автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование системы "трубопровод - датчик давления"

На правах рукописи

Покладова Юлия Валерьевна

Математическое моделирование системы «трубопровод - датчик давления»

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

о СЕН 2008

Ульяновск - 2008

003447376

Работа выполнена на кафедре «Высшая математика» Ульяновского государственного технического университета

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор

Вельмисов Петр Александрович

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук, профессор

Леонтьев Виктор Леонтьевич

Ведущая организация - Саратовский государственный университет

Защита диссертации состоится «15» октября 2008г. в 15 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.277.02 при Ульяновском государственном техническом университете по адресу: 432027, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32, ауд.211.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного технического университета.

Автореферат разослан «_»_2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физико-математических наук, профессор Ольшанский Владимир Юрьевич

доктор технических наук, профессор

В.Р. Крашенинников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена разработке математических моделей механической системы «трубопровод - датчик давления» и разработке на их основе математических методов исследования динамики упругого элемента датчика, находящегося во взаимодействии с потоком газа (жидкости).

Актуальность темы. Повышение надежности и продление сроков службы конструкций, взаимодействующих с потоком жидкости или газа, является важной народно-хозяйственной проблемой во многих отраслях техники. Такая проблема, в частности, возникает в приборостроении, авиаракетостроении, при проектировании антенных установок, датчиков давления, камер сгорания, трубопроводных систем, гидротехнических и высоких наземных сооружений, и т.д.

Существенное значение имеет исследование динамики и устойчивости колебаний деформируемых элементов конструкций, так как воздействие потока может приводить к значениям амплитуды и(или) скорости колебаний, не позволяющим осуществлять их надежную эксплуатацию и обеспечивать необходимую функциональную точность.

Давление, как и температура, скорость или расход, входит в качестве одной из переменных величин в описание явлений, связанных с поведением жидких или газообразных сред. В гидравлических, тепловых, ядерных и других установках, поставляющих механическую, тепловую или электрическую энергию, необходимо наблюдение за давлением, чтобы оно находилось в заданных пределах, ибо превышение давления может повлечь за собой повреждение конструкций, не говоря уже о риске, связанном с их разрушением, и авариях. Давление является важным параметром систем контроля и управления производственных процессов.

Все эти устройства требуют создания приборного оборудования, в котором первичным звеном являются датчики давления. Они поставляют данные о давлении сжатого воздуха, газа, пара, масла или других жидкостей, определяющих надлежащее функционирование машин, механизмов или систем, обеспечивающих протекание процесса.

Такая задача, в частности, возникает при проектировании датчиков давления, связанных с камерой сгорания двигателя трубопроводом, и служащих для определения рабочего давления в двигателе. Задача состоит в получении уравнений, связывающих закон изменения рабочей среды на входе в трубопровод (на выходе из камеры сгорания двигателя) и деформацию упругого элемента датчика, и предназначенных по величине деформации элемента рассчитать давление в двигателе.

Динамика упругих тел, взаимодействующих с потоком жидкости или газа, является предметом большого количества исследований. Исследования в этом направлении изложены как в отечественных (Белоцерковский С.М., Скрипач Б К., Табачников В.Г., Болотин В.В., Вольмир A.C., Галиев Щ.У., Горшков А.Г., Ильгамов М.А., Ильюшин A.A., Мовчан A.A., Григолюк Э.Г., Пановко Я.Г., Тарлаковский Д.В., Шклярчук Ф.Н. и др.), так и в зарубежных работах (Бисплингхофф P.JI., Эшли X., Халфман P.JL, Доуелл Е.Х., Фын ЯД. и др.).

Проблемам, связанным с описанием колебаний и распространением волн в оболочке, находящейся в газожидкостной среде или содержащей ее, в частности, анализ динамических явлений в камерах сгорания, посвящены работы Буйвола В.Н., Ильгамова М.А., Рапопорта И.М., Фролова К.В., Антонова В.Н. и др.

Исследованию задач гидроупругости поплавковых приборов с упругими элементами конструкции посвящены работы Андрейченко К.П., Могилевича Л.И. и др.

В работах Мовчана A.A., Светлицкого В.А., Томпсона Дж.М.Т., Феодосьева В.И., Челомея C.B. и др. исследуется динамика трубопроводов.

Описанию датчиков измерительных систем посвящены работы Аша Ж. с соавторами, Андреевой J1.E., Джагунова Р.Г., Ерофеева A.A., Петунина А.И. и др..

Исследования, проведенные в диссертации, являются развитием исследований по хоздоговорным работам, проводившимся на кафедре «Высшая математика» Ульяновского государственного технического университета (НИИ интегральных датчиков, г. Ульяновск, х/д НИР №7-87/90 «Исследование динамики упругих элементов датчиков с учетом теплового и гидродинамического воздействия» (номер гос. регистрации 01900062844); СКБ «Пульс», г.Ульяновск,

4

х/д НИР № 7-26/91 «Динамика упругих элементов емкостных датчиков давления с учетом теплового воздействия» (номер гос. регистрации 01910051734); ЭОКБ «Сигнал», г.Энгельс Саратовской области, х/д №7-51-92 «Разработка математической модели динамической системы «трубопровод - емкостной датчик давления» (номер гос. регистрации 01920017123)).

Особенностью рассматриваемых в диссертации задач является то, что модели описываются связанными системами дифференциальных уравнений в частных производных для двух неизвестных функций - потенциала скорости жидкости, которая заполняет трубопровод, и деформации упругого элемента датчика давления, что не позволяет разделить решение соответствующих задач гидроупругости на две отдельные задачи: а) расчета движения жидкости и определения гидродинамического давления, б) расчета динамики упругого элемента при воздействии этого давления.

В связи с вышеизложенным возникает актуальная задача разработки специальных методов исследования динамики и устойчивости упругих элементов конструкций (в частности, датчиков давления), взаимодействующих с жидкостью.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является создание математических моделей системы «трубопровод - датчик давления» и разработка на их основе математических методов исследования динамики упругого элемента датчика давления рабочей среды в трубопроводе.

Для достижения этой цели решаются следующие задачи:

1. Построение математических моделей в задачах о динамике упругого элемента датчика давления, являющегося составной частью механической системы «трубопровод - датчик давления».

2. Разработка методик решения задач аэрогидродинамики, позволяющих свести решение соответствующих задач аэрогидроупругости к исследованию уравнений для деформации элемента.

3. Разработка аналитических и численных методов решения задач аэрогидроупругости о динамике упругого элемента датчика давления.

Методы выполнения исследований. В диссертационной работе используются методы теории функций комплексного переменного,

5

обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, численные методы, методы математического моделирования.

Достоверность полученных результатов вытекает из математической строгости постановки задач и аналитических выкладок, согласования аналитических результатов с результатами численного эксперимента, оценки погрешностей численного моделирования, а также сравнения с результатами других авторов.

Научная новизна положений, выносимых на защиту:

1. Построены новые и усовершенствованы некоторые известные математические модели механической системы «трубопровод-датчик давления».

2. Разработана методика решения класса плоских задач аэрогидромеханики, позволяющая исключить потенциал скорости жидкости и свести решение задач к исследованию интегро-дифференциальных уравнений для функций прогиба упругого элемента.

3. Разработан численно-аналитический метод, позволяющий проводить исследование динамики упругого элемента датчика давления с учетом^ взаимодействия с рабочей средой в трубопроводе.

