидкости или газа. Такая проблема, в частности, возникает в авиаракетостроении, турбокомпрессоро-строении, приборостроении, при проектировании антенных установок, датчиков давления, камер сгорания, реакторов, гидротехнических и высоких наземных сооружений, трубопроводных систем, проточных каналов различного назначения, и т.д.

При проектировании конструкций, обтекаемых потоком газа или жидкости, важное значение имеет исследование устойчивости деформируемых элементов, так как воздействие потока может приводить к увеличению амплитуды колебаний, и, тем самым, их разрушению.

В то же время для функционирования некоторых технических устройств (например, вибрационных устройств, используемых для интенсификации технологических процессов) явление возбуждения колебаний при аэрогидродинамическом воздействии, указанное выше в качестве негативного, является необходимым.

Таким образом, при проектировании конструкций и устройств, находящихся во взаимодействии с газожидкостной средой, необходимо решать задачи, связанные с исследованием устойчивости, требуемой для их функционирования и надежности эксплуатации.

Исследования задач аэрогилроупругости изложены в работах Болотина В.В., Вольмира A.C., Галиева Ш.У., Горшкова А.Г., Григолюка Э.Г., Гузя А.Н., Ильгамова М.А., Мовчана A.A. и других авторов. Среди зарубежных работ отметим Бисплингхоффа Р Л., Эшли X., Хапфмана Р.Л., Фына Я.Ц., Доуэлла

Е.Х. Исследованию дииамики трубопровода с протекающей в нем жидкостью посвящены работы Челомея C.B., Феодосьева В.И., Светлицкого В.А. и других.

При расчете конструкций на прочность и устойчивость существенное значение имеет учет вязкоупругих свойств деформируемых тел, что приводит к появлению в дифференциальных уравнениях движения тел дополнительных интегральных членов. За последние десятилетия проведено большое количество теоретических и экспериментальных исследований, посвященных теории вязкоупругости и устойчивости вязкоупругих тел, среди которых отметим работы Арутюняна Н.Х., Дроздова А.Д., Колмановскою В.Б., Работнова Ю.Н.

Совместное движение деформируемого тела и жидкости (газа) описывается связанной системой интегро-дифференциальных уравнений, что не позволяет разбит ь решение задач аэрогидроупругости на две отдельные задачи - определения деформации тел и расчета течения жидкости (¡аза). Отмеченные особенности увеличивают сложность исследований и приводят к необходимости разработки специальных методов исследования устойчивости упругих или вязкоупругих тел в потоке жидкости или газа.

Отмеченное выше позволяет утверждать об актуальности исследований, проведенных в диссертации.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка на основе математического моделирования математических методов исследования устойчивости вязкоупругих элементов проточных каналов, взаимодействующих с потоком жидкости (газа), протекающего внутри них. Для достижения этой цели решаются следующие задачи:

1) Построение математических моделей проточных каналов, содержащих вязкоупругие элементы, взаимодействующие с дозвуковым потоком жидкости или газа.

2) Разработка аналитических и численных методов исследования динамической устойчивости вязкоупругих элементов проточных каналов, с учетом взаимодействия с дозвуковым потоком среды.

Методы выполнения исследований. В диссертационной работе используются методы теории дифференциальных уравнений, математической физики, теории функции комплексною переменного (ТФКП), линейной алгебры,

теории устойчивости, асимптотические методы и модели механики сплошных сред, численные методы, методы математического моделирования.

Достоверность полученных в диссертации результатов обеспечивается строгостью математической постановки задач и математических преобразований, согласованием аналитических решений с результатами вычислительного эксперимента, а также согласованностью с результатами других авторов

Научная новизиа положений, выносимых на защиту

1) Построены математические модели проточных каналов с вязкоупругими элементами, с учетом взаимодействия с потоком жидкости (газа), протекающим внутри них.

2) Разработан численно-аналитический метод исследования устойчивости упругих элементов проточных каналов с учетом взаимодействия с дозвуковым потоком жидкости (газа), а также соответствующие численные алгоритмы и компьютерные программы.

3) Разработана методика аналитического исследования устойчивости вязкоупругих элементов канала, основанная на построении функционалов.

Практическая ценность работы состоит в том, что разработанные математические модели, методы и программное обеспечение позволяют усовершенствовать методы расчета конструкций, находящихся во взаимодействии с потоком жидкости или газа, повысить уровень расчетного анализа взаимодействия, сократить время, затрачиваемое на натурные эксперименты, а в некоторых случаях заменить их аналитическими оценками или проведением численного эксперимента.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на конференциях различного ранга: International Conference Modelling & stability. "Dynamical systems modelling and stability investigation" (КГУ им. Т. Шевченко, Киев, 2001); молодежная школа-конференция "Лобачевские чтения" (КГУ, Казань, 2001-2004); международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения" (МГУ им. Огарева, Саранск, 2002, 2003); международная конференция "Математическое моделирование физических, экономических, социальных систем и процессов" (УлГУ, Ульяновск, 2001);

Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения-XIII" (ВГУ, Воронеж, 2002); XII межвузовская конференция "Математическое моделирование и краевые задачи" (СамГТУ, Самара, 2002); X Международная конференция "Математика. Экономика. Образование" и II Международный симпозиум "Ряды Фурье и их приложения" (РГУ, Ростов-на-Дону, 2002); XXX Summer Schoo) "Advanced Problème in Mechanics" (IPME RAS, St. Petersburg, Russia, 2002); XXIV конференция молодых ученых мех.-мат. фак-та МГУ им. М.В.Ломоносова (МГУ, Москва, 2002); International Conférence Physics and Contre! (IPME RAS, St. Petersburg, Russia, 2003); Международная конференция «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке, технике и экономике» (УлГТУ, Ульяновск, 2001-2004); EUROMECH Colloquium 437 "Identification and Updating Methods of Mechanical Structures" (IT AS CR, Prague, Czech Republic, 2002); the 10* Conférence on Applied and Industriel Mathematics (University of Pitesti, Romai, 2002); the 30л Jubilee International Conférence "Application of Mathematics in Engineering and Economies" (Sozopo!, Bulgaria, 2004); научно-технические ежегодные конференции профессорско-преподавательского состава УлГТУ (2000-2004).

Реализация результатов работы. Исследования, представленные в диссертации, внедрены в рамках проекта "Устойчивость тонкостенных конструкций при аэрогидродинамическом воздействии" (грант РФФИ № 98-0103286, 1999-2000гг.), в рамках НИР "Разработка математических методов исследования динамики и устойчивости тонкостенных конструкций при аэрогидродинамическом воздействии" (заказ-наряд Федерального агентства по образованию, 2004г.), а также в рамках госбюджетной НИР "Исследования по дифференциальным уравнениям, математической физике и приложения в механике, технике, естествознании".

Публикации. По теме диссертации опубликовано 29 печатных работ, из них 12 статей.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 164 наименований и 3 приложений, содержит 151 страницу (без приложений).

Содержание работы

В первой главе на основе метода Фурье исследуются плоские задачи об устойчивости вязкоупругих и упругих элементов проточных каналов.

1. Исследуется задача о плоском движении идеальной несжимаемой среды в канале, разделительная стенка которого содержит вязкоупругие деформируемые элементы (рис.1). Исследование устойчивости проводится в постановке, соответствующей малым возмущениям однородного потока среды и малым прогибам вязкоупругих элементов.

у О-

у$

У=™т(и) х

.....-ГЧ/члуч-----------(ЛЛлУч--

Ь,

ит

к

т

Рис.1. Канал с вязкоупругими элементами на разделительной стенке Скорость невозмущенного потока V направлена вдоль оси Ох. На разделительной стенке канала у - 0 расположены т вязкоупругих элементов, занимающих положение [а(,Ь(] (я, <6, <а(+| <6(+1, г' = 1,...,/я-1).

Введем обозначения: и>Дх,0 (/ = 1 ,...,т) - прогибы (деформации) упругих элементов; ^(х.у.г), <р2(х,у,1) - потенциалы скорости возмущенных потоков в нижней (•/,) и верхней (У2) частях канала:

Ji=lx,y)eR2: 0<х<(, у0<у<ъ\ J2=\x,y)eRl\Ъ<х<1, 0<у<у,\ Математическая модель включает следующие уравнения и условия: Д<?1 = <Р\хх + <Р\уу = 0. А<Р2=<Р2хх+(Р2уу=0'

к К )= (- Р{<Р\! + У(Р\х ) Р(<Р21 + У(Р2х )) ' * 6 ' Ьк )'

- /л,* (X, Т,гу*'(х,г)</г + ргк{х)*'

+ Мк(хЩх,1) +

+ {Ик (х, 1)у>'{х, 0) + Р1к (х, 0 + 0ок (х, ?) н-(х, 0 - ¡Я2к (х, г, «Цх, т)с1т

1

цк\*Хх, О)2 ск Г))2 <к

0к ак

0)

<piy(xfi,í) = Wjl +VwJX, хе(агЬ;), j = l,...,m, / = 1,2;

<p,y(x,0,t)=0, x € [O, (] \

, ' = 1,2;

и 1а ГЬ,}

)

<Р\у{х,у0,1)=0, <р2у{х,у.,1)=0, д:е[0,Л; <р,{0,у,()=0, <р,{Ш) = 0, уе{у0,у.\ / = 1,2. В выражениях для Ьк(м>) под н<х,г) следует понимать \мк (х,1). Индексы х,у,1 обозначают производные по х,у,1\ штрих и точка - производные по х и / соответственно; р - плотность газа; Ок - изгибные жесткости; Яи(х,т,1\ Я2к(х,т,1) - ядра релаксации, характеризующие вязкоупругие свойства материала элементов и их оснований; Мк - погонные массы пластин; Мк -сжимающие (растягивающие) усилия; Р2к - коэффициенты внутреннего демпфирования (материала пластин); 0{к,РОк - коэффициенты демпфирования и жесткости оснований.

