автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование в задачах динамической устойчивости вязкоупругих пластин-элементов тонкостенных конструкций при аэрогидродинамическом воздействии

/ Л Л »11 ! ! . . .V

/-Ч, ' С.? ™ ^ / *"''' ." ■■'

С / ' ».:/ / / / Л ' 1-< ; /

Ульяновским государственный технический университет

На правах рукописи

Анжилов Андрей Владимирович

УДК 539.3:533.6:517.9

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ВЯЗКОУПРУГМХ ПЛАСТИН - ЭЛЕМЕНТОВ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ АЭРОГЙДР О ДИНАМИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Специальность 05.13.18 "Применение вычислительной техники, математического моделирования ж математических методов в '.научных исследованиях"

диссертация: на соискание ученой степени кандидата фжоихо-математжчесхюс наук

Научный руюводителъ:

кандидат фиокхо-мат ематиче сжих наук,

доцент Вепъмжсов Петр Александрович

Ульянове! 1999

Оглавление

Глава 1» Вывод основных уравнении ........................................... 11

§ 1. Вывод уравнения колебании колебаний пластины-полосы. 11 S 2. Вывод уравнений движения, идеального гаоа(жидкости) .. 17

Глава. 2. Устойчивость вяокоупругих элементов крыла с облегченным весом .......................................................................... 21

§1. Постановка задачи ............................................................... 21

§ 2. Решение аэродинамической задали ..................................... 23

§ 3. Исследование устойчивости движения вяокоупругих

элементов .......................................................................................... 30

Глава Зч. Устойчивость вяокоупругих элементов стенок канала . 43

§ 1. Постановка задачи ................................................................ 43

§ 2. Решение аэродинамической задачи-.,.,..,............................... 45

§ 3. Исследование устойчивости движения мохоупругюс элементов ..........................................................................................................52

Глава 4. Устойчивость вязкоупругих элементов крылового

профиля ............................................................................................ 71

§ 1. Постановка задачи ...................................................................................71

§ 2. Решение аэродинамической задачи...................................................73

| 3. Исследование устойчивости колебаний вяокоупругих

элементов ......................................................................................... 83

Плавай. Исследование задач о колебаниях, деформируемых

стенок канала на основе метода Фурье........................................ 109

§ 1. Устойчивость колебаний вяокоупругих элементов стенок канала, на входе ж выходе которого заданы законы изменения

давления ........................................................................................... 109

§ 2. Случай, когда одна из стенок канала является жесткой ... 117

Главаб. Обтекание вязкопругой пластины с отрывом струи..... 122

§ 1. Постановка задачи ............................................................... 122

§ 2. Решение аэродинамической задачи ..................................... 124.

§ 3. Построение решения уравнения колебаний........................ 128

§ 4. Устойчивость приближенного решения .............................. 130

Заключение ................................................................................... 134

Ви'блио гт> афиче с: к и й список....................................................... 136

Введение

Диссертация посвящена разработке математических моделей ж исследованию динамической устойчивости вязкоупругих пластин - элементов тонкостенных конструкций, находящихся во воакмодействии с потоком идеального гаоа (жидкости). Принятые в работе определения устойчивости вязкоупругого тела соответствуют концепции устойчивости динамических системно Ляпунову. Проблема может быть сформулирована так: при каких [значениях параметров, характеризующих систему "жидкость-тело" (основными параметрами являются скорость потока, прочностные к инерционные характеристики тела, сжимающие усилия, силы трения), малым отклонениям прогибов (деформаций) тел от положения равновесия в начальный момент времени I — 0 будут соответствовать малые прогибы и в любой момент времени X > 0.

При проектировании конструкций, обтекаемых потоком гаоа или жидкости, исследование устойчивости колебаний деформируемых элементов имеет важное -значение, так .как воодействие потока может приводить х увеличению амплитуды и(или) схорости колебаний, и, тем самым, их разрушению. Такая проблема, в частности, возникает при жонструированиж летательных аппаратов, антенных установок, датчиков давления., проточных каналов различного назначения.