Практическая ценность работы заключается в том, что разработанные модели и методы позволяют усовершенствовать теоретическую базу современного проектирования взаимодействующих с потоком жидкости или газа упругих элементов и соответствующих технических устройств, приборов, конструкций (в частности, датчиков давления). Это позволяет сократить время и средства, затрачиваемые на натурные эксперименты, а в некоторых случаях заменить их аналитическими оценками или проведением компьютерных исследований.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международных и межвузовских конференциях: Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2003); международная школа-конференция «Лобачевские чтения» (Казань, 2004, 2005); пятая, шестая международные конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических,

6

социальных систем и процессов» (Ульяновск, 2003,2005); 12-ая Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2004); международные конференции «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке, технике и экономике» (Ульяновск, 2003-2006); международная «Конференция по логике, информатике, науковедению» (Ульяновск, 2007); Всероссийские научные конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2004, 2005); the 30th, 31-th International Conference "Application of mathematics in engineering and economics" (Созопол, Болгария, 2005, 2006); the 13-th International Conference on Applied and Industrial Mathematics (Питести, Румыния, 2005); XXXVII-XXXIX научно-технические конференции профессорско-преподавательского состава УлГТУ (Ульяновск, 2003-2007).

Реализация результатов работы. Исследования, представленные в диссертации, внедрены в рамках НИР «Разработка математических методов исследования динамики и устойчивости тонкостенных конструкций при аэрогидродинамическом воздействии» (заказ-наряд Федерального агентства по образованию, 2004г.), а также в рамках г/б НИР «Исследования по дифференциальным уравнениям, математической физике и приложения в механике, технике и естествознании».

Публикации. По теме диссертации опубликовано 33 печатных работы, из них 23 статьи и 10 тезисов докладов, в том числе, одна статья в издании из перечня ВАК.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 120 наименований, приложения, содержит 158 страниц основного текста, 111 рисунков.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цель и задачи исследований, научная новизна и практическая ценность полученных результатов, приведены сведения об использовании и апробации результатов работы и структуре диссертации.

Первая глава посвящена исследованию динамики упругого элемента датчика давления рабочей среды, расположенного на торцевой (рис.1) или боковой (рис.2) стенках трубопровода конечной длины с прямолинейными стенками.

На рис. 1,2: 1 - двигатель, 2 - трубопровод, 3 - датчик, 4 - рабочая среда, 5 -пластина (упругий элемент).

Задачи решаются в линейной постановке. Под рабочей средой понимается идеальный несжимаемый газ (жидкость), поле скоростей предполагается плоским.

В качестве примера рассмотрим задачу о динамике упругого элемента датчика давления рабочей среды, расположенного на торцевой стенке трубопровода (рис.1).

Созданный численно-аналитический метод решения задачи включает следующие этапы:

1. Построение модели

Предлагаемая математическая модель определяется следующими уравнениями и граничными условиями:

<Ра+<Руу=®> МгС = {М:0<д:<х0,0<^<>'()}, (1.1)

= = *6(°>*о). 0-2)

<Р,(°>У>0 = ®(У,0> У*(а,Ь), 0<а<Ь<уй,

Р - р<р,(хй,у,1)=Р.{у,1),

Ь(а) = Мё + Осо + Ысо + аю + /?<у + усо =

(1.5)

(1.3)

(1.4)

= Ра(у*1)-Р + Р<РЛ0,у,1), у е (а,Ь).

(1.6)

Здесь (1.1) - уравнение Лапласа, описывающее движение рабочей среды в трубопроводе; (1.2)-(1.4) - условия непротекания; условие (1.5) задает закон изменения давления на входе в трубопровод; (1.6) - уравнение динамики пластины; х,у - декартовы координаты, / - время; <р{х,у,1) - потенциал

скорости среды; а(у,0 - прогиб упругого элемента; Р - давление рабочей среды в трубопроводе в состоянии покоя; р - плотность среды; Р,(у,1) - закон распределения давления среды в сечении х = х0 (на выходе из двигателя); Ра{у,1) - распределенная внешняя нагрузка, действующая на упругий элемент; х,,, у() -продольный и поперечный размеры трубопровода; а,Ь - координаты концов упругого элемента; М, £> - погонная масса и изгибная жесткость пластины; N -сжимающее (растягивающее) пластину усилие; а - коэффициент внутреннего демпфирования, /} и у - коэффициенты демпфирования и жесткости основания; нижние индексы х,у^ обозначают частные производные по точка -

частную производную по г.

2. Сведение задачи к исследованию уравнения для функции деформации упругого элемента на основе метода Фурье

Потенциал скорости, описывающий движение среды, представим функцией, являющейся решением уравнения Лапласа (1.1)

где Я„ = —, а 7(0> ф„(0> ^„(0 - произвольные функции времени. Уо

Функция представлена в виде разложения по полной системе функций

{«»ЪСо-

со

пж

В результате подстановки (1.7) в условия (1.3), (1.4) получим невязку

S{y,t) = т + fx [ Ф„ (0 - У. (r)]cos(^) - 3(y,t), (1.8)

\co{y,t), у е (а,Ь),

9{У,1) [0, ye(0,a)v{b,y0). Из условия ортогональности невязки S(y,t) к системе функций {соэЯ^}'^

Уо

j<5(y,t)cos(Ámy)dy = 0, т = 0,1,2,... (1.9)

о

следует

4>n(0-V„(0 = ~bjá(y,0cos(ly)jy, (1.10)

•л.'О о Ь

7(0 = —0-11)

Л 0

После подстановки (1.7) в условие (1.5) и аналогич4ной ортогонализации невязки следует

+ = —]д(у,0соз(Ял^, (1.12)

/^0 о

Р - р[т + X,f,{t)V-\P.{y,t)dy. (1.13)

У о о

Из системы уравнений (1.10), (1.12) находим

„~Кч Ь , Уо

Ф„(0 = --\o)(yj)cos{xny)dy----г— P.(y,t)cos{A„y)dy, (1.14)

eVo ь л Уо

= "1-Г7-х \®(y,t)cosU„y)dy--Т P.(y,t)cos{lny)dy, (1.15)

А,Уо сЬ(я-„д:0) i руй сЬ(Л„х0) 0J

аиз (1.11),(1.13)-

О у ^ 1

«0 = £-—/«Ку.ОФ--ИСУ.О^- (1.16)

Р У о i РУй о

После подстановки (1.14) - (1.16) в (1.6) получим уравнение, связывающее закон изменения давления P,{y,t) рабочей среды на входе в трубопровод (х = х0) и функцию прогиба a{y,t) упругого элемента датчика, расположенного в сечении х = 0:

пх 1 Уо

Ца) = Р0(у, 0 - ^ já)(y,t)dy--\P.{y,t)dy -

(1. 17)

2р cos(Ány)

0 P Л, „

„=, ch(A„x0)

где оператор ¿(¿у) определяется, согласно (1 6), выражением Нсо) = Má + Dcomy + Nú3)y + aámy + Pá + yco.

3. Решение уравнения для деформации

Согласно методу Галеркина, решение co(y,t) уравнения (1.17) ищется в

т

виде co{y,t) = YjwM%k(y)> гДе ~~ полная на [a,b\ система базисных

функций, удовлетворяющих граничным условиям, соответствующим условиям закрепления пластины.

Из условия ортогональности невязки уравнения (1.17) к системе базисных функций {gt(7)}"=, получим систему из т обыкновенных дифференциальных уравнений (г = 1 ,..,т):

для жесткого закрепления концов упругого элемента

т т

X A,k тк (í) + B,ó, (?) + щ (?) + F, (?) = О,

где АЛ, В,, С, - некоторые числовые коэффициенты, выражающиеся через параметры задачи.

для шарнирного закрепления концов упругого элемента

т

£ 4 ¿jt (?) + яд (о + с, со, (?) + /<(?) = о,

ы

где Alk, Вп С, - некоторые числовые коэффициенты, выражающиеся через параметры задачи.

4. Численное моделирование

С помощью математической системы Mathematica 6.0 проводится исследование динамики упругого элемента - построение графиков ú)(y,t) для фиксированного у0 е \a,b\ как функции времени ? и построение графиков co(y,t) в определенный момент времени ?0 как функции у е [а, ¿].

При проведении численного эксперимента для каждой модели проводилось сравнение функции деформации а для я-го и («+1)-го приближений, с целью определения числа приближений, необходимого для расчетов т с достаточной точностью.