На основе метода Фурье решение задачи сведено к исследованию системы интегро-дифференциальных уравнений для прогибов вязкоупругих элементов

*=1 лк Haj

LPV - г i . Si

+ -

2 pV 05 г i m Ь,( Л

-^YXcth(hyo)-cth^ky*)\cosXkx I !K +Vwj jsinXkxdx, xe[ahb¡].

На основе построения функционала для системы (2) доказана следующая

ТЕОРЕМА 1. Пусть концы пластин закреплены жестко или шарнирно, ядра релаксации Rlk (х, т, t) (< = 1,2) при 0 < г < / удовлетворяют условиям

Rlk (x,r,t) = 2 0, ^-(х.0,0 < 0, ^(х, г,/) < 0,1 + Qa (х,0,оо) > О,

от ot owt

и выполняются неравенства М, > О, D, > 0, PJt >0 (j = 0,1,2), /?0, <0, Ñ¡ > 0,

. ^ 2pV2m(b¡-a,) "cth(¿ky.)-cth(ÁkyQ)

I ~ л -3 » ■ »

*=l Á¡

N, <Á,nAD,

. 2pV2m(b, - a,)-cth(Aky.)-cthUky0)|

v, - 2 ¡3 }' ' =

гдеД,(!) - наименьшие собственные значения задачи ф1У (х) = -Лф"(х) с заданными фаничными условиями; Як = кж/£, D* = inf£>;(jc)(1 + 6u(x,0, со)),

= зир Л/Дх,/), хе\а1,Ь1], / > 0. Тогда решения и>,(х,/) системы (1) устой-

Х,1

чивы по отношению к возмущениям начальных значений прогибов, скоростей и кривизн V,, »V,, IV* (; = 1 -7- т).

Условия устойчивости налагают ограничения на значения скорости потока и сжимающего усилия.

В диссертации рассматривается также обобщение данной задачи на случай произвольного количества разделительных стенок, каждая из которых содержит произвольное количество вязкоупругих элементов. На основе построения функционала получены достаточные условия динамической устойчивости колебаний элементов.

2. Предлагается численно-аналитический метод исследования асимптотической устойчивости упругих элементов канала. В качестве примера приведем задачу о плоском движении идеального несжимаемого газа (или жидкости) в канале, ./ = |.г,>')е Л2, о < х < 0 < ^ < }, каждая из стенок которого содержит упругий элемент (рис.2). Скорость невозмущенного потока газа V направ-

У1

/о

Г

г

1Г Г

Ь*

У

Ь X

Рис 2. Плоский канал с упругими элементами, лена вдоль оси Ох. Упругими являются часть стенки у -О при хе [а~,6~], а<а <Ь~<Ь, и часть стенки у = у0 при хе[а*,Ь*], а<а*< Ь+<Ь.

Применяя метод Фурье, приведем задачу к уравнениям для определения деформаций м>+(х,1),

ь*

I н-4 ¡-Ун,* \к,(х,т)е/т- ЙГ2(х,г>/г

+ рУ

[ пу1 + Ууч*

дх

(¡т- П и>+ + Ум*

а* V

')дК2(х,т) дх

¿г

о - а т=| |/„, тж

2 4 1 ^ =-'

К1(х,т) = --I - —--ш^х-а^т^г-а). °

Ь-а т-\ У^ЩУтУй)

где определен выражением (1), в котором опущены интегральные

члены, а коэффициенты постоянны.

Методика исследования устойчивости состоит в представлении прогибов в

±

виде отрезков рядов (х,?)= £ (/)£*(*), где ¿¡¿¡(х) удовлетворяют гра-

I

ничным условиям, соответствующим типу закрепления элементов, и применении процедуры Бубнова-Галеркина. Для получаем систему

обыкновенных дифференциальных уравнений

МИ> + Км + Пи- = О,

где матрицы М,К,С1 имеют размерность + 5~)х(л+ + «"), и' = (и>+,ч>_). Представляя м> в виде ы(/)=аехр(Х/) (а - столбец неизвестных коэффициентов), приходим к однородной системе 5++5~ линейных алгебраических уравнений, коэффициенты которой зависят от X

(мл2 + кл+п)х=0.

Решая численно характеристическое уравнение сЗе^А/Я2 + КЛ + п)= 0 методом парабол с помощью простых итераций (определитель на каждом шаге вычисляется методом Гаусса), находим значения X. Исследование устойчивости решений м* (х,1) системы (2) сводится к рассмотрению действительных частей X (если все Яе X, < 0, то колебания упругого элемента асимптотически устойчивы, если хотя бы одна Яе X, > 0, то неустойчивы).

Программное обеспечение, созданное для этой задачи, позволяет проводить следующие виды исследований:

1. Построение зависимостей критической скорости, при которой система теряет устойчивость, от параметров конструкции: длин упругих элементов Ь± -аг, ширины канала у0.

2. Построение областей устойчивости на плоскостях (V, ДО*).

3. Исследование динамики элементов - построение графиков и1*(х,/) на каждом временном шаге как функции хе[а±,Ь±] и построение графиков ^(х,/) для фиксированного х как функции /.

Данный метод исследования асимптотической устойчивости упругих элементов стенок плоских каналов применяется также в случаях последовательного расположения двух упругих элементов на одной стенке проточного и разделительной стенке двухпроточного канала, а также в случае одного элемента на одной стенке.

Во второй главе на основе методов ТФКП исследуется асимптотическая устойчивость упругих элементов конструкций, имеющих бесконечную протяженность.

1. Дано решение задачи о плоском движении идеального газа (жидкости) в канале бесконечной длины У = {(х, у) е Л2: |х| < да, 0 < у < у0}, стенка которого у = 0 содержит деформируемый упругий элемент, расположенный на участке (-а, а).

Математическая модель содержит следующие уравнения и условия: А<р = 0, (х, у) е У; Ц*с) = р. - р0 + р(<р, (х,0,г) + У<рх (х,0, ?)), * е (-а, а); ¿(м>) г ]}*>"" + 02*"' + ту* + Ы^/" + 01* + 0ащ <Ру(х,Уо>1) ~ 0, хе(-оо,оо); <ру(х,0,1) = 0, х е (-оо,а]и[а,со); (ру (х,0,0 = м), (х, ?) + (х,Г), х е [-а, а];

{<р2х +<Р2у)х-^ =0. (<Р,)х—к = >-6(0,Д'о)-При х = -а,а: Цх,Г) = м"{х,Г) = 0 или >1>(х,/) = w'(x, 1) = 0.

2. Проведено исследование устойчивости колебаний бесконечной плоской

решетки упругих пластин Пк:у = ку0,хе(-а,а),ке2 при бесциркуляционном обтекании ее потоком идеальной несжимаемой жидкости (рис.3). Скорость жидкости на бесконечности слева от решетки равна V и направлена вдоль оси Ох.

У |

0 Уо

Рис. 3 Решетка упругих пластин.

Математическая постановка задачи имеет вид:

лср = о, +ц° пку,

к = - оо

Нш (<р1 +<Р2У+<Р?) = 0; ->±оо

<Р'у

Пт

<Ру{х>УЛ) = *>,+ Умх , х е (-а,а), кв2',

у куй ± О

Цы) = р{<р+ -?;) + рУ(<р+ - (р'х ), х е (-а,а), у = 0. 3. Методами ТФКП разрешающее уравнение для обеих задач приводится к

виду:

я ж

жа

Уо

т,х б [-а,а], хФт,

причем в случае канала:

К(т,х)=Рп

в случае решетки:

. . Н(х,х) + Н(х,т) . I . я{а + х) . я(а - т) . .

К{т,х)= £п г——-———^,Н{т,х) = х/г—----'-*й--т,хе[-а,а], т*х.

\Н(т,х)-Н(х,г)\ \ у0 у0

Для решения задач используется метод, описанный в главе 1. Приведем

некоторые результаты численного эксперимента. На рис.4,5 представлены

графики критических скоростей, при которых происходит переход системы из

устойчивого состояния в неустойчивое, на рис.6,7 изображены области

усюйчивости (Е - модуль упругости Юнга, Ь - толщина пластин, с0 - скорость

звука в материале пластин).

Уд ; ; ; Уа_

с„Н ' | ' свН

О. 3

У>

о о. з х л.з а а о о.з х х.з а а

Рис 4. Зависимость критической скорости от Рис. 5. Зависимость критической скорости от ширины канала. шага решетки.

Рис 6 Область устойчивости на плоскости Рис 7 Область устойчивости на плоскости (\'Д') для канала для решетки

В третьей главе исследуются задачи о пространственном движении идеальной несжимаемой среды в канале, стенки которого (две или одна) содержат вязкоупругие или упругие вставки.

1. Исследование устойчивости колебаний вязкоупругих элементов проводится в постановке, соответствующей малым возмущениям однородного потока среды и малым прогибам вязкоупругих элементов стенок канала. У

V

V"

->

X

л

Рис 8 Канал с вязкоупругими элементами. Рассматривается канал прямоугольного сечения J = {(х,у,г)е Я3: 0<х<1,0<у<И, 0<г<в\, две противоположные стенки у=0, у=И Т = г)е К2 :0 < х < /, 0 < г < в] которого содержат вязкоупругие элементы в виде прямоугольных пластин (рис.8). Вязкоупругими являются части стенки у ~ И при (х,г) е П^ = {я2 2 е [¿>2*-1 > ]}> к = \+п+ и части

стенки у = 0 при (х,г)еП'к = {я2 '-х е[с2Ы,с2к\ ге^ц.!,^! к = \ + п~.

