автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование в задачах устойчивости вязкоупругих элементов тонкостенных конструкций при аэрогидродинамическом воздействии

На правах ругопгса

Вепьмнсов Петр Александрович пг5 ОД

2 о т нт

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ ВЯЗКОУПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ АЭРОГИДРОДИНАМИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Специальность 05.13.16 Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора фдазико-математических наук

Ульяновск 2000

Работа выполнена в Ульяновском государственном техническом университете

Официальные оппоненты доктор фивико-математически

наук, профессор А.С.Андреев

(УГУ, г.Ульановск)

доктор фшзико-математичесхи наук, профессор В.А.Иванов (КГТУ, г .Казань)

доктор технических наук, профессор Л.Й.Могилевич (СГУ, г.Саратов)

Ведущая организация: Саратовский государственны

технический университет

Защита диссертации состоится " " ^иа^тл 2000 г. в ^ часо: на оаседакии диссертационного совета ДР 004.21.29 в Ульяновском государственном техническом университете по адресу: 432027, г. Ульяновск, Северный Венец, 32

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского го сударствешюго технического университета

Автореферат раоослан "_"_2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор технических наук, профессор шу В.Р. Крашенинников

'Щ

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Важной народно-хозяйственной проблемой во многих отраслях техники является повышение надежности и продление сроков службы конструкций, взаимодействующих с потоком жидкости или гаоа. Такая проблема, в частности, вооникает при конструировании летательных аппаратов, антенных установок, датчиков давления, турбин, гидротехнических и высоких наоемных сооружений, трубопроводных систем, проточных каналов различного назначения и т.д. При проектировании подобных конструкций одним ив важнейших является вопрос об устойчивости колебаний деформируемых элементов, так как воздействие потока может приводить к увеличению амплитуды и (или) скорости колебаний, и, тем самым, их разрушению. В то же время для функционирования некоторых технических устройств (например, вибрационных устройств, используемых для интенсификации ТбХНОЛОГИЧбСНЖХ Процессов) ЖВДбШаб возбуждения хойсбзнии при аэрогидродинамическом воздействии, указанное выше в качестве негативного, является необходимым. Поэтому при проектировании соответствующих конструкций и устройств необходимо решать задачи, связанные с определением характеристик, требуемых для их функционирования и надежности их эксплуатации.

Исследованиям динамики деформируемых тел, взаимодействующих с потохом жидкости или газа, посвящено большое количество отечественных (В.Н.Антонов, С.М.Белоцерковский, В.ВЛЗопотин, А.В.Вес-тяк, А.С.Вольмир, Ш.У.Галиев, А.Г.Горшхов, Э.И.Григояюх, А.Н.ГУоь, С.Й.Девпин, М.А.Ияьгамов, А.А.Йиьяявнн, И.А.Кийхо, В.Д. Кубенко, Р.Е.Лампер, А.А.Мовчан, Ю.Н.Повичков, Я.Г.Пановко, В.Й.Смирнов, Д.В.Тарлаковсган, К.В.Фропов, Л.Г.Шандаров, Ю.Ю.Жвейко и др.) и зарубежных работ (Р.Л.Бисплингхофф, Е.Х.Доуелл, Дж.У.Майлс, Г.Фершинг. Я.Ц.Фын. Р.Л.Халфман, Х.Эшзш и др.). Работы В.А.Све-

— Г> ХЗ И П 1ШТ/----------------

ъ'.и. и.хд.^си^ихлэсда, д др. пиияд-

щены исследованию динамики трубопроводов.

Существенным фактором, влияющим на прочностные характеристики деформируемых тел, является старение материала (изменение его физико-механических свойств с течением времени). Хорошо разработанной является модель стареющего аяокоупругого тела, согласно которой напряжение в любой точке тела зависит от предыстории деформирования материала в данной точке, а связь между напряжением и деформацией подчиняется уравнению Вольтерра-Фойхта. Фундаментальные результаты в теории вяакоупругости и устойчивости вяохсуяругих тел ноясжекк в работах К.Х.Аруткжнна, А.А.Ияькшшна Л.М.Качанова, В.Д.Клюшникова, В.Б.Колмановского, М.А.Колтунова, В.А.Пальмова, Б.Е.Победри, Ю.Н.Работнова, А.Р.Ржаницына и др.

Невозможность в оадачах аерогидроупр угости определения силового воодействия потока на обтекаемое деформируемое тело до решения оадачи об определении его деформации (математически вто выражается в том, что совместное движение тела н жидкости или гаоа описывается связанной системой дифференциальных уравнений для фун-

"" ТТрОГИбО!; К С5рОГ2ДрОДНН23ШЧеС»НХ фуНКЦНН) Е УЧИТ ЬаЭХОуПру-

гих свойств материала (что приводит к появлению в уравнениях движения тел дополнительных интегральных членов) увеличивают сложность решения оадач о динамике и устойчивости вяокоупругих конструкций при аэрогидродинамическом воздействии, не позволяют использовать некоторые классические подходы и приводят к необходимости рапрпйотки специальных методов исследования, отличающихся от методов расчета деформаций упругих элементов конструкций при оаданных нагрузках.

Аналитические (в т.ч. приближенные аналитические, численно-аналитические) решения явно содержат основные параметры механической системы, и в таком виде они наиболее приспособлены для решения оадач оптимизации, автоматического управления, автоматизированного проектирования, а также для работы в диалоговом режиме с ЭВМ, что существенно повышает эффективность их использования. Определение требуемых свойств конструкций осуществляется

на основе вычислительного эксперимента. В то же время такие решения получены лишь для некоторых классов оадач аорогидроупр угости. Поэтому разработка аналитических и численно-аналитических методов, ориентированных на решение широкого класса новых оадач динамики и устойчивости вяокоупругих конструкций в потоке гаоа (жидкости), является актуальной научно-технической проблемой.

Цель работы. Целью работы является решение научно-технической проблемы соодания на основе математического моделирования (эффективных математических методов исследования динамики и устойчивости аэровяохоупругих тонкостенных конструкций применительно к проблеме повышения надежности и продления сроков службы, а также соодания новой техники. Для достижения указанной цели в работе решаются следующие о адата:

1. Построение математических моделей применяемых в технике вяокоупругих тонкостенных конструкций, взаимодействующих с по-

тлтон ЖИДКОСТИ 225

2. Раоработка методик решения обратных краевых оадач аэрогидромеханики, поовопяющих свести решение соответствующих оадач аэрогкдроупругости к исследованию уравнений для деформаций;

3. Раоработка аналитических и численно-аналитических методов решения начально-краевых задач аэрсгидроупрутостз а исследование па кх основе дккамнкк и устойчивости вявкоупругих оиементов тонкостенных конструкций, взаимодействующих с потоком жидкости (гаоа).

Методы выполнения исследований. В диссертационной работе испояьоуются методы математического анализа, теории дифференциальных уравнений, математической физики, теории устойчивости, асимптотические методы и модели механики сплошных сред, численные методы, методы математического моделирования. Принятые в работе определения динамической устойчивости вяокоупрутого тела соответствуют концепции устойчивости динамических систем по Ля-

пунову. Аэрогидродинадгаческое воодействие определяется ио асимптотических уравнений движения жидкости или гаоа в модели идеальной среды.

Достоверность подученных в диссертации результатов обеспечивается строгостью математической постановки оадач и математических преобразований при получении аналитических решений, согласованием аналитических реоультатов с реоультатами численного эксперимента, оценкой погрешностей численного моделирования, а также

СиГЛаСОВаШЮСТЬЮ С роЗуНЬТлТйМИ ДруГКХ аВТСрОВ.

Научная новиова работы:

1) Построены новые математические модели тонкостенных конструк ций с вязхоупругими элементами при аврогидродинамичесхом воздействии, отражающие расширенный спектр механических и геометрических свойств исследуемых объектов и характер их взаимодействия, для следующего класса оадач:

а) о динамической устойчивости вяокоупругих элементов стенок какала ври протекании дозвукового потока (колячество элементов я места их расположения - произвольные);

б) о динамической устойчивости вязхоупругих элементов крыловых профилей при дозвуковом обтекании (при произвольных количествах и местах расположения элементов);

в) о динамике, динамической устойчивости или статической неустой-"ппОСТд (блфураоЦйй) вязкоупругого j" а г' упругого трубопровода е его вяокоупругих элементов;

г) о динамической устойчивости и статической неустойчивости упру того элемента конструкции, обтекаемой сверхзвуковым потоком гада;

"пЛ л ппиймштйгтлп wrrturauuA/'Tg оenTAVtrmn^mw отто»#оттто ттппутпй

i'v " I»---------- ---------- -<------ -------- " J i-J - —--"--J-i--^ ----- —

поверхности при обтекании дозвуковым потоком без отрыва, с отрывом и с линией контактного разрыва;

При построении моделей проводится учет старения и неоднородности материала деформируемых элементов, взаимодействия их с потоком и вязкоупругими неоднородными основаниями, влияния продоль-

ных усилий и нелинейных внешних воздействий. На основе этих моделей проведены исследования динамической устойчивости (статической неустойчивости) вязкоупругих (упругих) элементов конструкций.

2) Раоработаны методики решения краевых оадач дозвуковой аеро-гидромеханики (в модели идеальной несжимаемой среды) с граничными условиями, содержащими неизвестные деформации элементов, пооволяющие исключить аэрогидродинамические функции и свести решение оадач аэрогидроупругости к исследованию систем интегро-дифференциальных уравнения для деформаций:

3) На основе построения функционалов для связанных систем интег-ро-дифференциальных уравнений раоработаны аналитические методы исследования динамической устойчивости вяокоупругих элементов сложных тонкостенных конструкций, взаимодействующих с жидкостью или газом, позволяющие эффективно проводить их оптимизацию с точки орения устойчивости.

4) Разработана методика приближенного аналитического исследования ЯЕнамЕкг н устойчввосхс ааогоупругих зшмешов консгрукцвсн.

5) Раоработаны методики исследования статической неустойчивости (бифуркации) пластины в сверхзвуковом потоке газа и трубопровода.

6) Создан метод исследования динамической устойчивости нелинейных трансзвуковых течеявй гаяа и движения вязкой жидкости в областях с деформируемыми грашщгшя.

7) Создан чэсленно-аналитнческнй метод, включающий модель, алгоритмы и соответствующие компьютерные программы исследования динамики и устойчивости вязкоупругих элементов трубопровода, позволяющий определять значения параметров механической еиг.темы, соответствующие как устойчивости, так и неустойчивости колебаний.

Практическое оначение работы заключается в том, что разработанные математические модели ж методы позволяют усовершенствовать теоретическую базу современного проектирования взаимодействующих с потоком жидкости или газа вязкоупругих тонкостен-

ных конструкции и соответствующих технических устройств, повысить уровень расчетного анализа взаимодействия, и тем самым сократить время и средства, затрачиваемые на натурные эксперименты, а в некоторых случаях заменить их аналитическими оценками или проведением компьютерных исследовании. Полученные в работе результаты углубляют представление о механических процессах взаимодействия деформируемых тел с газожидкостными средами и имеют практическое значение для развития методов расчета аэроупругих конструк-

H1IW

А пробация работы. Основные результаты работы докладывалась на: Всесоюзном научном совещании "Методы малого параметра", Нальчик 1987 г.; Всесоюзной конференции по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений, Душанбе, 1987; первой Всесоюзной научно-технической конференции "Математические методы анализа и оптимизации зеркальных антенн различного назначения", Свердловск,1989; 4,5,7,9 Саратовских зимних школах по теории фун-

vrr»TT» n mtn^KwwMnrñ I ПО О 1ЛЛЛ lArti 1ПП п, Ti ______ " ____

— ■ • i г 1 Г - - < ■ П1 1ЧУ1; тг ;г , UvCU/£/UÍiUJÍ bSÍH"

ференции "Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики, Владивосток, 1990; 15 Всесоюзной шкоде по теории операторов в функциональных пространствах, Ульяновск, 1990; Всесоюзной конференции "Актуальные проблемы прикладной математики", Саратов, 1991; шкал« "Современные методы в теории краевых аа-дач(иеяиипттогп анализа)", Воронеж, 1992(1935); научном совещакщ? "Термовязкоупругопластичесхие процессы деформирования в элементах конструкций", Украина, Кажев, 1992; VIII конференции (СНГ) "Качественная теория дифференциальных уравнений", Самарканд, 1992; III симпозиуме "Устойчивость и пластичность в механике деформируемого твердого тела", Тверь, 1992; II совместном по СНГ семинаре "Гидродинамическая устойчивость в турбулентность", Алма-Ата, 1992; VI,VII Четаевских конференциях "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением", Казань, 1992, 1997; школе "Теория функций. Дифференциальные уравнения в математическом моделиро-

вании", Воронеж, 1993; Международной конференции "Ньютон и проблемы механики твердых и дефромируемых тел", Санкт-Петербург, 1993; IV-X математических школах "Понтрягинские чтения", Воронеж, 1993-1999; конференции "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики - вторые Боголюбовские чтения", Киев, 1992; Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем", Киев, 1993, 1994, 1995, 1996, 1997, 1999; школе "Современные проблемы механики и математической физики (и прикладной математика)", Воронеж, 19S4(1S98); The 25,26,27 th Israel Conferences on Mechanical Engineering, Tedmion, Haifa, 1згае1(Иораиль), 1994, 1996, 1998; Российской научной конференции "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах", Тверь, 1994; 1,2,3 международных конференциях "Дифференциальные уравнения и их приложения", Саранск, 1994, 1996, 1998; второй международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы фундаментальных

1*»««» 1<ММ* И'пгтп'чгтаг тлвАамопв«. "Ma

тематическое моделирование и краевые задачи", Самара, 1995-1999; международной конференции "Математические методы в химии и химической технологии", Тверь, 1935; The Third International Congress on industrial and Applied Mathematics, Germany (Германия), Hamburg, 1935; зимних математических школах "Современные методы теории функция я смежные пробясмы(прнкдаднон математизш н механика)", Воронеж, 1997(1995); The sixth, eighth International Colloquiums on Differential Equations, BuIgaria(EonrapHs). Plovdiv, 1995, 1997; International Conference "Nonlinear Differential Equations", Kiev, 1995; международном семинаре "Дифференциальные уравнения и ях приложения", Самара, 1996; Third Conference on Applied and Industrial Mathematics, Romai(PyMHHHa),Oradea-Chisinau, 1995; международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Специальные функции", Самара, 1S97; XXI - XXIV Summer Schools "Application of Mathematics in Engineering", ВиЬ;апа(Болгария), Varna,

Sozopol, 1995-1998; международной конференции "Численные и аналитические методы расчета конструкции", Самара, 1998; Thiîd European Nonlinear Oscillation Conference, Denmark(Дания), Copenhagen, 1999, a также на конференциях, проводимых в Ульяновском гос. техническом университете и Ульяновском гос. университете.

Реализация результатов работы. Исследования, представлении в диссертации, внедрены в рамках проектов: "Раоработка моделей деформирования и методов расчета тонкостенных конструкций с учетом старения, аорогидродннамичсского и теплового воадействия"(межвузовская научно-техническая программа "Сохранение научных школ" (шифр 100), подпрограмма "Динамика" (шифр П.Т. 109), 1992-1997гг.); "Устойчивость тонкостенных конструкций при аэрогидродинамическом воздействии" (грант РФФИ N 98-01-03286, 1999-2000 гг.); "Динамика и устойчивость вязкоупругих конструкций при аэрогидродинамическом воздействии" (заказ-наряд Управления финансирования научных исследований Министерства общего и профессионального образования РФ, 1999г.)» a Tasse в ранках госбюджетной ЕЖР "Исследования по дифференциальным уравнениям и механике сплошных сред" в Ульяновском гос. техническом университете. Модели и методы исследований динамики и устойчивости упругих элементов конструкций, разработанные в диссертации, использованы в НИИ интегральных датчиков, г.Укьяновск, х/д НИР N 7-87/90 "Исследование динамики упругих элементов датчиков с учетом теплового 2 гядродвпа мического воздействия"(номер гос.регястрацни 01900062844), 1S90 г.; в СКБ "Пульс", г.Ульяновск, х/д НИР N 7-26/91 "Динамика упругих элементов емкостных датчиков давления с учетом теплового воздей-ствия"(номер гос.регистращш 01910051734), 1991 г,;вЭОКБ "Сигнал", г. Энгельс Саратовской области, х/д НИР N 7-51-92 "Раоработка математической модели динамической системы "трубопровод-емкостной датчик давления"(номер гос.регистрацаи 01920017123), 1992 г.

Результаты работы используются в учебном процессе в Ульяновском государственном университете при проведении спецкурсов "Аэ-

рогидродинамика" и "Аорогндроупругость".

Публикации. По теме диссертации опубликовано 181 работа, в том числе 3 монографии (2 в соавторстве), 65 статей, 3 авторских свидетельства на изобретения, 1 учебное пособие.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, десяти глав, заключения, списка литературы из 353 наименований и приложений, Общий объем работы 330 страниц, основной текст изложен на 300 страницах. Диссертация содержит 67 рисунков и 1 таблицу.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цель и задачи исследований, научная новизна и практическая ценность полученных результатов, приведены сведения об использовании, реализации и апробации результатов работы, структуре диссертации.

г*____u ______ ^ v _

а цсраов глайе иссмеду^тса оадача о днназшческаи устойчивости вязкоупругих пластин-элементов стенок бесконечно длинного канала, через который протекает поток жидкости или газа (рис.1, а -с», b -* too). Количество и места расположения элементов на стенках произвольные.

Уо

V

О

а

II II

I I II

II II ьц \ .....

b

Рис.1. Канал, стенки которого содержат деформируемые алемецты. Математическая постановка задачи имеет вид:

А<р = <рхх + (руу = 0, (ж,у)б{(х,у)е Л2: |г| <оо, 0< у<у0}; (1)

11

ipy(x,Q,t) = 0, xe (~oo,ai]|J | II K*> eafc+i] j UK»«>);

(2)

/m-1

V,s(x>°>*)~lijk(x't) + Vwk,(x»t)' k=l + n, (4)

tpy(x,yo,t) = w£(x,t) + Vwf(x,t), x e {hk-иЬзк), bum; (5)

H + <U±oo = 0' M*~« = Q> ye(0,y0); (6)

Lt(wi)= ^(Ых>Уо,1)+У¥>4х>!/о/)) e (b2k-iAk),k=l+m; (7)

Lk(wk )=P{<Pt(xfi,t) + Vtps(x,04))tx e (o2i_i,a2i),«=l^n; (8)

(9)

j *"2АЛ"' ' »-/'"'Vi • I

„Л !

' j '

— -i - \ > . 4-/ _! • \

-W»(x,t)

4

Aif j w'2(x,t)dx + ^~ f w'2(x,t)dx .