При расчете конструкций на прочность и устойчивость существенное значение имеет учет вязкоупругих свойств деформируемых тел, что приводит к появлению в дифференциальных уравнениях движения тел дополнительных интегральных членов. Совместное движение деформируемого тела и жидкости(газа) описывается, связанной системой интегро-дифференциальных уравнений, что не позволяет разбить решение задач аэроупругости на две отдельные задачи - определения деформации тел и расчета течения жидко сти(газа). Отмеченные особенности увеличивают сложность исследований и приводят к необхо-

джмостн раорасотжк специальных методов ясахедовандя устойчивости вяокоупругих тел в потоке жидкости или гава.

За последние десятилетие проведено большое количество теоретических и экспериментальных исследований, посвященных теории вяоко-упругости ж устойчивости вяокоупругих тел, среди хоторых отметим работы Арутюняна Н,Х., Колмановского В .Б., Работкова Ю.Н. |22-26], [103-106]. Заметим, что некоторые положения теорзш вявхоудру-гости неоднородно-стареющих тел, предложенной Арутюняном Н.Х., и касающиеся устойчивости, впоследствии полупили дальнейшее развитие в работах Арутюняна Н.Х., Дров дев а А,Д,, Колмановского В.Б. [25,26] ж работах других авторов.

Предметом большого количества исследований является также динамика упругих теп, во аимо действующих с потоком жидкости или газа. Исследования в этом направлении положены в работах Белоцерковского С.М., Скрипача Б.К., Табачникова В.Г.[30], Болотина В.В. [31], Воль-мира A.C. [62-65], Галжева Ш.У. [66,67], Горшкова А.Г., Тарлажовсхого Д.В. [72], Григолюжа А,Г. [73], Григолюка ЭХ., Горшкова А.Г. [75,78], Гржголюка Э.Й., Кабанова В.В. [79], Г\?оя А.Н., Кубенко В.Д. [80], Рувя А.Н., Кубенко В .Д., Бабаева А,Э. [81], Девнина СЛ. [83], Жяьга-мова М.А. [84,85], Ильюшина А.А.[89,90], Колмановского В.Б., Носова В.Р. [94], Новичхова Ю.Н. [101], Мовчана A.A. [98-100] и др. Среди зарубежных работ отметим монографии Бисплингхоффа Р.Д., Эшли X., Халфмана PJL [116] и Фына Я.Ц. [109].

Успешное решение еадач аврогидроупругости связано с гармоничным воаимодействмем раоличных наук: аэрогидродинамики, теории упругости, пластичности и ползучести, теории оболочек и пластин, прикладной ж вычислительной математики, и требует применения (знаний широкого круга областей механики и математики, что вносит дополнительные трудности в исследования соответствующих оадач.

В качестве одних ив последних, работ, посвященных данной тематике отметим статьи [69,71,82,86,87,89,90],

В настоящем работе механическое поведение материала пластин описывается моделью вжшоупругого тела, которая, основана на фундаментальных концепциях Больцмана и Вольтерра и теории реологических моделей, восходящих ж Дж. Максвеллу[119,120], В. Фойхту[127Д28] и Дж. Томпсону[122]. Согласно этой модели напряжение в любой точке пластины зависит от предыстории деформирования материала в данной точке. Связь между напряжением ж деформацией подчиняется линейному уравнению Вольтерра-Фонхта. Под старением материала понимается. изменение его фжшяо-механичесжих свойств во времени. Аэрогидр о динамическая нагрузка определяется из линейных асимптотических уравнений аэрогидромеханики в модели несжимаемой среды.