Введем обозначения: и-*(л,г,?) (г = 1 -ьи*) - прогибы вязкоупругих вставок верхней и нижней стенки канала соответственно; (р{х,у,г,1) -

потенциал скорости возмущенного потока среды.

Математическая формулировка задачи имеет вид:

<РХХ + <Руу + <о.. = 0, (л-,у,г) е7.

/ т \ / <ру{х,И,2,0=0, (х,г)еТ\ УП* ; д>Лх,0,г,/)=0, (х,г)еП иП

44 = 1 /

\*=1

а ос

(лс,>>,0,/) = <г>.(х,у,г) = 0, 0<дт<0<у<И;

ф,у,г,1) = (р(Р,у,г,1)=0, 0 <у<И, О<г<0; Ц{п1) = р(<р1(х,0,г,1)+У<рх{х,0,2,1)\ (х,г)еЩ, Л = 1-5-и";

,4 + ± э4 +

-— + 2—+

А4

'¿Зс2^2 А4

-К ('.о

о

йс4

±

а м,.

<3с2й2

А'

с/г

+ Ри

'¿Ч* |2 ¿4 , ¿Ч±Л

А «с*

+ /?<?*('! ^ - /Л|л(«-.'К* (дг,г,т>/г V О

йЧ*

дх1

"г к Ми I °2к-\

5и|

V & у

8 7

ах — '* 8( J

'л си>г

"2к-\\ )

ск

д!2

&2 к

-"2 к \

м

Эг

2*

д ЬЦ (I2

д!

дг

э2 ± д ™к

дхдг

аЦ ЬЦ дм>1

Мок [ \

Ь2к-\1 8 "Ч ЬЧ <4

«2к-\ ь2к-\

дх дг

2к °2к

йхск + У0к ~ I | ^-^-скеЬ

Ькг.

Методом Фурье решение задачи сведено к исследованию системы интегро-дифференциальных уравнений для прогибов элементов . На основе построения функционала для этой системы доказана

ТЕОРЕМА 2. Пусть концы пластин закреплены жестко или шарнирно, ядра релаксации (г, I) (/ = 1,2) при 0 <x<t удовлетворяют условиям

(0,о < о,

3/ дтд(

(т,г)<0, 1 + 2*(0,=°)>0,

от

и выполняются неравенства М; > 0, £>; > 0, /?* > 0 (у = 0,1,2), /?0* < О, ДО,* > 0,

А: >

2 1

1+1

1 + сЛ(^А)

I

2. ±с±

Рг. > 4 I

> ¿к Я^ЩЯ^Щ

-р>Ь)'

19 *7=1 -4'

в которых - наименьшие собственные значения задачи

ф'у (х) = -Яф"(х) с заданными граничными условиями; ^к=кж/1,ц5=5п19, Я? = (Ь? - а; - cf), О* =Д*(1 + 0,*(О,ос)). Тогда решение системы уравнений (4) устойчивы по отношению к возмущениям начальных значений и-,*, м>?, и^, , и/^, /' = 1 и*.

I х

Рис 9. Упругий элемент стенки канала.

2. Рассмотрена задача о движении идеальной несжимаемой среды в трехмерном канале прямоугольного ^ сечения, одна из стенок которого содержит упругий элемент в виде прямоугольной пластины 1 = \х,2) е Л2: х е [а,Ь\ 2 е [с,</]}.

В линейной постановке математическая формулировка задачи имеет вид: (,охх + + (р__ = 0, (х,у,г)бО={л3: 0<х<(, 0<у<£ 0<2<#|;

Цу/) = -р(<р,(х,,*,г,1) + У<рх(х,<>;,г,1)1 (*,г) е Г - {я2 : 0<х<^, 0<г<в\, £(*) е /ЭДДи- + ДД^ + Л/» + N {х^хх + + + Р^ +

^0,^,2,0 = 0, у, г, 0=0, 0<г<<9;

р.(х,.уД0 = 0, 0 < х < ^, 0<у<£;

<Ру{х ,0,2,0=0, (x,z)eT\J■, <ру(х,{]=*>,(х,г)е./;

2,0) = И'д (х, 2), ^(х, 2,0) = Н'о (х, 2), где ш(х,2,/) прогиб упругого элемента, ср(х,у,г,/)-потенциал скорости возмущенного потока.

Потенциал скорости (р{х,у,г,^ задается функцией, являющейся точным решением уравнения Лапласа:

I N

<р(х,у,2,0=ЁЕ ^ (фт^ХСОБ// 2

(5)

+ 1 ^(Омп^^+е-^) (х,у,г)еа

/ 6/

Используя метод Фурье, решение задачи можно привести к исследованию уравнения:

ЬЛ Ьс1

ц V)=-1 К»+к*; К(х, 2, г, о^с - V / {(*+г*; К; (х, г, г,

ас ас

2 р

+ 211—у====г---,51п(утх)со5(А„2)5т(утг)со5(уиХ) т=1л=1 АК+М„

(х,2)е У.

В случае шарнирного закрепления прогиб элемента представим в виде разложения по формам собственных колебаний:

/V,

(х, 2, Г) = £ I И- (/)яп £ (х - а>т ц (г - с), £ =

,=0=1

/я-

>

й-с

• (6)

Приведем численный пример расчета на ЭВМ для заданных параметров: Л/=42.4, Е=7• 10ю, = 0.31, £>=806.7, /?„=/?, = р2=\, ¿ = 10, ¿ = 1, (9 = 1, [а; Ь] = [5; 6], [с; <)] = [0; 1] Ы, =3, Ы2 =3, Ь=30, N=30, 103, %,=

5-102, *(д=) = 103

\

Рис.10 Изменение критической скорости от числа приближений для потенциала.

Рис. 11. Зависимость Укр от размеров элемента (ё-с) и (Ь-а).

Значения решений, полученных методом, описанным в главе 1, и конечно-разностным методом Эйлера, отличаются на 2.4%.

3. Нелинейная задача о колебаниях упругого элемента стенки канала (рис.9) содержит следующие уравнения и граничные условия:

<Рхх +<Руу+ <Рг-. =

¿(»V) = £>ДДи- + Р2 ДДн> + Рц)1й> + /3,-л +

<р:(х,у,0,0 = 0, рг(х,.у,0,/)=О, 0£х<£, 0<.у< ^ (х,0,2,/)=0, (х,г)€Г\У; <р {х,4,г,1)= + (х,г)е./;

и> = 0, и»^ = 0, Ф.г=-/7(;с), }Ф;сгаЬ = 0, х = а,Ь,

с Ь

и> = 0, =0, ФХХ=-Р(:), ¡ФХ2<Ь = в> х = с,с1,

а

где <р(х,у, 2,1)-потенциал скорости, Ф(х, г, г) -функция напряжений,

м'(х,2,/)-прогиб элемента.

С помощью метода Фурье, представляя потенциал скорости в виде (5), уравнения нелинейных колебаний можно привести к виду:

Ь с! Ь<1

Цу>) = НЩИ/, Ф) - \ }(>С + Уч>\ )К(х, 2, г,СУЩ - V } }(*> + Ум»\ усх (х, г, г,СУЩ,

и (. ас

— АДФ = --Лг(и',и'). Е 2

Прогиб ч/ задается в виде (6). На основе применения процедуры Бубнова-Галеркина получена система нелинейных дифференциальных уравнений колебаний пластины:

5?

т=I п~\

( 2 М ^ /тп с1]'тп

рц.тп рц.тп ^ рд,тпУ тп

"2

~ £ X У ру/тп/ш/к!'

т,г,1,к=1 п,$и,1=\

р = \-Ыи ¡7 = 1 + ^2, т,п,г,5,/,и,к,I = 1,3,5,... (7)

где М „.тп = 5р„-РЧп + - К рд,тп = (Р2 +92А2)2 +А )5рт§чп,

&рЧ,тп = (Др2 + - (рм"2 + Ри)"2)+ А) К'Л" +

А2 . ¿-а с. М = 7

/рч~ 8 'На

, даии/ч^тУ + иУ)- (/я2 + г2 - р2 )(п2 + 52 - с?))

ЬЛЫ

ЛрЧ,тп = Н ¡¡*т£р{х-а)$т щ(2 - с) ып ¿¡„,(т - а^п - сЩх, г, т, £)ск<к<1т<1С<

и с а с

Ь</Ьс1 асас

Разработана компьютерная программа, которая позволяет исследовать динамику фиксированной точки элемента с течением времени, а также строить прогибы в фиксированные моменты времени, на основе решения системы (7) конечноразностным методом Эйлера. Решения нелинейной и соответствующей ей линейной задачи отличаются на 12%.

Получено условие статической неустойчивости для первого галеркинского приближения.

В приложениях 1 и 2 приведены выводы уравнений колебаний для упругих элементов канала бесконечной протяженности методами ТФКП и для вязкоупругих элементов трехмерного канала методом Фурье; в приложении 3 приведен текст компьютерной программы, позволяющей исследовать динамику и устойчивость упругих элементов.

Основные результаты работы

1) Построены математические модели в задачах о дозвуковом движении жидкости (газа) в каналах, стенки которых имеют вязкоупругие элементы. Производится одновременный учет старения (вязкоупругости) материала деформируемых элементов, взаимодействия их с потоком жидкости (газа) и вязкоупругим основанием, а также влияния сжимающих (растягивающих) усилий.