В выражениях для Lf[w) под v)(x,t) следует понимать wf(x,t), cf -ct — к- Здесь и в дальнейшем штрих обозначает производную по х, а точка - праиоводную по t; индексы x,y,t снизу - производные по координатам хьу и времени t; р - плотность гаяа(р = const); V - скорость однородного невоомущенного потока; Df - иогибные жесткости деформируемых элементов - вяэкоупругнх пластин; й^г, т, i), т, {) -ядра релаксации, характеризующие вязхоупругне свойства материала пластин и их оснований (Щ{ = гДе Q% ' меры релаксации); - погонные массы пластин; - сжимающие (растягивающие) пластины силы; Bfk.Bfk - коэффициенты внутреннего (пластин) н внешнего (оснований) демпфирования; - коэффициенты. жесткости оснований; t, ш), ш, и>) - другие нелинейные силы, действующие

4

о

на пластины (например, нелинейные составляющие сил реакции и демпфирования основания или внешние управляющие воздействия); интегральные члены с коэффициентами [if, (/if > 0, vf > 0 - const) учитывают нелинейное продольное усилие; онаки (±) соответствуют верхней и нижней стенкам. Неизвестными функциями являются tp(x,y,t) - потенциал скорости возмущенного потока гаоа и функции wf(s,t), описывающие деформации (прогибы) пластин (е< 1, рис.1).

На основе методов ТФКП (теории функций комплексного переменного) решение задачи сведено к исследованию системы уравнений для определения неизвестных функций прогибов.

п ( " at . , ™ ¥

= ~ £ / (wt+Vw^K^dr-i: / (wi + Vwt')x *К*т,х)*г(± 7 {^^ОЩ^^Г- (10)

/ \k~la-ik-i

~t ] № + V О 9Kil'X>dA . «ам < « < a«, *= 1 + »; fc=1iji-i /

fl ( n *? . я»

- - ^ j ^ + vwk ) —(11)

/ \ 'v—idai-i

4

+ £ + i < г < ¿24» k~ 1 + m;

J^T,*)^

— ТГД^ —7Г&1

e Ь'о Ь'о

-XT -?rs e Уо

, 1Г2(т,х)=1п

=£2i t г Уо +e г/о

-7Г7" — ТТЛ!

Па основе исследования функционала, построенного для этой системы ур&вкокин, доказана сящующая теорема об устойчивости вяэкоуиру-гих элементов стенок канала

ТЕОРЕМА 1. Пусть концы элементов закреплены жестко (iu = to' = 0) или шарнирно (и; = w" = 0), меры релаксации при 0 <т <t удовлетворяют условиям

®(z,r,i)>0, *gjjf.(z,r,t)<0, l-K?±(i,Q)oo)>0, (12) и выполняются неравенства

Mt > ^fs $ > 0(j = о, 1,2), < 0, ATjfc > 0, i ± "t* < - / > о, /

0 0 (13)

wfgHx^wftwf) >0, xt= (b-ifc-iA/fc) я <= (^¿„¡^^для'-',

в которых

Df= mf JD+(x)(l + Q+.(a;,0,oO)),JV+,= supA^M), * 6 [^,^,¡>0, Dr*- шГДГ(г)(1 + <3«(г,0,оо)),Л"{-*= sup JNr(x,t),xe [«2,-1,02,],« > 0,

Syt

m l}> * \

£ / / К*(т,х)*г , i = l + m,

Kf — sup

iff = sup

' п а1> 7л \

£ / ^ / #3(г,®)йг , » = 1 + «,

наименьшие собственные значения краевых задач для уравнения ф1У{х) — ~\ф"(х) с указанными граничными условиями. Тогда решения системы уравнений (10),(11) устойчивы по

отношению к возмущениям начальных значений скоростей в кривтак ™а;> (г= 1-мтг), (г = 1+га).

Области устойчивости в плоскостях (V, iV¿t*) ограничены вертикальной осью V = 0 и ветвями парабол, направленных вниз.

Во второй главе исследуется задача о динамической устойчивости вязкоупругих элементов стенок канала конечной длины (рис.1).

Количество и места расположения элементов на стенках произвольные.

В случае задания в граничных сечениях продольных составляющих скорости математическая постановка задачи имеет вид (1)-(9), при замене (-оо),(+оо) в (2), (3) на а, Ъ, а также замене условий (6) следующими условиями:

¥>*(а>гМ) = 0. tpt{bty,i) = 0, уе[0,у0};

(14)

Первый метод исследования этой задачи предполагает представление точного решения уравнения .Лапласа для потенциала скорости tp в виде

<p{x,y,t)=Ho{t)y+ £ [C7i(t)eA«'+irk(t)e-A"'] cos Хк(х - а), Л4=р-.

к-1 "~а

Решение задачи сведено к исследованию системы уравнений для функций прогибов

2р ^ cos Aii-c — о)

6-o^i Afcsh(Afcy0)

та

j {&[т V wf ) cos Ai(x - a 'jdx-

s у

- ch(Afcyo) J2 J +V wi )cosAj.(a:-a)dx

i=l<l3i_I

hi

2pV Л sin Ak(x - a) ^ (15)

x £ J (wf + Vwf)aisXk(z-<i)dz B T (

- ch(Afct/o) J {rbr+ Vwf)cosXk{x~a)dx

i=h»i_i

, же(о2/_ьо2,-),

m **

TH

+V wf') cos - a)dx - ]C / (wf + V wf')CQS ~

i=la3i_i

2pVr Л sinAi(a; - o)

+ T- / • ----«-

+

(16)

chfAtr/n'lV I (wf + Vvsf )vos\k{x-a)dz-

л у

" Е У («Т + У ШгГ ) 008 М® ~ ' Ж 6 (62;-Ъ М'

п

В «31 щ

/ + / К + ^О ¿х

т Ь?

На основе построенного для отой системы функционала доказана ТЕОРЕМА 2. Пусть концы элементов (закреплены жестко или шар-нирно, меры релаксации удовлетворяют условиям (12) и выполняются неравенства

в которых х е (гы-1Аь)для'+\ х е (а2<;_ь аз*)

0+ = т(Ь2»-1 - Ь2{)> вт = п(а2;_1 - а2»)> = 1п{2?+(х)(1 + (]+(Хь0,«)), 8ир^(х,*), х 6 [621_ь 62£],I > О,

1,4

£Г~ ЫДг(гУ1 + (Эг/г.О.со')). ,А/~*= япр е [^¿_ьа2г],г > О,

А£, А^- наименьшие собственные значения краевой (задачи для уравнения ф1У(х) — ~Хф"(х) с указанными граничными условиями. Тогда решения wf(xit))w¡'{xit) системы уравнений (15),(16) устойчивы по отношению к возмущениям начальных значений ш^, (г = 1ч-ш), (» = 1+«).

Области устойчивости в плоскостях (V, АГ;±*) определяются неравен-

ствами Я** < ег - у < ^о = ), ег > 0, > 0.

А н алогичные результаты имеют место в случае совместных колсба

ний жидкости (газа) в канале прямоугольного сечения, одна из стенок

(17)

которого содержит произвольное количество произвольно расположенных прямоугольных элементов.

Второй метод, предполагающий использование ТФКП для решения этой задачи, приводит к исследованию системы уравнений для функций прогибов, совпадающей по внешнему виду с системой (10), (11), но при других выражениях для интегральных ядер К\, К2.

ТЕОРЕМА 3. Пусть концы элементов закреплены жестко или шар-нирно, меры релаксации удовлетворяют условиям (12) и выполняются неравенства (13). Тогда решения (г,г) системы уравнений

дм функций прогибов устойчивы по отношению х возмущениям начальных значений №^"({=1-гт), (¿=1-мг).

По сравнению с первым методом решения задачи снимается ограничение V < Ц), но возникает ограничение на отношение плотностей материала пластин и газожидкостной среды.

С помощью применения первого метода проведены аналогичные исследования для плоского и трехмерного каналов прямоугольного сече-ттпз прз задании в гракнчкых сечепидх потенциала скорости.

В третьей главе исследуется устойчивость колебаний вязкоупру-гих стенок канала конечной длины, в начальном и конечном сечениях которого задано давление среды. Задача формулируется следующим образом:

+ г„ ~ о, (х, у) = {(х,у) € Я2 : 0 < X < 1,0 < у < Уо};

гу{х,0,0 = + 2УЦ + У2®!, X € (0,0;

2у(х,Уо,г) = щ + 2УгЫг + х € (0,/);

Цщ) = Рг(х,0,0, «б(о,0; Ц«;2) = *е((М);

Ь{юк) = В - I + Мщ + Лг(0<+

/ « \

+ + Шюк + Ш ^- / Я2(т,*)»4(х,г)«1г| (к = 1,2), (18)

где = -р{<£>1 + У<рх) - давление жидкости; <р(х,у^) - потен-

циал скорости; Ш! (х, <), ш2(х, <) - функции, определяющие отклонения стенок канала от положений у = 0 и у = уа) коэффициенты Д, Л/,/?2 -постоянные.

Предполагая, что концы пластин закреплены шарнирно, и применяя первый метод (глава 2), для определения прогибов пластин - стенок канала получим уравнения

I

1р¿1 ъЩкУо)

щ + + ¿ lh?XVÍ / lL(®i)+Z;(®»')ch(Ati(b)] sinXkzdz,

o

(19)

где Afc = ЫЦ\ ij = 1,2, i £ j.

ТЕОРЕМА 4. Пусть при 0<r<t выполняются условия

^(П.)<0, ^«МХ»,

N > sup *

DA^(0,<) + §(1 + Qa(0,t)) +

{„л, .

Тогда решения системы уравнений (19) устойчивы по отноше-

нию к возмущениям начальных значений прогибов «7,-(ж,0) и скоростей иф,0)(» = 1,2).

Получены также условия устойчивости колебаний вяокоупругой стенки плоского и трехмерного канала прямоугольного сечения, в предположении, что другие стенки являются недеформируемыми.

В и ..

четвертой главе исследуется динамическая устойчивость вяз-коупругих элементов тонкостенной конструкции - модели профиля крыла с малой массой, составными элементами которого являются п произвольно расположенных вязкоупругих ояемектсв. Крыло обтекается неограниченным дозвуковым потоком газа (рис.2).

ai % y-m

Рис.2. Поперечное сечение крыла. Математическая постановка оадачи имеет вид:

&<р = 1рхг + (руу = 0, (x,y)eG= R2\[c,d\, <pf(x,0,t) = Дт tpy(x,y,t) = Vjf{x), x e (с,в!), ipf{x,0,t) = + ж € (a2A_i ,a2jt),

Vf = V/£./(e), ж e (a2k)a2k+x), к = 1 + (n - 1), i = у (i t, x e (e;-}d), (*£ + $ + ¥>?),» = 0, = Pivt ~ <pr)+pv((p+ ~<pg),xe (0ц_1,a2k),к = 1 --n,у = 0,

+

(Ч'ОМ)-/ Яи(«,г,<К(г,г)А-J

t

-i-i!.f. f^WC.* Aj-ГЛГ

r

М/ / .S . . ■ ..... , .

у ы^ (x,i)ux-t-j шк = U.

fli Ь-1 &31-J '

da-it t ■•>..'

1

«si-i

Здесь /^(г)(Дг = 1-г(п.-г1)) - заданные функции, определяющие форму недеформируемых частей профиля, уравнения которых у — 1к(х),у = у/е, £ <1. Неизвестными функциями являются - потенциал

скорости воомущенного потока газа и функции шЦх^) (й = 1 ч- п),

описывающие деформации (прогибы) пластин, уравнения которых у —

На основе методов ТФКП в предположении, что а) задача линейная (тогда /*(я) - произвольные), или б) задача нелинейная (тогда = решение оадачи сводится к исследованию системы уравнений

£*(»,-) = -"£ / (щ + Ущ')К(т,х)<1т-

У^ + УъЧЩ^Ь.Ь, *е<<*-ь«*), (21)

г,,£

| у (а; - с)(й — т) - у (г - с)(<£ - х) | С помощью построенного функционала доказана теорема ТЕОРЕМА 5. Пусть концы элементов закреплены жестко или шар-нирно 0 или и)А(а;^) = шА"(а;,<)=0,а;=а2А;_1,а;=а^),

МРом Прдякояпии Оч(г. т — 1 ПТУИ П < т <" < />.-•,<■ 2 <* л--

удовлетворяют условиям (12) и выполняются неравенства

А г > о, А,- < о, А,- > о, > о, щ > о,

ад О

а2у

1 h;(x,t,z)dz>Q, / i = 1 - п.

^...... j at ~ '

гдe Ki— sup t K{T,x)dT,i — 1-f-n;

D.-psipf ftfaVl + te. Л. олУ>: V,»=«un x * f/»- i.ip'O -v~V

^ ~ »- -- \ • v- т i ^ - i v - / , ■ t ... i / «.J , — t - > ' - , i

X,t

Ait-наименьшие собственные значения краевых задач для уравнения \pIV(x) = -Аф"(х) с граничными условиями, соответствующими указанным типам закрепления. Тогда решения •z>i{x>t) системы уравнений

(21) усхой-iiujbi ло огнишшию л ндамущениям начальных значений скоростей и кривизн tb0{ = щ(х,0), togj = 0) (г = Un).

В диссертации приведены примеры расчета критических скоростей рассмотренной конструкции.

Аналогичные результаты имеют место для бесконечной решетки расположенных параллельно потоку синхронно колеблющихся пластин.

В пятой главе рассматривается задача о динамической устойчивости вязкоупругих элементов тонкостенной конструкции - модели крылового профиля, допускающей наличие рассекателя впереди и закрылка позади него (рис.3).

~ Г %

у=Г (х) +яг[ (х,()

у = Г(х)

У=Г(г)

Рис.3. Крылозоа профиль. Функции задают форму недеформируемых частей профиля, уравнения которых у = = у/е, е < 1; функции wf(x,t) определяют деформации вязкоупругих элементов профиля, уравнения которых у = /±(г) + Ом)-

Количество и места расположения элементов на профиле произвольные. 13 бесконечно удаленной точке дозвуковая скорость газа равна V и имеет направление, совпадающее с направлением оси Ох.

На основе методов ТФКП решение задачи приводится к исследованию системы уравнений для определения неизвестных функций прогибов. Исследование устойчивости проводится с помощью построенного для этой системы уравнений функционала. Полученные условия устойчивости движения вязкоупругих элементов налагают ограничения на скорость потока, значения сжимающих (растягивающих) усилий. ягоа (мепьт) релаксации материала пластин и основании, а также другие параметры механической системы (прочностные, геометриче-

ские, инерционные и т.д.). Концы всех пластин закреплены жестко или шарнирно.

Области устойчивости в плоскостях "скорость потока - сжимающее усилие" (Vy ограничены вертикальной осью V = 0 и ветвями парабол iV± = ifV2 {Ц > 0, ^ > 0).

В шестой главе рассматривается методика приближенного аналитического анализа динамики и устойчивости вязкоупругих элементов конструкций. Ее применение показано на примерах обтекания плоских поверхностей с вявкоупругим олементом дозвуковым неограниченным потоком газа.

Исследуется задача о колебаниях вявкоупругого элемента полубесконечной плоской поверхности при одностороннем обтекании ее потоком идеального газа с отрывом потока по схеме Кирхгофа (рис.4). Отрезок [0, г] оси Ох соответствует вязкоупругой пластине, которая в точке х—й соединена с недеформируемой плоскостью (у=0,-оо<х<0).

У

Рис.4. Струйное обтекание пластины.

Математическая постановка задачи имеет вид:

0, (xiV) el = {(г, у) е R2 :| х |< оо ,у > 0};

<р„(х,0,Г) = 0, х е (—оо, 0); ípy(x,0,t) = wt(x,t) + VcoW^x^t), х е (О,/); (py(x,0,t) ~ ht(x,t) + Vk,hx(x,t), x 6 (í,+oo); <Pt(x,0,t) + V^<px(x,0,t) = 0, x e (í,+oo);

íü(0,0 = 0, ft(í,i) = to(í,í);

(v£+v>2+¥>i)eo = 0; Д» = p{ipt(x,Q,t) + Vkv.Ce.O,*)), г e (0,0;

Здесь <p(x,y,t) - потенциал скорости гаоа в верхней полуплоскости; tu(x,t) - функция прогиба пластины; h(x^t)- функция, определяющая форму свободной поверхности; L(w) - интегро-дифференциальный оператор, определяемый формулой (20).

На основе методов ТФКП решение задачи приводится к исследованию уравнения для прогиба. w(z,t):

Liw)_PV>*W)Ia(VT=5+v7)' _ p \dv

4 ' Ж X nJ от ' r - ж

0 ' 1

X

v(x>t) = J(w + Vw')dx + Vw + V2w'; 0

Предлагается методика построения приближенного решения этого уравнения с помощью метода Г&перкина, согласно которому w задается

п

отрезком ряда w(x,t) = ^ a/.(i)g^(x), где вид базисных функций ffk(x)

зависит от типа закрепления. В частности, в первом приближении при п = 1,/х = 0, v = 0, / = 0, д = 0 для функции er(i) имеем интегро-дифференциальное уравнение

АаЩ) + B(t)ai(t) + C(<)oi(i) - £ / Щ{т,{]аг{г)йт = 0, (22)

»=1 о

где А - const, B{t), C{t) выражаются через коэффициенты уравнения для ад, з общем случае зависящие от х ила я,г, я функцию Si(z). С помощью составления функционала для уравнения (22) и численного анализа входящих в его коэффициенты интегралов, часть то которых имеют особенность, приведены примеры приближенных условии динамической устойчивости пластины. Область устойчивости в плоскости (V, N) ограничена вертикальной осью V = 0 и ветвью параболы N = f - 6V2, £ > 0, 9 > 0.

Дано обобщение рассмотренной выше задачи на случай двустороннего обтекания с линией контактного разрыва. Получены условия устойчивости для первого приближения решения задачи.

Исследуется также задача о динамической устойчивости вяокоувру-гого элемента плоской поверхности (бесконечной, полубесконечной и

конечных раомеров) при безотрывном обтекании ее неограниченным потоком газа. На основе использования аналогичной методики исключения потенциала скорости и последующего применения метода Галер-кина получены условия устойчивости для первого приближения решения задачи для различных видов закреплений концов вязкоупругого элемента.

В седьмой главе исследуется устойчивость упругого элемента конструкции, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа,

Рис.5. Пример обтежания конструкции с упругим элементом сверховуковым

потоком газа

на основе следующего модельного уравнения Цю) = Мю + (Dw")" + {(w"f - (г/ш'У + (Nu')' + jw + ßw + f(x,w,t)+

+a{w + Vtf w'\z,t)dz+v~ f ш'2(г,г>ъ) = 0, (23) ' о о 1

x 6 (0,£). Здесь rj(x) > 0 - коэффициент, учитывающий инерцию вращения; а = аоРойо = const > 0, где Ро,а0 - плотность и скорость звука в однородном невозмущенном потоке (а0 — 1 при одностороннем обтекании, а0 — 2 при двустороннем обтекании); f(x,w,t) - нелинейная составляющая реакции основания или внешнее воздействие. Физический смысл М(х), D(x), N(x,t), Z(x), y(x,t),ß(x,t), ß, v пояснен в главе 1. Аэродинамическая нагрузка определяется согласно гипотезе плоских сечений Ильюшина A.A. выражением а(гЬ +W), а также может быть подучена на основе решения начально-краевой задачи для линейного асимптотического уравнения, описывающего потенциальное движение

гаоа при числах Маха М = > 1. Задача исследовалась многими авторами, в диссертации дается ее обобщение на случай, когда характеристики пластины и основания оависят от х или ж,/ и присутствуют нелинейные члены.