Для рассматриваемых в диссертации задач характерным является одновременный учет как вязжоунругих свойств материала тел (старения материала), так ж взаимодействие с потоком жидкости(газа). В известных работах, посвященных аналитическим исследованиям динамической устойчивости упругих тел в потоке жидкости или газа, модели, разработанные в диссертации (учитывающие расширенный спектр механических свойств исследуемых объектов и внешних воздействий и содержащие произвольное количество деформируемых элементов), не рассматривались. Большинство из исследований прикладного характера основывалось на численных методах, применение которых является значительно более трудоемким, а также менее эффективным ж наглядным для. анализа устойчивости,

Целью диссертационной работы является построение моделей и проведение исследования динамической устойчивости вязжоупругих элементов следующих тонкостенных конструкций: крыла, с облегченным весом; стенок плоского канала,; крылового профиля. Для достижения

этом цепи решаются следующие задали:

1. Разработка методик для решение (задач аврогидромеханжхж с граничными условиями, содержащими неизвестные функции прогибов деформируемых пластин, позволяющих исключить аерогидр о динамические параметры и свести решение задач аврогидроулругости ж исследованию уравнений для прогибов.

2. Разработка аналитического метода исследование динамической устойчивости вяожоупругих элементов тонкостенных конструкций с учетом воаимодействия с доовужовым потоком гава(жидхости).

Диссертация состоит из шести глав,

В первой главе дается; вывод асимптотических уравнений движения жидкости. Представлен вывод интегро-дифференциальных уравнений, описывающих продолыю-изгибные колебания неоднородно стареющего вязкоупругого стержня (пластины-полосы), упруго связанного со стареющим основанием.

Во второй главе исследуется задача о динамической устойчивости вязкоупругих элементов тонкостенной конструкции - модели крыла с облегченным весом при обтеканий его потоком газа.

В третьей главе исследуется задача, о динамической устойчивости вяокоупругйх пластин-элементов стенок канала, через который протекает жидкость(гао). На входе ж выходе ив канала задан закон изменения продольной составляющей скорости,

В четвертой главе рассматривается задача о динамической устойчивости вяокоупругйх (элементов тонкостенной конструкции - модели крылового профиля при обтекании его потоком газа.

В пятой главе исследуется устойчивость колебаний вяокоупругйх стенок канала конечной длины, в начальном и конечном сечениях которого заданы законы изменения, давлений.

ВС V

шесток главе исследуется динамическая устойчивость вязжоупру-

гож пластины при одностороннем: обтекании ее потоком газа с отрывом струи по схеме Кирхгофа.

В жаждой главе принята своя двойная нумерация формул. Первая цифра номера формулы указывает номер главы, вторая - номер формулы в главе.

В данной диссертации в главах 2,4 построение решения аэрогидро-динамичесхих частей вадач внешнего обтекания деформируемых [конструкций неограниченным потоком газа (а именно решения двумерной краевой задачи для уравнения Лапласа с граничными условиями, содержащими неиовестные функции прогибов) проводится на основе разработанной для этого методики, использующей методы теории функций хомплексного переменного (ТФК.П) [93,95], при этом аорогидро-динамичесхая нагрузка (давление газа или жидкости) определяется, черев функции, описывающие неизвестные прогибы пластин. При подстановке выражения для давления в уравнения колебаний пластин решение задач сводится к исследованию системы свяоаниых интегро-дифференциальных уравнений с частными производными для функций прогибов.

Построение решения аэрогидродинамжчесхож части задачи о движении жидкости в ханале (а именно решения двумерной краевой задачи для уравнения Лапласа) проводится: хак на основе разработанной методики, использующей методы ТФКН (глава 3), так и на основе разработанной методики, испояъоующей метод Фурье и представление исхо- ■ мых функций (потенциала скорости и прогибов пластин) в виде рядов (глава 5). При этом аврогидродинамичесхая нагруоха также определяется через функции, описывающие неизвестные прогибы пластин, для жоторых вновь возникает свяоаниая система интегро-дифференциальных уравнений.

Исследование устойчивости, проводится на основе разработанных

I !

!

методик, связанных: с построением, положительно определенных функционалов, соответствующих полученным системам интегро-дифференциальных уравнении с частными производными для прогибов пластин,

В главе 6 решение полученного на основе методов ТФКИ жнтегро-

дифференциального уравнения для прогиба пластины ги ищется методом Галеркина[91]. Решение основано на разложении ш в ряд по некоторой полной системе функций с последующим построением положительно определенных функционалов, соответствующих полученным интегро-дифференциальным уравнениям для коэффициентов разложения. Анализ полученных условий, устойчивости проводится для первого приближения численным методом прямоугольников вычисления определенных интегралов.