2) Разработана методика аналитического исследования динамической устойчивости вязкоупругих элементов каналов, основанная на исключении аэрогидродинамических функций и построении функционалов для связанных систем интегро-дифференциальных уравнений с частными производными, описывающих деформации элементов (количество элементов и места их расположения - произвольные). На плоскости (ДО,К) "сжимающее усилие -скорость потока" построена область устойчивости (на рис.12 заштрихована), ограниченная неравенствами N < А-ВУ7(А>0,5 > 0) и К < С (С > 0).

1 1 1 1 1 1

ч \ к I 1 1 1 !

N

Рис 12 Область устойчивости на плоскости (К,У),

3) Разработан численно-аналитический метод исследования асимптотической устойчивости упругих элементов проточных каналов, основанный на

исключении аэрогидролинамических функций и применении метода Галеркина. Метод может быть использован при любом закреплении и любом количестве произвольно расположенных элементов.

4) На основе разработанного численного метода созданы алгоритмы, соответствующие компьютерные программы и проведен численный эксперимент на ЭВМ в задачах о динамике упругих элементов каналов, Построена граница перехода параметров системы из устойчивого состояния в неустойчивое.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Вельмисов ПА., Молгачев A.A. Об устойчивости нелинейных колебаний пластины // Тезисы докладов 34-й научно-технической конференции УлГТУ (34 НТК УлГТУ). - Ч.З. - Ульяновск: УлГТУ, 2000. - С Л 0-11.

2. Вельмисов П.А., Молгачев A.A. Об устойчивости нелинейных колебаний пластины с учетом взаимодействия с потоком жидкости // Thesis of conference repots: Modelling & stability. Dynamical systems modelling and stability investigation - Kyiv, 2001. - Г.260.

3. Молгачев А А О динамической устойчивости колебаний пластины при взаимодействии с потоком жидкости // Тезисы докладов 35 НТК УлГТУ. -Ч.З. - Ульяновск: УлГТУ, 2001. - С. 12-14.

4. Анкилов A.B., Вельмисов П.А., Молгачев A.A. Динамическая устойчивость вязкоупругих элементов стенок канала // Труды международной конференции "Континуальные логико-алгебраические исчисления и нейроинформатика в науке, технике и экономике (КЛИН-2001)". - Т.4 "Математические методы и модели в прикладных задачах". - Ульяновск: УлГТУ, 2001. - С.54-60.

5. Молгачев А А Об устойчивости колебаний пластины с учетом взаимодействия с потоком жидкости // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. - Т.12. - Казань- КГУ, 2001. С. 104-105.

6. Молгачев А.А Об устойчивости вязкоупругих элементов стенок канала. // Труды 4 международной НТК "Математическое моделирование физических,

экономических, технических, социальных систем и процессов". -Ульяновск: УлГУ, 2001. - С. 110-111.

7. Вельмисов П.А , Молгачев А А. Математическое моделирование в задаче о динамической устойчивости упругих элементов стенок канала // Труды международной конференции "КЛИН-2002". -Т.5 "Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники". - Ульяновск: УлГТУ, 2002.-С. 19-21.

8. Молгачев A.A. Численный эксперимент в задаче об устойчивости пластины при аэрогидродинамическом воздействии // Труды международной конф. "КЛИН-2002". - Т.5 "Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники". - Ульяновск- УлГТУ, 2002. С.22-28.

9. Вельмисов П А , Молгачев A.A. Об устойчивости вязкоупругих элементов стенок каналов при гидродинамическом воздействии // Труды двенадцатой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". 4.1. - Самара, 2002. - С.39-42

10.Молгачев A.A. Численное исследование устойчивости упругого элемента стенки проточного канала // Труды XII межвузовской конф "Математическое моделирование и краевые задачи". - 4.1. - Самара, 2002. - С.126-128.

11. Молгачев A.A. Об устойчивости элементов стенок канала // Труды XXIV конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им М.В. Ломоносова - 4.2.-Москва: МГУ, 2002.-С.121-122.

12. Молгачев А А. Численное исследование устойчивости колебаний упругого элемента стенки канала // Сборник научных трудов "Механика и процессы управления". - Ульяновск: УлГТУ, 2002. - С.55-61.

13. Молгачев А.А Численное исследование устойчивости начально - краевой задачи гидроупругости // Материалы Воронежской весенней матема-

» тической школы "Понтряшнские чтения - XIII": "Современные методы в

теории краевых задач". - Воронеж: ВГУ, 2002. - С.103.

14. Молгачев A.A. О численном исследовании устойчивости колебаний элементов стенок плоского канала // Тезисы докладов 36 НТК УлГТУ. - Ч.З. - Ульяновск: УлГТУ, 2002. - С 9-10.

15. Вельмисов П.А., Мол1 ачев А А Об одной спектральной задаче в гидроупру-

гости // Тезисы докладов 36 НТК УлГТУ "Вузовская наука в современных условиях". - Ч.З. -Ульяновск: УлГТУ, 2002. - С. 13-14.

16. Вельмисов П А,, Молгачев А А Об устойчивости решений одной начально-краевой задачи гидроупругости // Тезисы докладов II Международного симпозиума "Ряды Фурье и их приложения" - Ростов-на-Дону, 2002. -С.167-168.

17. Молгачев А А. Численно-аналитический метод исследования устойчивости упругих элементов стенок канала // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. - Т.18. Казань: КГУ, 2002. - С. 64-65.

18.Вельмисов П.А, Молгачев A.A. Вычислительный эксперимент для одного класса задач взаимодействия упругих тел с жидкостью // Труды международной конф. "КЛИН-2003". - Т.5 "Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники" - Ульяновск: УлГТУ, 2003. - С. 17-23.

19.Молгачев A.A. Математическое моделирование решетки, взаимодействующей с потоком жидкости // Труды 5 Межд. конф. "Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов". - Ульяновск: УлГУ, 2003. - С.133-134.

20.Молгачев A.A. Математическая модель проточного канала, содержащего упругие элементы на разделительной стенке // Труды математического центра им Н И Лобачевского. - Т.21. Казань: КГУ, 2003. - С. 167-169.

21.Молгачев А А. Численный эксперимент в задаче о динамической устойчивости упругого элемента стенки бесконечного длинного канала // Тезисы докладов 27 НТК УлГТУ. - 4.2. - Ульяновск: УлГТУ, 2003. - С. 30-31.

22. Вельмисов П.А., Молгачев А.А Математическая модель проточного канала с разделительной стенкой, содержащей упругие элементы // Вестник УлГТУ. -N3-4. - Ульяновск: УлГТУ, 2003. - С.25-27.

23. Молгачев А.А, Численный эксперимент в задаче о колебаниях последова- <♦ тельно расположенных упругих элементов стенки канала // Труды международной конф. "КЛИН-2004", - Т.5 "Математические методы и

модели в прикладных задачах науки и техники". - Ульяновск: УлГТУ, 2004. -С.171-176.

24. Вельмисов П.А , Молгачев A.A. Исследование динамики упругого элемента

стенки канала // Актуальные проблемы математики и механики. Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. - Т.25. - Казань: КГУ, 2004. -С.61-62.

25.Молгачев А.А. Динамическая устойчивость вязкоупругих элементов разделительно стенки канала // Прикладная математика и механика: Сборник научных трудов. - Ульяновск: УлГТУ, 2004. - с.107-113.

26.Вельмисов П А , Молгачев А.А. Математическое моделирование в задаче об устойчивости упругих элементов стенок канала // Ж. "Труды Средне-волжского математического общества". - Т.5, №1, 2003. - С.183-187.

27.Velmisov Р.А., Molgachev А.А. Numerical stability investigation of elastic elements of thin-shelled constructions under hydrodynamical action // Book of abstracts. АРМ 2002. XXX Summer School "Advanced problems in mechanics". - Russia, St. Petersburg, 2002. - P. 74.

28.Velmisov P.A., Molgachev A.A., Dynamics Investigation of Elastic Elements of Constructions under Aerohydrodynamical Action // EUROMECH Colloquium -Identification and Updating Methods of Mechanical Structures. - Czech Republic, Prague: Institute of Thermomechanics AS CR, 2002. - P. 56.

29.Velmisov. P.A., Reshetnikov Yu.A., Molgachev A.A. Stability of Viscoelastic Elements of Constructions under Hydrodynamic Action // Proceedings. Internacional Conference "Physics and Control". - Russia, St. Petersburg, 2003. -P. 187-190.

Молгачев Алексей Анатольевич

Математическое моделирование в задачах динамической устойчивости вязкоупругих элементов проточных каналов

Автореферат

Подписано в печать 25.04.05. Формат 60x84/16. Бумага писчая. Усл. печ. л. 1,34. Уч.-изд. л. 1,14. Тираж 100 экз. Заказ М

Типография УлГТУ, 432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32.

Щ-8 42 4

РНБ Русский фонд

2006-4 5693

с

и

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ

ПЛОСКИХ КАНАЛОВ.

1.1. Численное решение задачи об асимптотической устойчивости упругих элементов двух стенок канала.

1.2. Численное решение задачи об асимптотической устойчивости упругих элементов одной стенки канала.

1.3. Динамическая устойчивость вязкоупругих элементов разделительной стенки проточного канала.

1.4. Исследование устойчивости упругих элементов двухпроточного канала численно-аналитическим методом.

1.5 Исследование асимптотической устойчивости колебаний упругого элемента канала при задании в граничных сечениях скорости.

Глава 2. ИССЛЕДОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ БЕСКОНЕЧНОЙ ПРОТЯЖЕННОСТИ.

2.1. Исследование динамики и устойчивости колебаний упругого элемента бесконечного канала.