С помощью построения функционала доказана теорема ТЕОРЕМА 6. Пусть для всех х е [0,^] и любого ю будут выполнены условия

/?>0, £ >0, 0>О, 2рв>0 + в'у, ± Ы £ - г)9 > 0, 7+ <*- Мв + £ т{ т{ £ - > 0,

wf{z,w,t)>0, J-rL(x,z,t)dz>b,

о

Ав

где в — const - некоторый параметр, удовлетворяющий указанным

nrnatlllTTOimeM TVi Т'ТТО рДПГДТТТГа ип^птготтл Yprrt Aytwrn»Л. «Л СТЧ^^б"

нию к воамущениям начальных оначений кривизны w"(x,0) и угловой скорости w'(x,Q).

Определены также допустимые талы граничных условий (условий закрепления концов пластины).

Рассмотрена задача обтекай на сверхзвуковым потоком гала, направленного вдоль оса s. пр2?.!оуто:плггш ттллг.тины с зависящими от х,у толщиной, плотностью, модулем упругости, коэффициентом Пуассона, коэффициентом внутреннего демпфирования. Прогиб пластины и>(х,у^) определяется из уравнения

MW + Qt(w + Vwx) + JW + 0W + [D(WXS + VWyy) + i{vixx + vwn)]s s +

+ \D(vwxx + wvy) + {.(vWzx + Щу)}^+2(фгиху+гр*тТу)ху~(щ;х)г-(>?%)„+ + + '%y)w-j)- + (Щ,)Щ + + f(x,y,t,v>) = (24)

r q Хй 1 У» Уо

=t«ixUi J wUx+vx^j wldx\+wyy ц2 j w$dy+1>2щ Jwldy\ +

^ 0 0 ^ о 0 ^

[Хо Уо ^ Хо Уо

Но /1 и)х11}1/(1х11у+1/0-^ 11кхтуйхйу , 0 0 0 0 в котором М,В,и,£,ф,-ф*,т) являются функциями координат х, у, а 7,/}, Щх),М(у),Щху) - функциями х,у,г.

Исследование устойчивости проводится с помощью построенного для этого уравнения функционала. Определены типы (закреплений краев пластины и получены условия устойчивости ее движения, налагающие ограничения на скорость потока, (значения заданных на границах пластины сжимающих (растягивающих) и сдвиговых усилий, а также другие параметры механической системы (прочностные, геометрические, инерционные и др.). Указана также методика аналитического исследования динамики и устойчивости пластины на основе приближенного уравнения, полученного с помощью метода Галеркина, в частности, для случая, когда характеристики пластины зависят только от одной пространственной координаты.

Исследуется также статическая неустойчивость пластины. Для описания деформаций пластины-полосы в сверхзвуковом потоке газа используется следующее модельное уравнение

(£>ш")" + (Рш')' + Дги + /(х, ш) + а*ю' = 0 (25)'

где Р=^х)-ц}ю>2(х)<1х,

при этом О, N, р являются в общем случае функциями координаты х\ М — -¡у - число Маха в однородном потоке.

Предложены методики построения точного решения (/ = 0) задачи о бифуркации пластины-полосы и приближенных решений этой задачи

том числе в случае, когда характеристики пластины зависят от г, у.

В восьмой главе исследуется динамическая устойчивость трубопровода на основе следующего модельного уравнения:

Г г * о V'

-{^(x, 0)' + (JM*,*))' + TV>(x,t)+p\w(x, t)~J 9V^TT^w(x,r)dr

0

+

+ at«,(ï,i)+ /(a;,i,t£j) + g(a;,t,w»- (26)

~w"(x,t)\^t j w'2(x,t)dx + v~ Jw'\x,t)dx^ =0

где M = то0(ж) + m*(x), P = P0(M) + mtU2, a = 2£7m„, при этом ma(x), mt(x) - удельные массы материала трубопровода и протекающей в нем жидкости, U - скорость жидкости, Pn\X,i) - распределенное (заданное) продольное усилие.

Приведем в качестве примера теорему, доказанную на основе построения функционала, соответствующую случаю, когда M, D, f, îi, 7, f), U зависят от х, параметры fi, v являются постоянными, а продольное усилие Р0 - от t.

ТЕОРЕМА 7. Пусть для всех х е [0,/], i, г, w выполнены условия

dQ(x,0,t) dQ(x,t,t) ^ n dV(x,Q,i) dV(xJJ) _ n — ¿a ji-i -m----ri-< u,

MP ilîi U(

1 + Q(x,0,t) - Q(x,t,t) > 0, 1 + V(z,0,t) - V(x,1,t) > 0,

ÔQ(x,r,t) dV(x,r,i) â'Q(x,r,t) ff>V(x,r,t) —g?—-0' —Wt—dtdr -0, dtdr

0(1 + Q(®,0,t) - Q(x,i,î)) - тД/2, ^ > 0, (m.U)' < 7,

Р«<Т;Ы

Р>8, у ]\х,1,г)аг>0, у ' ' ''^-в» Ц>д(:М,ц>,гЬ)>0.

о о

Тогда решения уравнения (26) устойчивы по отношению к возмущениям начальных значений кривизны ю"(хь0) и угловой скорости у)'(х, 0).

Определены также типы возможных закреплений концов трубопровода (в частности, допустимы шарнирное и жесткое закрепления концов в любом сочетании).

Указаны методики приближенного решения нелинейной задачи о статической неустойчивости (бифуркации) трубопровода. В некоторых случаях получены точные решения.

Численно реалиоована методика исследования динамики трубопровода, основанная на методе Галеркина.

В девятой главе предложен численно-аналитический метод, включающий модель, алгоритмы и компьютерные программы исследования динамики вяокоупругой пластины или оболочки, являющихся элементами бесконечно длинного плоского или осесимметричного канала (рис.6,9). у *

О I

Рис.6. Элемент стенгк ялосгого гаиала

Уравнения математической модели, описывающей динамику плоского элемента и жидкости, в предположении, что возмущения однородного потока и деформации пластины малы, имеют еид

4 1 [ 4 Мй+Б и""-1и1(г,т)10""(х,т)а,т +^(*У+/?о ш-/д2(*,7>(я,г)<гт +

о I о

+Ди> + /?2«)"" + рэй>" = —р \ipotixJi, г) + У<р0х(*, к,1)] + Р0 - Р* = 0, уъу&ЛЛ)- «¿(ж,$<г<£

ВД(®,0) = Л(Х), Ш(«,0) а» /2(х) Д<РО = 0, («,у)еСо = {(®,у): 0<х <£,0<г/<к} Ду>1 = 0, (ж,у) = {(г,у): -оо<х<0,0<у</г} л>р2 — 0, (ж,у)е(?2 = {(я,у): £< ж < то,0 < у < Л}

(^„("ж.О.^ 5= (о,..(х.Ъ.Л) = П —оо < ж < 0 28

(уй+¥> + (<Р?< + 4>\х + ¥р2у)со = О, 0<у<л

где т{х, I)- прогиб вязкоупругой пластины длины £; <р0(х,у, I), 1р1 (х,у, г), <р2(х, »/,£)- потенциалы скоростей, описывающие движение газа в различных частях б?0, (?1, С2 канала шириной Л; Р*- внешнее давление на пластину; V и Р0- скорость и давление невоомущенного однородного потока; ¡\(х) и /2(ж)- заданные функции, определяющие начальные значения прогиба и скорости сечений пластины. Постановка задачи должна быть дополнена граничными условиями для ю(х,1).

Реализация метода рассмотрена на примере шарнирного закрепления концов пластины. Приближенное решение задачи в отом случае задается в виде лга

/V, ъ

»=1 {=1 = Аг(<)х + А2(0 + -ВДО2 - у2) + ВД(г3 - -¿ху2)+

+ £ + соз(А^) + £ + е^^т^а;).

¿=1

На основе метода Галержина (часть уравнений и условий удовлетворяется точно) получена связанная система линейных алгебраических и интегро-дифференциальных уравнений для определения коэффициентов разложений (» = 1 -г Л',), D-a.it){п = 14- Л'2). Указанные системы уравнении решаются с помощью созданного для этого численного алгоритма, включающего численные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, вычисления обратных матриц и вычисления определенных интегрялоя, Программное обеспечение, сшданное для этой задачи, позволяет проводить следующие виды исследований:

1. Исследование динамики в точке (./V, V) - построение графика ш(зг,г) на каждом временном шаге как функции х е [О,/];

2. Исследование устойчивости в точке (N,1/) - построение графика тах|ю(ж,4)| как функции времени;

3. Построение области устойчивости на плоскости {N,V).

Программа позволяет варьировать значения Nl7N2. На рис.7 приведен пример графика max|to(z,i)|, соответствующий динамической устойчивости пластины, при Р0 — Р* и следующих значениях (в системе СИ) исходных параметров (p., ht, E,v - плотность, толщина, модуль упругости и коэффициент Пуассона для пластины)

pt = 2700, К = 0.01, Е = 7 • Ю10, v = 0.36, Д, = 1, А = 0, & = 0.1,

р3 = -0.000225, р = 1, h = 0.2, i = 0.2, F = 8, Rx = Ег = ет~\

N(t) = Ns = const = 106, fox) = 0, /2(®) = sin(2icx/i), Ni = 4, JV2 = 4,

Значения всех числовых параметров приведены в системе Си. В начальный момент времени точкам, пластины, занимающей горизонтальное прямолинейное положение, сообщается начальная скорость по закону w(x,0) — /з(ж)-

Imh^I^x. t> Ц i

Vl i f

" " 25 , 1 t

Э.722*~05 i

3.711IU ГЛ

l\

| 1

1 \

l.Otl. 03 Л

».»««-IM I I \

1

1 \

U \

1 4 ' swnt J— I \ I

1 У II ХГ v гл '"V

-------- p 1 ( i

a 3d i D 2. D Ж Ю r о « Ш 3 0 * о t KJ T TO 9 tar to

Рис.7. График фуньции max jtu(a,t)|

На

рисунке 8 изображены области устойчивости к неустойчивости на

плоскости (in, v) при тех же значениях параметров.

' Исследование цстойчюости ■

Номерам по оси N5 соответствует:

и-устойчивость н- неустойчивость

3.658808е*81 н Н н н н н н н н н н и н н н

3.255556в-81 н н н н н н н н н н н ii н н н

2.8б1111е*81 У н н н н н н н н н н и н н н

2.466667е*81 У У У н н и н н н н н н н н н

2.В72222е+81 и и У У н н н н н н ii н н н н

1.677778е*81 у и и и и и н н н н н н н н н

1.283333е*81 ы У и У У и У У н н н н н н н

3.83333 Зе*88 а У У 9 У У У У У У н н н н н

4.944445е*8в а У У У У и У У У У У и н н н

1.808088е*00 а и у у У У у У у у а У у н н

2.2ввввве-86 2.2608890-06 2.281778е»86 2.282666е»В6

г.гв3555в*вв

2.2в4444е*85 2.285332е*86 2.286221е*вб 2.2в7118е*86 2.2в7999е*06 2.288888е+86 2.289776^66 2.218665е*86 2.211554е*86 2.212442е*В6

123456789ЙВС0ЕГ

Из

Рис.8. Область устойчивости

Проведено моделирование динамики вяокоупругой оболочки, являющейся частью бесконечно длинного трубопровода круглого сечения.

^ Но 3 X

0 ь >

Рис.9. Элемент стеши осесимметрячного трубопровода

Для описания динамики вяокоупругой осесимметричной оболочки вс-польоуется уравнение

*

МгЬ + |о|(ю" + +»?(«/' + г^шйо 2) - / Я{х^,т)х

о

х(ю"(г, г) + 2)йг]}" + + иЫВ^1 + ЕМ%3х

Ш- ! И(х^,т)ю{х,т)Лт

где - прогиб оболочки; /¿о - радиус педеформированной средин-

ной поверхности (Я0 = соп^).

Решение задачи основано на разбиении всей области течения -оо < <ж<оо,0<г< й0> где х>г ~ цилиндрические координаты, на три области ж<0,0<ж<6,ж>6, в каждой из которых вводятся соответствующие потенциалы скоростей жидкости удовлетворяющие уравнению Лапласа.

В крайних сечениях оболочки х — 0, ж = Ь обеспечиваются условия непрерывности проекций вектора скорости, ускорения в направлении оси х и давления (равенство значений потенциалов <р1,<р0,<р2 и их производных по х первого и второго порядков). На границах {г = Ео,х < 0}, {г = Я0,х > Ь} выполняются условия непротекаивз абсолютно жестких частей трубопровода: д(рк(х,В.0)/дг = 0, к = 1,2. При х -> ±оо налагаются условия отсутствия возмущений: д<рк/дх = О, д1рк/дг = 0, 'дц>к}Ы — 0, к — 1,2. На участке {0 < ж < Ь} выполняется условие непротекания вязкоупругой части трубопровода

¥?ог(®,#о,*) = +Уц/(:с,*), 0 < ж < 6

В соответствии с граничными условиями в случае шарнирного закрепления концов трубопровода функции «Рг^г.Уз, являющиеся решениями уравнения Лапласа, и прогиб ш задаются в виде

№ Л'2

Ч>\ = £ VI Ч>2 = £ ^¿(^кМе""^, = £ щ(№п(и.;х)

1-.1 ¿=1 ;=1

Ф0 = Е + Ск(1)е~х>х] л(г) + £ ^(0»ШрЩг)

£=1 ;=1

где ¡1] = &(г)-функции Бесселя нулевого порядка, /¿(^-модифицированные функции Бесселя нулевого порядка. Числа Л; определяются из уравнения с?£г£(Я0)/дг = 0.

Часть уравнений и условий удовлетворяется точно. При удовлетворении остальных уравнений и условий с помощью интегрального метода наименьших квадратов решение задачи удается свести к исследованию системы интегро-дифференциальных уравнений для опреаеле-

ш коэффициентов рположения tuk(t)(k = 1 -г jV2), которая «затем численно разрешается относительно вторых производных

Программа, созданная для втой задачи в случае постоянных коэффициентов в уравнении для w позволяет проводить те же исследования, что и программное обеспечение для плоского элемента.

Приведенная выше задача о динамике оболочки исследуется также на основе метода Галеркина, что позволяет более точно удовлетворить уравнениям движения, но при этом не выполняется условие равенства вторых производных для од, у 1,од ПРИ ж = 0,ж = 6.

В десятой главе исследуется динамическая устойчивость нелинейных трансзвуковых течений сжимаемого газа и течений вязкой несжимаемой жидкости в областях, ограниченных деформируемыми элементами.

Течение газа с околозвуковой скоростью описывается асимптотическим трансзвуковым уравнением

+ (7 + 1)ФгФте - Фуу = 0 (27)

с граничным условием на деформируемой поверхности =

ws{x,t).

Здесь Ф(х,у,t) - потенциал скорости; w(xyt) - функция, задающая форму поверхности, уравнение которой у = у* + ew(x,t), е < 1; 7 = const - показатель Пуассона; у* = const.

Особенностью уравнения (27) является то, что задача Коши с условиями, задаваемыми при t = 0, является некорректно поставленной, так как t = const является характеристикой этого уравнения. Исследование задач на основе уравнения (27) в стационарном случая осложнено тем, что оно имеет смешанный тин (эллиптический в дозвуковой области (Фх < 0) и гиперболический в сверхзвуковой (Ф > 0) ), при этом форма линии параболичности (Фг = 0) заранее неизвестна и зависит от вида решения. Ситуация осложняется также нелинейностью этого уравнения. В связи с этим представляет интерес вопрос о корректности постановки задач с начальными данными при i = 0, а также краевых или начально-краевых задач в области, часть границы

которой находится в дозвуковой области, а часть - в сверховуковой (в дозвуковой области граничные условия должны быть вамкнутыми, в сверховуковой области часть границы должна быть свободной от условий).

Исследование устойчивости проводится с помощью построенных для этой цели функционалов. В частности, получены условия устойчивости движения гаоа в соплах реактивных двигателей (соплах Л аваля) - устройствах предназначенных для наиболее оптимального преобра-

Показано, что ускоряющееся в направлении оси х движение гаоа в соплах, в начальном (дозвуковом) сечении которого задано направление потока Фу, является устойчивым относительно начального распределения давленая Фг(ж,у,0). При этом в конечном (сверхзвуковом) сечении условия не задаются. Проводится также исследование устойчивости совместного движения газа и упругих стенок канала.

Исследуется устойчивость решений начально-краевых задач для модельного составного уравнения

Ж ПА | Ж Ж _ п

I -¿'^'зЯ Т \ / I 1 /-^х'^'хх — — « )

с граничным условием на деформируемой поверхности Ф„(х,г/ф,г) =

ТТттд ипяирргщтг »27^ \мгапагтт.т ттл-гттопот»отттта чтпггг\тттгтг-.

I* у *<»' ,) V, /) \ ^ л» Шил «/^иим иим^^и^Ъ^ии Ш

ьостй стационарных решений Фо = у), где функция д(х)у) удовлетворяет нелинейному уравнению смешанного типа {у + 1)дхдхх-д^ = О

3-1

Рассматривается оадача об устойчивости движения вязхоупругих элементов, являющихся частями границ, разделяющих области, заполненные вязкой несжимаемой жидкостью. Математическая постановка задачи в случае, когда граница, разделяющая две области, содержит один вязкоупругий элемент, имеет вид

: р(щ + иих + ГШ;,) - -Р* + р(ихх +1%), (я,у) 6 ^ и 52;

+ + ууу) = -Ру + + Ууу), (х, у)е Э^и 52; их + уу = 0, (х,у)е31и37

Дш) = Мгй(у,г)+|.Е>

ю"{у,г) - / ЩйЬйю»(у^т)(1т

+ ^"(у,*) -

+

и(Ьп\(у0,У*)) = v(L0\(y0,yt)) = 0; и(Ьк) = = 0, к = 1,2;

= и(а,у,г) = 0, у€(у0,у.)

Здесь и,«, Р - функции декартовых координат и г (и, V - проекции вектора скорости жидкости, Р - давление в жидкости); прогиб пластины IV зависит от у,*; рид - плотность и динамический хоеффицент вязкости жидкости (р,р,-сопв^; М(у)^0(у)1^(у))г}(у)}'у(у.^),/3(у^) -заданные функции; - сжимающее (растягивающее) продольное усилие; меры релаксации материала пластины и основания; д(у, ю, и;), /(у, ш) - нелинейные воздействия. Вязкоупру-гий элемент является частью (х — а, у0 < у < у*) границы разделяющей две области Зь^ заполненные жидкостью; области ,>52 имеют переформируемые границы Ь\, Ь?, и произвольной формы.