В первой главе исследовалась также динамика пластины, расположенной на боковой или торцевой стенках трубопровода, на одном конце которого расположен поршень произвольной формы, движущийся по заданному произвольному закону.

Во второй главе исследуются модели механической системы «трубопровод -датчик давления» в случае бесконечно длинного трубопровода с прямолинейными стенками. Представленные модели отличаются расположением упругого элемента датчика давления: на торцевой стенке (рис.3) и на боковой стенке (рис.4). Анализ задач, рассмотренных во второй главе, проводится по той же схеме, что и в главе 1.

Ч

1__

X

Рис, 3 Бесконечно дчинный трубопровод супруги.и элементом на торцевой стенке

Уо

У а

и Й' 'Й 4 /

г ' 1 1 <7 У

а Ь \ О X

Рис 4 Бесконечно длинный трубопровод с упругим элементом на боковой стенке Рассмотрим в качестве примера модель, изображенную на рис.4. Математическая формулировка задачи принимает следующий вид:

Ра+<Ру,=0' (х,у)ев = {(х,у):0<х<+«>,0<у<у0}-, (2.1)

<py(xfi,t) = Q, xe(0,+oo);

(2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

<Ру(х>Уо>()=°> *б(0,а)и(6,+со);

p,(0,y,t) = 0, ye(0,y0);

<Py(x,y0,O = d)(x,t), xe(a,b);

г-»-ню '

lim(p - p<p,)= P{t)\

(2.7)

L{m) = Ma + Da"" + Na" + am"" + Pa +yco = = p -P0{x,t)~ Р<РЛх'Уо<0< xe(a,b).

(2 8)

Здесь P - давление рабочей среды в трубопроводе в состоянии покоя, р -плотность рабочей среды; P(t) - закон изменения давления на входе в Трубопровод; P0(x,t) - распределенная внешняя нагрузка. Решение аэрогидродинамической задачи осуществляется методами теории функций комплексного переменного.

Считая t параметром, введем в рассмотрение комплексный потенциал W = f(z,t)-<p + iy/, где z-x + iy, ц/ = t//(x,y,t) - функция тока. Функция

= ch-722 конформно отображает полуполосу G на верхнюю полуплоскость

Уо

комплексного переменного £ = £ + со следующим соответствием точек: z = со о = да, Z-= z = /y0 = - 1- Упругому элементу АВ в д-

плоскости соответствует отрезок [£,,£,] оси где L =-ch—, f, = -ch—.

Уо Уо

Для аналитической в верхней полуплоскости функции /г(2(С)>()= <Рх ~'<РУ имеем согласно (2.2) - (2.5) следующие краевые условия

Полагая = z = x + iy0 в формуле £" = ch—.находим | = -ch—, 0<х<+со.

= Го, £е(-«>,£)и(£,-1)и(1,+со), 1 -т{х^)А (#„&).

та

Отсюда

* = = + (2-9)

Таким образом, для аналитической функции /.{¿{С)*1) имеем смешанную краевую задачу в верхней полуплоскости. Решение этой задачи, ограниченное в точках £ = ± 1 и удовлетворяющее условию (2 6), можно записать по формуле Келдыша-Седова

/Ма^-Щ-^Щ^г, (2.10)

к ¿Я(т)(т-0

где

R(C) = yKTZi>o пРи £ =

Поскольку ^ = ch —, то = — sh — = —-^С2 • Тогда с учетом (2 10) будем Л fik Л Л Л

иметь

^ _ Л__вЫФ) ¿7.уА <v(x(r),t)

Интегрируя по £* полученное выражение, найдем комплексный потенциал

+ (2.11)

JT I л/т -1

где C(f) - произвольная комплексная функция.

Перейдем в (2.11) к пределу при ^-»^е^,,^), при этом z->x + iy0, xe(a,b). Согласно предельным формулам для интеграла с логарифмическим ядром имеем

<P + W 2 jt

i, Vr2 -1 д Vr2 -1

+ C(r).

Vi, V ^ — A ii

Отделив вещественную часть и продиффер Енцировзв cs по t, получим

<p,{x,y„t) = \t-Wt + A(t), (2.12)

я й Vr2 -1

где £ = -ch—, A(0 = ReC'(0-

Ус

Для нахождения неизвестной функции A(t) потребуем выполнения условия (2 7). С этой целью продифференцируем (2 11) по / и отделим вещественную часть. В результате

У о

<Р,

F

** 1 yfs-i

При Ç -> оо (х —> +®)получаем А(/) =

P-P(t)

ftS

Формула (2.12) после подстановки г = -ch— имеет вид

У о

ь

V, (х,у0> ■') = -- }<У(s,/)lnjch — - ch т

л:

Уо

Уо

ds +

P~P(t)

(2.13)

После подстановки (2.13) в (2.8) получим уравнение, связывающее закон изменения давления Р(/) на входе в трубопровод (на выходе из двигателя) и функцию прогиба (деформацию) ¿у(дг,г) упругого элемента датчика давления

. 4

L(œ) = P{t)-P0{x,t) + ^ Jffl(j,OIn

,7в , та ch--ch —

.Уо

Уо

ds.

(2.14)

Пример 1 Рабочая среда - вода, пластина изготовлена из алюминия. С помощью математической системы МаШетаиса для значений параметров а = 0,02, Ь = 0,08, у0=0,1, М = 2,1, £>=6,702, N = \0Ъ, р = 103, сс = 0,5, >5 = 0,3, / = 0,2, И = 0,001, Рй(х,1) = 0, ф,0) = 0, ф, 0) = 0,

Р(1) = 105 +5 10" соэ(10/) (значения параметров приведены в системе СИ)

б

получен график функции a(x,t) = 1£i0l(t)$inf}k(x-a) в точке х, =0,04 (Рис. 5):

1=1

0 00322221

1 2 3 4 3

Рис 5 График функции (û{x,t) в точке х, =0,04 (т = 6)

Прогиб упругого элемента в различные моменты времени * = /0 (т = 6) (Рис.6): 'о =0.1 'о =0,2 Г0=0,3

wix.it)! о> (*!<,]

10 = 0,4 1а = 0,5 г0 = 0,6

ы('<«) и^ч

Проводилось также исследование динамической устойчивости по Ляпунову упругого элемента датчика давления на основе построения функционала для интегро-дифференциального уравнения с частными производными, описывающего динамику пластины Получены условия устойчивости для параметров механической системы.

В третьей главе рассмотрены другие модели механической системы «трубопровод - датчик давления» (рис. 7 - 9).

Рис 8 Трубопровод бесконечной дчины с упругим элементом датчика, распочоженньш о

помети

аУ

Рис 9 Трубопровод бесконечной дчины с подвижным жестким эчементом датчика

Для указанных моделей с помощью методов теории функций комплексного переменного (с использованием интеграла Кристофеля-Шварца, формулы Сохоцкого) потенциал скорости выражается через функцию прогиба, что позволяет получить уравнение, связывающее давление на входе в трубопровод и прогиб (деформацию) упругого элемента датчика давления

Четвертая глава посвящена исследованию динамики упругого элемента датчика давления рабочей среды, выполненного в виде круглой пластины (осесимметричный трубопровод (Рис 10)).

Рис. 10 Схема системы «трубопровод - датчик давления» На рис. 10- 1 - двигатель, 2 - трубопровод, 3 - датчик, 4 - рабочая среда, 5 -пластина.

Пусть w = \v(r,t) - изгиб пластины в точках окружности радиуса г в момент времени Г (0 < г < Л, / > 0), <р(г,г,1) - потенциал скорости жидкости внутри корпуса датчика и трубопровода. Функции Цг,?), <Р(г,г,1) являются совместным решением следующей начально-краевой задачи

а22

' 2

,ге[(),ф>0, (4.1)

лА^-г + + — (У4и-)- Лг(г)У2и> + А — + (т =

(4.2)

Э^" 2'"/ 12(1 -V2)'

= (4.3)

дг

Р-р^-{г,-и)=Р.(0, (4.4)

от

о©Г И \ дм, . ,„

ог V 2 ] 01

АЛ,0~М=0, (4.6)

дг

н'(г,0) = /,(/•); ^(г,0) = /2(г), (4.7)

от

р(г>2,0) = ^(г,г), (4.8)

дг2 г <3г

коэффициент внешнего демпфирования, <52 - коэффициент внутреннего демпфирования, а - коэффициент жесткости основания, - растягивающее (сжимающее) усилие, Л(0 - давление рабочей среды на входе в трубопровод, т.