2.2. Устойчивость колебаний решётки упругих пластин.

Глава 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

В ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧАХ О ДИНАМИКЕ УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ.

3.1. Динамическая устойчивость вязкоупругих элементов стенок канала.

3.2. Численное исследование устойчивости колебаний упругого элемента стенки канала.

3.3. Исследование нелинейных колебаний упругого элемента.

Важной народно-хозяйственной проблемой во многих отраслях техники является повышение надежности и продление сроков службы конструкций, взаимодействующих с потоком жидкости или газа. Такая проблема, в частности, возникает в авиаракетостроении, турбокомпрессоростроении, приборостроении, при проектировании антенных установок, датчиков давления, камер сгорания, реакторов, гидротехнических и высоких наземных сооружений, трубопроводных систем, проточных каналов различного назначения и т.д.

При проектировании конструкций, обтекаемых потоком газа или жидкости, важное значение имеет исследование устойчивости колебаний деформируемых элементов, так как воздействие потока может приводить к увеличению амплитуды колебаний, и, тем самым, их разрушению.

В то же время для функционирования некоторых технических устройств (например, вибрационных устройств, используемых для интенсификации технологических процессов) явление возбуждения колебаний при аэрогидродинамическом воздействии, указанное выше в качестве негативного, является необходимым.

Таким образом, при проектировании конструкций и устройств, находящихся во взаимодействии с газожидкостной средой, необходимо решать задачи, связанные с исследованием устойчивости, требуемой для их функционирования и надежности эксплуатации.

При расчете конструкций на прочность и устойчивость существенное значение имеет учет вязкоупругих свойств деформируемых тел, что приводит к появлению в дифференциальных уравнениях движения тел дополнительных интегральных членов. Совместное движение деформируемого тела и жидкости(газа) описывается связанной системой интегро-дифференциальных уравнений, что не позволяет разбить решение задач аэрогидроупругости на две отдельные задачи - определения деформации тел и расчета течения жидкости(газа).

Отмеченные особенности увеличивают сложность исследований и приводят к необходимости разработки специальных методов изучения устойчивости упругих и вязкоупругих тел в потоке жидкости или газа.

Отмеченное выше позволяет утверждать об актуальности исследований, проведенных в диссертации.

Диссертация посвящена разработке математических моделей проточных каналов, содержащих вязкоупругие (или упругие) элементы, находящиеся во взаимодействии с потоком идеального газа (жидкости), и исследованию на основе построенных моделей динамической устойчивости этих элементов. Принятые в работе определения устойчивости вязкоупругого или упругого тела соответствуют концепции устойчивости динамических систем по Ляпунову. Проблема может быть сформулирована так: при каких значениях параметров, характеризующих систему "жидкость-тело" (основными параметрами являются скорость потока, прочностные и инерционные характеристики тела, сжимающие или растягивающие усилия, силы трения), малым деформациям тел в начальный момент времени t=0 (т.е. малым начальным отклонениям от положения равновесия) будут соответствовать малые деформации и в любой момент времени t>0 (в случае асимптотической устойчивости деформации должны стремиться к нулю при t—> оо).

В настоящей работе механическое поведение материала пластин описывается упругой или вязкоупругой моделью тела. Вязкоупругая модель основана на фундаментальных концепциях Больцмана и Вольтерра и теории реологических моделей, восходящих к Дж. Максвеллу[148,149], В. Фойхту[162,163] и Дж. Томпсону[152]. Согласно этой модели напряжение в любой точке пластины зависит от предыстории деформирования материала в данной точке. Связь между напряжением и деформацией подчиняется линейному уравнению Вольтерра-Фойхта. Под старением материала понимается изменение его физико-механических свойств во времени.

При решении задач аэрогидроупругости, рассматриваемых в диссертации, аэрогидродинамическая нагрузка определяется из линейных асимптотических уравнений аэрогидромеханики в модели несжимаемой среды.

За последние десятилетия проведено большое количество теоретических и экспериментальных исследований, посвященных теории вязкоупругости и устойчивости вязкоупругих тел, среди которых отметим работы Арутюняна Н.Х., Дроздова А.Д., Колмановского В.Б. [4-8], Работнова Ю.Н. [117-120]. Предметом большого количества исследований является также динамика упругих тел, взаимодействующих с потоком жидкости или газа. Исследования в этом направлении изложены в работах Болотина В.В. [17], Вольмира А.С. [53-55], Галиева Ш.У. [57], Горшкова А.Г., Григолюка Э.Г., Кабанова В.В., Кузнецова В.Н., Лампер Р.Е., Тарлаковского Д.В. [61-68], Гузя А.Н., Кубенко В.Д., Бабаева А.Э. [71,72], Ильгамова М.А. [76-80], Мовчана А.А. [9497] и других авторов. Среди зарубежных авторов отметим Бисплингхоффа P.JL, Эшли X., Халфмана Р.Л. [143], Фына Я.Ц. [135], Доуелла Е.Х. [145]. Исследованию динамики трубопровода с протекающей в нем жидкостью посвящены работы Челомея С.В. [137,138], Феодосьева В.И. [128] и других.

Некоторые результаты по исследованию устойчивости деформируемых тел с учетом как старения (вязкоупругости) материала, так и с учетом взаимодействия с жидкостью (газом) изложены в работах [2,38-44, 98-111].

Для части рассматриваемых в диссертации задач характерным является одновременный учет как вязкоупругих свойств материала тел (старения материала), так и взаимодействие с потоком жидкости (газа). Другая часть задач посвящена исследованию асимптотической устойчивости упругих тел, взаимодействующих с потоком жидкости или газа.

Целью диссертационной работы является разработка на основе математического моделирования математических методов исследования устойчивости вязкоупругих элементов проточных каналов, взаимодействующих с потоком жидкости (газа), протекающего внутри них. Для достижения этой цели решаются следующие задачи:

1) Построение математических моделей проточных каналов, содержащих вязкоупругие элементы, взаимодействующие с дозвуковым потоком жидкости или газа.

2) Разработка аналитических и численных методов исследования динамической устойчивости вязкоупругих элементов проточных каналов, с учетом взаимодействия с дозвуковым потоком среды.

Диссертация состоит из трех глав.

В первой главе исследуется задачи об устойчивости вязкоупругих элементов и задачи об асимптотической устойчивости упругих элементов стенок плоских проточных каналов конечной длины, с различным месторасположением и количеством этих элементов.

Представлены два способа для исследования устойчивости. Первый способ (аналитический) основан на конструировании функционалов типа Ляпунова для исследования динамической устойчивости вязкоупругих элементов каналов. В рамках теории получены в аналитической форме достаточные условия устойчивости для различных типов закреплений. Приведен ряд ограничений на основные параметры системы, позволяющих обеспечить устойчивость колебаний.

Второй способ (численный), исследования асимптотической устойчивости упругих элементов основан на построении решения интегро-дифференциальных уравнений, описывающих колебания упругих элементов, в виде разложений по некоторым полным системам базисных функций, вид которых зависит от граничных условий. Численная реализация (в отличие от аналитического метода исследования устойчивости на основе функционалов) позволяет исследовать как устойчивость, так и неустойчивость колебаний, в том числе строить закон изменения деформации с течением времени.

Приведены примеры расчетов для конкретных значений параметров, характеризующих свойства материала элементов и протекающей в нем жидкости. Построены графики прогибов, соответствующие случаям динамической устойчивости и неустойчивости. Построена область устойчивости на плоскости двух параметров (скорость потока - сжимающее усилие) при фиксированных значениях остальных параметров.

Все возможности численных исследований, отмеченные выше, реализованы и для задач, рассматриваемых в следующих главах диссертации.

Во второй главе исследуются задача об асимптотической устойчивости упругой пластины-элемента стенки плоского бесконечного канала, через который протекает жидкость(газ), и задача об асимптотической устойчивости колебаний бесконечной решетки упругих пластин, взаимодействующих с потоком идеального газа(жидкости).

В третьей главе исследуются задачи об устойчивости вязкоупругих пластин и асимптотической устойчивости упругих пластин - элементов стенок пространственного канала.

В каждой главе принята своя тройная нумерация формул. Первая цифра номера формулы указывает номер главы, вторая - номер параграфа, третья -формулы в параграфе.

В данной диссертации в главах 1,3 построение решения аэрогидродинамической части задачи о движении жидкости в канале (а именно решения двумерной (глава 1) и трехмерной (глава 3) краевой задачи для уравнения Лапласа) проводится на основе разработанной методики, использующей метод

Фурье и представление искомых функций (потенциала скорости и прогибов пластин) в виде рядов, при этом аэрогидродинамическая нагрузка (давление газа или жидкости) определяется через функции, описывающие неизвестные прогибы пластин. При подстановке выражения для давления в уравнения колебаний пластин решение задач сводится к исследованию системы связанных интегро-дифференциальных уравнений с частными производными для функций прогибов.

В главе 2 построение решения аэрогидродинамических частей задач внутреннего и внешнего обтекания деформируемых конструкций неограниченным потоком газа (а именно решения двумерной краевой задачи для уравнения Лапласа с граничными условиями, содержащими неизвестные функции прогибов) проводится на основе разработанной для этого методики, использующей методы теории функций комплексного переменного (ТФКП) [88], при этом аэрогидродинамическая нагрузка определяется также через функции, описывающие неизвестные прогибы пластин, для которых вновь возникает вновь связанная система интегро-дифференциальных уравнений.

Исследование динамической устойчивости вязкоупругих элементов проводится на основе разработанных методик, связанных с построением положительно определенных функционалов, соответствующих полученным системам интегро-дифференциальных уравнений с частными производными для прогибов пластин.