На основе функционала, включающего как аерогядродгнамические функции и, и, так и деформацию влемента го, подучены условия устойчивости совместных колебаний жидкости и элемента.

Полученный реоультат обобщается на случал любого числа областей произвольной формы, каждая из разделительных границ между которыми содержит произвольное число вязкоупругих элементов.

Рассмотрена также задача об устойчивости движения вязкоупругих элементов плоскости с учетом взаимодействия со слоистыми течениями вязкой жидкости.

В (заключении приведены основные результаты и выводы.

Выполненная работа представляет собой решение научной проблемы разработки математических методов исследования динамики и устойчивости аэроупругих конструкций, имеющей важное народно-хозяйственное значение в научных исследованиях и различных технических приложениях. Результаты исследований позволяют обеспечить повышенный теоретический уровень расчетного анализа взаимодействия вязкоупругих конструкций с потоком жидкости или газа и повысить эффективность решения задач их рационального проектирования.

Построены йиТСКИТйНЁйапВ Ни^ха 1А1&хр0ь01:0 М^СС^ йорОуПру-гих тонкостенных конструкции с вязкоупругими элементами, отражающие расширенный спектр свойств исследуемых объектов и характер их взаимодействия. Учитывается: взаимодействие вязкоупругих элементов с вязкоупругими основаниями; влияние продольных усилий, в том числе нелинейных; неоднородность материала элементов и оснований; не-шшейныс внешние воздействия.

2) На основе асимптотических методов созданы методики аналитического решения обратных задач аэрогидромеханики, соответствующих построенным моделям, позволяющие выразить воздействие потока на деформируемые элементы через неизвестные деформации н исключить аэрогидродинамические функции при решении задач аэро-гидроунругости.

3) Создал аналитический метод исследования вязкоупругих элементов каналов и крыловых профилей (при произвольном количестве и расположении элементов), основанный на методике исключения аэро-

гидродинамических функций и построении функционалов для связанных систем интегро-дифференциальных уравнений, описывающих деформации вязкоупругих элементов.

4) Разработана методика приближенного анализа устойчивости вязкоупругих элементов класса тонкостенных конструкций при безотрывном или струнном обтекании, позволяющая в простой форме получить условия устойчивости в случае произвольной зависимости параметров вязкоупругих элементов от координаты (или от координаты и времени).

5) На основе построения функционалов разработана методика исследования динамической устойчивости вязкоупругого трубопровода и упругого элемента конструкции в сверхзвуковом потоке газа с учетом неоднородных свойств материала, взаимодействия с основанием и влияния нелинейных продольных усилий.

Разработаны методики исследования статической неустойчивости (бифуркации) пластины в сверхзвуковом потоке а трубопровода.

6) Раоработан метод иссжрования дина^ппосгсй устойчивости нелинейного движения вязкой несжимаемой жидкости и околозвуковых нелинейных течений сжимаемого газа в областях, ограниченных деформируемыми элементами.

7) Создан численно-аналитический метод исследования динамики и устойчивости вязкоупругих элементов трубопровода, на его основе проведено численное моделирование на ЭВМ дтгпамнжз плоского и ссе-снмметрячного элементов.

8) На основе разработанных моделей и методов получены достаточные условия динамической устойчивости вязкоупругих элементов конструкций, налагающие ограничения на типы закреплений, скорость потока, значения продольных усилий, ядра (меры) релаксации пластин и оснований, а также другие параметры механических систем (прочностные, геометрические, инерционные, демпфирующие). Выявлена закономерность, заключающаяся в том, что во всех динамических задачах область устойчивости на плоскости (V, ./V) "скорость - продольное

усилие" определяется неравенством N < £ - -yV2, £ > 0, 7 > 0 (рис.11, область устойчивости заштрихована).

В приложении дано описание вооможностей компьютерных программ моделирования динамики вяокоупругих элементов трубопровода на ЭВМ и приведены примеры расчета.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Ведьмисов П.А., Фалькович С.В. К теории околозвуковых течений вязкого газа // Известия вузов. Математика, 1974.-N5. -С.52-61

2. Ведьмисов П. А., Фалькович С.В. Неустановившиеся течения газа в соплах JIаваля с местными сверхзвуковыми зонами // Прикладная математика и механика, 1975. -Т.39.- Вып.2. - С.271-279.

3. Вельмисов П.А. О распространении малых возмущений в звуковом потоке и покоящемся газе // Прикладная математика и механика, 1976. -Т.40.- Вып.1. -С.74-78.

4. Вельмисов П.А. К вопросу о неустановившемся движении газа в соплах Л аваля // Известия вузов. Математика, 1976.-N12. -С.3-10.

5. Вельмисов П.А. Асимптотическое исследование нелинейных эффектов в задаче о нестационарном сверхзвуковом обтекании профиля // Прикладная математика и механика, 1979. -Т.43, Вып.1. -С.30-37.

6. Вельмисов П.А. О единственности решения прямой задачи сопла Л аваля // Известия вузов. Математика, 1979.-N1.-C.15-17.

7. Вельмисов П.А., Маценко П.К. О некоторых оадачах внешнего пространственного обтекания тел околоовуковым потоком гаоа // Известия вузов. Математика, 1986.-N9.-C.10-16.

8. Вельмисов П.А. Асимптотические уравнения газовой динамики, (монография) - Саратов: СГУ, 1986.- 135 с.

9. Вельмисов П.А., Маценко П.К. Устойчивость пластины го вяз-коупругого материала в сверовуховом потоке гаоа. // Взаимодействие оболочек со средой.- Казань: КФ АН СССР, 1987.- С.160-166.

10. Вельмисов П.А., Маценко П.К. Об асимптотическом поведении решений одной бесконечной системы интегро-дифференциальных уравнений типа Вояьтерра // Исследования по интегро-дифференциаль-ным уравнениям: Сб. науч. тр. -Фрунзе: Нлим, АН КССР, 1988.-Вып.21. -С.149-155.

11. Вельмисов П.А., Семенов A.C. Численное решение одной задачи о совместных колебаниях вяокоупругои пластины и идеального несжимаемого гаоа. // Прикладная математика и механика: Межвуо.еб.-Саратов: СГУ, 1990.- Вып.5.- С.23-42.

12. Вельмисов П.А., Решеткигов Ю.А. О некоторых оадачах движения идеального несжимаемого газа в канале с деформируемыми стенками. // Аэродинамика: Сб. науч. тр.- Саратов: СГУ, 1991.- Вып.12(15).-С.62-70.

13. Вельмисов П.А. Об устойчивости и единственности решений некоторых классов начально-краевых задач в механике сплошных сред. // Актуальные проблемы прикладной математики: Материалы Всесоюо. яонф.- Саратов, 1991.- Т.1.- С.19-23,

14. Вельмисов П.А., Дроздов А.Д., Колмаковскай В.Б. Устойчивость вязкоупругих систем (монография).- Саратов: йзд-во Сарат. унта, 1991, 180с.

15. Вельмисов П.А. О некоторых оадачах взаимодействия потока газа с вяокоупругими телами /'/ Механика и процессы управления: Сб. науч. тр. - Саратов: СГУ, 1992. -Вып.З. -С.80-93.

16. Вельмисов П.А., Маценко П.К. К вопросу устойчивости в некоторых задачах сверхзвукового и трансзвукового обтекания // Аэродинамика: Сб. науч. тр. -Саратов: СГУ, 1993. -Вып.13(16). -С.35-39.

17. Вельмисов П.А. О динамике пластин, подверженных старению

и гидродинамическому воодействию. // Проблемы прочности материалов и конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами: Межвуо. науч.сб.- Саратов: СГТУ, 1993.- С.27-34.

18. Ведьмисов П.А., Копмановский В.Б., Решетников Ю.А. Устойчивость уравнений взаимодействия вязкоупругих пластин с жидкостью. // Дифференциальные уравнения.- 1994.- Т.ЗО, Вып.11.- С.1966-1981.

19. Вельмисов П.А. Устойчивость вязкоупругих тел в потоке газа. // Актуальные проблемы фундаментальных наук: Труды второй меж-дунар. научн.-технич. конф.- Москва, 1994. - Т.2, Кн. 1.- С.57-59.

20. Вельмисов П.А., Решетников Ю.А. Устойчивость вязкоупругих пластин при аэрогидродинамическом воздействии (монография). -Саратов: СГУ, 1994.- 176 с.

21. Вельмисов П.А., Леонтьев В.Л. Динамика аяэкоулругой тонкостенной конструкции, взаимодействующей с жидкостью. // Проблемы прочности материалов и конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами: Межвуз. науч. сб. - Саратов: СГТУ, 1994.- С.49-56.

22. ВеяьмЕсов П.А., Логянов Б.В. Метод групповых преобразований в некоторых двухточечных граничных задачах, описывающих формы изгиба стержня. // Журнал "Математическое моделирование", 1995. -Т.7. -N5. -С.37-38.

23. Вельмисов П.А. Об устойчивости движения вязкоупругих пластин при гидродинамическом воздействии // Журнал "Математгче-ское моделирование", 1995. -Т.7. -N5. -C.3S-39.

24= Вельмисов П.А., Акимов М.Ю., Семенов A.C. Использование тригонометрнческих приближений при численном решении начально-краевой задачи для одной системы интегро-дифференциальных уравнений.// Теория функций и приближений: Межвуо. сб. науч. тр. -Саратов:СГУ, 1995.- 4.2. -C.84-S0.

2Ь. Вельмисов П.А. Об устойчивости движения вязкоупругих пластин при гидродинамическом воздействии. // Дифференциальные уравнения и их приложения: материалы междунар. конф.- Саранск, 1995. - С.148-153.

26. Вельмисов П.А. Устойчивость решений интегро-дифференциа-льных уравнений в некоторых задачах аэрогидроупругости. // При-

ложение на математиката в техниката: Сб. докл. и научн. съобщения XXI национална школа.-Болгария, Варна: Софийский техн. ун-т, 1995.-С.29-37.

27. Вельмисов П.А., Логинов Б.В., Милушева С.Д. Исследование устойчивости трубопровода. // Приложение на математиката в техниката: Сб. докл. и научн. съобщения XXI национапна школа-Болгария, Варна: Софийский техн. ун-т, 1995.- С.299-304.

28. Вельмисов П.А., Решетников Ю.А. Обтекание вязкоупрутой пластины потоком идеального несжимаемого газа с отрывом струи. // Механика и процессы управления: Сб. науч. тр.- Ульяновск: УлГТУ, 1996. -Вып.4. - С.96-107.

29. Вельмисов П.А. О движении жидкости в областях, ограниченных вязкоупругими пластинами. // Механика и процессы управления: Сб. науч. тр.- Ульяновск: УлГТУ, 1996. -Вып.4. - С.90-95.

30. Вельмисов П.А. Устойчивость некоторых нелинейных уравнений аэрогздроупругости. // Application of Mathematics in Engineering: Proceedings of the XXIT Summer School.- Sozopol, Bulgaria: Technical University af Sofia, 1996.-P.52-61.

31. Вельмисов П.А., Решетников Ю.А. Устойчивость уравнений, описывающих динамику тонкостенных конструкций.// Application of Mathematics in Engineering: Proceedings of the XXII Summer School.-Sozopol, Bulgaria: Technical University of Sofia, 1996,- P.62-69.

32. Вельмисов П.А. Устойчивость вязкоупругих элементов конструкции при аэрогидродинамическом воздействии. // Математическое моделирование н краевые палачи: Труды седьмой межвуз. кокф. -Самара, 1997.- Ч.2.- С.10-13.

33. Вельмисов П.А. Устойчивость тонкостенных конструкций при аэрогидродинамическом воздействии. // Вестник Ульян, гос. технич. ун-та, 1997.- Юбилейный выпуск.- С.167-176.

34. Вельмисов И.А., Решетников Ю.А. Устойчивость вявкоулру-гого элемента крылового профиля. // Прикладные задачи механики: Сб. науч. тр.- Ульяновск: УлГТУ, 1998.- С.33-45.

35. Акимов М.Ю., Вельмисов П.А. Исследование устойчивости трубопровода с учетом нелинейной осевой упругой силы.// Прикладные задачи механики: Сб. науч. тр.- Ульяновск: УлГТУ, 1998.- С.46-53.

36. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Об устойчивости решений системы интегродифференциальных уравнений в одной задаче аороупру-гости // Математическое моделирование, 1998.- Т.10. - N11.- С. 42-43.

37. Вельмисов П.А., Гьрневска Л.В., Милушева С.Д. Исследование ассимптотической устойчивости трубопровода при наличии (запаздывания по времени. // Applications of mathematics in engineering: Proceeding of the XXIII summer school.- Sozopol: Technical University of Sofia, 1998,- P.57-59.

38. Анкилов A.B., Вельмисов H.A. Устойчивость вязхоулругих элементов тонкостенных конструкций при aapогидродинамическом воздействии // Деп. в ВИНИТИ 06.08.98, N2522-B98. - 131с.

39. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Об устойчивости вязкоупругих элементов стенок канала. // Численные и аналитические методы расчета конструкций: Тр. междунар. конф.- Самара, 1998.- С.238-244.

40. Вельмисов П.А., Киреев C.B. О статической неустойчивости трубопровода. // Численные и аналитические методы расчета конструкций: Тр. междунар. конф.- Самара, 1998.- С.244-249.

41. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Об устойчивости решений системы Ентегродифферетдаальных уравнений в одной задаче аэроупругости // Журнал "Труды Средневолжского Математического Общества".- Саранск, 1998. - Tl. -N1.-C. 88-92.

42. Вельмисов П.А., Киреев C.B., Кузнецов А.О. Устойчивость пластины в сверхзвуковом потоке газа. // Вестник Ульяновск, гос. те-хнеч. ун-та. -Ульяновск: УлГТУ, 1999. -Вып.1.-С.44-51.

43. Аненлов A.B., Вельмисов П.А. Устойчивость вяокоупругих элементов стенки канала при гидродинамическом воздействии. // Вестник Ульяновск, гос. технич. ун-та. -Ульяновск: УлГТУ, 1999. -Вып.1.~С.86-89.

44. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Устойчивость вязкоупругой стенки канала. Математическое моделирование и краевые задачи. // Труды девятой межвуо. конф.-Самара, 1999. -4.2. -С.4-6.

45. Вельмисов П.А., Киреев C.B. Асимптотика решений задачи об устойчивости трубопровода. // Труды девятой межвуо. конф.-Самара, 1999. -4.2. -С.14-18.

46. Velmisov P.A. То a question of stability in some problems in con-

tinua mechanics. // The 26th Israel Conference on Mechanical Engineering: Conference Proceedings.- Technion, Haifa, Israel, 1996,- P.504-506.

47. Velmisov P. A. Stability of Viscoelastic Bodies Accounting Aging and Interaction with Fluid or Gas.// Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik, 1996.- Volume 76, Supplement 2.- P.249-252.

48. Velmisov P.A., Loginov B.V., Trenogin V.A. Bifurcation and Stability in Some Problems of Continua Mechanics.// Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik, 1996.- Volume 76, Supplement 2.- P.241-244.

49. Velmisov P.A., Kolmanovsky V.B., Reshetnikov Yu.A. On the stability of viscoelastic plate oscillations at jet now around by ideal gas flow.// Proceedings of the third Conference on Applied and Industrial Mathematics (Oradea-Chisinau, 1995). Romai. 1996.- P.113-117.

50. Velmisov P.A., Ankilov A.V. On stability of vescoelastic elements of thin-shelled constructions under aerohydrodynamic action. // The 27th Conference on Mechanical Engineering: Conference Proceedings.- Technion City, Haifa, Israel, 1998. -P.12-14.

51. Velmisov P.A., Garnefska V., Milusheva S.D. On the Dinamical Stability of Nonlinear Oscillations of Axes and Plates. // Applications of Mathematics in Engiaeering.Proceedings of the XXIV Summer SchooL-Sozopol 98, Bulgaria, Heron Press, Sofia, 1999. -P.89-95.

52. Velmisov P.A., Ankilov A.V. Dinamical Stability of Viscoelastic Elements of the Thin-Wall Constructions in a Subsonic Flow. // Applications of Mathematics in Engineering.Proceedings of the XXIV Summer School.-Sozopol S8, Bulgaria, Heron Press, Sofia, 1999. - P.31-40.

53. Velmisov P.A., Kireev S.V., Kuznetsov A.O. Stability and Bifurcation of a Plate in a Supersonic Gas Flow. // Applications of Mathematics in Engineering.Proceedings of the XXIV Summer School.- Sozopol 98, Bulgaria, Heron Press, Sofia, 1999. - P.41-46._____________________

Вельмисов Пир Александрович

Математическое моделирование в задачах устойчивости вязкоулругих элементов тонкостенных конструкций при юрогпдродянамическом воздействии

Автореферат

Подписано в печать 02.02.00. Формат 60xS4/!6 .

Бумага писчая. Уел пет.л. 2,56. Уч-изд.л. 2,30.

Тираж 110 экз. Заказ £35

Типография УлГГУ, 432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32.

Введение

Глава 1. Динамическая устойчивость вязкоупругих элементов стенок бесконечно длинного канала.

§ 1. Математическая модель.

§ 2. Решение аэрогидродинамическои задачи

§ 3. Исследование устойчивости вязкоупругих элементов.

§ 4. Канал с одной деформируемой стенкой

Глава 2. Устойчивость колебаний вязкоупругих элементов стенок канала конечной длины

§ 1. Исследование устойчивости при задании в граничных сечениях продольных составляющих скорости (первый метод)

§ 2. Исследование устойчивости при задании в граничных сечениях продольных составляющих скорости (второй метод)

§ 3. Исследование устойчивости при задании в граничных сечениях потенциала скорости

§ 4. Пространственные задачи

Глава 3. Устойчивость колебаний вязкоупругих стенок канала при задании в граничных сечениях законов изменения давления

§ 1. Канал с двумя деформируемыми стенками.

§ 2. Канал с одной деформируемой стенкой

§ 3. Пространственная задача.

Глава 4. Устойчивость вязкоупругих элементов профиля крыла с малой массой при дозвуковом обтекании

§ 1. Математическая модель.

§ 2. Определение силового воздействия потока.

§ 3. Исследование устойчивости колебаний вязкоупругих элементов.

Глава 5. Устойчивость вязкоупругих элементов крылового профиля в дозвуковом потоке.

§ 1. Математическая модель.

§ 2. Определение аэрогидродинамической нагрузки

§ 3. Исследование устойчивости колебаний вязкоупругих элементов

Главаб. Приближенный аналитический метод исследования динамики и устойчивости вязкоупругих элементов конструкций

§ 1. Одностороннее обтекание с отрывом потока.