Во всех задачах (рассматриваются плоские задачи в линейной постановке, соответствующей малым возмущениям однородного потока, направленного вдоль оси х, и малым отклонениям, пластин) использовалась методика исключения аэрогидр один амиче ежих параметров, основанная на методах ТФКП или методе Фурье, и позволяющая свести решение задач ж исследованию связанных систем линейных интегро-диффереициальных уравнений для прогибов пластин.

Достоверность разработанных научных положений и моделей подтверждается строгостью аналитических выкладок и сравнением с результатами других авторов.

.'Научная новизна полученных результатов

1) Построены математические модели тонкостенных конструкций при авр ©гидродинамическом воздействии, отражающие расширенный спектр механических свойств исследуемых физических объектов и ха-рак тер их вз аимо действия (а именно проводится одновременный учет: старения и неоднородности материала деформируемых элементов, вза-

имодействия их с потоком ж вязхоупругим неоднородным основанием, влияния сжимающих или растягивающих продольных усилий), в следующих задачах: задаче о динамике элементов тонкостенной конструкции - модели крыла с облегченным весом; задаче о динамике элементов стенок плоского канала при протекании в нем жидкости; задаче о динамике элементов тонкостенной конструкции - модели крылового профиля. На основе этих моделей проведены исследования динамической устойчивости вяокоунругих элементов конструкций;

2) .Разработаны методики для решения класса плоских задач аэрогидр омеханики с граничными условиями, содержащими неизвестные функции прогибов деформируемых пластин, позволяющие исключить аэрогидродинамические параметры и свести решение задач к исследованию связанных систем линейных интегро-дифференциалышх уравнений для прогибов;

3) Создан аналитический метод исследования динамической устойчивости вяокоунругих элементов тонкостенных конструкций с учетом взаимодействия с дозвуковым потоком гаэа(жидкости) на основе методик, связанных с исключением аэрогидродинамических параметров и построением функционалов для связанных систем интегро-дифференциальных уравнений, определяющих деформации элементов. Достоинством является то, что исследование устойчивости для сложных конструкций проводится в аналитической форме, что позволяет более эффективно (по сравнению с численными методами) проводить оптимизацию конструкций с точки зрения их устойчивости.

Практическая ценность работы заключается в том, что разработанные модели и методы позволяют осуществить качественно новый подход при проектировании соответствующих тонкостенных конструкций с вяожоупругими элементами, сократить время, затрачиваемое на | натурные и численные эксперименты, а в некоторых случаях заменить

[ их аналитическими оценками.

!

Основные результаты работы докладывались на Международных, республиканских и межвузовских конференциях ж школах: Воронежская математическая школа "Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения VHP (Воронеж, 1997); Украинская, конференция "Моделирование и исследование устойчивости систем" (Киев,

1997); девятая Саратовская школа "Современные проблемы теории функций и их приближений" (Саратов, 1998); восьмая, межвузовская конференция "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 1998); третья Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения "(Саранск, 1998); Международная научно-техническая конференция "Нейронные, ре ля торные и непрерывноло-гжчесхие сети и модели" (Ульяновск, 1998); Воронежская школа "Современные проблемы механики и прикладной математики" (Воронеж,

1998); Воронежская математическая школа "Современные методы в теории краевых задач. Нонтрягинские чтения IX" (Воронеж, 1998); научная конференция "Математическое моделирование физических, экономических, социальных систем и процессов" (Ульяновск,1998); международная конференция "Численные и аналитические методы расчета конструкций" (Самара, 1998); the 27th Israel Conference "Mechanical

I Engineering" (Techion City, Israel, 1998); XXIV Summer School "Applica-

I tions of mathematics in engineering" (Bulgaria, Sozopol, 1998); ежегодные

; конференции профессорско-преподавательского состава Ульяновского

!

j государственного технического университета (1997-1999).

! Исследования, представленные в диссертации, выполнены в рам-

| ках проекта "Устойчивость