е давление в двигателе (г = -1), Р - давление в покоящейся среде, Р0 - давление

где V2 + --— оператор Лапласа, р0 - плотность материала пластины, <5, -

сверху над пластинои | г = ^

Поскольку задача является осесимметричной, прогиб пластины представляется в виде

л=0

где £/„(»*)= Л„

А

, и = 0,1,2,3., J0{x) - функции Бесселя

нулевого порядка, 10(Лг) = J0(lЛ^■), Яп - собственные значения краевой задачи

У4(/ = Л4(У, и(Я) = и'(Я) = 0, Нт| £/(/") 1<+°°-

г-+0

Потенциал скорости представим функцией, являющейся решением уравнения Лапласа (4.1) и удовлетворяющей условиям (4.3)-(4.5), (4.8)

<р = - |[р - Р. ф + ]гф,-1)с!г + ^^ /г +

Р о я о К ъ т

+ 1-У / ,ч-■\г^{Мп'-Мг-1¥г +

Ш = 0 П _1... , п &

где цт - положительные решения уравнения Ji{/Ж) = 0, а J¡(x) - функция Бесселя 1 порядка.

После подстановки выражения для <р{г,г, Г) и ч>{г,1) в уравнение (4.2) получим на основе метода Галеркина систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для определения коэффициентов (г) (к = 0,1,. ,и0):

т-0 К V ) п-0

"о

п=0 к

"о

+ ¿^„(0^ +а)<и,,и„ >+Щ1)А;<ик,и; >}=2Л(Р.(г)-Р0ЩЛ,Л),

п=0

где <ик,и„ >= \гик {г)ип{г)с1г, и'в(г) = Л„

А

( " ; /0(Л„Л) * [

, п = 0,1,2,3..

Пример 2. С помощью математической системы МаШетайса для значений параметров »2 = 0,1,2, и = 0,1,2, 1 = 5, Я = 0,025, М = 2,7, £> = 6,702, # = 103, р = 10\ о-= 0,5, /3 = 0,3, / = 0,2, /?0 = 2,7-103, А = 0,001 (толщина пластинки), 1у(г,0) = 0, н'(г,0) = 0, Д(*) = 105(2-со8(10/)) (значения параметров приведены в

системе СИ) получен график функции w(r,t) = w0(t)U0(r)+ wl(t)Ul(r) + w2(t)U2(r) при г = 0 (Рис.11):

w(r,t)

Прогиб упругого элемента в различные моменты времени ? = /0 (Рис. 12):

i„=l /0 = 2 ?0=3

К'.») w(.r,t) >„(Л/)

Рис 12 График функции и/(г,0 в определенные моменты времени 1й

Основные результаты работы

1. Построены новые и усовершенствованы некоторые известные математические модели механической системы «трубопровод - датчик давления». Рассматриваются плоские и осесимметричные модели для бесконечно длинного трубопровода и трубопровода конечной длины.

2. Разработана методика для решения класса плоских задач аэрогидродинамики с граничными условиями, содержащими неизвестную функцию деформации упругого элемента, позволяющая исключить аэрогидродинамические функции и свести решение задач аэрогидроупругости к исследованию уравнений для деформации элемента.

3. Разработан численно-аналитический метод решения класса задач аэрогидроупругости о совместных колебаниях рабочей среды в трубопроводе и

упругого элемента датчика давления, позволяющий установить зависимость между функцией деформации элемента и законом изменения давления в двигателе

4 Проведено численное моделирование на ЭВМ с помощью системы МаШетаПса 6 0 динамики упругого элемента. Исследовалась деформация со как функции времени (в фиксированных точках элемента) и как функция координаты (в фиксированные моменты времени) для различных параметров механической системы. Численный эксперимент проводился для разных способов закрепления элемента в геометрически различных моделях.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

Статьи, опубликованные в изданиях, включенных в перечень ВАК:

1. Анкилов, А. В. Математические модели механической системы «трубопровод-датчик давления» // А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова. - Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2007. - №3. - С.7-14. Статьи, опубликованные в других изданиях:

1 Батанова, Е Н. О распространении волн в трубопроводе // Е.Н. Батанова, П.А. Вельмисов, Ю.В. Ходзицкая (Покладова) - Математические методы и модели. Тр. междунар. конф. Ульяновск: УлГТУ, 1999. -ТЗ. -С.13-15.

2. Ходзицкая, Ю.В. Исследование динамики трубопровода // Ю.В. Ходзицкая (Покладова). - Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. -Казань, 2002.-Т18.-С.96.

3. Вельмисов, П.А. Об устойчивости решений уравнения, описывающего колебания трубопровода // П.А. Вельмисов, Ю.В. Ходзицкая (Покладова). -Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции. - Воронеж: Воронежский гос. ун-т, 2003. - С.54.

4. Вельмисов, П.А. Математическая модель системы «трубопровод - датчик давления» И П.А. Вельмисов, Ю.А Решетников, Ю.В. Ходзицкая (Покладова). -Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники. Тр. междунар. конф. КЛИН - 2003. - Ульяновск: УлГТУ, 2003. - Т5. - С 31-34.

5. Вельмисов, П.А. О динамике трубопровода с учетом запаздывания внешних воздействий // П.А. Вельмисов, Ю.В. Ходзицкая (Покладова). - Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники. Тр. междунар. конф. КЛИН - 2003. - Ульяновск: УлГТУ, 2003. -Т5. - С. 35-39.

6. Вельмисов, П.А. Математическое моделирование механической системы «трубопровод - датчик давления» // П.А. Вельмисов, В.Д. Горбоконенко, Ю.В. Ходзицкая (Покладова). - Труды пятой междунар. конф. «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов». - Ульяновск: УлГУ, 2003. - С.51-53.

7. Вельмисов, П. А. Математические модели механической системы «трубопровод - датчик давления» // П.А. Вельмисов, В.Д. Горбоконенко, Ю.А Решетников, Ю В. Ходзицкая (Покладова). - Вестник УлГТУ, №1-2 - Ульяновск: УлГТУ, 2003.-С 22-24.

8. Вельмисов, П. А. Об одной задаче гидроупругости // П. А. Вельмисов, Ю. В Покладова - Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Всероссийской конференции. - Самара, 2004. - ч2. - С47-49.

9. Вельмисов, П. А. О некоторых математических методах исследования динамики трубопровода с учетом запаздывания реакции и демпфирования внешней связи. // П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова. - Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники. Тр междунар. конф. КЛИН -2004. - Ульяновск: УлГТУ, 2004. -Т7. - С.59-61.

10. Вельмисов, П. А. Исследование динамики упругого элемента датчика давления // П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова. - Механика и процессы управления: Сборник научных трудов. - Ульяновск: УлГТУ, 2004. - С. 11-15.

11. Вельмисов, П. А. . Математическое моделирование механической системы «трубопровод - датчик давления» // П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова. -Актуальные проблемы математики и механики. Труды математического центра им. Лобачевского. - Казань, Казанское математическое общество, 2004. - Т25. -С.61-62.

12. Покладова, Ю.В. Математическое моделирование динамики упругого элемента датчика давления в трубопроводе конечной длины // Ю.В. Покладова, Ю.А Решетников. - Прикладная математика и механика: Сборник научных трудов. - Ульяновск: УлГТУ, 2004. - С.114-120.

13. Вельмисов, П. А. Применение методов Фурье и ТФКП для решения одного класса задач гидроупругости // П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова. - Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов 12-й Саратовской зимней школы. - Саратов, 2004. - С.44-45.