§ 2. Двустороннее обтекание с линией контактного разрыва

§ 3. Безотрывное обтекание

Глава 7. Устойчивость упругого элемента конструкции в сверхзвуковом потоке газа

§ 1. Динамическая устойчивость пластины-полосы

§ 2. Динамическая устойчивость пластины

§ 3. Статическая неустойчивость (бифуркация) пластины

Глава 8. Устойчивость трубопровода.

§ 1. Динамическая устойчивость вязкоупругого трубопровода

§ 2. Статическая неустойчивость (бифуркация) трубопровода

Глава 9. Численно-аналитический метод исследования динамики вязкоупругих элементов трубопровода.

§ 1. Динамика вязкоупругого элемента стенки плоского канала

§ 2. Исследование динамики вязкоупругого осесимметричного элемента трубопровода на основе интегрального метода наименьших квадратов.

§ 3. Исследование динамики вязкоупругого осесимметричного элемента трубопровода на основе метода Галеркина.

Глава 10. Исследование динамической устойчивости нелинейных течений жидкости (газа)

§ 1. Устойчивость трансзвуковых течений газа.

§ 2. Устойчивость движения вязкой несжимаемой жидкости

Важной народно-хозяйственной проблемой во многих отраслях техники является повышение надежности и продление сроков службы конструкций, взаимодействующих с потоком жидкости или газа. Такая проблема, в частности, возникает в авиа-ракетостроении, турбо-комп-рессоростроении, при проектировании антенных установок, датчиков давления, камер сгорания, реакторов, гидротехнических и высоких наземных сооружений, трубопроводных систем, проточных каналов различного назначения, и т.д.

При проектировании таких конструкций одним из важнейших является вопрос об устойчивости колебаний деформируемых элементов, так как воздействие потока может не только возбуждать колебания, но и приводить к увеличению с течением времени амплитуды или (и) скорости колебаний до значений, при которых может произойти разрушение конструкции или ее элементов. Задача об исследовании динамической устойчивости, а именно - устойчивости по начальным данным, или устойчивости по Ляпунову, может быть сформулирована так: при каких значениях параметров, характеризующих систему "газ-тело" (основными параметрами являются скорость потока, прочностные и инерционные характеристики тела, действующие в связи с конструктивными особенностями заданные усилия, силы трения и т.д.), малым деформациям (отклонениям от положения равновесия) тела в начальный момент времени £ = О будут соответствовать малые деформации и в любой момент времени £ > 0. Такая постановка вопроса является существенной для многих задач механики и техники, описываемых дифференциальными уравнениями, в которых важно знать не только (а иногда не столько) конкретные значения решения этих уравнений при данном конкретном значении аргумента, а характер поведения при изменении аргумента, в частности, при его неограниченном возрастании. Примерами потери динамической устойчивости являются: флаттер крыла самолета и панельный флаттер пластин и оболочек, обтекаемых потоком; срывной флаттер лопаток турбин и винтов, возникающих в случае обтекания с большими углами атаки; колебания проводов, дымовых труб, балок жесткости висячих мостов и т.д.

В статических задачах вопрос об исследовании устойчивости можно поставить следующим образом: при каких значениях параметров (внешних, внутренних) система может совершать скачкообразный переход (бифуркацию) из одного состояния равновесия в другое. В качестве таких основных параметров в задачах аэроупругости опять же выступают скорость потока, прочностные характеристики, приложенные усилия и т.д. Примерами статической потери аэроупругой устойчивости являются дивергенция (закручивание) крыла самолета, статическое выпучивание пластин и оболочек при обтекании потоком.

В то же время для функционирования некоторых технических устройств (например, вибрационных устройств, используемых для интенсификации технологических процессов) явление возбуждения колебаний при аэрогидродинамическом воздействии, указанное выше в качестве негативного, является необходимым.

Таким образом, при проектировании конструкций и устройств, находящихся во взаимодействии с газожидкостной средой, необходимо решать задачи, связанные с определением характеристик, требуемых для их функционирования и надежности их эксплуатации.

Тонкостенные элементы в форме оболочки, пластины, стержня могут относительно легко изгибаться и заметно изменять форму при воздействии потока. Это в свою очередь приводит к изменению поля скоростей и давлений в жидкости (газе) около тела, и, как следствие, нагрузок на него. Поэтому существенным моментом в теории аэрогидроупругости является учет взаимного (обратного) влияния деформаций тела и поля скоростей и давлений потока (т.е. учет взаимодействия аэрогидродинамических сил, сил упругости, сил инерции и т.д.). Следовательно, теория аэроупругости является комплексной областью механики, в которой объединены методы механики деформируемого тела с одной стороны, и методы аэрогидромеханики - с другой.

В настоящее время аэрогидроупругость представляет собой хорошо развитый раздел механики сплошной среды.

Большие успехи достигнуты в исследованиях динамики и статики несущих поверхностей (крыловых профилей). Задачи, поставленные в этом направлении еще на ранних стадиях развития авиационной техники, в дальнейшем стали актуальными и в турбо-компрессорострое-нии. Соответствующие результаты освещены в работах Белоцерков-ского С.М., Кочеткова Ю.А., Красовского A.A., Новицкого В.В. [51], Келдыша М.В., Гроссмана Е.П., Марина Н.И. [226], Самойловича Г.С. [279,280], Смирнова А.И.[285,286], Степанова Г.Ю.[287], Фершинга Г. [291], Фына Я.Ц.[297], и др. Существенным является предположение о малой относительной толщине профиля, что позволяет применять линейную теорию течения. Облегчает исследование часто принимаемое допущение о возможности рассматривать только изгиб и кручение крыла как балки.

Более сложные модели движения и взаимодействия применяются при исследовании поведения упругих пластин и оболочек в потоке. Это диктуется как более сложной формой их деформирования, так и ориентацией по отношению к направлению невозмущенного потока (например, большой угол атаки). В этих задачах предполагается малая толщина стенок, в связи с чем при сопряжении решений для двух сред контактная поверхность отождествляется со срединной поверхностью. Сведение деформированной срединной поверхности к исходной и предположение о малых возмущениях течения позволяют использовать линейную теорию движения жидкости (газа). В частности, подробно изучен сверхзвуковой панельный флаттер с применением закона плоских сечений ("поршневой" теории). Результаты, полученные в этом направлении, представлены в работах Алгазина С.Д., Кийко И.А.[15,16], Амбарцумяна С.А., Багдасаряна Г.Е., Белубекяна М.В.[20], Бисплинг-хоффа P.JL, Эшли X., Халфмана P.JI.[57], Болотина В.В.[60], Воль-мира А.С.[186-189], Гонткевича В.С.[195], Григолюка Э.И.[200], Григо-люка Э.И., Лампера P.E., Шандарова Л.Г.[201], Ильюшина A.A., Кийко И.А.[217-219], Кийко И.А.[227], Дж. Майлса[246, 247], Мовчана А.А.[252-255], Новичкова Ю.Н.[261], Пановко Я.Г., Губановой И.И.[263], Болотина В.В., Новичкова Ю.Н., Швейко Ю.Ю.[266,Т.З], Фершинга Г.[291], Фына Я.Ц. [296,297], Швейко Ю.Ю. [301,302], Доуелла Е.Х.[309-312], Доуелла Е.Х., Ильгамова М.А.[313] и др.

Гидроупругость плохообтекаемых элементов конструкций (в том числе антенн, мостов, трубопроводов) рассматривалась в работах Дев-нина С.И.[209], Казакевича М.И.[221,222], Савицкого Г.А.[278], Све-тлицкого В.А.[281] и др. Существенным здесь является отрыв потока с поверхности, моделирование которого представляет большие трудности. К этим вопросам тесно примыкают и задачи о динамическом поведении мягких оболочек в потоке, сложность моделирования поведения которых заключается в больших изменениях формы тела и картины течения, а также проницаемости оболочек. Исследованию парашютных систем посвящены работы Белоцерковского С.М., Ништа М.И., Пономарева А.Т., Рысева О.В.[53], Гулина Б.В., Ильгамова М.А.[208], Шевлякова Ю.А., Тищенко В.Н., Темненко В.А.[303] и др.

Широкий круг исследований включает в себя описание колебаний и распространение волн в оболочке, находящейся в газожидкостной среде или содержащей ее, в частности, анализ динамических явлений в камерах сгорания и реакторах. Этой проблеме посвящены работы Буйвола В.Н.[61], Ильгамова М.А.[214], Рапопорта И.М.[274], Фролова К.В., Антонова В.Н.[295], Шейнина И.С.[304] и др.

Поведение конструкций при набегании волн давления рассматривалось в работах Вестяка A.B., Горшкова А.Г., Тарлаковского Д.В.[185], Галиева Ш.У.[190,191], Горшкова А.Г.[196], Григолюка Э.И., Горшкова А.Г.[202-204], Гузя А.Н., Кубенко В.Д.[206], Гузя А.Н., Кубенко В.Д., Бабаева А.Э.[207], Кармишина A.B., Скурлатова Э.Д., Старцева В.Г., Фельдштейна В.А.[224], Кубенко В.Д.[239], Мнева Е.И., Перцева А.К. [251] и др.

В работах Зефирова В.Н., Колесова В.В., Милославского А.И.[211], Казакевича М.И.[221], Милославского А.И.[250], Мовчана А.А.[253], Нгу-ена B.JI.[260], Светлицкого В.А.[281,282], Томпсона Дж.М.Т.[289], Фе-одосьева В.И.[290], Челомея С.В. [298,299] и др. исследуется динамика трубопроводов.

Аэрогидродинамическое воздействие в указанных выше работах, как правило, определяется из линейных уравнений движения жидкости или газа. Нелинейность течений учитывается в работах [53,187,188,191, 208,313].

Существенным фактором, влияющим на прочностные характеристики деформируемых тел, является старение материала (изменение его физико-механических свойств с течением времени). Хорошо разработанной является модель стареющего вязкоупругого тела, согласно которой напряжение в любой точке тела зависит от предыстории деформирования материала в данной точке, а связь между напряжением и деформацией подчиняется уравнению Вольтерра-Фойхта. Фундаментальные результаты в теории вязкоупругости и устойчивости вяз-коупругих тел изложены в работах Александрова A.B., Потапова В.Д. [17], Арутюняна Н.Х., Дроздова А.Д., Колмановского В.Б.[44], Арутюняна Н.Х., Колмановского В.Б.[45], Ильюшина A.A., Победри Б.Е.[220], Качалова JI.M.[225], Клюшникова В.Д.[229], Колтунова М.А.[234], Кравчука A.C., Майбороды В.П., Уржумцева Ю.С.[237], Пальмова В.А.[262], Постникова B.C.[268], Работнова Ю.Н.[271-273], Ржаницына А.Р.[276] и др.

Невозможность в задачах аэрогидроупругости определения силового воздействия потока на обтекаемое деформируемое тело до решения задачи об определении его деформации (математически это выражается в том, что совместное движение тела и жидкости или газа описывается связанной системой дифференциальных уравнений для функций прогибов и аэрогидродинамических функций) и учет вязкоупругих свойств материала (что приводит к появлению в уравнениях движения тел дополнительных интегральных членов) увеличивают сложность решения задач о динамике и устойчивости вязкоупругих конструкций при аэрогидродинамическом воздействии, не позволяют использовать некоторые классические подходы и приводят к необходимости разработки специальных методов исследования, отличающихся от методов расчета деформаций упругих элементов конструкций при заданных нагрузках.

Аналитические (в т.ч. приближенные аналитические, численно-аналитические) решения явно содержат основные параметры механической системы, и в таком виде они наиболее приспособлены для решения задач оптимизации, автоматического управления, автоматизированного проектирования, а также для работы в диалоговом режиме с ЭВМ, что существенно повышает эффективность их использования. Определение требуемых свойств конструкций осуществляется на основе вычислительного эксперимента. В то же время такие решения получены лишь для некоторых классов задач аэрогидроупругости. Поэтому разработка аналитических и численно-аналитических методов, ориентированных на решение широкого класса новых задач динамики и устойчивости вязкоупругих конструкций в потоке газа (жидкости), является актуальной научно-технической проблемой.

Целью работы является решение научно-технической проблемы создания на основе математического моделирования эффективных математических методов исследования динамики и устойчивости аэро-вязкоупругих тонкостенных конструкций применительно к проблеме повышения надежности и продления сроков службы, а также создания новой техники. Для достижения указанной цели в работе решаются следующие задачи:

1. Построение математических моделей применяемых в технике вязкоупругих тонкостенных конструкций, взаимодействующих с потоком жидкости или газа;

2. Разработка методик решения обратных краевых задач аэрогидромеханики, позволяющих свести решение соответствующих задач аэ-рогидроупругости к исследованию уравнений для деформаций;

3. Разработка аналитических и численно-аналитических методов решения начально-краевых задач аэрогидроупругости и исследование на их основе динамики и устойчивости вязкоупругих элементов тонкостенных конструкций, взаимодействующих с потоком жидкости (газа).

Диссертация состоит из введения, десяти глав, заключения, списка литературы и приложений.

Заключение

Выполненная работа представляет собой решение научной проблемы разработки математических методов исследования динамики и устойчивости аэроупругих конструкций, имеющей важное народно-хозяйственное значение в научных исследованиях и различных технических приложениях. Результаты исследований позволяют обеспечить повышенный теоретический уровень расчетного анализа взаимодействия вязкоупругих конструкций с потоком жидкости или газа и повысить эффективность решения задач их рационального проектирования.

1) Построены математические модели широкого класса аэроупругих тонкостенных конструкций с вязкоупругими элементами, отражающие расширенный спектр свойств исследуемых объектов и характер их взаимодействия. Учитывается: взаимодействие вязкоупругих элементов с вязкоупругими основаниями; влияние продольных усилий, в том числе нелинейных; неоднородность материала элементов и оснований; нелинейные внешние воздействия.

2) На основе асимптотических методов созданы методики аналитического решения обратных задач аэрогидромеханики, соответствующих построенным моделям, позволяющие выразить воздействие потока на деформируемые элементы через неизвестные деформации и исключить аэрогидродинамические функции при решении задач аэро-гидроупругости. Указанные методики основаны а) на представлении точного решения уравнения Лапласа для потенциала скорости в виде отрезка ряда и б) на применении метода конформных отображений при решении аэрогидродинамической задачи.

3) Создан аналитический метод исследования вязкоупругих элементов каналов и крыловых профилей, находящихся во взаимодействии с дозвуковым потоком жидкости или газа, основанный на исключении аэрогидродинамических функций и построении функционалов для связанных систем интегро-дифференциальных уравнений, описывающих деформации вязкоупругих элементов. Достоинством метода является то, что он позволяет в простой аналитической форме получить условия динамической устойчивости вязкоупругих элементов достаточно сложных конструкций. А именно: и в задачах о движении среды в каналах, и в задачах обтекания крыловых профилей количество и расположение элементов - произвольное, при этом недеформируемые участки стенок канала и профилей могут иметь произвольную форму. Это позволяет решать различные задачи оптимизации, в которых оптимизационными параметрами являются количество и координаты элементов и формы недеформируемых участков.

4) Разработана методика приближенного анализа устойчивости вязкоупругих элементов класса тонкостенных конструкций при безотрывном или струйном обтекании, позволяющая в простой форме получить условия устойчивости в случае произвольной зависимости параметров вязкоупругих элементов от координаты (или от координаты и времени) , в том числе с учетом нелинейных продольных усилий и нелинейных внешних воздействий. Не вызывает затруднений использование указанной методики для приближенного анализа устойчивости вязко-упругих элементов в задачах о движении среды в каналах и обтекания профилей[129], что показывает ее достаточно большую общность в применении к рассмотренным в диссертации классам задач.

5) На основе построения функционалов разработана методика исследования динамической устойчивости вязкоупругого трубопровода и упругого элемента конструкции в сверхзвуковом потоке газа с учетом неоднородных свойств материала, взаимодействия с основанием и влияния нелинейных продольных усилий. Для изучения динамики трубопровода с закреплениями, не допускаемыми функционалом, разработана и реализована на ЭВМ приближенная методика исследования.

Разработаны методики исследования статической неустойчивости (бифуркации) пластины в сверхзвуковом потоке и трубопровода.

6) Разработан метод исследования динамической устойчивости нелинейного движения вязкой несжимаемой жидкости и околозвуковых нелинейных течений сжимаемого газа в областях, ограниченных деформируемыми элементами. Метод основан на построении смешанных функционалов, включающих как аэрогидродинамические функции, так и деформации элементов.

7) Создан численно-аналитический метод исследования динамики и устойчивости вязкоупругих элементов трубопровода, на его основе проведено численное моделирование на ЭВМ динамики плоского и осе-симметричного элементов.

8) На основе разработанных моделей и методов получены достаточные условия динамической устойчивости вязкоупругих элементов конструкций, налагающие ограничения на типы закреплений, скорость потока, значения продольных усилий, ядра (меры) релаксации пластин и оснований, а также другие параметры механических систем (прочностные, геометрические, инерционные, демпфирующие). Выявлена закономерность, заключающаяся в том, что во всех динамических задачах область устойчивости на плоскости (V, К) "скорость - продольное усилие" определяется неравенством ЛГ < £ — 7V2, £ > 0, 7 > 0 (рис.11, область устойчивости заштрихована). л/Т V

1. Акимов М.Ю., Вельмисов П.А., Семенов А.С.Колебания вязко-упругой пластины, являющейся частью стенки канала с жидкостью // Тезисы докладов XXVIII научно-технич. конф. УлПИ. -Ульяновск,1994. -Ч.1.-С.64-66.

2. Акимов М.Ю., Вельмисов П.А., Савинов Н.В. Квазистатическая устойчивость вязкоупругих пластин в потоке газа // Моделирование и исследование устойчивости систем. Прикладная механика: тезисы докладов Украинской конф.- Киев, 1995. -С.4.

3. Акимов М.Ю., Вельмисов П.А., Семенов А.С. Численное интегрирование уравнений динамики вязкоупругого элемента трубопровода // Математические методы в химии и химической технологии: сб. тез. докл. междунар. конф.- Тверь, 1995. -ч.1. -С.37-38.

4. Акимов М.Ю., Вельмисов П.А., Семенов А.С.О динамике вязкоупругого элемента трубопровода // Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики: тез. докл. Воронежской зимней математической школы.- Воронеж,1995.-С.9.

5. Акимов М.Ю., Вельмисов П.А., Милушева С.Д. О динамических и статических дефермациях трубопровода // Application of Mathematics in Engineering: Proceedings of the XXII Summer School.- Sozopol, Bulgaria: Technical University of Sofia, 1996.- P.191-197.

6. Акимов М.Ю., Вельмисов П.А. Исследование устойчивости трубопровода в нелинейной модели // Фундаментальные проблемы математики и механики. Ученые записки Ульяновского гос. университета. -Ульяновск: УлГТУ, 1996, -Вып.2. -С.6-7.

7. Акимов М.Ю., Вельмисов П.А. Об устойчивости решений одного интегродифференциального уравнения, описывающего деформации трубопровода // Дифференциальные уравнения и их приложения: тез. докл. 2 междунар. конф. Саранск, 1996. -С. 129.