Исследование асимптотической устойчивости упругих элементов каналов и их динамики проводится на основе разработанного численно-аналитического метода. Решение основано на разложении прогиба в ряд по некоторой полной системе функций. Методом Галеркина [84] дифференциальное уравнение с частными производными сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Решение соответствующей задачи Коши строится на основе нахождения собственных чисел (СЧ) и собственных векторов (СВ) соответствующего матричного дифференциального оператора. Вывод об асимптотической устойчивости делается в результате анализа наибольшей действительной части собственных чисел исследуемой задачи.

Во всех задачах использовалась методика исключения аэрогидродинамической функции, основанная на методах ТФКП или методе Фурье, и позволяющая свести решение задач к исследованию связанных систем линейных интегро-дифференциальных уравнений для прогибов пластин.

Задачи рассматриваются в постановке, соответствующей малым возмущениям однородного потока несжимаемой среды и малым деформациям элементов.

Научная новизна полученных результатов:

1) Построены математические модели проточных каналов с упругими и вязкоупругими элементами, с учетом взаимодействия с потоком жидкости (газа), протекающим внутри них.

2) Разработан численно-аналитический метод исследования устойчивости упругих элементов проточных каналов с учетом взаимодействия с дозвуковым потоком жидкости (газа), а также соответствующие численные алгоритмы и компьютерные программы.

3) Разработана методика аналитического исследования устойчивости вязкоупругих элементов канала, основанная на построении функционалов.

Практическая ценность работы состоит в том, что разработанные математические модели, методы и программное обеспечение позволяют усовершенствовать методы расчета конструкций, находящихся во взаимодействии с потоком жидкости или газа, повысить уровень расчетного анализа взаимодействия, сократить время, затрачиваемое на натурные эксперименты, а в некоторых случаях заменить их аналитическими оценками или проведением численного эксперимента.

Достоверность полученных в диссертации результатов обеспечивается строгостью математической постановки задач и математических преобразований, согласованием аналитических решений с результатами вычислительного эксперимента, а также согласованностью с результатами других авторов.

Основные результаты диссертации докладывались на конференциях различного ранга: International Conference Modelling & stability. "Dynamical systems modelling and stability investigation" (КГТУ им. Т. Шевченко, Киев,

2001); молодежная школа-конференция "Лобачевские чтения" (КГУ, Казань, 2001-2004); международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения" (МГУ им. Огарева, Саранск, 2002, 2003); международная конференция "Математическое моделирование физических, экономических, социальных систем и процессов" (УлГУ, Ульяновск, 2001); Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения-XIH" (ВГУ, Воронеж,

2002); XII межвузовская конференция "Математическое моделирование и краевые задачи" (СамГТУ, Самара, 2002); X Международной конференции "Математика. Экономика. Образование" и II Международного симпозиума "Ряды Фурье и их приложения" (РГУ, Ростов-на-Дону, 2002); XXX Summer School "Advanced Problems in Mechanics" (IPME RAS, St. Petersburg, Russia, 2002); XXIV конференция молодых ученых мех.-мат. фак-та МГУ им. М.В.Ломоносова (МГУ, Москва, 2002); International Conference Physics and Control (IPME RAS, St. Petersburg, Russia, 2003); Международная конференция «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке, технике и экономике» (УлГТУ, Ульяновск, 2001-2004); EUROMECH

Colloquium "Identification and Updating Methods of Mechanical Structures" (IT AS th

CR, Prague, Czech Republic, 2002); the 10 Conference on Applied and Industrial th

Maathematics (University of Pitesti, Romai, 2002); the 30 Jubilee International Conference "Application of Mathematics in Engineering and Economics" (Sozopol, Bulgaria, 2004); научно-технические ежегодные конференции профессорско-преподавательского состава УлГТУ (2000-2004).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1) Построены математические модели в задачах о дозвуковом движении жидкости (газа) в каналах, стенки которых имеют вязкоупругие элементы. Производится одновременный учет старения (вязкоупругости) материала деформируемых элементов, взаимодействия их с потоком жидкости (газа) и вязкоупругим основанием, а также влияния сжимающих (растягивающих) усилий.

2) Разработана методика аналитического исследования динамической устойчивости вязкоупругих элементов каналов, основанная на исключении аэрогидродинамических функций и построении функционалов для связанных систем интегро-дифференциальных уравнений с частными производными, описывающих деформации элементов (количество элементов и места их расположения - произвольные). На плоскости (N,V) "сжимающее усилие — скорость потока" построена область устойчивости (на рис.1 заштрихована), у определяемая неравенствами N < A - BV (А> О, В >0) и V <С (С > 0).

3) Разработан численноаналитический метод исследования асимптотической устойчивости упругих элементов проточных каналов, основанный на исключении аэрогидродинамических функций и применении метода Галеркина. Метод может быть использован при любом закреплении и любом количестве произвольно располо женных элементов.

4) На основе разработанного численного метода созданы алгоритмы, соответствующие компьютерные программы и проведен численный эксперимент на ЭВМ в задачах о динамике упругих элементов каналов. Построена граница перехода параметров системы из устойчивого состояния в

Рис. 1. Область устойчивости на плоскости (N,V). неустойчивое.

1. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Исследование собственных значений оператора в задачах панельного флаттера. // МТТ, 1999. N1. - С. 170-176.

2. Анкилов А.В., Вельмисов П. А., Решетников Ю.А. Исследование устойчивости вязкоупругих элементов стенок канала // Тезисы докладов XXXII научно-технической конференции.- Ульяновск: УлГТУ, 1998.- Ч.2.-С.23-25.

3. Арутюнян Н.Х., Колмановский В.Б. Теория ползучести неоднородных тел.- М.: Наука, 1983.- 336 с.

4. Арутюнян Н.Х. Некоторые задачи теории ползучести для неоднородно-стареющих тел.// Изв. АН СССР. Мех. Тверд, тела, 1976.- N3.- С. 153164.

5. Арутюнян Н.Х. Об уравнении состояния в нелинейной теории ползучести неоднородно-стареющих тел.// Докл. АН СССР, 1976.- 231, N3.-С.559-562

6. Арутюнян Н.Х. О теории ползучести для неоднородно-наследственно-стареющих сред.// Докл. АН СССР, 1976.-229, N3.-C.569-571.

7. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д., Колмановский В.Б. Устойчивость вязкоупругих тел и элементов конструкций // Итоги науки и техники: Механика деформируемого твердого тела. М.: ВИНИТИ, 1987.-Т.19.-С.3-77.

8. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Наука, 1968.- 560 с.

9. Бахвалов Н. С. Численные методы. М. : Наука, 1973. - Т. 1.- 632 с.

10. Белоцерковский С.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1984. - 520с.

11. Белоцерковский С.М., Кочетков Ю.А., Красовский А.А., Новицкий В.В. Введение в аэроавтоупругость. М.: Наука, 1980. - 384с.

12. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1976. - 607с.

13. Березин С.Б., Пасконов В.М. Численное исследование вдува вязкого несжимаемого газа в плоский канал на основе уравнений Новье-Стокса // Вычислительные методы и программирование. — Т.4. — 2003. С. 1-13.

14. Бесараб П. Н. К анализу точности методов типа Рунге Кутта. — Киев, 1973. - 33 с. - (Препринт / АН УССР. Ин-т кибернетики; № 73 - 27).

15. Бисплингхофф P.JL, Эшли X., Халфман P.JI. Аэроупругость. М.: ИЛ,1958. 860с.

16. Болотин В.В. О применении вариационного метода Галеркина к задачам флаттера упругих панелей // Известия ВУЗов "Машиностроение". N12.1959. С.25-32.

17. Буйвол В.Н. Колебания и устойчивость деформируемых систем в жидкости. Киев: Наукова думка, 1975. - 190с.

18. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвлений решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. - 524с.

19. Вельмисов П.А. О динамике пластин, подверженных старению и гидродинамическому воздействию. // Проблемы прочности материалов и конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами: Межвуз. науч.сб.-Саратов: СГТУ, 1993.- С.27-34.

20. Вельмисов П.А. Об устойчивости и единственности решений некоторых классов начально-краевых задач в механике сплошных сред. // Актуальные проблемы прикладной математики: Материалы всесоюз. конф.-Саратов, 1991.- Т.1.- С.19-23.

21. Вельмисов П.А, Молгачев А.А. Вычислительный эксперимент для одного класса задач взаимодействия упругих тел с жидкостью // Труды международной конференции "КЛИН". Ульяновск: УлГТУ, 2003. - С. 17-23.

22. Вельмисов П.А. Асимптотические уравнения газовой динамики. -Саратов: СГУ, 1986.- 135 с.

23. Вельмисов П.А. О движении жидкости в областях, ограниченных вязкоупругими пластинами. // Механика и процессы управления: Сб. науч. тр,-Ульяновск: УлГТУ, 1996.- С.90-95.

24. Вельмисов П.А. О некоторых задачах взаимодействия потока газа с вязкоупругими телами. // Механика и процессы управления: Межвуз. сб. науч. тр.- Саратов: СГУ, 1992.- Вып.З.- С.80-93.

25. Вельмисов П.А. Об устойчивости движения вязкоупругих пластин при гидродинамическом воздействии. // Математическое моделирование, 1995.- Т.7, N5.- С.38-39.

26. Вельмисов П.А. Об устойчивости движения вязкоупругих пластин при гидродинамическом воздействии. // Дифференциальные уравнения и их приложения: Материалы междунар. конф.- Саранск, 1995.-С. 148-153.