14. Вельмисов, П. А. Исследование колебаний упругого элемента датчика давления // П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова. - Вестник УлГТУ. - 2004. - №4. -С 26-29.

15. Vei'misov, P. A. Mathematical models of a mechanical system "Pipeline -Pressure Sensor" // P. A. Vei'misov, Yu. V. Pokladova - Applications of Mathematics in Engineering and Economics. - Soft trade, Sofia, Bulgaria, 2005. - P.84-89.

16. Вельмисов, П. А. Исследование колебаний упругого элемента датчика давления // П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова. - Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники. - Труды международной конференции КЛИН. - Ульяновск: УлГТУ, 2005. - Т 4. - С.60-64.

17. Вельмисов, П. А. Исследование колебаний упругого элемента датчика давления // П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова. - Вестник УлГТУ. - 2005. - №2. -С.20-22.

18. Вельмисов, П. А. Об одной математической модели механической системы «трубопровод - датчик давления» // П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова. -Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Всероссийской конференции. - Самара, 2005. - ч2. - С.63-65.

19. Вельмисов, П. А. Математические модели механической системы «трубопровод - датчик давления» // П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова. -Механика и процессы управления. Сборник научных трудов. - Ульяновск1 УлГТУ, 2005. - С.28-34.

20. Вельмисов, П. А. О колебаниях упругого элемента датчика давления // П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова. - Труды шестой междунар. конф «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов». - Ульяновск: УлГУ, 2005. - С.30-32.

21. Вельмисов, П. А. Математическая модель одной гидроупругой системы // П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова - Труды Средневолжского математического общества, Т8, №2 - Саранск, 2006. - С.93-98.

22 Vel'misov, P. A. Investigation of dynamics of an elastic element of a pressure sensor // P. A. Vel'misov, Yu. V. Pokladova. - Applications of Mathematics in Engineering and Economics. - Softtrade, Sofia, Bulgaria, 2006. - P.51-57.

23. Vel'misov, P.A. An investigation of mathematical models of a pipeline-pressure sensor mechanical system // P. A. Vel'misov, Yu. V. Pokladova. - International Journal Romanian Society of Applied and Industrial Mathematics - ROMA1 Journal, Vol.2, №1 (2006), Romania. - P. 219-224.

24. Вельмисов, П. А. Нелинейные модели механической системы «трубопровод - датчик давления» // П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова, Е.П. Семенова. -Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники. Тр. междунар конф. КЛИН - 2006. - Ульяновск: УлГТУ, 2006. - Т4. - С.116-118.

25. Анкилов, А. В. Об устойчивости решений уравнений взаимодействия вязкоупругих пластин с жидкостью // А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова. - Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники. Тр. междунар. конф. КЛИН - 2007. - Ульяновск: УлГТУ, 2007. - Т4. -С. 19-22.

26. Покладова, Ю.В. Динамика упругого элемента датчика давления рабочей среды в трубопроводе // Ю.В. Покладова. - Механика и процессы управления: Сборник научных трудов. - Ульяновск: УлГТУ, 2007. - С.51-56.

27. Анкилов, А. В. Динамическая устойчивость вязкоупругого элемента датчика давления // А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова. - Прикладная математика и механика: Сборник научных трудов. - Ульяновск: УлГТУ, 2007. -С.24-32.

Покладова Юлия Валерьевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ «ТРУБОПРОВОД - ДАТЧИК ДАВЛЕНИЯ»

Автореферат Подписано в печать 08.09.2008. Формат 60x84/16. Усл. печ л. 1,17. Тираж 120 экз Заказ -Зь ? Типография УлГТУ, 432027, г Ульяновск, Северный Венец, 32.

Введение.

Глава 1. Математическая модель системы «трубопровод-датчик давления» для трубопровода конечной длины

§1. Динамика упругого элемента датчика, расположенного на торцевой стенке трубопровода

1.1. Математическая модель.

1.2. Решение аэрогидродинамической задачи методом Фурье.

1.3. Решение уравнения для деформации.

1.4. Численный эксперимент в задачах о динамике упругого элемента

1.5. Исследование динамики элемента с учетом теплового воздействия.

1.6. Исследование динамики упругого элемента в трубопроводе, на конце которого расположен поршень.

§2. Динамика упругого элемента датчика, расположенного на боковой стенке трубопровода

2.1. Математическая модель.

2.2. Решение аэрогидродинамической задачи методом Фурье.

2.3. Решение уравнения для деформации.

2.4. Численный эксперимент в задачах о динамике упругого элемента

2.5. Решение аэрогидродинамической задачи с помощью методов ТФКП.

2.6. Исследование динамики упругого элемента в трубопроводе, на конце которого расположен поршень.

Глава 2. Математическая модель системы «трубопровод-датчик давления» для бесконечно длинного трубопровода

§1. Динамика упругого элемента датчика, расположенного на торцевой стенке трубопровода

1.1. Математическая модель.

1.2. Решение аэрогидродинамической задачи методами ТФКП.

1.3. Решение уравнения для деформации.

1.4. Численный эксперимент в задачах о динамике упругого элемента

1.5. Исследование динамики элемента с учетом теплового воздействия.

1.6. Исследование динамической устойчивости вязкоупругого элемента датчика давления.

§2. Динамика упругого элемента датчика, расположенного на боковой стенке трубопровода

2.1. Математическая модель.

2.2. Решение аэрогидродинамической задачи методами ТФКП.

2.3. Решение уравнения для деформации.

2.4. Численный эксперимент в задачах о динамике упругого элемента

2.5. Исследование динамики элемента с учетом теплового воздействия.

2.6. Исследование динамической устойчивости упругого элемента датчика давления.

Глава 3. Математические модели с датчиком давления, расположенным в полости трубопровода

§1. Уравнение колебаний упругого элемента датчика, расположенного в полости трубопровода конечной длины

1.1. Математическая модель.

1.2. Вывод уравнения колебаний элемента. Г:.

§2. Уравнение колебаний упругого элемента датчика, расположенного в полости трубопровода бесконечной длины

2.1. Математическая модель.

2.2. Вывод уравнения колебаний элемента.

§3. Уравнение колебаний жесткого подвижного элемента датчика давления

3.1. Математическая модель.

3.2. Вывод уравнения колебаний элемента.

Глава 4. Осесимметричная модель системы «трубопровод — датчик давления»

4.1. Постановка задачи расчета динамики пластины с учетом теплового и гидродинамического воздействий.

4.2 Выбор базисных функций для прогиба пластины.

4.3. Решение аэрогидродинамической задачи.

4.4 Вывод начальных условий.

4.5.Численное исследование динамики упругого элемента.

Повышение надежности и продление сроков службы конструкций, взаимодействующих с потоком жидкости или газа, является важной народнохозяйственной проблемой во многих отраслях техники. Такая проблема, в частности, возникает в приборостроении, авиаракетостроении, при проектировании антенных установок, датчиков давления, камер сгорания, трубопроводных систем, гидротехнических и высоких наземных сооружений, и т.д.

Существенное значение имеет исследование динамики и устойчивости колебаний деформируемых элементов конструкций, так как воздействие потока может приводить к значениям амплитуды и(или) скорости колебаний, не позволяющим осуществлять их надежную эксплуатацию и обеспечивать необходимую функциональную точность.

Давление, как и температура, скорость или расход, входит в качестве одной из переменных величин в описание явлений, связанных с поведением жидких или газообразных сред. В гидравлических, тепловых, ядерных и других установках, поставляющих механическую, тепловую или электрическую энергию, необходимо наблюдение за давлением, чтобы оно находилось в заданных пределах, ибо превышение давления может повлечь за собой повреждение конструкций, не говоря уже о риске, связанном с их разрушением, и авариях. Давление является важным параметром систем контроля и управления производственных процессов.