8. Акимов М.Ю., Вельмисов П.А. Об устойчивости решений начально-краевых задач в трансзвуковой газодинамике // Дифференциальные уравнения и их приложения: тр. второй междунар. конф.- Саранск, 1996.- С.128.

9. Акимов М.Ю., Вельмисов П.А. О динамической устойчивости и статической неустойчивости вязкоупругого трубопровода // Тезисы докладов XXXI научно-технич. конф. УлГТУ. Ульяновск, 1997. - 4.2. -С.10-12.

10. Акимов М.Ю., Вельмисов П.А. Об устойчивости вязкоупругого трубопровода // Modelling and investigation of systems stability. Mechanical Systems.: thesis of international conference reports. Ukraine, Kiev, 1997. -P.5.

11. Акимов М.Ю., Вельмисов П.А. Численное моделирование на ЭВМ динамики вязкоупругой оболочки составной части осесимме-тричного канала // Тез. докл. XXXII научно-технич. конф. Ульяновск. гос. технич. ун-та. - Ульяновск, 1998. -4.2. -С. 19-21.

12. Акимов М.Ю., Вельмисов П.А. Исследование устойчивости трубопровода с учетом нелинейной осевой упругой силы // Прикладные задачи механики: сб. науч. тр.- Ульяновск: УлГТУ, 1998.- С.46-53.

13. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Исследование собственных значений оператора в задачах панельного флаттера // МТТ, 1999. N1. -С.170-176.

14. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Численно-аналитические исследование флаттера пластины произвольной формы в плане // ПММ, 1997. Т.61.- Вып.1. С.171-174.

15. Александров A.B., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высш. шк., 1990. - 400 с.

16. Алфутов H.A. Основы расчета на устойчивость упругих систем.- М: Машиностроение. 1978. -311с.

17. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974. - 448с.

18. Амбарцумян С.А., Багдасарян Г.Е., Белубекян М.В. Магнито-упругость тонких оболочек и пластин. М: Наука, 1977. -272с.

19. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Об устойчивости вязкоупругих элементов крыла // Modelling and investigation of systems stability. Mechanical Systems.: thesis of international conference reports.- Ukraine, Kiev, 1997. -P.9.

20. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Об устойчивости вязоупругих элементов крыла // Тез. докл. XXXI научно-технич. конф. УлГТУ. -Ульяновск, 1997.-Ч.2. С.16-18.

21. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Исследование устойчивости вязкоупругих элементов крыловых профилей // Новые методы, средства и технологии в науке, промышленности и экономике: тез. докл. научно-практич. конф.- Ульяновск, 1997.- 4.2. -С.16-18.

22. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Об устойчивости решений одной краевой задачи аэроупругости // Понтрягинские чтения VIII. Современные методы в теории краевых задач.: тез. докл. Воронежской весенней математич. школы.- Воронеж, 1997. -С. 169.

23. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Исследование устойчивости вяз-коупругих элементов крыловых профилей // Тез. докл. XXXII научно-технич. конф. УлГТУ. Ульяновск, 1998.- 4.2. -С.27-29.

24. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. О решении одной задачи аэроупругости методами ТФКП // Современные проблемы теории функций и их приложения.: тез. докл. 9-й Саратовской зимней школы.-Саратов: СГУ, 1997. -С.11-12.

25. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Об одной начально-краевой задаче аэроупругости // Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения-IX: тез. докл. Воронежской весенней математич. школы.- Воронеж, 1998. -С.8.

26. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Об устойчивости вязкоупругих элементов стенки канала // Математическое моделирование и краевые задачи.: тр. восьмой межвуз. конф.- Самара: СамГТУ, 1998. -4.2. -С.3-6.

27. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Об устойчивости вязкоупругих элементов стенок канала // Численные и аналитические методы расчета конструкций: тр. междунар. конф.- Самара, 1998.- С.238-243.

28. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Об устойчивости вязкоупругого элемента стенки канала // Современные проблемы механики и прикладной математики: тез. докл. Воронежской школы.-Воронеж, 1998. -С.19.

29. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Об устойчивости решений системы интегродифференциальных уравнений в одной задаче аэроупругости // Дифференциальные уравнения и их приложения: тр. третьей междунар. конф.- Саранск: "Красный октябрь", 1998.- С.110-112.

30. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Об устойчивости решений системы интегродифференциальных уравнений в одной задаче аэроупругости // Труды Средневолжского Математического Общества: журнал.-Саранск, 1998. T.l. -N1.-C. 88-92.

31. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Устойчивость вязкоупругих элементов тонкостенных конструкций при аэрогидродинамическом воздействии // Деп. в ВИНИТИ 06.08.98, N2522-B98. 131с.

32. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Об устойчивости решений интегродифференциальных уравнений в одной задаче аэроупругости // Математическое моделирование, 1998. Т. 10. - N11.-С.42-43.

33. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Динамика вязкоупругих элементов стенок канала // Математические методы и модели.: тр. междунар. конф. "Методы и средства преобразования и обработки аналоговой информации". Ульяновск: УлГТУ, 1999.- Т.З.- С.22-25

34. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Об устойчивости вязкоупругих стенок канала // Тез. докл. XXXIII научно-технич. конф. УлГТУ. -Ульяновск, 1999.- Ч.З.-С.13-16.

35. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Об устойчивости элементов стенки канала // Понтрягинские чтения-Х. Современные методы в теории краевых задач.: тез. докл. Воронежской весенней математич. школы.1. Воронеж, 1999. -С.14.

36. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Устойчивость вязкоупругих элементов стенки канала при гидродинамическом воздействии // Вестник Ульяновск.гос.технич.ун-та. -Ульяновск: УлГТУ, 1999. -Вып.1.-С.8689.

37. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Устойчивость вязкоупругой стенки канала // Dynamical systems modelling and stability investigation. Mechanical Systems.: thesis of international conf. reports. Kyiv, 1999. -P.13-14.

38. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Устойчивость вязкоупругой стенки канала / / Математическое моделирование физических, экономических, социальных систем и процессов: тр. второй междунар. конф. -Ульяновск: УлГУ, 1999. -С.85-86.

39. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Устойчивость вязкоупругой стенки канала // Математическое моделирование и краевые задачи: труды девятой межвуз. конф.-Самара: СамГТУ, 1999. -4.2. -С.3-6.

40. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д., Колмановский В.Б. Устойчивость вязкоупругих тел и элементов конструкций // Итоги науки и техники: Механика деформируемого твердого тела. М.: ВИНИТИ, 1987.-Т.19.-С.3-77.

41. Арутюнян Н.Х., Колмановский В.Б. Теория ползучести неоднородных тел.- М.: Наука, 1983.- 336 с.

42. Афанасьев Ю.В., Вельмисов П.А., Егоров A.B., Леонтьев В.Л. Расчет динамики упругого элемента датчика с учетом теплового воздействия // Тез. докл. XXVII научно-технич. конф. Ульяновск: УлПИ, 1993. - 4.2. -С.11-14.

43. Бабаев А.Э. Нестационарные волны в сплошных средах с системой отражающих поверхностей. Киев: Наукова думка, 1990. -176с.

44. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел.-М.: Наука, 1980.255с.

45. Баничук Н.В., Бирюк В.И., Сейранян А.П., Фролов В.М., Ярем-чук Ю.Ф. Методы оптимизации авиационных конструкций. М: Машиностроение, 1989, -296с.

46. Барштейн М.Ф., Бородачев Н.М., Блюмина JI.X. и др. (под редакц. Б.Г.Коренева, И.М.Рабиновича) Динамический расчет сооружений на специальные воздействия (справочник проектировщика). -М: Стройиздат, 1981. -215с.

47. Белоцерковский С.М., Кочетков Ю.А., Красовский A.A., Новицкий В.В. Введение в аэроавтоупругость. М.: Наука, 1980. - 384с.

48. Белоцерковский С.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1984. - 520с.

49. Белоцерковский С.М., Ништ М.И., Пономарев А.Т., Рысев О.В. Исследование парашютов и дельтапланов на ЭВМ. М.: Машиностроение, 1987. - 240с.

50. Белоцерковский С.М., Котовский С.М., Ништ М.И. Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел. М: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. -232с.

51. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью.- М.:Наука, 1978.- 352с.

52. Белоцерковский С.М., Скрипач Б.К., Табачников В.Г. Крыло в нестационарном потоке газа.- М.: Наука, 1971.- 768с.

53. Бисплингхофф P.JL, Эшли X., Халфман P.JI. Аэроупругость. -М.: ИЛ, 1958. 860с.

54. Богданов В.В., Булыжев Е.М., Вельмисов П.А., Житлов H.H., Арябкин Н.И. Фильтр для очистки жидкости // A.c. N1762966, МКИ В 01 Д 25/38, опубл. 23.09.92, Б.И. N35, 1992.

55. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М: Наука, 1974. -503с.

56. Болотин B.B. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз, 1961.- 339с.

57. Буйвол В.Н. Колебания и устойчивость деформируемых систем в жидкости. Киев: Наукова думка, 1975. - 190с.

58. Булыжев Е.М., Житлов H.H., Богданов В.В., Вельмисов П.А. Фильтр для очистки жидкости //A.c. N1443932, МКИ В 01 Д 25/38, 35/16, опубл. 15.12.88, Б.И. N46, 1988.

59. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвлений решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. - 524с.

60. Вельмисов П.А. Неустановившееся движение газа в соплах JTa-валя // Аэродинамика: сб. науч. тр. Саратов: СГУ, 1973.- Вып.2(5)- С. 48-61.

61. Вельмисов П.А. Изэнтропические безвихревые течения газа, мало отличающиеся от простых волн // Аэродинамика: сб. науч. тр.- Саратов: СГУ, 1974. Вып.3(6).-С. 60-72.

62. Вельмисов П.А., Фалькович C.B. К теории околозвуковых течений вязкого газа // Известия вузов. Математика.- 1974.-N5.-C.52-61.

63. Вельмисов П.А., Фалькович C.B. О некоторых классах решений уравнений околозвуковых течений и уравнений коротких волн // Избранные проблемы прикладной математики и механики: сб. науч. тр.-Москва: Наука, 1974.- С.215-223.

64. Вельмисов П.А., Фалькович C.B. О нестационарном обтекании тела свободной зуковой струей газа // Аэродинамика: сб.науч.тр.: Саратов: СГУ, 1974. Вып.3(6).-С. 46-60.

65. Вельмисов П.А., Фалькович C.B. Некоторые классы решений уравнений безвихревых изэптропических течений // Аэродинамика: сб. науч. тр.: Саратов: СГУ, 1975. Вып.4(7). - С.17-25.

66. Вельмисов П.А., Фалькович C.B. Неустановившиеся течения газа в соплах Лаваля с местными сверхзвуковыми зонами // Прикладнаяматематика и механика, 1975. -Т.39.- Вып.2. С.271-279.

67. Вельмисов П.А. К теории околозвуковых неустановившихся течений газа // Аэродинамика: сб. науч. тр. Саратов: СГУ, 1975. -Вып.4(7). - С. 3-17.

68. Вельмисов П.А. К вопросу о неустановившемся движении газа в соплах Лаваля // Известия вузов. Математика, 1976.-Ш2. -С.3-10.

69. Вельмисов П.А. О распространении возмущений в звуковом потоке газа // Аэродинамика: сб. науч. тр. Саратов: СГУ, 1976. -Вып.5(8). - С.58-67.

70. Вельмисов П.А. О распространении малых возмущений в звуковом потоке и покоящемся газе // Прикладная математика и механика, 1976. -Т.40.- Вып.1. -С.74-78.

71. Вельмисов П.А. О некоторых уравнениях в теории околозвуковых неустановившихся течений // Аэродинамика: сб. науч. тр. -Саратов: СГУ, 1978.- Вып.6(9). С.3-10.

72. Вельмисов П.А. Асимптотическое исследование нелинейных эффектов в задаче о нестационарном сверхзвуковом обтекании профиля // Прикладная математика и механика, 1979. -Т.43. Вып.1.-С.30-37.

73. Вельмисов П.А. О единственности решения прямой задачи сопла Лаваля // Известия вузов. Математика, 1979.-N1.-0.15-17.

74. Вельмисов П.А. О нелинейных эффектах в некоторых задачах нестационарного сверхзвукового обтекания // Аэродинамика: сб. науч. тр. Саратов: СГУ, 1979.- Вып.7(10). - С.94-100.

75. Вельмисов П.А. К вопросу единственности в теории трансзвуковых течений газа // Аэродинамика: сб. науч. тр. Саратов: СГУ, 1981.- С.3-13.

76. Вельмисов П.А. О возмущениях трансзвуковых течений газа типа "простая волна" // Механика и процессы управления: сб. науч. тр. Саратов: СГУ, 1981. -С.27-41.

77. Вельмисов П.А., Новиков A.A.О некоторых приближенных уравнениях газовой динамики // Прикладная математика и механика: сб. науч. тр. Саратов: СГУ, 1983. - Вып.1. - С.15-26.

78. Вельмисов П.А. Асимптотическое исследование свободных струй вязкого газа // Аэродинамика: сб. науч. тр. Саратов: СГУ, 1983. -Вып.9(12). - С. 43-57.

79. Вельмисов П.А., Жарков A.B. Моделирование на ЭВМ задачи устойчивости одной аэроупругой системы // Вопросы судостроения: сб. отрасли. Серия "Вычислительная техника", 1984. - Вып.51. -С.21-24.

80. Вельмисов П.А., Маценко П.К. О контроле аэродинамических характеристик конструкций в трансзвуковом потоке газа // Проектирование, контроль и диагностика микропроцессорных систем: сб. науч. тр. Саратов: СГУ, 1985. - Вып.1. - С.65-69.

81. Вельмисов П.А., Кукишев B.JI. О вариационной постановке задач трансзвуковой газодинамики и вариационноразностном методе их решения // Прикладная математика и механика: сб. науч. тр. Саратов: СГУ, 1983. - Вып.З.-С.76-88. .

82. Вельмисов П.А., Маценко П.К. О некоторых задачах внешнего пространственного обтекания тел околозвуковым потоком газа // Известия вузов. Математика, 1986. -N9.-C.10-16.

83. Вельмисов П.А., Решетников Ю.А., Сорокин И.А. О неединственности решения задач обтекания тел потоком идеального несжимаемого газа // Прикладная математика и механика.: сб. науч. тр.

84. Саратов: СГУ, 1986. Вып.4. - С.6-21.

85. Вельмисов П.А., Сохор O.A., Сорокин И.А. К задаче обтекания цилиндра потоком газа // Механика и процессы управления: сб. науч. тр. Саратов: СГУ, 1986. - Вып.2. - С.84-89.

86. Вельмисов П.А. Асимптотические уравнения газовой динамики (монография) Саратов: СГУ, 1986.- 135 с.

87. Вельмисов П.А. О приближенных уравнениях газовой динамики // Прикладная математика и механика: сб. науч. тр. Саратов: СГУ, 1986. - Вып.З. -С.3-14.

88. Вельмисов П.А., Болгова Т.В. О вариационной постановке одного класса задач в теории трансзвукового движения газа // Аэродинамика: сб. науч. тр. Саратов: СГУ, 1987. - Вып.10(13).-С.15-22.

89. Вельмисов П.А., Колмановский В.Б., Решетников Ю.А. Устойчивость вязкоупругих пластин, взаимодействующих с потоком газа // Тез. докл. Всесоюзной конф. по теории и приложениям функционально-диффренциальных уравнений. Душанбе, 1987. - 4.1. -С.78.

90. Вельмисов П.А., Маценко П.К. О решениях одного интегро-дифференциального уравнения с симметричным дифференциальным оператором // Функциональный анализ: сб. науч. тр. -Ульяновск: Ульян, пед. ин-тут, 1987. -С.44-50.

91. Вельмисов П.А., Маценко П.К. Устойчивость пластины из вяз-коупругого материала в сверзвуковом потоке газа // Взаимодействие оболочек со средой: сб. науч. тр.- Казань: КФ АН СССР, 1987.- С. 160166.

92. Вельмисов П.А. О методе построения и классификации асимптотических уравнений сингулярно в'озмущенных задач газовой динамики // Методы малого параметра.: тез. докл. Всесоюзного научного совещания. Нальчик, 1987. -С.42.

93. Вельмисов П.А., Савинов Н.В., Сорокин И.А. К асимптотической теории трансзвукового движения газа // Аэродинамика: сб. науч. тр. Саратов: СГУ, 1988. - Вып.11(14). -С.59-65

94. Вельмисов П.А., Семенов A.C. О численном эксперименте на малых ЭВМ в некоторых задачах аэродинамики // Проектирование, контроль и диагностика микропроцессорных систем: сб. науч. тр. -Ульяновск: УлПИ, 1989. -С.63-67.

95. Вельмисов П.А., Дроздов А.Д., Колмановский В.Б. Устойчивость вязкоупругих систем (монография). Саратов: СГУ, 1991. -179с.

96. Вельмисов П.А., Колмановский В.В., Решетников Ю.А. Об устойчивости тригонометрических приближений решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений // Теория функций и приближений: труды 4-ой Саратовской школы.- Саратов: СГУ, 1990.-С.56-58.

97. Вельмисов П.А., Решетников Ю.А. Струйное обтекание деформируемой пластины потоком идеального несжимаемого газа // Научно-технический прогресс и инженерное образование: тез. докл. 24-й НТК УлПИ. Ульяновск, 1990. -С.8-10.

98. Вельмисов П.А., Решетников Ю.А., Сорокин И.А. Исследование колебаний вязкоупругой пластины в потоке газа / / Прикладная математика и механика: межвуз. сб. Саратов: СГУ, 1990.- Вып.5.-С.94-103.

99. Вельмисов П.А., Семенов A.C. Численное решение одной задачи о совместных колебаниях вязкоупругой пластины и идеального несжимаемого газа // Прикладная математика и механика: межвуз.сб.- Саратов: СГУ, 1990.- Вып.5. С.23-42.

100. Вельмисов П.А., Решетников Ю.А. О некоторых задачах движения идеального несжимаемого газа в канале с деформируемыми стенками // Аэродинамика: сб. науч. тр. Саратов: СГУ, 1991.-Вып.12(15).-С.62-70.

101. Вельмисов П.А. О свойствах решений одного класса краевых задач, связанных с интегродифференциальным оператором // Тез. 15 Всесоюзной школы по теории операторов в функциональных пространствах. Ульяновск, 1990. - 4.1. -С.56.

102. Вельмисов П.А. Об устойчивости и единственности решений некоторых классов начально-краевых задач в механике сплошных сред // Актуальные проблемы прикладной математики: материалы Всесоюзной конф. Саратов, 1991. - Т.1. -С.19-23.

103. Вельмисов П.А., Леонтьев В.Л. Динамика элементов датчиков давления // Термовязкоупругопластические процессы деформирования в элементах конструкций: тез. докл. научного совещания. -Киев, 1992. -С.14.

104. Вельмисов П.А., Маценко П.К., Распутько Т.Б., Гришин Д.Н.