27. Вельмисов П.А. Устойчивость некоторых нелинейных уравнений аэрогидроупругости. // Application of Mathematics in Engineering: Proceedings of the XXII Summer School.- Sozopol, Bulgaria: Technical University of Sofia, 1996.-P.52-61.

28. Вельмисов П.А. Устойчивость тонкостенных конструкций при аэрогидродинамическом воздействии. // Вестник Ульян, гос. технич. ун-та., 1997.- Юбилейный выпуск.- С. 167-176.

29. Вельмисов П.А., Дроздов А.Д., Колмановский В.Б. Устойчивость вязкоупругих систем. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1991, 180с.

30. Вельмисов П.А., Колмановский В.Б., Решетников Ю.А. Устойчивость уравнений взаимодействия вязкоупругих пластин с жидкостью. // Дифференциальные уравнения,- 1994.- Т.ЗО, Вып.11.- С.1966-1981.

31. Вельмисов П.А., Колмановский В.В., Решетников Ю.А. Об устойчивости тригонометрических приближений решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений. // Теория функций и приближений: Труды 4-ой Саратовской школы.- Саратов: СГУ, 1990.- С.56-58.

32. Вельмисов П.А., Леонтьев В.Л. Динамика вязкоупругой тонкостенной конструкции, взаимодействующей с жидкостью. // Проблемы прочностиматериалов и конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами: Межвуз. науч. сб.- Саратов: СГТУ, 1994.- С.49-56.

33. Вельмисов П.А., Леонтьев В.Л. Основы теории вязкоупругих стареющих тел. Ульяновск, ф.МГУ, 1995, 65с.

34. Вельмисов П.А., Логинов Б.В., Милушева С.Д. Исследование устойчивости трубопровода. // Приложение на математиката в техниката: Сб. доклади и научни съобщения. XXI национална школа.- Болгария, Варна, 1995.-С.299-304.

35. Вельмисов П.А., Молгачев А.А Об одной спектральной задаче в гидроупругости // Тезисы докладов 36 науч.-техн. конф. УлГТУ "Вузовская наука в современных условиях" Ч.З -Ульяновск: УлГТУ, 2002. - С. 13-14.

36. Вельмисов П.А., Молгачев А.А. Исследование динамики упругого элемента стенки канала // Актуальные проблемы математики и механики. Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского Т.25 - Казань: КГУ, 2004.-С.61-62.

37. Вельмисов П.А., Молгачев А.А. Математическая модель проточного канала с разделительной стенкой, содержащей упругие элементы // Вестник УлГТУ. N3-4. - Ульяновск: УлГТУ, 2003. - С.25-27.

38. Вельмисов П.А., Молгачев А.А. Об устойчивости нелинейных колебаний пластины // Тезисы докладов 34 научно-технической конференции УлГТУ. -Ч.З Ульяновск: УлГТУ, 2000. - С. 10-11.

39. Вельмисов П.А., Молгачев А.А. Об устойчивости нелинейных колебаний пластины с учетом взаимодействия с потоком жидкости. // Thesis of conference repots: Modelling & stability. Dynamical systems modelling and stability investigation. Kyiv, 2001. - C.260.

40. Вельмисов П.А., Решетников Ю.А. О некоторых задачах движения идеального несжимаемого газа в канале с деформируемыми стенками. // Аэродинамика.- Саратов: СГУ, 1991.- Вып.12(15).- С.62-70.

41. Вельмисов П.А., Решетников Ю.А. Устойчивость вязкоупругих пластин при аэрогидродинамическом воздействии (монография).- Саратов: СГУ, 1994.176 с.

42. Вельмисов П.А., Решетников Ю.А., Сорокин И.А. Исследование колебаний вязкоупругой пластины в потоке газа. // Прикладная математика и механика: Межвуз. сб.- Саратов: СГУ, 1990.- Вып.5.- С.94-103.

43. Вельмисов П.А., Семенов А.С. Численное решение одной задачи о совместных колебаниях вязкоупругой пластины и идеального несжимаемого газа. // Прикладная математика и механика: Межвуз.сб.- Саратов: СГУ, 1990.-Вып.5.- С.23-42.

44. Волобуев А.Н. Течение жидкости в трубках с эластичными стенками //

45. Успехи физических наук, 1995. Т. 165, N2. - С. 177-186.

46. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек М.: Наука, 1972.- 432 с.

47. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэроупругости. -М.:Наука, 1976.-415с.

48. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи гидроупругости.- М.:Наука, 1979.- 320с.

49. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем.- М.: Физматгиз, 1963.- 880с.

50. Гавурин М. К., Белых В. М. Некоторые приемы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы вычислений, 1971- Вып. 7. - С.З - 15.

51. Галиев Ш.У. Динамика гидроупругопластических систем.- Киев: Наукова Думка, 1981.- 276 с.

52. Гахов Ф.Д. Краевые задачи.- М.: Наука, 1977.- 640 с.

53. Гимадиев Р.Ш., Ильгамов М.А. Статическое взаимодействие профиля мягкого крыла с потоком несжимаемой жидкости. // Авиационная техника, 1998.-N1.- С.

54. Гонткевич B.C. Собственные колебания оболочек в жидкости.- Киев: Наукова думка, 1964.- 103с.

55. Григолюк Э.Г., Лампер Р.Е., Шандаров Л.Г. Флатер панелей и оболочек // Итоги науки. Механика, Т.2.- М.: ВИНИТИ, 1965.- С.34-90.

56. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек.-М.: Наука, 1978.360 с.

57. Григолюк А.Г. Аэрогидроупругость / Пер. с англ. М.:ИЛ. 1961.- 101с.

58. Григолюк А.Г., Лампер Р.Е., Шандаров Л.Г. Флаттер панелей и оболочек // Итоги науки. Механика. Т.2.- М.-.ВИНИТИ, 1965.- С.34-90.

59. Григолюк Э.Г., Горшков А.Г. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью.- Л.: Судостроение, 1976.- 200с.

60. Григолюк Э.Г., Горшков А.Г. Нестационарная гидроупругость оболочек -Л.: Судостроение, 1974.- 208с.

61. Григолюк Э.Г., Горшков А.Г. Взаимодействие упругих конструкций сжидкостью.- Л.: Судостроение, 1976.- 200с.

62. Григолюк Э.Г., Горшков А.Г. Погружение упругих оболочек вращения в жидкость//Итоги науки и техники. МДТТ, Т.Ю.-М.: ВИНИТИ, 1977.-С.63-113.

63. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. -359с.

64. Григолюк Э.И., Мамай В.И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций. М.: Наука, 1997. - 272с.

65. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Бабаев А.Э. Гидроупругость систем оболочек.- Киев: Выща школа, 1984.- 207с.

66. Гузь А.Н., Кубенко В.Д. Теория нестационарной аэрогидроупругости оболочек.- Киев: Наукова думка, 1982.- 400с.

67. Зефиров В.Н., Колесов В.В., Милославский А.И. Исследование собственных частот прямолинейного трубопровода. // МТТ, 1985. N1. - С.179-188.

68. Золотенко Г.Ф. К динамике гидроупругой системы "прямоугольный бак -жидкость".// МТТ, 1996.- N5.- С.

69. Икрамов Х.Д. Несиммметричная проблема собственных значений. М.: Наука, 1991.- 240с.

70. Ильгамов М.А. Равновесие мембраны, контактирующей с жидкостью.- МТТ, 1995.- N5.- С.134-141.

71. Ильгамов М.А., Тукмакова А.Л. Численное моделирование нелинейного взаимодействия упругой панели с потоком газа.- МТТ, 1996.- N5.

72. Ильгамов М.А. Введение в нелинейную гидроупругость.- М.: Наука, 1991.- 195 с.

73. Ильгамов М.А. Колебания упругих оболочек содержащих жидкость и газ. М.: Наука, 1969.- 184 с.

74. Ильюшин А.А., Кийко И.А. Новая постановка задачи о флаттере пологой оболочки.// ПММ, 1994.-Т.58.- вып.4.

75. Ильюшин А.А., Кийко И.А. Колебания прямоугольной пластины, обтекаемой сверхзвуковым газом // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1, Математика.

76. Механика.- N4.-1994 С.40-44.

77. Казакевич М.И. Аэродинамика мостов. М.: Транспорт, 1987. - 240с.

78. Казакевич М.И. Аэродинамическая устойчивость надземных и висячих трубопроводов. М.: Недра, 1977. - 200с.

79. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.-Л.: Физматгиз, 1962.- 696с.

80. Клюшников В.Д. Лекции по устойчивости деформируемых систем. М: МГУ, 1986. -224с.

81. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. М: Высшая школа, 1987. -256с.

82. Коллатц Л. Задачи на собственные значения.- М.: Наука, 1968.- 503 с.

83. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.- 4-е изд.- М.: Наука, 1973.- 736с.

84. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели.- М.: Наука, 1977.-407с.

85. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987,- 840 с.

86. Макеев В.В. О точности схемы приближенного учета сжимаемости жидкости в задачах гидроупругого взаимодействия конструкции с вязкой жидкостью // Известия Челябинского научного центра. В. 1(18). - 2003.- С.50-54.

87. Милославский А.И. Неустойчивость прямолинейного трубопровода при большой скорости жидкости, протекающей через него. Харьков, 1981. Деп. в ВИНИТИ 11.11.81. N5184-81.-21с.

88. Мнев Е.И., Перцев А.К. Гидроупругость оболочек. Л.: Судостроение, 1970.-365с.

89. Мовчан А.А. О колебаниях пластинки, движущейся в газе. // ПММ, 1956. -Т.20.-Вып.2.- С.211-222.