Все эти устройства требуют создания приборного оборудования, в котором первичным звеном являются датчики давления. Они поставляют данные о давлении сжатого воздуха, газа, пара, масла или других жидкостей, определяющих надлежащее функционирование машин, механизмов или систем, обеспечивающих протекание процесса.

Такая задача, в частности, возникает при проектировании датчиков давления, связанных с камерой сгорания двигателя трубопроводом, и служащих для определения рабочего давления в двигателе. Задача состоит в получении уравнений, связывающих закон изменения рабочей среды на входе в трубопровод (на выходе из камеры сгорания двигателя) и деформацию упругого элемента датчика, и предназначенных по величине деформации элемента рассчитать давление в двигателе. Особенное значение имеет задача определения давления в двигателе в режиме взлета или посадки летательного аппарата, когда режим работы двигателя является существенно нестационарным.

Динамика упругих тел, взаимодействующих с потоком жидкости или газа, является предметом большого количества исследований. Исследования в этом направлении изложены как в отечественных (Белоцерковский С.М. [16], Скрипач Б.К., Табачников В.Г. [15], Болотин В.В. [18], Вольмир А.С. [46], Галиев Ш.У. [48], Ильюшин А.А. [60], Мовчан А.А. [74], Григолюк Э.Г. [54,55], Пановко Я.Г. [79], Горшков А.Г. [52], Тарлаковский Д.В. [53], Шклярчук Ф.Н. [113] и др.), так и в зарубежных работах (Бисплингхофф P.JL, Эшли X., Халфман P.JI. [17], Доуелл Е.Х. [114], Фын Я.Ц. [110] и др.).

Проблемам, связанным с описанием колебаний и распространением волн в оболочке, находящейся в газожидкостной среде или содержащей ее, в частности, анализ динамических явлений в камерах сгорания, посвящены работы Буйвола В.Н. [19], Ильгамова М.А. [59], Рапопорта И.М. [89], Фролова К.В., Антонова В.Н. [8] и др.

Исследованию задач гидроупругости поплавковых приборов с упругими элементами конструкции посвящены работы Андрейченко К.П., Могилевича Л.И. [3,76] и др.

В работах Мовчана А.А. [75], Светлицкого В.А. [94], Томпсона Дж.М.Т. [107], Феодосьева В.И. [109], Челомея С.В.[112] и др. исследуется динамика трубопроводов.

Описанию датчиков измерительных систем посвящены работы Аша Ж. с соавторами [10], Андреевой JI.E. [2], Джагунова Р.Г., Ерофеева А.А. [57], Петунина А.И. [80] и др.

Исследования, проведенные в диссертации, являются развитием исследований по хоздоговорным работам, проводившимся на кафедре «Высшая математика» Ульяновского государственного технического университета (НИИ интегральных датчиков, г. Ульяновск, х/д НИР №7-87/90 «Исследование динамики упругих элементов датчиков с- учетом теплового и гидродинамического воздействия» (номер гос. регистрации 01900062844); СКБ «Пульс», г.Ульяновск, х/д НИР № 7-26/91 «Динамика упругих элементов емкостных датчиков давления с учетом теплового воздействия» (номер гос. регистрации 01910051734); ЭОКБ «Сигнал», г.Энгельс Саратовской области, х/д №7-51-92 «Разработка математической модели динамической системы «трубопровод - емкостной датчик давления» (номер гос. регистрации 01920017123)).

Рассматриваемые в диссертации модели могут быть также использованы для расчета давления в газопроводах, нефтепроводах, когда давление в трубопроводах определяется режимом работы компрессорных станций.

Особенностью рассматриваемых в диссертации задач является то, что модели описываются связанными системами дифференциальных уравнений в частных производных для двух неизвестных функций — потенциала скорости жидкости, которая заполняет трубопровод, и деформации упругого элемента датчика давления, что не позволяет разделить решение соответствующих задач гидроупругости на две отдельные задачи: а) расчета движения жидкости и определения гидродинамического давления, б) расчета динамики упругого элемента при воздействии этого давления.

В связи с вышеизложенным возникает актуальная задача разработки специальных методов исследования динамики и устойчивости упругих элементов конструкций (в частности, датчиков давления), взаимодействующих с жидкостью.

Целью диссертационной работы является' создание математических моделей системы «трубопровод - датчик давления» и разработка на их основе математических методов исследования динамики упругого элемента датчика давления рабочей среды в трубопроводе.

Для достижения этой цели решаются следующие задачи:

1. Построение математических моделей в задачах о динамике упругого элемента датчика давления, являющегося составной частью механической системы «трубопровод — датчик давления».

2. Разработка методик решения задач аэрогидродинамики, позволяющих свести решение соответствующих задач аэрогидр<рупругости к исследованию уравнений для деформации элемента.

3. Разработка аналитических и численных методов решения задач аэрогидроупругости о динамике упругого элемента датчика давления.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения.

Основные результаты работы можно сформулировать следующим образом:

1. Построены новые и усовершенствованы некоторые известные математические модели механической системы «трубопровод - датчик давления». Рассматриваются плоские и осесимметричные модели для бесконечно длинного трубопровода и трубопровода конечной длины.

2. Разработана методика для решения класса плоских задач аэрогидродинамики с граничными условиями, содержащими неизвестную функцию деформации упругого элемента, позволяющая исключить аэрогидродинамические функции и свести решение задач аэрогидроупругости к исследованию уравнений для деформации элемента.

3. Разработан численно-аналитический метод решения класса задач аэрогидроупругости о совместных колебаниях рабочей среды в трубопроводе и упругого элемента датчика давления, позволяющий установить зависимость между функцией деформации элемента и законом изменения давления в двигателе.

4. Проведено численное моделирование на ЭВМ с помощью системы Mathematica 6.0 динамики упругого элемента. Исследовалась деформация со как функция времени (в фиксированных точках элемента) и как функция координаты (в фиксированные моменты времени) для различных параметров механической системы. Численный эксперимент проводился для разных способов закрепления элемента в геометрически различных моделях.

Заключение

1. Александров А.В. Основы теории упругости и пластичности /

2. A. В. Александров, В. Д. Потапов. М. : Высшая школа, 1990. 400с.

3. Андреева JI.E. Упругие элементы приборов / JI.E. Андреева. М.: Машиностроение, 1981.

4. Андрейченко К.П. Динамика гироскопов с цилиндрическим поплавковым подвесом / К.П. Андрейченко, Л.И. Могилевич. Саратов: Изд-во Сарат. унта, 1987. 160с.

5. Анкилов А. В. Математические модели механической системы «трубопровод-датчик давления» / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2007. №3. С.7-14.

6. Анкилов А.В. Динамическая устойчивость вязкоупругого элемента датчика давления / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова // Прикладная математика и механика: Сборник научных трудов. -Ульяновск: УлГТУ, 2007. С.24-32.

7. Анкилов А.В. Об устойчивости решений уравнений взаимодействия вязкоупругих пластин с жидкостью / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Ю.

8. B. Покладова // Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники. Тр. междунар. конф. КЛИН 2007. - Ульяновск: УлГТУ, 2007. Т4. С. 19-22.

9. Анкилов А.В. Алгоритмы методов взвешенных невязок для решения линейных задач математической физики и их реализация в системе MathCAD: учебное пособие / Анкилов А.В., Вельмисов П.А., Семенов А.С. -Ульяновск: УлГТУ, 2006. 168с.

10. Антонов В.Н. Колебания оболочек в жидкости / В.Н. Антонов, К.В. Фролов. -М.: Наука, 1983. 143с.

11. Аш Ж. Датчики измерительных систем: В 2-х книгах. Кн. 1. / Аш Ж. с соавторами. М.:Мир, 1992. 480с.

12. Аш Ж. Датчики измерительных систем: В 2-х книгах. Кн. 2. / Аш Ж. с соавторами. М.:Мир, 1992. 424с.

13. Бабаков И. М. Теория колебаний / И. М. Бабаков. М. : Наука, 1968. 560с.