105. Исследование динамики упругих элементов датчиков // Тез. докл. XXVI научно-технич. конф. УлПИ. Ульяновск, 1992. -С.64-66.

106. Вельмисов П.А., Решетников Ю.А. Об устойчивости решений некоторых начально-краевых задач в механике сплошных сред // Современные методы в теории краевых задач: тез. докл. школы. Воронеж, 1992. -С.27.

107. Вельмисов П.А. О некоторых задачах взаимодействия потока газа с вязкоупругими телами // Механика и процессы управления: сб. науч. тр. Саратов: СГУ, 1992. - Вып.З. -С.80-93.

108. Вельмисов П. А. Об устойчивости вязкоупругих стержней и пластин при аэрогидродинамическом воздействии // Устойчивость и пластичность в механике деформируемого твердого тела. III симпозиум: тез. докл. Тверь, 1992.- С.11-12.

109. Вельмисов П.А. Об устойчивости вязкоупругих тел в потоке газа // Аналитическая механика, устойчивость и управление движением: тез. докл. 6 Четаевской конф. Казань, 1992. -С.31.

110. Вельмисов П.А. Об устойчивости и единственности решений некоторох классов нелинейных задач // Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики вторые Боголю-бовские чтения: тез. докл. конф. - Киев, 1992. -С.36.

111. Вельмисов П.А. Об устойчивости решений некоторых начально-краевых задач в механике сплошных сред // Качественная теория дифференциальных уравнений: тез. докл. VIII конф. (СНГ).- Самарканд, 1992. -С.ЗЗ.

112. Вельмисов П.А., Маценко П.К. К вопросу устойчивости в некоторых задачах сверхзвукового и трансзвукового обтекания // Аэродинамика: сб. науч. тр. -Саратов: СГУ, 1993. -Вып.13(16).-С.35-39.

113. Вельмисов П.А., Решетнииков Ю.А. Об устойчивости колебаний вязкоупругих стенок резервуара с жидкостью // Понтрягинские чтения IV: тез. докл. Воронежской математич. школы.- Воронеж, 1993. -С.46.

114. Вельмисов П.А., Решетников Ю.А. Исследование устойчивости вязкоупругой неоднородно стареющей пластины-полосы // Тез. докл. XXVII научно-технич. конф. Ульяновск: УлПИ, 1993. -4.2. - С.8-10.

115. Вельмисов П.А. О динамике пластин, подверженных старению и гидродинамическому воздействию // Проблемы прочности материалов и конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами: меж-вуз.научн.сб. Саратов: СГУ, 1993. -С.27-34.

116. Вельмисов П.А. Об устойчивости колебаний пластины в жидкости // Теория функций. Дифференциальные уравнения в математическом моделировании: тез. докл. школы. Воронеж, 1993. -С.36.

117. Вельмисов П.А. Об устойчивости колебаний пластины в жидкости // Моделирование и исследование устойчивости систем: тез. докл. Украинской конф. Киев, 1993. - 4.1. -С.28.

118. Вельмисов П.А. Устойчивость вязкоупругих тел в потоке газа // Актуальные проблемы фундаментальных наук: тр. второй междунар. научно-технич. конф. Москва, 1994. - Т.2.- Кн.1. -Секция "Механика и биомеханика". -С.57-59.

119. Вельмисов П.А., Колмановский В.Б., Решетников Ю.А. Устойчивость уравнений взаимодействия вязкоупругих пластин с жидкостью // Дифференциальные уравнения.- 1994.- Т.ЗО. Вып.И.- С.1966-1981.

120. Вельмисов П.А., Леонтьев В.Л. Динамика вязкоупругой тонкостенной конструкции, взаимодействующей с жидкостью // Проблемы прочности материалов и конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами: межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 1994.- С.49-56.

121. Вельмисов П.А., Решетников Ю.А. Устойчивость вязкоупругих пластин при аэрогидродинамическом воздействии (монография). -Саратов: СГУ, 1994,- 176 с.

122. Вельмисов П.А., Рождественский Д.В., Савинов Н.В. Аналитическое решение задачи косого обтекания пластины // Тез. докл. XXVIII научно-технич. конф. УлПИ. Ульяновск, 1994. - 4.1. -С.55-57.

123. Вельмисов П.А. Динамика вязкоупругих пластин с учетом гидродинамического воздействия // Современные проблемы механики и математической физики: тез. докл. школы. Воронеж, 1994. -С.21.

124. Вельмисов П.А. Об устойчивости движения вязкоупругих пластин при гидродинамическом воздействии // Дифференциальные уравнения и их приложения: тез. докл. междунар. конф. Саранск, 1994. -С.46.

125. Вельмисов П.А. Об устойчивости решений одного интегро-дифференциального уравнения // Понтрягинские чтения V: тез. докл. весенней Воронежской математич. школы. - Воронеж, 1994. -С.30.

126. Вельмисов П.А. Устойчивость системы вязкоупругих пластин при взаимодействии с потоком жидкости // Моделирование и исследование устойчивости систем: тез. докл. Украинской конф. Киев, 1994. -С.19.

127. Вельмисов П.А., Леонтьев В.Л. Основы теории вязкоупругих стареющих тел. Учебное пособие // Ульяновский филиал Московского госуниверситета, 1995. 66с.

128. Вельмисов П.А., Логинов Б.В. Метод групповых преобразований в некоторых двухточечных граничных задачах, описывающих формы изгиба стержня // Математическое моделирование. 1995. -Т.7. -N5. -С.37-38.

129. Вельмисов П.А., Логинов Б.В. Метод групповых преобразований и ветвление решений в двухточечных граничных задачах аэроупругости // Дифференциальные уравнения и их приложения: материалы междунар. конф. Саранск, 1995. -С. 120-125.

130. Вельмисов П.А., Логинов Б.В. Некоторые задачи аэроупругости о потере устойчивости и ветвлении смежных форм равновесия // Математическое моделирование и краевые задачи: тез. докл. пятой научной межвуз. конф. Самара, 1995. -С.38-39.

131. Вельмисов П.А. Об устойчивости движения вязкоупругих пластин при гидродинамическом воздействии // Математическое моделирование. 1995. -Т.7. -N5. -С.38-39.

132. Вельмисов П.А., Логинов Б.В., Милушева С.Д. Исследование устойчивости трубопровода // Приложение на математиката в техниката: сб. доклади и научни съобщения. XXI национална школа.-Болгария, Варна: Софийский технич. ун-тет, 1995.- С.299-304.

133. Вельмисов П.А., Решетников Ю.А. Об устойчивости решений некоторых нелинейных начально-краевых задач аэроупругости // Пон-трягинские чтения -VI: тез. докл. Воронежской весенней математич.школы. Воронеж, 1995.-С.22.

134. Вельмисов П.А., Решетников Ю.А. Устойчивость интегро-дифференциальных уравнений в некоторых задачах аэрогидроупругости // Тез. докл. XXIX научно-технич. конф. УлГТУ. Ульяновск, 1995. - 4.1. -С.89-91.

135. Вельмисов П.А. Некоторые задачи взаимодействия вязкоупру-гих пластин с потоком газа // Математическое моделирование и краевые задачи: тез. докл. пятой научной межвуз. конф. Самара, 1995. -С.37-38.

136. Вельмисов П.А. Об устойчивости движения вязкоупругих пластин при гидродинамическом воздействии // Дифференциальные уравнения и их приложения: материалы междунар. конф.- Саранск, 1995. -С.148-153.

137. Вельмисов П.А. Об устойчивости решений некоторых нелинейных начально-краевых задач в механике сплошных сред // Современные методы нелинейного анализа: тез. докл. конф. Воронеж, 1995. -С.22-23.

138. Вельмисов П.А., Горшков Г.М., Рябов Г.К. Гидродинамический излучатель // Патент 2062662, МПК В 06 В 1/18, 1/20, опубл. 27.06.96, Б.И. N18, 1996.

139. Вельмисов П.А., Решетников Ю.А. Достаточные условия устойчивости колебаний вязкоупругого элемента в одной задаче гидроупругости // Тез. докл. XXX научно-технич. конф УлГТУ. Ульяновск, 1996. -4.1. -С.30-32.

140. Вельмисов П.А., Решетников Ю.А. О динамической устойчивости вязкоупругих элементов конструкций в потоке жидкости / / Моделирование и исследование устойчивости систем (Прикладная механика): тез. докл. Украинской конф. Киев, 1996.-С.37.

141. Вельмисов П.А., Решетников Ю.А. О тригонометрических приближениях решения одной задачи аэроупругости // Теория функций и приближений: межвуз. сб. (труды 5-ой Саратов.зимней школы).- Саратов: СГУ, 1996. -Ч.2.- С.21-24.

142. Вельмисов П.А., Решетников Ю.А. Об устойчивости вязкоупру-гих элементов некоторых конструкций при гидродинамическом воздействии // Математическое моделирование и краевые задачи: труды шестой межвуз. конф.- Самара, 1996.- Ч.2.- С. 132-134.

143. Вельмисов П.А., Решетников Ю.А. Обтекание вязкоупругой пластины потоком идеального несжимаемого газа с отрывом струи // Механика и процессы управления: сб. науч. тр.- Ульяновск: УлГТУ, 1996. -Вып.4. С.96-107.

144. Вельмисов П.А., Семенов А.С. Решение начально-краевой задачи для одномерного гиперболического уравнения методом Галеркина. Методические указания к лабораторной работе // Ульяновск.- гос. тех-нич. ун-т 1996. 24с.

145. Вельмисов П.А., Семенов А.С. Решение начально-краевой задачи для одномерного параболического уравнения методом Галеркина. Методические указания к лабоработной работе // Ульяновск, гос. тех-нич. ун-т, 1996.- 28с.

146. Вельмисов П.А. О бифуркации решений некоторых нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в аэрогидроупругости // Тез. докл. XXX научно-технич. конф УлГТУ. Ульяновск, 1996. -4.1. -С.28-29.

147. Вельмисов П.А. О движении жидкости в областях, ограниченных вязкоупругими пластинами // Механика и процессы управления:сб. науч. тр.- Ульяновск: УлГТУ, 1996,- С.90-95.

148. Вельмисов П.А. О квазистатической устойчивости вязкоупру-гой пластины при аэродинамическом воздействии // Моделирование и исследование устойчивости систем" (Прикладная механика): тез докл. Украинской конф. Киев, 1996.-С.38.

149. Вельмисов П.А. Об устойчивости решений одного класса начально-краевых задач аэроупругости // Современные методы в теории краевых задач . Понтрягинские чтения -VII: тез. докл. Воронежской весенней математич. школы. Воронеж, 1996. -С.49.

150. Вельмисов П.А. Об устойчивости решений одной системы ин-тегродифференциальных уравнений // Ученые записки Ульяновского гос.университета. Фундаментальные проблемы математики и механики, 1996. Вып.2. -С.14.

151. Вельмисов П.А. Устойчивость некоторых нелинейных уравнений аэрогидроупругости // Application of Mathematics in Engineering: Proceedings of the XXII Summer School. Sozopol, Bulgaria: Technical University of Sofia, 1996. -P.52-61.

152. Вельмисов П.А., Браже P.A., Логинов Б.В. Нелинейные проблемы в естествознании // Тр. Ульяновского научного центра "Но-осферные знания и технологии" РАЕН. Ульяновск, 1997. - Т.1. -Вып.1. -С.62-72.

153. Вельмисов П.А., Киреев C.B. Статическая неустойчивость пластины в потоке газа // Тез. докл. XXXI научно-технич. конф. УлГТУ. Ульяновск, 1997. -4.2. -С.12-14.

154. Вельмисов H.A. Об устойчивости решений начально-краевых задач для одного интегро-дифференциального уравнения // Современные методы теории функций и смежные проблемы: тез. докл. Воронежской зимней математич. школы. Воронеж, 1997. -С.40.

155. Вельмисов П.А. Об устойчивости решений некоторых нелинейных начально-краевых задач в механике сплошных сред // Дифференциальные уравнения. Интегральные уравнения.Специальные функции: тез. докл. междунар. научной конф. Самара, 1997. -С.105-106.

156. Вельмисов П.А. Устойчивость вязкоупругих элементов конструкции при аэрогидродинамическом воздействии // Аналитическая механика, устойчивость и управление движением: тез. докл. VII Че-таевской конф. Казань, 1997.-С. 131.

157. Вельмисов П.А. Устойчивость вязкоупругих элементов конструкции при аэрогидродинамическом воздействии // Математическое моделирование и краевые задачи: тр. седьмой межвуз. конф. Самара, 1997. - 4.2. -С.10-13.

158. Вельмисов П.А. Устойчивость тонкостенных конструкций при аэрогидродинамическом воздействии // Вестник Ульян, гос. технич. ун-та. Ульяновск, 1997.- Юбилейный выпуск.- С. 167-176.

159. Вельмисов П.А., Киреев C.B. О статической неустойчивости трубопровода // Численные и аналитические методы расчета конструкций: тр. междунар. конф.- Самара, 1998.- С.244-249.

160. Вельмисов П.А., Киреев C.B., Кузнецов А.О. Асимптотика решений задачи об обтекании пластины сверхзвуковым потоком газа // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды восьмой межвуз. конф. -Самара: СамГТУ, 1998. -4.2. -С.18-21.

161. Вельмисов П.А., Киреев C.B., Кузнецов А.О. Асимптотика решений одного класса нелинейных краевых задач аэроупругости // Современные проблемы механики и прикладной математики: тез. докл. Воронежской школы.-Воронеж, 1998. -С.70.

162. Вельмисов П.А., Решетников Ю.А. Устойчивость вязкоупру-гого элемента крылового профиля // Прикладные задачи механики: сб. науч. тр.- Ульяновск: УлГТУ, 1998.- С.33-45.

163. Вельмисов П.А., Киреев C.B. Асимптотика решений задачи об устойчивости трубопровода // Математические методы и модели: тр. междунар. конф. "Методы и средства преобразования и обработки аналоговой информации". Ульяновск, 1999. - Т.З. - С.34-37

164. Вельмисов П.А., Киреев C.B. Асимптотика решений задачи об устойчивости трубопровода // Труды девятой межвуз. конф.-Самара: СамГТУ, 1999. -4.2. -С.14-18.

165. Вельмисов П.А., Киреев C.B. О бифуркации трубопровода // Тез. докл. XXXIII научно-технич. конф. УлГТУ. Ульяновск, 1999.-Ч.З.-С.20.

166. Вельмисов П.А., Киреев C.B., Кузнецов А.О. Асимптотика решений задачи об устойчивости пластины в сверхзвуковом потоке газа //Деп. в ВИНИТИ 02.06.99, N1778-B99. -56 с.

167. Вельмисов П.А., Киреев C.B., Кузнецов А.О. Устойчивость пластины в сверхзвуковом потоке газа // Вестник Ульяновск, гос. технич. ун-та. -Ульяновск: УлГТУ, 1999. -Вып.1.-С.44-51.

168. Вельмисов П.А., Савинов Н.В. О решениях одного класса нелинейных краевых задач // Математические методы и модели: тр. междунар. конф. "Методы и средства преобразования и обработки аналоговой информации". Ульяновск, 1999. - Т.З.- С.43-45.

169. Вестяк A.B., Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарное взаимодействие деформируемых тел с окружающей средой // Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела. М.: ВИНИТИ, 1983. - Т.15. - С.69-148.

170. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек М.: Наука, 1972,- 432 с.

171. Вольмир A.C. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэроупругости.- М.:Наука, 1976.- 415с.

172. Вольмир A.C. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи гидроупругости.- М.:Наука, 1979.- 320с.

173. Вольмир A.C. Устойчивость упругих систем.- М.: Физматгиз, 1963.- 880с.

174. Галиев Ш.У. Динамика взаимодействия элементов конструкций с волной давления в жидкости.- Киев:Наукова думка, 1977.- 172с.

175. Галиев Ш.У. Динамика гидроупругопластических систем.- Киев: Наукова Думка, 1981.- 276 с.

176. Гахов Ф.Д. Краевые задачи.- М.: Гос. изд-во физ-мат лит., 1963.- 640 с.

177. Гимадиев Р.Ш., Ильгамов М.А. Статическое взаимодействие профиля мягкого крыла с потоком несжимаемой жидкости.- Авиационная техника, 1998.- N1.

178. Глазатов С.Н. О периодических трансзвуковых течениях вязкого газа // Сибирск. математич. журнал. 1997. - Т.38. - N1. -С.69-77.

179. Гонткевич B.C. Собственные колебания оболочек в жидкости.-Киев: Наукова думка, 1964.- 103с.

180. Горшков А.Г. Взаимодействие ударных волн с деформируемыми преградами // Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела. М.:ВИНИТИ, 1979. - Т.13. - С.105-186.

181. Горшков А.Г., Кузнецов В.Н., Селезов И.Т. Цилиндрическая оболочка в нестационарном потоке вязкой жидкости // МТТ, 1996.-N3.- С.89-94.

182. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарняя аэрогидро-упругость тел сферической формы. М.:Наука, 1990.- 260с.

183. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек.- М.: Наука, 1978.- 360 с.

184. Григолюк А.Г. (ред.) Аэрогидроупругость / Пер. с англ.1. М.:ИЛ, 1961.- 101с.

185. Григолюк А.Г., Лампер P.E., Шандаров Л.Г. Флаттер панелей и оболочек // Итоги науки. Механика. М.:ВИНИТИ, 1965. - Т.2.-С.34-90.

186. Григолюк Э.Г., Горшков А.Г. Нестационарная гидроупругость оболочек. Л.: Судостроение, 1974.- 208с.

187. Григолюк Э.Г., Горшков А.Г. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью.- Л.: Судостроение, 1976.- 200с.

188. Григолюк Э.Г., Горшков А.Г. Погружение упругих оболочек вращения в жидкость // Итоги науки и техники. Мех. деформ. тверд, тела. М.: ВИНИТИ, 1977. - Т.Ю.- С.63-113.

189. Гудерлей К.Г. Теория околозвуковых течений. М: Изд-во иностр. лит., 1960. -421с.

190. Гузь А.Н., Кубенко В.Д. Теория нестационарной аэрогидро-упругости оболочек.- Киев: Наукова думка, 1982,- 400с.

191. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Бабаев А.Э. Гидроупругость систем оболочек.- Киев: Вища школа, 1984,- 208с.

192. Гулин Б.В., Ильгамов М.А. Обзор исследований по теории взаимодействия мягких оболочек с потоком жидкости и газа // Статика и динамика гибких систем. М.: Наука, 1987. - С.5-34.

193. Девнин С.И. Гидроупругость конструкций при отрывном обтекании.- Л.: Судостроение, 1975.- 192с.

194. Ден-Гартог Дж.П. Механические колебания. М: Физматиздат, 1960. -580с.

195. Зефиров В.Н., Колесов В.В., Милославский А.И. Исследование собственных частот прямолинейного трубопровода // МТТ, 1985. -N1. С.179-188.