90. Мовчан А.А. Об одной задаче устойчивости трубы при протекании через нее жидкости.// ПММ, 1965. Вып, 4. -С.760-762.

91. Мовчан А.А. Об одной задаче устойчивости трубы при протекании через нее жидкости // Прикладная математика и механика. Вып. 4. -1965. — С.760

92. Мовчан А.А. Об устойчивости панели, движущейся в газе // ПММ, 1957. -T.20.-N2.- С.231-243.

93. Молгачев А.А О численном исследовании устойчивости колебаний элементов стенок плоского канала. // Тезисы докладов XXXVI научно -технической конференции УлГТУ. Вузовская наука в современных условиях. -Ч.З Ульяновск: УлГТУ, 2002. - С.9-10.

94. Молгачев А.А. Математическая модель проточного канала, содержащего упругие элементы на разделительной стенке // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Т.21 - Казань: КГУ, 2003. - С.167-169.

95. Молгачев А.А. О динамической устойчивости колебаний пластины при взаимодействии с потоком жидкости. // Тезисы докладов 35 научно-технической конференции УлГТУ "Вузовская наука в современных условиях". -4.3 Ульяновск: УлГТУ, 2001. - С.12-14.

96. Молгачев А.А. Об устойчивости колебаний пластины с учетом взаимодействия с потоком жидкости // Лобачевские чтения-2001. Труды математичес-кого центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 12 - Казань: КГУ, 2001. -С.104-105.

97. Молгачев А.А. Об устойчивости элементов стенок канала. // Труды XXIV Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им М.В. Ломоносова -4.2 Москва: МГУ, 2002. - С. 121-122.

98. Молгачев А.А. Численно-аналитический метод исследования устойчивости упругих элементов стенок канала // "Лобачевские чтения-2002".

99. Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 18 - Казань: КГУ, 2002. - С.64-65.

100. Молгачев А.А. Численное исследование устойчивости колебаний упругого элемента стенки канала. // Сборник научных трудов "Механика и процессы управления" Ульяновск: УлГТУ, 2002. - С.55-61.

101. Молгачев А.А. Численное исследование устойчивости начально краевой задачи гидроупругости. // Материалы Ворнежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения - XIII" "Современные методы в теории краевых задач". - Воронеж, 2002. - С. 103.

102. Молгачев А.А. Численное исследование устойчивости упругого элемента стенки проточного канала. // Труды XII межвузовской конф. "Математическое моделирование и краевые задачи" 4.1 - Самара, 2002. - С. 126-128.

103. Молгачев А.А. Численный эксперимент в задаче о динамической устойчивости упругого элемента стенки бесконечного длинного канала // Тезисы докладов XXXVII научно-технической конференции. 4.2. -Ульяновск: УлГТУ, 2003. - С.30-31.

104. Молгачев А.А. Численный эксперимент в задаче о колебаниях последовательно расположенных упругих элементов стенки канала // Труды международной конференции "КЛИН". Ульяновск: УлГТУ, 2004. - С. 171-176.

105. Морозов В.И., Пономарев А.Т., Рысев О.В. Математическое моделирование сложных аэроупругих систем. М: физ.-мат. лит., 1995. -736с.113. науч. тр.- Саратов: СГУ, 1992.- Вып.З.- С.80-93.

106. Никольский С. М. Квадратурные формулы. М. : Наука, 1974. - 223 с.

107. Новичков Ю.Н. Флатер пластин и оболочек//Итоги науки и техники. Механика деформируемого тела. Т. 11.-М.: ВИНИТИ, 1978.-С.67-122.

108. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем.-М.:Наука, 1987.-352с.

109. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела.- М.: Наука, 1988.-712 с.

110. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел.- М.: Наука, 1977.- 383 с.

111. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций.- М.: Наука, 1966.-752с.

112. Работнов Ю.Н., Милейко С.Т. Кратковременная ползучестью.- М.: Наука, 1970.- 222с.

113. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.-Л.: гос.изд-во технико-теоретич. лит-ры, 1950. -443с.

114. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. -3-е изд. М.: Наука, 1980.- 448с.

115. Смирнов А.И. Аэроупругая устойчивость летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1980. - 231с.

116. Смирнов А.И. Аэроупругость. М.: МАИ, 1971. - 184с.

117. Тимошенко С.П. Прочность и колебания элементов конструкций.// Избранные работы под ред. Э.И.Григолюка. М.: Наука, 1975. - 704с.

118. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. - 635с.

119. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1972. -735с.

120. Феодосьев В.И. О колебаниях и устойчивости трубы при протекании через нее жидкости. // Инж. сб. Изд-во АН СССР, 1951. - Т. 10. - С. 169-170.

121. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М.: Из-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001. - 591с.

122. Фершинг Г. Основы аэроупругости.- М.: Машиностроение, 1984.- 600с.

123. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. М.: Наука, 1981.-т.З.-480с.

124. Фролов К.В., Антонов В.Н. Колебания оболочек в жидкости.- М.:1. Физматгиз, 1962.- 512с.

125. ФынЯ.Ц. О двумерном флатере панели.// Механика: Сб.науч тр.- М.:ИЛ, 1959.-N1(53).

126. Фын Я.Ц. О двумерном флаттере панели.// Механика: сб. переводов.-М.:ИЛ, 1959.- N1. С.75-106.

127. Фын Я.Ц. Введение в теорию аэроупругости.- М.: Физматгиз, 1959.- 490с.

128. Хеджпет Д. Флаттер прямоугольных свободно опертых панелей при больших сверхзвуковых скоростях // Механика 2*48. 1958. - С.103-125.

129. Челомей С.В. О динамической устойчивости упругих систем при протекании через них пульсирующей жидкости.// МТТ, 1984. N5. -С. 170-174.

130. Челомей С.В. О динамической устойчивости упругих систем.// Докл. АН СССР, 1980.- т.252, N2.- С.307-310.

131. Шаманский В. Е. Методы численного решения краевых задач на ЭВМ. — Киев : Наук, думка, 1963 1966. -Ч. 1. 1963. 194 е.; Ч. 2. 1966. 244 с.

132. Шейнин И.С. Колебания конструкций гидросооружений в жидкости. Л: Энергия, 1967. -314с.

133. Antony D. Lucey The excitation of waves on a flexible panel in a uniform flow // Phil. Trans. -1998. P.2999-3039.

134. Bisplinghoff R.L., Ashley H., Halfman R.L. Aeroelasticity.- Cambridge (Mass.), 1955.- 860р. (Русю пер.: Бисплингхофф P.Л., Эшли X., Халфман Р.Л. Аэроупругость.- М.: ИЛ, 1958.- 860с.

135. Bolotin V.V., Petrovsky A.V. Secondary Bifurcations and Global Instability of an Aeroelastic non-linear System in the Divergence Domain // J. of Sound and Vibration. N191 (3)-l 996. - P.431 -451.

136. Dowell E.N. Nonlinear oscillations of a fluttering plate. // AIAA Paper. N67-13.- 1967.

137. Kounadis A.N., Gantes C.J., Bolotin V.V. An improved energy criterion for dynamic bucking of imperfection sensitive non conservative systems. // International Journal of Solids and Structures. -N38 2001. - P.7487-7500.

138. Maxwell J. C. On the dynamical theory of gases.// Phil. Mag., 1868.- V.4., N35.- P. 129-146, 185-217.

139. Maxwell J. C. On the dynamical theory of gases.// Phil. Trans., 1867.- V.154.-P.49-88.

140. Paidoussis M.P., Issid N.T. Dynamic Stability of pipes converging fluid.// J. of Sound and Vibr., 1974.- v.33., N3.- P.267-294.

141. Sean F. Wu, Maestrello L. Responses of Finite Baffled Plate to Turbulent Flow Excitations // AIAA Journal Vol.33, No.l, January 1995. P.13-19.

142. Thomson J. Application of dynamics to physics and chemistry.// London. MacMillan and Co., 1888.- 313p.

143. Velmisov P.A. Dynamic stability of viscoelastic bodies interacting with fluid or gas. // The 25 th Israel Conference on Mechanical Engineering: Conference Proceedings.- Technion, Haifa, Israel, 1994.- P. 625-627.

144. Velmisov P.A. Stability of Viscoelastic Bodies Accounting Aging and Interaction with Fluid or Gas.// Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik, 1996.-Volume 76, Supplement 2.-P.249-252.

145. Velmisov P.A. To a question of stability in some problems in continua mechanics. // The 26th Israel Conference on Mechanical Engineering: Conference Proceedings.- Technion, Haifa, 1996.- P.504-506.

146. Velmisov P.A. To a question of stability in some problems in continua mechanics. // The 26th Israel Conference on Mechanical Engineering: Conference

147. Proceedings.- Technion, Haifa, 1996.- P.504-506.

148. Velmisov. P.A., Reshetnikov Yu.A., Molgachev A.A. Stability of Viscoelastic Elements of Constructions under Hydrodynamic Action // Proceedings. 2003 Internacional Conference "Physics and Control". Russia, St. Petersburg, 2003. -P. 187-190.

149. Voigt W. Bestimmung der Konstanten der Elastizitat und Untersuchung des innern Reibung fur einige Metall.// Abh. Konige Gesellsch. Wiss. Gottingen., 1892.- B.38,85 S.

150. Voigt W. Uber'die elastische Symmetrie des Dolomit.// Ann. Phys. Und Chemie, 1890.- B.40.- S.642-651.

151. Weber H.: Numerische Behandlung von Verzweigungsproblemen bei gewohnlichen Differentialgleichungen. Numer. Math. 32 (1979); 17-29.