14. Бабичев А. П. Физические величины: справочник / А. П. Бабичев, Н. А. Бабушкина, А. М. Братковский и др.; Под ред. И. С. Григорьева, Е. 3. Мейлихова. М. : Энергоатомиздат, 1991. 1232с.

15. Батанова, Е.Н. О распространении волн в трубопроводе // Е.Н. Батанова, П.А. Вельмисов, Ю.В. Ходзицкая (Покладова). Математические методы и модели. Тр. междунар. конф. Ульяновск: УлГТУ, 1999. - ТЗ. - С. 13-15.

16. Безухов Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести / Н. И. Безухов. М. : Высшая школа, 1968.

17. Белоцерковский С.М. Крыло в нестационарном потоке газа / С.М. Белоцерковский, Б.К. Скрипач, В.Г. Табачников. М.: Наука, 1971. - 768с.

18. Белоцерковский С.М. Численное моделирование в механике сплошных сред / С.М. Белоцерковский. -М.: Наука, 1984. 520с.

19. Бисплингхофф P.JI. Аэроупругость / Р.Л. Бисплингхофф, X. Эшли, P.JI. Халфман. М.: ИЛ, 1958. 860с.

20. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости / В.В. Болотин. -М.: Физматгиз, 1961. 339с.

21. Буйвол В.Н. Колебания и устойчивость деформируемых систем в жидкости / В.Н. Буйвол. Киев: Наукова думка, 1975. 190с.

22. Вельмисов П. А. Математическая модель одной гидроупругой системы / П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова // Труды Средневолжского математического общества, Т8, №2 Саранск, 2006. С.93-98.

23. Вельмисов П. А. Исследование динамики трубопровода с учетом запаздывания внешних воздействий / П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова // Вестник УлГТУ. 2004. №4.-С.26-29.

24. Вельмисов П. А. Исследование динамики упругого элемента датчика давления / П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова // Механика и процессы управления: Сборник научных трудов. Ульяновск: УлГТУ, 2004. - С.11-15.

25. Вельмисов П. А. Исследование колебаний упругого элемента датчика давления / П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова // Вестник УлГТУ. 2005. -№2. - С.20-22.

26. Вельмисов П. А. Математические модели механической системы «трубопровод датчик давления» / П. А. Вельмисов, В. Д. Горбоконенко, Ю. А. Решетников, Ю. В. Ходзицкая // Вестник УлГТУ. 2003. №1-2. - С.22-24.

27. Вельмисов П. А. Математические модели механической системы «трубопровод датчик давления» / П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова // Механика и процессы управления: Сборник научных трудов. - Ульяновск: УлГТУ, 2005. - С.28-34.

28. Вельмисов П. А. Математическое моделирование механической системы «трубопровод датчик давления» / П. А. Вельмисов, В. Д. Горбоконенко, Ю. А. Решетников // Датчики и системы. - 2003. - №6(49). - С. 12-15.

29. Вельмисов П. А. Об одной задаче гидроупругости / П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Всероссийской конференции. Самара, 2004. — ч2. - С47-49.

30. Вельмисов П. А. Об одной математической модели механической системы «трубопровод датчик давления» / П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Всероссийской конференции. - Самара, 2005. - ч2. - С.63-65.

31. Вельмисов П. А. Устойчивость вязкоупругих пластин при аэрогидродинамическом воздействии / П. А. Вельмисов, Ю. А. Решетников. Саратов : изд-во СГУ, 1994. - 176с.

32. Вельмисов П. А. Устойчивость вязкоупругих систем / П. А. Вельмисов, А. Д. Дроздов, В. Б. Колмановский. Саратов: изд-во СГУ, 1991. - 180с.

33. Вельмисов П. А. Устойчивость уравнений взаимодействия вязкоупругих пластин с жидкостью / П. А. Вельмисов, В. Б. Колмановский, Ю. А. Решетников // Дифференциальные уравнения. 1994. Т.30, Вып.11. -С.1966-1981.

34. Вельмисов П. А. Численное решение методами взвешенных невязок линейных задач математической физики : Учебное пособие / П. А. Вельмисов, А. С. Семенов. Ульяновск: УлГТУ, 2001 - 99с.

35. Вельмисов П.А. Об устойчивости решений уравнения, описывающего колебания трубопровода / П.А. Вельмисов, Ю.В. Ходзицкая // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции. Воронеж: Воронежский гос. ун-т, 2003. - С.54.

36. Вибрации в технике. Справочник в 6 томах. Т.6. — М.: Машиностроение, 1981.-456с.

37. Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа / А. С. Вольмир. Задачи аэроупругости. М. : Наука, 1976. - 415с.

38. Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем / А. С. Вольмир. М. : Гос. изд-во физмат, лит-ры, 1963. - 879с.

39. Галиев Ш. У. Динамика взаимодействия элементов конструкций с волной давления в жидкости / Ш. У. Галиев. Киев : Наукова думка, 1977. - 172с.

40. Гахов Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. М. : Наука, 1977.

41. Горшков А.Г. Взаимодействие ударных волн с деформируемыми преградами / А.Г. Горшков // Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела. М.: ВИНИТИ, 1979. ТЗ. - С. 105-186.

42. Горшков А.Г. Нестационарная аэрогидроупругость тел сферической формы / А.Г. Горшков, Д.В. Тарлаковский. М.: Наука, 1990. - 260с.

43. Григолюк Э.Г. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью / Э.Г. Григолюк, А.Г. Горшков. JL: Судостроение, 1976. - 200с.

44. Григолюк, Э. И. Устойчивость оболочек / Э.И. Григолюк, В.В. Кабанов. -М.: Наука, 1978.-360 с.

45. Демидович Б. П. Численные методы анализа / Б. П. Демидович, И. А. Марон, Э. 3. Шувалова. -М. : Наука, 1967.

46. Джагунов Р.Г. Пьезокерамические элементы в приборостроении и автоматике / Р.Г. Джагунов, А.А. Ерофеев. JI.: Машиностроение, 1986.

47. Заварыкин В.М. Численные методы: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов / В.М. Заварыкин, В.Г. Житомирский, М.П. Лапчик. -М.: Просвещение, 1990. 176 с.

48. Ильгамов М. А. Колебания упругих оболочек, содержащих жидкость и газ / М.А. Ильгамов. М. : Наука, 1969. - 184с.

49. Ильюшин А.А. Колебания прямоугольной пластины, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа / А.А. Ильюшин, И.А. Кийко // Вестник Московск. ун-та. Сер.1., 1994. №4. С.40-44.

50. Калиткин Н. К. Численные методы / Н. К. Калиткин. М. : Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1978. - 512с.

51. Канторович В. И. Приближенные методы анализа / В. И. Канторович, А. В. Крылов. Л.-М. : Гос. изд-во технико-теоретич. лит-ры, 1949. - 695с.

52. Клюшников В. Д. Лекции по устойчивости деформируемых систем: Учебное пособие / Клюшников В. Д. М. : Изд-во МГУ, 1986. - 224с.

53. Колкунов Н. В. Основы расчета упругих оболочек / Колкунов Н. В. М. : Высшая школа, 1987. - 256с.

54. Коллатц JI. Задачи на собственные значения / JI. Коллатц. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1968. - 504с.

55. Коренев Б. Г. Введение в теорию бесселевых функций / Б. Г. Коренев. М.: Наука, 1971.-287с.

56. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. М. : Наука, 1978. - 832с.

57. Кошляков Н.С. Уравнения в частных производных математической физики / Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов. М.: Высшая школа, 1970. -712с.

58. Лаврентьев М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. М. : Наука, 1987. - 688с.

59. Лаврик В. И. Справочник по конформным отображениям / В. И. Лаврик, В. Н. Савенков. Киев : Наукова думка, 1970. - 252с.

60. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа / Л. Г. Лойцянский. М. : Наука, 1973. - 847с.

61. Мовчан А.А. О колебаниях пластинки, движущейся в газе / А.А. Мовчан // ПММ, 1956. Т20. Вып2.-С.211 -222.