196. Золотенко Г.Ф. К динамике гидроупругой системы "прямоугольный бак жидкость" // МТТ, 1996.- N5. .

197. Ильгамов М.А. Введение в нелинейную гидроупругость.- М.: Наука, 1991.- 195 с.

198. Ильгамов М.А. Колебания упругих оболочек, содержащих жидкость и газ. М.: Наука, 1969.- 184 с.

199. Ильгамов М.А. Равновесие мембраны, контактирующей с жидкостью // МТТ, 1995.- N5.- С.134-141.

200. Ильюшин A.A. Закон плоских сечений в аэродинамике больших сверхзвуковых скоростей // ПММ, 1956. Т.20. - Вып.6. -С.733-755.

201. Ильюшин A.A., Кийко И.А. Закон плоских сечений в сверхзвуковой аэродинамике и проблемы панельного флатера // МТТ, 1995.-N6,- С.138-142.

202. Ильюшин A.A., Кийко И.А. Колебания прямоугольной пластины, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа //Вестник Московск. ун-та. Сер.1. Математика.Механика, 1994. N4. -С.40-44.

203. Ильюшин A.A., Кийко И.А. Новая постановка задачи о флаттере пологой оболочки // ПММ, 1994.-Т.58.- Вып.З.- С.167-171.

204. Ильюшин A.A., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязко-упругости. М: Наука, 1970. -280 с.

205. Казакевич М.И. Аэродинамическая устойчивость надземных и висячих трубопроводов. М.: Недра, 1977. - 200с.

206. Казакевич М.И. Аэродинамика мостов. М.: Транспорт, 1987. - 240с.

207. Канторович JI.B., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. M.-JL: Физматгиз, 1962.- 696с.

208. Кармишин A.B., Скурлатов Э.Д., Старцев В.Г., Фельдштейн В.А. Нестационарная аэроупругость конструкций.- М.: Машиностроение, 1982.- 240с.

209. Качанов JI.M. Теория ползучести. М: Физматгиз, 1960.-455с.

210. Келдыш М.В., Гроссман Е.П., Марин Н.И. Вибрации на самолете. М.: Оборонгиз, 1942.- 56с.

211. Кийко И.А. Постановка задачи о флаттере оболочки вращения и пологой оболочки, обтекаемых потоком газа с большой сверхзвуковой скоростью // ПММ, 1999. Т.63. - Вып.2. -С.317-325.

212. Кийко И.А. Флаттер вязкоупругой пластины // ПММ, 1996. Т.60. Вып.1. -С.172-175.

213. Кухта К.Я., Кравченко В.П. Нормальные фундаментальные системы в задачах теории колебаний. Киев: Наукова думка, 1973. -207с.

214. Клюшников В.Д. Лекции по устойчивости деформируемых систем. М: МГУ, 1986. -224с.

215. Коваленко А.Д. Основы термоупругости. Киев: Наукова думка, 1970. -307с.

216. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. М: Высшая школа, 1987. -256с.

217. Коллатц Л. Задачи на собственные значения.- М.: Наука, 1968.503 с.

218. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последствием.- М.: Наука, 1981.- 448 с.

219. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. М: Высшая школа, 1976, -277с.

220. Коренев Б.Г., Резников Л.М. Динамические гасители колебаний. Теория и технические приложения. М: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. -304с.

221. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М: Мир, 1972. -274с.

222. Кравчук A.C., Майборода В.П., Уржумцев Ю.С. Механика полимерных и композиционных материалов. М: Наука, гл. ред. физ.мат. лит., 1985. -303с.

223. Красилыцикова Е.А. Тонкое крыло в сжимаемом потоке. М: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1978. -223с.

224. Кубенко В.Д. Нестационарное взаимодействие элементов конструкций со средой. Киев: Наукова думка, 1979. -184с.

225. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.- М.: Наука, 1987.- 688 с.

226. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели.- М.: Наука, 1977.-407с.

227. Ларионов Г.С. Нелинейный флаттер упруговязкой пластины // МТТ, 1974. N4. -С.95-100.

228. Ларькин H.A. Гладкие решения уравнений трансзвуковой газодинамики. Новосибирск: Наука. Сибирское отделение, 1991. -145с.

229. Логинов Б.В., Кожевникова О.В. Бифуркационная задача о прогибе прямоугольной пластины в сверхзвуковом газовом потоке / / Деп. в ВИНИТИ, N2145-B98. 52с.

230. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987.- 840 с.

231. Майлс Дж.У. О флаттере панели с учетом пограничного слоя // Механика: сб. переводов. 1959. - N4. - С.97-122.

232. Майлс Дж.У. Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений. М: физ.-мат.лит., 1963. -272с.

233. Матяш В.И. Флаттер упруговязкой пластинки // Механика полимеров, 1971. N6. -С.1077-1083.

234. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М: Наука, 1976. -319с.

235. Милославский А.И. Неустойчивость прямолинейного трубопровода при большой скорости жидкости, протекающей через него. -Харьков, 1981. Деп. в ВИНИТИ 11.11.81. N5184-81. 21с.

236. Мнев Е.И., Перцев A.K. Гидроупругость оболочек. JL: Судостроение, 1970. - 365с.

237. Мовчан A.A. О колебаниях пластинки, движущейся в газе // ПММ, 1956. -Т.20.-Вып.2.- С.211-222.

238. Мовчан A.A. Об одной задаче устойчивости трубы при протекании через нее жидкости // ПММ, 1965. Вып, 4. -С.760-762.

239. Мовчан A.A. Об устойчивости панели, движущейся в газе // ПММ, 1957. -T.21.-N2,- С.231-243.

240. Мовчан A.A. Устойчивость лопатки, движущейся в газе // ПММ, 1957. -T.21.-N5.- С.700-706.

241. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М:Наука, 1981. -400с.

242. Морозов В.И., Пономарев А.Т., Рысев О.В. Математическое моделирование сложных аэроупругих систем. М: физ.-мат. лит., 1995. -736с.

243. Мудров А.Е. Численные методы на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. Томск: Раско, 1991. - 272с.

244. Найфэ А. Методы возмущений. М: Мир, 1976. -455с.

245. Нгуен B.JI. О динамической устойчивости трубы при протекании через нее жидкости. Вестн. моек, ун-та, сер.1. Математика. Механика, 1993. - N3. - С.3-9.

246. Новичков Ю.Н. Флаттер пластин и оболочек // Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела. М.: ВИНИТИ, 1978.- Т.П.- С.67-122.

247. Пальмов В.А. Реологические модели в нелинейной механике деформируемых тел // Успехи механики (ПНР), 1980. N3. -С.75-115.

248. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем.- М.:Наука, 1987.-352с.

249. Пирумов У.Г., Росляков Г.С. Газовая динамика сопел. М:

250. Наука, гл. ред. физ.-мат.лит., 1990. -364с.

251. Писаренко Г.С. Колебания механических систем с учетом несовершенной упругости материала. - Киев: Наукова думка, 1970. -379с.

252. Под ред. Биргера И.А., Пановко Я.Г. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в трех томах. М: Машиностроение, 1968. -Т.1 -831с., Т.2 -464с., Т.З -567с.

253. Под ред. Коренева Б.Г., Рабиновича И.М. Справочник по динамике сооружений. М: Стройиздат, 1972. -511с.

254. Постников B.C. Внутреннее трение в металлах. М: Металлургия, 1974. -351с.

255. Потапенко Э.Н. Вибрация пластины на поверхности идеальной жидкости бесконечной глубины // ДАН, 1994. Т.334. - N6. -С.712-715.

256. Петров В.В., Овчинников И.Г., Иноземцев В.К. Деформирование элементов конструкций из нелинейного разномодульного неоднородного материала. Саратов: СГУ, 1989. - 158с.

257. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела.- М.: Наука, 1988.- 712 с.

258. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций.- М.: Наука, 1966.- 752с.

259. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел.- М.: Наука, 1977.- 383 с.

260. Рапопорт И.М. Колебания упругой оболочки, частично заполненной жидкостью. М.: Машиностроение, 1967. - 357с.

261. Реутов В.П., Рыбушкина Г.В. Стохастический флаттер цепочки пластин в турбулентном пограничном слое несжимаемого течения // ПМТФ, 1996. Т.37. - N5. -С.52-62.

262. Ржаницын А.Р. Теория ползучести. М: Стройиздат, 1968. -416с.

263. Рыжов О.С. Исследование трансзвуковых течений в соплах Ла-валя. М: ВЦ АН СССР, 1965. -238с.

264. Савицкий Г.А. Расчет антенных сооружений. М.: Связь, 1978.- 152с.

265. Самойлович Г.С. Возбуждение колебаний лопаток турбомашин.- М: Машиностроение, 1975. -288с.

266. Самойлович Г.С. Нестационарное обтекание и аэроупругие колебания решеток турбомашин. М: Наука, 1969. -444с.

267. Светлицкий В.А. Механика трубопроводов и шлангов: Задачи взаимодействия стержней с потоком жидкости или воздуха. М.: Машиностроение, 1982. - 280с.

268. Светлицкий В.А. Механика стержней. 4.2. Динамика. М.: Высшая школа, 1987. - 304с.

269. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. -М.-Л.: гос.изд-во технико-теоретич. лит-ры, 1950. -443с.

270. Сергеев B.C. О кручении крыла //В книге "Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения".- М: Вычислительный центр РАН, 1998. -С.18-28.

271. Смирнов А.И. Аэроупругость. М.: МАИ, 1971. - 184с.

272. Смирнов А.И. Аэроупругая устойчивость летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1980. - 231с.

273. Степанов Г.Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. М.: Физматгиз, 1962. - 512с.

274. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1972. -735с.

275. Томпсон Дж.М.Т. Неустойчивость и катастрофы в науке и технике. М: Мир, 1985. -254с.

276. Феодосьев В.И. О колебаниях и устойчивости трубы при протекании через нее жидкости // Инж. сб. Изд-во АН СССР, 1951.1. Т.10. С.169-170.

277. Фершинг Г. Основы аэроупругости.- М.: Машиностроение, 1984.- 600с.

278. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. -М.: Мир, 1988. 352с.

279. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. - 280с.

280. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. М: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. -711с.

281. Фролов К.В., Антонов В.Н. Колебания оболочек в жидкости.-М.: Наука, 1983.- 143с.

282. Фын Я.Ц. О двумерном флаттере панели // Механика: сб. переводов.- М.:ИЛ, 1959.- N1. С.75-106.

283. Фын Я.Ц. Введение в теорию аэроупругости.- М.: Физматгиз, 1959.- 490с.

284. Челомей C.B. О динамической устойчивости упругих систем при протекании через них пульсирующей жидкости // МТТ, 1984. -N5. -С.170-174.

285. Челомей C.B. О динамической устойчивости упругих систем // Докл. АН СССР, 1980.- Т.252. N2.- С.307-310.

286. Чуешов И.Д. Глобальные аттракторы в нелинейных задачах математической физики // Успехи математич. наук, 1993. Т.48. -Вып.3(291). -С.135-162.

287. Швейко Ю.Ю. Устойчивость круговой цилиндрической оболочки в потоке газа // Изв. АН СССР, ОТН, Мех. и машиностроение. 1960. - N6. - С.71-79.

288. Швейко Ю.Ю. О влиянии сверхзвукового потока газа на нижнее критическое усилие для цилиндрических паналей // Изв. АН СССР, ОТН, Мех. и машиностроение. 1961. - N4. - С.14-19.

289. Шевляков Ю.А., Тищенко В.Н.,Темненко В.А. Динамика парашютных систем. Киев: Вища школа, 1985. - 160с.

290. Шейнин И.С. Колебания конструкций гидросооружений в жидкости. JI: Энергия, 1967. -314с.

291. Шестаков А.А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1990. - 320с.

292. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М: Наука, 1969. -742с.

293. Chandiramani N.K., Plaut R.H., Librescu L.I. Non-linear flutter of buckled shear-deformable composite panel in a high-supersonic flow //Int. J. Non-linear Mechanics, 1995. Vol.30. - N2. -P.149-167.

294. Chen S.S. Dynamic stubility of a tube converging fluid //J. Eng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng., 1971.- V.97.- P.1469-1485.

295. Dowell E.H. Aeroelasticity of plates and shells. Leyden: Noordhoff Internat.Publ., 1975. -139p.

296. Dowell E.H. Panel flutter: a review of the aerolastic stability of plates and shells // AIAA Journal, 1970.- V.8. N3. -P.385-399.

297. Dowell E.H. Flutter infinitely long plates and shells. Part. I: Plate. Part. II: Cylindrical shell //AIAA Journal, 1966. V.4. N8.-P.1370-1377; N9. - P.1510-1518.

298. Dowell E.H. Nonlinear oscillations of a fluttering plate //AIAA Journal, 1966. V. 4. - N7. -P.1267-1275.

299. Dowell E.H., Ilgamov M. Studies in nonlinear acrolasticity. New-York, Springer-Verlag, 1988. -455p.

300. Gregory R.W., Paidoussis M.P. Unstable oscillation of tubular can-televers conveging fluid // Theory and Experiments. Proc. Roy. Soc. A, 1996. 293. P.512-542.

301. Holmes P., Marsden J. Bifurcation to Divergence and Flutter in Flow-induced Oscillations: an infinite deminsional analysis //J. Automatica, 1978. Vol. 14. -P.367-384.

302. Housner G.W. Bending vibrations of a pipeline containing flowing fluid // J. Appl. Mech., 1952. V.19. - N2. - P.205-208.

303. U. Jin Choi, R.C.MacCamy. Fractional order Volterra equations with applications to elastcity //J. of mathematical analysis and applications, 1989. -V.139.- N2. -P.448-464.

304. Xia Jin-zhu. Hydroelasticity theories of slender floating structures // J. of Hydrodynamics. Ser. B, 2(1995). -P.104-110.

305. L.B. de Monvel, I.D.Chueshov Non-linear occillations of a plate in a flow of gas. C.R.Acad. Sci.Paris, t.322, serie 1, 1996. -P.1001-1006. Mathematical Problems in Mechanics.

306. Loginov B.V., Trenogin V.A., Velmisov P.A. Bifurcation and stability in Some Problems of Continua Mechanics / / The Third International Congress on Industrial and Applied Mathematics. Book of Abstracts. Hamburg. 1995.- P.97.

307. Loginov B.V., Trenogin V.A., Velmisov P.A. Bifurcation and Stability in Some Problems of Continua Mechanics // Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik, 1996.- Volume 76, Supplement 2.- P.241-244.

308. Long R.H. Experiments and theoretical study of transverse vibrations of a tube containing flowing fluid //J. Appl. Mech., 1955. V.22. -N1. - P.65-68.

309. Paidoussis M.P., Issid N.T. Dynamic Stability of pipes conveging fluid // J. of Sound and Vibr., 1974.- V.33. N3.- P.267-294.

310. Parks P.C. A stability criterion for a panel flutter problem via the second method of Liapunov //J."Differential equations and dynamical systems". Proc.int.symp., Puerto Rico, Acad. Press, N.-Y., 1967. -N4. -P.287-298.

311. Peake N. On the behavior of a fluid-loaded cylindrical shell with mean flow //J. Fluid Mech., 1997. V.338. -P.387-410.

312. Plant R.H. Asymptotic stability and instability criteria for some elastic systems bu Liapynov's direct method // Quarterly of applied mathematics, 1972. -P.535-540.

313. Ray P.S. Han, Hanzhong Xu. A simple and accurate added mass model for hudrodynamic fluid-structure interaction analysis //J.Franklin Inst., 1996. V.333B. - N6. -P.929-945.

314. Recchioni M.C., Russo G. Hamilton-based numerical methods for a fluid-membrane interaction in two and three dimensions // SIAM J. Sci. Comput., 1998. V.19. - N3. -P.861-892.

315. Sean F.Wu., Lucio Maestrello. Responses of Finite Baffled Plate to turbulent Flow Excitations //AIAA Jounal, 1995. V.33. - N1. -P.13-19.

316. Sorokin S.V., Kadyrov S.G. Modeling of non-lenear oscillations of elastic structures in heavy fluid loading conditions. J. of sound and vibration (1999) 222(3). - P.425-451.

317. Velmisov P.A. Dynamic stability of viscoelastic bodies interacting with fluid or gas // The 25 th Israel Conference on Mechanical Engineering: Conference Proceedings.- Technion, Haifa, Israel, 1994.- P. 626-627.

318. Velmisov P.A. The dynamics of viscoelastic ageing bodies under the aerohydrodynamic action // Space, time,gravitation: international conf. program and abstracts.St.- Petersburg,Russia, 1994. -P.58.

319. Velmisov P.A. Stability of Viscoelastic Bodies Accounting Aging and Interaction with Fluid or Gas // The Third International Congress on Industrial and Applied Mathematics. Book of Abstracts. Hamburg. 1995.-P.97.

320. Velmisov P.A. About Stability of solutions to some nonlinear initial boundary value problems / / Book of Abstracts of International Conference "Nonlinear Dufferential Equations", Kiev, 1995. -P. 174.

321. Velmisov P.A. Stability of Viscoelastic Bodies Accounting Aging and Interaction with Fluid or Gas // Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik, 1996.- Volume 76, Supplement 2.- P.249-252.

322. Velmisov P.A. To a question of stability in some problems in continua mechanics // The 26th Israel Conference on Mechanical Engineering: Conference Proceedings.- Technion, Haifa, 1996.- P.504-506.

323. Loginov B.V., Trenogin V.A., Velmisov P.A. Bifurcation and Stability in Some Problems of Continua Mechanics // Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik, 1996. V.76.- Supplement 2. -P.241-244.

324. Velmisov P.A., Ankilov A.V. On stability of vescoelastic elements of thinshelled constructions under aerohydrodynamic action // The 27 th Conference on Mechanical Engineering: conference proceedings. Technion City, Haifa, Israel, 1998. -P.12-14.

325. Velmisov P.A., Kireev S.V., Kuznetsov A.O. Stability and Bifurcation of a Plate in a Supersonic Gas Flow //Applications of Mathematics in Engineering: proceedings of the XXIV summer school.- Sozopol 98, Bulgaria: Heron Press, Sofia, 1999. P.41-46.

326. Разработка математической модели динамической системы "трубопровод емкостный датчик давления" // Отчет (заключительный) по х/д НИР N7-51/92. N гос. регистр.09120017123 Руководитель-П.А.Вельмисов. Ульяновск, политех, ин-т, 1990. 94с.

327. Расчет отрывного обтекания ветрозащитных устройств // Отчет (заключительный) по х/д НИР N7-21/84. Часть 1-91с., часть2-97с.N гос.per.0184.0079959. Hhb.N02930002369. Руководитель П.А. Вельмисов. Ульяновск.политех.ин-т, 1990.

328. Динамика упругих элементов емкостных датчиков давления с учетом теплового воздействия // Отчет (заключительный) по х/д НИР N7-26/91. N гос.регистр. 0191.0051734.Руководитель П.А.Вельмисов. Ульяновск, политех, ин-т, 1991. - 103с.