62. Мовчан А.А. Об одной задаче устойчивости трубы при протекании через нее жидкости / А.А. Мовчан // ПММ, 1965. Вып 4. С.760 - 762.

63. Могилевич Л.И. Прикладная гидроупругость в машино- и приборостроении / Л.И. Могилевич, B.C. Попов. Саратов: Изд-во СГАУ, 2003. 156с.

64. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом / А. Д. Мышкис. М. : Наука, 1972. - 352с.

65. Новацкий В. Динамика сооружений / В. Новацкий. М. : Гос. изд-во литры по строительству, архитектуре и строительным материалам, 1963. -376с.

66. Пановко Я. Г. Устойчивость и колебания упругих систем / Я. Г. Пановко, И. Г. Искра. М., 1967. - 420с.

67. Петунин А.И. Измерение параметров газового-потока / А.И. Петунин. М.: Машиностроение, 1974.

68. Писаренко Г. С. Колебания механических систем с учетом несовершенства упругости материала / Г. С. Писаренко. Киев : Изд-во АН УССР, 1970. -379с.

69. Писаренко Г. С. Методы определения характеристик демпфирования колебаний упругих систем / Г. С. Писаренко, В. Б. Матвеев, А. П. Яковлев. Киев: Наукова Думка, 1976. - 86с.

70. Покладова Ю.В. Динамика упругого элемента датчика давления рабочей среды в трубопроводе / Ю.В. Покладова // Механика и процессы управления: Сборник научных трудов. Ульяновск: УлГТУ, 2007. - С.51-56.

71. Покладова Ю.В. Математическое моделирование динамики упругого элемента датчика давления в трубопроводе конечной длины / Ю.В. Покладова, Ю.А. Решетников // Прикладная математика и механика: Сборник научных трудов. Ульяновск: УлГТУ, 2004. - С. 114-120.

72. Понтрягин Л. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л. В. Понтрягин. М. : Наука, 1982. - 332 с.

73. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в трех томах. Том 1. Под редакцией И. А. Биргера, Я. Г. Пановко. - М.: Машиностроение, 1968.-831с.

74. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник в трех томах. Том 3. Под ред. И. А. Биргера, Я. Г. Пановко. - М. : Машиностроение, 1968. -567с.

75. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю.Н. Работнов. -М.: Наука, 1988.-712с.

76. Рапопорт И.М. Колебания упругой оболочки, частично заполненной жидкостью / И.М. Рапопорт. М.: Машиностроение, 1967. - 357с.

77. Расчеты на прочность, устойчивость и колебания в условиях высоких температур / Под ред. И.И. Гольденблата. М.: Машиностроение, 1965. -567с.

78. Решетников Ю. А. О динамике упругого элемента датчика давления / Ю. А. Решетников // Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники. Труды международной конференции КЛИН-2005. - Ульяновск : УлГТУ, 2005. Т.4. - С.201-204.

79. Самарский А. А. Введение в численные методы / А. А. Самарский. М. : Наука, 1982.-272с.

80. Самойленко А. М. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи / А. М. Самойленко, С. А. Кривошея, Н. А. Перестюк. Учеб. пособие. 2-е изд. - М. : Высшая школа, 1989. - 383с.

81. Светлицкий В.А. Механика трубопроводов и шлангов: Задачи взаимодействия стержней с потоком жидкости или воздуха / В.А. Светлицкий. М.: Машиностроение, 1982. - 280с.

82. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики / Л.И. Седов. -М.-Л.: гос.изд-во технико-теоретич. лит-ры, 1950. 443с.

83. Сергеев С. И. Демпфирование механических колебаний / С. И. Сергеев. -М.: Физматгиз, 1959. -408с.

84. Справочник машиностроителя (в шести томах) / Под редакцией Н. С. Ачеркана. -М. : Машгиз, I960. 740 с.

85. Справочник по динамике сооружений / Под редакцией Б. Г. Коренева, И. М. Рабиновича. — Стройиздат, 1972. 511 с.\

86. Справочник по специальным функциям / Под редакцией М.Абрамовица и И.Стиган. М.: Наука, гл.ред.физ-мат.лит., 1979. - 832с.

87. Станюкович К. П. Неустановившиеся движения сплошной среды / К. П. Станюкович. М. : Наука, 1971. - 856с.

88. Степанов А. П. Упруго-пластическое деформирование гибких пластин при циклическом нагружении / А. П. Степанов // Динамика и прочность машин. -Харьков, 1983. Вып.38. С.19-23.

89. Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний / С.П. Стрелков. М.: Наука, 1964.-440 с.

90. Субботина Е. П. Сборник физических констант и параметров / Е. П. Субботина. Л. : Изд-во ЛГУ, 1967.

91. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле / С. П. Тимошенко, Д. X. Янг, У. Уивер. Под ред. Э. И. Григолюка. - М. : Машиностроение, 1985.-472с.

92. Тимошенко С. П. Пластинки и оболочки / С. П. Тимошенко. М. : Гостехиздат, 1948.-453с.

93. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. М. : Наука, 1972. - 735с.

94. Томпсон Дж.М.Т. Неустойчивость и катастрофы в науке и технике / Дж.М.Т. Томпсон. М.: Мир, 1985. - 254с.

95. Турчак Л. И. Основы численных методов: учеб. пособие / Л. И. Турчак. М.: Наука, 1987.-320с.

96. Феодосьев В.И. О колебаниях и устойчивости трубы при протекании через нее жидкости / В.И. Феодосьев// Инж.сб. Изд-во АН СССР. 1951. Т.10. С.169-170.

97. Фын Я.Ц. Введение в теорию аэроупругости / Я.Ц. Фын. М.: Физматгиз. 1959.-490с.

98. Ходзицкая Ю.В. Исследование динамики трубопровода / Ю.В. Ходзицкая // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Казань. 2002. Т18. С.96.

99. Челомей С.В. О динамической устойчивости упругих систем при протекании через них пульсирующей жидкости / С.В. Челомей // МТТ. 1984. №5. С. 170-174.

100. ПЗ.Шклярчук Ф.Н. Колебания упругой оболочки, содержащей тяжелую сжимаемую жидкость / Ф.Н. Шклярчук // Сб.науч.докл. Колебания упругих конструкций с жидкостью. III симпозиум. Новосибирск, 1976. М.: Волна, 1976. с.386 - 396.

101. Dowell Е.Н. Aeroelasticity of plates and shells / E.H. Dowell. Leyden: Noordhoff Internat.Publ. 1975. 139p.

102. VePmisov P. A. An investigation of mathematical models "Pipe-line Pressure Sensor" / P. A. Vel'misov, L. V. Garnefska, V. D. Gorbokonenko // J. "Application of Mathematics in Engineering and Economics". Sofia: Heron Press. 2002. - P.542-548.

103. Vel'misov P. A. An investigation of mathematical models of a mechanical system "Pipeline-Pressure Sensor" / P. A. Vel'misov, Yu. V. Pokladova // Romai Journal. Pite§ti, Romania. 2005. v.2, №1. P.219-214.

104. Vel'misov P. A. Investigation of dynamics of an elastic element of a pressure sensor / P. A. Vel'misov, Yu. V. Pokladova // Applications of Mathematics in Engineering and Economics. Soft trade, Sofia, Bulgaria. 2006. - P.51-57.

105. Vel'misov P. A. Mathematical models of a mechanical system "Pipeline -Pressure Sensor" / P. A. Vel'misov, Yu. V. Pokladova // Applications of Mathematics in Engineering and Economics. Soft trade, Sofia, Bulgaria. 2005. -P.84-89.

106. Vel'misov P.A. Investigation of the asymptotic stability of a pipeline in the presence of delay in time / Vel'misov P.A., Garfneska L.V., Milusheva S.D. J."Rev.Mat.Estat.", v. 19, Sao Paulo, Brasil. 2001. P. 159-178,.